автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование устойчивости осесимметричных плазменных конфигураций

П О У"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

БЕЛОВА Ирина Вячеславовна

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор : /^¡Ж^г-

МОСКВА — 1993

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного знамени инженерно-физическом институте.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор К. В. Брушлинский

Зашита состоится 23 июня 1993 года в 15 часов на заседании специализированного совета Д-053.03.08 в Московском инженерно-физическом институте.

Адрес : 115409, Москва, Каширское шоссе, д.31, МИФИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан .....мая 1993 года.

Отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации, просим направить в адрес института.

Желающих принять участие в работе совета просим звонить по телефону : 324-84-98.

Ученый секретарь

специализированного совета А. С. Леонов

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук Ф. А. Слободкина,

кандидат физико-математических наук А. М. Заборов,

Ведущая организация

Институт теоретической и экспериментальной физики (г. Москва)

Диссертационная работа входит в цикл работ по численному моделированию физических процессов в квазистационарном сильноточном плазменном ускорителе (КСПУ). Она посвящена исследованию компрессионных течений, которые характеризуются сильным сжатием плазмы магнитным полем и ее нагревом в зоне компрессии — узкой области на оси канала коаксиального ускорителя с укороченным центральным электродом. Создана методика численного исследования устойчивости осесимме-тричных плазменных конфигураций. В магнито-гидродинамической модели сформулирована и численно решена задача об устойчивости двумерного стационарного течения плазмы относительно произвольных трех мерных возмущений. Кроме того, решена задача об азимутальной устойчивости 2-пинча с учетом конечной проводимости плазмы и потерь на излучение.

Актуальность темы исследования определяется тесной связью данной работы с современными экспериментальными, численными и теоретическими исследованиями КСПУ, проводимых в Российском научном центре "Курчатовский институт", МИФИ и ряде других организаций. Стационарные компрессионные течения плазмы представляют интерес для приложений только в том случае, если они устойчивы. Вне поля зрения современных работ до сих пор оставались вопросы устойчивости стационарных течений. Подобные проблемы неизбежно возникают в приложениях и представляют самостоятельный интерес.

В ходе исследований КСПУ открываются общие закономерности в свойствах движущейся плазмы, что способствует развитию новой фундаментальной области физики плазмы — плазмодинамики. Создание КСПУ с экстремально высокими значениями физических параметров течения сможет оказать большое влияние на многие области физики и техники.

Цель работы — разработка методики численного исследования устойчивости осесимметричных плазменных конфигураций и исследование устойчивости двух конкретных конфигураций, представляющих интерес в физике плазмы и ее приложениях. Рассматриваются:

1. азимутальная устойчивость Z-пинчa с учетом конечной проводимости плазмы и потерь тепла на излучение;

2. устойчивость двумерного осесимметричного МГД-течения относительно произвольных трехмерных возмущений.

Научная новизна. Работа представляет собой дальнейшее развитие теории и численного эксперимента при изучении КСПУ. Научная новизна результатов, полученных в диссетрации и выносимых на защиту, состоит в следующем.

1. Впервые разработана методика численного исследования устойчивости осесимметричных плазменных конфигураций.

2. Впервые численно исследована азимутальная устойчивость 2-пинча с учетом конечной проводимости плазмы, джоулевого нагрева плазмы и потерь тепла на излучение.

3. Впервые сформулирована и численно решена задача об устойчивости двумерного стационарного течения идеальной плазмы относительно трехмерных возмущений.

Результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

• 1. Создана методика численного исследования устойчивости осесимметричных плазменных конфигураций.

• 2. Численно исследована азимутальная устойчивость 2-пинча с учетом конечной проводимости плазмы и излучения. Обнаружено дестабилизирующее действие небольшой магнитной вязкости на плазменный шнур. Получены значения инкрементов неустойчивости.

• 3. Сформулирована и решена задача об устойчивости двумерного стационарного течения плазмы. Установлено, что рассмотренные течения устойчивы относительно произвольных малых трехмерных возмущений, соответствующих Фурье-гармоникам с номерами т = 1,2,3,4.

Научная и практическая ценность результатов диссертации. Диссертация демонстрирует большие возможности использования математических методов и средств вычислительной техники при исследовании физических

процессов в плазмодинамических системах. Рассмотренная в работе математическая модель применима при изучении эволюции произвольных трехмерных возмущений плазмы, позволяя анализировать устойчивость двумерного течения, которое может быть получено либо из численного расчета, либо являться результатом табуляции измеренных параметров произвольного реального течения. Разработанная методика исследования устойчивости может быть использована в экспериментальных исследованиях плазменных ускорителей и магнитоплазменных компрессоров (МПК) для предсказания свойств течений плазмы, важных для приложений.

Публикации. Результаты проведенных исследований изложены в 5 работах, список которых приведен ниже.

Апробация результатов диссертации проводилась на научных се;... -нарах Института прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН, М И Ф И, а также на межведомственных семинарах и рабочих совещаниях по плазменным ускорителям в Курчатовском институте, Харьковском физико-техническом институте, а также в Институте Физики АН Белоруссии.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 98 страниц текста, состоящего из Введения, двух глав и Заключения, включает в себя 15 рисунков и список литературы из 52 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении определен круг вопросов, исследованных в диссертации, сформулированы цели работы, обоснована актуальность темы исследования, дан обзор основополагающих работ по теме диссертации, а также статей, отражающих современное состояние исследований, и кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе проведено численное исследование азимутальной устойчивости Z-пинчa в МГД-модели с учетом конечной проводимости плазмы и потерь тепла на излучение, которые компенсируют джоулев нагрев в невозмущенном равновесном состоянии. Задача решена в линейном приближении относительно двумерных (не зависящих от г) возмущений.

Два варианта постановки задачи различаются режимами границы плазменного шнура. В первом варианте шнур ограничен твердым кожухом, непроницаемым для плазмы и магнитного поля. Во втором — плазменный шнур окружен вакуумом, и его граница может деформироваться в процессе развитая возмущений. Рассмотрены равновесные состояния плазменного шнура с тремя типами распределения продольного электрического тока ^(г):

— ток с максимумом в центре шнура, спадающий к границе;

— ток, однородный по радиусу;

— ток, возрастающий с ростом г.

Плазма выводится из равновесного состояния с помощью малых возмущений. Они описываются системой МГД-уравнений, линеаризованных в окрестности равновесия.

дй/дг = Ь [Ы], (1)

где Ы = Н[) — возмущения, Ь — Дифференци-

альный ( по пространственным переменным) оператор, в определение которого входят также граничные условия задачи. Коэффициенты оператора Ь составлены из равновесных решений, т.е. зависят только от г. Разделяя переменные и пренебрегая зависимостью возмущений от г, получаем частные решения (1) в виде

= 1/(<,г)ехр(гт^), (2)

где т — целое число (вследствие периодической зависимости решения от у). Уравнения (1) превращаются в серию независимых систем одномерных уравнений

<3>

для каждой фурье-гармоники решения задачи в целом.

Поскольку коэффициенты линейных уравнений (3) и граничных условий не зависят от 1, рост любого решения задачи (3) определяется пра-

вой границей спектра оператора Ь т 1. Следовательно, пинч устойчив относительно возмущений с заданным номером азимутальной моды т лишь тогда, когда не существует собственных значений А таких, что П.еА > 0. Сформулированная выше задача решается методом "установления": уравнения (3) численно интегрируются при произвольных начальных данных до тех пор, пока решение асимптотически не примет вид

г7„(«,г) = ехр(Л0^га(г), (4)

где Л — старшее (самое правое) собственное значение, а Ут{т) — собственная функция оператора Ь т. Тогда скорость роста (или убывания) решения определяет И.еА, а период его колебаний по времени определяет 1тЛ. ,

Численное исследование азимутальной устойчивости 7,-пинча осуществлено по изложенной методике в постановках задачи с двумя граничными режимами линча (с кожухом и с вакуумом) и с тремя распределениями тока в пинче при различных значениях безразмерного параметра и0, который количественно характеризует проводимость и излучение в каждом варианте задачи. Все расчеты соответствуют номеру азимутальной моды 771 = 2.

Результаты расчетов говорят о том, что учет конечной проводимости, джоулева нагрева, и излучения плазмы вносит существенные изменения в известные теоретические представления об устойчивости Z-пинчa, полученные в идеальной МГД-модели {и = О, Ц = 0) 2'3, согласно котот-ым рассмотренные равновесия устойчивы относительно второй гармоники возмущений, не зависящих от г (собственные значения оператора Ь т чисто мнимые, и этот результат легко повторяется в наших расчетах при

1 Брушлинский К. В. О росте решения смешанной задачи в случае неполноты собственных функций// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. N 6. С. 893-912

2 Кадомцев Б. Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы.// Вопросы теории плазмы./ Под ред. М. А. Леонтовича. М.:Госатомиздат, 1963, вып.2, С. 132-176

3 Зуева II. М. О развитии двумерных МГД-неустойчивостей в Z-пинчe: Препринт N 104. М.: ИПМатем. АН СССР, 1983

i/o = 0). Учет конечной проводимости меняет результат в ту или другую сторону, в зависимости от постановки задачи, типа равновесия и величины проводимости, т.е. в различных вариантах задачи были обнаружены как устойчивые, так и неустойчивые конфигурации.

В случае твердого кожуха на границе и малых значениях магнитной вязкости и = l/Rem неустойчивость проявляется незначительно в пин-чах с однородным и возрастающим токами. В случае свободной границы шнура с вакуумом азимутальная неустойчивость имеет место при однородном и спадающем токах в широком диапазоне значений магнитной вязкости. В этом случае инкремент неустойчивости возрастает с ростом I/, что говорит, по-видимому, о том, что неустойчивость вызвана не диффузией магнитного поля, а, в первую очередь — тепловыми явлениями, т.е. джоулевым нагревом и излучением, и потому имеет перегревный характер.

В результате расчетов получены также "старшие" собственные функции оператора L т (3) (см. рис. 1).

Во второй главе содержатся постановка и решение задачи об устойчивости двумерных осесимметричных стационарных течений идеальной плазмы в каналах плазменных ускорителей и магнитоплазменных компрессоров.

Схема канала ускорителя (его осевое сечение) представлена на рис. 2. Канал образован двумя коаксиальными электродами, ток между которыми порождает азимутальное магнитное поле. Взаимодействие радиального тока с этим полем ускоряет плазму в осевом направлении.

Течение бесконечно проводящей плазмы в канале ускорителя описывается уравнениями магнитной газодинамики. Исследуемое на устойчивость стационарное течение в данной работе было получено в приближении "плавного канала" 4'5. Это приближение справедливо в тех случаях,

«

Морозов А. И. Физические основы космических электрореактивных двигателей. Т.1, М.: Атомиздат, 1978

» Брушлинский К. В., Горшенин К. П., Сыцъко Ю. И. Математические модели стационарных МГД-течений в каналах плазменных ускорителей./ Математическое моделирование.— 1991, т.З, N 10, С.3-19

когда характеристики течения изменяются вдоль оси канала существенно медленнее, чем в радиальном направлении. Тогда,

д/ ,0/

~ е с 1

дг' дг

(для любой функции /, участвующей в решении), и стационарные двумерные МГД - уравнения можно превратить в обыкновенные дифференциальные уравнения, пренебрегая величинами порядка е2 и выше). В некоторых случаях они интегрируются, а константы интегрирования, слабо зависящие от г, подбираются в соответствии с условиями задачи.

Предлагаемая в настоящей работе методика исследования устойчивости применима и в более общих случаях, когда стационарное течение получено не в аналитическом виде, а, например, численно на предыдущем этапе или характеристики течения заданы в виде таблиц экспериментальных значений.

На стационарное решение двумерной задачи наложим малые трехмерные (без ограничения симметрии) возмущения и линеаризуем уравнения относительно возмущений. Граничные условия отражают различия в постановках задачи.

1., В первой постановке форма канала и заданные на его границах условия не возмущаются. Это — это модель канала со сплошными электродами, т.е. рассмотрен возмущенный плазменный поток в канале с невозмущенными электродами.

2. Вторая постановка обусловлена исследованиями плазменных ускорителей со стержневыми электродами. В этом случае поверхности электродов предполагались возмущенными, т.е. задавались уравнениями:

г = ге(г) + Цг,ф) , ( е= 1,2 ),

где /„ — известные функции, соответствующие малому возмущению.

К граничным условиям относится также требование 2-я -периодичности решения по ф. Роль начальных условий играют произвольные малые возмущения основного течения.

Систему линеаризованных МГД-уравнений с граничными условиями будем обозначать далее выражением:

т

где через Ы = обозначена совокупность всех ис-

комых величин, зависящих от <,г,г, ф; Ь — линейный дифференциальный оператор, действующий на пространственные переменные г,г,ф и включающий в себя граничные условия. Коэффициенты оператора Ь составлены из решения стационарной двумерной задачи и зависят только от г и г. Поэтому задача (5) допускает разделение переменных и имеет частные решения, из которых составляется ряд Фурье решения смешанной задачи (5) с любыми начальными условиями:

и = г,г)ет^, где тп — любое целое число. (6)

В результате разделения переменных каждая Фурье-гармоника 1Лт удовлетворяет системе линейных уравнений с двумя пространственными переменными :

^=Ьт\йт] (7)

Таким образом, трехмерная задача об устойчивости в линейном приближении сводится к дискретной серии двумерных задач, в соответствии с осевой симметрией основного течения плазмы.

Ответ на вопрос об устойчивости течения относительно возмущений с фиксированным номером гармоники тп зависит от поведения со временем решений задачи (7) с произвольными начальными условиями. Коэффициенты линейных уравнений (7) не зависят от I, поэтому возможно дальнейшее разделение переменных

17т(М,г) = П>т(2,г)еА<, (8)

в результате чего получаем задачу на собственные значения

Ь т[Мт\ = АУУт, (9)

При исследовании течений бесконечно проводящей плазмы следует различать два типа задач и соответствующие им два подхода к устойчивости.

1. Если основное течение плазмы в канале — досигналыюе, т.е.

^г < ст, то возмущения описываются смешанной задачей (7), с граничными условиями на всех границах области (г, г). В этом случае задача (9) — краевая с эллиптическим оператором Ь т. Она имеет нетривиальные решения. Поведение решений задачи (7) со временем характеризуется старшим собственным значением ( правой границей спектра ) оператора Ь т, которое может быть найдено "методом установления" : уравнения (7) численно интегрируются при каких-либо начальных данных до тех пор, пока решение асимптотически не примет вид (8). При этом Л — старшее собственное значение, а >Ут — соответствующая ему собственная функция оператора Ь т-Скорость роста (или затухания) возмущений при * —> оо определит действительную, а частота (или период) колебаний — мнимую части Л. Очевидно, что устойчивость имеет место при Ие Л < 0, а неустойчивость — при 11е Л > 0.

2. Если течение плазмы в канале ускорителя — трансзвуковое, т.е. скорость переходит через скорость магнитного звука, то на выходе из канала, где Уг > Ст , граничные условия отсутствуют, и краевой задачи на собственные значения нет: оператор Ь т — гиперболичен в направлении г в выходной части канала, и уравнения (9) при нулевых "начальных" ( при г = 0 ) и "краевых" (на электродах) условиях имеют только нулевое решение.

Физический смысл этой гиперболичности в том, что любое начальное возмущение выносится со временем из канала, не отражаясь от выходного сечения. Теоретически такую задачу следует отнести к классу асимптотически устойчивых. Однако, практически интересно проследить за развитием и распространением начальных возмущений конкретного вида в течение конечного времени до их выноса из канала.

С этой целью имеет смысл также несколько видоизменить постановку задачи: начальные возмущения, локализованные у входного сечения,

"закрепить" на входе в виде неоднородного граничного условия, т.е. превратить их в постоянно действующий источник возмущений. Тогда в решении задачи со временем установится стационарный режим, в котором хорошо виден "след" этого возмущения во всем пространстве канала.

В случае трансзвуковых течений в канале с возмущенными стенками можно не задавать и начальных условий. Возмущения в поток вносятся граничными условиями, которые здесь играют главенствующую роль.

Заметим, что указанный особый характер сверхсигнального течения обязан своим существованием полному отсутствию диссипативных процессов в его математической модели.

Результаты расчетов. При исследовании устойчивости дозвукового компрессионного режима течения плазмы в канале с коротким центральным электродом (рис. 2) рассчитана эволюция возмущения при т = 2. В результате здесь получены квазиустановившиеся колебания решения задачи (7), что соответствует мнимому старшему собственному значению оператора Ь т. Старшие собственные функции оператора Ь т изображены на рисунке 3.

Возмущения ускорительного режима течения плазмы в канале с коротким центральным электродом быстро затухают со временем. Проследить за их поведением в канале можно следующим образом. Начальные возмущения с фиксированным номером гармоники т локализованы в пространстве (финитны) и расположены вблизи входного сечения. Со временем такое возмущение перемещается вдоль траектории основного потока, расплывается в пространстве, уменьшается по величине и выносится из канала со значением локального максимума р ~ 0,01 — 0,06 (при начальной величине р = 1). Получены карты линий уровня возмущения плотности р в различные моменты времени при различных значениях т = 1, 2, 3. Расчеты показывают, что медленнее остальных затухают возмущения, соответствующие т = 1. Аналогичные результаты получены при расположении начального возмущения выше или ниже середины канала во входном сечении.

В следующей серии расчетов локализованные на небольшом участке начальные возмущения плотности и давления на входе остаются посто-

янными во времени. В этом случае решение задачи выходит со временем на стационарный режим. Здесь интересно проследить за распространением возмущений по пространству канала. На рисунке 4 представлены "карты" возмущений плотности р, обязанных "источнику" в середине входного сечения канала при значениях т = 1 ; 2 . Наиболее существенными в районе области компрессии и выходного сечения опять оказались возмущения при т = 1.

Наконец, обсудим устойчивость течений в канале с возмущенной поверхностью электродов. Рассматривались поочередно возмущения внешнего (/1 = 0, /2(2) = 1) и центрального (/1(2) = 1, = 0) электродов. Начальные данные — нулевые, чтобы выяснить влияние только боковых границ. В процессе расчета решение задачи выходит на стационарный режим. Карты установившихся распределений возмущения плотности р, вызванные искажением внешнего (а) и внутреннего (б) электродов при т = 1 представлены иа рис. 5. Возмущения локализованы в окрестности породивших их электродов. Наибольшее по величине значение р расположено в области компрессии вблизи оси канала и вызвано искажением внутреннего электрода. При одновременном искажении обоих электродов (/1(2) = /2(2) = 1) картины возмущений плотности складываются, что объясняется линейностью задачи.

Похожие результаты были получены в расчетах для других гармоник т = 2нт = 4 (рис. 6). Самые сильные возмущения по-прежнему отвечали значению т = 1 (рис. 5).

Во всех расчетах значения р, а также, возмущения давления скорости и магнитного поля были порядка единицы, т.е. соизмеримы с заданными значениями возмущений электродов /е — 1. Это значит, что малые возмущения остаются малыми, и рассмотренные течения устойчивы. Мерой устойчивости (по аналогии с показателем роста Л) здесь может служить "пространственный" декремент затухания возмущений, а именно, коэффициент /х в показателе степени, если считать, что возникшее на деформированном электроде возмущение плотности р убывает экспоненциально при удалении от электрода (или от своего максимума в области компрессии) в радиальном направлении:

Р ~ ртахехр(-1л | г - г* |), где р(г') = ртах.

Другими словами, ц = 1/Дг, где Дг — расстояние, на котором возмущение убывает в е раз. В результате обработки результатов расчетов определены значения декремента ц в окрестности каждого из электродов в зависимости от номера гармоники то (см. Таблицу).

Значения декремента /I в окрестности каждого из электродов.

Номер моды т 1 2 4

Внутренний электрод 9,8 4,9 3,9

Внешний электрод 5Д 4,5 3,8

Таким образом, результаты проведенных численных экспериментов говорят о том, что рассмотренные варианты стационарного осесимметрич-ного течения бесконечно проводящей плазмы в каналах плазменных ускорителей и МПК устойчивы относительно малых возмущений потока плазмы и стенок канала, если ограничиться номерами Фурье-гармоник 1 < т < 4. В сочетании с известным ранее аналогичным результатом для т = О это означает, что течения устойчивы в линейном приближении относительно трехмерных возмущений, задаваемых тригонометрическими полиномами от ф не выше четвертого порядка. Наиболее существенными (т.е. затухающими медленнее остальных) являются возмущения, соответствующие т = 1, т.е. возмущения типа "змейки", в которых сильнее всего нарушается осевая симметрия и сдвигается сама ось канала.

Основные новые результаты, полученные в диссертации

1. Разработана методика численного исследования устойчивости осе-симметричных плазменных конфигураций. Сформулированы два подхода к исследованию устойчивости двумерных МГД-течений плазмы в зависимости от типа невозмущенного течения. Для досигнального течения плазмы поставлена краевая задача на собственные значения. Методом "установления" определены собственные старшие собственные значения оператора Ь т, характеризующие поведение решения со временем. В случае транссигнального течения граничные условия на выходе из канала отсутствуют и краевой задачи на собственные значения нет. Для

этого типа течения представлен анализ развития и распространения возмущений, вносимых в поток начальными или граничными условиями.

2. Численно исследована азимутальная устойчивость Z - пинча. Установлено, что учет конечной проводимости, джоулевого нагрева и потерь на излучение плазмы вносят существенные изменения в известные теоретические представления, согласно которым рассмотренные равновесия устойчивы относительно второй гармоники возмущений, не зависящих от координаты г. В зависимости от распределения тока конфигурации пинча могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Дестабилизирующая роль диссипативных факторов особенно значительно проявляется в задаче о пинче со свободной границей с вакуумом. В этом случае азимутальная неустойчивость имеет место при довольно больших значениях магнитной вязкости, что говорит о ее перегревном характере. Получены "старшие" собственные значения оператора Ь т, характеризующие рост или затухание решений со временем, а также соответствующие им собственные функции.

3. Сформулирована и решена задача об устойчивости двумерного стационарного течения идеальной плазмы в каналах плазменных ускорителей и магнитоплазменных компрессоров в МГД-нриближении. Установлено, что рассмотренные течения устойчивы относительно произвольных малых трехмерных возмущений потока плазмы и стенок канала для номеров Фурье-гармоник т = 1,2,3,4 в линейном приближении.

Для досигнальных течений плазмы определены старшие собственные значения и собственные функции оператора Ь т.

Для транссигнальных течений получены карты установившихся распределений возмущений характеристик течения. В задачах о течении в каналах с возмущенными электродами определены "пространственные" декременты затухания возмущений. Наиболее существенными оказались возмущения, соответствующие т = 1, т.е. возмущения, при которых сильнее всего нарушается осевая симметрия.

Основные результаты опубликованы в работах :

1. Брушлинский К. В., Совершенная И. В. Численное исследование устойчивости г-пинча// Методы вычислительной физики и их приложения. М.: Атомиздат, 1986. С. 21-25

2. Белова И. В., Брушлинский К. В., Морозов А. И. Численное исследование устойчивости компрессионных течений плазмы в каналах.// Препринт N 17. ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1988

3. Белова И. В., Брушлинский К. В. Азимутальная неустойчивость Z - пинча в плазме конечной проводимости.// Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1986, N 61.

4. Белова И. В., Брушлинский К. В. Численная модель неустойчивости Z - пинча в плазме конечной проводимости. — Журнал вычислительной математики и математической физики, 1988, т.28, вып. 1, с. 72-79

5. Белова И. В., Брушлинский К. В., Морозов А. И. Расчет устойчивости двумерных течений плазмы в каналах. — Математическое моделирование, 1992, т.4, вып. 10, с.3-15

Рис. 1. Графики собственных функций в задаче о пинче со свободной границей при ^о = 0,1 » = ^'о-

Рис. 3 Примеры старших собственных функций оператора Ь т з> момент времени I = 4. Показатл зависимости от координаты 2 при фиксированном у. Значения у указаны около кривых.

Рис. "Карты" возмущений плотности р ("источник" находится в середине входного сечения канала) при т = 1ито = 2.

о_з

'////Ш '////////////,

/{.0 о.о

Ч [кгг

Рис. 5. Распределение возмущений плотности в канале при деформации

в (а) — внешнего

о (б)— внутреннего

электродов в случае гармоники с номером (т = 1).

Рис. 6. Распределение возмущений плотности в канале при одновременной деформации обоих электродов в случае гармоники с номером (т =4).

Подписало в печать......... Заказ ......... Тираж

Типография МИФИ; Москва, Каширское шоссе, 31.