автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики высокотемпературной плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики с использованием неявных разностных схем

Пахомов Юрий Игоревич

'.си

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ЭЛЕКТРОННОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЯВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена на кафедре информатики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор .

кандидат физико-математических наук доцент

Лобанов

Алексей Иванович

Волосевич Петр Петрович

Кривцов

Владимир Михайлович

Ведущая организация

Институт автоматизации проектирования РАН

Защита состоится » _2005 г. в У час,

на заседании диссертационного совета К.212.156.02 при Московском физико-техническом институте по адресу: Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан «

» _2005 г.

Учёный секретарь /

диссертационного совета Федько О.С.

гшш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время плазма с ее нелинейными свойствами стала одним из важнейших объектов математического моделирования и вычислительного эксперимента. В качестве исследуемых объектов, представляющих интерес, как с научной, так и с практической точки зрения, можно отметить процессы, протекающие в плазме в электромагнитном поле при сверхвысоких температурах. Экспериментальные исследования проводятся в нескольких лабораториях различных стран, в том числе на крупнейших установках России - Ангара-5-1 и «Стенд 300», в Великобритании на установке MAGPIE и в США на крупнейшей в мире установке «Z».

Сейчас установки по исследованию динамики высокотемпературной плазмы представляют собой сложные системы. В качестве частей таких установок применяются плазменные прерыватели тока (ППТ) и плазменные размыкатели. Физические процессы, происходящие в ППТ и размыкателях, представляют самостоятельный интерес.

Для комплексного исследования динамики плазмы на подобных установках не достаточно только натурного эксперимента — он не дает полной и подробной картины происходящего. Конструктивные особенности диагностических частей позволяют измерять характеристики плазмы лишь в отдельные дискретные моменты времени. Таким образом, для получения полной информации о протекающих процессах, актуальным является подход, сочетающий проведение натурных и численных экспериментов, а также создание комплекса программ для моделирования динамики плазмы.

В последние годы мощность современных компьютеров и кластерных

систем значительно увеличилась, вследствие чего, стало возможным

применять более ресурсоемкие с вычислительной точки зрения алгоритмы. В

основе таких алгоритмов лежат сложные математические модели,

включающие описания тонких эффектов, в частности, эффекта Холла,

РОС. НАЦИОНАЛ»

аномальное сопротивление и т.д.

БИБЛИОТЕКА СПе

•Э __ _ . ,

Цели и задачи диссертационной работы. Основными целями и задачами диссертационной работы являются:

1. Построение эффективного численного метода для моделирования плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) на основе неявной схемы.

2. Разработка соответствующих численных алгоритмов.

3. Разработка комплекса программ, реализующих численный метод.

4. Проведение исследования динамики поведения плазмы при параметрах модели, соответствующих экспериментальной установке «Стенд-300»; исследование динамики плазмы в ППТ и 7-пинчах.

Научная новизна работы.

1. Дня расчета динамики высокотемпературной плазмы в приближении ЭМГ применен неявный вариационный метод.

2. Исследована динамика плазменной перетяжки в ППТ, в частности, численно исследован эффект проникновения магнитного поля в материал плазмы с образованием пузырей с магнитным полем.

3. Численно исследован характер неоднородностей, образующихся в плазме при сжатии медного 2-пинча в рамках приближения ЭМГ.

Научная и практическая ценность работы.

Разработан эффективный численный метод для моделирования высокотемпературной плазмы в приближении ЭМГ. Данный метод был реализован в виде комплекса программ ЭВМ. Полученные результаты численного моделирования расширяют представления о физических явлениях, происходящих в высокотемпературной плазме на различных экспериментальных установках, в частности С-300. Они позволяют численно воспроизвести ряд явлений, предсказанных теоретически (в частности, образование плазменных пузырей) и картину их возникновения.

Разработанный комплекс программ также может применяться для моделирования широкого круга научно-практических задач, связанных моделированием высокотемпературной плазмы.

Апробация результатов работы. Материалы, отражающие содержание диссертационной работы докладывались на двух международных конференциях (11-я Международная конференция «Математика, компьютер, образование» — Дубна, 2004 г, 15-я Крымская осенняя математическая школа —2004 г), на 2-ой Курчатовской молодежной научной школе — Москва, 2004 и на XLVII научной конференции Московского физико-технического института— Долгопрудный, 2004 г. Результаты также докладывались на научных семинарах кафедр информатики и вычислительной математики МФТИ и отделения прикладной физики Института ядерного синтеза РНЦ «Курчатовский институт».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Диссертация изложена на 92 страницах, включает 16 рисунков. Список использованных источников содержит 86 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации, указывается ее научная новизна, формулируются основные результаты работы. Приводится обзор литературы по тематике диссертации, а также по экспериментальным и численным результатам, связанным с рассматриваемыми в диссертации проблемами.

В первой главе подробно рассматриваются математическая модель динамики плазмы в приближении ЭМГ, а также постановка задачи.

Установка «Стенд 300» (С-300) (Рис. 1) представляет собой систему из двух

коаксиальных проводящих

цилиндрических электродов. Электроды подключены к электрической цепи, содержащей генератор импульса тока. Внутри находится полимерная

(майларовая) перемычка. Плазма создается в результате электрического пробоя и последующей ионизации

материала полимерной пленки. Пренебрегая переходными процессами, можно считать, что сразу после включения тока во внешней цепи материя превращается в плазму. Считаем далее, что плазма однородна по составу и состоит, в основном, из углерода. Для описания протекающих процессов используется система уравнений магнитной гидродинамики (МГД) с учетом эффектов электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) для переноса магнитного поля. Основные масштабы, которые использовались при обезразмеривании, выбирались следующими: время [1]=10~7с, длина [г]=1 см, плотность [р] = 10 3 г/см\ температура (энергия) [Т]=1 КэВ. В безразмерном виде в осесимметричной форме используемые уравнения имеют вид:

Рис.1. Физическая модель установки «С-300»

' " ,р П г) , ЭУ, А I г дг дг

Л

2 _

а

1.А

р дг

г дг

(

к2

8л

В'

4яр г'

Р +

8л

£ *

А

!= -Р. ¿м + (Цу(к. Ягас1(Т.))-0 А Л I I * Iй

— = -сго!Е, 1= — го(й, Е = --(у,хВ)Д- — 4л с а спе

а>ете |В| ст е

уе = у—Ре=пеТе. епе

В приведенных выше формулах индекс е относится к электронам, а / — к ионам. Большинство обозначений традиционны, Р без индекса означает полное давление — сумму парциальных давлений электронов и ионов, функция учитывает потери энергии на ионизацию, 2ец—

эффективный заряд иона. В — напряженность магнитного поля, j — плотность тока, ус — электронная токовая скорость, а — проводимость, пе — концентрация электронов, Тв — электронная температура, Q — джоулев нагрев. В дальнейшем считаем, что магнитное поле имеет лишь азимутальную компоненту. ЭМГ-эффекты вносят дополнительную нелинейность в систему уравнений. Приведем соотношения, необходимые для замыкания системы. Уравнения состояния:

Ре - 9.68 • ; ее=14.4Те,

Р1=9М^; ег = 14.47/, А

здесь и далее А — число нуклонов в ядре.

Зависимость эффективного заряда иона от электронной температуры

дается выражением г^ =9<2, иначе 2^=2, где 2 — максимально

возможный заряд иона для данного элемента (материала). Для рассматриваемого далее материала — углерода — Z принимает значение 6. Для обмена энергиями между электронной и ионной компонентами

плазмы имеем:

а, =8.48.10-'.^.^

А т/ъ

Для описания потерь на ионизацию применяется скейлинг:

0.131

0.85 + 0.152^

(г 3 г 2 г ^

I I

6 2 6

Граничные условия. На правой и левой границах области ставились условия жесткой стенки.

На нижней и верхней границе ставились условия границы с вакуумом. При этом азимутальное магнитное поле на нижней границе связано с полным током во внешней электрической цепи известным соотношением, записанным в безразмерных переменных:

Я ил / •

В = —-—, 1{0 = 10ьтТГ—,

Л 1тр

где I — ток во внешней цепи, Я — текущий радиус соответствующей точки поверхности плазмы. В случае учета радиационных потерь на этой границе ставилось также условие отсутствия падающего извне излучения.

Во второй главе приводится описание вычислительного алгоритма для решения системы уравнений представленной в первой главе диссертации. Для численного решения нелинейной системы применяется консервативная разностная схема на криволинейной подвижной сетке с использованием расщепления по физическим процессам. На первом этапе расчета (модуль МГД) используются уравнения модели движения двухтемпературной плазмы в магнитном поле в приближении МГД. Расчет эволюции магнитного поля проводится на "замороженной" на данном шаге по времени сетке с применением ЭМГ-системы, в качестве начальных данных используются результаты модуля МГД. На следующем этапе расчета учитываются

изменения электронной и ионной температур за счет теплопроводности. На заключительном этапе расщепления проводится коррекция значений температуры, учитывается обмен энергиями за счет электрон-ионных столкновений. Далее процесс расчета повторяется на следующем шаге по времени.

Для построения предлагаемого неявного метода (модуль МГД) использовались: система уравнений двухтемпературной магнитной гидродинамики (МГД), уравнения состояния и условие «вмороженности» магнитного поля.

Лагранжиан системы с учетом условия вмороженности магнитного поля имеет вид:

йт = рс1г(1г — поскольку задача обладает циллиндрической симметрией.

Введем четырехугольную сетку и построим дискретный аналог функционала действия. В дальнейшем будут использоваться три шаблона: для энергий, скоростей и давлений (Рис. 2).

Номер ячейки задается индексом левого нижнего узла. Скорости заданы в узлах ячейки. Шаблон а) используется при расчете энергий, шаблон Ь) используется при расчете скоростей. Шаблон с) используется при расчете давлений.

Из вариации действия по Гамильтону получены динамические соотношения для скоростей и координат.

8' ^ 8яр

для скоростей

Рис. 2. Шаблоны.

7 т к=1 8л дги 1 х 8-л (к

Из уравнения энергии с учетом динамических соотношений получены функционалы для расчета давлений:

\

Q

Л,

А дгк dzk

Q

Л J

(P-Pi) т- т. - -_,cSQ - .

zcg Л А дгк

где Ö - объем лагранжевой ячейки; Ас= 14,38; Ар = 9,68 10-2; средний заряд иона; т — масса лагранжевой ячейки; J — потери на ионизацию; А — число нуклонов в ядре; е — энергия ячейки; т — шаг по времени; Uk —проекция скорости на ось г; Ук проекция скорости на ось Соотношение B S = const - является следствием условия вмороженности

магнитного поля.

Суммирование в приведенных выше выражениях ведется по шаблону разностной схемы. Уравнения для определения РпРе,В решаются с помощью метода Ньютона, а возникающая система линейных уравнений решается с помощью итерационных методов вычислительной библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ {http://www.srcc.msu.su/num anal/lib na/cat/cat5. htm).

Расчет одного шага по времени в модуле МГД осуществляется в следующей последовательности:

1. С помощью метода Ньютона рассчитывается поля давлений и магнитной индукции; Обновляются значения на границах и в фиктивных ячейках;

2. по новым давлениям обновляются поля скоростей, координаты узлов, площади и объемы ячеек, плотности, температур;

3. вычисляются энергии, степень ионизации, потери на ионизацию.

Применяемая неявная схема, основанная на вариационной методике, позволила снять существенные ограничения на шаги по времени, диктуемые условиями устойчивости. Похожие неявные методы ранее реализовывались для задач однотемпературной МГД, Характерной особенностью предлагаемой расчетной методики является расщепление по ионному и электронному давлениям при решении системы уравнений для давления на следующем временном слое. Модуль расчетов динамики плазмы на основе неявной схемы реализован в виде нескольких файлов на языке FORTRAN77 для совместного использования с имеющимися на кафедре программами.

Далее во второй главе обсуждаются результаты тестирования модуля МГД и всего программного комплекса.

На первом этапе тестирования модуля была проведена серия гидродинамических тестов (без магнитного поля). На данном этапе тестирования также не учитывались диссипативные эффекты (электронная и ионная теплопроводности, электронно-ионный обмен) и перенос излучения. В качестве уравнений состояния брались уравнения состояния идеальной плазмы.

Одномерные тесты:

1. Расширение газа в вакуум:

а).расширение по оси Z с сохранением одномерности задачи;

б).расширение в цилиндрически-симметричном случае с сохранением одномерности задачи (нарушение одномерности не превышает 7%).

2. Задача о поршне (плоская задача).

3. Задача о цилиндрическом поршне.

Результаты тестовых расчетов сопоставлялись с результатами, полученными на предыдущей версии модуля МГД (основанного на явной схеме) и с точными решениями. Расхождение решений не превышает 10%.

На втором этапе тестирования была проведена серия тестов с учетом вмороженности магнитного поля, электронной и ионной теплопроводности,

электронно-ионног о обмена и переноса излучения:

1. Расширение газа в вакуум:

а).расширение по оси 7. с сохранением одномерности задачи;

б).расширение в цилиндрически-симметричном случае с сохранением одномерности задачи (нарушения одномерности не превышают 7%).

2. Задача о поршне (плоская задача).

3. Задача о магнитном поршне.

На третьем этапе к модулю был подключен блок, реализующий перестроение лагранжевой сетки, с целью исключения сильных деформаций, и консервативный пересчет всех величин на новую сетку.

На этапе целостного тестирования комплекса была проведена серия тестов, основанных на реальных параметрах экспериментов на установке «С-300».

В третьей главе описаны результаты вычислительных экспериментов, проведенных с помощью разработанного комплекса программ. Численное моделирование динамики плазмы на Стенде 300 проводилось при различных значениях параметров плазмы. Приводимые ниже результаты расчетов получены для следующих вариантов модели: радиусы электродов Л/ = 0,2 см, Я2 — 0,5 см, начальная толщина оболочки г2 = 0,075 см, начальная плотность вещества плазмы 0,3 мг/см3, материалом плазмы считался углерод. Длительность импульса электрического тока Г,тр = 100 не, амплитуда импульса тока /0 = -1МА. По предварительным качественным оценкам параметр замагниченности в условиях, соответствующих установке С - 300, находятся в пределах 0,01-1,0.

В работе также учитывается неравномерное начальное распределение температуры плазмы Те=Т, = Т(г). Считается, что в результате прохождения предварительного импульса плазма нагревалась. Так как плотность тока выше в окрестности катода, то начальная температура в этой области выше.

Будем считать, что начальное распределение температуры можно описать соотношением:

Г(г) = Т0 + АГехр(-(г- Л, )2 Иг),

где /?| — радиус внутреннего электрода, Ь — ширина зоны прогрева. Представленные результаты получены при значениях То = 2 эВ, АТ= 8,5 эВ, ¿ = (Л2-Л,)/2.

По данным численных расчетов*, динамика плазменной перемычки существенно зависит от начального прогрева плазмы, то есть от начального распределения температур.

Ниже на рисунках показаны некоторые результаты расчетов:

О 25

О 2

О 35 0 4

Т = 40 НС

0 35 0 4

Т = 45 не

Рис. За Эволюция подвижной лагранжевой сетки 40x15 ячеек.

Так как в расчетах использована подвижная перестраеваемая сетка, по динамике сетки можно восстановить эволюцию плазменной перемычки. Вначале плазма разлеталась под действием газокинетического давления. По мере роста тока генератора начиналось подтормаживание нижней границы, изменялось направление движения перемычки. Плазма приходила в движение при времени 17-20 не. По мере возрастания тока и нагрева в приэлекгродной области по материалу перемычки начинала распространяться ударная волна. На рисунках За и ЗЬ показано изменение формы расчетной области при временах 40-50 не.

Рис. ЗЬ Эволюция подвижной лагранжевой сетки 40x15 ячеек.

Видно, что наблюдается активное движение плазменной перемычки как целого, в области ударной волны имеет место сгущение сетки.

Для таких режимов сжатия характерен эффект «снежного плуга», когда вещество концентрируется в достаточно узкой области. Эффект снежного плуга виден на рис. 4, где приведены распределения плотности (концентрации) в соответствующие моменты времени.

На рис. 5 для того же варианта расчета приведены распределения

электронной и ионной температур. В области «снежного плуга» они практически равны, наблюдается незначительное преобладание электронной температуры. Это связано с джоулевым нагревом.

Вблизи внутреннего электрода (анода) плотность тока максимальна, соответственно, там же наблюдается и максимальное тепловыделение за счет джоулева нагрева. Но в силу большого значения магнитной индукции вблизи анода формируется сильная ударная волна. Из-за наличия в разностной схеме искусственной вязкости, фронт ударной волны размазан на несколько ячеек разностной сетки. Формирование ударной волны можно проследить по превышению значений ионной температуры над электронной (рис. 5). Так, для 40 не. Максимальное значение электронной температуры в области за ударной волной составляет 18,5 эВ, в то время как для ионов температура достигает 27,5 эВ. К 50 не эта разность увеличивается , и температура электронов достигает 36,4 эВ, а ионов - 86 эВ.

При времени около 50 не существенно изменяется характер проникновения магнитного поля в материал плазмы. Если до этого времени проникновение поля носило диффузионный характер, то в связи с повышением электронной температуры вблизи анода магнитное поле оказывается вытесненным из плазмы (рис. 6). В силу нелинейных эффектов на границе ударной волны вблизи границы с вакуумом формируются токовые петли. После формирования таких петель (а в наших расчетах такие петли являются устойчивыми), магнитное поле начинает распространяться от анода вдоль нижней границы. Видно, что такое распространение уже не носит диффузионный характер, а представляет собой нелинейную волну. Пока остается открытым вопрос о немонотонности магнитного поля вблизи фронта этой волны, возможно, она носит численный характер.

Оценки характерных размеров неоднородности в этом случае указывают на то, что может наблюдаться режим пространственного разделения зарядов, и в окрестности фронта нелинейной волны сформулированная выше математическая модель уже не описывает динамику плазмы.

0 5 0

Т-40 нс

05 0

Т=45 не

Рис. 4 Эволюция плотности. Сетка 40x15 лагранжевых ячеек.

в

О 2 О

п 2

-О 4 -О 6

Рис. 6 Распределение магнитной поля. Сетка 40x15 лагранжевых ячеек. Время 50 не.

Параметр замагниченности (<оВете) сильно влияет на характер проникновения магнитного поля в плазму. Напрямую экспериментально его определить невозможно; возможны только косвенные оценки. Ввиду большой погрешности измерений, по некоторым прикидкам значение параметра замагниченности может значительно превышать 1. Таким образом, интерес представляют численные эксперименты по оценке влияния параметра замагниченности на динамику плазмы.

В численном эксперименте значение этого параметра повышалось до 15. При всех значениях параметра замагниченности на небольших временах (до 35 не) динамика плазмы существенно не отличалась от описанной выше. Для больших времен наблюдались качественные отличия. Наиболее ярко они проявляются при ыВехе = 7.

Эволюция плазменной перемычки показана на рис. 7. Мелкомасштабные эффекты при проникновении магнитного поля в материал плазмы и джоулев нагрев в этом случае приводят к формированию пузырей малой плотности с магнитным полем внутри. Теоретически такая возможность проникновения магнитного поля в материал была впервые рассмотрена Л. И. Рудаковым с соавторами". В последнее время появились экспериментальные указания на то, что такой характер проникновения возможен, по крайней мере, для Z-пинчей.

Отметим, что в случае формирования пузыря расчетная область становится неодносвязной, что влечет за собой невозможность продолжения счета по используемым разностным схемам на подвижной сетке.

Отметим, что проникновение в материал магнитного поля с образованием малоплотных пузырей приводит к формированию более слабых ударных волн в перемычке. В частности, это видно на рис. 9, где показаны распределения электронной и ионной температур. В то время как характерные значения электронной температуры остались примерно теми же,

" L. I Rudakov, Л L. Velikovich, J Davis, et al. Buoyant Magnetic Flux Tubes Enhance Radiation in Z Pinches // Phys. Rev. Lett. - 2000. - V.84, № 15

18

что и в предыдущем варианте, значение ионной температуры уменьшилось в полтора раза (58 эВ).

Как и в предыдущем расчете, вещество скапливалось на нижней границе вдали от анода из-за эффекта снежного плуга (рис.8). Для вариантов с образованием пузырей так же характерна смена типа проникновения магнитного поля в материал плазмы с диффузионного на нелинейную волну. Рассмотрение направления проникновения показывает, что проникновение магнитного поля соответствует направлению распространения волны КМЧ.

При дальнейшем увеличении значения параметра замагниченности характер проникновения магнитного поля в материал плазмы вновь менялся, малоплотный пузырь с магнитным полем не формировался. Отличия от вариантов с малой замагниченностыо заключались в изменении амплитуд ударных волн и появлению мелкомасштабных образований в материале плазмы.

п 2 025 03 0 35 04 0 45 05

02 О 25 03 О 35 04 О 45 05

Рис. 7 Эволюция плазменной перемычки для времен 49 и 51 не с образованием пузыря малой плотнрости. Сетка 40x15 лагранжевых ячеек.

05 1)

Рис. 8 Распределение плотности для времени 50 не с образованием пузыря. Сетка 40x15 лагранжевых ячеек.

Рис. 9 Распределения электронной и ионной температуры для времени 50 не образованием пузыря. Сетка 40x15 лагранжевых ячеек.

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан неявный метод решения задач динамики одножидкостной двухтемпературной плазмы с расщеплением по ионному и электронному давлениям.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы и реализован комплекс программ для численного моделирования динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока.

3. Численно исследовано влияние параметра замагниченности на характер проникновения магнитного поля в материал плазмы и динамику плазменной перемычки в ПГГТ.

4. В расчетах воспроизведено проникновение магнитного поля в материал с образованием малоплотных пузырей с магнитным полем.

5. Численно исследован характер неоднородностей, образующихся в плазме, при сжатии медного Z-пинча. Показано, что мелкомасштабные приэлектродные эффекты существенно влияют на однородность сжатия тяжелого Z-пинча.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Коваленко КВ., Лобанов А.И., Пахомов Ю.И. Численное исследование динамики плазмы в переключателе тока с помощью неявной схемы // Процессы и методы обработки информации: Сб. научн. трудов/Моск.физ.-тех. ин-т. - М., 2005. -С. 178-185.

2. Лобанов А.И., Пахомов Ю.И. К вопросу о моделировании динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока. //Курчатовская молодежная научная школа: Труды школы - М., 2004.-С. 200-204.

3. КингсепА.С., Коваленко ИВ., Лобанов AM., ПахомовЮ.И. Численное исследование влияния параметра замагниченности на динамику плазменной перемычки // Электронный журнал Исследовано в России -2005., 181, С. 1875-1888. http://zhuinal.apc.rciarn.ru/articles/2005/181 .pdf

4. Коваленко И. В., Пахомов Ю.И. Модификация комплекса программ для численного моделирования МГД высокотемпературной плазмы / Труды XLVII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». - М.:МФТИ, 2004. - С.82-83

5. ПахомовЮ.И., ЛобановА.И. К построению неявного метода для расчета уравнений двухтемпературной МГД. / Математика. Компьютер. Образование. Тезисы докладов 11й международной конференции - М., 2004 г. ~ С 135

6. Коваленко ИВ., Лобанов А.И., ПахомовЮ.И., К вопросу о моделировании динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока. / Курчатовская молодежная научная школа: Сб. аннотаций работ - М., 2004. - С.71

Личный вклад автора заключается в разработке неявного метода решения уравнений магнитной гидродинамики (МГД) с расщеплением по ионному и электронному давлениям применительно к задачам динамики одножидкостной двухтемпературной плазмы, интеграции его программной реализации в существующий на кафедре вычислительной математики МФТИ программный комплекс, а также в проведении вычислительных экспериментов с использованием этого комплекса. В ходе серийных расчетов автором были получены режимы проникновения магнитного поля в материал плазмы с образованием малоплотных пузырей. Такие режимы обнаружены впервые для данного класса задач.

Пахомов Юрий Игоревич

Математическое моделирование динамики высокотемпературной плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики с использованием неявных разностных схем

Автореферат

Подписано в печать 03.11.2005. Усл. печ. л. 1.5. Тираж 80 экз. Заказ № ч 3Ч

Московский физико-технический институт (государственный университет) Печать на аппаратуре Rex-Rotary Copy Printer 1280. НИЧ МФТИ

141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., д. 9

р 2 2 8 4 1

РНБ Русский фонд

2006-4 27807

i

ВВЕДЕНИЕ.

Современное состояние проблемы.

Моделирование 2-пинчей, Х-пинчей, взрывающихся проволочек.

Плазменные прерыватели тока.

Численные методы и комплексы программ.

ГЛАВА I. Расчет динамики высокотемпературной плазмы в приближении ЭМГ.

Физическая модель.

Математическая модель.

Обезразмеривание и основные масштабы величин.

Численный метод расчета.

ГЛАВА II. Описание численного метода и результаты тестовых расчетов

Результаты тестирования.

Тестирование модулей комплекса.

Описание тестов.

ГЛАВА III. Результаты вычислительных экспериментов.

Исследование сжатия тяжелого Е-пинча.

Актуальность темы. Математическое моделирование как научное направление еще достаточно молодо, и его активное развитие продолжается. Основные черты современного математического моделирования связаны с тем, что в последнее десятилетие оно быстро теряет «академические» черты чисто научного и узкопрофессионального направления. Наряду с классическими задачами в настоящее время решаются многочисленные проблемы, возникающие при практическом использовании методов и результатов моделирования.

Методология математического моделирования в кратком виде выражена знаменитой триадой «модель - алгоритм — программа», сформулированной академиком А. А. Самарским [1], одним из «отцов-основателей» отечественного математического моделирования. Эта методология получила свое развитие в виде технологии «вычислительного эксперимента», разработанной школой А. А. Самарского, — одной из информационных технологий, предназначенной для изучения явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказывается слишком дорогим и сложным.

Хотя традиции применения математического аппарата и математического моделирования насчитывают сотни лет, первые серьезные работы в области моделирования процессов в плазме относятся к 60-ым годам XX века.

Дата появления первых серьезных результатов вычислительного эксперимента в СССР зафиксирована вполне официально — 1968 год, когда Госкомитет СССР по делам открытий и изобретений засвидетельствовал открытие явления, которого на самом деле никто не наблюдал. Это было открытие, так называемого, эффекта Т-слоя (температурного токового слоя в плазме, которая образуется в МГД-генераторах) [1]. Свидетельство на это открытие было выдано академикам А. Н. Тихонову и А. А. Самарскому, члену-корреспонденту АН СССР С. П. Курдюмову, докторам физико-математических наук П. П. Волосевичу, Л. М. Дегтяреву,

JI. А. Заклязьминскому, Ю. П. Попову, В. С. Соколову и А. П. Фаворскому [2].

В данном случае вычислительный эксперимент предшествовал натурному. Натурные эксперименты «заказывались» по результатам математического моделирования. Через несколько лет в трех физических лабораториях на разных экспериментальных установках практически одновременно был надежно зарегистрирован Т-слой, после чего технологам и инженерам стал окончательно ясен принцип работы МГД-генератора с Т-слоем.

В настоящее время плазма с ее нелинейными свойствами стала одним из важнейших объектов математического моделирования и вычислительного эксперимента. В качестве исследуемых объектов, представляющих интерес, как с научной, так и с практической точки зрения, можно отметить процессы, протекающие в плазме в электромагнитном поле при сверхвысоких температурах. Экспериментальные исследования проводятся в нескольких лабораториях различных стран, в том числе на крупнейших установках России - Ангара-5-1 и С-300, в Великобритании на установке MAGPIE и в США на крупнейшей в мире установке «Z».

Сейчас установки по исследованию динамики высокотемпературной плазмы представляют собой сложные системы. В качестве частей таких установок применяются плазменные прерыватели тока (ППТ) и плазменные размыкатели. Физические процессы, происходящие в ППТ и размыкателях, представляют самостоятельный интерес.

Для комплексного исследования динамики плазмы на подобных установках не достаточно только натурного эксперимента — он не дает полной и подробной картины происходящего. Конструктивные особенности диагностических частей позволяют измерять характеристики плазмы лишь в отдельные дискретные моменты времени. Таким образом, для получения полной информации о протекающих процессах, актуальным является подход, сочетающий проведение натурных и численных экспериментов.

В последние годы мощность современных компьютеров и кластерных систем значительно увеличилась, вследствие чего, стало возможным применять более ресурсоемкие с вычислительной точки зрения алгоритмы. В основе таких алгоритмов лежат сложные математические модели, включающие описания тонких эффектов, в частности, эффекта Холла, аномального сопротивления и т.д.

Цели и задачи диссертации Основными целями и задачами диссертационной работы являются:

1. Построение эффективного численного метода для моделирования плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) на основе неявной схемы.

2. Разработка соответствующих численных алгоритмов.

3. Разработка комплекса программ, реализующих численный метод.

4. Проведение исследования динамики поведения плазмы при параметрах модели, соответствующих экспериментальной установке «Стенд-300»; исследование динамики плазмы в ППТ и 7-пинчах.

Научная новизна

1. Для расчета динамики высокотемпературной плазмы в приближении ЭМГ применен неявный вариационный метод.

2. Исследована динамика плазменной перетяжки в ППТ, в частности, численно исследован эффект проникновения магнитного поля в материал плазмы с образованием пузырей с магнитным полем.

3. Численно исследован характер неоднородностей, образующихся в плазме при сжатии медного 2-пинча в рамках приближения ЭМГ.

Научная и практическая ценность Разработан эффективный численный метод для моделирования высокотемпературной плазмы в приближении ЭМГ. Данный метод был реализован в виде комплекса программ ЭВМ. Полученные результаты численного моделирования расширяют представления о физических явлениях, происходящих в высокотемпературной плазме на различных экспериментальных установках, в частности С-300. Они позволяют численно воспроизвести ряд явлений, предсказанных теоретически (в частности, образование плазменных пузырей) и картину их возникновения.

Разработанный комплекс программ также может применяться для моделирования широкого круга научно-практических задач, связанных моделированием высокотемпературной плазмы.

Апробация работы Материалы, отражающие содержание диссертационной работы докладывались на двух международных конференциях (11-я Международная конференция «Математика, компьютер, образование» — Дубна, 2004 г, 15-я Крымская осенняя математическая школа —2004 г), на 2-ой Курчатовской молодежной научной школе — Москва, 2004 и на ХЬУП научной конференции Московского физико-технического института— Долгопрудный, 2004 г. Результаты также докладывались на научных семинарах кафедр информатики и вычислительной математики МФТИ и отделения прикладной физики Института ядерного синтеза РНЦ «Курчатовский институт».

Публикации По теме диссертации опубликовано 6 работ [3-8].

Благодарности, гранты Проведенная работа выполнена при поддержке РФФИ (проект №04-01-00774). Автор выражает огромную благодарность А. С. Кингсепу, К. В. Чукбару, Ю. Г. Калинину за постановку задачи и полезные обсуждения, А. В. Богатову за техническое содействие. Особую благодарность автор выражает А. В. Зырянову за предоставленную возможность использования вычислительного оборудования.

Современное состояние проблемы

В настоящее время широко исследуется плазма с ее нелинейными свойствами. Заманчивая перспектива решения энергетической проблемы человечества может быть связана с управляемым термоядерным синтезом (УТС), исследование которого осуществляется, в частности, с помощью вычислительного эксперимента. Для экспериментального исследования УТС сейчас применяются плазменные установки новых поколений. Частными видами подобных установок являются установки типа плазменных прерывателей тока (111IT) и установки для исследования поведения Z-пинча.

Для комплексного исследования динамики плазмы на подобных установках не достаточно только натурного эксперимента поскольку он не дает полной и подробной картины происходящего - конструктивные особенности диагностических частей позволяют измерять характеристики плазмы лишь в отдельные дискретные моменты времени.

Существенной чертой изучаемых процессов является наличие многих видов неустойчивостей плазмы, прежде всего неустойчивости Рэлея -Тейлора. В связи с этим, сейчас, интерес представляют многомерные (двух- и трехмерные) вычислительные эксперименты.

Рассмотрим современное состояние некоторых проблем, связанных с целями и задачами данной диссертации.

Моделирование Z-пинчей, Х-пинчей, взрывающихся проволочек

В 60х годах XX столетия было обнаружено, что спектр высокоэнергичных ионов, вылетающих из Z-пинчей, является нетепловым. Было выяснено, что одной из главных причин нетеплового распределения ионов по энергиям в Z-пинче является турбулентность плазмы, которая возникает в результате развития МГД-неустойчивости. Развитие турбулентности в пинчах уже давно исследуется с помощью двумерного МГД-моделирования. Эта турбулентность связана с неустойчивостью сжатия плазменного столба Z-пинча. В [9] показано, что на основе результатов двумерного МГД-моделирования можно получить распределение ионов в пинче, а тем самым определить спектр высокоэнергичных ионов, вылетающих из пинча; изложена процедура получения спектра ионов в Z-пинче на основе результатов МГД-моделирования.

Одно из перспективных направлений в создании высокоинтенсивных импульсных источников мягкого рентгеновского излучения для программы УТС с инерциальным удержанием плазмы, а также исследования свойств материалов в условиях разрушающего воздействия на них поглощаемого излучения базируется на импульсных генераторах мегаамперного диапазона, для которых нагрузкой служит имплодирующий Z-пинч с характерными временами динамики порядка нескольких десятков наносекунд, что позволяет получить импульсы мягкого ренгеновского излучения мощностью в сотни тераватт [10]. Для этого используется быстрое сжатие тонкостенных цилиндрических оболочек (лайнеров). Эксперименты по схлопыванию лайнеров проводятся в нескольких лабораториях различных стран, в том числе на крупнейших установках России - Ангара-5-1 [11] и С-300 [12,13], в Британии на установке MAGPIE [14] и в США на крупнейшей в мире установке «Z» [10].

В [15] описаны эксперименты с миниатюрными нагрузками, выполненные в РНЦ «Курчатовский институт» на установке С-300. Приведены результаты численного моделирования выходного устройства. Кроме того, рассмотрены некоторые вопросы, связанные с проблемой диагностик.

В [16] представлены результаты численного моделирования динамики плазмы в перетяжке Z-пинча с учетом излучательных способностей ионизированного дейтерия и аргона для токов в диапазоне от 100 кА до 10 МА. При расчете излучательных характеристик пинчевой плазмы учитывалось рекомбинационное, тормозное и линейчатое излучение ионов аргона. Показан вклад К-альфа линий различных ионов в излучение плазмы. Проанализированы условия перехода в режим радиационного сжатия для плазмы пинча, состоящей из ионов аргона и дейтерия. Даны зависимости нейтронного излучения от параметров разряда и состава плазмы пинча.

В обзоре А. С. Кингсепа и др. [17] подробно описывается модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) плазмы и рассматриваются присущие этой модели эффекты. По сравнению с уравнениями модели магнитной гидродинамики (МГД) в уравнениях ЭМГ учитывается более сильное влияние электронных течений на эволюцию магнитного поля, температуры и других параметров, описывающих состояние компонент плазмы. В границах применимости ЭМГ-приближения [18] математическая модель содержит уравнения движения по крайней мере двух компонентов плазмы - электронов и ионов. При этом описание ионных течений оказывается близким к идеальной гидродинамике.

В [19] исследовалось влияние аномального сопротивления на динамику плазмы в режиме электронной магнитной гидродинамики. Рассмотрено изменение скейлинга плазменного размыкателя при переходе в режим ионно-звуковой неустойчивости тока. Исследовано сопротивление токонесущей короны Z-пинча в состоянии «enhanced stability», когда для нее характерна фрактальная структура. Проведены численные эксперименты по обжатию плазмы легким лайнером на основе 2,5-мерного двухтемпературного МГД кода с учетом ЭМГ эффектов, влияния электродов и резистивных эффектов.

В основу [20] положено предположение о возникновении и развитии нецилиндрических Z-пинчей в пространственно неоднородной плазме, дискретно инжектируемой плазменными пушками. Сжатие нецилиндрических Z-пинчей приводит к развитию перетяжек и резкому увеличению индуктивности пинча. На возрастающей индуктивности генерируется э.д.с. электромагнитной индукции, переключающая ток в диодную нагрузку.

Динамическая модель плазменного прерывателя тока непротиворечиво описывает основные особенности их работы и позволяет получить количественные оценки характерных величин, таких, например, как генерируемые напряжения и время срабатывания.

Для более убедительного подтверждения предложенной модели необходимо получить динамическую картину развития процесса во времени. Однако, в общем случае это требует решения трехмерной нестационарной задачи движения неоднородной плазмы. Сложность решения такой задачи очевидна. В связи с этим, в [21] предпринята попытка для упрощения решения заменить нецилиндрический 2-пинч с перетяжками, цилиндрическим £-пинчем. Приведенные расчеты удовлетворительно качественно описывают основные особенности работы плазменных прерывателей тока при замене нецилиндрического Z-пинчa цилиндрическим. Основные результаты численных экспериментов показывают, что предложенная динамическая модель плазменных прерывателей тока может иметь место.

За последние годы Х-пинч превратился из познавательно интересного объекта в важный инструмент рентгеновской диагностики плотной плазмы. Понимание функционирования возникающего здесь миниатюрного и практически мгновенного рентгеновского источника и интерпретация получаемых данных невозможна без развития радиационных МГД моделей. Доклад [22] посвящен численному исследованию сжатия молибденовых X-пинчей. В работе используются численные модели с начальной конфигурацией плотной плазмы параболической и конической геометрии. Авторы излагают соображения относительно физического механизма взрыва горячей точки; дается сопоставление результатов с экспериментом.

В последние десятилетия происходит бурное развитие физики высоких плотностей энергий. Воздействие на вещество сильных ударных волн, интенсивных потоков лазерного излучения, пучков электронов и ионов, процессы в различных пинчевых устройствах и магнитокумулятивных генераторах, соударение быстро летящих тел - вот далеко не полный перечень примеров концентрации энергии в плотных средах. Практические применения связаны с современными исследованиями в области энергетики, инерциального термоядерного синтеза, космической техники.

Широкие исследования электрического взрыва проводников (ЭВП) ведутся уже немало лет. С 50-ых годов прошлого века [23,24] они прошли длинную цепь развития от применения медленных емкостных накопителей энергии до мощных генераторов Маркса импульсов высоких напряжений. Исторический обзор этих исследований можно найти в книге [25].

Была создана МГД модель осесимметричного радиационного сжатия горячей и плотной плазмы [26], предназначенная для расчета нагрузок типа одиночных нитей и многопроволочных Х-пинчей и основанная на эйлерово-лагранжевой схеме свободных точек В. Ф. Дьяченко [27] в модификации К. Яха. Она описывает влияние на гидродинамическое движение вещества его вязкости и переноса тепла электронами и ионами в магнитном поле тока, генерации этого поля, диффузии излучения с переходом от оптически плотной к прозрачной среде, кинетики ионизации в приближении среднего заряда.

В [28] существующие 2П модели в г-г-геометрии дополняются моделированием процесса поперечного х-у-движения. Рассматриваются постановка задачи и примеры применения. Обсуждаются новые проблемы, отсутствовавшие в г-г-геометрии, и их решение. В частности, это -соблюдение условия соленоидальности магнитного поля и задание величины последнего на границе плазма-вакуум. Алгоритм модели [26] дополнен использованием триангуляции при расчете полей. Для учета осевого движения применена простая модель вытекания вещества симметрично в обе стороны от рассматриваемого сечения. В качестве примеров рассматриваются задачи с начальными условиями с непрерывным и разрывным (типа корона-керн для 2-проволочного Х-пинча) распределением вещества.

Зависимость энергии ионизации от эффективного заряда ионизации 2 содержит поправку на понижение порога ионизации в плотной среде. В применении к взрыву одиночной проволочки это позволило вплотную подойти к проблеме холодного старта разряда — была решена задача для начальной конфигурации в виде плазменной короны с холодным плотным керном в 2-фазной области параметров вещества. Параллельно тем же способом была рассмотрена задача о динамике перетяжки Х-пинча, что позволило описать основные стадии сжатия — формирование «минидиода», образование узкой шейки, микровзрыв горячей точки, возникновение ударных волн и последующий разрыв перетяжки. Есть основания при малом числе перекрещенных проволочек ожидать сильно анизотропного распределения. Также подобные эффекты могут быть важны и для одной проволочки, если она входит в состав многопроволочной сборки. Таким образом, ряд задач для проволочных лайнеров делает необходимым учет ЗО эффектов. К сожалению, реализация ЗЭ моделей требует весьма больших вычислительных ресурсов.

В исследованиях динамики осесимметричного сжатия горячего и плотного гомогенного шнура плазмы взрывающихся проволочек достаточно полная двухтемпературная МГД модель была предложена в [26]. До этого была построена идеальная бездиссипативная модель [29], затем она была дополнена описанием радиационно-столкновительных процессов и применена к расчетам взрывающихся одиночных проволочек. Численный алгоритм был построен на методе Дьяченко-Яха [27] с явной разностной схемой. Он обеспечил высокую скорость счета, возможность описания больших деформаций среды и искажений свободных границ, а также простоту многожидкостного моделирования плазмы. Платой за это явились специфические неустойчивости счета типа угловых и сближения, неконсервативность схемы и весьма жесткие ограничения временного шага. Перенос различных физических свойств был ограничен сверху свободными потоками. В первоначальной формулировке [26] использовалось приближение оптически плотной среды с полным равновесием электронов и излучения.

Перспективным методом получения интенсивных импульсных магнитных полей является использование принципа индуктивного накопления энергии (ИНЭ). По этой технологии первоначально энергия магнитного поля концентрируется в вакууме, в объемах порядка 10 см за время 1-1000 мкс [18]. Дальнейшая концентрация магнитной энергии в пространстве (до 1-100 см3) и повышение мощности, т.е. сокращение длительности фронта импульса тока, может быть достигнута на основе различных методик — сжатие потока магнитного поля проводником на взрывомагнитных генераторах [30], плазменный размыкатель [31], взрывающиеся фольги и проволочки, плазменные прерыватели тока [31]. Последние три схемы позволяют сократить длительность конечного импульса до ~ 0.1 мкс.

В [32] дана формулировка ЗБ уравнений магнитной гидродинамики вязкой, сжимаемой, электропроводной жидкости в полностью консервативном и характеристическом видах; представлены формулировки МГД уравнений с сингулярными и несингулярными матрицами. В рамках однотемпературной 2Б МГД модели выполнены численные исследования разлета вытянутых вдоль магнитного поля азимутально неоднородных плазмоидов. Результаты расчетов сравниваются с экспериментами по исследованию Н-волокон в 0-пинчах и разлету плазмы во внешнем магнитном поле.

Мощный импульс излучения, генерируемый при взрыве многопроволочных нагрузок, используется для исследований в области УТС. В настоящее время отсутствуют экспериментальные данные о процессах, происходящих на стадии резкого увеличения радиуса проволочек при их нагреве мощным импульсом тока. Известно лишь, что по завершении этой стадии, наблюдается керн, радиус которого превышает начальный радиус проволочки в 3-4 раза, окруженный горячей плазмой [33,34]. Причем, большая часть массы (около 80% от начальной массы проволочки) находится в керне, и, по данным [33], предположительно представляет собой жидкостно-паровую смесь.

Для того чтобы восполнить недостающую информацию о процессах, которые происходят на этой и предшествующей ей стадии, в [35] проведено моделирование нагрева проволочки. Решалась система одномерных МГД уравнений с момента включения тока и до момента, который в соответствии с нуклеационным механизмом [36] предшествует фазовому взрыву. При численном моделировании использовалось широкодиапазонное полуэмпирическое уравнение состояния вещества с учетом фазовых переходов и метастабильных состояний [37]. Согласно нуклеационному механизму выполнены оценки для времени взрыва и теоретических пределов энергии, вводимой в проволочку на резистивной стадии ее нагрева.

Плазменные прерыватели тока.

Исследования работы плазменных прерывателей тока (ППТ) микросекундного диапазона проводятся с середины 80х годов прошлого века. Успехи по укорочению токовых импульсов более чем на порядок [38-40] при поднятии подводимых к нагрузке напряжений привлекают внимание к этим исследованиям применительно к задачам инерционного термоядерного синтеза.

Изучение динамики плазменного размыкателя тока в режиме • проводимиости в рамках двужидкостной МГД модели с учетом эффекта Холла проводилось в [41]. Были получены критерии режимов работы размыкателя с преобладанием эффектов МГД, Холла и смешанного типа. Описано проникновение магнитного поля вдоль катода из-за эффекта Холла. Показано влияние комбинации эффекта Холла и МГД эффектов на формирование и эволюцию области малой плотности в приэлектродном пространстве.

В [42] представлены результаты моделирования плазмы в приближении ЭМГ [17]. Рассчитываемая система уравнений содержит уравнения ЭМГ, самосогласованные уравнения Максвелла и уравнение для электронной температуры. В этом случае математическая модель включает следующие эффекты: 1) эффект Холла, 2) диффузия магнитного поля, 3) джоулев нагрев, 4) термосилу, 5) давление электронов, и 6)три тепловых потока, пропорциональных: УТ, Н х УГ, и Н X и, где Н - магнитное поле, Т — температура электронов, и — токовая скорость [43]. В качестве тестовой задачи для написанного кода бралось моделирование нелинейной волны проникновения магнитного поля в плазму (КМЧ-волна) [44]. В тестовом расчете (эффекты 1 и 2) исследовались следующие параметры: 1) отношение джоулева нагрева к изменению магнитной энергии в волне, 2)скорость КМЧ-волны. Полученные результаты хорошо согласуются с теорией. Далее проводилось моделирование с учетом всех эффектов 1) - 6). Результаты расчетов также сравнивались с ЭМГ теорией. Было получено, что скорость проникновения магнитного поля практически не изменяется по сравнению со значением скорости КМЧ-волны, полученным теоретически. Давление плазмы за фронтом волны достигает только 20% от давления магнитного поля. Этот результат показывает, что нет перегрева плазмы обусловленного проникновением магнитного поля, что противоречит грубым теоретическим оценкам, но коррелирует с экспериментами с плазменными прерывателями тока.

В [45] рассмотрен механизм работы плазменных прерывателей токов микросекундного диапазона. Проникновение магнитного поля в плазму происходит путем приэлектродной диффузии. Увеличение замагниченности плазмы вследствие прогрева электронов приводит к росту сопротивления и прерыванию тока. Приведена математическая постановка задачи в расчете прерывателя, которая сводится к решению уравнений одножидкостной двухтемпературной МГД с холловским током совместно с уравнениями электрической цепи в двумерной геометрии. Для анализа решения получены уравнения одномерного приближения, в основу которого положена малость отношения размеров области приэлектродного промагничивания плазмы к длине плазменного столба. В рамках этого приближения численно исследованы режимы работы прерывателя. Со стороны больших времен -3 мкс режим ограничивает выброс плазмы из межэлектродного зазора. При малых временах = 0,1 мкс доминирует проникновение магнитного поля с токовой скоростью. Проведен сравнительный анализ результатов численных исследований с доступными экспериментальными данными. Развитые представления и созданная на их основе численная методика использованы для оптимизации схемы взрывного эксперимента по прерыванию мегаамперных взрывомагнитных токов в условиях, близких к реализуемым в комплексе ЭМИР.

В ходе экспериментального изучения динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока существенную роль играет характер проникновения магнитного поля в плазму. Для теоретического исследования протекающих при этом процессов широко применяется численное моделирование [12, 46 — 50].

В ряде теоретических и экспериментальных работ было показано, что в режиме электронной магнитной гидродинамики (когда существенен эффект Холла) поле быстрее проникает в плазму вдоль анода. В [49,50] моделировалась динамика плазмы в рамках двухжидкостной МГД и ЭМГ моделей с учетом эффекта Холла. Образующиеся при ЭМГ-диффузии магнитного поля токовые петли могут приводить к локальному нагреву плазмы и повышению давления вблизи анода — так называемому «анодному взрыву».

В [51] приведены результаты экспериментов, подтверждающих зависимость развиваемого на плазменном прерывателе тока в момент обрыва тока напряжение Иплт от плотности выделяемой в нем энергии. Приводятся условия ее осуществимости. Эксперименты выполнены на модернизированной установке РС-20 с параметрами: напряжение генератора

Маркса - до 1 МВ, амплитуда тока - до 350 кА, время нарастания тока - 2 мкс. Применялся ППТ с применением внешнего магнитного поля напряженностью до 15 кГс. Максимальное напряжение на ППТ составляло 3.5 МВ.

В [52] рассматривается математическая модель проникновения магнитного поля в плазму размыкателя тока. Предложен численный метод расчета ЭМГ-диффузии магнитного поля на криволинейной сетке. Реализованный метод позволил воспроизвести ряд мелкомасштабных явлений, связанных с электронными эффектами. Обсуждается влияние граничных условий для напряженности поля на электродах. Рассмотрена методика расчета проникновения магнитного поля в плазму размыкателя с учетом ЭМГ-эффектов. Использованные при моделировании параметры задачи соответствуют одной из экспериментальных установок (С-300 [53, 54]), созданной в РНЦ «Курчатовский институт». По сравнению с [50] в [52] ЭМГ-модель дополнена учетом выделения тепла за счет джоулева нагрева. ЭМГ-эффекты, связанные с градиентом электронной температуры, существуют с самого начала работы размыкателя. Их влияние начинает сказываться значительно раньше, чем в расчетах, приведенных в [15]. Так как начальная температура распределена неравномерно, то в разных областях плазменной перемычки скорость распространения ударной волны оказывается различной, что также влияет на динамику процесса.

Численные методы и комплексы программ.

В [55] рассматривается одна из возможностей применения метода Ньютона для решения неявных разностных уравнений гидродинамики. Исследуются свойства линейной системы уравнений, возникающей при применении метода Ньютона. Приводятся результаты ряда расчетов.

В рамках Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу представлено большое количество работ, связанных с моделированием плазмы. Работа [56] посвящена численному моделированию и теоретическому исследованию свойств плазменных потоков, образующихся во внутренних полостях термоядерных мишеней при воздействии мощного лазерного излучения с помощью комплекса программ РАЗРЯД [57]. В работе также обсуждаются ряд направлений развития численных методов расчёта многомерных течений, в частности, методов, основанных на схемах повышенного порядка аппроксимации по пространственным переменным на этапе учёта конвективных потоков тепла.

В [58] исследуется сжатие магнитного потока плазменным лайнером. При моделировании средствами комплекса РАЗРЯД 2.5 [57] авторы ориентируются, прежде всего, на существующие микросекундные генераторы, с типичной амплитудой тока ~3 МА, на которых схема МК может быть протестирована. В работе численно исследована эффективность схемы сжатия, прежде всего — влияние потерь магнитного потока за счет диффузии и макроскопической неустойчивости. Расчеты показывают, что оптимизированная схема МК может использоваться для концентрации энергии в нагрузке электрогенератора.

В [59] авторы представили результаты численного моделирования одной из новых плазменных схем обострения мощности на индуктивных накопителях энергии. Моделирование проводилось по эйлерово-лагранжевой методике расчета двумерных магнитогидродинамических течений, разработанной в ИММ РАН [60], и реализованной в программном комплексе РАЗРЯД [57]. Расчеты были выполнены для исходной конфигурации плазменного объема и набора параметров, соответствующих индуктивному накопителю энергии ГИТ 12 (Институт сильноточной электроники СО РАН, Томск). В рамках допущений, принятых для выполнения численного моделирования, результаты показывают возможность получения желаемого времени нарастания тока до амплилуды в 3 МА в полезной нагрузке.

В [61] для моделирования процесса образования токовых слоев в различных условиях, использовался программный комплекс ПЕРЕСВЕТ, позволяющий решать систему МГД уравнений диссипативными членами для сжимаемой плазмы. Использовалась абсолютно неявная разностная схема, что обеспечило ее высокую устойчивость. Для постановки граничных условий авторами применялся метод характеристик. Уравнения на характеристиках также решались с помощью неявной схемы.

Физика развития гидродинамических неустойчивостей, приводящих к нарушениям симметрии сжатия лазерных мишеней оказалась одной из наиболее важных, трудных и интересных проблем в инерциальном термоядерном синтезе (ИТС). Значительное внимание соответствующим исследованиям уделяется в двух наиболее крупных проектах: NIF (National Ignition Facility — Национальная установка для зажигания, США) и LMJ (Laser Megajuole — Мегаджоульный лазер, Франция). В [62] дан анализ экспериментальных и теоретических работ зарубежных и отечественных лабораторий в этой области. В частности, представлены результаты натурных и вычислительных экспериментов по изучению развития неустойчивостей в плоской и цилиндрической геометриях при действии лазерного или рентгеновского излучения на образцы.

В [63] представлены результаты численных расчетов формирования кластерных мишеней для различных условий эксперимента. Было показано, что форма используемого сопла может оказать чрезвычайно сильное влияние на пространственное распределение кластеров. Авторы провели сопоставление параметров аргоновой и криптоновой кластерных мишеней при одинаковых условиях их образования.

В [64] описана работа по развитию математических моделей полидисперсных течений а также по созданию базового математического обеспечения для численной реализации данных моделей в автоматизированной системе моделирования практически важных случаев течений в геометрически сложных расчетных областях.

В [65] представлены результаты разработки разностных схем с положительной аппроксимацией на неструктурированных сетках для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов в сложных областях интегрирования и со сложной структурой численного решения. Представлены результаты работы по разработке системы, предназначенной для управления сложными расчетными задачами и облегчения их создания, таких как задачи со многими сложно взаимодействующими областями со сложной геометрией и реологией. Предложена новая объектная модель, обладающая достаточной общностью для построения разнообразных динамических вычислительных сред работающих как на одном компьютере, так и на сети. Приведены результаты тестирования предложенных методов, а также результаты численных исследований, проведенных с их помощью, применительно к некоторым задачам механики сплошных сред, и представляющих самостоятельный научный интерес.

В [66] проведено математическое моделирование (в г-г геометрии, с помощью математической модели "2ЕУ8-20") магнитогидродинамических процессов в миниатюрных «лазерных пулях» [67] с сильными магнитными полями с учетом: теплофизических, электрофизических и оптических свойств реальных веществ [68], отличия электронной и ионной температур, переноса излучения (в многогрупповом приближении). Моделирование проводилось с учетом зависимости граничных условий на магнитное поле от параметров лазерных пучков (в соответствии с [69]) применительно к условиям экспериментов [67]. Экспериментально и теоретически исследована динамика формирования плазменных потоков и магнитных полей в рассматриваемых системах. Показано, что распределение температур имеет сложную пространственную структуру, наблюдаются области напоминающие неоднородный тор с температурами до 1 кэВ. Индуктивности магнитных полей в «лазерных пулях», достигают мегагауссных величин, поля и токи подвержены ультра высокочастотным колебаниям (с V «1

II

1000 ГГц), плотности тока достигают 2* 10 А/см.

Ускорительный комплекс научного центра С81 (г. Дармштадт, Германия) предоставляет уникальные возможности для исследования физических процессов в плотной (порядка и выше плотности твердого тела) неидеальной плазме, образованной в результате нагрева твердотельных мишеней высокоэнергетичными пучками тяжелых ионов. В [70] для проверки корректности расчетных программ и интерпретации результатов измерений был проведен ряд численных экспериментов по моделированию процессов взаимодействия интенсивных пучков ускоренных тяжелых ионов с твердотельными мишенями и плотной плазмой. Двумерные расчеты гидродинамического отклика мишени проводились с использованием программы ВЮ2. В ходе расчетов, вместе с гидродинамическими явлениями в нагреваемом ионным пучком веществе, мишени изучалась временная зависимость потери энергии ионов на выходе из мишени. Рассчитанное изменение величины потери энергии ионов в процессе взаимодействия с мишенью хорошо согласуется с измеренными данными. Результаты проведенных расчетов представляют также практическую ценность при планировании и разработке будущих экспериментов подобного рода.

Необходимо отметить [71], которая представляет один из существующих на кафедре вычислительной математики МФТИ программных комплексов для численного моделирования динамики плазмы в рамках МГД модели. В этой работе описана реализация эксперимента по изучению возможности применения метода совместного численного решения уравнений одножидкостной двухтемпературной МГД модели и кинетической модели, описывающей динамику состояний ионизации вещества плазмы. Реализация комбинированного метода проверялась при двумерном моделировании Ъ-пинча средней плотности на сетках от 60 X 134 до 100 X 206 лагранжевых ячеек. Показано хорошее соответствие результатам физических экспериментов на импульсных плазменных установках. Применение методов параллельных вычислений позволило существенно ускорить расчеты экспериментальных вариантов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы работы.

1. Разработан неявный метод решения задач динамики одножидкостной двухтемпературной плазмы с расщеплением по ионному и электронному давлениям.

2. Разработаны вычислительные алгоритмы и реализован комплекс программ для численного моделирования динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока.

3. Численно исследовано влияние параметра замагниченности на характер проникновения магнитного поля в материал плазмы и динамику плазменной перемычки в Iii IT.

4. В расчетах воспроизведено проникновение магнитного поля в материал с образованием малоплотных пузырей с магнитным полем.

5. Численно исследован характер неоднородностей, образующихся в плазме, при сжатии медного Z-пинча. Показано, что мелкомасштабные приэлектродные эффекты существенно влияют на однородность сжатия тяжелого Z-пинча.

1. Самарский А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. / А. А. Самарский, А. П. Михайлов.— М.: Наука, 1997.

2. Эффект Т-слоя в магнитной гидродинамике / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский и др.— Препринт, 1969.

3. Пахомов Ю. И Численное исследование динамики плазмы в переключателе тока с помощью неявной схемы / И.В. Коваленко, А. И. Лобанов, Ю. И Пахомов. // Процессы и методы обработки информации: Сб. научн. трудов/Моск.физ.-тех. ин-т. М., 2005. -С. 178185.

4. Лобанов А. И. К вопросу о моделировании динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока. / А. И. Лобанов, Ю. И. Пахомов // Курчатовская молодежная научная школа: Труды школы М., 2004. -С.200-204.

5. Пахомов Ю.И. К построению неявного метода для расчета уравнений двухтемпературной МГД. / Ю. И. Пахомов, А. И. Лобанов // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы докладов 11й международной конференции М., 2004 г. - С. 135

6. Коваленко И. В. К вопросу о моделировании динамики высокотемпературной плазмы в плазменных размыкателях тока. / И. В. Коваленко, А. И. Лобанов, Ю. И. Пахомов // Курчатовская молодежная научная школа: Сб. аннотаций работ М., 2004. - С.71

7. Вихрев В. В. Моделирование генерации высокоэнергичных ионов в Z-пинчах / В. В. Вихрев // Труды XXXI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС 2004.

8. Enhancement of X-Ray Power from a Z Pinch Using Nested-Wire Arrays / C. Deeney, M. R. Douglas, R. B. Spielman, et al. // Phys. Rev. Lett. 1998-Vol. 81.-P. 4883

9. Alexandrov У. У. Multi-Wire Array Implosion Physics Study / У. V. Alexandrov, E. A. Azizov, A. V. Branitsky, et al. // Proc. 13-th Int. Conf. On High-Power Particle Beams 2000.

10. Калинин Ю. Г. К расчету осесимметричного сжатия легкого лайнера / Ю. Г. Калинин, А. С. Кингсеп, В. И. Косарев и др. // Математическое моделирование 2000.- Т. 12 - №11.- С. 63 - 80.

11. Kalinin Yu. G. Development of X-ray facility baikal based on 900 MJ inductive store and related problems / Yu. G. Kalinin, P. I. В lino v, A. S. Chernenko et al. // Ibid 2001.- P. 76.

12. Lebedev S. V. X-Ray Backlighting of Wire Array Z-Pinch Implosions Using X-Pinch / S. V. Lebedev, F. N. Beg, S. N. Bland et al. // Rev. Sci. Instrum.- 2001- Vol. 72.- P.671

13. БакшаевЮ. JI. Эксперименты с миниатюрными динамическими нагрузками на мощном импульсном генераторе С-300 Ю. Л. Бакшаев, А. В. Бартов // Физика плазмы, 2003.

14. Баронова Е. О. Излучение Z-пинча в смеси аргона с дейтерием / Е. О. Баронова, В. В. Вихрев // Труды XXXI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС 2004.

15. КингсепА. С. Электронная магнитная гидродинамика / А. С. Кингсеп, К. В. Чукбар, В. В. Яньков // Вопросы теории плазмы.— М.: Атомиздат, 1987 Вып. 16.- С. 243 - 291.

16. КингсепА. С. Введение в нелинейную физику плазмы / А. С. Кингсеп.—М.: Изд-во МФТИ, 1996.

17. Кингсеп А. С. Электронная магнитная гидродинамика — Z-пинч и сильноточные пучки / А. С. Кингсеп, А. В. Гордеев, А. А. Иванов и др. // Информационный бюллетень РФФИ 1996 - Т. 4 - янв - № 2 - С. 87.

18. Зубков П. И. МГД-неустойчивости в динамической модели плазменных прерывателей тока / П. И. Зубков // Труды IV Международной конференции «Забабахинские научные чтения»: Сборник докладов 1996 - С. 351 - 353.

19. Зубков П. И. Численная модель плазменного прерывателя тока / П. И. Зубков, Л. А. Лукьянчиков, К. А. Тен // Труды V Забабахинских научных чтений. 1998

20. Иваненков Г. В. МГД моделирование молибденовых Х-пинчей / Г. В. Иваненков, В. Степневски // Труды XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС 2001.

21. Chace W.G. Exploding wires / W. G. Chace, H.K.Moor.— N.Y.: Plenum press, 1959.-Vol. 1, 1964.-Vol. 2, 1965.-Vol. 3, 1968.-Vol. 4.

22. Bennet F. D. High temperature exploding wires / F. D. Bennet // Progress in high-temperuture physics and chemistry.— N.Y.: Pergamon Press, 1968.-P. 2, 1-63.

23. Бурцев В. А. Электрический взрыв проводников и его применение в электрофизических установках / В. А. Бурцев, Н. В. Калинин, А. В. Лучинский.— Энергоатомиздат, 1990.

24. Иваненков Г.В. МГД моделирование молибденовых Х-пинчей / Г. В. Иваненков, В Степневски // Физика плазмы 2002 - Т. 28 - С. 886.

25. Дьяченко В. Ф. Об одной модели сплошной среды / В. Ф. Дьяченко // ДАН.- 1967.-№4.- С. 174.

26. Иваненков Г. В. Радиационные МГД модели поперечного сжатия плазмы взрывающихся проволочек / Г. В. Иваненков, В. Степневски // Труды XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС.-2003.

27. Квантовая электроника / А. Бартник, Г. В. Иваненков, JT. Карпинскии др.; -1994 -Т.ЗЗ- С.230

28. Pavlovskii А .1. Powerful Explosive Pulsed Energy Sources / A .1. Pavlovskii // Proc of 8th IEEE International Pulsed Power Conference -1991.

29. Turchi P.J. High Voltage Pulse Generation in 10-Megampere Plasma Flow Switch Experiments / P. J. Turchi et al. // Proc of 6th IEEE Trans. Plasma Sci. 1987

30. Суржиков С. Т. Численные исследования плазменных структур Н-типа в рамках магнитной гидродинамики / С. Т. Суржиков, В. М. Фадеев // Труды XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 1999.

31. Pikuz S. A. Multiphase Foamlike Structure of Exploding Wire Cores/ S. A. Pikuz, T. A. Shelkovenko, D. B. Sinars et al. // Phys. Rev. Lett.- 1999.-Vol. 83.-P. 4313

32. Иваненков Г. В. Исследование начальной стадии нагрева тонких проволочек мощным импульсом тока / Г. В. Иваненков, П. Р. Левашов, С. И. Ткаченко и др. // Труды XXXI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС- 2004.

33. Tkachenko S. I. Parameters of wires during electric explosion / S. I. Tkachenko, V. S. Vorob'ev, S. P. Malyshenko // Appl. Phys. Lett-2003.- Vol. 82.- № 3.- P.4047

34. Ткаченко С. И. Метастабильные состояния жидкого металла при электрическом взрыве / С. И. Ткаченко, К. В. Хищенко, В. С. Воробьев и др. // ТВТ.- 2001.- Т. 39.- С.728

35. Fast opening vacuum switches for. high-power inductive energy storage / G. Cooperstein, P. F. Ottinger // IEEE Trans. Plasma Sci.- 1987.-Vol. 15.-P. 629-636.

36. Rix W. Operation.and empirical modeling of the plasma opening switch / W. Rix, D. Parks, J.Shannon et al. // IEEE Trans. Plasma Sci- 1991-Vol. 19.-P. 400-407.

37. Weber В. V. Investigation of plasma opening switch conduction and opening mechanisms / В. V. Weber, R. J. Commisco, P. J. Goodrich et al. // IEEE Trans. Plasma Sci.- 1991.- Vol. 19.- P. 757-761.

38. Zabaidullin O. Z. Numerical study of a plasma opening switch conduction phase / O. Z. Zabaidullin // Physics of Plasmas- 2000- April- Vol. 7-№4.-P. 1321-1330.

39. Гущин А. А. Моделирование плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики / А. А. Гущин, 0.3. Забайдуллин,

40. A. С. Кингсепп // Труды XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС-2001.

41. Брагинский С. И. Вопросы теории плазмы / С. И. Брагинский.— М.: Атомиздат, 1969-Вып. 1.

42. Кингсеп А. С. Нелинейный скин-эффект в плазме / А. С. Кингсеп, Ю. В. Мохов, К. В Чукбар // Физика плазмы.- 1984.- Т. 10 №4 С. 854 -859.

43. Бухаров В. Ф. К вопросу о плазменных прерывателях мегаамперных токов микросекундного диапазона / В. Ф. Бухаров, Ю. В. Власов,

44. B. А. Демидов // ЖТФ.- 2001.- Т. 71.- Вып. 3. С.57-68

45. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнения диффузии магнитного поля / Т. К. Коршия, В. Ф. Тишкин,

46. А. П. Фаворский и др. // Дифференциальные уравнения.- 1982.- Т. 18.-№7.-С. 1229- 1239.

47. Численное моделирование сжатия плазмы легким лайнером / А. С. Кингсеп, В. И. Косарев, А. И. Лобанов и др. // Физика плазмы.-1997.- Т. 23.- № 10.- С. 953 959.

48. Вихрев В. В. Моделирование динамики плазменной оболочки Z-пинча вблизи электродов / В. В. Вихрев, 0.3. Забайдулин, А. Р. Терентьев // Физика плазмы.- 1995 Т. 21- № 1.- С. 23 - 30.

49. Вихрев В. В. Проникновение магнитного поля в плазму вдоль границы двух сред из-за эффекта Холла / В. В. Вихрев, О. 3. Забайдулин // Физика плазмы 1994 - Т. 20 - №11- С. 968 - 972.

50. Zabaidullin О. Z. Numerical study of a plasma opening switch conduction phase / O. Z. Zabaidullin // Physics of Plasmas- 2000- April- Vol. 7— №4.-P. 1321 1330.

51. БариновН. У. ППТ с изоляцией внешним магнитным полем / Н. У. Баринов., Г. И. Долгачев, В. Е. Карпов и др. // Труды XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС — 2001.

52. Кингсеп А. С. Моделирование быстрого плазменного потокового размыкателя в режиме электронной магнитной гидродинамики / А. С. Кингсеп, И. В. Коваленко, А. И. Лобанов и др. // Математическое моделирование- 2004 Т. 16-№ 10 - С. 93 - 106.

53. KingsepA. Experiments Aimed at the "Baikal" Program / A. Kingsep, Yu. Bakshaev, A. Lobanov et al. // 14-th International Conference on High-Power Particle Beams and 5-th International Conference on Dense Z-Pinches 2002.

54. Kingsep A. ICF High-Current Experiments Aimed at the "Baikal" Program / A. Kingsep, Yu.'Bakshaev, A Lobanov et al. // 19-th IAEA Fusion Energy Conference 2002.

55. Гасилов В. А. Применение метода Ньютона для решения разностных уравнений гидродинамики / В. А. Гасилов, В. М. Головизнин.— Препринт ИПМ АН СССР, 1978.-№ 100.

56. Гасилов В. А. Программный пакет для расчёта двумерных осесимметричных течений радиационной газовой динамики / В. А. Гасилов, А. Ю. Круковский, А. А. Оточин.— Препринт, 1990.

57. Гасилов В. А. Исследование сжатия магнитного потока плазменным лайнером / В. А. Гасилов, А. С. Чуватин, А. Ю. Круковский и др. // Труды XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС- 2003.

58. Чуватин А. С. Моделирование динамики плазмы в ЬЬ-схеме на установке ГИТ 12 с помощью ТО ЫМНЕ) программного комплекса РАЗРЯД / А. С. Чуватин, В. А. Гасилов, Л. И. Рудаков и др. // Труды XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС.- 2002.

59. Гасилов В. А. Об одном подходе к решению систем неявных разностных уравнений магнитной гидродинамики / В. А. Гасилов // Дифференциальные уравнения 1989 - Вып. 25.- № 7.- С. 1193 - 1200.

60. Подгорный А. И. Накопление энергии в магнитном поле токовых слоёв — трёхмерное МГД моделирование / А. И. Подгорный, И. М. Подгорный // Труды XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 1999.

61. Болдарев А. С. Численное моделирование образования кластерных мишеней / А. С. Болдарев, В. А. Гасилов, А. И. Магунов и др. // Труды XXIX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС- 2002.

62. Холодов А. С. Разработка мажорантных разностных схем на неструктурированных сетках для многомерных задач механики сплошных сред / А. С. Холодов, А. Б. Ведерников, В. Д. Иванов и др. // Информационный бюллетень РФФИ 1995 - Т. 3 - янв - № 1- С. 194.

63. Круковский А. Ю. Магнитогидродинамические процессы в миниатюрных плазменных системах с сильными магнитными полями /

64. A. Ю. Круковский, Д. Е. Маев, В. Г. Новиков и др // Труды XXXI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС 2004.

65. Vogel N. I. Experimental Investigation of Stochastic Pulsation and Formation of Light Bullets with Megagauss Magnetic Fields by an Intense Laser Pulse Propagating in a Preionized Plasma / N. I. Vogel, N. Kochan. // PRL-2001.- Vol. 86.-P. 232-235.

66. Никифоров А. Ф. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы / А. Ф. Никифоров, В. Г. Новиков,

67. B. Б. Уваров — М., 2000 399 с.

68. Gradov О. М. Magnetic-field generation by a finite-radius electromagnetic beam / О. M. Gradov, L. Stenflo // Phys. Lett- 1983-Vol. 95 A.- № 5.- P. 233 234.

69. КингсепА. С. Численное моделирование динамики медленного Z-пинча / А. С. Кингсеп, В. Е. Карпов, А. И. Лобанов и др. // Физика плазмы 2002.- Т. 28 - № 4 - С. 319 - 328.

70. Основные экспериментальные установки и стенды Института Ядерного Синтеза РНЦ «Курчатовский институт»: Электронный ресурс.: Электрон. ст. Режим доступа к ст.: http://www.kiae.ru/rus/str/nsi/usnsi.htm

71. Ландау Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц — М.: Наука, 1992.

72. J. D. Huba // NRL Plasma Formulary, Revised 2000.— Washington DC: Naval Research Laboratory, 2000.

73. Самарский А. А. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко и др. — Минск: «Критерий», 1996.

74. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский.— М., 1984.

75. Самарский А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. — М.: Наука, 1980.

76. Гасилов В. А. Применение метода Ньютона для решения разностных уравнений гидродинамики В. А. Гасилов, В. М. Головизнин.— Препринт ИПМ АН СССР, 1978.-№ 100.

77. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ: Электронный ресурс.: Электрон. ст. Режим доступа к ст.: http://www.srcc.msu.su/niim anal/lib na/cat/cat5.htm

78. Яненко H. H. Метод расщепления в задачах газовой динамики /Н. Н. Яненко, В. М. Ковеня. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1981.

79. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику / Р. П. Федоренко —М.: Изд-во МФТИ, 1994.

80. Марчук Г. И. Методы расщепления / Г. И. Марчук.— М.: Наука, 1988.

81. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики / Л. В. Овсянников — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 336С.

82. Великович А. Л. Физика ударных волн в газах и плазме / А. Л. Великович, М. А. Либерман. — М.: Наука, 1987.

83. Куликовский А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов М.: Физматлит, 2001. - 607 с.

84. Rudakov L. I. Buoyant Magnetic Flux Tubes Enhance Radiation in Z Pinches / L. I. Rudakov, A. L. Velikovich, J. Davis, et al // Phys. Rev. Lett. -2000. V.84, № 15

85. Kantsyrev V. Radiation Yield from Planar Wire-Array Plasma. / V. Kantsyrev, L. I. Rudakov et al. // 6th International Conference on Dense Z-Pinches. Oxford, UK — 2005 http://dorland.pp.ph.ic.ac.uk/dzp05/PDFonly/Mondav/Kantsvrev.pdf