автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель течения плазмы в каналах с продольным магнитным полем

На правах рукописи

Жданова Наталья Сергеевна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ ПЛАЗМЫ В КАНАЛАХ С ПРОДОЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003056678

Работа выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Брушлинский Константин Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чечеткин Валерий Михайлович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

заседании диссертационного совета Д212.130.09 в Московском инженерно-физическом институте по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского инженерно-физического института.

доктор физико-математических наук, профессор Курнаев Валерий Александрович

Защита диссертации состоится .ЛЛ^ССук 2007 г. в /Ь

часов на

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Леонов А .С.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена математическому моделированию и численным исследованиям нелинейных плазмодинамических процессов в каналах с продольным магнитным полем.

Актуальность темы

Работа относится к области вычислительной плазмодинамики, включающей в себя постановки задач, математические модели, вычислительные алгоритмы и методы, связанные с исследованием сложных явлений физики плазмы.

Актуальность работ в данной области обусловлена множеством приложений физики плазмы к решению современных научно-технических проблем. Вычислительные модели плазменных явлений играют в них значительную роль, т. к. повышают качество и сокращают трудоемкость исследований, позволяют экономить на проведении дорогостоящих физических экспериментов, а в ряде случаев являются единственным источником информации.

Обширной областью применения вычислительной плазмодинамики являются проблемы управляемого термоядерного синтеза, в частности, задачи магнитного удержания горячей плазмы. Например, задача о 2-пинче, решению которой посвящена одна из первых в мире работ по расчетам МГД-течений плазмы [1].

Важное приложение вычислительной плазмодинамики - разработка плазменных ускорителей. Первоначально ориентированная на применение в электрореактивных двигателях, она привела впоследствие к созданию мощного многоцелевого квазистационарного сильноточного плазменного ускорителя (КСПУ) с рекордными параметрами ускорения (принцип действия ускорителей предложен А.И. Морозовым [2]).

Значительное место в этой разработке занимают работы по численному моделированию и расчетам течений плазмы в каналах ускорителей (например, [3], [4]). В них рассматриваются, в основном, течения в собственном поперечном магнитном поле. Задачи развития теории плазменных ускорителей, их совершенствования и расширения области применения требуют исследования течений плазмы в присутствии внешнего продольного магнитного поля.

Цель работы

Основная цель работы - разработка математической модели и исследование течений плазмы в каналах с продольным магнитным полем.

В работе применяются аналитические и численные методы математического моделирования.

Основные результаты работы

1. Разработана двумерная осесимметричная МГД-модель течения плазмы в каналах в присутствии внешнего продольного магнитного поля.

2. Сформулирована и аналитически решена в квазиодномерном (гидравлическом) приближении МГД-задача о течении плазмы в каналах с продольным магнитным полем. Проведена классификация стационарных течений, где выделены докритические и закритические течения (по отношению скорости плазмы к продольной альфвеновской скорости), дозвуковые, сверхзвуковые и трансзвуковые (по отношению скорости к быстрой и медленной скоростям магнитного звука). Установлены основные свойства и особенности течений выделенных типов. Показано, что закритические течения качественно отличаются от докритических перераспределением энергий (кинетической, тепловой и магнитной).

3. Разработан и реализован полностью двумерный (не требующий расщепления по направлениям) численный метод решения МГД-задач в

предположении осевой симметрии (на основе разностного алгоритма Залесака).

4. С использованием созданной вычислительной модели получены характеристики и определены закономерности двумерных стационарных течений плазмы во внешнем продольном магнитном поле. Установлено, в частности, что увеличение продольного поля приводит сначала к перераспределению плазмы в сторону внешнего электрода, а затем к возникновению областей течений закритического типа. Определено, что продольное магнитное поле ослабляет компрессию течений на оси канала за срезом центрального электрода.

Достоверность результатов

Достоверность численных результатов подтверждается внутренней сходимостью метода расчетов, их сопоставлением с решениями, полученными аналитически в квазиодномерном приближении. Модель проверена на хорошо изученных задачах о течении плазмы в собственном азимутальном магнитном поле.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми. Они дополняют и развивают результаты исследований течений плазмы в собственном поперечном поле.

Апробация и публикации

Основная часть работы выполнена в период с 2002 по 2006 год. Результаты работы докладывались и обсуждались на Научных сессиях МИФИ (2003, 2005 и 2006 гг.), Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006 г.), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" МИФИ, а также на

семинаре им. К.И. Бабенко Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Всего по теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, две из них в реферируемых журналах - "Известия Академии Наук. Механика жидкости и газа", "Журнал вычислительной математики и математической физики", остальные - в сборниках трудов научных конференций.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из Введения, четырех глав и Заключения. В главах выделены разделы. Основные результаты и выводы работы представлены в Заключении. Материал диссертации изложен на 106 страницах, включает 22 рисунка и список литературы из 77 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении рассматриваются вопросы актуальности, определяются цели и методы работы, дается обзор предшествующих исследований. Кратко излагается содержание, представляются основные результаты диссертационной работы.

В первой главе формулируется постановка двумерной МГД-задачи о течении плазмы в коаксиальном канале плазменного ускорителя в присутствии внешнего продольного магнитного поля. Описывается принцип действия ускорителя. Ускорение плазмы в канале происходит за счет взаимодействия собственного азимутального магнитного поля с электрическим током радиального направления. Продольное поле, созданное внешними проводниками с током, приводит к вращению плазмы в азимутальном направлении. Задача ставится в цилиндрических координатах (г, г, (р). Электроды, образующие канал, предполагаются непроницаемыми и эквипотенциальными. Плазма рассматривается как сплошная среда, состоящая из электронов и ионов с едиными макропараметрами.

Приводится система МГД-уравнений, описывающая течение плотной горячей плазмы, в общем случае, с конечной проводимостью. Определяются область решения, граничные и начальные условия. Выбираются единицы измерения и задача приводится к безразмерному виду. Выделяются параметры задачи, и указывается их физический смысл.

В решении задачи участвуют МГД-уравнения в консервативной форме. Осуществляется переход к новым координатам, в которых криволинейные границы расчетной области, соответствующие внешнему и внутреннему электроду, становятся координатными линями. Это упрощает реализацию граничных условий при проведении численных расчетов.

Во второй главе МГД-задача решается в квазиодномерном (гидравлическом) приближении. Предполагается, что зазор между электродами мал и медленно меняется вдоль оси, средний радиус канала постоянен, а описывающие течение функции усредняются по поперечному сечению канала, которое присутствует в коэффициентах уравнений в виде функции от продольной координаты (£(г)).

Выводится система МГД-уравнений в этом приближении. Определяются граничные и начальные условия задачи.

В случае стационарных течений бесконечно проводящей плазмы (д \

— =0, V - 0 уравнения системы приводятся к разрешенному )

относительно первых производных виду: СЧп1

Ли= Л А> р и^. (и2-С2,) ри~ с!8

(«2 -с;Хм2 -с))' б ¿г; <ь (и1-с;Хи2-с;)' 5 <Ь'

йнг _ -ну сь^н^ан^ ж = 0

ек ~{и2- с; Хм2 -С)) Бек' ск ри сЬ ' сЬ '

где Нг - Н2 + Н];

л ( иг\ \ [( и1 V

Ч Р ) 2 VI Р ) — > —

Здесь С , Су - скорости медленного и быстрого магнитного звука, а С, -альфвеновская скорость, соответствующая продольному магнитному полю Нг.

Далее проводится анализ основных качественных закономерностей течений в присутствии продольного магнитного поля.

В отличие от аналогичных уравнений для течения плазмы только в поперечном магнитном поле (и уравнений газодинамики), правые части уравнений (1) имеют две особенности при и2 = С] и и1 = С~. Это означает, что их гладкие решения описывают либо дозвуковые, либо сверхзвуковые (по отношению к каждой из скоростей магнитного звука С, и Сг) течения.

Представляющие наибольший интерес трансзвуковые течения (с монотонным изменением скорости вдоль канала и переходом через любую из звуковых скоростей) существуют, когда любой из множителей в знаменателях уравнений может обратиться в нуль лишь одновременно с числителем. Переход через скорость звука может произойти, когда

знаменатель обратиться в нуль одновременно с производной —, т.е. в

с1г

минимальном сечении канала.

Еще одно специфическое свойство уравнений (1) связано с альфвеновской скоростью. Если разность {и2 — С,) обратится в нуль хотя бы в одной точке, то она равна нулю тождественно по г, т.к. ее производная пропорциональна ей самой, при этом плотность плазмы постоянна (вытекает

из второго уравнения (1)). Тип течения при и = С ( называется критическим, его основная особенность - постоянство плотности вдоль оси канала. Она в этом случае равна так называемому критическому значению Р1 = НЦгс .

Решения при и Ф СА описывают два существенно различных класса течений: докритические - при и > С,, и закритические - при и < С,.

На их существование впервые было обращено внимание в работе [5].

Поскольку С < С4 < С}, докритические течения могут быть дозвуковыми, сверхзвуковыми или трансзвуковыми только по отношению к скорости быстрого магнитного звука Сг а закритические - по отношению к скорости медленного магнитного звука С . В отсутствие продольного поля все течения - докритические.

Решения системы, описывающие возможные типы стационарных течений, находятся аналитически из первых интегралов системы уравнений (1). Все константы в них, кроме двух - С, и С2, определяются граничными условиями на входе в канал. Константа С, равна значению скорости втекающей плазмы, которое либо задается, либо определяется в процессе решения в зависимости от типа искомого решения и соответствующих ему граничных условий. Константа С2 равна заданной величине продольного магнитного потока (относительно характерного поперечного магнитного поля).

Исключением из первых интегралов всех искомых величин, кроме плотности р, получено одно алгебраическое уравнение, определяющее р,

как функцию от координаты г, и параметров задачи С, и Сг:

где

Все остальные неизвестные величины выражаются через плотность. В результате, основные функциональные зависимости, характеризующие течения идеальной проводящей плазмы, определяются, не прибегая к численному решению МГД-уравнений.

Классификация возможных типов решений задачи схематически представлена на рис. 1.

Течения типов 1 - 4 - докритические: тип 1 - сверхзвуковые, тип 2 -трансзвуковое (с монотонным убыванием скорости), тип 3 - трансзвуковое (с ускорением), тип 4 - дозвуковые относительно Сг Течение типа 3

представляет интерес для теории плазменных ускорителей, в нем электромагнитная и тепловая энергия переходят в кинетическую. Течение типа 2 соответствует МГД-генератору, в нем кинетическая и тепловая энергии переходят в электромагнитную. Кривые 6-9 описывают закритичсскис течения, которые аналогичным образом соотносятся со скоростью медленного магнитного звука С.. Кривая 5 - соответствует течению критического типа с постоянной плотностью.

Решения задачи, соответствующие всем возможным типам течений, приводятся в работе в виде графиков основных физических величин.

стационарных течений

Далее рассматриваются особенности закритических и докритических течений. Докритические течения обладают, преимущественно, теми же свойствами, что и течения в собственном поперечном поле. Параметры ускорения в трансзвуковом режиме незначительно уменьшаются за счет вращения плазмы в азимутальном направлении. Закритические течения соответствуют сильному продольному полю. Основное их отличие от докритических течений - в переходах разных видов энергии (кинетической, тепловой и электромагнитной) друг в друга. В закритическом трансзвуковом течении с замедлением кинетическая энергия преобразуется не в электрическую, а вместе с вложенной электромагнитной - в тепловую. В течениях с ускорением происходит обратный переход - тепловая энергия превращается в кинетическую и частично в электрическую. То есть, закритические течения в каналах-соплах не могут быть рабочим механизмом МГД-ускорителей и МГД-генераторов.

Различие докритических и закритических трансзвуковых течений проявляется также в их зависимости от величины разрядного тока. При возрастании тока скорость докритического течения растет, и энергия перераспределяется в сторону кинетической, а в закритическом - плазма отдает меньше тепла, уменьшая при этом параметры ускорения и генерируемого тока.

Третья глава содержит обоснование и описание метода численного решения двумерной МГД-задачи в криволинейных координатах. Метод основан на разностном алгоритме Залесака [6] и, с одной стороны, сохраняет относительно простую логику метода РСТ [7], а с другой, в отличие от него, является полностью многомерным. (Термин "полностью многомерный" означает, что при решении многомерных задач не требуется расщепление алгоритма по направлениям.)

Расчеты проводятся в нестационарной модели, а представляющий интерес стационарный режим образуется в процессе установления.

Переход на следующий временной шаг осуществляется в три этапа.

На первом из них с помощью простой монотонной схемы первого порядка точности рассчитываются разностные потоки и используются в построении грубого варианта решения. Здесь применяется обобщение на двумерный случай диффузионного этапа метода БСТ.

На втором этапе производится уточнение предыдущего результата до более высокого порядка точности. Для его реализации также используется логика метода РСТ: вводятся "фениксные" антидиффузионные потоки, призванные нейтрализовать негативное влияние диффузии.

На третьем этапе антидиффузионные потоки корректируются и после этого участвуют в расчете решения на следующем временном слое. Коррекция осуществляется умножением антидиффузионных потоков на соответствующие корректирующие множители. Они подбираются таким образом, чтобы добавление антидиффузионных потоков не вызвало

образование новых, физически не обусловленных, экстремумов и не усилило уже имеющиеся максимумы и минимумы решения. Такой способ коррекции (в отличие от коррекции метода РСТ) не требует расщепления по пространственным переменным, так как он оперирует одновременно с четырьмя антидиффузионными потоками, вносящими (или выносящими) искомую величину в окрестность расчетной точки из соседних ячеек. Это дает возможности эффективного распараллеливания вычислительного алгоритма для использования в расчетах на современных многопроцессорных вычислительных машинах.

Далее определяются способы разностной аппроксимации граничных и начальных условий. Предлагается метод расчета точек нижней границы области, соответствующей каналу с укороченным центральным электродом, где возникают проблемы, связанные с обращением в нуль координаты г.

В конце главы рассматриваются вопросы согласования разностных дифференциальных операторов, что обусловлено необходимостью обеспечить выполнение разностного аналога уравнения сП\'Н = 0, которое неявно присутствует в системе МГД-уравнений.

В четвертой главе приводятся и анализируются результаты двумерных расчетов. (Программа расчетов реализована на языке С++ с использованием объектно-ориентированной методологии.)

В двумерном случае, полученная в квазиодномерной модели классификация течений, применяется к областям, ограниченным траекториями движения плазмы, т.е. к тонким трубкам тока. При этом показывается, что двумерные течения могут содержать области различных типов: докритических и закритических, до-, сверх- и трансзвуковых (по отношению к скоростям быстрого и медленного магнитного звука).

При сравнительно небольшой величине продольного поля во всем канале устанавливается докритический режим течения. Плотность плазмы, которая тяготеет к наружному электроду без внешнего поля, в его

присутствии перераспределяется в ту же сторону. Это объясняется тем, что продольное поле, взаимодействуя с радиальным электрическим током, вращает плазму вокруг оси системы и центробежная сила дополнительно прижимает ее к внешней границе. Величина продольной скорости монотонно возрастает вдоль каждой траектории и на выходе оказывается лишь незначительно меньшей, чем в течениях без продольного поля (что подтверждает и квазиодномерная модель). Указанные свойства способствуют организации регулярного течения в каналах сильноточных ускорителей в режиме переноса тока ионами.

Увеличение продольного поля приводит к возникновению вдоль внешнего электрода области критических течений, которая при дальнейшем его увеличении смещается к оси канала, а вблизи этого электрода образуются течения закритического типа. Таким образом, течение в присутствии продольного магнитного поля может включать одновременно области докритических и закритических течений. Возникновение закритических течений плазмы у внешнего электрода иллюстрирует рис. 2. С ростом величины продольного поля плотность сначала стремится к равномерному распределению (характерному для критического течения), а потом соответствует закритическому, сверхзвуковому относительно скорости медленного магнитного звука, течению.

Достаточно сильному продольному полю соответствуют полностью закритические течения. Их свойства исследованы на основании результатов нескольких серий расчетов. Установлено, что они могут содержать области течений различных типов относительно скорости медленного магнитного звука: например, у внешнего электрода - трансзвуковых с возрастанием скорости (тип 8 на рис. 1), а у внутреннего — трансзвуковых с убыванием (тип 7).

Рис. 2. Распределение плотности плазмы вдоль внешнего электрода при различных значениях величины продольного поля

Отличия докритических и закритических течений связаны, в основном, с тем, что в последних электрический ток в плазме течет в обратном направлении, т.е. вырабатывается системой. Это означает, что тепловая энергия плазмы переходит не только в кинетическую, как в случае докритических течений, но и в электромагнитную.

Зависимость течений от разрядного тока следующая. Его уменьшение ослабляет роль магнитного поля и, следовательно, влияние продольного поля при тех же качественных закономерностях оказывается менее заметным количественно. Увеличение разрядного тока усиливает влияние продольного поля и приводит к сужению диапазона его значений, при которых течения сохраняют докритический режим.

В заключение главы рассматриваются результаты численных исследований влияния продольного магнитного поля на компрессионные течения плазмы в канале с укороченным центральным электродом. Такие течения характеризуются возникновением конусообразной ударной волны, за фронтом которой плотность плазмы продолжает расти и на некотором расстоянии от оси симметрии системы образуется контактный разрыв,

определяемый уменьшением плотности и ростом температуры. Даже небольшое по величине продольное поле оказывает заметное воздействие на течение за срезом центрального электрода. Это объясняется тем, что в этой области при приближении к оси симметрии системы азимутальная компонента магнитного поля Н стремится к нулю и, следовательно,

отношение продольной и азимутальной компонент стремится к бесконечности. Расчеты с учетом продольного магнитного поля показали, что в основной части канала характеристики течения практически не изменились, а влияние продольного поля проявилось преимущественно за срезом центрального электрода. Зона компрессии ослабла и сместилась в направлении внешнего электрода, вследствие чего ее полый характер, т.е. падение плотности на оси симметрии, проявился сильнее. Интенсивность ударной волны заметно уменьшилась.

В заключении диссертации представлены основные результаты и выводы работы.

Заключение

Кратко, результаты работы следующие.

1. Разработаны математическая и вычислительная модели течения плазмы в каналах с внешним продольным магнитным полем.

2. Получено аналитическое решение МГД-задачи о стационарном течении плазмы в квазиодномерном приближении, проведена классификация, установлены основные свойства и особенности течений.

3. Разработана методика численного моделирования двумерных МГД-течений.

4. С использованием созданной вычислительной модели определены характеристики и закономерности двумерных течений плазмы в продольном магнитном поле.

Основные результаты работы являются новыми.

Цитируемая в реферате литерату ра

1. Брагинский С.И., Гельфанд И.М., Федоренко Р.П. Теория сжатия и пульсаций плазменного столба в мощном импульсном разряде // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций / Под ред.

М.А. Леонтовича -Изд.-АН СССР. 1958. Т. 1. С. 201.

2. Морозов А.И. Физические основы космических электрореактивных двигателей. - М.: Атомиздат, 1978. 326 с.

3. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчет двумерных течений плазмы в каналах // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича.

- М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С. 88-163.

4. Брушлинский К.В, Заборов A.M., Козлов А.Н., Морозов А.И., Савельев В.В. Численное моделирование течений плазмы в КСПУ // Физика плазмы. - 1990. Т. 16. Вып. 2. С. 147-157.

5. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича.

- М.:Атомиздат, 1974. Вып. 8. С. 3-87.

6. Zalesak S.T. Fully Multidimensional Flux-Corrected Transport Algorithms for Fluids // Journ. of Computational Physics. 1979. V. 31. P. 335-362.

7. Оран Э., Борис Д. Численное моделирование реагирующих потоков. : Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. 660 с.

Основные публикации по теме диссертации

1. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Квазиодномерная модель течения плазмы в канале с внешним продольным магнитным полем // Научная сессия МИФИ. - 2003. Сб. научных трудов. Т. 7. С. 84-85.

2. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Стационарные МГД-течения в соплах с внешним продольным магнитным полем // Изв. АН. МЖГ. - 2004. №3. С. 135-146.

3. Жданова Н.С. Явная разностная схема для расчетов двумерных МГД-течений в каналах// Научная сессия МИФИ. - 2005. Сб. научных трудов. Т. 7. С. 101-102.

4. Жданова Н.С. Двумерная модель течения плазмы в канале с внешним продольным магнитным полем // Научная сессия МИФИ. - 2006. Сб. научных трудов. Т. 7. С. 124-125.

5. Жданова Н.С. Расчет течений плазмы в каналах-соплах с внешним продольным магнитным полем // Тихонов и современная математика. Математическое моделирование. - 2006. Сб. трудов секции № 2. С. 197-198.

6. Брушлинский К.В., Жданова Н.С., Козлов А.Н. Численная модель МГД-ускорения в каналах-соплах с внешним продольным магнитным полем // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. - 2006. Сб. трудов. Т. II. С. 39.

7. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Расчет осесимметричных МГД-течений в канале с внешним продольным магнитным полем // ЖФМиМФ. -2006. Т. 46. №3. С. 548-557.

Подписано в печать 30.03.2007 г. Исполнено 02.04.2007 г. Печать трафаретная.

Заказ № 243 Тираж: 90 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

Глава 1. Постановка задачи

1.1. Объект моделирования.

1.2. Математическая постановка задачи.

1.3. Единицы измерения.

1.4. Консервативная форма уравнений.

1.4. Система координат.

Глава 2. Квазиодномерное приближение

2.1. Постановка задачи.

2.2. Классификация течений.

2.3. Первые интегралы.

2.4. Свойства течений.

2.5. Зависимость от параметров.

Глава 3. Численный метод решения задачи

3.1. Разностная схема.

3.2. Метод расчета.

Глава 4. Результаты двумерных расчетов

4.1. Докритические течения.

4.2. Закритические течения.

4.3. Зависимость от параметров.

4.4. Компрессионные течения.

Численные исследования течений плазмы относятся к новой области фундаментальной науки - вычислительной плазмодинамике, которая включает в себя постановки задач, математические модели, вычислительные методы и алгоритмы, связанные с анализом сложных явлений физики плазмы.

Актуальность работ в данной области обусловлена множеством приложений физики плазмы к решению современных научно-технических проблем. Вычислительные модели плазменных явлений играют в них существенную роль, т.к. повышают качество и сокращают трудоемкость теоретических исследований, позволяют экономить на проведении дорогостоящих физических экспериментов, а в ряде случаев являются единственным источником информации.

Обширной областью применения вычислительной плазмодинамики являются проблемы управляемого термоядерного синтеза, в частности, задачи магнитного удержания горячей плазмы. Одной из основных является задача о 2-пинче. Пинч имеет форму плазменного шнура, располагающегося между двумя электродами, ток в котором создает азимутальное магнитное поле, призванное сжимать и удерживать плазму [1-6]. Исследованию 2-пинча посвящена одна из первых в мире работ по расчетам МГД-течений плазмы [1].

Развитием идеи пинча стали замкнутые тороидальные установки, в которых присутствует тот же шнур, но изогнутый в тор, и нет прямого контакта плазмы с электродами. Хорошо изученные неустойчивости пинча [7-11] преодолеваются усложнением структуры магнитного поля с помощью дополнительных токов, окружающих тор. Наиболее широко известными тороидальными установками являются токамак и стелларатор [7, 12] - в первом из них электрический ток протекает в основном по плазме, вследствие чего основная роль отводится собственному магнитному полю, а во втором - поле главным образом определяется внешними проводниками. Следует упомянуть также представляющие существенный интерес магнитные ловушки "Галатеи", разработка и исследование которых продолжается в настоящее время. Они предложены А.И. Морозовым [13-15] и характеризуются тем, что токонесущие проводники погружены в плазменный объем. Вследствие этого расширяется множество геометрических конфигураций магнитного поля, и повышаются параметры удержания.

В исследовании магнитных ловушек выделяется две стадии: стадия изучения процессов формирования равновесной конфигурации течения плазмы и стадия рассмотрения ее геометрических и физических свойств в условиях равновесия. Первая из них относится к вычислительной плазмодинамике и представлена, в основном, двумерными задачами о течении плазмы как в поперечном собственном магнитном поле, так и в плоскости поля (собственного и внешнего) [16-18]. Задачи о равновесии плазмы образуют другую область исследований - вычислительную плазмостатику [17, 19,20].

Вычислительная плазмодинамика применяется также в решении задач астрофизики (например, [21, 22]). В них математическое моделирование играет особенно важную роль, т.к. часто является основным источником данных.

Важное и объемное направление работ в вычислительной плазмодинамике связано с разработкой и исследованием плазменных ускорителей. В их основе лежит идея ускорения плазмы собственным азимутальным магнитным полем, которая принадлежит А.И. Морозову [2328]. Она основана на принципе электромотора, где вместо системы жестких проводников ускоряется сплошная электропроводящая среда. Первоначально плазменные ускорители были ориентированы на применение в качестве электрореактивных двигателей [24]. Впоследствии эти разработки привели к созданию так называемого квазистационарного сильноточного плазменного ускорителя (КСПУ) большой мощности с рекордными параметрами ускорения [25, 28-32]. Скорость вытекающей плазменной струи из канала может существенно превосходить скорости, достигаемые в газодинамических соплах, поскольку в кинетическую энергию здесь переходит не только тепловая, но и электрическая энергия.

Большое практическое значение плазменных ускорителей стимулировало многочисленные исследования течений плазмы в каналах, включая работы по математическому моделированию [28, 33-36]. Среди них следует выделить работы, моделирующие эффект Холла [37-41], в которых, в частности, установлено, что, если позволить плазме протекать сквозь электроды, то можно влиять на направление электрического тока в канале и, тем самым, обеспечивать его радиальное направление. Важным результатом исследований стало открытие явления компрессии в канале, в котором внутренний электрод короче внешнего [42-45]. Оно состоит в том, что за срезом внутреннего электрода вдоль оси системы образуется область сильно сжатой и нагретой плазмы с параметрами, значительно превышающими аналогичные характеристики втекающей плазмы. Это явление легло в основу создания магнито-плазменного компрессора (разновидности плазменных ускорителей).

В указанных выше работах рассматриваются, в основном, течения плазмы в собственном поперечном магнитном поле. Задачи развития теории плазменных ускорителей, их совершенствования и расширения области применения требуют исследования течений плазмы в присутствии внешнего продольного поля. Этому посвящена данная работа.

Основная цель работы - разработка математической модели и исследование течения плазмы в каналах с продольным магнитным полем.

В работе применяются аналитические и численные методы математического моделирования.

Математические модели течений плазмы строятся, в основном, на языке механики сплошной среды. Это объясняется тем, что объектом исследований является достаточно плотная горячая плазма. Основной аппарат моделирования течений плазмы - численное решение уравнений магнитной газодинамики (МГД). Конструкции плазменных установок и их элементов во многих случаях обладают симметрией (или допускают симметрию в некотором приближении), что позволяет ограничиться двумерными задачами. Процессы в канале ускорителя можно считать стационарными (не зависящими от времени), поскольку характерное "пролетное" время в канале во много раз меньше длительности разряда современных источников электропитания. Однако, непосредственное решение стационарных задач о трансзвуковых течениях, которые представляют основной интерес, связано с проблемами уравнений смешанного типа, ибо система стационарных уравнений МГД превращается из эллиптической в гиперболическую при переходе скорости среды через местную скорость быстрого магнитного звука (аналогичная ситуация - в газодинамике, [46]) По этой причине расчеты ведутся, как правило, в нестационарной модели, а стационарный режим образуется в процессе установления.

Численные методы решения МГД-задач наследуют опыт и традиции, накопленные в вычислительной гидро-, газо- и аэродинамике, развивают и дополняют их (обзор в [46]). В указанных работах предпочтение отдано явным разностным схемам ввиду их экономичности, логической простоты и возможности выполнения параллельных вычислений в многопроцессорных системах [17]. В ранних работах [35] простейшая схема типа "крест" с разностями "навстречу потоку" позволила исследовать основные свойства гладких течений в каналах. В дальнейшем, естественно, стали применяться методы более высокого порядка точности с большим разрешением на разрывах. В таких методах используются консервативные разностные схемы. В основе многих из них лежит идея С.К. Годунова о сохранении монотонности решения при переходе с каждого слоя по времени на следующий [47]. Известны схемы Хартена, которые достигают второго порядка точности за счет нелинейных поправок и заменяют требование монотонности более слабым - требованием невозрастания полной вариации решения (ТУБ или ГУМ) [48]. Гиперболическая система уравнений приводится в них к диагональному виду в каждой точке (что, заметим, при общем виде уравнений МГД, является излишне громоздкой техникой). В двумерных МГД-задачах с поперечным магнитным полем схема Хартена реализована в работе [49]. Имеется опыт ее применения в трехмерной задаче [50].

Более экономичны разностные схемы с коррекцией потоков (БСТ) [5154]. Немонотонность решения, связанная со стремлением повысить точность, компенсируется в них относительно простым нелинейным механизмом ограничения той же полной вариации. Сравнительный анализ методов ТУБ и БСТ в решении осесиммтричной МГД задачи приведен в [55], а расчеты течений методом БСТ - в [33].

Указанные методы разработаны, исследованы и проверены их создателями на примерах одномерных задач, где убедительно показаны их достоинства. Однако, чтобы применить их в дву- и более многомерных задачах, приходится вводить "расщепление" по направлениям, т.е. разбивать расчет каждого следующего слоя по времени на серии одномерных - по каждой из пространственных координат. Это снижает упомянутые достоинства схем и ограничивает возможности эффективного распараллеливания алгоритма. Отсюда возникает интерес к "полностью многомерным" явным разностным схемам, которые позволяют избежать расщепления по направлениям. Здесь следует упомянуть метод свободных точек [3], созданный В.Ф. Дьяченко для решения двумерной МГД-задачи. Ввиду логической сложности он не получил широкого распространения, но в работе [5] был воспроизведен в решении той же задачи и сопоставлен с двумя более современными - поточно-векторным расщеплением (FVS) [56] и кусочно-параболическим методом (РРМ) [57] в эйлеровых координатах. Заметим, что оба они опираются на идею монотонности и поэтому могут быть отнесены к схемам годуновского типа. Схема С.К. Годунова [47] автоматически обобщается до полностью многомерной, если задачу о распаде произвольного разрыва решить на каждой грани расчетной ячейки. Для МГД-уравнений нельзя указать эффективный алгоритм ее решения, поэтому здесь схема, вообще говоря, неприменима. Однако, в простейшем случае поперечного магнитного поля в [77] найден способ приближенного решения задачи о распаде МГД-разрыва при двух частных показателях адиабаты.

В данной работе применяется метод численного моделирования, основанный на разностном алгоритме Залесака [58], который, с одной стороны, сохраняет относительно простую логику метода FCT, а с другой, в отличие от него, является полностью многомерным.

Основная задача работы - исследование влияния внешнего продольного поля на течение плазмы. Некоторые вопросы на эту тему поставлены и обсуждены в обзоре [59], где, в частности, обращено внимание на существование двух принципиально различных видов течений: докритических, в которых альфвеновская скорость, соответствующая продольному полю, меньше скорости плазмы, и закритических - с противоположным неравенством. Особенности стационарного течения в приэлектродной зоне с частичным протеканием плазмы через поверхности анода и катода исследованы А.Н. Козловым в МГД-модели с учетом эффекта Холла в приближении плавного канала [41]. В его же статье [60] рассмотрены отдельные аспекты влияния продольного поля на течение плазмы при небольшой величине поля и сильном разрядном токе (с учетом конечной проводимости).

Кратко, содержание работы следующее.

В первой главе работы определяется постановка двумерной МГД-задачи о течении плазмы в канале плазменного ускорителя с продольным магнитным полем. Приводится система МГД-уравнений, описывающая течение плотной горячей плазмы, в общем случае, с конечной проводимостью. Определяются область решения, граничные и начальные условия. Выбираются единицы измерения физических величин, описывающих процесс, определяются параметры задачи и их физический смысл.

Во второй главе представлено аналитическое решение задачи в квазиодномерном приближении. Выводится система МГД-уравнений, путем преобразования двумерных уравнений к квазиодномерному виду. Проводится анализ качественных закономерностей и классификация стационарных течений. Излагается метод аналитического решения задачи. Полученные решения, соответствующие возможным типам течений, приводятся в виде графиков основных физических величин, указываются их особенности и отличия.

Третья глава содержит обоснование и описание метода численного решения двумерной МГД-задачи в криволинейных координатах. Излагаются этапы метода, основанного на двумерной разностной схеме Залесака. Рассматриваются вопросы согласования разностных дифференциальных операторов.

В четвертой главе анализируются результаты расчетов двумерных МГД-течений во внешнем продольном магнитном поле и их связь с решениями в квазиодномерном приближении. Исследуется зависимость свойств течений от величины внешнего магнитного поля и разрядного тока, рассматриваются основные закономерности. Приводятся результаты численного исследования влияния продольного магнитного поля на компрессионные течения плазмы в канале с укороченным центральным электродом.

В работе получены следующие основные результаты.

1. Разработана двумерная осесимметричная МГД-модель течения плазмы в каналах в присутствии внешнего продольного магнитного поля.

2. Сформулирована и аналитически решена в квазиодномерном (гидравлическом) приближении МГД-задача о течении плазмы в каналах с продольным магнитным полем. Проведена классификация стационарных течений, где выделены докритические и закритические течения (по отношению скорости плазмы к продольной альфвеновской скорости), дозвуковые, сверхзвуковые и трансзвуковые (по отношению скорости к быстрой и медленной скоростям магнитного звука). Установлены основные свойства и особенности течений выделенных типов. Показано, что закритические течения качественно отличаются от докритических перераспределением энергий (кинетической, тепловой и магнитной).

3. Разработан и реализован полностью двумерный (не требующий расщепления по направлениям) численный метод решения МГД-задач в предположении осевой симметрии (на основе разностного алгоритма Залесака).

4. С использованием созданной вычислительной модели получены характеристики и определены закономерности двумерных стационарных течений плазмы во внешнем продольном магнитном поле. Установлено, в частности, что увеличение продольного поля приводит сначала к перераспределению плазмы в сторону внешнего электрода, а затем к возникновению областей течений закритического типа. Определено, что продольное магнитное поле ослабляет компрессию течений на оси канала за срезом центрального электрода.

Основная часть работы выполнена в период с 2002 по 2006 год. Результаты работы докладывались и обсуждались на Научных сессиях МИФИ (2003, 2005 и 2006 гг.), Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006 г.), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" МИФИ, а также на семинаре им. К.И. Бабенко Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН.

Всего по теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, две из них в реферируемых журналах - "Известия АН. Механика жидкости и газа", "Журнал вычислительной математики и математической физики", остальные - в сборниках трудов научных конференций.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Брушлинскому К.В. за общее и научное руководство, помощь и понимание.

Автор благодарен заведующему кафедрой "Прикладная математика" МИФИ Кудряшову H.A. за внимание и поддержку и признателен сотрудникам МИФИ и ИПМ, принявшим участие в обсуждении результатов работы.

Основные результаты работы являются новыми. Они дополняют и развивают результаты исследований течений плазмы в собственном поперечном магнитном поле.

Заключение

1. Брагинский С.И., Гельфанд И.М., Федоренко Р.П. Теория сжатия и пульсаций плазменного столба в мощном импульсном разряде // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций / Под ред. Леонтовича М.А. Изд. АН СССР. 1958. Т. 1. С. 201.

2. Дьяченко В.Ф., Имшенник B.C. МГД-теории пинч-эффекта в высокотемпературной плотной плазме // Вопросы теории плазмы / Под. ред. Леонтовича М.А. М.: Атомиздат. Вып. 5. 1967. С. 394.

3. Дьяченко В.Ф., Имшенник B.C. Двумерная МГД-модель плазменного фокуса Z-пинча // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С. 164-246.

4. Роберте К., Поттер Д. Магнитогидродинамические методы // Вычислительные методы в физике плазмы / Под ред. Олдера Б., Вернбаха С., РотенбергаМ. -М.: Мир, 1974, С. 335.

5. Аксенов А.Г., Герусов A.B. Сравнение численных методов расчета двумерных МГД-течений, характеризующихся высокой степенью сжатия // Физика плазмы. 1995. Т. 21. № 1. С. 14-22.

6. Имшенник B.C., Боброва H.A. Динамика столкновительной плазмы. -М.: Энергоатомиздат. 1997.

7. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука. 1982.

8. Трубников Б.А. Теория плазмы. М.: Энергоатомиздат. 1996.

9. Бейтман Г. МГД-неустойчивости. М.: Энергоатомиздат. 1982.

10. Кадомцев Б.Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы // Вопр. теории плазмы. М.: Атомиздат. 1963. Вып. 2. С. 132-176.

11. Белова И.В., Брушлинский К.В. Численная модель неустойчивости Z-пинчa в плазме конечной проводимости // ЖВМиМФ. 1988. Том. 28. №1. С. 72-79.

12. Пустовитов В.Д., Шафранов В.Д. Равновесие и устойчивость плазмы в стеллараторах // Вопросы теории плазмы / Под ред. Кадомцева Б.Б. М.: Энергоатомиздат. 1987. Вып. 15. С. 146.

13. Морозов А.И., Савельев В.В. О Галатеях-ловушках с погруженными в плазму проводниками // Усп. физ. наук. 1998. Т. 168. № 11. С. 1153.

14. Морозов А.И. О магнитных ловушках с "плавающими" в плазме проводниками // Письма в ЖТФ. 1990. Т. 16. Вып. 15. С. 86.

15. Морозов А.И. О галатеях плазменных ловушках с омываемыми плазмой проводниками // Физ. плазмы. 1992. Т. 18. Вып. 3. С. 305.

16. Брушлинский К.В., Горшенин К. П. Плоская МГД-модель образования плазменной конфигурации с погруженными в нее проводниками //Матем. моделирование. 1997. Т. 9. № 3. С. 28.

17. Брушлинский К.В., Савельев В.В. Магнитные ловушки для удеражния плазмы // Мат. моделирование. 1999. Т. 11. № 5. С. 4.

18. Дудникова Г.И., Морозов А.И., Федорук М.П. Численное моделирование прямых плазменных конфигураций галатей типа "Пояс" // Физ. плазмы. 1997. Т. 23. №5. С. 387.

19. Брушлинский К.В., Морозов А.И., Петровская Н.Б. Численное моделирование равновесной винтовой конфигурации с плазмой на сепаратрисе // Матем. моделирование. 1998. Т. 10. №11. С. 29.

20. Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С., Петровская Н.Б. О единственности и устойчивости решений двумерных задач плазмостатики // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. №4. С. 73.

21. Брушлинский К.В., Заборов A.M., Сыроватский С.И. Численный анализ токового слоя в окрестности магнитной нулевой линии //Физ. плазмы. 1994. Т. 16. Вып. 2. С. 297-311.

22. Савельев В.В. Чечеткин В.М. Биполярные течения в окрестности вращающегося диска с магнитным полем // Астрономический журнал. 1995. Т. 72. №1. С.139-145.

23. Морозов А.И. Об ускорении плазмы магнитным полем // ЖЭТФ. 1957. Т. 32. Вып. 2. С. 305-310.

24. Морозов А.И. Физические основы космических электрореактивных двигателей. Т. 1. М.: Атомиздат, 1978. 326 с.

25. Морозов А.И. Принципы коаксиальных стационарных плазменных ускорителей (КСПУ) // Физика плазмы. 1990. Т. 16. Вып. 2. С. 131-146.

26. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. М.: Физматлит. 2006. 576 с.

27. Энциклопедия низкотемпературной плазмы / Под ред. В.Е.Фортова. М.:Наука, 2000. Кн. 3. С. 467-488.

28. Брушлинский К.В, Заборов А. М., Козлов А. Н., Морозов А.И., Савельев В.В. Численное моделирование течений плазмы в КСПУ // Физика плазмы. 1990. Т.16. Вып. 2. С.147-157.

29. Белан В.Г. Золотарев СЛ., Левашов В.Ф. и др. Экспериментальное исследование квазистационарного сильноточного плазменного ускорителя, питаемого от индуктивного и емкостного накопителей // Физика плазмы. 1990. Т. 16. Вып. 2. С. 176-185.

30. Асташинский В.М., Маньковский А.А, Минько Л.Я., Морозов А.И. Исследование физических процессов, обуславливающих режим работы КСПУ // Физика плазмы. 1992. Т. 18. Вып. 1. С. 90.

31. Волков Я.Ф. и др. Анализ параметров потока плазмы, генерируемых полноблочным КСПУ Х-50 // Физика плазмы. 1992. Т. 18. Вып. U.C. 392.

32. Брушлинский К.В., Горшенин К.П. Расчеты МГД-течений в каналах и их соотношение с экспериментальными исследованиями плазменных ускорителей // Физика плазмы. 1993. Т. 19. Вып. 5. С. 682-698.

33. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Савельев В.В. Некоторые вопросы течений плазмы в канале магнитоплазменного компрессора // Двумерные численные модели плазмы / Сб. научных трудов под ред. Брушлинского К.В. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1979. 201 с.

34. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчет двумерных течений плазмы в каналах // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А.Леонтовича. М.: Атомиздат, 1974. Вып. 8. С. 88-163.

35. Брушлинский К.В. Численное моделирование течений ионизующегося газа в каналах // Плазменные ускорители и ионные инжекторы / Под ред. Н.П. Козлова и А.И. Морозова-М.: Наука. 1984. С. 139-151.

36. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Численная модель приэлектродной неустойчивости в каналах плазменных ускорителей // Физика плазмы. 1995. Т. 21. Вып. 9. С. 784-790.

37. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Эффект Холла в МГД-модели течения плазмы в каналах // Изв. АН. МЖГ. 1995. №5. С.56-65.

38. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Некоторые вопросы двухжидкостной МГД с поперечным магнитным полем // Матем. Моделирование. 1996. Т. 8. №2. С. 75.

39. Брушлинский К.В., Ратникова Т.А. Холловские поправки к расчету течения плазмы в приэлектродных слоях коаксиальных каналов // Физика плазмы. 1997. Т. 23. Вып. 2. С. 126-130.

40. Козлов А.Н. Влияние продольного магнитного поля на эффект Холла в канале плазменного ускорителя // Изв. АН. МЖГ. 2003. №4. С. 165-175.

41. Морозов А.И. О стационарных течениях плазмы, сопровождающихся ее сжатием // Журн. техн. физики. 1964. Т.37. №12. С.2147-2159.

42. Морозов А.И. Термоядерные системы с плотной плазмой // Вест. АН СССР. 1969. №6. С.28-36.

43. Морозов А.И. Стационарные плазменные ускорители и перспективы их применения в термоядерных исследованиях // Nuclear Fusion. Special supplement. 1969. V.2. P.l 11-120.

44. Брушлинский К.В., Герлах Н.И., Морозов А.И. Влияние конечной проводимости на стационарные самосжимающиеся течения плазмы // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180. №6. С.1327-1330.

45. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических уравнений. М.: Физматлит, 2001.608 с.

46. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сборник. 1959. Т.47(89). №3. С.271-306.

47. Harten A. High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // J. Сотр. Phys. 1983. V.49. P.357-393.

48. Калугин Г.А. Численный расчет компрессионных течений в канале плазменного ускорителя // Мат. моделирование. 1991. Т.З. №1. С.25-36.

49. Заборов A.M. Трехмерная модель динамики плазмы в магнитном поле квадрупольного типа. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1989. №138. 28с.

50. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 660с.

51. Бук Д., Борис Дж. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков // Вычисл. методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. / Под ред. Киллина Дж. М.: Мир. 1980. С. 92.

52. Book D.L., Boris J.P. Flux-corrected transport. I: SHASTA, a fluid transport algoritm that works // J. Сотр. Physics. 1973. v. 11. P. 38-69.

53. Book D.L., Boris J.P., Hain K. Flux-corrected transport. II: Generalizations of the method // J. Сотр. Physics. 1975. v. 18. P. 248-283.

54. Горшенин К.П., Калугин Г.А., Савельев В.В. Сверхзвуковое МГД-течение в канале за срезом цилиндрического электрода. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1988. №61. 25с.

55. Stiger J.L., Warming Н.К. Flux-vector splitting of the inviscid gas dynamics equations with applications to finite-difference methods // J. Сотр. Physics. 1981. v. 40. P. 263.

56. Collella P., Woodward P.R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas dynamics simulations // J. Сотр. Physics. 1984. v. 54. P. 174.

57. Zalesak S.T. Fully Multidimensional Flux-Corrected Transport Algorithms for Fluids // Journ. of Computational Physics. 1979. V.31. P.335-362.

58. Морозов А.И. Соловьев JI.C. Стационарные течения плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А.Леонтовича. М.: Атомиздат, 1974. Вып.8. С.3-87.

59. Козлов А.Н. Динамика вращающихся потоков плазмы в канале плазменного ускорителя с продольным магнитным полем // Физика плазмы. 2006. Т. 32. Вып. 5. С. 413-422.

60. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз. 1962.246 с.

61. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Стационарные МГД-течения в соплах с внешним продольным магнитным полем // Изв. АН. МЖГ. 2004. № З.С. 135-146.

62. Брушлинский К.В., Горшенин К.П., Сыцько Ю.И. Математические модели стационарных МГД-течений в каналах плазменных ускорителей // Мат. моделирование. 1991. Т.З. №10. С.3-19.

63. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С. А. Магнитогидродинамические течения в каналах. М.: Наука, 1970. 672 с.

64. Resler E.L., Sears W.R. The prospects for magneto-aerodynamics // J. Aeronaut. Sci. 1958. V.25. №4. P. 235-245.

65. Resler E.L., Sears W.R. Magneto-gasdynamics channel flow // ZAMP. 1958. V.9b. №5/6. S.509-518.

66. Брушлинский K.B., Жданова H.C. Расчет осесимметричных МГД-течений в канале с внешним продольным магнитным полем // ЖФМиМФ. 2006. Том 46. №3. С. 548-557.

67. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математичесой физики // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1964. Т.4. №3. С. 449-465; №4. С. 649-659.

68. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы // Дифф. уравнения. 1981. Т.17. №7. С. 13171327.

69. Самарский А.А. Теория разностных схем М.:Наука. 1989.

70. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем М.:Наука. 1971.

71. Страуструп Б. Язык программирования С++. М.: Бином. 1999. 991с.

72. Буч Г. Объектно-ориентированнный анализ и проектирование. М.: Бином. 1998. 560с.

73. Калугин Г.А. Влияние диссипативных процессов на компрессионные течения в канале плазменных ускорителей // Изв. АН. МЖГ. 1991. № 3.С.102-109.

74. Калугин Г.А. Расчет компрессионных течений в канале плазменного ускорителя // Нелинейные задачи математической физики и численные методы их решения / Под. ред. Кудряшова H.A. М.: Энергоатомиздат. 1990. С.54-62.

75. Морозов А.И., Ковров П.Е., Виноградова А.К. Экспериментальное подтверждение существования стационарных самосжимающихся потоков плазмы // Письма в ЖЭТФ. 1968. Т.7. Вып. 8. С.257-260.

76. Ратникова Т.А. Схема Годунова в МГД-задачах с поперечным магнитным полем. //Мат. моделирование. 1997. Т.9. №8. С.3-15.Основные публикации по теме диссертации

77. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Квазиодномерная модель течения плазмы в канале с внешним продольным магнитным полем // Научная сессия МИФИ. 2003. Сб. научных трудов. Т. 7. С. 84-85.

78. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Стационарные МГД-течения в соплах с внешним продольным магнитным полем. // Изв. АН. МЖГ. 2004. № 3. С. 135-146.

79. Жданова Н.С. Явная разностная схема для расчетов двумерных МГД-течений в каналах // Научная сессия МИФИ. 2005. Сб. научных трудов. Т. 7. С. 101-102.

80. Жданова Н.С. Двумерная модель течения плазмы в канале с внешним продольным магнитным полем // Научная сессия МИФИ. 2006. Сб. научных трудов. Т. 7. С. 124-125.

81. Жданова Н.С. Расчет течений плазмы в каналах-соплах с внешним продольным магнитным полем // Тихонов и современная математика. Математическое моделирование. Сб. трудов секции № 2. 2006. С. 197-198.

82. Брушлинский К.В., Жданова Н.С., Козлов А.Н. Численная модель МГД-ускорения в каналах-соплах с внешним продольным магнитным полем // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Сб. трудов, том II. 2006. С. 39.

83. Брушлинский К.В., Жданова Н.С. Расчет осесимметричных МГД-течений в канале с внешним продольным магнитным полем // ЖФМиМФ. 2006. Том 46. № 3. С. 548-557.