автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Сложные предельные множества траекторий фазовых систем и их бифуркации

Введение

1. Приближенное исследование фазовой системы

1.1. Обобщенный метод квазигармонической линеаризации

1.2. Анализ устойчивости решений, полученных обобщенным методом квазигармонической линеаризации.

1.3. Обоснование обобщенного метода квазигармонической линеаризации

1.4. Применение обобщенного метода квазигармонической линеаризации к исследованию фазовых систем.

2. Исследование кусочно-линейных систем с непрерывным временем

2.1. Петля сепаратрисы в кусочно-линейных системах.

2.2. Предельные циклы в кусочно-линейных фазовых системах

2.3. Примеры исследования кусочно-линейных систем.

3. Фазовые системы с непрерывным временем

3.1. Исследование двумерного отображения в случае кусочно-линейных характеристик.

3.2. Исследование многомерного отображения в случае кусочно-линейной характеристики

Широкий класс систем автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида х = Вх+дЬ а = Цст), а = стх, (0.1) где х е Rn; a Е Rl; £ G В,д,с — постоянные матрицы размером nxn, nxm, пх / соответственно; Ф(сг) — нелинейная векторная функция векторного аргумента а [1]-[3]. Систему (0.1) часто называют системой Лурье. В дальнейшем будем рассматривать случай m = I = 1. Передаточной функцией линейной части системы (0.1) является комплексно -значная функция

W(p) = cT(B-pE)-lg, а её частотная характеристика задается равенством

W(iw) = ст(В - шЕ)~[д.

Из множества систем х =■ f(x) будем рассматривать фазовые системы, для которых существует вектор d ф 0, такой что Vx £ Rn f(x + d) = f(x). Для фазовой системы без ограничения общности матрицу В можно считать особой, а функцию Ф(<т) — периодической.

Фазовую систему (0.1) с невырожденной передаточной функцией W(p) (степень знаменателя не меньше п) можно представить в виде с явно выделенной угловой координатой ip = сг [13]. ф = 6тх-аФ{(р), х = Ах + кФ((р), 1 ' где А — постоянная (п — 1) х (п — 1) матрица; к и д постоянные (п — 1) - мерные векторы; а — число; Ф(у>) = F(lр) — 7 — скалярная 2п - периодическая функция.

Первоначально основная проблема исследования системы (0.1) с нелинейной функции "в угле" состояла в решении задачи абсолютной устойчивости. Здесь достаточно упомянуть классические работы Лурье А.И., Айзермана М.А., Попова В.М.,Якубовича В.А., Плисса В.А., Калмана Р.,

Ципкина Я.З. и др. Следующий этап исследования был связан с решением задачи глобальной асимптотической устойчивости системы Лурье со многими состояниями равновесия или предельными циклами (Якубович В.А., Плисс В.А., Гелиг А.Х., Леонов Г.А. и др.) [4]-[10].

Сделанное четверть века назад открытие притягивающих хаотических множеств траекторий детерминированных динамических систем, столь же естественных, как состояния равновесия и предельные циклы, привело к новому взгляду на теорию динамических систем и огромному росту интереса к проблемам хаотической динамики специалистов из различных областей знаний. В связи с этим открытием возник целый ряд проблем исследования сложных множеств предельных траекторий и бифуркационных сценариев перехода от регулярной динамики к хаотической как в системах общего вида, так и в различных прикладных задачах, включая системы управления. В развитие классической теории устойчивости систем со многими состояниями равновесия или предельными циклами возникла задача о глобальной устойчивости предельных множеств, не содержащих устойчивых траекторий, называемых странными аттракторами. Типичным примером служит система Чу а с кубической нелинейностью, исследованию странного аттрактора которой посвящена многочисленная литература. Для фазовых систем такими примерами служат аналоговые и импульсные системы фазовой автоподстройки. Различным аспектом теории сложных предельных множеств и их бифуркаций в фазовых системах посвящены работы многочисленных авторов как у нас в стране, так и за рубежом (Неймарк Ю.И., Шильни-ков Л.П., Чириков Б.В., Белых В.Н., Леонов Г.А., Шалфеев В.Д., Шах-тарин Б.И., Reitmann V., Hasler М., Kurths J., Holmes P., Mosekilde E., и др. [13]-[26], [34]-[37])

Одной из актуальных нерешенных проблем в теории фазовых систем является получение аналитических соотношений, позволяющих проводить анализ сложной динамики, необходимый при расчете конкретных устройств. Распространенными аналитическими средствами инженерного анализа всегда являлись метод гармонического баланса и метод припасовывания для кусочно - линейных систем (Мандельштам Л.И.,

Андронов А.А, Попов Е.П. и др. [1, 2]). Настоящая работа посвящена развитию, обоснованию и использованию этих методов для изучения сложных предельных множеств траекторий фазовых систем.

Целью диссертационной работы является изучение сложных притягивающих множеств траекторий различных типов странных аттракторов фазовых систем и их бифуркации. Это включает в себя: 1) математическое обоснование приближенного метода квазигармонической линеаризации и его использование для определения сценариев перехода к хаосу; 2) получение аналитических условий существования гомоклинических траекторий и их использование в качестве критерия спирального хаоса; 3) исследование гиперболических аттракторов фазовых систем с дискретным временем. Нахождение условий бифуркаций их рождения и исчезновения.

Работа организована следующим образом.

Первая глава посвящена обобщению метода квазигармонического баланса на случай произвольного числа гармоник и ср - циклов с произвольным числом оборотов по фазе /.

В первой части главы получена система алгебраических уравнений, решением которой являются параметры /-оборотного (¿»-цикла и проведен анализ устойчивости полученного решения.

Во второй части главы дано строгое математическое обоснование метода и получены оценки, определяющие точность приближенных решений в зависимости от числа учитываемых гармоник. Указано на возможность применения предложенного метода для поиска хаотических систем со счетным числом различных /-оборотных (¿»-циклов, 1 = 1,2,3,.

В последней части главы рассмотрено применение обобщенного метода квазигармонической линеаризации к исследованию конкретных фазовых систем.

Вторая глава посвящена изучению сложных предельных множеств кусочно-линейных систем. Для таких систем получены условия существования спирального или так называемого Шильниковского хаоса. Такой хаос связан с поведением систем, имеющих состояние равновесия типа седло-фокус и петли сепаратрисы, идущей из седла в него же — гомоклинической траектории.

Одним из основных бифуркационных сценариев перехода к хаосу в динамических системах является каскад бифуркаций удвоения периода устойчивого цикла. Для исследования такого типа сценария в работе получены аналитические условия бифуркации рождения и условия существования О-цикла и /-обходного ^-цикла.

Для исследования устойчивости полученных циклов построена матрица точечного преобразования плоскости в плоскость.

В работе для разрывной системы с пилообразной нелинейностью показано существование площадки скользящих движений. Найдены уравнения движения на этой площадке и показано, что при определенных условиях наличие такой площадки является причиной возникновения сложного множества предельных траекторий.

В третьей главе рассматриваются системы с дискретным временем, имеющими своими математическими моделями точечные отображения. Кроме того, такие точечные отображения появляются как отображение последования или отображение Пуанкаре для непрерывных динамических систем. Точечные отображения позволяют использовать аналитические методы, поскольку дискретные решения задаются в явном виде. В настоящей работе рассмотрена кусочно-линейная многомерная фазовая система, описываемая соответствующими точечными отображениями, позволяющими получить аналитические результаты, относящиеся к возникновению и характеру хаотических колебаний.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на школе-семинаре "Разрывные динамические системы" (Киев, 1989 г.), II Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Горький,1990 г.), Международной конференции "100-летие зарождения радиотехники" (Москва,1995 г.), IV Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва,1996 г.), Всероссийском научном семинаре "Нелинейнал динамика: качественный анализ и управление" МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва,1997 г.), совместных семинарах отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК при ННГУ и кафедры математики ВГАВТ (Нижний Новгород, 1997-2000 г.г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях и 6 тезисах выступлений на конференциях [58]-[72].

Будем рассматривать в основном функции, удовлетворяющие условиям

Р(1р) > 0 , -(¿о < 9 < Щ ; ^{(р) < 0 , < <р < 2тг - (¿о, () . 0, = -Р(-<р), ^Ы = 1.

При этих условиях и 7 < 1 система (0.2) имеет два состояния равновесия 0\((р = (р! < <ро,х = 0) и 02((р — <р-2 > <ро,х = 0), где (р{ и <р2 — корни уравнения Ф(<р) = 0.

Пусть р1 и р'г (г = 1,. . . , п) — собственные значения матриц линеаризованной системы (0.2) в окрестностях точек 0{ и 02 соответственно и предположим, что

Рг ф V], р\ ф р'3 при г ф ] , И,е рг; < о г = 1,. , п,

1тр\ = 0 Еер\ > 0, Иер'к < 0, к = 2 ., п, (0.4)

-Кер'{ > -Яер'п г = 2,., п

В этом случае состояние 01 — асимптотически устойчиво, а 02 — оед-ловое состояние равновесия. Через седло 02 в его окрестности проходит два локальных многообразия: устойчивое И/й(сНтИ/й = п— 1) и неустойчивое Ж", составленное из двух одномерных (выходящих) сепаратрис.

Система (0.2) определена в цилиндрическом п - мерном фазовом пространстве С = Б11'1 х 51 = {<р,х\х £ Е 51}.

Цилиндричность фазового пространства приводит к тому, что все возможные периодические траектории системы удовлетворяют следующему условию х (* + Т) =ж(г), <р^ + Т) = ^(*)+2тг/.

При этом / = 0 соответствует предельным циклам гомологичным нулю (предельным циклам первого рода или О - циклам), а целые I ф 0 соответствуют негомологичным нулю циклам, которые теряют свойство замкнутости в накрывающем для С пространстве Кп = {<р, £ К1, £ И!п1} (предельным циклам второго рода или <р - циклам).

Пусть К(р) = 1Т(А — рЕ)~1к + а = \ передаточная функция

Р Ь \Р) системы (0.2) от входа Ф к выходу (—ф). Тогда передаточная функция линейной части системы (0.1)

У(р) = р~1 К (р) ф(г) = -К{р)Ф(<р(г)У, р — (I/(И (0.5)

П—I

A:\-l

А:=0 к=0 или ак-1рк<р + ЪкркФ{<р) = 0 (0.6) к=1 к=0

Уравнение (0.6) может быть преобразовано к уравнению (0.1), не содержащему производные функции Ф(<£>) [38]. Для достижения этой цели полагают р(г) = у{+1, г = 0,1,. , п - тп - 1,

-(п-т) (0.7) р^ = у{+1 + Е (у,), г - п - т,. , п - 1, к—0 где {с,-}"пт — некоторые параметры. В этом случае

Ш = Уг:+1, г = 1,2,. , п - т - 1,

2>г = Уг+1 + i = П - 771, . . . , 71 - 1.

Продифференцировав (0.7) при г = п — 1, получают т

Уп = <р{п)-ЕСп-"ф{кЧ<Р)-к= 1

Выразив из (0.6) и приравняв нулю коэффициенты в уравнении для г/п при производных . ,Ф^((/?) получают следующие соотношения ДЛЯ Спш, . . . ,СП! п—т — ит ик ап-т+к—г

•> С-п—к — сг-к1 ап-1 «„-1 ,-=1 ,„„,+* «п-1 (0.8) к = 1,., т — 1.

Заключение

В настоящей диссертационной работе проведено исследование сложных притягивающих множеств траекторий различных типов странных аттракторов фазовых систем и их бифуркации. Это включает в себя: 1) математическое обоснование приближенного метода кавзигармони-ческой линеаризации и его использование для определения сценариев перехода к хаосу; 2) получение аналитических условий существования гомоклинических траекторий и их использование в качестве критерия спирального хаоса; 3) исследование гиперболических аттракторов фазовых систем с дискретным временем; нахождение условий бифуркаций их рождения и исчезновения. К наиболее важным и интересным можно отнести следующие результаты.

1. Для фазовой системы дифференциальных уравнений произвольного порядка с одной периодической нелинейностью проведено обобщение метода квазигармонической линеаризации на случай многообходных вращательных циклов, дано строгое математическое обоснование метода и приведена методика использования этого метода для нахождения сценария перехода к хаосу через бифуркации удвоения периода и порядок Шарковского.

2. Получены аналитические условия существования гомоклинических траекторий для кусочно-линейных систем в сложном, наиболее интересном случае состояния равновесия типа седло-фокус. Тем самым установлено существование спирального хаоса Шильникова.

3. Определены аналитические условия бифуркации рождения и существования многообходных вращательных циклов в кусочно - линейной фазовой системе. На основе этих условий получен критерий бифуркационного перехода к хаосу.

4. Для фазовой системы с дискретным временем, представляющей собой кусочно-линейное разрывное отображение цилиндра в себя, получены условия существования гиперболического аттрактора (притягивающего множества, не имеющего устойчивых орбит).

109

5. Изучены многомерные кусочно-линейные отображения. Установлено существование гомоклинических траекторий, приводящих к рождению гиперболических аттракторов и служащих одним из условий определения полосы захвата дискретной системы управления фазой.

110

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2 изд.- М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

2. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автономных систем. М.: Физматгиз, 1960. - 792 с.

3. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Нелепина P.A. М.: Наука, 1975. - 448 с.

4. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. - 216 с.

5. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 140 с.

6. Попов В.М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. 1961.- Т.22, №8. С. 13-21.

7. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. -JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1958. 183 с.

8. Kaiman R.E. Physical and mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems // Trans. Amer. Soc. Mech. Eng.- 1957. V. 79, №3. - P. 379-390.

9. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. - 414 с.

10. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.- 400 с.

11. Леонов Г.А. Необходимые частотные условия абсолютной устойчивости нестационарных систем // Автоматика и телемеханика.- 1981. т. - С. 25-31.

12. Леонов Г.А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1984. - №2. -С. 37-45.

13. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: СПб университет, 1992. - 368 с.

14. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. - 422 с.

15. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1972. - 471 с.

16. Hasler М. Bruit cle quantification et cycles limites. Chapter 6, Techniques modernes de traitmrnt numerique des signaux / Ed. M. Ivunt // Press Polytechniques et Universitaires Romandes. Lausanne. -P. 279-348.

17. V.N. Belykh, E. Mosekilde One dimensional map lattices: synchronization, bifurcations and chaotic structure // Physical Review E. -1996. -V. 54,№3, -P. 54-62.

18. Chua's circuit: a paradigm for chaos / Ed. by R.N. Madand // World Sci. on Nonlinear Sci. Series B. -1993. -V. 1. 251 p.

19. B.V. Chirikov A universal instability of manydimensional oscillator systems // Phys. Repts. -1979. -V. 52, №5. -P. 263.

20. S.E. Newhouse The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. IHES. -1979. -V. 50. -P. 101-151.

21. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников JI.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // Доклады АН СССР. -1977. -Т. 234,№2. -С. 336-339.

22. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. -1982. -Т. 44. -С. 150-212.

23. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // Маро ден Дж., Мак- Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложение. Дополнение II. -М.: Мир, 1980. -С. 317-335.

24. Белых В.Н. Рождение грубой двоякоасимпотической траектории в системе с медленно меняющейся переменной // Дифференциальные уравнения. -1975. -Т. II,№11. -С 2083-2085.

25. Белых В.Н., Некоркин В.И. О качественном исследовании многомерной фазовой системы // Сибирский математический журнал. -1977. -Т. XVIII,№4. -С. 723-735.

26. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации треть- его порядка // Прикладная математика и механика. -1978. -Т. 42,№5. -С. 808-819.

27. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости. -М.: Наука, 1984. -164 с.

28. Баутин H.H. Качественное исследование одного уравнения теории фазовой автоподстройки частоты // Прикладная математика и механика. -1970. -Т. 34. -Вып. 5. -С. 850.

29. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. О неавтономной фазовой системе уравнений с малым параметром, содержащей инвариантные торы и грубые гомоклинические кривые // Изв. Вузов. Радиофизика. -1972. -Т. 15,№7. -С. 1039-1048.

30. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференциальные уравнения. -1973. -Т. 9,№3. -С. 403-415.

31. Белюстина Л.Н. Об одном уравнении из теории электрических машин // Сб. памяти академика Андронова A.A. М.: АН СССР,1955. -С. 37-45.

32. Арнольд В.И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. -М.:ВИНИТИ, 1986. -Т.5. -306 с.

33. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

34. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // Доклады АН СССР. -1965.-т. 160,т. -с. 1211.

35. Шильников Л.П. О рождении периодического движения из траектории двоякоасимптотической с состоянию равновесия типа седло// Математический Сборник. -1968. -Т. 77,№3. -С. 1375.

36. Шильников Л.П. Новый тип бифуркации в многомерных динамических системах // Математический сборник. -1969. -Т. 10. -С. 1368.

37. Шильников Л.П. К вопросу о расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник. -1970. -Т. 10. -С. 91.

38. Математические основы теории автоматического регулирования / Под ред. Чемоданова Б.К. М.: Высшая школа, 1977. -358 с.

39. Шахтарин Б.И. Устойчивость движений нелинейной системы с периодической характеристикой // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. -1977. -№5. -С. 174-182.

40. Урман Е.Л. Применение принципа гармонического баланса для исследования условий синхронизации машин // Вестник электропромышленности. -1957. -№4. -С. 54-59.

41. Сизов В.П. Об эффективности метода гармонического баланса при исследовании стационарных режимов фазовой автоподстройки частоты // Изв. вузов. Радиофизика. -1968.-№11. -С. 1700-1709.

42. ДулицкийВ.С. Особенности проектирования коротковолновых радиостанций. -М.: ВКИАС, 1956, 336 с.

43. Розенвассер E.H. Апостериорные оценки погрешности метода гармонического баланса в задаче о периодических движениях автономных систем // Автоматика и телемеханика. -1985. -N-2. -С. 44-51.

44. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. -М.: Наука, 1969. -576 с.

45. Бобылев H.A., Красносельский М.А. О методе гармонического баланса в задаче об автоколебаниях // Автоматика и телемеханика. -1984. -т. -С. 44-51.

46. Браверман Э.М., Меерков С.М., Пятницкий Е.С. Малый параметр в проблеме обоснования метода гармонического баланса (в случае гипотезы фильтра) // Автоматика и телемеханика. -1975. -№1. -С. 5-21.

47. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении.-М.: Советское радио, 1978. -600 с.

48. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields // Applied Mathematical Sciences. 1999. -V. 42. -412 p.

49. Chua L., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Trans. Circuits and Systems. -1986. CAS-33. -P. 1072-1118.

50. Chua L., Lin Y. Chaos in digital filters // IEEE Trans. Circuits and Systems. -1988. -CAS-33. -P. 648-658.

51. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984. 528 с.

52. Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. -М.: МЦНМО ЧеРо, 1999. - 415 с.

53. Грибов А.Ф., Михов В.М., Шахтарин Б.И. Динамика нелинейной системы с прямоугольной характеристикой // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. -1979.-№301. -С. 31-38.

54. Грибов А.Ф., Морозова В.Д., Шахтарии Б.И. Сравнительный анализ методов исследования кусочно линейных систем // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. -1979.-№301. -С. 23-29.

55. Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Шлячков С.В. Странные аттракторы // Современные проблемы математики. Динамические системы. М.:ВИНИТИ, 1985. -Т.66. -С.112-127.

56. Бунимович Л.А. Системы гиперболического типа с особенностями // Современные проблемы математики. Динамические системы. М.:ВИНИТИ, 1985. -Т.2. -С. 154-171.

57. Шахгдильдян В.В., Ляховкин A.A. и др. Системы фазовай автоподстройки частоты с элементами дискретизации. -М.: Связь, 1979. -224 с.

58. Грибов А.Ф., Крищенко А.П., Шахтарин Б.И. Динамика кусочно-линейной системы третьего порядка // Автоматика и телемеханика. -1980. -№2. -С. 21-30.

59. Грибов А.Ф., Крищенко А.П. Исследование полосы захвата системы ФАП высокого порядка // Всесоюзная научно-технническая конференция, посвященная 85-летию радио: Тезисы докладов. -М., 1980. -С. 11.

60. Грибов А.Ф., Петрушина И.Б., Шахтарин Б.И. Динамика систем синхронизации с кусочно-линейными характеристиками // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -1981. -№1. -С. 167-169.

61. Шахтарин Б.И., Белоусова Т.С., Грибов А.Ф. Анализ кусочно-линейной ФАПЧ третьего порядка // Радиотехника. -1981. -Т.36,№2. -С. 23-26.

62. Грибов А.Ф., Шахтарин Б.И. Учет высших гармоник в методе квазигармонической линеаризации // Автоматика и телемеханика. -1981. -№10. -С. 183-188.

63. Грибов А.Ф., Крищенко А.П. О сложных движениях в системе ФАП // Всесоюзная научно-техническая конференция, посвященная дню радио: Тезисы докладов. -М., 1981. -С. 15.

64. Грибов А.Ф., Крищенко А.П. Условия существования сепаратрис-ного цикла в кусочно-линейной системе // Радиотехника и электроника. -1982. -№2. -С. 321-325.

65. Грибов А.Ф. Исследование бифуркационных циклов, несколько раз охватывающих фазовый цилиндр // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. -1986. -№443. -С. 18-25.

66. Грибов А.Ф. Исследование некоторых вопросов нелинейных фазовых систем высокого порядка // Труды МВТУ им. Н.Э. Баумана. -1986. -№452. -С. 83-95.

67. Белых В.Н., Грибов А.Ф., Железняк И.Л. Сложные предельные множества траекторий динамической системы с разрывной правой частью // Разрывные динамические системы: Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара. -Киев, 1989. -С. 12.

68. Грибов А.Ф. Периодические траектории и странный аттрактор в кусочно-линейной фазовой системе // Нелинейные колебания механических систем: Тезисы докладов И-ой Всесоюзной конференции. -Горький, 1990. -С. 19.

69. Белых В.Н., Грибов А.Ф. Гомоклинические траектории дифференциальных уравнений системы фазовой синхронизации // Международная конференция, посвященная 100-летию зарождения радиотехники: Тезисы докладов. -М., 1995. -С.21.

70. Грибов А.Ф., Михайлова О.В. Условия возникновения хаоса и его локализация в системе Чуа // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов ГУ-го Международного семинара. -М., 1996. -С. 35.