автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование противоточных массообменных процессов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

МОДЕНОВА ВЕРА ВИКТОРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОТИВОТОЧНЫХ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.М.ПАСКОНОВ

Москва - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................3

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ.

1. Постановка краевой задачи........................................................23

2. Решение задачи разностным методом.......................................33

3. Решение задачи методом Галеркина..........................................43

4. Аналитическое решение.............................................................50

5.Интегро-дифференциальное уравнение для диффузионной модели 53 ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ

1. Постановка задачи и ее решение разностным методом.............68

2. Аналитическое решение...............................................................84

3. Интегро-дифференциальное уравнение для модели идеального

вытеснения.................................................................................................92

ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ДВУХСЕКЦИОННОЙ КОЛОННЫ

1. Нелинейная модель идеального вытеснения для двухсекционной колонны.....................................................................................................95

2. Равновесная диффузионная модель двухсекционной колонны. 118

3. Оптимизация параметров двухсекционной колонны.................121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................133

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 134

ВВЕДЕНИЕ

Широкое применение в научных исследованиях и в промышленности находят массообменные процессы: ионный обмен, адсорбция, химический изотопный обмен и т.п. С их использованием решаются самые разные задачи: разделение смесей близких по свойствам веществ, например таких, как редкоземельные элементы, трансплутониевые элементы, изотопы; умягчение и деминерализация воды; очистка сахарных сиропов, аминокислот, антибиотиков; выделение веществ из растворов и т.д.

В основу реализации многих из этих процессов может быть положен принцип противоточного массообмена. Создаваемые конструкции противоточных установок- противоточных колонн, становятся все более сложными. Выбор рациональной схемы противоточного процесса в этих установках не возможен без хорошо разработанной теории.

Следовательно, одной из актуальных научных проблем является выбор математических моделей, адекватно описывающих реальные физико-химические массообменные процессы, что позволило бы заменить трудоемкий и продолжительный натуральный эксперимент математическим моделированием на ЭВМ.

При теоретическом исследовании противоточных массообменных процессов применяется так называемая неравновесная модель идеального вытеснения (НИВ), учитывающая линейный или нелинейный межфазовый переход и конвекцию. Математически такая модель описывается системой линейных или полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Частный предельный случай такой модели рассматривался А.Н.Тихоновым при решении задач динамики сорбции в известных работах, ставших классическими.

Более общей моделью, учитывающей кроме межфазового перехода и конвекции также диффузию, является неравновесная диффузионная модель (НДМ). Математически она описывается системой дифференциальных уравнений параболического типа.

Эти модели достаточно хорошо себя зарекомендовали при изучении в основном стационарных и квазистационарных противоточных массообменных процессов. Однако, не до конца оставались изученными границы применимости каждой из них, не проводилась идентификация моделей, не исследовались получаемые из них предельные модели, не проводилась их численная реализация на ЭВМ. Эти и другие задачи необходимо было решать при исследовании нестационарных массообменных процессов.

Исследованию ионного обмена посвящено большое количество работ, как отечественных , так и зарубежных /1-54/. Систематический обзор литературы по этому вопросу дан в /1/.

Ионообменные процессы осуществляются при использовании массообменных колонн на основе различных схем. Например, в противоточных колоннах используется принцип противоточного движения фаз / 1 /. Большое количество научной литературы затрагивает вопросы выбора рациональной схемы противоточного процесса и оптимизации параметров противоточной колонны. Особенности и преимущества ионного обмена в противоточных колоннах подробно изложены в работе / 1 /.

В этой работе рассмотрены также указанные выше основные типы одномерных математических моделей противоточного массообмена: неравновесная модель идеального вытеснения (НИВ) и неравновесная диффузионная модель (НДМ). Перенос некоторого компонента в данной фазе подчиняется уравнению сохранения, связывающему объемную концентрацию

компонента в фазе с потоком и плотностью источника массы компонента. Поток характеризует как конвективный, так и молекулярный перенос вещества в данной среде; плотность источника зависит от химических реакций, протекающих в данной среде, и межфазового переноса вещества.

Система уравнений сохранения замыкается уравнениями, связывающими поток и плотность источника массы компонентов с концентрациями компонентов в фазах.

Если поток прямо пропорционален объемной концентрации компонента в фазе, то модель продольного переноса называют моделью идеального вытеснения (поршневого движения).

Если поток представляет собой линейную комбинацию объемной концентрации и производной по координате вдоль колонны от этой концентрации, то модель продольного переноса называют диффузионной моделью.

Связь между плотностью источника массы компонента и концентрациями компонентов в фазах устанавливает простейшая разностная модель межфазового переноса, согласно которой межфазовый поток в пределах элементарного объема колонны принимается пропорциональным отклонению текущего состава данной фазы от ее состава при равновесии с другой фазой.

Подставив выражения для продольного и межфазового переноса в уравнения сохранения массы компонента для каждой из контактирующих фаз, получим систему двух дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа в случае модели идеального вытеснения и параболического типа - в случае диффузионной модели.

Полученные системы совместно с начальными и граничными условиями задают те начально-краевые задачи, которые определяют в рамках принятых моделей одномерные массообменные процессы в противоточных колоннах.

Так как в общем случае для нестационарных моделей нельзя получить в замкнутой аналитической форме решения поставленных начально-краевых задач, то необходимо разработать и реализовать численные алгоритмы их решения на ЭВМ. Этому и посвящена данная диссертация.

В последнее время появились новые тенденции в исследовании массообменных процессов. Условия экологической безопасности требуют создания новых безреагентных методов очистки и разделения смесей веществ. В таких процессах часто существенное значение имеет динамика самих процессов. Экспериментальное изучение динамики процессов трудоемко и подчас невозможно.

Таким образом, естественно привлечение математического моделирования к решению данной проблемы, которое позволит дополнить или заменить эксперимент.

При разделении смеси растворенных веществ в ряде случаев, например, при глубокой очистке веществ, необходимо использование таких методов, когда реагенты сами могут быть дополнительным источником загрязнения продукта, а также при обработке больших объемов природных или технологических вод, когда применение реагентов недопустимо по экологическим соображениям.

Безреагентное сорбционное разделение компонентов в растворе с использованием зависимости селективности ионитов от температуры может быть реализовано в различных вариантах, например, в противоточной колонне или по двухтемпературной схеме в двухсекционной колонне 16,57/.

Математическое моделирование этих процессов может быть выполнено с использованием неравновесной модели идеального вытеснения или равновесной диффузионнной модели, что и сделано в диссертации на примере двухсекционной противоточной колонны.

В последние годы также большое внимание уделяется разработке методов комплексной переработки нетрадиционных источников сырья, в том числе гидроминерального ( морские и сточные воды и т.п. ). Использование сорбционных технологий здесь может оказаться весьма целесообразным и перспективным.

Так, например, для разделения смесей близких по свойствам кальция и стронция, присутствующих в природных водах практически всех источников, может быть использован непрерывный ионообменный процесс в противоточных колоннах. Для планирования этого процесса и проектирования соответствующих противоточных колонн необходимо провести математическое моделирование и оптимизацию управляющих параметров.

Такое математическое моделирование выполнено на основе модели идеального вытеснения только для стационарных противоточных процессов / f /. \/

Методика, развитая в настоящей диссертации, позволяет это сделать для нестационарных процессов на основе более общих математических моделей.

Наряду с ионообменными процессами также широкое применение находят адсорбционные процессы. С их помощью решаются задачи, связанные с разделением смесей веществ, защитой окружающей среды от вредных технологических выбросов, возвращением в технологические циклы ценных компонентов и т.п.

Одной из важнейших проблем теории адсорбции является разработка расчетных методов поиска высокоселективных адсорбционных систем

(разделяемая смесь - адсорбент), поскольку такой поиск на основе только экспериментальных исследований весьма трудоемок.

Учитывая изложенное, представляется актуальным математическое моделирование и разработка методов априорного расчета основных характеристик адсорбции на основе минимального экспериментального материала / 67 /. При решении этой задачи математические модели ионного обмена в силу их аналогии с моделями адсорбции могут оказаться полезными и эффективными.

Одной из важнейших также является проблема определения параметров математических моделей массообменных систем. Решению этой проблемы посвящен целый ряд работ , как отечественных, так и зарубежных 46-55/.

Специфической особенностью рассматриваемых моделей является то, что параметры каждой из них между собой взаимосвязны. Их нельзя определить, просто удалив все компоненты, кроме одного. Приходится рассматривать достаточно сложную, по крайней мере, двухкомпонентную модель.

Усложнение модели, увеличение числа неизвестных и подлежащих определению коэффициентов приводит к неустойчивости решения обратной задачи при однотипных экспериментальных данных.

В то же время математическая модель должна учитывать основные физические процессы (сорбцию, диффузию, конвекцию и т.д.) для описания явления в различных режимах, что приводит к появлению достаточно большого числа неизвестных параметров. Так, например, при движении смеси веществ в жидком или газообразном состоянии сквозь пористую среду происходят явления переноса , конвективного перемешивания в потоке, сорбции на поверхности твердых частиц, молекулярной диффузии вне и внутри частиц, ионного обмена и т.п.

Сложность процессов, особенно при геометрически неупорядоченном строении частиц приводит к тому, что модель носит феноменологический характер. Фигурирующие в ней параметры имеют смысл эффективных средних значений, характеризующих динамику процесса. Обычно они не могут быть измерены или расчитаны непосредственно, а определяются лишь по результатам косвенных наблюдений.

Известные экспериментальные методы, основанные на исследовании распространения в массообменной системе искусственно создаваемого возмущения по концентрации обмениваемого вещества, позволяют получить информацию о параметрах массообменной системы по измеренным распределениям концентраций компонент вдоль массообменной системы (кривые отклика), снимаемым в различные моменты времени.

При импульсном методе это возмущение создается мгновенным вводом в удаленную от обоих концов массообменной системы порции раствора вступающего в обмен вещества . При математической постановке задачи начальные условия описываются дельта-функцией Дирака .

Следовательно, при математическом моделировании рассматриваемых противоточных массообменных процессов начальные условия соответствующих начально-краевых задач являются сингулярными, что порождает ряд математических трудностей при численном решении этих задач. Одним из возможных путей, позволяющих устранить эти трудности, является разработка эффективных численно-аналитических алгоритмов, основанных на аналитической регуляризации ("сглаживании") сингулярных начальных условий.

В общем случае моделируемые процессы могут быть описаны многомерной, нелинейной, многопараметрической системой дифференциальных уравнений в частных производных.

Для того, чтобы математическая модель была внутренне определимой и ее коэффициенты устойчивым образом восстанавливались по опытным данным, сложность модели должна соответствовать точности и объему экспериментальной информации.

"Минимизация" моделей осуществляется по линии уменьшения размерности, перехода к линейным или квазилинейным системам дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих "минимальное" число параметров, которые возможно определить при решении обратных задач и сравнить с полученными значениями из эксперимента.

Рассматриваемые противоточные массообменные процессы, как правило, протекают в достаточно протяженных системах (противоточных колоннах) и поэтому при данных условиях эксперимента весьма хорошо описываются одномерными моделями.

Возможность описания аналогичных процессов с достаточной точностью при определенных режимах эксперимента одномерными математическими моделями теоретически показана, например, в докторской диссертации H.A.Тихонова. Там же исследована возможность сведения нелинейных моделей к линейным, а также теоретически рассмотрен вопрос о выборе "минимального" числа параметров, для которых обратная задача по их определению становится хорошо обусловленной.

Поэтому важно определение структуры модели и ее параметров по информации о динамике процесса при различной точности и объеме опытных данных.

Актуальна задача определения таких экспериментальных режимов, в которых решение зависит от одних параметров и не зависит от других, что

- и -

позволит по отдельности устойчиво определить различные коэффициенты в различных опытах.

Определить число этих оптимальных параметров и найти "минимальную" модель можно путем численного эксперимента , что и делалось в данной диссертации.

Управление массообменными процессами делают актуальной проблему решения обратных задач по определению параметров.

Для математических моделей неравновесной динамики сорбции аналогичные задачи с достаточно гладкими начальными условиями рассмотрены в$5? /,/102/, Для многопараметрических моделей данная проблема может оказаться некорректной. Эффективный путь ее решения - переход к более простым математическим моделям и применение методов решения экстремальных задач / %2/.

В связи с этим стремятся переходить к более простым моделям, содержащим оптимальное число параметров и для которых можно было бы построить аналитические решения.

При достаточно гладких начальных данных такой переход основывается на теории малого параметра, развитой в работах А.Н.Тихонова, М.И.Вишика, Л.А.Люстерника, А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова и др.

Аналитическое обоснование предельных переходов по малым параметрам для рассматриваемых математических моделей, описываемых начально-краевыми задачами для систем уравнений в частных производных параболического или гиперболического типов с сингулярными начальными условиями, нетривиально.

Поэтому реализованная в диссертации идея численных предельных переходов по малым параметрам и численной оценке скорости сходимости является весьма оригинальной и актуальной.

Специального исследования требует выбор разностной схемы, допускающей переход от неравновесной диффузионной модели, описываемой системой дифференциальных уравнений параболического типа, к неравновесной модели идеального вытеснения, описываемой системой дифференциальнгых уравнений гиперболического типа. Исследование по�