автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ и визуализация инвариантных множеств некоторых классов динамических систем

Введение

1 Резонансные структуры и нерегулярная динамика в системе типа Хенона-Хейлеса

1.1 Система с 3/2 степенями свободы.

1.1.1 Анализ резонансных зон в области G.

1.1.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой отображения Пуанкаре через резонасные зоны.

1.1.3 Анализ поведения решений в малой окрестности невозмущенной петли сепаратрисы Г

1.2 Анализ резонансных зон в системе с двумя степенями свободы.

1.3 Численный анализ.

1.3.1 Негамильтонов случай

1.3.2 Гамильтонов случай.

2 О фрактальных границах областей притяжения устойчивых режимов

2.1 Анализ взаимного расположения сепаратрис.

2.1.1 Расположение сепаратрис для уравнения Дюффинга.

2.1.2 Расположение сепаратрис для маятникового уравнения.

2.2 Фрактальные свойства границы областей притяжения.

3 Визуализация резонансных структур, аттракторов, фракталов и паттернов в динамических системах

3.1 Фазовые кривые и графики решений систем ОДУ

3.1.1 Используемые численные методы.

3.2 Траектории двумерных отображений.

3.2.1 Траектории неоднозначных отображений.

3.2.2 Отображения Пуанкаре.

3.2.3 Построение сепаратрис.

3.3 Динамические фракталы.

3.3.1 Построение границы областей устойчивости для отображений Пуанкаре.

3.3.2 Вычисление показателя неопределенности начальных условий при анализе границ областей притяжения.

3.4 Задачи по численному моделированию диффузионных и полудискретных распределенных систем.

3.4.1 Численные методы для диффузионных систем

3.4.2 Диффузионные модели.

3.4.3 Полудискретные модели

4 Проектирование и разработка программного комплекса

4.1 Модель предметной области и варианты использования.

4.1.1 Основные требования к программе.

4.2 Реализация основных вариантов использования.

4.2.1 Реализация проекта программы.

4.3 Интерфейс пользователя.

4.3.1 Начало работы.

4.3.2 Стандартные приемы работы с графическими построениями для отображений и систем ОДУ

4.3.3 Построения для диффузионных моделей.

4.3.4 Ввод пользовательских систем.

4.4 Список встроенный систем.

Диссертационная работа посвящена исследованию нетривиальных инвариантных множеств семейства нелинейных динамических систем типа Хенона-Хейлеса и Дюффинга, а также разработке программного комплекса визуализации инвариантных множеств широкого класса динамических систем.

Актуальность темы

В первой части работы (главы 1 и 2) рассматриваются конкретные задачи из класса квазиинтегрируемых нелинейных систем с двумя и полутора степенями свободы. Для систем такого вида известны методы глобального анализа [34, 64], основанные на исследовании резонансных зон. В литературе подробно описаны случаи уравнения Дюффинга и маятникового уравнения, но недостаточно полно исследованы периодические возмущения уравнений с квадратичной нелинейностью [35]. Такие уравнения возникают в различных областях науки. Механические и физические системы такого вида возникают при учете кубической нелинейности потенциала. Широко известна консервативная система Хенона-Хейлеса [56, 31], описывающая движение звезды в галактике с осесимметричным потенциалом. К уравнениям с квадратичной нелинейностью приводит также рассмотрение стационарных волн в средах с микроструктурой, состоящих из частиц, обладающих трансляционными и вращательными степенями свободы [16].

Исследование Хенона и Хейлеса было связано с численным анализом инвариантных множеств специального отображения Пуанкаре. Если же рассматривать систему Хенона-Хейлеса в случае, близком к интегрируемому, предполагая неконсервативность возмущения, то поведение решений системы можно исследовать теоретически: во-первых, путем сведения задачи к системе с 3/2 степенями свободы и применения теории нелинейного резонанса, а во-вторых — применив обобщение этой теории для систем с двумя степенями свободы.

Изучение модифицированной квазиконсервативной системы Хенона

Хейлеса приводит к анализу резонансных структур и взаимного расположения устойчивого и неустойчивого многообразий седлового периодического движения. Подобные объекты являются нетривиальными инвариантными множествами.

Другим примером инвариантного множества в системе с 3/2 степенями свободы является граница областей притяжения устойчивых периодических режимов, или устойчивых неподвижных точек отображения Пуанкаре. Свойства границы областей притяжения зависят от расположения сепаратрис седловой неподвижной точки отображения Пуанкаре. Известно, что сложный характер границы областей притяжения связан с возможностью касания, а также трансверсального пересечения сепаратрис. Известно также, что нетривиальное гиперболическое множество в окрестности сепаратрисы может возникать до момента касания устойчивой и неустойчивой сепаратрис седловой неподвижной точки отображения Пуанкаре [10, 11]. В связи с этим представляется актуальным исследование фрактальных свойств границы областей притяжения неподвижных точек отображения Пуанкаре при изменении параметра, отвечающего за взаимное расположение сепаратрис седловой точки.

Поскольку теоретические выводы справедливы, строго говоря, лишь при малых значениях параметра, определяющего величину возмущения, то возникает необходимость численного исследования и численной визуализации резонансных структур и нетривиальных инвариантных множеств. При рассмотрении смежных проблем (анализ квазиаттракторов, приложение к исследованию диффузионных моделей и др.) эта задача выливается в более общую задачу о численной визуализации инвариантных множеств динамических систем.

Численное исследование и численная визуализация предполагают инструмент исследования — специализированное программное обеспечение. Существующие универсальные математические пакеты не всегда удовлетворяют требованиям конкретных задач. Это приводит к необходимости разработки новых программных средств. Этой теме посвящена вторая часть работы (главы 3 и 4).

Состояние вопроса

Система Хенона-Хейлеса вошла в монографии [21, 27, 26] и учебники [31, 40] как .пример, демонстрирующий совместное существование регулярных и нерегулярных движений в гамильтоновой системе. Неинтегрируемость системы Хенона-Хейлеса в настоящее время доказана теоретически [22].

Рассматриваемая в настоящей работе модифицированная система Хе-нона-Хейлеса принадлежит к классу квазиконсервативных систем, близких к нелинейным интегрируемым, и представляет собой систему двух слабо связанных осцилляторов.

Системы такого вида принципиально отличаются от систем, рассматриваемых теорией КАМ [1, 32]. Методы исследования квазилинейных систем [6] также не применимы в данной ситуации. Для квазигамильто-новых систем с 3/2 степенями свободы разработана теория нелинейного резонанса [38, 34], позволяющая сделать выводы о глобальном поведении решений. Эта теория основана на методе усреднения [6] и методах качественной теории дифференциальных уравнений [3]. В последнее время получены обобщения этой теории на случай систем с двумя степенями свободы [34, 23].

Вопрос о возможности существования нетривиального гиперболического множества до момента касания устойчивого и неустойчивого многообразий седлового периодического движения обсуждался в работах Га-врилова и Шильникова [10, 11]. Возможность существования сложного характера поведения решений возмущенного уравнения Дюффинга была доказана в работе Морозова [35]. Исследование поведения решений систем с 3/2 степенями свободы принято проводить с использованием отображения Пуанкаре. О сложном характере поведения решений можно судить по конфигурации границы областей притяжения устойчивых неподвижных точек отображения Пуанкаре. Если имеет место сложное поведение решений, то граница областей может деформироваться и приобрести фрактальные свойства. В работе МакДоналда и др. [62] для вычисления фрактальной размерности границы областей притяжения итеративного отображения был применен метод нахождения показателя неопределенности начальных условий.

Дадим общие определения важнейших понятий, связанных с понятием инвариантного множества динамической системы.

Пусть X — метрическое пространство с метрикой d, и {/*} — множество непрерывных преобразований X в себя, параметризованное индексом t, который пробегает множество либо целых, либо действительных чисел. В последнем случае fb непрерывно по t. Пусть также ftl+t2 = jh 0 jt2 дЛЯ любых ti, t2 (групповое свойство). Преобразование называется отображением сдвига, X — фазовым пространством, а {/*} — динамической системой. Если t меняется непрерывно, динамическую систему называют потоком. Если t изменяется дискретно, то имеем дело с дискретной динамической системой.

Инвариантным множеством динамической системы {/*} называют множество М С X, если для любой точки х € М выполняется условие Р{х) £ М VI В теории дифференциальных уравнений такие инвариантные множества называют иногда интегральными множествами [39].

Открытая область V С X называется поглощающей, если ^(V) С V для t > 0.

Максимальный аттрактором в поглощающей области V называется пересечение всех сдвигов области V: А = П*>о

Множество А называется аттрактором, если существует такая поглощающая область, максимальным аттрактором в которой оно является. Очевидно, что аттрактор представляет собой инвариантное множество.

Область U(А) называется областью притяжения аттрактора А, если она состоит из всех точек, через которые проходят положительные полутраектории, стремящиеся к А.

Аттрактор А называется странным, если он отличен от конечного объединения гладких многообразий [4].

Рассмотрим понятие хаоса в динамических системах. Когда говорят о хаосе для дискретных динамических систем, прежде всего подразумевается существенная зависимость от начальных условий. Более строгое определение [52] включает дополнительные условия. Отображение / : X —> X называют хаотическим, если выполнены следующие условия:

1. / обладает существенной зависимостью от начальных условий. Пусть з; £ X, х £ U С X, U — открытое множество. Существенная зависимость от начальных условий означает, что 3 <5 > 0, n G N, у Е U: d(r(x),r(y))>6.

2. / транзитивно, т.е. для любой пары открытых множеств U, V существует такое п > 0, что fn(U) ПУ^0.

3. периодические точки / всюду плотны в X.

Хаотическую динамику в гамильтоновых системах связывают с перекрытием резонансов и существованием гомоклинической структуры Пуанкаре.

Характерной чертой неконсервативных систем с гомоклиническими решениями является возможность существования сложных переходных процессов и устойчивых длиннопериодических движений. В этом случае иногда вместо термина «странный аттрактор» используют термин квазиаттрактор [5].

Основное внимание при качественном исследовании распределенных биофизических систем вида dUk DkAUk + Fk(U), k = 1,., m, m < 3 уделяется вопросам распространения возмущений, синхронизации автоколебаний в пространстве и проблемам самоорганизации.

Анализ таких моделей обычно начинается с исследования так называемой «точечной системы» [42], соответствующей базовой модели: f = *<">•

В большинстве нетривиальных моделей точечная система представляет собой существенно нелинейную динамичесую систему невысокого порядка, в которой возможны автоколебания. Состояния равновесия точечной системы соответсвуют стационарным однородным в пространстве решениям распределенной системы. В результате потери устойчивости однородного состояния в активных средах возможно возникновение волн или устойчивых пространственных структур. С другой стороны, в результате синхронизации хаотических пространственных колебаний взможно формирование динамических упорядоченных структур — паттернов.

Существующее математическое программное обеспечение (ПО) можно классифицировать по нескольким критериям: наборы подпрограмм и интегрированные комплексы, средства выполнения аналитических вычислений и пакеты визуализации, коммерческое и свободно распространяемое ПО. В настоящее время существует несколько мощных универсальных математических пакетов: Maple [17], Mathcad [18], Mathemati-са [19], Matlab [48]. Они содержат богатый набор алгоритмов численного решения дифференциальных уравнений и графической визуализации. Однако универсальные средства не обязательно являются наилучшими при рассмотрении конкретного круга задач. На наш взгляд, не хватает программных средств, ориентированных на интерактивную работу пользователя с графическим построением и визуализацию динамических процессов в режиме «on-line». В данном случае принципиальны два предположения относительно объектов исследования: сравнительно небольшая размерность системы (как следствие, умеренный объем данных), а также то, что требуется визуализация динамических процессов, а не статических данных. Необходим удобный небольшой проблемно-ориентированный комплекс, распространяемый свободно. Комплекс должен предусматривать возможность расширения набора построений и методов вычисления.

Следует также отметить, что несмотря на огромный охват универсальных пакетов, зачастую новые результаты в компьютерной динамике основаны на программных комплексах, разработанных в научных лабораториях [44, 7, 8, 53].

Цели диссертационной работы

Основными целями диссертационной работы являются:

• Теоретическое и численное исследование квазиконсервативной системы, обобщающей модель Хенона-Хейлеса, установление сценария перехода к хаосу в системе при изменении параметра связи осцилляторов.

• Анализ резонансных зон и расщепления петли сепаратрисы в системе с 3/2 степенями свободы, являющейся упрощением для модифицированной системы Хенона-Хейлеса

• Анализ границ областей притяжения устойчивых периодических режимов в типичных нелинейных квазиконсервативных системах с 3/2 степенями свободы: установление момента перехода от регулярной границы к фрактальной.

• Разработка программного комплекса для выполнения графических построений, используемых при исследовании резонансных структур, фракталов и паттернов в динамических системах.

Методы исследования и достоверность результатов

Теоретическое исследование системы типа Хенона-Хейлеса проводится с применением методов теории нелинейного резонанса [38, 34, 30], основанных на методе усреднения [6] и методах качественной теории дифференциальных уравнений [3]. Достоверность теоретических результатов достигается корректным применением методов исследования. Численный анализ проведен с помощью методов типа Рунге-Кутта [43]. При построении сепаратрис неподвижных и периодических седловых точек отображения Пуанкаре использован оригинальный алгоритм.

При анализе границ областей устойчивости периодических режимов использован метод Мельникова [30] анализа взаимного расположения се-паратрисных многообразий седловых периодических движений. Вычисление фрактальной размерности границ проводится с помощью нахождения показателя неопределенности начальных условий [62].

Научная новизна диссертации

Исследована структура резонансных зон в системе типа Хенона-Хейлеса и в модельной системе с 3/2 степенями свободы.

Численно проанализировано отображение Пуанкаре для модифицированной системы Хенона-Хейлеса в консервативном случае. Обнаружен каскад бифуркаций удвоения периода неподвижной эллиптической точки при увеличении параметра связи осцилляторов. Это свидетельствует о переходе к динамическому хаосу по сценарию Фейгенбаума.

Обнаружены фрактальные свойства границы областей притяжения устойчивых периодических режимов в системе Дюффинга с периодическим возмущением. Установлено, что эти свойства проявляются до момента касания сепаратрисных многообразий, разделяющих области притяжения.

Разработан программный комплекс WInSet для численной визуализации инвариантных множеств динамических систем. Комплекс WInSet применялся при получении численных результатов работы.

Научно-практическая ценность работы

Проведенный анализ вносит вклад в общую теорию систем, близких к нелинейным интегрируемым. Результаты, полученные численно, дополняют и иллюстрируют качественную теорию дифференциальных уравнений.

Разработанный программный комплекс представляет собой удобное средство для численного исследования динамических систем. Программа WInSet успешно применяется сотрудниками и студентами механико-математического факультета ННГУ при написании научных и дипломных работ, а также для получения качественных иллюстраций. Программа довольно широко распространена за пределами ННГУ. Получены положительные отзывы о программе от читателей книги [36], к которой прилагается диск с программой WInSet.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• IV и V конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1996, 1999)

• III Конгрессе специалистов по нелинейному анализу (Катаниа, Италия, 2000)

• Всероссийской научной школе «Нелинейные волны - 2002» (Нижний Новгород, 2002)

• семинаре Средневолжского математического общества под руководством д.ф-м.н. проф. Е.В. Воскресенского (Саранск, 2002).

• семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы. Объем работы составляет 103 страницы.

1. Арнольд В.И. Доказательство теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. // УМН, 1963, Т. 18, вып. 5(113), с. 13-40.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

3. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

4. Афраймович B.C. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов. // В сб. Нелинейные волны. Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1977, с. 189-213.

5. Афраймович B.C. Принцип кольца и квазиаттракторы. // Тезисы IX Международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, 1981. с. 42.

6. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958.

7. Борисов А.В., Емельянов К.В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. Ижевск: изд-во Удмуртского ун-та. 1995.

8. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 384 с.

9. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Методы осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ. 1971.

10. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I. // Мат. сб. 1972. Т. 88, № 4, С. 475-492.

11. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой II. Мат. сб. 1973. Т. 90, № 1, С. 139-157.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

13. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. К анализу систем типа Хенона-Хейлеса. // Тезисы докладов IV конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1996, с. 57.

14. Драгунов Т.Н., Малышева О.В., Морозов А.Д. К анализу возникновения паттернов в диффузионных системах. // Тезисы докладов V международной конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1999, с. 57.

15. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. К исследованию систем типа Хенона-Хейлеса // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2. № 1. С.43-54.

16. Драгунов Т.Н., Павлов И.С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ориентационных волн в одномерных кристаллах. // Физика твердого тела, 1997, Т. 39, № 1, С. 137-144.

17. Дьяконов В.П. Maple 6. Учебный курс. СПб: «Питер», 2001. - 608 с.

18. Дьяконов В.П. MATHCAD 8/2000: Специальный справочник. СПб: «Питер», 2000. - 592 с.

19. Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: «Но-лидж», 2000. - 608 с.

20. Езерский А.В., Рабинович М.И. Динамическая теория формообразования. М.: Изд-во «Янус», 1997.

21. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний. // УФН. 1971, Т. 105, Вып. 1, С. 3-39.

22. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. I, II // Функц. анализ и его прил. -1982, т. 16, № 3, с. 30-41; 1983, т. 17, № 1, с. 8-23.

23. Карабанов А. А. К исследованию резонансов в четырехмерных квази-гамильтоновых системах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Сыктывкар. 2000.

24. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике. // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 1, с. 3-67.

25. Козлов В.В. Симметрии и регулярное поведение гамильтоновых систем // Регулярная и хаотическая динамика. 1996. N2 1, С. 3-14.

26. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике.- Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1995. 432 с.

27. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

28. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: РХД, 2002.

29. Миллер Т., Пауэл Д. и др. Использование Delphi 3. Специальное издание. Киев: Bhv, 1997. - 768 с.

30. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях. // Труды ММО. 1963. Т. 12, С. 3-52.

31. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

32. Мозер Ю. Об инвариантных кривых сохраняющего площадь отображения кольца в себя. // Сб. переводов Математика. 1963, с. 51-67.

33. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Учебное пособие. Нижний Новгород: издательство Нижегородского университета, 1999. - 140 с.

34. Морозов А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. Монография. Н.Новгород: изд-во ННГУ, 1995. - 292 с.

35. Морозов А.Д. О полном качественном исследовании уравнения Дюффинга. // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 2, С. 241-255.

36. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н., Войкова С.А., Малышева О.В. Инвариантные множества динамических систем в Windows. М.: «Эди-ториал УРСС», 1998. - 240 с.

37. Морозов А.Д., Федоров Е.Л., К исследованию уравнений с одной степенью свободы, близких к нелинейным интегрируемым. // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 9, С. 1511-1516.

38. Морозов А.Д., Шильников Л.П. О неконсервативных периодических системах, близких к двумерным гамильтоновым. // ПММ, 1983. Т. 47, Вып. 1. С. 385-394.

39. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.

40. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

41. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 512 с.

42. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. - 304 с.

43. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

44. Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

45. Страуструп Б. Язык программирования С++. 3-е изд. СПб, М.: «Невский диалект» - «Издательство БИНОМ», 1999. - 991 с.

46. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966. 724 с.

47. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука. 1967.

48. Чен К., Джиблин П., Ирвинг A. Matlab в математических исследованиях М.: Мир, 2001. - 346 с.

49. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа. // Матем. сб. 1967. Т. 74. № 3. С. 378-397.

50. Экман Ж.-П. Переход к турбулентности в диссипативных динамических системах. В сб. : Синергетика. М.: Мир. 1984. С. 190-219.

51. Danby J.M.A. The evolution of periodic orbits close to heteroclinic points. // Cel. Mech., 1984, V. 33, No. 3, p, 261-270.

52. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 2nd Ed.- Addison-Wesley, Reading, Mass., 1989.

53. Morozov A.D., Dragunov T.N., BoykovaS.A., Malysheva O.V. Invariant sets for Windows: resonance structures, attractors, fractals and patterns, World Scientific Ser. Nonlinear Sci., Series A, Vol. 37, World Scientific (1999).

54. Morozov A.D., Dragunov T.N., Kramkov K.N. Transition of Closed Invariant Curve Trough a Resonance in Quadratic Two-dimensional Maps. // Nonlinear Analysis, 47 (2001), 5277-5283.

55. MosekildeE., Larsen. F., Dewel G. &; Borckmans P. Re-entrant hexagons and locked Turing-Hopf fronts in the CIMA reaction // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 8, 1998, no. 5, 1003-1012.

56. Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Nonequalibrium Systems, Wiley, New York, 1977.

57. PostScript Language Document Structuring Conventions Specification. Version 3.0. Adobe Systems Inc. 1992.

58. PostScript Language Reference Manual / Adobe Systems Inc. 3rd ed. Addison-Wesley. 1999.

59. Potapov A.I., Pavlov I.S., Maugin G.A. Nonlinear wave interactions in ID crystals with complex lattice. // Wave Motion, 29 (1999) 297-312.

60. Wegner Т., Peterson M., Tyler В., Branderhorst P. Fractals for Windows. Weit Group Press, 1992.