автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к моделированию автоколебательных реакций

005053609

На правах рукописи

Джанунц Гарик Апетович

КОМПЬЮТЕРНЫЙ МЕТОД КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРИМЕНЕНИИ К МОДЕЛИРОВАНИЮ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕАКЦИЙ

Специальность:

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Таганрог-2012

005053609

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Ромм Яков Евсеевич

Официальные оппоненты: Карелин Владимир Петрович

доктор технических наук, профессор, НОУ ВПО «ТИУ и Э», заведующий кафедрой математики и информатики

Боженюк Александр Витальевич

доктор технических наук, профессор, Технологический институт ФГАОУ ВПО «ЮФУ»,

профессор кафедры прикладной информатики

Ведущая организация: ФГНУ НИИ «СПЕЦВУЗАВТОМАТИКА»,

г. Ростов-на-Дону.

Защита состоится « 21 » июня 2012 г. в 14.20 на заседании диссертационног совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 34792! г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотек Южного федерального университета по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дот

ул. Пушкинская, 148

Автореферат раз

Ученый секре диссертационн

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Модели колебательных систем используются в «рментативном катализе, теории иммунитета, в теории трансмембранного ионного ереноса, микробиологии и биотехнологии. В отдельный класс выделяются втоколебательные системы, к которым относятся колебания в гликолизе и других етаболических системах, периодические процессы фотосинтеза, колебания онцентрации кальция в клетке, колебания численности животных в популяциях и □обществах. Модели изменения концентрации озона в атмосфере приводят к елому классу жестких задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных равнений (ОДУ), которые современными программами решаются как типовые, •дной из важных и базовых среди известных автоколебательных реакций является еакция окисления лимонной кислоты броматом калия, катализируемая ионами ерия (IV), называемая реакцией Белоусова-Жаботинского. Практически все модели сцилляторов, описывающие данные явления и процессы, приводят к системам >ДУ для вектора концентраций К(/). Разнообразие численных методов,

редназначенных для решения задачи Коши для ОДУ, показывает, что часто рактические требования точности и быстродействия отвергают выбор ниверсального метода. Не меньшее значение при приближении реальных моделей, частности, описывающих биологические и биохимические автоколебательные истемы, имеет компьютерная реализация методов. Численное интегрирование истем ОДУ во многих современных математических моделях связано с решением аких проблем, как жёсткость и неустойчивость к возмущениям входных араметров. Существует множество численных методов, с различной ффективностью преодолевающих указанные проблемы, однако это не снижает ктуальность создания эффективных, обладающих универсальностью и простой рограммной реализацией методов. Как правило, метод, подобранный для ппроксимации с высокой точностью одного типа задач, не встречается при риближении решения задач другого типа. Иными словами, существующие методы риближения решения задачи Коши для ОДУ не инвариантны относительно вида истемы при наличии жесткости. Помимо того, актуальны проблемы непрерывности риближения и оптимизации распределения узлов интегрирования в зависимости от падкости решения на различных участках отрезка интегрирования. Диссертация освящена уточнению существующих моделей химических и биологических сцилляторов на основе разработки инвариантного численного метода и еализующего его программного комплекса.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование ивариантного компьютерного метода решения задачи Коши для системы ОДУ с [рименением к моделированию химических и биологических осцилляторов. 1остроение метода основано на кусочно-полиномиальном приближении решения в словиях невысокого порядка гладкости правой части при выполнении требования [инимизации погрешности и временной сложности, а также требования [епрерывности и непрерывной дифференцируемое™ приближения в случае юделирования процессов с помощью жестких и нежестких систем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются еле-тощие задачи:

1. Разработать единый компьютерный метод варьируемого кусоч». полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на осно интерполяционных полиномов Ньютона с числовыми значениями коэффициенте обеспечивающий высокую точность приближенного решения со свойства! непрерывности и непрерывной дифференцируемое™ приближения в услови невысокого порядка гладкости правой части.

2. Доказать сходимость и дать оценку скорости сходимости конструируемо метода в случае его применения для аппроксимации функций и в случае решенш его помощью задачи Коши для системы ОДУ, показать целесообразность е практического применения, выполнить сравнение с методами высоких порядков аспекте компьютерной реализации математического моделирования процессов быстро меняющейся динамикой.

3. Выполнить компьютерную реализацию кусочно-полиномиального мето приближенного решения жестких систем ОДУ для уточнения числовых параметр реагентов автоколебательных реакций при моделировании периодической реакщ Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере релаксационных автоколебаний в системе гликолиза.

4. Оценить трудоемкость и временную сложность кусочно-полиномиально приближения решения систем ОДУ, указать зависимость трудоемкости метода точности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестк] систем ОДУ в процессе моделирования автоколебательных процессов с учете параллелизма метода.

5. Разработать способ переноса компьютерного метода кусочн полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случ; приближенного решения дифференциальных уравнений (ДУ) в частш производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций дв; переменных. Выполнить численный эксперимент по точности кусочн полиномиального приближения и применимости метода для моделирован волновых процессов.

6. Разработать комплекс программ на основе единого метода кусочн полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, адаптируемый различным классам задач посредством задания числовых параметров подпрограм выполнить с его помощью численный и программный эксперимент по сравненк погрешности и временной сложности известных разностных и предложенш кусочно-полиномиальных схем с целью уточнить физические параметры и фазов! портреты математических моделей автоколебательных реакций.

Методы исследования включают вычислительные методы линейной алге ры и математического анализа, численные и аналитические методы решения сист< ОДУ, разностные методы решения уравнений в частных производных, методы м тематического, компьютерного и численного моделирования автоколебательнь реакций, элементы теории сложности параллельных алгоритмов, методы теор] интерполяции и теории функций вещественной переменной, методы объектно программирования.

Достоверность результатов вытекает из корректного математического обо нования с помощью аналитических оценок погрешности приближений и времег

сложности формализованных алгоритмов, подтверждается результатами компьютерного моделирования, программного и численного эксперимента.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 - 47, 53 - 64).

2. Показана равномерная сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к аппроксимируемой функции, а также к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке из области допустимых значений в условиях двукратной дифференцируемости правой части, что упрощает его применение по сравнению с методами высоких порядков и обеспечивает численное моделирование процессов с быстро меняющейся динамикой (С. 29 — 37, 47 — 53).

3. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для прибли-кенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моде-шрующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических эеакций (С. 66-91).

4. Выполнены оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-толиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ, пока-шна периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-чолиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109 - 117).

5. Разработан способ переноса компьютерного кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных. Метод отличается от известных по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических /равнений, что позволяет его применять для моделирования волновых процессов, описываемых уравнениями данного вида (С. 118 — 136).

6. Разработан комплекс программ на основе инвариантного метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, отличающийся тем, что адаптация к различным классам задач реализована заданием числовых параметров подпрограмм. При помощи комплекса выполнен численный эксперимент по ■оавнению погрешности и временной сложности известных разностных и предло-

женных кусочно-полиномиальных схем с применением узловых интерполяционна значений на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дорм; на-Принса. Показана меньшая погрешность предложенного метода, что в соч. тании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметр и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакци (С. 39-47,53-64,72-77, 154-211).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Компьютерный метод кусочно-полиномиального решения задачи Коши дг системы ОДУ на основе кусочно-полиномиального приближения решения интерп< ляционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов и пр< граммной вариацией длин подынтервалов, а также степеней аппроксимирующр полиномов для обеспечения высокой точности приближенного решения со свойс вами непрерывности и непрерывной дифференцируемое™.

2. Обоснование равномерной сходимости кусочно-полиномиального мето/ со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи Коши для систем ОДУ на конечном промежутке при двукратной дифференцируемое™ функций пр; вой части с целью обеспечения компьютерного расчета математических моделе периодических реакций.

3. Компьютерная реализация предложенного метода для приближенного р< шения жестких систем ОДУ, уточнение на этой основе расчета моделей химически автоколебательных реакций, включая числовые параметры реагентов.

4. Оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиально! приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ для моделей автоколеб; тельных процессов; показана возможность сокращения времени моделирования : счет параллелизма метода.

5. Метод приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производны на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных применением к расчету моделей волновых процессов.

6. Программный комплекс на основе единого метода кусочш полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличаете тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых пар; метров подпрограмм инвариантного вида; при помощи комплекса выполнен расч£ математических моделей периодических реакций, получены сравнительные оценк погрешности и времени расчета моделей на основе разностных и кусочш полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутт Бутчера и Дормана-Принса; даны уточнения физических параметров и фазовы портретов математических моделей автоколебательных реакций.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается прикладном характере предложенных методов кусочно-полиномиального решен* ОДУ и уравнений в частных производных, которые применяются для компьютерно реализации математического моделирования периодических реакций, включая р( акции Белоусова-Жаботинского, суточные колебания концентрации озона в атм< сфере, релаксационные автоколебания в системе гликолиза, а также для моделир( вания волновых процессов. Результаты моделирования необходимы для отладк технологических процессов на основе периодических реакций, для оценки изм<*

ний концентрации свободного кислорода, озона и молекулярного кислорода в атмосфере в зависимости от участка земной поверхности. Предложенный кусочно-полиномиальный метод доведен до практической реализации в виде программного комплекса для решения актуальных задач математического моделирования, связанных с исследованием автоколебаний. Кроме того, разработанный программный комплекс на той же основе применяется для снижения временной сложности и повышения точности решения систем ОДУ, моделирующих движение объектов в реальном времени.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:

1. В ОАО НКБ ВС для решения систем ОДУ при моделировании движения транспортного средства в реальном времени (с учетом сил трения и переменного вектора тяги) в трехмерном пространстве. Модель интегрирована в состав программного обеспечения стенда функционального контроля (СФК).

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту №7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на пятьдесят второй научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009 г.); III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009 г.); International Conference Parallel Computer Algebra'2010 (Tambov, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 2010); XI международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, СПБПУ, 2011); XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Казань, 2011); Всероссийской НТК с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011 г.); IX региональной научно-практической конференции «Аспекты развития науки, образования и модернизации промышленности» (Таганрог, ДГТУ, 2011 г.).

Публикации. По материалам работы опубликовано 14 печатных работ общим объемом около 17 печатных листов, в том числе 4 статьи в журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы и приложений к четырем главам. Основное содержание работы изложено на 152 страницах, включая список литературы из 111 наименований, приложение изложено на 70 страницах,

включает коды программ, реализующих математические модели и предложеннъ. численные методы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследовани: охарактеризовано современное состояние методов и алгоритмов решения задач Коши для систем ОДУ, моделирующих периодические реакции, включая автокод« бательные и автокаталитические процессы. На основе обзора с учетом нерешенны задач определены цель и задачи исследования, сформулированы основные полон« ния, выносимые на защиту.

В первой главе вначале излагается компьютерный метод варьируемой ю сочно-полиномиальной аппроксимации действительной функции одной действ! тельной переменной. На основе этого метода в продолжение главы синтезируется программно реализуется алгоритм кусочно-полиномиального решения задачи Кош для системы ОДУ.

Компьютерная аппроксимация действительной функции и = и(х) от одно действительной переменной на произвольно фиксированном отрезке [а, р] выпо;

няется следующим образом. Выбирается система подынтервалов равной длины, к

р-1

которые разбивается отрезок: [а, р] = и[*,,*(+1], Р = 2к, Ае{0,1,...}. Для /-го пс

|'=0

дынтервала строится интерполяционный полином Ньютона с равноотсто:

щими узлами, где / = (дг-дг,.)/А. Значение степени полинома п выбирается миш

мальным при условии, что абсолютная погрешность не превышает априори зада! ной границы е одновременно на всех подынтервала) |м(д:)-4^,(01 ^ £, хе[х„ / = 0, Р-1. При этом каждый полином Ньютона преоС

разуется к виду полинома с явными значениями числовых коэффициентов. С это целью в исходной записи

1 Д 'и у-1

ч,,-(о=ии0)+Е—г-Ш'-*). 1=(х-хтук, (1

у=1 J^■ 4=0

где хи=х> + }к, у' = 0 ,п, — узлы интерполяции, А'и10 — конечная разность ] -го пс рядка в точке х10, вычисляются конечные разности Аи,„=и(хп) - и(х10) А 1и,0 = А4"'«,, - А4"'м,0 , к = 2,п, и обозначаются Ьи = А'и10, у = 1, п. Произведен«

Я (0 = ГТ ('-£) является полиномом, заданным разложением на множители, гд

к- 0, у" -1 — его нули, по которым восстанавливаются коэффициенть (/) = </у0+<//|/ + </у2/2+...+<^7/у. После данных преобразований полином (1) п дистрибутивности с приведением подобных переводится в форму

Для часто встречающихся функций коэффициенты в соответствии подынтервалу хранятся в памяти. При аппроксимации полиномом (2) функции и(х), jce[a,ß], выполняется дешифрация номера подынтервала / = int((x-a)/p), int -целая часть числа, р = х(+1 -xi, i = 0, Р-1, х е [х, , xj+1). Найденный номер - математический адрес хранимых коэффициентов, по нему выполняется их считывание. Поскольку п = const минимально, то время приближенного вычисления функции оценивается как 0(1). Практически в общих условиях метод позволяет вычислять

функции с границей абсолютной погрешности 10 20 . Имеет место следующая оценка скорости сходимости метода.

Лемма 1. Пусть для произвольного п = const функция и = и{х) определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема п+1 раз на отрезке [а, ß], на концах которого подразумеваются соответственные односторонние производные. Тогда, каково бы ни было п> 1, последовательность полиномов Ч*,, (/) из (1) равномерно

сходится к функции и(х) на данном отрезке при £-» да, где А: = log 2 Л, Р- число подынтервалов. Скорость сходимости оценивается из соотношения

Nixb^Oli^i^A"', Р = 2к, [а,р] =(] [*„*,♦.]• (3)

¡»о

где с = const, h — шаг интерполирования полинома 4V(0 на [а. ß] при к = 0.

В главе изложены схемы динамического распараллеливания данной аппроксимации функций, даны верхние оценки временной сложности, в приложении приводятся код программы и результаты численного эксперимента.

Метод преобразуется с целью компьютерного решения задачи Коши для систем ОДУ на основе кусочной интерполяции разностных приближений. Преобразование опирается на представление полинома, аппроксимирующего функцию и(х) на подынтервале в виде (2), из которого вытекает выражение для аппроксимации

1 " г &

производной, м'(х)« — ^ £aiet'~l , и первообразной: J u(x)dx = C + h^——t'*1.

h /,[ (_o ¿ + 1

Именно на этой основе строится аппроксимация правой части ОДУ, а затем и первообразной от нее, которая при соответствующей подынтервалу замене константы С дает искомое приближение решения.

Пусть в R1 на произвольно фиксированном отрезке [а, Ъ] требуется приближенно решить задачу Коши для ОДУ первого порядка

^f = f(x,y), у(*о) = Уо- (4)

ах

Первоначально отрезок [а, b] делится на интервалы равной длины:

Я-1 _

[а, 6] = (J [а,, b, ], b,-а, = V, / = 0, R-1. При каждом /' для i-го интервала задается

i=0

Р-1

разбиение на подынтервалы равной длины: [a,, A,]=U [ху, *у+1],

у-о

Р = 2к, к = {0,1,...}. На каждом подынтервале строится кусочно-полиномиально приближение функции правой части (4). При этом узлы интерполяции на каждо] подынтервале априори вычисляются по разностной схеме, например, по методу Эй лера с излагаемыми в дальнейшем особенностями. Количество подынтервало Р = 2к и степень интерполяционного полинома п программно варьируются и фик сируются таким образом, чтобы.на каждом подынтервале было минимальным зна чение

= I ч>,„«-/(*, М) I, *е, } = 0.Р-1, Р = 2к, [а,, Ъ,] = 0 . ,

]- О

г

где уу„ (л) « f (х, у) из (4), zJ(x) = у1 + |— полином с числовыми коэффн

циентами вида (2), приближающий искомое решение: гу (л) и у(дг). Данная вариаци

позволяет уменьшить погрешность приближенного решения задачи (4), в результат при переходе от предыдущего подынтервала к последующему берется начально значение более точное, чем собственно в разностном методе.

Более детально, коэффициенты кусочно-полиномиальной аппроксимации вы числяются следующим образом. При каждом ] подынтервал [х1, ] разбиваете

на п равноотстоящих узлов: х1р = х) + рН, р = 0,п, А = (х^-х^/п. В каждом из уз

лов вычисляются значения /(х)р, у/р), где у/р определяется по разностному мето

ду, например, у/р = у^ + А-/(*,уЯр.ц), р = 1, п, при этом в качестве у10 бе

рется значение на границе справа из окончательного приближения на предыдуще! подынтервале: у/0 = уи_Г)„, для начального подынтервала из (4) у00 =у0. Значени

f(х/р, у1р) принимаются за значения в узлах интерполяции <Р;.р = У1р), р = 0, п, по которым строится интерполяционный полином Нью

тона степени п, приводимый к виду:

Г

Х-Х„

1=1

b,tdkt

А

(6

где aJ0 = ф/0, aJt = £ ———, bJk = Д*сруо • Полином (6) приближает производнуь

решения задачи (4). Приближение самого решения строится как первообразная о полинома (6) с постоянной, принимающей значение yj(¡. Фиксирование для перво

образной полинома (6) значения нижнего предела и замена константы С на yJ0 оп

ределяет функцию

{ \ '+1

j0

(7

а^

А

Полином (7) принимается за приближение решения у(х) на ] -м подынтер вале: у(х)~г 1{х), xe.[xJ,xj^^\. Значение полинома (7) вычисляется по схеме Г<"

нера. Далее, на j -м подынтервале полученные полиномиальные приближения вновь уточняются по аналогии с уточнением первоначально выбранных разностных приближений. Аналогичное приближение строится на следующем подынтервале и т. д., до исчерпания интервала [а,, b,].

Имеет место

Теорема 1. При любом выборе- п , 1 < п < п0, п0= const, последовательность полиномов z ,(х) равномерно на [а, Ь\ сходится к решению задачи (4) при

¿->оо , где к = log2 Р, Р — число подынтервалов из (5). Скорость сходимости оценивается из соотношения

(8)

где с = const, h - шаг интерполирования полинома z0(x) на [<з,, 6, ] соответственный к = О, его значение не меняется с ростом к .

Приведенные в главе леммы, теорема и следствия доказывают равномерную сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи Коши для ОДУ на произвольном конечном промежутке из области допустимых значений. Для корректного применения метода достаточно двукратной дифференцируемости правой части, что отличается от условий методов высоких порядков, обеспечивает применимость для моделирования процессов с быстро меняющейся динамикой и подтверждается результатами численных экспериментов.

В случае системы ОДУ изложенные преобразования выполняются отдельно для каждой компоненты решения, погрешность оценивается с помощью канонической нормы вектора.

Согласно экспериментам с нежесткими задачами при вычислении узловых значений по методу Эйлера погрешность порядка 10 '9 не превышается на всем отрезке интегрирования. Например, для задачи Коши

/2 = 2^7,у,(1) = 2, у2( 1) = 4 (9)

х * *

с аналитическим решением у^=х+х2, у2=(х +1)2, погрешности приближения решения разностными методами Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта 4-го порядка, Бутчера, Дормана-Принса и предложенным кусочно-полиномиальным методом (РР) на отрезке 1,10 ] приводятся в табл. 1.

Таблица 1

Погрешность решения задачи (9) разностными и варьируемым кусочно-полиномиальным методами

X Euler Euler-Cauchy Runge-Kutt 4 Butcher б Dorman-Prince 8 РР

Л = 1.03х10"9 /1 = 1.03x10"' Л =1.03х10~4 А = 1.03х10"3 А = 1.03х10~2 1.56х10"2 £ASl.25xl0_1

2.03 1.9965Е-0009 1.0472Е-0009 7.0083Е-0016 6.0282Е-0017 8.6736Е-0018 4.3368Е-0019

3.06 5.7257Е-0009 3.1502Е-0009 2.2638Е-0015 7.9450Е-0016 7.4593Е-0017 8.6736Е-0019

8.21 3.0693Е-0008 4.7148Е-0008 1.6760Е-0013 1.4454Е-0014 5.4123Е-0016 0.0000Е+0000

9.24 4.4477Е-0008 5.4968Е-0008 2.4454Е-0013 1.0957Е-0014 9.2287Е-0016 О.ООООЕ+ОООО

В главе предложены разновидности компьютерного кусочно-полиномиального решения задачи Коши для систем ОДУ с разностным вычислени-

ем узловых значений при помощи методов Эйлера, Эйлера-Коши, а также методов высшего порядка, включая Рунге-Кутта 4-го порядка, Бутчера (соответственно, Рун-ге-Кутга 6-го порядка), Дормана-Принса (соответственно, Рунге-Кутта 8-го порядка). Экспериментально показано, что точность приближения при вариации числа подынтервалов и степени интерполяционного полинома совпадает во всех данных разновидностях метода, при этом она существенно превышает точность входных разностных методов.

Приближение с помощью варьируемого кусочно-полиномиального метод! решения задачи Коши для системы ОДУ, помимо сравнительной точности, обладав-свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости в силу склейга значений полиномов на границах смежных подынтервалов, начиная с порядка глад кости правой части п> 2, что дополнительно исследовано в главе.

Отмеченные качества приближения, сохраняющиеся при малом порядю гладкости функций правой части системы, в дальнейшем применяются для уточне ния физических параметров при моделировании систем с быстро меняющейся ди намикой. Непосредственно в главе выполнено уточнение числовых компонента модели Вольтерра, описывающей динамику популяций и приводящей к автоколеба тельной системе.

Во второй главе излагается применение варьируемого кусочно полиномиального компьютерного метода для решения жестких систем ОДУ, описы вающих модели периодических реакций. С помощью предложенного метода выпол няется моделирование периодической реакции Белоусова-Жаботинского — «opero натор», колебаний концентрации озона в атмосфере и релаксационных автоколеба ний в системе гликолиза. Цель исследования заключается в уточнении числовые параметров, графиков изменения концентрации реагентов периодических реакций, < также фазовых портретов рассматриваемых математических моделей.

В рассматриваемом аспекте для химической реакции Белоусова Жаботинского на основе модели «орегонатор»,

>'1'=77.27(у2+^(1-8.375х10-6>'1-у2)), y^ll.ll-^y.-y^X + y,)), у\ =0.161 (у, -уг)

имеют место уточнения значений концентрации реагентов в сравнении с результа тами, полученными по специально созданным для решения жестких задач програм мам. Так по экстраполяционной программе Stiff EULer Extrapolation (SEULEX) н; основе линейно неявного метода Эйлера погрешность приближения не превышает порядка 10"*, на вычислительной системе Sun SPARC 20 время работы программь составило 0.5 с. На основе предложенного метода решение приблизилось с грани цей погрешности порядка 10~'3 на персональной компьютере Intel Core i 7 — 2600 з; 53 с (табл. 2). Графики колебаний концентраций реагентов реакции и фазовые порт реты системы, построенные на основе разностных методов, также уточняются с по мощью предложенного метода вследствие непрерывности приближений и их срав нительно высокой точности, при этом существенно уточнение результата визуализации (рис. 1,2).

1

0. 200. 400.

а) Ь)

Рис. 1. Колебания [Вг~ ] в модели «орегонатор» на основе экстраполяционной программы ЗЕиЬЕХ (а) и по кусочно-полиномиальному методу (Ь) Разница между графическим отображением разностного метода (рис. 2 (а), функция э^г, МаЛСЛП) и кусочно-полиномиального метода (рис. 2 (Ь)) достаточно наглядна при увеличенном отображении участка графика:

а) Ь)

Рис. 2. Сравнение графиков изменения переменной ух по кусочно-полиномиальному методу (Ь) и с помощью функции stiffr (а) В главе с применением кусочно-полиномиального метода выполнено компьютерное моделирование суточных колебаний концентрации озона в атмосфере на основе известной системы дифференциальных уравнений

y[=-kiyxy1~k2yiy^ + 2k,{t)y1+ki{t)y,, у'2 = О, у'г = к, у, у2 - кг у,у3 - k4(t)y3 .

Для данной модели получены уточнения максимальных концентраций реагентов (табл. 2) и графиков изменения этих концентраций во времени. Сравнение с предложенным методом представлено для графика изменения концентрации атомарного кислорода, построенного с помощью функции Radau (неявный метод Рунге-Кутта, MathCAD).

Помимо того, выполнено компьютерное моделирование релаксационных автоколебаний в системе гликолиза на основе модели Дж. Хиггинса,

У\=1-У1Уг, Уг =«^2 -(1 + ß) I (^2+Р))> с параметрами ß = 10, а =100, при которых решения системы имеют в вид релаксационных автоколебаний (жесткий предельный цикл). Применение кусочно-полиномиального метода позволило уточнить идентификацию периодичности реакции и непосредственно характер идентичности гармоник (рис. 3).

а) Ь)

Рис. 3. Кинетика изменения переменной у1 , вычисленная с помощью функции 5У$7- (среда МаЛСАП) (а) и с помощью кусочно-полиномиального метода (Ь) Предложенный кусочно-полиномиальный метод от прототипов, включая метод Адамса, отличается по построению и возможностью компьютерной вариации не только шага, но и степени интерполяционного приближения. Метод сохраняет единство при решении нежестких и жестких систем, однако, в случае жестких систем с целью снижения трудоемкости вариация сводится к подбору и последующему фиксированию степени интерполяционного полинома с аналогичной вариацией и фиксированием числа подынтервалов. Сравнительные характеристики моделирования периодических реакций на основе предложенного (РР) и известных методов приведет! в табл. 2.

Таблица 2

Сравнительные характеристики результатов численного моделирования автоколебательных реакций

Модель Система Метод приближения Абсолютная погрешность приближения Время решения Вычислительная система Степень корректности моделирования

Реакция Бело- усова-Жаботинского. Орегонатор у\ = п.21 (у, + yt(l- 8.375 X хКГ'^-л)), /,=77.27-'(Л-Mit*)), Уз =0.161 {у,-у,) SEULEX (Fortran) 10"' 0.5 c Sun SPARC 20 Корректно (рис. 1 (а))

stiffr (MalhCAD) 10"7 2c Intel Core i 7 - 2600 Корректно (рис. 2 (а))

Rkadapt (.MalhCAD) - - Intel Core i 7 - 2600 Не корректно

PP (Delphi) Ю-'3 53 c Intel Core i 7 - 2600 Корректно (рис. 1 (Ь), рис. 2 (Ь))

Суточные колебания концентрации озона в атмосфере + 2к,(1)уг+к,(1)у„ Л= о. Уз =*,У,У2-*2У1Уг-*Л1)У, Radau, BDF (MalhCAD) 10 2c Intel Core i 7 - 2600 Корректно

rkadapt (MathCAD) - - Intel Core i 7 - 2600 Не корректно

PP (Delphi) I0"! 22 c Intel Core i 7 - 2600 Корректно

Релаксационные автоколебания в системе гликолиза. Модель Дж. Хиггинса. у\ =1-У\Уг. у\ =100_у2 у у--П— Stiffr (MathCAD) 10-' 4c Intel Core i 7 - 2600 Корректно (рис. 3 (а))

stiffr (MathCAD) 10"12 - Intel Core i 7 - 2600 Не корректно

1, Уг + ЮJ PP (Delphi) 10~12 8c Intel Core i 7 - 2600 Корректно (рис. 3 (Ь))

Из табл. 2 видно, что предложенный метод целесообразно применять при моделировании практически всех отмеченных автокаталитических реакций. Аналогичные результаты получались при приближении решений других жестких систем.

В третьей главе показано, что помимо моделирования автоколебательных реакций, кусочно-полиномиальный метод применим для приближения других клас-

сов задач, отличаясь при этом сравнительной точностью численного моделирования процессов, описываемых как жесткими, так и нежесткими системами. В то же время имеет место сравнительно невысокая трудоемкость и малая временная сложность. В главе представлены аналитические оценки и численный эксперимент по решению предложенным методом задачи Коши для различных систем ОДУ общего вида. Показано, в частности, что при приближении решения уравнения а'у/сЬс = у с начальным условием ><0) = 1 на отрезке *е[0, 30], в конце промежутка, по методам Адам-са, методу на основе кусочно-полиномиальной интерполяции многочленами Эрми-та, методу Рунге-Кутта 4-го порядка с фиксированным шагом достигалась погрешность порядка 101 - 102:

Таблица 3

Абсолютная погрешность приближенного решения у = е*

X тфхеЛ гка(1ар1 ВиЫоег РР

0.7 2.3537Е-0014 4.4409Е-0016 6.6613Е-0015 2.1684Е-0019

6.7 7.9001Е-0010 9.8908Е-0012 1.4097Е-0011 3.3307Е-0016

14.7 1.0265Е-0005 5.1223Е-0008 5.5879Е-0009 0.0000Е+0000

24.7 0.2902Е+0000 1.2817Е-0003 1.6785Е-0003 6.3330Е-0008

29.7 146.71Е+0000 0.9072Е+0000 0.2070Е+0000 5.2452Е-0006

Применение метода 4-го порядка с адаптацией шага интегрирования и метода Булирша-Штера позволило уменьшить погрешность приближения в конце промежутка до порядка 10°. Предложенный варьируемый кусочно-полиномиальный метод (РР) с точностью до коэффициента не превышает погрешности 10~б в конце промежутка. Смысл данных табл.3 для отрезка ле[0,8] отображается на рис.4 (Ро%г4 - погрешность кусочно-полиномиального метода, которая вследствие масштаба отображается на горизонтальной линии, Ро%г1-Ро%гЗ — погрешности разностных схем, отображенные отклонениями по обе стороны от горизонтали).

Роет! Ровг2 РовгЗ

0 2 4 6 1

XI.X2.X3.X4

Рис. 4.0гклонение от погрешности решения кусочно-полиномиального метода погрешности разностных схем При решении нежестких задач предложенный метод согласно эксперименту всегда не превышает погрешности порядка 10"'7 - 10"19, обладая при этом аналитичностью приближения на всем промежутке интегрирования. Это позволило с данной точностью реализовать моделирование автоколебаний в системе химических реакций на основе модели «брюсселятор», у[ = 1 + у]у2-^у,, у'г = 3ух-у\уг с начальными условиями _>>,(()) = 1.01, у2(0) = 3, близкими к особой точке. Варьируемое кусочно-полиномиальное приближение за счет непрерывного характера приближения

влечет уточнение графиков модели «брюсселятора» при возникновении автоколебаний (рис. 5), как следствие, кинетика изменения переменных в реакции отображается более полно.

Рис. 5. График кусочно-полиномиального решения системы «брюсселятор» Выполнен сравнительный анализ варьируемого кусочно-полиномиального метода с известными методами приближенного решения задачи Коши для системы ОДУ, экспериментально иллюстрируется предпочтительность предложенного метода (РР) для моделирования автоколебательных химических и физических процессов, описываемых системами ОДУ, в частности, для модели Вольтерра, и' = 2и(л>-\), у' = у(1-и), м(0) = 2, у(0) = 0.5, (табл. 4),-

Таблица 4

Погрешность решения модели Вольтерра разностными и кусочно-полиномиальным методами

Еи1ег Еи1ег-СаисИу Пище-Кии 4 ВигсИег 6 Оогтап -Ргтсе 8 РР

Л = 1.03х10"8 А = 1.03х10~8 ¿ = 1.03x10"" И = 1.03 х Ю-3 И = 1.03х10~3 А » Ю-2

1.03 2.06 7.4889Е-0009 2.4527Е-0009 7.6027Е-0009 6.6689Е-0009 3.6863Е-0018 2.8189Е-0018 2.3852Е-0018 4.7705Е-0018 3.2526Е-0018 2.3852Е-0018 4.3368Е-0019 2.1684Е-0019

8.24 9.27 4.8625Е-0009 3.9752Е-0009 1.6597Е-0009 2.8450Е-0009 1.4962Е-0017 2.8189Е-0017 3.4694Е-0018 1.9516Е-0018 1.7347Е-0018 3.4694Е-0018 8.6736Е-0019 4.3368Е-0019

— предложенный метод иллюстрирует преимущество в точности моделирования.

В главе аналитически показана периодическая по интервалам (рис. 6) зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ при моделировании автоколебательных процессов.

Рис. 6. Периодичность роста границы трудоемкости кусочно-полиномиального приближения Здесь к. = к, (е) - число этапов на г -м интервале, Я - количество интервалов. При традиционном измерении посредством 1о£|0 данные графики трудоемкости преобразуются к виду линейных зависимостей. По совокупности интервалов на промежутке интегрирования трудоемкость оценивается суммой трудоемкостей на интервалах. На интервале [а/56,] справедлива следующая оценка трудоемкости:

г„<юх2*е„б, ~ «2а+/у/2)+й(//+/,), (ю)

где , 1у, — соответственно время бинарного арифметического сложения, умножения и деления, г г - время вычисления правой части (4). В случае системы ОДУ

изложенные операции повторяются для каждого уравнения в отдельности, увеличение размерности изменит значения на графике пропорционально числу уравнений, сохранив в целом периодический вид и характер зависимости.

Трудоемкость оценивается числом последовательных арифметических операций на отрезке решения с учетом обращений к подпрограмме, поэтому соотношение (10) дает также оценку временной сложности алгоритма компьютерной реализации метода. Ниже, для задачи Коши

У,=2ху4у„ у'2=Юху<у*, у\=2ху„ у\ = -2х (у, -1),]

у,(0) = 1, у2(0) = 1, >-3(0) = 1, ^4(0) = 1

(И)

сопоставлено время решения на персональном компьютере рассмотренными методами (табл. 1) с точностью, соответствующей представленной в табл. 1:

Таблица 5

Еи1ег ЕЫег-СаисИу Кипке-Киа 4 ВШсИег 6 Оогтап-Рппсе 8

о 0:11:10:781 0:34:20:606 0:0:0:297 0:0:0:63 0:0:0:16

УРР 0:0:3:406 0:0:3:469 0:0:3:516 0:0:3:657 0:0:4:47

В табл. 5 названия столбцов соответствуют методам табл. 1, символы Д УРР в строках соответствуют разностному и варьируемому кусочно-полиномиальному приближению на основе данных разностных методов, двоеточия отделяют часы, минуты, секунды, миллисекунды. Время ИРЯ-решения задачи (11) меньше времени решения методами Эйлера и Эйлера-Коши за счет большего входного шага интегрирования. При фиксировании параметров время компьютерной реализации кусочно-полиномиального приближения существенно снижается до значения < 1с.

Аналогичное соотношение времени рассматриваемых приближений наблюдается при решении различных систем.

В главе показана возможность снижения временной сложности за счет параллелизма алгоритма применительно к моделированию рассматриваемых процессов.

На основе кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши предложена кусочная линеаризация произвольной системы ОДУ:

V,,„(*)<(*) 0 о

у,= 0 0

0 0 0

V

Данная линеаризация позволяет применить методы компьютерного анализа устойчивости линейных систем.

Метод сохраняет инвариантность как в случае жестких, так и нежестких задач, во всех рассмотренных в главе примерах дает положительные результаты.

В четвертой главе показана возможность переноса компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на

V лг

случай приближенного решения ДУ в частных производных. Перенос выполнен на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных и излагается для линейных уравнений гиперболического типа.

Рассматривается первая краевая задача для линейных ДУ гиперболического

типа

д2и ,д2и ди ,ди , /10Ч

дх дг ах 81 где а,Ь,с,<Л, / - заданные функции независимых переменных х и I, аЬ>0. Требуется найти решение и{х, /) уравнения (12) в области <5 {а<х<р, 0</<у},

удовлетворяющее начальным условиям и|(_о=ср(х), —

= ц/(х), а<х<р, и

81

краевым условиям и|г=а=Ф(/), _ = Ч'(/), где ф и у - заданные функции переменной х , Ф и - заданные функции переменной г. Аналогично построению кусочно-полиномиального метода для ОДУ производится разбиение области р,-1

С=и0^/> гДе Си={(х,0\хе[х1,х,+1], Рх= 2>*, Р,= 2\

у=0 (=0

кх, к, е {0,1,...}. Для фиксированной подобласти Оч схема приближения строится

следующим образом. С использованием метода сеток вычисляются приближенные

значения решения ы(дг,,,/у„) в узлах хи = х, = /у + /яА,, е = 0, п, т = 0, п-£ .

По вычисленным значениям и" = и(хи, строится интерполяционный полином

Ньютона степени п относительно независимых переменных х и I. Построенный полином приводится к виду полинома с явными числовыми коэффициентами:

„ п-е ^

РчЛг, = £ г'и'" ' 2 = (*-*<о)/А,, *" = (*-/у0)/А,, (х, О е ди. Данный по-

(=0 |и=0

лином интерполирует искомое решение во всей подобласти ёи. Вид этого полинома влечет полиномиальные выражения для аппроксимации частных производных, входящих в (12). Восстановленное с помощью повторного интеграла от второй частной производной по координате времени решение задачи (12) можно сделать более точным, чем полученное в подобласти полиномиальное приближение на основе метода сеток. Уточнение достигается за счет уменьшения остаточного члена погрешности интерполяции вследствие уменьшения размеров подобластей (соответственного увеличения их количества) по аналогии с увеличением количества подынтервалов согласно теореме 1 и оценке (8). Далее, в подобласти Си полученные полиномиальные приближения вновь уточняются по аналогии с уточнением первоначально выбранных сеточных приближений. Количество таких итераций по результатам численного эксперимента целесообразно выбирать не менее 8 и не более 19.

В главе построена численная схема и выполнена программная реализация кусочно-полиномиального приближения решения задачи (12). Предложенная схема отличается от известных, в частности, тем, что вследствие интерполяции дает непрерывное приближение решения в заданной прямоугольной области.

Следующий эксперимент по моделированию вынужденных колебаний конечной струны на основе кусочно-полиномиального приближения показывает возможность повышения точности разностных схем в малых по размеру областях.

Уравнение колебаний конечной струны ихх =и,, +sin(0.5x + ¿), . M(*,0) = sin(0.5x), и,(.х, 0) = cos(0.5*), • . (13)

«(О, О = sin(f), и(1, / ) = sin(0.5 + í), имеет аналитическое решение и(х, í) = sin(0.5x + í), которое используется для вывода абсолютной погрешности приближения в области G = {0<*<1, 0<f<l}. На рис. 7 графически отображено изменение абсолютных погрешностей приближения решения задачи (13) в области G . Множество S значений погрешности соответствует методу сеток, РР - кусочно-полиномиальному уточнению:

Рис. 7. Границы погрешности приближения решения задачи (13) в области О метода сеток (точки над плоскостью ОХТ ) и кусочно-полиномиального метода (сплошная поверхность над плоскостью ОХТ )

Ввиду разностного характера метода сеток соответствующие погрешности приближения представлены на рис. 7 в виде множества точек пространства.

С целью наглядного представления изменения точности приближения задачи (13) в области О погрешность кусочно-полиномиального метода представлена отдельно в увеличенном масштабе на рис. 8:

Рис. 8. График погрешности кусочно-полиномиального приближения решения задачи (13) в области О (сплошная поверхность над плоскостью ОХТ )

Поверхность на рис. 8 иллюстрирует тенденцию повышения погрешности приближения при увеличении отрезка времени г, что также наблюдается при приближении решения задачи по разностной схеме. В табл. 6 приводятся сравнительные значения погрешностей приближения задачи (13) в области б :

Таблица 6

Абсолютная погрешность приближенного решения задачи (13) в области С = (0£*51, 05(51}

(дт.ОеО, С = {0£х£1, 05(51) Метод сеток Кусочно-полиномиальное уточнение

Их =А, =10^ АХ=Л, *8.9х10"3

(0.75,0.0125) 2.29Е-0007 8.67Е-0019

. (0.75,0.0250) 4.58Е-9007 9.22Е-0018

(0.75, 0.0875) 1.60Е-0006 3.15Е-0015

(0.75, 0.1000) 1.83Е-0006 7.28Е-0015

(0.75, 0.1250) 2.29Е-0006 3.14Е-0014

(0.75, 0.2500) 4.57Е-0006 3.92Е-0012

(0.75, 0.7500) 1.55Е-0006 1.70Е-0008

(0.75, 0.8750) 7.79Е-0007 5.86Е-0008

Методу сеток соответствует погрешность 10~б. Кусочно-полиномиальное уточнение уменьшает погрешность до 10~15 — 10~8.

Программная реализация кусочно-полиномиальной схемы приближенного решения линейных ДУ в частных производных гиперболического типа представлена в виде набора подпрограмм для моделирования волновых процессов.

Использование результатов работы показало, что предложенные методы, как правило, превосходят известные по точности на 9,5 %, не уступая в трудоемкости.

В заключении обобщаются основные результаты диссертационной работы, характеризуется их научная новизна, отмечается практическое значение проведенных исследований.

Приложение включает коды программ, реализующих математические модели и предложенные методы, результаты программных и численных экспериментов, акты об использовании результатов диссертационной работы.

Основной результат диссертационной работы заключается в разработке и исследовании компьютерного метода варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для жестких и нежестких систем ОДУ с применением к математическому моделированию автоколебательных реакций для повышения точности решения и уточнения концентраций реагентов, а также временных параметров реакций.

В частности, следующие результаты отличаются новизной:

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемое™ приближенного решения (С. 39 - 47, 53 - 64).

2. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66-91).

3. Показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109- 117).

4. Разработан компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных, отличающийся по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, а также по точности компьютерного приближения решения

линейных гиперболических уравнений, что целесообразно для моделирования волновых процессов (С. 118-136).

5. Разработан комплекс программ на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличается тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых параметров подпрограмм инвариантного вида. При помощи комплекса выполнен расчет математических моделей периодических реакций, даны сравнительные оценки погрешности и временной сложности расчета моделей на основе разностных и кусочно-полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показано, что меньшая погрешность предложенного метода в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39 - 47, 53 - 64,72 - 77, 154 - 211).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Схема разностного решения обыкновенных дифференциальных уравнений с повышенной точностью на основе интерполяционного полинома Ньютона // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Актуальные проблемы производства и потребления электроэнергии». - 2009. - № 5. - С. 46-52.

2. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочная линеаризация задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Методы и средства адаптивного управления в электроэнергетике».— 2011.

- № 2. - С. 26-32.

3.РоммЯ.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-полиномиального решения задачи Коши для уравнений в частных производных // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 18, Редакция «ОПиПМ», Москва, 2011. - С. 141 (XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Казань, 1-8 мая, 2011).

4. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-полиномиальное решение дифференциальных уравнений в частных производных // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении». - 2011. -№ 5. - С. 146 - 153.

Публикации в других изданиях

5. Джанунц Г.А. Повышение точности метода Рунге-Кутта на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сборник трудов 52-й студенческой конференции. - ТГПИ. Таганрог. -2009. -С. 11- 79.

6. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе интерполяционного полинома Ньютона / ТГПИ. - Таганрог, 2009. - 40 с. Деп. в ВИНИТИ 18.06.09, № 379-В2009.

7. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерная схема преобразования разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений в кусочно-полиномиальную форму // Прикладная информатика и математическое моделирование. Москва: МГУП. -2009. - С. 55 — 60 (труды III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование», Москва, 13

- 14 мая 2009 г.).

8. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А., Повышение точности разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе кусочно-полиномиальной интерполяции / ТГПИ. - Таганрог, 2010. - 103 с. Деп. в ВИНИТИ 25.01.2010, № 20-В2010.

9. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-полиномиальная аппроксимация решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования интерполяционного полинома Ньютона / ТГПИ. — Таганрог, 2010. — 37 с. Деп. в ВЙНИТИ 25.05.2010, № 305-В2010.

10. Romm Ya.E., Dzhanunts G.A. Difference-polynomial solutions of Cauchy problem for the ordinary differential equations using the parallel recovery coefficients of the polynomial from its roots // International Conference Parallel Computer Algebra 2010; Tambov, June 29 - July 3,2010 / Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 2010. -C. 17-18.

П.РоммЯ.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-полиномиального решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. — Таганрог, 2011. - 45 с. Деп. в ВИНИТИ 25.03.2011, № 141-В2011.

12. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочно-интерполяционные схемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных // Высокие технологии, образование, промышленность. Т. 1: сборник статей XI международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности». 27 — 29 апреля 2011 г., Санкт-Петербург, Россия / под ред. А.П. Кудинова. - СПб.: Изд-во Политехи, университета, 2011. - С. 127 - 128.

13.РоммЯ.Е., Джанунц Г.А., Разностно-полиномиальный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных / ТГПИ. - Таганрог, 2011. - 59 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2011, № 353-В2011.

14. Джанунц Г.А., Ромм Я.Е. Компьютерное моделирование жестких систем на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. - Таганрог, 2011. - 20 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.2011, №405-В2011.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве:

[1,2,6, 7] — синтез алгоритма кусочно-полиномиального приближения задачи Коши для систем ОДУ, программная реализация кусочно-полиномиального метода на основе разностных значений метода Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса; [8-11] — видоизменения алгоритма, выполнение численного и программного эксперимента по приближению решений систем ОДУ на основе разновидностей кусочно-полиномиального метода; [3,4, 12,13] — перенос компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения на случай приближенного решения ДУ в частных производных; [14] - адаптация алгоритма кусочно-полиномиального приближения и его компьютерная реализация для приближенного решения жестких систем ОДУ, проведение на этой основе компьютерного моделирования автоколебательных химических реакций.

Соискатель

Джанунц Г.А.

Тип. ТТИ ЮФУ Заказ №167 тир. 100 экз.

Введение.

Глава 1. Компьютерный метод кусочно-полиномиального решения систем ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравений), ориентированный на моделирование автоколебательных реакций.

1.1. Компьютерная кусочно-полиномиальная аппроксимация функций с вариацией длины подынтервала и степени полинома.

1.2. Параллелизм и оценка временной сложности кусочно-полиномиальной аппроксимации функций.

1.3. Компьютерная кусочно-полиномиальная аппроксимация производной и вычисление определенного интеграла.

1.4. Компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для ОДУ.

1.5. Кусочно-полиномиальное решение ОДУ с разностным вычислением узловых значений по методу Эйлера.

1.6. Равномерная сходимость кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для ОДУ и оценка скорости сходимости.

1.7. Кусочно-полиномиальное решение задачи Коши для систем ОДУ с разностным вычислением узловых значений методами высших порядков.

1.8. Численный эксперимент при моделировании динамики популяций.

1.9. Выводы.

Глава 2. Моделирование химических и биологических осцилляторов с применением кусочно-полиномиального метода решения систем ОДУ.

2.1. Компьютерное моделирование колебательных реакций Белоусова-Жаботинского.

2.1.1. Описание химической реакции Белоусова-Жаботинского и модель Филда-Нойеса.

2.1.2. Численный и программный эксперимент на модели Филда-Нойеса для реакции Белоусова-Жаботинского.

2.2. Компьютерное моделирование суточных колебаний концентрации озона в атмосфере.

2.3. Компьютерное моделирование релаксационных автоколебаний в системе гликолиза.

2.4. Сравнительные характеристики моделирования периодических реакций на основе предложенного и известных методов.

2.5. Выводы.

Глава 3. Численный и программный эксперимент по кусочно-полиномиальному решению нежестких систем и линеаризация ОДУ.

3.1. Дополнительный эксперимент по сравнению кусочно-полиномиального решения жестких задач с системами компьютерной математики.

3.2. Численный эксперимент по варьируемому кусочно-полиномиальному решению нежестких систем на основе разностных методов малого и высокого порядка.

3.3. Численный эксперимент по моделированию автоколебаний в системе химических реакций на основе модели «брюсселятор».

3.4. Разновидность кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для систем линейных ОДУ.

3.5. Оценка трудоемкости кусочно-полиномиального решения ОДУ.

3.6. Параллелизм кусочно-полиномиального решения системы ОДУ с учетом применения к процессу моделирования.

3.7. Кусочно-полиномиальная линеаризация задачи Коши.

3.8. Варьируемое кусочно-полиномиальное решение ОДУ в аспекте сравнения с известными методами.

3.9. Выводы.

Глава 4. Кусочно-полиномиальное приближение решений уравнений в частных производных.

4.1. Аналог одномерной кусочно-полиномиальной аппроксимации для случая функций двух переменных.

4.2. Кусочно-полиномиальное приближение решений линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа.

4.3. Численный эксперимент по кусочно-полиномиальному приближению решений ДУ в частных производных.

4.4. Численный эксперимент по моделированию вынужденных колебаний струны.

4.5. Выводы.

Актуальность проблемы. Отличительными чертами живых биологических систем, несмотря на их сложность, являются высокая упорядоченность и эффективная компактная сборка. В биологии и медицине часто встречаются примеры колебаний, которые возникают при самых разных обстоятельствах, и периоды которых варьируются от нескольких секунд до часов, дней и даже недель [1, 2]. Период этих колебаний может быть связан с периодическими изменениями условий жизни на Земле - смена времен года, смена дня и ночи. Существуют и другие геофизические ритмы - солнечные, лунные, связанные с периодами атмосферных явлений [3]. Но многие периодические процессы имеют частоту изменения, не связанную очевидным образом с внешними геокосмическими циклами [4]. Это так называемые «биологические часы» различной природы, начиная от колебаний биомакромолекул, биохимических колебаний, вплоть до популяционных волн [5]. Внутриклеточные колебания задают эндогенные биологические ритмы, которые свойственны всем живым системам. Именно они определяют периодичность деления клеток, отмеряют время рождения и смерти живых организмов [6]. Модели колебательных систем используются в ферментативном катализе, теории иммунитета [7], в теории трансмембранного ионного переноса, микробиологии и биотехнологии [8-10].

Важнейшим примером физиологического осциллятора, период которого составляет порядка одной секунды, является дыхание. Есть и многие другие колебательные процессы с очень коротким циклом, среди которых специфическая нервная активность головного мозга [11].

Несколько отличный тип колебаний наблюдается при гликолизе. Гликолиз - это процесс, в ходе которого происходит расщепление глюкозы для снабжения клетки необходимой для ее жизни энергией; колебания с периодом в несколько минут наблюдаются при определенных концентрациях участвующих в процессе химических веществ [12]. Эти колебания отличны от биологических часов, которые, как отмечено выше, связаны с циркадными или суточными ритмами или внешней периодичностью, в связи с чем их более корректное название - автономные осцилляторы [13]. Колебания в гликолизе и других метаболических системах, периодические процессы фотосинтеза, колебания концентрации кальция в клетке, колебания численности животных в популяциях и сообществах относятся к классу автоколебательных систем. Система называется автоколебательной, если колебания в системе имеют постоянные период и амплитуду, устанавливаются независимо от начальных условий и поддерживаются благодаря свойствам самой системы, а не вследствие воздействия периодической силы [14].

Известным явлением является генерация электрического импульса отдельно взятыми нервными клетками и нейронами. Этому свойству мембран нервных клеток посвящена работа Ходжкина и Хаксли, выполненная на аксоне гигантского кальмара [15]. Анализ явления пространственного распространения потенциалов действия нервных импульсов вдоль по аксону нервной клетки проводится на основе модели Ходжкина и Хаксли: а / а ^ сИ

С^—8мат"к{У-УМа) + 8кп\У-Ук) + §1{У-У1) + 1а, где аир- заданные функции потенциала V, g — постоянные проводимости, УМа, Ук, V, - постоянные равновесные потенциалы, С - ёмкость.

Упрощенно сердечную ткань можно рассматривать как среду, состоящую из автоколебательных и возбудимых элементов-клеток. Для моделирования одной сердечной клетки используется биологически релевантная модель Луо-Руди [16] мембранного потенциала кардиомиоцита. Данная модель является моделью типа Ходжкина-Хаксли и описывает изменение мембранного потенциала клетки в зависимости от ионных токов, протекающих через нее [17].

Среди известных периодических реакций одной из важных и базовых является реакция окисления лимонной кислоты броматом калия, катализируемая ионами церия (IV), называемая реакцией Белоусова-Жаботинского [18]. На рис. 1 приведены экспериментальные кривые концентраций реагентов из работы Филда, Кёреса и Нойеса [19]. Сравнительно детальное описание реакции и метод её моделирования будут даны в главе 2 диссертации.

10'

10

10 Г

СеЯ]/[СеШ]

VWW о 300 600 9 00 1200

Рис. 1. Потенциометрические экспериментальные кривые [Вг ] и 1%([Се1¥] / [Се III]) для типичных временных осцилляций в реакции Белоусова-Жаботинского

Практически все модели осцилляторов, описывающих рассмотренные выше явления и процессы, приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для вектора концентраций У(/), а именно, dt F(Y),

1) где ^(7) = (/1(7),/2(Г),.,Л(Г)), У = (>>! (/), у2 (0> Уы (0) • Вектор Р описывает нелинейную реакционную кинетику или механизм, лежащий в основе химических и биологических колебаний [20]. При задании начальных значений система (1) приводит к задаче Копій ОДУ, в общем случае имеющей вид йУ

- F(t, Y), a t

Y(t0) = Y0,

2) где F(t, Y) = (/, (t, Y), f2 (t, Y),., fN (t, Y)), Y = (y, (0, (t),yN (0),

Ooi> Уо2> ■■■> У on)- При компьютерном приближении решения задачи (2) широко применяются численные методы, которые должны обладать высокой точностью с одновременной минимизацией временной сложности.

Современное состояние вычислительной техники характеризуется непрерывным возрастанием мощности компьютеров по быстродействию и памяти, тем не менее, одним из наиболее важных требований к численным методам, в основном, является минимизация числа операций [21 - 23]. Это связано с необходимостью многократного повторения вычислений, присущей многим алгоритмам решения таких задач, как, например, оптимизация, идентификация параметров, наведение на цели и других [24, 25].

Разнообразие численных методов, предназначенных для решения задачи Копій для ОДУ, показывает, что часто практические требования к методу, среди которых основными являются противоречащие друг другу требования точности и быстродействия, отвергают выбор универсального метода [26, 27]. Это обуславливается, во-первых, тем обстоятельством, что универсализация алгоритма неизбежно ведёт к его усложнению и, соответственно, к увеличению требуемых ресурсов и, во-вторых, из-за высокой вероятности при решении больших по размерности и сложных по построению алгоритмов численного интегрирования задач возникновения проблем, характер которых зачастую заранее предсказать невозможно [28].

Проблема решения задачи (2) сопровождается таким широким спектром изученных не в полной мере особенностей, что теория численных методов решения систем ОДУ выделилась в отдельный раздел вычислительной математики, постоянно пополняющийся новыми результатами. При этом математические утверждения и выводы о предлагаемых методах могут не согласовываться с получаемыми на вычислительных машинах результатами их применения [28, 29]. В связи с этим не меньшее значение при приближении реальных моделей, в частности, описывающих биологические и биохимические осцилляторы, имеет программная реализация методов. Численное интегрирование систем ОДУ во многих современных математических моделях связано с решением таких проблем, как жёсткость и неустойчивость к возмущениям входных параметров [30]. Наличие множества численных методов, с различной эффективностью преодолевающих указанные проблемы (например, методы С. С. Артемьева, Г. В. Демидова, И. Д. Жонголовича, Ю. В. Ракитского, Р. Буллирша, Дж. Стойера, X. Розенброка, Э. Хайрера, Г. Ваннера, Ч. Гира и других авторов), не снижает актуальность создания эффективных, обладающих достаточной простотой программной реализации алгоритмов. В этой связи создание метода, ориентированного, в частности, на приближение задач, моделирующих биологические и биохимические осцилляторы с высокой точностью и одновременной минимизацией временной сложности, а также применимого при решении других классов задач, имеет актуальное значение.

Численные методы для ОДУ. Численные методы для ОДУ естественным образом разделяются на два класса. В один из них входят методы, использующие одно стартовое значение на каждом шаге («одношаговые методы»), а другой образуют методы, опирающиеся на несколько значений решения («многошаговые методы») [29, 31]. Специальные методы разрабатываются для приближения решения жестких систем [28].

Методы Рунге-Кутта. Метод Эйлера для решения задачи Коши для дифференциального уравнения вида [28]

Г = /((,У), У(*о) = Уо (3) а / был описан Эйлером в 1768 году. Метод прост для понимания и программирования: у1+х = у1 ,у,), для его сходимости не требуются дополнительные, кроме условий существования и единственности решения задачи (3), ограничения на функцию правой части. Рунге (1895) и Хойн (1900) построили новые методы, включив в формулу метода один или два добавочных шага по Эйлеру. Но именно Кутта (1901) сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутта (РК).

Определение. Пусть ^ - целое положительное число («число стадий») и а2\> аз1> «32> а,2> а*,*-\>—> >-А> с2,.с5 - вещественные коэффициенты. Тогда метод о +сгк, У0+И(а31 к,+а32к2)),

Ух =Уо + Ь(ь 1 к\ +.+Ь,кя) называется 5-стадийным явным методом Рунге-Кутта (ЯМРК) для задачи (3). Символическое представление метода (табл. 1) вошло в обычай после статьи Бутчера в 1964 году [31].

Таблица 1

Табличное представление ЯМРК

0 агх

Сз «31 «32 с, О,г ам-1

А, Ьг Ь,

В зависимости от выбора коэффициентов и количества стадий различают ЯМРК различных порядков. Хорошие результаты для малого порядка погрешности дают методы Рунге 2, 3 порядка, метод Хойна 3 порядка. Из множества различных формул РК 4-го порядка чаще используется классическая схема РК [28,31]:

Таблица 2

Классический» метод Рунге-Кутта

0

1/2 1/2

1/2 0 1/2

1 0 0 1

1/6 2/6 2/6 1/6

В некоторых случаях полезно использовать формулы Гилла, Ральстона и Халла, правило 3/8 Кутты и другие методы 4-го порядка [28].

Все описываемые численные методы применимы к приближению решения задачи (2). Сравнение ЯМРК невысоких порядков в [28] производится на примере приближения решения системы

- = 2 = 10 ?ехр(5(>,з -1))>,4, си сИ = О-,) а1 а/ с начальными условиями ^,(0) = 1, / = 1,4. Аналитическое решение системы ух = ехр(зт(72)), у2 = ехр(5зт(72)), у3 = зт(72) + 1, у4= соз(г2) использовано для вычисления абсолютных погрешностей приближения решения системы различными методами. В зависимости от выбора размера шага погрешность приближения уменьшалась до значения 10"5:

Рис. 2. Зависимость максимальной глобальной погрешности от числа обращений к подпрограмме вычисления значения функции ( / с)

На рис. 2 сравнивались следующие методы [28]: классический метод Рунге-Кутта (табл. 2), ' ' ' правило 3/8 Кутта, оптимальная формула, и = 0.3587, V = 0.6346, • Ральстон, Халл, и = 0.4, у = 0.45, формула Гилла.

Такие тесты обычно показывают для классической схемы РК слегка худшие результаты, чем для других схем РК, но различия оказываются весьма незначительными. Методы встроены в большинство библиотек программ. В программном пакете МаМСАО ЯМРК четвертого порядка с фиксированным шагом реализует функция г!фхес1 [32, 33], в программном пакете МАТЬАВ -функция ос1е23 реализует метод Богацки-Шампайна 3-го порядка [34].

Методы Рунге-Кутта имеют порядок точности р только при достаточной степени гладкости правой части (2), следовательно, повышение порядка метода РК требует наличия соответственного порядку числа непрерывных производных от решения [35]. В большинстве задач, моделирующих колебательные реакции, такую степень гладкости правой части (2) гарантировать невозможно [3, 20].

Для практической оценки погрешности Ричардсон предложил следующую схему. Погрешность значения уг, полученного в результате выполнения двух шагов длины И по ЯМРК порядка р, оценивается по формуле где м> - значение, полученное в результате выполнения одного шага длины 2И. Аппроксимация величины у^0+ 2 И) с порядком р +1 может быть выполнена с использованием выражения у2 =у2 + ^ . Идея Ричардсона позволила с одной стороны обеспечить длину шага И, достаточно малую для достижения требуемой точности вычисляемых результатов, а с другой стороны -гарантировать достаточно большую длину шага во избежание бесполезной вычислительной работы [36]. Данная схема в отечественной литературе по численному анализу рассматривается как частный случай правила Рунге [37].

Первые вложенные методы РК предложили Мерсон (1957), Ческино (1962) и Зонневельд (1963) [28, 38, 39]. Вместо пользования экстраполяцией Ричардсона они построили такие формулы РК, которые сами содержали бы кроме численного приближенного значения у1 некоторое выражение у1 более высокого порядка. Более экономичные и точные методы такого типа вывели Сарафян (1966), Ингланд (1969) и Фельберг (1968, 1969) [28, 40]. Вложенные методы представляются в следующем виде (табл. 3):

Таблица 3

Табличное представление вложенных формул РК

0

21

31 «32

0.1 О,2

1 Ь2 Ъ,

6. ъг Ь,

При этом величина у{ = у0 + кх+-+Ь5 к5) имеет порядок р, а уо+}г (Ь1к1+.+Ь1к1) - порядок который называют порядком «оценщика погрешности» [28]. В табл. 4 приведен один из наиболее распространенных методов 4-го порядка с 6 стадиями (названия вложенных методов приводятся в виде «фамилия р (<?)»).

Таблица 4

Фелъберг 4 (5) О

1/4 1/4

3/8 3/32 9/32

12/13 1932/2197 7296/2197

1 439/216 -8 3680/513 -845/4104

1/2 -8/27 2 -3544/2565 1859/4104 -11/40

У\ 25/216 0 1408/2565 2197/4104 -1/5 0

У1 16/135 0 6656/12825 28561/56430 -9/50 2/55

Метод Дормана-Принса 5 (4) использует несколько иной подход, заключающийся в минимизации членов погрешности для результата старшего порядка [41].

Вложенные формулы с автоматическим управлением величины длины шага получили широкое распространение. В программном пакете МшИСАИ функция rkada.pt, реализующая ЯМРК с адаптацией шага, использует такой механизм управления величиной шага. Данная функция используется для решения медленно меняющихся систем ОДУ, она анализирует скорость изменения решения и соответственно адаптирует размер шага [42]. В МАТЬАВ функция ос1е45 реализует метод Дормана-Принса 5-го порядка [34] Результаты действия механизма управления шагом наглядно демонстрируются при приближении решения системы для модели Лефевера и Николиса [43], называемого «брюсселятор» - базовой модели, являющейся классическим примером автоколебательного поведения концентраций в системе химических реакций.

Предполагается, что шесть веществ участвуют в следующих реакциях:

А—^Х, В + Х—^У + И, 2Х + У-^>ЗХ, из которых вторая является бимолекулярной, а третья - автокаталитической трехмолекулярной реакцией. Согласно закону действующих масс при обозначении концентраций веществ А, В,. через А(х), В(х),. как функций времени х, данные реакции описываются следующими дифференциальными уравнениями:

А' = -кхА, В' = -к2ВХ, О' = к2ВХ, Е' = к4Х,

X' = к,А-к2ВХ+к3 Х2У-кАХ, Г = к2ВХ-к3Х2У.

Полученная система упрощается: исключаются уравнения О' = к2ВХ и Е' = к4Х, не влияющие на остальные уравнения, предполагается, что концентрации А и В поддерживаются постоянными и все скорости реакций равны единице. Ввиду выполненных упрощений в обозначениях У\ (*) = X О), у 2 О) = 70) имеет место система

ЛУх

СІХ

У г

СІХ А + у\у2-(В + 1)ух, = Ву,-у] у2, которая имеет одну особую точку ^ = -^¿ = 0 при у.=А, у7=В/А. В йх (1X окрестности этой точки линеаризованное решение неустойчиво только при В>А2+1. Так как все решения ограничены, то при В>А2+1 существует предельный цикл [28] (рис. 3).

1. 2. 3. 4.

Рис. 3. Решения уравнений «брюсселятора», А = 1, В = 3

Преимущества методов приближения систем ОДУ с адаптацией величины шага особенно проявляются при приближении задачи Коши а х

Уг 1 2 "7^ = 3 У1~У1 У 2 а х с начальными условиями у1(0) = 1.01, у2(0) = 3, очень близкими к особой точке [28].

Плотная выдача. Механизм управления длиной шага используемый при численном приближении задачи (2) выбирает точки, в которых вычисляется решение, в соответствии с требованиями к допустимой локальной погрешности. Часто, однако, требуется вычислить и выдать решение в заданных точках, которые к тому же могут быть расположены достаточно плотно. Одна из возможностей получения решения в таких заданных точках состоит в уменьшении длины шага всякий раз, когда это нужно. Такое повторное уменьшение длины шага от почти оптимальной величины нарушает управление длиной шага и может привести к очень сильному росту времени счета и погрешностей округления [44]. С целью обеспечения «плотной» [24] выдачи выводятся непрерывные методы РК, которые способны выдавать значения решения во всех промежуточных точках х' = х0 + в Ь., где 0 < 0 < 1.

Непрерывные расширения методов РК построили Хорн (1983) и Энрайт, Джексон, Нёрсетт и Томсен (1985) [28, 45]. Неплохим инструментом для плотной выдачи результатов и графического представления решения является непрерывное расширение 4-го порядка для метода Дормана и Принса. Такое решение, переходящее в решение ух пятого порядка точности при 0 = 1, определяется следующими формулами [28]:

Ъх (0) =9(1+ 0(-1337/48О + в(1О39/36О + е(-1163/1152)))),

62(Э) = 0,

Ь3 (0) = 1ОО02 (1О54/9275 + 0(-4682/27825 + 0(379/5565)))/3, 64 (0) = -502 (27/40 + 0 (-9/5+ 0(88/96)))/2, ¿5 (9) = 18225 02 (-3/250+ 0(22/375 + 0(-37/600)))/848, 66(0) = -22 02 (-3/10+ 0(29/30+ 0(-17/24)))/7,

И'о+е'О^о + лЕме)*,

При высоких ограничениях на точность используют ЯМРК высоких порядков [46]. «Наивысший порядок, фактически достигнутый для явно построенных методов, равен десяти (книга рекордов Гиннеса, с. 333)» [28]. Первые свободные от недостатков вложенные формулы Рунге-Кутта построил Вернер (1978). Как отмечено в [28] прекрасные численные результаты дает метод порядков 8 (7), который предложили Принс и Дорман (1981) [47].

Среди многошаговых методов наиболее употребительны методы интегрирования на сетке с постоянным шагом к при помощи соотношений вида [37]

4)

0 1 = 0 которые принято называть конечно-разностными методами. В вычислительной практике применяют формулы вида (4) со значениями а0 * 0, Ь0 = 0 экстраполяционные и формулы с о0фО,Ь0фО - интерполяционные. В настоящее время из конечно-разностных методов на практике употребляются в осовном методы Адамса [37].

При очень малых значениях допустимой погрешности предпочтительнее применять экстраполяционные программы, благодаря автоматическому увеличению порядка точности. В программном пакете МшкСАИ на методе Булирша-Штера с использованием рациональной экстраполяции основана функция ЪиШоег, которая используется при приближении нежестких систем ОДУ [32, 33]. Обязательное условие использования этой функции -достаточная степень гладкости правой части системы (2).

Из приведенного выше описания следует, что к выбору численного метода определенные требования предъявляет и тип решаемой задачи. Задачи Коши для ОДУ можно условно разделить на мягкие, жесткие, плохо обусловленные и быстро осциллирующие [48]. Специально жестким системам посвящены [49, 50]. К жестким относят задачи химической кинетики, нестационарные процессы в сложных радиоцепях, системы, возникающие при решении уравнений теплопроводности и диффузии методом прямых, и многие другие. Строгого определения понятия жесткости нет, обычно [48] под ним подразумевают наличие в одной системе как быстрозатухающих, так и медленно меняющихся компонент решения. Начиная с 50-х годов для жестких систем стали создавать специальные неявные методы, подробный обзор этих методов дан в [49]. Среди безитерационных, наиболее популярным является метод, предложенный Розенброком [51], который используется при приближении нелинейных автономных систем. Формулы перехода от точки t к 7 = t + т для автономной системы

5) а t имеют вид S у=у + т^Ь, к„ i=i

Е-т y„^-)k,=F(y + x tjkj) + х ^ ^ у tJk}, i = l,s,

U j-i OK j=\ д F где E - единичная матрица,--матрица Якоби для системы (5), 5 - число ди стадий схемы, аи,уи,Ь, - коэффициенты. Методы Розенброка принадлежат к большому классу методов, которые стараются избежать нелинейных систем и заменяют их последовательностью линейных систем. В [49] такие методы называют линейно неявными методами Рунге-Кутта. В другой литературе такие методы часто называются «полуявными», «обобщенными», «модифицированными», «адаптивными» или «аддитивными» методами Рунге-Кутты [48, 49]. Широко распространены программы ROS4, RODAS, реализующие методы Розенброка четвертого порядка.

Среди итерационных схем лучшими являются неявные 5-стадийные методы Рунге-Кутта. Для автономной системы (5) они имеют следующий вид

Д S у =у + т^ь,к„ к t = F (у + т ^а tJ к j), i = l,s. ,=1 7=1

Если матрица коэффициентов поддиагональна, то схема явная и не пригодна для жестких задач [48], если суммирование идет до /, то схема называется диагонально-неявной (DIRK). Такие схемы для нахождения каждого к, требуют решения нелинейной системы уравнений, размерность которого равна размерности вектора у. При суммировании до s для нахождения к, приходится решать систему в 5 раз большей размерности, поэтому на практике ограничиваются D/Л/^-методами. В [49] приводятся коды программ RADAU5, SDIRK4, реализующих неявные методы Рунге-Кутта. Также для приближения жестких задач применяются экстраполяционные методы. Широко распространены программы SEULEX и SODEX. В программном пакете MathCAD для приближения жестких задач реализованы функции stiffr, основанная на методе Розенброка, и stiffb, основанная на методе Булирша-Штера. Для их использования предварительно необходимо определить матрицу Якоби для решаемой системы. Такие специальные методы используются, например, при решении задач химической кинетики.

Химические и биологические осцилляторы. Как уже отмечалось выше, колебательные движения являются одной из наиболее быстро развивающихся областей в теоретической биологии [20]. Существует множество полезных математических моделей пространственно однородных колебаний во времени. Считается, что многие клеточные процессы носят колебательный характер и присущее им ритмичное поведение обеспечивает устойчивую основу динамической самоорганизации развития клетки [11]. Последние годы отмечены повышением интереса к исследованию биологических и биохимических систем, в которых появляются незатухающие колебания -временные и пространственные. Обзорные статьи по колебательным химическим и биохимическим реакциям опубликовали Николис и Портнов, Нойес и Филд [19], Грей и Гольдбер и Каплан [13, 20, 52, 53].

История изучения колебательных реакций началась с работы Лотки (1910), который на примере теоретической реакции впервые показал возможность существования затухающих колебаний. Позже Лотка предложил механизм реакции, носящий теперь имя Лотки-Вольтерра [54]. Следующим историческим событием в области колебательных реакций стала колебательная реакция Белоусова-Жаботинского [18]. Белоусов обнаружил колебания в концентрации катализатора, в его реакции окисления лимонной кислотой броматом в этом качестве выступал церий. Колебания проявлялись в изменении цвета церия, связанными с переходом Се+Ъ в Се+4. Этот эффект ярче проявляется с атомом железа: цвет изменяется с кирпично-красного, когда железо находится в состоянии Fe2е, на ярко-голубой, когда железо находится в состоянии Fe3e. Изучение реакции было продолжено Жаботинским (1964) и сейчас эта реакция известна как реакция Белоусова-Жаботинского. В случае, когда компоненты реакции могут диффундировать, образуются разнообразные сложные структуры. Это явление получило широкий резонанс среди биологов и физиков, интересующихся проблемами пространственно-временной самоорганизации [20] и ее применения в биологическом формообразовании [55]. Сейчас описано немало химических реакций, проявляющих периодическое поведение, и термин «реакция БЖ» применятся, главным образом, к классу реакций, в которых органическое вещество окисляется ионами бромата в присутствии иона металла в кислом растворе [3]. Хотя реакция БЖ представляет скорее химический, чем биологический осциллятор, она рассматривается как прототип биологической колебательной системы.

Модельная система для реакции Белоусова-Жаботинского, предложенная Филд-Кереш-Нойесом [19], количественно воспроизводит реальные химические реакции. Так как теоретические гипотезы могут быть проверены экспериментально, модели реакции БЖ используют как прототип реальной системы. Краткий обзор развернутой реакции БЖ приведен в [56].

Упрощенная модель, предложенная Филдом и Нойесом, получила название «орегонатор» [19]. Схема реакции имеет вид [28]:

А + У-^^Х Х + У— в+х-^>2х+г где А, В - исходные реагенты, Р, (2 - продукты реакции, X, У, 2 -промежуточные соединения: бромистая кислота НВг02, бромид-ион Вг~, Се+А. Концентрации исходных реагентов полагают в модели неизменными.

Уравнение, описывающее изменение концентраций автокатализатора (Х = НВг02), бромид-иона (У = Вг~) и катализатора (г = Се+4) во времени в соответствии с законом действующих масс имеет вид:

7 У г 2 = -к,АУ-к2ХУ + ¡к,2, ¿И 2 5 сИ 3 5

Численные значения констант скоростей прямых реакций оценены Филдом и Нойесом из экспериментальных данных [19]. Безразмерная форма записи модели «орегонатора» представлена в виде: = з,(г|-г|а + а-да2), йх йх

Для моделирования [19] используют значения параметров 5 = 77.27, q = 8.375 • 10"6, м> = 0.161, / = 1. Модель с данными параметрами: начальные условия ^(0) = ^ у2{0) = 2, >>з(0) = 3, применялась при тестировании в [49] численных методов для решения жестких задач. Система (6) является примером жесткой системы, компоненты решения которой быстро изменяются по величине на много порядков. В [28] отмечено, что «данный пример служит серьезным испытанием для программ численного интегрирования.».

На основании изложенного можно сделать вывод о том, что проблема решения жестких задач с высокой точностью остается актуальной, в частности, в аспекте математического моделирования автоколебательных реакций. Метод, подобранный для аппроксимации с высокой точностью одного типа задач, не встречается при приближении решения задач другого типа. Иными словами, существующие методы приближения решения задачи Коши для ОДУ не инвариантны относительно вида жесткой системы. Необходимо отметить, что существуют проблемы непрерывности полученного приближения, актуальна задача оптимизации распределения узлов интегрирования, в зависимости от гладкости решения на различных участках отрезка интегрирования. Диссертация посвящена уточнению существующих моделей химических и биологических осцилляторов на основе разработки для таких задач специального численного метода и создания комплекса программ, реализующего разработанный метод. При этом требуется, чтобы искомый метод был основан на инвариантном вычислительном алгоритме как для жестких, так и нежестких задач, с целью его компьютерной реализации при = 77.27 0>2+л (1-8.375x10^, ах

Ф^^оъ-ла+до).

6) = 0.161(^-^3), помощи единых программных процедур. Более точно, формулируется следующая цель.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование инвариантного компьютерного метода решения задачи Коши для системы ОДУ с применением к моделированию химических и биологических осцилляторов. Построение метода основано на кусочно-полиномиальном приближении решения в условиях невысокого порядка гладкости правой части при выполнении требования минимизации погрешности и временной сложности, а также требования непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближения в случае моделирования процессов с помощью жестких и нежестких систем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Разработать единый компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе интерполяционных полиномов Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, обеспечивающий высокую точность приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближения в условиях невысокого порядка гладкости правой части.

2. Доказать сходимость и дать оценку скорости сходимости конструируемого метода в случае его применения для аппроксимации функций и в случае решения с его помощью задачи Коши для системы ОДУ, показать целесообразность его практического применения, выполнить сравнение с методами высоких порядков в аспекте компьютерной реализации математического моделирования процессов с быстро меняющейся динамикой.

3. Выполнить компьютерную реализацию кусочно-полиномиального метода приближенного решения жестких систем ОДУ для уточнения числовых параметров реагентов автоколебательных реакций при моделировании периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере и релаксационных автоколебаний в системе гликолиза.

4. Оценить трудоемкость и временную сложность кусочно-полиномиального приближения решения систем ОДУ, указать зависимость трудоемкости метода от точности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ в процессе моделирования автоколебательных процессов с учетом параллелизма метода.

5. Разработать способ переноса компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных. Выполнить численный эксперимент по точности кусочно-полиномиального приближения и применимости метода для моделирования волновых процессов.

6. Разработать комплекс программ на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, адаптируемый к различным классам задач посредством задания числовых параметров подпрограмм, выполнить с его помощью численный и программный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с целью уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций.

Методы исследования включают вычислительные методы линейной алгебры и математического анализа, численные и аналитические методы решения систем ОДУ, разностные методы решения уравнений в частных производных, методы математического, компьютерного и численного моделирования автоколебательных реакций, элементы теории сложности параллельных алгоритмов, методы теории интерполяции и теории функций вещественной переменной, методы объектного программирования.

Достоверность результатов вытекает из корректного математического обоснования с помощью аналитических оценок погрешности приближений и временной сложности формализованных алгоритмов, подтверждается результатами компьютерного моделирования, программного и численного эксперимента.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 - 47, 53 -64).

2. Показана равномерная сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к аппроксимируемой функции, а также к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке из области допустимых значений в условиях двукратной дифференцируемости правой части, что упрощает его применение по сравнению с методами высоких порядков и обеспечивает численное моделирование процессов с быстро меняющейся динамикой (С. 29 - 37, 47 - 53).

3. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66-91).

4. Выполнены оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ, показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109 - 117).

5. Разработан способ переноса компьютерного кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных. Метод отличается от известных по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических уравнений, что позволяет его применять для моделирования волновых процессов, описываемых уравнениями данного вида (С. 118-136).

6. Разработан комплекс программ на основе инвариантного метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, отличающийся тем, что адаптация к различным классам задач реализована заданием числовых параметров подпрограмм. При помощи комплекса выполнен численный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с применением узловых интерполяционных значений на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показана меньшая погрешность предложенного метода, что в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39 - 47, 53 - 64, 72 - 77, 154 - 211).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Компьютерный метод кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе кусочно-полиномиального приближения решения интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов и программной вариацией длин подынтервалов, а также степеней аппроксимирующих полиномов для обеспечения высокой точности приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости.

2. Обоснование равномерной сходимости кусочно-полиномиального метода со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке при двукратной дифференцируемости функций правой части с целью обеспечения компьютерного расчета математических моделей периодических реакций.

3. Компьютерная реализация предложенного метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, уточнение на этой основе расчета моделей химических автоколебательных реакций, включая числовые параметры реагентов.

4. Оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ для моделей автоколебательных процессов; показана возможность сокращения времени моделирования за счет параллелизма метода.

5. Метод приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных с применением к расчету моделей волновых процессов.

6. Программный комплекс на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличается тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых параметров подпрограмм инвариантного вида; при помощи комплекса выполнен расчет математических моделей периодических реакций, получены сравнительные оценки погрешности и времени расчета моделей на основе разностных и кусочно-полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса; даны уточнения физических параметров и фазовых портретов математических моделей автоколебательных реакций.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных методов кусочно-полиномиального решения ОДУ и уравнений в частных производных, которые применяются для компьютерной реализации математического моделирования периодических реакций, включая реакции Белоусова-Жаботинского, суточные колебания концентрации озона в атмосфере, релаксационные автоколебания в системе гликолиза, а также для моделирования волновых процессов. Результаты моделирования необходимы для отладки технологических процессов на основе периодических реакций, для оценки изменений концентрации свободного кислорода, озона и молекулярного кислорода в атмосфере в зависимости от участка земной поверхности. Предложенный кусочно-полиномиальный метод доведен до практической реализации в виде программного комплекса для решения актуальных задач математического моделирования, связанных с исследованием автоколебаний. Кроме того, разработанный программный комплекс на той же основе применяется для снижения временной сложности и повышения точности решения систем ОДУ, моделирующих движение объектов в реальном времени.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:

1.В ОАО НКБ ВС для решения систем ОДУ при моделировании движения транспортного средства в реальном времени (с учетом сил трения и переменного вектора тяги) в трехмерном пространстве. Модель интегрирована в состав программного обеспечения стенда функционального контроля (СФК).

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту №7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на:

- Пятьдесят второй научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009 г.);

- III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009 г.);

- International Conference Parallel Computer Algebra '2010 (Tambov, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 2010);

- XI международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, СПБПУ, 2011);

- XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Казань, 2011);

- Всероссийской НТК с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011 г.);

- IX региональной научно-практической конференции «Аспекты развития науки, образования и модернизации промышленности» (Таганрог, ДГТУ, 2011 г.).

Публикации. По материалам работы опубликовано 14 печатных работ общим объемом около 17 печатных листов, в том числе 4 статьи в журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы и приложений к четырем главам. Основное содержание работы изложено на 152 страницах, включая список литературы из 111 наименований, приложение изложено на 70 страницах, включает коды программ, реализующих математические модели и предложенные численные методы.

4.5. Выводы

1. В главе на примерах линейных уравнений гиперболического типа показана возможность переноса компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных. Метод отличается от известных по аналитическому и алгоритмическому построению, по точности приближения решения для уравнений рассматриваемого вида, что позволяет рассматривать его применение для численного моделирования волновых процессов, описываемых уравнениями данного вида.

2. Построена численная схема и выполнена программная реализация кусочно-полиномиального приближения решения первой краевой задачи линейных ДУ гиперболического типа, при этом основой для получения узловых значений интерполяционного полинома Ньютона от двух переменных являются сеточные значения разностного решения ДУ в частных производных. Предложенная схема отличается от известных, в частности, тем, что в силу интерполяции и по построению дает непрерывное приближение решения в заданной прямоугольной области.

3. Представлены результаты численного эксперимента по моделированию вынужденных колебаний конечной струны на основе кусочно-полиномиального приближения, которые показывают возможность повышения точности разностных схем в малых по размеру областях.

4. Предложена программная реализация кусочно-полиномиальной схемы приближенного решения линейных ДУ в частных производных гиперболического типа в виде набора стандартных подпрограмм, которые представляют собой основу программного комплекса для численного моделирования волновых процессов, моделируемых уравнениями данного класса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат диссертационной работы заключается в разработке и исследовании компьютерного метода варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для жестких и нежестких систем ОДУ с применением к математическому моделированию автоколебательных реакций для повышения точности решения и уточнения концентраций реагентов, а также временных параметров реакций.

В частности, следующие результаты отличаются новизной:

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 - 47, 53 -64).

2. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Бел о у со ва-Жабот ин с ко го, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66-91).

3. Показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов {С. 109-117).

4. Разработан компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных, отличающийся по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, а также по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических уравнений, что целесообразно для моделирования волновых процессов (С. 118 - 136).

5. Разработан комплекс программ на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличается тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых параметров подпрограмм инвариантного вида. При помощи комплекса выполнен расчет математических моделей периодических реакций, даны сравнительные оценки погрешности и временной сложности расчета моделей на основе разностных и кусочно-полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показано, что меньшая погрешность предложенного метода в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39-47, 53-64, 72-77, 154-211).

Работа включает следующие научные результаты.

1. Компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе кусочно-полиномиального приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, реализующий программную вариацию длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов для обеспечения высокой точности приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости.

2. Обоснование равномерной сходимости предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к аппроксимируемой функции, а также к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке в условиях двукратной дифференцируемости правой части для обеспечения компьютерной реализации математического моделирования процессов с быстро меняющейся динамикой.

3. Компьютерная реализация кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, уточнение на этой основе результатов компьютерного моделирования различных химических автоколебательных реакций, включая числовые параметры реагентов, за счет повышенной точности и непрерывности приближенного решения моделирующих систем.

4. Оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к моделированию автокаталитических реакций.

5. Видоизменение компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для систем ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных с применением для моделирования волновых процессов.

6. Программный комплекс кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, в котором адаптация к различным классам задач реализована заданием числовых параметров подпрограмм; численный и программный эксперимент на основе комплекса по сравнению погрешности и временной сложности известных и предложенных схем с вычислением узловых интерполяционных значений при помощи методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса с целью уточнения физических параметров и фазовых портретов математических моделей автоколебательных реакций.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем.

1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 - 47, 53 -64).

2. Показана равномерная сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к аппроксимируемой функции, а также к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке из области допустимых значений в условиях двукратной дифференцируемости правой части, что упрощает его применение по сравнению с методами высоких порядков и обеспечивает численное моделирование процессов с быстро меняющейся динамикой (С. 29 - 37, 47 - 53).

3. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66-91).

4. Выполнены оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ, показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109 - 117).

5. Разработан способ переноса компьютерного кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных. Метод отличается от известных по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических уравнений, что позволяет его применять для моделирования волновых процессов, описываемых уравнениями данного вида (С. 118-136).

6. Разработан комплекс программ на основе инвариантного метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, отличающийся тем, что адаптация к различным классам задач реализована заданием числовых параметров подпрограмм. При помощи комплекса выполнен численный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с применением узловых интерполяционных значений на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показана меньшая погрешность предложенного метода, что в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39-47, 53-64, 72-77, 154-211).

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных методов кусочно-полиномиального решения ОДУ и уравнений в частных производных, которые применяются для компьютерной реализации математического моделирования периодических реакций, включая реакции Белоусова-Жаботинского, суточные колебания концентрации озона в атмосфере, релаксационные автоколебания в системе гликолиза, а также для моделирования волновых процессов. Результаты моделирования необходимы для отладки технологических процессов на основе периодических реакций, для оценки изменений концентрации свободного кислорода, озона и молекулярного кислорода в атмосфере в зависимости от участка земной поверхности. Предложенный кусочно-полиномиальный метод доведен до практической реализации в виде программного комплекса для решения актуальных задач математического моделирования, связанных с исследованием автоколебаний. Кроме того, разработанный программный комплекс на той же основе применяется для снижения временной сложности и повышения точности решения систем ОДУ, моделирующих движение объектов в реальном времени.

Практическое использование результатов работы:

1.В ОАО НКБ ВС для решения систем ОДУ при моделировании движения транспортного средства в реальном времени (с учетом сил трения и переменного вектора тяги) в трехмерном пространстве. Модель интегрирована в состав программного обеспечения стенда функционального контроля (СФК).

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту №7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.-915 с.

2. Франкфурт О.С. Клеточный цикл в опухолях. М.: Медицина, 1975. -172 с.

3. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд. МГУ, 1993. - 301 с.

4. Белинцев Б.Н. Диссипативные структуры и проблемы биологического формообразования//УФН, 1983, т. 141, С. 55 101.

5. Maini Р.К., Othmer H.G. Mathematical Models for Biological Pattern Formation // in IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 121, Springer, 2000.

6. AgudaB.D. Kick-starting the cell cycle: from growth-factor stimulation to initiation of DNA replication // Chaos, 2001, v. 11, pp. 269 276.

7. Кутимская M.A. Биофизические основы иммунной системы человека в свете современного состояния природы и метасоциума // САНВШ, В-Спектр, 2007, С. 326 331.

8. А.И. Чуличков. Математические методы нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000. - 296 с.

9. Жаботинский A.M., Филд Р., Огмер X. Колебания и бегущие волны в химических системах. М.: Мир, 1988. - 720 с.

10. Воробьев А.А. Микробиология и иммунология. М.: Медицина, 1999. -464 с.

11. Филиппович Ю.Б. Основы биохимии: Учеб. для хим. и биол. спец. пед. унтов и ин-тов. М.: Изд. «Агар», 1999. - 512 с.

12. Goldbetter A. Biochemical Oscillations and Cellular Rhythms. The molecular bases of periodic and chaotic behaviour. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

13. Murray J.D. Nonlinear Differential Equation Models in Biology. Clarendon Press, Oxford, 1977.

14. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Либроком, 2010. - 360 с.

15. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol, (bond), 117:500-544, 1952.

16. Luo C.H., Rudy Y. A model of the ventricular cardiac action potential: Depolarization, repolarization, and their interaction // Circ. Res., 1991, V. 68, P. 1501.

17. Petrov V.S., Osipov G.V., Suykens J.A.K. Passive elements influence on the dynamics of oscillatory ensembles // Physical Review E., 2009, V. 79, P. 046219.

18. Белоусов Б.П. Периодически действующая реакция и её механизмы: сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 год. М. - С. 145.

19. Field R.J., NoyesR.M. Oscillations in Chemical Systems. IV. Limit Cycle Behavior in a Model of a Real Chemical Reaction // J. Chem. Phys. 1974. V. 60. №5. P. 1877-1884.

20. Мюррей Дж. Математическая биология. Том I. Введение. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. - 776 с.

21. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск: Наука, 1967.

22. Ковеня В.М., Слюняев А.Ю. Алгоритмы расщепления при решении уравнений Навье-Стокса // ЖВМ и МФ, 2009, т. 49, № 4.

23. DurranD.R. Numerical methods for wave equations in geophysical fluid dynamics, Springer, 1999.

24. Nocedal J., Wright SJ. Numerical optimization, Springer, 1999.

25. Мануйлович E.C., Черкасов О.Ю. Оптимизация закона пропорционального наведения при наличии запаздывания // Фундаментальная и прикладная математика, 2005, т. 2, №8, С. 139 147.

26. Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations, John Wiley and Sons, 2008.

27. Siili E., Mayers D.F. An introduction to numerical analysis, Cambridge University Press, 2003.

28. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1989. - 512 с.

29. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

30. Riley K.F., Hobson M.P. and Bence S.J., "Mathematical Methods for Phisics and Engineering," Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

31. Бахвалов H.C., Лапин A.B., Чижонков E.B. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000.

32. Солодов А.П., Очков В.Ф. MathCad / Дифференциальные модели. М.: Изд. МЭИ, 2002. - 239 с.

33. Дьяконов В. MathCad 8/2000: специальный справочник. СПб: Питер, 2001.-592 с.

34. Shampine L.F., ReicheltM.W. The MATLAB ODE suite // SIAM J. Sei. Comput. 1997. V. 18. № 1. P. 1 22.

35. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматгиз, 1962.-640 с.

36. Richardson L.F. The deferred approach to the limit, Phil. Trans., A, 1927, vol. 226, p. 299 349.

37. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.

38. Zonneveld J.A. Automatic integration of ordinary differential equations, Report R743, Mathematisch Centrum, Postbus 4079, 1009AB Amsterdam. Appeared in book form 1964.

39. Скворцов Л.М. Явные методы Рунге-Кутты для умеренно жестких задач // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2005, Т. 45, №11, С. 2017-2030.

40. Fehlberg Е. Low-order classical Runge-Kutta formulas with step size control and their application to somei heat transfer problems, NASA Technical Report 315 (1969), extract published in Computing vol. 6, p. 61 71 (1970).

41. DormandJ.R., Prince PJ. A family of embedded Runge-Kutta formulae, J. Сотр. Appl. Math., 1980, vol. 6, p. 19 26.

42. Данилин Г.А., Курзин П.А., КурзинаВ.М. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений средствами MathCad // Лесной вестник, 2003, №3, С. 181 186.

43. Lefever R., Nicolis G. Chemical Instabilities and sustained oscillations, J. theor. Biol., vol. 30, p. 267-284.

44. Shampine L.F., Watts H.A., Davenport S.M. Solving nonstiff ordinary differential equations The state of the art, SIAM Rev., vol. 18, 1976, pp. 376 -410.

45. HornM.K. Fourth and fifth-order scaled Runge-Kutta algorithms for treating dence output, SIAM J. Numer. Anal. vol. 20, 1983, pp. 558 568.

46. Butcher J.C. On Runge-Kutta processes of high order, J. Austral. Math. Soc. 1964. Vol IV, Part 2, p. 179 194.

47. Prince P.J., Dormand J.R. High order embedded Runge-Kutta formulae, J. Сотр. Appl. Math., 1981, vol. 7, p. 67-75.

48. Калиткин H.H. Численные методы решения жестких систем // Математическое моделирование 1995, Т. 7, № 5, С.8 -11.

49. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. - 685 с.

50. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука. - 1979.

51. Rozenbrock H.H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations. Сотр. J., 1963, v.5, № 4, p. 329 - 331.

52. Gray P. Instabilities and oscillations in chemical reactions in closed and open systems //Proc. R. Soc. bond. A, 415:1 34, 1988.

53. Gray P., Scott S.K. A new model for oscillatory behavior in closed systems: the autocatalator//Ber. Bunsenges. Phys. Chem., 90: 985 996, 1986.

54. Lotka A.J. Contribution to the theory of periodic reactions. J. Phys. Chem., 14: 271 -274, 1910.

55. Белинцев Б.И. Физические основы биологического формообразования. -М.: Наука, 1991.-255 с.

56. Tyson J.J. What everyone should know about the Belousov-Zhabotinsky reaction // Frontiers in Mathematical Biology, v. 100 of Lect. Notes in Biomathematics, p. 569 587. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York. - 1994.

57. Ромм Я.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки / Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. Таганрог: ТРТУ. - 1998. - 42 с.

58. РоммЯ.Е., ФирсоваС.А. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов: Учебное пособие. Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2008. - 124 с.

59. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-полиномиального решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. Таганрог, 2011. - 45 с. Деп. в ВИНИТИ 25.03.2011,№ 141-В2011.

60. ГалисеевГ.В. Программирование в среде Delphi 7. Самоучитель. М.: Диалектика, 2003. - 288 с.

61. Фаронов В.В. Delphi 2005. Язык, среда, разработка приложений. СПб.: Питер, 2005. - 560 с.

62. Viete F., Opera Mathematica, Reprinted, Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York (1970).

63. РоммЯ.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. 2007. - № 2. -С. 161 - 174.

64. Aziz A, ZargarB.A., Bounds for the Zeros of a Polynomial with Restricted Coefficients // Applied Mathematics, 2012, № 3, pp. 30 33.

65. Aziz A., Mohammad Q.G., "On the Zeros of Certain Class of Polynomials and Related Analytic Functions," Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 75, No. 2, 1980, pp. 495-502.

66. Ромм Я.Е., Голиков A.H., Распараллеливаемые кусочно-полиномиальные схемы аппроксимации функций, производных и вычисления определённых интегралов с повышенной точностью / ТГПИ. Таганрог, 2010. - 139 с. Деп. в ВИНИТИ 27.04.2010, № 230-В2010.

67. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко Б.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.-355 с.

68. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука, 1966. -632 с.

69. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А., Разностно-полиномиальный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных / ТГПИ. Таганрог, 2011. - 59 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2011, №353-В2011.

70. РоммЯ.Е., Джанунц Г.А., Повышение точности разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе кусочно-полиномиальной интерполяции / ТГПИ. Таганрог, 2010. - 103 с. Деп. в ВИНИТИ 25.01.2010, № 20-В2010.

71. Люстерник Л.А., Червоненкис O.A., Янпольский А.Р. Математический анализ: Вычисление элементарных функций. М.: Физматгиз, 1963. -248 с.

72. Пан В.Я. Некоторые схемы для вычисления значений полиномов с вещественными коэффициентами // Проблемы кибернетики, 1961. Вып. 5. -С. 17-29.

73. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1967.-368 с.

74. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing 2nd ed. -Cambridge University Press, 1992. - 277 p.

75. Матвеев H.M. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1955.-655 с.

76. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 160 с.

77. Джанунц Г.А., Ромм Я.Е. Компьютерное моделирование жестких систем на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений / ТГПИ. Таганрог, 2011. - 20 с. Деп. в ВИНИТИ 31.08.2011, № 405-В2011.

78. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М.-Иж.: ИКИ, 2003, 184 с.

79. ВольтерраВ. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976. 128 с.

80. Трубников C.B. Модифицированный метод Эйлера с итерационным уточнением и переменным шагом // Вестник Брянского государственного университета. 2008. - № 4. - С.70 - 85.

81. Новиков А.Е., Новиков Е.А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе стадий метода Дорманда-Принса восьмого порядка точности // Вычислительные методы и программирование, 2007, Т. 8, С. 317 325.

82. Enright W.H., Hull Т.Е. Comparing numerical methods for the solutions of systems of ODE's//BIT. 1975. № 15. P. 10-48.

83. Hindmarsh A. LSODE and LSODEL. Two Initial Value Ordinary Differential Equation Solvers, ACM SIGNUM Newsletter 15, 1980, pp. 10 11.

84. Медведев B.B. Математическое моделирование процессов мезосферы, термосферы и ионосферы. Таганрог: ЮФУ, 2011, автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 32 с.

85. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение: Пер. с англ. М.: Мир, 1998. - 575 с.

86. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1.- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 232 с.

87. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. Физматлит, 1997.- 496 с.

88. Холодов A.C., Лобанов А.И., Евдокимов A.B. Разностные схемы для решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве неопределенных коэффициентов: Учебно-методическое пособие. М.: МФТИ, 2001. - 48 с.

89. Филатова А.Е., Храмов А.Е., Стародубов A.B. Образование структур в открытых системах. Учебно-методическое пособие. Саратов, 2008. - 42 с.

90. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Компьютерный метод разностно-аналитического решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе интерполяционного полинома Ньютона / ТГПИ. Таганрог, 2009. - 40 с. Деп. в ВИНИТИ 18.06.09, № 379-В2009.

91. Джанунц Г.А. Повышение точности метода Рунге-Кутта на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сборник трудов 52-й студенческой конференции. ТГПИ. Таганрог. - 2009. - С. 77 - 79.

92. Maruyama K. On the Parallel Evaluation of Polynomials // IEEE Trans, on Computers, 1973. v. c, 22, № 1. - P. 2 - 5.

93. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А. Кусочная линеаризация задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск: «Методы и средства адаптивного управления в электроэнергетике».- 2011. № 2. - С. 26 - 32.

94. Ромм Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных схем решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия РАН. Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. - №12. - С. 105 - 118.

95. Власов С.А., Ширков П.Д. Сплай-интегрирование дифференциальных уравнений с запаздыванием // Системный анализ в науке и образовании. -2010,-№4.-С. 1-20.

96. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-735 с.

97. Голиков А.Н., Кусочно-полиномиальные схемы вычисления функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов на основе интерполяционного полинома Ньютона / ТГПИ. Таганрог, 2010. - 150 с. Деп. ВИНИТИ 20.09.2010, № 528-В2010.

98. ЮЗ.Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 384 с.

99. Koser К. The Wave Equation Together with Matheu-Hill and Laguerre Form Dynamic Boundary Conditions // World Journal of Mechanics. 2011, № 1, P. 306-309.

100. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1975.- 128 с.

101. Владимиров B.C., ЖариновВ.В. Уравнения математической физики. М.:

102. Наука, 2003.-398 с. ПО.Семченок М.С., Щитов И.Н. Колебания струны: Методическое пособие. -СПб, 2010.-43 с.

103. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. - 288 с.