автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование сложных колебательных режимов в реакции Белоусова-Жаботинского

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Ш 519.6

НОСКОВ ОЛЕГ вллигодаович

ЗОЛЕННОЕ МОЯЮМРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ГЕМОВ В РЕАКПШ БЕЛОУСОВА - ЗШЗОТИНСКОГО

05.13.16 Применение вычислительной техники, математических методов н глатематического моделирования в научных

нссл9д0е5штях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации но соискание ученой степени кандидата физико-математичоских наук

Уфа - 1993

Работа выполнена б йапгао-исследовательском институте нефтехимии и катализа. Институте органической химии УНЦ РАК и на кафедре математического модалзровшгая Банкирского государственного университета.

Научные руководители;

- доктор $мзнко-математических г ук,

профессор С.И. Сиивак-'--

- кандидат химических наук,

старший научный сотрудник А.Д. Караваев

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук,

профессор и.Д. Рамазанов

- доктор физико-матеыатнческих наук,

ведущий научный сотрудник Г.Г. Ыалинецкий

Ведущая организация - Вычислительный центр СО РАН (г. Красноярск)

Защита диссертации состоится "21" декабря 1953 г. в 1415 час. аз заседании отециализироаадаого Совета Д 064.13.СИ при Вяшкир-ском государственном университете по адресу:

450ОТ4, г.Уфа, ул. Фрунзо, 32.

С диссертацией »окно ознакомиться в библиотеке Башк^¿кого государствв1шого университета.

Автореферат разослан "19я НЛяЛ^/Ж.__1993 г.

Отзывы на автореферат, заоеронные гербовой печатью, просим высылать ш указанному адресу на имя ученого секретаря специализированного совета Д ОМ. 13.02

Ученый секретарь специадозироваппого сэгчета Д 064.13.02

Н.Д. Морозкия

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Наиболее известной из колебательных.химических систем явл. зтся реакции.Белоусова - Жаботинсного (БЖ). При определенных условиях сети демонстрирует очень широкий диапазон дина:лпче-стсих .режимов: от простых пориодичэсяих до разнообразь-ых хоотичзс-ш, а является важным объектом исследования универсальных закономерностей нелинейных систем.

Быстрое накопление обширного экспериментального материала и его высокая сложность в настоящее время привели к такой ситуации, когда без построения и исследования моделей БЖ-осциллятора невозможна корректная и непротиворечивая интерпретация собранных данных, классификация типов поведения системы и проверка правильности представ лени?! о ее механизме. Другой вопрос, ствет на который дол-язю дать изучение моделей, состоит в том, можно ли объяснить наблюдаемый в системе хаос чисто кинетическими особенностям ее механизма , или ке для этого необходимо учитывать физические факторц (например, диффузию).

Несмотря на большое число существующих математических описаний реакции ЕЖ до сих пор не найдено такое, которое позволило би в рамках единой модели получить, хотя оы на качественном уровне, все основные режимы и достаточно полную последовательность их чередования, наблюдаемые в эксперименте. Таким образом, необходим поиск моделей, дакцих более адекватное описание экспериментального материала.

Усиление требований к модели неизбежно приводит к резкому возрастанию ее размерности. Однако, методы аналитического и численного исследования нелинейных систем часто разрабатываются с ориентацией на системы невысокой размерности. Поэтому здесь встает дополнительная задача отбора алгоритмов, надежно работающих в случае высокоразмерных и еостких систем, демонстрирующих к тому же достаточно сложное колебательное поведение.

Цель работы. Оценка и иыбор из множества предложенных разными авторами механизмов протекания реакции Еелоусова-Каботинского схемы, обеспечивающей наиболее полков описание экспериментальных данных. Исследование на базе полученной модели характерных динамических рекимов реакции ЕЯ и механизмов перехода между ними. Разработка необходимых для решения этой задачи алгоритмов и программ.

Научная новизна работы. В рамках единой модели получены все основные режимы системы, наблюдаемые в экспериментах (включая качественно разнообразный полномасштабный хаос), и проведено их ис-

*) Завершающий этап работы выполнен при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (per. номер 93-03-18165).

следование-. Воспроизведена экспериментально наблюдаемая последовательность чередования режимов при варьировании параметра. Показано, что в данной системе со столь сложным динамическим поведением в положительном октанте фазового пространства лежит единственная стационарная точка, играющая важную роль в ее эволюции. Прослежено возникновение гомоклинической структуры, обусловливающей сложную фор,«у аттракторов системы. Показано, ito исследуемая динамическая система не относится к классу систем Морса-Смейла с конечным числом грубых стационарных точек и периодических движений. Полученные даотические аттракторы отнесены к классу квазистохастических (квазиаттракторов) - сложных притягивающих множеств, включающих наряду с седловыми циклами также и устойчивые периодические движения с малой областью притяжения. Продемонстрировала важная роль быстрых переменных в формировании сложной динамики БЖ-осцилятора.

Практическая ценность. Создан пакет программ. для численного анализа сложных динамических режимов в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Программы эффективно. работают и в случае жестких нелинейных систем высокой размерности.

Апробация работы. Результаты работы были доложены на III Всесоюзной конференции ''Динамика процессов и аппаратов химической технологии" 0990 г.), VII Всесоюзной (1991) и VIII Всероссийской (1993) конференциях "Математические методы в химии".

Публикации. По теме диссертации опубликованы 1 статья и з тезиса" Всесоюзных конференций, 1 статья принята к публикации.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на i.tfl¡ стра-

шщах и состоит из введения, литературного обзора, четыр х глав и выводов. Работа содержит t¡ таблиц, 3 9 рисунков и ссылок на литературные источники.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1. Модель реакции Белоусова-Жаботинского.

Па основании экспериментэлышх данных в качестве базовых схем генерации сложного колебательного поведения в системе БЖ выбирались механизмы, явно учитывающие стадии с участием свободных органических радикалов. После предварительных исследований в основу модели был положен П-стадийный механизм П. Руоффа и Р. Нойеса:

1. ВгО" + Вг" + 2Н+ ^ НВгО£ + НОВг

2. ЯВг0о + Вг~ + Н+ ->• 2Н0Вг

2

3. ВгО" + НВгО, + Н'

4. ВгО* + Ме<п~1) + ■

2ВгОа + Н20 •

2 т 2 НВг0о + Ме1

5.

6.

- }.

9.

10. 11.

2ЯБгО_

ВгОГ + НОВг + Н

НОВГ + Вг" + Н1" ^ Вг2 + н2о НН + Вг2 —* ЛВг '+ Вг" + Н+

НОВг + й- ИОН + Вг* ЛН + Вг* — Вг" + Н+ + Н' га + Иеп+ -» Ме(а~1+ н* + и* 2И- .4- Н20 НН + ИОН где РЛ отвечает малоновой кислоте, а Меп+ - ионам церия (IV). Основным преимуществом этой схемы является учет нелиненейной зависимости скорости образования ключевого интермедиата (Вг") от концентрации кзтализатора (Кеп+).

Для упрощения модели концентраций исходных реагентов Вго" и ПН, а также ионов н+, были претшты постоянными. После исключения балансов била получена кинетическая модель следующего вида:

к^Х^

[Вг'З

[НВГ02] ЙХ2 с«

СНОВЮ 0*3

ГВхО^З аг

СМеп+] —5

[Вг2] ах, —О (П

[К*] «7 (И

[Вг*) —а <и

где'а- Шет]0,

= -й-И.-Г^+Г^+И,

(СО

7 9

4

—3 =

1 С. э О О

V?, = к1 "В"Х1

и2 - к^

Й3 = кз'В*}^ - к „X"

\У4 = к4Х4(Л -Х5)

«5 = *5Х|

•2 -з'м

ЛХ5

-17

л ю

"б^Т

-{? +?? V?

8 9 10 С 11

6 6 13

Ит = кг-о-хб

«3 = «Ч »9 = К9'°"ХЭ

№1Г к11Х7

к-бХб

(2)

В= [ВгО^Зд, с= [ГОП0 - начальше концентрации реагентов, (Х^-концентрации веществ, Ск^ >— константы скоростей стадии. Использовавшийся набор констант скоростей стадий и начальных концентраций приведен ниже. В качестве варьируемых параметров были выбраны константа определяющая скорость ■образования ключевого интермедиата (Вг~), и начальная концентрация катализатора Шеп+10. Система (2) относится к классу нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

££ = Р(Х), г = (г,.....гп)т, х = и,,

...х г

п

(3)

Параметры схемы:

к, = 2,1 M "С ' к5 = З-Ю3 м^с"1 kn= 3.2-109 М-1 с-1

К. = ПО4 M~V1 к„ = 8-109 Г"2 с-1

б

1Бг~]л =10° M

к, = ЗЧО5 Ы~2с""1 к = 110 с-1 0

, , , 1ВгО~1п = 0,08 M ■•

И, =42 И2с' = 4,6-10 " M 'с-1 - 0

7 - -i ñ 7 -1 i IBHJ0 = 0,2 M к 0 = 4,2*10 M 'С к_ = 10___i О M С-1 х с (4)

, i г i i = 1 M

к, = 3-10- M V1 кп = 10б ЬГ с 0 „

к_д = 3,9-10" M с 1 кш= 0,2 M 1с 1 0

^ссшативнссть_системы_.

Одно из основных свойств модели (2) - глобальная диссипатив-ность, то есть сокращение с течением времена объема элемента фазового пространства (V) при всех имеющих физический смысл наборах

параметров. Используя представление систеш в виде (3): dV д s di.

^ = S D d3X < 0, D ^ . (5)

Было показано, что коэффициент диссипации D<o при любых положительных константах скоростей и соблюдении балансов систеш. При значениях параметров. (4) D « -Ю5 (происходит быстрое сжатие фазового объема системы).

Система 12), О) характеризуется васокии коэффициентом жесткости T](t) = max Rc(-À.. )/ffiîn Rel-X, ), г до (A..}- собственные значения

i-1,n 1 1=1,n

матрицы Якоби вдоль ревизия систеш. Проведешше для того из колебательных реаамов расчета T}(i) показали, что ее величина составляет не менее 108S а на отдельных (цылически повторяющихся) участках кинетических кривых, где наблюдается смена знака пары собственных значений, неограниченно возрастает. Таким образом, для численного интегрирования системы (2),(4) необходим один из методов реиения жестких задач с широкой областью устойчивости. СтвЦЩэнарше^отаи^ист^^

Число стационарных точек является одной из важнейших характеристик системы. С помощью понижения размерности систеш нелинейных, уравнений, определяющей множество стационаров (?.), сведения задача к решению однопэрзметрическогс уравнеш»« вида g(.x7)=o и изучения формы этой зависимости было показано, что в области х >о, i=T7ü . яэяа? единственная стационарная то ;.а

Для определения областей ее устойчивости в пространстве пере-

с —

манных кв* [Мйп+]0 исследовалась зависимость собственных значений

матрицы линеаризации от этих параметров. 'В качестве

примерз, ьа рис. 1 приведена диаграмма для л1 г. Хорошо видно, что смена характера устойчивости стационарной точки происходит вследствие бифуркации Хопфа,когда действительнее части пари комплексно-сопряженных собственных значений пересекают нулевую ось. В центральной области по параметру к0 система имеет единственную неустойчивую стационарную точку и, следовательно, в силу инвариантности области изменения перемешай, колебательное поведение.

Наблюдаемая зеркальная симметрия в схеме бифуркаций отражаем свойство реакции БК демонстрировать колебания при двух формах окислениости катализатора. При атом каждому динамическому режиму для одного состояния системы соответствует, как правило, качественно подобный, но уже в другом ее состоянии.

Итоговая бифуркационная диаграмма для стационарной точки приведена на рисунке 2. Область существования колебаний в системе ограничена линией 10, отвечающей бифуркации Хопфа. Линии 11 и 12 соответствуют бифуркациям, изменяющим тип стационарной точки, но не изменяющим характер ее устойчивости.

Глава 2. Основные алгоритма численного исследования систем.

Во второй главе приводится описание основных алгоритмов, ис пользованных при численном исследовании системы. Для решения задачи Ксши был внброи Ь-устойчивый неявный (го,к}- метод Е.А. Новикова и Ю.А.Шитова. Перед интегрированием системы (2) переменные нормировались к интервалу {0,1}. Расчеты производились.главным образом, с относительной точностью е=10~°. Построение сечений Пуанкаре осуществлялось методом Хенсдаа. На основании этих данных строились одномерные карты. Для расчета спектров мощности использовался стандартизуй алгоритм БПФ- децимация или прореживание во времени. Вычисление собственных значений и собстветшх векторов системы производилось с помощью . ои-алгоритма с дополнительным сдвигом. Все програмш, реализующие данные метода, были написаны автором. Для нахождения корреляционных размерностей аттракторов использовался пакет программ, разработанный в ИПМ им.Келдыша.

Глава 3. Исследование основных динамических ренинов системы.

В численном эксперименте удалось получить все основные рекют.. реакции Б1, известные экспериментаторам, а именно:

- устойчивое стационарное состояние (53):

- квазисинусоидальные колебания (03);

- б -

Шв^Эо-Ю3

Рис. 1. Диаграмма зависимости двух собственных значений матрицу линеаризации системы в стационарной точке от параметра кд при концентрации катализатора (Шет]0) 5"ю-4 М.

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма для стационарной точки системы. г0 - лишш бифуркации узла в узло-фокус; г - линия бифуркация Холфа; 1г - линия бифуркации седло-фокуса в садло. .

- квасило риодиче ские рекимы (QP ) ;

- пачечные колебания (bureting oscillations) (В);

- сложно] . рис диче ские ^roultiperiodic) реггимн (Р); - - разнообразные хаотические колебания (С).

Кинетические кривые для некоторых характерных режимов приведены на pic. 3. Эволюция ре:шшв при изменении параметра к„ была исследо-

П4- —Л

ванз при концентрациях. катализатора [Me }0 от 1"ю до 2*ю J M. При ЕJ _ меньшем « 3'Ю~л M колебания в систоле отсутствуют, а

- * —А

з диапазоне от 3"Ю. ~ до 4"ю M наблюдаются только простые периодические колебания. При [Меп+]0 » 5'10~л M появляется более слоз ные динамические режимы, порядок следования которых при варьировании параметра kg схематически мокло представить в виде:

SS»QS»QT=»B» 0-? eB"»QP»QS»SS (6)

N_/ \_/

B1 U2

Послэдовательность чередующихся периодических и хаотических режимов (С-Р) разделяет эту диаграмму на две симметричные части Ш и V2. Б первой из них объедонены реки?.« с преобладанием окисленной форма катализатора ([Men+D, а во второй - с преимуществом вссста-новлзгшой его формы ([Ь'е^п~1 В качестве примера ниже приведены рокымн модели при {меп+]0 = 6~ю~л М. Квазмстнусоидальнш колебания (qs) .

Квазискнусоидалыше колебания (рис.з А) появляются в системе вследствие бифуркации Хопфо. На фазовых портретах они имеют вид замкнутых элиптических траекторий. На соответствующих спектрах мощности четко выделяется единственный пик, свидетельствующий об их однсчастотной природе.

Для выяснения типа бифуркации Хопфа и устойчивости рождающихся периодических движений была написана программа вычисления первой ляпуновской величины ^, основанная на формуле, предложенной Мак-Кракеном. Вычисления в точках бифуркаций Хопфа (при [Men+]Q от 5'Ю"1 до 1"Ю_3 М) показали, что ~<о. Следовательно, во всех случаях имеет место супернритическая бифуркация Андроновэ - Хопфа, в результате которой происходит мягкое рождение устойчивого цикла. При [Меп+]0= 5"1С~4 M было проведено сравнение характеристик предельного цикла, следующих из теоремы Хопфа с расчетными. Измеренный период Т«1 ю сек. близок к теоретически полученной величине Т= 2тс/|Х.(к*) |=1Ю,8 сок. (где A.(k*)» 5.667'lO"2i - собственное значение в точке биффуркации). Радиус периодических орбит при увеличении к8 растет пропорционально,(kQ-k*)1/2, что тзкке подтверждает

Гожи мм модели при Ш«п4']0»= 0.0006 М

Ка-10"6, -1 -1 М с режим период (мин.) № Особенности рвкима

колебания с преимущественно окисленным катализатором

1.77 аз стационарное сост.

1,775 аз 1,8 - квазисинусоидальн.

1.70 ОР — квазипериодичешсий

1,8-1.9 в — пачечные колебания

2,0 1й10 21 10/11

2,1 0 —

2.2 1,23& 16,7 3/4

2,25 1234Ьг85 28 9/13

2,3 ь3з5 17,6 5/8

2,4 Ь3Б3 14 24 1/2

2.5 ь5з3 3/8

2,6 ' 1.б3 18,6 1/7

а,7 - 4,93 ь 3,3 0/1

колебания о преимущественно восстановленным катализаторы

4.95 - 5.00 14 1/5

5,5 Ь8аЬй8г 16,5 3/7

6.0 1е83 10 , 3/5 гп 7/Ю

6.3 Ь?54 18.3

6,4 1,г35Ьг341Д134 40,1

6,5 22 8/11

7.0 1£ь 11 5/6

8,1 - 8,13 В — —— пачечные колебания

8,14 ОР — квазипориодиче етсий

8.15 - 8,2 ОБ , квазисинусоидальн.

в.з бз стационарное сост.

¡ЙВг'З-Ю5 ] 1 «1 й| С • ]

1 ч''

ЕГНО

!

I .

Н |

в

г»

'I ' '."Г'^Г

Рис. з. Кинетические кривые режимов: А - квазисшусоидэлькие колебания ({Воп*']0= 6'Ю"Д Н, Кд= 8,2-106); В - квазииерио-дичоский резким ([Меп+]0= 5Ч(Г4 М, 2,117'Ю6); С - пачечные колебания (Шеп+)0= бмсГ" М, к0= 1,8'ю6); О - слозяо-периодический рог&м (Шеп*]0= бЧО""1 М, 6,5"Юб).

суперкритический характер бифуркации. Поштка исследования устойчивости периодических движений через мультипликаторы Флоке натолкнулась на серьезные вычислительные трудности, обусловленные высокой жесткостью системы. Нваяипериощческие_регаш_Х0Р1^

Квазипериодические режимы представляют собой двухчастотнне колебания с несоизмеримыми частотам?' - На кинетических кривых они имеют вид периодических колебаний, модулируемых низкочастотной составляющей (рис. 3 В). На спектре мощности данных режимов четко выделяются два пика, соответствующие базовым частотам колебаний (w и шг). На фазовых портретах (рис. 4а, 40) им соответствуют тороидальные аттракторы (Тг-торы ). При удалении параметра 1сэ от точки их рождения наблюдается рост амплитуды второй частоты.Визуально это проявляется в увеличении глубины модуляции колебаний и уменьшении внутреннего диаметра тора. Наблюдаемая в модели эволюция квазипериодических режимов соответствует экспериментальным наблюдениям по реакцкии БЖ.

Исчезновению тороидального аттрактора в системе предшествует потеря им гладкости. Это находит свое выражение в деформации его формы на фазовых портретах, в усложнении спектров мощности (появляются дополнительные гармоники), в появлении характерной складчатости на сечении Пуанкаре (рис. 4В). Это согласуется с выводами теоремы Афраймовича B.C. и Шйльникова Л,П. о разрушении торов.

Проведенные для некоторых достаточно гладких Тг-торов расчеты корреляционных размерностей d,.0„ дали значения близкие к 2. С ростом складчатости тора величина возрастает (<1^* 2,3 для ре лама на рис. 4А).

Перехоа_от_квазщериодаческта„к_пач^ joOaiwwM.

Механизмы переходов в областях U1 и U2 диаграммы 6 различны. Переход от квазипериодических к пачечшм колебаниям в левой части диаграммы происходит вследствие взаимодействия т2-тора с неустойчивой стационарной точкой, (рис. 5). При увеличении параметра тор увеличивается в размерах и приближается к стационарной точке. Этот процесс сопровождается уменьшением его внутреннего диаметра в результате роста амплитуды второй частоты. Во время прохождения по внутренней части тора фазовая точка "захватываются" одной из медленных составляющих устойчивого многообразия седло-фокуса и притягивается к нему, ее движение замедляется. На фазовых портретах по-, является область медленной! "раскру'г-:и" траектории перед ее переходом на внешнюю поверхность тора. Этот процесс продолжается вплоть

Рис. 4. Квазишриодичвские розотш систош ([Меп+]о=5"10~4 М): А, В - фазовый портрот и сочошо Пуонкаро при кд = 2,118'10б С, В - фазовый портрет и сочоние Пуанкаре при к = 2,530'1 о6

до появления явяо выраженного винтового аттрактора, отвечающего начечшгм колебаниям. Таким оорззом в левой части диаграммы переход от квазигариодаческих к пачечнкм режимам осуществляется плавно, без резких изменений амплитуда колебаний и структуры аттрактора.

В правой части диаграммы, напротив, этот переход происходит очень резко..Пачечные колебания смспявт квазиперйодичеекиэ реши при изменении параметра кд менее чем :а Проведенный анализ

показывает, что здесь эти режимы сосуществуют. и при изменении.параметра происходит зшеткоо "пераключоние" с одного колебательного , состояния системы на другое.

Слодуот отметить.что в настоящее время нет других моделей реакции Ш. способных полиостью воспроизвести данный переход (от ква-зисинусшдалыпп: к ; а-аза;ориодичоаи далее в пачочныи режимам), Пйчочщ0тколебашя__ {а),.

Одним из наиболее ште-роешх режимов. наблюдаемых в системе, являются пачечные» колебания. Опн имеют вид длинных ламинарных фаз, прерквшднхея едяпочшдаи "всплесками", авдуцируедамк шгзкоемщщ-тудными колебаниями (рис. зо). На рио. 6В,С.О приведены фазовый портрет, спектр мощности и сечение Пуанкаре дая одного из рекимов из правой части диаграммы. В пачечных аттракторех четко вддзляэтод центральная ось, отвечающая медленному изменению концентраций (ламинарная фаза). Колебания с низкой амплитудой связаны либо о "накруткой" (вдали от стационара), либо с "раекзуткой" (вблизи неустойчивой стационарной точки) траекторий с этой линии. Фаговые портреты режимов из левой части диаграммы (рис. 6А) подобны по структуре.

Анализ фазоЕЫХ портретов, нерегулярная кинетика к близкие к сплошным спектры мощности пачечных колебан. свидетельствуют о том, что они относятся к хаотическим режимам. Соответствующий хаотический аттрактор винтового типа (со случайной модуляцией амплитуды и фазы колебаний) носит название аттрактора Шильпикова.

Появление пачечных колебаний связано с существованием -в системе при некотором наборе .параметров Кд и [Меп+]0 особой двоякоа-симптотической траектории, входящей в седло-фокусную стационарную точку как при г -» так и при Ь - - со. (рис. 7). Эта траектория называется гомоклинической траекторией типа петли сепаратрисы состояния равновесия (явление коразмерность 2). Появление такой траектории всегда служит признаком сложного поведения системы. Согласно одной из теорем Шильникова (о ;руктуро "газового пространства в окрестности гомоклинической траектории), которая выполняется в

Рис. 5. Мягкий переход от пачечных к квазипериодическкм колебаниям для рокимов в левой части диаграммы ([Меп+] =5*ю~4 М). Фазовые портреты при.значениях параметра кдГ 2,117"ю6 (А); 2,118-ю6 (В); 2,119-ю6 (С); 2.120Ч06 (О). О- неустойчивая стационарная точка.

Рис. 6. Пачочные колебания (Шеп+]0 М) :

А - фазовый портрет при кв- 2,14'Ю6; В, С, О - фазовый портрет, спектр мощности и сечение Пуанкаре при к8= 7,370306"1о6. О- неустойчивая стационарная точка.

Рис. 7- Гомоклиническая траектория типа петли сепаратрисы седло-фокусного состояния равновесия (Шет ]0 --= 1 "ю~3 м, кд= 9,01852*юб) : А - фазовый портрет системы; В - фрагмент фазового портрета в окрестности стационарной точки (для наглядности удалена часть раскручивающейся спирали вблизи стационара).

Рис. 8. Фазовые портреты сложнопериодических режимов'([Меп+] = б-ю-4 М) : А - режим 1234Ьг35, полученный при кд= 2,25"^о6; В - режим Ьг55Ь2341БЬ55, полученный при кд= 6,4*Юб.

- 1Ь -

данном случае, в ее окрестности существует счетное множество различных периодических дшквиий. Это иемзСогаю порождает квазиаттракторы- слокные притягивающие множества, в структуру которых входят разнообразные содловыо и устойчивые (с малой областью лритяжоиия) периодические траектории. Таким образом, исследуемая система не относится к классу динамических систем Морса-Сиейла с конечным числом грубых стационарных точек и периодических даисений.

При малом шевелении параметров модели гомоклиническая траектория исчезает и формируется сложная структура разбиения фазового простанства, называемая гсмоклипический структурой. Именно с ее появлением связано возникновение на "поверхности" аттракторов, отвечающих пачечным колебаниям, характерных "складок", отчетливо видимых на сечениях Пуанкаре (рис. 60). Слокнопериод11чэскио _рсг;икы.

Слокнопариодическио режимы представляют собой повторяющуюся сложную комбинацию высокоамплитудпых (Ь) и низкоамплитудных (Б) пиков и обозначаются ь"йт (где п-число высокозмшштуданх, а пьниз-коаишштудных пиков на период). Данные состоязия лэаат в центральной части (С-Р) диаграммы 6. На рис.30 приведена кинояичесвая кривая периодического движения 1531£гТ53 , а на рис. а - два характерных фазовых портрета режимов.

Сложнопэриодические режимы появляются в системе вследствие синхронизации базовых частот колебаний ы1 и шг (резонанса). Об этом свидетельствуют: большое разнообразие наблюдаемых сложнопериодических режимов, их форма, закономерности чередования, найденные вблизи некоторых из них (по пространству параметров) квазипориоди-чэские колебательные состояния. Состояние синхронизации соответствует рациональным значениям числа вращения И-'"величины, характеризующей отноае ча базовых частот:

•и = « (7)

1 2 п+ш

Резонанс является характерным путем появления сложнопериодических колебаний в системах с многочастотной динамикой.

Эволюция сложнопериодических режимов при увеличении константы кд подчиняется следующей закономерности (табл. 1):

- величина монотонно падает от 1 до О для режимов с преимущественно отмоленной формой катализатора (левая часть диаграммы 6);

- У? монотонно возрастает от 0 до 1 для режимов с преимущественно восстановленной его формой (правая часть диаграммы). То есть здесь вновь наблюдается характерная. симметричная картина в эволюции колебательных состояний системы.

Глава 4. Хаотические режимы система.

По механизму появления хаотических режимов можно выделить:

1) Гомоклинный хаос, связанный с появлением в системе петли сепаратрисы седло-фокусного состояния равновесия. Порождаемая этой особой траекторией характерная структура фазового пространства сохраняется и хосле ее исчезновения при малом шевелении параметра. Это приводит к существованию б системе целых областей гомоклшшого хаоса, зклшешшх з диаграмму 6 и таблицу как зоны существования пачечных колебаний.

2) Хаотические колебания, возникающие в системе как предельные режимы каскада удвоения периода. Данный переход я хаосу наблюдается для резонансных периодических движений в области (С-Р).

3) Хг тические режимы, возникающие в результате потери гладкости и разрушения тора. В их сечении Пуанкаре и одномерных картах сохраняются некоторые характерные черты тороидальпых аттракторов.

4) Хаос, имеющий вид стохастического блуждания мэзду выделенными группами движений с близкими числами вращений.

Большинство полученных хаотических аттракторов относятся к классу квазистохастических (или квазиаттракторов). Это следует из теоремы Шильянкова (для пачечных колебаний) и из существования в окрестности аттрактора множества резонансных периодических движений, отвечающих рациональным значениям чисэл вращения (для хаотических режимов из области С-Р диаграммы). Каскад удвоения периода.

Характерным механизмом перехода к хаосу в данной модели является последовательность бифуркаций удвоения периода (каскады удвоения). Данные бифуркации связаны с потерей устойчивости периодического движения, когда в его окрестности рождается предельный цпкл с периодом, близким к удвоенному. В исследуемой системе каскада удвоения периода появляются в области чередующихся слокнопе-раодичесг'ях и хаотических колебаний (С-Р) при варьировании параметр;} кв (рис. 9 А,в,с). Они наблюдалис'ь б частности, для режимов Ь, 1,3 и Ь5:'. На примере первого из них, как наиболее простого, была произведена оценка постоянной Фейгенбаума 0 и проверена универсальная картина в эволюции спектров мощности, характерная для каскадов удвоения.

Для оценки константы 0 были приближенно найдены бифуркационные значения параметра к , которые составили :

к! =5,299"!О6 - появление Ъг

Río, 9- Каскад удвоения периода (Шап+ )Q = 5'ю~4 Ы): А - фазовый портрет режима Ъ1 (kg= 5,328*Ю6); В - фазовый портрет режима L2 5,3288*1 о6); С - фазовый портрет режима Ьд (1г8= 5,298*106); D - фазовый портрет хаотического рекима (1^= 5.330*1 о6).

к* =5,323"1О6 - появление L1

к* =5,3235*106 - появление ь8

к* =5,3296 Юб - признаки появления L16 Вычисляя 6±- (к*+1 - - получаем 0,«4.3В, С2= 5,0.

Тек как ön « 3 при п » 1, полученные оценки хорошо согласуется с точным значением константы б = 4,669... .

На спектрах мощности в точках бифуркаций последовательно появляются частоты 'j)q/'2 , «q/4 и туз и их субгормопик. Отношение их амплитуд в бифуркационных точках составляет: при k_ = kf |P(1 )|2/!r(2)iz ч 16 дб.

Ol о

прпкя = к: |РСЯГ/|Р(2Ц2«11.2Я0.

8 - |Р(2)| /|Р(3)| « 12,6 Дб. прк ;Cq = кз |Р(1)|2/|Р{2)|2 * 12,1 Дб.

!Р(2)|2/!Р(3)|2 ~ 10 дб. |P(3)|2/|PU)|2 « 7,3 Дб. где P(i) - амплитуда спектра субгармогапот с^/г1-1. При k8 > к* на результатах измерения малых амплитуд начинает существенно сказываться зазумлоншсть спектров мощности. Получешше результаты в целом согласуется с теоретической оценкой:

ip(i)i2/|p(i+i )|2 * 13,5-да. . Яредельтгй хаотический режим и его эволюция.

Хаотические аттракторы, рождающиеся через каскад удвоения периода, имеют характерный многоленточный еяд. В данном случае предельный режим (kg=5,33*10°) выглядит на фазовом портрете как 4-та-ктная лента (рис 9 Ш. С увеличением параметра тлеет место последовательное слияние лент (4 2 1), приводящее в итоге к появлению одноленточного аттрактора. Этот процесс сопровождается последовательным размытием и исчезновением на спектрах мощности частот w0/4 и ш0/2 и их гармоник. Данные бифуркации хаотических режимов иногда называют бифуркациями связности.

Исследование одномерных отображений показывает, что слияние шюготактных лент аттрактора обусловлено гомоклинпческима эффектами. Наряду с n-ленточным аттрактором (п=4,2) в системе существует также (п/2)-тзктное седловоо периодическое движение, соответствующее потерявшему устойчивость в каскадах удвоений предельному циклу. При изменениях параметра появляется гомоклинкческая-траектория к' данному седловому движению, которая,с одной стороны,приводит к разрушению разделяющих ленты сепаратрпсшх поверхностей, а с другой -за счет формирования механизма возврата в окрестность данной неуе-

- со -

тойчивой траектории способствует ее вовлечению в структуру аттрактора. ß результате этого реализуется слияние лент. Ранее подобный механизм объединения лент наблюдался и исследовался в простых радиофизических системах.

Хаотические режимы, воаяикаюццш врезультате потори глпд^ости и разрушешя тора.

На рисунке ю приведен пример хаотического режима,возникающего по подобному сценарию. Он имеет вид изогнутой и перекрученной ленты. Спектр мощности режима напоминает спектр фликер-шума, что свидетельствует о его сильной апериодичности. На сечениях Пуанкаре и одномерных картах хорошо видно, что он возникает в результате деформации исходного тора, приводящей к появлению подков Смейла. Как видно на' сечении аттрактора, пучок траекторий "сгибается" и далее перетерпевает сжатие по одам и растяжение по другим направлениям фазового пространства. Это хороао известный сценарий образования странных аттракторов в диосшютивных системах. Появление подков Смейла приводит к существованию бесконечного множества различных седловых периодических движений, фрагменты которых могут наблюдаться на кинетической кривой или фазовом портрете режима. Корреляционная размерность данного аттрактора dkor« 1,899. Хаотический режим типа стохастических блужданий.мевду выделенными

На рис. 11 приведено другое хаотическое состояние системы (Ü, »1,925). Его спектр мощности близок к сплошному и такие напо-

ког

минает спектр фляккер-шуыа. На сочонии Пуанкаре и одномерной карте выделяются слабо сзязанше ветви, свидетельствующие о том,что данный режим возникает в результате биений между отдельными группами движений аттрактора. Причем последние, как показывают вычисления W для фрагментов „ттрактора характеризуются очень близкими числами вращений. Данное поведение характерно для квазистохастических колебаний. Подобные режимы часто появляются на границах резонансных зон Арнольда.

Для демонстрации механизма их возникновения были рассмотрена два близких по числу вращения периодических решила L и LsS. На границе их раздела, при понижении точности расчета до е= ю-3 действительно был получен хаотический режим типа биений между этими периодическими движениями. Влияние точности расчетов на режимы системы.

Как правило, Есе расчеты проводились при относительной точности е=Ю~б. Контрольные расчеты о более высокой точностью ( ю-7 -

Шг~]

Шг2]

А

^ Г* / 1

А ✓ V ^ ■V- ( "»Я

\>

ш

- ---------* -^.-"Г?;

г~7 »

<

у

Ш

о 1 э^.аь

I

-10 -1 -га 1 4

-за

"74*1

-«о

-50

-ва -70

в

'туш

1'

Чу

Рис. ю. Хаотический режим, полученный при [1Геп+]0= 5"ю-'1 М н 1Сд= 2,4'Юб: А - фазовый портрет; В - спектр мощности; С -- сечение Пуанкаре; Р - одномерная карта.

№0. 11. Хаотичоский рожим, полученный при [Неп+]0= 5'ю""1 Ы и ка= 6,о-юб: А - фазовый портрет; В - споктр мощности; С - сечение Луанкаре; Б - одномерная карта.■

Ю-8) не показали каких либо видимых изменений в структуре аттракторов. Однако, в ряде случаев наблюдалось смещение областей существования режимов по параметрам. Гораздо более заметны изменения, связанные с понижении е до ю~2-ю~3. В этом случае появляются дополнительные хаотические режимы, типа случайной смеси периодических состояний с близкими числами вращений, хаотизируется часть сложнопериодических режимов о большим периодом, наблюдается усиление размытия хаотических аттракторов системы.

Роль_быстрых^у>емет^

Разделение переменных системы на быстрые и медленные приводилось с помощью преобразования Y = S~1X, где Х=(х1 ,Х2,... .>-а)т. I=(Y,,У2,...,YB)T- вектор новых переменных, S- матрица, составленная iij собственных векторов стационарной точки системы. Было показано, что две выделяющиеся быстрые переменные системы выражаются через концентрации реагентов, участвующих в быстрых свободцоради-кальных стадиях процесса. Эти компоненты образуют на граф-схеме реакции "быстрые" циклы, сложное взаимодействие которых с медленной подсистемой приводит к наблюдаемому разнообразию динамики.

Таким образом, систему БЖ можно рассматривать как систему связанных осциляторов с разными временными масштабами, что открывает возможность изучения данной реакции на уровне отдельных подсистем.

ВЫВОДЫ

1. В рамках 11-стадийной модели с явным учетом быстрых пере-Ненных смоделированы все известные динамические режимы автоколебательной реакции Белоусова-Жаботинского, а именно:

- квазисинусоидальные низкоамплитудные колебания;

- квазипериодические режимы;

- пачечные колебания ("bursting");

- сложнопориодическив (смешанномодовые) колебания;

- качественно разнообразный, существую^J в широких областях параметров детерминистский хаос.

Исследована зависивость характера динамики системы от параметров модели. Изучены переходы между отдельными режимами, при 'этом получена последовательность их чередования, совпадающая с экспериментально наблюдаемой.

2. Показано, что система является глобально диссипативной с переменным коэффициентом диссипации. Количественно оценена ее жесткость.

3. Доказана единственность стационарной точки в положительном октанте Фазового пространства и исследована ее устойчивость в зависимости от параметров модели. Показано, что появление колебаний связано с суперкритической бифуркацией Хопфа, превращающей исходную узло-фокусную стационарную точку в седло-фокус.

4. Впервые на реалистичной модели реакции ЕК получен переход от квазипериодических к пачечным колебаниям. Показано, что пачечные колебания связаны с появлением в системе гомоклинической структуры, которая и обуславливает наблюдающуюся сложную складчатую форму аттракторов.

5. Проведен анализ полученных хаотических аттракторов системы, большинство которых отнесено к классу квазиаттракторов - сложных притягивающих множеств, наряду с седловыш циклами также и устойчивые периодические движония с малой областью притяжения. Показана роль гомонлинических траекторий в их эволюции.

С. Продемонстрирована решающая роль быстрых свободнорадшсаль-нкх стадий процесса в возникновении сложных динамических режимов.

7. Разработан шкет программ для исследования сложной динамики в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравне-

¡ия1.ш .

. Носков О.В., Караваев А.Д., Спивак С.И., Казаков В.П.■ Математическое моделирование сложного колебательного поведешя: многостадийный механизм реакции Белоусова- Жаботинского // Динамика процессов и аппаратов химической технологии, тезисы докладов, Воронеж, 1990, с. 104-105. Носков О.В., Караваев А.Д., Спивак С.И.', Казаков В.П. Роль быстрых переменных в моделировании сложной динамики рвак-. ция Белоусова Жаботинского // Математические методы в химии, тезисы докладов, Казань, 1991, с. 68-71. .. Ноское О.В., Караваев А.Д., Спивак С.И., Казаков В.П.

Моделирование слоялой динамики реакции Бэлоусово-Жаботинского: рошаицая роль быстрых переменных // Кинетика и катализ, т.33, ВЫП.З, 1992, С. 704-712.

Носков О.В., Караваев А.Д., Спивак С.И., Казаков В.П. Колебания и хпос в 7-конпонентной модели реакции Белоусова -Жаботинского /Математические методы в химии, тезисы докладов, Тула, 1993, с. 7.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Соискатель

/ Носков О.В./