автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов формирования и эволюции токовых слоев в двумерных и трехмерных магнитных конфигурациях

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова

РГБ ОД

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики') » ■ г. чпгт кафедра автоматизации научных исследований

На правах рукописи

Ечкина Евгения Юрьевна

Математическое моделирование процессов формирования и эволюции токовых слоев в двумерных и трехмерных магнитных конфигурациях.

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на факультете Вычислительной Математики и Кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент И. Н. Иновенков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ю. Н. Днестровский

доктор физико-математаческий наук, ведущий научный сотрудник Н. В. Арделян

Ведущая организация: Институт Математического Моделирования РАН, Москва

Защита диссертации состоится 19 мая 2000 г. в 14— час. на заседании диссертационного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ,

факультет Вычислительной Математики и Кибернетики, ауд. 685. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВМиК МГУ.

Автореферат разослан 12 апреля 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ЗбЗД.^с/ Г, 03

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Термин "перезамыхание магнитных; силовых линий" обозначает широкий круг задач принципиального значения для описания космической плазмы. Процессы перезамыкания или перееоеаинения сопровождаются быстрым выделением магнитной энергии с ее трансформацией в энергию плазмы, быстрых заряженных частиц и излучения. Это определяет важность изучения процессов перезамыкания для многочисленных приложений: в частности, они используются для описания вспышек на Солнце и суббурь в магнитосфере Земли.

Магнитное пересоединение возникает в областях, которые характеризуются значительными плотностями электрического тока. Наряду с фронтами ударных волн такими областями являются токовые спои, которые разделяют магнитные поля противоположных направлений и которые естественным образом могут возникать при неоднородных течениях высокопроводящей замагниченной плазмы. По своей природе они являются довольно неустойчивыми и спорадическими образованиями, и выделяемая в них энергия вполне может нагревать плазму и приводить к генерации быстрых частиц. Кроме того, токовые слои могут возникать на поверхности силовой трубки, такой, например, как солнечное пятно, и на периферии шлемовидных корональных лучей на границе между замкнутой и открытой конфигурациями поля.

Изучение токовых слоев представляет большой теоретический интерес, поскольку они являются примером самоорганизующихся структур в сложной динамической системе с распределенными параметрами, помимо этого, исследование токовых слоев важно и для изучения процессов на Солние.

Проблема магнитного перезамыкания тесно связана с проблемой структурной устойчивости векторных шлей. Динамическая система структурно устойчива, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля возмущенная система эквивалентна исходной. В процессе магнитного перезамыкания, вызываемого действием внешних и внутренних возмущений, топология магнитного поля изменяется. Естественно ожидать, что структурно неустойчивая конфигурация магнитного поля перейдет в структурно устойчивую.

В литературе большое внимание уделяется рассмотрению магнитных полей с критическими точками низшего порядка, однако, наибольший интерес представляют поля с особыми точками высокою порядка. Такие точки являются вырожденными, и в силу этого соответствующие магнитные конфигурации являются структурно неустойчивыми.

Подробный анализ двумерной задачи и представленные результаты нелинейного взаимодействия альфвеювских и магаитозвуковых мод в окрестности критических линий магнитного шля позволяют понять процесс трехмерного магнитного перезамыкания. В частности, сепаратриса, соединяющая две нулевые линии, является двумерным аналогом предельной магнитной силовой линии (сепаратора) в модели Свита1 магнитной конфигурации активной области на Солнце. Очевидно, что магнитная конфигурация с сепаратором, соединяющим две нулевые точки, структурно неустойчива. Поэтому явление глобального перераспределения электрического тока может представлять интерес для теории солнечных вспышек.

Цель диссертации.

1. Построение магнитогидродинамической модели формирования и эволюции токовых слоев в окрестности нулевых точек и линий магнитного поля.

2. Разработка численного метода для решения трехмерной системы МГД уравнений. Создание трехмерною численного кода для исследования процессов формирования и эволюции токовых слоев в плазме.

3. Численное моделирование процесса образования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях в окрестности нулевой точки. Исследование процесса трансформации структурно неустойчивых двумерных магнитных конфигураций в структурно устойчивые.

Научная новизна и приктическая ценность.

. 1. Разработана магнитошдродинамическая модель формирования и эволюции сложных самоорганизующихся нелинейных образований - токовых слоев - в

'P. A. Sweet. Ann. Rev. Astron. Astrophys. 7, 149 (1969).

окрестности нулевых линий магнитного поля.

2. Предложен полувеявный численный метод, позволяющий рассчитывать токовые слои в плазме.

3. Создан трехмерный численный код CODE3D для моделирования процесса формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях.

4. Исследованы токовые слои, получаемые в результате магнитного перезамыкания силовых линий в структурно неустойчивых и структурно устойчивых двумерных магнитных конфигурациях. Впервые найдены режимы перехода структурно неустойчивых двумерных магнитных конфигураций в структурно устойчивые. Исследованы эффекты нелинейного взаимодействия магнитозвукопых и ялъфвпновеких волга в структурно неустойчивой магнитной конфигурации.

5. Проведено моделирование процесса формирования трехмерных токовых слоев в магнитных конфигурациях. Впервые определены условия квазистационарной ЭВ0ЛЮ1ДГИ трехмерного токового слоя в условиях вынужденного перезамыкания магнитных силовых линий. Найдены времена установления квазнстационарно-го режима. Определены характерные размеры токовых слоев для различных магнитных конфигураций.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на международной конференции "9а International Toki Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion - New Fronties in Plasma Physics " (Japan, Toki, 1998);

- на научной конференции отдела физики плазмы Института общей физики РАН;

- на семинаре кафедры автоматизации научных исследований факультета ВМиК МГУ под руководством член-корреспондента РАН Л- И. Костомарова.

Публикации.

Список публикаций по теме диссертации включает 8 печатных работ.

Структура диссертации.

Диссертация изложена на 125 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения, приложения с 56 иллюстрациями и подписями к ним и списка литературы, включающего 109 названий.

Содержание работы.

Во введении представлен обзор литературы то проблемам, рассматриваемым в диссертации, обосновывается тема, кратко излагается содержание диссертационной работы.

В первой главе приводится постановка задачи математического моделирования процесса формирования токовых слоев в магнитных конфигурациях. Рассматривалась квазинейтральная, одаожидкостная плазма В рамках исследуемой модели предполагается, что такие параметры, характеризующие плазму, как вязкость rj, электропроводность с, коэффициент теплопроводности К - постоянны и г/ = 1/а. Магнитное попе описывается с помощью вектор-потенциала В = rot А или

В =

/ ~ и \

ч 3 к

д д в

~3х ~ду Ш

(1)

у Ах Ау Ах у

Рассматривалась полная система МГД уравнений, которая в безразмерных переменных имеет вид:

(2)

р-

dff dt~ 2

Vp [rotrotA x rotA\ , (3)

P dT+ pdivv = -JfcAT + —'"(rot rot A)2, (4)

... • f »711 II It /-t^^ ■1 dt ' ' 0

р = (5)

— = [г? х rot А] — vOTrot rot Л. (6)

Функции р(х,у,г,г), р(х,у,г,Ь), Т{х,у,я,1) описывают скорость

движения, давление, плотность, температуру плазмы.

-обозначает "субстангокнальную" или лагранжеву производную, определяющую изменение величины при перемещении вместе с движущейся частицей плазмы. Показатель адиабаты выбраи равным 7 — ср/с^ — 5/3, Ср, с^ - удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме. Безразмерный параметр ¡3, равный отношению давления плазмы к магнитному давлению на границе, определяется как /3 = 8тгРо/В$, где Ро - начальное значение давления плазмы, В0 - максимальная величина первоначального магнитного поля. Безразмерный коэффициент магнитной диффузии (обратное число Лундквиста) ит = е^/Ч-г^, где = В()/у'47гро-альфвеювская скорость, р0 -начальное значение плотности плазмы. Безразмерный коэффициент теплопроводности к = Ср/Ре, где Ре = К/{Срроиа) - число Пекле.

Параграф 1.2 посвящен рассмотрению структуры магнитной конфигурации в окрестности нулевых точек. Приведено автомодельное решение системы уравнений, описывающих движение плазмы в окрестности нулевой точки магнитного поля, найдены асимптотики решений МГД - уравнений при Ь и, в окрестности нулевой точки, где <о - начальный момент времени.

В параграфе 1.4 описывается структура программного комплекса, включающего модуль расчета исходной магнитной конфигурации и начальных данных, модуль реализации вычислительного алгоритма решения системы МГД уравнений, модуль расчета других характеристик плазмы и модуль визуализации результатов численного моделирования.

В параграфе 1.4.2 подробно описан процесс обработки результатов вычислительного эксперимента, при этом особое внимание удаляется визуализации трехмерных силовых полей. В качестве метода визуализации применялся метод "потока шаров", для которого предложен алгоритм усовершенствования процесса триангуляции строящихся поверхностей.

Во второй главе привадится постановка задачи о трансформации двумерной структурно неустойчивой магнитной конфигурации в структурно устойчивую.

Параграф 2.1. посвящзн описанию структуры изучаемых двумерных магнитных конфигураций. В работе рассматривались две магнитные конфигурации. Первая структурно неустойчивая магнитная конфигурация с сепаратрисой, соединяющей две нулевым линии (Х-Х сепаратриса!), описывается ^-компонентой вектор - потенциала следующего вида

с £\ ф 0, £2 — 0. Вторая структурно устойчивая магнитная конфигурация не имеет сепаратрисы, соединяющей нулевые точки, и описывается вектор - потенциалом (8)

С ст ф 0, ^ 0.

В параграфе 2.2 выписаны основные уравнения двумерной системы МГД уравнений. Так как рассматривается двумерный случай (¿/¿г = 0), то В = (дА/ду,—дА/дх,Вг). Все искомые функции зависят от времени и двух пространственных координат х и у, но скорость плазмы, магнитное поле, плотность электрического тока характеризуются всеми тремя компонентами.

Учитывая двумерюсть модели, полная система магнитогвдродинамических уравнений примет следующий вид:

М*, У) = |- 3+ + £2У

(8)

7-1

Р

(10)

(Н)

(12)

(13)

(14)

(15)

(9)

где скорость плазмы

ь — ги + = Ухех 4- Юуёу + «гег . (17)

Поскольку рассматривается вынужденное перезамыкание, возникающее под действием возмущений, приложенных на границе, вдали от критической точки возмущения должны быть относительно малы. Анализу распространения МГД волн малой амплитуды вблизи критической линии и магнитных сепаратрис посвящзн параграф 2.3. Основываясь на теоретически полученной асимптотеке решений уравнений, описывающих распространение алъфвеиэвской и мапштозвуковой волны, выбираются граничные условия, соответствующие условию перехода структурно неустойчивой магнитной конфигурации в структурно устойчивую. На грашшах расчетной области х = ±\иу — ±1 для описания мапштозвуковой волны выбирается вектор-потенцдаш вида:

А(х, У, г) = А{х,у, * = 0) + М{ф)] (г - 1/г +1), (18)

где А(х,у,Ь — 0) задается выражением (8). Функция /(£) равна

[ -Ё(( - 1)7^ для С > 1

Ш= ■ (19)

( 0 для £ < 1

Подобный вид функшш /(£) выбирается для постепенного включения электрического тока. Здесь Ё - амплитуда электрического поля, а М(ф)-функция, моделирующая азимутальда симметричный или азимутаяьш антисимметричный режим маг-нитозвуковой волны

М(ф) = 1 или М(ф) = вгпВД, (20)

где 0 <ф< 2тг.

Возмущение альфвешвского типа определяется граничными условиями для г-компоненты магнитного поля:

= (21)

Подобная временная зависимость также соответствует постепенному включению внешнего магнитного поля с характерным временем г.51„, Здесь Б, - амплитуда 2-компоненты магнитного поля. Рассматривалось несколько видов граничных условий для каждой из начальных конфигураций вектор - потенциала: возбуждение толь-

ко магнитозвуковой или альфвеновской волны с границ, одновременное возбуждение альфвеновсвдй и магнитозвуковой волны.

Параграф 2.5.2. посвящен описанию результатов численного моделирования процесса формирования токовых слоев в изучаемых магнитных конфигурациях и трансформации структурно неустойчивой магнитной конфигурации в структурно устойчивую.

При приближении к критической линии волна становится нелинейной. Конфигурация, которая образуется на нелинейной стадии распространения МГД волн в окрестности нулевой линии, содержит систему токовых слоев. На рис. X показано распределение квадрата полоидальной компоненты плотности электричесжого тока для структурно устойчивой двумерной магнитной конфигурации. Обнаружено, что при одновременном возбуждении альфвеновской и магнитозвуковой волны с границ расчетной области нелинейное взаимодействие магнитозвуковой и альфвеновской волны приводит к доминированию одной нулевой точки: происходит глобальное перераспределение плотности электрического тока во всей расчетной области.

На рис. 2 показано распределение квадрата полоидальной компоненты плотности электрического тока для структурно неустойчивой магнитной конфигурации при аналогичных граничных условиях. В этом случае на рисунке отчетливо видна концентрация электрического тока вблизи МГД ударных волн в окрестности сепаратрис магнитного поля.

Показаны режимы перехода структурно неустойчивой магнитной конфигурации в структурно устойчивую. На рис. 3 продемонстрирована трансформация структурно неустойчивой магнитной конфигурации в структурно устойчивую. Рис. За соответствует начальной структурно неустойчивой магнитной конфигурации, а на рис. ЗЬ изображена, структурно устойчивая магнитная конфигурация, полученная при возбуждении с границы азимутально антисимметричной магнитозвуковой волны. Отчетливо видно, что в этой магнитной конфигурации уже нет Х-Х сепаратрисы. На рис. Зс представлено распределение г - компоненты плостности электрического тока. Видно возникновение системы токовых слоев различной полярности, которые расположены вблизи сепаратрис магнитного поля. Проинтегрированный по всей области электрический ток равен нулю.

Jx_Jy

Рис. 1

Jx_Jy

»ис. 2

Проведен качественный анализ временной эволюции характеристик плазмы. Зависимость от времени максимального значения z - компоненты плотности электрическою тока характеризуется наличием двух максимумов, соответствующих моментам ггокального и глобального перераспределения плотности тока.

В третьей главе формулируется начально-краевая задача формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях.

Так как процесс формирования токовых слоев и процесс перезамыкания силовых типий в двумерных магнитных конфигурациях хорошо изучен, то сначала рассматри-шотся магнитные конфигурации со структурой, подобной двумерной, а затем существенно трехмерные конфигурации. Для сравнения был рассмотрен процесс формиро-шшя токового слоя в азимутальто симметричных и в азимутально несимметричных трехмерных магнитных конфигурациях.

В трехмерном случае численно решается система МГД - уравнений (2) - (6). Ис-:одя из того, что в трехмерной магнитной конфигурации, в отличие от двумерной, гельзя разделить магнитозвуксвые и алъфвеювские волны, формирование токовых лоев происходит при возбуждении МГД волны, сходящейся к центральной оси си-темы. Для моделирования сходящейся к прямой х = 0, у = 0 цилиндрической МГД о.тны задаются граничные условия на г-компоненту вектор-потенциала магнитного оля

A,(x,y,t)=Az{x,y,t = 0) + !(t+lnr), г2 = г2 + у2, (22)

де х,у - принадлежат транше % = ±1, у — ±1, a /(£) имеет вид (19).

Параграф 3.3 лосвящгн описанию полунеянного разностного метода для числен-ого решения системы трехмерных МГД уравнений. В полунеявных методах член, ппроксимирующий линейное поведение быстрых мед, вычисляется неявно для того, тобы увеличить численную устойчивость метода. Эти методы позволяют коррект-о моделировать одновременно быстрые и медленные МГД волны. В данной работе ассматривается простая форма полунеявного оператора G = rot rot, вследствие чего элунеявный метод оказался достаточно простым в реализации.

Рис. 4

Рис. 5

В параграфе 3.4 приведены результаты вычислительного эксперимента формирования токовых слоев в условиях вынужденного перезамыкания магнитных силовых линий в магнитных конфигурациях с трехмерной геометрией. Сначала рассматривались магнитные конфигурации с параметром г, указывающим на зависимость от третьей компоненты поля. Обнаружено, что геометрические характеристики токового слоя, а именно, его ширина и толщина в магнитной конфигурации с малой величиной г подобны характеристикам токового слоя в двумерной магнитной конфигурации. В случае существенно трехмерной магнитной конфигурации отчетливо видэн трехмерный характер токового слоя (рис.4). Токовый слой располагается вдаль силовых линий магнитного поля. В случае начальной азимутаяьно симметричной конфигурации электрический ток возбуждается с границы расчетной области в плоскости ортогональной магнитньг.г сепаратрисам. По распределению плотности электрического гока в плоскости 2 = 0 (рис. 5) отчетливо видно, что токовый слой не образуется. Плазма выбрасывается из расчетной области. -

В параграфе 3.4.2 анализируется повеление основных характеристик плазмы во зремени, указаны времена, на которых плазменная конфигурация выходит на квази-зтационарный режим, а также максимальные значения плотности плазмы, давления и плотности электрического тока за время наблюдашя в нулевой точке. Показано, что во всех случаях в течение всего времени наблюдения плотность плазмы существенно не меняется.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложении представлены рисунки, демонстрирующие процесс формированы токовых слоев в двумерных и трехмерных магнитных конфигурациях, процесс трансформации структурно неустойчивых двумерных магнитных конфигураций в структурно устойчивые, временные эволюции характеристик плазмы.

Основные результаты работы.

1. Разработана магнитогидродннамнческая модель формирования и эволюции сложных самоорганизующихся нелинейных образований - токовых слоев - в окрестности нулевых точек и линий магнитного поля.

2. Для численного решения трехмерной системы МГД уравнений предложен по-пунеявный разностный метод, позволяющий рассчитывать токовые сдай в широком диапазоне параметров.

3. Реализован и оттестирован трехмерный численный код CODE-3D для моделирования процесса формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях.

4. Найдены режимы перехода структурно неустойчивых двумерных магнитных конфигураций в структурно устойчивые, исследованы эффекты нелинейного взаимодействия мапштозвуковых и альфведавских волн в структурно неустойчивых магнитных конфигурациях.

5. Определены условия квазистацмснарной эволюции трехмерного токовою слоя в условиях вынужденного перезамыкания магнитных силовых линий, найдены времена установления квазисгашшарного режима, определены характерные размеры токовых слоев.

Публикации.

1. S. V. Bulaaov, Е. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin. On the structural stability of magnetic configurations with two null lines. // Physics of Plasma* 6,802 (1999).

2. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin. The evolution of structurally unstable 2d magnetic configurations with two mill lines //Abstracts of 9-th International Toki Conference. Japan. Toki. 101 (1998).

3. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkma, 1. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin Computer simulations of 3D magnetic reconnection. //Abstracts of 9-th Internationa Toki Conference. Japan. Tbki. 101 (1998).

4. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin. The evolution of structurally unstable 2D magnetic configuration with two null lines. //J. Plasma Fusion Res. Series 1, 234 (1999).

5. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichishkin. The MHD simulations of the 3D magnetic reconnection near null point of magnetic configurations. //J. Plasma Fusion. Res. Series 1, 576 (1999).

6. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin,

J.-I. Sakai. The 3D MHD simulation of magnetic reconnection neax null points of the magnetic configuration. // Abstracts of University of Tokyo Symposium in 2000. 29 Feb - 4 Mar. Japan. Tokyo. 36 (2000).

7. E. Yu. Echkina, S. V. Bulanov, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro V. V. Pichushkin. Structural stability and magnetic field line reconnection.// Bulletin of the American Physical Society 44, 66 (1999).

8. С. В. Буланов, E. 10. Ечкина, И. H. Иновенков, Ф. Пегораро, В. В. Пичушкин. Формирование токовых слоев в структурно устойчивых и структурно неустойчивых магнитных конфигурациях с двумя нулевыми линиями. //Физика плазмы 2G, 1 (2000).

Введение

1 Постановка задачи математического моделирования процесса формирования токовых слоев в магнитных конфигурациях

1.1 Исходные МГД уравнения

1.2 Структура магнитной конфигурации в окрестности нулевых точек

1.3 Автомодельные решения системы МГД уравнений.

1.4 Программная реализация.

1.4.1 Программный комплекс.

1.4.2 Визуализация.

2 Эволюция токовых слоев в структурно устойчивых и структурно неустойчивых магнитных конфигурациях с двумя нулевыми линиями

2.1 Структура магнитного поля.

2.2 Основные уравнения.

2.3 МГД волны малой амплитуды в окрестности критических линий и магнитных сепаратрис в двумерных магнитных конфигурациях

2.3.1 Магнитозвуковые волны.

2.3.2 Альфвеновские волны.

2.4 Разностная схема решения системы двумерных МГД уравнений

2.5 Результаты МГД моделирования

2.5.1 Граничные условия.

2.5.2 Магнитное перезамыкание в структурно неустойчивой и структурно устойчивой магнитной конфигурации с двумя нулевыми линиями.

2.5.3 Поведение плотности плазмы, давления и плотности электрического тока.

3 Численное моделирование формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях

3.1 Начальная магнитная конфигурация

3.2 Граничные условия.

3.3 Полу неявный метод решения системы трехмерных МГД уравнений

3.4 Численное моделирование формирования токовых слоев в трехмерной магнитной конфигурации

3.4.1 Результаты моделирования

Введение

Большая часть вещества во Вселенной находится в состоянии плазмы, которая пронизана магнитным полем, взаимодействие с которым определяет динамику плазмы.

Магнитные поля играют определяющую роль в формировании структуры космической плазмы, приводя к образованию магнитосфер звезд и планет, пятен, протуберанцев, других активных областей на Солнце. [1, 4, 6, 21, 35, 41, 98].

Для описания подобных процессов весьма эффективным является МГД приближение, когда поведение плазмы описывается уравнениями для плотности, гидродинамической скорости и температуры совместно с уравнениями Макск-велла.

В рамках МГД-приближения описываются многие процессы, протекающие при солнечных вспышках, активные явления в солнечной атмосфере [60], а также ряд процессов в лабораторной плазме [3, 66], например, неустойчивость срыва в токамаках [68, 91, 94].

Во всех этих явлениях либо непосредственно наблюдается, либо предполагается быстрая диссипация магнитной энергии в высокопроводящей плазме, которую обычно связывают с изменениями структуры магнитного поля - магнитным пересоединением или перезамыканием. Процессу магнитного пересоединения уделяется большое внимание в литературе [6, 25, 58, 64, 67]. Процесс пересоединения магнитных силовых линий приводит к изменению топологии магнитного поля (то есть структуры магнитного потока), при этом нарушается одно из основных фундаментальных свойств высокопроводящей плазмы -вмороженность магнитного поля в проводящую жидкость, так что происходит диффузия магнитных силовых линий относительно вещества. Нужно отметить, что если даже пересоединение силовых линий происходит в относительно малых областях пространства, то возникающие изменения топологии магнитного поля могут оказать существенное влияние на поведение и динамику всей системы в целом [92].

Сам процесс пересоединения может быть вызван различными причинами:

1. он может начаться самопроизвольно как следствие резистивной неустойчивости, например тиринг-моды, в токовом слое или в токонесущей плазме, где имеет место так называемая широкая структура поля (т. е. перекрещенности силовых линий поля );

2. он может быть следствием изменения внешних условий, которые приводят к сжатию области вблизи нейтральных линий поля и образованию тонкого слоя, где происходит пересоединение;

3. он может быть вызван внезапным локальным увеличением электрического сопротивления плазмы в каком-то месте конфигурации.

Магнитное пересоединение возникает в областях, которые характеризуются значительными плотностями электрического тока. Наряду с фронтами ударных волн такими областями являются токовые слои, которые разделяют магнитные поля противоположных направлений и которые естественным образом могут возникать при неоднородных течениях высокопроводящей замагниченной плазмы. По своей природе они являются довольно неустойчивыми и спорадическими образованиями, и выделяемая в них энергия вполне может нагревать плазму и приводить к генерации быстрых частиц. Токовые слои могут играть важную роль в явлении солнечной вспышки и представлять собой возможные места образования протуберанцев. Кроме того, они могут возникать на поверхности силовой трубки, такой, например, как солнечное пятно, и на периферии шлемовидных корональных лучей на границе между замкнутой и открытой конфигурациями поля. Модели токовых слоев с бессиловым толем изучались Цвай-бель и Лоу в [2, 39, 70], а модели с постоянным током - Ридваем и Амари в [51, 52]. Ву и Лоу [69] исследовали простые потенциальные трехмерные модели с изогнутыми токовыми слоями.

Существует несколько способов, посредством которых может образоваться токовый слой [101]: во-первых, за счет взаимодействия топологически разделенных частей магнитной конфигурации [76]; во-вторых, токовый слой может возникнуть на границе между двумя топологически различными частями магнитной конфигурации при их сближении. При эволюции магнитного поля сложной активной области или возникновении нового магнитного потока данный процесс может привести к солнечной вспышке; в-третьих, токовые слои могут развиваться, когда магнитогидростатическое равновесие перестает существовать. В частности, при движении оснований сложного коронального бессилового поля в фотосфере корональное поле не может удовлетворять новому бессиловому состоянию равновесия; вместо этого образуется токовый слой и быстро выделяется магнитная энергия.

С точки зрения локализации токовых слоев значительный интерес представляют особые линии магнитного поля. Они характеризуются тем, что если вдали от особой линии возникли малые возмущения исходного равновесного состояния, то, распространяясь по плазме, эти возмущения должны вызывать в окрестности особых точек не малые, а конечные эффекты, связанные с возбуждением электрическою тока. К особым линиям относятся замкнутые магнитные силовые линии, а также линии, которые проходят через нулевые точки магнитного поля. Если в окрестности особой линии поперечная компонента магнитного поля имеет топологическую структуру седла, или Х-точки, то особая линия представляет собой предельную линию, разделяющую несколько независимых магнитных потоков и принадлежащую каждому из них. Именно в окрестности особых точек Х-типа возможно появление токовых слоев, в которых происходят процессы пересоединения.

Вследствие этого, основное внимание уделяется исследованию течений плазмы высокой электропроводности в окрестности Х-линии магнитного поля, которая присутствует в исходной конфигурации изначально или возникает вследствие перестройки топологии магнитных силовых линий. Самая первая модель токового слоя была предложена Паркером и Свитом ¡44, 62]. Она описывала две области с противоположно направленным магнитным полем, разделенные тонким токовым слоем. В токовом слое или диффузионной области, которые образуются на границе между двумя встречными потоками, магнитное поле может диссипировать в результате диффузии, а плазма может выдавливаться через торцы диффузионной области с альфвеновской скоростью. Энергия поступающего вместе с плазмой в слой магнитного поля преобразуется в тепловую и кинетическую энергию горячей плазмы, выбрасываемой с большой скоростью. Свиту и Паркеру удалось оценить скорость освобождения энергии, которая тем не менее оказалась слишком мала для того, чтобы объяснить наблюдаемые явления солнечных вспышек.

Проблема скорости стационарного пересоединения была решена Печеком [46], который впервые предложил модель быстрого перезамыкания. Суть ее заключалась в следующем: как бы медленно плазма ни втекала в диффузионную область, ее скорость всегда будет сверхзвуковой по отношению к скорости медленной ударной МГД волны. В связи с этим, из диффузионной области будут исходить медленные ударные МГД волны, которые являются стоячими в области втекающего потока, при переходе через них напряженность магнитного поля уменьшается, а скорость плазмы увеличивается, в результате чего преобразование энергии в основном происходит в области ударных волн. При этом магнитная энергия плазмы преобразуется в тепловую и кинетическую энергию вытекающего из слоя потока плазмы. Размер диффузионной области в данном случае много меньше внешнего характерного масштаба. В своей модели Печек сделал ряд упрощающих предположений, в частности, он считал, что плазма является несжимаемой, а течение плазмы, втекающей в рассматриваемую область, потенциально. В модели Печека скорость пересоединения является достаточно высокой, порядка обратной величины магнитного числа Рейнольдса, и может объяснить наблюдения вспышек. Уточненная модель Печека была рассмотрена Робертсом и Пристом [50], которые получили несколько меньшие, чем Печек, скорости пересоединения.

Существовали и другие модели. Например, Соннеруп [59] получил точное решение, согласно которому скорости пересоединения были порядка альфвенов-ской скорости. В своих моделях Коули [22] и Митчел [40] учли асимметрию областей с противоположно направленными потоками плазмы.

Существенный вклад в эта исследования был внесен Сыроватским [106]. Он впервые рассмотрел общую нестационарную задачу о течениях высокопроводя-щей сжимаемой плазмы в неоднородных магнитных полях, содержащих нулевые линии. Сыроватским был получен вывод о кумулятивных свойствах такого рода течений, то есть о возможности значительного увеличения плотности электрического тока в окрестности нулевой линии и аккумуляции электрического тока в виде токовых слоев. В подобных конфигурациях создаются благоприятные условия для ускорения заряженных частиц. Эффекты ускорения реализуются в нестационарных явлениях вспышечного типа в случае быстрого разрушения токового слоя, который соответствует, согласно концепции Сыроватского, пред-вспышечному состоянию.

Изменение топологии магнитного поля, которым сопровождается магнитное перезамыкание, предполагает использование для его описания двумерных и трехмерных моделей.

Исследование трехмерных магнитных конфигураций послужило толчком к детальному изучению солнечной атмосферы. Паркер [99] обратил внимание на то, что подфотосферные движения могут приводить к переплетению силовых линий в солнечной короне. Магнитные жгуты представляют собой форму проявления трехмерного перезамыкания. В магнитосфере Земли рассмотрение трехмерных топологий магнитного поля началось с изучения эволюции плазмо-идов. Первоначально трехмерный плазмоид рассматривали как простое обобщение двумерного плазмоида, т. е. он определялся как трехмерная область силовых линий магнитного поля, которые замыкаются сами на себе. Эта картина была пересмотрена Хьюзом и Сибеком [36], которые установили, что структура плазмоида похожа на структуру канатов - магнитных жгутов. Именно эволюция плазмоида рассматривается в качестве основного примера трехмерного пересоединения [65]. Другое приложение трехмерного пересоединения относится к полярной ионосфере, где глобальные сдвиговые течения плазмы могут сопровождаться проскальзыванием силовых линий магнитного поля [33]. Результаты исследования [5] показали, что пересоединение может происходить в системах без нейтральной линии, в системах без магнитных сепаратрис и сепаратрисных поверхностей (сепараторов). При анализе этих факторов естественно возникает вопрос, как следует определять трехмерное перезамыкание.

Было предложено два различных подхода к решению этого вопроса. Первый из них состоит в том, чтобы по-прежнему использовать представления, основанные на топологии магнитного шля [27]. Пересоединение должно происходить при наличии сингулярностей магнитного поля, поскольку топологически разные области пространства в магнитном поле естественным образом связаны с наличием сепараторов и сепаратрис, заканчивающихся или исходящих из областей с нулевой напряженностью магнитного поля. Единственной устойчивой сингулярностью магнитного поля в самых общих трехмерных системах является изолированная точка с нулевым значением шля. Хотя на первый взгляд изложенный подход является достаточно привлекательным, он имеет существенный недостаток, так как на начальной стадии эволюцию плазмоида в хвосте магнитосферы нельзя рассматривать как процесс перезамыкания. Пересоединение в областях с нулевым значением магнитного поля является важным процессом, но оно не может объяснить все возможные процессы пересоединения.

В связи с этим, второй подход к решению вопроса об определении процесса пересоединения состоит в том, чтобы не ограничиваться только топологией магнитного поля [32]. Трехмерное пересоединение определяется как нарушение магнитной связности за счет локализованного в пространстве неидеального члена в законе Ома Е + у х В/с = Д.

Отсюда следует, что переход от 2Б-конфигурации с нулевой линией к различным ЗБ-конфигурациям представляется весьма нетривиальным [34, 49, 57].

Проблема магнитного перезамыкания, подробно рассмотренная Кадомцевым в монографии [93], тесно связана с проблемой структурно!! устойчивости векторных полей, общие аспекты которой обсуждаются в монографии Арнольда [71]. Динамическая система структурно устойчива, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля возмущенная система эквивалентна исходной. В процессе магнитного перезамыкания, вызываемого действием внешних и внутренних возмущений, топология магнитного поля изменяется. Естественно ожидать, что структурно неустойчивая конфигурация магнитного поля перейдет в структурно устойчивую.

Переход структурно неустойчивых полей в структурно устойчивые происходит, например, при развитии неустойчивости тиринг-моды [26]. Задача о тиринг-неустойчивости равновесия плазмы с токовым слоем является ключевой в теории магнитного пересоединения [86, 92]. Задаче о тиринг-неустойчивости отвечает режим спонтанного магнитного перезамыкания. Магнитная конфигурация с токовым слоем, в которой магнитное иоле обращается в нуль на нейтральной поверхности, одновременно структурно устойчива относительно двумерных возмущений общего вида и в то же время физически неустойчива. При этом развивается плазменная неустойчивость, обусловленная филамента-цией электрического тока. Критическая точка векторного поля является вырожденной, так как линеаризованной задаче отвечает собственное число, равное нулю. В работе Хэма и Калсруда [29] была решена задача об эволюции топологии магнитного поля в окрестности нейтральной плоскости, которая выбором граничных условий была сделана физически устойчивой, но в то же время представляла собой структурно неустойчивую систему. Топология магнитного поля изменялась под действием возмущений, наложенных на границе расчетной области. Данная проблема носит название задачи Тейлора и соответствует вынужденному режиму перезамыкания. Трансформация конфигурации магнитного поля в структурно устойчивую конфигурацию в обоих случаях возможна лишь вне рамок идеальной магнитной гидродинамики. В результате магнитное поле может быть описано последовательностью чередующихся седел и центров. В двумерных системах такое поле структурно устойчиво, про трехмерный случай такого сказать нельзя. Другая конфигурация поля, которой уделялось внимание, представляет собой структурно устойчивую конфигурацию с Х-линией магнитного поля и в исходном состоянии может быть бестоковой. Она представляет собой линию пересечения двух сепаратриеных поверхностей магнитного поля. Под действием возмущений, наложенных на границе области, на месте Х-линии образуется токовый слой, устойчивый относительно МГД мод. В этом режиме течение плазмы влияет на условия, в которых происходит изменение топологии магнитного поля [81]. Ранее рассматривались магнитные поля с критическими точками низшего порядка, однако, наибольший интерес представляют поля с особыми точками высокого порядка. Такие точки являются вырожденными, и в силу этого соответствующие магнитные конфигурации являются структурно неустойчивыми. Несмотря на их структурную неустойчивость, известно много примеров конкретных систем с такими критическими точками магнитного поля.

Подобные магнитные поля отражают специфику мультипольных ловушек, в частности "ОНТЕ" ловушек, предложенных Окавой [43]. В тороидальной "ОН-ТЕ" ловушке магнитное поле создается токонесущими обмотками, тороидальная компонента магнитного поля равна нулю. По плазме течет электрический ток в тороидальном направлении, который должен приводить к пинчеванию плазмы, а на квазистационарной стадии к ее удержанию в области, ограниченной магнитными сепаратрисами. Такая конфигурация не представляется самоочевидной: в работе [105] Сыроватский предсказывал совершенно жую картину течения плазмы и магнитного поля, обязанную своим появлением формированию системы токовых слоев на месте исходной нулевой линии высокого порядка. Уже по этой причине исследование динамики плазмы вблизи критических точек высокого порядка представляется интересным.

Структурная неустойчивость вырожденных критических точек ведет к неустойчивости топологической картины линий тока; правила теории катастроф, относящиеся к деформациям, позволяют провести анализ таких неустойчиво-стей [100].

В силу существенной нелинейности процесса формирования токовых слоев картина течения и распределения электрического тока в плазме не очевидна и не может быть описана в виде суперпозиции или незначительной модификации известных ранее автомодельных решений, поэтому предлагается использование математического моделирования исследуемого процесса.

Первые работы по моделированию плазмы были посвящены изучению кинетических процессов в бесстолкновительной плазме с помощью метода макрочастиц. Рассчитывались известные эффекты: плазменные колебания, пучковая неустойчивость, линейное и нелинейное затухание. Эти расчеты вполне соответствовали характеру большинства теоретических работ, в которых на основании простейших моделей изучались общие свойства плазмы.

Существенный прогресс в исследованиях на установках токамак поставил задачу детального сопоставления эксперимента с теорией. Такое сопоставление требовало применения методов математического моделирования, поскольку многие величины, фигурирующие в выводах теории, непосредственно в эксперименте не наблюдаются и не измеряются.

Неоклассическая теория процессов переноса стимулировала разработку транспортной модели баланса энергии и частиц. Сложные математические модели возникли при исследовании процесса дополнительного нагрева плазмы в установках токамак с помощью инжекции пучков нейтралов высокой энергии. Эти работы положили начало созданию гибридных моделей, объединяющих описание явлений разной природы, например, кинетических и транспортных. Специально для установок токамак разрабатываются численные методы и программные коды [47].

Широкое распространение получили магнитогидродинамические модели.

Равновесие, линейные; колебания и спектр собственных частот, устойчивость, перезамыкание магнитных силовых линий, нелинейное взаимодействие мод - это примеры задач, рассматриваемых в магнитогидродинамическом приближении.

Для численного решения задач магнитной гидродинамики существует большое количество методов, к ним относятся конечно-разностные, спектральные, вариационные, а также методы частиц в ячейке.

Сначала обратимся к рассмотрению конечно-разностных методов. Наиболее известными и используемыми являются явные и неявные разностные схемы, им посвящено большое количество литературы [87, 103, 104]. Явные разностные схемы для гиперболических систем удобны тем, что никаких затруднений при решении связанной с ними системы разностных уравнений не возникает. При этом удается выписать явные формулы, по которым вычисляются искомые величины, либо на каждом интервале сетки нужно решать систему алгебраических уравнений. Однако, у явных схем есть один существенный недостаток -они условно устойчивы, их временной шаг подчиняется критерию Куранта.

В отличие от явных схем, при применении неявной схемы для совокупности величин на очередном временном слое выписывается система разностных уравнений, которая решается тем или иным способом. Алгоритм ее решения зависит от числа пространственных переменных. Неявные схемы безусловно устойчивы, они разрешают использовать большой шаг по времени, основной их недостаток заключается в трудности решения алгебраической системы уравнений. При моделировании МГД процессов следует учитывать, что происходит моделирование процесса с разными характерными временами, поэтому необходимо аккуратно проводить выбор временного шага интегрирования. Поэтому преимущество неявных схем - выбор большого шага интегрирования по времени - в задачах поставленного класса использовать затруднительно.

Широкое применение при решении задач гидродинамики и магнитной гидродинамики получила оригинальная схема типа предиктор-корректор Лакса-Вендрофа [63], в которой предиктор предложен в виде явной разностной схемы. Эта схема является условно устойчивой, проста в реализации и имеет второй порядок точности. Различные варианты метода предиктор-корректор на основе неявных разностных аппроксимаций предложены Марчуком и Софроновым [96]. Все эти схемы эквивалентны и различаются только выбором предиктора.

С развитием трехмерного математического моделирования чаще стали использоваться полунеявные численные методы. Полунеявные методы позволяют избавиться от обращения матриц большой размерности в решении алгебраической системы, и в методе отсутствует конвективная неустойчивость, присущая явной численной схеме из-за аппроксимации конвективных членов типа ?7У/, где / - функция от времени, пространственных координат и V. Однако, устойчивость полунеявных методов зависит от параметра регуляризации [56].

В случае использования лагранжевых методов следует отметить, что они неконсервативны, то есть при использовании этих методов не выполняются законы сохранения для масс и потоков. В методе частиц в ячейке отсутствует конвективная неустойчивость, и он консервативен [38]. Сущность метода состоит в следующем. Расчеты по этому методу на каждом временном шаге проводятся в два этапа. Сначала при учете вкладов от членов с градиентом давления и членов с искусственной вязкостью, если такая вводится, вычисляются промежуточные величины, относящиеся к ячейке расчетной сетке, затем проводится расчет конвективных членов. Именно на втором этапе используется упрощение модели сплошной среды на основе замены ее системой частиц в каждой ячейке эйлеровой системы, так что суммарный баланс массы, импульса и энергии частиц в ячейке отождествляется с соответствующими характеристиками сплошной среды. Как только некоторая частица, "несущая" определенную массу в соответствии со своей траекторией, рассчитываемой индивидуально, пересекает границу ячейки, масса, импульс и энергия этой частицы вычитаются из покинутой ячейки и добавляются в новую ячейку, где теперь находится частица. В целом эта схема условно устойчива. Существует много разных реализаций данного метода [102], которые уменьшили свойственные ему флуктуации плотности и давления, появляющиеся при примитивной технике расчета величины в счетном узле сетки.

В последние годы для решения МГД задач широко используется спектральные методы [45, 48]. Суть спектральных методов заключается в разложении функций по некоторому базису. Существует множество алгоритмов построения систем базисных функций, удовлетворяющих тем или иным условиям. Чаще всего используются базисные функции с конечным носителем, то есть таким, каждая из которых только в сравнительно небольшой (порядка шага сетки) окрестности отлична от нуля, а вне ее тождественно равна нулю. Трудность в использовании спектральных методов заключена в наличии в МГД уравнениях нелинейных членов. При реализации спектральных методов резко возрастает количество вычисляемых операторов, в связи с чем увеличивается время расчета.

В книге Бориса и Букка [7] проводится сравнение спектральных и конечно-разностных численных методов. Они сравнивали точность моделирования на примере задачи о распространении волны с квадратным профилем.

При выборе численного метода следует учитывать специфику задачи. Наличие ударных волн и физических процессов с разными характерными временами - распространение быстрой магнитозвуковой и медленной альфвеновской волны - представляют основные трудности при численном моделировании задач магнитной гидродинамики.

Наболее обычным подходом к расчету ударных волн на эйлеровой сетке является "размазывание" скачка на несколько ячеек сетки путем явного или неявного введения искусственной вязкости, не оказывающей влияние на решение на некотором расстоянии от ударных волн. Так, например, применяется двушаш-вый вариант схемы Лакса-Вендрофа, схема Рихтмайера [96]. Другой подход к рачету ударных волн заключается в выделении разрыва [38].

Проблема моделирования процессов с разными характерными временами решается просто выбором довольно малого шага по времени, что необходимо для корректного описания быстропротекающих процессов.

Предметом изучения в настоящей диссертации является математическое моделирование процесса формирования и эволюции токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях и трансформации структурно неустойчивых двумерных магнитных конфигураций с двумя нулевыми линиями в структурно устойчивые.

В диссертации представлены результаты численного моделирования процесса образования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях, когда в системе реализуется режим так называемого вынужденного перезамыкания. Для изучения данного процесса разработана математическая модель рассматриваемого процесса и написан программный код, с помощью которого исследуется поведение и эволюция токовых слоев для различных трехмерных конфигураций магнитного поля.

В рамках вынужденных режимов перезамыкания силовых линий магнитного поля найдены режимы трансформации структурно неустойчивых магнитных конфигураций с двумя нулевыми линиями в структурно устойчивые. Поскольку перезамыкание магнитных силовых линий в высокопроводящей плазме описывается двумя векторными полями - магнитным полем и полем скоростей, то их взаимодействие нелинейно. Это делает задачу о структурной устойчивости магнитного поля более сложной, чем исследование процесса трансформации структурно неустойчивой магнитной конфигурации в структурно устойчивую для случая одного векторного поля. Для упрощения анализа рассматривается физически устойчивая магнитная конфигурация, стабильная относительно возбуждения так называемых резистивных мод.

В начале первой главы описывается система МГД-уравнений в безразмерных переменных. Приведено автомодельное решение системы уравнений, описывающих движение плазмы в окрестности нулевой точки магнитного поля. В параграфе 1.4 рассказывается о реализации вычислительного процесса с помощью программного комплекса, который состоит из программных модулей, расчета исходной конфигурации и начальных данных, реализации вычислительного алгоритма решения системы МГД уравнений, расчета других характеристик плазмы и визуализации результатов численного эксперимента. В параграфе 1.4.2 подробно описан процесс обработки результатов вычислительного эксперимента, при этом особое внимание уделяется визуализации результатов численного моделирования процесса образования токового слоя в трехмерной магнитной конфигурации.

В главе 2 приводится постановка задачи о трансформации двумерной структурно неустойчивой конфигурации в структурно устойчивую. Поскольку рассматривается вынужденное перезамыкание, возникающее под действием возмущений, приложенных на границе, вдали от критической точки возмущения должны быть относительно малы. Анализу распространения МГД волн малой амплитуды вблизи критической линии и магнитных сепаратрис посвящен параграф 2.3. При приближении к критической линии волна становится нелинейной. Конфигурация, которая образуется на нелинейной стадии распространения МГД волн в окрестности нулевой линии, содержит систему токовых слоев [105]. Показаны режимы перехода структурно неустойчивой конфигурации в структурно устойчивую. Проведен качественный анализ временной эволюции характеристик плазмы.

В главе 3 формулируется начально-краевая задача формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях. 'Так как в трехмерной магнитной конфигурации, в отличие от двумерной конфигурации, нельзя отделить маг-нитозвуковые и альфвеновские волны, то формирование токовых слоев происходит при возбуждении МГД волны, сходящейся к центральной оси системы. Параграф 3.3 посвящен описанию полунеявного метода численного решения системы трехмерных МГД уравнений. В параграфе 3.4 приведены результаты вычислительного эксперимента формирования токовых слоев в магнитных конфигурациях с трехмерной геометрией, так как процесс формирования токовых слоев в двумерной магнитной конфигурации хорошо изучен, то рассматривались трехмерные магнитные конфигурации с параметром, указывающим на зависимость от третьей компоненты шля, также были рассмотрены азимутально симметричные и азимутально несимметричные трехмерные магнитные конфигурации. В пункте 3.4.2 анализируется поведение основных характеристик плазмы во времени.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Разработана магнитогидродинамическая модель формирования и эволюции сложных самоорганизующихся нелинейных образований - токовых слоев - в окрестности нулевых точек и линий магнитного поля.

2. Для численного решения трехмерной системы МГД уравнений предложен полу неявный разностный метод, позволяющий рассчитывать токовые слои в широком диапазоне параметров.

3. Реализован и оттестирован трехмерный численный код СООЕ-ЗВ для моделирования процесса формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях.

4. Найдены режимы перехода структурно неустойчивых двумерных магнитных конфигураций в структурно устойчивые, исследованы эффекты нелинейного взаимодействия магнитозвуковых и альфвеновских волн в структурно неустойчивых магнитных конфигурациях.

5. Определены условия квазистационарной эволюции трехмерного токового слоя в условиях вынужденного перезамыкания магнитных силовых линий, найдены времена установления квазистационарного режима, определены характерные размеры токовых слоев.

4 Заключение

В данной работе приведено описание двумерных и трехмерных МГД моделей пересоединения магнитных силовых линий вблизи нулевой Х-точки (Х-линии) магнитного поля под действием внешних возмущений.

Для нулевых точек третьего порядка исследована проблема структурной устойчивости конфигурации магнитного поля при перезамыкании силовых линий. Были рассмотрены структурно устойчивые и структурно неустойчивые магнитные конфигурации с двумя нулевыми линиями. В обоих случаях финальная конфигурация не имела сепаратрисы, соединяющей две нулевые линии, и обладала меньшей симметрией, чем начальная конфигурация. Исследованы токовые слои, получаемые в результате перезамыкания силовых линий в структурно неустойчивых магнитных конфигурациях при распространении двух типов волн: альфвеновских и магнитозвуковых. В случае структурно устойчивой магнитной конфигурации наблюдается глобальное перераспределение электрического тока, которое обусловлено нелинейным взаимодействием магнитозвуковых и альфвеновских волн. С помощью численного моделирования для двумерной модели показана возможность перестройки структурно неустойчивой конфигурации в структурно устойчивую. Определены режимы перехода структурно неустойчивых магнитных конфигураций в структурно устойчивые. Проведен анализ временной эволюции основных характеристик плазмы. Основным результатом в анализе временной эволюции характеристик плазмы является наличие двух максимумов в распределении во времени плотности электрического тока. Первый максимум соответствует локальному формированию токового слоя, второй - глобальному перераспределению электрического тока во всей расчетной области. Найдены времена насыщения плазмы и установления квазистационарного режима.

Для трехмерной системы МГД уравнений разработан численный метод решения, основанный на использовании полунеявного метода Шнака. На основе результатов численного моделирования процесса формирования токовых слоев в трехмерных магнитных конфигурациях при возбуждении с границы МГД волны с использованием разработанного кода показано, что вблизи нулевой точки магнитного шля образуются токовые слои, характеризующиеся высокой концентрацией тока. Так как процесс магнитного перезамыкания и формирования токовых слоев в двумерных магнитных конфигурациях хорошо изучен, то исследование магнитных конфигураций с трехмерной геометрией начато с конфигураций, подобных двумерным. Затем были рассмотрены существенно трехмерные конфигурации магнитного поля. Показано, что во всех случаях в течение всего времени процесса плотность плазмы существенно не меняется.

Показано, что на временах порядка 10 альфвеновских времен токовый слой в азимутально симметричных трехмерных магнитных конфигурациях не образуется.

Исследована временная эволюция основных характеристик плазмы. Так же, как и в двумерных магнитных конфигурациях, в трехмерных магнитных конфигурациях, в которых формируется токовый слой, плотность электрического тока имеет максимальное значение в момент формирования токового слоя.

1. Alfven. Cosmical Electrodynamics. Oxford Univ. Press. London. 1950. 2j T. Amari, J. J. Aly. Astron. Astrophys. 231, 213 (1990).

2. G. Bateman. MHD instabilities. MIT Press. Cambridge. USA. 1978.

3. V. S. Berezinskii, S. V. Bulanov, V. L. Ginzburg, V. A. Dogiel and

4. V. S. Pruskin. Astrophysics of Cosmic Rays. North-Holland, Elsevier Sci. Publ., В. V. Amsterdam. 1990.

5. J. Bim, M. Hesse, K. Schindler. J. Geophys. Res. 94, 241 (1984).

6. D. Biskamp. Magnetic reconnection. Physics Rep. 4, 179 (1994).

7. J. P. Boris, D. L. Book. J. Сотр. Phys. 11, 38 (1973).

8. S. V. Bulanov, G. I. Dudnikova, V. P. Zhukov, I. Ar. Inovenkov, V. V. Pichushkin. Phys. Lett. 203, 219 (1995).

9. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin. Physics of Plasmas 6, 802 (1999).

10. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro,

11. V. V. Pichushkin. Abstracts of 9-th International Toki Conference. Japan. Toki. 101 (1998).

12. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro,

13. V. V. Pichushkin. Abstracts of 9-th International Toki Conference. Japan. Toki. 101 (1998).

14. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichushkin. J. Plasma Fusion Res. Series 1, 234 (1999).

15. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro, V. V. Pichishkin. J. Plasma Fusion. Res. Series 1, 576 (1999).

16. S. V. Bulanov, E. Yu. Echkina, I. N. Inovenkov, F. Pegoraro,

17. V. V. Pichushkin, J.-I. Sakai Abstracts of University of Tokyo Symposium in 2000. Tokyo. Japan. 2000.

18. S. V. Bulanov, Yu. S. Gvaladze, A. M. Zaborov, M.A.Ol'shanetskij. Comm. Plasma Phys. Controlled Fusion 12, 125 (1989).

19. S. V. Bulanov, M. A. Ol'shanetskij. Phys.Lett. A 100, 35 (1984).

20. S. V. Bulanov, V. V. Pichushkin and K. Schindler. Plasma Physics Reports 22, 979 (1996).

21. S. V. Bulanov, V. V. Pichushkin and K. Schindler. Int. Conf. on Plasma Physics. Japan. Nagqya. (1996).

22. S. V. Bulanov, and J. -1. Sakai Journal of Physics Society of Japan 66, 3477 (1997).

23. S. V. Bulanov, J. -I. Sakai. The Astrophys. Journal Supplement Series 117, 599 (1998).

24. B. Coppi, G. Laval, R. Pellat. Phys. Rev. Lett. 16, 1207 (1996).

25. S. W. H. Cowling. J. Plasma Phys. 12, 314 (1974).

26. J. W. Dungey. Phil.Mag. 7, 725.(1953).

27. E. Yu. Echkina, S. V. Bulanov, I. N. Inovenkov, P. Pegoraro

28. V. V. Pichushkin. Bulettin of the American Physical Society 44, 66 (1999).

29. T. G. Forbes, E. R. Priest. Rev. Geophys. 25, 1587 (1987).

30. H. P. Furth, J. K. Killer, M. N. Rosenbluth Phys. Fluids 6, 459 (1963).

31. J. M. Greene. J. Geophys. Res. 93, 8583 (1988).

32. J. M. Greene. Phys. Fluids 5, 2355 (1993).

33. T. S. Hahm, R. M. Kulsrud. Phys. Fluids 28, 2412 (1985).

34. Douglas S. Earned and D. D. Schnack Journal of computational physics 65, 57 (1986).

35. Douglas S. Earned, and W. Kerner. Jornal of computational physics 60, 62 (1985).

36. M. Hesse, K. Schindler. J. Geophys. Res. 93, 5559 (1988).

37. M. Hesse, J. Birn, K. Schindler. J. Gheophys. Res. 95, 18929 (1990).

38. M. Hess. Recent developments in the theory of three-dimensional magnetic reconnection. Advances in Solar System Magnetohydrodynamics. Eds. E.R.Priest and A.W.Hood. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 221 (1991).

39. E. W. Jr. Hones. Magnetic reconnection in space and laboratory plasmas. Geophysical monograph 30. American Geophysical Union. Washington DC. 1984.

40. W. J. Hughes, D. G. Sibeck. J. Geoph.ys.Res. 14, 636 (1987).3738 39 [40 [4142 43 [44 [45 [4647

41. K. Koyamada, T. Itoh. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 1, 319 (1995).

42. J. N. Leboeuf, T. Tajima, J. M. Dawson. J. Сотр. Physics 31, 379 (1979).

43. В. C. Low. Astrophys. J. 409, 538 (1993).

44. H. G. Mitchell, J. R. Kan. J. Plasma Phys. 20, 31 (1978).

45. H. K. Moffat. Magnetic Field Generation in Electrically Conducting fluids. Cambridge University Press, England, 1978.

46. G. Moretti, M. Abbetti. GASL Tech. Pept. 584 (1966).

47. T. Ohkawa, M. Chu, C. Chu, M. Schaffer. Nucl. Fusion 20, 1464 (1981).

48. E. N. Parker. Astrophys. J. Suppl. 8, 177 (1963).

49. G. S. Patterson, S. A. Orszag. Phys. Fluids 14, 2538 (1971).

50. H. E. Petschek AAS-NASA Symposium on the Physics of Solar Flares, NASA Spec. Publ. SP-50, 425 (1964).

51. A. M. Popov, V. Chan, M. S. Chu, Y. Q. Liu, B. W. Rice. Physics of Plasmas 6, 248 (1999).

52. A. M. Popov, Y. Q. Liu. Abstracts of European Physical Society. "Modelling Collective Phenomena in Complex Systems" 22F, 296 (1998).

53. R. Posenau. Phys. Fluids 22, 849 (1979).

54. B. Roberts, E. R. Priest. J. Plasma Phys. 14, 417 (1975).

55. C. Ridgway, T. Amari, E. R. Priest. Astrophys. J. 378, 773 (1991). C. Ridgway, T. Amari, E. R. Priest. Astrophys. J. 385, 718 (1992). J.-I. Sakai. Sol. Phys. 169, 367 (1996).

56. J.-I. Sakai, C. De Jager. Sol. Phys. 173, 347 (1997).

57. J.-I. Sakai, C. De Jager. Space Sci. Rev. 77, 1 (1996).

58. D. Schnackand J. Killen. J. Comput. Phys. 35, 110 (1980).

59. K. Shindler, M. Hesse, J. Brin. Comm. Plasma Phys. Contrail. Fusion 12, 113 (1989).

60. В. K. Shivamoggi Phys. Rep. 127, 99 (1985).

61. B. U. O. Sonnerup. J. Plasma Phys. 4, 161 (1970).

62. J. O. Stenflo. Solar photosphere, structure, convection and magnetic fields. Kluwer Academic. Dordrecht. Netherlands. 1990.

63. P. A. Sweet Ann. Rev. Astron. Astrophys. 7, 149 (1969).

64. P. A. Sweet. Electromagnetic Phenomena in Cosmic Physics.ed. by B. Lehnert (Cambridge University Press), 1958, 122.63j T. Tajima. Computational plasma physics: with application to fusion and astrophysics. Addision-Wesley. 1989.

65. V. M. Vasyliunas. Rev. Geophys. Space. Phys. 13, 303 (1975).

66. V. Ad. Vasyliunas. Magnetosheric particles and fields. В. M. McCormac. ed. D. Reidel. Hingham. Mass. 99 (1976).

67. J. Wesson. Tokamaks. Clarendon Pres. Oxford 1987.

68. R. B. White. Resistive instabilities and field line reconnection. basic Plasma Physics I. eds. A. A. Galeev and R. N. Sudan, Handbook of Plasma Physics, vol.I. eds. M. N. Rosenbluth and R. Z. Sagdeev.1. North-Holland 611 (1983).

69. R. B. White. Theory of Tokomak Plasmas. Amsterdam: North Holland, 1989.

70. F. Wu, В. C. Low. Astrophys. J. 312, 431 (1987).

71. E. G. Zweibel. Astrophys. J. 376, 761 (1991).

72. В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука. 1978.

73. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные методы. М. Наука. 1987.

74. Г.Бейтман. МГД-неустойчивости. М. Энергоиздат 1982.

75. С. И. Брагинский. ЖЭТФ 47, 1084 (1964).

76. С. В. Буланов, И. Я . Бутов, Ю. С. Гваладзе, А. М. Заборов,

77. М. А. Олыианецкий, Р. Г. Салуквадзе, Б. Д. Цирцимия. Физика плазмы 12, 309 (1986).

78. С. В. Буланов, Г. И. Дудникова, Т. Ш. Есиркепов, В. 17. Жуков, И. Н. Иновенков, Ф. Ф. Каменец, Т. В. Лисейкина, Н. М. Наумова,

79. Л. Ночера, Ф. Пегораро, В. В. Пичушкин, Р. Поцолли, Д. Фарта. Физика плазмы 22, 783 (1996).

80. С. В. Буланов, Г. И. Дудникова, В. П. Жуков, И. Н. Иновенков, В. В. Пичушкин. Труды ИОФАН 51, 101 (1996).

81. С.В. Буланое, Е. Ю. Ечкина, И. Н. Иновенков, Ф. Пегораро, В. В. Пичушкин. Физика плазмы 26, 1 (2000).

82. С. В. Буланов, Ф. Пегораро. Физика плазмы 19, 1120 (1993).

83. С. В. Буланов, М. А. Олъшанецкий. Физика плазмы 11, 727 (1985).

84. С. В. Буланов, П. В. Сасорое. Письма в ЖЭТФ 27, 554 (1978).

85. С. В. Буланое, С. И. Сыроватский. Физика плазмы 6, 1205 (1980).

86. С. В. Буланов, Е. Ю. Ечкина, И. П. Иновенков, А. В. Леоненко. Труды конференции. 8-ая Международная конференция по компьютерной графике и визуализации. Москва. Россия 57 (1998).

87. С. В. Буланов, А. Г. Франк. Физика плазмы 18, 1535 (1992).

88. К. В. Брушлинский, А. М. Заборов, С. И. Сыроватский. Физика плазмы 6, 297 (1980).

89. А. А. Галеев. Основы физики плазмы.ред. Сагдеев Р. 3. Розенбдют М. Н. М.: Энергоиздат, 2 1984.

90. С. К. Годунов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М. Наука, 1976.

91. Ю. Н. Днестровский, Д. П. Костомаров. Математические модели физики плазмы. М. Наука, 1993.

92. Е. Ю. Ечкина, И. Н. Иновенков, О. А. Павлова. Труды конференции. 8-ая Международная конференция по компьютерной графике и визуализации. Москва. Россия 59 (1998).

93. Е. Ю. Ечкина, И. Н. Иновенков, А. В. Леоненко. '.Груды конференции. 9-ая Международная конференция по компьютерной графике и визуализации. Москва. Россия 34 (1999).

94. Б. Б, Кадомцев. Физика плазмы 1, 710 (1975).

95. Б. Б. Кадомцев. УФН 151, 3 (1987).

96. Б. Б. Кадомцев. Коллективные явления в плазме. М. Наука 1976.

97. Б. Б. Кадомцев. Физика плазмы 10, 1991.

98. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М. Наука 1982.

99. Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. М. Наука 1980.

100. А. Н. Мариничев, М. Л. Трубович, Н. Г. Зенкевич. Физико-химические расчеты на микроЭВМ. JI. Химия 1990.

101. Г. Моффет. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М. Мир 1980.

102. Е. Паркер. Космические магнитные поля (в двух частях). М. Мир 1982.

103. Т. Постои, И. Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М. Мир 1980.

104. Э. Р. Прист. Солнечная магнитогидродинамика. М. Мир 1985.

105. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. М. Мир 1980.

106. А. А. Самарский. Теория разностных схем. М. Наука 1989.

107. А. А. Самарский, Ю. А. Попов. Разностные методы газовой динамики. М. Наука 1980.

108. С. И. Сыроватский. ЖЭТФ 60, 1727 (1971).

109. С. И. Сыроватский. ЖЭТФ 50, 1133 (1966).

110. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М. Мир 1977.

111. А. Худ и Э. Прист. Космическая магнитная гидродинамика. М. Мир 1995.

112. Ф. Чей. Введение в физику плазмы. М. Мир 1987.