автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование и проектирование многомерных систем управления и оценивания с заданными нулями

кЪ

V * ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 62.50

Сорокин Алексей Викторович

ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ С ЗАДАННЫМИ НУЛЯМИ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск-1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Томского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Смагина Е.М.

доктор технических наук,

^ <-----т^_______ Л Л/Г

-ЦрЦу^Ц^ю^мдм. .-.¿Л--,-------

кандидат физико-математических наук, доцент Поддубный В.В.

Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится " " Я^/СД^/ъЯ_1998г. в часов

на заседании Диссертационного Совета Д 063.53.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Томском государственном университете то адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан " » С/С/Я&^/и?_ 1998г. .

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук, доцент )

О.,

Б.Е.Тривоженко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Проблема достижения приемлемых свойств систем управления и оценивания таких как точность регулирования (оценивания), динамика переходных процессов, робастность (нечувствительность к возмущениям.в параметрах и на входе/выходе системы) и хорошая реакция на обратную связь играет важную роль в современной теории управления. Их достижение возможно только при определенном расположении полюсов и нулей системы на комплексной плоскости.

В конце 50-х начале 60-х годов проблема задания нулей в многомерных системах, в отличие от проблемы задания полюсов, оставалась без внимания. Это было обусловлено трудностью обобщения понятия нуля системы с одним входом и выходом на случай многомерных систем. Вследствие этого опыт частотных методов по достижению требуемых свойств в системе управления был малопригоден для многомерных систем и не был востребован. Лить только в конце 60-х и начале 70-х годов наблюдается всплеск работ, в котором появляется рост интереса к частотному подходу с точки зрения его распространения на многомерные системы. В первую очередь, это было связано с определением нулей матричной передаточной функции (МПФ) и введением понятия инвариантного нуля, обобщающего нуль МПФ и позволяющего исследовать такие свойства системы, как стабилизируе-мость и детектируемость. В этот период появилось большое число задач, условия разрешимости которых были тесно связаны с значениями нулей многомерной системы. Все это привело многих зарубежных ученых к необходимости исследования и решения проблемы задания нулей многомерной системы. Нули, в отличие от полюсов, не сдигаются с помощью обратной связи (ОС), однако меняют свои значения при изменении (построении) входа и выхода системы. Такая возможность иногда имеется на ранней стадии проектирования, когда производится выбор измерительных датчиков и переменных, с помощью которых производится управление системой.

Впервые задача задания нулей посредством выбора элементов матрицы выхода была сформулирована п решена в 70 г. проф. Розенброком. В дальнейшем решению этой проблемы были посвящены работы многих известных ученых: Коуваритакиса, Макфарлейна, Араки, Мисры, Пэйтела, Бергера, Смагипой, Харви, Штейна и др.

Другим способом задания нулей являются задачи "квадрирования" ("squaring problem"), в которых сдвиг нулей осуществляется путем выбора специально сконструированных компенсаторов на входе и выходе системы. Эти задачи, как правило, возникают при конструировании многомерных систем, в которых контуры ОС вводятся между равным числом входов и

выходов. При решении задачи квадрирования, заключающейся в выравнивании числа входов и выходов, в квадрированную систему вводятся дополнительные нули. Поэтому здесь тоже возникает проблема их произвольного размещения. Решению этой проблемы были посвящены работы ученых: Коуваритакиса, Макфарлейна, Кэмерона, Аплевича, Вардулакиса, Карка-ниаса, Гианакопулуса, Саннути, Сабери, Смагиной и др.

Исследования, связанные с нулями многомерных систем, продолжаются и в настоящее время, что подтверждают краткие обзоры иностранной периодики в реферативных журналах и информативные сообщения в сети Интернет о проводимых конференциях, симпозиумах и конгрессах по управлению. Несмотря на огромное число работ по этой тематике остается мпого нерешенных проблем, требующих своего исследования.

Целью исследования диссертации являются:

- проблема исследования взаимосвязи предельных свойств решений таких задач, как задача аналитического конструирования оптимального регулятора и задача фильтрации Калмана с параметрами системы, формирующими ее множество нулей, такими как весовая матрица состояния и матрица интенсивностей входных возмущений.

- разработка новых методов задания нулей, имеющих копечной целью конструирование систем управления или оценивания с приемлемыми свойствами.

- разработка новых методов решения задачи квадрирования, позволяющих без каких-либо предварительных преобразований исходной системы задавать нули квадрированной системы.

Методы исследования. Теоретической основой диссертации служили: методы линейной алгебры, включая вычислительные методы линейной алгебры, методы теории полиномов; теория матриц, включая теорию А -матриц; некоторые методы асимптотической теории управления. При реализации алгоритмов использовались методы математического моделирования на ЭВМ с применением средств программирования пакета Матлаб.

Научная новизна. Впервые решены: задача анализа влияния нулей системы на асимптотические свойства оптимальной системы управления с весовой матрицей состояния общего вида; задача анализа влияния нулей системы на асимптотические свойства оптимальной системы оценивания с матрицей интенсивностей входных возмущений общего вида.

Предложены новые методы задания и сдвига нулей посредством выбора как всех, так и части элементов матрицы выхода, которые не требуют канонических или других преобразований и сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Предложены два новых метода квадрирования, обеспечивающих квад-

рированной системе желаемые нули. Первый метод является аналитическим и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Второй метод является эвристическим. Для квадрирования в нем используется последовательность случайных вариаций элементов квадрирующей матрицы, последовательно сдвигающих нули системы в заданную часть комплексной плоскости.

Практическая ценность. Представленные в диссертации методы исследования и задания нулей липейной многомерной системы являются теоретической основой для разработки эффективных алгоритмов, программного обеспечения и интегрированных пакетов программ при расчете параметров линейной динамической системы с заданными нулями для обеспечения ей приемлемых свойств.

Реализация результатов работы. Полученные результаты использовались в госбюджетных НИР "Информатизация" (гос.регистрация №01.9.50001753; 1991-95 г.г.), "Система", регистр, номер №4.4.96; код темы по ГРНТИ: 24.47.15.28.23.15; 1996-97 г.г.) и научно-исследовательском проекте, подержанным грантом Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации (грант 1996-97 г.г. в области "Автоматика и Телемеханика. Вычислительная техника" №95-6-1.1-2). Разработанные алгоритмы, реализованные в виде программ, предназначенных для анализа и синтеза систем автоматического управления, внедрены на кафедре "Робототехнических систем" Томского политехнического университета при выполнении НИР.

Основные положения, выносимые па защиту:

1. Новых! метод анализа предельных свойств оптимальных линейных систем управления и фильтрации соответственно по весовой матрице состояния и матрице интепсивностей входных возмущений с использованием нулей многомерных систем.

2. Новые методы задания и сдвига нулей многомерной системы посредством выбора элементов матрицы выхода, позволяющие учитывать структурные ограничения выхода и ограничения, накладываемые на число прозвольно задаваемых нулей.

3. Новые методы квадрирования системы:

(а) Аналитический метод квадрировании выхода системы, позволяющий задавать произвольно часть нулей;

(б) Эвристический метод квадрирования системы, позволяющий посредством случайных изменений квадрирующей матрицы сдвигать нули влево от мнимой оси.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на Всероссийской научно-технической конференции с меж-

дународным участием "Информационно-управляющие и вычислительные комплексы на основе новый технологий. Наука и маркетинг" (С.-Петербург, 1992), Всесоюзной научной конференции с международным участием "Проблемы электротехники", секция Автоматики (Новосибирск, 1993), Научной конференции с международным участием "Проблемы техники и технологий XXI века" (Красноярск, 1994), Международной научно-технической конференции "СИБКОНВЕРС'95" (Томск, 1995), Н-ом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-96" (Новосибирск, 1996), Ш-й Международной научно-технической конференции "Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 1996), Ш-й Международной научно-технической конференции " Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Новосибирск, 1996), Ш-м Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998), 1У-й Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Новосибирск, 1998).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 19 печатных работах.

Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, разработка алгоритмов и программного обеспечения. Смагиной Е.М. как научному руководителю принадлежат постановки задач и формулировка общего подхода к решению.

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем работы — 132 страпицы, включал 7 рисунков. Список литературы насчитывает 112 названий.

Работа выполнялась при поддержке международного фонда Сороса (грант № а97-810).

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается' краткий обзор работ других авторов по данной тематике, формулируется цель работы, дается краткое изложение полученных в работе результатов и используемых подходов анализа и синтеза.

Первая глава состоит из двух разделов. В первом из них рассматривается задача оптимального управления для линейной динамической системы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

х = Ах + Ви, я(0) = а;о,

(1)

с квадратическим критерием качества

где х — п - вектор состояния, и — г - вектор управления, А, В - постоянные матрицы соответствующих размеров, Q > О, R = pN, N > О, р -действительный скаляр.

Известно, что эта задача сводится к решению алгебраического уравнения Риккати

• АТФР + ФрА - ФрВ11~1ВтФр + Q = О. (3)

зависящего от свойств матриц Q и R, а минимум (2) определяется выражением min J = х1Фрхо. В диссертации проводится анализ асимптотического поведения Фр при р 0 и матрице Q общего вида. Доказано, что это поведение зависит от соотношения числа входов системы (1) и ранга матрицы Q, а также от инвариантных нулей некоторой фиктивной системы управления, получаемой при любом разложении матрицы Q вида

Q = CTQC (4)

где Q > О, rankQ = rank С = 1 < п, причем

1. если rankQ < г и система (1) с выходом у = Сх, не имеет "правых" инвариантных нулей, то оптимальная система (1),(2), имеет хорошие предельные свойства (Фо = О).

2. если rank<2 > г, то оптимальная система (1),(2), будет обладать плохими предельными свойствами (Фо ф О).

Под инвариантными нулями (ИН) системы х = Ах + Ви, у — Нх понимаются комплексные числа s, понижающие нормальный ранг матрицы Розенброка

' sln- А -В Н Or,

где Or¡r — (г х г) - нулевая матрица, 1п - единичная матрица порядка п.

Во втором разделе главы рассматривается задача фильтрации Калмана для системы

х = Ах + £, (5)

у = Нх + т], (6)

где х — п—вектор состояния, у — I—вектор измерений, £ — п—вектор входных возмущений ж г] — /—вектор шумов измерений, имеющие коварицион-ные матрицы M{£(<i) • Ffa)} = QKh ~ h), Q > О, M{r¡(ti) • VT(h)} = R6(t\ — ¿2)) R = pN,N > O, A, H - постоянные матрицы соответствующих размеров, rank Н — I.

Как известно, задача фильтрации сводится к решению алгебраического уравнения Риккати

AGP + GPAT - GpHTR~l HGP + Q — О, (7)

P(s)

причем ошибка оценивания e(t) состояния x(t), удовлетворяет соотношению Нт<_ооM{eT(t) • e(i)} = tr(Gp). В работе с учетом двойственности проанализировано влияние свойств матрицы интенсивностей Q общего вида на асимптотическое поведение решения Gp при р —► 0. Доказано, что это поведение зависит от соотношения числа выходов системы (5),(6) и ранга матрицы Q, а также от ИН некоторой фиктивной системы оценивания, получаемой при любом разложении матрицы Q вида

Q = FQFT,

где rank F = rankQ = г < п, Q > О, причем

1. если raakQ < I и система х = Ах + с выходом (6) не имеет "правых" ИН, где F£ — то система оценивания (5),(6) будет иметь хорошие предельные свойства (Go = О).

2. если rank<5 > I, то система оценивания (5),(6), будет обладать плохими предельными свойствами (Go ф О).

Во второй главе рассматривается задача задания ИН (ЗЗИН) для линейной многомерной системы

х = Ах + Ви, (8)

У = Нх, (9)

где х — п - вектор состояния, и — г - вектор входа, у — г - вектор выхода, Н = [Йт hj]^ А, В, Н - постоянные заданные матрицы соответствующих размеров с rank Б = г, rank Н — г - 1.

ЗЗИН, в силу определения ИН, состоит в выборе ненулевых элементов вектор-строки hr — [/¿ri ... hrm 0iitl_m], удовлетворяющих соотношению

det P(s) = /?(«), (10)

где

P(s) =

(11)

sln — А -В Я or,r

матрица Розенброка системы (8),(9),

I3(s) = /30 + fts + ... + /^s", /х < n - г, (12)

полином, корни которого желаемые ИН.

Показывается, что с использованием разложения определителя det P(s) ЗЗИН сводится к решению полиномиального соотношения относительно вектора h — [hri ... hrm]T

[ (_!)"+r+iMl(s) ... (-l)»+'+"Mra(s)]fc = /?(*), (13)

где М;(я), (г = 1,..., т) - миноры порядка п+г-1, полученные из матрицы (11) вычеркиванием г—го столбца и последней строки. Представление М,(з) в виде

Мг(з) = [15 ... я"] • [а0,-аи ... о„1-]г, и = п-г (14)

с последующей их подстановкой в (13) позволяет преобразовать (13) в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно /г

Л/г = р, (15)

где (3 = [АА ... /?„01>„_/1]г, Л = [ (-1)"+г+1А1 ... (-1)п+г+тАт ], А,- = [ а0; аи ... а„{} .

Получены условия разрешимости ЗЗИН, связанные со структурными свойствами системы (8), (9), п условия выбора корней полипома (12), обеспечивающие наблюдаемость системы.

Для системы (8) со скалярным входом доказана Теорема 1 Пусть система (8) имеет скалярный вход (г = 1) и полином /?(в) (12) имеет степень ц <п—1. Тогда если и только если пара (Л, В) - управляема, то существует единственная вектор-строка Н.— для которой выполняется соотношение (10).

Для системы (8) с многомерным входом с учетом введения выхода

У = Нх, (16)

доказан ряд теорем и утверждений с вытекающими из них следствиями. Теорема 2 Для разрешимости ЗЗИН при произвольном полиноме (12) необходимо, чтобы НОД{Мх(5), М2(5),..., Мт(з)} = 1.

Теорема 3 Для разрешимости ЗЗИН в системе (8),(9) при произвольном полиноме (12) необходимо, чтобы система (8), (16) не имела ИН. Следствие 1 Если система (8),(16) вырождена то ЗЗИН при произвольном полиноме (12) не имеет решения.

Следствие 2 Если в системе (8),(16) имеются ИН, то для разрешимости ЗЗИН необходимо, чтобы они содержались в полиноме (12). Следствие 3 Пусть ЗЗИН разрешима при произвольном полиноме (12). Тогда система (8),(9) будет невырожденной, если полином (12) тождественно не равен нулю (/?(в) ф 0).

Утверждение 1 Для того чтобы при = п — г ЗЗИН имела ре-

шение необходимо, чтобы гапк НБ = г — 1.

'Система вырождена, если ее матрица Розенброка теряет ранг при любом комплексном числе е.

Утверждение 2 Для того чтобы система (8),(9) была наблюдаемой достаточно, чтобы НОД{с1е1;(5/п - А),р(з)} = 1.

С учетом условий разрешимости ЗЗИН в работе изложены общие алгоритмы задания ИН для т < п и тп = п. В заключении главы из одного набора датчиков построены системы оценивания 4-го порядка с левым и правым ИН и осуществлено сравнение их свойств, показывающее преимущество систем без правых ИН.

В третьей главе для системы (8),(9) решается проблема сдвига нулей как задача выбора части элементов только одной строки матрицы выхода

К = [ЛГ1 ■■■К к /1г)|:+1 ... /1Г„], (17)

где кТ1 ... Ьтк - неизвестпые элементы, а кгк+\ ... Ьтп - заданные элементы.

Если к < п — г + 1, то при произвольном /З(а') для задания нулей метод главы 2 не применим. В этом случае для сдвига нулей предлагается использовать известные графо-аналитические методы классической теории регулирования, применяемые при построении областей устойчивости.

Для этого подставляя в (13) вместо /г вектор и обозначая л,- = /¿г;, (г = 1,..., к), = ЛГ1-, (г = к + 1,..., п), после векторного умножения получим соотношение

р(з) = (-1Т+г+1г1М1(з) + ... + (-1У+г+кгкМк(з) +

+ (-1у+г+к+1д1Мш(з) + ... + (-1Г+Г+пдп-кМп(8). (18)

Введение множества весовых коэффициентов

{сь ..., ст}, {йу,4-т} (19)

и некоторой перестановки (,..., , ]т+\,..., ]к) множества {1, ..., к} позволяет задать элементы 2\,..., выражениями

~ С1 Р> ■ • • ! = стР: = . . . , — йк-щу

где р - варьируемый параметр.

С учетом последних выражений соотношение (18) переписывается в виде

/3(*) = ¥>(*) +^00 > (20)

где <р{в) = С?=ь+1(-1 + Е?=Т(-1)"+г+^'(г,М,т+,(5))

^(з) = Е£1(-1)п+г+лчМА(в).

Варьирование параметра р от — оо до +оо позволяет построить кривые годографа (20) и определить по ним значения параметра /э, соответствующие приемлемому

Для определения изменяемых элементов строки (17) были также использованы методы D - разбиения в плоскости одного и двух параметров. Для использования метода D - разбиения в плоскости одного параметра необходимо приравнять выражение (20) к нулю и произвести в полученном уравнении замену переменной s = jw, где j - мнимая единица, w - действительная переменная. Затем из полученного уравнения необходимо выразить параметр р

Р = ~tp(jw)/^pijw) = x(w) + jy(w),

где x(w) и y{w) - действительные функции переменной w.

Изменяя значение переменной w от —оо до +ос, в системе координат х(ги) —jy(w) строится кривая D - разбиения, по которой затем определяется область устойчивости полинома ß(s).

Метод D - разбиения в плоскости двух параметров также заключается в задании весовых коэффициентов (19), использование которых вместе с введением некоторой перестановки (ji,... ,jm,jm+ ь • • • ,jk) множества {1, ..., к} позволяет разделить изменяемые элементы соотношения (18) на две части

zh = с1Р-> ■ ••> z3m = cmPt ^21)

i=d\t, ..., zjk — dk-mt, где риг- варьируемые действительные параметры.

Подстановка (21) в (18) и соответствующая перегруппировка слагаемых дает выражение

ß(s)^PQ(s) + rR(s) + T(s), (22)

где Q(s) = ЕЕ1(-1)п+г+ас,Л/л(5), R(s) =

r(S)=E?=t+i(-l)B+r+igi-t^(s).

Приравнивание (22) к нулю и выполнение в нем замены переменной s — jw позволяет выразить значения параметров в параметрической форме

Р = fi(w), т = f2(w).

Изменяя в этпх выражениях значение переменной w от —со до +оо, строятся основная граница области устойчивости и особые прямые в плоскости параметров р и т. Затем, используя правила штриховки D - разбиения, выделяется область устойчивости полинома ß(s).

По определенным значениям параметров р и г, соответствующих приемлемому полиному ß(s), путем обратных подстановок можно найти изменяемые элементы строки (17).

В четвертой главе предлагается метод выбора всех элементов матрицы выхода (9) без структурных ограничений, обеспечивающего системе

заданное множество нулей, определяемое полиномом (12). Метод состоит из г итераций, на каждой из которых последовательно определяются ьектор-строки Лх,..., /гг матрицы выхода Н.

Каждая г—я итерация (г = 1,..., г — 1), в свою очередь, состоит из двух шагов, на которых определяются подстроки и,- и д,- вектор-строки

Л,-=[«,- ?, ]. (23)

Первый шаг заключается в определении части элементов вектор-строки Л,, объединенных в подстроку </,- = [Л,>_,-+х ... Л,-п], из условия

= (24)

где ~ минор, стоящий на пересечении строк 1,..., п + г и

столбцов г - г + 1,..., п + г матрицы <Л'($) = 1,

вд =

sIn-A -В

, Н —

Hi-i hi

Hi Oi,,

Показывается, что использование метода главы 2 применительно к соотношению (24) позволяет свести его выполнение к решению СЛАУ относительно подстроки (¡i

AiqJ = <pit (25)

где (fi = [1 0Uvf, a столбцы матрицы Л,- состоят из коэффициентов миноров, получающихся при разложении минора РЙ)'-;^'. n+r по элементам нижней строки.

Доказывается, что СЛАУ (25) разрешима Vî(г = 1,...,г — 1), если в матрице Po(s) — — Л,—S] существует подматрица U(s) =

-^>o(s)ib ->in-r+i,n+i,...,n+r) коэффициенты миноров которой:

.....n+i = [1 S ... 5"] • = К' aij ■ ■ ■ a»j]T,j = 1,..., v + 1,

составленные в матрицу Л = [ Ai Аг ... A„+i ] , удовлетворяют условию: гапк[Л, у] = rank Л, где 9? = [1 01,„]г.

Здесь Po(s)j1,...J„_r+lln+i,...,n+r матрица, состоящая из столбцов ju... ,jn-r+1, п + 1,..., п + г матрицы Po(s) (1 < j\ < ... < j„~r+1 < n — г + 1).

Второй шаг состоит в определении оставшейся части элементов вектор-строки h{, объединенных в подстроку Vi = [/гц ... /г,г_,], из условия

гапк(Я,В) = г. (26)

Показано, что выполнение этого условия путем преобразования к эквивалентному условию àet(HiBBTН[) ф 0 сводится к решению квадратичного уравнения

ViWnvJ + 2ViWi2qJ + qiWaqf - fi = 0, (27)

где константа /; ф 0 выбирается из условия разрешимости уравнения, а Wij образуют матрицу

• [wl Wis

определяемую по формулам:

Wi = ВВТ, Wi = BBT[In - Hll(Hi.1BBTHTl)-^Hi.lBBT],i = 2.....г-1.

На г - ой итерации определяется строка hr — qr из условия (24) при i = г и ipr(s) = P(s), которое преобразуется в СЛАУ (25) с qr = hT и ч>т = [Ah

В конце главы данный метод распространяется на стабилизируемую систему (8), обладающую тем свойством, что у ее матрицы Pq(s) = [sln — А, —В] миноры п - го порядка имеют НОД отличный от единицы.

Пятая глава посвящена решению задачи квадрирования для стабилизируемой и детектируемой системы (8) с выходом

У = Нх, (28)

где dim(y) = Z > г, H - постоянная матрица соответствующих размеров с rank H = 1.

Задача квадрирования заключается в преобразовании /—вектора (28) в г—вектор выхода

y = Wy (29)

и состоит в определении такой г х /—матрицы И7, чтобы система (8),(29) при некотором приемлемом устойчивом полиноме (12) и матрице H = WH удовлетворяла соотношению (10).

Для решения этой задачи было предложено два метода. В первом разделе главы был изложен аналитический метод, опирающийся на метод главы 2 и заключающийся в разделении матрицы W в на две части W = [ Ьт сг ] , где L — (г — 1) х /—матрица, с — /-вектор-строка.

Для избежания вырожденности системы (8),(29) (см. сноску 1 на стр.9) ¿п'с выбираются в виде L = LN\, с = cNi, где N\ — (mi х /), Щ — (m2 х /)—задаваемые матрицы, образующие (/ х /)—матрицу перестановок NT = [N{Nf}, mi + m2 = l.

В свою очередь, для разрешимости соотношения (10) посредством введения некоторого вектора выхода размера г — 1

У = Нх,

(30)

где Н = LH, матрица L выбирается путем выполнения одного из условий:

1. rank НВ = rankLNXHB < г - 1, (31)

2. система (8) ,(30) имеет д "левых" ИН {д <п- г). (32)

При выполнении условия 1 определение строки с сводится решению СЛАУ

Лст =0, (33)

где А = AHTN$ — {v +1) х гпч. - матрица, а матрица Л при введении строки hr = сН и учете обозначения Н = LH получается аналогично матрице А из СЛАУ (15).

При выполнении условия 7 + 1 < где j = max(deg Mi(s),..., degM„(s)), Mi(s) - миноры (14), соответствующие столбцам матрицы Л, СЛАУ (33) и, следовательно, соотношение (12) являются разрешимыми относительно с при любом f3(s) с deg j3(s) < j.

При выполнении условия 2 с учетом результатов главы 2 полином (10) записывается (12) в виде

f3(s)=6.{8)-p(s), (34)

где P(s) = /3o+/?iS + ... + P^-js^ - полином, корни которого произвольные ИН, вводимые в систему (8),(29), 6*(s) делитель миноров (14).

Выделение <5*(s) из левой и правой частей уравнения (13), полученного из (10) путем разложения det P(s) по элементам строки hr = сН матрицы Н = WH, приводит к уравнению

[(_l)«+r+i^i(s) _ _ _ Г+г+пйп{з)]кт = д(в)| (35)

где полиномы M,(s) определяются из соотношений M,(s) -S*(s) = Mi(s), i — 1,..., n и имеют степень deg Mi{s) <v — д.

Аналогично построению СЛАУ (15) из уравнения (13) полиномы Mi(s) . представляются в виде

Mi(e) = [1 в ... в""'] • Л, Л = [«„,• &и ... (36)

и затем вместе с коэффициентами полинома j3(s) используются для построения из уравнения (35) СЛАУ относительно вектор-строки hr

Гктг=р, (37)

где Г = [(-1)П+Г+1А ... (—1)"+г+пГп], $ = h-* 0i,t>-<i+i]T-

С использованием формул hr = сН и с = cN2 СЛАУ (37) затем преобразуется к СЛАУ относительно вектор-строки с

Гст = р, (38)

где Г = ГНТМ% — (v — д + 1) х mi - матрица.

Из (38) следует, что если при выбранных матрицах Ln N\ число левых ИН $ удовлетворяет необходимому условию разрешимости СЛАУ

V — г? + 1 < гпг,

то задача квадрирования системы (8),(28) может быть разрешима при нулевом полиноме (12), имеющем форму (34). В этом случае посредством выбора вектор-строки с в системе (8),(29) можно произвольно задать п — г — д ИН.

Во втором разделе главы 5 был изложен эвристический метод квадрирования системы (8),(28), основанный на случайных изменениях элементов матрицы W, удовлетворяющей ограничениям

W < W < W, (39)

где WnW-заданные матрицы. С учетом обозначения Н = WH и соотношения (10) такое измепепие элементов матрицы W соответствует случайным сдвигам корней полинома ß(s), который не является произвольным. Окончанием процесса сдвигов является выполнение для всех корней полинома ß(s) условия

Re(s) < С, (40)

где ( - действительное отрицательное число.

Метод можно описать следующим алгоритмом:

1. W = удовлетворяющей (39).

2. t= 1, £>№ =W-W.

3. WW = W + TZ^ O D{t~1], к = l,...,m, где П^ - сгенерированные на этом шаге алгоритма матрицы со случайными элементами, равномерно распределенными на отрезке [—0.5; 0.5], О - операция поэлементного умножения матриц.

4. Выбор множества ÍÍ, = ..., W^ : Ж < < W).

5. Если множество üa — 0, то переход на пункт 3, иначе следующий пункт.

6. VH^1') G fi<r определение нуля s^'1' системы (8),(28) при W = W^ с max(Re(s^)).

7. Определение ке для которого

8. =

9. * = л-1.

10. Если в = удовлетворяет (40), то конец алгоритма, иначе пункт 11.

11. Если í > то конец алгоритма, иначе пункт 12.

12. = (1 - е) ■ 2', где 0 < е < 1 и переход на пункт 3.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

В приложении 1 приведены определения основных свойств систем, описанных в пространстве состояний, определения различных типов нулей многомерной системы, используемых в диссертации, и их свойств.

В приложении 2 приведены доказательства основных утверждений и теорем, сформулированных в диссертации.

В приложении 3 приведены документы об использовании результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. С использованием понятия ИН проанализированы предельные свойства решений задач АКОР и фильтрации Калмана. Показано, что:

(а) Предельные свойства решения задачи АКОР, определяемые величиной критерия качества при стремлении к нулю ограничений на управление, зависят, во-первых, от соотношения числа входов системы управления и ранга весовой матрицы состояния, во-вторых, от значений ИН специально сконструированной фиктивной системы управления, матрица выхода которой находится из разложения весовой матрицы состояния.

(б) Предельные свойства решения задачи фильтрации Калмана, определяемые величиной среднеквадратической ошибки оценива-. ния при стремлении к нулю интенсивностей шумов измерений, зависят, во-первых, от соотношения числа выходов системы оценивания и ранга матрицы интенсивностей входных возмущений, во-вторых, от значений ИН специально сконструированной фиктивной системы оценивания, матрица входа которой находится из разложения матрицы интенсивностей входных возмущений.

(в) Неединственность разложения весовой матрицы состояния и матрицы интенсивностей входных возмущений не влияет на значения ИН соответственно фиктивных систем управления и оценивания и поэтому разложение может быть произвольным.

2. Обоснована необходимость и возможность решения проблемы задания нулей посредством конструирования измеряемого выхода. Исследована и решена проблема задания произвольных ИН в системе путем выбора элементов только одной строки матрицы выхода и получены результаты:

(а) Для системы с одним входом получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи задания произвольных ИН.

(б) Для системы с несколькими входами и выходами получены необходимые условия разрешимости задачи задания произвольных ИН.

(в) Разработаны алгоритмы решения задачи задания произвольных ИН для систем с числом датчиков меньшем и равным порядку системы.

3. Предложен новый метод сдвига нулей путем определения неизвестных элементов матрицы выхода, позволяющий учитывать структурные ограничения выхода и использущий такие известные графоаналитические методы проверки устойчивости, как метод корневого годографа, метод D - разбиения в плоскости одного и двух параметров.

4. Предложен новый аналитический метод последовательного построения строк матрицы выхода без структурных ограничений, позволяющий задавать в линейной многомерной системе прозвольное число нулей.

5. Предложен новый аналитический метод задания нулей при квадриро-вании выхода системы, преобразутций данную проблему к решению системы линейных алгебраических уравнений и позволяющий произвольно задавать число нулей меньше максимально возможного.

6. Предложен новый эвристический метод решения задачи квадрирова-нпя, основанный на случайных сдвигах нулей в область, расположенную левее некоторой прямой, находящейся в левой части комплексной плоскости и параллельной мнимой осп.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Смагина Е.М.Сорокин A.B. Связь нулей системы с асимптотическими свойствами оптимального фильтра.//Информационно-управляющие и вычислительные комплексы на основе новый технологий. Наука и маркетинг /Тез. докл. Всеросс. науч.-техн. конф. с междун. участием. - С.-Петербург:СПбИАП, 1992, с.23.

2. Смагина Е.М. Сорокин A.B. Использование понятия нуля системы при выборе весовых матриц в задаче АКОР. ЦИзвестия РАН. Техническая кибернетика, 1993, №3, с.47-52.

3. Смагина Е.М. Сорокин A.B. Связь нулей системы с предельными свойствами оптимального фильтра. //Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками /Межвуз. сб. науч. тр. -Новосибирск-.НГТУ, 1993, Вып.2, с.46-51.

4. Смагина Е.М., Сорокин A.B. Удаление неминимально-фазовых нулей в задаче фильтрации Калмана //Проблемы электротехники /Труды Всесоюз. науч. конф. с междун. участием. - Новосибирск:НГТУ, 1993, Ч.З, с.30-34.

5. Смагина Е.М.Сорокин A.B. Анализ и улучшение асимптотических свойств оптимальной системы. //Проблемы техники и технологий XXI века /Тез. докл. науч. конф. с междун. участием. -КрасноярскгКГТУ, 1994, с.12.

6. Sorokin А.V., Smagina Ye.M. A design of linear time-invariant system output ensuring given transmission zeros. //SIBCONVERS'95 /Abstract of International Scientific Conference. - Tomsk:TACSR, 1995, p.50.

7. Смагина E.M., Сорокин A.B. Способы изменения выхода линейной динамической системы, повышающие ее точностные характеристики. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1996. - 30с. - Деп. в ВИНИТИ 26.03.96, №936-В96.

8. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Синтез выхода линейной стационарной системы, обеспечивающего заданные передаточные нули. // СИБ-КОНВЕРС'95 /Труды междун. науч.-техн. конфер. - Томск:ТАСУР, 1996, Т.1, с.67-69.

9. Сорокин A.B. К проблеме задания передаточных нулей в линейной многомерной стационарной системе, имеющей ограничения на структуру выхода. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1996. - 20с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.96, №1532-В96.

10. Сорокин A.B. Влияние передаточных нулей на точность оценивания фильтра Калмана. //ИНПРИМ-96 / Тез. докл. 11-го Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике. -Новосибирском СО РАН, 1996, Ч.Ш, с.235.

11. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Использование методов корневого годографа и D - разбиения для сдвига нулей в многосвязной системе. If Микропроцессорные системы автоматики /Материалы III Междунар. научно-техн. конфер. - Новосибирск:НГТУ, 1996, с.А35-А37.

12. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Использование метода случайного поиска для решения задачи квадрирования системы управления. //Сб. "Теория и техника автоматического управления", Томск:Ки-бернетический центр при ТПУ, 1995, с.47-52. - Деп. в ВИНИТИ от 12.03.96 №785-В96.

13. Сорокин A.B. Рекуррентный алгоритм синтеза линейной многомерной системы управления с заданными нулями. //Актуальные проблемы электронного приборостроения /Труды III-й Международной конференции АПЭП-96. - Новосибирск:НГТУ, 1996, Том.10, с.41-42.

14. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Рекуррентный метод построения матрицы выхода, обеспечивающего заданные передаточные нули линейной многомерной системы управления. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1997. - 26с. - Деп. в ВИНИТИ 11.02.97, №418-В97.

15. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Исследование и проектирование структурно-ограниченного выхода системы управления и оценивания, задающего нули системы. // Сибирский физ.-техн. пн-т при ТГУ. - Томск,

1997. - 32с. - Деп. в ВИНИТИ 14.11.97, №3333-В97.

16. Сорокин A.B. К проблеме задания пулей при квадрировании системы. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1998. - 13с. - Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, №950-В98.

17. Сорокин A.B. Об одном подходе задания инвариантных нулей при квадрировании системы //ИНПРИМ-98 / Тез. докл. Ш-го Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике. -Новосибирском СО РАН, 1998, Ч.Ш, с.75.

18. Сорокин A.B., Смагина Е.М. О разрешимости задачи задания инвариантных нулей в линейной динамической системе. //ИНПРИМ-98 / Тез. докл. Ш-го Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике. - Новосибирском СО РАН, 1998, Ч.Ш, с.75.

19. Сорокин A.B. Задание инвариантных пулей при квадрировании системы. //Актуальные проблемы электронного приборостроения /Труды IV-й Международной конференции АПЭП-98. - Новосибирск:НГТУ,

1998, Том.13, с.111-112.

Размножаю на ризографе GR 3750, тираж 1 00э*з.г. Томас уя.19-ИГварцсйасой дивизии, 75.

т

/ -) Г—- у* ¡¿0 0

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Сорокин Алексей Викторович

УДК 62.50

ИССЛЕДОВАНИЕ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ С ЗАДАННЫМИ НУЛЯМИ

Специальность 05.13.01 - управление в технических системах

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -доктор физ.-мат. наук Е.М.Смагина

Томск-1998

Содержание

Введение 5

Список основных обозначений 17

Глава 1. Анализ влияния нулей на свойства оптимальных

систем 19

1.1 Введение......................................................19

1.2 Задача АКОР................................................20

1.2.1 Постановка задачи..................................20

1.2.2 Анализ характеристик весовой матрицы состояния, влияющих на качество оптимальной системы 21

1.2.3 Исследование разложения весовой матрицы состояния ................................................23

1.3 Фильтр Калмана............................................27

1.3.1 Постановка задачи..................................27

1.3.2 Анализ характеристик матрицы интенсивностей входных возмущений, влияющих на качество оптимальной системы..............................28

1.3.3 Исследование разложения матрицы интенсивностей входных возмущений..........................30

1.4 Основные выводы............................................35

Глава 2. Задание нулей системы посредством выбора одной

строки матрицы выхода 37

2.1 Введение......................................................37

2.2 Мотивация подхода..........................................37

2.2.1 Задача фильтрации..................................37

2.2.2 Задача управления при неполной информации . 39

2.3 Постановка задачи..........................................41

2.4 Метод решения..............................................42

2.5 Условия разрешимости......................................44

2.5.1 Скалярный вход......................................45

2.5.2 Многомерный вход: число датчиков равно размеру вектора состояния................................46

2.5.3 Многомерный вход: число датчиков меньше размера вектора состояния............................50

2.6 Сравнительный анализ качества оценивания систем с правыми и левыми нулями ................................53

2.7 Основные выводы............................................56

Глава 3. Графо-аналитические методы сдвига нулей 57

3.1 Введение......................................................57

3.2 Постановка задачи..........................................58

3.3 Решение задачи..............................................58

3.4 Условия разрешимости задачи............................60

3.5 Метод корневого годографа................................62

3.6 Метод И - разбиения в плоскости одного параметра . . 64

3.7 Метод Б - разбиения в плоскости двух параметров . . 66

3.8 Основные выводы............................................68

Глава 4. Задание нулей системы посредством выбора матрицы выхода, не имеющей структурных ограничений 70

4.1 Введение......................................................70

4.2 Постановка задачи..........................................70

4.3 Решение задачи..............................................71

4.3.1 Допущения............................................71

4.3.2 Краткое изложение идеи алгоритма..............72

4.3.3 Вывод основных уравнений 1-го этапа алгоритма и определение условий их разрешимости ... 74

4.3.4 Вывод основного уравнения 2-го этапа алгоритма и определение условий его разрешимости . . 78

4.3.5 Алгоритм вычисления матрицы выхода..........79

4.4 Обобщение алгоритма на стабилизируемые системы . . 86

4.5 Основные выводы............................................87

Глава 5. Задание нулей при квадрировании системы 89

5.1 Введение......................................................89

5.2 Аналитический метод......................................90

5.2.1 Постановка задачи..................................90

5.2.2 Решение задачи......................................90

5.2.3 Алгоритм задания нулей при квадрировании системы................................................97

5.3 Эвристический метод........................................98

5.3.1 Постановка задачи..................................98

5.3.2 Алгоритм случайного сдвига нулей при квадри-ровании системы....................................99

5.4 Основные выводы............................................102

Заключение 103

Литература 106

Приложение 1. Некоторые свойства и характеристики линейных динамических систем 115

П1.1 Определения управляемости и наблюдаемости..........115

П1.2 Определения стабилизирумости и детектирумости . . . 116

П1.3 Некоторые определения и свойства нулей системы . . . 117

П1.4 Сведения из теории матриц..................................118

Приложение 2. Доказательства утверждений 120

П2.1 Доказательства утверждений главы 1....................120

П2.2 Доказательства утверждений главы 2....................122

П2.3 Доказательства утверждений главы 4....................129

Приложение 3. Документы, подтверждающие использование

результатов диссертации 130

Введение

Проблема достижения приемлемого качества систем управления и оценивания играет важную роль в современной теории управления, где под качеством системы подразумеваются такие ее свойства^как точность регулирования (оценивания), динамика переходных процессов, робастность (нечувствительность к возмущениям в параметрах и на входе/выходе системы). Для достижения требуемых свойств проектируемой системы может применяться широкий спектр подходов и методов, однако их использование и возможности зависят от свойств объекта управления (оценивания). В теории систем с обратной связью (ОС) эти свойства полностью определяются такими характеристиками передаточной функции системы^ как полюса и нули. Сдвиг полюсов осуществляется выбором ОС, и в настоящее время известно много методов, посвященных решению этой задачи [1,2,17]. Однако достижение желаемого качества невозможно без учета значений нулей. Поэтому в ряде случаев возникает проблема сдвига нулей в некоторые точки комплексной плоскости.

В рамках классической теории регулирования, использующей частотный подход для систем с одним входом/выходом, и в таких методах, как корневой годограф [54,72,73] и критерий Найквиста [6,21,22], проблема выбора взаимного расположения нулей и полюсов для достижения приемлемых свойств в замкнутой системе достаточно полно изучена. Например, хорошо известно [6,10, 21,22, 52,53, 75], что сдвигая нули передаточной функции системы,можно менять такие показатели качества3как время и динамика переходного процесса, а также чувствительность замкнутой системы к неопределенностям в ее параметрах и к возмущениям на ее входе [75], играющую ключевую роль при конструировании систем с ОС [10, 75]. Кроме того, как было отмечено в [77], система с правыми нулями (неминимально фазовая система) слабо реагирует на ОС, что ухудшает ее качество. В рамках данного подхода общие рекомендации по заданию нулей можно выразить следующим образом: для достижения приемлемого качества проектируемой системы необходимо, чтобы у ее передаточной функции не было правых нулей [56].

В рамках метода пространства состояний, появившегося из недр частотного подхода вследствие бурного развития теории управления в конце 50-х начале 60-х годов и, конечно, благодаря работам Калмана [9,78,79], проблема качества была оттеснена на второй план простотой и алгорит-

мической стройностью решения многих задач управления для многомерных систем. В целом, применение метода пространства состояний, хотя и давало легко алгоритмически реализуемые подходы решения [1,2,11,17], но не всегда гарантировало требуемого качества проектируемой системы, поскольку, как правило, определяло качество скалярным критерием [56]. Поэтому в основном решались проблемы устойчивости и задания полюсов системы. Проблема задания нулей, пока еще не обобщенных на многомерные системы, оставалась без внимания. Накопленный же опыт частотных методов по достижению приемлемого качества был малопригоден для многомерных систем и не был востребован. Лишь только в конце 60-х и начале 70-х годов появился всплеск работ, в котором наблюдается рост интереса к частотному подходу с точки зрения его распространения на многомерные системы. Обобщение классического частотного подхода на случай многомерных систем с многими входами/выходами позволило по новому взглянуть на проблему формирования качества системы. В первую очередь, это было связано с обобщением нулей скалярной передаточной функции на случай нулей матричной передаточной функции (МПФ) [96], описывающей многомерную систему. Данное обобщение проложило " мостик" между классическим частотным подходом и методом пространства состояний и, как следствие, дало толчок к решению многих задач теории многомерных систем. Впоследствии было введено новое понятие инвариантного нуля, обобщающее понятие нуля МПФ и позволяющее в ряде случаев исследовать такие свойства системы, как стабилизируемость и детектируемость [89], введенные в методе пространства состояний. Для более полного анализа всех типов нулей и их роли в некоторых задачах теории управления можно обратиться к зарубежным обзорам [89,99,101], а также отечественному обзору [27] и книге [30].

В настоящее время известно достаточно большое число задач, условия разрешимости которых тесно связаны с значениями нулей многомерной системы [27,30,99,101]. Среди них, например, можно выделить: задачи достижения максимальной точности оптимального регулирования и минимальной ошибки оценивания фильтра Калмана [10,84]; задачи статического развязывания [15,108]; задачи компенсации постоянных возмущений с помощью интегральной ОС [10,31,104]; задачу оптимальной фильтрации с цветными шумами [36]; задачи слежения за полиномиальным сигналом [40] при наличии возмущений на входе и выходе; задачи построения сервокомпенсаторов [1,41,64-67,69,74]; задачу функциональной воспроизводимости [56]; задачу ивариантности [18] и зануления регулируемого выхода [87]. Кроме этого, значение нулей оказывают значительное влияние на использование подхода Д:х,, применяемого для проектирования робастных

систем [23, 71,102], на конструирование регуляторов посредством построения обратных систем [57], на чувствительность системы к неопределенностям в ее параметрах и к возмущениям на ее входе [10, 75], на предельные возможности оптимальных законов управления [20,68,85,92] и на использование метода корневого годографа [90] и критерия Найквиста [83] для многомерных систем.

Вышеизложенное приводит к необходимости исследования и решения проблемы задания или формирования множества нулей многомерной системы в той мере, в какой это возможно. В отличие от полюсов, нули многомерной системы не сдигаются с помощью ОС [89,96], однако их число может быть или увеличишь или уменьшено. Так, например, динамическая ОС вводит в систему произвольно выбираемые дополнительные нули [30,93], оставляя без изменений исходные нули системы. Тем не менее в некоторых случаях [86] показывается, что использование вибрационной ОС, являющейся одной из разновидностей динамической ОС, позволяет преобразовать управляемую и наблюдаемую систему с одним входом/выходом к системе большего порядка с произвольно заданными нулями.

С помощью статической ОС как по выходу, так и по состоянию в ряде случаев можно уменьшать множество нулей исходной системы путем сокращения нуля соответствующим полюсом. Данный подход, называемый методом аннулирования [110], применим только для минимально фазовых систем (систем без правых нулей) и не может быть использован для неминимально фазовых систем. Это вызвано не всегда точным сокращением полюса и нуля, которое может быть обусловлено как возможными флуктуациями параметров системы, так и точностью вычислений ЦВМ. В результате возможно нарушение устойчивости проектируемой системы. Однако и для минимально фазовых систем применение метода аннулирования может вызвать нежелательный эффект, связанный с потерей управляемости и наблюдаемости системы [6,96,109], что также затрудняет его широкое применение на практике.

Другим способом формирования заданного множества нулей или их сдвига является построение выхода или входа системы. Такая возможность иногда имеется на ранней стадии проектирования, когда производится выбор измерительных датчиков и переменных, с помощью которых производится управление системой. Интуитивно понятно, что чем больше датчиков, тем должно быть лучше качество проектируемой системы. Однако если при построении выхода/входа не учитывать значения появляющихся при этом нулей, то можно получить систему, слабо реагирующую на ОС и, как следствие, имеющую плохие качественные характеристики. При

идеальном описании датчиков [19] задание нулей, по сути, сводится к выбору элементов матрицы выхода. При неидеальном описании датчиков [3] сначала требуется предварительное преобразование системы и датчиков к желаемой форме [16, с.201], которое, конечно, невозможно, если матрицы системы плохо обусловлены. Преобразования системы не требуется при построении управляемого (не измеряемого) выхода, обеспечивающего системе управления заданные нули. Построение такого выхода необходимо при конструировании весовой матрицы состояния в задаче АКОР [76,106], обеспечивающей хорошую реакцию оптимальной системы на ОС.

Впервые задача задания нулей посредством выбора элементов матрицы выхода была сформулирована и решена Розенброком в работах [96,97]. Для ее решения он использовал хорошо известные методы преобразования полиномиальных матриц применительно к МПФ, а в качестве условий разрешимости получил соотношения, накладываемые на инвариантные полиномы числителя и знаменателя желаемой МПФ в форме Смита-Макмиллана. В настоящее время известно несколько подходов к заданию нулей, которые имеют следующие особенности. В работе [82] Коуварита-кисом и Макфарлейном был предложен метод задания нулей, основанный на преобразовании этой проблемы к задаче задания обобщенных собственных чисел пары матриц, построенных из матрицы динамики системы и " анигиляторов" (ортогональных дополнений) матриц входа и выхода. В результате этого преобразования проблема задания нулей сводилась к исследованию и решению некоторого линейного матричного алгебраического уравнения. Однако при изложении этого метода не были учтены свойства матриц выхода и входа, влияющие на задание возможного числа нулей. В/последствии этот недостаток был успешно доработан в работе [60]. В работе Мисры и Пэйтела [91] проблема задания нулей для управляемой системы с неправильной МПФ была сведена к задаче управления полюсами по выходу некоторой специально сконструированной обратной системы, разрешимость которой при статической ОС не вседа имеет место. Для преодоления этой трудности в работе [91] была рассмотрена возможность применения динамической ОС и было показано, что использование данного подхода, по существу, эквивалентно построению компенсирующей МПФ ("feedthrough. compensator"), параллельно соединенной с исходной МПФ. В дальнейшем использование идеи этого подхода было успешно применено при проектировании робота-манипулятора [94]. Метод задания нулей для отдельно взятого элемента МПФ был предложен в работе [61]. И хотя использование этого метода сводит задачу задания нулей скалярной передаточной функции с помощью ортогональных преобразований к задаче задания полюсов некоторой системы с одним входом/выходом, его

распространение на случай задания нулей МПФ имеет большие трудности. Отличными от этих методов являются методы задания нулей, использующие преобразования системы в каноническую форму Йокояма [30], и ограниченные заданием в ней максимального числа нулей и ее управляемостью. Они содержат следующие подходы решения проблемы. В работах [26,28] проблема задания нулей, обеспечивающих наблюдаемость системе, была сведена к задаче минимизации специально сконструированной функции относительно элементов матрицы выхода, учитывающей и желаемое расположение нулей^ и ограничения на структуру матрицы выхода. Условия разрешимости, полученные в этой работе, ограничивались свойством управляемости системы и несовпадением ее полюсов с задаваемыми нулями. В работах [29,103] проблема задания нулей была решена как проблема задания собственных чисел специально сконструированной матрицы. Развитие этих идей, продолженное в работе [38], свело проблему задания нулей к задаче управления полюсами специально построенной системы, меньшего порядка, чем порядок исходной системы. В заключении этого абзаца можно выделить подход задания нулей МПФ Харви и Штейна [76], приспособленный для построения весовой матрицы состояния оптимального критерия качества и требующий, помимо знания желаемых нулей, задания соответствующих им нулевых направлений [89]. Его использование было ограничено управляемыми системами, но в /п о с лед с т в и и было распространено и на стабилизируемые системы [106].

К другому классу задач задания нулей, относятся задачи "квадрирова-ния" ("squaring problem")[30,82], в которых сдвиг нулей осуществляется не выбором соответствующих элементов матриц входа/выхода, а путем линейных преобразований последних или выбора специально сконструированных компенсаторов на входе и выходе системы. Эти задачи, как правило, возникают при конструировании многосвязных систем, в которых контуры ОС вводятся между равным числом входов и выходов. Поэтому систему с неравным числом входов и выходов (неквадратную систему) предварительно преобразовывают в систему с равным числом входов и выходов