автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Неявная разностная схема с расщеплением по электронному и ионному давлениям и ее приложение к моделированию некоторых задач динамики высокотемпературной плазмы

Завьялова Наталья Александровна

НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА С РАСЩЕПЛЕНИЕМ ПО ЭЛЕКТРОННОМУ И ИОННОМУ ДАВЛЕНИЯМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ДИНАМИКИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

Специальность 05.13.18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1 з ОКТ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2011

4857076

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор

ЛОБАНОВ Алексей Иванович

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор

ГАСИЛОВ Владимир Анатольевич

Кандидат физико-математических наук ДАНИЛОВ Александр Анатольевич

Ведущая организация:

РНЦ Курчатовский институт

Защита состоится « » О-КЛ 2011 года в ^ час. на

заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер. д.9, ауд. 903 КПМ.

Автореферат разослан « » ШщЦЛ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

О.С. Федько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большое значение в исследовании динамики плазмы имеют численные расчеты, которые иногда оказываются единственным способом получения детальной информации о динамике плазмы в установках инерциального термоядерного синтеза. Аналитические решения нелинейных нестационарных задач физики плазмы, как правило, просто невозможны. Таким образом численное моделирование плазменно-динамических процессов стало традиционным методом исследования, наряду с натурным экспериментом.

Часто динамику плазмы описывают с помощью моделей магнитной гидродинамики (МГД). В случае малых плотностей (концентраций) плазмы существенную роль играет эффект Холла. При этом можно построить некоторое упрощение двухжидкостной модели МГД — модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ). Характерной особенностью ЭМГ режимов является вмороженность магнитного поля в электронные течения. Считается, что такое течение можно полностью охарактеризовать вводимой электронной токовой скоростью.

Z-пинч является важным объектом для исследования физики высокотемпературной плазмы. Он интересен тем, что используется для получения фундаментальных знаний по физике плазмы, а также в качестве прикладного объекта. Z-пинчи служат мощными и доступными источниками нейтронов, жесткого и мягкого рентгеновского излучения, быстрых ионов, релятивистских электронов, больших магнитных полей. В [Имшенник B.C., Боброва Н.А., Динамика столкновительной плазмы М.: Энергоатомиздат, 1997.] приведены оценки применимости ЭМГ к описанию z-пинча и показано, что классическая модель МГД неприменима.

Развитие компьютерной архитектуры идет по пути увеличения количества вычислительных узлов. Вычислительные кластеры позволяют уменьшить время расчетов по сравнению с одиночным компьютером, разбивая задание на параллельно выполняющиеся ветки, которые обмениваются данными по связывающей сети. В силу этого актуальны алгоритмы, пригодные для параллельной реализации. Наиболее популярными языками написания таких алгоритмов являются Си и Фортран.

/ <: I. -J

Увеличение мощности современных компьютеров и кластерных систем позволило применять более ресурсоемкие, с вычислительной точки зрения, алгоритмы. В их основе лежат сложные математические модели, включающие описания тонких эффектов. Для подобных моделей целесообразно разрабатывать новые, адекватные им численные методы, поскольку известные на сегодня методы позволяют работать далеко не со всеми интересными эффектами.

Объекты и методы исследования. В диссертационной работе исследована динамика медного и углеродного г-пинчей. Соответствующая математическая модель основана на уравнениях движения двухтемпературной плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики. Для решения системы уравнений был применен метод расщепления. Предложена новая неявная разностная схема с расщеплением по электронному и ионному давлениям. Исследованы свойства этой разностной схемы. Соответствующий программный комплекс реализован на языке фортран. Расчеты проводились с использованием вычислительного кластера МФТИ-60.

Цели и задачи работы. Цель диссертационного исследования заключалась в математическом моделировании динамики г-пинчей. При этом были решены следующие задачи:

• разработка полностью неявной схемы для решения системы МГД-уравнений на подвижной сетке с расщеплением по давлениям и теоретическое изучение ее свойств;

• численная реализация модели для включения в имеющийся программный комплекс на языке фортран;

• проведение вычислительных экспериментов, характеризующих динамику сжатия медного и углеродного г-пинча. Получение оценок потерь энергии на излучение. Эти потери являются следствием закона сохранения энергии, при условии консервативности разностной схемы.

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. В частности, для расчета динамики высокотемпературной плазмы построена консервативная неявная разностная схема с расщеплением по давлениям. Исследованы свойства разностной схемы. Оценен порядок аппроксимация

инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке.

Анализ динамики излучения медного лайнера показал, что в процессе сжатия существенная часть энергии идет на излучение. При этом максимум значения интегрального потока излучения через границу наступает до максимального сжатия пинча по радиусу.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

Построенная неявная разностная схема с расщеплением по электронному и ионному давлениям для вычисления движения плазмы с вмороженным магнитным полем позволяет производить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по полному. Схема имеет второй порядок аппроксимации.

Эффект Холла влияет на динамику быстрых г-пинчей, определяя проникновение магнитного поля вдоль электродов. Когда температура электронов за ударной волной превышает 250 эВ, формируется тепловая волна.

Расчеты показывают, что на 60-й наносекунде динамики углеродного г-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы температуры и плотности на оси пинча. Этот результат качественно согласуется с экспериментальными данными.

Достоверность положений и результатов, выносимых автором на защиту диссертации, обеспечивается проведенными аналитическими исследованиями разностной схемы и согласованностью результатов, полученных при расчетах, с экспериментальными.

Теоретическая и практическая значимость. Модели и предложенные методы их численной реализации вносят вклад в разработку методов математического моделирования динамики высокотемпературной плазмы. Проведенные исследования могут быть полезны при изучении свойств разностных схем на подвижных сетках.

Разработанный автором модуль программного комплекса на языке фортран позволяет проводить расчеты динамики плазмы г-пинчей из различных материалов, эволюцию их магнитного поля и потери на излучение.

Результаты расчетов могут быть использованы в физике плазмы для изучения динамики г-пинчей, в изучении свойств различных материалов в физике высоких плотностей и энергий.

Результаты работы также могут использоваться в педагогических целях -в курсе лабораторных работ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на всероссийских и международных конференциях и семинарах ведущих институтов:

• 50-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2007 г., Москва.

• International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific Computing" (NUMGRID2008), июнь 2008 г., Москва.

• 51-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2008 г., Москва.

• Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2009 г, Саров

• 52-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2009 г., Москва.

• International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific Computing" (NUMGRID2010) октябрь 2010 г., Москва.

• Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2010 г, Саров.

• XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23" июнь 2010 г, Белгород.

• Пятая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2011 г, Саров.

• Семинары кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института, научные семинары ФУПМ, 20092011 гг, Москва.

Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 11-ти работах, в том числе в одной из списка, рекомендованного ВАК РФ [11].

Личный вклад автора. Все научные результаты, изложенные в диссертации, получены лично автором. Автору принадлежит ведущая роль в комплексном исследовании динамики высокотемпературной плазмы на основании математического моделирования и вычислительного эксперимента, построении разностной схемы, изучении ее свойств, написании программы и интерпретации результатов.

Роль соавтора заключается в следующем. Лобанову А.И. принадлежит постановка задач проводимых исследований, обсуждение результатов и их интерпретации.

Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Московском физико-техническом институте (государственном университете) в рамках проектов:

• ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, ГК П954;

• РФФИ 07-01-00381-а (2007-2009гг);

• РФФИ 10-01-00751-а (2010-2011гг).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации составляет 108 стр., содержит 40 рисунков и список использованных источников из 66 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность и важность исследуемых проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы. Отмечается научная новизна, практическая ценность, апробация работы и благодарности.

В первой главе представлен обзор математических моделей динамики высокотемпературной плазмы. Описаны основные задачи, возникающие перед исследователями, изучающими z-пинчи. Проанализированы экспериментальные и теоретические исследования последних лет, касающиеся этой темы. Так же отдельным подразделом описана модель электронной магнитной гидродинамики: ее возникновение, изучение и применение.

Во второй главе приведены уравнения математической модели, описан численный метод для решения этой задачи, исследованы свойства разностной схемы на подвижной сетке. Данные результаты получены в соавторстве с Лобановым А.И., были доложены на конференциях и опубликованы в [1 - 5, 9,11]

Математическая модель динамики быстрого z-пинча, включает в себя уравнения движения двухтемпературной плазмы в ЭМГ приближении [A.C. Кингсепп, К.В. Чукбар, В. В. Яньков, Электронная магнитная гидродинамика / Вопросы теории плазмы. — М: Атомиздат, 1987., Морозов А.И. Введение в плазмодинаыику, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006]:

—+ рсЦуу = 0, = ^ +

Л 81 ) (1)

сЫ 1 _,„ ГгсЛВхВ]

— =---^ас^ + А-1,

Л р 4яр £2)

~АМеГ/ге +с!1у(кеёга£1(7;)) + е-а, -ШуБ,

А ш у (3)

~ = -СИУУ+СНУ(К,.-^(Г^ + ве,,

А Л (4)

Система уравнений Максвелла, тепловые потери и перенос излучения в одногрупповом диффузионном приближении. оВ

— = -го1Е,

д(

Л = кЛВ,

4л

Е = -К х В] + ^ —— " К),

а Р2е//

Л 11 е 2ЛсоЛ |В|

ст

. Л

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

РV/

ее=4Г„ Ре=АрР2е[гТе, е, =Ае7}, Р1=ЛррТь

Шу8 = -|(4е1аСБГ4-С/), 8 = -^гаёС/,

ке =3,16ге#рГете, к(- =3,9р7]т/-.

Предполагается, что вектор напряженности магнитного поля имеет только азимутальную компоненту. Уравнения (1)~(4) описывают МГД течения, проникновение магнитного поля в материал плазмы описывается уравнениями (5-8). Для учета двужидкостных эффектов введена - электронная токовая скорость (10). Все уравнения модели записаны в безразмерном виде.

Большинство переменных в уравнениях дано в стандартных обозначениях. Индексы i и е соответствуют электронам и ионам, zeff — эффективный заряд ядра, J(zejj) — потери на ионизацию, соде — параметр Холла, Ке и К; — электронная и ионная теплопроводность, А — число нуклонов в ядре, константы, входящие в уравнения состояния Ае = 14,38, Ар = 9,68-10-2. U — неравновесная интенсивность излучения, о — проводимость плазмы, аСБ — постоянная Стефана-Больцмана. Для длины свободного пробега фотонов использовалась зависимость

i=i0TeV2.

Для расчета потерь на ионизацию использовался скейлинг [D.E. Post, R. V. Jensen, С. V. Tarter et al. Steady-state radiative cooling rates for low-density high-temperature plasmas / PPPL-1252, Princeton Univ.,

0,85 + 0,15 Zz

zjL+zJL+zJL 6 2 6

зависимость среднего

заряда иона от температуры = 9Геш, Ъ — зарядовое число.

Для электрон-ионной релаксации использовалось соотношение

=8,48.10-'.^.^.

Выражение для частоты электронно-ионных столкновений необходимо для оценки коэффициентов теплопроводности и электропроводности, а также для оценки параметра Холла. Для времени столкновений имеем [Брагинский С.И. явления переноса в плазе. - в сб. Вопросы теории плазмы- М.: Атомиздат, 1963, вып. 1, с.183-272 1969]

хе =—=-—(Ге)3/2, ^ — кулоновский логарифм.

Для проводимости использовались формулы [Брагинский С.И. явления переноса в плазе.-в сб. Вопросы теории плазмы-М.: Атомиздат, 1963, вып. 1, с.183-272 1969 г]

ст = ит =-_(Т)3/2=_-_(Т)3'2

е е . ГГ— . 1 {1е> . /-„ Х^е)

4ч/2я

Послойный переход осуществляется по схеме расщепления по физическим процессам [Н.Н. Яненко, В.М. Ковеня, Метод расщепления в задачах газовой динамики. - Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1981]. В рамках такого подхода решение системы уравнений сводится к

последовательности задач, которые по отдельности не аппроксимируют

исходную систему, но для решения отдельных подзадач можно

предложить эфективные численные алгоритмы. Совокупность этапов

расщепления в сумме аппроксимирует исходную задачу.

На первом этапе рассматривалось идеальная магнитная

гидродинамика — движение плазмы без учета диссипативных эффектов

и излучения. Неявная разностная схема для этого этапа строилась на

основе вариационного метода [A.A. Самарский, A.B. Колдоба, Ю.А.

Повещенко Разностные схемы на нерегулярных сетках — Минск:

Критерий, 1996.].

Уранение движения:

dv I Jn [rotBxB]

— =---grad/Ч---,

dt p 4лр

Проекции уравнения движения узлов сетки на оси системы координат:

11 ml ~ 11 ml

Vml'Vni

К 1

м,

ч

ml Ы1 4

X

ml Jt=l

* 8я

ч

¿2 k 8 я

dSlt

ant

dz

(11)

(12)

ml

Для исключения давления из уравнений движения используем

уравнение ионной энергии первого этапа расщепления р £&,

---- = —р, шуу,

А ей

которое не включает в себя диссипативные слагаемые, слагаемые, связанные с обменом энергиями электронов и ионов за счет столкновений, и теплопроводность. Для записи разностного аналога оператора дивергенции использовалась разностная аппроксимация [А.А. Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко и др. Разностные схемы на нерегулярных сетках - Минск: «Критерий», 1996]. Дискретный аналог уравнения для ионной энергии

Р S/-E,-А т

1

П

ml Ы1

8S2

■ml

Давление зависит от температуры р^АррТ/А отсюда Т^р<А/Арр внутренняя энергия выражается через температуру соотношением 8/=ЛеГ/ следовательно, е,=АеА/Ар ■pJр.

Подставляя в уравнение энергии значение внутренней ионной энергии на верхнем слое, выраженное через давление, получаем разностные уравнения:

П

т!

\ Р /

тт1 • V

р. --тЧ А

дО.

8г,

1т1

дак

И V,

т1'

Из них можно исключить уравнениями движения (11) и (12).

Теперь рассмотрим уравнение электронной энергии

воспользовавшись

Р«г У.+ДуЬуе« -Аге//)

Н

дП

т!

дк

ик+-

дП

'т! .

Действуя аналогично, исключим электронную внутреннюю энергию на верхнем слое. Тогда

П.

«т/

Л

/■ \ л

' 1 V

~1т1 Лг=1

ап

т1 •

ик +-

за

т1

V*

= 0.

дгк дгк

Построенная разностная схема немонотонна [9]. Для уменьшения амплитуды осцилляций на разрывных решениях использовалась искусственная вязкость т), м> — весовой коэффициент [А.А. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1980. - 392 с]. Кроме того, из разностного уравнения для электронной энергии исключим электронное давление на верхнем слое, заменив его разностью полного и ионного давлений. Окончательно получим систему разностных уравнений для полного и ионного давлений:

г .

а

т!

Р У

(р~ р, + +Лге(г)) +

к=1

сП

дп

т1 * , ЗО-п й(

Вш1

А

= 0,

4

^ (Д- + (1 - м)ц) + + АР) А

Вектор напряженности магнитного поля в рассматриваемых

задачах имеет только один компонент по азимутальному углу В = (0,Вф,0). Тогда уравнение вмороженности магнитного поля в

dB ПА-

материал плазмы есть — = -5divv.

Следствием этого уравнения является интеграл B^S^ = B^S^. Интеграл вмороженности, записанный для каждой ячейки, замыкает систему разностных уравнений.

Определив ионное давление, полное давление и напряженность магнитного поля на верхнем слое, можно определить скорости с использованием (11, 12). Новые координаты узлов сетки получаются при численном интегрировании уравнений движения. Термодинамические параметры вычисляются с использованием уравнений состояния.

Для решения нелинейных разностных уравнений используется метод Ньютона. Возникающая система линейных уравнений для приращений аргумента в методе Ньютона решается методом последовательной верхней релаксации с использованием программ вычислительной библиотеки численного анализа НИИВЦ МГУ [.Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ: [Электронный ресурс]: Электрон. ст. — Режим доступа к ст.: http://www.srcc.msu.su/num anal/lib na/cat/cat5.htm Затем, зафиксировав найденное значение ионного давления на верхнем слое, с помощью линеаризации по Ньютону находится значение полного давления и напряженности магнитного поля (магнитной индукции) без учета диссипативных эффектов (конечной электропроводности среды).

Для перестроения расчетной сетки использовался вариационный метод [Charakhch 'yan A. A variational form of the Winslow grid generator./ A. Charakhch 'yan, S. Ivanenko //Journal of Computational Physics. - 1997. -Ns 136. - P. 385-398.]. В том случае, когда после завершения первого этапа расчета (МГД - предиктор) величина шага по времени достигала минимального допустимого значения, применялась процедура перестроения подвижной сетки с последующим консервативным пересчетом значений на новую сетку.

Граничные условия.

Для достижения однородности разностной схемы вводились фиктивные ячейки, имеющие общую грань с приграничными. Их форма и способ задания величин в них зависели от конкретного вида граничного условия.

На электродах ставилось условие непротекания (У,п) = 0, дР/дп = 0. Фиктивные ячейки строились зеркальным отражением узлов относительно поверхности электрода, значения плотности и давления определялись сносом.Считалось, что ток течет нормально к поверхности электродов и дВ^/дп = 0, где п — направление внешней нормали.

На границе с вакуумом область окружалась фиктивными ячейками нулевого объема, плотность и давление в них полагались нулевыми. Напряженность магнитного поля связана с полным током во внешней цепи Вф = 0,21/Я, газокинетическое давление Р = 0.

Вблизи особой точки г -»0 представляют интерес только ограниченные решения. Из неразрывности 5ф получаем условие

=0. Скорость на оси симметрии уг = 0. Тепловой поток также равен нулю кдТ/дг = 0,, отсюда получаем условие для производной температуры 8Т/дг\ _0 =0.

На оси пинча для системы дифференциальных уравнений ставится условие симметрии. Но система разностных уравнений теряет аппроксимацию при /*-» 0. Поэтому для сохранения аппроксимации условия на оси заменялись условиями на жесткой стенке, расположенной на расстоянии 0,01 от оси симметрии.

Считается, что падающее извне излучение отсутствует. Тогда интенсивность излучения связана с потоком соотношением

и+-(8,п) = 0, где 1/ — интенсивность излучения.

2

Для систем гиперболического типа расчет по неявным схемам дает адекватные результаты при числе Куранта, не превосходящем единицу. Но применение неявной схемы позволяет снять существенные ограничения на шаги по времени при взаимодействии ударных волн. В этом случае условие устойчивости Куранта для явных схем дает значение временного шага, стремящееся к нулю.

На подвижной сетке были исследованы дискретные аналоги дифференциальных операторов, используемые в записи разностных уравнений. Результаты теоретических исследований были проверены на тестовых сетках. Форма сетки сильно на порядок аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов: в случае наличия у ячейки острых или тупых углов невязка обратно пропорциональна

синусу этого угла, т.е. в случае вырождения ячеек стремится к бесконечности.

Если использовать сетку, ячейки которой максимально приближены к прямоугольникам (построенную с оптимизацией по углу), то вырождения ячеек не происходит в начале процесса. Это

соответствует теоретическим оценкам аппроксимации.

Третья глава посвящена результатам численного

исследования динамики медного г-пинча. Данные результаты получены в соавторстве с Лобановым А.И., были доложены на конференциях и опубликованы в [2,6-8, 10, 11].

В межэлектродное

пространство из сопла выдуваются распределение материала гауссово.

составляют

z 7

в

0 Р Г

Рис.1. Схема разрядной камеры

пары

меди. Первоначальное Линейные размеры образующейся медной перемычки несколько сантиметров (Д=1 см, 2=\ см, см рис. 1).

При запуске установки на электроды подается 2 импульса тока. Первый - предимпульс, его амплитуда составляет несколько мегаамперов. В результате его воздействия происходит электрический пробой, материал, находящийся между электродами ионизуется. Второй, основной, импульс тока, нарастает по синусоиде, имеет продолжительность 100 не и амплитуду несколько мегаампер. Время переходных процессов очень мало, так что ими можно пренебречь. Считать, что после включения тока (подаче второго импульса) во внешней цепи между электродами находится плазма, однородная по составу, которая начинает свое движение под воздействием магнитного поля.

Приведены результаты расчетов на сетке 20 на 20 ячеек. Опишем кратко динамику процесса.

На начальном этапе процесса, когда магнитное давление в системе меньше газокинетического, происходит расширение плазмы в вакуум. Ко времени 30 не вблизи свободной границы повышается плотность плазмы из-за эффекта «снежного плуга». Процесс развивается как одномерный. Магнитное поле вытесняется в скин-слой около

свободной границы. Эти области соответствуют большим значениям ротора магнитного поля. Здесь как следствие джоулева нагрева происходит выделение тепла. Ионы нагреваются за ударной волной вследствие адиабатического сжатия.

Примерно при 60 не в расчете наблюдается первый нелинейный эффект. Когда температура электронов за ударной волной превышает 250 эВ. Распространение электронной температуры происходит в виде тепловой волны. Такие решения, присущи квазилинейным уравнениям параболического типа. Профиль температуры имеет характерный для этих решений вид (рис. 2). Скорость тепловой волны превышает скорость ударной волны. Ко времени 70 не тепловая волна достигает центра области, прогревая материал плазмы до 250-300 эВ и повышая степень ионизации. Так как перепад давлений на ударной волне уменьшился, то скорость ее распространения по материалу лайнера тоже падает. Из-за охлаждения электродов вблизи них формируются минимумы температуры. Именно при этом времени начинают существенно сказываться двумерные эффекты.

Сразу после фокусировки ударной волны на оси пинча образуются локальные области повышенных температур (электронной и ионной). При тех параметрах погонной плотности, которые использованы в данном расчете, момент кумуляции ударной волны — примерно 78 не. Параметр Холла для этого расчета соет„ = 0,01. Ко времени кумуляции пинч сжимается примерно в 10 раз по радиусу.

При больших значениях параметра Холла (соете = 5) образуются «языки» магнитного поля, которые проникающие в материал плазмы (рис. 3). Магнитное поле быстрее проникает в материал вдоль электродов из-за эффекта Холла.

1:2:4 0.2 0.15 0.1 0.05

Рис. 2. Сверху — распределение электронной температуры для времени 60 не. Виден профиль температуры характерный для тепловой волны, распространяющейся по холодному фону. Снизу — распределение магнитного поля при времени 65 не, соете = 5. Начало формирования языка около электрода

В малошютной области внутри лайнера, по которой течет ток, выделяется значительное джоулево тепло. Это приводит к повышению температуры около анода (рис 3). При небольших значениях параметра Холла такого эффекта не возникает.

Рис. 3. Слева — распределение напряженности магнитного поля при значении параметра Холла = ^ для времени 79,5 нс.

Справа — распределение напряженности магнитного поля при смене полярности эектродов и при значении параметра Холла соете = 0,01 при времени 82 не. При большом значении параметра Холла видны «языки» проникновения магнитного поля, сильное проникновение вдоль анода (при г = 1). При уменьшении параметра Холла язык около анода слабо выражен.

В четвертой главе представлены результаты численного исследования углеродного г-пинча. Данные результаты получены в соавторстве с Лобановым А.И., были доложены на конференциях и опубликованы в [4, 5, 10].

Между электродами находится перемычка из органического материала (майлар или агар-агар). Ее начальная форма показана на рис.4. Линейные размеры перемычки Ъ = 10 мм, II = 2 мм. Начальное значение погонной плотности р = 1,88х1(Г2 г/см. Значение параметра Холла соете = 0,1.

Опишем динамику процесса. Расчеты проведены на сетке 20 на 80 ячеек. Под действием газокинетического давления начальная округлая выемка в материале начинает затягиваться, что заметно на распределении осевой скорости. Ко времени 25 не в области выемки падают термодинамическое давление и электронная и ионная температуры из-за магнитного давления. Такое падение является следствием проникновения магнитного поля в материал плазмы в окрестности первоначальной выемки. Неоднородность в распределении магнитного поля внутри плазмы на начальном этапе процесса (при разлете плазмы) приводит к образованию ионной струи в области первоначальной выемки (рис. 5). В этой же окрестности начинается сжатие плазмы под действием магнитного давления. Струя направлена в вакуум (рис. 5).

В начале процесса ток незначительно нагревает плазму. Экранировки поля не происходит, следствием этого является диффузионное проникновение магнитного поля в материал.

К 40 не свободная граница становится несимметричной. Это вызвано влиянием силы электронного трения, зависящей от разнонаправленных градиентов электронной температуры.

Из-за сильной неравномерности прогрева материала и образования зон с повышенной электронной температурой формируются «языки» проникновения поля. Поскольку магнитная вязкость зависит от температуры, высокотемпературные области приводят к экранировке поля и вытеснению его на границу. В области низкой температуры плазмы из-за большого значения коэффициента магнитной диффузии поле активно проникает в материал.

I 2И

<Г

Р/2

Рис. 4. Начальная форма перемычки

Рис. 5. 25 не. Ионная скорость. Видно образование ионной струи.

I

Рис. 6. Расппеделение скооостей 58 не.

Ко времени 58 не по краям выемки формируются 2 вихря (см. рис 6). В области первоначального выреза, где идет активное сжатие. Распространяющаяся в радиальном направлении ударная волна выходит на ось. В это же время «языки» магнитного поля достигают внутренней границы.

Electron temperature

'ot.daf uafcig 1:2:4 -

0.05 ........

0.04.........

0.09 -------

0.02

0.01 ......

Рис. 7. 60 не распределение электронной температуры

К 50 не во всей окрестности первоначального выреза идет активный процесс сжатия. В центре области, формируются три ударных волны. Прямая волна распространяется от середины правой границы к оси пинча. Две косые волны, расширяя выемку, идут к электродам. За счет адиабатического сжатия ударными волнами образуются несколько максимумов ионной температуры г1ш1х = о,16КэВ (гегаах = 0,016КэВ).

По-видимому, в этих областях прогрев электронов также происходит благодаря джоулеву нагреву и, в силу достаточно большой плотности, из-за обмена энергией с ионной компонентой за счет электрон-ионных столкновений.

К 60 не значение магнитного поля на внутренней границе увеличивается. Здесь значительно возрастает плотность электрического тока и начинается формирование горячей точки - образуются локальные максимумы электронной температуры и плотности. Глобальный максимум электронной температуры все еще находится на правой границе и составляет Тетх = 0,055КэВ (см. рис. 7).

Magnellc Held

'otdaf uslng 2:1:5

40 30 20 10

0

45 40 35 30 25 20 15

-5

0

0.

0.7

0.8

z

Рис. 8. 60 не. Распоеделение магнитного поля.

Прогрев ионов происходит за счет адиабатического сжатия ударной волной. Ионная температура существенно превосходит

В распределение электронной температуры есть несколько максимумов, находящихся возле свободной границы (см. рис. 7). В область более низких температур магнитное поле проникает быстрее из-за низкого значения магнитной вязкости. Характер проникновения диффузионный. В областях больших скоростей и температур перенос магнитного поля осуществляется за счет электронных течений (рис. 8).

В динамике пинча из органического материала эффект Холла играет несущественную роль. Характер первоначального прогрева во многом определяется начальной геометрией расчетной области. Возможно, дальнейшая эволюция поля будет зависеть от параметра замагниченности.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

электронную

Г(т„ = 70КэВ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основании анализа ЭМГ-модели динамики высокотемпературной плазмы проведено расщепление системы уравнений по физическим процессам. Для первого этапа расщепления разработана полностью неявная схема для решения системы МГД-уравнений на подвижной сетке с отдельными итерациями по давлениям. Исследованы свойства схемы.

2. МГД-модель реализована числено. Разработан соответствующий программный комплекс.

3. Проведены серии вычислительных экспериментов, характеризующие динамику сжатия медного и углеродного z-пинчей.

4. Выявлены новые закономерности динамики z-пинчей. В частности, в процессе сжатия медного z-пинча максимум значения интегрального потока излучения через границу наступает до максимального сжатия пинча по радиусу. Большое влияние на процесс сжатия медного пинча оказывает эффект Холла, который определяет проникновение магнитного поля вдоль электродов. Проникновение магнитного поля в плазму углеродного пинча носит диффузионный характер. К 60 не вблизи оси симметрии возрастает плотность электрического тока и формируется горячая точка. Эти результаты качественно согласуются с экспериментальными данными.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Применение математического моделирования динамики высокотемпературной плазмы к решению пинчевой задачи //Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть III. Аэрофизика и космические исследования.: Труды XLV научной конференции. /Моск. физ. - техн. ин-т.- М. - Долгопрудный: МФТИ, 2007. - Т -2, С. 12 - 15.

2. Завьялова H.A. Лобанов А.И. Моделирование динамики быстрого z-пинча с использованием неявной разностной схемы для уравнений магнитной гидродинамики. //Труды XI научной конференции МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН по Математическому моделированию и информатике» - М.: МГТУ «Станкин», - 2008. -С. 24-26.

3. Zavyalova N.A., Lobanov A.I. Computation of high temperature plasma dynamics in Z-pinches using grid rebuilding algorithm //Proc.

International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific computing" (NUMGRID2008). М.:ВЦ PAH-2008. - P. 56-58.

4. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Особенности построения расчетных сеток при решении задачи о динамике высокотемпературной плазмы в Z-пинче //Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть III. Аэрофизика и космические исследования.: Труды XLVI научной конференции. /Моск. физ. - техн. ин-т. - М. -Долгопрудный: МФТИ, 2008. - Т - 2, С. 119-122.

5. Zavyalova N.A., Lobanov A.I. Selection of the initial grid for solving the dynamics of liner made from organic material. //Proc. International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific computing" (NUMGRID2010). М.:Фолиум-2010. - P. 86 - 90.

6. Завьялова H.A. Лобанов А.И. Изучение динамики излучения медного z-пинча //Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст. /Саров: СагГФТИ. -2010 г. - С. 53-54.

7. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Математическое моделирование быстрого медного z-пинча //XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-23" -Саратов: СГТУ. -2010, Т.-8, С. 82-85.

8. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Результаты математического моделирование медного z-пинча //Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладные математика и экономика: Труды XLVII научной конференции. /Моск. физ. - техн. ин-т. - М.-Долгопрудный: МФТИ. - 2009. - Т.-3, С. 125 -128.

9. Завьялова H.A. Лобанов А.И. Исследование порядка аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке //Пятая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст./Саров: СагГФТИ. -2011 г. -С. 76- 77.

10. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Численное моделирование динамики z-пинчей. //Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст./ Саров: СагГФТИ. - 2009 г. - С. 47 - 49.

11. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Численные расчеты динамики лайнера, сформированного парами меди //Математическое моделирование.-М.: 2011.-Т.23,№4-С. 103-119.

Завьялова Наталья Александровна

НЕЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА С РАСЩЕПЛЕНИЕМ ПО ЭЛЕКТРОННОМУ И ИОННОМУ ДАВЛЕНИЯМ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать_Формат 60 х 84 '/,6. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж_70_экз. Заказ № 78 .

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.:.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Модели динамики высокотемпературной плазмы.

1.2 Численные методы решения уравнений динамики высокотемпературной плазмы.

1.3 Программные комплексы, использующиеся для расчета динамики Ъпинчей.

1.4. Исследования динамики 2-пинчей.

1.9. Выводы.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТЕЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ г-ПИНЧА.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Уравнения модели.

2.3. Численный метод.

2.3.1. Граничные условия.

2.4. Оценка аппроксимации.

2.4.1. Априорная оценка погрешности аппроксимации.

2.4.2. Результаты оценок погрешности на стеках различной структуры

2.4.3. Применение тестовых сеток для расчетов.

2.4.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА МЕДНОГО г-ПИНЧА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Динамика плазмы.

3.3. Динамика излучения.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ОРГАНИЧЕСКОГО г-ПИНЧА.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Результаты расчетов.

4.4. Сравнение с результатами других работ.

4.4.1. Результаты других работ.

4.4.2. Выводы.

Актуальность темы

Важным направлением в изучении динамики высокотемпературной плазмы является математическое моделирование. Результаты расчетов могут использоваться для выбора оптимальных условий проведения экспериментов и детализации процессов, происходящих в плазме. Численные эксперименты допускают исследование задачи в широком диапазоне значений. Кроме того, расчеты являются менее затратными, нежели лабораторные эксперименты.

По мере совершенствования и усложнения экспериментальной техники, изменения параметров экспериментов становится возможным изучать новые явления. Новые эффекты, в свою очередь, требуют появления новых математических моделей. Для этих моделей необходимо разрабатывать соответствующие им численные методы.

Важным объектом для исследования физики высокотемпературной плазмы является 2-пинч. Пинч-эффект - это эффект сжатия сильноточного разряда в результате взаимодействия тока разряда с собственным магнитным полем. Ток в случае г-пинча течет вдоль оси симметрии цилиндрического плазменного столба. Силовые линии магнитного поля, создаваемого током, имеют вид концентрических окружностей, плоскости которых перпендикулярны оси [1]. г-пинч интересен тем, что используется для получения фундаментальных знаний по физике плазмы, а также в качестве прикладного объекта. 2-пинчи служат мощными и доступными источниками нейтронов, жесткого и мягкого рентгеновского излучения, быстрых ионов, релятивистских электронов, высоких магнитных полей.

В связи с успехами техники получения больших импульсных токов появилась возможность использовать пинч-эффект в металлических проводниках в виде тонкостенных цилиндров. Пропускание больших токов через полый цилиндр приводит к его разрушению, сжатию. Имплозия металлических цилиндров в варианте 2-пинча стало широко использоваться в работах по получению импульсных магнитных полей, сверхвысоких давлений, в процессах магнитной сварки металлов и т.д. [2].

В случае малых концентраций плазмы существенную роль играет эффект Холла. При этом можно построить упрощение двухжидкостной модели МГД — модель электронной магнитной гидродинамики (ЭМГ) [3]. Характерной особенностью ЭМГ режимов является вмороженность магнитного поля в электронные течения. Считается, что такое течение можно полностью охарактеризовать вводимой электронной токовой скоростью. В [4] приведены оценки применимости ЭМГ к описанию быстрого малоплотного Z-mmчa.

По сравнению с МГД-моделью система уравнений ЭМГ содержит дополнительные нелинейные слагаемые. Численное решение таких систем предполагаем разработку соответствующих разностных схем.

Цели работы

Целями диссертационной работы являлись:

• разработка полностью неявной схемы для решения системы МГД - уравнений на подвижной сетке, позволяющей проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю;

• исследование порядка аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке, исследование построенной схемы на аппроксимацию;

• реализация соответствующего численного метода для включения в имеющийся программный комплекс;

• проведение вычислительных экспериментов, характеризующих динамику сжатия медных 2-пинчей и 2-пинчей из органического материала. Получение оценок потерь энергии на излучение для понимания процессов, происходящих на финальном этапе сжатия Z-uиячa.

Объекты и методы исследования

В диссертационной работе предложена консервативная неявная разностная схема, построенная с помощью вариационного принципа. Схема позволяет проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю. Исследован порядок аппроксимации предложенной схемы на различных сетках. Рассматриваемая математическая модель включает уравнения движения двухтемпературной плазмы в приближении электронной магнитной гидродинамики. Т.к. 2-пинч симметричен, уравнения модели записаны в г-г геометрии. Для решения системы уравнений был применен метод расщепления по физическим процессам, на первом этапе рассматривалось движение плазмы в приближении идеальной магнитной гидродинамики с вмороженным магнитным полем. На втором этапе рассчитывалось проникновение магнитного поля в плазму с использованием ЭМГ-системы. На последующих этапах учитывались диссипативные процессы (с использованием ЭМГ-слагаемых) и перенос излучения. Модуль программного комплекса, рассчитывающий первый этап расщепления, реализован на языке фортран. На основании вычислительных экспериментов исследована динамика медного Z-шшчa и 2-пинча из органического материала.

Научная новизна

В диссертации для расчета динамики высокотемпературной плазмы построена консервативная неявная разностная схема, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю. Использование неявных схем позволило рассмотреть процессы фокусировки ударной волны на оси 2-пинча и распространение отраженной волны.

Исследована аппроксимация инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке. Показано, что невязка в норме С обратно пропорциональна синусу угла ячейки, наиболее отличного от прямого. Порядок аппроксимации также зависит от разницы характерных линейных размеров ячеек. Построенная схема имеет первый порядок аппроксимации в областях сильных деформаций сетки и вблизи оси симметрии и второй порядок аппроксимации во всей остальной области.

Анализ динамики излучения медного лайнера показал, что при сжатии максимум значения интегрального потока излучения через границу достигается после прихода ударной волны на внутреннюю границу. После этого пинч продолжает сжиматься. В процессе имплозии проявляются нелинейные эффекты, из перегретого района с большой плотностью тока внутрь области распространяется тепловая волна.

Результаты расчетов динамики органического лайнера показывают, что начальная форма перемычки сильно влияет на динамику процесса. Численно показано, что для цилиндрической перемычки с полукруглым вырезом на свободной границе при равномерном начальном распределении плотности ^ р = 1,88x10 г/см, значении параметра Холла соете = ОД и амплитуде импульса 2 МА на 60-й наносекунде с момента подачи импульса на электроды на оси Ъ-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы температуры и плотности.

Научная и практическая значимость

Предложенные численные методы вносят вклад в разработку методов математического моделирования динамики высокотемпературной плазмы. Построенная неявная схема применяется для решения уравнений идеальной двухтемпературной магнитной гидродинамики. Результаты проведенных исследований могут использоваться при изучении свойств разностных схем на подвижных сетках.

Программный комплекс, включающий разработанный модуль, позволяет проводить расчеты динамики плазмы быстрых медных 2-пинчей, плазменных прерывателей и плазменных размыкателей тока.

Результаты расчетов могут быть использованы для дополнения экспериментальных данных о динамики Z-пинчей в фундаментальных и прикладных исследованиях физики высоких плотностей и энергий.

Связь с научными проектами

В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Московском физико-техническом институте (Государственном университете) в рамках проектов:

• ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы, ГК П954;

• РФФИ 07-01-00381 -а;

• РФФИ 10-01-00751-а.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на всероссийских и международных конференциях и семинарах ведущих институтов:

• 50-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2007 г., Москва.

• International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific Computing" (NUMGRID2008), июнь 2008 г., Москва.

• 51-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2008 г., Москва.

• Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2009 г, Саров

• 52-я научная конференция МФТИ, ноябрь 2009 г., Москва.

• International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific Computing" (NUMGRID2010) октябрь 2010 г., Москва.

• Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2010 г, Саров.

• XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23" июнь 2010 г, Белгород.

• Пятая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование», апрель 2011 г, Саров.

• Семинары кафедры вычислительной математики Московского физико-технического института, научные семинары ФУПМ 2009 -2011 гг., Москва.

Публикации

Результаты диссертационного исследования опубликованы в двух статьях из списка, рекомендованного ВАК РФ для опубликования [5, 6], в статьях прочих изданий [7-9], тезисах докладов конференций [10-17].

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

• Построенная консервативная неявная разностная схема для решения системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики с вмороженным магнитным полем, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю.

• Результаты исследования инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке.

• Результаты численного моделирования медных и органических Ъ-пинчей с использованием программного комплекса, учитывающего ЭМГ-эффекты.

Достоверность результатов

Достоверность положений, выносимых автором на защиту диссертации, обеспечивается проведенными аналитическими исследованиями разностной схемы и качественным и количественным соответствием результатов проведенных вычислительных экспериментов экспериментальным данным и результатам расчетов других авторов.

4.4.2. Выводы

Начальная форма перемычки влияет на динамику процесса и на проникновение магнитного поля в материал пинча. Неоднородность в распределении магнитного поля внутри плазмы на начальном этапе процесса (при разлете плазмы) приводит к вытеснению части материала и образованию ионной струи, скорость которой направлена в вакуум.

В области низких температур характер проникновения магнитного поля диффузионный. Из-за наличия температурных максимумов, запирающих поле на свободной границе, оно проникает языками. Эффект Холла в этой задаче играет несущественную роль. Из-за градиентов температуры и плотности возникают мелкомасштабные структуры.

Формирующиеся в процессе сверхзвуковые ионные струи приводят к образованию косых ударных волн. Электроны и ионы при переходе через фронт ударной волны нагреваются

Численно показано, что для цилиндрической перемычки с полукруглым вырезом на свободной границе при равномерном начальном распределении плотности р = 1,88x10 г/см, значении параметра Холла соете = 0,1 и амплитуде импульса 2МА на 60-й наносекунде с момента подачи импульса на электроды на оси 2-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы температуры и плотности.

Результаты расчетов, проведенных для перемычки, образованной двумя усеченными конусами, сравнивались с экспериментальными данными, теоретическими оценками и расчетами других авторов. Выявлено качественное и количественное совпадение результатов по ряду параметров, таких как значения электронной и ионной температур, скорость сжатия пинча, профили излучения, проникновение магнитного поля.

В условиях рассматриваемой задачи к 80 не магнитное поле достигает внутренней границы. Расчеты показывают, что на 80-й не динамики органического 2-пинча появляется горячая точка — образуются максимумы ионной и электронной температуры на оси пинча.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена новая неявная консервативная разностная схема для решения системы МГД-уравнений на подвижной сетке, позволяющая проводить итерации по ионному давлению отдельно от итераций по электронному давлению и магнитному полю.

2. Исследован порядок аппроксимации разностной схемы. Показано, что невязка в норме С зависит от разницы характерных линейных размеров соседних ячеек и от синуса угла ячейки, наиболее отличающегося от прямого. Показано, что схема имеет первый порядок аппроксимации в областях сильных деформаций сетки и вблизи оси симметрии и второй порядок аппроксимации во всей остальной области.

3. Предложенная схема реализована в виде модуля программного комплекса. Проведены расчеты динамики медных г-пинчей. Показано, что максимум излучения наступает после фокусировки ударной волны на ось пинча и до максимального сжатия по радиусу. Реализация разностной схемы и включение модуля в состав программного комплекса позволило рассчитать имплозию медных 2-пинчей, рассмотреть фокусировку ударной волны на оси 2-пинча и распространение отраженной волны.

4. Расчеты динамики 2-пинчей из органического материала показали, что динамика процесса зависит от начальной формы перемычки. В условиях рассматриваемых задач горячая точка на оси г-пинча начинает появляться на 60-й не.

1. Арцимович JI.Il. Элементарная физика плазмы, 3-е изд. — М.: Атомиздат, 1969. 98 с.

2. Лукьянов С.Ю. Горячая плазма и управляемый термоядерный синтез, М.: Наука, 1975.-398с.

3. А.С. Кингсеп, КВ. Чукбар, В.В. Янъков Электронная магнитная гидродинамика / Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1987. - Вып. 16. -С. 243-291.

4. Имшенник B.C., Боброва Н.А. Динамика столкновительной плазмы. М.: Энергоатомиздат, 1997. 320 с.

5. Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Численные расчеты динамики лайнера, сформированного парами меди // Математическое моделирование. М., 2011. — Т. 23, N4.-С. 103-119.

6. Завьялова Н.А. Исследование порядка аппроксимации инвариантных дифференциальных операторов на нерегулярной четырехугольной сетке // Компьютерные исследования и моделирование. М.:2011. Т. - 3, N 4. - С. 352 -364.

7. Завьялова H.A. Лобанов А.И. Изучение динамики излучения медного Z-пинча //Четвертая всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст. /Саров: СарГФТИ. 2010. - С. 53-54.

8. Завьялова H.A., Лобанов А.И. Математическое моделирование быстрого медного Z-пинча / XXIII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-23" -Саратов: СГТУ. -2010. Т. 8, С. 82 - 85.

9. Завьялова Н.А., Лобанов А.И. Двумерное моделирование углеродного Z-пинча./ XXIV Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24" Киев. - 2011

10. Завьялова Н. А., Лобанов А.И. Численное моделирование динамики z-пинчей //Третья всероссийская научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование»: Сб.ст./ Саров: СарГФТИ. 2009 г. - С. 47 - 49.

11. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме. — В сб. «Вопросы теории плазмы» (Под ред. М.А.Леонтовича). — М., Атомиздат, 1963, вып.1. С.183-272.

12. Subhash P.V., Madhavan S. and Chaturvedi S. Numerical simulations for cold layer formation in an inverse Z-pinch magnetized target fusion system // PHYSICS OF PLASMAS 16, 012701 2009. doi: 10.1063/1.3054546 (12p.)

13. Мажушн В.И. Математические модели и моделирование в лазерно -плазменных процессах // ЗНАНИЕ. ПОНИМАНИЕ. УМЕНИЕ, М.:2007. N3. С. 244 259

14. Chittenden J.P., Lebedev S.V., Jennings С.A., BlandS.N., and Ciardi А., X-ray generation mechanisms in 3D simulations of wire array Z-pinches // Plasma Phys. Controlled Fusion 46, 2004. В 457-76.

15. Garasi C.J., Bliss D.E., Mehlhorn T.A. et al. Multi-dimensional high energy density physics modelling and simulation of wire array Z-pinch physics // Phys. Plasmas. 2004. V. 11N 5. doi: 10.1063/1.1683506 (9p.)

16. Грабовский Е.В. и др Использование конусных проволочных сборок для моделирования трехмерных эффектов МГД-сжатия // Физика Плазмы. -2008, Т. 34, N10-С. 885-900.

17. Strickler T.S. Azimutal wire motion and ablation dynamics in Z-pinches : Doctoral Dissertation, University of Michigan, Ann Arbor 2006.

18. Gasilov V.A., D'yachenko S. V., Chuvatin A.S. et al Perfomance Analysis of Magnetic Flux Compression by Plasma Liner // Mathematical Models and Computer Simulations. 2010, V. 21, N 11, P. 57-73.

19. Морозов А.И. Введение в нелинейную плазмодинамику. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 576 с.

20. Thornhill J. W. et al One- and two-dimensional modeling of argon K-shell emission from gas-puff Z-pinch plasmas // Physics of plasmas. — 2007. 063301 V 14, N4. —P. 606-617.

21. Oreshkin V. I., Radiative MHD modeling of implosions of plasma liners: preprint no. 4 / Proceedings of the 4th International Conference on Dense Z-Pinches, Vancouver, Canada, NY, 1997. Vol. 409, P. 247 - 251.

22. Chuvatin A. S., Rudakov L. I., Velikovich A. L., Davis J., Oreshkin V. L, Erratum: Heating of on-axis plasma heating for keV x-ray production with Z-pinches /IEEE Trans. Plasma Sci. 33, 739 2005. — P. 1129 1129.

23. Coverdale C.A., et al Neutron production and implosion characteristics of a deuterium gas-puff Z-pinch // Phys. Plasmas 14, 022706 (2007); doi:10.1063/l.2446177 (7p).

24. Рихтмайер P.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 420с.

25. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики, — Новосибирск: Наука, 1967. — 194 с.

26. Шулъц УД. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа. — В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. — М.: Мир, 1967. С. 9 55.

27. Софронов И.Д., Дмитриев JI.B., Малиновская Е.В. Методика расчета нестационарных двумерных задач газодинамики в переменных Лагранжа: Препринт N 59 / ИПМ им. М.В.Келдыша. — М., 1976. — 175 201 с.

28. Тишкин В.Ф., Тюрина Н.Н., Фаворский А.П. Разностные схемы для расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах: Препринт 23 / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1987. — 38 с.

29. Рождественский Б.Л., Левитан Ю.Л., Моисеенко БД. Численное решение уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа: Препринт 25 / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1971. — 26 с.

30. Арделян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С., Попов Ю.И Исследование магниторотационного взрыва сверхновой в цилиндрической модели // Астрономический журнал. — 1979, Т. 56, N 6. — с.1244-1256.

31. Knupp P., Margolin L., Shashkov М Reference Jacobian Optimization-Based Rezone Strategies for Arbitrary Lagrangian Eulerian Methods. // Journal of Computational Physics. 2002. - N 176. - P. 93-128.

32. Charakhch'yan A. A variational form of the Winslow grid generator // Journal of Computational Physics. 1997. - N 136. - P. 385-398.

33. Франк P.M., Лазарус Р.Б. Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа. — в Сб. Вычислительные методы в гидродинамике. — М.:Мир, 1967. — С. 55-75.

34. Нох В.Д. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжевый метод для расчета нестационарных двумерных задач. — в. Сб. Вычислительные методы в гидродинамике. — М.:Мир, 1967. — С. 128-164.

35. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // ЖВМ и МФ. — 1972, Т. 12, N 2. — С. 429-440.

36. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 424с

37. Арделян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С., Попов Ю.П. Исследование магниторотационного взрыва сверхновой в цилиндрической модели // Астрономический журнал. — 1979. Т 56, N 6. — С.1244-1256.

38. Гущин КС., Попов Ю.П. К расчету задач магнитной гидродинамики с учетом фазового перехода // ЖВМ и МФ. — 1977, Т.17, N 5. — С. 1248-1255.

39. Самарский A.A., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П. Образование Г-слоев при торможении плазмы магнитным полем / Докл. АН СССР. — 1974, Т 216, N 6. — С. 1254-1257.

40. Головизнин В.М., Коршунов В.К. О вариационно-разностных схемах газовой динамики на треугольных сетках: Препринт 17 / ИПМ им. М.В .Келдыша. — М., 1983. —26с.

41. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Об использовании принципа наименьшего действия для построения дискретных математических моделей в магнитной гидродинамике / Докл. АН СССР — 1979, Т. 246, N 5. — С.1083-1088.

42. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский A.A., Фаворский А.П. Двумерные вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики с тремя компонентами скоростей и магнитного поля // ЖВМ и МФ Т. 22, N 4, 1982. —926-942.

43. Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационные схемы магнитной гидродинамики в произвольной системе координат//ЖВМ и МФ. — 1981, T.21,N 1. — С. 54-68.

44. Головизнин В.М. Трехмерные дифференциально-разностные схемы МГД // Дифференциальные уравнения. — 1981, Т.17, N 7. — С. 1222-1227.

45. Гасилов В.А., Головизнин В.М. и др. Численное решение одной модельной задачи о релей-тейлоровской неустойчивости: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1977. N 119. — 18 с.

46. Головизнин В.М., Коршия Т.К. и др. Численное исследование разлета плазмы в магнитном поле: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1978. N61. — 12 с.

47. Гасилов В.А., Головизнин В.М. и др. О численном моделировании релей-тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1979. N 70.

48. Гасилов В.А., Головизнин В.М. и др. Численное моделирование компрессии тороидальной плазмы квазисферическим лайнеров: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1979. N 71.

49. Гасилов В.А., Головизнин В.М., Сороковикова О.С. Вариационный подход к построению дискретных математических моделей газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша — М., 1983. N 35. — 30 с.

50. Волосевич П.П. и др. Процесс сверхвысокого сжатия веществаи инициирование термоядерной реакции мощным импульсом лазерного излучения // Физика плазмы. — 1976., Т.2, N 6. — С. 883-897.

51. Волосевич П.П. и др. Двумерные эффекты при лазерном сжатии стеклянных оболочек // Письма в ЖЭТФ. — 1976., Т.24, вып.5 — С. 283 286.

52. Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных // ЖВМ и МФ. — 1981., Т.21, N 2 — С. 409422.

53. Гасшов В.А., Головизнин В.М. и др. О численном моделировании релей-тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости: Препринт / ИПМ им. М.В.Келдыша. — М., 1979. — N 70. — 15с.

54. Самарский A.A., Колдоба A.B., Повещенко Ю.А. и др. Разностные схемы на нерегулярных сетках — Минск:Критерий, 1996., — 274 с.

55. Гасшов В.А., Дьяченко С.В., Болдарев A.C. и др. Пакет прикладных программ MARPLE3D для моделирования на высокопроизводительных ЭВМ.

56. Davis J., Kondarenko N.A. and Velikovich A.b. Fast commutation of high current in double wire array Z-pinch loads // Appl. Phys. Lett. — 1997, V. 70, 170; doi: 10. 1063/1.118339 (3 p).

57. Jones В., Deeney C., McKenney J.L. et al Seeded Perturbations in Wire Array Z-Pinches / 6th International Conference on Dense Z-Pinches. — July 25, 2005.

58. Esaulov A.A., Kantsyrev V.L., Safronova A.S. et al Magnetostatic and magnetohydrodynamic modeling of planar wire arrays // Physics of plasmas. — 2008, 15, 052703, doi:10.1063/1.2918667. — lip.

59. See National Technical Information Service Document No. DE94-011699 (J. D. Johnson, "SESAME Data Base"). Copies may be ordered from the National Technical Information Service, Springfield, VA 22161.

60. Иваненков Г.В., Степневски В., Гуськов С.Ю. МГД-процессы каскадного развития перетяжки и вспышки горячей точки в Х-пинче. // Физика плазмы. — 2008. Т 34. N 8. — С 675-694.

61. Репин П.Б., Селемир В.Д. и dp Исследование влияния предварительного взрыва проволочного лайнера на генерацию рентгеновскогоизлучения в геометрии Z-пинча. // Физика плазмы. — 2008. Т 35. N 1. — С. 4855.

62. Грабовский Е.В., Александров В.В., Волков Г.С., Гаснлов В.А. и др. Использование Конусных проволочных сборок для моделирования трехмерных эффектов МГД-сжатия. // Физика плазмы. — 2008. Т. 34. N 10. — С. 885 900.

63. Гаранин С.Ф., Мамышев В.И. Двумерное МГД-моделирование работы плазменного фокуса с учетом ускорительного механизма генерации нейтронов. // Физика плазмы. — 2008. Т 34. N 8. — С. 695-706.

64. Кубеш П., Королев В.Д. и др. Генерация нейтронов при сжатии проволочного лайнера на дейтерированную нить. // Физика плазмы. — 2008. Т 34. № 1. —С. 57-65.

65. Ананьев С.С., Данько С.А., Калинин Ю.Г. Регистрация многозарядных ионов с временным разрешением и определением параметров горячей компоненты плазмы при магнитном сжатии многопроволочных сборок // Письма в ЖЭТФ. 2010, Т. 92, вып. 11, — С. 817-822.

66. Коваленко И.В. Эффекты электронной магнитной гидродинамики применительно к математическому моделированию плазменных размыкателей тока: Дис. канд. физ.-мат. наук. — М., 2002. — 103 с.

67. Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Теоретичесая физика: Учеб.пособ.: Для вызов. В 10 т., Т.VIII. Электродинамика сплошных сред. — 4-е изд., стереот. — М.:Физматлит, 2005 . —656 с.

68. Post D.E., Jensen R. V., Tarter С. V. et al. Steady-state radiative cooling rates for low-density high-temperature plasmas / PPPL-1352, Princeton Univ., 1977. V. 20, N 5. — P.397 439.

69. КингсепA.C., Коваленко И.В., Лобанов А.И. и др. Моделирование быстрого плазменного потокового размыкателя в режиме электронной магнитной гидродинамики. Математическое моделирование. 2004. Т. 16. -N10. -С. 93- 106.

70. Яненко H.H., Ковеня В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. — Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1981. — 304 с.

71. Гаснлов В.А., Круковский А.Ю., Оточин. A.A. Программный пакет для рассчета двумерных осесимметричных течений радиационной газовой динамики: Препринт / ИПМ им. Келдыша, М.: 1990, N 162 35 с.

72. Гаснлов В.А., Головизнин. В.М. Применение метода Ньютона для решения разностных уравнений гидродинамики: Препринт / ИПМ им. Келдыша, М.: 1978, N 100.

73. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ: Электронный ресурс.: Электрон. ст. Режим доступа к ст.: http://www.srcc.msu.su/num anal/lib na/cat/cat5.htm

74. LePell L.P., Deeney С., Coverdale С., Jones В., Meyer С., Apruzese J., Ion temperature measurements on the Z-accelerator at Sandia National Laboratories, // Bull. Am. Phys. Soc. — 2004 V. 49, N. 9, — P. 200.

75. Бакшаев Л.Ю., Блинов П.И., Вихрев B.B. и др. Исследование плазмы в предварительно созданной перетяжке Z-пинча // Физика плазмы. — 2001, Т. 23, N10, —С. 1-10.

76. Аранчук Е.М., Данько С.А., Копчиков A.B., и др. Экспериментальное исследование плазмы в перетяжке быстрого Z-пинча // Физика плазмы. 1997. Т. 23. С. 215-221.

77. Gordeev Е.М., Danko S.A., Kalinin Yu.G., et. al. Intermediate density Z-pinches compression dynamics investigation // Proc. 4th Int. Conf. on High Power Particle Beams/ San Diego (USA), 1994. V. 1. — P. 167 174.

78. Калиткж H.H., Алыиин А.Б., Алыиина E.A., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 224 с.

79. Lebedev S. V et al. Effect of discrete wires on the implosion dynamics of wire arrays Z-pinches. / BEAMS-DZP, Albuquerque, NM, June 24, 2002. PDF. — 23p. (dorland.pp.ph.ic.ac.uk/magpie/publications/icops01/LebedevPlC50.PDF)

80. Artyomov А.Р., Chaikovsky S.A., Fedunin A.V., Oreshkin V.I. Measurements of X-pinch soft X-ray source parameters// Proc. 16th International Symposium on High Current Electronics. Tomsk, Russia, September 19-24, 2010. — P. 242-245.

81. Артемов А.П., Лабецкая H.A., Федюнин A.B., Чайковский С.А. Определение размера источника рентгеновского излучения на основе Х-пинча // Краткие сообщения по физике ФИАН 2010, N. 6. — С. 31 - 34.