автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оптимизационные методы в задачах идентификации

Введение

Глава 1. Единственность стационарной точки в одномерной обратной задаче для волнового уравнения в пространстве двух измерений

1. Введение. Постановка задачи.

2. Решение прямой задачи.

3. Интегральное представление градиента целевой функции.

Глава 2. Численные алгоритмы определения электромагнитного источника в магнитоэнцефалографии

1. Определение электромагнитных источников в простейшей модели мозга. Основные понятия.

2. Формула градиента целевого функционала (1.5).

3. О единственности определения источника

4. Численный алгоритм минимизации функционала (1.5).

5. Формула градиента целевого функционала (1.8).

6. Численный алгоритм минимизации функционала (1.8).

7. Результаты экспериментов.

Развитию теории обратных задач придается огромное значение благодаря огромному количеству приложений в геологоразведке, медицине, инженерном деле, механике, физике и многих других областях. Интерес к обратным задачам в медицине и технике обусловлен прежде всего возможностью использования неразрушительных методов исследования: просвечивания рентгеновскими лучами, электромагнитными и звуковыми волнами и, наконец, измерения естественных параметров объекта на его внешней границе. В частности известно о существовании установок, которые позволяют локализовать центры нервной активности в мозге на основании измерения электромагнитного поля на поверхности головы. В медицине широко используется томографическая диагностика организма. Все это можно привести в качестве примера приложений обратных задач.

Изложению теории обратных задач, а также различных методов их > решения посвящено большое колиство статей и монографий [1, 3, 9, 15, 18, 19-23, 29-31, 48-53, 60-63]. Использвание методов оптимизации, исследованных в работах А.Н. Тихонова [60-63], А.С. Алексеева [1], Г.И. Марчука [40], В.Г. Романова [52], С.И. Кабанихина [23, 69], представляет один из эффективнейших инструментов решения обратных задач.

В первой главе диссертационной работы рассматривается оптимизационный подход для решения обратной задачи определения одномерного коэффициента в двумерном волновом уравнении. Метод построения решения задачи Коши для гиперболичекого уравнения при помощи последовательных приближений изложен в работах [35, 48]. Локальная корректность обратной задачи для гиперболического уравнения исследована в работе [20]. Вторая глава посвящена изучению обратной задачи определения источника эллиптического уравнения, возникающая в магнито-энцефалографии. Вопросы теории обратных задач для эллиптических уравнений подробно изучены в [68]. Теория оптимального управления в приложении к эллиптическим обратным задачам подробно изложена в [70].

Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967, С.9-84.

2. Алексеев A.C., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1975. Вып.б. 4.2. С. 7-53.

3. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 118с.

4. Белишев М. И., Благовещенский А. С. Прямой метод решения неста-цонарной обратной задачи для многомерного волнового уравнения. // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Красноярск: ВЦ СО АН СССР. 1988. С.43-48.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова Думка, 1965.

6. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы математической физики. Труды ЛГУ, 1966. Вып. 1. С. 68-81.

7. Благовещенский А. С., Кабанихин С. И. Об обратной задаче теории распространения волн в полубесконечном нерегулярном волноводе: Препринт №224. Новосибирск, 1980. 14с.

8. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568с.

9. Бухгейм A.JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 207с.

10. Бухгейм A. JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1983.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 518с.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400с.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

14. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320с.

15. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР, сер. матем., 1951, №15, С.309-360.

16. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971, 416с.

17. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400с.

18. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206с.

19. Кабанихин С. И. Об одной постановке двумерной обратной задачи для уравнения колебаний // Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1976. С.64-73.

20. Кабанихин С. И. Приближенный метод решения обратной задачи для уравнения акустики // Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач / АН СССР. Сиб. Отделение. ВЦ. Новосибирск, 1981. С. 55-62

21. Кабанихин С. И. Регуляризация многомерных обратных задач на основе проекционного метода // Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск: НГУ,1983. С.101-104.

22. Кабанихин С. И. О разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1984. Т.227. №4. С.788-791.

23. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. Отделение, 1988. 166с.

24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука.1984. 750с.

25. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1969. 455с.

26. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // Докл. АН СССР. 1951г. Т.76. M. С.21-24.

27. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830с.

28. Лаврентьев M. М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1981. 74с.

29. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. 88с.

30. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. 71с.

31. Лаврентьев M. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. Т. 171. т. С.1279-1281.

32. Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288с.

33. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407с.

34. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения. М.: Наука, 1964.

35. Левитан Б. М. Об ассимптотическом поведении спектральной функции и разложении по собственным функциям уравненияАи + А — g(xi, Х2, хз)и = 0. Труды московского математического общества, 1995, Т.4. С.237-290.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587с.

37. Лионе Ж-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 368с.

38. Лионе Ж.-Л., Латтес Р. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. 252с.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложение. М.: Мир., 1971. 371с.

40. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1973. 352с.

41. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1983. 200с.

42. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Иностр. лит., 1957.

43. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

44. Никольский Э.В. Электродинамика и распространиние радиоволн. М.: Наука. 1978. 544с.

45. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 232с.

46. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 272с.

47. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1971. 288с.

48. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. 164с.

49. Романов В. Г. Обратные задачи распространения сейсмических и электромагнитных волн // Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО РАН СССР, 1982. С. 111-118.

50. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264с.

51. Романов В. Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных задач для уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.25. №2. С.275-284.

52. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991. 304с.

53. Романов В. Г., Кабанихин С. И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. Новосибрск: ВЦ СО АН СССР, 1984. 201с.

54. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 552с.

55. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592с.

56. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244с.

57. Слободецкий Jl. H. Обобщенные постранства Соболева и их приложения в краевых задачах для уравнений в частных производных. // Ученые записки. Т. 197. JL: Изд-во ЛГПИ, 1958, С. 54-112.

58. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 251с.

59. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. 156с.

60. Тихонов А. Н. О становлении электрического тока в однородном проводящем пространстве // Изв. АН СССР. Сер. географ, и гео-физ. 1946. Т.10. №3. С.213-231.

61. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки // Докл. АН СССР. 1949. Т.69. №6. С.797-800.

62. Тихонов А. Н. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // Журнал, вычисл. математики и мат. физики. 1965. Т.5. №3. С.545-548.

63. Тихонов А. Н., Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Математические модели в электромагнитных методах геофизики и их численный анализ // Проблемы вычислительной математики. М.: Изд-во МГУ. 1980. С.40-81.

64. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука. 1976.

65. Не. S. and Kabanikhin S. I. An optimization approach to a three-dimensional acoustic inverse problem in the time domain // Journal of Math. Physics. (1995) 36, No. 8, 4028-4044.

66. He S. and Romanov V. G. Identification of dipole sources in a bounded domain for Maxwell's equations. // Wave Motion (1998) 28, 25-40.

67. Isakov V. P. Inverse Source Problem. / AMS, Rhode Island, 1990.

68. Kabanikhin S.I. Numerical analysis of inverse problem. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, (1995) 3, No. 4, 278-304.

69. Lions J.-L. Controle Optimal de Systèmes Gouvernés par des Équations aux Dérivées Partielles. Dunod Gauthier — Villars, Paris, 1968.