автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитические критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка

На правах рукописи

ПОЗДЯЕВ ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ

0030540 Гб"

АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

05.13 01 — Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 2007

Работа выполнена в Арзамасском политехническом институте (филиале) Нижегородского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пакшин Павел Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баландин Дмитрий Владимирович; доктор технических наук, профессор Крылов Владимир Владимирович.

Ведущая организация:

Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

Защита диссертации состоится «22.» МА-руд^ 2007 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: 603600, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус . аудитория 12&2

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Нижегородского государственного технического университета.

Автореферат разослан « & » ¿рворсЦ-Л 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук, доцент

А. П. Иванов

Общая характеристика работы

Объект исследования — линейные матричные неравенства.

Предмет исследования — разрешимость систем линейных матричных неравенств различного рода

Актуальность темы. Системы линейных матричных неравенств являются одной из базовых форм представления различных задач современной теории управления Для их численного решения созданы эффективные программные средства, входящие в состав сред MATLAB, SCILAB и др. В то же время для исследователя часто бывает невозможно ограничиться только численными результатами, которые предоставляет данное программное обеспечение Ввиду этого особую ценность имеют результаты, посвященные установлению разрешимости систем линейных матричных неравенств с помощью аналитических методов.

Имеющиеся в данной области результаты крайне малочисленны по причине высокой сложности проблемы и к тому же применимы к ограниченному классу систем Первые критерии были получены В А. Каменецким и Е. С. Пятницким. Дальнейшие исследования связаны с такими именами, как Т. Ooba и Y. Funahashi (достаточные условия разрешимости), R. N. Shorten, К. S. Narendra, О Mason и др (необходимые и достаточные условия разрешимости систем линейных матричных неравенств для динамических систем второго порядка простейшего вида)

Несмотря на уделяемое проблеме разрешимости систем линейных матричных неравенств внимание, количество вопросов в этой области по-прежнему намного превышает число ответов. Более того, формулировки теорем именно в терминах разрешимости систем линейных матричных неравенств носят в работах указанных авторов вторичный характер, главную же роль играют непосредственно исходные задачи теории управления, такие как, например, устойчивость систем с переключениями.

В связи с этим является актуальным исследование систем линейных матричных неравенств с позиций их разрешимости, что позволит сформировать общий подход к решению подобных задач, и последующий анализ конкретных задач теории управления с помощью найденного подхода.

Цель работы заключается в расширении области применимости аналитических методов в задачах о разрешимости систем линейных матричных неравенств.

Задача исследования заключается в разработке критериев разрешимости систем линейных матричных неравенств (ЛМН) второго порядка следующих видов-

• системы ЛМН, сводимые к системам двух или трех скалярных неравенств второго порядка;

• системы ЛМН, возникающие в задаче о существовании общей функции Ляпунова произвольного количества стохастических систем второго порядка с непрерывным или дискретным временем,

• системы ЛМН, возникающие в задаче об одновременной стабилизации двух детерминированных систем второго порядка с непрерывным временем.

Методы исследования, применяемые в работе, относятся к теории дифференциальных уравнений, теории матриц, математической теории управления, теории устойчивости и алгебраической геометрии.

Научная новизна.

1. Разработан подход к установлению разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, заключающийся в сведении исходной системы к эквивалентной системе скалярных неравенств второго порядка и последующем ее анализе с применением принципа двойственности

2. Разработаны критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, сводимых к системам двух или трех скалярных неравенств второго порядка.

3. Разработаны критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задаче о существовании общей функции Ляпунова произвольного количества стохастических систем второго порядка с непрерывным или дискретным временем.

4. Разработаны критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задаче об одновременной стабилизации двух детерминированных систем второго порядка с непрерывным временем.

Рекомендации по использованию результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться как в сочетании с численными методами решения систем линейных матричных неравенств (например, при анализе трудных задач, находящихся на границе области разрешимости), так и для решения задач, сама постановка которых включает в себя нечисловые элементы (см. пример в кратком содержании главы 3). Кроме того, представленный в данной работе подход и полученные результаты открывают перспективы решения различных открытых проблем теории управления, таких как задача об аналитических условиях наличия общей функции Ляпунова у множества линейных динамических систем или их одновременной стабилизируемости.

Достоверность и обоснованность положений диссертационной работы подтверждается строгим математическим выводом полученных формул и уравнений и доказательством утверждений.

Личным вкладом соискателя в диссертации и совместных публикациях является формирование общего подхода к решению рассматриваемых задач, формулирование и доказательство теоретических результатов, разработка программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные результаты. Научному руководителю, д.ф.-м.н., проф. П. В. Пакшину, принадлежат постановки задач и общая схема исследования.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научной секции 10-й Международной студенческой олимпиады по автоматическому управлению (Балтийской олимпиады) ВОАС 2004 (Санкт-Петербург, 2004); Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-

2004)» (Нижний Новгород, 2004); VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004); Международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, 2004,

2005); IV Международной молодежной научно-технической конференции

«Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2005); 10-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2005); VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2005); V Юбилейной Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2006); 11-й Международной конференции «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, Украина, 2006), Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2006)» (Нижний Новгород, 2006); IX Международном семинаре им. Е.С.Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2006); 12-й Международной конференции IEEE «Методы и модели в автоматике и робототехнике» MMAR 2006 (Миендзиздрое, Польша, 2006).

Доклад па конференции ВОАС 2004 был удостоен диплома второй степени. Доклад на конференции MMAR 2006 был удостоен первой премии по результатам конкурса работ молодых ученых.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 4 статьи, из них 2 в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 51 наименование. Работа изложена на 100 страницах, содержит 11 иллюстраций.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального Агентства по образованию (грант А04-2.8-947) и РФФИ (гранты №05-01-00132, №06-01-10808).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы и сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе приведен краткий обзор становления теории линейных матричных неравенств и примеры задач теории управления, приводящие к системам линейных матричных неравенств рассматриваемого в работе вида.

Во второй главе представлен подход к установлению разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, заключающийся в сведении исходной системы к эквивалентной системе скалярных неравенств второго порядка и последующем ее анализе с применением принципа двойственности. Сформулированы критерии разрешимости систем, состоящих из двух или трех скалярных неравенств второго порядка. Приведены примеры применения данных критериев

Рассмотрим систему из т однородных линейных матричных неравенств, имеющих п скалярных неизвестных

где А, — вещественные симметричные матрицы 2x2 Требуется определить (необходимые и достаточные) условия, при которых данная система неравенств разрешима.

Система (1) эквивалентна некоторой системе скалярных неравенств второго и первого порядков. В рамках задачи о разрешимости мы можем упростить структуру последней, сведя ее к системе скалярных неравенств лишь второго порядка В общем случае количество таких неравенств равно 2т — 1, однако для конкретных проблем оно может быть меньше. В частности, для установления существования общей квадратичной функции Ляпунова у произвольного количества стохастических систем второго порядка достаточно уметь определять существование решения системы не более чем трех скалярных неравенств второй степени определенного вида.

В соответствии с вышеизложенным, рассмотрим задачу о разрешимости относительно х € К" следующей системы неравенств:

где М, — вещественные симметричные матрицы п х п. Данную систему можно записать иначе-

Н(х,М) = хТМх > 0, МеМ,

где Н{х,М) — полиномиальная функция двух переменных, из которых первая играет в нашей задаче роль неизвестной, а вторая — роль параметра,

п

(1)

хтМ1х >0, г = 1,..., пг,

(2)

М — конус ненулевых линейных комбинаций матриц М, с неотрицательными коэффициентами. Применим к новой системе принцип двойственности, гласящий, что при решении задачи, связанной с семейством неравенств относительно х, параметризованном величиной у, может оказаться полезным рассмотрение двойственного семейства неравенств, отличающегося от исходного тем, что в нем х играет роль параметра, г у — неизвестного. В данном конкретном случае для получения двойственной системы мы меняем местами роли х и М, переходя таким образом от рассмотрения пространства неизвестных к пространству неравенств (параметризованных матрицами М) Такая смена точки зрения имеет определенное сходство с построением двойственного конуса в теории выпуклых множеств, однако здесь есть и существенные отличия, связанные с разной природой величин х и М и несимметричностью Н(х,М) относительно этих переменных. Эти особенности делают анализ двойственной системы весьма нетривиальным. Тем не менее, мы можем сделать одно принципиальное наблюдение, на котором построены результаты данной диссертационной работы: выводы о разрешимости исходной системы, т. е. о существовании непустого конуса векторов х, удовлетворяющих ей, можно сделать на основе анализа свойств конуса М. Отдельно отметим, что, поскольку формулировки приводимых далее результатов оперируют такими признаками как вырожденность матриц М е М., знаки их собственных значений и т. п., они являются инвариантными по отношению к операции умножения матрицы на положительную скалярную величину. По этой причине мы будем рассматривать не сам конус М., а множество выпуклых линейных комбинаций М,, связанное с М соотношением М = {кМ\к > 0, Ме сопу{М{_____АТШ)}.

В данной главе сформулированы и доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Система из двух неравенств вида

хТМ,х> 0, 1 = 1,2,

имеет решение тогда и только тогда, когда не существует отрицательно полуопределенной выпуклой линейной комбинации матриц М\ и Мъ

Рассмотрим теперь систему трех скалярных неравенств. Пусть Ai], Mo, М3 дополнительно удовлетворяют следующим условиям.

• полином р(с) = det где с е К3, не равен тождественно О,

• если р{с) — 0 и Vp(c) = 0, то гессиан П(р) имеет в с одно отрицательное и одно положительное собственное значение,

• любые два неравенства вида хтМ,х > 0, i = 1,2,3, имеют общее решение

Первые два условия позволяют не перегружать формулировки и доказательства рассмотрением вырожденных частных случаев; третье условие представляет собой тривиальное необходимое условие разрешимости системы.

Пусть С = {с | с € Ж3, ]C?=i с' — 1> с< ^ 0} — треугольник коэффициентов выпуклых линейных комбинаций матриц Mt, a M (с) = с е С, — сами эти линейные комбинации. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны

• система (2) имеет решение для m = 3 и заданных M,;

• не существует односвязной области в С, граница V которой удовлетворяла бы следующим условиям.

- для каждой точки с € V: detAi(c) = 0;

- в сколь угодно малой окрестности каждой точки с G V найдется точка вне области, для которой матрица М(с) невырождена и имеет одно полоокительное собственное значение.

В третьей главе представлены критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задачах о существовании общей квадратичной функции Ляпунова произвольного количества систем второго порядка различного вида (детерминированных или стохастических, непрерывных или дискретных). Приведены примеры применения данных критериев, а также программы на языке MATLAB, реализующие соответствующие проверки для двух или трех детерминированных систем с непрерывным временем.

Рассмотрим множество линейных систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями Ито

dx = А,х dt + Ctx dw, i = 1,..., m,

где = w(t) — стандартный винеровский процесс с приращениями, не зависящими от начального состояния системы. Достаточным условием устойчивости в среднеквадратическом каждой из систем является существование таких симметричных положительно определенных матриц Р„ чтобы выполнялись условия

А[Р, + Р,А, + CjPtCt <0, г = 1,..., т,

при этом квадратичные формы хТР,х играют роль стохастических функций Ляпунова. Поставим вопрос о существовании общей квадратичной стохастической функции Ляпунова, т.е. о разрешимости следующей системы линейных матричных неравенств относительно матрицы Р = Рт > 0:

А[Р + РА, + CjPCt < 0, г = 1,. . ,пг. (3)

Приведенные далее результаты относятся также и к задаче о существовании общей стохастической функции Ляпунова в виде квадратичной формы для множества дискретных систем

xk+l = А,хк + C,xkvk, t = l, ,,m, k = 0,1.....

где Vk — стандартный дискретный гауссовский белый шум, не зависящий от начального состояния системы. Соответствующие линейные матричные неравенства имеют вид

AjPA, - Р + CjPC, <0, i = 1_____m (4)

Пусть Lt(P) < 0, i = 1, ,m — линейные матричные неравенства вида (3) или (4). Необходимым условием существования у них общего решения Р = Рт > 0 является разрешимость каждого неравенства по отдельности Далее, если не оговорено обратное, мы будем предполагать, что это условие выполняется.

Пусть М, — матрицы 3 х 3 из соотношения pTMtp = detLt{P), где

1 т

Р =

Ри Р\2 Р'22 ■ Имеют место следующие теоремы.

Теорема 3. Система двух или трех матричных неравенств

ЬХР)<Ъ, < = 1,...,т,

т 6 {2,3}, имеет решение Р = РТ > О тогда и только тогда, когда не существует вырожденной выпуклой линейной комбинации матриц Ми г = 1,... ,т.

Теорема 4. Система из более чем трех матричных неравенств ¿,(Я) < 0, г = 1,. ,т, т > 3, имеет решение Р = РТ > 0 тогда и только тогда, когда имеет общее решение каждая тройка этих неравенств.

В дополнение к формулировкам и доказательствам данных теорем в третьей главе также представлены вспомогательные теоремы, служащие для установления наличия вырожденных выпуклых линейных комбинаций матриц М,.

Далее приведен пример задачи, постановка которой включает в себя нечисловой элемент, вследствие чего решение ее исключительно численными методами было бы затруднительным. В то же время аналитические критерии позволяют без труда дать точный ответ на поставленный вопрос.

Задача заключается в следующем, найти диапазон значений при которых системы х = А\х и х = Лох, где

Л\ =

-1 О

Л2 =

-2 О £ -1

имеют общую квадратичную функцию Ляпунова

Соответствующие квадратичные формы описываются следующими матрицами:

-4 0 2 0 0 4

М1 = 0 -4 0 , м2 = 0 -9 *

2 0 0 4 £ -ч2

Полином с1еКМ1 + хМ2) = 4(2* + 1)(18х2 - 4£?х + \7х + 4) имеет корни

1

Х1 = "2'Х2= 9

17 \71644 - 136^2 + 1 17 УЩ4 - 136£2Т1

36

+

36

хз =

9 36

36

Согласно вышеприведенным результатам, для наличия общей квадратичной функции Ляпунова исходных систем необходимо и достаточно, чтобы среди этих корней не было положительных. Первый корень является отрицательным и нас не интересует. Для анализа последних двух критичен знак подкоренного выражения 16£4— 136£2 + 1; его нули — ±ij±V2. Траектории (действительных) корней полинома показаны на рис. 1а. Видно, что положительные корни отсутствуют (так что существует общая квадратичная функция Ляпунова) только для £ б (—3/2 — \/2,3/2 + у/2).

На рис. 16 показаны сечения множеств решений неравенств Ляпунова плоскостью UP = 1 для критического значения £ = 3/2 + \[2. Жирной линией здесь показана граница множества положительно определенных Р, тонкой линией — граница множества матриц Р для первой системы, пунктиром — для второй. Видно, что в данном пограничном случае множества матриц Р касаются.

В четвертой главе представлен критерий разрешимости систем линейных матричных неравенств, встречающихся в задаче об одновременной стабилизации двух систем второго порядка. Приведены примеры анализа таких систем линейных матричных неравенств в среде Maple.

Рассмотрим динамические системы второго порядка

х = А,х + Btu, ¿=1,2,

и- ^

и — Кх,

где Д — матрицы 2x2, Б, — матрицы 2x1, К — неизвестная матрица I х 2 Предположим, что выполняются следующие условия:

• матрицы Д являются гурвицевыми;

• при отсутствии управления данные системы не имеют общей квадратичной функции Ляпунова.

Задача о существовании закона управления, обеспечивающего наличие общей квадратичной функции Ляпунова у замкнутых систем, может быть сведена к следующей системе матричных неравенств:

А^Х+ХА]' + В]У + УТВ{ < О,

А2Х + ХАт2 + В2У + УТВ\ < 0, (6)

-Х<0.

Воспользовавшись общим подходом (глава 2), мы можем свести данную систему к системе пяти скалярных неравенств вида хтМ1х > О, I = 1,2.....5,

после чего анализировать поведение функции сЫМ(с) на множестве линейных комбинаций матриц М,. Однако, проводить анализ такого рода было бы затруднительно. В главе показано, что выводы о разрешимости (6) можно делать на основе рассмотрения системы, состоящей лишь из трех скалярных неравенств.

Рассмотрим модифицированную систему матричных неравенств

^(Х, У) = (Л[ - И)Х + Х(А1 - И)т + В\У + УТВ{ < О, Ь2(Х, У) = А2Х + ХАТ, + В2У + УТВТ2 < 0, (7)

Ш, У) = -X < о,

где ^ € К, ^ ^ 0. Можно видеть, что существует такое пограничное значение ¿о, что данная система неразрешима при ? ^ ¿о и разрешима при £ > ¿о-Отсюда имеем следующий результат

Теорема 5. Система (6), она же система (7) при £ = О, разрешима тогда и только тогда, когда /о < 0.

Таким образом, исходная задача сводится к определению знака ¿о- В главе рассматриваются варианты взаимного расположения конусов решений отдельных неравенств при 1 = 1о, а также приводятся алгебраические соотношения, позволяющие в каждом конкретном случае установить, какая именно из конфигураций имеет место, и найти ¿о.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований и приведены возможные направления дальнейшей работы.

На защиту выносятся

1. Подход к установлению разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, заключающийся в сведении исходной системы к эквивалентной системе скалярных неравенств второго порядка и последующем ее анализе с применением принципа двойственности

2. Критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств второго порядка, сводимых в рамках разработанного подхода к системам двух или трех скалярных неравенств второго порядка.

3 Критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задаче о существовании общей функции Ляпунова произвольного количества стохастических систем второго порядка с непрерывным или дискретным временем.

4. Критерии разрешимости систем линейных матричных неравенств, возникающих в задаче об одновременной стабилизации двух детерминированных систем второго порядка с непрерывным временем

Список публикаций по теме диссертации

[1] Поздяев, В. В. Аналитический критерий существования общего решения системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / В В Поздяев // Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара — Самара, 2005. — С. 31-32

[2] Поздяев, В. В. Критерий разрешимости задачи одновременной стабилизации множества линейных систем второго порядка [Текст] / П.В.Пакшин, В. В Поздяев // Тезисы докладов Ю-й международной конференции «Системный анализ, управление и навигация». — М.: Изд-во МАИ, 2005. - С 157

[3] Поздяев, В. В. Критерий существования общего решения множества линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / В. В. Поздяев // Будущее технической науки. Тезисы докладов IV Международной молодежной научно-технической конференции. — Н Новгород, 2005. - С. 52.

[4] Поздяев, В В Критерий существования общей квадратичной функции Ляпунова множества линейных систем второго порядка [Текст] / П.В.Пакшин, В. В. Поздяев // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. - № 4. - С. 22-27.

[5] Поздяев, В В Критерий существования общей квадратичной функции Ляпунова множества линейных систем второго порядка [Текст] / П. В Пакшин, В. В. Поздяев // Успехи современного естествознания. — М.: Изд-по «Академия Естествознания», 2005 — № 2 — С. 23-24.

[6] Поздяев, В. В. О совместной устойчивости двух стохастических систем второго порядка [Текст] / В. В. Поздяев // Информационные системы и технологии ИСТ-2004. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. — Н Новгород, 2004 — С 101 — 102.

[7] Поздяев, В. В. Общая функция Ляпунова стохастических систем второго порядка [Текст] / В. В. Поздяев // Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара — Самара, 2004. - С. 40-42.

[8] Поздяев, В. В Разрешимость системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / П. В Пакшин, В. В. Поздяев // Будущее технической науки. Тезисы докладов V Юбилейной Международной молодежной научно-технической конференции. — Н. Новгород, 2006. - С. 47-48.

[9] Поздяев, В. В. Разрешимость системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / В. В. Поздяев // Информационные системы и технологии ИСТ-2006. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. — Н. Новгород, 2006. — С. 154— 155.

[10] Поздяев, В. В. Условия разрешимости системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / П. В. Пакшин, В. В. Поздяев // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. — № 5. — С. 5-14.

[11] Поздяев, В. В. Условия разрешимости системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / П.В.Пакшин, В. В.Поздяев // Тезисы докладов 11-й международной конференции «Системный ана-

лиз, управление и навигация» — М.: Изд-во МАИ, 2006. — С. 183— 184

[12] Поздяев, В. В Условия разрешимости системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / В. В Поздяев // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления- Тезисы докладов IX Международного семинара им. Е С. Пятницкого. — М.: Изд-во ИПУ РАН - С 211-212

[13] Поздяев, В. В Условия существования общего решения системы линейных матричных неравенств второго порядка [Текст] / В. В. Поздяев // Нелинейные колебания механических систем: VII Всероссийская научная конференция / Труды. — Н Новгород, 2005. - С 358

[14] Pozdyayev, V. V. Feasibility criteria for a system of second-order linear matrix inequalities [Электронный ресурс] / V. V. Pozdyayev // Proc. 12th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR 2006). CD-ROM. - Mi^dzyzdroje, Poland, 2006. - P. 225-229

[15] Pozdyayev, V V The Common Lyapunov Function of Stochastic Second Order Systems [Текст] / .V. V. Pozdyayev // VI International Congress on Mathematical Modeling Book of abstracts — Nizhny Novgorod, 2004. - P. 113

[16] Pozdyayev, V V The Common Quadratic Lyapunov Function of Two Second-Order Stochastic Linear Systems [Текст] / V V Pozdyayev // 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad) Prepiints - Saint-Petersburg, 2004. - P. 189-193.

Подписано в печать 01 02.2007 г Формат 60x84/16 Усл. печ листов 1 Бумага офсетная Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman Заказ № 709 Тираж 100 экз.

Отпечатано в ОАО «Арзамасская типография» 607220 г Арзамас Нижегородской области, ул Пландина, 8