автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование обратных задач с нестационарными краевыми условиями для моделей сорбционной системы

Введение

1 Теоретические основы математического моделирования сорб-ционных систем

1.1 Модель сорбционной системы.

1.2 Диффузионные, конвекционные и кинетические механизмы в сорбционной области.

1.3 Формулировка нестационарных краевых условий.

2 Исследование модели с внутридиффузионной кинетикой

2.1 Единственность и свойства решения прямой задачи.

2.2 Существование решения прямой задачи.

2.3 Исследование единственности решения обратной задачи.

2.4 Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностной схемы при численном решении прямой задачи.

2.5 Метод численного решения обратной задачи.

2.6 Результаты численного решения прямой и обратной задач

3 Исследование модели с внешнедиффузионной кинетикой

3.1 Единственность и свойства решения прямой задачи.

3.2 Исследование единственности решения обратной задачи.

3.3 Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностной схемы для численного решения прямой задачи.

3.4 Результаты численного исследования прямой и обратной задач

Актуальность темы. Математическое моделирование сорбционных процессов является распространённым механизмом исследований, проводимых в различных отраслях науки и техники. Обычно при моделировании исследуется сорбционный процесс, происходящий внутри изолированной сорбционной области. На границах этой области задаются условия, которые либо характеризуют эмпирические правила изменения концентраций, либо в ещё более простом случае задают концентрацию.

На практике существуют более сложные системы, в которых их составные части оказывают влияние друг на друга. Математическое моделирование таких сорбционных систем является недостаточно разработанной научной темой. При построении таких моделей необходимо рассматривать систему как единый взаимосвязанный комплекс.

Примером сорбционной системы являются очистные сооружения, в которых на выходе из областей предварительной или окончательной очистки помещается выходной фильтр (или диффузионный барьер). Моделирование процесса на выходе такой системы требует введения более сложных краевых условий.

Другим примером является механизм водозабора, находящегося вблизи природного водоёма или водоносного слоя. Моделирование процесса, происходящего на границах данной системы во время очистки забираемой воды от возможных примесей, также требует введения дополнительных граничных соотношений.

Наличие взаимного влияния составляющих сорбционной системы и обратной связи в системе может моделироваться различными краевыми условиями, отличающимися от канонических краевых условий. Для изучения моделей сорбционных систем необходимо исследование прямых задач, описанных системой дифференциальных уравнений с нестандартными краевыми условиями. Для сорбционных систем важным аспектом моделирования является исследование единственности решения обратных задач определения характеристик процесса.

В настоящее время свойство единственности и другие свойства решений обратных задач для сорбционных систем с нестандартными краевыми условиями практически не изучены.

- 6

Проблемы восстановления характеристик процесса по дополнительной информации порождают необходимость выявления единственности решений обратных задач для моделей сорбционных систем. Однако, исследование свойств решений этих задач для таких достаточно сложных сорбционных систем приводит к ряду ощутимых трудностей самого различного плана.

Например, выявление факта единственности решения обратной задачи с нестандартными краевыми условиями требует изучения свойств решения прямой задачи, получения априорных оценок этих решений. До настоящего момента вопрос установления оценок решений подобных задач сам по себе также является актуальным.

Дополнительно к этому приобретают важность вопросы решения прямых задач, поскольку в начально-краевых задачах, описывающих сорбционные системы, присутствуют нестандартные краевые условия. Необходимо отметить, что для систем с краевыми условиями нестандартного или обобщённого вида в настоящее время практически отсутствует общая теория исследования вопросов корректности прямых задач. Это относится, в частности, к вопросам существования классических решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями обобщённого вида. Ситуация осложняется тем, что в случае неравновесной динамики сорбции математическая модель представляет собой квазилинейную систему смешанного типа, которая не является ни параболической, ни гиперболической. В этом случае возникают трудности исследования вопросов корректности прямых задач.

В следующей главе вопросы исследования единственности решений обратных задач обсуждаются подробнее, рассматриваются различные математические постановки и излагаются методы исследования прямых и обратных задач для моделей с нестандартными краевыми условиями.

Предмет исследований. В качестве предмета исследований в работе рассматривается модель сорбционной системы. В такой сорбционной системе вопрос единственности решения обратных задач ранее не изучался.

Для данной модели проводится исследование единственности решения обратных задач определения изотермы сорбции (в случае процесса с вну-тридиффузионной кинетикой), или функции, обратной к ней (для внешне-диффузионной кинетики).

Доказательство свойства единственности ведётся для каждой из двух рассмотренных в работе обратных задач с нестационарным краевым условием. Это краевое условие введено для описания процесса, происходящего в тонком задерживающем слое, находящемся на выходе из сорбционной области и препятствующем проникновению поглощаемой примеси в выходной резервуар.

- 7

Цель работы. Настоящая работа посвящена построению математической модели сорбционной системы, исследованию свойств решения прямых задач и доказательству единственности решения обратных задач определения основных характеристик сорбционного процесса (изотермы сорбции или обратной к ней функции) при наличии в модели нестационарного краевого условия.

Научная новизна работы. В диссертационной работе впервые сформулирована математическая модель процесса массообмена, происходящего в сорбционной системе, состоящей из нескольких взаимосвязанных областей. На границе областей сформулировано нестационарное краевое условие, являющееся уравнением баланса поглощаемого вещества.

Получены априорные оценки решения прямых задач неравновесной динамики сорбции с внутридиффузионной и внешнедиффузионной кинетикой и нестационарными краевыми условиями.

Доказаны теоремы единственности решения для двух нелинейных обратных задач неравновесной динамики сорбции с нестационарным краевым условием.

Для изучаемых математических моделей разработаны и реализованы алгоритмы и программы численного решения прямых и обратных задач.

Основные результаты. На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Предложены новые математические модели сорбционного процесса в системе, состоящей из нескольких взаимосвязанных областей.

2. Для математических моделей с внутридиффузионной и внешнедиффузионной кинетикой доказаны свойства единственности, положительности, ограниченности и монотонности решения. В линейном случае проведено исследование существования решения.

3. Доказаны теоремы единственности решения обратных задач определения изотермы сорбции для для математических моделей с внутридиффузионной и внешнедиффузионной кинетикой.

4. Разработаны численные методы и реализованы программы численного решения изучаемых прямых и обратных задач. Проведён ряд численных экспериментов, показавших эффективность предложенных алгоритмов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложения.

Основные результаты работы

1. Предложены новые математические модели сорбционного процесса в системе, состоящей из нескольких взаимосвязанных областей.

2. Для математических моделей с внутридиффузионной и внешнедиффузионной кинетикой доказаны свойства единственности, положительности, ограниченности и монотонности решения. В линейном случае проведено исследование существования решения.

3. Доказаны теоремы единственности решения обратных задач определения изотермы сорбции для для математических моделей с внутридиффузионной и внешнедиффузионной кинетикой.

4. Разработаны численные методы и реализованы программы численного решения изучаемых прямых и обратных задач. Проведён ряд численных экспериментов, показавших эффективность предложенных алгоритмов.

Таблицы численного решения обратных задач

В данном разделе приведены полные таблицы расчётов обратных задач для приближённо заданных коэффициентов модели, описанные на на стр. 75.

Заключение

В ходе выполнения диссертационной работы осуществлена постановка и проведено исследование актуальной научной проблемы моделирования сорбци-онной системы.

1. Белоносов B.C. Зеленяк Т.И. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений. Новосибирск, 1975.

2. Белякова Л.Д. Денисов A.M. Киселёв А.В. Лукшин А.В. Туйкина С.Р. Об определении изотермы адсорбции из фронтальной хроматограммы численными методами. Применение ЭВМ для решения задач математической физики. М.: изд-во МГУ, 1985. С. 101-105.

3. Бицадзе А.В. Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. // ДАН СССР, 1969, т. 185, № 4, С. 734-740.

4. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 976 с.

5. Веницианов Е.В. Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред. М.: Наука, 1983.

6. Веригин Н.Н. Васильев С.В. Куранов Н.П. Саркисян B.C. Шульгин Д.Ф. Методы прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод. М.: Колос, 1979. — 336 е., ил.

7. Голованчиков А.Б. Симонова И.Э. Симонов Б.В. Решение диффузионной задачи с интегральным граничным условием. // Журнал Фундаментальная и прикладная математика, т. 7, вып. 2, 2001 г.

8. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.

9. Денисов A.M. Единственность определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и в целом. // ДРАН. 1994. Т. 338 № 4. С. 444-445.

10. Денисов A.M. Единственность решения задачи определения нелинейного кинетического коэффициента. // ЖВМиМФ. 1992. Т. 32. №4. С. 658663.- 113

11. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач неравновесной динамики сорбции. // Вестник МГУ. сер. 15. ВМК. 1986. № 2. С. 25-30.

12. Денисов A.M. О единственности решения некоторых обратных задач нелинейных моделей процессов динамики сорбции. Условно-корректные задачи математической физики и анализа. 1992.

13. Денисов A.M. Лукшин А.В. Математические модели однокомпонент-ной динамики сорбции. М.: Изд-во МГУ, 1989.

14. Денисов A.M. Подлевских И.В. Единственность решения некоторых обратных задач динамики сорбции в случае линейной изотермы. Математические модели и вычислительные методы М.: изд-во МГУ, 1987. С. 18-20.

15. Денисов A.M. Туйкина С.Р. О некоторых обратных задачах неравновесной динамики сорбции. // ДАН СССР. 1984. Т. 276. № I. С. 100-102.

16. Денисов A.M. Туйкина С.Р. О приближённом решении одной обратной задачи динамики сорбции. // Вестник МГУ Сер. 15. ВМК. 1983. № 3. С. 27-32.

17. Денисов A.M. Туйкина С.Р. О решении некоторых обратных задач неравновесной динамики сорбции. Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения. М.: Изд-во МГУ, 1988. С. 5-15.

18. Денисов A.M. Чанов А.В. Задача определения кинетического коэффициента для некоторых моделей неравновесной динамики сорбции. // Вестник МГУ. сер. 15. ВМК. 1988. № 4. С. 29-31.

19. Денисов A.M. Чанов А.В. Обратная задача для модели неравновесной динамики сорбции со смешанной кинетикой. Численные методы решения обратных задач математической физики М.: изд-во МГУ, 1988. С. 2128.

20. Дмитриев Э.М. Тихонов Н.А. Существование и единственность решения одной задачи динамики многокомпонентного ионного обмена. // ЖВМиМФ. 1992. Т. 32. № 7. С. 1133-1138.

21. Евсеев А.Б. Обратная задача динамики сорбции с нестационарным краевым условием. // Обратные и некорректно поставленные задачи, (тезисы докладов конференции). М.: изд-во МГУ, 1999. С. 27.- 114

22. Евсеев А.Б. О существовании решения прямой задачи неравновесной динамики сорбции с нестационарным краевым условием. // Деп. в ВИНИТИ 05.11.2001, № 2308-В2001.

23. Евсеев А.Б. Лукшин А.В. Обратная задача с нестационарным краевым условием для модели сорбционной системы. // Обратные и некорректно поставленные задачи, (тезисы докладов конференции). М.: изд-во МАКС Пресс, 2001. С. 31.

24. Евсеев А.Б. Численное решение обратной неравновесной сорбционной задачи с нестационарным краевым условием. // Прикладная математика и информатика. Труды ф-та ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. №11. М.: изд-во МАКС Пресс, 2002. С. 146-157.

25. Жуховицкий А.А. Забежинский Я.Л. Тихонов А.Н. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала. // Жур Физ Хим. 1945. Т. 19. вып. 6. С. 253-261.

26. Жуховицкий А.А. Забежинский Я.Л. Тихонов А.Н. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала. // Жур Физ Хим. 1946. Т. 20. вып. 10. С. 113-116.

27. Жуховицкий А.А. Забежинский Я.Л. Тихонов А.Н. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала. // Жур Физ Хим. 1949. Т. 23. вып. 2. С. 192-201.

28. Золотарёв П.П. Калиничев А.И. О стационарной стадии неравновесной динамики сорбции. // ДАН СССР. 1971. Т. 199. № 5. С. 1098-1100.

29. Золотарёв П.П. Лукшин А.В. Рютин А.А. О математическом моделировании процессов динамики сорбции. // Вестник МГУ. сер. 15. ВМК. 1981. № 3. С. 56-64.

30. Золотарёв П.П. Ябко И.А. Динамика сорбции в случае выпуклых изотерм сорбции. // Жур Физ Хим. 1978. Т. 52. № 6. С. 1470-1474.

31. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина общих неоднородных граничных задач для параболических по И.Г. Петровскому систем. Киев, 1978.

32. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. Киев, 1990.- 115

33. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1,2. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. 448 с.

34. Ильин В.А. Садовничий В.А. Сендов Бл.Х. Математический анализ. Часть 1,2. М.: Изд-во МГУ, 1987. 358 с.

35. Ионкин Н.И. Об устойчивости одной задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. // Дифф. ур. 1979. Т. 15. № 7. С. 1279-1283.

36. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. // Дифф. ур. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-306.

37. Ионкин Н.И. Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. // Дифф. ур. 1979. Т. 15. № 7. С. 1284-1295.

38. Ионкин Н.И. Морозова В.А. Об устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями. Препринт. Москва, Диалог-МГУ. 2000. 18 с.

39. Корн Г. Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977. — 832 с.

40. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. — 736 с.

41. Ладыженская О.А. Солонников В.А. Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967.i

42. Лукшин А.В. Об одной модели динамики сорбции. // ДАН СССР. 1973 Т. 213. № 3. С. 550-552.-116

43. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. Изд-во киевского университета, 1968. — 196 с.

44. Масленникова В.Н. Первая краевая задача для некоторых квазилинейных систем математической теории диффузии. // ЖВМиМФ. Май-Июнь 1963. Т. 3. № 3. С. 467-474.

45. Музылёв Н.В. О единственности решения одной обратной задачи нелинейной теполпроводности. // ЖВМиМФ. 1985. Т. 25. № 9. С. 1346-1352.

46. Музылёв Н.В. О единственности решения одной обратной задачи неравновесной динамики сорбции.// ЖВМиМФ. 1996. Т.36. №6. С.123-137.

47. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967) М.: Наука, 1969. 545 с.

48. Рачинский В.В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии. М.: Наука, 1964.

49. Рютин А.А. О задаче неравновесной динамики сорбции с учётом продольной диффузии. // Вестник МГУ. сер. 15. ВМК. 1983. № 4. С. 27-33.

50. Рютин А.А. О стадии параллельного переноса в задаче неравновесной динамики сорбции с учётом продольной диффузии. Применение ЭВМ для решения задач математической физики.М.: изд-во МГУ, 1985 С. 90.

51. Рютин А. А. Филиппова М.Ю. Об одной прямой и обратной задаче поглощения примесей пористым слоем при нелинейной изотерме сорбции. // Вестник МГУ. сер. 15. ВМК. 1989. № 3. С. 33-39.

52. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

53. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений М.: Наука, 1978.

54. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем общего вида. // Труды Математического Института АН им. В.А.Стеклова. Т. 83, 1965. С. 3-142.

55. Солонников В.А. О краевых задачах для общих линейных параболических систем. // ДАН СССР. 1964. Т. 157. № 1. С. 56-59.

56. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М. 1959.■' с

57. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

58. Тихонов Н.А. Поезд А.Д. Хамизов Р.Х. Моделирование динамики ионного обмена для случая нескольких компонентов с различными коэффициентами диффузии. // ДРАН. 1995. Т. 342. № 4. С. 464-467.

59. Тихонов Н.А. Поезд А.Д. Об определении параметров модели ионообменной сорбции. // ЖВМиМФ. 1993. Т. 33. № 3. С. 464-469.

60. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987.

61. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

62. Щеглов А.Ю. Об одной обратной задаче для квазилинейного уравнения теплопроводности. // Вестник МГУ. сер. 15. ВМК. 1987. № 2. С. 8-11.

63. Cannon J.R. DuChateau P. An inverse problem for a nonlinear diffusion equation. // J.Appl.Math. Vol. 39, No. 2, Oct. 1980, p. 272-289.

64. Cannon J.R. Lin Y. Determination of a Source Term in a Linear Parabolic Differential Equation with Mixed Boundary Conditions. // International Series of Numerical Mathematics, Vol. 77, 1986, p. 31-48.

65. Cannon J.R. Yin H-M. A uniqueness theorem for a class of nonlinear parabolic inverse problems. // Inverse problems, 4, 1988, p. 411-416.

66. Cannon J.R. Yin H-M. On a class of nonlinear parabolic equations with nonlinear trace type functionals. // Inverse problems, 7, 1991, p. 149-161.

67. Ramm A.G. An inverse problem for the heat equation. // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 123A, 1993, p. 973-976.

68. Yin H-M. Global Solvability for Some Parabolic Inverse Problems. Math. Analysis and Applications, 162, 1991, p. 392-403.1. J. of