автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разрешимость ряда обратных задач для уравнений второго порядка.

РГ6 од

ШЩШ НШ УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕЛ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ

Па правах рукописи ВРАГОВ Андрей Владимирович

Разрешимость'ряда обратных задач для уравнений второго порядка.

Спецаашюсть 05.13.16- Пртзнешю шчяслятолъной техники,

математического дадэлировэшя г математических ш годов в научных исследованиях.

Автореферат на соискание учбной степени кандидата технических наук

КИЕВ 1993Г.

Работа выполнена в Вэвосжйрском государственном университета од. Ленинского хсомсомола.

I

Официальные оппонент

доктор физико-математических наук,, профессор Луиса А.Ю., кандидат технических наук Фуртач й.Э.

Ведаая организация

• Институт прикладной математики и даханншса г.Донецк.

баациа состоится " "__ 1993 г. в_час.

на заседании сноцаалазированного Совета Д 016,61.01 по заядаго диссертаций при Институте проблем моделирования'в энергетика АН Украащ (252680, ГСП, Киэв--164, ул. Генерала Наумова, 15).

С диссертацией можно ознакоматьоя в оаблаотеке Инстнзута про&иеы моделирования в енергетике АН Украины.

Реферат разослан " "_1993 г.

Учёный секретарь сдацаатсзированного совета Д016.61.01 - канд.техн.наук

Э.П.Семагина

ОСцая характеристика работа

Актуальность теш ,

Характерной чорто® современного НЕучко-тохкического прогресса является ентонсееннЯ рост энергоЗмких технологических процессов во всох сфэрах народного хозяйства, что приводит к увеличению масштабов добычи и эксплуатации тошшвно-внэргет:глоскях ресурсов, уменьшению и постепенному истоаенив их запасов.

Поэтому на первый план выходя? вопрос эффективного управления технологическими процессами с цолыэ уменьшения ■энергозатрат, который приводит к необходимости решения, обратных задач для УРЭЕН0135Й 3 частвих производных второго порядка. ИСКОМОЙ фуЛКЦВвЯ вффектнвного управления в этих уравнениях является неизвестная функция источника в правой части . Задачи такого типа относятся к классу обратных задач для уравнения второго порядка. Развитием творил краевых задач для уравнения смешанного типа явились работы М.А.Лазрентьева, И.Н.Векуа, ©ЛЬСрашсляд др. В этих работах оило указано на важность изучения уравнений смешанного тшэ, в частности з адата Тряксма, в связи с трансзвуковой газовой динамикой, мапштогидроданамичвсшшл течениями с переходом через скорость звука к скорость Альфена, с теорией бесконечно матах изгибаний поверхности, а также с безмомэнгаоД теорией оболочек о кривизной переменного знака и другими запросит кеханшга.

Иоследование уравнений смешанного типа имеет и значительный • математический интерес, так как при иг изучения ойгаше классические методы но всегда подходят, и поэтому приходится создавать коше метода для их изучения.С 80-ых годов были предложены поьыо подходы и методы построения единой теории краевых задач для

уранкешй смошшного тала. В частности для разрешимости tsksx

задач впервые прженЗн метод "е - регуляризации".

Вперено краевое задачи для уравнения составного тала

рассмотрены Ада?,аром. Е качество модельного уравнения состашого ,

типа ш бши предяоетнны уравнения ö

5Г ЛИ - О

Впоследствии эта проблема разв;шзлась в работах Sqostrand О., Бат-ozsi G.C., Салахктдпноза М.С., Джураева Т.Д.,Кожанова А.И.» я мнолюс других. Отметил, что в гшеупоыяаутых работах краевые условия косят локальный характер.. Теория нелокальных краевых задач по всей видимости, берЗт свой начало от работ Pico , ü.Ficons

Краевые условия называются нелокальными, если задается связь мезхду значениями следов решения и ого производных на различных частях границы области, а не сада эти значения .

Различным аспектам таор;и шлокачышх краевых задач посвящены работа А.В.Екцадзе , ¿.¿.Самарского , А.А.Дезияа, В.А.Ильина, Е.И.Ыоисвева, Г.Д.Коротопроклиева, А.Н.Терэховз, С.Н.Глазатова„ Н.О.Аламова, Базарова Д а многих другах учЭных.

К необходимости исследования нелокальных краевкх задач приводя? разнообразные модели,'воэезпшциэ при изучении ряда прикладных задач. Например, о различными 'процессами физики шшзш, вдагопореноса, решения обратных задач для уравнения теплопроводности . В теории нэлокальннх краевых задач для даффервнцйального уравнения, особенно дая уравнения смоганного типа, того огкритих и мало изученных проблем, представляпщзх как теоретический, так

и практически интерес. Среда шх отметал, нагттпмэр, широкий класо вопросоз, связшшх с полученном условий однозначной разрешимости и устойчивости, когда нелокальные краевые услозяя задамся срзау в двух граничнах или внутренних гиперплоскостях.

Одной из проблем является устпамешта связи между нелокальными задачами и обратньвпги задача-«!.

Под обратными задача».« поягаается постановка такого типа 5 дан класс доФФеревдиалъных уравнений, п для одного дкфГерэп-цяаяьшго уравнения »того класса задана оырэдэ-"вняая информации об решение одноа прямой задата. Требуется ш имеидийся информации найти диффорэнцнашюэ уравнение из данного класса.Кдасз доффорен-цгальпых уравнения задается конечным набором параметров или функций. Для лтэйных диМвренидальных уравнений неизвестными функциями, входящими в это уравнение, обычно являются коздащиенти или правая часть этого уравнения. Поэтому нахождение линейного дифференциального уравнения из данного класса дифференциальных уравнений сводится к нахоздешв его коэффициентов ила правой части этого уравнения.

Исследованию одпошршх и многомерных обратных задач, связанных с нахоядением правой части уравнений в частшх производных, были посвящены работы А.2.Дмирова,: и.Е.Лшссонова, Б.А.Бубнова, А,Л.Бухгеймав А.Д. Искандерова, А.И.Прялепко и др. к и некласснческш задачам для уравнений математической физики. Цель работы,

Целью настоящей диссертации является развитие теории эффективного управления объектами, описываемыми линейными и квазилинейными уравнениями второго порядка. Исследование ряда нелокальных краевых задач, возникающих при изучении прикладах

проблам и доказательство возможности их численной реализация с получением условия однозначной разрош&юсти и устойчивости. Удтодукй исследования .

В диссертации используются метода функидадького анализа с кссзльзозангем теорем влох&шя, метода аярзорша оценок,метода Талоркнна, метода вспомогательного оператора. При ксследованж ооратннх задач применялись: принцип сжатых отобракэний, метод последовательных приближений. Научная новизна

Разработан новы! метод эквивалентного сведения обратных задач математической С&зжи к нелокальным задачам, что позволило осуществить горех ; к их численной реализация.

Впервые доказаны теоремы существования , единственноста е устойчивости решим постановки обратных задач да классических к ноклассических уравнений второго порядка.

ИроЕЭденкне теоретические исследования дали возможность чнсленной реализации расчетов источников для эффективного управления процоссами, описываемые дашшык постановкой:.

Проведено теоретическое исследование управления га&одана-мичосгам рэгжом в сопле Лавам в линеаризованной постановке, показана необходимая взаимосвязь параметров для устойчивости: процесса. Практическая и теоретическая значимость

Полученные в диссертации результаты являются новыми к имеют теоретический и практический характер. Они могут быть использована для дальнейшей разработки теории нелокальных и обратных задач, а тахае при реванш, прикладных задач, щшводщах к таким постановкам

ртроСвщщ .работа

Осногою результата диссертации докладывались на семинаре "Обратшэ задачи математической физики " под руководством д.ф.-м.н. академика РАЯ М./¿.Лаврентьева (институт математики СО АН России),на семинаре кафедрн "Математические проблемы гоо^зкки"» под руководством член-кор. АН РАН В.Г.Розанова. (Новосибирский госуниворситет), на семинаре "Некласстгчесггае уравнения математической £цзеки" под руководством д.ф.-м.н. Врагова В.Н., а такта докладывались на Всесоюзной конференции "Диф^эрвздиалъше уравнения и оптимальное управление"(г.Аигабод Х990г), на ВсесоЕзноЯксифгреЕЦкк "Условно-коррехтние задачи математической ©гзш-аз и анализа" (Новосибирск 1992г), на конференции "Метода и средства прикладного моделирования" (Киев ЛПМвЭ 1993г), на конференции молодых учЗяшс на секции "уравнения матеггаипесша фазикн" Ленинград 1988Д963Г.,Тбилиси 1889г. Публвкащст

Основные результат диссертация опубликованы в работах

Теперь перэйдй.м зс краткому излогеш» настоязгей диссертация. Якссортшул состоит из введения, пяти глав и списка литература, содержащего 89 наименований.

Глава I состоит из двух параграфов.

В Я главы I рассматривается длфферешдальноэ уравнение эя.~ттпического типа второго порядка

и^х, г) ¿^(х, г) - а(х)и = Г(х, 1;)1Цх) (0.1.1)

где а(х) > а0 > О

в области 0 « (0,1)*В, где 1>- ограниченная область в пространстве

с границей Б « С4., п < 3 с боковой поверхностью Г =(0,Т)#5 к 70,7Т -соответственно низшее и верхнее основания цшгадра. Положил

Г, 1 € Ь2(0, Т:Я|(Ь)) ; ¡Г(х, !Е){ > В > О, Г(Х, 0) = £) » Ги(Х, 0) - 0 (0.1.2)

а е и|а>> ; ц, € Г''Л)) ; ср0, <р0 € Ь2(0, Т:Т?2 (в)) Ф0(х, 0) - £>{ф0(х. Т) - 0) - Т) = 0) - О

смешанная задача. Найти решение уравнения (0.1.1), удовлетворяющее слэдувдим условиям

и(х, 0) = и.^(х, 1) =0, Ф0 , ф0(х, 0) - ф0^(х, Т) = О (0.1.3)

Обратная задача. Найти функции и(хД),Ь(х) входящие в (0.1.1) удовлетворяющие краевым условиям (0.1.3) и дополнительному условию и(х, ф0(х, Г)=и,|г (0.1.4)

Теорема 0.1.1. Пусть выполнены предполозвдния на функцию и начальные условия(0.1.2). Тогда обратная задача (0.1.1)-(0.1.3) имеет решение в классе

и, и € Ь2(0), |а| с 2 ; и € ь£(0),|р| < 4 с г это решение единственно в данном классе. В §2 главы I рассматривается дшйроренциадьное уравнение эллиптического типа второго порядка

и^а,Ч) + ^(х, г) - а(х)и(х, г) - хкэдх). (о.х.Б)

ГДе а(Х) > а0 > 0.

в области 0 = гдэ К- ограниченная область в пространстве

К?1 с границей 8 , п 3 о боковой поверхпоотыо Г »(0,Т)*3 н То'Тт! ~С00Г35ТСТВенш и верхнее основания щшвдра.

Всвду ниш будем предполагать, что внполнены елвдувдив условия

, Г е Ь2(0, Т); КГ) •=» 0 ; (0.1.6)

га) > 0 . 1; € ГО, Т - 281 ; 1(1:) > 0 , г е ГТ - 28, Т - 0]

га) ■ о , * < и - в, и ; а<х> € , и, г

а тшежэ выполнено усложа согласования . ^и, П »¿(В).

Смешанная задача. Найти решение уравнения. (1.2.1) в области а , удовлетворять слодувдзм краевым условиям: и(х, 0) = иг(х, Т)= о , и(х, 1;)|р » о (0.1.7)

Обратная задача, Найти функции и(х, I) , 1г(х), входящие в (1.2.1), удовлэгворяхдаа краевым условиям (1.2.2) и дополнительному условию и(х, Т) •--- и, (х) (0.1.8)

При оделенных предположениях в работе выводится необходимое и достаточное условие для разрешимости обратной задачи (1,2.1)-(1.2.3)

(0.1.9) (ОЛЛО)

(0.1. И) (0.1.12)

Пусть шполдавы вшепршаденныэ условия па ко:х1Фэдионты и правуа часть уравнения (0.1.6),

Тогда, если выполнено условие (0.1.10), то существует и притом

в классах Ь:е Л »¿(Б); и е

будот однозначно найдена при условии: 0^. О Ьг-ноодаозпачно определена при условии:

*к * я 0

Решашш пот в случае Э . что а^* 0 , 0^ = 0.

единственное решение обратной задечаи. е w|(Q) , Ь. е П .Если газ выполнено у слоено (0.1.II), то обратная задача имеет бесконечное число решений.

В -случае ыяолнекия условия (0.1.12) обратная задача не имеет решения.

В глазе 2 рассматривается система гиперболических уравнений.

ufi. - ит„ - и__ « i(a) h(x,t) о <z< н ct -^х (0.2.1)

Vtt - Р VZZ ~ V7X = 0 Н <Z< E1

Где t €(0,ю), x €(-a,e), z €(0,Ш), Q =(-a,a)«(0,H) Будем искать ресенке системы уравнений (O.E.I), удовлетворяйте начально краевым условиям (0.2.2)-(0.2.7). u(u.z.z) = ut.0,x,a) = О (0.2.2)

V(0,X,Z) = vt(0,x,2) =0 (0.2.3)

u(t,a,a) = u(t,-a,z) = v(t,a,s) = T(t,-a,z) = О Ш.2.4)

u(t,x,E) = v(t,x,E) (0.2.5)

^(t.x.H) = p Ys(tfz,H) (0.2.6)

lyt.x.H,) = 7a(t,x,0) = 0 (0,2.7)

Обратная задача Найти u(t,x,z), v(t,x,z), b(x,t), ерли задано дополнительное условие u(t,x,0) «= t(x,t) (0.2.8)

и выполнено условие согласование i(a,t) = t(-a,t) = О Всюду пике будем считать,что выполнены следуодае условия (f(O)i > о > о ; i(a) е i2(0,Hi) (0.2.9)

Л EMM А С.2.1.

Пусть u(t,x,z), Y(t,x,ss), h(x,t) - решения обратной задачи (0.2.1)-(0.2.8). тогда справедливо слодупззе продставлэниэ

Mx.t) *[ttt(x,t) - тпИД) - *^e(t«x.0>J[r<0>]~1

Ж В M M А 0.2.2.

Если функции С (t). являются решонягаа в области Q задата j- a ы •

' + «en^K+ »£.) « И^río) - -

-а о

i^Ct.x.oJfeóx (0.2.10)

" W» " 0

из класса ^T^lC^t)! (0.2.II)

п

Тогда функции

и = Сщ^) ф,а(в,х),0<а<Н; v = £ ^(t) .^(ад), И <а<К,. ю, . ю.

H1

b<x,t} « j{0) jft^r.t) + f ^(2) ta У Cï)\^(0)j

О

являйся решениями обратной задачи (0.2.1 )-(0.2.3), где (¡■^(2,3) е ?уЦ[о,Н1 ]«[-«,является базисной фуЕКЦКеЙ.. Сема базисная фушалтл представлена в епдэ

(¡^ sin SK- gx(s)t я g^(ut) = 0, og^(s) =

С 1 0<п<н f ) о.

0 = {р Н<я<Н1 " {ESJ.U)} € n¿to.Hi 1

Л F. H M А 0.2.3 .

Локазать, что существует олипствояное регсешта задачи (0.2.10) из iu-яссэ (0.2.11) Т Е О Р S M А 0.2.

ЛУсть штоляеш условия (»), тогда существует единственное решение задачи (0.2.1) - (0.2.8) из классов u(z,?„t),v(x,s,t) € L[te(0,»);w¡(Q)]; h(x,t) е b[t€(0,«');^(-ata)]

Докьзательство теоремы напрямую следует из лет (0.2.1Ы0.2.3) В 3 главе в прямоугольнике Р= (0,Г)«(0,1) рассмотрим параболическое уравнение

ш - иг - и^. +а(хЛ)их + Ь(х,г)и « (0.3.1)

где известны Функции а(хД), ^ (х,г>, 12(х,г) , причем

^(х.1;) ^ О

Обратная задача

Требуется найти пару фушсциа (ц(х,г),Ы1;)) по слэдувдш начальным и краевым условиям

и(х,о) = и^х), и^о.г) = (■б), (о.э.2)

и(о,г) = гд^сг), и(1Д) « \ijit)

Всвду ниже предос^егаем, что выполнены условия согласования 1^(0) = и^О), 1^(1) = 1^(0), гц.о(0) =1^(0} Для доказательства разрешимости лшзйноа обратной задачи (0.3.2)-(0.3.2) мы предлагаем еквивалентноэ сведение обратной задачи к нелокальной задаче. С »той целью рассштрим нелокальную краевуи задачу .

Нелокальная краевая задача

Найти в области Р решение параболического уравнения од 13 ^ ~ °хх +«их»*>9х + 6(ЮС1 = 13(х,г) (0.3.3)

с начальными-условиями

<3(х,0) -Сии.О) « --(0.3.4)

^ Г, (Х.О)

и граничными условиями

(^(0,*) - о, <э(0,г) « 0(1,г) (о.з.Б)

Воспользуемся. известным результатом О.А.Ладыжинской СШ Теорема 0.3.

Пусть г3(х,1;) € С®°,а(Р) о < а < 1/г , тогда существует, и притом единственное, решение нелокальной краевой задачи (0.3.3)-

(0.3.5) из пространства Q(x,t) с с2+га,1+а(Р).

Далее, таи как след функции Q(x,t) определен при х = 0 , х - I ,

то введем функцию ®(x,t) » Q(x,t) - Q(0,t)

Ее трудно проверять , ч?о функция ffi(x,t) будет удовлетворять

уравнению

KD(X.t) = IÎQ(X, t) - ITQ(О,t) « r3(X,t) - Q'(O.t) - 6(t)Q(0,t) Тагам образом m иотн заключить, что решением обратной задачи (0.3.1)—(0.3.2) будут функции ^(x.t)= 0(x,t), п b(t)= Q(o,t)' + S(t)Q(0,t) Следствие I__

Условия на гладкость функции f3(x,t) можно значительно ослабить используя локальные свойства гладкости решения параболических уравнений.

В самом деле ш мокам предполагать, что функция f3(x,t) в области Рв я |(x,t) í Р, о <х< 1-е, 0 <t< Т где 0 <в< 1/2

принадлежащих классу Lg(P),a в области Р=Р\Р0 из класса cfia,a(V), то решение обратной задачи (0.3.1)-(0.3.2) существует ив класса тг|*1 (Р) И функция b<t) € С^Р).

Следствие 2

На основании вшеизлокенного мозшо заключить, что m могем доказать разрешимость в целом следукцей обратной задачи. Найти пару функций (u(x,t),h(x,t)) из уравнения Пи - u¡. - u^ + b(x,t)u = f^x.tWx.tH^d.t) (0.3.S)

где известии функция a(x,t), b(i,t), ^(x.t), í2(x,t) , причем 1,(х,*)*0

где решение удовлетворяет слодущим начальным в краевым условиям u(x,0) ■ \XqW, ^(O.t) = U(0,t) » U(1.t) = О (0.3.7)

где функция h(x,t) в классефунхций представима в виде

-/V-

h(x,t) - n;(t> - Bd.ton^t)

где функция f>(x.t) = f b(x,t) + a(x,t)b*_ _ + ill- ] L I i i j

известная функция . а функция h(t)- неизвестная.

Глава 4 • . •

К вопросу о разрешимости смешанной задачи для уравкешш смешанного типа второго порядка

В данной главе приводится постановка некоторых нелокальных и

обратных задач для уравнения смешанного типа второго рода. При

определенных условиях на коаМвдиенты и правую часть уравнения

доказывается корректность этих задач в пространстве С.Л.Соболзва.

В 51 главы 4 рассматривается дифференциальное урсвшхгае второго

порядка второго рода п

Lu « K(x,t)Ux+-yfa<4(x)iL L + a(x,t)u+ + c(x,t)u +

K(x,t)utt-ga^(x)uXi]Xi + a(x,t)ut

p(t) 1»Щ,ик - XCZ.t). • (0.4.1)

в области D = (O.T).fi , где Q - ограниченная область в п-морном

ешилдовом пространстве Rn, с достаточна гладкой гршшцой. Пусть выполнено одно из условий п

в) У»!^^ > а0Ш2 . е0>0, V£ с В11,

п

Всаду низ», будем предпологать, что К(х,0)*£(х,Т)=0 ©щкнеп K(x,t)€01(Z>), а1Ч(х)€Сг(П), a(x.t),c(%rt)(; С1(»)П0(») о < p(t) е сЧео.тп -1 < р < г/п-г при т&з ( р>-1 произвольно и конечно при п=1,2.) Из вышесказанного следует, что уравнение (0.4.1) относится к

уравнению смэзашого тала второго рода, Так-как на знак фугасщш Енутри области не- сделано никаких ограничения. Нелокальная краевая задача (Н.3.1.1.) Найти в областа V фушадаэ удовлетворяющую уравнению (0.4.1)

к следующим краевым условиям

ти| = и| (0.4.2)

|1=0 |^

и|в = 0 (0.4.3)

где в = » [0,ТЭ; в пространствах Г4|(Х>) и 1^(Г>),где р=р+2 Определенно 4.1.1.

Иазовйм фупкшш и<г,1;) регулярным решением задачи (4.1.1)-(4.1.3), если и€Сь и удовлетворяет уравнению (4.1.1) почти всюду в области V . ЛЕММ А 4.1.1.

Пусть выполнены вшзеуказанне условия для коэффициентов уравнения (4.1.1), пусть, кроме того, / Г где в случае

0)7€(1,-ио), в случае б)7С(0,1), такое, что выложены неравенства 2а-К1. + ХК>С>0; >,с-сг> б,> 0 ,

где функция с(хД) периодическая то переменной г о периодом Т, тогда для всех функций и(хД)' е Оь имеют кесто неравенства

К?1ф) + К^ф) <я N^(2?)

В 52 главы 4 рассматривается уравнение составного типа третьего порядка. Рассмотрим в области V семейство уравнения

Л"*в вл ~ xuotJ + ^ш (0-4-4> и

где В0ид . ^ + (х)^)^

е - достаточно малое положительное число. Отметим , что уравнение

вида (0.4.4) относится к классу уравнений!!: составного rana Исследование краевых задач для уравнений составного типа представляет большой интерес, особенно в многомерном случае. Ниже используем уравнение составного типа (0.4.4) в качество "е - регулярмзувдего" уравнения для уравнения (0.4.Í). Нелокальная краевая задача (Н.3.1.2) Найти регулярное роиэшэ уравнения (0.4.4) в области V и такое , что

TDH-0 - DH«T (0Ж5>

в 0 (0.4.6)

где д в 0,1,2.

Обозначим через С^ класс функций из пространства

Ж - ^ € «¡0»; ВЛ С Т^Ф), ^ € 1^(1»}

удовлатворяхщах условиям (4,2.2)-(4.2.3). Определение 0.4.1, Назовем функцию и^х,г) регулярным решвшии

Р Р

задачи (0.4.4)-(0.4.6), если ^(хД) € с^ , | и^ е 1^,(2?)

в ,. р/2 . р а , р/а ^ р 5Г(|%1 %) « V« ' %) * V1»

и ^(х.г) удовлетворяет уравнению (0.4.4) почти всюду в области V

В данном параграфе, методами функцнонального аналЕза о использованием теорем вложения, априорных, оценок, стащшаршш методом ГалЭркина, штодом вспомогательного оператора доказывается слэдуюцак теореиа Т Е О Р Е Ы Д 0.4.1.

Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (0.4.1) , пусть кроме того всюду в области О выполнены условия

2a - |Kt| > XK > 0 > 0; где функции o(x,t),a(x,t) периодические HO nepSKSEHOÄ t с периодом Т.

max ja^jlc^ | < min {О.афА} ; Xc-ot> О где A^ain? / T

a)Tí(I,+»), в случае 6)76(0,1) О'

к f. Ро(Т0), гдь Т0 = —- оператор с ооластыо определения состоящей

ив функций клаоса w|(l0,Tl, удовл&творяхдае периодически условии иах Jpt(t)| < 00 - min «W- T^ptT) - ß(0)

Тогда для лкЗой функции Г(х,t) такой, что r,ft 6 L¿W) 7f(X,0> = Г(Х.Т)

существует единственное регулярное решение задачи (0.4.4)-(0.4.6) В 53 главы 4 при тех ха условиях, что и в тэоремо 0.4..I, использование (0.4.4) в качестве "е - регуляризирувдого" уравнения для .уравнения (0.4.1) доказана однозначная разрэшмзсть задачи (0.4.1)-(0.4.3) ТЕОРЕМА .0.4.2

Пусть выполнены все условия теоремы O.4.1., тогда регулярное решение задачи (0.4.1)-(0.4.3) существует и единственное. В конце §3 главы 4 приводятся примеры, которые показывают, что условия на 7 при постановке нелокальной краевой задачи является существенным.

Замочапио 0.4.1. Для уравнения (0.4.1) в области V аналогично рассматривается задача ( в линейном случае )

flu

I** * U|t=T ОН |в = tí.^^i^le " 0

где в случае а)7€(1,+о>). в случае 6)76(0,1)

4.1. Периодическая задача

В области полозам D » (0,T)«Q , с достаточно гладкой грашц&й Ш рассмотрим уравнение (0.4.1) в случае p(t)=0. Напоят екая задача

Найти решение уравнения (0.4.1) в области удовлетворяющее условиям

U| = Ц| (0.4.9)

I to | t=í

U|B - О (0.4.10)

ТЕОРЕМА 0.4.3.

Пусть в области V выполнено условие

D&KI » DSKI ; р « 0,1. 1 it=o х |t«r

2<х - Kt + ЛК > 0 > 0 ; max a^d1^ < © 2Ac-ct + ctt> o1> о где A, > O

где функции-c(x,t),a(x,t) периода™ cí®a по переменной t с периодом Т. Тогда для любой функции í(z,t) € 1<¿(V) такой,

Г(х,0) - í (х,С) существует единственное регулярное реиею»

задачи (0.4.1 )-(0»4.9)-(4,4.Ю) кз пространства в|(0)

В {б рассматривается обратная задача для уравнения смешанного тнт второго порядка с нелинейным членом.

Преимущественно при исследовании обратных задач для уравнена математической: ©гаикн доказывались единотвенЕость и устойчивость ревеная. Вопросы существования оставались окфытша I73J. В

данпой работа в области V - (0,Т)»П , S = « СО,ТЗ В цвлзддрнтоскоа области D с if1 рассмотрим дифференциальное

уравнение второго порядка и

I/? я X(х,t)9tj (z>!Px1)гч + + +

|(?t|P(pt = h(x) l(X,t) (0.4.II)

Г'Я обратной задачей, мы понимаем нахоадепио вектор функция (<p(x,t),h(x)) удовлетворяющую уравнению (4,5,1) в области V по слодухгям краевым условиям

ТФ| = Ф| = ф0(з) (0.4.12)

1t=0 j t=T "

(р|в и О (0.4.13)

Решение обратной задачи проводится сведением задачи (0.4.11 )-(0.4.13) эквивалентным образом к нелокальной краевой задаче для одного уравнения смешанного типа второго порядка. Т Е О Р Б U А 0.4.4.

Пусть выполнены условия теоремы (0.4.2), тогда существует п 0Д1шстн9нно рогсзше обратной задачи (0.4.П)-(0.4ЛЗ) из слэдущй£ пространств ф(хД) с ; h(x) € й|(П).

В §6 р2сст.'.ат;пза9тся обратная задача для уравнения смеианпого таяа

второго порядка в линейное случае.

В области V рассмотрим уравнение п

L7 * K(x,t)Vtt-yfai(J(x)7x ) + a(x,t)Vt + c(x)V

я 1,(1; )h(X) + i2(x,t) (0.4.14)

Под обратной задачей, мы понимаем нахождение вектор функции (V(x,t),h(x)) удовлетворяющую уравнении (0.4.14) в области V по

-го-

следухсдам краевым условиям

уУ1 * VI •= 7П(Х) (0.4,15)

У|в « 0 (0.4.16)

Решение обратной задачи проводится сведением задача (0.4.14)-(0.4.16) эквивалентным образом к нелокальной краевой задаче для одного уравнения смешанного типа второго порядка. ТЕОРЕМА 0.4.5.

Пусть выполнена условия теоремы (0.4.2), а так ке выполнены следуйте условия ^(ЮА), ^(0) » Г4(Т) и функция с(х) зависит только от переменной х

К(хД)Гт(1;) а(х«,1;)Хп(1;)

0(Х)

+ с(х,1)

тогда существует и единственно, решение обратной задача (0.4.14)-(0.4.26)

В 57 изучается обратная периодическая задача дня уравнения смешанного типа второго порядка в линейном случае. Положим V - (0,Т)«П , 8 » 60 « С0.Т1 В цилиндрической области О с в11 рассмотрим даф&ереншаяьпоа

уравнение второго порядка и

IV - к(х,г)х + * с(х,г)У

« 1,ть(х) + £>(х,г> (0.4.17

Под обратной задачей, мы понимаем нахождение вектор фушш (7(х,4),11(х)) удовлетворяющую уравнению (0.4.18) в области V хк следующей краевьм условиям

Yi = 7 t-0

(0.4.18)

(O.i.19)

?0EQTBto обратной иэдачи проводится сведенном задачи (0,4.17)-(0.4.19) эквквйяонтгегм образом к нелокальной краевой звдачо для одного уравнения сдазошюго типа второго пот *лка. ПОРЕ И Л O.4.G.

Пусть выполка": условия тооромз 0.4.3» а таге ко саяол*«!?.: слодувда усдовая ^ (t)rt), 1,(0) = ^(f) и фугздия с(х) sai^vcvrr только от переменной

тогда существует и единственно репениэ обратной задач;! (0.4.17)-(0.4.19).,

В пятой главе рассмотрено приложение для постановок закач из главы четыре для гагодтшежкк-т, к вопросу о течения rasa через сопло Яаваля . Рассмотрена Еопросы существования и единственности решения-, а тан; же вопрос управления процессом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Проблема эффективного управления твхиологтаеаиш процессами, с целью уменьшения энергозатрат приводят к необходимости рсаонил обратных задач для уравнений в частных производах второго порядка. Искомой функцией еф|вктавпого управления в этих уравнениях является неизвестная функция источника в правой части . В случае звдач, связанных с трансзвуковой газовой динамикой, магаггогйдродшшагаесками течениями и др. воашасают вопроси необходимости изучения уравнений смешанного типа. Месл-штакте

т

ураънвнчз. смешанного типа, особенно, если задаЗтся связь между значениями следов решения н его производных на различных частях границы области, а не спта яти значения (нелокальные условия) иуэот значительный математический интерос, так как при та изучении обычные классические метода не всегда подходят. Одной из проблем является установление связи мекду нелокальными задачаш и обратными задачаш. Кроме того необходимо отметить широкий класс вопросов, связанных с получением условий однозначной разрешимости и устойчивости.

3 данной дузсертоциокной работе получены следуази». результата

1. Разработан новый метод эквивалентного сведения обратных задач математически физики к нелокальным задача?«, что дозволило осуществлять переход к их численной реализации.

2. Доказаны теорзьк существования, единственности и устойчивости резения вышеприведенной постановки обратной задачи для классического уравнения второго порядка эллиптического тиля.

3. Доказаин теоремы судоствоввник, единственности н устойчивости решения вышеприведенной постановки обратной задач;; дю» смот&ми уравнений I х»рого порядка гиперболического типа.

4. Доказаны теореш существования, единственности и устойчивости решения -вышеприведенной постановки обратной задачи для классического уравнения второго порядка параболического типа. Разработан алгоритм, приводящий задачу к численной роалкзацта.

5. Впервые доказаны теореш существования , единственности и устойчивости решения вышеприведенных постановок обратных задач для неклассических уравнений смешанного типа второго порядка, описывающих переход через скорость звука, скорость Альфона и многие другие сложные задачи.

-2.36. Проведенные теоретические исследования дали возмоеяость числэееой реализации расчетов источников для эффективного управления процессами описываемыми данными постановкам.

7. Проведено теоретическое исследование управления газодина-ьпкеским режимом в сопле Лаваля в линеаризованной постановке, показана необходимая взаимс вязь параметров для устойчивости процесса.

. Основное содержание диссертации опубликовано в слэду?лах работах

1 Врагов A.B. О разретюсти линейной обратной задачи для эллиптического уравнения.//Мехвузовский сборник научных .трудов. Новосибирск 1990 г.с.61-6в

2 Врагов A.B. Об одной обратной задачи' для эллиптического уравнения второго порядка.//Сборник тезисов докладов всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения к оптимальное управление" Ашгабад 1990г.с„42-43

3 Врагов A.B. О разрешимости и численной реализации одной обратной задачи для параболического уравнения.//Сборник тез. докладов всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" Новосибирск 1992г.0184

4 Врагов A.B. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения/ЛИвоция. Меадународаый' сборник по обратным задачам математической физики 1993г.(на англ. яз) (в печати Ботр)

Б Врагов A.B. О разрешимости квазилинейной обратной задачи для уравнения смешанного типа второго порядка.//Сб.науч.раО. "Некласгаиеские задачи математической физики" им РАН 1993г. (в печати 12стр)