автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Кватернионное решение задач динамики и управления угловым движением осесимметричного космического аппарата

На правах рукописи

ЗЕЛЕПУКИНА Ольга Владимировна

КВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических отраслях)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2004

Работа выполнена в Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Челноков Юрий Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Садомцев Юрий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Корнев Владимир Викторович

Ведущая организация

Ракетно - космическая корпорация «Энергия» им. СП. Королева, г.Королев Московской обл.

Защита состоится « 14 » декабря 2004 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.04 при Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научно-технической библиотеки Саратовского государственного технического университета.

Автореферат разослан « ноября 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачам динамики и управления угловым движением космического аппарата (КА) посвящено большое число публикаций как в России, так и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие общих аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.

Успех в решении задач динамики и управления движением КА во многом зависит от выбранной модели движения КА. Угловое движение КА, рассматриваемого как твердое тело, описывается двумя группами уравнений: динамическими уравнениями Эйлера и кинематическими уравнениями, записанными в тех или иных кинематических параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона), Кейли-Клейна). В работах В.Н. Котлякова, В.Н. Бранеца, И.П. Шмыглевского, Ю.Н. Челнокова, Д.В. Лебедева, В. Wie, Н.Л. Стрелковой и др. показано, что использование в качестве кинематических параметров таких невырождающихся параметров как параметры Эйлера повышает эффективность аналитического исследования и численного решения многих задач динамики и управления угловым движением КА. При этом удобным математическим аппаратом оказывается аппарат кватернионов Гамильтона.

В большинстве работ по динамике и управлению угловым движением КА, использующих в качестве параметров ориентации параметры Эйлера, применяется модель углового движения твердого тела, состоящая из динамических уравнений Эйлера и кватернионного кинематического уравнения. Кроме этой модели для решения задач динамики и управления успешно используется другая модель твердого тела, имеющая вид системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно параметров Эйлера (В.Н. Кошляков, Ю.Н. Челноков). Эти уравнения движения, записанные в связанной с твердым телом системе координат, удобны для решения ряда задач динамики твердого тела и КА (например, для решения задач устойчивости и стабилизации углового движения), однако они оказываются неудобными для построения оптимальных (программных) траекторий и управлений угловым движением КА с использованием принципа максимума.

В диссертационной работе для решения задач динамики и управления угловым движением осесимметричного КА - твердого тела используются две формы (осцилляторная и нормальная) новых кватернионных уравнений движения осесимметричного твердого тела, записанных в специальной системе координат, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, коллинеарной вектору кинетического момента твердого тела. Эти уравнения, предложенные Ю.Н. Челноковым,

отличаются от уравнений, записанных в связанной с твердым телом системе координат, большей простотой и компактностью. Их использование, как показано в диссертационной работе, облегчает аналитическое и численное решение изучаемых задач.

Одной из важных задач теории управления угловым движением КА является задача построения прогнозного движения - одного из основных программных угловых движений КА, имеющего смысл движения по инерции, удовлетворяющего заданным краевым условиям по угловому положению КА. Известное решение этой задачи основывается на аналитических решениях уравнений движения твердого тела в случае Эйлера. Такой подход особенно эффективен в случае осесимметричного КА и изучался в ряде работ (M.B. Левского и др.). В диссертационной работе решается задача построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного КА, когда программный управляющий момент не равен нулю, а коллинеарен вектору кинетического момента КА. Частным случаем этой задачи является задача построения обычного прогнозного движения. Решение задачи основывается на построенном в работе аналитическом решении кватернионных дифференциальных уравнениях движения осесимметричного КА - твердого тела в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента твердого тела. Этот случай интегрируемости уравнений движения осесимметричного твердого тела впервые был установлен (в классических переменных) Б.А. Смольниковым. Построенная в работе новая, кватернионная форма аналитического решения уравнений движения осесимметричного твердого тела для указанного случая удобна для построения обобщенного прогнозного движения КА.

В работе также рассматривается новое решение задачи построения обычного прогнозного движения КА с произвольным распределением масс, основанное на решении кватернионной дифференциальной краевой задачи.

Другой актуальной задачей теории оптимального управления угловым движением осесимметричного КА, связанной с созданием высокоточных систем ориентации КА, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики, является задача построения оптимальных (программных) законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного КА. В диссертационной работе эта задача, по-видимому, впервые решена для двух основных функционалов качества с использованием принципа максимума и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего кватернион ориентации КА с его вектором кинетического момента.

Большое количество работ посвящено изучению задачи оптимального по быстродействию управления угловым движением ориентацией КА - твердого тела, однако эта задача в общей постановке до настоящего времени далека от завершения. Среди работ, посвященных

решению этой задачи в различных постановках с использованием аппарата кватернионов, отметим работы В.Н. Бранеца, И.П. Шмыглевского, М.Б. Чертока, Ю.В. Казначеева, Д.В. Лебедева, В.В. Маланина, НА. Стрелковой, А.Н. Сиротина, А.В. Молоденкова, Я.Г. Сапункова.

В диссертационной работе задача оптимального управления угловым движением осесимметричного КА исследуется при произвольных краевых условиях. В качестве функционала качества рассматривается более общий комбинированный функционал, характеризующий расход времени и импульса модуля управляющего момента за промежуток времени управляемого движения на перевод КА из начального в конечное состояние.

Каждая из исследованных в диссертации задач представляет самостоятельный интерес. Методологическая общность их решения заключается в использовании нового класса кватернионных моделей движения осесимметричного КА.

Цели и основные задачи работы. Целями работы являются:

- получение решений задач динамики и управления угловым движением осесимметричного КА с использованием новых кватернионных моделей углового движения твердого тела;

- разработка алгоритмов и программ численного решения краевых алгебраических и дифференциальных задач, к которым сводятся задачи построения прогнозного движения и задачи оптимального управления угловым движением КА.

В работе решаются следующие задачи:

- построение аналитических решений уравнений неуправляемого и управляемого движений осесимметричного КА в частных случаях его движения;

- построение обобщенного прогнозного движения осесимметричного КА и обычного прогнозного движения КА произвольной динамической конфигурации;

- получение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного КА;

- построение оптимальных управлений и траекторий углового движения осесимметричного КА.

Научная новизна

1. Построено кватернионное решение дифференциальных уравнений движения осесимметричного КА в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента КА в форме, удобной для построения прогнозного движения КА.

2. Получены новые кватернионные алгебраические и дифференциальные уравнения краевых задач для построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного КА и обычного прогнозного движения КА с произвольным распределением масс. Построены частные

аналитические решения краевых задач. Разработаны алгоритмы численного решения краевых задач.

3. Найдено общее аналитическое решение задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного КА для двух основных функционалов качества.

4. Получены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений и траекторий углового движения осесимметричного КА (минимизируется время управляемого движения и импульс модуля управляющего момента за это время), построено частное аналитическое решение задачи, найдено несколько первых интегралов дифференциальных уравнений краевой задачи, построены алгоритмы численного решения краевой задачи.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов решения, сопоставлением полученных результатов с результатами других авторов.

На защиту выносятся:

1. Кватернионное аналитическое решение дифференциальных уравнений движения осесимметричного КА в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента осесимметричного КА.

2. Решения трех задач теории управления угловым движением КА:

- задачи построения прогнозного движения,

- задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного КА,

- задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного КА,

построенные с использованием новых кватернионных моделей динамики твердого тела.

3. Геометрические интерпретации управляемого углового движения осесимметричного КА.

4. Алгоритмы численного решения задач построения прогнозного движения КА (обобщенного прогнозного движения осесимметричного КА, обычного прогнозного движения КА с произвольным распределением масс) и задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного КА.

Практическая значимость. Полученные законы оптимального управления и траектории углового движения КА могут быть использованы в качестве законов программных управлений и программных траекторий при построении систем ориентации космических аппаратов, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики и (или) реактивные двигатели. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения программных

траекторий и управлений угловым движением КА - твердого тела и математического моделирования управляемого движения КА.

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы в лаборатории механики, навигации и управления ИПТМУ РАН (г. Саратов, 2003-2004 гг.) при выполнении работ по заданию президиума РАН (тема № 0120.0403260 «Разработка кватернионных и бикватернионных моделей и методов механики твердого тела, методов пространства состояний в задачах динамики и управления движением») и проекта РФФИ № 02-01-00988 «Кватернионные модели и методы в пространственных нелинейных задачах оптимального управления движением космических аппаратов».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (2001-2004); на XXXIV и XXXV постоянно действующем научно-техническом семинаре «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет» (г. Саратов, 2002,

2003); на научных семинарах Института проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов, 2002-2004); на международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (г. Саратов, 2002); на 3-й международной конференции «Авиация и космонавтика» (г. Москва,

2004).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 5 научных статей, список которых приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, двух приложений. Общий объем составляет /страниц, в том числе ■/рисунков, список литературы составляет наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность задач, исследуемых в диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по теме диссертации. Кратко изложены основные результаты работы по главам.

Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней рассматриваются известные классические и кватернионные уравнения углового движения осесимметричного КА - твердого тела вокруг центра масс, находящегося под действием произвольного внешнего момента. Дается их сравнительная характеристика. В специальной системе координат У*, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, коллинеарной вектору кинетического момента КА, кватернионные

уравнения движения осесимметричного КА принимают удобную осцилляторную форму и имеют в кватерииоиной записи вид

(1)

(2)

(3)

где

нормированные кватернионы поворотов, характеризующие ориентацию космического аппарата и базиса Y* в инерциальном базисе X;

- отображения

вектора Ь кинетического момента КА и главного вектора М моментов внешних сил, действующих на КА, на базис У*, Ь = |Е|,

Му =М111+М212+М313 - отображение вектора М на базис У, связанный с КА; , М(, (1 = 1,2,3) - проекции векторов Ь и М на

оси систем координат - векторные мнимые единицы

Гамильтона, кватернион р задает вращение базиса Y* относительно связанного базиса Y вокруг оси симметрии КА (Е - угол поворота базиса Y* вокруг оси симметрии КА), знак «о» означает кватернионное умножение; А, С - главные моменты инерции КА, волна сверху означает сопряжение кватерниона, верхняя точка-дифференцирование по времени t.

Уравнения (1)-(3) образуют замкнутую систему нелинейных, в общем случае нестационарных дифференциальных уравнений относительно кватернионной переменной г и скалярной переменной е. В нормальной форме Коши - это система девяти дифференциальных уравнений относительно скалярных переменных г^, Zj, 0 = 0,3),е. Переход от переменных к исходным переменным осуществляется по

второму и третьему соотношениям (2).

Уравнения (1)-(3), в отличие от кватернионных дифференциальных уравнений движения осесимметричного КА второго порядка в параметрах Эйлера Х^, (¡ = 0,3), записанных в связанной системе координат Y, имеют более простую и компактную структуру. В случае движения КА по инерции (М = 0) эти уравнения становятся эквивалентными уравнениям движения четырехмерного одночастотного гармонического осциллятора, частота колебаний которого, равная Ь/(2А), пропорциональна модулю кинетического момента КА, а в случае малого момента М - уравнениям возмущенного осциллятора.

Нормальная форма кватерннонного уравнения движения КА (1) в переменных имеет вид

Ьу = М\

- 1 - Г г = —г °

2А

1У., г = — г»ьу.. (4)

Уравнения (4) дополняются уравнением (3) для скалярной переменной а также соотношениями (2) перепроектирования и преобразования координат.

Уравнения (1)-(3) и (4), (2), (3) движения осесимметричного твердого тела, предложенные Ю.Н. Челноковым, удобны для решения задач динамики и управления угловым движением осесимметричного КА. Они используются для решения задач диссертационной работы.

Во второй главе строятся аналитические решения кватернионных дифференциальных уравнений движения осесимметричного КА (1)-(3) в двух частных случаях его движения: в случае движения КА по инерции (М = 0) и в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента КА - произвольная

функция времени).

Первый случай - классический случай Эйлера интегрируемости уравнений движения осесимметричного твердого тела, второй - также хорошо известный случай интегрируемости уравнений движения осесимметричного твердого тела, установленный БА. Смольниковым.

В работе аналитические решения уравнений движения осесимметричного КА - твердого тела построены для этих случаев движения КА в кватернионной форме, удобной для построения прогнозного движения осесимметричного КА.

В случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента КА кватернионное уравнение движения осесимметричного КА (1) принимает вид уравнения движения четырехмерного линейного одночастотного осциллятора

Переходя в этих уравнениях к безразмерному времени х, получим ранее построенные Ю.Н. Челноковым уравнения

Таким образом, движение осесимметричного КА в случае М = к(1)Ь в безразмерном времени эквивалентно (в переменных )

движению четырехмерного одночастотного гармонического осциллятора,' частота колебаний которого равна 1/2.

Последнее кватернионное уравнение легко интегрируется и после перехода к исходным переменным получаем кватернионное аналитическое

решение задачи, удовлетворяющее положению и угловой скорости

начальным условиям по угловому

Ц0) = А.„, Ыу(0) = (úqy =w10i1+c420i2+co30i3,

и имеющее наглядный и компактный вид:

( x(t) Ly(0) . i(t)4 COS—+ Sin—

A(t) = X0

{ 2 MO) coY(t) = exp|{k(t1)dt1Jexf|-

E(t) 7

COS —+ 1,

sin

e(t)

(5)

¡3E(<)

ff

(6)

x(t)=Mf(M)i E(t)=AzC A A

co30flk,t), f(k,t) = jexp|jk(t2 )dtj Jdt,

L(t) = L(0)exp|jk(t,)dtJ. (7)

Выражения (5) и (6) определяют собой законы изменения во времени кватерниона ориентации X в инерциальной системе координат и вектора (й абсолютной угловой скорости осесимметричного КА.

Как видно из (5), движение осесимметричного КА в рассматриваемом случае представляет собой композицию двух вращений: вращения вокруг оси, направленной вдоль вектора начального

кинетического момента КА с переменной угловой скоростью и вращения вокруг оси симметрии КА с переменной угловой скоростью £(t) = [(A-C)co3oL(t)]/[AL(0)]. Модуль L кинетического момента КА, характеризующий эти вращения, определяется соотношением (7) и изменяется по экспоненциальному закону. В случае движения КА по инерции, когда k(t) = 0, в формулах (5) и (6) T(t) = [L(0)t]/A, £(t) =

а угловые скорости составляющих вращений постоянны по величине.

Третья глава диссертации посвящена построению прогнозного движения КА. При построении управлений угловым движением КА в качестве его программного углового движения часто используется движение КА по инерции, причем в начальный момент времени космическому аппарату сообщается такая угловая скорость, чтобы он, двигаясь по инерции, переходил из заданного начального углового положения в требуемое конечное. Такое программное угловое движение КА в механике космического полета называется прогнозным. Основным при построении прогнозного движения КА является определение его начального вектора абсолютной угловой скорости по заданным начальному и конечному угловым положениям КА в пространстве.

В случае осесимметричного КА в работе решается более общая задача построения программного углового движения КА, обобщенного на

случай коллинеарности главного вектора моментов управляющих сил и вектора кинетического момента и называемого в дальнейшем обобщенным прогнозным движением. Задача решается в следующей постановке: требуется найти такой вектор начальной абсолютной угловой

скорости КА, чтобы КА, двигаясь под действием главного вектора моментов управляющих сил, коллинеарного вектору кинетического момента (М = 1ф)Ь), переходил из заданного начального углового положения, задаваемого кватернионом поворота в требуемое

конечное положение, задаваемое кватернионом поворота за

фиксированное время переходного процесса Т.

Построение обобщенного прогнозного движения осуществляется на на основе соотношений (5)-(7) и сведено к решению системы четырех нелинейных трансцендентных уравнений относительно неизвестных 1|, 12, Ь, р, имеющих в кватернионной записи вид

Х0 °ХТ

COS^ + (l|ij +l2i2 + l3i3)sin^

а т

COS—+ 1 2

а

sin-

А-С. „

2 ) С

Требуемый вектор начальной абсолютной угловой скорости КА имеет вид

Шу(0) = -

А -

1й+'2>2+-1з'3

Т (I

f(k,T) = Jexp Jk^dt, о io

dt.

(9)

f(k, T)

При задании зависимости k(t) и времени Т формулы (9) позволяют находить вектор сЗу(О) через предварительно найденные величины 1|, Ь, Р. В случае обычного прогнозного движения (движения по инерции) осесимметричного КА k(t) = 0, f(k, Т) = Т.

Отметим, что скалярные соотношения, получаемые из (8), имеют структуру соотношений, полученных В.Н. Бранецем, МБ. Чертоком, Ю.В. Казначеевым и М.В. Левским в задачах оптимальной в смысле быстродействия переориентации КА, и что коэффициент k(t), характеризующий управляющий момент, не входит в уравнение (8), с помощью решения которого определяется направление вектора начальной угловой скорости йу(0) КА, т.е. направление вектора Ш(0) инвариантно относительно величины управляющего момента.

Кватернионное уравнение (8) эквивалентно системе четырех скалярных трансцендентных уравнений, аналитическое решение которой в общем случае построить не удается. В работе показано, что решение системы (8) сводится к решению двух скалярных трансцендентных уравнений, построены аналитические решения этой системы в некоторых частных случаях задания кватерниона разворота и в случае сферической симметрии КА. Так, в случае сферической симметрии КА решение задачи имеет вид

где ¡(¡к, Т) определяется вторым соотношением из (9).

Разработаны алгоритм и программа численного решения задачи построения прогнозного движения осесимметричного КА, основанные на использовании метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (8). В качестве начального приближения берутся аналитические решения этой системы в случае поворота КА вокруг его оси симметрии или в случае сферической симметрии КА. Программа позволяет получать решение задачи для любых краевых условий по угловому положению КА.

В случае КА с произвольным распределением масс задача построения прогнозного движения формулируется следующим образом: требуется найти такой вектор Юу(0) начальной абсолютной угловой скорости КА, чтобы КА, двигаясь по инерции переходил из

заданного начального углового положения, задаваемого кватернионом поворота в требуемое конечное положение, задаваемое кватернионом поворота , за фиксированное время переходного процесса Т.

Поставленная задача сведена к решению краевой описываемой кватернионным дифференциальным уравнением

2Х = Х° [со,(1)1, + ш2(0Ь + ы3(013], кватернионным алгебраическим соотношением

Асо,^)!, +Всо2(1)12 + Ссо3(1)13 = о Х(0) о [аюю!, + Всо2012 + Сю3013]о Х(0) о 1(1)

и заданными краевыми условиями Х(0) = Х(Т) =

Здесь (0;(1), Сй10,(1 = 1,2,3) - проекции вектора ю абсолютной угловой скорости КА в текущий и начальный моменты времени на оси связанного с КА базиса У.

В работе разработаны алгоритмы и программа численного решения задачи построения прогнозного движения КА с произвольным распределением масс, позволяющие эффективно решать задачу для любых заданных краевых условий. Особенность решения краевой задачи состоит в том, что сначала методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с автоматическим выбором шага решается задача Коши на промежутке времени [0, Т] для кватернионного дифференциального уравнения (10), дополненного кватернионным алгебраическим соотношением (11), причем начальное условие по угловому положению задано, а в качестве

начального условия по угловой скорости берется полученное численное решение задачи построения прогнозного движения осесимметричного КА. По полученному значению X* кватерниона X в момент времени I = Т

задачи, (10)

строится вектор невязок vect[XT о X, J , оценивающий выполнение заданного конечного условия к = ., Если вектор невязок не удовлетворяет требуемой точности решения, то с использованием модифицированного метода Ньютона делаются поправки к начальным условиям по угловой скорости, снова решается задача Коши и, так далее, до достижения требуемой точности. Отметим, что для формирования поправок задача Коши решается для каждой итерации 3 раза.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена задаче построения оптимальных законов изменения вектора L кинетического момента осесимметричного КА с использованием кватернионных уравнений, записанных во вращающейся или в инерциальной системах координат. Задача имеет не только теоретическое, но и важное прикладное значение, как задача построения программных законов изменения вектора кинетического момента КА, решаемая при разработке систем ориентации КА, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики.

Постановка задачи: требуется построить ограниченное по модулю управление L: 0<L<Lmax<°°, L = |Ly«| = |l|, Ьшах =const> О,

переводящее КА, движение которого описывается уравнениями

(12)

записанными во вращающейся системе координат Y*, из начального положения, задаваемого кватернионом поворота в конечное

положение, задаваемое кватернионом поворота и минимизирующее

функционал качества

■^i = J(ai + a2L)dt или J2 = {(a, +a2L2)it, где a; = const S 0. (13)

Заданным граничным условиям по угловому положению КА в инерциальной системе координат (в переменных )

соответствуют следующие граничные условия в переменных

z(0) = X0, е(0) = 0, vect[z(T)oXTo(cos[£(T)/2]-l3sin[e(TV2])]=0, (14)

время переходного процесса Т не задано и подлежит определению.

В этой задаче в качестве управления выступает вектор L кинетического момента КА. Первое кватернионное уравнение системы (12), совпадающее со вторым кватернионным уравнением системы (4), описывает собой (с учетом второго и третьего соотношений из (2)) дифференциальную связь вектора с кватернионом ориентации КА в инерциальной системе координат. Первый функционал качества (13)

- 1 - Г z =— z° Ly>,

2А

AC Y

характеризует расход времени Т и импульса модуля вектора кинетического момента КА за это время на перевод КА из начального в конечное положение, второй - расход времени и кинетической энергии КА на тот же перевод.

Задача относится к задачам оптимального управления с подвижным правым концом траектории. Построение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного КА с помощью принципа максимума сводится к решению дифференциальной краевой задачи, описываемой системой девяти нелинейных уравнений

относительно фазовых и сопряженных

переменных, замыкаемой законом оптимального управления

LyS = Lop ñY./|ñY»|, ñY, = vect(z°\¡r) + [2(A-C)p0/C]I3,

в котором для функционала J|, когда Ol2>0,

L0» =|уГГ[0,Ьт|]!если |пу«| = 2Аа2, te[T„x2],

для функционала когда

L ~1"у|/(4Аа:>).ес™ |ñY.| < 4Aa2Lmax,

L°p = Lmax для обоих функционалов в случае быстродействия (а2 = 0).

При интегрировании уравнений системы (15) появятся девять произвольных постоянных интегрирования. Десятым и одиннадцатым неизвестными будут начальное значение сопряженной переменной являющейся постоянной, и время переходного процесса Т.

Для определения постоянных служат граничные условия (14), условия трансверсальности sqal[z(T)°\jí(T)]=0, р0 = [C/(2A)]ñY,(T) ■ i3 и интеграл для функционала или

интеграл для функционала,

С учетом интегралов |ñY.| = const, ñyt • i3 = const, вытекающих из уравнений (15), и условий трансверсальности, задача сводится к интегрированию системы уравнений

содержащей дифференциальное уравнение для вектора оптимального управления (кинетического момента КА)

Окончательно рассматриваемая задача сведена к решению системы шести скалярных трансцендентных алгебраических уравнений, имеющих (с использованием кватернионной записи) вид

Х0 °ХТ = [с05(л/^МТ) + ^¡Щч/чМТ)]» [со5(МТ)/2 +13 зт(Ш-)/2],

N = 2

Й"

(q-ii)^М, М =

ЗА-С

А-С

\2

2(А + С)

-N

2(А + С)

-N-

Lop

\2

2А

Lop

"f

Lmax Va,>0

VLe (0, Lmax], если а, =0

для функционала Ji, когда ОСг>0, (16)

Lop

= min|/ai/a2, Lmax} для функционала J2, когда а2>0, (17)

V1' = Lmax для обоих функционалов в случае быстродействия (аг = 0). (18) Здесь неизвестными являются величины М, N, компоненты вектора ^ и время переходного процесса Т.

В работе показано, что численно (с использованием итерационных процедур) необходимо решать только два нелинейных алгебраических уравнения, полученных из приведенной системы, относительно неизвестных ^ = g • i3 и N.

Законы изменения требуемого вектора кинетического момента, кватерниона ориентации и вектора абсолютной угловой скорости осесимметричного КА содержат константы, определяемые из вышеприведенной системы алгебраических уравнений, и имеют вид

При М < 0 эти законы представляются через тригонометрические, а при М > 0 - гиперболические функции.

Таким образом, оптимальный вектор кинетического момента осесимметричного КА изменяется по направлению (вращается в связанной системе координат вокруг оси симметрии КА с постоянной угловой скоростью, равной 14), но остается неизменным по модулю. Модуль вектора определяется, в зависимости от минимизируемого

функционала, соотношениями (16)-(18), а его начальное направление в связанной системе координат определяется величинами моментов инерции КА, начальной и конечной ориентациями КА и заданными величинами , Вектор абсолютной угловой скорости КА качественно изменяется также как и вектор кинетического момента (вращается в связанной системе координат вокруг оси симметрии КА с той же постоянной угловой скоростью N оставаясь неизменным по модулю). Движение КА при М < 0 представляет собой композицию двух вращений

вокруг оси симметрии КА.и вокруг неизменно ориентированной оси направление которой определяется осевыми моментами инерции, начальной и конечной ориентациями КА, модулем вектора оптимального управления, с постоянными угловыми скоростями, равными В случае сферически симметричного КА имеем: Ьор1 Х0°Хт-ак[(ЬорТ)

2А 5т[(ЬорТ) (2А)]

Ь°р Х0 °ХТ -со5[(Ь°РТ) (2А)]

-БШ-

2А

Т = агссоБ^ о >,т ).

зт[(ЬорТ) (2А)]

Здесь модуль оптимального управления, по-прежнему, определяется формулами (16)-( 18).

В случае быстродействия эти формулы совпадают с

формулами, полученными В.Н. Бранецем и И.П. Шмыглевским в кинематической задаче пространственного оптимального разворота КА.

Отметим, что решение задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного КА с использованием уравнений движения КА в переменных , записанных в инерциальной системе координат, привело к тем же результатам, однако задача в этом случае решается более сложно.

Пятая глава. В этой главе рассматривается новое решение задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного КА, использующее кватернионные уравнения движения КА (4) в нормальной форме.

Постановка задачи. Требуется построить ограниченное по модулю управление М:

переводящее КА, движение которого описывается уравнениями

Ьу» — Му», Ъ — - Ъ О Ьу., Б = - 1-/у# • 1} ,

2А АС

записанными во вращающейся системе координат У*, из начального

состояния, задаваемого кватернионом поворота ЦО) и кватернионом

начальной абсолютной угловой скорости Юу(0), в конечное состояние,

задаваемое кватернионом поворота и кватернионом конечной

угловой скорости и минимизирующее функционал качества

.1 = 1 (а, + а2М)Л,

характеризующий расход времени и импульса модуля управляющего момента за время как и ранее, - весовые множители,

Заданным граничным условиям по угловому положению и угловой скорости КА в инерциальной системе координат

СОу(0) = ОЗ|01| + 0320^2 = + С02т12 + МЗТ'3

соответствуют следующие граничные условия в переменньж

время переходного процесса Т не задано и подлежит определению.

Отличие рассматриваемой задачи от известной задачи оптимального в смысле быстродействия управления угловым движением осесимметричного КА, рассмотренной в работах В.Н. Бранеца, М.Б. Чертока, Ю.В. Казначеева и НА. Стрелковой, состоит в использовании для решения задачи новой кватернионной модели движения КА и в использовании более общего функционала качества.

Решение задачи сведено с помощью принципа максимума к решению краевой задачи, описываемой системой четырнадцати нелинейных дифференциальных уравнений

(22)

относительно переменных Ц, Ь2, Ь3, го, г2, г3, е, Ф1, фг, Фз, "1, "21 пз>

замыкаемой заканом оптимального 3

т»» если

Му»р = Морг=г; Мор =

|ф|>а2,

УМе [о, Мтах], если |<р| = а2, [т,, т2], 0, если |<р|<а2.

Здесь ф = ф|1| +ф212 + Фз ¡з - векторная сопряженная переменная, соответствующая векторной фазовой переменной

ро - начальное значение постоянной сопряженной переменной р, соответствующей Е, Пу. включает в себя кватернионную сопряженную переменную у, соответствующую кватернионной фазовой переменной х,. и определяется соотношением

При интегрировании уравнений системы (22) появятся четырнадцать произвольных постоянных интегрирования. Пятнадцатым и шестнадцатым неизвестными будут постоянная ро и время переходного процесса Т.

Для определения постоянных служат граничные условия (19)-(21), условие трансверсальности Ар0/С-[пу.(Т)/2 +ф(Т) хЬу.(Т)]-)3 =0

и интеграл

Особый режим управления [0, Мтах], имеющий место,

когда не исследовался.

В работе построено несколько первых интегралов дифференциальных уравнений исходной краевой задачи, которые учитываются при построении системы (22). Установлен частный случай интегрируемости дифференциальных уравнений краевой задачи, имеющий место при выполнении условий коллинеарности векторов Му», Ьу», ф и Пу.. Это решение имеет место при определенных ограничениях, накладываемых на краевые условия.

В работе разработаны алгоритм и программа численного решения поставленной задачи, основанные на использовании метода Ньютона. Особенность решения дифференциальной краевой задачи состоит в том, что сначала задаются недостающие начальные условия <р(0), Пу.(0), ро и время переходного процесса Т*0', затем методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности с автоматическим выбором шага решается задача Коши на промежутке времени [0, Т®] для системы кватернионных дифференциальных уравнений (22). По полученным значениям Ьу.,г ,£ , ф ,Пу. вектора кинетического момента Ьу», кватерниона г, угла £, векторных переменных ф, Пу, в момент времени I = Т*0' строятся

невязки, соответствующие соотношениям (20), (21), интегралу Нор = 0 и условию трансверсальности, оценивающие выполнение заданных конечных условий. Если восьмимерный вектор невязок не удовлетворяет требуемой точности решения, то с использованием модифицированного метода Ньютона делаются поправки к недостающим начальным условиям и времени переходного процесса, снова решается задача Коши и, так далее, до достижения требуемой точности. Отметим, что для формирования поправок задача Коши решается для каждой итерации 8 раз.

Получены примеры численного решения задачи. Установлено, что для использованных числовых данных законы управления в случае быстродействия (0(2 = 0) носят непрерывный характер, а в случае комбинированного функционала (а,,а2 ^0) - состоят из двух активных и одного пассивного участков.

- В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе:

1. Построены общие аналитические решения кватернионных дифференциальных уравнений движения осесимметричного КА в случае движения по инерции и в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил вектору кинетического момента КА в форме, удобной для построения прогнозного движения осесимметричного КА. Для этих случаев движения КА получены в виде явных функций времени компактные зависимости, описывающие законы изменения кватерниона ориентации и вектора абсолютной угловой скорости КА.

2. Показано, что решение задачи построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного КА сводится к решению системы двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Построены аналитические решения задачи в случае сферической симметрии КА и в двух частных случаях разворотов КА (на любой угол) вокруг определенным образом ориентированных в пространстве осей.

Сформулирована дифференциальная краевая задача для построения обычного прогнозного движения КА с произвольным распределением масс, основанная на использовании кватернионного дифференциального уравнения, связывающего кватернион ориентации КА с вектором кинетического момента КА.

Разработаны эффективные алгоритмы и программа численного решения задач построения прогнозного движения КА для любых заданных начальной и конечной ориентации КА. Установлено, что начальные приближения, найденные с помощью построенных частных аналитических решений, обеспечивают высокую сходимость итерационных вычислительных процессов.

3. С помощью принципа максимума и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента осесимметричного КА с кватернионом ориентации КА, сформулированы (для двух функционалов качества) дифференциальные краевые задачи для построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента КА. Построены общие аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач, образующих системы девяти нелинейных дифференциальных уравнений. Показано, что решение дифференциальных краевых задач сводится к решению двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Получены, как явные функции времени, зависимости для кватерниона ориентации, вектора абсолютной угловой скорости и вектора кинетического момента КА, описывающие оптимальное управляемое движение КА.

4. Построены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений (проекций вектора управляющего момента) и траекторий углового движения осесимметричного КА (минимизируется комбинированный в отношении времени и энергетических затрат функционал качества). Найдено несколько первых интегралов задачи,

»24578

установлен частный случай интегрируемости дифференциальных уравнений краевой задачи, иметоттщй место при выполнении условий коллинеарности векторов My», Ly*, (й ÏÏY*. Разработаны

кватернионные алгоритмы и программа численного решения задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного КА для произвольных краевых условий. Построены примеры численного решения задачи.

5. Даны наглядные геометрические интерпретации управляемого углового движения осесимметричного КА. ,

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Зелепукина О.В. Управление угловым движением динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет, ракетных двигателей и наземно-механического оборудования к ним: Тр. постоянно действующего научно-техн. семинара / СФВАУ - Саратов, 2002. - Вып. 34. - С. 40 - 42.

2. Зелепукина О.В. Кватернионное решение задач управления угловым движением динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. / ИПТМУ РАН - Саратов, 2002. - С. 180 - 188.

3. Зелепукина О.В. Исследование решений задачи построения прогнозного движения космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет, ракетных двигателей и наземно-механического оборудования к ним: Тр. постоянно действующего научно-техн. семинара / СФВАУ - Саратов, 2003. - Вып. 35. - С. 38 - 40.

4. Зелепукина О.В. Задача построения прогнозного движения динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. / ИПТМУ РАН - Саратов, 2004. - С. 113 -119.

5. Зелепукина О.В. Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. / СГУ - Саратов, 2004.-Вып. 6.-С. 189-192.

ЗЕЛЕПУКИНА Ольга Владимировна

КВАТЕРНИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в технических отраслях)

Автореферат

Подписано в печать 09.11,2004г. Формат 60x84 1/16. Объем 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 201

Отпечатано в типографии Саратовского университета 410012. г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

Введение.

Глава 1. Математические модели углового движения космического аппарата

1.1. Динамические и кинематические уравнения Эйлера.

1.2. Кватернионные уравнения движения осесимметричного космического аппарата в осцилляторной и нормальной формах.

Глава 2. Построение аналитических решений кватернионных уравнений движения космического аппарата в частных случаях его движения

2.1. Аналитическое решение уравнений движения космического аппарата в случае его движения по инерции.

2.2. Аналитическое решение уравнений движения космического аппарата в случае коллинеарности момента внешних сил кинетическому моменту

Глава 3. Построение прогнозного движения космического аппарата

3.1. Постановка задачи построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата.

3.2. Решение задачи.

3.3. Аналитические частные решения задачи.

3.4. Численное решение задачи построения прогнозного движения осесимметричного космического аппарата.

3.4.1. Описание алгоритма численного решения.

3.4.2. Результаты численного решения.

3.5. Постановка задачи построения прогнозного движения космического аппарата произвольной динамической конфигурации.

3.6. Решение задачи.

3.7. Численное решение задачи построения прогнозного движения космического аппарата произвольной конфигурации.

3.7.1 Описание алгоритма численного решения.

3.7.2. Результаты численного решения.

Глава 4. Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата

4.1. Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата с использованием уравнений, записанных во вращающейся системе координат.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Необходимые условия оптимальности.

4.1.3. Условия трансверсальности.

4.1.4. Анализ задачи.

4.1.5. Аналитическое решение задачи.

4.2. Построение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата с использованием уравнений, записанных в инерциальной системе координат.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Необходимые условия оптимальности.

4.2.3. Условия трансверсальности.

4.2.4. Анализ задачи.

Глава 5. Оптимальное управление угловым движением осесимметричного космического аппарата.

5.1. Решение задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата с использованием кватернионных уравнений движения в нормальной форме.

5.1.1. Постановка задачи.

5.1.2. Необходимые условия оптимальности.

5.1.3. Условия трансверсальности.

5.1.4. Анализ задачи.

5.2. Описание алгоритма численного решения задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата.

5.3. Результаты численного решения.

Задачам динамики и управления угловым движением космического аппарата посвящено большое число публикаций как в России, так и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие общих аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением космического аппарата, продолжают оставлять эту проблематику актуальной.

Успех в решении задач динамики и управления движением космического аппарата во многом зависит от выбранной модели движения космического аппарата. Угловое движение космического аппарата, рассматриваемого как твердое тело, описывается двумя группами уравнений: динамическими уравнениями Эйлера и кинематическими уравнениями, записанными в тех или иных кинематических параметрах (углах Эйлера-Крылова, направляющих косинусах, параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона), Кейли-Клейна). В работах В.Н. Кошлякова [40-45], В.Н. Бранеца [15-19], И.П. Шмыглевского [1518], Ю.Н. Челнокова [79-91], Д.В. Лебедева [51, 118], В. Wie [100], Н.Л. Стрелковой [76, 77] и других авторов показано, что использование в качестве кинематических параметров таких невырождающихся параметров как параметры Эйлера повышает эффективность аналитического исследования и численного решения многих задач динамики и управления угловым движением космического аппарата. При этом удобным математическим аппаратом оказывается аппарат кватернионов Гамильтона.

В большинстве работ по динамике и управлению угловым движением космического аппарата, использующих в качестве параметров ориентации параметры Эйлера, применяется модель углового движения твердого тела, состоящая из динамических уравнений Эйлера и кватернионного кинематического уравнения. Кроме этой модели для решения задач динамики и управления успешно используется другая модель твердого тела, имеющая вид системы дифференциальных уравнений вторрго порядка относительно параметров Эйлера (В.Н. Кошляков [40-45], Ю.Н. Челноков [79-83]). Эти уравнения движения, записанные в связанной с твердым телом системе координат, удобны для решения ряда задач динамики твердого тела и космического аппарата (например, для решения задач устойчивости и стабилизации углового движения), однако они оказываются неудобными для построения оптимальных (программных) траекторий и управлений угловым движением космического аппарата с использованием принципа максимума.

В диссертационной работе для решения задач динамики и управления угловым движением осесимметричного космического аппарата - твердого тела используются две формы (осцилляторная и нормальная) новых кватернионных уравнений движения осесимметричного твердого тела, записанных в специальной системе координат, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, коллинеарной вектору кинетического момента твердого тела. Эти уравнения, предложенные Ю.Н. Челноковым [81,82,87], отличаются от уравнений, записанных в связанной с твердым телом системе координат, большей простотой и компактностью. Их использование, как показано в диссертационной работе, облегчает аналитическое и численное решение изучаемых задач.

Одной из важных задач теории управления угловым движением космического аппарата является задача построения прогнозного движения -одного из основных программных угловых движений космического аппарата, имеющего смысл движения по инерции, удовлетворяющего заданным краевым условиям по угловому положению космического аппарата. Известное решение этой задачи основывается на аналитических решениях уравнений движения твердого тела в случае Эйлера. Такой подход особенно эффективен в случае осесимметричного космического аппарата и изучался в ряде работ (М.В. Невского [52] и др.). В диссертационной работе решается задача построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата, когда программный управляющий момент не равен нулю, а коллинеарен вектору кинетического момента космического аппарата. Частным случаем этой задачи является задача построения обычного прогнозного движения. Решение задачи основывается на построенном в работе аналитическом решении кватернионных дифференциальных уравнениях движения осесимметричного космического аппарата - твердого тела в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента твердого тела. Этот случай интегрируемости уравнений движения осесимметричного твердого тела впервые был установлен (в классических переменных) Б.А. Смольниковым [74]. Построенная в работе новая, кватернионная форма аналитического решения уравнений движения осесимметричного твердого тела для указанного случая удобна для построения обобщенного прогнозного движения космического аппарата.

В работе также рассматривается новое решение задачи построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс, основанное на решении дифференциальной краевой задачи, описываемой кватернионным дифференциальным уравнением, связывающим кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента.

Другой актуальной задачей теории оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата, связанной с созданием высокоточных систем ориентации, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики, является задача построения оптимальных (программных) законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата. В диссертационной работе эта задача, по-видимому, впервые решена для двух основных функционалов качества с использованием принципа максимума и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента.

Отметим, что если в задаче построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс используется кватернионное дифференциальное уравнение, k связывающее кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента, записанное в системе координат, связанной с космическим аппаратом, то в задаче построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата используется другое кватернионное дифференциальное уравнение, также связывающее кватернион ориентации космического аппарата с его вектором кинетического момента, но записанное в вышеуказанной специальной системе координат.

Большое количество работ посвящено изучению задачи оптимального по быстродействию управления угловым движением космического аппарата -твердого тела, однако эта задача в общей постановке до настоящего времени далека от завершения. Среди работ, посвященных решению этой задачи в различных постановках с использованием аппарата кватернионов, отметим работы В.Н. Бранеца [15-19], И.П. Шмыглевского [15-18], М.Б. Чертока [19], Ю.В. Казначеева [19], Д.В. Лебедева [51], В.В. Маланина [56,57], Н.А. Стрелковой [76,77], А.Н. Сиротина [70-72], А.В. Молоденкова [34,60,61], Я.Г. Сапункова [61].

Обширный обзор литературы [5-9,11,14,17,21,25,19,47,48,49,51,58,63, 70,72,75,92-96,99] по задаче оптимального в смысле быстродействия переориентацией космического аппарата содержится в монографии [58]. В этой монографии отмечается, что при исследовании динамических задач оптимального по быстродействию управления движением объектов, когда в качестве управляющего воздействия выступает вектор моментов внешних сил, основная аналитическая трудность заключается в рассмотрении оптимального по быстродействию управления ориентацией твердого тела. Обычно решение данной задачи разбивается на две подзадачи: торможение (гашение) вращений и переориентация твердого тела (начальное и конечное положения тела заданы и являются состояниями покоя). В работе [58] отмечается, что если торможение вращений достаточно полно исследовано [1, 2, 3, 4, 10, 14, 36, 53, 54, 73, 74, 92, 97], то задача оптимального по быстродействию управления переориентацией твердого тела в полной постановке является задачей нерешенной, тем более далека от завершения общая задача синтеза оптимальных управлений ориентацией твердого тела (с одновременным гашением угловой скорости).

В диссертационной работе задача оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата исследуется при произвольных краевых условиях. В качестве функционала качества рассматривается более общий комбинированный функционал, характеризующий расход времени и импульса модуля управляющего момента за промежуток времени управляемого движения на перевод космического аппарата из начального в конечное состояние. Для решения задачи используется новая кватернионная модель углового движения космического аппарата - твердого тела, повышающая эффективность аналитического исследования и численного решения задачи оптимального управления.

Каждая из исследуемых в диссертации задач представляет самостоятельный интерес. Методологическая общность их решения заключается в использовании нового класса кватернионных моделей движения осесимметричного космического аппарата - твердого тела.

Целями и основными задачами работы являются: - получение решений задач динамики и управления угловым движением осесимметричного космического аппарата с использованием новых кватернионных моделей углового движения твердого тела;

- разработка алгоритмов и программ численного решения краевых алгебраических и дифференциальных задач, к которым сводятся задачи построения прогнозного движения и задачи оптимального управления угловым движением космического аппарата.

В работе решаются следующие задачи:

- построение аналитических решений уравнений неуправляемого и управляемого движений осесимметричного космического аппарата в частных случаях его движения;

- построение обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата и обычного прогнозного движения космического аппарата произвольной динамической конфигурации;

- получение оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата;

- построение оптимальных управлений и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата.

В первой главе диссертации рассматриваются известные классические и кватернионные уравнения углового движения осесимметричного космического аппарата - твердого тела вокруг центра масс, находящегося под действием произвольного внешнего момента, в том числе две формы (осцилляторная и нормальная) новых кватернионных уравнений движения осесимметричного космического аппарата, записанных в специальной системе координат, вращающейся с абсолютной угловой скоростью, коллинеарной вектору кинетического момента космического аппарата.

Во второй главе строятся аналитические решения кватернионных дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в двух частных случаях его движения: в случае движения космического аппарата по инерции и в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента космического аппарата, удобные для решения задач построения прогнозного движения космического аппарата.

В третьей главе диссертационной работы решается задача построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата, когда программный управляющий момент не равен нулю, а коллинеарен вектору кинетического момента космического аппарата. Показано, что решение задачи построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата сводится к решению системы двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Построены аналитические решения задачи в случае сферической симметрии космического аппарата и в двух частных случаях разворотов космического^ аппарата (на любой угол) вокруг определенным образом ориентированных в пространстве осей. В этой главе также рассмотрено новое решение задачи построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс, основанное на решении кватернионной дифференциальной краевой задачи. Разработаны алгоритмы и программа численного решения задачи построения прогнозного движения.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена задаче построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата с использованием кватернионных уравнений, записанных во вращающейся специальной или инерциальной системе координат. С помощью принципа максимума [67] и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента осесимметричного космического аппарата с кватернионом ориентации космического аппарата, сформулированы (для двух функционалов качества) дифференциальные краевые задачи для построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента космического аппарата. Построены общие аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач, образующих системы девяти нелинейных дифференциальных уравнений. Показано, что решение дифференциальных краевых задач сводится к решению двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Получены, как явные функции времени, зависимости для кватерниона ориентации, вектора абсолютной угловой скорости и вектора кинетического момента космического аппарата, описывающие оптимальное управляемое движение космического аппарата. Разработаны эффективные алгоритмы и программа численного решения задач построения прогнозного движения космического аппарата для любых заданных начальной и конечной ориентаций космического аппарата.

В пятой главе предложено новое решение задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата с использованием новых кватернионных уравнений в нормальной форме. Задача оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата исследуется при произвольных краевых условиях. В качестве функционала качества рассматривается комбинированный функционал, характеризующий расход времени и импульса модуля управляющего момента за промежуток времени управляемого движения на перевод космического аппарата из начального в конечное состояние. Построены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений (проекций вектора управляющего момента) и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата. Найдено несколько первых интегралов задачи, установлен частный случай интегрируемости дифференциальных уравнений краевой задачи. Разработаны кватернионные алгоритмы и программа численного решения задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата для произвольных краевых условий. Построены примеры численного решения задачи.

Научная новизна:

1. Построено кватернионное решение дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента космического аппарата в форме, удобной для построения прогнозного движения космического аппарата.

2. Получены новые кватернионные алгебраические и дифференциальные уравнения краевых задач для построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата и обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс. Построены частные аналитические решения краевых задач. Разработаны алгоритмы численного решения краевых задач.

3. Найдено общее аналитическое решение задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата для ^вух основных функционалов качества.

4. Получены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата (минимизируется время управляемого движения и импульс модуля управляющего момента за это время), построено частное аналитическое решение задачи, найдено несколько первых интегралов дифференциальных уравнений краевой задачи, построены алгоритмы численного решения краевой задачи.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов решения, сопоставлением полученных результатов с результатами других авторов.

На защиту выносятся:

1. Кватернионное аналитическое решение дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил и вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата.

2. Решения трех задач теории управления угловым движением космического аппарата:

- задачи построения прогнозного движения,

- задачи построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента осесимметричного космического аппарата,

- задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата, построенные с использованием новых кватернионных моделей динамики твердого тела.

3. Геометрические интерпретации управляемого углового движения осесимметричного космического аппарата.

4. Алгоритмы численного решения задач построения прогнозного движения космического аппарата (обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата, обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс) и задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата.

Практическая значимость. Полученные законы оптимального управления и траектории углового движения космического аппарата могут быть использованы в качестве законов программных управлений и программных траекторий при построении систем ориентации космических аппаратов, использующих в качестве исполнительных устройств вращающиеся маховики и (или) реактивные двигатели. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения программных траекторий и управлений угловым движением космического аппарата - твердого тела и математического моделирования управляемого движения космического аппарата.

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы в лаборатории механики, навигации и управления ИПТМУ РАН (г. Саратов, 2003-2004 гг.) при выполнении работ по заданию президиума РАН (тема № 0120.0403260 «Разработка кватернионных и бикватернионных моделей и методов механики твердого тела, методов пространства состояний в задачах динамики и управления движением») и проекта РФФИ № 02-01-00988 «Кватернионные модели и методы в пространственных нелинейных задачах оптимального управления движением космических аппаратов».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались: на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (2001-2004); на XXXIV и XXXV постоянно действующем научно-техническом семинаре «Проблемы теории, конструкции, проектирования и эксплуатации ракет» (г. Саратов, 2002, 2003); на научных семинарах Института проблем точной механики и управления РАН к(г. Саратов, 2002-2004); на международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (г. Саратов, 2002); на 3-й международной конференции «Авиация и космонавтика» (г. Москва, 2004).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 5 научных статей [29-33].

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы, двух приложений.

Заключение

1. Построены общие аналитические решения кватернионных дифференциальных уравнений движения осесимметричного космического аппарата в случае движения по инерции и в случае коллинеарности главного вектора моментов внешних сил вектору кинетического момента космического аппарата в форме, удобной для построения прогнозного движения осесимметричного космического аппарата. Для этих случаев движения космического аппарата получены в виде явных функций времени компактные зависимости, описывающие законы изменения кватерниона ориентации и вектора абсолютной угловой скорости космического аппарата.

2. Показано, что решение задачи построения обобщенного прогнозного движения осесимметричного космического аппарата сводится к решению системы двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Построены аналитические решения задачи в случае сферической симметрии космического аппарата и в двух частных случаях разворотов космического аппарата (на любой угол) вокруг определенным образом ориентированных в пространстве осей.

Сформулирована дифференциальная краевая задача для построения обычного прогнозного движения космического аппарата с произвольным распределением масс, основанная на использовании кватернионного дифференциального уравнения, связывающего кватернион ориентации космического аппарата с вектором кинетического момента космического аппарата.

Разработаны эффективные алгоритмы и программа численного решения задач построения прогнозного движения космического аппарата для любых заданных начальной и конечной ориентаций космического аппарата. Установлено, что начальные приближения, найденные с помощью построенных частных аналитических решений, обеспечивают высокую сходимость итерационных вычислительных процессов.

3. С помощью принципа максимума и кватернионного дифференциального уравнения, связывающего вектор кинетического момента осесимметричного космического аппарата с кватернионом ориентации космического аппарата, сформулированы (для двух функционалов качества) дифференциальные краевые задачи для построения оптимальных законов изменения вектора кинетического момента космического аппарата. Построены общие аналитические решения дифференциальных уравнений краевых задач, образующих системы девяти нелинейных дифференциальных уравнений. Показано, что решение дифференциальных краевых задач сводится к решению двух скалярных алгебраических трансцендентных уравнений. Получены, как явные функции времени, зависимости для кватерниона ориентации, вектора абсолютной угловой скорости и вектора кинетического момента космического аппарата, описывающие оптимальное управляемое движение космического аппарата.

4. Построены новые кватернионные дифференциальные уравнения краевой задачи принципа максимума для построения оптимальных управлений (проекций вектора управляющего момента) и траекторий углового движения осесимметричного космического аппарата (минимизируется комбинированный в отношении времени и энергетических затрат функционал качества). Найдено несколько первых интегралов задачи, установлен частный случай интегрируемости дифференциальных уравнений краевой задачи, имеющий место при выполнении условий коллинеарности векторов MY*, LY*, Ф и nY*.

Разработаны кватернионные алгоритмы и программа численного решения задачи оптимального управления угловым движением осесимметричного космического аппарата для произвольных краевых условий. Построены примеры численного решения задачи.

5. Даны наглядные геометрические интерпретации управляемого углового движения осесимметричного космического аппарата.

1. Акуленко Л.Д. Оптимальная стабилизация несимметричного спутника / Л.Д. Акуленко // Космические исследования. 1980. - Т. 18. -Вып. 5. - С. 689-697.

2. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления / Л.Д. Акуленко. М.: Наука, 1987. -368 с.

3. Акуленко Л.Д. Асимптотическое решение некоторых задач оптимального управления вращением динамически симметричного спутника / Л.Д. Акуленко, Ю.Р. Рощин // Космические исследования. 1977. - Т. 15. -Вып. 1.-С. 24-33.

4. Акуленко Л.Д. Оптимальное по быстродействию торможение вращений твердого тела управлениями, ограниченными эллипсоидом / Л.Д. Акуленко, Ю.Р. Рощин // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 1. - С. 3-9.

5. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией КЛА / К.Б. Алексеев. -М.: Машиностроение, 1977. 121 с.

6. Алексеев К.Б. Управление космическими летательными аппаратами / К.Б. Алексеев, Г.Г. Бебенин -М.: Машиностроение, 1974. -343 с.

7. Алексеев К.Б. Разворот КА системой двигателей-маховиков с ненулевым начальным кинетическим моментом / К.Б. Алексеев, О.В. Злодырева // Изв. АН СССР. МТТ. -1985. -№ 3. -С. 3-7.

8. Аноров В.П. Оптимальный по быстродействию плоский разворот твердого тела В.П. Аноров, В.Н. Коровин // Автоматика и телемеханика. -1970.-Т.14. -№ 4.-С. 14-25.

9. Анчев А.А Об оптимальной переориентации спутника на круговой орбите / А.А Анчев, А.А.Меликян // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. -№ 6. -С. 37-42.

10. Атанс М Оптимальное управление / М. Атанс, П. Фалб. М.: Машиностроение, 1968. - 764 с.

11. П.Белецкий В.В. Об оптимальном приведении ИСЗ в гравитационно устойчивое положение / В.В. Белецкий // Космические исследования. -1971. -Т.9. -Вып.З. -С. 366-375.

12. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408 с.

13. Борщевский М.З. К задаче оптимального по быстродействию торможения вращения осесимметричного твердого тела около центра масс / М.З. Борщевский, И.В. Иослович // ПММ. 1985. - Т.49. - Вып. 1. -С. 35-42.

14. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах управления положением твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №4. - С. 24-31.

15. Бранец В.Н. Кинематические задачи ориентации во вращающейся системе координат / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 3 - С. 36-43.

16. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. - 320 с.

17. Бранец В.Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1992.-278 с.

18. Бранец В.Н. Оптимальный разворот твердого тела с одной осью симметрии / В.Н. Бранец, М.Б. Черток, Ю.В. Казначеев // Космические исследования. 1984. - Т. 22. - Вып. 3. - С. 352-360.

19. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. 4.2 / Н.Н. Бухгольц. М.: Наука, 1972. - 332стр. с илл.

20. Вержбицкий В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2002. -840с. с илл.

21. Воеводин С.А. Выбор оптимальных граничных условий в одной задаче быстродействия / С.А. Воеводин // Космические исследования. 1984. -Т. 22.-Вып. 6.-С. 848-857.

22. Голдстейн Г. Классическая механика / Г. Голдстейн. М.: Наука, 1975. -416 с.

23. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.В. Голубев. М.-Л.: ГИТТЛ, 1953.-287 с.

24. Гуляев В.И. Оптимальное по быстродействию управление трехосной ориентацией твердого тела при ограниченных параметрах управления / В.И. Гуляев, В.Л. Кошкин, И.В. Савилова // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. -№ 5.-С. 11-15.

25. Гуляев В.И. Оптимальное по быстродействию торможение и трехосная ориентация твердого тела / В.И. Гуляев, В.Л. Кошкин, И.В. Савилова // Вычислительная и прикладная математика. 1988. - № 66. - С. 85-95.

26. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. -М.: Наука, 1967. -472 с.

27. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики / В.Ф. Журавлев. М.: Физматлит, 2001.-320 с.

28. Зелепукина О.В. Кватернионное решение задач управления угловым движением динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. / ИПТМУ РАН Саратов, 2002. - С. 180-188.

29. Зелепукина О.В. Задача построения прогнозного движения динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. / ИПТМУ РАН Саратов,2004.-С. 113-119.

30. Зелепукина О.В. Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: Сб. науч. тр. / СГУ Саратов, 2004. - Вып. 6. - С. 189-192.

31. Зубенко Г.И. Управление движением космического аппарата платформенного комлекса. И. / Г.И. Зубенко, А.В. Молоденков, Г.А. Пейсахович и др. // Алгоритмы ориентации, программного управления и наведения. 2001. -№ 5. - С. 159-167.

32. Икес Б.Р. Новый метод выполнения численных расчетов, связанных с работой системы управления ориентацией, основанный на использовании кватернионов / Б.Р. Икес // Ракетная техника и космонавтика. 1970. -Т.8. -№ 1.-С. 13-19.

33. Иослович И.В. Наискорейшее торможение вращения аксиально-симметричного спутника / И.В. Иослович // Космические исследования. -1964. Т.2. - Вып. 4. - С. 567-569.

34. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А.Ю. Ишлинский. -М.: Наука, 1976. 672 с.

35. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. -М.: Наука, 1976. 576 с.

36. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф.Клейн. -М.: Наука, 1987. -432 с.

37. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кэйли-Клейна в прикладной теории гироскопов / В.Н.Кошляков // ПММ. 1965. - Т. 29. - Вып. 4. - С. 729-733.

38. Кошляков В.Н. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.Н.Кошляков // Укр. матем. журн. 1973. - Т. 25. -Вып. 5.-С. 677-681.

39. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кэйли-Клейна к задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.Н.Кошляков // Укр. матем. журн. 1974. - Т. 26. - Вып. 2. - С. 179-187.

40. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов. Аналитические методы / В.Н. Кошляков. -М: Наука, 1985. -288 с.

41. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела/ В.Н. Кошляков. Киев: Изд-во ин-та мат. АН Украины, 1994. - 176с.

42. Кошляков В.Н. О понижении порядка уравнений движения тяжелого твердого тела вблизи вертикали // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 3-7.

43. Красовский Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. -М.:к1. Наука, 1968.

44. Кротов В.Ф. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета / В.Ф. Кротов, В.З. Букреев, В.И. Гурман. -М.: Машиностроение, 1969.-288 с.

45. Кротов В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В.Ф. Кротов, В.И. Гурман. -М.: Наука, 1973. 448 с.

46. Крымов А.Б. Аналитическое решение задачи оптимального по быстродействию экстенсивного управления в координатной форме / А.Б. Крымов, А.С. Васьков // ДАН СССР. 1976. - Т. 227. - № 3. - С. 584587.

47. Лай Ф. Численная процедура решения задачи минимизации времени поворота жесткого космического аппарата вокруг центра масс / Ф. Лай, П.М. Бэйнум // Аэрокосмическая техника. 1990. - № 9. - С. 30-38.

48. Лебедев Д.В. К управлению трехосной ориентацией твердого тела при наличии ограничений на параметры управления / Д.В. Лебедев // ПММ. -1981. Т. 45. - Вып. 3. - С. 545-551.

49. Левский М.В. Оптимальное управление переориентацией космического аппарата, совмещенное с коррекцией его орбиты / М.В. Левский // Космические исследования. 1998. - Т. 36. - № 2. - С. 189-199.

50. Ли Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1972. 576 с.

51. Либерман С.И. Законы оптимального по времени управления угловой скоростью космического аппарата, совершающего вращательное движение / С.И. Либерман, Ц. Маргозиан // Вопросы ракетной техники. -1965.-№7.-С. 59-63.

52. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

53. Маланин В.В. Об одной задаче оптимальной стабилизации / В.В. Маланин, Н.А. Князева // Приближенное решение краевых задач и функциональных уравнении. Пермь. - 1975. - С. 100-106.

54. Маланин В.В. Трехосная ориентация спутника / В.В. Маланин Н.А. Князева // Проблемы механики управляемого движения. Пермь. - 1975. -С. 94-98.

55. Маланин В.В. Оптимальное управление ориентацией и винтовым движением твердого тела / В.В. Маланин, Н.А. Стрелкова. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, - 204 с.

56. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н. Моисеев. -М.: Наука, 1975.-528с.

57. Молоденков А.В. Кватернионное решение задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс / А.В. Молоденков // Проблемы механики и управления: Межвуз. сб. научн. трудов/ ПТУ Пермь, 1995. - С. 122-131.

58. Панков А.А. Исследование кватернионных законов кинематического управления ориентацией твердого тела по угловой скорости / А.А. Панков, Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 6. - С. 3-13.

59. Петров Б.Н. Аналитическое решение задачи управления пространственным поворотным маневром / Б.Н. Петров, В.А. Боднер, К.Б. Алексеев //ДАН СССР. -1970. -Т. 192.- №6. -С. 1235-1238.

60. Петров К.Г. Уравнения ротационного ^ движения твердого тела, основанные на использовании кватернионных параметров / К.Г. Петров, А.А. Тихонов // Изв. РАН. МТТ. 2002. - № 3. - С. 3-16.

61. Плотников П.К. Кинематическая задача управления ориентацией твердого тела / П.К. Плотников, А.Н. Сергеев, Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР.МТТ. 1991.-№5.-С. 9-18.

62. Плотников П.К. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела: Сб. науч.-метод, статей по теоретической механике / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков. М.: Высшая школа, 1981. -Вып. 11.-С. 122-129.

63. Понтрягин JI.C. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и др. М.: Наука, 1976. -392с.

64. Раушенбах Б.В. Управление ориентацией космических аппаратов / Б.В. Раушенбах, Е.Н.Токарь. М.: Наука, 1974. - 600с.

65. Рощин Ю.Р. К задаче оптимальной переориентации твердого тела / Ю.Р. Рощин // Космические исследования. — 1977. Т. 15. — Вып.6. — С. 846849.

66. Сиротин А.Н. Оптимальное управление переориентацией симметричного твердого тела из положения покоя в положение покоя / А.Н. Сиротин // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. - № 1. - С. 36-43.

67. Сиротин А.Н. О задаче оптимального по быстродействию управления переориентацией сферически-симметричного вращающегося твердого тела / А.Н. Сиротин // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 2. - С. 9-16.

68. Сиротин А.Н. Об оптимальной по быстродействию пространственной переориентации в положение покоя вращающегося сферически-симметричного твердого тела / А.Н. Сиротин // Изв. РАН. МТТ. 1997. — № 3. — С. 18-27.

69. Смольников Б.А. Оптимальные режимы торможения вращательного движения симметричного тела / Б.А. Смольников // ПММ. — 1964. — Т. 28. Вып. 4. - С. 725-734.

70. Смольников Б.А. Обобщение Эйлерова случая движения твердого тела / Б.А. Смольников // ПММ. 1967. - Т. 31. - Вып. 4. - С. 735-736.

71. Соловьев В.П. Об оптимальном развороте космического аппарата вокруг произвольной неподвижной оси / В.П. Соловьев // Космические исследования. 1969. - Т. 7. - Вып. 1. - С. 42-50.

72. Стрелкова Н.А. Об оптимальной переориентации твердого тела / Н.А. Стрелкова // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы Пермь. - 1990. - С. 115-133.

73. Уиттекер Е. Аналитическая динамика/ Е. Уиттекер. Ижевск: Изд-во РХД, 1999.-584 с.

74. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах относительного движения динамически симметричных материальных систем. 4.1 / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 6. - С. 30-37.

75. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах относительного движения динамически симметричных материальных систем. 4.2 / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - № 1. - С. 23-31.

76. Челноков Ю.Н. Об осцилляторном и ротационном движениях одного класса механических систем / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. МТТ. -1989. -№ 1.-С. 28-35.

77. Челноков Ю.Н. О движении тяжелого симметричного твердого тела с подвижной точкой подвеса / Ю.Н. Челноков // Изв. АН СССР. МТТ. — 1990.-№4.-С. 3-10.

78. Челноков Ю.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона в динамике симметричного твердого тепа с одной неподвижной точкой: Сб. науч.-метод. статей по теоретической механике / Ю.Н.Челноков. М.: Высшая школа, 1991. - Вып. 21. - С. 73-86.

79. Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела. 4.1: Уравнения движения, постановка задач, программное движение и управления / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1993. - № 4. - С. 7-14.

80. Челноков Ю.Н. Кватернионное решение кинематических задач управления ориентацией твердого тела. 4.2: Уравнения ошибок, законы и алгоритмы коррекции (стабилизации) / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1994.-№4.-С. 3-12.

81. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики, навигации и управления движением / Ю.Н. Челноков // Аэродинамика. 1997. - № 4. - С. 61-84.

82. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметричного твердого тела. Ч. 1 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1997. -№ 6. - С. 3-16.

83. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметричного твердого тела. Ч. 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 1998. - № 5. - С. 3-18.

84. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в механике космического полета / Ю.Н. Челноков // Гироскопия и навигация. 1999. - № 4. - С. 4766.

85. Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. Ч. 1 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 2002. -№ 1.-С. 3-17.

86. Челноков Ю.Н. Построение управлений угловым движением твердого тела, использующее кватернионы и эталонные формы уравнений переходных процессов. Ч. 2 / Ю.Н. Челноков // Изв. РАН. МТТ. 2002. -№2.-С. 3-17.

87. Черноусько Ф.Л. Управление колебаниями / Ф.Л. Черноусько, Л.Д. Акуленко, Б.Н. Соколов. М.: Наука, 1980. - 384 с.

88. Шкляр В.Н. К задаче оптимального пространственного разворота космического аппарата относительно центра масс / В.Н. Шкляр, A.M. Малышенко // Космические исследования. 1975. - Т. 13. - Вып. 4. -С. 473-479.

89. Almuzara L.J.G. Minimum time control of a nonlinear system / L.J.G. Almuzara, I. Flugge-Lotz // J. Differential Equations. 1968. - V. 4. - № 1. -P. 12-39.

90. D'Amario L.A. A New Single-Rotation-Axis Autopilot for Rapid Spacecraft / L.A. D'Amario, G.S. Stubbs // Journal Guidance and Control. 1979. - V. 2. -№4.-P. 339-346.

91. Etter J.R. A Solution of the Time-Optimal Euler Rotation Problem / J.R. Etter // AJAA Guidsance, Navigation, and Control Conference. Collect. Techn. Pap. Pt 2. Washington. 1989. - P. 1441-1449.

92. Lee E.B. Discussion of satellite Attitude Control / E.B. Lee // ARS Journal. -1962. -№ 6. -P. 981-982.

93. Roberson R.E. On Ways to Use Normalized Euler Parameters as Kinematic State Variables in Dynamic Simulation / R.E. Roberson // Z. Angew. Math, und Mech. 1985. - Bd. 65. - № 8. - S. 380-382.

94. Sagirow P. Zeitoptimale Drehungen um eine korperfeste Achse / P. Sagirow //к

95. Z. angew. Math, und Mech. 1974. - Bd. 54. - № 4. - S. 63-64.

96. Wie B. Quaternion feedback for spacecraft large angle maneuvers B. Wie,

97. P.M. Barba //Journal of Guidance Control and Dynamics. 1985. - V. 8. -№3.-P. 360-365.