автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование одного класса обратных задач

>гз од

2 7 Ж

На правах рукописи

Резник Владимир Хананович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ

Специальность 05.13.13 -"Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск 1997

Работа выполнена в Челябинском государственном техническом университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.П.ТАНАНА.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.С.Барашков;

доктор физико-математических наук, профессор М.М.Кипнис.

Еедущая организация - Институт геофизики УрО РАН.

Защита состоится II пеня 1997 г., в II часов, на заседании диссертационного совета Д 064.19.03 по присузденш ученой степени доктора физико-математических наук в Челябински государственном университете по адресу: 454136, г.Челябинск, ул. Бр.Кашриных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан "3 " 199? г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор Г П Г.А.СВИРИДШ

(Го

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача параметрической идентификации при математическом моделировании распределенных физических процессов заключается, как известно; в установлении некоторых параметров среды, в которой протекает моделируемый процесс, а также некоторых параметров самого моделируемого процесса. Процесс нахождения этих параметров связан с . решением соответствующей обратной задачи.

Как известно, задача параметрической идентификации решается на основе экспериментальных данных, при этом измерения могут осуществляться в течении одного эксперимента, тогда обратная задача сводится, как правило, к задаче решения операторного уравнения первого рода. Если же необходимо осуществить серию экспериментов, то задача идентификации среда становится обратной задачей типа томографии {первоначально обратной задачей томографии именовали конкретную обратную задачу, а не класс задач) и этот класс обратных задач сводится непосредственно к задаче рэшения соответствующего семейства операторных уравнений I рода.

Если параметрическая идентификация осуществляется в серии экспериментов, то возможны два направления исследования: или развивать методы, ориентированные непосредственно на решение семейств операторных уравнений первого рода, или, учитывая, что теория приближенного решения одного операторного уравнения первого рода достаточно разработана, на этапе структурной идентификации делать необходимые упрощения, позволяющие свести соответствующую обратную задачу типа томографии к задаче решения одного операторного уравнения, следуя работам Ю.Е.Аниконова, А.Л.Бухгейма, В.Г.Романова, R.К.Muller, M.Kaveh.

Автор диссертации, следуя работам Гласко В.Б., Гущина Г.В., Старостенко В.И., Васина В.В., Нетерера ф., Youla D.C. и др., выбрал первый путь. При атом удалось обнаружить, что обратная задача типа томографии может быть сведена в общем случае к семейству операторных уравнений первого рода специального вида.

Актуальность темы определяется тем, что успех решения задачи параметрической идентификации, осуществляемой в серии экспериментов, определяется степенью разработанности методов решения соответствующих семейств операторных уравнений.

Цель диссертации состоит в разработке методов приближенного решения семейств операторных уравнений 1-го рода.

Методика исследования. В основу исследования положены: метода функционального анализа, метода теории некорректных задач.

Научная новизна. В диссертации задача параметрической идентификации, осуществляемая в серии экспериментов, интерпретируется как задача решения семейства операторных уравнений 1-го рода специального вида. . "

Для семейств операторных уравнений общего вида найдена новая схема метода последовательных проекций для решения задачи о поиске элемента, принадлежащего пересечению счетного числа замкнутых выпуклых множеств.

На основе новой схемы метода последовательных проекций предложен метод нахождения слабого решения счетной системы линейных операторных уравнений 1-го рода.

Показано, что задача идентификации среда, осуществляемой в серии экспериментов с варьируемым положением источника и пробника, может быть интерпретирована как задача решения семейства операторных уравнений специального вида.

Предложен новый метод - метод даследователшх проекций на образ для решения задачи о наховденш элемента, принадлежащего пересечении конечного числа тожеств, заданных специальным образом.

На основе метода последовательных проекций на образ предложен метод нахождения решения для системы операторных уравнений 1-го рода специального вида.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории некорректно поставленных задач, а также при разработке численных методов решения задачи идентификации среда, осуществляемой в серии экспериментов с варьируемым положением источника и пробника.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

- Всесоюзной конференции по асимптотическим методам теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач, Бишкек, 1991;

- СТХ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах, Н.Новгород, 1991;

- Всероссийской научной конфереренции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач", Екатеринбург: УрГУ, 1995;

- GAMM-SIAM Conference on "Inverse Problems in Diffusion Processes", St.Wolfgang, Austria, 1994;

- The third International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Hamburg, 1995;

- SPIE Conference "Mathematical Methods In Geophysical Imaging III", San Diego,CA, 1995.

Результаты диссертации докладывались на семинаре лаборатории приближенных методов решения обратных задач института математики СО РАН (рук. проф. Бухгейм А.Л.), на семинаре по некорректным задачам Института математики и механики УрО РАН (рук. чл.-кор. РАН Васин В.В.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, изложена на 81 странице. Список литературы содержит 134 наименования.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит гфаткий обзор работ по теме исследвания, об-суздение используемых методов и полученных результатов диссертации.

Задача параметрической идентификации среда, осуществляемая вс серии экспериментов, формально может быть представлена как задача решения семейства операторных уравнений вида

Н^ = tvi е х , . (I)

где w е w ,ti е Ji W , Т - функциональные пространства; семейство операторов IV - :F>iej, 1 - множество индексов. Требуется найти w, удовлетворявщее семейству операторных уравнений (I).

I. В главе I диссертации рассматриваются задачи об индентифи-кации среды, осуществляемой в серии экспериментов с варьируемой схемой измерений.

В первом параграфе показано, что задача параметрической идентификации, осуществляемая в серии экспериментов с варьируемым положением источника и пробника, в частности, задача каротата

скважин, может быть интерпретирована как задача решения соответствующих операторных уравнений специального вида

В'А^Ш = е I, (2)

где не)к, 1 е IV, У, 7 - функциональные пространства;

№ - М>1в1 - семейство непрерывных биективных операторов и

оператор В: и •* 7 линейный.

Роль оператора играет оператор, соответствующий исходной нетомографической постановке задачи с 1-м положением источника и измерениями, обеспечивающими единственность решения обратной задачи, при этом операторы к^, 1 = 1 естественно будут биективны. Тогда роль оператора В играет оператор сужения величин, наблюдаемых в исходной нетомографической постановке (измерения на всей ■ границе тела или на части некоторой внутренней поверхности), на величины, наблюдаемые при 1-м положении источника в томографическом эксперименте (измерения на выделенной части границы или соответственно на части некоторой внутренней поверхности).

Во втором параграфе обсуждаются возможности использования методов решения операторных уравнений 1-го рода применительно к семейству операторных уравнений 1-го рода (I).

О

2. В главе 2, следуя Касапагг Б., интерпретируется задача решения семейства операторных уравнений как задача нахождения точга пересечения множеств решений соответствующих операторных уравнений из семейства (I). Тогда для решения семейства операторных уравнений можно использовать метод поиска точки, принадлежащей пересечению множеств, - метод последовательных проекций.

В первом параграфе рассматривается метод последовательных проекций для решения задачи о нахождении элемента, принадлежащего пересечению конечного числа замкнутых выпуклых множеств. И конструируется новая схема метода последовательных проекций для решения задачи о нахождении элемента, принадлежащего пересечению счетного числа замккнутых выпуклых множеств.

Пусть имеются т множеств (2± <= 1 = 1,...,ю,

с0 - Л (3)

1=1 1

Пусть - метрический проектор на множество1 Qt, а Т1 - "ре-лаксированный" метрический проектор, определяемый равенством

Tj з I + Х.1(Р1 - I), (4)

где Л1 - константы, называемые параметрами релаксации, О < Я± < < 2, 1 = I,...,m. Заметим, что неподвижные точки проектора Р являются также неподвижными точками оператора Tt.

Определим композиционный оператор-произведение Н в виде

Hai! т (5)

ГО Kl 1 1

Пусть множество <Э0 не пусто. Тогда для всякого хеКя любого выбора констант Хт, в интервале 0 < к± < 2, i = I,...,

ш последовательность ffinx>, где Н определяется (5), сходится слабо к точке множества Q0, как показал Л.М.Брегман. Л.Г.Гурин,

Б.Т.Поляк, Е.В.Райк и Д.К.Ша установили ряд условий, при которых сходимость становится сильной.

Пусть Я - гильбертово пространство, необходимо найти элемент, принадлежащий пересечению счетного числа замкнутых выпуклых множеств Q± с Ii, i е т, где I - тожество натуральных чисел, т.е. требуется найти элемент из множества Qq, где

б0зп Qv (6)

Зададим итерационную последовательность

Т^, Т^х, TgT^x, Т^Т^х, Tgl^T^x, T^^TgT^x,

ф 41 ф ф 171 ГЦ (р )П Л1 ф «

Ак-1 - •' А3 2 1 * * "321 *-2хЛ i1x'

Тф ф ф ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Т

1 Vc-1 * * * з 2 1 * * * 3 2 i tZ i 1 *

ф Ф Ф Ф Ф Ф ф ф ф ф ф ф м

А2А1 " • • А3 2 1 • • • Ъ 2 1 2 11

ТФ Ф ф Ф ф Ф ф ф m m ф m v

3 2 ГИ *" 3 2 1 * * * 3 2 1 2 1

(7)

где

О < Л < 2, 1еТ

»Ii m rn «я m ф ф ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф т

ik...ic-t*• • .з^г-Ч*• -Ъ г 1 ^ 1 1 *

Tj = I t МР± - I), . (8)

Обозначим га-й член последовательности (7) через Втх, тем самым задаем оператор Я - Я, а через К^: Н - Я оператор, задаваемый неявно операторным уравнением В^х = К^В^.

Выделим из последовательности СВИ> подпоследовательность элементов, у которых в композиции операторов, задающей этот элемент, последний оператор и обозначим ей через гДа Р =

— 1,2,••• •

Теорема I. .Пусть 00 ф 0. Для произвольного начального х е У. и всякого фиксированного значения 1, 1 = 1,2,..., последовательность {Вт(р сходится слабо к некоторому элементу множества

<30 С<20 = п <2^-1=1 1

Отметим, что утверждение о слабой сходимости для классической схемы метода последовательных проекций для случая бесконечного числа замкнутых выпуклых множеств получено Брегманом Л.М. лишь в предположении, что существует шах Р(х,<31) для произвольного х е

1е1

6 и, где Р(х,(Э1) расстояние от элемента х до множества (21; при

этом проектирование предполагается на каждом шаге итерации на множество максимально удаленное от элемента, полученнного на пре- • дыдущем шаге итерации.

Во втором параграфе новая схема метода последовательных проекций используется для нахождения слабого решения счетной системы линейных операторных уравнений 1-го рода. Отметим, что В.В.Васин, Ф.Натерер используют классическую схему метода последовательных проекций лишь для решения конечной системы линейных операторных уравнений 1-го рода.

Рассмотрим семейство операторных уравнений (I). Пусть )Х> , 3 - гильбертовы пространства, пусть задано семейство линейных непрерывных операторов (Ы1: Ш -> 1 « I, Г -1Множество натуральных чисел.

Пусть <Э- - множество решений соответствующего операторного

со

уравнения из (I), <2 ^ о., пусть Р. - метричекий проектор на

1=1 1 А

01, 1 е 2".

Тогда справедлива

Теорема 2. Пусть <30 * 0. Тогда для произвольного х е IV, и произвольного фиксированного 1, 1 = 1,2,..., последовательность »и(рЛ)й слабо сходится к некоторому элементу множества О»,

3. В главе 3 для решения семейства операторных уравнений вида (2) предлагается метод, названный автором методом последовательных проекций на образ.

Отметим, что применимость метода последовательных проекций для нелинейной системы операторных уравнений ограничивается случаем, когда решение каждого из этих операторных уравнений - замкнутое выпуклое множество. В методе последовательных проекций на образ выпуклости непосредственно не требуется.

В параграфе I главы 3, в отличие от главы 2, множества и), 1 = 1,...,ш, предполагаются прообразами исходного множества <2 е V под действием непрерывных биективных операторов и1, 1 = 1,...,ш, действующих из гильбертова пространства № в гильбертово пространство 7.

Рассмотрим следующую итерационную процедуру нахождения элемента и0, принадлежащего <20..

Рассмотрим композицию операторов

(9)

где Т1 н • Р»^, I = Р - метрический проектор на <2.

О е V.

Пусть х0 - любое начальное приближение, х0 £ V. Рассмотрим итерации вида

хп=напхп_1, (10)

где Н х = а^СМх + (I - Х)Нх) + (I - ап)х0, 0 < Я < 1, 1 - тое-

п

дественный оператор, а (ап> - числовая последовательность, являющаяся допустимой.

Числовую последовательность, следуя Б.Гальперину» называем допустимой, если выполнены условия:

I) О < с^ <1, п = 1,2,...;

*

2) ап < "п+т п = 1.2,...;

3) lira а = 1; П-юо

4) существует последовательность номеров к(п) такая, что k(n+t) > k(n), а = 1,2,...,* lUn Sa+i^ti)^1 = 1; ■lira k(n)e = со, где e = 1 - cl.

n->03

Б.Гальперш для случая, когда Н: U - И - нерасширяиций оператор с ограниченной замкнутой выпуклой областью опеределения и, и с и, доказал сходимость итераций вида (10) к некоторой неподвижной точке оператора Н.

В.В.Васин распространил результат Б.Гальперинаотносящийся к классу нерастягивающих операторов, на класс Q-квазинерастягиваю-щих операторов, удовлетвряюцих условию

сл

Хк— х, Н(хк) - з^ — 0 » Н(х) = х. (II)

Определение I. Пусть Q множество неподвижных точек оператора Т.- я - И, Q ?'- 0. Оператор Т называется Q-квазинерастягиващим,

если ■

|тли- z|$jx-z| для любых z Е о Е ! £ Л, xeQ.

• Определение 2. Пусть Q множество неподвижных точек оператора Т: П ~ 7i, Q ^ 0. Оператор Т называется строго Q-квазинерастяги-вающим (или фейеровским), если

|Tfx;- 2| < |Х - 2|

ДЛЯ любых ZeQHXeTi, X«Q.

В

Лемма I. Пусть л - ПУСТЬ оператор Н, задаваемый

(9), такой, что для~всякого i, i = оператор из (9)

является строго Q-рквазинерастягивающим.

Тогда множество неподвижных точек оператора Н совпадает с

Q = п <3ч в оператор Н является <20-квазинерастягивавдим.

1=1

Доказав лемму I, найдем условия на операторы и±, 1 = I.....т,

при которых операторы 1 = 1,...,га, из (9) являются строго <Э1-квазинерастягивающими и удовлетворяют соотношению (II), и получим, что оператор Н будет (20-квазинерастягивающим оператором и удовлетворяющим условию (II).

Тогда, используя упомянутый результат В.В.Васина, получаем следующую теорему.

Теорема 3. Для всякого х в М) и любой допустимой последователь-

п

ности {о^}, последовательность {Напх}, где Н^х = с^Дх +

+ (I - К)Нх) + (I - а^о» О < Х < 1, Н=Тт»... «Т.,, а определяется композицией операторов Т1 = «Р«^, где оператор 17 для всякого и е йси^ пне б удовлетворяет условию

|021и - и^1я| > - (12)

и условию

сд , ,

хк— х, и;1 «р-и^ - хк — о => и^1 »р.^х = х аз)

для всякого 1, 1 = Г,...,га, сходится сильно к некоторому элементу "о 6

Очевидно, что условие (13) можно заменить более сильным условием, потребовавав, чтобы операторы П1 и И^1 были непрерывны на

области определения и б соответственно, 1 = 1,...,га.

В параграфе 2 главы 3 метод последовательных проекций на образ применяется для решения системы операторных уравнений вида (2).

Пусть и), и, 7 - гильбертовы пространства, пусть задано семейство биективных операторов {А1: IV -> Ш, 1 = 1,...,га.

Пусть операторы А1 удовлетворяют условию (13) и для всякого

х е ц), х / и любого У е 00, л <Э1=00. справедливо неравенство

|х - > ^.Р.А^ - у|, (14)

где Р - оператор метрического проектирования на О, <2 е V, 1 = = 1.....га и оператор В: К •* 7 линейный. Пусть <20 - множество решений семейства-уравнений (2).

Пусть С1, где 1 = I- оператор сдвига в пространстве и ка элемент где является произвольным фиксированным решением операторного уравнения

В-и = (15)

И пусть Р - оператор метрического проектирования на Кег(В). Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Для всякого х е м> и любой допустимой последователь-

п

ности <0^), последовательность ОЦх), где Н^х =

= а^СЛх + (I - \)Ях) + (I - ап;х0, 0 < X. < 1, Н = Тга»...«Т1,

а Т^ определяется

1 = ш, сходится сильно к некоторому решению и0 е семейства операторных уравнений (2).

Метод последовательных проекций на образ является неустойчивым при возмущении операторов и правых частей системы линейных операторных уравнений (2). В параграфе предложен регуляризованный вариант (итеративная регуляризация) метода последовательных проекций на образ для системы операторных уравнений (2), при этом предполагается, что решение семейства операторных уравнений существует, единственность решения не предполагается. .

В параграфе 3 главы 3 на основе интерпретации задачи решения семейства операторных уравнений как задачи пересечения множеств решений каждого из этих уравнений сформулированы общие критерии как существования, так и единственности решения семейства операторных уравнений.

Исследование единственности решения задачи пересечения множеств становится содержательным, если учитывать информацию о происхождении множеств.

Пусть I/ и 11> - линейные нормированные пространства. Пусть в пространстве и задано подмножество V и семейство операторов -САЪ: № - где I - множество индексов, пусть

множества О - прообразы множества V для соответствующих операторов аг € 1.

Будем искать условия на V и семейство операторов

{At: W - W>t€2-» ПР11 которых пересечение прообразов f] Qt состоит

из единственного элемента.

В случав, когда V - линейное подпространство, а операторы семейства iAt: it - Il >tij линейны, естественно искать условия на Р

и семейство операторов {At: IV -* W)t € j, при которых пересечение прообразовtQ Qt тривиально.

Введем следующее определение.

Определение ЗГ Пусть У - линейное нормированное пространство, пусть 13 с и, В с V, {J^; U ■* y>t €j - семейство биективных операторов. Если для всякого х € В существует tel такое, что 3t(x) £ V, то назовем <Jt: U ■* семейством операторов, вы-

талкивающим В из 2),

Выберем некоторый произвольный фиксированный индекс J, принадлежащий X, и рассмотрим семейство композиций операторов iA^Aj1: U -» U Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Для того, чтобы пересечение множеств П CL было

tel ъ

пусто, необходимо и достаточно существование индекса 3, принадлежащего I, такого, что семейство операторов {А^А^1: U -» выталкивает множество V из V.

Следствие. Если V - линейное подпространство, а операторы семейства <At: M) - U)t € j линейны, то пересечение f") Qt тривиально

тогда и только тогда, когда существует индекс 3, принадлежащий I такой, что семейство операторов {А^.Д^1 : U -» выталкцвает

V\0 из V, где О - нуль линейного нормированного пространства U.

Легко показать, что выполнение условий теоремы для некоторого индекса принадлежащего X, влечет выполнение условий предложения для всякого индекса кз Т.

Можно требовать биективность лишь одного оператора из семейства и рассматривать композиции с соответствующим индексом.

Применим предложенный критерий* отсутствия нетривиальных пересечений к семействам операторных уравнений.

Теорема 6. Пусть операторы семейства CAt; W - M>t€i биективны

и линейны, а оператор В: и ■* 7 - линеен, но не биективен, D = = КегВЧО, г» с у, тогда для того, чтобы семейство операторных уравнений (2) имело не более одного решения, необходимо и достаточно, чтобы существовало t € J такое, что семейство операторов

Ut х: к%л = At»A~1}tei выталкивало V из П.

Применение критерия, предложенного в теореме, и следствия из него опосредовано необходимостью находить образ линейного подпространства, а затем проверять, содержит ли этот образ подпространства, инвариантные относительно соответствующих семейств операторов. В приложениях для соответствующих коэффициентных обратных задач математической физики первая задача является нетривиальной, а следовательно, и вторая задача нетривиальна.

Предложенный критерий отсутствия решения задачи пересечения так заданных подмножеств на языке выталкивающих операторов позволяет предложить путь исследования вопросов единственности конкретных задач пересечения множеств, заданных описанным выше способом.

Перейдем к вопросу о существовании решения семейства операторных уравнений вида (2).

Определение 4. Пусть U - линейное нормированное пространство, пусть V с и, х € V; {Jt: У ■» - семейство биективных опера-

торов. Семейство операторов CJt: U ♦ W>t€j называем оставляющим х в 2?, если Jtx е Т> для всякого tel.

Тогда мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 7. Пусть операторы семейства <At; М> l/>t€j биективны

и линейны, оператор В: U - 7 линеен, но не биективен, V = КегВ, V с и, тогда, для того, чтобы существовало решение семейства операторных уравнений (2), необходимо и достаточно, чтобы существовало 1 е I и такое х £ В, что семейство операторов (Y. Y. _ = = Gt°At"Aa Ga1}tei* оставляющее х в V, где Gt сдвиг в простран-

стве и на элемент gi, а является произвольным фиксирован?™ решением операторного уравнения (15).

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Найдена новая схема метода последовательных проекций для решения задачи о поиске элемента, принадлежащего пересечению, счетного числа замкнутых выпуклых множеств.

2. На основе новой схемы метода последовательных проекций предложен метод нахождения слабого решения счетной системы опера-орных уравнений 1-го рода.

3. Показано, что задача идентификации среды, осуществляемая в серии экспериментов с варьируемым положением источника и пробника, может быть интерпретирована как задача решения семейства операторных уравнений специального вида.

4. Предложен новый метод - метод последователных проекций на образ для решения задачи о нахождении элемента, принадлежащего пересечению конечного числа множеств, заданных специальным образом.

5. На основе метода последовательных проекций на образ предложен метод нахождения решения для системы операторных уравнений 1-го рода специального вида.

6. Предложены общие критерии для исследования задачи о единственности и существовании решения семейства операторных уравнений 1-го рода специального вида.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТШЗ ДИССЕРТАЦИИ

1. Резник В.Х. Об одной новой схеме метода последовательных проекций //Чел.гос.тех.ун-т. - Челябинск, 1995. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.95, Л 1767 - В95.

2. Резник В.Х. Метод последовательных проекций нз образ //Чел. гос.тех.ун-т. - Челябинск, 1995. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.95, » 1768 - В95.

3. Резник В.Х. Теорема единственности для одного семейства операторных уравнений //Чел.гос.тех.ун-т. - Челябинск, 1991- -

44 с. - Деп. в ВИНИТИ 2D.06.9I, № 2564 - В91.

4. Резник В.Х. Об одном семействе неявных операторных уравнений /XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез.докл. - Н.Новгород, 1991. - C.I88.

5. Резник В.Х. Регуляризующий алгоритм для обратной задачи с параметром /Всесоюзная конференция "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач": Тез.докл. - Бишкек, 1991. - С. 89.

6. Резник В.Х. Метод последовательных проекций на образ /Алгоритмический и численный анализ некорректных задач: Тез.докл.Все-росс.науч.конфер., 27 февраля - 3 марта 1995 г. - Екатеринбург: УрГУ, 1995. - С. 104-105.

7. Reznlk V.H. The Problem of Concordance Between the Information of I CP Solulon Boundary Behavior and Variation of the Source Parameters //The Third International Congress on industrial and Applied Mathematics, Boole of Abstracts, Hamburg, 1995. -P. 415.

8. Reznlk V.H. The Method of Sequential Projection on Image and the Problem of Concordance Between the Information of ICP Solution Boundory Behavior and Variation of the Source

с Parameters //Mathematical Methods In Geophysical Imaging III, SPI1 Proceed. 2571- 05, 1995. - P. 78-66.