автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Обратная задача для математической модели динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

рг-Б—р

О 2 ИЮН 1997

На правах рукописи УДК 517.958

Ламос Диас Генри

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ СОРБЦИИ СО СМЕШАННО-ДИФФУЗИОННОЙ КИНЕТИКОЙ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Денисов Александр Михаилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тихонов Николаи Андреевич

кандидат физико-математических наук, доцент Муэылев Николай Викторович

Ведущая организация: Московский инженерно-физический институт

Защита диссертации состоится " " % 1997г.

в 'У час. мин. на заседании Специализированного

совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 11989Э, МОСКВА, МГУ, 2-ой учебный корпус, ВМиК, ауд. 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ

Автореферат разослан" " 1997г.

Ученый секретарь Специализированного совета

В.М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие естественных наук в настоящее время неразрывно связано с разработкой и анализом математических моделей изучаемых процессов и явлений. Методы математического моделирования позволяют решать широкие классы задач в различных областях науки и техники. Важную роль математическое моделирование играет в исследовании сорбционных явлений, которые широко применяются в целом ряде областей человеческой деятельности, таких как разнообразные научные исследования, многочисленные технологические процессы, актуальные проблемы охраны окружающей среды и многие другие. Одним из основных направлений использования математических методов для изучения сорбционных процессов является определение их характеристик, основаное на решении обратных задач в рамках рассматриваемых математических моделей. Практическая значимость таких задач объясняется тем, что одни из характеристик недоступны для непосредственного измерения, а существующие методы прямого измерения других характеристик требуют больших временных и финансовых затрат и зачастую пе обладают удовлетворительной точностью.

Цель работы. Цель работы состоит в исследовании и разработке численных методов решения задачи определения зависящего от решения коэффициента нелинейной математической модели динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой.

Научная новизна. В диссертации изучены свойства нелинейной математической модели динамики сорбции со смешанно-диффузионной

кинетикой, представляющей собой начально-краевую задачу для системы уравнений в частных производных. Доказана единственность в делом решения задачи определения нелинейного коэффициента этой модели в классе функций конечной гладкости. Предложены и программно реализованы методы решения рассматриваемой обратной задачи.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации методы и программы могут быть использованы для определения изотермы сорбции по результатам динамического эксперимента.

Апробация. Результаты работы докладывались на международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996г.) и на семинарах кафедры математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты отражены в публикациях

[1]"[3].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы 90 страниц.

Содержание работы

Во введении приводится краткий обзор литературы, связанной с темой диссертации, обсуждается ее актуальность и сжато излагается содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена исследованию математической модели динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой.

В первом параграфе описана математическая модель динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой * и проведена ее ре-

дукция к следующей начально-краевой задаче:

их + аи = aF(v), (х, t) € Qt, (1)

ot = ß(u - F(v)), (í,t)eQr, (2)

rt + 7f = 7<* + Au- XF(v), (x,t) 6 Qt, (3)

u(0,t) = ß(t), 0 <i<T, (4)

а(г,0) = г(х,0) = 0, 0 < x < l, (5)

где Qt — (ОМ) : 0 < я < / 0 < t < T}, a,ß, у, А - положительные постоянные, F(£) - функция, обратная к изотерме сорбции /(£)> /'(О -концентрация газа на входе колонны.

Второй параграф посвящен изучению свойств решения u(xtt),a(x,t), v(x,t) начально-краевой задачи (1)-(5), используемых в дальнейшем для исследования обратной задачи.

•Лухшин A.B. Об одной модели динамики сорбции. Докл. АН СССР 1973, т 213 (3), 550-552.

Предположим, что функции fi(t) и F(£) удовлетворяют следующим условиям

/i € С^Г], М(0) = 0, At) > 0, t Е [О,Г], (6)

и

F G С^-оо, оо), F(0) = 0, 0 < ftf) < си

для £ € (—оо, оо), ci - const. (7)

Определение 1. Решением задачи (1)-(5) назовем функцииu(x,t), a(x,t) и такие, что u(xj), a(x,t), v(x,t), ux(x,t), at(x,t) vt(x,t)

непрерывны в Qt = (0е» O : O < x < l O < t < T}, и u(x,t), a(xit)> v(x,t) удовлетворяют (l)-(5).

Условия существования и единственности решения задачи (1)-(5) можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1. Пусть функции ¡x(t) и F(£) удовлетворяют условиям (6) и (7) соответственно. Тогда существует единственное решение задачи (1)-(5).

Далее в работе устанавливается знакопостоянство первых частных производных решения задачи (1)-(5).

Теорема 2. Пусть функции fi(t) и F(£) удовлетворяют условиям (6) и (7) соответственно и {u(a;,í),a(a;,í),u(a;,í)} - решение задачи (1)-(5). Тогда и, a, v £ C^Qt] и

ut(x,t) > О, at(x,t) > 0, vt(x,t) > 0 (x,t)eQT° (8)

6

в«(*,0<о» »,(*,<)< о (х,0е<3т° (9)

где <Эт° = {(я,*) : 0 < х < /,0 < 4 < Г}.

На основе теоремы 2 получены следующие оценки для решения задачи (1)-(5).

Теорема 3. Если {и(х,*),а(э:,*),и(л:,<)} решение задачи (1)-(5), выполнены условия (6),(7), и Р(+оо) > ц{Т), то для любого т € (О, Т] в справедливы неравенства

Следует отметить, что теоремы 2 и 3 хорошо согласуются с физико-химическим смыслом изучаемого процесса.

В третьем параграфе первой главы изучено поведение одной из компонент решения начально-краевой задачи (1)-(5) функции при малых t. Исследовано поведение функций А,-(я, *),(#,*) €

0<ф,<)<1»(0 ,т)=/|(т),

(10)

0 < а(х,г) < а(0,т),

(И)

0 < v(x,t) < /(и(в,0) < /ОФО).

(12)

Теорема 4. Пусть функция ¿i(i) удовлетворяет условиям (6) и ц 6 С%т„], где т0 е (О, Г], а функция F(£) удовлетворяет условиям (7), F{+со) > ц(Т) uF е С4[0,/0|(тв))]. Тогда, если {и(*. *),«(*.*). »(*.*)] решение задачи (1)-(5), mo u,a,v G С4[<Эг0], « существуют такие t0 € (0, Тр] и с0 > 0, что для х € [0,/], t € (0,<о) справедливы оценки

|A¿(®,í) - ехр{—< a,í, i = 1,2,3, (13)

|A4(®,í) + аехр{-аа;}| < c0í, (14)

jA5(x,í) + aexp{a®}| < c„t. (15)

Вторая глава диссертации посвящена исследованию обратной задачи для математической модели динамики сорбции со смешанно-диф фузионной кинетикой .

В первом параграфе рассматривается постановка обратной задачи восстановления изотермы сорбции по выходной динамической кривой. Для математической модели динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой эта обратная задача состоит в определении функции F(4) (обратной к изотерме сорбции) по дополнительной информации о решении задачи (1)-(5) следующего вида

и(М) = </(*), 0 < í < Т. (16)

Таким образом, обратная задача заключается в определении функций {F(£),u(a:,t),a(a:,í), v(z,í)}, удовлетворяющих (l)-(S), (16) при заданных функциях ¡i(t), g(t) и постоянных а, (3, 7, А .

Определение 2. Набор функции {F(£),u(xft),a(x,t), v(x,t)} называется решением обратной задачи (1)-(5), (16) если

F G C^-oo.oo), F(0) = 0, 0 < F'(í) < с1 для £ G (-оо,оо),

F(+oo) > fi(T), F € C2[0,/(/i(T))] П C*[0,/(/i(ro))], r0 e (0,T],(17)

u, a, v G C2[Qr] П C4[QJ; F(£), «0M)> a0M)> »ОМ) удовлетворяют (l)-(5), (16).

Во втором параграфе выводятся интегральные представления для разностей двух решений задачи (1)-(5) {и,(г,*), a¡(x, t), v¿(x, í)}, ¿ = 1,2, соответствующих различным функциям F¡(£). Эти представления затем используются при доказательстве единственности решения обратной задачи, а также при выводе оценок устойчивости решения задачи (1)-(5) по функции F(().

В третьем параграфе изучен вопрос о единственности решения обратной задачи в классе функций конечной гладкости. При исследовании единственности обратных коэффициентных задач для нелинейных дифференциальных уравнений в классах функций конечной гладкости обычно делалось предположение о том, что искомый зависящий от решения коэффициент известен при малых положительных значениях аргумента. То есть, из предположения о единственности решения обратной задачи в малом доказывалась единственность ее решения в целом. А.М. Денисовым * был предложен метод доказательства единственности решения обратной задачи в целом без предположения о единственности в малом. Этот метод был применен в

♦Денисов A.M. Единственность решения задачи определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и целом. Сибир. математический журн. 1995, т 36 (1), 60-71.

диссертации для доказательства единственности решения исследуемой обратной задачи.

Теорема 5. Предположим, что функция fi(t) удовлетворяет условиям

иес>[а,Т), л(о) = о, /*'(«)> о. *е[о,г),

u у, е С4[0,го]. Тогда, если «<(*»<)» »«(*.*)}. » = 1,2, ре-

шения обратной задачи (1)-(5), (16) то ui(x,t) = и2(х, t), ai(x,t) = a2(x,t), vfat) = v2(i,í) e QT и Fr(0 = F2(0 npu f G [0,^(0,7%

В третьей главе рассматриваются вопросы, связанные с численным решением обратной задачи для математической модели процесса динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой.

В первом параграфе доказана непрерывная зависимость решения задачи (1)-(5) от функции F(£), необходимая для обоснования метода конечномерной параметризации решения обратной задачи.

Теорема в. Пусть функции /1(1) и * = 1,2, удовлетворя-

ют условиям (6) и (7) соответственно и Р{(оо) > Тогда, если щ(х,1),а1(х^),К1(х,1) и и2(я,*),а2(а;,*), «2(3,0 - решения задачи (1)-(5), определяемые функциямии соответственно,

то

- иа(«,0| < 4x11^(0 - ЖОНсрд, (18)

- < ЫШ) - ВДИсМ, (19) ^так^ЫМ) ~ ®а(*,01 < ЫШ) - Я(011с[о>Й], (20)

гдеki,k2,кз - положительные постоянные, aR = max{fi{n(T)),/2{ц(Т))}.

Во втором параграфе изучен метод конечномерной параметризации для решения задачи определения функции F((). Метод основан на представлении искомой функции в аналитическом виде, содержащем конечный набор с = (cj,...,^) неизвестных параметров F(£) = F(f,c), с € W, где W - ограниченное замкнутое множество в конечномерном пространстве Еп. Таким образом начально-краевая задача (1)-(5) определяет, при фиксированных а, /?, 7, А и /í(í), оператор А, ставящий в соответствие функцииF(£,c),c£W функциюu(l,t;с),t G [О,Г]. В этом случае обратная задача сводится к минимизации на ограниченном замкнутом множестве функции конечного числа переменных Ф(с)

(21)

где <j5 (í) - приближенно заданная дополнительная информация.

В работе получены формулы для градиента функции Ф(с), использующие решение вспомогательной задачи. Градиент функции (21) имеет следующий вид

дФ [Т ti 8F

= jQ Ja[am(x,t;c) - рп(х,Цс) - Xr(x,t-,c)]— {v{x,t;c)]c)dxdt(22)

где функции m(x,t;c), n(x,t',c), r(z,í; с), являются решением задачи

mx(x,t;c) = am(x,t\c) - f3n(x,t;c) - \r(x,t\c), (x,t)tQT, (23)

nt{x, t; с) = -7г(г, i; с), (ж, t) e QT> (24)

rt(x, t; c) = -yr(x, í; c) + F^x, t; c); с)(/?п(я, i; c) +

Xr(x,t\c) — am(x,t;c)), (z,t) e QT, (25)

т(1, с) = 2(«(/, <; с) - ®(0), 0 < í < Г,

(26)

п(х,Т; с) = г(ж, Г; с) = О, 0 <х<1. (27)

Формулы (22) используются для построения градиентных методов решения задачи минимизации функции (21) на множестве \У.

В третьем параграфе предложен итерационный метод решения задачи определения функции по дополнительному условию (16). В отличие от метода, рассмотренного во втором параграфе, здесь не предполагается априорное задание аналитического вида искомой функции.

Для решения обратной задачи предложен следующий итерационный процесс. При известной решается задача

(«А)г + аик = (х, *) 6 <3т, (28)

(а*), = /?(«* - («, 0 е дГ, (29)

(»*)« + 7"* = уак + Ли* - \Fkivk), (х,<) € (30)

ш(о,*) = р(0. о<*<г, (31)

0) = 0) = 0, 0 < х < /, (32)

и определяются ик{х,1), а^аг,*), ж,*). Функция определяет-

ся формулой

ЛнМ 0,0) = **(»*(<),<)) + в (еа1дЦ) - - а £ (33)

I 6 [0, Т], в - положительный параметр. Показало, что при выполнении условия

0<<?<Л (34)

а»

справедливо неравенство

где Т(£) точное решение обратной задачи.

Учитывая это неравенство можно говорить о свойстве локальной монотонности ( в окрестности нуля) итерационного процесса (28)-(33). Отметим, что, как показывают вычислительные эксперименты, это свойство выполняется не только при малых значениях

Четвертый параграф посвящен вычислительным экспериментам по решению обратной задачи. Приведенные в нем результаты расчетов показывают эффективность разработанных методов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты.

1. Исследована математическая модель процесса динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой. Изучена гладкость решения соответствующей начально-краевой задачи, установлено знако-постоянство его производных, исследовано асимтотическое поведение решения при малых значениях времени, доказана коэффициентная устойчивость решения.

2. Поставлена и изучена обратная задача для математической модели процесса динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой. Доказана теорема единственности определения изотермы сорбции в классе функций конечной гладкости.

3. Разработаны и программно реализованы метод конечномерной параметризации и итерационный метод для восстановления изотермы сорбции. Проведены вычислительные эксперименты, показавшие их эффективность.

Основные результаты работы отражены в следующих публикациях:

1. Denisov А. М., Lamos Н. An inverse problem for a nonlinear mathematical model of sorption dynamics with mixed-diffusional kinetics. Journal Inverse and Ill-Posed Problems. (1996) V.4(3), 191-202.

2. Lamos H.Numerical solution of the inverse problem for a noli near mathematical model of sorption dynamics with mixed-diffusional kinetics. Inverse and Hi-Posed Problems. Abstracts of International conference dedicated to the memory of academician A. N. Tikhonov. Moscow. (1996), 113.

3. Ламос Г. Численное решение обратной задачи для нелинейной математической модели динамики сорбции со смешанно-диффузионной кинетикой. Вести. Моск.ун-та,Сер.15, Вычисл.матем. и киберн.. (1997) (2