автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование равновесия плазмы в магнитных ловушках-галатеях

На правах рукописи

Гольдич Алексей Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНЫХ ЛОВУШКАХ-ГАЛАТЕЯХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2014 005555434

2 О НОЯ 2014

005555434

Работа выполнена в Национальном Исследовательском Ядерном Университете «МИФИ»

Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф.,

Бругилинский Константин Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ватажин Александр Бенцианович, начальник сектора, ГНЦ ФГУП "Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова"

доктор физико-математических наук, доцент Сычугов Дмитрий Юрьевич,

доцент факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова

Ведущая организация: Институт физики токомаков НИЦ "Курчатовский институт", Москва.

Защита диссертации состоится « 24 » декабря 2014 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.130.09 при Национальном Исследовательском Ядерном Университете «МИФИ», расположенном по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98,324-92-56.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Автореферат разослан « Л ноября 2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные

печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого

секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета .

д. ф.-м. н., проф. Леонов A.C.

Общая характеристика работы

Диссертация обобщает работы в области математического моделирования равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в ловушках - «галатеях». Рассмотрены конфигурации в плазменных цилиндрах с погруженными в них двумя и тремя прямыми и винтовыми проводниками -распрямленных аналогах соответствующих тороидальных ловушек. Плазмостатические модели получены в результате численного решения краевых задач с уравнением Грэда-Шафранова для функции магнитного потока при различных типах граничных условий.

Актуальность работы. Математическое моделирование обладает широкими возможностями в описании сложных физических процессов, установок и объектов исследования, с быстрым изменением параметров, характерных дня изучаемого объекта, экономя при этом финансовые средства, исключая из рассмотрения неэффективные, нерабочие или принципиально невозможные установки и протекающие в них процессы. Аппарат предоставляемый математическим моделированием позволяет рассматривать, как сложные задачи, полностью учитывающие все процессы и взаимодействия в системе для получения достаточно точных результатов, так и упрощенные, рассматривающие основные принципиальные моменты, необходимые для теоретических вопросов касающихся возможности реализации, взаимодействия, реакции и др. В частности для теоретического исследования физических процессов и обработки экспериментальных данных, в области физики плазмы, существенную роль играет использование возможностей предоставляемых математическим моделированием.

Физика плазмы - область науки, занимающаяся изучением процессов и явлений, протекающих с участием заряженных частиц в ионизованных и проводящих средах, в природе и в лабораторных или промышленных установках. Значение решения задач физики плазмы для развития науки и техники состоит в расширении знаний о фундаментальных природных закономерностях, и, самое главное, в разработке проблемы управляемого термоядерного синтеза, создании новых технологий, приборов и устройств.

На протяжении уже более 60 лет ведутся активные исследования плазменных процессов, проводятся крупные научно-технические разработки, создаются плазменные установки - все направлено на максимально глубокое изучение проблемы управляемого термоядерного синтеза (УТС).

Ориентация на указанные приложения, в первую очередь - термоядерные и развитие аппарата математического моделирования с использованием современных вычислительных мощностей обуславливает актуальность данной диссертационной работы.

Модели процессов в плотной горячей плазме строятся на языке магнитной газодинамики. Двумерные задачи используют симметрию — плоскую, осевую или винтовую. Они содержат развитый математический аппарат и эффективные методы решения. В частности, систему двумерных уравнений плазмостагики, можно свести к одному скалярному уравнению Грэда-Шафранова [1,2] — эллиптическому уравнению второго порядка с нелинейной правой частью. Задачи о возможных симметричных равновесных магнитоплазменных конфигурациях становятся краевыми задачами с этим уравнением.

Проблема управляемого термоядерного синтеза включает в себя вопросы образования равновесных плазменных конфигураций и их удержания магнитным полем. Обычно рассматривают замкнутые конфигурации, чаще всего тороидальные — токамак (с сильным тороидальным током в плазме) и стелларатор (с электрическим током в основном во внешних проводниках).

Большой интерес и перспективы представляют тороидальные конфигурации, в которых проводники с током погружены в плазму. Проводники не закреплены внутри конфигурации, при этом магнитное поле, образованное током в самих проводниках и плазме, ограждает их от контакта с последней. Этому классу ловушек посвящено обширное число работ, отечественных и зарубежных, начиная с А.Д. Сахарова [3] и Д.В. Орлинского [4] и С. Иошикавы [5]. Специальное внимание к данному классу ловушек и их перспективам привлечено в работах А.И. Морозова, в которых они названы «галатеями»[6]. Обзор их первых исследований, включая математические модели содержатся в [7].

В данной диссертации рассмотрены некоторые вопросы, относящиеся к краевым задачам с уравнением Грэда-Шафранова, а именно, итерационные методы

его решения, возможная неединственность решения, вопросы устойчивости. Они привлекли к себе внимание в процессе решения задач с тремя различными конфигурациями. «Пояс» [8] — тороидальная плазменная ловушка с погруженными в него двумя проводниками, «Трилистник» — аналог ловушки «Пояс» с погруженными в него тремя проводниками, «Стелларатор галатеи» — развитие конфигурации трилистник — тороидальная плазменная ловушка с погруженными в него винтовыми проводниками [9]. Для упрощения исследования, постановки и решения задач, тороидальные конфигурации ловушек заменены их распрямленным в цилиндр аналогом [10]. Сечения магнитных конфигураций в упомянутых трех ловушках плоскостью z = const, приведены ниже в разделе краткого содержания на рис.1-3.

Целью диссертации являются построение, исследование, развитие нелинейных математических моделей равновесных магнитоплазменных конфигураций в указанных ловушках, включая составление программного комплекса, и реализация модели в численных исследованиях геометрии и количественных характеристик конфигурации. Особое внимание уделено условиям на внешней границе цилиндра, допускающим ее проницаемость для магнитного поля.

Методы исследования. "Распрямление" тора в цилиндр бесконечной длинны очевидно упрощает модель, в случае прямых проводников конфигурация автоматически обладает симметрией, а в случае винтовых проводников позволяет предположить винтовую симметрию, т.е. сделать задачу двумерной. Решение нелинейных краевых задач с двумерным уравнением Грэда-Шафранова строится, используя численные методы. Разностный аналог краевой задачи решается итерационным методом установления, нелинейная часть берегся с предыдущего слоя, а линейная со следующего. Для численного решения систем линейных уравнений на следующем слое использовались метод продольно-поперечной прогонки и метод Фурье. Для анализа появившихся в решении бифуркаций используются спектральные свойства линеаризованного аналога дифференциального оператора. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++. Обзор математических моделей в задачах плазмостатики содержится в [11,12]

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• Уточнения и модернизации математических моделей равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в цилиндре с погруженными в него проводниками с током. Модели используют аппарат двумерных краевых задач с уравнением Грэда-Шафранова дм функции магнитного потока.

• Модификации математических моделей с помощью различных граничных условий первого и второго рода в упомянутых краевых задачах с целью допустить прозрачность границ для магнитного поля и исследовать зависимость свойств конфигурации от величины полного электрического тока в плазменном цилиндре. Создание программного комплекса для реализации модели в расчете.

• Исследования геометрии и количественных характеристик магнитоплазменных конфигураций в расчетах серии задач в расширенных с помощью указанных модификаций постановках, а именно: распределения электрического тока в плазме, условий существования и единственности решения задач о равновесии, деформаций, вызванных прозрачностью границ цилиндра для магнитного поля.

Научная новизна работы:

Основные результаты работы являются новыми. Они дополняют и развивают теорию равновесных конфигураций плазмы, токов и магнитного поля в ловушках и их математических моделей, представленную цитируемыми в диссертации источниками.

Обоснованность и достоверность численных результатов подтверждается внутренней сходимостью метода расчетов, совпадением полученных результатов с тестовыми точными решениями, полученными аналитически и сопоставлением с результатами других авторов.

Теоретическая, методическая и практическая значимость работы Результаты работы

• вносят вклад в теорию равновесных конфигураций плазмы, удерживаемой магнитным полем с электрическим током в термоядерных ловушках, и их математических моделей;

• демонстрируют возможности математических моделей и расчетов на современных компьютерных системах и их развитие в исследованиях сложных физических процессов в термоядерной тематике;

• имеет перспективу применения в разработке новых разновидностей магнитных ловушек-галатей для удержания плазмы, анализа и интерпретации экспериментов и оптимизации параметров.

Результаты диссертационной работы использованы в качестве материалов при выполнении федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»: "Математические и вычислительные вопросы моделирования процессов в научно-технических задачах физики плазмы"№16.740.11.0156, и гранта РФФИ №12-01-00071 На защиту выносятся:

1. Математические модели равновесных магнитоплазменных конфигураций построенные в терминах краевых задач с уравнениями типа Грэда-Шафранова, выбор и реализация численных методов, создание программного комплекса для расчетов на современных компьютерах, а именно:

а. Уточненная модель ловушек допускающая адекватные задаче безразмерные значения параметров и расчеты на достаточно подробных сетках, использующая современные средства визуализации результатов.

б. Модифицированная модель ловушек с прозрачными для магнитного поля границами на основе первой краевой задачи с заданными значениями максимального давления плазмы и неоднородной по угловой компоненте функцией магнитного потока на границе.

в. Модифицированная модель ловушек на основе второй краевой задачи с заданной азимутальной компонентой магнитного поля на границе, которая соответствует заданной величине полного электрического тока в цилиндре. Она также допускает прозрачные для магнитного поля границы. Максимальное значение давления плазмы при этом определяется в процессе расчетов.

2. Результаты серии расчетов равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в трех разновидностях плазменного цилиндра с

погруженными в него двумя и тремя прямыми и винтовыми проводниками с

током, а именно:

а. Во всех вариантах конфигураций и ловушек найдено распределение электрического тока в плазме, которое характеризует его тенденцию к скинированию: ток отсутствует в областях максимального давления и сосредоточен вблизи границ конфигураций.

б. Найдены критические безразмерные значения максимального давления , зависящие от параметров задач, которые соответствуют бифуркациям решений от единственно существующих к неединственным или несуществующим.

в. В расчетах конфигураций с прозрачными для магнитного поля границами в терминах модифицированных моделей количественно исследованы деформации поля и плазмы под влиянием указанных изменений граничных условий задач. Найдены условия, при которых плазменные конфигурации сжимаются или растягиваются в направлении своих осей симметрии, что может быть вызвано дополнительными проводниками с током, расположенными за пределами рассматриваемой цилиндрической области ловушки.

Апробация работы Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. Ежегодные Научные сессии НИЯУ МИФИ, Москва, 2009-2014г.г.

2. Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко. Дюрсо, 10-16 сентября, 2012г.

3. Международная конференция «Забабахинские научные чтения» Снежинск, 16-20 апреля 2012г.

4. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и информатики» С56 (МРАМС8'2012) Дубна, ОИЯИ, 22- 27 августа 2012г.

5. Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» (ММСР'2013) Дубна, ОИЯИ, 8-12 июля 2013г

Публикации Основные результаты диссертационной работы отражены в 11 публикациях, в том числе 3 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Диссертация содержит 139 машинописных страниц, включая 40 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 79 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждаются вопросы актуальности, определяются цели и методы работы, проводится общая характеристика диссертационной работы, а также делается обзор предшествующих исследований, кратко излагается структура, и представляются основные результаты.

Первая глава посвящена постановке двумерной МГД- задачи о равновесии в распрямленном в цилиндр аналоге тороидальных ловушек с двумя прямыми проводниками с током, погруженными в плазменный объем. Токи протекающие в проводниках, равные по величине и по направлению, создают магнитное поле, которое призвано удерживать плазму внутри ловушки и не допустить контакта с ними, а также окружающей её оболочкой. Данная конфигурация обладает плоской симметрией, в силу которой, как хорошо известно, модель существенно упрощается: вместо трех векторных уравнений плазмостатики достаточно иметь дело с одним скалярным уравнением типа Грэда-Шафранова (1) для функции магнитного потока

Уравнение Грэда-Шафранова - двумерное эллиптическое уравнение второго порядка. Его младшие члены содержат две произвольные функции одной переменной />(Ч') и /(Ч'), которые описывают распределение давления плазмы и электрического тока между «магнитными поверхностями» Ч' = const. В рассмотренном варианте постановки задачи давление плазмы задано так, чтобы сосредоточить плазму в ловушке в окрестности одной из магнитных поверхностей, а именно (2).

У [1,2].

(1)

(у-Тр V

рт = р0е{ * ] (2)

Функция электрического тока в указанном варианте равна осевой координате магнитного поля и поэтому в задачах о «Поясе» и «Трилистнике» 1 = 0. Функция у™, задающая ток в проводниках, предполагается непрерывно рассредоточенной в их окрестностях небольшого диаметра. Задача симметрична относительно осей х и у, т.е. вдоль лучей <р = 0 и ср= л/2, который позволяет ограничиться решением задачи только в первом квадранте. Поставленная краевая задача решается численно. Для численного решения поставленные задачи приводятся к безразмерной форме. Единицы измерения всех величин образованы из размерных параметров, участвующих в постановке задачи. Разностный аналог уравнения типа Грэда-Шафранова использует стандартный пятиточечный шаблон на ортогональной координатной сетке с постоянными шагами Дг и Ад>. Задачи с разностными уравнениями решаются итерационным методом установления. Линейное разностное уравнение для на следующей итерации решается методом продольно-

поперечной прогонки. В этой главе также рассказано про использованные численные методы и особенности их применения. Затем описывается особенность постановки второй краевой задачи и возникающие дополнительные условия. Обсуждается неустойчивость и неединственность решений с помощью анализа малых возмущений решения в линейном приближении.

Вторая глава посвящена магнитной ловушке «Пояс» - цилиндрическом аналоге плазменного тора с погруженными в него двумя параллельными друг другу кольцевыми проводниками. Получены распределения магнитного поля, плазмы и тока в плазме. Распределение тока на характерной иллюстрации рисЛв показывает его направление: ток отрицателен и способствует отжатию плазмы от проводников в их окрестности, т.е. внутри сепаратрисы, в центральной части ток отсутствует, а вне сепаратрисы - положителен. На самой сепаратрисе направление тока меняет знак, т.е. ]г' = 0, конфигурация плазмы на ней, имеет характер токового «бислоя», а не слоя. Максимальный по величине ток обоих знаков протекает в районе границ конфигураций, испытывает тенденцию к «скинированию». Получены значения полного тока в плазме - положительного и отрицательного. В процессе исследования конфигураций с традиционным граничным условием первого рода,

8

ранее было отмечено, что при приближении к определенным в результате исследования значениям рд = р" решение перестает быть единственным. Одному и тому же значению Тг отвечают три решения. В этой части работы проведен спектральный анализ дифференциального оператора линеаризованного уравнения и рассчитаны его старшие собственные значения Я. Оказалось, что обращение X в нуль соответствует р0 = р", полученному в процессе расчета нелинейной задачи. В этой части работы исследована зависимость характеристик ловушки от того, в каком виде задано граничное условия первого рода. В работе представлены расчеты серии вариантов первой краевой задачи в круговом сечении цилиндра, в которых граничное значение функции магнитного потока Ч7,. зависит от азимутальной координаты Iр. Магнитное поле при этом может пересекать границу, а конфигурация плазмы и поля деформируется по сравнению с базовым вариантом 4*,= const Рис.1. Деформация может быть вызвана, например, наличием дополнительных проводников с током, внешних по отношению к рассматриваемой области, которые в определенных пределах точности участвуют в модели её центральной части с помощью граничного условия. Далее граничное условие выбирается в различных вариантах, а именно рассматриваются два варианта зависимости: линейная - конечно гладкая и тригонометрическая, при этом последняя представляет больший интерес рассматриваемый ниже.

а б в

Рис 1 Расчет базового варианта ловушки «Пояс» а) магнитного поля б) давления в) тока в плазме

Расчеты магнитоплазменных конфигураций в «Поясе» и других ловушках, выполнены первоначально в терминах первой краевой задачи с уравнением Грэда-Шафранова с граничным условием У = const при г = R. Оно предполагает магнитную непроницаемость границы {Нг= 0) и создает определенную внутреннюю замкнутость задачи. Затем рассматривается граничное условие с переменным Ч*, (<р)

4/r(<p)-x¥0=-l,44 + Ccos(2ip) (3)

при r = R = 2, 0 < <р < /т/2 с симметричным отражением относительно осей д> = 0,7г и (р = ±7i¡2 в остальных квадрантах. Константа -1,44 соответствует базовому варианту, в котором диаметр проводников а = 6 = 0.25, начальное давление р() = 0.3, q = 0.3 , а множитель С пусть принимает разные значения. Условие (3) соответствует отличной от нуля нормальной компоненте магнитного поля

1 d4>

Н =-—= -Csin(2p) (4)

г dq>

и обеспечивает её гладкую зависимость от <р на границах квадрантов, где с учетом симметрии должно быть Нг = 0. Физический смысл условия (3) - замена проводящего кожуха непроводящим или вообще отсутствие какой-либо материальной границы, ограничивающей цилиндр, а распределение Нг вдоль границы может имитировать существование дополнительных проводников с током за пределами рассматриваемой цилиндрической области. Показано, что при С > 0 в расчетах задачи магнитное поле втекает в цилиндр через внешнюю границу в первом и третьем квадрантах и вытекает во втором и четвертом и сжимает плазменную конфигурацию в вертикальном направлении. При значениях С~£ 1 эта деформация незначительна, плазма занимает область, более протяженную по горизонтали и более узкую по вертикали с верхней и нижней границами, более выпуклыми в сторону плазмы. При дальнейшем увеличении Сив частности при С = 2 область изменяется сильно, влияние внешних проводников существенно, и этот факт

приводит к тому, что не весь объем плазмы при данной постановке располагался внутри области.

При С < 0 магнитное поле Нп = //, на границах - противоположного знака, т.е. оно втекает в цилиндр во втором и четвертом квадрантах и вытекает в первом и третьем. Плазменная конфигурация сжимается в горизонтальном направлении и расширяется - в вертикальном, где её внешняя граница становится выпуклой в сторону периферии. При С~- -1 на лучах (р = ±тг/2 возникают особые точки типа седла. С ростом абсолютной величины С эти точки приближаются к центру, а за ними всё более ощущается влияние дополнительных токов положительного направления.

Таким образом, задачи с граничным условием первого рода (3) способны моделировать конфигурации в области с прозрачными для магнитного поля границами и с дополнительными токами за пределами цилиндра при умеренных значениях |С|51. Они описывают незначительную деформацию исследуемого объекта, вызванную либо небольшой величиной токов вне цилиндра, либо их достаточным удалением от цилиндра. При больших значениях |С| дополнительные

токи оказывают основное влияние на конфигурацию, и её математическая модель должна включать их в область исследования и в постановку задачи.

В третьей части второй главы рассматриваются результаты расчетов для второй краевой задачи. Условие второго рода с заданной нормальной производной искомой функции 'V

Нг{<р) = С(д>) =(5)

где Яг = азимутальная компонента магнитного поля. Хорошо известно,

что вторая краевая задача с уравнением Пуассона разрешима только при выполнении необходимого согласования потока через границу с мощностью источника. В рассматриваемой задаче аналогичное требование возникает, если проинтегрировать уравнение Грэда-Шафранова по кругу г < Я и использовать

граничное условие (5): Rjнr(y>)dф=jjg(Ч'Уdrd<p указанное равенство при

О г<Я

заданной функции //, (ср) однозначно определяет максимальное значение давления А>-

Математическая модель конфигурации «Пояс» в терминах второй краевой задачи с уравнением Грэда-Шафранова в круге г<Я представлена здесь тремя сериями расчетов. Функция Нг((р) в граничном условии второго рода -54*/дг = Нг((р) будет варьироваться тремя способами, отталкиваясь от ее

значения (5), полученного в численном решении первой краевой задачи для базового варианта.

Эта функция характеризуется двумя обстоятельствами. Её интеграл по границе или среднее значение соответствует циркуляции магнитного поля, т.е. полному току в квадранте

J^o<=JP'+¿L (6)

2

Отличие от среднего значения определяет профиль распределения величины тангенциального поля вдоль границы.

В первой серии расчетов положим

Нг{<р) = СО(<р) (7)

т.е. пусть полный ток и профиль тангенциального поля изменяются одновременно пропорционально друг другу с коэффициентом подобия С > 0. Из результатов расчетов следует, что при С> 1 конфигурация деформируется по сравнению с базовой, а именно, сжимается в горизонтальном направлении и становится более выпуклой в вертикальном. Магнитное поле втекает в цилиндр во втором и четвертом квадратах. С ростом параметра С возрастает величина полного, а следовательно, плазменного тока, т.к. в формуле (6) ток в проводнике Jc постоянен. Возрастает и максимальное значение ра давления плазмы, которую ток может удерживать. В диссертационной работе приводится зависимость токов и давления от множителя С. Из неё следует, что с ростом С быстро растет положительный плазменный ток ,/* вне сепаратрисы. Отрицательный ток при С > 2 интенсивно падает и,

следовательно, теряет способность не допускать соприкосновения плазмы с проводником. При С = 2,5 область проводника практически полностью залита

плазмой. Одновременно усложняется топология магнитного поля в окрестности г = 0. При изменении множителя С в меньшую относительно С = 1 сторону токи в плазме обоих знаков быстро уменьшаются и при С = 0,955 полностью исчезают. То обстоятельство, что этот вакуум наступил при незначительном изменении С от 1 до близкого значения 0,955 объясняется тем, что в базовом варианте (С = 1) значение тока в плазме = 0,22 значительно меньше тока в проводнике: безразмерные значения тока Jcj2 в формуле (6) равно 3,14.

Во второй серии граничное условие при г = 2 имеет вид

Я/.(^) = (С) + С(0(р)-(0)) (8)

где (б)- среднее значение базового азимутального поля на отрезке 0 <<р <л/2.

Множитель С определяет знак и величину профиля функции (8). Его значение С = 1 опять соответствует базовой конфигурации. В результате расчетов установлено, что при С>1 (более крутой профиль Нг(<р)) происходит деформация магнитного поля: на периферии оно заметно сжимается в горизонтальном направлении, а в центральной части цилиндра меняется значительно меньше. Поэтому плазменная конфигурация почти не изменяется, слабо расширяясь по вертикали. Полный ток в области определяется средним значением функции (8) и потому остается равным базовому У'=0,22 независимо от С. Положительный J* и отрицательный 3~ плазменные токи незначительно и согласованно убывают по величине с ростом С, так что их сумма не изменяется. Максимальное значение давления несколько снижается(от р0 = 0,3 при С = 1 до ра= 0,23 при С = 2,5) в результате расширения

плазменной конфигурации. При С<1 (профиль Нг(<р) менее крутой или даже противоположного знака) конфигурации поля и, следовательно, плазмы сжимаются в вертикальном направлении и растягиваются в горизонтальном. Магнитное поле втекает в цилиндр в первом и третьем квадрантах. Плазменные токи и несколько возрастают, оставляя неизменной их сумму. Максимальное давление ра снижается незначительно, т.к. площадь области, занятой плазмой, деформируясь, лишь слегка увеличивается.

В конце главы рассматривается модель «Пояса» сопоставленная с близкой к ней моделью токового слоя, обращено внимание на общие черты обеих моделей и на их различия.

Третья глава посвящена конфигурации ловушки типа «трилистник». Численная модель равновесия плазмы в цилиндрической ловушке с тремя погруженными в нее прямыми проводниками рассмотрена кратко в качестве обобщения аналогичной конфигурации «Пояс». Расчеты конфигурации в изложенной выше модели позволили найти значения ее характерных параметров и сопоставить их с аналогичными значениями в «Поясе» для сравнительного анализа. Метод численного решения, при описанной выше постановке не изменяется.

Как и в случае ловушки «Пояс» существенную роль играет сепаратриса (трехлистная), которая проходит через центр и отделяет силовые линии, окружающие каждый проводник в отдельности от линий на периферии, охватывающих все три проводника. Плазма занимает в основном область в центре, которая имеет вид криволинейного шестиугольника с узкими ответвлениями, опоясывающими проводники. Максимальное значение давления - в центре и на сепаратрисе. В качестве базового варианта с граничным условием 4f = = const, качественно описанного выше, выбрана конфигурация с параметрами р„ = 0.5 а = 0.1 д=0.5 Рис.2

а б в

Рис.2, а) Магнитное поле б) давление в) распределение плазменного тока в Трилистнике

Интегральные значения тока, отрицательного внутри сепаратрисы и положительного вне ее, в «Трилистнике» меньше, чем в «Поясе», т.е. его значения убывают с добавлением третьего проводника.

Ограничения на максимум давления р0 < р'г, связанные с переходом границы спектра оператора через нуль в область отрицательных значений, имеют место н в модели «Трилистник». По сравнению с «Поясом» они оказались в 1,5-2 раза выше, т.е. при добавлении третьего проводника указанное ограничение становится слабее.

Далее используется граничное условие с переменным Ч*, (<р)

Ч,г(^)-Ч'0 =-2,13 + Ссоэ(3^), (9)

где значение константы -2,13 соответствует базовому варианту. Как и ранее, множитель С пусть принимает разные значения. Представлены распределения магнитного поля, давления и распределение плазменного тока в Трилистнике при решении краевой задачи с граничным условием (9) при С = 1. Видно, что при С > О магнитное поле деформировано, оно втекает в нечетных секторах. Магнитная и плазменная конфигурация сжимается в направлении вдоль нечетных осей симметрии и вытекает вдоль четных. При этом при значениях С~ 1 эта деформация незначительна, плазма занимает область, схожую по размерам и параметрам с классическими конфигурациями. Плазменный ток распределен следующим образом: положительный плазменный ток расположен вблизи внешней границы плазмы в форме вогнутого треугольника, вершины которого охватывают область проводников. Вблизи проводников сосредоточен отрицательный плазменный ток, занимающий кольцевые области. При значениях С> 2 деформации становятся значительны, а дальнейшее увеличение до С> 3 приводит к сильным изменениям распределений всех характеристик.

При С<0 магнитное поле Нг на границах - противоположного знака, т.е. оно втекает в цилиндр в четных секторах. Плазменная конфигурация сжимается в направлениях вдоль четных осей симметрии и расширяется - во внешнюю область по нечетным, где её внешняя граница становится выпуклой в сторону периферии. Плазменный ток в частности положительный распределен в форме треугольника, но если ранее стороны треугольника были вогнутые, то в этом случае уже при С = — 1 они прямые, со значительным уширеннем на стороне. С ростом абсолютной величины С < О конфигурации магнитного поля, плазмы и тока меняются значительно. Всю конфигурацию в основной своей массе «растягивает наружу», при этом роль основных токов не ослабевает. Таким образом, задачи с граничным

условием первого рода (9) способны моделировать конфигурации с дополнительными токами за пределами цилиндра при умеренных значениях |С|-Э 1.

Как и в случае «Пояса» они описывают незначительную деформацию исследуемого объекта, вызванную либо небольшой величиной токов вне цилиндра, либо их достаточным удалением от цилиндра. При больших значениях |с| дополнительные токи оказывают основное влияние на конфигурацию, и её математическая модель должна включать их в область исследования и в постановку задачи.

Вторая часть третьей главы посвящена математической модели конфигурации «Трилистник» в терминах второй краевой задачи с уравнением Грэда-Шафранова. Она представлена здесь как и выше тремя сериями расчетов.

В первой серии расчетов положим граничное условие в виде (7), т.е. пусть полный ток и профиль тангенциального поля изменяются одновременно пропорционально друг другу с коэффициентом подобия С> 0. Из результатов расчетов следует, что при С> 1 конфигурация деформируется по сравнению с базовой, а именно, сжимается вдоль нечетных осей симметрии и становится более выпуклой вдоль четных. Магнитное поле втекает в цилиндр в четных секторах. С ростом параметра С возрастает величина полного, а следовательно, плазменного тока, т.к. ток в проводнике Jc постоянен. Возрастает и максимальное значение ра давления плазмы, которую ток может удерживать.

Плазма сосредоточена в треугольной, практически правильной, неискаженной ровной области. При сравнении с базовым он менее растянут в центр конфигурации. С ростом С быстро растет положительный плазменный ток J* вне сепаратрисы. Отрицательный ток при С > 2 интенсивно падает и, следовательно, теряет способность не допускать соприкосновения плазмы с проводником. При С = 2 область проводника практически полностью залита плазмой, однако в плазме вокруг проводника протекающие токи разных направлений. При изменении множителя С в меньшую относительно С = 1 сторону токи в плазме обоих знаков быстро уменьшаются и при С = 0,967 полностью исчезают, как и в случае ловушки пояс.

Во второй серии рассматривается граничное условие при г = 2 вида (8), где (б)- среднее значение базового азимутального поля на отрезке 0 < (р < ж/3.

Множитель С определяет знак и величину профиля функции (8). Его значение С = 1 по-прежнему соответствует базовой конфигурации.

В результате расчетов установлено, что при С> 1 происходит деформация магнитного поля: на периферии оно заметно сжимается вдоль лучей <р = 2ял-/3 , а в центральной части цилиндра меняется значительно меньше. Поэтому плазменная конфигурация почти не изменяется, слабо расширяясь вдоль лучей (р = (2п + \)л /Ъ .

При С<1 конфигурации поля и, следовательно, плазмы сжимаются вдоль лучей р = (2п + 1)7г/3 и растягиваются вдоль лучей <р = 2пя1Ъ. Магнитное поле втекает в цилиндр в нечетных секторах.

Таким образом все рассмотренные процессы качественно совпадают с таковыми в ловушке типа «Пояс», но отличаются количественно.

Четвертая глава посвящена более сложной и интересной задаче о равновесии в ловушке «Стелларатор- галатея». Она отличается от «Трилистника» предположением винтовой симметрии с тем же шагом, что и винтовые проводники. Винтовые проводники внесли качественное изменение в геометрию магнитного поля. Винтовая природа проводников проявляется в том, что сепаратриса магнитного поля, разделяющая различные по структуре области, не проходит через центр. Помимо областей, окружающих проводники, появляется область в виде криволинейного треугольника в центральной части цилиндра, в которой магнитное поле ориентировано по часовой стрелке. Если сосредоточить плазму, как и выше, на сепаратрисе, получим конфигурацию сложной формы. Рассматриваемая модель конфигураций позволяет сравнить между собой два варианта распределения плазмы.

В случае рассмотрения цилиндрических ловушек с винтовыми проводниками, дополнительно предполагается винтовая симметрия задач: все искомые величины зависят от двух пространственных переменных г и в = <р-а:, где а = 27г//|, /г -шаг винта проводников. При этом ток, как и ранее, состоит из заданного в области проводниками и индуцированного плазменного _/_ = у" + , а уравнение Грэда-Шафранова видоизменяется в соответствии с винтовой симметрии [13].

Существует два типа варианта конфигурации: первый тип- это сосредоточение плазмы в центральной части ловушки, второй тип - сосредоточение плазмы в области сепаратрисы. Кратко рассмотрим конфигурации с плазмой, расположенной в центре. В конфигурациях с плазмой в центре плазменный ток везде

17

отрицателен, т.е. противоположен по направлению токам в проводниках. Электромагнитная сила отжимает плазму от проводников в основном в сторону центра, а небольшое количество в пространстве за проводниками - в противоположную сторону. При малых давлениях р() ее удерживает неподвижная граница, вблизи которой можно заметить небольшое повышение давления. При более высоких значениях р„ плазму удерживает от разлета изменившее направление азимутальное поле за упомянутым выше вторым поясом особых точек. В работе получены и обсуждаются значения полного плазменного тока в зависимости от параметров.

Более интересны конфигурации, в которых плазма сосредоточена вблизи сепаратрисы Рис.3, в этом случае, очевидно, она занимает гораздо большую часть объема цилиндра, как впервые показано в работе [14]. В частности, диапазон допустимых значений р" здесь шире, чем в рассмотренных выше конфигурациях. Эти обстоятельства согласуются с изученными ранее результатами и еще раз демонстрируют преимущества ловушек-галатей перед традиционными стеллараторами.

а б с

Рис.3, а) Магнитное поле б) давление в) распределение плазменного тока в Стеллараторе-галатее

Направление тока в плазме отлично от рассмотренных выше вариантов. Ток по-прежнему отрицателен и способствует отжатию плазмы от проводников в их окрестности, т.е. внутри лепестков сепаратрисы, а в центральном треугольнике и вне сепаратрисы - положителен. На самой сепаратрисе направление тока меняет знак,

т.е. Jp' = 0, конфигурация плазмы на ней, как и в «Поясе», имеет характер токового «бислоя», а не слоя. Максимальный по величине ток обоих знаков протекает в районе границ конфигураций, т.е. как и выше испытывает тенденцию к «скинированию». Получены значения полного тока в плазме - положительного и отрицательного.

Расчеты магнитоплазменных конфигураций в СГ как в «Трилистнике» и «Поясе», выполнены первоначально в терминах первой краевой задачи с уравнением Грэда-Шафранова с граничным условием Ч* = const при г = R. Используя граничное условие в виде Ч'г(0)-Ч'о = Ч\ + Ссо5(30), где Ч7,,-значение Ч' на сепаратрисе, а Ч\- «базовое» значение Ч'г-Ч,0, полученное в традиционной постановке задачи с 4V = const при значениях R = 2, гс = 0.25, р0= 0.5, q = 0.5. При С > 0 поле втекает в цилиндр в первом секторе, и , следовательно, во всех нечетных секторах, и вытекает из него в четных. Магнитоплазменная конфигурация деформируется при этом, сжимаясь к центру в направлениях нечетных лучей в = (2п + \)ж/3 посредине между проводниками и растягиваясь от центра в четных направлениях за проводниками при в - 2итг/3.

Если плазма сосредоточена в центре, конфигурации не претерпели хоть сколько-нибудь заметного изменения при изменении граничного условия. А в случае расположения плазмы вдоль сепаратрисы, в центральной части находится плазменное и соответственно электромагнитное образование треугольной формы, которое при изменении граничного условия не изменило своей формы, по сравнению с базовой конфигурацией. Полученная деформация в СГ ослабляет выпуклость в сторону периферии, что по-видимому, должно положительно влиять на его устойчивость.

При С < 0 конфигурация деформируется противоположным образом : поле втекает в цилиндр в четных секторах и вытекает - в нечетных, плазма прижимается к центру за проводниками, а между проводниками её внешняя граница стремится вытянуться от центра и стать более выпуклой наружу.

Следует заметить, что в СГ внутренняя граница плазменной конфигурации, а также положение сепаратрисы и седловых точек, вокруг которых в основном

сосредоточена плазма, при деформациях обоих типов практически не меняются, т.е. деформируется только ее внешняя граница.

Произведен подробный анализ зависимости формирования магнитных конфигураций в зависимости от С. Приводится детальное описание результатов исследования распределения токов в области.

Далее рассматривается постановка задачи с граничным условием второго рода. Расчеты конфигураций в терминах второй краевой задачи проведено в двух сериях, как и ранее, отталкиваясь от значений г = R: -сРУ/дг = Нг (в) = G(0) где G(0) - численные значения -&¥/дг, полученные в расчетах «базовых» задач при Ч'г = const в «центральном» и «сепаратрисном» СГ с указанными выше параметрами. При С>1, т.е. при увеличении полного тока обе конфигурации деформируются, сжимаясь вдоль четных лучей, проходящих через проводники, и вытягиваясь вдоль нечетных - между проводниками. Магнитное поле втекает в цилиндр в нечетных секторах и вытекает в четных. В «центральном» случае постановки расчеты равновесия допускают достаточно сильное возрастание коэффициента С. Плазма и электрический ток занимают круглую область в центре ловушки не меняя своей геометрии, при этом магнитное поле в области за проводниками в плоть до границы ловушки способно меняться.

Равновесные конфигурации сосредоточенные вдоль сепаратрисы устанавливаются лишь при ограниченных значениях 1 < С < 1.4.

При значениях С < 1, т.е. при уменьшении полного тока, равновесные конфигурации в обеих ловушках устанавливаются только в узком диапазоне С~ < С < 1, где С~г = 0.886 в «центральном» случае и С~ = 0.745 в «сепаратрисном».

Во второй серии расчетов, в которой фиксируется полный ток, граничное условие имеет вид - dlV/8r = Нг [в) = (G) + С (G (<9) - (G)), где (G)- среднее значение «базовой» функции G(<p) заданной ранее. Как и ранее, это граничное условие возмущает лишь профиль азимутального поля. При С = 1 профиль Нг (в) совпадает с базовым, при С > 1 - становится более крутым, при С < 1 - менее крутым, а при С < 0 - монотонным в противоположную сторону. В обеих ловушках

конфигурация сжимается вдоль четных лучей 0 = 2л"л/3 и расширяется вдоль нечетных 9 = (2л + 1);г/3, где становится более выпуклой.

Изменение профиля Нг (в) в противоположную сторону приводит к противоположным деформациям плазмы и поля: сжатию вдоль нечетных лучей и растяжению вдоль четных. В обоих рассмотренных типах деформаций значения максимального давления р0 незначительно убывают за счет незначительного перераспределения положительного и отрицательного токов в плазме.

Заключение .

Построена численная модель равновесия плазмы, магнитного поля и электрического тока в трех магнитных ловушках-галатеях: «Пояс», «Трилистник» и «Стелларатор-галатея» в их распрямленной в цилиндр модификации. Изложен математический аппарат модели - вычислительная плазмостатика, основанная на численном решении краевых задач с уравнением Грэда-Шафранова. Получены новые результаты дополняющие и развивающие теорию в рассматриваемой области: указаны значения максимального давления плазмы, ограничивающего возможность существования равновесных конфигураций в трех ловушках с фиксированными расположением проводников и значениями тока в них, спектральный анализ бифуркаций, связанных с неединственностью решения задач о «Поясе»; расчет конфигурации «Трилистник» с тремя параллельными проводниками с током; подробный анализ распределения плазмы, магнитного поля и плотности тока в «Стелларатор- галатее» с винтовыми токонесущими проводниками в двух различных вариантах сосредоточения плазмы. Во всех трех примерах обращается внимание на тенденцию к «скинированию» электрического тока в плазме, т.е. его сосредоточение на границах плазменных конфигураций. Получены новые результаты в двух направлениях: 1) расширение традиционных краевых условий первого рода и модели конфигураций в областях с прозрачными для магнитного поля границами; 2) задачи с краевыми условиями второго рода и модели конфигураций с заданным током в плазме. Исследованы равновесные конфигурации плазмы, поля и тока в зависимости от различных вариантов условий на границе. Показано, что при изменении этих условий равновесные конфигурации деформируются. Это может бьгть связано, например, с влиянием дополнительных проводников с током,

расположенных за пределами цилиндра. Результаты расширяют возможности

теоретических исследований равновесия плазмы в магнитных ловушках-галатеях.

Цитируемая литература: .

[1] Шафранов В.Д. О равновесных магнитогидродинамических конфигурациях. // ЖЭТФ. 1957. Т.ЗЗ ВыпЗ(9). С. 710-722

[2] Grad Н., Rubin Н. Hydromagnetic equilibria and force-free fields. // Proc. 2nd United Nations Int.Conf. on the Peaceful Uses of Atomic Energy, Geneva. Vol. 31., P.190. Columbia Univ. Press, N.Y. 1959.

[3] Сахаров А.Д. в сб. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций Т. 1 (Под ред. М.А. Леонтовича)(М.:изд-во АН СССР, 1958) с.20

[4] Орлинский Д.В. в сб. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций Т.4 (Под ред. М.А. Леоншвича)(М.:изд-во АН СССР, 1958) с.49

[5] Yoshikawa S. experiments on plasma confinement in internal-ring devices. // Nucl. Fusion. 1973. V.13, №3. P.433-450.

[6] Морозов А.И. О гапатеях - плазменных ловушках с омываемыми плазмой проводниками //Физ. плазмы. 1992 Т. 18 Вып. 3. с.305-316

[7] Морозов А.И., Савельев В.В. О галатеях - ловушках с погруженными в плазму проводниками // Усп. физ. наук. 1998. Т. 168, №11. С. 1153-1194.

[8] Морозов А.И.,Франк А.Г. Тороидальная магнитная ловушка-галатея с азимутальным током //Физ. плазмы. 1994. Т.20. №11. С.982-989

[9] Морозов А.И., Пустовитов В.Д. О стеллараторе с левитирующими обмотками //Физ. плазмы. 1991. Т. 17. Вып. 10. С. 1276.

[10] Брушлинский К.В., Зуева Н.М., Михайлова М.С., Морозов А.И., Пустовитов В.Д., Тузова Н.Б. Численное моделирование прямых винтовых шнуров с проводниками, погруженными в плазму // Физ. плазмы. 1994. т. 20. №3. С. 284292.

[11] Брушлинский К.В., Савельев В.В. Магнитные ловушки для удержания плазмы // Матем. моделирование. 1999. Т. 11, №5. С. 3-36.

[12] Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2009.200с.

[13] Johnson J.L., Oberman C.R., Kulsrud R.M., Frieman E.A. Some stable hydromagnetic equilibria//Phys. Fluids. 1958. V.l. №4. P.281-296.

[14] Брушлинский К.В., Морозов А.И., Петровская Н.Б. Численное моделирование равновесной винтовой конфигурации с плазмой на сепаратрисе // Матем. моделирование. 1998. Т. 10. №11. С. 29-36.

Основные результаты диссертации представлены в работах: .

1. Брушлинский К. В., Гольдич A.C., Десятова A.C. Плазмостатические модели магнитных ловушек-галатей // Математическое моделирование, 2012, том 24, номер 8, стр. 81-96;

2. Брушлинский К. В., Гольдич A.C. Краевые задачи вычислительной плазмостатики // Вестник национального исследовательского ядерного университета "МИФИ", 2013, том 2, № 3, стр. 292-304;

3. Брушлинский К. В., Гольдич A.C. Плазмостатические модели ловушек-галатей с магнитопроницаемыми границами // Физика плазмы, 2014, том 40, №8, стр. 687696;

4. Гольдич A.C. Численная модель равновесия плазмы в магнитной ловушке //Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2009.С.129;

5. Гольдич A.C. Математическое моделирование равновесных конфигураций плазмы в магнитных ловушках// Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2012. С.138;

6. Гольдич А.С.Влияние граничных условий в плазмостатитеской модели магнитной ловушки Галатеи // Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2013. С.127;

7. Гольдич A.C. Математическое моделирование равновесия плазмы в ловушках с магнитопроницаемыми границами // Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, 2014. С.226;

8. Гольдич A.C. Плазмостатические модели некоторых ловушек галатей // Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко Дюрсо, 2012.

9. Брушлинский К. В., Гольдич A.C. Численные модели удержания плазмы в магнитных ловушках // Международная конференция «Забабахинские научные чтения»: сборник материалов XI Международной конференции Снежинск: 2012. С.127;

10. Гольдич A.C. Роли граничных условий в плазмостатичных моделях магнитных ловушек//Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и информатики» С56 (МРАМС8'2012):Тезисы докладов международной молодежной конференции- школы Дубна, ОИЯИ 2012г. С.77.

11. Гольдич A.C. Краевые задачи с уравнением Грэда-Шафранова в моделировании магнитных ловушек//Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» (ММСР'2013): Тезисы докладов международной конференции Дубна, ОИЯИ, 2013г.

Подписано в печать: 14.10.2014

Заказ № 10282 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru