автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости

На правах рукописи

Проскурин Александр Викторович

Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2006

Работа выполнена на кафедре экспериментальной физики Алтайского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Сагалаков Анатолий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Родионов Евгений Дмитриевич

доктор физико-математических наук, доцент

Алтухов Юрий Александрович' Ведущая организация - Институт теплофизики СО РАН.

Загцита состоится 5 июля 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в Алтайском государственном университете по адресу: г. Барнаул, пр. Красноармейский 90.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета по адресу: г. Барнаул, пр. Ленина 61.

Автореферат разослан 2 июня 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Математическое моделирование ламинарно-турбулентого перехода в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля представляет значительный интерес. Это связано с широкой распространенностью электропроводящих сред - жидких металлов, ионизованного газа, плазмы, электролитов. С помощью магнитного поля можно эффективно управлять устойчивостью течений таких жидкостей. В последние годы появились новые возможности для исследования устойчивости параллельных течений, что связано, в частности, со значительным прогрессом в области вычислительной техники. В этой связи возникает необходимость разработки эффективных численных алгоритмов и создания библиотеки программ для более полного и детального исследования устойчивости МГД-течений.

Ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля интересен также и в теоретическом плане. Область ламинарно-турбулентного перехода располагается между хорошо исследованной областью существования ламинарных течений жидкости и областью существования турбулентного движения. Проблема турбулентности по-прежнему остается открытой, несмотря на то, что в течении целого века привлекает внимание многих выдающихся исследователей. Основные трудности при исследовании турбулентности связаны с наличием большого числа степеней свободы, нелинейностью, сложным и хаотическим характером движения. Поэтому изучение ламинарно-турбулентного перехода представляется важным, так как дает понимание механизмов зарождения и развития турбулентности, условий реализации ламинарного или турбулентного движения. Магнитное поле существенно влияет на ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости - оно может как стабилизировать, так и в отдельных случаях дестабилизировать течения. Магнитное поле является мощным инструментом воздействия на устойчивость течений электропроводящих жидкостей.

Переход к турбулентности или к новым ламинарным течениям непосредственно связан с потерей устойчивости ламинарного потока. Общая теория гидродинамической устойчивости и перехода'к турбулентному движению пока не разработана. Наиболее исследована и сторого обоснована теория линейной устойчивости параллельных течений в каналах. Однако несмотря на очень большой объем ! публикаций по данному вопросу, исчерпывающие результаты получены только в единичных случаях. Даже вопрос об устойчивости простого течения в круглой трубе не решен до настоящего времени: Это связано со значительной сложностью задач гидродинамической устойчивости, которые, к тому же, обычно не решаются аналитическими методами. Численное решение таких задач также может быть сопряжено со значительными трудностями. Для их решения используются специальные численные методы. Наиболее исследованы течения между параллельными бесконечными плоскостями (течения в плоском канале): течение Пуазейля, течение Гартмана, течение Куэтта и некоторые другие. Параллельное течение в трубе кольцевого сечения в присутствии внешнего магнитного поля ранее не исследовалось в полной мере.

Цель работы. Целью данной работы является обоснование, разработка и тестирование эффективных численных методов, создание библиотеки программ для изучения влияния внешнего магнитного поля на ламинарно-турбулентный переход в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости. Исследование при помощи данных методов и программ устойчивости параллельных МГД-течений в продольном и азимутальном магнитных полях.

Решаемые задачи:

1. Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости при наличии внешнего магнитного поля, основанное на результатах и методах теории гидродинамической устойчивости.

2. Разработка эффективной модификации метода дифференциальной прогонки, алгоритмов исследования устойчивости параллельных МГД-течений. Разработка и тестирование библиотеки программ для проведения массовых расчетов.

3. Исследование устойчивости к малым возмущениям плоского течения Пуазейля вязкой электропроводящей жидкости в присутствии продольного магнитного поля.

4. Исследование устойчивости к малым возмущениям параллельного течения вязкой электропроводящей жидкости в трубе кольцевого сечения при наличии продольного и спирального магнитного поля.

Научная новизна и значимость работы. В работе при помощи современных технологий математического моделирования и вычислительного эксперимента получены новые данные об устойчивости течений электропроводящей жидкости в канале кольцевого сечения при наличии продольного и азимутального магнитных полей, а также в плоском канале при наличии продольного магнитного поля. Использована специально разработанная эффективная модификация метода дифференциальной прогонки. По сравнению с имеющимися в литературе результатами, исследовались значительно более широкие интервалы параметров течения. Установлено, что при изменении числа Альф-вена или магнитного числа Прандтля может наблюдаться скачкообразное увеличение критических чисел Рейнольдса.

Впервые исследовалась устойчивость течения в трубе кольцевого сечения при наличии винтового магнитного поля. Обнаружено, что внесение азимутального магнитного поля при наличии продольного магнитного поля может приводить к уменьшению критических чисел Рейнольдса. -

Научная и практическая значимость работы. Установлено, что метод дифференциальной прогонки легко модифицируется для систем уравнений МГД-устойчивости высокого порядка и при этом оста-

ется наиболее простым, экономичным и эффективным при проведении массовых расчетов при больших числах Рейнольдса.

Разработанные эффективные численные алгоритмы и реализующие их библиотеки программ могут быть использованы для исследования гидродинамической устойчивости других параллельных течений. Результаты данной работы могут быть также использованы при анализе работы магнитогидродинамических генераторов и насосов или в качестве априорной информации для решения более сложных задач. Рассматриваемая здесь форма канала - труба кольцевого сечения -моделирует, например, проточную часть плазмотрона или плазменного реактивного двигателя.

На защиту выносятся:

1. Модификация метода дифференциальной прогонки для исследования устойчивости рассмотренных в диссертации течений.

2. Программная реализация численных методов, библиотека программ для построения критических и нейтральных зависимостей.

3. Детальная картина устойчивости рассмотренных параллельных течений и вывод о существенной стабилизации МГД-течений продольным магнитным полем. Эффект скачкообразного изменения критических чисел Рейнольдса при изменении числа Альф-вена или магнитного числа Прандтля.

4. Вывод о дестабилизирующем влиянии винтового магнитного поля на течение в трубе кольцевого сечения в сравнении со случаем продольного магнитного поля.

Достоверность результатов. Достоверность изложенных в работе результатов достигается использованием хорошо зарекомендовавших себя и обоснованных методов, анализом качественной физической картины развития и стабилизации малых возмущений, сравнением полученных результатов в нескольких частных случаях с данными,

имеющимися в литературе. Численный метод тестировался при помощи использования разных схем дифференциальной прогонки и альтернативного метода коллокаций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на конференциях: всероссийской конференции «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бийск, 2002г.), Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2002 г.), всероссийской конференции студентов-физиков и молодых ученых (Красноярск, 2003), 13

зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2003), совещании по

в

интервальной математике и методам распространения ограничений в рамках 5-й международной конференции «Перспективы систем информатики» (Новосибирск, 2003), международной конференции «Open Magnetic Systems for Plasma Confinement» (Новосибирск, 2004), всероссийской конференции с участием иностранных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2005 г.), международной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2004).

Личный вклад автора. Описанное в диссертации исследование было проведено автором самостоятельно, в том числе были разработаны и реализованы численно схемы дифференциальной прогонки, написаны подпрограммы для автоматического построения критических и нейтральных зависимостей. Данные программы полностью самостоятельно отлажены и протестированы, произведены контрольные вычисления с помощью высокоточного метода коллокаций. Предложен прямой способ вычисления фундаментальных многочленов интерполяции К.И. Бабенко, использующий вычисления с высокой точностью. Массовые расчеты критических параметров также производились самостоятельно.

Структура диссетации. Работа состоит из введения, четырех глав,

заключения, приложения и списка литературы. Работа содержит 57

> рисунков, библиография насчитывает 125 наименований. Общий объем диссертации - 155 страниц.

Публикации. Автором по теме диссертации опубликовано 15 печатных работ.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, определена научная новизна и практическая ценность исследований. Далее во введении перечислены положения, выносимые на защиту, обсуждается достоверность полученных результатов, описаны личный вклад автора и апробация работы.

Первая глава («Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода. Метод диференциальной прогонки») носит вводный характер. В разделе 1.1 приводится математическое обоснование задачи гидродинамической устойчивости: введены определения устойчивости, линеаризованное уравнение Навье-Стокса, поставлена соответствующая спектральная задача. Далее в этом разделе приводятся основные свойства спектра данной задачи и спектральные теоремы устойчивости, обоснована процедура линеаризации. В разделе 1.2 изложена практическая реализация методов и результатов раздела 1.1 в случае задачи устойчивости плоского течения Пуазейля (отметим, что этот -«простейший» случай исследовался свыше 50. лет, в том числе крупнейшими учеными: Гейзенбергом, Шлихтингом, Петровым, Колмогоровым и в последнее время академиком Садовничим!), выведено уравнение Орра-Зоммерфельда, являющееся в определенном смысле базовым в теории гидродинамической устойчивости...

Далее в этой главе (в разделах 1.3 и 1.4) выведены уравнения для эволюции малых возмущений в электропроводящей жидкости. Система

уравнений магнитной гидродинамики имеет вид

Й1Т 1

^Г + (УЧ)Н = (НЧ)У+—АН, (1)

/ Н2 \ 1

+ = -V (р + + А1{НЧ)Н + —АУ, (2)

¿юН = 0, йюУ = 0, (3)

где Н - напряженность магнитного поля, V - скорость жидкости, р -

давление, А1 = , „— число Альфвена, Лт = х- ~ магнитное

4тсрУс% у с2

число Рейнольдса, Яе = ^ - число Рейнс^ьдса, с - скорость света, (1 — ширина зазора между цилиндрами (см. рисунок 1, принята в качестве масштаба длины), а - электропроводность жидкости, 1сР - средне-расходная скорость (принята в качестве масштаба скорости), р - плотность жидкости, I/ - кинематическая вязкость, Но - напряженность внешнего магнитного поля (принята в качестве масштаба напряженности внешнего магнитного поля). Таким образом, структура уравнений магнитной гидродинамики такова, что три параметра (например, А1, Яе, НТГ1) полностью определяют поведение системы при заданных граничных условиях. При расчетах также использовалось магнитное число Прандтля Рт — Дт/Де, прямо пропорциональное электропроводности.

Решение системы уравнений (1)-(3) представим в виде

V = и + п, (4)

Н = Но + К (5)

Р = Ро+Р, (6)

где и, Но, ро - стационарное решение, а величины V, Н,р- возмущения скорости, поля и давления. Возмущения предполагаются малыми, что позволяет линеаризовать систему уравнений для эволюции возмущений. Используя цилиндрическую систему координат, разыскиваем

Рисунок 1. Конфигурация течения электропроводящей

жидкости, г„„ - радиус внутреннего цилиндра, гнар - радиус .

наружного цилиндра, й = гнар — гвн - величина зазора между

цилиндрами, £ — - безразмерный радиус внутреннего а

цилиндра

возмущения в виде

К(Г), ш„(г), их(г), Лг(г), А«,(г),Л,(г),в(г)} ехр^(г ~ с*) +, (7)

где и)г,и>1рти>г,кг,к,р,кг, - радиальная, азимутальная, осевая комплексные компоненты амплитуды возмущений скорости и напряженности манитного поля, д - амплитуда возмущения давления, а -осевое волновое число, т = 0,1,2,3,... - азимутальное волновое число, С = X + гУ - комплексная фазовая скорость, в которой X — собственно фазовая скорость, а аУ - декремент затухания возмущения (У < 0) или инкремент его нарастания (У > 0).

В разделе 1.3 выведены уравнения для возмущений течения в трубе кольцевого сечения (см. рисунок 1) при наличии продольного магнитного поля. Предложено преобразование этих уравнений к форме, наиболее приемлемой для использования метода дифференциальной прогонки. В разделе 1.4 рассмотрены уравнения для эволюции малых

возмущений слабо электропроводящей жидкости в трубе кольцевого сечения в присутствии спирального магнитного поля следующего вида:

Ног = 1, (8)

9т

Н01р = Г е [гв„., Г„ар.] , (9)

г

где в - коэффициент, выражающий соотношение между продольным и азимутальным магнитным полем.

В разделе 1.5 приводится краткий сравнительный анализ методов решения задач гидродинамической устойчивости. В разделе 1.6 рассмотрен метод прогонки в дифференциальной форме, который был предложен В.А.Сапожниковым, М.А.Гол^цштиком и академиком Н.Н.Яненко. Преимуществами данного метода являются его относительная простота, универсальность и высокая эффективность. Кроме того, данный метод отличает высокая надежность при проведении массовых расчетов. При использовании метода дифференциальной прогонки задача на собственные значения сводится к последовательности задач Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется численно. Одновременно организуется итерационный процесс. Собственные значения определяются при прямой прогонке. После определения собственного значения соответствующую собственную функцию можно найти обратной прогонкой.

Во второй главе («Модификация численного метода. Достоверность вычислений») в разделе 2.1 приведена модификация метода дифференциальной прогонки для рассмотренных в работе задач. Система уравнений гидродинамической устойчивости преобразована к виду

= + (10) V = М3Ж + М4У, (11)

где V- и IV векторы, составленные из неизвестных функций, входящих в уравнения, а М\, Мг, Мз, Мц - матрицы коэффициентов. Выбор схемы

прогонки существенно неоднозначен. • Проведенные вычислительные эксперименты позволили выбрать наиболее подходящую для данной задачи схему дифференциальной прогонки. На небольших расстояниях от границ канала прогонка велась по схеме

IV = АУ, (12)

а далее использовалась «обращенная» схема прогонки

У^ВЖ (13)

Системы дифференциальных уравнений для матриц А и В можно получить, продифференцировав (12), (13) и подставив в них выражения (10), (11). Находим

А' —М\А + М2 — А (М3А + М4), (14)

В'=М4В + М3 - В (М2В + М^). (15)

Интегрирование уравнений (14), (15) велось методом Рунге-Кутта-Мерсена четвертого порядка с контролируемой точностью от границ канала к некоторой средней точке, в которой сформулировано дисперсионное соотношение в виде

аеЬ(£+(С)-Я-(С)) =0, (16)

где знаками «+» и «—» обозначены прогон очные коэффициенты В, полученные интегрированием от разных границ канала. Уравнение (16) решалось итерационным методом (методом секущих) по схеме

= Сп--&пСчп~С.п-\ = <1<* (В+{Сп) -В~{Сп)) : (17)

В разделе 2.2 описаны приемы программирования, использовавшиеся при практической реализации численного метода. Далее в этой главе изложен метод коллокаций и его модификация, предложенная К.И.Бабенко, рассмотрены вопросы оценки достоверности

вычислений. В данной работе метод коллокаций К.И.Бабенко, отличающийся высокой точностью, использовался для тестовых вычислений.

В третьей главе («Устойчивость плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле») выведены уравнения устойчивости плоского течения Пуазейля при наличии продольного магнитного поля и приведены результаты численного исследования устойчивости. Картина устойчивости течения электропроводящей жидкости в плоском канале сложна и своеобразна. Прежде всего следует отметить тот факт, что продольное магнитное поле существенно стабилизирует данное течение. Увеличение числа Альфвена при некоторых значениях параметров может приводить к скачкообразному увеличению критических чисел Рейнольдса (см. рисунок 2, штриховкой обозначено расположение области неустойчивости относительно кривой критических зависимостей). Обнаружены области устойчивости данного течения к малым возмущениям при числах Рейнольдса порядка 106 107. Подтверждено существенное влияние диссипации на устойчивость данного течения. При изменении магнитного числа Прандтля происходит существенное изменение критических чисел Рейнольдса, причем также может наблюдаться скачкообразная стабилизация данного течения. Изменение числа Альфвена и магнитного числа Прандтля может приводить к качественной перестройке нейтральных кривых - отщеплению от носика нейтральной кривой замкнутой области неустойчивости (см. рисунок 3), которая уменьшается и исчезает при увеличении числа Альфвена.

В разделе 4.1 четвертой главы («Численное исследование устойчивости параллельного течения в трубе кольцевого сечения») приведены результаты исследования устойчивости течения в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля.'-Картина устойчивости течения электропроводящей жидкости в канале кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля является еще более сложной, чем в плоском случае. Продольное магнитное поле суще-

Ы Ке

0.02 0.04 А! 0.06

Рисунок 2. Зависимости критических чисел Рейнольдса Ле,

от параметра А1 в плоском случае, Рт = 0.01

-0.1 -

-0.2

4 6 8 1811е 10

Рисунок 3. Нейтральные кривые в плоском случае, Рт — 0.01,

Л/= 0.005

6.5

4,5

5.5

5

6

0.0001 0.001 0.01 0.1

Рисунок 4. Зависимости критических чисел Рейнольдса Де» от параметра Рт, £ = 1.3, А1 = 0.01, т = 1

ственно стабилизирует данное течение, причем увеличение числа Альф-вена в некотором диапазоне магнитных чисел Прандтля приводит к скачкообразному увеличению критических чисел Рейнольдса. Подтверждено существенное влияние диссипации на устойчивость данного течения. При изменении магнитного числа Прандтля также происходит существенное изменение критических чисел Рейнольдса, при этом возможна и скачкообразная стабилизация данного течения. Изменение числа Альфвена и магнитного числа Прандтля может приводить к образованию замкнутых нейтральных кривых. В качестве примеров приведены графики критических и нейтральных зависимостей на рисунках 4, 5 (штриховкой обозначено расположение области неустойчивости относительно кривых критических зависимостей).

В разделе 4.2 исследована устойчивость течения в трубе кольцевого сечения при наличии спирального магнитного поля. Как отмечено выше, рассматривалось приближение слабо электропроводящей (случай малых магнитных чисел Рейнольдса) жидкости. Примеры критических зависимостей приведены на рисунках б, 7. Установлено, что внесение азимутального магнитного поля при наличии продольного

Рисунок 5. Нейтральные кривые, £ = 1.3, Al = 0.004, Рт = 0.01

" I 1' дг-2 vjor / ■J Ш--3 - т--1 1 / Л

__ 1 1 1

0 20 40 60 80 q 100

Рисунок 6. Зависимости критических чисел Рейнольдса Re, от параметра в, £ = 10, Al = 0.1

в18**

4.8 4.6 4.4 4.2

4

0.1 0.1 I > ю

Рисунок 7. Зависимости критических чисел Рейнольдса Яе» от параметра 0 = 0.3, = 0.1

магнитного поля может приводить к дестабилизации данного течения.

В приложении приводится текст программы для вычисления критических чисел Рейнольдса течения в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля.

Основные результаты и выводы

В данной работе разработаны алгоритмы на основе дифференциальной прогонки и с помощью современных технологий вычислительного эксперимента выявлены общие закономерности влияния внешнего продольного и азимутального магнитных полей на устойчивость параллельных течений, проанализировано влияние электропроводности на устойчивость параллельных течений в продольном магнитном поле. Обнаружен эффект существенной стабилизации рассматриваемых течений продольным магнитным полем. Выбор параметров для вычислений производился с целью охвата наиболее характерных и интересных для исследователя областей, что позволило наблюдать основные эффекты, связанные с ламинарно-турбулентным переходом в

рассмотренных течениях. В итоге сформулированы следующие краткие выводы.

1. В данной работе рассмотрена хорошо обоснованная модель

ламинарно-турбулентного перехода,, простой, эффективный и надежный численный метод дифференциальной прогонки.

2. Разработаны эффективные варианты метода дифференциальной прогонки и соответствующие библиотеки программ, позволившие выполнить большой объем вычислений при исследовании устойчивости параллельных МГД-течений.

3. Установлено, что продольное магнитное поле существенно стабилизирует параллельные течения электропроводящей жидкости, причем возможно скачкообразное увеличение критических чисел Рейнольдса на два порядка.

4. Внесение азимутального магнитного поля при наличии продольного магнитного поля может приводить к уменьшению критических чисел Рейнольдса.

Список опубликованных работ

[1] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Устойчивость течения между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации. - 2004. - №24, апрель. - С. 94-100.

[2] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Устойчивость течения слабо электропроводящей жидкости в канале кольцевого сечения при наличии спирального магнитного поля // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной' информации. - 2005. - №44, апрель. - С. 42-46.

[3] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Устойчивость течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля // Изв. Алтайского гос. ун-та. - 2003. 1. -С. 91-94.

[4] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Образование ограниченных областей неустойчивости МГД течений в каналах // Изв. Алтайского гос. ун-та. - 2004. - № 1. - С. 122-126.

[5] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Устойчивость течения проводящей жидкости в канале кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля // Вестник алтайского научного центра сибирской академии наук высшей Школы. - 2003-2004. -№ 6-7. - С. 68-73.

[6] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Stability of plasma flow between coaxial cylinders // abstracts of International conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement. - Новосибирск: ИЯФ CO PAH. - 2004. - C. 86.

[7] Попов Д.И., Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Эволюция волн Толлмина-Шлихтинга в кольцевом зазоре // Теория и приложения задач со свободными границами: Тез. докл. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. - 2002. - С. 78-80.

[8] Проскурин A.B. Устойчивость одного МГД-течения в кольцевом зазоре // Международная конференция молодых ученых но математическому моделированию и информатике: Тез. докл. - Новосибирск. - 2002. - С. 36.

[9] Проскурин A.B. Устойчивость магнитогидродинамического течения проводящей жидкости в продольном магнитном поле // Физика, радиофизика — новое поколение в науке. - Барнаул. -2002. - Вып. 3. - С. 46.

[10] Проскурин A.B. Об устойчивости одного МГД-течения // Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых

ученых: Тез. докл. - Екатеринбург-Красноярск: Изд-во АСФ России. - 2003. - С. 465-466.

[11] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. О спектральной задаче Орра-Зоммерфельда // Международное совещание по интервальной математике и методам распространения ограничений: Тез. докл.

- Новосибирск. - 2003. - С. 46.

[12] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Устойчивость течения слабо проводящей жидкости в зазоре кольцевого сечения при наличии спирального магнитного поля / / Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения: Тез. докл. - Новосибирск: Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН. - 2005.

- С. 65-66.

[13] Проскурин A.B., Сагалаков A.M. Устойчивость течения электропроводящей жидкости в канале кольцевого сечения // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей: Тез. докл. - Новосибирск: Институт теоретической и прикладной механики СО РАН. - 2004. - С. 118-119.

[14] Проскурин A.B. Развитие МГД неустойчивости в канале кольцевого сечения // 13-я зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2003: Тез. докл. - Пермь. - 2003. - С. 299.

[15] Попов Д.И., Проскурин A.B. Применение методов теории функций комплексного переменного для численного анализа гидродинамической устойчивости // Физика, радиофизика - новое поколение в науке: Вып. 2. Сборник работ аспирантов и студентов. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. - 2001. - С. 89-93.

Подписано к печати 30.05", Об Формат 60 х 84/16 Усл. печ. л. 1,0. Заказ Т

Тираж 100 экз.

Типография Алтайского государственного университета, 656049, Барнаул, Димитрова 66.

Введение

1 Математическое моделирование ламинарнотурбулентного перехода. Метод дифференциальной прогонки

1.1 Постановка задачи.

1.2 Уравнение Орра-Зоммерфельда

1.3 Течение между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля

1.4 Течение слабоэлектропроводящей жидкости в спиральном магнитном поле

1.5 Сравнительный анализ методов решения задачи гидродинамической устойчивости.

1.6 Метод дифференциальной прогонки.

2 Модификация численного метода. Достоверность вычислений

2.1 Модификации метода дифференциальной прогонки

2.2 Приемы программной реализации численного метода

2.3 Метод коллокаций.

2.3.1 Метод коллокаций К.И. Бабенко.

2.4 Оценка достоверности результатов численного эксперимента

3 Устойчивость плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле

3.1 Вывод уравнений для малых возмущений плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле.

3.2 Численное исследование устойчивости плоского течения электропроводящей жидкости в продольном магнитном поле.

4 Численное исследование устойчивости параллельного течения в трубе кольцевого сечения

4.1 Устойчивость параллельного течения в трубе кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля

4.2 Влияние азимутального магнитного поля на устойчивость течения в трубе кольцевого сечения.

Актуальность темы. Математическое моделирование ламинарно-турбулеитого перехода в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля представляет значительный интерес. Это связано с широкой распространенностью электропроводящих сред - жидких металлов, ионизованного газа, плазмы, электролитов. С помощью магнитного поля можно эффективно управлять устойчивостью течений таких жидкостей. В последние годы появились новые возможности для исследования устойчивости параллельных течений, что связано, в частности, со значительным прогрессом в области вычислительной техники. В этой связи возникает необходимость разработки эффективных численных алгоритмов и создания библиотеки программ для более полного и детального исследования устойчивости МГД-течений.

Ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости в присутствии магнитного поля интересен также и в теоретическом плане. Область ламинарно-турбулентного перехода располагается между хорошо исследованной областью существования ламинарных течений жидкости и областью существования турбулентного движения. Проблема турбулентности по-прежнему остается открытой, несмотря на то, что в течении целого века привлекает внимание многих выдающихся исследователей. Основные трудности при исследовании турбулентности связаны с наличием большого числа степеней свободы, нелинейностью, сложным и хаотическим характером движения. Поэтому изучение ламинарно-турбулентного перехода представляется важным, так как дает понимание механизмов зарождения и развития турбулентности, условий реализации ламинарного или турбулентного движения. Магнитное поле существенно влияет на ламинарно-турбулентный переход в электропроводящей жидкости - оно может как стабилизировать, так и в отдельных случаях дестабилизировать течения. Магнитное поле является мощным инструментом воздействия на устойчивость течений электропроводящих жидкостей.

Переход к турбулентности или к новым ламинарным течениям непосредственно связан с потерей устойчивости ламинарного потока. Общая теория гидродинамической устойчивости и перехода к турбулентному движению пока не разработана. Наиболее исследована и сторого обоснована теория линейной устойчивости параллельных течений в каналах. Однако несмотря на очень большой объем публикаций по данному вопросу, исчерпывающие результаты получены только в единичных случаях. Даже вопрос об устойчивости простого течения в круглой трубе не решен до настоящего времени. Это связано со значительной сложностью задач гидродинамической устойчивости, которые, к тому же, обычно не решаются аналитическими методами. Численное решение таких задач также может быть сопряжено со значительными трудностями. Для их решения используются специальные численные методы. Наиболее исследованы течения между параллельными бесконечными плоскостями (течения в плоском канале): течение Пуазейля, течение Гарт-мана, течение Куэтта и некоторые другие. Параллельное течение в трубе кольцевого сечения в присутствии внешнего магнитного поля ранее не исследовалось в полной мере.

Упомянутые выше вопросы рассматривались в работах [1]-[125].

Цель работы. Целью данной работы является обоснование, разработка и тестирование эффективных численных методов, создание библиотеки программ для изучения влияния внешнего магнитного поля на ламинарно-турбулентный переход в параллельных течениях вязкой электропроводящей жидкости. Исследование при помощи данных методов и программ устойчивости параллельных МГД-течений в продольном и азимутальном магнитных полях.

Решаемые задачи:

Заключение

В данной работе разработаны алгоритмы на основе дифференциальной прогонки и с помощью современных технологий вычислительного эксперимента выявлены общие закономерности влияния внешнего продольного и азимутального магнитных полей на устойчивость параллельных течений, проанализировано влияние электропроводности на устойчивость параллельных течений в продольном магнитном поле. Обнаружен эффект существенной стабилизации рассматриваемых течений продольным магнитным полем. Выбор параметров для вычислений производился с целью охвата наиболее характерных и интересных для исследователя областей, что позволило наблюдать основные эффекты, связанные с ламинарно-турбулентным переходом в рассмотренных течениях. В итоге сформулированы следующие краткие выводы.

1. В данной работе рассмотрена хорошо обоснованная модель ламинарно-турбулентного перехода, простой, эффективный и надежный численный метод дифференциальной прогонки.

2. Разработаны эффективные варианты метода дифференциальной прогонки и соответствующие библиотеки программ, позволившие выполнить большой объем вычислений при исследовании устойчивости параллельных МГД-течений.

3. Установлено, что продольное магнитное поле существенно стабилизирует параллельные течения электропроводящей жидкости, причем возможно скачкообразное увеличение критических чисел Рейнольдса на два порядка.

4. Внесение азимутального магнитного поля при наличии продольного магнитного поля может приводить к уменьшению критических чисел Рейнольдса.

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:Наука. - 1978.

2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука 1971.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука. 1986.

4. Бартеньев О.В. Современный Фортран. М.:Диалог-МИФИ. -1998.

5. Бартеньев О.В. Visual Fortran: новые возможности. -М.:Диалог-МИФИ. 1999.

6. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. 4.1. М.:Диалог-МИФИ. - 2000.

7. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. 4.2. М.:Диалог-МИФИ. - 2001.

8. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч.З. М.:Диалог-МИФИ. - 2001.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука. - 1975.

10. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. Новосибирск: Наука. - 1999.

11. Брушлинская Н.Н. О предельных циклах уравнений движения твердого тела и галеркинских уравнений гидродинамики. // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157. - № 5. - С. 1017-1020.

12. Брушлинская Н.Н. О поведении решений уравнений гидродинамики при переходе числа Рейнольдса через критическое значение // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 162. - №4. - С. 731-734.

13. Велихов Е.П. Устойчивость плоского пуазейлева течения идеально проводящей жидкости в продольном магнитном поле // ЖЭТФ. 1959. - Т. 36. - Вып. 4. - С. 1192-1202.

14. Вильгельми Т.А., Сапожников В.А. Об устойчивости течения в кольцевом канале // Численные методы механики сплошных сред. 1974. - т.2. - № 4. - С.31-39.

15. Вильгельми Т.А., Сапожников В.А. О влиянии параллельного магнитного поля на устойчивость течения в кольцевом канале // Вопросы гидродинамики и теплообмена. Новосибирск. -1972. - С.188-196.

16. Гатилов В.В., Сагалаков A.M. Гидромагнитная неустойчивость плоского токового слоя с конечной проводимостью // Физика -плазмы. 1984. - т. 10. - Вып. 5. - с. 1073-1080.

17. Гатилов В.В., Сагалаков A.M., Ульченко В.В. Тиринг-неустойчивость в МГД-течениях // Магнитная гидродинамика. -1986 № 1. - С. 11-16.

18. Гатилов В.В., Сагалаков A.M., Ульченко В.Ф. Тиринг-неустойчивость плоского токового слоя с конечной ионной вязкостью // Прикладная механика и техническая физика. -1985. № 2. - С.6-14.

19. Грин Д., Кнут Д. Математические методы анализа алгоритмов.- М.: Мир. 1987.

20. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность Новосибирск: Наука. - 1977.

21. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.:Наука. - 1977.

22. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5.- М.: «Солон» 1998.

23. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда //Электромагнитные волны и электронные системы. 2000. - Т.35. - №6. -С4-10.

24. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука. - 1978.

25. Карасев Б.Г., Лиелаусис О.А., Муравьев Е.В., Тананаев А.В. Жидкие металлы в термоядерных реакторах с магнитным удержанием. Препринт ин-та физики АН Латвийской ССР. -Саласпилс. - 1987.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. -М.:Наука. 1984.

27. Катцан Г. Язык фортран 77. Москва: Мир. - 1982.

28. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. М.: Мир. - 1998.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. - 1976.3135

30. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеха-ника.Ч.1. М.:Физматлит. - 1963.

31. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеха-ника.Ч.2. М.:Физматлит. - 1963.

32. Кнут Д. Искусство программирования. М.: ИД «Вильяме». -2000.

33. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. - 1975.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. - 1987.

35. Лавреньтьев И.В., Шишко А.Я. Электродинамические процессы в МГД-каналах при больших числах Рейнольдса// Магнитная гидродинамика. 1980. - №3. - С.81-106.

36. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука. 1973.

37. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. - 1970.

38. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гос. изд-во тнхнико-теоретической литературы. - 1947.

39. Левитан Ю.Л., Моисеенко Б.Д., Рождественский Б.Л., Сидорова В.К. Спектры плоского течения Пуазейля и проблема решения уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса//Ж. выч. мат. и матем. физики. 1978. - Т.18. -т. - С.252-258.

40. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз. - 1962.

41. Лойцянский JI.Г. Механика жидкости и газа. М.: Гостехиздат.- 1950.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука. - 1986.

43. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. - 1982.

44. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. С. 143-144.

45. Лихачёв О.А., Штерн В.Н. Автоколебательное МГД-течение в канале при продольном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1975. - № 3. - С.15-20.

46. Лотов К.В. Физика сплошных сред. Новосибирск: НГУ. - 2002.

47. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.:Наука. - 1975.

48. Милн-Томпсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.:Мир.- 1964.

49. Обухов A.M., Гледзер Е.В., Должанский Ф.В. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука. - 1981.

50. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Устойчивость альфвеновских колебаний плоского слоя плазмы // Физика плазмы. -1983. -Т. 9. Вып. 3. - С. 512-522.

51. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Альфвеновские неустойчивости плоского слоя плазмы с однородным пучком ионов // Физика плазмы. 1985. - Т. 11. - Вып. 2. - С.211-220.

52. Патудин В.М., Сагалаков A.M. Динамика альфвеновских возмущений в неоднородной плазме. Барнаул: изд-во Алт. ун-та. -1998.

53. Патудин В.М., Сагалаков A.M. О спектре линеаризованных уравнений Кадомцева-Погуце // Физика плазмы. -1987. Т. 13. - Вып. 4. - С.429-435.

54. Патудин В.М., Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Тиринг-неустойчивость. Барнаул: изд-во Алт. ун-та. - 2001.

55. Прандтль П. Гидроаэромеханика. Иж.:НИЦ «РХД». 2000.

56. Попов Д.И., Проскурин А.В. Применение методов теории функций комплексного переменного для численного анализа гидродинамической устойчивости // Физика, радиофизика -новое поколение в науке. Барнаул, 2001. - Вып. 2. - С. 8993.

57. Проскурин А.В. Устойчивость одного МГД-течения в кольцевом зазоре // Тез. докл. Международной конференции молодых учёных по математическому моделированию и информатике, 29-31 октября 2002 г. Новосибирск, 1978. - С. 36.

58. Проскурин А.В. Устойчивось магнитогидродинамического течения проводящей жидкости в продольном магнитном поле

59. Физика, радиофизика новое поколение в науке. - Барнаул, 2002. - Вып. 3. - С. 46.

60. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Устойчивость течения проводящей жидкости в кольцевом зазоре при наличии продольного магнитного поля // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2003. - № 1. -С. 91-94.

61. Проскурин А.В. Об устойчивости одного МГД-течения // Тез. докладов всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных, 28 марта-3 апреля 2003 г., Красноярск. Екатеринбург-Красноярск: изд-во АСФ Росии. - 2003. -С.465-466.

62. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. О спектральной задаче Орра-Зоммерфельда. // Тез. докл. Международного совещания по интервальной математике и методам распространения ограничений, 8-9 июля 2003 г., Новосибирск, Академгородок. Новосибирск. - 2003. - С.46.

63. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Образование ограниченных областей неустойчивости МГД течений в каналах // Изв. Алтайского гос. ун-та. 2004. - № 1. - С. 122-126.

64. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Устойчивость течения проводящей жидкости в канале кольцевого сечения при наличии продольного магнитного поля // Вестник Алтайского Научного Центра Сибирской Академии Наук Высшей Школы. 20032004. - № 6-7. - С. 68-73.

65. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Stability of plasma flow between coaxial cylinders // abstracts of International conference on Open

66. Magnetic Systems for Plasma Confinement, 5-9 July, Novosibirsk. Новосибирск: ИЯФ CO PAH. - 2004. - C. 86.

67. Проскурин А.В. Развитие МГД неустойчивости в канале кольцевого сечения // 13-я зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2003: Тез. докл. Пермь. - 2003. - С.299.

68. Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Устойчивость течения между коаксиальными цилиндрами при наличии продольного магнитного поля // Вестник Томского гос. ун-та: бюллетень оперативной научной информации. 2004. - №24, апрель. - С. 94-100.

69. Рауз X. Механика жидкости. М.: Изд-во литературы по строительству. 1967.

70. Рыжиков Ю.И. Программирование на Фортране Powerstation для инженеров. Корона-Принт. - 1999.

71. Сагалаков A.M. Устойчивость течения Гартмана // Докл. Академии Наук. 1972. - Т. 203. - №4. -С. 772-775.

72. Сагалаков A.M. Устойчивость течения Гартмана // Известия Академии Наук: Механика жидкости и газа. 1972. - № 6. -С.17-31.

73. Сагалаков A.M., Сидоров Е.Н., Тюлюпин Е.Н. Устойчивость магнитогидродинамического течения Пуазейля в плоском канале с непроводящими стенками // Магнитная гидродинамика. 1984. - № 4. -с.75-80.

74. Сагалаков A.M., Сидоров Е.Н., Тюлюпин Е.Н. Устойчивость магнитогидродинамического течения Пуазейля в плоском канале с непроводящими стенками // Магнитная гидродинамика. 1989. - № 2. -с.128-145.

75. Сагалаков А.М.,Стерлягов С.П., Ульченко В.Ф., Юдинцев А.Ю. Нарастание тиринг-моды в плазменном цилиндре // Устойчивость и турбулентность. Новосибирск: ИТ СО ФР СССР. -1895. - С. 61-70.

76. Сагалаков A.M., Ульченко В.Ф. Нарастание наклонных возмущений плоского токового слоя // Физика плазмы. 1985. - Т. 11. - Вып. 4. С. 452-461.

77. Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Автоколебания магнитогидро-® динамических течений в трубе кольцевого сечения в продольноммагнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1992. - № 1. -С.7-12.

78. Сагалаков A.M., Юдинцев А.Ю. Общие свойства вторичных несимметричных режимов в параллельных МГД-течениях // Изв. Алтайского гос. ун-та. 1997. - № 1. - С. 54-57.

79. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.Ф. Новый метод приближённого вычисления первыхф собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда

80. Докл. Академии Наук. 2001. - Т 378. - №4. - С.443-446.

81. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями.- М.: Высш. шк. 1987.

82. Сапожников В.А. Численное решение задач гидродинамической устойчивости. // Автореферат кандидатской диссертации.- Новосибирск: Ин-т Теплофизики СО АН СССР. 1970.

83. Сапожников В.А. Решение задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки//Тр. Всесоюзн. семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск. - 1969. - С.212-219.

84. Сапожников В. А. Численное решение задач гидродинамической устойчивости// Тр. секц. по численным методам в газовой динамике 2-го межд. коллоквиума по газовой динамике взрыва и реагирующих систем. Т.З. - Москва. - 1971. - С.179-192.

85. Слёзкин Н.А. Динамика несжимаемой жидкости. Москва. -1955.

86. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Государственное издательства теоретико-технической литературы.- 1954.

87. Струминский В.В. К нелинейной теории аэродинамической устойчивости. // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151. - №5.-С. 1046-1049.

88. Струминский В.В. К нелинейной теории развития и стабилизации аэродинамических возмущений.// Докл. АН СССР. -1963. Т. 153. - № 3. - С. 547-550.

89. Чен Ф.Ф. Введение в физику плазмы. М.:Мир, 1987.

90. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1981.

91. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, - 1974.

92. Юдинцев А.Ю. Устойчивость и автоколебания течения слабо-проводящей жидкости кольцевом зазоре. // Дисс. на соискание ст. канд. физ.-мат. н. Барнаул. - 1993.

93. Юдович В.И. Об устойчивости течений вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1965. - Т. 161. - № 5. - С. 1037-1040.

94. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. - 1984.

95. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебательных режимах, ответвляющихся от течения Пуазейля в плоском канале. // Докл. АН СССР. 1972. - Т. 202. - № 4. - С. 791-792.

96. Batchelor G.K. Introduction to fluid dynamics. Cambrige university press. - 2002.

97. Biskamp D. Magnetohydrodynamic turbulence. Cambrige university press. - 2002.

98. Boeck Т., Krasnov D.S., Zienicke E., Zikanov O., Thess A. Numerical study of the instability of the Hartmann layer //J. Fluid Mech. 2004. - Vol. 504. - P.183-211.

99. Canuto С., Hussaini M.Y., Quarterony A., Zang T. Spectral metods in fluid dynamics. Springer. -1998.

100. Cotrell D.L., Pearlstein A.J. The connection between centrifugal instability and Tollmien-Schlichting-like instability for spiral Poiselle flow. // J. Fluid Mech. 2004. - № 509. - P. 331-351.

101. Criminale W.O., Jackson T.L., Lasseigne D.L., Joslin R.D. Perturbation dynamics in viscous channel flows. //J. Fluid Mech. 1997. - № 339. - P. 55-75.

102. Davidson P.A. An introduction to magnetohydrodynamics. -Cambrige university press. 2001.

103. Drazin P.G. Introduction to hydrodynamics stability. Cambrige university press. - 2002.

104. Dolan T.J. Fusion research. Pergamon press. - 2000.

105. Gerard-Varet D. Amplification of small perturbations in a Hartmann layer. // Phys. Fluids. 2002. - vol. 14. - P. 1458-1467.

106. Henningson D.S., Schmid P.J. Stability and transition in shear flows. New York: Springer-Verlag. - 2001.

107. Herron I.H., Halima A.N. The principle of exchange of stabilities for Couette flow. // Quarterly of applied mathematics. 2002. -Vol. LXI. - № 2. - P. 279-293.

108. Hjgham N.J. Accuracy and stability of numerical algorithms. -Philadelphia: SIAM. 1996.

109. Joshi S.S., Speyer J.L., Kim J. A systems theory approach to the feedback stabilization of infinitesimal and finite-amplitudedisturbances in plane Poiseuille flow. // J. Fluid Mech. 1997.- № 332. P. 157-184.

110. Lee D., Choi H. Magnetohydrodynamics turbulent flow in a channel at low magnetic Reynolds number. //J. Fluid Mech. -2001. № 429. - P. 367-394.

111. Lingwood R.J., Alboussierre T. On the stability of the Hartmann layer. // Phys. Fluids. 1999. - №11. - P.2058-2068.

112. Lock R.C. The stability of the flow of an electrically conducting fluid between parallel planes under a transverse magnetic field // Proc. R. Soc. London. 1955. - A 233. - P. 105-125.

113. Orzag S.A. Accurate solution of the Orr-Sommerfield stability equation//J. Fluid Mech. 1971. - Vol. 50. - №4. - P.689-704.

114. Roberts P.H. An introduction to magnetohydrodynamics. -Longmans. 1967.

115. Sagalakov A.M., Yudintsev A.Yu., Yavorsky N.I. Mechanism of spontaneous symmetry breaking in MHD flows // Russian Journal of Engeneerings Thermophysics. 1995. - № 2. - P. 409-424.

116. Sagalakov A.M., Yudintsev A.Yu., Yavorsky N.I. Mechanism of spontaneous symmetry breaking in MHD flows // International congress on Electromagnetic processing of materials. Proceedings.- Paris. 1997. - Vol.1. - P. 607-613.

117. Takashima M. The stability of the modified plane Poiseulle flow in the presence of a transverse magnetic field // Fluid Dyn. Res. -1996. № 17. - P. 293-310.

118. Takashima M. The stability of the modified plane Couette flow in the presence of a transverse magnetic field // Fluid Dyn. Res. -1998. № 22. - P. 105-121.

119. Thess A., Zikanov 0. Direct numerical simulation of forced MHD turbulence at low magnetic Reynolds number. //J. Fluid Mech. -1998. № 358. - P. 299-333.

120. Zikanov 0. On the instability of pipe Poiseulle flow // Phys. Fluids. -1996. № 8. - P. 2923-2932.