автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Определение, вычисление и применение нулей многомерной системы

РГ6 од

. а ^ да

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 62.50

СМЛГИНА Елена Михайловна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ НУЛЕЙ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

Специальность 05.13,16 -'Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск - 1994

Работа выполнена в Сибирском физико-техническом институте им. В.Д.Кузнецова при Томском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Дёмин Н.С.,

доктор физико-математических наук, профессор Колмановский В.Б.,

доктор технических наук, профессор Тарасенко В.П.

Ведущее предприятие: Институт проблем управления (г. Москва).

Защита состоится п^& " 'Л 1934 года в_

оасоз на заседании Специализированного Совета Д.063.53.03 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина,36.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского госуниверситета.

Автореферат разослан г ^ " _ 1994 года.

Усзнкй секретарь Специализированного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент л

Б.Е.Тривоженко

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность проблемы. До конца 50-х годов при исследовании различных объектов в основном использовались частотные методы, оперирующие с моделями, описанными посредством передаточных функций. Эти методы были хорошо применимы для динамических систем с одним входом и выходом и легко реализовывались на существующем тогда оборудовании. Но частотные методы оказались неудовлетворительными при исследовании многопараметрических многозеяэных объ- , ектов, имеющих несколько входов и выходов. Поэтому с 60-х годов для описания и исследования слошых объектов, в частности аэрокосмических, получил развитие так называемый метод пространства состояний, хогда модель поведения объекта представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка. Метод пространства состояний, использующий современные математические методы обработки информации, хорошо приспособленные к последующей реализации на ЭВМ, дал превосходные результаты при решении многих задач теории динамических систем. В частности, более глубоко была проанализировала проблема избыточности а.якстеме, связанная с понятиями неуправляемости и ненаблюдаемости, ввелись понятия стабилизируемое™ и детектируемости и так далее.

Однако, быстрое развитие методов пространства состояния обнаружило и ряд присущих им недостатков, которые отсутствуют в частотных методах. В частности, наблюдались трудности при анализе качества и предсказании динамического поведения системы, выя- ! вились трудности с обеспечением робастности и т.д. С другой стороны эти проблемы успешно решались в рамках классической теории, базирующейся на таких понятиях как полиса, нули, корневой годограф и т.д.

Поэтому с коьца 60-х годов наблюдается рост интереса к классическим методам с точки зрения их обобщения на многосвязные ди-иашмзскио системы, описанные в пространство состояний. Многими исследователями обобщаются такие понятия как передаточная функция, числитель передаточной функции, полюса*и т.д. Основные трудности возникли при обобщении понятия нуля передаточной функции (Па), Это связано с тем, ото в классическом случае 1М представляет собой скалярную дробно-рациональную функцию комплексного переменного с взаимно простыми полиномами в числителе и зна/лена-

геле. Классические нули совпадают с корнями полинома числителя Да?. Передаточная функций шогомернсго объекта с несколькими входами и выходами является матрицей, элементы которой дробно-рациональные функции. Поэтому введение в многомерном случае понятия нуля, которое было бы адекватно классическому, оказалось весьма затруднительной проблемой. Только в 1970 г. проф. Розенброкоы были определены нули линейной многомерной системы, описанной в пространстве состояний, качественно эквивалентные классическим нулям. Розенброковские нули, определяемые как конечные спектральные характеристики (конечные собственные значения) специально сформированного линейного пучка матриц, отличаются от нулей числителей дробно-рациональных элементов матричной передаточной функции ' (МШ>) линейной многомерной системы. И только для управляемой и наблюдаемой системы в канонической диагональной форма (форме Сыита-л&кшСялана) ■ эти нуля совпадают. .

С 1970 г. начинаются интенсивные исследования, уточнения и корректировка понятия многомерного нуля как самим Розенброком, так и другими авторами. Также разрабатывается различные методы вычисления нулей, изучаются их свойства п влияние на динамическое поведение системы.

Исследования, связанные с нулями многомерных систем, продолжаются бплоть до настоящего времени. И несмотря на большое количество работ по этой тематике, остается много нерешённых , проблем, требующих своего исследования.

• Во-первых, существует проблема уменьшения размерности задачи вычисления нулей. Действительно, нули по Розенброку определяются как конечные собственные числа квадратного регулярного' или в общем случае прямоугольного сингулярного пучка матриц размеров, 'преБызавщил: порядсд системы. ¿Зачисление многомерных нулей на основе данного пучка, фактически, представляет собой алгебраическую проблему вшислеши конечных собственных значений линейного пучка матриц. Эта про б лена слеша как в теоретическом плане -из-за прямоугольности в общем случае пучка, так и в" вычислительном плане - из-за больших размеров пучка. Поэтому представляет интерес любая возможность снижения размера задачи. То, что такое снижение войможно следует, например, из факта, что"максимальное количество конечных нулей строго правильной линейной динамической системы равно п~ /пахсг.О , где л, / - соответственно

порядск, «пело еЛдов и выходов системы. ö настоящее время, несмотря? на наливи« множества подходе а л определенно и. вычисления нулей, резонна проблемы размерности представляет собой определенны;) трудности. Во-вторых, поскольку нули классической система с одним втодои и выходом являются корнями скалярного полинома, то естественно получить аналогичное определение для нулей линейной многомерной системы через спектральные характеристики некоторого матричного полинома,

Дал.з, изучение научной периодики по нулям системы показывает необходимость учитывать это понятие при выявлении свойств и поведения динашческих объектов различной природы, которые могут быть адекватно списаны в пространстве состояния. Поэтому представляется актуальным проанализировать с точки зрения нулевой структуры существующие условия разрешимости различных задач управления и оценивания. -

Остаётся также много нерешённых и мало изученных проблем, связанных с нулевой структурой системы, а именно, построение систе;/„ минимального порядка, обратной некоторой линейной динамической системе, получение достаточно простых критериев обратимости динамической системы, анализ выроздснности линейной дина-.мипесжой системы, анализ чувствительностей нулей системы к вари-, ацгош параметров, задание нулей с помощью соответствующего выбора матрицы выхода или входа или посредство... операции квадркрова-ния и т.д.

Наконец,. заманчивым является обобщение пенят ил нуля на новые классы динамических систем, например, на системы, параметры которых не определенные.числа, а могут -принимать любые значения из заданны:: диапазонов.

Рспенио данных задач является цедгьч исследования диссерта-

НЗЙ»

Необходимо отметить, что изучение и решение вышеупомянутых проблем является, .во-первых, определенным продвижением в развитии теории линейных многомерных- дешамичеехкх систем, во-вторых, позволяет осуществлять поиск эффективных вычислительных методов для определения нулей, реализуемых на 3BÜ. Кроме того, применение качественно новых методов исследования динамических систем с иопольсованнем понятия-нуля системы повстает объективность соответствующих оталов автоматизации исследования и проектирова-

ния динамических объектов различной природа.

Диссертация выполнялась в соответствие с планами нау«но-*.с-оледовательских работ Сибирского физико-технического института при Томском гос.университете в рамках ваянейшит госйщветйых НИР: на 1981 - 1985 г. г. по теме правление шогосвязнкыи объектами0 (шифр Роыус, # го с.регистрации 01828065465), на 1986 - 1990 р. г. по теме «Разработка и исследование математического и програшшого обеспечения автоматических и автоматизированных систем обработки информации, управления и проектирования* (аифр .¡химизация", £ гос.регистрации 01860125631), на 19§1 - 1993 г,г. по теме «Развитие системных средств автоматизации и разработка математического и программно-тегнкиеского обеспечения исследований и оптимизации управляемых систем, информационных процессов й деятельности человека-оператора" (кнфр вИлформатизаця'"", саказ-наряд №1.15).

Научно-исследовательские работы «Ромус" и «Оптимизация*1 выполнялись в соответствие с Координационным планом АН СССР: на 1581 - Х9йо р,г. по проблеме (.Кибернетика" (раздел 1.12.10.1в); на 1985 - 1990 по проблемам «Общая механика" (еадаияе 1.10.4), «Теория управляемых процессов (аадаша 1.12.1.4), „Теория построения систем автоматизированного проектирования (еадздие 1,12. 5.1).

Методы исследования. Теоретической с с: ;о во П диссертации служили: 1.:егоды линей. ,)й алгебры, вюючая вычислительные методы линейной алгебра; теория матриц, включая теорию ^ -матриц и матричных полиномов; теория оптимизации; методы теории устойчивости и теории чувствительности; метода интервального шалпоа ч интервальных вычислений. При реализации алгоритмов использовались методы математкнесаого моделирования на Э£У,

Лауоная новизна рабсть; состоит в следующем:

а) Получено новое определение нулей лкнейпой гаогсг/ерноП .системы в терминах матричного полинома, размеры которого олредо-

- ляхзтся числом входов и еютдов, а степень ко превиает порядка 'системы. Такое определение нулей

- ¡Во-первых, является дальнейшим развитием результатов по обобщению на многомерный случай классических нулей, определяемых в терминах полинома числителя передаточной функции системы со скалярным входом/выходом. Определение иногокерньсг нулей «ерзз кат-

puciutt iîojkusssj ыивжтет rat полную аиалогшэ с классическими нулями,

- Во-вторых, значительно уменьшает размеры задач, связанных с проблемами вычисления и задания нулей. В частности, для линейюй системы с равны! числом входов и выходов проблему вычисления нулей удалось свести к проблеме собственных значения матрицы или линейного пучка матриц пониженного порядка с элементами, аналитически выражающимися через параметры исходной системы.

б) ¿¿оказано, ото блочные коэффициенты полученного матричного полинома непосредственно выражаются через марковские матрицы Câ% СА6, Выявленная аналитическая зависимость позволяет связать с марковскими матрицами рад свойств линейной многомерной системы: обратимость, вырокденноегь, невырожденность, отсутствие иулеЗ, а такие получить оценки на число нулей системы

в терминах ранга матриц CQ, C4Ô, C/)2Ô, •

в) Для линейкой многомерной системы с равным числом входов и выхе эо представлен оригинальный метод определения обратной системы шшимзльиого порядка, описанной в пространстве состояния. 3 отличие от зарубежных работ, метод аналитический (а не итеративный) к на требует- операций над полиномиальными и/или дробно-рацкоиахьинми матрицами.

г) Получена факторизация (разложение.' МИФ линейной много-. мерной системы в произведение взаимно простых справа полиномиальной и обратной от другой полиномиальной матрицы, причем в отличие от других аналогичных факторизации, в полученном разложении полиномиальные матрицы имеют структуру матричных или обобщенных матричных полиномов. Данный результат используется для нового определения передаточных нулей в терминах матричного или обобщенного матрице го полиномов - числителя 15П$, что является прямым обобщением на многомерный случай классического определения нуля

д) Сформулирована, проанализирована и обоснована задача обеспечение заданного нулеього полинома с помощью соответствующего выбора матрицы выхода. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи при сохранении наблюдаемости системы. Вперзыа рассмотрена проблема падания нулевого полинома при обеспечении естественного ограничения на полноту ранга матрицы выхода. Дпугими авторами эти задачи рассматривались без послед-

него ограничения. Впервые предложена численная процедура "определения матрицы выхода полного ранга путем минимизации градиент км методом спуска некоторого функционала. Получены аналитические формулы для градиента, используемого в численной процедуре.

е) Вчервые установлено влияние нулей системы на разрешимость ряда задач управления с неполной информацией и оценивания. Показано, что если система обладает правыми нулями, то для неё ограничены возмошости как в управлении, так и оценивании. Анализировалась разрешимость следующих зада«: асю,афотическое сле-кение за постоянным сигналом, сигналом полиномиального типа и сигналом общего вида при наличии'детерминировашах возмущений на входе/выходе, а также задачи оценивания при детерминировании* возмущениях или цветном шуме на входе/выходе и задача анализа асимптотических свойств системы оптимального управления при неотрицательно определенной весовой матрице по состоянию. Ряд из зтих задач, а именно задачи слежения при отсутствии возмущений и/или полной информации о векторе регулируемого выхода без использования наблюдателя, рассматривались в серии работ Дэви-сона и соавторов и работе Феррейра. В самой общей формулировке эти задачи ранее не рассматривались,

к) Впервые для линейной интервальной динамической системы, представляющей собой квазистационарнул систему, параметры которой гогу? принима—. любые значения из заданных интервалов,.введено и формально обосновано понятие инвариантного нуля интервальной системы. Используя ото понятно получены уело вил разрешило сти задачи .слежения за постоянны;.! сигналом при наличии на входе/выходе системы детерминированных кусочно-постоянных еоз-мущгний. Показало, что условия разрешимости связаны с налйчиеа у интервальной системы инвариантного нуля в начале координат. Данный подход может быть применен при анализе грубости системы слежения.

Практическая ценность. Представленные в диссертации методы определения, вычисления и задания нулей линейной многомерной системы являются теоретической основой для разработки-аффективных алгоритмов и программного обеспечения для рассЗта нулей линейной системы высокого порядка с большим числом входов и выходов путем значительного уменьшения размеров задачи. .

Кроме того, все представленные в диссертации котедк иссле-

дования линейной ¿инашческой системы; анализ обратимости системы, построение обратной системы, факторизация МГЙ, расчет чувствительно счей нулей и т.д. предлагают работу только с числовыми, а не с'полиномиальными или дробно-рациональными матрицами. Поэтому они могут быть реализованы на ЭШ с помощью обычных языков программирования типа ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ и стандартного математического обеспечения.

Разработанные в диссертации методы исследования динамических объе'-тов как с постоянными, так и интервальными параметрами, использующие понятие нуля системы, являются качественно новыми методами исследования динамических систем» позволяющими существенно повысить эффективность соответствующих этапов автоматизированного проектирования и компьютерного моделирования слоеных измерительно-управляющих комплексов для различных классов динамических объектов.

Предлагаемые методы анализа объекта использовались автором при разработке пакета программ, предназначенного для анализа и автома.покованного Проектирования П и ПИ-регуляторов в многомерном объекте по линеаризованной модели. Этот пакет включен в Гос.фонд алгоритмов и программ СССР.

Реализация полученных результатов. Работа выполнена в рам- • к ах важнейших госбюджетных НИР, выполнявшихся в Сибирском физико-техническом институте при Томском госуьиверситете и ео результаты изложены в соответствующих научно-технических отчётах.

Ряд результатов работа использованы в лекционных курсах „Теория автоматического управления" и »Проектирование систем управления", читаемыми'на факультете Автоматики и вычислительной техники в Новосибирском государственном техническом университете, а■ также • а-лекционном курсе «Системный анализ и машинное моделирование", читаемом на инженерно-педагогическом факультете Алтайского государственного технического университета, что .подтверждается соответствующими актами. Основные результаты работы использованы автором при разработке двух комплексов программ и пакета программ, которые включены в Гос.фонд алгоритмов и программ СССР с номерами Гос.регистрации 50680000069, 5и68ио0156о и 5091000043 соответственно.

На защиту автором выносятся следующие основные положения: - новое определение нулей и передаточных нулей линейной много-

мерной-системы через матричный и обобщенный матричный полином• Это определение обобщает как формально, так и фактически соответствующее классическое определение нуля и открывает новые возможности для анализа нулевой структуры системы,

- новые методы вычисления нулей «срез матричный полином и линейный пучок матриц пониженного порядка, значительно снижающие вычислительные трудности, .

- новый подход к синтезу систем с заданным нулевым полиномом или заданными нулями путам соответствующего выбора матрицы выхода или квадрирущей матрицы,

- аналитическое решение перечисленных выше задач преобразования линейной динамической системы к выявления её структурных свойств: построение обратной системы, фактор'/эацкя Ша, определение числа нулей системы, вычисление чувствительносТч-Ч, анализ нулевой структуры последовательного соединения и т.д.,

- позыв методы анализа различных задач управления и оценивания, где выявляется зависимость разрешимости этих задач от расположения на комплексной плоскости нулей системы,

- определение инвариантных нулей для нового класса систем -линейных многомерных интервальных динамических систем и использование введенного понятия для получения условий разрешимости . задачи слежения г системах данного' класса.

Апробация и публикация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих совещаниях и конференциях:

- У, У1 Всесоюзное совещание «Управление многосвяшыми системами" (Тбилиси, 1964 г., Суздаль, 1990 г.),

- X Всесоюзное совещание по проблема»* управлёния (Алма-Ата, 1586 г.), ' '

- УП Всесоюзное совещание пТеория инвариантности, теория чувствительности и юс применение" (Баку, 1567 г.),

- Международная конференция по алгебре (Новосибирск, 1989 г.),

- Всесоюзная научно-техническая конференция "Применение САПР в машиностроении" (Свердловск, 1989 г.),

- Семинар по интервальной математике (Саратов, 1990 г.),

- Ш Всесоюзная ткола-семикар "Динамика полёта, управление и

исследование операций" (Клин, 1990 г.),

- П Всесоюзная науодо-тспшаескея конференция ЛКккройроцеесор-нгзд систе'ш автоматики" (Новосибирск, 1990 г.),

- У Ленинградский симпозиум по теории адаптивных систем вАдап-Т1шшэ и пкспертные системы в правлении" (Ленинград, 1991 г.),

- Международная конференция по интервальным и стохастическим ЬЮТОДЗДД В И TCXIiKItfi п Интервал-92" (Калининград, 1992 г.),.

- I Всесоюзное совещание «Новые направления в теории систем с • обратной связью" (Уфа, 1993 г.),

- Всесоюзная конференция с международным участием «Проблемы электротехники", секция Автоматики (Новосибирск, 1993 г.),

- Inéewaücmé У^гЫор "Co/tizof system у-г/Aesis: ТАеогд and app&ca/iün- "(¿¿ÓSg, /Voiros¿S¿zs¿,, tfSl),

- Iuiemaiiopei Cón/ezenes "Jete/ztifte ¿hm/>"to¿io.>> Maihtnaiicoe "(Solatia, ЯоЛа ,

Осповниз.результаты диссертации опубликованы в монографии и 38 печатных.работах, из которых 22 выполнены без соавторов.

Структура и о бьём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, трёх приложений и списка литературы. Основной текст содержит 355 страниц в том теле 6 рисунков и таблица, библиография содержит 147 названий. Общий объём работы 402 страницы..

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основное содержание диссертации можно условно разделить на две основные тасти, В первой части (гл. I - 4) рассмотрена теория нулей линейно.. многомерной системы, определяемых в терминах матричного или обобщённого матричного полиномов.. Здесь получено новое определение нулей и передаточных нулей через вышеупомянутые полиномы и через линейный пучок матриц пониженного порядка. Также построена обратная система минимального порядка, собственные числа матрицы динамики которой совпадают с нулями исходной системы. Кроме того выявлена взаимосвязь нулей системы с марковскими матрицами Có, ¿VM, - , используя которую осуществлен анализ нулевой структуры системы: оценка числа нулей, вырожденность

системы и т.д. Б 4 главе опираясь на полученные выше определения нулей рассмотрена проблема вычисления и задания нулей. Вторая часть диссертации (гл. 5, 6) посвящена прикладным проблемам,• связанным с понятием нуля многомерной системы. Здесь.проанализирована разрешимость различных задач управления и оценивания с' точки зрения нулевой структуры, а также вводится и применяется понятие нуля линейной многомерной динамической системы, параметры которой могут принимать любые постоянные значения из заданных интервалов.

Во введении рассматривается общая характеристика проблемы, обосновывается актуальность исследования нового понятия линейных многомерных динамических систем, даётся краткая характеристика полученных в работе результатов и обосновывается научная новизна работы.

В первой главе первый й второй параграфы посвящены особенностям нулей линейной многомерной стационарной динамической системы

^ = Ах + 6и,

у-е*, а)

определяемых по Розенброку как значения комплексной переменной Л , которые удовлетворяют условию

¿1п~А -3 С О

^ Л +гп1Пг са,е), (2)

где а'£ Я", - постоянные матрицы размеров пхп- , пхг- и А/г- соответственно. '

Здесь же приводится краткий обзор различных типов нулей многомерной системы.

В параграфах 3 и 4 получено новое определение нулей системы и передаточных нулей чорез матричный к обобщённый натриадыЗ полиномы. Сначала развивается теория бяочно-сопровокдаютдтс и обебщежых блоино-сопронощазщях патриц, являющихся сопровождающими матрицами к матричному и обобщенному матричному полиномам соответственно.

Под ( А г-)-матричным полиномом степени _/> понимают (¿V;?-)-полиноыиальнув матрицу: Р(<0- 1} + ■ ■ с Р£ ,

с = о^ - постоянными {£п- )-матрицами. Яри г-£, Т» -/4.

- 13 -

матричный полином' P(s) удовлетворяет условию: = det fifs) , где fi* - квадратная блочно-сопровождающая матрица порядка _рг ..В диссертации понятие матричного полинома обобщается путём введения полиномиальных матриц следующей структуры

10, 7}J , [О, 7}^]s * ••• + [0,7l]sp\ry-J,

л

где 7}, t -¿f - (tx - постоянные матрицы, 71 -û*t-) -

постоянная матрица, целые числа -, Pj-j. удовлетворяют

неравенству ; ¿i é 4 i - é £ г; €j> =i.

Показано» что для нормированных' (¿-ъ, Тс =1г) матричного полинома Фа) и полиномиальной матрицы названной обобранным матричным полиномом, существует квадратная обобщенная блоч-но -сопрововдащая матрицапорядка 6 + & + «>*■ £ , для которой имеет место следущие соотношения

dei<jI-P) -rtl(jl-é) ~ det Ф&). Используя введенные понятия получено новое определение нулей многомерной системы.

Для управляемой пары (А,В) определим V - наименьшее целое, при котором гапЛ Là, AS,юлА Л/1/3]=ъ

и целые âi , определяемые по формулам Ù = гапЦВ^АЕ,..., Аы0]~ vmi , /~'~х3],

i - 2Г&; л

где y, £ й - ^ d + t ¿, -л-.

Сформируем ( ^"2- )-матричный полином степени V-/.

¿W = [4 Z] * [О,0 * ». +[ô, С J <■ 3)

где ( êxPi )-подматрицы ^ являются блокам;! матрицы

C/V" С, I (4)

В (4) А/ -(mя)- невырожденная матрица преобразования пары (А,В) в каноническую форму с обобщённой б ло вдо -со про вовдающей матри^ой динамики (йокояма). - *

Теорема I. Нули управляемой системы (I) с равным.числом входов и выходов (1-6.) совпадают с корнями полинома

Теорема 2. Нули управляемой системы CD с ¿>г- определяются как корни полинома fAs) , являющегося наибольшим общим делителем тождественно не равных нулю миноров максимального порядка ( £хъ )- полиномиальной матрицы

Двойственный результат получен для наблюдаемой системы (I)

i

3 специальном случае, когда - - г, п^ш »

матричный полином (3) примет следующий простой- вид

Ш 4 * Cus* Ci-jS^-r (6)

где Ci -(¿к-г-) - подматрицы. В атом случае нули системы определяются непосредственно через матричный полином (6):

а) при г = £- как корни полинома det C(s),

в) при ¿> г- через миноры максимального порядка С&).

Аналогичное определение получено для нестрого правильной системы

«г = /!# + Bit., у- Юи,

где !d-(é*%)- матрица. Нули такой система;определяются «ереэ следующий (Az-;-матричный полином степени 9

ces) = №, ct - ] ^ [о, с -

как корни полинома ¿n~z*cfetС&) при или через миноры

максимального порядка полиномиальной матрицы J/1~г"¡С^) при £>г . В (V) ( ¿х<?; )-матрицы F,c, ¿*/J , ( глг )-матрица и {г*г- (-матрица перестановок M определяются из обобщенной Слодно-сопроводцаящей канонической форш для пары (А,В).

Б заключении данного параграфа определяются нули не полностью управляемой системы (I) с гллЛ, [8,dß,-, A'"xßJ =

« i&nJÍ [B,A8,\.., ¿n.t Нули такой системы равны кор-

ням полинома -

■ e Ы,

где полином %(■*) характеризует неуправляемую часть системы (I),1 а полином в общем случае ¿¿г- совпадзет с наибольшим об-

щим делителем микоров максимального'порядка (Л-М-полиномиаль-ной матрицы Sm'uC¿s) » где матричный полином С(£) имеет структуру (3) при замене я на ® ,

Важным подклассом определённых вше нулей системы являются передаточные нули, в литературе определяемые через матричную передаточную функции (ШЗ) Q(s) системы (I)

CfrU-/iyJ6 (8)

как значения кошлексной переменной .fr¿ , при которой ранг ( fxi-) -матрица уменьшается

■tanl é?C¿) ¿ m.¿/i(tj). (9)

Передаточные нули совпадают с определяемыми через соотношение (2) системными нулями управляемой и набладаемой подсистемы системы (I).

Вычисление передаточных нулей непосредственно через соотно- -шение (9) неудобно, поскольку G&) есть матрица с дробно-рациональными элементами, В 1974 г» Дезоерои и шульманом предложено для определения передаточных нулей использовать факторизацию ШЫ> d произведение вида

(¡¿) - » AÍCs^QM, . ' (Ю)

где C(J) и /fa).г взаимно простые справа полиномиальные матрицы, a A/(s) и Q(<s) - '¿заюлю простые слева полиномиальные матрицы. Передаточные нули по Дезоеру и Шульману определяются через так называемый числитель ШФ - полиномиальную матрицу Cfa) или 0С-*) из разложения (10) как значения кошлексной переменной ,

при но тог*« имеют место неравенства.

tank С tí) г /n¿a ¿) или rant fntá-C*,?).

В диссертации для управляемой и наблюдаемой системы (I) с я-**1,

~ £ - - -- 4 получена факторизация ~ Cfr) Pfr) ~J

с C{¿) и PCs) - (t\i ) и (rxt- ) взаимно простили справа матрич-

-16 -

ныыи полиномами степени и ' соответственно

C(J)* Ct * CiS * + СШ. '

F<s) = Гп +F^s*» -* M-*+Its\

где ( Az- ) - блоки Cc ,i-J,i совпадают с аналогичными блоками матричного полинома (6), а (?'£) - блоки /?Л» определя-

ются из блочно-сопровоадаощей канонической формы (Ассео) дня пары (А,В).

Для системы (I) общего вида с ж ri, 6 ¿¿г* "¿i имеет место следующая факторизация

с взаимно простыми справа обобщенными матричными полиномами

¿ta» [o.Cjj ^

F(j)=[Û, /;,] i- [0, P^dccgCI^Jej) + + F^a^,

Ie^-e^s,,.., + ¿¿a^fr^sj^.^,.-,/^), '(14)

где ( ¿'Pc )-блоки Ci совпадают с аналогичными блоками матричного полинома (3), а ( )-блоки Hi определяются иэ обобщенной бдочно-сопровождающей канонической формы (йокояыа) для пары (Л.В), В (12) Q -{1*1с- )- невырожденная матриц.

Матричный полином (II) и обобщенный матричный полином (13) являются числителями GCJ) и используются для определения передаточных нулей системы (I). Отметим, что метод построения-матричного и обобщенного матричного полиномов (II) к (13) оперирует только -с числовыми, а не полиномиальными или дробно-рациональными матрицами.'

Во второй главе диссертации полученные определения нулей системы используются для вычисления нулей управляемой системы . (I) с равным числом входов и выходов как собственны:: чисел квадратной матрицы или линейного квадратного пучка порядков п-г или п -éf-i . Предлагается два различных метода сведения проб*-лемы конечных собственных значений ((n^t)x(at^)) _ матрицы Розенброка из (2) к аналогичной проблеме для матрицы или линейно го пучка пониженных порядков.

л

В первом ище'гся обобщенная блочно-сопровоздающая матрица для матричного полинома (3). При этом различают два случал.

а) МС* ¥0 . Нули управляемой системы (I) 'с г*£. совпадают с собственными числами ((п-ъ)* (л--г)) -матрицы

2 в и и С^Ы - Г (Ю)

О о ... о

О О [0,/ъ] ... о _____

гд« при и 51=10,С^1 при

[о, X».} - - подматрица, - единичная матрица по-

рядка .

б) с!е1 С>-О . Нули управляемой системы (I) с ?=Р- совпадают с конечными собственными значениями линейного квадратного пучка матриц порядка п-?«-±

\7, О

га) = * \ г \о Су

£

(16)

где ~ ^ 4-,г » (-Р* Ог -^-Л) - подматрица Е сов-

падает с верхним блоком матрицы £ (15) с [О, ~

подматрицей, [О, С^ ] — - подматрица.

. Второй метод уменьшения размера проблемы основан на факте, известном еще из классической теории регулирования: полюса передаточной функции обратной системы являются нулями передаточной функции исходной системы. Аналогично классическому'случаи для системы (I) с определяются-обратная справа или слева

системы с '?) или соответственно как удовлетворяю-

щие уело ВИЮ

Очевидно, если каким-либо способом получена обратная система, то еэ полюса (или собственные числа матрицы динамики) являются передаточными (или инвариантными) нулями системы. Используя этот факт и полученную въше факторизации (12.), определяется ШФ правой обратной системы с равным числом входов и выходов в виде

^С*)** (IV)

где ( £*-*<)- полиномиальные матрицы С(г) и Ра) имеют структуру обобщённых матричных полиномов (13), (14) соответственно» а $ -(?.*?•) - невырожденная постоянная матрица. Из (17) можно формально записать уравнения обратной системы в дифференциально-операторном виде

С(Ъ) ¿Ы) - аЫ), (1ь)

(19)

где ¿{¿) С - вектор состояния, ИМ), Л?4"- соот-

ветственно векторы входа и выхода обратной системы, Я)" -оператор дифференцирования.

Далее осуществлен переход от описания линейной динамической системы (18), (19) к эквивалентному описанию в пространстве состояний. Прежде всего в системе (18), (19), являющейся негоавиль-ной, уравнение (19) приводится к стандартному виду

УЮ - * (20)

где £ £ (СС9)) - степень обобщённого матричного

полинома. В (20) матрица = , а //$) имеет

структуру обобщённого матричного полинома степени

т = Я1*) +

- + ЛЬ , -г ЛЬ, ■

где постоянные матрицы //'и Л'о, —, Ж/-У определяются через блоки

Затем доказывается ряд теорем и утверздений'^ обосновывающих переход от описания неправильной линейной динамической, системы в пространстве состояний: , ¿/-Со?*- и* к ви.цу (18), (19) и обратно, 3 итоге показано, что управляемой реализацией в пространстве состояний дифференциально оиератор-. но го представления (18), (19) с является следующая система ( я-£)-го порядка

1 а'^Аз+Зи, (21)

+ ^(¿Я+М*) (22)

и

' где ((я—г) х (/1-1.)) - матрица А совпадает с матрицей 2- (15),

¿г- [0,0, о, (10,С'1 у\

а блоки //¿*, определяются через матрицы &, г »-О*-*.

Доказано, что обратная система (21), (22) является обратной системой минимального порядка если и только если пара (А,3) -управляема, а пара (С,А) - наблюдаема. На основе обратной системы (21), (22) определяются инвариантные (передаточные) нули управляемой (и наблюдаемой) системы с равным числом входов и выходов и (''£ С В* О как собственные числа ее матрицы динамики А . Необходимо подчеркнуть, что представленный аналитический метод построения обратной системы оперирует только с постоянными, а не полиномиальными или дробно-рациональными матрицами.

В третьей главе получены аналитические формулы для блочных коэффициентов матричного полинома (3) в терминах матриц СЗ, СА4 САЛ8,... и разработаны методы исследования "нулевой структуры Ьистемы.

Для системы (I) с одним входом и выходом известна аналитическая формула, выражающая числитель передаточной функции - ^С'О/'РЮ через так называемые марковские параметры с£, ¿V//,

сАУ,... ' *

- (сГ'?-сАл'б^ - ~ с^) + сАаЧыл -------+

где С , / - вектор-строка и вектор-столбец соответственно,

Анализ елочных коэффициентов в (3) позволяет получить их непосредственное выражение в терминах марковских матриц С8, САв, СА*8,... результате матричный полином (3) представляется в следящем виде

ст = - - - СА6$;Л-

~с&$;чо>г>г1) СА^ЗЪ1^- - - едк'тлм

+ (САв$;*-САй?Г»)*ы+ см?*" (24)

где ( ) - блоки и (^хъ ) - блок определяются из обобщённой блочно-сснровсадающей канонической формы для пары

(А,Б). Формула (24) является адекватным аналогом выражения (23) для многомерной системы (I) с входами п выходами.

При п = 47, - матричный полином (24) приобре-

тёт следующий простой вид '

Cte) =■(СА*'1& -СА^ЗР,, -СвРп) + (СА**а~

-СА*6Рп-—сбРи)&+ Cäs"u. (£5)

Анализ матричного полинома C(s) в форме (24), (25' позволил получить ряд оценок на число нулей в системе до непосредственного их вычисления. Так, число нулей системы (I) с одинаковым количеством входных и выходных переменных () зависит от ранга CS, C4ßt-

1. Если zaaA, Cd =г v то система имеет точно я-г- нулей,

2. если дефект ранга- матрицы Св равен d , то система имеет не более n--t-d нулей.

3. Если Св - нулевая матрица, то возможны варианты:

> 3.1. если = z и галА CA8-г- , то система имеет точно ■ п -¿г- нулей,

3.2. если ¿t-j = г и. iaaA СА8¿г , то система имеет не более n-21-ct-i нулей, где а* < ъ - дефект ранга матрицы CA 6 ,

3.3. если fn-j ¿г- и '¿сшЬ C/ß " , то система имеет не более, чем нулей,

3.4. если ¿л ¿1- и taaL £4S, то система имеет не более, чем п-Зи^-^ кулей, где ät<- 4-у : - дефект

, ранга матрицы САЗ. .'■''■

и т.д.

Для системы (II с ¿>t- определены аналогичные оценки на верхнюю границу числа нулей.

Кроме того, получены простые достаточные условия невырожденности линейной динамической системы (I) б терминах блоков , -¿=<7 и матриц

В данной главе также исследована нулевая структура последовательного соединения систем

i . А - A^i + j . ** ' * 4

с .Гхе^, и,€&*х,

путём подави линейной комбинации выходных переменных первой на вход второй

и* " «6) где £ - постоянная матрица полного ранга. Анализиро-

вались следующие сочетания числа входов/выходов: а) 4 - - ¡и ^ б) ^ = . Доказано, что множество нулей объединенной системы ? ^ определяется из соотношения

где , - множества нулей систем и , ¿р - мно-

жество нулей, появляющихся из-за эффекта выравнивания посредством соединения (26),

В последнем "параграфе главы для системы (I) с равным числом входов и выходов и ¿еЬ ¿8. ну/'' которой определяя/, ся как собственные отела матрицы (15?, впервые пс/чены аналитические -формулы для чувствительностей первого порядка нулей системы £<с

к вариациям элементов матриц А-,6,С'-¿¿¿/Эац , „ , где ^у „

ф (¿-А*, ~ элементы матриц А, В,С

соответственно. Анализ чузстви! ..льностей нулей системы необходим при исследовании нулевой-структуры, поскольку нули, расположенные вблизи от мнимой-Оси, чувствительные к вариациям параметров, нежелательны в системе-наряду с нулями в правой полуплоскости. . В литературе по теории многомерных динамических систем вплоть до настоящего времени подобный анализ не осуществлялся из-за отсутствия соответствующего определения многомерных нулей, где последние связаны с параметрами системы посредством хорошо изученной аналитической зависимости.

3 четвертой, главе представлено ряд методов ву-'исления нулей, основанных на полученных в предыдущих главах определениях нулей через матричный-полином и линейный пучок матриц пен ¡стенного порядка. Также здесь представлено неск: ькс г чтодоя сдвига (задания; нулей посредством соответствующего выбора матрицы выхода системы (I).

Рассмотрено несколько методов вычисления нулей системы (I) с равным числом входов и выходов ). Ограничение на равен-

ство числа входов и выходов не является принципиальным, поскольку методы вычисления нулей системы с основаны на соответствующих методах вычисления нулей системы с .

Первый метод вычисления нулей (интерполяционный) базируется на определении нулей через матричный полином (3) как корней полинома (5). Задаются /1*1 различных действительных чисел Ф Л/(А) , где Л,- (А) - собственные, числа матрицы 4 и вычисляются />+.1 значен!.- полинома (5): ¿¿"^¿е?

= ¿г , I = ■¿■,¿,->/'+1. Представив нулевой полином в виде - + , где <?/ - искомые коэффици-

енты, и меняя с от I до получим систему линейных уравне-

ний относительно вектора , имеющую единствен-

ное решение для различных .^- . При реализации данного подхода, требующего при известных одно обращение -матрицы и

.(/**■£ )-раз вычисление детерминанта -матрицы, вычислитель-

ные трудности значительно снижены по сравнению с подходом Саыа-иа, базирующимся на определении нулевого полинома в виде УМ = М (¿7Л -А) ¿е? (С -А) ) . Для выбора /ь - числа нулей системы рекомендуется использовать результаты главы 3.

При вычислении блоков & , чтобы избежать обращения матрицы /V порядка л- используется матричный полином в виде (24) или (25) с блочными коэффициентами, явлшцимися суммами произведений марковских матриц С61СА61,. и блоков /л?, ¿'1^, определяемых из пары (^ ) - обобщённой блочно-сопровсждающей ; канонической формы для пары (Л ,£ ). Для определения пары без предварительного вычисления матрицы Ж. предлагается метод последовательных элементарных преобразований над строками и столбцами пары (А ,6), сохранявших строгую эквивалентно„ть пучков (¿Тл-А., в) и (<г7и -Р-,6).

Второй метод вычисления нулей системы (I) с равным числом входов и выходов базируется на определении их через матрицу 2г (15) или линейный квадратный пучок матриц 2(л) (16) и сводится ,к обычной или обобщённой проблеме собственных значений для матриц Ц и <йУ<г) соответственно. Здесь также ыокн. блоки последней блочной строки матриц 2 и определять в виде: Сы~

=СА6$?-С£в-;2Г„, САЩ;1-

Для системы (I) с Л'4= - п-ы удалось упростить

вид последней блочной строки матриц 2 и ¿¿г).

Вторая часть главы 4 посвящена методам задания нулей. Данная проблема возникает при наличии в многомерной динамической системе нулей в правой части комплексной плоскости, поскольку такая система имеет плохие динамические характеристики и ограничена в возможностях управления. Так как нули инвариантны относительно действия обратной связи по состоянию или выходу, то изменить их положение можно лишь путём соответствующего выбора матрицы выхода С или входа 3 . Впервые проблема сдвига нулей многомерной системы путём изменения элементов . дтрицы выхода была сформулирована в 1970 г.- Розенброксм в следующем виде:

Задана управляемая система (I) с равным числом входов и выходов. Необходимо определить матрицу С такую, чтобы

1. пара матриц (£,/?) была наблюдаемой,

2. матричная передаточная функция - СШ*гА$Ъ имела заданные инвариантные полиномы £;/' ),(г6) в ее & ме Смита-Макмиллала. *

Поскольку нулевой полином системы (I) равен произведению

, то задание инвариантных-полиномов ¿¿(х) сбеспеиивает задание передаточных нулей системы (1).

Полученные Розенброком условия разрешимости данной проблемы довольно сложны, й то же¡время постановку Розенброка можно упростить, полагая, что --г и задан нулевой полином рМ з целом, а не отдельные инвариантные полиномы . ¿-1^ . Условия разрешимости последней'проблемы гарантируются теоремой.

■ Теорема 3. Если пара \А ,6 ) - управляема, & и корни заданного' полинома степени не ее впадают с

собственники числами .¡атрицы А , то всегда существует (т-хп,) -матрица С , обеспечивающая системе (I) заданный нулевой полином <¡1^) и одновременно наблюдаемость паре ( С .

3 рассмотренной постановке не учитывается еще одно важное требование к системе (I) - полнота ранга матрицы С • С,учётом этого ограничения сформулирована э

Проблема I. Задан полином степени л-г- . Для управляемой системы (I) с равные числом входов и выходов и галАЯ-г-необходимо определить (а^Я-)-матам.-;- выхода С такую, чтобы передаточные нули системы совпадал:! с . орнями полинома (рбт) , а

- 24 -

матрица С удовлетворяла требованиям: X. пара (С ,А) ' - наблюдаема, 2. tanA-C-i.

Здесь и далее речь идёт только о передаточных нулях, так как рассматривается управляемая и наблюдаемая система.

3 диссертации предложено 2 метода решения Проблемы I. Первый метод - аналитический, применимый для системы (I) с <fetC&?0. Показано, что матрица С , обеспечивающая ранение Проблемы I, определяется по формуле

-С' е,[-г,

где £j ~(l*%) - подматрица, определяемая из условия det С8?0г

Т - (гx(/l-z)) - подматрица', обеспечивающая ((ri-р)* ¿л-tj) -матрице Г т Г "

£ J Т, А* =г

ТJ ' Г= liOJbJT,

заданный характеристический полином, равный заданному нулевому полиному (¿>(s). В Z подматрица Е совпадает с верхним блоком матрицы (15),

Второй метод определения матрицы' С - численный. Он применим для управляемой системы (I)' общего вида, причём матрица С, мокет обладать структурными ограничениями. В основу метода положено определение нулей через матричный полином (3), блоки Сг которого непосредственно выражаются через матрицу С \ Используя соотношение (5) формируйся вещественный критери"

= ¿¿-JrVm-jj* i'i

зависящий от совпадения нулей с заданными различными действительными числами , i - ТТЛ . Критерий О достигает минимума при С-С , где матрица С обеспечивает системе (I) заданные нули ¿i , » л-ь . Кроме того, формируется критерий >0 , зависящий от ранга матрицы С

■ J. -- (det СССГ))~1. псскольку является величиной, обратной к определителю Грама, построенного из вектор-строк матрицы С . Проблема 1 решается как проблема минимизации составного критерия

У

методой спуска, используя направления градиентов д&/дСу t для которых получены аналитические выражения. В диссертации рассмотрено 2 случая Проблемы I:

1. матрица С не имеет ограничений на структуру,

2. матрица С является структурно ограниченной матрицей:

Изложенный подход применялся также при решении так называемой ¡задачи квадрироваяия ( гспд ¿аи-п- ), формулируемой сле-

дующим образом. Пусть задана управляемая система (I), у которой число выходов больше, чей число входов ( £>ч- ). Определить постоянную )-матрицу ¡д полного ранга такую, чтобы в системе (I) с новы» г- -вектором выхода

(27)

»

кули, введшие с помощыэ операции выравнивания числа входов и выходов, были заданными. Данная проблема возникает, например, при рассмотренном вше последовательном соединении систем с различным числом входов/выходов. Новая система (I), (27) должна такие удовлетворять условию наблюдаемости, с учзтом которого проблема формулируется следующим образом.

Проблема 2. Задан псяином степени /¿¿я"г- :. Для управляемой системы (I) с ¿>г , тал£В=г- определить ( *х£ )-матрицу $ такую, чтобы взодикые в систему (I), (27) передаточ-:ШО пула совпадали с корнями полинома , а матрица £) удов-взгеоряла требованиям I. пара (ЗС ) - наблюдаема, галЛ дС =

^ля реасния Проблемы 2 предложена численная процедура, аналогичен рассмотренной выше при определении матрицы С •

Пятая глава посвящена анализу условий разрепимости раолич-гнх задач управления и оценивания с точки зт ния нулевой струк-?уры системы.

Рассматривается следующая недель линейной многомерной ди-[акичйской системы

X ^ Ах + ви + £ м- (2Ы

■ ■'■ £ ? ЙГ У- <4 (30)

где ¿"б 'б'1' - вектор состояния,, цё Я* - вектор управления, уе Лг - вектор измеряемого выхода, ££ - вектор регулируемого выхода, V/ £ - вектор неизмеряемого. детерминированного возмущения, А, 6 Е, С, Р, 8, 0 - постоянные матрицы соответствующих размеров.

Задан командный сигнал ¿г - Ы), & £ X Анализируются следующие задачи,

Задача I. Асимптотическое слежение за кусочно-постоянным сигналом ¿1 « ,. удовлетворяющим следующему дифференциальному уравнению

¿¿■¿) - О, = СО/?г£, (31)

с известными ^¿ и ¿%„1 , прч наличии в системе (28) - (30) возмущения = мф , являющегося кусочно-постоянной функцией

- о, = ' = -¿'^, ¿ = 0,А1,... (32)

с неизвестными ¿е и Ш ..

Для системы (28) -. (30) необходимо определить сбратшсшз-ное управление как функции оценки вектора состояния <£ « регулируемого выхода ¿г или его оценки £ = && и коюшдного сигнала : и = г, ¿г.) или и* и С. обеспечивающее асимптотическое прибликенне регулируемого выхода % или его сценки £ к командному сигналу ¿и при нага, лги на входа и выходе кусочно-постоянного неизмеряемого возмущения >-/

апри. ■ (33)

где М = или 2 = £ ,

Для решения задачи используется ПИ-регулятор вида

2-&-1, (34)

где у £ 71е'у 2 =2 или г = #2 , £ <= К* - оценка вектора л , ¿г., ^ - постоянные матрицы соответствующих размеров. Для получения & и сценки вектора V/ используется наблюдатель ^уекбергера полного порядка. В диссертации доказано, что

. - 27 - •

задача I имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

а) пара (/^ ,3) - стабилизируема,

б) пара (С,/}) - детектируема,

в) (35)

г) системы:

Г Л ~ + Ея, I Л = Ая-г 5и-}

I у = С,х + /V, I £ -

не имеют передаточных нулей в начале координат.

Задача 2. Асимптотическое слежение за сигналом полиномиальной формы

=¿0-+ ыЛ * >» + г Об)

при детерминированном возмущении у-.лф .являющимся такие-полиномом по *

« }о * + - ¿^ (37) •

где , ¿' = 4 - известные й - векторы, а ^ , J -С ^ >/г.) - неизвестные й. - векторы.

Для системы (£8)-(30) с ^гй и мЫ) •, удовлетворяющим (36), (37) соответственна, анализировалась разрешимость задачи (33) при использовании обратносвявного регулятора следующей структуры

и = МЛ + Д ,

где ¿¡.¿е. Xе', или Ж'¿"Ял, /¿^¿-Т^-

постоянныв матрицы, соответствующих размеров.

Доказано, что задача 2 имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия (35а) - (35г).

Задала 3. Асимптотическое слежение за - '.гнался ¿г'^*1^) общего в.;да, компоненты , / - 7~?г которого удовлетворяют идентичным дифференциальным уравнениям

с известным характеристическим полиномом fis) степени / и известными начальными условиями. Компоненты d -вектора детерминированных возмущений W(L) удовлетворяют следующим идентичным дифференциальным уравнениям

w/P 1 Pp-i • - V f0 Wi ~ 0 (39)

с известным характеристическим полиномом Ws) степени f и неизвестными начальными условиями.

Для системы (28) - (30) с Ы) и Wfé) , удовлетворяющими .(38), (39), анализировалась разрешимость задачи (33) при использовании регулятора следующей структуры

где 72.*'$- • причём целое $ определяется как степень полинома (pis), являющегося наименьшим общим кратным полиномов у?А> и

; постоянные матрицы F и Г имеют квазидиагональную структуру

где )-блоки /}. удовлетворяют условию detUl-fé) '

а ^ -векторы # обеспечивают управляемость пар ( f} g »2 или g « î - S)£' , x^R* , Mt. , - постоянные матрицы соответствующих размеров. • -

Доказано, что задача 3 имеет радение тогда и только Тогда, когда выполняются условия (35а) - (35а) и следующие: г) передаточные нули системы

à-Av+Fw, +

не совпадают с. неустойчивыми корнями характеристического уравнения \fcsy, а передаточные нули системы

à - Su t г -не совпадают с неустойчивыми корнями' полинома $>(■*) - наименьшего общего кратного полиномов ftf) и .

Отметим, что условия разрешимости задач 1-3 обобщают условия разрешимости аналогичных задач в работах Дэвисона, Фер-рейра и Портера, где не учитываются особенности использования в структуре регулятора наблюдателя, оценивающего вектор >г и

^терминированное возмущение W

Б этой ке главе исследована разрешимость задач асимптоти-геского оценивания при детерминированных возмущениях на входе/ цгходе и задачи оптимальной фильтрации при цветном шуме на вхо-;е/вшсоде.

В первом случае рассматривается линейная стационарная модег :игнала (28), (29), где и/е 2Л - вектор неизмеряемого детерми-:иро ванного возмущения, динамическое поведение которого описывается в пространстве состояний следующей дин мической системой

W, WC-io) = w0, w - Hw

неизвестным начальным состоянием J/« . Здесь w & ñ. H -остоянные матрицы соответствующих размеров.'

Для оценивания векторов и W применялся наблюдатель Лу-нбергера полного порядка. В диссертации доказывается, что ошиб-а оценивания вектора состояния -V-& асимптотически стре-ится к нули при ■£— «> тогда и только тогда, когда вьполняют-п следующие условия: •

) пара (С ,А ) - детектируема, б) d. , -

) передаточные нули системы = Дг Ew, у - С Я -> fне совпадают с неустойчивыми собственны.!!! числами матрицы £ .

При решении задачи г-птимальной фильтрации рассматривалась одель измерен:«! вида

. é - Ал* Bw , <2(/t) » -.Ге,

у = Ня + Fw + ,

да X е Л * , X'/e) - случайный л-.-вектор со сред ш Л и ко вакационной матрицей i , y£R(, !гг£Кг, - некоррели-эванине вектори белого шума с нулевым средним и матрицами ин-енси'зности V, V¿>0 , wa £сГ - вектор цв^люго шума, втгщийся зюсодом динамической системы

& = ñw * в} z>¿, tv'¿») - ,

(41)

W - С w,

v/S%.fi , wde) - случайный р ■• ,'itrop со градним Ц и коалиционной матрицей Ы , - ч«тор о'ело го пума с нулеяш эедним и матрицей нчтеисивности VI -О . ice eexiapi: и Мь),

(41) - статистически независимы.

Для оценивания вектора состояния д' и веьтора 1/ строился оптимальный фильтр Калкана. Показано, что оптимальная фильтрация для такого типа сигнала разрешима, если выполняются следующие условия:

а) пары {А ), ( £ч ) - управляемы,

б) пары - детектируемы,.

в)

г) передаточные нули системы =- А Л* + у — Нх + Ри не совпадают. с неустойчивыми собственными числами матрицы Я .

В последней параграфе главы 5 проанализирована связь нулей с асимптотическими свойствами оптимального регулятора по состоя нию. С этой целью для линейной динамической система

£ = А * би , ж**)

с. квадратичным критерием качества

где О а О, чап/Ь &>0, исследуются

асимптотические Свойства радения алгебраического уравнения Рик-кати - ■

АТР + РА - Рв£ &ТР/+Ф* й

при , £а>о . Если ;

то предельное установившееся значение ошибки, регулирования

0я)& = ' минимизируете* до нуля, ша

че последний предел на равен нулю. В диссертации доказано„ «то асимптотическое поведение оптимальной системы зависит от соотно шения числа входов/выходов и нулей некоторой фиктивной'системы, получаемой при любом разложении матрицы ф^о вида <? = 8Т&

где $) - матрица полного ранга £ , <$■ >0 , прлчЬ'ы

а) если /;> 2- , то оптимальная система заве-зш обладает пдо-х1ши асимптотическими свойствами: !/Р0 / ^О,

б) если (¿г г- , то при наличии в системе «£' - Асе + 6и, г/- к нулей с неположительными действительными частями оятшальная система обладает хорошими асимптотическими свойствами: НРсН"**

Шестая глава диссертации посвящена обобщении понятия инвариантно, го нуля на случай линейной стационарной динамической системы с неопределёнными параметрами, для которых известны лишь диапазоны (интервалы) изменения. Такие динамические системы,условно представляются в виде

где «?<? /?л" , & * , %е - числовые вектора, а [Л] , [8~] , [С] - интервальные матрицы соответог ^уящих размеров с элементами, представляющими собой интервалы с известными нигнеП и верхней границами; £ йу] = Lй¿j,a¿J•2, Цл, $¿6.1,

[Су1 = Г£*у , СуЗ, V = ^ >' А ~ ^ > * Система (42) описывает следующее множество линейных стационарных динамических систем с числовыми параметрами

' [ х - /¡х + Зи-, у - Сх, ,1 е [Л] > 8е[В], ¿\-ю]

Опираясь на известные свойства интервальных матриц для ин- . тервальной -матрицы [92 вводятся следующие понятия: минор

пг- -го порядка Iт & т1п(%/)) интервальной матрицы [ЮЗ вкроидешшй минор яг -го порядка интервальной матрицы [Я] ; ранг интервальной матрицы [¡О] • Используя эти понятия определяется инвариантный нуль 'интервальной динамической системы (42).

■ Значение комплексной частоты -, при

котором ранг интервальной ((п+£)х (л+ъ)) -матрицы

-[6]

[СJ <3

■■[№)J = уменьшается

галк, lP(4)lfj.3 г т1п-^>е) 1азывяется инвариантны!« нулём интервальной систем;

Определение 2. Интервальная система (42) имеет-инвариант-гый нуль в начале координат, если

'tank, fW^^ -rank [PWJ *

Используя введённые понятия проанализированы условия разре-

иимости задачи асимптотического слекаиия еа куссаю-посгоянныа • сигналом , удовлетворяющим уравнению (31), в следующей Интервальной динамической системе

£ - [А]**[&)и+[ЕЗ#, у= [Н]Х1[Г]у/,

г « [яз*,

где к*" , иеЯ* , , 2е Я*' , и/е Я* - кусочно-

постоянное возмущение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению (32), Ш, ГбЗ , [£] , /У/З , £ТЗ , [2] - интервальные матрицы соответствующих размеров.

Исследовалась раЗрешийость следующих задач.

' Задача I. Определить и - а 2,2г) такое, -чтобы

При ¿-+оо , ,

Задача 2. Определить и - г1Сх> Э,г) такое, чтобы при , где € Ял - оценка вектора <г ,

М или я = Слежение должно иметь место при любых начальных условиях ЗсЫо), кусочно-постоянном возмущении, и рсех значениях вле-нентов матриц Г/43, [61; [£3, IНЗ , [Р], ГД}" из заданны.: интервалов. • ' ,

Условия разрешимости Задачи I С помощью регулятора (34) пр: § «г > сё имеют с ледащий вид: . "

а) пара интервальных катру, ( //О , [8] ) - управляема,

б)

в) в системе * [3]и, 5 ~ [Юя отсутствует инга риантный нуль .в начале координат.

Условия разрешимости Задачи 2 с помощью регулятора (34) состоят из приведённых пище условий а) - в) и следующих;

г) пара интервальных матриц ( [И] ,[/!]) - наблюдаема,

д) гъа, ■

е> в системе = [А+ отсугст

вует инвариантный нуль в начале координат.

В заключении перечислены основные результаты диссертацион-

... - 23 -

юй работы.

В приложении I зшз?дены матрицы преобразования линейной ■тационарной динамической системы б блочко-сопровождающую (Ас— оо) и обобщенную блочно-сопровождающую (йокояма) канонические юрмы.

В приложении 2 приведены основные свойства интервальных тсел и матриц.

В приложении 3 представлены документы об использовании юзультатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I. Для нулей линейной многомерной динамической системы,, пределяемых через матрицу Розенброка, представляющую собой личный пучок матриц размера ((п +£)/(п+*)) , где "/г , г ,3 -орядск, число входов и выходов системы, введено и обосы'зано овое определение через полиномиальную матрицу, имею-

;ув структуру матричного полинома. ¿3 результате получена удоб-:ая компактная форма для определения многомерных нулей системы,, ■зллющаяся прямил обобщением классического определения нулей юрез скалярный полином. Такое определение нулей

■ во-первых, позволяет при аналчзе нулевой структуры использо-:ать аппарат матричных полиномов, интенсивно, разрабатываемый з астоЯщее время,

■ во-вторых, значительно уменьшает размеры задач, связанных с . роблемами определения, вычисления и задания нулей.

■ 2. Выявлена аналитическая взаимосвязь блочных коэффициен-оп вышеупомянутого матричного полинома-с матрицами Сд, С/1&, СА*3 »•••» иэвестш/'и как марковские матрицы. Данный результат оказывает полную аналогия многомерных нулей с классическими ■улям'1, .являющимися корнями полинома, коэффициент'• которого оп-| оделяются через так называемые марковсчие параметры

Определение блочных коэффициентов матричного полинома че-1ез марковские матрицы позволило- обнаружить 'епосгадственную за- . :!;с'.'!:ост. ряда вазнейшх структурных свойств динамической снсте-ы от этих матриц. В частности, з диссертации получены:

- новые оценки числа ¡'.улей в е--" .еме,

- условия отсутствия нулей в личиной многомерней дюами-

ческой системе и простые достаточные условия исиирогдамости (обратимости) строго правильной управляемой системы.

3. Для управляемой строго правильной динамической системы сформулирована и обоснована проблема обеспечения заданного гулевого полинома с помощью соответствующего выбора матрицы выхода. Рассмотренная в диссертации постановка проблемы задания нулей является более упрощённой г" сравнению ¿ постановкой Роэенброка, где речь идёт о задании инвариантных полиномов в форме Сиита--Макмиллана матричной передаточной функции. Такое упрощение, не .отражаясь на сути проблемы, позволило получить достаточно простые условия существования радения. 3 диссертации поставлены и решены следующие задачи:

- для строго правильной системы с равным числом входов и выходов- и получено аналитическое выраг-енпе матрицы выхода полного ранга, обеспечивающей произвольное оадзлпо нулевого полинома при сохранении наблюдаемости систеда,

- для строго правильной системы с равным числом пзвдэв и выходов общего вида представлен численный метод определения матрицы выхода полного ранга как без структурных ограничений, так и с ограничениями на структуру, задаащеЯ ну ч система при сохранении ее наблюдаемости. Метод основан на иш»:;.;изациц соотаетствузщзго функционала градиентным методом спуска, •

- для строго правильной системы, имеющей больше выходов, чем входов, рассмотрена задача определения ввадрирукщей матрицы полного ранга, обеспечивающей введение в систему заданных нулей при сохранении наблюдаемости новой нвадрированной сисх'емы. Получены условия разрешимости дашсЙ проблемы. Представлен чис енный метод определения нвадрирующей ыатрщу полного'ранга, основанный на минимизации .соответствующего функционала грздк^тньм ¿.'егодо«.

4. Для линейной системы проанализированы условия разрешимости различных задач управления и оценивания с точки зрения нулевой структуры системы. Показано, что

- задача асимптотического слешам за кусоч ;-асстояшши

' сигналом в линейной многомерной системе с неизмеряемыми кусочно-постоянными возмущениями на входе и выходе и задача сле;:;г:шя за сигналом полиномиального тип а при неизмеряемкх детерминированных возмущениях любого полиномиального типа на входе и выходе не иые-

ют решения, если в соответствующих системе управления или оценивания есть передаточные нули в начале координат,

- задача асимптотического слежения за сигналом произвольной формы, описываемым системой линейных дифференциальных уравнений, при наличия на входе и выходе динамической системы неизмеряемых детерминированных возмущений также произвольной формы» описываемых другими дифференциальными уравнениями, не имеет решение, если соответствующие системы управления или оценивания обладают правыми передаточными нулями, совпадающим: с собственными числами матриц динамики командного сигнала или возмущения,

- задача асимптотического оценивания при детерминированных возмущениях на входе/выходе не имеет решение, если передаточные нули системы оценивания совпадают с неустойчивыми собственными числами матрицы динамики модели детерминированных возмущений,

задача фильтрации Калмана при цветном пуме на вхо-е/выхо-дв не имеет ршение, если передаточные аулу' системы оценивания совпадают с неустойчивыми собственными числами матрицы динамики системы, моделирующей цветной шум,

- асимптотические свойства оптимального регулятора по состояние) с полуопределенной весовой матрицей при состоянии в квадратичном критерии качества зависят от нулей фиктивной системы, получаемой при любом разложении весовой матрицы. Если фиктивная система имеет нули в прачой части комплексной плоскости, то оптимальная система обладает ограниченной точность», которую нельзя уменьшить при любом увеличении входного воздействия.

5. Для лилейной интервальной динамической системы, представляющей собой-квазкетацпоиариув систему, параметры которой югут принимать лпбн* значения из заданных диапазс. ов (интервалов) введено и формально обосновано понятие инвариантного нуля. 1сяольоул данной понятие для лш1ейнсй многомерной интервальной ;инамической системы с непзмеряемкми куссоио-пос^лннши возмущениями па сгоди/вьпйде получены общие условия разрешимости проб-:еш асимптотического слежсшм за кусочно-постоянным "сигналом, ^казане , что слеление имеет место, если в соответствующих интервальных сигтшах управления и оценивания отсутствует пнвариант-1ый нуль я начале координат.

Кроме того, в диссертации решены следующие задачи;

. - введено понятна обобщенного полинома и обоб-

щённой блочно-сопровождающей матрицу, представляющие собой обобщение соответствующих понятий матричной алгебры и теории Л -матриц (матричных полиномов). Показано, -«то обобщённая блоч"о-сопровоидакяцая матрица является сопровождающей матрицей для обобщённого матричного полинома,

- для управляемой строго правильной линейной динамической системы получена факторизация ее матричной передаточной функции в произведение полиномиальной матрицы и обратной от другой полиномиальной матрицы. Показано, что если система наблюдаема, то полиномиальные матрицы в факторизации взаимно просты справа,

- для управляемой наблюдаемой строго правильной, системы обосновано определение передаточных нулей через матричный полином или обобщенный матричный полином,

- для квадратного матричного г~лшюма порядка % получен линейный квадратный пучок пг.рдд^з. £ г) , конечные собственные значения которого без нулевых собственных значений' совпадают с кснечными собственными значениями матричного полинома. В результате, получено определение нулей управляемой системы с раБнкл числом входов и ва.^дов как собственник значений матрицы или линейного пучка матриц пониженного порлдка,

- для линейной многомерной динамической системы, опиешшой в пространстве состояний, получено эквивалентное дифференциалы^ операторное представление с полиномиальными матрицами диаыш! и

выхода, имеющими вид обобщенных матричных полпхмоз,

- для линейной многомерной динамической системы в дифференциально операторном виде получено эквивалентное минимальное представление в пространстве состояний - минимальная реализация

, системы,

- проведён анализ нулевой структуры последовательно соединённых систем с различным числом входов и выходов. Доказано, что ыноаество нулей объединенной системы состоит..из нулей каждой " подсистемы и-нулей, вводимых операцией выравнивания входов/выходов при соединении,

. - для упрЕвляемой строго правильной системы с равным числом входов и вкходов и о!гс С6 ^О получены аналитические выраг.з-Ш!Я для чувствительносгей первого порядка-нулей системы к вари-

ациям параметров объекта,

- предложен пошаговый метод приведения пары (А , $ ) к канонической форме с обобщённой блочно-сопровождающей матрице динамики путём серии строго эквивалентных преобразований.

Результаты диссертации опубликованы в монографии: Е.Н.Сма-гина. Еопросы анализа лшейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1990, 159 с. и в 38 печатных работах, основными из которых являются следующие.

1. Смагина Е.М. К проблеме вычисления нулей линейной многомерней системы // Автоматика и телемеханика, 1981, № 4, с. 19-25.

2. Смагина E.H. Вычисление И" задание нулей линейной многомерной системы // Автоматика и телемеханика, I9S7, 12, с. 165-173.

3. Дугарова И.З,, Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами // Аломатика и телемеханика, 1990', Го И, с. I76-IS2. *

4. Смагина Е.М, Условия существования ГШ-регулятора в многомерной системе с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 3991, !'■> 6, с. 40-45.

5. Смагина Е.М, Определение коэффициентов нулевого полинома через матрицу :т1равляемости по еыходу // Автоматика и телемеханика, 1991, I? II, с. ¿3-53.

6. Смагина Е.М, Анализ чувствительностей нулей системы //Автома-, тика и телемеханика, 1993, Г» 5, е. 74-Щ.

7. Смагина Е.М., Сорокин А.З. Использование понятия нуля системы при выборе весовых матриц в задаче МОР // Известия PAh. Техн. кибернетика, 199с, '4, с. 47-52.

8. Smayina, Уе.М. А /nettod öf dfsienin^ о/ odsetzatfe ensi/rinj gtzfn zero ¿bcatiea // Pzo^&^s ¿>/ ¿bx/tof 'a/id InMmaiion liheönj, 'W, гг.20Ю, р.

9. Jmagtiia Ve.W (jeneza? pio£frm о/ с --y/np/yftc Ci/ipUi froctipg /от pCani- ¿<rlfA ¿nietia?po/awe/its // ComnuioiUw. - , p, 94>-SS.

10. Смагина E.ivi. Влияние нулей системы на разрешимость оптимальной фильтрации с цветным цумом // Известил РАН. Техн. кибер-

- 38 -

нетика, 1993, № 4, ç. 81-66.

11. Смагина Е.М. Условия разрешимости задачи слежения при неполной информации о векторе состояния и неизмеряемых возмущениях на входе и выходе // Иав. 'РАН. Техн. кибернетика, 1392,

№ 3, с. 205.

12. Смагина Е.М, Определение обратной системы и передаточных нулей на основе дифференциально-операторного представления

// Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1993, № 6, с. 239.

13. Смагина Е.М. О факторизации дробно-рациональных матриц. 3 кн.: Труды международной конференции по алгебра / Раздел прикладная и компьютерная алгебра", Новосибирск, 1986, с. 56. . ..

14. Смагина Е.М. Управление нулями линейной многомерной < ютемы. В кн.: Управление многосвязными системами / Труды У Всесоюзного совещания, Москва, 1984, о. 15-16.

15. Смагина Е.М. Обеспечение заданных нулей линейной многомерной ■ системы. В кн.: Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками. Новосибирск, I960, с. I45-I5I.

16. Смагина Е.М. К проблеме квадрироваьия выходов, в линейной системе // Редкол. журнала «Известия АН СССР/Text}, кибернетика", 1983, деп. ВИНИТИ № 5007-63, Юс..

17. Смагина Е.М. Синтез многомерной системы управления с задан-, ньми нулями // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1986,

К' 4, с. 195. • '

18. Смагина Е.М. Построение канонической формы Йокояма для линейной многомерной стационарной системы // Гос. ФАН СиСР, 5088CUOL088 / Информационный бюллетень, - hi., 1988, P IO, с. 3.

19. Смагина Е.М. Вычисление нулей многомерной системы как корнай детерминанта полиномиальной матрицы // Гос. ШАЛ СССР, 5G8ÖGOCOC69 / Информационный бюллетень. - М., 1988, J," 10,

с. 3. ,

20. Смагина Е.М. Численный интерполяционный метод вычисления нулей многомерней системы // Гсс. &A1I СССР, 50680001550 / Информационный бюллетень. - М., 1989, К 9, с, 4.

21. Смагина Е.М., Дугарова И.1З. Анализ свойств и расчёт П и ПИ-регуляторов для многомерного объекта управления // Гос. MI СССР, 5U91000043 / Информационный бюллетень. - М., 1991',

)Ь 7 - 9, с. 9.

22. Смагина Е.М. К проблеме выбора наблюдаемого выхода, обеспечивающего заданные нули. Û кн.: Динамика полёта, управление и исследование операции / Труды lu Всесоюзной школы-семинара. - Москва, 1990, с."22-23.

¡3. Смагина Е.М. Общая задача асимптотического слежения за кусочно -постоянным сигналом для объекта с интервальными параметрами. "В кн. : Труды Международной конференции пНитервал--92", т. I. - Москва, 1992, с. 166-168.

24. Смагина Е.М., Дугарова И.В. Определение нулей для системы

с интервальными параметрами. В кн.: 1 Совещание «Новые направления в теории систем с обрати л связью"/ Труды I всесоюзного совещания. - M., 1993, с. 52-53?

25. Smagi/ia Уе.Н-, Юирахогга. I.v. Я^йпШол- ¿1/1J cô/npi/Mioa Ot zeîô po£gnô/nia£ /оь Шеггго? dyпат ¿cal ¿¿vie/n.. 7n.

<Sae.ii//i£ fômps.-fof/^a anrf /f/iiâe/naliïof /fi toc. Ctofïtence f Sofia- ' VATS С S , fSSj,

Р-Л7-ЯЗ. ■

3 M â 3 _ й J? _ __экз.

УОП ГГУ

. Томск,29,Никитина,