автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели одномерных сред с конечными и бесконечными скоростями распространения возмущений

1. Введение

1.1. Краткий обзор современного состояния вопроса и цель диссертации

1.2. Сводка полученных в диссертации результатов по обобщенной и гладкой разрешимости обобщенной задачи Валле-Пуссена для вырождающихся систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной.

1.3. Сводка полученных в диссертации результатов по эффекту пограничного слоя.

1.4. Примечания.

2. Обобщенная непрерывная разрешимость обобщенной задачи Валле-Пуссена для вырождающихся гиперболических систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной

2.1. Постановка обобщенной задачи Валле-Пуссена для вырождающихся гиперболических систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной.

2.2. Локальная разрешимость обобщенной задачи Валле-Пуссена

2.3. Достаточные условия глобального существования и единственности непрерывного решения обобщенной задачи Валле-Пуссена.

3. Гладкая разрешимость обобщенной задачи Валле-Пуссена для вырождающихся систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной

3.1. Локальная гладкая разрешимость обобщенной задачи Валле-Пуссена

3.2. Достаточные условия глобальной гладкой разрешимости обобщенной задачи Валле-Пуссена.

4. Эффект пограничного слоя

4.1. Непрерывная зависимость обобщенного решения обобщенной задачи Валле-Пуссена от исходных данных.

4.2. Эффект пограничного слоя для вырожденных гиперболических систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной.

5. Примеры и приложения 146 5.1. Пример эффекта пограничного слоя.

1. Введение

1.1. Краткий обзор современного состояния вопроса и цель диссертации

Диссертация посвящена изучению математических моделей одномерных сред с конечными и бесконечными скоростями распространения возмущений.

Хорошо известно, что гиперболические уравнения и системы, как правило, используются при моделировании процессов, имеющих конечную скорость распространения возмущений. С математической точки зрения это соответствует тому, что характеристики соответствующих уравнений и систем не перпендикулярны оси времени. Тем не менее, в некоторых задачах физики твердого тела встречаются математические модели в виде уравнений с частными производными, которые по своему типу являются гиперболическими, для которых, однако, часть семейств характеристик перпендикулярна оси времени. При этом такие уравнения могут возникать непосредственно как математические модели физических процессов, а могут возникать и как промежуточные уравнения, получающиеся при анализе других, например, многомерных задач.

Так, например, при изучении движения жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью и текущей вдоль оси вращения с постоянной скоростью (так называемое винтовое течение), для давления возникает уравнение [4], [26], которое в линейном приближении (в безразмерных переменных) имеет вид:

N = 2, а ось вращения совпадает с осью х. При N = 1 то же самое уравнение описывает двумерные малые колебания идеальной невращающейся стратифицированной жидкости, текущей с постоянной скоростью перпендикулярно направлению стратификации [4], [53]. При решении уравнения (1.1.1) методом Фурье возникает уравнение:

1.1.1) а2 Л д

Здесь ak(t, х) - коэффициенты Фурье в разложении и{х, = ak(t, x)vk(y), к= по соответствующим собственным функциям Vk(y).

Уравнение (1.1.2) имеет два двукратных семейства характеристик, причем одно из них состоит из прямых t = const.

Примером задачи, в которой непосредственно возникают уравнения с характеристиками, перпендикулярными оси времени (для краткости, в дальнейшем будем называть такие характеристики горизонтальными), является задача о распространении одномерных (или сферически симметричных) ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме [4]. Это уравнение в безразмерных переменных имеет вид: д4 д2 д dt2dx2 dt2 дх где u(x,t) - интерпретируется как концентрация ионов. Это уравнение также имеет двукратное семейство горизонтальных характеристик.

Достаточно много уравнений с особенностями такого типа возникает в одномерной теории вязко-упругости. Так, при изучении колебаний сред типа гелей, описываемых реологическим соотношением Кельвина - Фойхта (это соотношение в стандартных обозначениях, принятых в реологии [22], имеет вид N\H), возникает уравнение:

7 дъ 7 д2 д2 д . . + " рдГ2и - 4tu = (1Л'4)

При изучении движений сред типа золей Лесерсичем [22] была предложена реологическая схема (N — (N\H))) которая приводит к уравнению: d4 7 <Э3 дъ ,д2 д

Ь2Ш^и + - aipWu -ы + aiTl)W2U - a«4tu = (LL5)

Такое же уравнение возникает и при изучении движений земной коры в соответствии и реологической схемой (iV|(iV — Я)), предложенной Джеф-фрисом [22].

Все предыдущие уравнения были линейными. Однако, в физике твердого тела могут возникать и квазилинейные уравнения. Примером может служить задача о распространении ионов примесей в кристаллической решетке под действием электрического поля [3]. Поскольку для нашей работы эта задача может рассматриваться как модельная, опишем ее несколько подробнее.

После преобразований система уравнений, описывающая эту задачу (в безразмерных переменных), имеет вид: ди ди ~dt = (1.1.6) д w = bush. Е — a—(uchE), дх (1.1.7) дЕ л ох (1.1.8) дV JP ох (1.1.9) где и означает концентрацию примеси, w - поток примеси,

Е - напряженность электрического поля, р - потенциал. Отметим, что для уравнений (1.1.8) и (1.1.9) семейства характеристик горизонтальны. Начальные и краевые условия для системы (1.1.6)-(1.1.9) задаются следующим образом: и(х, 0) = щ{х) = д(х), (1.1.10) tt(0,t)-rg(0,<) = 0> (1.1.11) u(£(t),t) = g(£(t)), (1.1.12)

E(£(t),t) = 0, (1.1.13) p(0 ,t) = <po, (1.1.14) 0, (1.1.15) где d(t) - неизвестная функция, определяющая положение правой границы области, задается уравнением: х=ф) £{t)

-ai(t)g'x(t(t)) + [au(x,t)chE(x,t)] -b f ushEdx

-mm) °-' (LL16)

Начальное условие для неизвестной линии l(t) имеет вид:

1.1.17)

Используя полученные в диссертации результаты, можно построить первое приближение для полученной системы уравнений. Из физического смысла коэффициентов а и b следует, что а « Ь, поэтому, пренебрегая в формуле (1.1.7) слагаемым с а, а также считая, что щ(х) = щ = const, получаем следующие формулы для первого прближения: при х = I.

Необходимо отметить, что в случае пренебрежения в формуле (1.1.7) вторым слагаемым дополнительные условия (1.1.11), (1.1.12), (1.1.15) ставить не нужно.

Таким образом, возникают математические модели одномерных сплошных сред, в которых часть возмущений распространяется с ограниченными скоростями, а часть - с бесконечными. Разумеется, такая модель (как, впрочем, и любая модель) является определенной идеализацией реальных процессов. Однако, при правильном анализе результатов не возникает противоречий. Например, уравнение теплопроводности также обладает характеристиками, перпендикулярными оси времени, что не мешает широкому использованию этого уравнения при математическом моделировании. По существу, в случае уравнения теплопроводности перпендикулярность характеристик оси времени есть следствие определенной идеализации, связанной с тем, что при выводе этого уравнения пренебрегают массой молекул вещества, а само вещество считают непрерывной сплошной средой. Таким образом, перпендикулярность характеристик оси времени может быть, например, результатом предельного перехода от случая характеристик с невертикальным расположением по отношению к оси времени.

1 ерщ(х-е0)

I ерщ(х-е0)

Для гиперболических систем квазилинейных уравнений вопрос о корректной разрешимости задачи в случае, когда часть семейств характеристик перпендикулярна оси времени, до настоящего времени был открыт, хотя к моделям такого вида, как указывалось выше, приводят различные задачи физики твердого тела.

В диссертации рассматривается вопрос о корректной разрешимости математических моделей упомянутого вида, а также исследуется вопрос о взаимосвязи моделей с характеристиками, перпендикулярными оси времени с моделями, часть характеристик которых близка к перпендикулярным. Оказалось, что в последнем случае возможен эффект пограничного слоя.

Гиперболические системы, у которых часть характеристик горизонтальна, будем называть вырожденными.

Теперь кратко коснемся истории вопроса.

Метод характеристик для систем квазилинейных гиперболических уравнений был рассмотрен Г. Леви [44] в его работе 1927 года. Позднее в работах А. Дуглиса [30] и Ф. Хартмана и А. Винтнера [37] рассматривались вопросы построения локального классического решения задачи Коши для гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными. Несколько иное доказательство этих же результатов приведено в книге Б.Л. Рождественского и Н.Н. Яненко [23]. Заметим, что все сказанное относительно квазилинейных систем относится к локальной разрешимости задачи Коши. Трудности, возникающие при построении глобального решения, связаны с возможностью пересечения характеристик и образования разрывов решения. Это явление, рассмотренное в довольно общем виде в работах П. Лакса [43] и Ф. Джона [33], можно назвать в некотором смысле типичным для квазилинейных гиперболических систем. В работе В.Э. Аболиня и А.Д Мышкиса 1960 года [1] рассмотрена смешанная задача для гиперболических систем полулинейных уравнений. В этой работе, в частности, были доказаны теоремы существования и единственности решения, а также о возможности построения глобального решения смешанной задачи. Позднее, в работах А.Д. Мышкиса и A.M. Филимонова [19], [20], [24] была рассмотрена смешанная задача для гиперболических систем квазилинейных уравнений, доказана теорема существования и единственности решения, а также получены достаточные условия глобальной разрешимости этой задачи.

Задаче определения решения, у которого имеется не заданная заранее линия разрыва, известной как задача Стефана, посвящена обширная литература. Пожалуй, наиболее близкой к теме диссертации является работа 1985 года К.Ю. Казакова и С.Ф. Морозова [6], в которой исследуется вопрос локальной разрешимости системы квазилинейных гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными в криволинейном четырехугольнике с неизвестной внутренней границей. В этой работе при достаточной гладкости исходных функций системы была доказана теорема о существовании и единственности в малом кусочно-гладкого решения смешанной задачи. Кроме того близкой к теме диссертации является работа В.М. Кирилича, А.Д. Мышкиса [7], в которой изучается обобщенная задача Стефана для одномерной полулинейной гиперболической системы. В работе доказана теорема о локальном существовании и единственности обобщенного (липшицева по обеим переменным) решения этой задачи.

С эффектом пограничного слоя также связана обширная литература. Упомянем только работы, которые непосредственно примыкают к теме диссертации. В книге 1990 года А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [2] отдельная

глава посвящена эффекту пограничного слоя для гиперболических систем, в том числе и квазилинейных, однако необходимо отметить, что характерной чертой работ, связанных с эффектом пограничного слоя для дифференциальных уравнений в частных производных является то, что малый параметр чаще всего стоит перед всей левой частью уравнения (или системы), т.е. перед всеми частными производными. Случай, когда малый параметр стоит только перед одной частной производной для гипербличе-ских систем полулинейных был расмотрен в работах О. Мауленова и А.Д. Мышкиса 1983, 1985 годов [16], [17], [18].

Структура работы. Диссертация состоит из пяти глав, первая из которых служит введением, заключения и списка литературы из 55 наименований. Все утверждения, формулы и рисунки имеют тройную нумерацию, при этом первое число указывает на номер главы, второе на номер параграфа и третье на порядковый номер внутри параграфа. Всего в диссертации 166 страниц, из которых на 8 помещены иллюстрации, а на 5 - список литературы.

Перейдем теперь к изложению результатов, полученных в диссертации.

1.2. Сводка полученных в диссертации результатов по обобщенной и гладкой разрешимости обобщенной задачи Валле-Пуссена для вырождающихся систем квазилинейных уравнений с одной пространственной переменной

В прямоугольнике П(Т0) = {(ж, t) |0 < х < 0 < £ < Т0}, где I > 0,Т0 > 0 - некоторые заданные константы, рассматривается квазилинейная гиперболическая система, записанная в инвариантах: ди,' ди~ \i(x,t,u, v)—- = fi(x,t,u,v), i = l,.,m, (1.2.1) qj{x, t, u, v), j = 1,. ., n, (1.2.2) где и = (ui,.,um), v =

Уравнения, задающие неизвестные внутренние линии, имеют вид:

Sj = rj(t,s(t),u(sj(t),t),v{sj(t),t)), j = l,.,n, (1.2.3) где s = (si,.,sn), а точка над как обычно, означает дифференцирование по t.

Начальные и краевые условия для системы (1.2.1)-(1.2.3) имеют вид: и(х,0) = а(х), 0 < х < £ (1.2.4)

Sj(0) = Cj, j = 1,. 0 < с, < i (1.2.5)

0,*) = «(<>,*))> * € 1% = {i|sgn(Ai(0,0,0,0)) = 1} (1.2.6)

Ui(e,t) = yf(t,u(e}t)), i G Iе. = {г|sgn(A,(£, 0,0,0)) = -1}. (1.2.7)

Дополнительные условия на неизвестных линиях имеют вид:

Vj(Sj(t),t)=l3,-(i), j = l,.,n, (1.2.8) где функции а = (аь ., ат), /3 = (fa,. 7? (« € т/ £ /1) и константы Cj (j = 1,., п) считаются заданными. Обозначим w — (u,v) и пусть max|uj|, |г>| = max |s| = max|sj|, |ги| — тах{Ы, |u|}. i j j

Далее введем в рассмотрение следующие множества:

D(Tq, Pq) = ЩТо) х {w\w € JRm+n, Iwl < Po},

D^Tq.Pq) = [0, Го] X {w\w G lRm+ra, M < Po},

P2(T0,P0) = [0, T0] x [0J]n x {w\w G \w\ < P0}, где [0,£f G Hn, a P0 = max{P0u, P»}, Pq > 0, Pq > 0 - некоторые константы, причем |u| < Pq, < Pq

Рассмотрим пространство IE непрерывных функций w : П(Т) —> lRn+m, причем функции (x,t) u{x,t) будем предполагать липшицевыми по x,t, а функции (x,t) —у v(x,t) - липшицевыми по х. Пусть Ео(Т) - шар ||u>|| < Ро в этом пространстве.

Здесь обозначено ||гу|| = max{||u||; ||v||}. Под нормой функции u(x,t) понимается равномерная норма, а норма функции v(x,t) вводится следующим образом: г;|| = ma,xma,x{max(\vj(x,t)\exp(—H(cj — RT — х))), max\vj(x, i)|, з Щ Щ max.(\vj(x,t)\exp(—H(x — Cj — RT)))}, где H > 0 некоторая константа, а через D®, Dc- и Dj обозначены следующие множества: если Cj ф 0 и ф £, то для таких j положим

D°j = {(x,t)e П(Т)|0 < х < Cj — RT] 0 < t < Г},

Dj = {(x,t) E Tl(T)\cj + RT < x < t\ 0 < t < T}, D] = П(Г) \ (D°j U Dj) = {{x, t) E П(Т) | Cj -RT <x<Cj + RT-,0<t<T} если же Cj — 0, то полагаем

D] = 0,

Dj = {(ж, t) E ЩТ)\ц + RT < x < 0 < t < T}, D) = П(Г) \ Dj. аналогично поступаем при Cj = I.

Через IEi(T, L) обозначим множество функций (u,v) E Eq(T) таких, что константы Липшица для функции (x,t) u(x,t) (по x,t) и для функции (x,t) v(x,t) (по х) ограничены сверху величиной L > 0. И, наконец, обозначим E2(T,L,P) = {w е ЕДТ,!) | max{||u||, ||u - а(ж)||} < Р}, где Р = max{Pu,Pv}, Ри : 0 < Ри < (P0U - max \\а(х) ||), Pv - некоторые константы, причем ||гг — а(ж)|| < Ры, \\v\\ < Pv.

Определение. Назовем непрерывным обобщенным решением задачи

1.2.1)-(1.2.8) липшицево решение соответствующей системы интегро-операторных уравнений, полученной интегрированием системы (1.2.1)

1.2.2) вдоль характеристик, причем функция и является липшицевой по x,t, а функция v - липшицевой по х.

Локальная разрешимость смешанной задачи.

Пусть выполнены следующие предположения:

А1. В области D1(Tq, Pq) для % = 1,., т выполнено sgn(A^(0, t) и, v)) = const, sgn(Aj(^,t,ti,v)) = const. (1.2.9)

А2. Функции Xi(x, t, w), fi(x, t, w) для % — 1 ,.,m, qj(x,t,w) для j — 1,., n, определены в области D(To, Po), а функции r3(x, t, w) для j = l,.,n определены в области D2(Tq, Pq). Все эти функции ограничены по модулю некоторыми константами A, F, R,Q соответственно. Кроме того функции qj(x,t,w) для j = 1,., п непрерывны по t.

A3. Существуют неотрицательные, суммируемые на [0, Го] (и [0,£] соответственно) функции Ai(t), A2(t), Fi(t), F2(t), Ri{t), R>2(t), (Q2(x), причем Q2(x) кроме того суммируема в квадрате) такие, что почти для всех t G [О,Г0] (х G [0,/)) при (xht,Wl) G £>(То,Ро), (x2,t,w2) G D(T0,P0), (x\t,wi) Е Г>2(Г0,Р0), (x2,t,w2) G D2(Tq, Pq) (и при (M,™i) € D{T0,PQ), (ж, t, u^) G D(To, Pq) соответственно) для г = 1,.,гаи17 = 1, .,n выполняются неравенства wi) - \i(x2,t,w2) \ < Ai(t)\xi -x2\ + A2W|u;i - w2|, si,i, tui) < PiMl^i - x2\ F2(t)\w1 - w21, rj(я;1, t, wi) - rj(x2,t,w2)\ < Ri^x1 - x2\ + R2(t)\wi - w2|, q<j(x,t,wi) - t, w2)\ < Q2[x)\wi - «721, (1.2.10)

A4. Функции Ai(x,t,w), fi(x,t,w), qj(x,t,w) измеримы в области D(Tq, Po), а функции rj(x,t, w) в области D2(Tq, Pq) для всех г = 1,., m и j = 1,., n соответственно.

A5. Выполнены условия согласования нулевого порядка

7?(0,а(0)) = а<(0), г G

7f(0,а(£)) = аг(£), i G Il. (1.2.11)

Аб. Функции (x,t,u,v) —у qj(x,t,u,v), j = 1,. ,п не зависит от тех vk, для которых cfc су.

А7. Функции rj(t,0,u,v) > 0 при Cj = 0, а при Cj = £ пусть rj(t, £, и, v) < 0.

А8. Пусть существует неотрицательная суммируемая на [0, функция т —М(г) такая, что qj(x,t,w)\ <M{x){l + \u\ + \v\), j = l,.,n.

Кроме того предположим что квадрат М(т) тоже является суммируемой функцией.

А9. Функции х —»■ оц(х), г = 1 липшицевы с константой А\ и ограничены по модулю сверху константой А.

А10. Функции {t,u) 7f(t,u) (г E ij), (t,u) 7/M (г б /!), t /Зу (t) будем предполагать локально липшицевыми по t, и с константами ГЬГ2 и В\ соответственно.

All. Пусть тf (£, и), г Е не зависит от тех для которых & (Е а 7/(£, и), г <Е не зависит от тех для которых к Е /1. Пусть Т Е (0, То].

А12. Существуют такие постоянные £о 6 (0>-0 и Ао > 0, что все значения Ai(x,t,w)(i Е /+) при 0 < х < £q и — Аг(ж, w)(i Е /f) при £ — sq < х < I не меньше величины Ао при (£, w) Е Z^1 (То, Ро)

Теорема 2.2.1. При выполнении условий А1-А12 для любых достаточно больших констант L > О, Н > 0 найдется такое, достаточно малое Те (0, То], что в шаре IE2(T, L, Р) существует и единственно непрерывное обобщенное решение задачи (1.2.1)-(1.2.8).

Глобальная единственность и существование обобщенного решения.

Теорема 2.3.1. При выполнении условий А1-А12 в прямоугольнике П(То) может существовать не более одного непрерывного обобщенного решения.

Далее, естественно возникает вопрос о возможности построения глобального решения поставленной задачи. Можно строить решение во всем П(То) шагами по t, пользуясь при этом на каждом шаге доказанной теоремой 2.2.1, а именно если Т1 < То, то перенесем начальный момент времени в точку t = Т1. Применив теперь теорему 2.2.1 вновь получим решение системы (1.2.1)-(1.2.8) для некоторых Т2,Ь2. Далее если Т1 + Т2 < Т0, то проделаем эту процедуру снова и т.д. Поскольку с каждым таким шагом величина константы Липшица возрастает, а величина Тп обратно пропорциональна L, то ряд ^ Тп получается, вообще говоря, сходящимся, и таким способом мы не сможем исчерпать весь прямоугольник П(То). Тем не менее, при некоторых дополнительных предположениях о монотонности исходных данных глобальная разрешимость имеет место.

Пусть выполнены следующие предположения:

В1. Функции A i(x,t,u,v)(i = 1, .,m) являются неубывающими по х, и, v при каждом фиксированном t.

В2. Функции 7®(г Е /£), 7/(г Е /1) не зависят от и, таким образом можно считать, что константа Г2 = 0.

ВЗ. Функции ai(x)(i — 1,., m) являются неубывающими.

В4. Функции 7Е /+) являются невозрастающими, а функции 7i{t)(i Е - неубывающими функциями t.

В5. Функции fi(x,t,u,v)(i = 1 ,.,m) являются неубывающими по xyuyv при фиксированном ty причем fi(x, t, и, v) > 0, г е /+, (х, £, и, v) Е Т>(Т0, 00) fi(x,t,u,v) < 0,г Е ii, (x,t,u,v) G D(T0,oo), если же г ф 1+ U/i, то на знак fi(x, t, и, v) ограничения не накладываются. В6. Функции qj(x,t,u,v) > 0(j — 1,. , п) при (x,t, u,v) G D(Tq, oo). B7. Существует неотрицательная непрерывная на max{[0, То]; [0, ■£]} функция M(t) такая, что в области D(Tq,oo) выполняются неравенства: fi(x, t, щ f)| < M(t)( 1 + Н), г = 1,., m;

Кроме того пусть функция М(т) из условия А8 непрерывная.

В8. Предположим, что функции Ai(t), А2(£), Fi(t), F2(t), -^2(£), фгСя) ограничены сверху соответственно константами Ai, Л2, Fi, F2,

В9. Пусть для функций j = 1,., п функция M(t) удовлетворяет следующему равенству: M(t) = pt, где р > 0 - некоторая константа.

Теорема 2.3.2 Пусть выполнены условия А1-А12 и В1-В9, тогда обобщенное непрерывное решение задачи (1.2.1)-(1.2.8) существует во всем П(То), кроме того оно является функцией неубывающей по х.

Замечание. Решение строится шагами по t, однако в условиях теоремы

2.3.2 ряд Y1 Тп будет расходящимся и, тем самым, мы сможем исчерпать весь прямоугольник П(То).

Локальное существование и единственность гладкого решения смешанной задачи.

Пусть выполнены следующие предположения:

А13. Функции Лi(x,t,w), fi(x,t)w),ai(x), i = 1,., m, 7f(t,u) (г G J0), 7i{t,u) (г G Jt), qj(x,t,w),rj(x,t,w),j3j(t) (j = l,.,n) непрерывно дифференцируемы в тех областях, в которых они были определены, а кроме того, Ai и fi удовлетворяют условию Липшица по t с некоторыми константами Аз и F3 соответственно, a qj удовлетворяет условию Липшица по t с константой и по х с константой Qi и пусть $2^ < 1- Пусть, наконец, функции fi(x,t,w), Ai(x,t,w)(i = 1,. .,m), rj(x,t,w)(j = 1,. ,71) удовлетворяют тому же условию, что и функции qj(x,t,w)(j = 1,., п) в условии Аб, а кроме того предположим, что функции qj(x, t, w) (j = 1,., n) не зависят от тех и к для которых ф cj.

А14. Частные производные (« = =

1,., п) удовлетворяют условию Липшица в области П(Т) U Ео(Т) по переменным x,t,w соответственно с константами Fj^F^F^, кроме того все эти производные ограничены сверху по модулю константой F1. Обозначим: Fi = max{Fb F2, F3, F}, F2\ F31}, F = max{F, F1}.

А15. Частные производные (Аг-)'ж, (At-)J, (А^., (А^ (г = 1,., m; j = 1,. ,п) удовлетворяют условию Липшица в области П (Т) U Ео (Т) по переменным x,t,w соответственно с константами Л{,Лз,Л2, кроме того все эти производные ограничены сверху по модулю константой Л1.

Обозначим: Лх = тах{Ль Л2, Л3, Л}, А2, Л3}, А = тах{Л, Л1}.

А16. Частные производные (q^ (qj)'t, (qj)'Vj, (qj)'u. (г = 1,., га;; =• 1,. ,п) удовлетворяют условию Липшица в области П(Т) U JEo(T) по переменным t,w соответственно с константами Q\-,Q\, кроме того все эти производные ограничены сверху по модулю константой Q1.

Обозначим: Q\ = max{Qi, Qh Ql}> Q = max{Q, Q1}.

A17. Производные о:[(х) (i = 1,. ., m) являются липшицевыми с константой А\ при 0 < х < I.

Обозначим: А1 = max |аг'(:г)|, А\ = max{Ai,A\}; А = тах{Л, А1}.

А18. Производные /3j(t) (j = 1,., п) являются липшицевыми с константой В\ при 0 < t < Т.

Обозначим: В1 = max ШВх = тах{Въ Б}}; В = тах{В, В1}.

А19. Частные производные (7Р){, (7г% (г Е (уеХ (7г% (i € f^jE/l) удовлетворяют условию Липшица в области [О, Т] U 1Ео(Т) по аргументам t и и соответственно с константами Г} и Г2.

Обозначим: Г = ^ ^^ШИ^У , 1(т/Ш(т?)У }, & = max{i?i, R2}

А20. Выполнены условия согласования первого порядка: (7г°);(0,а(0)) + ^(7?)'Ц;(0,а(0))х х [/,■(0, 0, а(0), и(0,0)) - Aj(0,0, а(0), «(О, 0)Ц(0)] -- /г(0,0, а(0), г>(0, 0)) - Af(0, 0, q(0),v(0, 0))oJ(0), г Е (1.2.12)

7^(0,аИ) + ^(7г%(0,аМ)х х О, а(£), v(t, 0)) - А;-(£, 0, a{l),v{t, 0Щ(£)] = = /i(^0,aW,v(A0))-A<(i,0,a(£)Jt;(£,0))a5(Q, г Е /£; (1.2.13)

Здесь, значения функции v(x, t) в точках (0,0), 0) находятся из решения системы

Vj{x, 0) - Д-(0) + j qj(S, 0, <*(£), t;(£, j = 1,., п.

Существование и единственность решения этой системы, а также сходимость итерационной схемы следует из теоремы 2.2.1.

А21. Пусть существует неотрицательная непрерывная функция г —» М1{т) такая, что qj)'t(x, t,w)| < М1{х){ 1 + |u| + Н) j = 1,., п; qjyUi{x, t,w) | < Ml(x){ 1 + |u| + И) j = 1,., n, i - 1,., m

Кроме того предположим, что функция М(т) из условия А8 непрерывная.

Рассмотрим пространство ]Ео(Т) вектор-функций w = (и, и1, v, v®) : П(Г) К2™+2гг, где и = {иъ.,ит), и1 = v = {vb.,vn), t>(2) = ., v^), причем каждая компонента вектор-функций и, и1 и v является липшицевой по обеим переменным, а каждая компонента вектор-функции г/2) является липшицевой по ж, причем (u>v) 6Е Ео(Т) и кроме того v липшицева по t. Пусть выполнены условия:

И1 = тах{||«4|, Цг-ЙЦ} < Р}, v^x,t) = Ц^Ц < Q, здесь Pq — maxiPdy, Pqv}, Pqu, Pqv - некоторые константы, причем Ml < Pqu, ||г/2)|| < Pqv, кроме того будем считать, что Q < Pq1, j j гх1 j [ = max\u}\,

2)|| = maxmax{max \vf\x, t)\e~H^Cj~RT~x\ max \vf\x: £)|, j Щ Щ nmx\vf\x,t)\e-H^-RT)} Обозначим Po = max{Po,P0 }, ||гй|| = тах{||ги||, Цго ||}. у w у

Обозначим через Ех(Г, L) множество функций w Е IEo(T), для которых константами Липшица по ж и t соответственно служат L для u, v] для и1,?/2) (для функции v^ липшицевость только по х). Наконец, в пространстве Ei(T, L) рассмотрим шар Е2(Т, L, Р, Р ), состоящий из функций w таких, что max{|| u(x,t) — ск(ж)||, \\v(x, t)||} < Р, max^u1^) - аЧ*)||,||^2)(М)||} < Р\ где Р1 = max{Ptt1,Pu1}, ^ некоторые константы, причем Цгг1^,^ — а/(я)|| < Pj, Цт/2^,t)jj < Pj и P1 > max.{Al,B1}.

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия А1-А21, тогда для достаточно малого Т > 0 и достаточно больших 1>0иЯ>0в шаре

2(Т, L, Р, Р1) существует и единственнена функция w = (u, #) такая, что в П(Г) функция гу(гс, t) = (и(х, t), v(x,t)) является непрерывно дифференцируемой по обеим переменным и, кроме того, удовлетворяющей системе (1.2.1)-(1.2.2) в классическом смысле, причем их = и1, vt = v^.

Замечание. Заметим здесь, что для того чтобы решение задачи (1.2.1)-(1.2.8) было классическим не нужно требовать существования непрерывной производной функции v по t. Поэтому, если с самого начала изучать вопрос существования классического решения задачи (1.2.1)-(1.2.8), то условия, описанные в этом параграфе можно ослабить, а именно: в условии А13 не требуется накладывать на функции fi,Xi и rj условия аналогичные Аб, кроме того не нужно требовать независимости функций qj от тех Uk для которых Ck ф Cj.

Глобальное существование и единственность гладкого решения смешанной задачи.

В данном случае, как и в теореме 2.3.2, решение во всем прямоугольнике

П(То) строится шагами по t и при некоторых дополнительных условиях соответствующий ряд Y1 Тп расходится, что и обеспечивает возможность построения решения во всей области.

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия А1-А21 и В1-В9. Кроме того пусть функции (qj)'x) (qj)'Uk, (qj)'v. удовлетворяют условию Липшица по х. Тогда гладкое решение задачи (1.2.1)-(1.2.8) существует и единственно во всем П(То) и является функцией неубывающей по х.

Общее замечание. Доказательство теорем 2.2.1, 2.3.2, 3.1.1, 3.2.1 основано на принципе сжимающих отображений. Необходимо отметить, что в теореме 2.2.1 сжимающими свойствами обладает квадрат соответствующего интегрального оператора, в теореме 2.3.2 - первая степень оператора, в теореме 3.1.1 - куб оператора и, наконец, в теореме 3.2.1 - вторая степень оператора.

1.1. Краткий обзор современного состояния вопроса и цель диссертации

Диссертация посвящена изучению математических моделей одномерных сред с конечными и бесконечными скоростями распространения возмущений.

Хорошо известно, что гиперболические уравнения и системы, как правило, используются при моделировании процессов, имеющих конечную скорость распространения возмущений. С математической точки зрения это соответствует тому, что характеристики соответствующих уравнений и систем не перпендикулярны оси времени. Тем не менее, в некоторых задачах физики твердого тела встречаются математические модели в виде уравнений с частными производными, которые по своему типу являются гиперболическими, для которых, однако, часть семейств характеристик перпендикулярна оси времени. При этом такие уравнения могут возникать непосредственно как математические модели физических процессов, а могут возникать и как промежуточные уравнения, получающиеся при анализе других, например, многомерных задач.

Так, например, при изучении движения жидкости, вращающейся с постоянной угловой скоростью и текущей вдоль оси вращения с постоянной скоростью (так называемое винтовое течение), для давления возникает уравнение [4], [26], которое в линейном приближении (в безразмерных переменных) имеет вид:N = 2, а ось вращения совпадает с осью х. При N = 1 то же самое уравнение описывает двумерные малые колебания идеальной невращающейся стратифицированной жидкости, текущей с постоянной скоростью перпендикулярно направлению стратификации [4], [53]. При решении уравнения (1.1.1) методом Фурье возникает уравнение:дх2(1.1.1)гдеа2 Л д2Здесь ak(t, х) - коэффициенты Фурье в разложенииоои{х, = ak(t, x)vk(y), к=1по соответствующим собственным функциям Vk(y).

Уравнение (1.1.2) имеет два двукратных семейства характеристик, причем одно из них состоит из прямых t = const.

Примером задачи, в которой непосредственно возникают уравнения с характеристиками, перпендикулярными оси времени (для краткости, в дальнейшем будем называть такие характеристики горизонтальными), является задача о распространении одномерных (или сферически симметричных) ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме [4]. Это уравнение в безразмерных переменных имеет вид:д4 д2 д2 dt2dx2 dt2 дх2где u(x,t) - интерпретируется как концентрация ионов. Это уравнение также имеет двукратное семейство горизонтальных характеристик.

Все предыдущие уравнения были линейными. Однако, в физике твердого тела могут возникать и квазилинейные уравнения. Примером может служить задача о распространении ионов примесей в кристаллической решетке под действием электрического поля [3]. Поскольку для нашей работы эта задача может рассматриваться как модельная, опишем ее несколько подробнее.

Необходимо отметить, что в случае пренебрежения в формуле (1.1.7) вторым слагаемым дополнительные условия (1.1.11), (1.1.12), (1.1.15) ставить не нужно.

Таким образом, возникают математические модели одномерных сплошных сред, в которых часть возмущений распространяется с ограниченными скоростями, а часть - с бесконечными. Разумеется, такая модель (как, впрочем, и любая модель) является определенной идеализацией реальных процессов. Однако, при правильном анализе результатов не возникает противоречий. Например, уравнение теплопроводности также обладает характеристиками, перпендикулярными оси времени, что не мешает широкому использованию этого уравнения при математическом моделировании. По существу, в случае уравнения теплопроводности перпендикулярность характеристик оси времени есть следствие определенной идеализации, связанной с тем, что при выводе этого уравнения пренебрегают массой молекул вещества, а само вещество считают непрерывной сплошной средой. Таким образом, перпендикулярность характеристик оси времени может быть, например, результатом предельного перехода от случая характеристик с невертикальным расположением по отношению к оси времени.1 ерщ(х-е0)I ерщ(х-е0)Для гиперболических систем квазилинейных уравнений вопрос о корректной разрешимости задачи в случае, когда часть семейств характеристик перпендикулярна оси времени, до настоящего времени был открыт, хотя к моделям такого вида, как указывалось выше, приводят различные задачи физики твердого тела.

В диссертации рассматривается вопрос о корректной разрешимости математических моделей упомянутого вида, а также исследуется вопрос о взаимосвязи моделей с характеристиками, перпендикулярными оси времени с моделями, часть характеристик которых близка к перпендикулярным. Оказалось, что в последнем случае возможен эффект пограничного слоя.

Гиперболические системы, у которых часть характеристик горизонтальна, будем называть вырожденными.

Теперь кратко коснемся истории вопроса.

Метод характеристик для систем квазилинейных гиперболических уравнений был рассмотрен Г. Леви [44] в его работе 1927 года. Позднее в работах А. Дуглиса [30] и Ф. Хартмана и А. Винтнера [37] рассматривались вопросы построения локального классического решения задачи Коши для гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными. Несколько иное доказательство этих же результатов приведено в книге Б.Л. Рождественского и Н.Н. Яненко [23]. Заметим, что все сказанное относительно квазилинейных систем относится к локальной разрешимости задачи Коши. Трудности, возникающие при построении глобального решения, связаны с возможностью пересечения характеристик и образования разрывов решения. Это явление, рассмотренное в довольно общем виде в работах П. Лакса [43] и Ф. Джона [33], можно назвать в некотором смысле типичным для квазилинейных гиперболических систем. В работе В.Э. Аболиня и А.Д Мышкиса 1960 года [1] рассмотрена смешанная задача для гиперболических систем полулинейных уравнений. В этой работе, в частности, были доказаны теоремы существования и единственности решения, а также о возможности построения глобального решения смешанной задачи. Позднее, в работах А.Д. Мышкиса и A.M. Филимонова [19], [20], [24] была рассмотрена смешанная задача для гиперболических систем квазилинейных уравнений, доказана теорема существования и единственности решения, а также получены достаточные условия глобальной разрешимости этой задачи.

Задаче определения решения, у которого имеется не заданная заранее линия разрыва, известной как задача Стефана, посвящена обширная литература. Пожалуй, наиболее близкой к теме диссертации является работа 1985 года К.Ю. Казакова и С.Ф. Морозова [6], в которой исследуется вопрос локальной разрешимости системы квазилинейных гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными в криволинейном четырехугольнике с неизвестной внутренней границей. В этой работе при достаточной гладкости исходных функций системы была доказана теорема о существовании и единственности в малом кусочно-гладкого решения смешанной задачи. Кроме того близкой к теме диссертации является работа В.М. Кирилича, А.Д. Мышкиса [7], в которой изучается обобщенная задача Стефана для одномерной полулинейной гиперболической системы. В работе доказана теорема о локальном существовании и единственности обобщенного (липшицева по обеим переменным) решения этой задачи.

С эффектом пограничного слоя также связана обширная литература. Упомянем только работы, которые непосредственно примыкают к теме диссертации. В книге 1990 года А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [2] отдельная глава посвящена эффекту пограничного слоя для гиперболических систем, в том числе и квазилинейных, однако необходимо отметить, что характерной чертой работ, связанных с эффектом пограничного слоя для дифференциальных уравнений в частных производных является то, что малый параметр чаще всего стоит перед всей левой частью уравнения (или системы), т.е. перед всеми частными производными. Случай, когда малый параметр стоит только перед одной частной производной для гипербличе-ских систем полулинейных был расмотрен в работах О. Мауленова и А.Д. Мышкиса 1983, 1985 годов [16], [17], [18].

Структура работы. Диссертация состоит из пяти глав, первая из которых служит введением, заключения и списка литературы из 55 наименований. Все утверждения, формулы и рисунки имеют тройную нумерацию, при этом первое число указывает на номер главы, второе на номер параграфа и третье на порядковый номер внутри параграфа. Всего в диссертации 166 страниц, из которых на 8 помещены иллюстрации, а на 5 - список литературы.

Перейдем теперь к изложению результатов, полученных в диссертации.

Заключение

В работе изучена корректность нового класса задач моделирующих процессы, имеющие два типа возмущений: "медленные" (например, механические) и "быстрые" (например, электромагнитные). С математической точки зрения это означает, что часть характеристик соответствующей системы квазилинейных гиперболических уравнений с одной пространственной переменной не перпендикулярна оси времени, а часть перпендикулярна. Для этого класса задач получены теоремы локальной и глобальной разрешимости непрерывного обобщенного и гладкого решения. Кроме того получена теорема о непрерывной зависимости обобщенного непрерывного решения исследуемого класса задач от исходных данных.

Поскольку доказательства теорем основаны на принципе сжимающих отображений, то, тем самым, доказана сходимость метода итераций для систем описанного вида. Тем самым этот метод можно использовать для получения приближенных решений таких задач, что и было проиллюстрировано на примере одной из задач физики описывающей распространение ионов примесей в одномерной кристаллической решетке под действием сильного электрического поля. Было получено первое приближение к решению этой задачи.

В работе также изучен вопрос о взаимосвязи описываемого класса задач с задачами часть характеристик которых близка к перпендикулярным оси времени. Указана область в которой возникает эффект пограничного слоя, вне этой области решения соответствующих задач близки.

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости. М.: Математический сборник, 50(92), 4, 1960, с. 423-442.

2. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

3. Верещагин И. К., Кокин С. М., Селезнев В. А. Старение электролюминофоров. Известия АН СССР, Физика. 49, 10, 1985, с. 1940-1943.

4. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука, 1998, 448 с.

5. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 416 с.

6. Казаков К.Ю., Морозов С.Ф. Об определении неизвестной линии разрыва решения смешанной задачи для квазилинейной гиперболической системы. Укр. мат. журн., 37, 4, 1985, с. 443-450.

7. Кирилич В.М., Мышкис А.Д. Обобщенная полулинейная гиперболическая задача Стефана на прямой. Дифференциальные уравнения, 3, 1989, с. 497-503.

8. Ладыженская О.А. О применении метода конечных разностей к решению задачи Коши для гиперболических систем. Доклады Академии Наук СССР, 1953, т. LXXXVIII, 4, с. 607-610.

9. Лапин Д.С. Оценка области существования решения смешанной задачи для гиперболических систем квазилинейных уравнений общего вида. тезисы к научно-практической конференции "Неделя науки-98", Москва, МИИТ, стр. 77-78.

10. Лапин Д.С., Маслов С.А. Приближение в Сг решений некоторых функционально-дифференциальных уравнений смешанного типа с помощью континуальных аналогов этих уравнений. тезисы докладов воронежской зимней математической школы, Воронеж, стр. 120.

11. Лапин Д.С. Существование классического решения задачи Стефана Балле Пуссена для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением. М.: Вестник МИИТа, 2001, 5, с. 64-67.

12. Лапин Д.С. Непрерывная зависимость решения задачи Стефана -Балле Пуссена для гиперболических систем квазилинейных уравнений с вырождением от исходных данных. Труды третьей научно-практической конференции "Безопасность движения", МИИТ, 2002.

13. Лапин Д.С., Филимонов A.M. Смешанная задача для сингулярной квазилинейной гиперболической системы с одной пространственной переменной. М.: Математические заметки, 2002 (принято к печати).

14. Мауленов О., Мышкис А.Д. О разрешимости смешанной задачи для вырожденной полулинейной гиперболической системы на отрезке. Известия Академии Наук Казахской ССР, физ.-мат., 3, 1981, с. 2529.

15. Мауленов О., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для полулинейной гиперболической системы на отрезке с малыми параметрами при производных по времени (часть I). Известия Академии Наук Казахской ССР, физ.-мат., 3, 1983, с. 59-62.

16. Мауленов О., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для полулинейной гиперболической системы на отрезке с малыми параметрами при производных по времени (часть II). Известия Академии Наук Казахской ССР, физ.-мат., 5, 1983, с. 36-40.

17. Мауленов О., Мышкис А.Д. О смешанной задаче для полулинейной гиперболической системы на отрезке с малыми параметрами при производных по времени (часть III). Известия Академии Наук Казахской ССР, физ.-мат., 1, 1985, с. 65-68.

18. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. Дифференциальные уравнения, XVII, 3, 1981, с. 488-500.

19. Мышкис А.Д., Филимонов A.M. Непрерывные решения квазилинейных гиперболических систем с двумя независимыми переменными. В кн.: Труды II Международной конференции по дифференциальным уравнениям , Русса (Болгария), 1982, с. 523-530.

20. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев, Наукова думка, 1984, 264 с.

21. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965, 224 с.

22. Рождественский Б.Л., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978, 688 с.

23. Филимонов A.M. Локальная разрешимость смешанной задачи для гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными. Московский институт инж. жел. дор. тр-та, Москва, ВИНИТИ, N4001-82, 1982, с. 1-71.

24. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература, 1954, т. II, 416 с.

25. Тикиляйнен А.А. Об одной задаче, связанной с теорией планетарных волн. ЖВМ и МФ, 1988, 28, 4, с. 534-548.

26. Bassanini P., Turo J. Generalized solution to free boundary problems for hyperbolic systems of functional partial differential equations. Annali of Matematica Рига ed Applicata, v. CLVI, 4, 1990, p. 211-230.

27. Cesari L. A Boundary Value Problem for Quasilinear Hyperbolic Systems in the Schauder Canonic Form. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (4), 1, 1974, p. 311-358.

28. Courant R., Lax P. On nonlinear partial differential equiations Comm. Pure. Appl. Math., with two independent variables. 2, 1949, p. 255-273.

29. Doughs A. Some existence theorems for hyperbolic systems of partial differential equations in two independent variables. Comm. Pure. Appl. Math., 5, 1, 1952, p. 119-154.

30. Friedrichs K. Nonlinear hyperbolic differential equations for junctions of two independent variables. Amer. J. Math. 70, 1948, p. 555-588.

31. Friedrichs K., Lewy H. Das Anfangswertproblem einer beliebigen nichtlinearen hyperbolischen Differentialgleichung beliebiger Ordnung in zwei Variablen. Existenz, Eindeutigkeit und Abhangigkeitsbereich der Losung. Math. Annalen, 99, 1928, p. 200-221.

32. John F. Formation of singularities in one-dimentional nonlinear wave propagation. Comm. Pure. Appl. Math. 27, 2, 1974, p. 377-405.

33. John F. Delayed Singularity Formation in Solutions of Nonlinear Wave Equations in Higher Dimensions. Communication on Pure and Applied Mathematics, 29, 649-682, 1976.

34. John F. Lower Bounds for the Life Span Of Solutions of Nonliner Wave Equation in Three Dimensions, Communication on Pure and Applied Mathematics, 36, 1-35, 1983.

35. John F., Sergiu Klainerman. Almost Global Existence to Nonlinear Wave Equations in Three Space Dimensions. Communication on Pure and Applied Mathematics, 37, 443-455 1984.

36. Hartman F., Wintner A. On hyperbolic differential equqtions. Amer. J. Math. 5, 1952, p. 834-864.

37. Hoff D. Globally Smooth Solutions of Quasilinear Hyperbolic Systems in Diagonal Form. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 86, 221-236, 1982.

38. Sergiu Klainerman. Global Existence for Nonlinear Wave Equations. Communication on Pure and Applied Mathematics, 33, 43-101, 1980.

39. Sergiu Klainerman. On "Almost Global"Solutions to Quasilinear Wave Equations in Three Space Dimensions. Communication on Pure and Applied Mathematics, 34, 325-344, 1983.

40. Sergiu Klainerman, Gustavo Ponce. Global, Small Amplitude Solutions to Nonlinear Evolution Equations. Communication on Pure and Applied Mathematics, 36, 133-141, 1983.

41. Krzyzanski M., Schauder J. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung von hyperbolischen Tupus. Gemischte Randwertaufgaben. Studia Math., 6, 1936, p. 162-189.

42. Lax P. Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations. J. Math. Phys., 5,5, 1964, p. 611-613.

43. Lewy H. Uber das Anfangswertproblem bei einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhangigen Veranderlichen. Math. Annalen, 98, 1927, p. 179-191.

44. Li Ta-tsien, Yu Wen-Tzu. Boundary Value Problems for the First-Order Quasi-Linear Hyperbolic Systems and Their Applications. Journal of Differential Equations, 41, 1-26, 1981.

45. Li Ta-tsien, Qin Tiehu. Global Smooth Solutions For A Class Of Quasilinear Hyperbolic Systems With Dissipative Terms. China Ann. of Mathematics, 6b,(2), 199-210, 1985.

46. Li Ta-tsien, Zhou Yi, Kong De-xing. Weak Linear Degeneracy And Global Classical Solutions For General Quasilinear Hyperbolic Systems. Communications in partial differentional equations, 19, p.1263-1317, 1994.

47. Li Ta-tsien, Kong De-xing. Global Classical Discontinuous Solutions to a Class of Generalized Riemann Problem for General Quasilinear Hyperbolic Systems of Conservation Laws. Communications in Partial Differential Equations, 24, (5&6), 801-820, 1999.

48. Petrovskii I. G. Uber das Cauchysche Problem fur Systeme von partiellen Differentialgleichumgen Mat. Sb. 2, 5, 1937, p. 815-870.

49. Qin Tiehu. Global Smooth Solutions of Dissipative Boundary Value Broblems For First Order Quasilinear Hyperbolic Systems, China Ann. of Mathematics, 6b,(3), 289-298, 1985.

50. Shauder J. Das Anfangswertproblem einer quasilinearen hyperbolischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Fund. Math., 24, 1935, p. 213-246.

51. Tai-Ping Liu. Development of Singularities in the Nonlinear Waves for Quasilinear Hyperbolic Partial Differential Equations. Journal of Differential Equations, 33, 92-111, 1979.

52. Trustrum K. Rotating and stratified fluid flow. J. Fluid Mech., 1964, 19, p. 415-432.

53. Turo J. Mixed problems for quasilinear hyperbolic systems. Nonlinear Analysis, 30, 1997, p. 2329-2340.

54. Vallee-Poussin dela Ch. J. Sur l'equation differentielle lineaire du second orde. Determinantion d'une integrate par valeurx assignees. Extension aux equations d'orde n. J. math, pura et appl., 1929, 9, 8, p. 125-144.