автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования

На правах рукописи

Соболева Дарья Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ГЛОБАЛЬНЫХ АТТРАКТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ^К 2013

Тула 2013

005542602

005542602

Работа выполнена на кафедре «Математический анализ» в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Буркин Игорь Михайлович

Мамонов Сергей Станиславович, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина», профессор кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин

Агуреев Игорь Евгеньевич, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет», профессор кафедры «Автомобили и автомобильное хозяйство»

ФГБУН «Институт проблем машиноведения РАН», г. Санкт-Петербург

Защита диссертации состоится «30» декабря 2013 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр-т Ленина, 92 (12-105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр-т Ленина, 92.

Автореферат разослан «29» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.271.05

доктор физико-математических наук, доцент

с/и^сы^

Марина Юрьевна Соколова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие современных компьютерных технологий и, в том числе, универсальных систем компьютерной математики способствует формированию современной тенденции синтеза аналитических и численных методов при решении сложных математических проблем. Одной из таких проблем является проблема изучения структуры глобального аттрактора многомерных динамических систем и, в частности, многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Исторически эта задача восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков во второй половине XX века в решении этой проблемы был достигнут существенный прогресс (H.H. Баутин, Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов, Е.А. Леонтович-Андронова, И.Г. Петровский, Е.М. Ландис, К.С. Сибирский, В.А. Гайко, S. Shi, A. Gassul, Е.М. James, N.G. Lloyd, T.R. Blows, L. Chen, M. Wang, I. Itenberg). Методам оценки числа циклов систем фазовой автоподстройки частоты посвящены работы С.С. Мамонова. Новые аспекты этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С. Смейла, показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например, кусочно-линейной), может содержать бесконечное число неустойчивых циклов или странный аттрактор.

Аттракторы в нелинейных динамических системах можно разделить на возбуждающиеся из состояния равновесия и скрытые (по терминологии Г.А. Леонова) аттракторы, область притяжения которых не содержит окрестностей состояний равновесия. Аттракторы, возбуждающиеся из состояния равновесия, могут быть обнаружены путем численного интегрирования системы при выборе начальных условий из малой окрестности неустойчивого состояния равновесия. Так как область притяжения скрытого аттрактора не содержит окрестностей состояний равновесия, для его обнаружения необходимы специальные методы оценки таких областей.

Ситуация, когда система имеет как возбуждающиеся из состояния равновесия, так и скрытые аттракторы, является, в определенном смысле, промежуточной между порядком и хаосом. Выбор начальных условий в областях притяжения каждого из аттракторов выводит систему на различные колебательные режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается «эффект буферности» .

Техника обнаружения эффекта буферности для многомерных динамических систем, опирающаяся на обобщенный принцип Пуанкаре - Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту, была предложена в серии работ И.М. Буркина и O.A. Якушина, в которых были развиты методы оценки числа циклов многомерных моделей автономных регулируемых систем с одним нелинейным блоком. Поэтому актуальной является разработка критериев, охватывающих случаи, когда для исследуемой системы не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре-Бендиксона, а также случай многосвязных систем автоматического регулирования.

Оценка областей притяжения орбитально устойчивых циклов многомерных систем автоматического регулирования с единственным состоянием равновесия приводит к необходимости решения линейных матричных неравенств. Матричные неравенства широко применяются также в задачах теории устойчивости, теории управле-

1 Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Явление буферности в резонансных системах нелинейны)| гиперболических уравнений // Успехи матем. наук. 2000. Т. 55. Вып. 2. С. 95-120. I

ния, обработки сигналов, адаптивных и оптимальных систем. Вопросами разрешимости матричных неравенств занимались А.Н. Чурилов, В.А. Якубович, П.В. Пакшин, A.JI. Фрадков и др. В последние годы появилось много программных пакетов с решателями матричных неравенств, таких как LMILab, LMITOOL, SeDuMe Interface, YALMIP и KYPD. Численные алгоритмы, используемые в этих пакетах, позволяют находить, как правило, какое-либо одно решение.

Задача исследования структуры глобального аттрактора многомерных систем автоматического регулирования с несколькими нелинейными блоками наталкивается на существенные вычислительные трудности, связанные с необходимостью отыскания не отдельного решения матричного неравенства, а некоторого семейства решений, обладающих заданными свойствами. В связи с этим актуальной является задача разработки численных алгоритмов, позволяющих находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

Цель и задачи работы. Целью работы является разработка численно-аналитических методов исследования структуры глобального аттрактора (оценка числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных динамических систем с единственным состоянием равновесия, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в многомерных системах автоматического регулирования.

Для ее достижения поставлены следующие задачи:

1. Разработать вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

2. Разработать метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона.

3. Разработать метод оценки числа циклов многомерных динамических систем, при исследовании которых не удается применить обобщенный принцип Пуанкаре -Бендиксона.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, частотные методы; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной алгебры Maple.

Научная новизна н результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе разработаны новые численно-аналитические методы анализа структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

- решена задача С. Смейла, относящаяся к теории химической кинетики биологических клеток: найдены условия, при выполнении которых в результате линейной связи между двумя нелинейными устойчивыми в целом системами порядка и, возникает система порядка 2п, почти каждое решение которой асимптотически приближается к орбитально устойчивому циклу;

разработан и доведен до программной реализации в пакете Maple вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами;

- разработан метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона;

- разработан метод оценки числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования с одним нелинейным блоком, для которых не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре - Бендиксона.

Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории управления, теории автоматического регулирования и нелинейных колебаний при анализе многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)» (Россия, Москва, 2010, 2012), «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 2008, 2011, 2012, 2013), «Dynamical System Modelling And Stability Investigation» (Украина, Киев, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 13 печатных работ [1-13], в том числе три в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК [1-3]. В работах [1,3] И.М. Буркину принадлежат постановки задач и идеи методов исследования. Соискателю принадлежат доказательства теорем, реализация численных алгоритмов решения матричных неравенств и построение примеров. В работе [2] соискателю принадлежит доказательство теоремы 2 и построение примера к ней.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, списка литературы, включающего 180 наименований, изложена на 110 страницах машинописного текста и содержит 15 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, указаны цель и задачи, решаемые в диссертации, излагаются основные положения,

выносимые на защиту.

В главе 1 дается обзор методов исследования структуры минимального глобального аттрактора многомерных регулируемых систем, а также в пакете Maple разрабатывается программа, позволяющая находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

В разделе 1.1 рассматриваются математические модели систем автоматического регулирования, сформулированы основные понятия, характеризующие системы автоматического регулирования.

В разделе 1.2 дается обзор методов доказательства существования циклов многомерных автономных систем. Показано, что задача оценки областей притяжения устойчивых циклов приводит к необходимости отыскания некоторого семейства решений матричного неравенства

2х'Н(Ах + < -г(|х|2 +| £ |2), (1)

где А, В - вещественные постоянные матрицы порядков, соответственно их л,

пхт, хеЛ", | е /Г, Ф(х,£) - квадратичная форма переменных х и которая имеет вид:

где О = С = Г - постоянные вещественные матрицы порядков соответственно пхп,пхт и тхт,(т<п), х б е Л™.

Используемые в настоящее время численные алгоритмы отыскания решения матричного неравенства (1) позволяют, как правило, найти какое-либо одно его решение. В разделе 1.3. представлен вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений неравенства (1). В основу этого алгоритма положен метод решения неравенства (1), предложенный В.А. Якубовичем.

В разделе 1.4 приводится описание разработанного с использованием системы компьютерной алгебры Мар1е и языка программирования С# комплекса программ для автоматизации процедуры решения матричного неравенства (1).

В главе 2 получены эффективно проверяемые условия существования скрытых аттракторов у многосвязных систем автоматического регулирования, опирающиеся на предположение о выполнении условий обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона.

^ Широкий класс систем автоматического регулирования с т входами и т нелинейными блоками может быть описан системой дифференциальных уравнений вида

^ = Ах + В£,$ = <р(о),о = С'х. (4)

Здесь А, В, С - вещественные постоянные матрицы порядков, соответственно пхп, пхт и пхт, где т<п, х е Я", £ е К". Каждый нелинейный блок системы регулирования имеет один скалярный вход и один выход, то есть %.=<р.(о.), у = 1,2,...,то, где <Р](<У/) -непрерывные функции.

Найдены ограничения, накладываемые на матрицы А, В, С линейной части системы (4), при выполнении которых можно синтезировать систему вида (4), обладающую любым наперед заданным числом орбитально асимптотически устойчивых циклов.

Передаточная матрица Ж(р) = С'(А-р1я)~'В системы (4), где р - комплексная переменная, предполагается невырожденной.

Пусть выполнены условия

-<?>Д<\,) „

и--ь ц] для всех а, у е (-да, оо),^ * ст2 .,

' 7 (5)

<рД0) = 0, / = 1,2, / = 1,2,...,т.

Все формулируемые критерии существования циклов у системы (4) используют предположение о том, что х = О - единственная точка покоя этой системы. Это предположение эквивалентно требованию существования единственного тривиального решения системы

<т0 + ^(0Жст0) = 0, где ап=со1(о1>,...о1), (р{а0) = соК<рх(аХ-,(рЛО)- (6)

Положим Ш(0) = (н'и)тхт.

Будем говорить, что матрица О) «допускает редуцирование по варианту 1», если все элементы /'-ой строки этой матрицы, кроме элемента равны нулю. Будем говорить, что матрица IV(0) «допускает редуцирование по варианту 2», если все элементы в каких-либо строках г и у этой матрицы, кроме элементов н>„ ,мл , и мг^, равны нулю. Редуцированием матрицы по варианту 1 будем называть матрицу, в которой все элементы в строке и столбце с номером г заменены нулями. Редуцированием матрицы по варианту 2 будем называть матрицу, в которой все элементы в столбцах с номерами г и у заменены нулями.

Следующая лемма доставляет условия существования только тривиального

решения системы (6).

Лемма 1. Пусть матрица IV(0) допускает последовательные редуцирования

по вариантам 1 или 2 до тех пор, пока она не станет нулевой тхт-матрицей. Если при редуцировании по варианту 1 всякий раз выполнено условие м>„ > -ДГ1, а при редуцировании по варианту 2 выполняются условия н'„ > -р,', > -ц/, < 0, то система (6) имеет только тривиальное решение 0° =<Т° = •■• = = 0 (система (4)

имеет единственное состояние равновесия х = 0).

Пусть выполнены следующие предположения, гарантирующие выполнение условий обобщенного принципа Пуанкаре - Бендиксона.

Предположение 1. Существует такое число А>0, что при всех <це(-со,сс)

справедливо частотное неравенство

ёс1 Ке[1т + М№(10)- А)] * 0, М = ,(12,...,цт),

и при этом для некоторой матрицы М = сНа£(р1,р1,...,Ц„), где 0<р,<Ц, (7 = 1,2,...,т), матрица А + ВМС' имеет ровно два собственных значения с положительными вещественными частями и не имеет их в полосе -X < Яе р < 0.

Предположение 2. Для некоторой матрицы М = diag(¡^^,(^2,...,{^m), где Де[0,Д,), ¿ = 1,2,...,т, матрица А + ВМС' гурвицева. Доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть для системы (4) выполнены предположения 1 и 2, а также условия леммы 1. Тогда нелинейности <ру(сгу), у = 1,2,...,от, в системе (4) всегда могут быть выбраны так, что они удовлетворяют соотношениям (5), система является диссипативной по Левинсону и имеет любое наперед заданное число орбиталь-но устойчивых циклов.

Приведем алгоритм, позволяющий «сконструировать» нелинейности <ру(сх,)

(у = 1,2,...,ш) так, чтобы система (4) имела заданное число циклов.

Запишем систему (4) в виде х = (А + ВМС')х + В(рх(с),г№ <Р,(ст) = <р(а)-Ма , |<р,((7)] < а,Ма . Линейным неособым преобразованием х = 0у приведем ее к виду

у 2 = в2у2+£2(у).

Пусть матрица Я - решение неравенства

м

м

где z = xx{t)-x2{t), y(t,a) = (p'[e(t)c\(t) + (l-e{t))c'x2(t)]a, x¡(t), x2(t) -решения системы (4), e(t) - непрерывная функция, удовлетворяющая условиям

Положим N = Q HQ, в - наименьшее собственное значение положительно определенной матрицы D2 + D¡, С' = col(c¡, с*,..., с*).

Выберем <z>,(cTf), i = \,2,...,т, так, что |<р,(ст,.)-Д<т, |<а,, при ст, e[-v, ,v,.], V,. = max\c-Qy |, где 7¡ = : у Ny < 0,| 1< 20"' || FQ 'B || а}, а = max а,-.

Запишем теперь систему (4) в виде х = (А +ВМС')х + В((р(о)~ Мо). Пусть Z3 = max А' ' = 1,2,...,m, матрица Р = Р' > 0 - решение уравнения Ляпунова Р(А + ВМС') + (А + ВМС')'Р = -I.

Вычислим т, = max | с'х \, где Т2 = {х: х'Нх < 0,х'Рх < 4q || РВ ||2 уЗ2}, q - наибольшее собственное значение матрицы Р. Продолжим <р,(сг,.), z = l,2,...,m, на е с сохранением условия | <р,(<х,) - Д<х, |< Д.

Найдем ^ =сттах ^Дст^-Д.ст. |. Потребуем, чтобы на промежутке

где v! = пмх \c'Qy |, 7¡' = {у: yNy < 0,| у2 |< 20 ' || FQ 'B || а1},

а1 = max а), выполнялись неравенства | <р,(ст,)- Дет,. \<а). Продолжим нелинейности <Д(<х,.) вне отрезка [-v!,v'] так, чтобы выполнялись условия (5) и система была дис-сипативной по Левинсону. Тогда согласно утверждению теоремы 1 система (4) имеет не менее трех циклов, по крайней мере, два из которых орбитально устойчивы.

Продолжая рассуждать подобным образом, мы «сконструируем» нелинейность ср(а) так, чтобы

система имела любое наперед заданное число циклов, среди которых будет заданное число орбитально устойчивых циклов.

Изложенный способ конструирования нелинейностей не только обеспечивает существование заданного числа циклов у системы (4), но и позволяет получить явные оценки областей притяжения устойчивых циклов. Последнее обстоятельство дает возможность гарантированно обнаруживать все устойчивые циклы путем численного интегрирования системы.

Для

реализации алгоритма оценки областей притяжения устойчивых циклов разработан комплекс программ на базе системы компьютерной алгебры Maple.

В качестве примера в работе рассмотрена система (4) с. нятпч„я.,и ' -3.5 -0.75 -3.25 А= -2.25 0.125 -3.125 ч 0.75 0.625 0.375

Показано, что система (4) с нечетными нелинейностями щ(сг,) и <р2(а2), которые при <т, > 0, а2> 0 имеют вид

\ ' 0.5 -3.75 > '2 14

, в = -0.25 -1.875 , С = -3 -2

J -0.25 0.625 , ,3 о,

02 Ю =

<7, при 0 < сг, <0.01,

0.095+ 0.05СГ, при 0.01 <(7, <3.97854,

-3.770112 + СГ, при 3.97854 < ст, <5.02929,

0.05сг, +1.00772 +О.ОЗвіпСст, -5.02929) при сг, >5.02929;

1.5ст2 при 0 < сг, <0.01,

0.0145 + 0.05ст2 при 0.01 <ст2 <4.1291,

-5.97269 +1.5(Т2 при 4.1291 < сг2 < 5.115685,

0.05а, +1.44505 + 0.02 соэ + аг

5.115685 при ст2 >5.115685,

имеет не менее трех циклов, не менее, чем два из которых орбитально устойчивы, что подтверждается результатами численного интегрирования (рис. 1).

«И®

Рис. 1. Результаты численного интегрирования

На рис. 1 представлены орбитально устойчивые циклы (малый и большой), третий цикл численным интегрированием обнаружить не удается ввиду его неустойчивости. Начальные условия выбирались в областях притяжения устойчивых циклов, оценки которых получены в процессе анализа системы.

В главе 3 рассматривается класс многомерных нелинейных динамических систем с единственным состоянием равновесия, для которых не выполнены условия обобщенного принципа Пуанкаре - Бендиксона.

В разделе 3.1 рассматривается автономная система

х = /(х), 1еГ, (8)

имеющая единственное состояние равновесия х = 0.

Пусть Н = Н* - и х и-матрица, имеющая 2 отрицательных ил-2 положительных собственных значения, У(х) - дифференцируемая функция, К(0) = 0, множество К = {х:К(х)<0} гомеоморфно двумерному конусу К = {х: х*Ях < о] в Я", множество дК = {х: У(х) = 0} - граница множества К .

В работе приведено доказательство следующей теоремы:

Терема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) Существует такое число А>0, что для производной V(x) функции V(x) в силу системы (8) при всех хе R" справедливо соотношение

V(x) + 2XV(x)<0.

2) Существуют бесконтактные для траекторий системы (8) поверхности 8GU 8G2, 8G}, гомеоморфные либо эллипсоиду, либо эллиптическому цилиндру с 1-основанием такие, что OeG,., и поверхности 8G, Г\К и свг п К пересекаются вовнутрь (наружу) теми траекториями системы (8), которые их встречают, а поверхность cG2 г\К - наружу (вовнутрь).

3) Множества К nGvK r\G2,K nG3 непусты, ограничены и

Кr\G[с Кп^ с Кr\Gl.

4) Существует (п-\)-мерная гиперплоскость П = {х: hTx = о}, обладающая свойством возвращаемости для всех ограниченных на [0;оо) траекторий системы (8) и такая, что «множество контакта» |х: hTx = 0, h' f (х) = Oj с R" \ К.

Тогда система (8) имеет не менее двух циклов.

В основу доказательства теоремы 2 положена методика конструирования одновременно нескольких инвариантных торов с общими элементами границы в фазовом пространстве динамической системы, в каждом из которых содержится по крайней мере один цикл системы. Доказательство опирается на теоремы М.А. Красносельского об условиях существования неподвижных точек векторных полей.

В разделе 3.2 рассматривается многомерная модель системы автоматического регулирования вида:

z = Az + b(p(a),

ö = cTz +,в<р(а), (9)

где А - (и -1) х (и -1) -матрица, b и с - (п -1) -векторы, связанные соотношением сТЬ< 0, <р(а) - непрерывная функция, ß < 0. Для такой системы условия теоремы 2 допускают эффективную проверку.

Пусть функция W(p) = cT(Л-plb = m(p)[n(j>)Y{, где п{р) = det(/>/„_, - Л), невырождена.

Доказана следующая теорема:

Теорема 3. Пусть существует такое число Я > 0, что выполнены условия:

1) При всех О)>0 справедливы неравенства

Re IV(ico-X) < 0, lim w1 Re w(ico - X) < 0.

üb-» 00

2) Многочлен n(p-X) имеет один положительный корень и п-2 корня с отрицательными вещественными частями.

3) Для некоторого р, е(0,-А/Г') многочлен [т(р)~ рп(рЩ + рп(р) имеет два корня с положительными вещественными частями.

4) Для некоторого ц2 е (д.-А/Г1) многочлен [т(р)-ßn(p)]fi2 + рп{р) гурви-

цев.

ь =

,р=-1.

Тогда можно подобрать такую непрерывную функцию (р(а), удовлетворяющую условиям

(р(0) = 0,<р(а)а > 0 при сгфО, (10)

что система (9) будет иметь единственную точку покоя и любое наперед заданное число циклов.

(0 1 ^

В качестве примера в работе рассмотрена система (9) с матрицей А = I I,

-бо)'с = (о)

Для ц, =0.5, ц2 =3.8, Я = 4 выполнены условия 1)-4) теоремы 2, где можно положить.

Функцию (р(<7), удовлетворяющую условиям (10), выбираем так, чтобы она была дифференцируемой везде на (-оо;оо) за исключением, может быть, конечного числа точек, в которых ее производная терпит разрывы первого рода. При этом во всех точках непрерывности ср'(а) выполняется условие (р'(<7) < —ЯД 1, Я = 4.

Например, возьмем нечетную функцию <р(<7), которая при сг>0 задается следующим образом:

0.5а при 0 <а< 0.0001, -0.00033+ 3.8ст при 0.0001 < с < 0.3691056, 0.121474848 + 0.5(7 при 0.3691056 < ст < 4.854172, -15.89729275+ 3.8ст при а > 4.854172.

По теореме 3 рассматриваемая система имеет не менее трех циклов.

На рис. 2 представлены орбитально устойчивые циклы (малый и большой), третий цикл численным интегрированием обнаружить не удалось ввиду его неустойчивости.

4']©

Рис. 2. Результаты численного интегрирования системы

Глава 4 посвящена решению известной задачи С. Смейла, поставленной им в 1974 году. Суть этой задачи заключается в следующем: возможно ли получить систему порядка 2п, почти каждое решение которой асимптотически приближается к

единственному орбитально устойчивому циклу, линейно связав две нелинейные устойчивые в целом системы порядка п.

В качестве модельной задачи С. Смейл рассмотрел задачу о химической кинетике N биологических клеток, содержащих п ферментов, которые реагируют между собой. Динамика каждой клетки в R" описывается системой дифференциальных уравнений:

^ = Rx + q%, 4=(р(о), а = г'х, (11)

где R - их п -матрица, q и г - и-векторы, <р(о) - непрерывно дифференцируемая функция.

В типичном случае динамика одной клетки такова, что эта система имеет единственное устойчивое в целом состояние равновесия хе R". Клетки взаимодействуют между собой путем диффузии через мембрану. Смейл поставил следующую задачу: система дифференциальных уравнений порядка 2п, описывающая взаимодействие двух примыкающих клеток

где =<p(aj, =<р(<т2), сг, = rV", о2 =г'хт, должна являться глобальным осциллятором, то есть иметь единственное устойчивое нетривиальное периодическое ре-щение, к которому асимптотически стремятся все остальные решения системы.

Сам С. Смейл нашел решение предложенной им задачи для случая двух клеток (N = 2) с четырьмя ферментами (п = 4), сведя возникающую задачу к исследованию известного уравнения Ван-дер-Поля. При этом С. Смейл подчеркнул, что проблемой является уменьшение числа ферментов до двух или даже до трех.

Поставленная С. Смейлом задача была частично решена в работах Э.А. Томберга, В.А. Якубовича. Однако условие существования устойчивого цикла было заменено на более слабое условие «автоколебательности» системы.

Систему (12) можно записать в виде

Ах + ЬС(о\а = с'х. (13)

Здесь £ = «>/(§„&), <« =«р(<т,), =<р(ст2), ст, =rV°, / = 1,2, а 2их2л-матрица А и 2«х2 матрицы Ъ и с имеют вид

a_\r~d d I! b_h o|| _||r ofj

II D Л-ö'r "||o <j|' ° ~ |]0 rf

Доказана следующая теорема:

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:

1) (р(0) = 0 и для некоторого /I, > 0 при всех а е (-со,со) справедливо неравенство 0 < (р\а) < /л,.

2) Существует такое число Я > 0, что все собственные значения матрицы R расположены в полуплоскости Rep < Я и справедливы соотношения

Ц'1 +Яе^(/£О-Я)>0 при ео>0, (14)

U,'1 +RefF2(ico-Ä)>0 при со>0. (15)

3) Все собственные значения матрицы Я-Ю имеют отрицательные вещественные части (матрица Н - Ю гурвицева) и существуют положительные числа ц2 < цх и <т0 такие, что

¡и2-'+ЯеЩ(1О})>0, ^"ЧЯе^ (;ю)>0 при со> 0, (16)

О < (р{а)о < ц2ог при \ а |> (70.

4) Матрица Я -2£> + <р'(0)дг' имеет ровно 2 собственных значения с положительными вещественными частями и не имеет их в полосе -Л < Яе р < О.

5) Справедливы неравенства ^У^О)^-/!, ', УУ2 (0) >

Тогда справедливы следующие утверждения.

1°. Состояние равновесия х = 0 системы (11) устойчиво в целом.

2°. Система (12) имеет единственное состояние равновесия д:0) = О, х'2> = О (система (13) имеет единственное состояние равновесия х = О).

3°. Существует замкнутое ограниченное множество П с К1", не содержащее точку х = 0, такое, что для произвольного х() е П траектория решения х(1,ха) сходится при / —> -ко к замкнутой траектории этой системы. Множество П содержит по крайней мере одну замкнутую траекторию, которая орбитально устойчива. Если функция <р(о) аналитическая, то множество П содержит не более конечного числа замкнутых траекторий, по крайней мере одна из которых асимптотически орбитально устойчива.

4°. Существует множество Ее/?2" нулевой меры такое, что х(1, х0) —> О при Г -> +оо для х0 е Н, и х[/(х0),х0] с П для х0 г Е.

В работе показано, что в то же время при линейном связывании двух асимптотически устойчивых систем (11) система (12) может не оказаться глобальным осциллятором, а будет иметь несколько орбитально устойчивых циклов (обладать скрытым аттрактором).

Теорема 5. Пусть существуют числа ц2, Я, удовлетворяющие условиям О < [12 < , А>0, такие, что справедливы соотношения (14)-(1б), а также условие 5) теоремы 4. Пусть для некоторого матрица Я + Х1„+ ¡лдг' гурвицева, а матрица Л - 2й + ¡1с[г' имеет ровно 2 собственных значения в полуплоскости Кср>0 и не имеет их в полосе -X < Яе р < 0. Тогда дифференцируемую функцию <р(су) можно выбрать так, что будут справедливы все утверждения теоремы 4, и при этом система (12) будет иметь любое наперед заданное число орбитально устойчивых циклов, расположенных в шаре {х :| х |< 5} для любого заданного 8> 0.

Таким образом, доказано, что в постановке, предложенной С. Смейлом, задача конструирования глобального осциллятора в принципе не может быть решена без наложения дополнительных ограничений на поведение нелинейности <р(о).

В качестве примера в работе рассмотрена система (12) с матрицами

^ 0 1 0 ^ ^0.01 0 0 ^

0 0 1 ,4 = 0 , г = 1 0 0.2 0 , описывающая взаимодей

-12 ,35 0 1-5,

ствие двух клеток с тремя ферментами.

<р( <т) =

Показано, что система (11) с нечетной нелинейностью (р(<у), которая при о > О имеет вид:

4.5а при 0<ст<0.005, 2.5(7 + 0.01 при 0.005с сг < 1.181706642, 4.5(7-2.353413284 при 1.181706642 < ст < 11.48479442, 2.5(7+20.61617556 при 11.48479442 < а, имеет единственное устойчивое в целом состояние равновесия X = 0.

При этом система (12), полученная путем организации линейной связи между двумя системами (11) с указанными Р, q , г, D и с выбранной нелинейностью (р(ст), имеет не менее трех циклов, два из которых орбитально устойчивы.

Результаты численного интегрирования системы (12) представлены на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Проекции на R3 малого цикла системы (12)

Рис. 4. Проекции на Л3 большого цикла системы (12)

На рис. 3 представлены проекции на Л3 малого орбитально устойчивого цикла, на рис. 4 - проекции на Л3 большого орбитально устойчивого цикла, третий цикл численным интегрированием обнаружить не удалось ввиду его неустойчивости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Найдены условия, при выполнении которых в результате линейной связи между двумя нелинейными устойчивыми в целом системами порядка п, возникает система порядка 2п, почти каждое решение которой асимптотически приближается к орбитально устойчивому циклу. Полученные результаты позволили найти некоторый вариант решения поставленной С. Смейлом задачи, относящейся к теории химической кинетики биологических клеток.

2. Разработан и доведен до программной реализации в пакете Maple вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

3. Разработан метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов для многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре-Бендиксона. На частотном языке сформулированы условия на параметры линейной части системы, при выполнении которых можно синтезировать систему (путем выбора соответствующих нелинейностей), обладающую любым наперед заданным числом орбитально устойчивых циклов.

4. Разработан метод оценки числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования с одним нелинейным блоком, для которых не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре-Бендиксона. В случае систем автоматического регулирования, обладающими несколькими циклами, применяемые качественно-аналитические методы позволяют обнаружить как скрытые аттракторы, так и возбуждающиеся из состояния равновесия.

5. Полученные результаты позволяют локализовать область фазового пространства, содержащую скрытый аттрактор, и предоставляют возможность его отыскания путем численного интегрирования.

Публикации автора по теме диссертации:

1. Буркин И.М., Соболева Д.В. О многомерных системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011.-Вып. 3. С. 5-21.

2. Буркин И.М., Соболева Д.В. Об одной задаче Смейла // Дифференциальные уравнения. 2011. - Т.14. - №1. С. 3-10.

3. Буркин И.М., Соболева Д.В. О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012. - Вып. 1. С. 5-16.

4. Буркин И.М., Соболева Д.В. О колебаниях в модели Тьюринга // Известия ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2008. - Вып.1. С. 3-10.

5. Буркин И.М., Соболева Д.В. О колебаниях в модели Тьюринга // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. С. 22-24.

6. Буркин И.М., Соболева Д.В. Об одной задаче Смейла из теории химической кинетики клеток // XI Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)». М.: ИПУ РАН, 2010. С. 49.

7. Burkin I.M., Soboleva D.V. Оп a Smale problem // Differential Equations. 2011. — V.47. -№1. P.1-9.

8. Буркин И.М., Соболева Д.В. Задача Смейла для модели Тьюринга //Abstracts of conference reports. XV International Conference «Dynamical System Modelling and Stability Investigation». Kiev, 2011. C. 169.

9. Буркин И.М., Соболева Д.В. Об одном подходе к оценке числа циклов многомерных систем // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 10-11.

10. Буркин И.М., Соболева Д.В. Об одном подходе к оценке числа циклов трехмерных систем // Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2011. - Вып. 1. С. 3-17.

11. Буркин И.М., Соболева Д.В. Скрытые аттракторы многосвязных систем автоматического регулирования // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ 2012. С. 24-27.

12. Буркин И.М., Соболева Д.В. О системах автоматического регулирования с неединственным циклом и методе гармонического баланса // XII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)». М.: ИПУ РАН, 2012. С. 60-61.

13. Соболева Д.В. О решении матричных неравенств // Материалы Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 122-124.

Подписано в печать 12.11.2013. Формат бумаги 60 х 84 . Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 093

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300012, г. Тула, пр. Ленина, 95

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»

На правах рукописи

04201453255

Соболева Дарья Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ГЛОБАЛЬНЫХ АТТРАКТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

доцент Буркин И.М.

Тула-2013

Оглавление

[ исследования структуры минимального глобального аттрактор ных регулируемых систем.........................................................................

атические модели систем автоматического регулирования......................

р методов доказательства существования циклов многомерны

,тх систем.......................................................................................................1

пительный алгоритм нахождения решений матричных неравенств......2

раммная реализация алгоритма нахождения решений матричны

з......................................................................................................................3

эгательные утверждения и теоремы...........................................................3

Заключение Литература.

Введение

Развитие современных компьютерных технологий и, в том числе, универсальных систем компьютерной математики, способствует формированию современной тенденции синтеза аналитических и численных методов при решении сложных математических проблем. Одной из таких проблем является проблема изучения структуры глобального аттрактора многомерных динамических систем и, в частности, многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Исторически эта задача восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков во второй половине XX века в решении этой проблемы был достигнут существенный прогресс [8, 9, 23, 32, 70, 74, 78, 116, 119-121, 126, 127, 136-140, 143, 146, 158, 166, 179, 180]. Методам оценки числа циклов систем фазовой автоподстройки частоты посвящены работы С.С. Мамонова [60-63]. Новые аспекты этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С.Смейла [79], показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например, кусочно-линейной), может содержать бесконечное число неустойчивых циклов или странный аттрактор. Автономные системы, обладающие несколькими циклами, были обнаружены, например, М.В. Келдышем при изучении флаттера крыла самолета [34], однако при этом использован метод гармонической линеаризации, не являющийся строгим и не исключающий, как хорошо известно [91], возможность ошибки. Для систем автоматического регулирования задачу, близкую к оценке числа циклов, поставил в свое время академик A.A. Воронов [22].

С вычислительной точки зрения аттракторы в нелинейных динамических системах можно разделить па возбуждающиеся из состояния равновесия и скрытые аттракторы, область притяжения которых не содержит окрестностей состояний равновесия [45]. Аттракторы, возбуждающиеся из состояния равновесия, мо-

гут быть обнаружены путем численного интегрирования системы при выборе начальных условий из малой окрестности неустойчивого состояния равновесия. Такая ситуация характерна, например, для известных систем Ван дер Поля [172174], Белоусова-Жаботинского [30, 35, 38], Лоренца [65, 147], Чуа [129, 130]. Так как область притяжения скрытого аттрактора не содержит окрестностей состояний равновесия, для его обнаружения необходимы специальные методы оценки таких областей.

Ситуация, когда система имеет как возбуждающиеся из состояния равновесия, так и скрытые аттракторы, является, в определенном смысле, промежуточной между порядком и хаосом. Выбор начальных условий в областях притяжения каждого из аттракторов выводит систему на различные колебательные режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается «эффект буферности» [16, 36].

Задача обнаружения эффекта буферности и синтезирования систем, обладающих этим эффектом, оказывается весьма непростой. Разработка техники обнаружения эффекта буферности для многомерных динамических систем стимулировалась появлением обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту [167, 168]. С использованием этого принципа в работах [16, 18, 19] были получены оценки числа циклов многомерных моделей регулируемых систем с одним нелинейным блоком.

Отметим, что интерес представляет не только оценка числа циклов нелинейной динамической системы, но и оценка областей притяжения орбитально устойчивых циклов. Предложенный в диссертации общий подход к оценке структуры глобального аттрактора (числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных систем автоматического регулирования приводит к необходимости решения матричных неравенств. Матричные неравенства широко применяются также в задачах теории устойчивости, теории управления, обработки сигналов, адаптивных и оптимальных систем. Вопросами разрешимости матричных неравенств занимались, например, А.Н. Чурилов, П.В. Пакшин, В.А.Якубович, А.Л. Фрадков [68, 93-97, 87, 88, 108-110]. В последние годы появилось много программных пакетов с решателями матричных неравенств, таких

как LMILab, LMITOOL, SeDuMe Interface, YALMIP и KYPD [99]. Обратим внимание на тот факт, что численные алгоритмы не позволяют получить полное описание всего множества решений линейного матричного неравенства, а находят, как правило, какое-либо одно решение.

Задача исследования структуры глобального аттрактора многомерных систем автоматического регулирования с несколькими нелинейными блоками наталкиваются также на существенные вычислительные трудности, связанные с необходимостью отыскания не отдельного решения матричного неравенства, а некоторого семейства решений, обладающих заданными свойствами. В связи с этим актуальной является задача разработки численных алгоритмов, позволяющих находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является разработка численно-аналитических методов исследования структуры глобального аттрактора (оценка числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных динамических систем с единственным состоянием равновесия, которые могут быть использованы при математическом моделировании колебательных процессов в многомерных системах автоматического регулирования.

Для ее достижения поставлены следующие задачи:

1. Разработать вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

2. Разработать метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона.

3. Разработать метод оценки числа циклов многомерных динамических систем, при исследовании которых не удается применить обобщенный принцип Пуанкаре — Бендиксона.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории

устойчивости, второй метод Ляпунова, частотные методы; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной алгебры Maple.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе разработаны новые численно-аналитические методы анализа структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

- решена задача Смейла, относящаяся к теории химической кинетики биологических клеток: найдены условия, при выполнении которых в результате линейной связи между двумя нелинейными устойчивыми в целом системами порядка п, возникает система порядка 2л, почти каждое решение которой асимптотически приближается к орбитально устойчивому циклу;

- разработан и доведен до программной реализации в пакете Maple вычислительный алгоритм, позволяющий находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами;

- разработан метод оценки числа циклов и областей притяжения устойчивых циклов многосвязных систем автоматического регулирования, удовлетворяющих обобщенному принципу Пуанкаре - Бендиксона;

- разработан метод оценки числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования с одним нелинейным блоком, для которых не выполнен обобщенный принцип Пуанкаре - Бендиксона.

Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования структуры глобальных аттракторов многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории управления, теории автоматического регулирования и не-

линейных колебаний при анализе многомерных моделей систем автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)» (Россия, Москва, 2010, 2012), «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 2008, 2011, 2012, 2013), «Dynamical System Modelling And Stability Investigation» (Украина, Киев, 2011).

В главе 1 настоящей диссертации дается обзор методов исследования структуры минимального глобального аттрактора многомерных регулируемых систем, а также разрабатывается программа в пакете компьютерной алгебры Maple, позволяющая находить семейство решений матричных неравенств, обладающее заданными свойствами.

В разделе 1.1 рассматриваются математические модели систем автоматического регулирования, сформулированы основные понятия, характеризующие системы автоматического регулирования. В разделе 1.2 дается обзор методов доказательства существования циклов многомерных автономных систем; показано, что задача оценки областей притяжения устойчивых циклов приводит к необходимости отыскания семейства решений некоторого матричного неравенства. В раздела 1.3 представлен вычислительный алгоритм, позволяющий находить данное семейство решений матричного неравенства. В разделе 1.4 приводится описание разработанного с использованием системы компьютерной алгебры Maple и языка программирования С# комплекса программ для автоматизации процедуры решения матричного неравенства. В разделе 1.5 приведены некоторые вспомогательные утверждения и теоремы, которые постоянно используются в диссертации.

В главе 2 получены эффективно проверяемые условия существования скрытых аттракторов у многосвязных систем автоматического регулирования, опирающиеся на предположение о выполнении условий обобщенного принципа Пуан-каре-Бендиксона. Указан метод синтезирования систем, обладающих любым

наперед заданным числом орбитально устойчивых циклов. На основании алгоритма, предложенного в работе, синтезирована трехсвязная система автоматического регулирования, имеющая не менее трех циклов, не менее чем два из которых орбитально устойчивы, что подтверждается численными экспериментами.

В главе 3 рассматривается класс многомерных нелинейных динамических систем с единственным состоянием равновесия, для которых не выполнены условия обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона. В основу доказательства существования нескольких циклов многомерной динамической системы положена методика конструирования одновременно нескольких инвариантных торов с общими элементами границы в фазовом пространстве динамической системы, в каждом из которых содержится по крайней мере один цикл системы. Доказательство опирается на теоремы М.А. Красносельского об условиях существования неподвижных точек векторных полей. В качестве примера рассматривается односвяз-ная система автоматического регулирования, обладающая минимальным глобальным аттрактором, состоящим из трех циклов, два из которых орбитально устойчивы.

Глава 4 посвящена решению известной задачи С. Смейла (1974 г.), суть которой заключается в следующем: возможно ли получить систему порядка 2п, почти каждое решение которой асимптотически приближается к единственному орбитально устойчивому циклу, линейно связав две нелинейные устойчивые в целом системы порядка п. Найдены условия, при выполнении которых получаемая при организации линейной связи система будет иметь любое наперед заданное число асимптотически орбитально устойчивых циклов. Иными словами доказано, что в постановке, предложенной С. Смейлом, задача конструирования глобального осциллятора в принципе не может быть решена без наложения дополнительных ограничений на поведение нелинейности. Приведен пример системы шестого порядка, полученной путем организации линейной связи между двумя устойчивыми в целом системами третьего порядка, имеющей не менее трех циклов, два из которых орбитально устойчивы, что подтверждается численными экспериментами.

1 Методы исследования структуры минимального глобального аттрактора многомерных регулируемых систем

1.1 Математические модели систем автоматического регулирования

Как хорошо известно [1, 10, 11, 22, 26, 31, 50, 55, 56, 58, 64, 72, 73], в качестве основной математической модели систем автоматического управления принимается система линейных дифференциальных уравнений:

= + 2Xм*'* = 1>->п>

11

¿=1

или в векторно-матричной форме

¿г

— = Ах + Ви, у - С'х. (1.1.1)

Л

где Л = {а..}, 5 = {6;<Г}, С = {с5,.}, г',у' = 1 £ = 1,...,ти, 5 = 1,...,/ - вещественные постоянные матрицы порядков их я, пхт тл пх1 соответственно, еЯ"

- вектор фазовых переменных состояния, (и1,...,ит) еЯ" - вектор входных воздействий, (^р...,^,) еЯ1 - вектор выходных переменных. Знак (*) здесь и везде

ниже в вещественном случае означает транспонирование, а в комплексном случае

- эрмитово сопряжение.

В системе (1.1.1) векторы и, х и у являются функциями вещественного

переменного I, обозначающего время, причем £ е [¿0,Г] (Т >í0)) где (/0,Г] - отрезок времени, на котором происходит управление системой.

Описание системы управления в форме (1.1.1) называют описанием в пространстве состояний или в фазовом пространстве.

Систему (1.1.1) схематично можно представить в виде некоторого линейного блока (£), на вход которого подается сигнал и = и^) и выходом которого является сигнал = (рис. 1.1).

«(О

но

— = Ах + Ви Ж

>

у = С*х

Рисунок 1.1 - Представление системы (1.1.1) в виде линейного блока (£)

Применим преобразование Лапласа к системе (1.1.1) при нулевых начальных условиях:

Здесь !_,( ■ ) - оператор Лапласа.

Полученная формула (1.1.2) устанавливает связь между преобразованиями Лапласа входа и(/) и выхода линейного блока (Ь).

Определение 1.1 [54]. Матрица порядка гах/ Ш(р) — С* (А -р1п)~1В, где р - комплексная переменная, называется передаточной матрицей (т = 1 = 1 - передаточной функцией) системы (1.1.1) от входа м(/) к выходу

Теорема 1.1 [54]. Передаточная матрица №(р) инвариантна относительно

невырожденных линейных преобразований.

Сформулируем несколько важных понятий, характеризующих систему (1.1.1): управляемость, наблюдательность, стабилизируемость.

Определение 1.2 [54]. Система (1.1.1) называется полностью управляемой (или пара (А,В) называется полностью управляемой), если для любых векторов

х0 еЯ", х1еЯп и любых /0 существует такое управление и{{) (являющееся

(1.1.2)

кусочно-непрерывной функцией, заданной на [/0,^]), что для решения х({) системы (1.1.1) с этим управлением и с начальным условием х(/0) = х0 выполнено равенство ) = х,.

Таким образом, система (1.1.1) полностью управляема, если функцию

можно выбрать так, чтобы перевести объект из любого состояния в фазовом пространстве в любое другое состояние за наперед заданное время.

Известно много критериев полной управляемости системы (1.1.1) (см. например, [26]). В дальнейшем будем пользоваться следующим критерием.

Теорема 1.2 [26]. Система (1.1.1) полностью управляема (или пара (А,В)

полностью управляема), если ранг матрицы В, АВ,...,Ап~1В равен п.

Перейдем теперь к понятию полной наблюдаемости.

Определение 1.3 [54]. Система (1.1.1) называется полностью наблюдаемой (или пара (А, С) называется полностью наблюдаемой), если для любых ^ </2 и

любых троек вектор-функций (их (0)' заданных на [¿15*2] и удовлетво-

ряющих (1.1.1), из соотношений м,(/) = м2(/), ух (/) = у2 (/), (т.е. равенства входов и выходов) следует, (/) = х2 (/) (т.е. равенство состояний).

Таким образом, система (1.1.1) полностью наблюдаема, если по точным измерениям входа и выхода можно однозначно определить состо�