автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Решение задач оптимального управления орбитальным движением космического аппарата с использованием кватернионных оскулирующих элементов орбиты

На правах рукописи

КРЫЩЕНКО Юлия Владимировна

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОННЫХ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технической отрасли)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2007

003162928

Работа выполнена в Институте проблем точной механики и управления РАН и ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических

наук, профессор

Челноков Юрий Николаевич

Официальные оппоненты-

доктор технических наук, профессор

Коваль Владимир Александрович

кандидат технических наук Батурин Валерий Витальевич

Ведущая организация

Самарский научный центр Российской академии наук

Защита состоится 13 ноября 2007 г в 15 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 242 04 при Саратовском государственном техническом университете по адресу 410054, Саратов, ул Политехническая, 77

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета

Автореферат разослан « » октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета _ В В Алешкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из основных проблем, рассматриваемых в механике космического полета - астродинамике, является проблема построения оптимальных управлений и траекторий движения космических аппаратов (КА).

К настоящему времени как в российских, так и в зарубежных изданиях опубликовано множество статей и ряд книг по исследованию управлений КА и связанных с этой тематикой вопросов По оценкам специалистов, точное аналитическое решение пространственных задач оптимального управления движением КА вряд ли возможно. Поэтому приходится рассчитывать лишь на приближенные аналитические или численные методы решения получаемых краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА Сложность стоящих здесь задач, связанных с нелинейностью и высокой размерностью дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации, продолжает оставлять эту проблематику актуальной.

Разделы небесной механики, используемые в астродинамике, изложены в книгах Г.Н Дубоншна, М Ф Субботина, П Р Эскобала Круг вопросов, связанных с исследованием номинальных траекторий и параметров КА и с исследованием управления траекториями КА, а также взаимосвязь между ними подробно освещены в обзоре ГН Дубопшна, ДЕ Охоцимского и книге Р. Бэттина. Задачам оптимального управления движением центра масс летательных аппаратов посвящены работы В В Малышева, Г В Можаева, М С Константинова, В В Салмина, Р 3 Ахметшина, Ю Н Лазарева, В.Е. Усачова, Г.Г Федотова, Н М Иванова, С.А. Ишкова, В А. Романенко и других современных авторов.

В этих и других работах для решения задач оптимального управления движением центра масс КА используются, как правило, классические уравнения движения в декартовых координатах или уравнения в классических оскулирующих элементах Эти модели астродинамики и обзор полученных на их основе решений задач оптимального управления движением КА приведены в справочном руководстве по небесной механике и астродинамике авторов В К Абалакина, Е П. Аксенова, Е А Гребенникова и др.

В последнее время для решения задач астродинамики стали использоваться новые уравнения движения центра масс КА в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля и уравнения ориентации орбиты в параметрах Родрига-Гамильтона Так, параметры Родрига-Гамильтона и кватернионы, компонентами которых являются параметры Родрига-Гамильтона, использовались для решения задач орбитального движения в работах В А Брумберга, А Ф Брагазина, В Н Бранеца, И П Шмыглевского, А Берт'а Различные модели орбитального движения,

использующие параметры Родрига-Гамильтона и кватернионы Гамильтона, рассматривались Ю Н Челноковым Эти модели были использованы им для решения ряда пространственных задач оптимального управления движением центра масс КА

Введение кватернионов в уравнения движения центра масс КА может быть осуществлено с помощью записи уравнений движения во вращающейся системе координат, одна из осей которой направляется вдоль радиуса-вектора центра масс КА При этом в уравнениях движения КА появляются переменные, характеризующие ориентацию этой системы координат В качестве таких переменных в астродинамике традиционно используются углы Эйлера или направляющие косинусы Использование углов Эйлера приводит к появлению в уравнениях движения КА громоздких тригонометрических выражений и дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются Использование направляющих косинусов приводит к существенному повышению размерности системы уравнений движения и к потере геометрической наглядности

Этих недостатков углов Эйлера и направляющих косинусов удается избежать, если в качестве параметров ориентации вращающейся системы координат выбрать параметры Родрига-Гамильтона В этом случае для описания ориентации вращающейся системы координат удобно использовать гиперкомплексную переменную - кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона. При этом в составе уравнений движения центра масс КА появляется дифференциальное кватернионное уравнение мгновенной ориентации используемой вращающейся системы координат или орбиты КА, имеющее компактную, симметричную и невырождающуюся (для любых ориентаций оскулирующей орбиты) структуру.

Использование кватернионов открывает новые возможности в решении задач астродинамики, повышает эффективность их аналитического исследования и численного решения Так, их использование позволяет построить новые кватернионные первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации, полученных с помощью принципа максимума, позволяет в ряде случаев существенно уменьшить размерности краевых задач оптимизации, построить регулярные алгоритмы их решения Диссертационная работа посвящена изучению трех задач оптимального управления орбитальным движением КА с использованием новых кватернионных оскулирующих элементов орбиты

- задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите,

- задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры (изменяющей в процессе управления свои размеры и форму);

- задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как недеформируемая фигура (не изменяющая в процессе управления свои размеры и форму).

Следует отметить, что задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите, решается на основе новой модели движения центра масс управляемого КА, предложенной Ю Н. Челноковым. В этой модели для описания мгновенной ориентации орбиты управляемого КА используется новый кватернионный оккупирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты. Это позволяет рассматривать общую пространственную задачу оптимального управления движением центра масс КА в центральном ньютоновском гравитационном поле как композицию двух взаимосвязанных задач' задачи управления формой, размерами орбиты КА и положением КА на орбите и задачи управления ориентацией мгновенной орбиты КА. Такой подход открывает дополнительные возможности в аналитическом и численном изучении задачи Эта модель также использована в работе для решения задачи оптимальной переориентации орбиты КА, форма и размеры которой в процессе управления деформируются, восстанавливаясь к конечному моменту времени.

Целями работы являются:

- Аналитическое и численное изучение трех пространственных задач оптимального управления движением центра масс КА в центральном ньютоновском гравитационном поле с использованием уравнений движения в новых кватернионных оскулирующих элементах:

1) задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите,

2) задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фшура,

3) задачи оптимальной переориентации орбиты КА, рассматриваемой как неизменяемая фигура.

- Разработка алгоритмов и программ численного решения краевых дифференциальных задач, к которым сводятся задачи оптимального управления движением центра масс КА

Научная новизна работы заключается в следующем- построены новые кватернионные дифференциальные уравнения двух краевых задач принципа максимума для решения задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите, и задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, использующие новые кватернионные оскулирующие элементы орбиты,

- построены для решения двух вышеназванных задач законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности,

- найдены первые интегралы дифференциальных уравнений краевых

задач;

- установлены преобразования, существенно упрощающие исходные нелинейные дифференциальные уравнения краевых задач,

- получено с использованием новой модели орбитального движения КА численное решение задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите, показана эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимального управления в случаях, когда начальная или конечная орбита КА не является круговой или близкой к круговой,

- получено численное решение задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры,

- предложено решение задачи переориентации недеформируемой круговой орбиты КА для случая двух переключений управления

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью используемых методов решения и использованием алгоритмов численного решения краевых задач оптимизации, разработанных и апробированных ранее для задач изучаемого класса.

На защиту выносятся:

1 Решения двух пространственных задач теории управления орбитальным движением КА в центральном ньютоновском гравитационном поле, построенные с использованием новых моделей орбитального движения в кватернионных оскулирующих элементах

- задачи о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите,

- задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура

2 Первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач.

3 Нелинейные преобразования, упрощающие системы дифференциальных уравнений краевых задач и понижающие их размерности

4 Характерные особенности численного решения изучаемых задач оптимального управления с использованием кватернионных оскулирующих элементов.

5 Решение задачи переориентации недеформируемой круговой орбиты КА для случая двух переключений управления.

Практическая ценность. Полученные законы оптимального управления орбитальным движением КА могут быть использованы в

качестве законов программных управлений при построении систем управления орбитальным движением КА, использующих в качестве исполнительных устройств реактивные двигатели. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для построения программных управлений орбитальным движением КА и математического моделирования управляемого движения КА

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы в лаборатории механики, навигации и управления движением ИПТМУ РАН (г Саратов, 2004-2006 гг) при выполнении работ по заданию президиума РАН (тема № 0120 0403260 «Разработка кватернионных и бикватернионных моделей и методов механики твердого тела, методов пространства состояний в задачах динамики и управления движением») и проекта РФФИ № 05-0100347 «Кватернионные модели и методы динамики и управления движением космических аппаратов»

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (2003-2006), на научных семинарах Института проблем точной механики и управления РАН (г. Саратов, 20032005); на Международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития прецизионной механики и управления в машиностроении» (г Саратов, 2006)

Публикации. По результатам исследований опубликовано семь научных статей, список которых приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, приложения Общий объем составляет 121 страницу, в том числе 32 рисунка, список использованной литературы включает 82 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по теме диссертации Кратко изложены основные результаты работы по главам.

В первой главе рассматривается задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите.

Для описания ориентации мгновенной орбиты управляемого КА используется предложенная Ю Н. Челноковым новая модель, в которой в качестве кватернионной переменной выступает кватернионный оскулирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты управляемого КА

Задача ставится следуюпщм образом: требуется построить ограниченное по модулю управление р:

О < р < ртах < со, р = |р|, (1)

переводящее КА, движение центра масс которого описывается уравнениями

Vi =C2r'3-fMr"2 + pb r' = Vb С =Гр2) <ри = сг "2 + r(c2 - fMr/'costptr (cpicosft, - (с + fMrc'^paskKptr),

2(Л0Г) =Лого% (2)

из заданного начального состояния _

to = 0, r(0) = r°, v,(0) = v,0, с(0) = с0, (ptr(O) = ftr°, A,or(0) = (Л,")°, Û = 0,3) (3) в конечное состояние, удовлетворяющее соотношениям r(tk) = r*(tk) = р*/(1 + e'coscpk*), vi(tk) = vi*(tk) = (e'cV)sin<f>k*, c(tk) = c*(tk); (4) A, = AoOT(tk)A1*-A1or(tk)Ao*-A2or(tk)A3*+A3or(tk)A2 =0, A2 = Aoor(tk)A2* + ЛЛ^Лз* - A2OT(tk)Ao* - Аз^А/ = 0, A3 = Aoor(tk)A3* - A,or(tk)A2* + A20r(tjt)A|* - A3or(tk)A«* = 0, (5)

и минимизирующее функционал

ti,

J = I (1+ op2(t))dt, a = const > 0. (6)

о

В поставленной задаче p — вектор ускорения центра масс управляемого КА от тяги реактивного двигателя (управление), рь р2, р3 проекции вектора р на оси r|i, т\2, т|з орбитальной системы координат г), г -радиус-вектор центра масс управляемого КА (г = jr|), c = r х г = г х v -вектор момента скорости управляемого КА (с = |с|), v - вектор скорости центра масс управляемого КА, Vj — проекция вектора скорости КА на ось Tji, f - гравитационная постоянная, M — масса притягивающего тела, <р& -истинная аномалия управляемого КА, характеризующая его положение на орбите, Лог- кватернион ориентации мгновенной орбиты управляемого КА в инерциальной системе координат, Î2ç - вектор абсолютной угловой скорости мгновенной орбиты управляемого КА, т. е. вращающейся системы координат имеющей начало в перицентре П мгновенной орбиты управляемого КА

Величины со звездами, характеризующие форму, размеры, ориентацию орбиты неуправляемого КА, считаются заданными

Конечное значение момента времени tk, так же как и конечное значение q>k истинной аномалии неуправляемого КА, не фиксируются и подлежат определению в результате решения задачи.

Рассматриваемая задача управления - задача с подвижным правым концом траектории

Функционал (6) характеризует расход энергии на перевод КА из начального в конечное состояние и время, затрачиваемое на этот перевод.

Поскольку в уравнения (4) многообразия конечного состояния управляемого КА входит истинная аномалия ср* неуправляемого КА, то для удобства решения задачи в состав дифференциальных уравнений

движения управляемого КА (2) включается дифференциальное уравнение

ДЛЯф* .......

(ф*) = с*(г*)"2> Г* = р (1 + е совф*)"1, (7)

а начальные условия (3) дополняются условием

ф*(0) = Фо* (8)

Задача решается с использованием принципа максимума Понтрягина Вводится дополнительная переменная удовлетворяющая дифференциальному уравнению § = 1 + ар2 и начальному условию g(0) = 0 Вводятся сопряженные переменные р, вь е, Щот 0 = 0»3), Ф* и \|/0, соответствующие фазовым переменным г, уь с, ф,г> А°т (| = 0,3), ф и переменной ё

Функция Гамильтона-Понтрягана имеет вид.

Н = \|/0(1 + ар2) + рУ1 + Я1( оРт'1 - £Мг "2 + р,) + егр2 + х^ст "2 + + (Ъг- (1/2)М30Г)г(с2 - МгУ'созю^ср^овф* - (с + Шгс ~')р23тф1г) + + (1/2)(Ы10Гсозф,г + М20Гзтф[г)гс "'р3 + Ф*с*(р*У2(1 + е'созф )2, (9) где N1", N2", №з°г— компоненты кватерниона _

№г = М0ОГ + N,^1 + N2ог12 + N3°% = Лог о Мог (10)

(Мог = М0ОГ + М1°г1) + М20Г12 + М3°% - кватернионная сопряженная к Лог переменная)

Сопряженная система уравнений имеет вид-8) = - ЗН/ду, = - р, р = -аЫ/Эг = з,с2г"4-2(з1М- %гс)г"3-ер2-(1/2)с-1р3(М,огсо8ф,г + + М20Гзшф(г) - (1/2)Кз0Г)(с2 - Шг)-2(с3(р1Созф,г - р^пф*) -- (г£Мс"!)р2(2с2 - £Мт)зтф,г)со8(р,г, е = - дН/дс = -2св1Г "3 ~ХяГ~2 + (1/2)гр3с"2( К1°гсо8ф1г+ ^"зшф^) + (1/2)Мз0Г)г(Мг + с2)(р1созф,г - р^тф^с2 - Мг^совф* -- (Ът~ (1/2)Ы30Г)г2Шр2(Зс2~ Шг)(с2- £Мгс)'2созф„зтф1г, Ът =- 5Н/Эф„ = 2(%г- (1/2)Н301)гс(с2- £Мг)^1созф1г8тфй.р] + + (Ъг~ (1/2)Кз0Г)г(с - Мг)''(с + fMrc"I)cos(2фtг)p2-- (ШУс'^созф* - ИЛзтс^рз, (Ф*) =-дН/8ц>* = 2с*е*(р*)Ф*(1 + е совету, 2(М0ОГ) = - ЭН/ЗЛо°г = - ^М,01 - П2М2ОТ - П3М30Г, 2(МГ) =-Ш/оЛ,ог= П1М0ог-П2Мз°г + £Ш2ог, 2(М20г) = - ЗН/ЗЛ20Г = 02Моог-ПзМ1от + П!Мзог,

2(м3ог) = - зн/ал30Г = - П1М20Г + а2мг+а3м0ог, (11)

хко' = - = О (12)

Оптимальное управление рор1, найденное из условия максимума функции Н, определяемой соотношением (9), по переменной р (Ж/Эр = 0) с учетом ограничения (1), имеет вид

Р„°Р' = Р.°Р% + Р2°Р% + Рз°Р% = Р°РЧ / |П|, (13)

Пп = ё(г, с, ф(г, 81, е, &г, №г), где рор* при а > 0 определяется соотношениями

(2a)"'|n|, если (2а)->|п| <Prrax, р°Р' = (14)

Ртах, если (2a)"1 Inj > ртах,

а при а = 0 (случай быстродействия) - соотношением

рОР' = Ртах (15)

Поставленная задача, как уже отмечалось, - задача с подвижным

правым концом В такой задаче для определения положения КА на

конечном многообразии, задаваемом уравнениями (4)-(5), необходимы

условия трансверсальности, имеющие следующий общий вид в _

Vi+ ZAJSGJ/ЙХ, = 0 (1 = 1,9),

j-i

где х, - фазовые переменные, у, - сопряженные переменные, соответствующие х„ Aj - неопределенные множители Лагранжа, Gj - левые части уравнений конечного многообразия (4)-(5).

После исключения шести неопределенных множителей Лагранжа условия трансверсальности на правом конце траектории принимают вид при t = tk

Ао*Моог + ЛГМ,0Г + Л2*М2ог + Лз*Мзог = О,

ф ФФ # Ф $ t t t 1 i)i

Ф + ре р (1 + е cosq> )"2sin<p + Sie с (р )" coscp = 0, xkr= 0 (16)

Таким образом, задача сводится к интегрированию восемнадцати дифференциальных уравнений (2), (7), (11), (13)-(15) относительно переменных г, vb с, ф0, Л,ог () = 0,3), <p*, р, sb е, М,ог () = 0,3), Ф* При интегрировании уравнений появится восемнадцать произвольных постоянных интегрирования, девятнадцатым неизвестным будет время tk Для определения постоянных и времени tk имеем девятнадцать условий пятнадцать граничных условий (4), (5), (8), три условия трансверсальности (16) и равенство гамильтониана нулю, имеющее место для оптимального управления Полученная дифференциальная краевая задача не линейна и имеет высокий порядок

Уравнения задачи имеют четыре скалярных первых интеграла || Лог |Р = 1, || М°г |Р =const, H(r, v,,c, cptr, Лог, <p , p, s„ e, Xtr, Mor, Ф , p0I>t) = 0,

Ф*(1+е совф*)2 = Сф = const и один кватернионный первый интеграл

MoroA°r = N* = const. Кроме этого, четвертое уравнение сопряженной системы для переменной %tr имеет частное решение

Xtr - (l/2)N3or (17)

В случае существования этого решения уравнения и соотношения краевой задачи существенно упрощаются.

Учет кватернионного интеграла N* = const, скалярного интеграла Сф = const, соотношения (17) и использование новых переменных Nk, (к = 1,2,3) позволяют понизить порядок полученной системы дифференциальных уравнений (2), (7), (11) на семь единиц для любого управления р, упростить их и привести к виду.

V, =с2г'3-£Мг"2 + рь г =уьс = гр2, Фа- =сГ2 + г(с2 - £Мг)"1созф(Г(ср1соз(р!г - (с + АМгс'^ргвтф*),

(ф ) = с (г )2, г = р (1 + е совф ) , =-р,

р = Зв.с^г - г^М - х«гс)г"3 - ер2 - (1/(2с))р3(Н1°гсозфй. + Н2огзтф(г), е = - 2св1Г"3 -Ы'2 + (1/2)гр3с"2( Н,0Гсозф№+- ^тф*), (Ъ!,01) =- Ы20Гг(с2 - МгГсояфиСср^озфй - (с 4- Шгс ')р25тф,г) -

- Нз^гс^рзвтфв-, (Ы20Г) = И!01 г(с2 - £Мг)"1со8ф(г(ср1со8ф,г - (с + Мгс'^ргвтфй) + + Мз^гс'рзсозфь (N3") = гс~'рз(К10Гзтф4г - 1Ч2огсозф(г), Вг = (1/2)К30Г

В этих уравнениях величины рк (к = 1,2,3) являются управлениями Оптимальное управление рор' имеет вид (13)-(15)

Для численного решения дифференциальной краевой задачи был разработан алгоритм, использующий метод Рунге-Кутта и модифицированный метод Ньютона При этом уравнения и соотношения краевой задачи оптимизации были записаны в безразмерной форме Программа, реализующая численное решение краевой задачи оптимизации, была разработана на базе комплекса программ решения краевых задач оптимального управления орбитальным движением КА, созданного Я Г Сапунковым и Л А. Челноковой

В ходе численного решения задачи была обнаружена необходимость комбинации двух моделей движения управляемого КА «старой» -использующей обобщенную истинную аномалию управляемого КА ф (эта модель использовалась ранее в работах ЮН Челнокова) и «новой» — использующей истинную аномалию управляемого КА фо- (эта модель изучена в первой главе диссертации)

Необходимость сочетания двух моделей вызвана существованием особой точки типа сингулярности - в процессе управляемого орбитального движения в некоторый момент времени орбита управляемого КА становится близкой к круговой (эксцентриситет принимает значение, практически равное нулю), что приводит к вырождаемости «новой» модели, тогда как «старая» модель помогает избежать этой сложности, так как остается регулярной (отметим, что такую же особую точку имеют и классические уравнения в угловых оскулирующих элементах)

Задача оптимального управления решалась численно для следующих начальных значений используемых переменных (расстояние измеряется в метрах, скорость - в м/с, секторная скорость - в м /с, истинная аномалия -в радианах), взятых из книги Т В. Бордовицыной «Современные численные методы в задачах небесной механики»

для управляемого КА г = 38408892 760349, V, = 134 182630, с = 121952747611 169187,

eor = 0 0500, aor = 37405335 0739, por = 37311772 8297, cptt = 2 178685, A0or = 0 679417, A,°r = - 0 245862, Л2°г = - 0 593909, A3°r = - 0 353860,

для неуправляемого KA r* = 63986302 604446, V,* = 881 365577, c* = 69359716387 313665, e* = 0 8257, a* = 37936238.7597, p* = 12069167 7304, q>* = 2 954779, A0* = 0 678175, Ai = - 0 268667, л/ = - 0 577802, Л3* = - 0 366116

Начальные значения безразмерных величин соответственно равны, для управляемого КА г = 1 038078, v, =0 040882, с = 1 004204, для неуправляемого КА г* = 1 729360, v,* = 0 268527, с* = 0 571134

Время, через которое управляемый КА встретится с неуправляемым КА, составило 3 4570 безразмерных единиц или 38970 секунд (10 8251 часа)

Краевая задача, описанная в первой главе, решалась также с другими начальными значениями безразмерных величин для управляемого КА г = г* = 1.729360, V! = vi* = 0 268527, с = с* = 0 571134, ф* = ф* = 2 954779

Такой выбор начальных значений фазовых координат при неизменности начальных значений Л/г (j = 0,3) (A0cr = 0 679417, Ai°r = - 0 245862, Л2°г = - 0.593909, Л30Г = - 0 353860) соответствует задаче переориентации орбиты управляемого КА, решаемой в рамках задачи о встрече управляемого и неуправляемого КА

Время, через которое ориентация орбиты управляемого КА займет требуемое конечное положение, составило 0 6038 безразмерных единиц или 6806 5501 секунд (1 8907 часа)

Данный вариант задачи решается с использованием только «новой» модели орбитального движения управляемого КА, необходимости комбинирования двух моделей нет

Отметим, что для рассмотренных примеров частный интеграл = (l/2)N3°r имеет место

Проведенные исследования показали эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимального управления в случаях, когда начальная или конечная орбита КА не является круговой или близкой к круговой Если же это имеет место, то необходимо использовать комбинацию моделей, одна из которых использует обобщенную истинную аномалию, а другая, изученная в данной главе, классическую истинную аномалию. Численное решение задачи позволило выявить основные закономерности оптимального управляемого движения, указанные в работе

Во второй главе диссертационной работы рассмотрена задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата, форма и размеры которой в процессе управления деформируются, восстанавливаясь к конечному моменту времени

Постановка задачи следующая требуется построить ограниченное по модулю управление р, удовлетворяющее условию (1), переводящее КА,

движение центра масс которого описывается дифференциальными уравнениями (2), из заданного начального состояния (3) в конечное состояние, удовлетворяющее соотношениям

с(Ъ) = с(0) = с0, еог(1к) = еог(0), А, = Л0ог(1к)Л,* - ЛГСОЛо* - Л2ог0к)Л3* +Л30ГСк)Л2 = О, А2 = Аоог(1к)А2* + ЛЛО^Лз* - Л2ог(1к)Л0* - Л3ог0к)ЛГ = О, Аз = ЛоогОк)А3* - Л,ог0к)Л2*+ Л20Г(1к)Л,* - Л3огОк)Ло* - 0, (18) и минимизирующее функционал (6)

В соотношениях (18) еог - эксцентриситет орбиты КА, вычисляемый по формуле еог = (1 + с2ц."2(У12 + с2г ~2 - 2рг _1))1/2, ц = М, либо по формуле еог=гу^сэтф^ - п^соэф^)"1

Конечное значение момента времени и конечное положение КА на орбите не фиксируются и подлежат определению в результате решения задачи. Поэтому эта задача — задача с подвижным правым концом. Задача решена с использованием принципа максимума Понтрягина. Функция Гамильтона-Понтрягина имеет вид.

Н = \|/0(1 + ар2) + рУ1 + в1( с2!"3 - Мг"2 + рО + егр2 + х&сг "г + + (&г-(1/2)Ыз°г)г(с2 - 1Мг)"1созср(Г(ср1созфь. - (с + Шгс "^ргЗШфц) +

+ (1/2)(Н1ОГсозф1г + ^""алф^го _1рз (19)

Сопряженная система уравнений имеет вид системы (11) с исключенным из нее уравнением для Ф .

Оптимальное управление рор', найденное из условия максимума функции Н, определяемой соотношением (19), по переменной р с учетом ограничения (1), имеет вид (13)-(15)

После исключения пяти неопределенных множителей Лагранжа условия трансверсальности на правом конце траектории принимают вид при 1 = ^

5Ь=0, р-в^гУг^а -сУг"') = (),

Ао*Моог + АГМ" + А2*М2ог + Аз*Мзог = 0 (20)

или

Ът + рг( + У]ГС ) = 0, 8! - рГУ!-1 = 0, Ао*Мо°г + Л1*М|" + Л2*М20Г + Аз Мзог =0 (21)

Таким образом, задача сводится к интегрированию шестнадцати дифференциальных уравнений (2), (11) (с исключенным уравнением для Ф*) относительно переменных г, уь с, фт А°т 0 = 0,3), р, Б], е, Хв-» М," (] = 0,3) При интегрировании уравнений появится шестнадцать произвольных постоянных интегрирования, семнадцатым неизвестным будет время 1к. Для определения постоянных и времени ^ имеем семнадцать условий тринадцать граничных условий (3), (18), три условия трансверсальности (20) или (21) и равенство гамильтониана нулю в конечный момент времени, имеющее место для оптимального управления.

Уравнения задачи имеют первые интегралы, аналогичные полученным в первой задаче:

|| Лот ||2 = 1, || Мог |Р =сопй, Н(г, уьс, Ф(г, Лог, р, в,, е, М°г, рор') = 0,

М°г о Лог = N* = const. Порядок полученной системы дифференциальных уравнений (2), (11) понижается на шесть единиц для любого управления р аналогично тому, как это делается с порядком системы, полученной в первой главе Система пониженной размерности имеет вид

vi =c2r"3-fMr"2 + p1, г =vbc =гр2, (ptr = cr ~2 + r(c2 - fMr)"1 cosip^cpi coscptr - (с + fMrc"')p2smcptr), si =-p,

p = Зэ^2!- - 2(s,fM - xtrc)r"3 - ерг - (l/2c)p3(N,orcoscptr + n^sm^*), e = - 2cs!r'3 -%rr"2 + (l/2)rp3c"2( N1orcosftr+ N2orsm(ptr), (Nior) = - N20rr(c2 - fMr)"1cos<ptr(cp1cos<ptr - (c + fMrc"1)p2sm9&) -

- N30rrc'Ip3sm(ptr, (N2or) = Nior r(c2 - fMr)"1 coscp^cp 1 costptr - (с + fMrc'^sir^) +

+ N30rrc"'p3COSftr,

(N3or) =rc'Ip3(N1orsm9tr-N2orcosftr), Xtr= (l/2)N3or

В этих уравнениях величины р* (k = 1,2, 3) являются управлениями Оптимальное управление popt имеет вид (13)-(15)

Для численного решения данной задачи используется та же программа, что и для численного решения задачи, описанной в первой главе, с некоторыми модификациями.

Задача оптимального управления решалась численно со следующими начальными значениями используемых переменных (расстояние измеряется в метрах, скорость - в м/с, секторная скорость — в м/с, истинная аномалия - в радианах)

г = 63986302 604446, v, = 881 365577, с = 69359716387 313665, еог = 0 8257, аог = 37936238 7597, рог = 12069167.7304, ^ = 2 954779, А0ОГ = 0 679417, Л" = - 0.245862, /^" = -0 593909, А3°г = - 0.353860

Начальные значения безразмерных величин соответственно равны г = 1 729360, V! = 0 268527, с = 0 571134

Выявлены характерные особенности в поведении оптимальных управлений, фазовых и сопряженных переменных, указанные в работе.

Время, через которое ориентация орбиты КА займет требуемое конечное положение, составило 0.5924 безразмерных единиц или 6678 04 секунд (1 855 часа) На переориентацию орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, требуется время, меньшее на 0 0357 часа, чем на переориентацию орбиты КА, рассматриваемой в рамках задачи оптимальной встречи двух КА

Отметим, что для рассмотренного примера частный интеграл Xtr = (l/2)N3or имеет место

Третья глава посвящена задаче оптимального управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как неизменяемая фигура

В такой задаче компоненты р] и вектора управления р равны нулю (вектор реактивной тяги перпендикулярен плоскости орбиты)

Задача оптимального управления ориентацией орбиты КА как неизменяемой фигуры в переменных А, 0 ~ 0,3) формулируется следующим образом требуется построить ограниченное по модулю управление р3

-Ртах <Рз< Ртах < (22)

переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями

2Х = X о «»г,, X = Хо+ Х^! + Ыг + Я.313, юл = ©111 + ю3»з = гс"'р31] + сг ~213,

ф1г =ст ~2, с = сопб^ г = рог(1 + вогСОЭф^)"', (23)

из заданного начального состояния

1 = ^ = 0, фп-(О) = фо, 40) = = Лоог о (соз(фо/2) + ¡3зт(фо/2)) (24)

в конечное состояние, удовлетворяющее кватернионному соотношению

1 = к, = Хк = Лког о (сов(фк/2) + 13йт(<рк/2)), фк = ф&(1к) (25)

и минимизирующее функционал

1 = 1к (26) Фигурирующая в краевых условиях кватернионная переменная Лог характеризует ориентацию орбиты КА Эта переменная связана с фазовой переменной X соотношением

X = Лог о (сов(фй/2) + 138т(ф1Г/2)) (27)

В уравнениях (22)-(27) р3 - управление, X - кватернион ориентации ранее введенной системы координат т], ф^ - истинная аномалия, рог и еог -параметр и эксцентриситет орбиты Величины с, рог, еог, фо, Л0ОГ и Лког заданы. Подлежат определению р3 = р3©, <рк и ^

Поставленная задача сводится с помощью принципа максимума Понтрягина к решению краевой задачи, описываемой системой десяти нелинейных дифференциальных уравнений, в которой оптимальное управление р3ор1 определяется соотношениями + ртах, если VI > 0, Рзор' = (28)

Ртах, еСЛИ V, < 0,

где V] - компонента кватерниона V = ). о ц (ц - кватернионная сопряженная переменная, соответствующая фазовой переменной X)

Эта система уравнений интегрируется аналитически в случае круговой орбиты, однако полного аналитического решения краевой задачи даже в этом случае построить не удается

В работе рассмотрен перевод круговой орбиты КА (когда еог = 0) из заданного начального состояния Ло°г в конечное состояние Лког с помощью управления (28) при наличии двух переключений управления в моменты времени и

Кватернионное уравнение движения центра масс КА (23) сведено для круговой орбиты для управления (28) к четырем независимым линейным дифференциальным уравнениям второго порядка

Х,' + а\ = 0() = 0,3)) (29)

где а2 = (ШХрз^с2 + Л"4).

Общие решения уравнений (29) представлены в следующем виде = (- (1/2)а",ХюРзГс"1 - (1/2)а"1Л.30сг~2)8т(аО + ^совф). МО = ((1/2)а"1АЮ0рзгс'1 + (1/2)а"1Х20сг"2)8т(аО + Хюсоэ^), Х.2(0 = ((1/2)а'ХзоРзГС"1 - (1/2)а %0сг~2)зт(а1) + ^0соз(аО, Х3(1) = (^(ШХ'А/мрзГС1 + (1/2)а"%оСг"2)8т(аО + А.30соз(а1), (30) где (] = 0,3) - известные компоненты кватернионной фазовой переменной Хо = Х(0)

Соотношения (30) записываются рекуррентно для каждого из участков движения В конечный момент времени I = 1з = ^ они принимают вид. *о(3\*з) = ёо (г, с, рз, Хо, ^ Ъ, tз) = = - (1/2)а 1|рз|гс-1({(1/4)рз2Л10а 2с2+ (1/2)|рз|*90а2г-1 -

- (1/4)с2Х)0а"2г ^т^Овт^г) - (1/2)а"'|рз|г Хоос"'вт^-^]) + + (1/2)а''г'%0с8т(а[12+ ^ + Хю««^)««^)^^) -

- (1/2)а_1г "2с( {(1 /4)рз2г2Х.з0а"2с"2 — (1/2)|р3|Х10а2г-1 -

- (1/4)с\30а"2г"^втфОзшфг) + (1/2)а"1|рз|гХ2ос"18т(а^2-1!]) + + (1/2)а"1г"2ЛооСзт(ар2+ + Х30со8(а1:1)со8(а1:2))8т(а1з) +

+({(1/4)р32г2АЮ0а2с-2+ (1/2)|рз|Х20а"2г-1 -

- (1 /4)с2Хооа"2г }вшОД^ш^г) + (1/2)а'|р3|г ХюС_181п(а[1:2-1,]) -

- (1/2)а"'г "%оС8т(а^2++ ХоосоэфОсоз^г^сов^з), ^1(3)0з) = & (г, с, рз, Хо, и, t2,13), = (г, с, рз, Хо> Ъ, Ь, г3),

^з<3)0з) - & (г, с, р3, Ао, 1Ь г2,13), (31)

где йь g2, §з - сложные функции, имеющие такую же структуру, что и ё0.

_3начения ^(3)(*з) 0 : 03) не известны, но заданы значения Л,ог^к) О = 0,3) кватерниона Лог конечной ориентации мгновенной орбиты КА. Кватернион X выражается через кватернион Лог и истинную аномалию соотношением (31)

Отсюда следует, что для конечного момента времени 1 = 13 = ^ можно записать следующие равенства.

Лз) = Ло®(1з)соз[(1/2)(ср0 + сг"2а3 - 1о))] -

- Лз(3)Оз>ш[(1/2)(ф0 + сг"20з - М)], Х,(3)(1з) = Л1(3>(1з)сО8[(1/2)(ф0 + сг"2Сз - Ш +

+ Л2(3)(13)зт[(1/2Х<Ро + сг%3 - Ш, У3)0з) = Л2(%з)со8[(1/2)(<р0 + сг"2(13 -Ш -

- Л1(3)Оз)зт[(1/2Хср0 + сГ2(13 - Ш,

^з(3)0з) = Л3(3)(13)соз[(1/2)(фо + сг'% - Ш +

+ А0(3)Оз)зт[( 1 /2)(ф0 + сг"2(% - (32)

Приравнивая правые части (31) и (32) с учетом, что ^ = 0, получим систему четырех алгебраических уравнений относительно неизвестных

И tз.

Ло(3)0з)соз[(1/2)(фо + сг%)] - Лз(3)(1з)зт[(1/2Хф0 + сг%)] =

... =Ео(г,с,рз,Хо,^,12^з),

Л,(3)Оз)соз[(1/2)(ф0 + сг^з)] + Л2О)0з)8т[(1/2)(ф0 + ст%)] =

= gi (г, С, Рз, h, tl, t2, t3), A2(3>(t3)cos[(l/2)(<p0 + cr"2t3)J - Л1(3)Оз)зт[(1/2)(ф0 + cr"2t3)] =

= g2(r, c,p3, 1q, tb t2,t3), A3(3)(t3)cos[(l/2)(<p0 + cr"2t3)] + A0(3)(t3)sm[(l/2)((po + cr"2t3)] =

= g3 (r, c, p3, Xo, tb t2, t3) (33)

Следует отметить, что из соотношений (33) можно получить условия разрешимости задачи переориентации круговой орбиты КА с двумя переключениями управления, накладываемые на начальную и конечную ориентации орбиты КА

Так как уравнения (33) не являются достаточно наглядными и их аналитическое решение затруднено, в работе рассмотрено несколько частных случаев, для которых эти соотношения упрощаются

Кроме изложенного решения задачи переориентации круговой орбиты КА в третьей главе рассмотрено и другое ее решение, использующее аналитическое решение уравнений (23), (28) в сочетании с кватернионной формулой сложения конечных поворотов В такой постановке получена система четырех алгебраических уравнений, которую возможно разрешить численно относительно ее неизвестных

Таким образом, в третьей главе получены нелинейные алгебраические уравнения для решения задачи переориентации неизменяемой круговой орбиты КА в случае двух переключений управления

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Изучены две задачи оптимального управления орбитальным движением КА, использующие новые кватернионные модели движения центра масс КА задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите и задача оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры (изменяющей в процессе управления свои размеры и форму)

2 Для этих задач получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности; построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа; найдено несколько первых интегралов дифференциальных уравнений краевых задач, установлено условие, при выполнении которого уравнения краевых задач существенно упрощаются; показано, что размерности нелинейных дифференциальных краевых задач могут быть понижены на семь и шесть единиц без усложнения уравнений задач

3 Выявлены характерные особенности численного решения двух задач оптимального управления движением КА, касающиеся

использования кватернионных моделей орбитального движения, числа переключений управлений, поведения фазовых и сопряженных переменных

4 Предложено решение задачи переориентации недеформируемой круговой орбиты КА для случая двух переключений управления

5. Разработаны алгоритмы и программы численного решения полученных краевых дифференциальных задач оптимального управления орбитальным движением КА.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Крыщенко (Афанасьева) ЮВ Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура / Ю В. Крыщенко, Ю Н. Челноков // Авиакосмическое приборостроение —2006 №12. - С 31-36

2 Афанасьева Ю В Задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата с неуправляемым космическим аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите / Ю В. Афанасьева, Ю H Челноков // Известия РАН. Теория и системы управления -2007 №3 -С 138- 153.

3 Афанасьева Ю В Оптимальное управление орбитальным движением космического аппарата с использованием новых кватернионных оскулирующих переменных / Ю.В Афанасьева, ЮН Челноков // Математика Механика сб науч. тр. / СГУ - Саратов, 2003 -Вып. 5.-С. 144-147.

4 Афанасьева Ю.В Оптимальное управление орбитальным движением космического аппарата с использованием новых кватернионных оскулирующих переменных / ЮВ Афанасьева, ЮН Челноков // Проблемы точной механики и управления- сб науч тр. / ИПТМУ РАН - Саратов, 2004. - С. 163-166.

5 Афанасьева Ю В Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата / Ю В Афанасьева, Ю H Челноков II Математика. Механика-сб науч тр. / СГУ. - Саратов, 2005 -Вып. 7 - С 153-155

6 Афанасьева Ю В Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигуры / Ю В Афанасьева // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении, материалы Междунар. конф. / ИПТМУ РАН - Саратов,2005 -С 80-84

7 Афанасьева Ю.В. К задаче переориентации круговой орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура / Ю В Афанасьева, Ю Н. Челноков // Математика Механика- сб. науч тр / СГУ - Саратов, 2006 -Вып 8 -С. 168-171

КРЫЩЕНКО Юлия Владимировна

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОРБИТАЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОННЫХ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ

АВТОРЕФЕРАТ

Корректор О А Панина

Подписано в печать 03 10 07 Формат 60x84 1/16

Бум офсет Уел печ л. 1 0 Уч -изд л 1 0

Тираж! 00 экз Заказ 330 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул, 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул , 77

Введение.

Глава 1. Задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого космического аппарата с неуправляемым космическим аппаратом, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите

1.1. Уравнения движения центра масс космического аппарата.

1.2. Постановка задачи оптимального управления.

1.3. Необходимые условия оптимальности. Законы управления.

1.4. Условия трансверсальности.

1.5. Анализ задачи. Первые интегралы, понижение размерности краевой задачи.

1.6. Переход к безразмерным переменным.

1.7. Методика численного решения задачи.

1.8. Примеры численного решения задачи. Анализ результатов.

1.9. Выводы.

Глава 2. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата как деформируемой фигуры

2.1. Постановка задачи оптимального управления.

2.2. Необходимые условия оптимальности. Законы управления.

2.3. Условия трансверсальности.

2.4. Анализ задачи. Первые интегралы.

2.5. Переход к безразмерным переменным.

2.6. Пример численного решения. Анализ результатов.

2.7. Выводы.

Глава 3. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура

3.1. Постановка задачи оптимального управления.

3.2. Необходимые условия оптимальности. Законы управления.

3.3. Условия трансверсальности.

Одной из основных проблем, рассматриваемых в механике космического полета - астродинамике, является проблема построения управлений и траекторий космических аппаратов (КА), удовлетворяющих заданным требованиям и ограничениям. Среди требований, предъявляемых к управлению КА, одно из главных мест занимает его оптимизация по какому-либо критерию.

В общих чертах задача состоит в следующем [40].

1. Дан управляемый объект, состояние которого во времени t характеризуется некоторой величиной х (t).

2. Объект подвержен управляющему воздействию и, реальный характер которого может быть весьма разнообразным.

3. Величины х (t) и u (t) связаны уравнениями движения, которые сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющими в нормальной векторной форме вид х' = f (t, х, u).

4. Оговорен характер информации об объекте, которая поступает в те органы, где вырабатываются управляющие воздействия и.

5. Указаны требования к элементам желаемого движения. Например, требуется привести объект в заданное состояние х (ti) = х(1) к некоторому моменту времени t = tj. Оговорены ограничения на величину управляющих сил.

6. Задано условие оптимальности процесса, выражающееся в условии минимума, максимума и так далее некоторого показателя J [u (t)], который является функционалом от переменных х (t, и) и u (t), описывающих процесс на отрезке времени t0 < t < ti, где он протекает. Например, часто встречаются условия минимума показателя J, выражающего величину расходуемой энергии или времени управляемого движения. о о

В соответствии с условиями 1-6 требуется найти закон изменения усилий и, который обеспечивает оптимальное управление uopt, удовлетворяющее этим условиям.

Сформулированная задача по сути дела является вариационной проблемой. Поэтому теория оптимального управления смыкается с вариационным исчислением и особенно с теми его разделами, которые связаны с вариационными принципами аналитической механики.

К настоящему времени как в российских, так и в зарубежных изданиях опубликовано множество статей и ряд книг по исследованию управлений КА и связанных с этой тематикой вопросов. По оценкам специалистов точное аналитическое решение пространственных задач оптимального управления движением К А вряд ли возможно. Поэтому приходится рассчитывать лишь на приближенные аналитические или численные методы решения получаемых краевых задач, к которым сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА. Сложность краевых задач оптимального управления, обусловленная нелинейностью, высокой размерностью дифференциальных уравнений, описывающих краевые задачи, наличием в этих уравнениях особых точек продолжает оставлять эту проблематику актуальной.

Развитие теории оптимального управления связано с постановкой и исследованием проблемы предельного быстродействия. Данная проблема состоит в определении такого управляющего воздействия и, которое обеспечивает наискорейшее приведение объекта в конечное состояние (из известного начального состояния). Эта задача, как и большинство других задач об оптимальном управлении имеет два аспекта.

• Задача о программном управлении, где задано исходное состояние х° = х (t0) объекта и требуется найти воздействие и в виде функции и = и (t) от времени t (t > t0) так, чтобы к моменту окончания процесса t = ti = minu система оказалась в заданном состоянии.

• Задача о синтезе системы с обратной связью. Здесь наилучший закон управления, обеспечивающий наискорейшее достижение цели, ищется в форме уравнений, связывающих воздействие u (t) с текущими состояниями объекта х (t) (t > t0).

В диссертационной работе рассматриваются задачи о программном управлении орбитальным движением КА.

Разделы небесной механики, используемые в астродинамике, изложены в книгах Г.Н. Дубошина [28, 29], М.Ф. Субботина [58], Д. Брауэра, Дж. М. Клеменса [20], П.Р.Эскобала [70]. Анализу траекторий КА с большой тягой посвящены книги К.Б. Алексеева, Г.Г. Бебенина, В.А, Ярошевского [1], Р. Бэттина [22], К. Эрике [72-74].

Проблемы оптимизации траекторий и параметров КА рассмотрены в книгах и статьях Д.Ф. Лоудена [47], В.М. Пономарева [52].

Рассмотрение ряда методов синтеза и оптимизации траекторий КА, основанных на сведении этих задач к поиску оптимальных или рациональных решений в конечномерном пространстве определяющих параметров, вместе с результатами решения конкретных задач дано в книгах П.Р. Эскобала [71], В.П. Соловьева и Е.В. Тарасова [56].

Вопросы оптимизации параметров и траекторий аппаратов с двигателями большой тяги рассмотрены в монографии Г.Л. Гродзовского, Ю.Н. Иванова, В.В. Токарева [26].

Круг вопросов, связанных с исследованием номинальных траекторий и параметров КА и с исследованием управления траекториями КА, а также взаимосвязь между ними подробно освещены в обзоре Г.Н. Дубошина, Д.Е. Охоцимского [30] и книге Р. Бэттина [22].

Задачам оптимального управления движением центра масс космических летательных аппаратов посвящены работы В.В. Малышева, В.Е. Усачева, В.В. Салмина, Ю.Н. Лазарева [42-44], С.А. Ишкова, В.А. Романенко [33].

В перечисленных выше работах для решения задач оптимального управления движением центра масс КА используются, как правило, классические уравнения движения в декартовых координатах или уравнения в классических оскулирующих элементах.

Эти модели астродинамики и обзор полученных на их основе решений задач оптимального управления движением КА приведены, например, в справочнике по небесной механике и астродинамике авторов В.К. Абалакина, Е.П. Аксенова, Е.А. Гребенникова, В.Г. Демина, Ю.А. Рябова [57].

Классические модели астродинамики имеют ряд недостатков (использование углов Эйлера приводит к появлению в уравнениях движения КА громоздких тригонометрических выражений и дополнительных особых точек, в которых уравнения вырождаются, а использование направляющих косинусов - к существенному повышению размерности системы уравнений движения и к потере геометрической наглядности), что затрудняет решение задач оптимального управления движением КА.

В последнее время для решения задач астродинамики ряд авторов, таких как В.А. Брумберг, А.Ф. Брагазин, В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский, Ю.Н. Челноков, Я.Г. Сапунков, A. Deprit стали использовать новые уравнения движения центра масс КА в регулярных переменных Кустаанхеймо-Штифеля и уравнения ориентации орбиты в параметрах Родрига-Гамильтона.

Введение кватернионов, компонентами которых являются параметры Родрига-Гамильтона, в уравнения движения центра масс КА может быть осуществлено с помощью записи уравнений движения во вращающейся системе координат г|, одна из осей которой (т^) направляется вдоль радиуса-вектора центра масс КА. При этом в уравнениях движения КА появляются переменные, характеризующие ориентацию этой системы координат. В качестве таких переменных в астродинамике традиционно используются углы Эйлера или направляющие косинусы, о недостатках которых было сказано ранее. Этих недостатков углов Эйлера и направляющих косинусов удается избежать, если в качестве параметров ориентации вращающейся системы координат выбрать параметры Родрига-Гамильтона. В этом случае для описания ориентации вращающейся системы координат удобно использовать гиперкомплексную переменную - кватернион поворота, компонентами которого являются параметры Родрига-Гамильтона. При этом в составе уравнений движения центра масс КА появляется дифференциальное кватернионное уравнение мгновенной ориентации вращающейся системы координат, имеющее компактную, симметричную и невырождающуюся (для любых ориентаций оскулирующей орбиты) структуру.

Использование вращающейся системы координат порождает семейство различных моделей орбитального движения КА [61], отличающихся видом используемых скоростных переменных. В качестве таких переменных могут быть взяты проекции вектора абсолютной угловой скорости вращающейся системы координат или проекции вектора скорости центра масс КА, или проекции вектора момента скорости центра масс КА на оси вращающейся системы координат. Многообразие моделей движения центра масс КА обусловливается также наличием в исходных уравнениях движения центра масс КА, записанных во вращающейся системе координат, произвольно задаваемого параметра, имеющего смысл проекции вектора угловой скорости вращающейся системы координат на направление радиуса-вектора КА. Наиболее часто используются два способа задания вращения системы координат вокруг радиуса-вектора КА. В первом из них проекция вектора угловой скорости вращающейся системы координат на направление радиуса-вектора КА полагается равной нулю, во втором ось Т1з направляется вдоль вектора момента скорости К А, а ось т|ь по-прежнему, вдоль радиуса-вектора центра масс К А. Выбор модели движения КА, наиболее удобной для решения конкретной задачи оптимального управления, может быть сделан на основе сравнительного анализа решений, получаемых с помощью различных моделей движения КА.

Использование кватернионных моделей орбитального движения открывает новые возможности в решении задач астродинамики, повышает эффективность их аналитического исследования и численного решения. Так, их использование позволяет построить новые кватернионные первые интегралы дифференциальных уравнений краевых задач оптимизации, полученных с помощью принципа максимума, позволяет в ряде случаев существенно уменьшить размерности краевых задач оптимизации, построить регулярные алгоритмы их решения [61, 64, 65, 68].

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению задач оптимального управления орбитальным движением КА с использованием новых кватернионных оскулирующих элементов орбиты и содержит три главы основного текста.

В первой главе рассматривается задача о встрече в центральном ньютоновском гравитационном поле управляемого КА с неуправляемым КА, движущимся по эллиптической кеплеровской орбите.

Задача о встрече двух КА формулируется как задача оптимального управления движением центра масс управляемого КА с подвижным правым концом траектории и решается на основе принципа максимума Понтрягина. Для описания ориентации мгновенной орбиты управляемого КА используется новая модель, в которой в качестве одной из фазовых переменных выступает кватернионный оскулирующий элемент орбиты, заменяющий собой три классических угловых элемента орбиты управляемого К А, предложенная Ю.Н. Челноковым.

В отличие от других, ранее использованных кватернионных переменных, введенный новый кватернионный оскулирующий элемент непосредственно характеризует собой ориентацию мгновенной орбиты КА. Поэтому используемая модель позволяет наиболее эффективно рассматривать общую задачу оптимального управления движением КА как композицию двух взаимосвязанных задач: задачи управления формой и размерами орбиты КА и задачи управления ориентацией орбиты КА. Такой подход открывает дополнительные возможности в аналитическом и численном изучении задачи и, кроме того, позволяет выделить в самостоятельный класс задачи оптимальной переориентации орбиты КА, сохраняющей свою форму и свои размеры в процессе управления неизменными. Эта модель также удобна для решения задачи оптимальной переориентации орбиты КА, форма и размеры которой в процессе управления деформируются, восстанавливаясь к конечному моменту времени.

Постановка задачи следующая: требуется построить ограниченное по модулю управление р, переводящее КА, движение центра масс которого описывается дифференциальными уравнениями, содержащими кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты КА, из заданного начального состояния в конечное состояние, удовлетворяющее некоторым соотношениям и минимизирующее функционал, который характеризует расход энергии на перевод КА из начального в конечное состояние и время, затрачиваемое на этот перевод.

Задача оптимального управления сведена к краевой задаче оптимизации, описываемой системой восемнадцати нелинейных дифференциальных уравнений. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Найдено четыре скалярных первых интеграла и один кватернионнный первый интеграл системы уравнений краевой задачи принципа максимума. Предложены преобразования, понижающие размерность системы дифференциальных уравнений краевой задачи без усложнения правых частей на семь единиц. Установлено условие, при выполнении которого исходные дифференциальные уравнения краевой задачи существенно упрощаются.

Для численного решения задачи был разработан алгоритм, использующий модифицированный метод Ньютона и метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

При этом уравнения и соотношения краевой задачи оптимизации были записаны в безразмерной форме. Программа, реализующая численное решение краевой задачи оптимизации, была разработана на базе комплекса программ решения краевых задач оптимального управления орбитальным движением КА, созданного Я.Г. Сапунковым и JI.A. Челноковой.

В ходе решения задачи была обнаружена необходимость комбинации двух моделей движения центра масс управляемого КА: "старой" - использующей обобщенную истинную аномалию управляемого КА <р (эта модель использовалась ранее в работах Ю.Н. Челнокова) и "новой" - использующей истинную аномалию управляемого КА ф^ (эта модель изучена в первой главе диссертации).

Необходимость сочетания двух моделей вызвана существованием особой точки типа сингулярности - в процессе управляемого орбитального движения в некоторый момент времени орбита управляемого КА становится близкой к круговой (эксцентриситет орбиты принимает значение, практически равное нулю), что приводит к вырождаемости "новой" модели, тогда как "старая" модель помогает избежать этой сложности, так как остается регулярной (отметим, что такую же особую точку имеют и классические уравнения движения центра масс КА в угловых оскулирующих элементах).

Выявлены характерные особенности численного решения задачи об оптимальной встрече двух КА в центральном ньютоновском гравитационном поле для случая малого отличия в начальных ориентациях орбит управляемого и неуправляемого КА (отличие по угловым элементам орбит составляет единицы градусов). Так, установлено, что по первой и третьей компонентам вектора управления р имеется одно "переключение", а по второй компоненте -два "переключения", а также, что имеется два участка "попятного" движения управляемого КА.

Построено численное решение задачи переориентации орбиты управляемого КА, решаемой в рамках задачи о встрече управляемого и неуправляемого КА. Обе задачи оптимального управления решались для случая быстродействия. Установлено, что время, затрачиваемое на переориентацию орбиты КА, приблизительно в шесть раз меньше времени, необходимого для встречи двух КА.

Проведенные исследования показали эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимального управления в случаях, когда начальная или конечная орбита КА не является круговой или близкой к круговой. Если же это имеет место, то необходимо использовать комбинацию моделей, одна из которых использует обобщенную истинную аномалию [65], а другая, изученная в первой главе диссертационной работы, -классическую истинную аномалию.

Во второй главе диссертационной работы рассмотрена задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата, форма и размеры которой в процессе управления деформируются, восстанавливаясь к конечному моменту времени.

Данная задача также формулируется как задача оптимального управления движением центра масс КА с подвижным правым концом траектории и решается на основе принципа максимума Понтрягина. Размерность такой задачи на две единицы меньше, чем размерность задачи, рассмотренной в первой главе. Это связано с отсутствием в составе дифференциальных уравнений движения центра масс КА уравнения для истинной аномалии неуправляемого КА, а, следовательно, и отсутствием в составе сопряженной системы дифференциального уравнения для переменной, являющейся сопряженной к истинной аномалии неуправляемого КА. Таким образом, задача сводится к решению краевой задачи, описываемой системой шестнадцати нелинейных дифференциальных уравнений относительно фазовых и сопряженных переменных.

Найдено три скалярных первых интеграла и один кватернионный первый интеграл системы уравнений краевой задачи принципа максимума.

Предложены преобразования, понижающие размерность системы дифференциальных уравнений краевой задачи без усложнения правых частей на шесть единиц. Установлено условие, при выполнении которого исходные дифференциальные уравнения краевой задачи существенно упрощаются.

Задача оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры решалась для случая быстродействия на основе новой модели движения центра масс КА, содержащей кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты КА.

Для численного решения данной задачи использовалась та же программа, что и для численного решения задачи о встрече двух КА, описанной в первой главе (с некоторыми модификациями). Уравнения и соотношения краевой задачи оптимизации также записаны в безразмерной форме.

Выявлены характерные особенности численного решения задачи. Так, установлено, что по первой, второй и третьей компонентам вектора управления р имеется одно "переключение" (смена знака), причем моменты "переключения" управлений отстоят один от другого на одинаковое время. Значения модулей управлений рь р2, рз в начальный и конечный моменты времени близки друг к другу, приблизительно равны участки движения с положительным и отрицательным управлением.

На переориентацию орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, требуется время, меньшее на 2%, чем на переориентацию орбиты КА, рассматриваемой в рамках задачи оптимальной встречи двух КА.

Проведенные исследования показали эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимальной переориентации орбиты как деформируемой фигуры. В отличие от решения задачи, изученной в первой главе, для решения данной задачи (в случае малого отличия начальной и конечной ориентаций орбит) необходимости комбинации двух моделей орбитального движения центра масс КА нет.

В третьей главе начато изучение задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как неизменяемая фигура с фиксированным числом переключений управления. В такой задаче компоненты Pi и р2 вектора управления р равны нулю (вектор р ортогонален плоскости орбиты КА), поэтому уравнения для модуля г радиуса-вектора г центра масс КА и проекции vi вектора скорости у КА на направление радиуса-вектора центра масс КА будут известными уравнениями конического сечения в полярных координатах, а уравнения для модуля с вектора момента скорости КА дает интеграл площадей с = const.

Данная задача также формулируется как задача оптимального управления движением центра масс КА с подвижным правым концом траектории и решается на основе принципа максимума Понтрягина. В качестве модели орбитального движения КА используется кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты КА.

Отметим, что задача оптимальной переориентации орбиты КА как неизменяемой фигуры для различных функционалов качества изучалась в различных кватернионных постановках в работах Ю.Н. Челнокова, С.В. Ненахова и Д.А. Сергеева.

Рассматриваемая в диссертационной работе задача сводится с помощью принципа максимума Понтрягина к решению краевой задачи, описываемой системой десяти нелинейных дифференциальных уравнений. Эта система уравнений интегрируется в случае переориентации круговой орбиты, однако полного аналитического решения краевой задачи даже в этом случае построить не удается.

В работе рассмотрен перевод круговой орбиты КА из заданного начального состояния в конечное состояние при наличии двух переключений управления в моменты времени ti и t2.

На основе рекуррентной записи кватернионного аналитического решения дифференциальных уравнений ориентации орбиты КА построены

15 алгебраические уравнения, позволяющие решать краевую задачу для нахождения моментов двух переключений управления и времени управляемого движения.

Следует отметить, что из этих соотношений также можно получить условия разрешимости задачи переориентации круговой орбиты КА с двумя переключениями управления.

Кроме такой постановки решения задачи в третьей главе изучена и другая постановка, использующая аналитическое решение кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбиты КА в сочетании с кватернионной формулой сложения конечных поворотов. В такой постановке получена система четырех алгебраических уравнений, которую возможно разрешить численно относительно ее неизвестных.

Таким образом, в третьей главе получены уравнения для решения задачи оптимальной переориентации круговой орбиты КА в случае двух переключений управления.

3.5. Выводы

Рассмотрено решение задачи оптимального в смысле быстродействия управления ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как неизменяемая фигура. Задача оптимальной переориентации орбиты КА сведена с использованием принципа максимума к краевой задаче, описываемой системой десяти обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа.

86

В случае, когда задача переориентации решается для круговой орбиты при наличии двух переключений управления, решение задачи рассмотрено в двух постановках, использующих аналитическое решение кватернионного уравнения (3.1.2) для управления вида (3.2.5):

1. на основе рекуррентного использования этого решения;

2. на основе использования этого решения в сочетании с кватернионной формулой сложения конечных поворотов.

В первой постановке получены нелинейные алгебраические уравнения для решения задачи переориентации неизменяемой круговой орбиты КА в случае двух переключений управления, которые могут быть использованы и для нахождения условия разрешимости задачи переориентации круговой орбиты КА с двумя переключениями управления, накладываемого на начальную и конечную ориентации орбиты КА. Так как эти уравнения не являются достаточно наглядными и их аналитическое решение затруднено, в третьей главе рассмотрено несколько частных случаев, для которых эти соотношения упрощаются.

Во второй постановке получена система четырех алгебраических уравнений, которую возможно разрешить численно относительно ее неизвестных.

Всего в главе один рисунок: рис. 3.1 - график управления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Рассмотрено решение задачи об оптимальной встрече двух КА в центральном ньютоновском гравитационном поле на основе новой кватернионной модели движения центра масс управляемого КА. Задача об оптимальной встрече двух КА сведена с использованием принципа максимума к краевой задаче, описываемой системой восемнадцати обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Найдено четыре скалярных первых интеграла и один кватернионный первый интеграл уравнений задачи. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Установлено условие, являющееся частным решением уравнения для переменной, сопряженной к истинной аномалии, при выполнении которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются. Показано, что размерность краевой задачи может быть понижена на семь единиц без усложнения уравнений задачи.

2. Выявлены характерные особенности численного решения задачи об оптимальной встрече двух КА в центральном ньютоновском гравитационном поле для случая малого отличия в начальных ориентациях орбит управляемого и неуправляемого КА (отличие по угловым элементам орбит составляет единицы градусов). Так, по компонентам управления pi и р3 вектора управления р имеется одно "переключение" (знак каждой из компоненты изменяется на всем интервале управляемого движения один раз), а по компоненте управления р2 - два "переключения", причем второй момент "переключения" управления р2 и момент "переключения" управления р3 совпадают. Максимальное значение управления рз, играющего определяющую роль в управлении ориентацией орбиты КА, более чем в пять раз меньше максимальных значений управлений рь Р2 из-за близости ориентации начальной орбиты управляемого КА и орбиты неуправляемого КА; имеется два участка "попятного" движения управляемого КА. Построено численное решение задачи переориентации орбиты управляемого КА, решаемой в рамках задачи о встрече управляемого и неуправляемого КА. Установлено, что время, затрачиваемое на переориентацию орбиты КА, приблизительно в шесть раз меньше времени, необходимого для встречи двух КА. Проведенные исследования показали эффективность новой модели орбитального движения КА для решения задач оптимального управления в случаях, когда начальная или конечная орбита КА не является круговой или близкой к круговой. Если же это имеет место, то необходимо использовать комбинацию моделей, одна из которых использует обобщенную истинную аномалию [65], а другая, изученная в первой главе диссертационной работы, - классическую истинную аномалию.

3. Рассмотрено решение задачи об оптимальном управлении ориентацией орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, на основе новой кватернионной модели движения центра масс КА. Задача оптимальной переориентации орбиты КА сведена с использованием принципа максимума к краевой задаче, описываемой системой шестнадцати обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Найдено три скалярных первых интеграла и один кватернионный первый интеграл уравнений задачи. Получены законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности (принципу максимума). Построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Выявлено, что при выполнении условия, установленного в первой главе и являющегося частным решением уравнения для переменной, сопряженной к истинной аномалии, уравнения краевой задачи оптимальной переориентации орбиты также упрощаются. Показано, что размерность краевой задачи может быть понижена на шесть единиц без усложнения уравнений задачи.

4. Выявлены характерные особенности численного решения задачи оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры. Практически прямой линией является график для фазовой переменной qv По всем компонентам управления рь Рг и р3 вектора управления р имеется одно "переключение" (знак каждой из компоненты изменяется на всем интервале управляемого движения один раз), причем моменты "переключения" управлений рь р2, рз следуют друг за другом и отстоят один от другого на время, равное 0.026 безразмерных единиц. Начальные и конечные значения модулей управлений рь р2, Рз близки друг к другу, практически равны длительности положительных и отрицательных значений управлений рь р2, рз. График для сопряженной переменной s\ пересекается в нуле с графиком для сопряженной переменной е в момент времени, чуть больший, чем t = 0.2833 безразмерных единиц. Также, данные графики являются практически симметричными относительно указанного момента времени. Кривые е, s, и р можно аппроксимировать прямыми линиями. Время, необходимое на переориентацию орбиты КА, рассматриваемой как деформируемая фигура, несколько меньше (приблизительно на 2%), чем время, затрачиваемое на переориентацию орбиты КА, рассматриваемой как задача об оптимальной встрече двух КА.

5. Предложено решение задачи управления ориентацией круговой орбиты КА, рассматриваемой как неизменяемая фигура, для случая двух переключений управления. Решение задачи рассмотрено в двух постановках, использующих аналитическое решение кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбиты КА на основе рекуррентного использования этого решения и на основе использования этого решения в сочетании с кватернионной формулой сложения конечных поворотов. Получены нелинейные алгебраические уравнения

1. Алексеев К.Б. Маневрирование космических аппаратов / К.Б. Алексеев, Г.Г. Бебенин, В.А. Ярошевский. М.: Машионстроение, 1970.-416 с.

2. Алексеев К.Б. Управление космическими летательными аппаратами / К.Б. Алексеев, Г.Г. Бебенин. М.: Машиностроение, 1974. - 343 с.

3. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией КЛА / К.Б. Алексеев. -М.: Машиностроение, 1977. 121 с.

4. Алексеев К.Б. Разворот КА системой двигателей-маховиков с ненулевым начальным кинетическим моментом / К.Б. Алексеев, О.В. Злодырева // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. - № 3. - С. 3-7.

5. Афанасьева Ю.В. Оптимальное управление ориентацией орбиты космического аппарата / Ю.В.Афанасьева, Ю.Н.Челноков // Математика. Механика: сб. науч. тр./ СГУ. Саратов, 2005. - Вып. 7. -С. 153-155.

6. Афанасьева Ю.В. К задаче переориентации круговой орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура / Ю.В.Афанасьева, Ю.Н.Челноков // Математика. Механика: сб. науч. тр./ СГУ. Саратов, 2006. - Вып. 8. - С. 168-171.

7. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел /В.В. Белецкий. М.: Наука, 1977.-432 с.

8. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М.: Наука, 1969. - 408 с.

9. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики / Т.В. Бордовицына. М.: Наука, 1984. - с.

10. Брагазин А.Ф. Описание орбитального движения с использованием кватернионов и скоростных параметров / А.Ф. Брагазин, В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Анн. Докладов шестого Всесоюзного съезда по теорет. и прикладной механике / Фан Ташкент, 1986.-133с.

11. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах управления положением твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - №4. - С. 24-31.

12. Бранец В.Н. Кинематические задачи ориентации во вращающейся системе координат / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. - № 3 - С. 36-43.

13. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. -320 с.

14. Бранец В.Н. Оптимальный разворот твердого тела с одной осью симметрии / В.Н. Бранец, Ю.В. Казначеев, М.Б. Черток // Космические исследования 1984. - Т. 22. - Вып. 3. - С. 352-360.

15. Брауэр Д. Методы небесной механики / Д. Брауэр, Дж. М. Клеменс. -М.: Мир, 1964.-514 с.

16. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики / В.А. Брумберг. М.: Наука, 1980. - 205 с.

17. Бэттин Р. Наведение в космосе / Р. Бэттин. М.: Машиностроение, 1966.-448 с.

18. Боднер В.А. Теория автоматического управления полетом / В.А. Боднер. М.: Наука, 1964. - 700 с.

19. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1 / Н.Н. Бухгольц. М.: Наука, 1972. - 336 с.

20. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. 4.2 / Н.Н. Бухгольц. М.: Наука, 1972. - 332 с.

21. Гродзовский Г.Л. Механика космического полета. Проблемы оптимизации / Г.Л. Гродзовский, Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев. М.: Наука, 1975. - 702 с.

22. Гурман В.И. Оптимальное управление ориентацией осесимметричного вращающегося космического аппарата / В.И.

23. Гурман, Э.К. Лавровский, С.И. Сергеев // Космические исследования- 1970. Т. 8. - Вып. 3. - С. 341-349.

24. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г.Н. Дубошин. -М.: Физматгиз, 1963. 586 с.

25. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы / Г.Н. Дубошин. М.: Наука, 1964. - 560 с.

26. Дубошин Г.Н. Некоторые проблемы астродинамики и небесной механики / Г.Н. Дубошин, Д.Е. Охоцимский // Космические исследования 1963. -Т. 1. - Вып. 2. - С. 195-208.

27. Зелепукина О.В. Построение законов оптимального изменения вектора кинетического момента динамически симметричного космического аппарата / О.В. Зелепукина, Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: сб. науч. тр. / СГУ. Саратов, 2004. - Вып. 6. -С. 189-192.

28. Ильин В.А. Оптимальные перелеты космических аппаратов с двигателями большой тяги / В.А. Ильин, Г.Е. Кузьмак. М.: Наука, 1976.-744 с.

29. Ишков С.А. Формирование и коррекция высокоэллиптической орбиты спутника Земли с двигателем малой тяги / С.А. Ишков, В.А. Романенко // Космические исследования 1997. - Т. 35. - №. 3. - С. 287-296.

30. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А.Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1976. - 672 с.

31. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кэйли-Клейна в прикладной теории гироскопов / В.Н. Кошляков // ПММ, 1965. Т. 29. - Вып. 4. - С. 729-733.

32. Кошляков В.Н. Об уравнениях движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.Н. Кошляков // Укр. матем. журн., 1973.- Т. 25. Вып. 5. - С. 677-681.

33. Кошляков В.Н. О применении параметров Родрига-Гамильтона и Кэйли-Клейна к задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки / В.Н. Кошляков // Укр. матем. журн., 1974. Т. 26. - Вып. 2. - С. 179-187.

34. Кошляков В.Н. Параметры Родрига-Гамильтона и их приложения в механике твердого тела / В.Н. Кошляков. Киев: изд-во ин-та мат. АН Украины, 1994. - 176с.

35. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1968. - 475 с.

36. Красовский Н.Н. Теория оптимальных управляемых систем / Н.Н. Красовский // Механика в СССР за 50 лет, т. 1. М.: Наука, 1968. -416 с.

37. Крыщенко Ю.В. Задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата, рассматриваемой как неизменяемая фигура / Ю.В.Крыщенко, Ю.Н.Челноков // Авиакосмическое приборостроение. 2006. - №12. - С. 31-36.

38. Лазарев Ю.Н. Решение задач формирования программ управления движением в атмосфере аэрокосмических аппаратов на основе последовательной линеаризации / Ю.Н. Лазарев // Космические исследования 1994. - Т. 32. - №. 4 - 5 . - С. 83-91.

39. Лазарев Ю.Н. Управление движением аэрокосмического аппарата на основе метода последовательной линеаризации // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 1996. - №2. - С. 143-138.

40. Лазарев Ю.Н. Области достижимости и управление движением в атмосфере аэрокосмического аппарата в нештатной ситуации // Космические исследования 1996. - Т. 34. - №. 4. - С. 434-438.

41. Ларин В.Б. Об определении ориентации твердого тела / В.Б. Ларин, К.Н. Науменко // Изв. АН СССР. МТТ, 1983. № 3. - С. 24-32.

42. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман. М.: Наука, 1968. - 190 с.

43. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для комической навигации / Д.Ф. Лоуден. М.: Мир, 1966. - 152 с.

44. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. М.: Физматгиз, 1961.-824 с.

45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. М.: Наука, 1966. - 530 с.

46. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понгрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и др. М.: Наука, 1976. - 392с.

47. Механика космического полета / Г.Л. Гродзовский, Д.Е. Охоцимский, В.В. Белецкий и др. // Механика в СССР за 50 лет, т. 1. М.: Наука, 1968.-416 с.

48. Пономарев В.М. Теория управления движением космических аппаратов / В.М. Пономарев. М.: Наука, 1965. - 455 с.

49. Раушенбах Б.В. Управление ориентацией космических аппаратов / Б.В. Раушенбах, Е.Н.Токарь. М.: Наука, 1974. - 600с.

50. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление / Я.Н. Ройтенберг. М.: Наука, 1978. - 552 с.

51. Соловьев В.П. Об оптимальном развороте космического аппарата вокруг произвольной неподвижной оси / В.П. Соловьев // Космические исследования, 1969. Т. 7. - Вып. 1. - С. 42-50.

52. Соловьев В.П. Прогнозирование межпланетных полетов / В.П. Соловьев, Е.В.Тарасов. -М.: Машиностроение, 1973. 312 с.

53. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / В.К. Абалакин, Е.П. Аксенов, Е.А. Гребенников и др. М.: Наука, 1976.-864 с.

54. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию / М.Ф. Субботин. М.: Наука, 1968. - 800 с.

55. Тарасов Е.В. Оптимальные режимы полета летательных аппаратов / Е.В. Тарасов. М.: Оборонгиз, 1963. - 248 с.

56. Челноков Ю.Н. Управление ориентацией космического аппарата, использующее кватернионы / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. 1994. - Т. 32. - Вып. 3. - С. 21-32.

57. Челноков Ю.Н. Построение оптимальных управлений и траекторий движения космического аппарата, использующее кватернионное описание пространственной ориентации орбиты / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. 1997. - Т. 35.'-№5. - С. 534-542.

58. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики, навигации и управления движением / Ю.Н. Челноков // Аэродинамика. 1997. - № 4. - С. 61-84.

59. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в механике космического полета / Ю.Н. Челноков // Гироскопия и навигация. 1999. - № 4. - С. 47-66.

60. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле.1 / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. 2001. - Т. 39 - №5. - С. 502-517.

61. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле.П / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. 2003. - Т. 41 - №1. - С. 92-107.

62. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле.Ш / Ю.Н. Челноков // Космические исследования. 2003. - Т. 45. - №1. - С. 488-505.

63. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения / Ю.Н. Челноков. М.: Физматлит, 2006. - 512с.

64. Челноков Ю.Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты / Ю.Н. Челноков // Математика. Механика: сб. науч. тр./ СГУ. Саратов, 2006. - Вып. 8. - С. 231-234.

65. Шкляр В.Н. К задаче оптимального пространственного разворота космического аппарата относительно центра масс / В.Н. Шкляр, A.M. Малышенко // Космические исследования. 1975. - Т. 13. - Вып. 4. -С. 473-480.

66. Эскобал П.Р. Методы определения орбит / П.Р. Эскобал. М.: Мир, 1970.-471 с.

67. Эскобал П.Р. Методы астродинамики / П.Р. Эскобал. М.: Мир, 1971. -341 с.

68. Эрике К. Космический полет, т. I. Окружающие условия и небесная механика / К. Эрике. М.: Физматгиз, 1963. - 586 с.

69. Эрике К. Космический полет, т. II. Динамика, ч. I (главы 1 4) / К. Эрике. - М.: Наука, 1969. - 571 с.

70. Эрике К. Космический полет, т. II. Динамика, ч. II (главы 5 9) / К. Эрике. - М.: Наука, 1970. - 744 с.

71. Deprit A. Ideal frames for perturbed keplerian motions // Celestial Mechanics. 1976. Vol. 13. № 2. P. 253-263.

72. Almuzara L.J.G. Minimum time control of a nonlinear system / L.J.G. Almuzara, I. Flugge-Lotz // J. Differential Equations. 1968. - V. 4. - № l.-P. 12-39.

73. Carrington C.K., Junkins J.L. Optimal Nonlinear Feedback Control for Spacecraft Attitude Maneuvers // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1986. Vol. 9. № 1. P. 99-107.99

74. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin: Hodges and Smith. 1853.

75. Lee E.B. Discussion of satellite Attitude Control / E.B. Lee // ARS Journal. 1962. -№ 6. - P. 981-982.

76. Sagirow P. Zeitoptimale Drehungen um eine korperfeste Achse / P. Sagirow // Z. angew. Math, und Mech. 1974. - Bd. 54. - № 4. - S. 63-64.

77. Wie В., Barba P.M. Quaternion Feedback for Spacecraft Large Angle Maneuvers // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1985. Vol. 8. № 3. Pp. 360-365.

78. Wie В., Weiss H., Arapostathis A. Quaternion Feedback Regulator for Spacecraft Eigenaxis Rotations // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1989. Vol. 12. № 3. Pp. 375-380.