автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обратные задачи распространения волн в неоднородных слоистых средах и методы их решения

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.946+517.958 550.837

Баев Андрей Владимирович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник М. И. Белишев

доктор физико-математических наук, профессор А. С. Леонов

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Тихонравов

Ведущая организация:

Институт математики Сибирского отделения РАН

Защита состоится

1998 г. в 15— на заседании

Диссертационного совета Д.053.05.37 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан

/и^й

1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета чл.-корр. РАН, профессор

ОиССм/ Е. И. Моисеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации определяется тем, что практика научных исследований требует развития новых перспективных направлений в изучении и использовании процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах, расширения круга исследуемых математических моделей, создания устойчивых математических методов решения встающих при этом обратных задач на основе применения вычислительной техники. Современное развитие естественных наук неразрывно связано с разработкой, анализом и практическим использованием математических моделей, возникающих при изучении процессов распространения возмущений в материальной среде. Полное описание этих моделей требует задания информации о среде, источнике колебаний, начальном и граничном режимах. Во многих случаях такие данные не доступны непосредственному измерению и являются искомыми. Обратные задачи распространения волн состоят в определении материальных параметров среды, а также в восстановлении характеристик источника возмущений по измеренным в некоторых точках волновым полям. В рамках математического моделирования обратные задачи распространения волн заключаются в определении коэффициентов дифференциальных уравнений или систем гиперболического типа, а также дополнительных данных в виде начальных или граничных условий по заданной на известном многообразии информации о решении рассматриваемой задачи.

Обратные задачи являются, как правило, некорректно поставленными. Основы теории обратных и некорректных задач, методов их решения были заложены в трудах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и получили дальнейшее развитие в работах Ю. Е. Аниконова, В. Я. Арсе-нина, А. В. Бакушинского, М. И. Велишева, А. Л. Бухгейма, В. Б. Гласко,

A. В. Гончарского, Ф. П. Васильева, В. А. Винокурова, А. М. Денисова,

B. И. Дмитриева, Е. В. Захарова, А. С. Ильинского, С. И. Кабанихи-на, А. С. Леонова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, А. Г. Свешникова, В. Н. Страхова, А. В. Тихонравова, А. М. Федотова, А. Г. Яголы и многих других. Развитие теории обратных и некорректно поставленных задач, появление высокопроизводительной вычислительной техники позволили практически решить многие прикладные задачи обработки и интерпретации данных наблюдений, вычислительной диагностики, синтеза сложных систем и ряда других областей. Отличительная черта обратных задач,

связанных с исследованием математических моделей реальных процессов, состоит в том, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента. Другим важным фактором, влияющим на решение обратных задач, является наличие погрешностей экспериментальных данных. При этом принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером эксперимента, и разработка устойчивых методов их решения.

В диссертации рассматриваются одномерные обратные динамические задачи, возникающие в рамках математического моделирования процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах, а также связанные с ними обратные спектральные задачи. Исследование различных обратных задач рассеяния, прохождения, поглощения волн при зондировании или просвечивании рассматриваемого класса сред и создание устойчивых методов их решения несомненно актуальны для дальнейшего развития методов математического моделирования и их применения.

Цель работы состоит в постановке и исследовании обратных задач для процессов распространения волн в неоднородных слоистых поглощающих средах, разработке устойчивых методов их решения, позволяющих оценивать состоятельность рассматриваемых моделей и определять характеристики материальной среды и временные параметры источника возмущений по имеющейся экспериментальной информации, а также практическом решении ряда актуальных обратных задач вертикального сейсмического профилирования в скважинной разведочной геофизике.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение работы заключаются в следующем:

1. Рассмотренные в рамках математического моделирования уравнения в частных производных гиперболического типа описывают широкий класс реальных процессов распространения волн. Для изучения этих процессов важное значение имеют методы определения характеристик среды, таких как скорость, жесткость, коэффициент поглощения. В работе исследованы обратные задачи рассеяния для волнового уравнения, уравнения колебаний, гиперболической системы уравнений с гладкими и непрерывными коэффициентами, когда параметры, т. е. функциональная зависимость во времени, источника возмущений неизвестны. Доказана единственность одновременного определения функций, характеризующих слабо-неоднородную среду и импульсный источник колебаний. Предложен общий подход и методы решения подобных обратных задач, позволяющие определять искомые характеристики модели по заданной информации.

2. Модели слоисто-однородных и слоисто-неоднородных сред широко используются в различных областях теоретических и прикладных исследований в науке и технике. В связи с этим большое значение имеет развитие математических методов определения характеристик таких сред в обратных задачах рассеяния. В работе исследованы обратные задачи рассеяния в слоисто-однородной и слоисто-неоднородной средах для гиперболической системы уравнений с неизвестным источником. Доказана единственность одновременного определения характеристик слабонеоднородной среды и параметров источника возмущений. Предложен метод решения обратных задач, позволяющий определять характеристик слоистых структур, когда импульсный источник колебаний неизвестен.

3. Широкий класс обратных задач, возникающих при исследовании математических моделей различных процессов, сводится к спектральным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ. В связи с этим важное значение имеют обратные спектральные задачи, состоящие в определении коэффициентов дифференциальных уравнений по спектральным данным, В работе получены новые результаты по обратной спектральной задаче Штурма-Лиувилля с вхождением спектрального параметра в граничное условие и обратной спектральной задаче для системы Дирака ОДУ в несамосопряженном случае. Доказана единственность определения дифференциальных операторов рассмотренных задач по одному спектру. На основе этих результатов по обратным спектральным задачам доказана единственность «в целом» одновременного определения характеристик неоднородной среды и временных параметров неизвестного источника колебаний из определенного класса.

4. Эксперименты по просвечиванию неоднородных сред являются одними из основных источников информации о строении исследуемых структур. В связи с этим большое значение имеют обратные задачи просвечивания, состоящие в определении характеристик среды, а также неизвестного источника колебаний по прошедшему через среду волновому полю. На основе спектральных рассмотрений в работе исследованы обратные задачи для неоднородных поглощающих сред с внутренним, внешним и граничным расположением источника возмущений. Доказана единственность «в целом» одновременного определения характеристик неоднородной поглощающей среды и неизвестного источника колебаний из определенного класса.

5. Многие обратные задачи, возникающие при моделировании процессов распространения волн в неоднородных средах, сводятся к решению

обратной задачи рассеяния для гиперболической системы уравнений, когда прямая задача имеет решение в смысле обобщенного. В связи с этим важное значение имеет построение обобщенного решения задачи рассеяния и создание устойчивых методов определения характеристик неоднородной среды по информации о таком решении. В работе предложен устойчивый метод решения нелинейных интегрофункциональных уравнений типа Вольтерра I рода, возникающих в обратной задаче рассеяния с обобщенным решением. Доказаны регуляризующие свойства построенного алгоритма, имеющего широкую область применения при решении нелинейных операторных уравнений типа Вольтерра I рода.

6. Использование разностных методов в моделировании процессов распространения волн в неоднородных поглощающих средах является важным инструментом в научных исследованиях. В связи с этим большое значение приобретает создание устойчивых методов обращения разностных схем, аппроксимирующих исходную дифференциальную модель в обратных задачах рассеяния. В работе исследован класс консервативных условно-устойчивых разностных схем для расчета обобщенного решения задачи рассеяния и построен метод регуляризованного обращения явной разностной схемы из рассмотренного класса. Доказаны существование, единственность и сходимость регуляризованного решения разностной обратной задачи к решению дифференциальной. Исследована зависимость регуляризующих свойств построенного метода от величины погрешности входной информации, параметров разностной схемы и регуляризации, указан оптимальный способ их задания.

7. Вертикальное сейсмическое профилирование (ВСП) является одним из наиболее эффективных методов в скважинной геофизической разведке. В связи с этим важное значение имеют обратные задачи ВСП, состоящие в определении неоднородных слоистых поглощающих геологических структур по регистрируемым на стволе скважины сейсмическим полям. В работе исследован ряд обратных задач ВСП с различными схемами возбуждения и наблюдения волновых полей как известным, так и неизвестным источником колебаний для широкого класса моделей неоднородных слоистых поглощающих сейсмических сред. Разработан метод, позволяющий одновременно определять характеристики среды и неизвестного импульсного источника волн. В рамкал планирования эксперимента указан класс таких источников. Проведены вычислительные эксперименты для квазиреальных и реальных сейсмических данных, которые показали, что предложенные в диссертации методы отвечают таким требованиям к их свойствам как устойчивость и практическая сходимость.

8. Предложенные в диссертации методы решения обратных задач распространения волн в неоднородных слоистых поглощающих средах реализованы в виде программ. Разработанные методы и программы использованы для решения ряда конкретных задач на поиск нефти по данным ВСП в ВОИГиРГИ (Волжском отделении института геологии и разведки горючих ископаемых), а также в ЦГЭ (Центральной геофизической экспедиции) Минтопэнерго РФ. Создан комплекс программ для прогноза геологического разреза и обработки спектральных данных в методе ВСП, который включен в состав комплексной системы интерпретации сейсмической информации ВСП VSP-DOS.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по теории и методам решения некорректно поставленных задач (Самарканд, 1983; Саратов, 1985), Сибирской школе-семинаре по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Красноярск, 1986), на Всесоюзной конференции «Условно-корректные задачи математической физики» (Алма-Ата, 1989), Международных конференциях «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» (Москва, 1991), «Inverse and Ill-Posed Problems» IIPP-96 (Москва, 1996), конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 1995), Международной геофизической конференции EArO-EAGO-SEG (Санкт-Петербург, 1995), 58-th EAGE Conference and Technical Exibition (Holland, Amsterdam, 1996), Ломоносовских чтениях в МГУ (1990), научно-исследовательских семинарах в ЛОМИ АН СССР (Ленинград), МГУ, университете SUNY (Нью-Йорк, США), научном центре Shclumberger-Doll-Research Corp. (Коннектикут, США).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 33 работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения, списка литературы, включающего 180 наименований, содержит 282 страницы текста, 8 таблиц и 32 рисунка.

Содержание работы

Во введении дается литературный обзор по рассматриваемой проблеме, содержится общая характеристика направления, развиваемого в работе, и кратко излагаются основные полученные результаты.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы корректности и методы решения ОЗ, состоящей в определении коэффициента, характеризующего отражающие свойства неоднородной среды, по рассеянному волновому полю. При численном решении различных 03 распространения волн они сводятся к этой типовой обратной динамической задаче.

В п. 1.1 рассмотрена система уравнений относительно ¡/(у, £) — скорости смещений и а(у, Ь) — напряжений

Р{у)щ - оу = 0, <rt - e(y)vy = 0, у > 0,

описывающая распространение плоской волны в неоднородном упругом полупространстве, где р(у) — плотность среды, е(у) — упругий параметр, зависящий от переменных коэффициентов Ламе и определяемый типом (продольным или поперечным) волны. Эта система приведена к канонической форме

Ц !)£+(; i)'"0- (1)

где w(x,t) = {v(x,t),u(x, í)}', а непрерывный коэффициент z(x) характеризует отражающие свойства среды. Для полученной системы дано определение обобщенного в смысле интегрального тождества решения при х > 0, í > 0 начально-краевой задачи с условиями

v(x, 0) = «(ж, 0) = 0, г > 0, «(0, t) - <p(t), t > 0, <p(t) е С[0, оо), (2)

причем для функции <p(t), описывающей источник колебаний, не выполнены условия согласования в нуле. Исследована структура обобщенного решения, доказана его устойчивость, получено необходимое условие разрешимости 03, состоящей в определении коэффициента z{x) € С[0,Т] по заданным источнику <p(í) и следу решения u(0,t) — f(t) из С[0,2Т], соответствующему рассеянному волновому полю.

В п. 1.2 на основе интегрофункционального уравнения типа Вольтерра

t

J v(x, It - x; z)z(x) dx = f{2t), 0 < t < T, (3)

о

на множестве корректности получена оценка устойчивости решения 03 рассеяния, из которой следует единственность её решения «в целом».

В п. 1.3 рассматривается ОЗ рассеяния с приближенными непрерывными данными <p(t), f(t) и оценками погрешности — ¡p{t)\\c[o,2T\ ^ И/(0~ /(í)llc[o,27i < Построен устойчивый метод ее решения, основанный на замене нелинейного операторного уравнения типа Вольтерра I рода (3) близким ему уравнением II рода

<

a{z(t) - в) + J и(а, 2t - х; z)z{x) dx = f(2t), 0 < í < Г. (4) о

Получены условия сходимости регуляризованного решения к решению 03 г(х) € С[0,Т] с гладкими данными ф{1), /(£), а именно, если а — а(<5, /1) таково, что aq > 0, д — <^(0) ^ 0, то при = f — f{^) уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение , если, кроме того, а(6,Н) 0 и (5+/г)/а(5,й)0 при /г, 5-»-О, то (ее) 2^0(2:), где = ¿(ж) — (г(0) — г/ = д/а. Рассмотрено обобщение по-

строенного регуляризутощего алгоритма при замене параметров а, 9 на непрерывные функции переменной

В п. 1.4 рассматривается разностный метод решения 03 рассеяния. Построен класс двухслойных консервативных РС

„3 + 1/2 + та2.+ 1/2иЗ + 1/ 2 _ ^ _ ^^ /2 _ _ <г)^>1/2и;-+1/2 + /Х^_1/2, М,+1/2 - ТТ7^+1/2113+1/2 = (1 -ух)«7>1/2 + т(1 - Сг)^+1/2^+1/2 4"/»^+3/2, (5) ^•+1/2(0) =<хя.1/2(0)=0, г»_1/2 = ^=Ы(» + 1/2)т)},

где ц = т/Л, 0 ^ <т ^ 1, относительно сеточной вектор-функции чу^) =

= К-иМ*)} =*'Г{^+1/2'Ц+1/2>'' «^(О - г), для расчета

обобщенных решений прямой задачи рассеяния. При выполнении условия // ^ 1 (при ¡1 > 1 РС неустойчива) доказана следующая оценка устойчивости разностной задачи (5)

Установлено, что порядок аппроксимации в норме С/1)Г для РС (5) при условии 1 — р. = О(г) составляет для непрерывных данных дифференциальной задачи (1), (2) 0(ы(г,т)+ш(<р,т) + т\Ъ.Ь-о\ |у>(0)|), где ш(у, Д) — модуль непрерывности функции у на области ее определения.

Доказаны существование и единственность решения 03 — определения г = {^>1/2^о1 по слеДУ решения щ/2 = / = {/((» + 1/2)г)}^0 — путем обращения явной (при а = 0) РС. Показано, что это обращение является неустойчивым относительно шага сетки т. Предложен метод регуляризованного обращения РС (при Ъ = г), основанный на решении относительно л системы нелинейных уравнений

п

Фп-1/2 - в) + т ^"Г/зС*""1)*;-!/* = /ап+1/2, П = 1 - N. (6)

Получены условия существования и сходимости регуляризованного решения к решению 03 г(х) с непрерывными данными /(О, а именно,

если a — a{8,h,r) таково, что aq > 0, где q — ф\/2, ^ Яо > 0, то при <р = ф, f = / система уравнений (6) имеет единственное решение za. Если, кроме того, 0 и

ИИ*, г) + и{ф,т)]/т + [б + А + и(г, г) +- и>(ф, г)]/|а| О,

при 8,h,T 0, то ||z° —zu'0\\cT где zv'e = z-{zl/2-9){e~vi}. Показано, что при определенной гладкости функций z(x), (p(t) оптимальным по порядку является выбор параметров в задаче (5), (6) такой, что |а| = ст1/2, т = с(Я + Л).

Во второй главе диссертации рассмотрены 03 рассеяния для волнового уравнения с неизвестным источником, когда точки возбуждения и наблюдения совпадают. Исследована задача об одновременном восстановлении коэффициентов отражения и поглощения неоднородной среды.

В п. 2.1 поставлена 03 рассеяния и обратная краевая задача на неоднородном слое. Последняя заключается в определении функций z(x) € € C[0,T], <p(t) € С^оо) и параметров /3, х в задаче для системы (1) при 0 < z < Т, i > Ос нулевыми начальными условиями и граничными условиями вида

v(0,t) = u{0,t) + ip{t), u(T,t) = ¡3v(T,t), í> О, <1, (7)

где в качестве дополнительной информации задается условие вида

u(0, t) - *ru(0, t) = F(t), t 5= 0. (8)

Определено решение краевой задачи при |<| < оо в смысле обобщенных функций, построено её фундаментальное, т.е. при v>(0 = , решение, где 5(t) — дельта-функция Дирака, исследована его структура.

В п. 2.2 получено необходимое и достаточное условие разрешимости обратной краевой задачи. Оно состоит в однозначной разрешимости интегрального уравнения типа Гельфанда-Левитана-Марченко

X

w(x, t) + J w(x, r)f(t - т) dr + f(t + x) = 0, o < |t| < X < T, (9)

—x

где /(í)|i>0 — u(0,t) — след фундаментального решения задачи (1), (7),

a/WU = /H)-

В п. 2.3 рассмотрено необходимое условие разрешимости обратной краевой задачи. Вводятся функции Д(£) = J(t + 2kT), |i| < 2Т, к = 0,1,----

Из выполнения граничного условия в задаче (1), (7) при х = Т вытекает необходимое условие однозначной разрешимости 03, которые дает

Теорема 1. Пусть функции fk(t), k = 0,1,..., определяются следом фундаментального решения краевой задачи (1), (7).

Тогда для fo(t) G С(0,2Т) существует единственное непрерывное решение g(t), 0 < t < 2Т, уравнения

2Т

fo(t) - 0/„(2Г - t) -f g(t) + Jh(t - T)g(T)dr = 0, (10)

о

a последовательность функций fk(t) € C((—2T,2T)\0), k — 1,2,..., является единственным решением цепочки уравнений

2Т

Д (i) - j9/fc_! (г) -f /îtyf) + Jg(T)Mt - r) dr = 0, 0 < t < IT. (11)

о

На основе этого условия построен метод одновременного определения функции реакции слоя /(£) и источника колебаний <p(t) е Сх[0,оо) такого, что supp (р Ç [0,£], 'f(O) ф 0 (класс К] ). Вводятся функции Fk(t) = F(t -(- 2kT), 0 < t < 2Г, k = 0,1,____ Из выполнения граничного условия (8) вытекает бесконечная цепочка уравнений, из которых два первых в случае t < 2Т имеют вид (0 < t < 2Т):

t

хф) + ( 1 + / V(r)ft> (t - г) dr = Fa (t), (12)

о

2 T

m) + fv(r)Mt~r)dr = (13)

о

Уравнения (10)-(13) определяют нелинейное операторное уравнение относительно функции <p(t), для решения которого рассмотрен метод последовательных приближений (га = 0,1,... — номер итерации):

(5^ = A(foJ")^>n + (1 + х)"1^, (14)

где Л (/о, Д) — интегральный оператор в равенстве (13), в котором функция Л (i) выражена через /о(0 из уравнений (10), (11), т. е. вычисления по алгоритму (14) ведутся в следующей последовательности:

... ДЛ/г (15)

Доказана сходимость построенного метода и локальная единственность решения обратной краевой задачи с неизвестным источником для слабо неоднородной среды.

В п. 2.4 на основе разработанной в п. 2.3 методики решена ОЗ рассеяния неизвестного падающего волнового импульса ip(t) € Kf произвольной конечной длительности Г на слабо-неоднородном слое, состоящая в определении совокупности {z(x),<p(t),a, /3}. Условия (7), (8) в этой 03 для системы (1) приобретают вид

v(0,t) = au(Q,t)+fi<p{t), u(0,t)-av(0,t) =/u[F{t) - xip{t)], t ^ 0,

где // = y/l — a2, |a¡ < 1, параметр x считается известным. Доказаны сходимость метода последовательных приближений аналогичного (15) для одновременного определения функции реакции слоя и неизвестного импульса падающей волны, а также локальная единственность решения 03 рассеяния для слабо-неоднородной среды.

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости 03 в терминах коэффициентов Фурье и преобразования Фурье от следа рассеянного поля. Показано, что эти условия равносильны выполнению закона сохранения энергии в прямой задаче рассеяния.

В п. 2.5 рассмотрена 03, моделирующая процесс рассеяния волн на неоднородном слое с поглощением (использована модель внешнего трения или внутренней вязкости твердого тела). Она сводится к определению совокупности {a(x),b(x),fi ф 0}, а(х),Ь(х) еС[0,Т] по дополнительному условию u(Q,t) = f(t), t > 0, в следующей задаче:

vt + vx+a(x)u = 0, ut-ux-b(x)v — 0, 0 <х<Т, |<|<оо, Mx,í),u(x,í)}'|(<0=o, и(о,г)=г<о,г)+ад, u(T,t)=pv{T¿). (16)

Получено необходимое и достаточное условие разрешимости этой ОЗ. Оно заключается в однозначной разрешимости интегрального уравнения (9), где f(t)| 0 определяется следом решения начально-краевой задачи (16), в которой сделана замена t — í. Доказана однозначность

одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения слабо неоднородной рассеивающей среды.

В третьей главе диссертации исследуются 03 рассеяния воли в слоистых средах. При этом развивается подход, предложенный в гл.2 для решения 03 рассеяния на неоднородном слое. Отличием возникающих ОЗ является появление' в них алгебраической составляющей, соответствующей отражениям волн от границ раздела слоев.

В п. 3.1 рассмотрена постановка задачи рассеяния волн на слоисто-неоднородной среде с конечным числом слоев. 03 рассеяния состоит в определении совокупности {z(x), <p(t), ап,Тп,} в задаче

Щ + vt 4- z(x)u = 0, жп_1 < х < х„, п = 1 ч- N, Щ — Uz — z(x)v = 0, 2() = 0, t > О,

ßnv(xn-\-0,t)--v(xn-0,t)-anu(xri-0,t), f>Q Цпи(хп + 0, i) = и(хп - 0,£) - a„v(x„ - 0,i), ^

v(x,0) -и(х,0) = 0, v(0,i) + «o«(0,i) = ßo<p(t), u{xN + 0,i) = 0,

N-1 _

где z{x) £ C([0, a;N] \ (J sn), <p(t) £ K[, (лп = л/l - Tn = xn - ,

n=l

по дополнительному условию

u(0, t) - a0u(0, t) = ^[^(i) - *<p{t)]i * >

Построено фундаментальное решение задачи рассеяния для гиперболической системы с кусочно-непрерывным коэффициентом, исследована его структура.

В п. 3.2 получено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости обратной краевой задачи рассеяния для слоисто-однородной среды с мгновенным граничным источником <p(t) — ¿(t) по следу фунда-

оо

ментального решения u(0,i) = f(t) — fkS{t — tk), t > 0, который зада-

fc=0

ется в качестве дополнительной информации. Это условие состоит в однозначной разрешимости цепочки систем линейных алгебраических уравнений (конечномерного аналога уравнения типа Гельфанда-Левитана-Марченко), матрицы которых ||/im(n)j|, I = 1,..., m = 1 -г М(п), п = 1 Ч- ЛГ, формируются по следующему правилу:

, , , Г Л, если \ti(n) ~ t^(n)\ = tk, LU — в противном случае, где

п п

t*m(n) = mi = 0,1, m = 0-~M(n), t*M(n)(n) = 2

¿=1 ¿=1 f,(n) = em(n) ± tk > о, ti(n) < еЩп]{п), tz(n)H =

Теорема 2. Для однозначной разрешимости 03 при известных Т„, п = 1 -г- N, необходимо и достаточно, чтобы система уравнений

М(п)

£ flm(n)Gm(n) = О, / = 14- I(n),

т=0

относительно Gm(n) при Go(n) — 1 имела единственное решение для любого п = 1 — N, причем GM(n)(n) — ~ап ■

Разработан метод, основанный на последовательном решении при п — = 1,2,..., N указанной цепочки алгебраических систем уравнений. Предложен алгоритм определения параметров слоисто-однородной модели с неизвестным числом слоев с помощью введения фиктивных границ раздела, для которых коэффициент отражения может обращаться в ноль. Доказано, что при этом определяются как толщины слоев, так и коэффициенты отражения.

В п. 3.3 рассмотрен метод решения 03 рассеяния на слоисто-однородной структуре. Эта задача сводится к ОЗ рассеяния из п. 3.2 для случая мгновенного точечного граничного источника tp(t) = qS(t) с неизвестной амплитудой q. Получено необходимое условие разрешимости 03, на основе которого доказана единственность одновременного определения параметров слоистой структуры и амплитуды источника.

Предложен метод решения 03 с неизвестным источником, состоящий из двух этапов. Вначале решается ряд задач на определение ранга формируемых в п. 3.2 матриц, в результате чего находится амплитуда q мгновенного источника. Далее решается 03 рассеяния, рассмотренная в п. 3.2.

Рассмотрена задача о продолжении на произвольный интервал заданного на фиксированном промежутке времени рассеянного поля. Предложен метод ее решения, не использующий предварительного определения параметров слоистой структуры. Для разработанных методов построены алгоритмы численного решения, проведены модельные расчеты.

В п. 3.4 рассматривается ОЗ рассеяния на слоисто-неоднородной структуре. Получено необходимое и достаточное условие существования решения, состоящее в однозначной разрешимости цепочки интегральных уравнений типа Гельфанда-Левитана-Марченко со сдвинутым аргументом. Число уравнений в цепочке равно числу слоев. Коэффициенты при внеинтегральных членах совпадают с элементами матриц, формируемых при решении 03 рассеяния для слоисто-однородной модели. Интегральные слагаемые уравнений соответствуют изменению коэффициента отражения z(x) внутри слоев. Получено необходимое условие разрешимости

ОЗ рассеяния, позволяющее продолжить заданное на фиксированном интервале времени рассеянное поле на произвольный промежуток времени.

В п. 3.5 исследована 03 рассеяния на неоднородной слоистой структуре для неизвестного источника колебаний. Построен метод последовательных приближений одновременного определения функции реакции слоисто-неоднородной среды и неизвестного источника. Доказаны сходимость метода и локальная единственность одновременного определения источника колебаний и слабо-неоднородной слоистой среды.

В четвертой главе диссертации исследуется связь обратных нестационарных задач распространения волн в неоднородных средах и обратных спектральных задач. Рассматриваются 03 зондирования и просвечивания в схемах с различным расположением источника и приемника.

В п. 4.1 на основе методики, разработанной в главе 2, исследована обратная краевая задача с неизвестным источником <p(t) € С1 [0, оо) для уравнения колебаний

Utt = Щх - q(x)u, 0 < х < a, t > О, q(x) € С[0,а], ^

и(х, 0) = щ(х, 0) ~ 0, 0 < х < а,

ux(0,t) ~hu(0,t) = 0. ux(a,t) + Hu(a,t) = <p(t), t > 0,

состоящая в определении совокупности {q(x),<p(t),h,H,a,b,c} по дополнительной информации вида

(щ + Ых + cu)|r=;a - /(f), t > 0. (18)

Получено необходимое условие разрешимости ОЗ. Построен метод последовательных приближений её решения, состоящий в одновременном определении функции реакции отрезка и неизвестного граничного условия <p(t) € . Доказаны сходимость метода и однозначность одновременного определения малого по модулю коэффициента уравнения колебаний и неизвестного граничного условия.

В п. 4.2 для начально-краевой задачи для уравнений колебаний (17) с граничными условиями

tí(0,t) = 0, О, ux(a,t) = tp(t), v{t)GC[0,оо), (19)

рассмотрена обратная. В ней требуется по дополнительному условию (18) найти функции q(x), <p(t) и числа а > 0, Ь, с 6 С, где С — множество

комплексных чисел. Получена связь обратной краевой задачи для уравнения Шредингера и 03 Штурма- Лиувилля

У" ~ Ф)У = 0 <х <а,

2/(0) = 0, Ъу' (а) + (г'Л + с)у(а) = 0, (20)

Ь, с 6 С, О,

с вхождением спектрального параметра в однородное краевое условие. Исследованы свойства спектра полученной задачи. Доказана единственность определения непрерывного коэффициента уравнения Шредингера на отрезке по одному спектру (результат Борга-Левинсона для самосопряженного оператора предполагает задание двух спектров).

Теорема 3. Собственные значения задачи (20) однозначно определяют q{x) €Е С[0,а] и числа а, Ъ, с.

Доказана единственность «в целом» решения обратной краевой задачи для уравнений колебаний с неизвестным граничным условием на классе быстро убывающих источников.

В п. 4.3 обратная нестационарная задача рассеяния волн на неоднородном слое исследуется спектральными методами. Получена связь 03 для гиперболической системы уравнений при 0 < х <Т, t > О

. /1 0\3w/l 0\dw , { 0 z{x)\ _

(z(x) (E C[0,T] — непрерывная комплекснозначная на [0,T] функция), с начально-краевыми условиями

w(a,0) = u(*,0) = 0, 0 < ж < Т, «(0,t) = au(0,t), u(T,fc) ~(3v(T,t) = cp(t), t^O, ^ '

состоящей в восстановления функций z(x), cp(t) 6 C[0, oo), а также чисел T > 0, а, /3,7 6 С по дополнительным данным

v(T,t)-lu(T,t) = f(t), 0, (23)

и обратной спектральной задачи для оператора Дирака ОДУ на отрезке

(l М—+Í 0 W = -pw

... lo -l) dx 0 jW (24)

V(0,p) - aU(0,p) = 0, U(T,p) - PV(T,p) = 0,

где W(Xjp) = {V(x,p), U(x,p)Y. Исследованы свойства спектра оператора Дирака с диссипативными однородными граничными условиями. Доказана единственность определения коэффициента оператора Дирака по одному спектру в случае ¡а| < 1 ^ |/3|.

Теорема 4. Пусть 0 ^ |oí| < 1 ^ |/3| ^ оо, и известно одно из чисел а, /3 (если среди них есть не равное 0 или оо, то такое).

Тогда спектр задачи, (24) одновременно определяет число Т (в случае счетного спектра), неизвестное граничное условие и при afi ф 0 • оо z(x) £ C[G,Т] (при а/3 — 0-оо существует бесконечно много таких z{x)).

На основе спектральных рассмотрений доказана единственность «в целом» решения 03 рассеяния в неоднородной среде для неизвестного источника такого, что его преобразование Лапласа не имеет нулей на полуплоскости Rep ^ 0 (такие источники характеризуются резким задним фронтом сигнала). Указан класс быстро убывающих на бесконечности источников, обеспечивающих идентификацию параметров модели и восстановление возбуждающего сигнала.

В п. 4.4 рассмотрены так называемые 03 просвечивания неоднородных сред, т. е. задачи, в которых источник колебаний и приемник расположены в различных точках. Дополнительное условие (23) в 03 для задачи (21), (22) приобретает вид

Показано, что в 03 просвечивания слабо-неоднородного слоя по прошедшей волне /(г) при |а| ф |/3| однозначно восстанавливается коэффициент отражения среды и неизвестный граничный источник. Рассмотрена 03 просвечивания с внутренним направленным точечным источником

где х0 6 (О, Г), х — фиксированные числа, в = {1, х}'. Доказана единственность её решения при |а| < 1, ¡3 — 1, если неизвестный импульсный источник направлен от точки наблюдения, т. е. О < )х| < 1.

В пятой главе диссертации рассмотрены математические модели распространения волн в методе ВСП и прогнозирование геологических разрезов слоисто-неоднородных сред.

В п. 5.1 приводится общая характеристика метода ВСП в рамках одномерной геологической модели, описывающей процессы распространения

u(0,í) = f{t), 0.

(25)

£w = <p(t)S(x - x0)s, O < x < T, t > O,

(26)

плоских объемных сейсмических волн в неоднородных слоистых поглощающих средах. В качестве математической модели рассмотрена гиперболическая система с непрерывными комплекснозначными коэффициентами, характеризующими отражение и поглощение геологической среды, х > 0, * > О,

/1 ОЧсЬу /1 / а(х) ф) + <7(*)\ (?)

Исследована 03 ВСП с начальным условием \г(х, 0) = 0, поверхностным расположением источника колебаний ц>{Ь) и регистрацией волнового поля на стволе скважины на глубине х = Т

и(0,«) = и(0,«)+ ¥>(*), «(Г,0 = Ш, и(Т,1) = Ш, (28)

Показана единственность решения задачи прогнозирования геологического разреза ниже уровня наблюдений по данным ВСП для неизвестного поверхностного источника (задача зондирования).

В п. 5.2 исследована задача прогнозирования разреза среды выше уровня наблюдений в схеме ВСП с поверхностным расположением источника колебаний и регистрацией волнового поля на стволе скважины (задача просвечивания). Доказано, что акустический импеданс г(х) и коэффициент поглощения среды сг(х) определяются однозначно в рамках модели неоднородной поглощающей среды для неизвестного источника колебаний конечной длительности, если г(х) ф о(х) при х > 2Т. В рамках планирования эксперимента в методе ВСП указан класс импульсных источников, обеспечивающих идентификацию характеристик среды и восстановление параметров возбуждающего воздействия. Показано, что дяя задач прогнозирования разреза неоднородной среды по данным ВСП для источника, расположенного на глубине, с поверхностной схемой наблюдений и с заглубленным приповерхностным направленным неизвестным источником справедливы аналогичные утверждения.

В п. 5.3 построен метод численного прогнозирования геологического разреза неоднородной слоистой среды выше уровня наблюдений по данным ВСП с неизвестным импульсным источником, состоящий в решении линейного интегрального уравнения первого рода, содержащего три неизвестные функции и(г), и(£), 0:

23' 1Т

Л(*+Т)-/2(«-Т)+1М*+Т-т)и(т)Лт-1/2(£+Т—т)г; (т)в.т = <р(€). (29) о о

Поскольку функция (р(i) финитна, т. е. ip{t) = 0 при t^t, то из (29) вытекает однородное уравнение относительно функций v(t), u(t). Решение этого уравнения единственно, что следует из результатов п. 5.2. Найдя функции v(t), u{t) из этого однородного уравнения, определяем ip(t') на отрезке [0,£] из равенства (29) прямым вычислением. Разработан устойчивый алгоритм решения уравнения (29). Предложен метод аналитического продолжения спектров для возникающей при этом задачи деконвслюции. Проведен анализ результатов численного моделирования на квазиреальных и реальных данных ВСП для задачи прогнозирования геологического разреза выше уровня наблюдений с неизвестным источником, сделано сравнение полученных разрезов с моделью и данными АК (акустического каротажа).

В п. 5.4 метод регуляризованного обращения разностной схемы для задачи рассеяния использован для численного прогнозирования геологических разрезов по даным ВСП ниже уровня наблюдений. Проведено сравнение вычислительных алгоритмов, созданных на основе методов решения 03 рассеяния с помощью регуляризации операторного уравнения типа Вольтерра и обращения разностной схемы из гл. 1. Показано, что последний обеспечивает более высокую точность решения и требует меньшего числа операций, чем метод последовательных приближений для решения регуляризованного операторного уравнения типа Вольтерра. Представлены результаты модельных расчетов в задаче одновременного определения коэффициентов отражения и поглощения для неоднородного слоя. Рассмотрены результаты вычислительного эксперимента па модельных и реальных данных ВСП для задачи прогнозирования геологического разреза вертикально-неоднородной среды ниже уровня наблюдения. Проведено сопоставление результатов, полученных на основе стандартного пакета обработки сейсмических данных и по методу регуляризованного обращения разностной схемы. Приведены результаты прогноза геологических разрезов по данным ВСП и скоростные разрезы АК для промышленных нефтедобывающих скважин.

Показано, что предложенные в диссертации методы отвечают требованиям, предъявляемым к таким их свойствам как устойчивость и практическая сходимость. Они использованы при обработке реальных данных ВСП в ВОИГиРГИ (Волжском отделении института геологии и разведки горючих ископаемых), а также в ДГЭ (Центральной геофизической экспедиции) Минтопэнерго РФ.

Заключение

В работе исследован широкий класс обратных задач, возникающих в рамках математического моделирования процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах. Изучена возможность практического использования рассматриваемых моделей, созданы методы, алгоритмы и программы определения их параметров по данным наблюдений.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Исследован класс обратных задач рассеяния и просвечивания, моделирующих процессы распространения волн в слоисто-неоднородных средах, когда неизвестны как коэффициенты, характеризующие отражающие и поглощающие свойства среды, так и источник возмущений. Доказана единственность одновременного определения характеристик среды и источника колебаний. Предложены методы, разработаны алгоритмы и программы решения этих обратных задач.

2. Исследованы обратные диссипативные спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, возникающие при анализе процессов рассеяния и прохождения волн. Доказана единственность определения коэффициентов отражения по спектральным данным. Изучена единственность решения обратных краевых задач для гиперболических уравнений и систем, моделирующих зондирование и просвечивание неоднородных сред.

3. Предложены и исследованы методы устойчивого решения обратных задач распространения волн, основанные на регуляризации нелинейного операторного уравнения типа Вольтерра I рода и методе регуляризован-ного обращения разностной схемы. Разработаны алгоритмы и программы решения обратных задач рассеяния в неоднородных слоистых средах.

4. Исследованы обратные задачи вертикального сейсмопрофилирова-ния (ВСП), возникающие при интерпретации результатов измерений полей сейсмических волн в схемах с различным расположением источника и приемника. Указан класс источников, обеспечивающих идентификацию отражающих и поглощающих характеристик геологической среды по рассеянным и прошедшим волнам, а также определение неизвестного источника. Созданы методы, алгоритмы и программы для определения характеристик среды и параметров источника колебаний, которые использованы при прогнозировании геологических разрезов по данным ВСП.

Автор глубоко признателен профессору А. М. Денисову и заведующему отделом ВСП Центральной геофизической экспедиции Минтопэнерго РФ А. А. Табакову за внимание к работе и обсуждение ее результатов.

Основные публикации по теме диссертации

1. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризующего алгоритма // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273. № 3. С. 585-587.

2. Баев А. В. О решении одной обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризующего алгоритма // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1985. Т. 25. № 1. С. 140-146.

3. Баев А. В. Об одном регуляризующем алгоритме решения обратной задачи для неоднородной струны // Вычисл. матем. и матем. обеспечение ЭВМ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. С. 55-66.

4. Баев А. В., Бушков С. Н. Численное решение обратной задачи для волнового уравнения методом регуляризованного обращения разностной схемы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. № 4. С. 52-54.

5. Баев А. В. Об одном методе решения обратной краевой задачи для волнового уравнения // Методы матем. моделирования, автоматизация наблюдений и их применения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 80-87.

6. Баев А. В. О существовании решения обратной задачи для гиперболической системы уравнений // Применение ЭВМ для решения задач математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. С. 10-17.

7. Баев А. В. Об одной постановке обратной задачи для волнового уравнения и итерационном методе ее решения // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287. № 4. С. 818-821.

8. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения на отрезке методом последовательных приближений // Докл. АН СССР-1986. Т. 287. № 6. С. 1354-1357.

9. Баев А. В., Лавритова Е. В. Об алгоритме регуляризованного обращения разностной схемы для одной обратной гиперболической задачи // Матем. модели и вычисл. методы. М.: Изд-во моек ун-та, 1987. С. 41-45.

10. Баев А. В. Об итерационном методе решения одной обратной задачи для волнового уравнения не отрезке // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1987. Т. 27. № 7. С. 1022-1031.

11. Баев А. В. Об одном методе решения обратной краевой задачи для аолнового уравнения // Условно-корректные задачи матем. физики и анализа. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1988. С. 37-42.

12. Баев А. В. Об одном методе решения обратной задачи рассеяния для волнового уравнения // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 1. С. 25-33.

13. Баев А. В. О решении обратной задачи рассеяния плоской волны на слоисто-неоднородной среде // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. № 2.

328-333.

14. Баев А. В. О решении обратной задачи Лзмба с неизвестным источником // Численные методы решения обратных задач матем. физики. VI.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. С. 5-9.

15. Баев А. В. О решении обратной краевой задачи для волнового уравнения с разрывным коэффициентом // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 11. С. 1619-1633.

16. Баса А. В. Решение обратной динамической задачи сейсмики с неизвестным источником // Актуальные вопросы прикладной матем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С. 5-9.

17. Баев А. В. О решении обратной задачи для волнового уравнения по информации, заданной в точке // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1989. № 4. С. 28-33.

18. Баев А. В., Абатуров М. Ю. Численное решение обратной задачи для волнового уравнения // Методы матем. моделирования и вычисл. диагностики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. С. 6-9.

19. Баев А. В. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача // Матем. заметки. 1990. Т. 47. Вып. 2. С. 149-151.

20. Баев А. В. О решении обратных задач диссипативной теории рассеяния // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. № 5. С. 1103-1104.

21. Баев А. В. Метод решения обратной динамической задачи сейсмики с поглощением // Прямые и обратные задачи матем. физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. С. 26-30.

22. Баев А. В., Табаков А. А. Решение обратных задач сейсмопрофили-рования и мониторинг при бурении скважин // Докл. РАН. 1992. Т. 324. № 1. С. 73-76.

23. Баев А. В, О решении одной обратной задачи просвечивания неоднородных сред // Матем. модели и оптимизация вычисл. алгоритмов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. С. 63-67.

24. Баев А. В., Зотова М. Ю. О единственности решения обратной задачи импульсного электромагнитного зондирования // Матем. модели-рованиеи решение обратных задач матем. физики. М.: Изд. Моск. ун-та, 1994. С. 18-21.

25. Баев А. В., Солтан И.Е. Решение обратной задачи для уравнения колебаний с направленными источниками // Вест. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1996. К® 1. С. 55-61.

26. Баев А. В., Солтан И. Е. (Baev А. V., Saltan I. Е.) Inverse problems for seismic profiling. Inverse and ill-posed problems (IIPP-96). Abstracts. Moscow. 1996. P. 23.

27. Баев A. B. u dp. (Baev A. V. et c.) Recovery of low and high frequencies in VSP records by analytical continuation of spectrum // EAGE, 38-th Conference and Technical Exhibition. Extended Abstracts. Amsterdam. 1996. P. 172.

28. Баев А. В., Солтан И. E. Обратная задача прогнозирования неоднородной среды по данным вертикально-сейсмического профилирования // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 723732.

с /¿Cé Ы

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.946+517.958 550.837

Баев Андрей Владимирович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ СЛОИСТЫХ СРЕДАХ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ....................................................................................4

Глава 1. Решение обратных задач рассеяния волн в неоднородных

средах................................................................... 24

1.1. Постановка обратных задач рассеяния для гиперболической системы уравнений на прямой и полупрямой......................................................24

1.2. Единственность и устойчивость решения обратной задачи рассеяния

на полупрямой..................................................................................35

1.3. Регуляризирующий алгоритм решения обратной задачи рассеяния..........44

1.4. Метод регуляризованного обращения разностной схемы в задаче рассеяния................................................................................................................................53

Глава 2. Обратные задачи рассеяния для волнового уравнения

с неизвестным источником........................................... 73

2.1. Постановка обратной краевой задачи с неизвестным источником

и обратной задачи рассеяния на неоднородном слое..................... 73

2.2. Необходимое и достаточное условие разрешимости обратной краевой задачи на полупрямой................................................... 85

2.3. Необходимое условие разрешимости обратной краевой задачи на отрезке

и метод определения неизвестного источника............................ 93

2.4. Решение обратной задачи рассеяния на неоднородном слое

для неизвестного источника.............................................. 101

2.5. Метод решения обратной задачи рассеяния для неоднородной среды

с поглощением............................................................ 116

Глава 3. Решение обратных задач рассеяния волн в слоистых средах.... 127

3.1. Постановка обратных задач рассеяния для гиперболической системы уравнений с кусочно-непрерывным коэффициентом..................... 127

3.2. Необходимое и достаточное условие разрешимости обратной задачи рассеяния для слоисто-однородной среды................................ 135

3.3. Методы решения обратных задач рассеяния для слоисто-однородной среды..................................................................... 144

3.4. Необходимое и достаточное условие разрешимости обратной задачи рассеяния для слоисто-неоднородной среды............................. 151

3.5. Единственность и метод решения обратной задачи рассеяния в слоистой среде для неизвестного источника....................................... 160

Глава 4. Обратные задачи распространения волн в неоднородных средах

и обратные спектральные задачи.................................... 170

4.1. Обратная задача с неизвестным источником для уравнения колебаний

и метод ее решения....................................................... 170

4.2. Обратная задача Штурма-Лиувилля и задача с неизвестным источником............................................................... 183

4.3. Обратная задача для гиперболической системы, обратная спектральная задача для оператора Дирака и задача с неизвестным источником..... 194

4.4. Обратные задачи просвечивания неоднородных сред.................... 218

Глава 5. Математические модели в методе ВСП (вертикального

сейсмопрофилирования) и прогнозирование геологических разрезов слоисто-неоднородных сред............................... 233

5.1. Постановка задач прогнозирования разреза слоисто-неоднородной

среды по данным ВСП.............................................................233

5.2. Прогнозирование разреза слоистой среды в схемах ВСП с неизвестным источником........................................................................................................243

5.3. Численное прогнозирование разреза слоистой среды выше уровня наблюдений в методе ВСП............................................... 256

5.4. Применение метода регуляризованного обращения разностной схемы в задачах прогнозирования разреза ниже уровня наблюдений

по данным ВСП.......................................................... 276

Литература ....................................................................... 294

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор проблемы

Современное развитие естественных наук неразрывно связано с разработкой и использованием математических моделей, возникающих при изучении процессов распространения возмущений в материальной среде. Как правило, в основе этих моделей лежат уравнения математической физики. В зависимости от того конечна или бесконечна скорость распространения этих возмущений уравнения имеют гиперболический или параболический тип. Когда эти возмущения обладают устойчивой внутренней структурой в пространстве-времени, то говорят о распространении волн. Рассмотрение установившихся режимов колебаний на определенной частоте или на фиксированной пространственной гармонике приводит к уравнениям эллиптического типа. При изучении распространения разрывов или других структурных аномалий, а также различных асимптотик возникают уравнения эйконала, переноса и другие.

Обратные задачи распространения волн состоят в определении материальных параметров среды, а также в восстановлении характеристик источника возмущений по измеренным в некоторых точках волновым полям. В рамках математического моделирования обратные задачи математической физики заключаются в определении коэффициентов дифференциальных уравнений, а также восстановлении дополнительных данных в виде начальных или граничных условий по заданной на известном многообразии информации о решении рассматриваемой задачи.

К настоящему времени исследовано большое число различных постановок обратных задач математической физики, а возникшая при этом теория является сформировавшейся областью математики, в фундамент

- 4 - Typeset by .4j4<S-TeX

которой легли работы А. Н. Тихонова [155,156] и М. М. Лаврентьева [113]. Обратные задачи являются, как правило, некорректно поставленными. Основы общей теории некорректных задач и методов их решения, заложенные трудах А. Н. Тихонова [155,158], М. М. Лаврентьева [113], В. К. Иванова [95], получили дальнейшее развитие в работах Ю. Е. Аниконова, В. Я. Арсенина, А. Б. Бакушинского, М. И. Белише-ва, А. Л. Бухгейма, В. Б. Гласко, А. В. Гончарского, Ф. П. Васильева, В. А. Винокурова, А. М. Денисова, В. И. Дмитриева, Е. В. Захарова,

A. С. Ильинского, С. И. Кабанихина, А. С. Леонова, А. И. Прилепко,

B. Г. Романова, А. Г. Свешникова, В. Н. Страхова, А. В. Тихонравова, А. М. Федотова, А. Г. Яголы и многих других. Развитие теории обратных и некорректно поставленных задач, появление высокопроизводительной вычислительной техники позволили практически решить многие прикладные задачи обработки и интерпретации данных наблюдений, вычислительной диагностики, синтеза сложных систем и ряда других областей.

Отличительная черта обратных задач, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов, состоит в том, что характер дополнительной информации определяется возможностями эксперимента. Другим важным фактором, влияющим на решение обратных задач, является наличие погрешностей экспериментальных данных. При этом принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером эксперимента, и разработка устойчивых методов их решения.

Возникающие в рамках математического моделирования обратные задачи распространения волн ставятся как обратные задачи для уравнений или систем гиперболического типа. Они могут быть [103] условно разделены на три группы: динамические, спектральные и кинематические. В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой времениподобной поверхности. Первые постановки обратных динамических задач были предложены и исследованы М. М. Лаврентьевым

и В. Г. Романовым [118,119], А. С. Благовещенским [51], A.C. Алексеевым [3]. Систематические результаты по теории обратных динамических задач для гиперболических уравнений получены в трудах В. Г. Романова [136-146], а на основе разработанной им методики был исследован широкий круг задач в работах С. П. Белинского [42], С. И. Кабанихи-на [97-103], Т. П. Пухначёвой [135], В. Г. Яхно [171,172] и ряда других авторов.

В настоящее время основными для решения обратных динамических задач считаются методы: операторных уравнений типа Вольтерра, линеаризации, уравнений типа Гельфанда-Левитана-Марченко, вариационный, Ньютона- Канторовича, обращения разностных схем и проекционно-разностный. Подробное описание этих методов содержится в монографии С. И. Кабанихина [103], посвященной разработке и использованию проекционно-разностного метода при решении многомерных обратных задач для уравнений и систем гиперболического типа.

Уравнения типа Вольтерра использовались, начиная с первых работ по теории обратных задач. Наиболее важные результаты в области применения этого метода содержатся в монографиях М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Шишатского [120], В. Г. Романова [139,141,145], А. Л. Бух-гейма [64], С. И. Кабанихина [103]. Основная идея использования уравнений типа Вольтерра состоит в том, что для многих уравнений гиперболического типа удается построить фундаментальное решение, имеющее в силу свойств таких уравнений носитель, сосредоточенный в некотором коноиде. Используя это обстоятельство и дополнительную информацию, можно получить уравнение типа Вольтерра относительно искомых коэффициентов. Проблема устойчивости решения обратной задачи при этом подходе решается в рамках условно-корректной постановки, что приводит к требованию повышенной гладкости исходной информации.

Динамический вариант метода Гельфанда-Левитана предложен и исследован А. С. Благовещенским [55] на базе результатов И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [74] и М. Г. Крейна [109,110] по обратной краевой

задаче для неоднородной струны. Примечательной особенностью подхода А. С. Благовещенского является возможность его использования для исследования и создания методов решения широкого круга обратных задач распространения волн, в том числе задач, решаемых автором диссертации [16-38]. На основе теории граничного управления динамический вариант метода Гельфанда-Левитана обобщен на многомерный случай в работах М. И. Белишева [44-48].

Метод обращения разностной схемы основан на разностной постановке соответствующей задачи для гиперболического уравнения и допускает два варианта своего толкования. Первый связан с постановкой дискретной задачи, порождаемой законами сохранения, из которых, в свою очередь, вытекают сами гиперболические уравнения. Это направление исследований возникло как естественное использование сред с кусочно-постоянными коэффициентами [105]. В такой трактовке дискретные обратные задачи исследованы в работах В. Баранова и Г. Кюнет-ца [41], а впоследствии А. Л. Бухгеймом [65]. Другой подход к обращению разностных схем как методу решения обратных коэффициентных задач для гиперболических уравнений указан А. С. Алексеевым [3], а для задач другого типа — Л. Л. Чудовым [169,170]. В дальнейшем различные аспекты реализации этой идеи были рассмотрены в работах О. Ф. Анто-ненко [8], Н. М. Бородаевой [61], А. С. Алексеева и В. И. Добринского [4], В. И. Добринского [93], С. И. Кабанихина [97], Б. С. Парийского [134], Э. В. Никольского [132,133], Фам Лой Ву [167] и других авторов. К общему недостатку этого подхода следует отнести требование высокой гладкости исходных данных для обоснования сходимости разностного решения к решению обратной дифференциальной задачи.

Обратные спектральные задачи возникают из динамических при рассмотрении установившихся режимов колебаний. Дополнительной информацией в таких задачах являются спектральные данные: собственные значения, нормировочные числа, функция или фаза рассеяния, возможны и другие формы их задания. Восстанавливаемый при этом коэффициент уравнения допускает интерпретацию в рамках обратной задачи

квантовой теории рассеяния (обычно им оказывается потенциал рассеяния). В работах В. А. Амбарцумяна [7], Ю. М. Березанского [49,50], Г. Борга [173], И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [74], Б. М. Левитана и И.С. Саргсяна [109,110], В. А. Марченко [128], М. Г. Крейна [109,110],

A. Н. Тихонова [156,157], Л. Д. Фаддеева [168], Г. Хохштадта [175,176] и многих других авторов исследован широкий класс обратных спектральных задач, для которых получены теоремы существования, единственности и полноты.

К спектральным постановкам обратных задач приводит использование интегральных преобразований для уравнений математической физики. Один из первых результатов по единственности решения обратных спектральных задач получен в работах А. Н. Тихонова об определении электропроводности среды по импедансу электромагнитного поля на дневной поверхности [156,157,160]. Эти исследования явились основой метода магнито-теллурического зондирования, развитого в работах

B. И. Дмитриева [89], В. Б. Гласко, Н. И. Кулик и А. Н. Тихонова [80], И. С. Барашкова [90] и других авторов. Обратные спектральные задачи, возникающие при распространении волн в слоистых упругих средах, исследованы в работах В. Б. Гласко [77,78], а электромагнитных волн в слоистых средах совместно с Ю. И. Худаком [81].

Особое место среди обратных динамических задач занимают одномерные, т. е. такие, в которых параметры среды зависят от одной переменной. Широкое использование одномерных моделей объясняется тем, что во многих случаях при решении реальных обратных задач наблюдаемые волновые поля допускают адекватную интерпретацию в рамках одномерной модели. Усложнение модели, в частности, увеличение ее размерности, приводит к сильной неустойчивости на практике равносильной неединственности решения. Весьма эффективным подходом к решению обратных задач является исследование сложных многомерных моделей путем их разделения на локально одномерные. Эти причины во многом объясняют широкое распространение одномерных моделей в геофизике,

где большинство методов разведки являются локально одномерными, но в целом позволяют восстановить сложные геологические структуры. Наконец, использование многомерных моделей нередко приводит к существенному, а в ряде случаев, неприемлемому увеличению затрат ресурсов ЭВМ при решении обратных динамических задач. Однако, использование одномерных моделей имеет принципиальные ограничения.

Одномерные обратные динамические задачи исследовались широким кругом авторов [3-6,8,11-38,41,42,48,52-55,76,93,99-102,117,135-146,171]. Наряду с теоремами единственности и оценками условной устойчивости решения обратных задач в этих работах предложены алгоритмы численного решения, рассмотрены некоторые вопросы практического применения этих алгоритмов. Основным методом исследования являлось сведение обратных задач к системам операторных уравнений Вольтерра II рода с последующим применением принципа сжатых отображений для доказательства локальной корректности обратных задач. На этом пути, используя лемму Гронуолла, удается получить оценку устойчивости «в целом» и, как следствие этих оценок, теоремы единственности «в целом». Общая методология и конкретные примеры содержатся в монографиях В. Г. Романова [139,141,145].

Среди обратных задач распространения волн важное место занимают задачи синтеза, или автоматизированного проектирования сложных систем. В них требуется найти параметры системы, обычно описываемой уравнениями в частных производных, обладающей заданными выходными характеристиками. Отличительной чертой задач синтеза является требование физической реализуемости полученных решений. Основа теории задач синтеза заложена в работах А. Н. Тихонова, В. И. Дмитриева [162], Е. В. Захарова, А. С. Ильинского, А. Г. Свешникова [91,92], А. В. Тихонравова [163-165], А. В. Гончарского [85]. Несмотря на то, что по своей постановке обратные задачи и задачи синтеза существенно отличаются, методы их исследования зачастую оказываются близкими. При

решении проблемы синтеза оптических покрытий в статьях [163-165] была сформулирована и исследована задача определения слоистой структуры с заданными спектральными характеристиками как рассеянного, так и проходящего поля. В настоящей работе обратная задача распространения сейсмических волн приводит к более общим постановкам обратных спектральных задач, связанным с рассмотрением несамосопряженных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

2. Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации определяется тем, что практика научных исследований требует развития новых перспективных направлений в изучении и использовании процессов распространения волн в неоднородных слоистых средах, расширения круга исследуемых математических моделей, разработки устойчивых математических методов решения встающих при этом обратных задач на основе применения вычислительной техники. В диссертации рассматриваются одномерные обратные задачи, возникающие в рамках математического моделировани