автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разрешимость многомерных обратных задач для гиперболических уравнений

министерство по делам науки, высшей школы и технической политики рф

новосибирский государственный университет

На правах рукописи

МАКСУДОВ Рустам Зайнутдинович

УДК 51-73:550.3

РАЗРЕШИМОСТЬ МНОГОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК — 1993

Рабога выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор В. Н. ВРАГОВ

доктор физико-математических наук, доцент Б. А. БУБНОВ

доктор физико-математических наук, профессор В. В. КАТРАХОВ

кандидат физико-математических наук, доцент В. В. КОБКОВ

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН, г. Новосибирск.

Защита состоится « /0 1993 г. в /У часов

на заседании специализированного Совета К 063.98.05 при Новосибирском государственном университете ло адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ.

Автореферат разослан « » О1993 г.

Ученый секретарь специализированного Сов

Официальные оппоненты:

кандидат физ.-мат. наук

СЕРГЕЕВ-АЛЬБОВ

ОБДАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы, С увеличением размеров и скоростей сов -ременных матин и инженерных расчетов стзнопятся псе болса пая -ним реииния задачи математического моделирования, связанных с колебаниями. Хорошо известно, что только на осново теории колебаний могут быть полностью выяснены такиэ практические цажныо лроблечы, как уравновешивание ш»зин, кругияьинп колебания валоз я зубчатых передач, колебания турбинных лопаток и турбинных дисков, колебания рсльсового пут« к постов под действием движущихся грузов, колебания фундаментов.

Многие такие процессы, возникающие о естествознания и тохникз в математической постановке) описываются дифференциальным« уравнениями с частными произведениями второго порядка по времени н четвёртого порядка по пространственным переменный, и они относятся к прямым задачам математической физики. •

Наряду с решением прямых звдяу в практике рознмкввт так называемые обратные задачи математической физики. Многие ваяные прик-ладно вопросы, связанные с упругами смешениями, электромагнитными колебаниями, диффузионными и другими процессами приводят к обратным задачам. Различные постановки и методы исследования этих задач моя-но найти в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаярвнтьевя, A.C.Алексеева, Ю.Е. Аниконова, Б.Г. Романова, А.И.Нрияфтко, й.К.КирвЯтова, А.Л.Бух-геймз, Б.А,Дубнова, С.И.Кабанихина, Г.И.Ерохина и других авторов.

3

При о том в одномерно« случае были найдены необходимые и достаточные условия для корректности обратных задач, а для многомерного случая изучались вопросы единственности и устойчивости решений обратных задач, вопрос существования решений оставался открытым. Б связи о агам, представляет несомненно большой интерес исследование разрешимости некоторых из этих задач.

Актуальность темы диссертации состоит в том, что в ней рассматривается вопросы разрешимости, единственности и устой~ чивооти решений многомерных обратных задач об определении коэффициентов и правой части для линейных гиперболических уравнений, требуется определить классы функций, в которых обрат-пая задача будет корректна ш Адамару.

Цель работа. Исследование разрешимости многомерных обратных задач для линейных дифференциальных уравнений, второго по~ рядка по определению правых частей уравнений, коэффициентов и численное решение этих задач.

Методика исследования. В работе исдользувтся метод-, который основан на сведении рассматриваемых обратных задач к н©» линейным ингегр^дойеренциаяьным уравнениям и системам. В работе также пршленяютоА метода функционального анализа и метода чиоленного анализа.

Научна^ новизна. Вое результаты диссертации являются нош» ыи. В диссертация исс ледованы вопросы существования и единственности решения многомерных обратных задач об определении коэффициентов и правой части для линейных гиперболических уравнений, получены численные решения этих задач и указаны необходимые и достаточные уоловия корректности по Адамару.

Теоретическая л практическая ценность. В теоретическом отношении они продолжают развитие теории об рангах задач в прак-тичесхсом в области математического моделирования связашмх о колебаниями.

Апробация рзбрты. Основные результаты диссертации докладывались на семинара "Некяаосические уравнения гатематическоЯ физики" под руководством д.ф.ч.\и. профессора В.Н.Брагою (Институт математики СО РАН), на семинаре "Обрат:шо задачи математической физики" под руководством д.ф.-м.п. Б.Л.Бубнова(Новосибирский госутюерситет), на II конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (г..Новосибирск, КОВ г.), на Всесоюзной школе молодых учешгх "Функциональные методы я прикладной математике и математической физики" (г. Ташкент, 1580 г.), па ВсеоовзноЯ копференшш "Двфференциальнне уравнения п опти-иаяьноз управление" (г. Ашхабад, 1990 г.), а такие докладывался на научном семинаре Таи. ПИ под руководством к.Ф,-н.н. доц. Г.Н.Гаюбова.

Публикации. Осиовнне результат« диссертации опубликована в работах [1 - б] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав п списка литературы! содсртагсеЯ- Г>5 наименований, п иэлояеиа на .77 страницах нашнопкепого текста.

КРАТКОЕ С0ДЕЙШ51Й РАБОТЫ

Во введении, как обычно, дано изложение работ приникающих к теме диссертации, обосновывается актуальность "выбора и кратко описывается содержание диссертации.

Первая глава настоящей работах посвящена изучения прямых и обратных нелокальных краевых задач п задача Кошп для уравнена!! гиперболического типа второго порядка в специальных классах функций. Глава I состоит из трех параграфов.

В § I главы I рассматривается прямая нелокальная краевая задача в неограниченной цилиндрической области (- ^¡а&^х ^ - ограниченная, односвяэпая область в , с граввдей • (пни £) ~ П '¿^рассмотрим гиперболическое

уравнение

где X = йОП^ , I € £ ,

Нелокальная задача. Найтд I- областя У решение

щф

уравнения (I), удовлетворяющее условия?,! Теорема 1Л. Для любых функций

■таких, что

существует едвнотвевяое решение задачи (1)-(2) из класса ,

£±1 р-з

для которого справедлива оценка:

^ X РН «С-

(Ко" ж О— '

^ р

Доказательство теоремн следует из разрешмооти некоторой эквивалентной задачи, к которой сводится задача (1)-(2). Разрешимость зквшзадентиоЯ задачи получаем методом последовательных приближений о помощь» априорных оценок д теоремы вло-ештя.

Во втором параграфе рассматрл застоя обратная нелокальная краевая задача в неограниченной цилиндрической областл, доказывается однозначная разрешимость и оценки репстл задача (1мз).

Под обратной задачсП для уравнения (I) будем понимать задачу о нахокде'пш функций [{(.12) (где задап-ная функция).

Обратная, задача. Найгн функции Ь^ входящие в

(I) такие; что шпоянепа (2) к

{¿=т • сз)

• При выполнении- ус ловля |^ ^| ^

>0 обратная задача (1)-(3) эквивалентном образом сводится к нелокальной задаче в области (О^) для бесконечной сиотеш. иэлппеШшх гиперболических уравнения (где ¿(¿я) - преобразования Оурье по функции $ (£-,1 )

к -д\г-+сГ/лг =

Разрешимость задачи (4) - (5) доказывается в классах функций — о

В третьем параграфе рассматривается вопрос о корректности обратной задача для гиперболического уравнения в слециальннх классах функций, а именно доказываются теореыы существования, единственности и устойчивости.

В области = ХС5*0,у рассматривается урав-

нение:

и^Щ - ¿/¿)к(я) • <6)

где оС = >о.

Задача Кот, Найти в области Q решение Куравнения (6) удовлетворяющее условиям:

Ц| =и0(*),.ия1 =!£(*) (7)

/# = 0 /Х*£> *

Под обратной задачей.для уравнения (6) будем понимать задачу об определении функций 11(2,1), Ь(%) (где ¿(¿) - заданная функция, $((>)~0 ),

Обратная задача, Найти функции \Л(х^)1}1(х) входящие в (6), удовлетворяющие (7), и

(в)

Определим к лас о функций

Ь|о)-о, Ш'Л*

О" <ч» ф л .

Всюду ппхо будем предполагать, что выполнены следующие условия:

де^;,

* •

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие (10), тогда существует единственное решение обратной задачи (6) - .(8), которое принадлежит я классу указанного в (9).

Для доказательства теоремы в полупространстве рассматривается вспомогательная задача, решение которой гарантируется известными работами из теории гппегболпчеокпх уравнений.

Во второй главе рассматривается разрешимость многомерпоЭ обратной задачи дот гиперболического уравнения второго порядка. Указываются необходимое и при дополнительных прэдполоке-

вша достаточное условие единственности линейных обратных задач, а такке достаточные условия для однозначной разрешимости и ввдешштся классы функций, в которых поставленнне задачи корректны по Адам ару. Глава П состоит из двух параграфов. В § I второй главы в цилиндрической области - ограниченная, односвязная область в , с границей <?£ С ^рассматривается гиперболическое уравнение:

ии- Лл1£ + £(№ (п)

где

А = л ¿г ^

^ 2*? дК

iij= Sjt у -Ш *о, £ ¿Y&), H^-tZU^m^i + %J*)sihlKl l

Периодическая задача. Найти в области Q^ решение IXfyi) уравнения (II),. удовлетворяющее условиям •

Iii' + 1П =0, Ш = UI,

• Ii"О Ji^Xf (12)

Обратная задача. Найти функции J^j^J входящие в

(II) такие, что вшолнена (12) и

ч

«ute). (13)

¿=0 0

II,€ о,гт:ЦЩ )ь

Аналогично, как и в § 2.1 обратная задача (II) - (13) эквивалентным образом сводится к бесконечной системе нелинейных гиперболических уравнений, доказывается теорема единственности решений пра необходимо« и дополнительном адедпопоженаи.

В § 2 второй главы рассматривается гиперболическое уравнение вида:

гс,.-ал(та

(15) такие, что выполнено условие (16) и начальное условие

ш =1цх) . (г7)

11=0 0 •

и = £ (икМ + А'я^ ),

(к)

Обратив ходящие в '

Доказательство существования решения поставленной задачи разбито на ряд утверждений. В частнооти, для однозначной разрешимости требуется в работе выполнить следующее неравенство

■

где - целое положительное число.

В третьей паве рассматривается вопрос о разрешимости многомерной обратной задача дан гпссрбогяческого уравнения второго порядка в кхаоое периодических функций и кратко описываются алгоритмы реализации на ЭВЫ обратных задач. Здесь ке приводятся результаты расчетов в виде ..таблиц к рисунков.

В § I третьей главы в цилиндрической области(^*=

- известная, ) рассматри-

ваетоя пераодичеокая задача для уравнения вида:

где ¿А>еСх?аХ..

Обратная задача. Найти функции' и Ъ.(£)

входящие в (20) такие, что выполнено (21) ~ (23) и

(21) (22)

(23)

° ' (24)

Що) Ц./ФУКЪ

1С, 2\гс € С*{

Получено следующее утверждение

Теорема 3.1. Пусть выполнены'уз ловил (24) и

/ УнкРЛФ; «Г*,

где

т 1н\ == ш №г1-1сг4 / >0, =

Тогда существует единственное решение задачи (20) - (23), для которого справедливы оценки:

¡gübi,

о

Для доказательства теорема будем использовать метод последовательных вдцбдпгепий с помощью' априорных оценок, при предположении малости входных данных и теоремы вяогения.

Б заключение штор выракает глубокую благодарность своим '/ научшл руководителям д.ф.-ц.н., профессору В.И.Врагову п безвременно ушедиему из кизка д.ф.-ы.н., доценту Б.А.Бубнову эа постановку задачи и постоянное внимание .к работе.

■ Основные результат диссертация опубликованы .в. следующих работах: • ■

1. Максудов. Р.З. О нелокальной обратной краевой задаче для гиперболического уравнения// Материалы П конференции молодых учеши Сибири й Дальнего Востока. - Новосибирск, 1988.-С. 87 - 88.

2. Максудов Р.З. Еаэрешмоохь одной многомерной обратной задаче для гиперболического уравнения// Функциональные методы в прикладной математике я математической физики. - Ташкент,

1988 - (П часть). - С. ПО.

3. Максудов Р.З. Необходимые к достаточные условия раз- • решимости и многомерной обратной задачи для гиперболического уравнения// Неклассические дофференцпаяыше уравнения в частных производных: Сб. научи, тр./ АН СССР, Спб. отд-ние. Ин-т

иатештякн. - Новосибирск, 1988. - С. 69 -7?,

4. Максудов Р.З. Разрешимость одной обратной задачи для гиперболического уравнения// Математический анализ п дискретная математика: Сб. научнлр./ НГГ. Межвузовский сборник. ~ Новосибирск, 1989, - С. 70 - 73.

5. Максудов Р.З. О разрешимости многомерной обратной задачи для гиперболического уравнения в классе периодических функций// Дифференциальные уравнения н оптимальное управле-* 'нне. - Ашхабад, 1990, - С., 89 - 91.