автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование электрон-фононного рассеяния в нанопроволоках на основе схем обработки с минимизацией временной сложности

На правах рукописи

Голиков Александр Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО РАССЕЯНИЯ В НАНОПРОВОЛОКАХ НА ОСНОВЕ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ С МИНИМИЗАЦИЕЙ I ВРЕМЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

Специальность:

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г 4 янв 2013

Таганрог-2012

005048768

005048768

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт имени А.П. Чехова»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Ромм Яков Евсеевич

Официальные оппоненты: Боженюк Александр Витальевич

доктор технических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «ЮФУ», профессор кафедры информационно-аналитических систем безопасности

Сапрыкин Владимир Абрамович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, заместитель главного конструктора по направлению ОАО «НКБ ВС»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «ЮРГТУ(НПИ)»,

г. Новочеркасск

Защита состоится «21 » февраля 2013 г. в 14.20 на заседании диссертацио! ного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 34792 г Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиоте! Южного федерального университета по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дон ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « »января 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22, доктор технических наук, профессор

л

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время технологии электроники позволяют производить полупроводниковые устройства наномасштаба с различной геометрией, включая транзисторы на основе квантовых проволок. Проектирование таких устройств невозможно без предварительного численного и компьютерного моделирования и требует учёта квантовых эффектов высшего порядка в физических уравнениях, а также повышения точности численных методов их решения.

Электрон-фононное рассеяние оказывает существенное влияние на явления электронного транспорта в системах низкой размерности. В частности, от взаимодействия с продольными оптическими фононами зависит подвижность носителей и скорость насыщения, которые определяют время отклика устройства, рабочие частоты конструируемых микросхем, вольт-амперные характеристики приборов.

Учёт столкновительного уширения спектра и взаимного влияния механизмов рассеяния приводит к необходимости приближённо решать нелинейные алгебраические уравнения относительно столкновительного уширения. Выражения коэффициентов данных уравнений включают волновые функции и уровни энергии размерного квантования, которые приближенно вычисляются в ходе численного решения caмoJ согласованной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона. При решении такой системы спектральным методом Галёркина она сводится к системе матричных равенств, а именно, к полной проблеме собственных значений и системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). При этом элементы матриц и коэффициенты нелинейного уравнения суть двойные интегралы по области, совпадающей с поперечным сечением моделируемого устройства.

Устойчивость и границы погрешности численных методов решения данных задач прямо зависят от возмущений элементов матриц и коэффициентов уравнений, то есть непосредственно от погрешности вычисления двойных интегралов.

Большой объём вычислений, возникающий при усложнении моделируемых электронных элементов и структур, требует использования параллельных вычислительных систем.

Таким образом, актуальна задача построения распараллеливаемых компьютерных схем приближённого вычисления с высокой точностью подынтегральных функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов в качестве вычислительной и алгоритмической базы моделирования электронного транспорта в ОаАБ нанопроволоках.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование варьируемых компьютерных кусочно-полиномиальных схем приближённого вычисления с высокой точностью и малой временной сложностью действительных функции одной и двух действительных переменных, производных, частных производных, а также определённых и двойных интегралов с построением на этой основе программного комплекса для моделирования электрон-фононного рассеяния в нелегированной ОаАэ нанопроволоке.

Для достижения поставленной цели в диссертационном исследовании поставлены следующие задачи:

1. Построить программно варьируемую кусочно-полиномиальную схему вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усредненной суммы интерполяционных полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале. На этой основе разработать видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов. Обосновать сходимость и оценить скорость сходимости данного приближения функций и определённых интегралов.

2. Разработать программно варьируемую кусочно-полиномиальную схему аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с варьируемыми степенью и числом подобластей. На этой основе разраоотать методы аппроксимации частных производных и приближения двойных интегралов по прямоугольной области. Доказать сходимость и оценить скорость сходимости данных приближений функций и двойных интегралов.

3. Оценить временную сложность предложенных варьируемых кусочно-полиномиальных вычислительных алгоритмов на модели неветвящихся параллельных программ.

4. На основе предложенных кусочно-полиномиальных схем вычисления двойных интегралов, а также схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки выполнить моделирование электронного транспорта в нелегированной ОаАэ нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Уточнить известные численные значения экстремумов скоростей электрон-фононного рассеяния, а также значения уровней энергии размерного квантования ваАв нанопроволо-ки для основного и первых двух возбуждённых состояний.

5. Создать программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности. На основе комплекса провести численный эксперимент по приближению рассматриваемых функций, производных и интегралов. На этой же основе разработать программный комплекс по моделированию СгаАв нанопроволок и сравнить полученные результаты моделирования с результатами моделирования на базе других схем вычислений.

Методы исследования включают теорию и численные методы, интерполяции, методы вычислительной алгебры и математического анализа, методы приближённого решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, методы теории сложности, методы математического, численного и компьютерного моделирования объектов и устройств наноэлектроники с двумерным квантованием, методы объектного и многопоточного программирования.

Достоверность результатов диссертации вытекает из их корректного математического обоснования, аналитических оценок скорости сходимости и погрешности предложенных методов, подтверждается результатами численного и программного эксперимента, а также результатами компьютерного моделирования.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложена модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной, отличающаяся от аналогов построением на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет существенно повысить точность при минимизированной временной сложности вычисления. На этой основе даны видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Показана сходимость данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической профессии (С. 36 — 45,46-52, 152-155).

2. Разработана компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. На этой основе предложены компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Показана сходимость данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных (С. 64 - 74, 77 - 80, 82 - 85, 177 - 181).

3. Показан параллелизм предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов вычисления функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов, даны оценки временной сложности на модели неветвящихся параллельных программ,, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью (С. 52 - 56, 85 - 88).

4. На основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи сортировки модернизирована математическая модель электронного транспорта в уединённой нелегированной (7я/1л нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, что позволило уточнить значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования СаАз нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний (С. 99 - 134).

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. С помощью данного комплекса выполнен численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, который подтвердил существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами. На данной основе разработано расширение программного комплекса для моделирования СаАи нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные паралшпры математических моделей электрон-фононного рассеяния (С. 56 - 62, 88-96, 115 - 134).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложена модификация варьируемой компьютерной кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения интерполяционных полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет на порядок снизить границы абсолютной погрешности аппроксимации. На этой основе разработаны видоизменения варьируемых кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов. Даны оценки сходимости и скорости сходимости предложенных схем.

2. Разработана программно варьируемая кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной границы погрешности вычисления функции. На этой основе построены методы аппроксимации частных производных и приближения двойных интегралов по прямоугольной области. Доказана сходимость процесса приближения функций и двойных интегралов сконструированных схем со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой переменной.

3. Даны оценки временной сложности предложенной модификации кусочно-полиномиального метода на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамическое построение базового алгоритма кусочно-полиномиальной аппроксимации можно выполнить с логарифмической временной сложностью.

4. Модернизация математической модели электронного транспорта в уединённой нелегированной ОаАв нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка на основе предложенных кусочно-полиномиальных методов вычисления двойных интегралов с применением схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки. В результате получены уточнения известных значений пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уточнения уровней энергии размерного квантования ОаАэ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. Показано влияние аппроксимаций обменно-корреляционного взаимодействия на соотношение вкладов механизмов рассеяния.

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности, а также существенное повышение точности предложенных варьируемых кусочно-полиномиальных схем по сравнению с известными методами. Постро.ен программный комплекс по моделированию ваЛв нанопроволок, позволяющий рассчитать уточнённые численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния', а также уровней энергии размерного квантования ОаАэ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. Согласно численным и программным экспериментам на основе данных комплексов точность рас-

четов таких параметров математической модели диффузионного электронного транспорта как скорость электрон-фононного рассеяния и столкновительное ушире-ние спектра более чем на порядок превышает точность расчетов известными методами.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных численных методов варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации действительных функций одной и двух действительных переменных, соответствующих прямых и частных производных, а также определённых и двойных интегралов, которые используются в качестве численной и алгоритмической базы для компьютерной реализации математического моделирования GaAs нанопроволок прямоугольного поперечного сечения. Результаты моделирования применимы для конструирования полевых транзисторов с высокой подвижностью электронов (НЕМТ - nigh electron mobility transistor) на основе нанопроволок, уточнённого расчёта их электронной структуры, электрон-фононного рассеяния и, в конечном счёте, для моделирования высокоскоростных устройств наноэлек-гроники. В частности, повышение точности моделирования критически важно при расчёте электронного транспорта с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Предложенные варьируемые кусочно-полиномиальные методы доведены до реализации в виде программного комплекса аппроксимации функций, производных и интегралов, который минимизирует одновременно временную сложность и абсолютную погрешность. На этой основе разработан расширенный программный комплекс для компьютерного моделирования электронной структуры и электрон-фононного рассеяния нанопроволок и транзисторных структур, ориентированный на создание высокоскоростных устройств наноэлекгроники.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:

1. В НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. ЮФУ приняты к использованию модификации варьируемой кусочно-полиномиальной схемы имчисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения полиномов Ньютона; кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей; метод численного моделирования электронного транспорта в уединённой нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка; разработанный в диссертации программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности, с помощью которого осуществляется численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, также принято к использованию разработанное расширение программного комплекса для моделирования GaAs нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния.

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Т1Г1И имени А.П. Чехова» по проекту № 7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени Л.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на 52-й научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009), III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009), IV Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математиче-

ское моделирование» (Москва, МГУП, 2010), 53-й научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2010), Всероссийской научно-технической конференции с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлению) «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011), XII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи-Адлер, 2011), VIII Международной научно-практической конференции «Aplikované vëdecké novinky - 2012» (Czech, Praha, 2012), VI Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем (МК-70-912)» (Пенза, ПГУ, 2012), XIII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука XXI века» (Красноярск, КГПУ им. В.П. Астафьева, 2012), XIII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (летняя сессия) (Петрозаводск, 2012), XV Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотхнологии и микросистемы» (Ульяновск, УлГУ, 2012), Международной молодежной конференции в рамках фестиваля науки «Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы» (Воронеж, ВИВТ, 2012), Международной молодежной научной школе в рамках фестиваля науки «Летняя Суперкомпьютерная Академия» (Воронеж, ВИВТ, 2012), XIII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи-Вардане, 2012).

Публикации. По материалам работы опубликовано 20 печатных работ, из них 3 в реферируемых журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений к трём главам. Основное содержание изложено на 158 стр., включая список литературы из 139 наименований, приложение изложено на 67 стр., включает коды программ, реализующих математические модели, а также результаты численных и программных экспериментов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, необходимость учёта квантовых эффектов высокого порядка при расчете скоростей электрон-фононного рассеяния, описано состояние проблемы, в частности, существующие методы решения самосогласованной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона и связанные с этим вычислительные трудности. На основе изложенного сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, а также положения, выносимые на защиту.

В первой главе предлагается модификация варьируемой кусочно-полиномиальной схемы аппроксимации действительных функций одной действительной переменной, которая строится на основе полусуммы интерполяционных полиномов Ньютона для интерполяции вперед и назад. Пусть рассматривается отрезок [a, ti] в области определения функции у = /(*), (x,y)eR2, который алгоритмически покрывается системой подынтервалов: [a,ti] = Р =1к, Jfce{0, I,...}. При каждом / на подынтервале J строится полином р,(X) = (P„f (х) + СМ)/2, где

СM=/к.)+ £Ыу,л/УЙМ). ' = (*-*,.)/*.

у =1 ы о

/.1 «-0

полиномы Ньютона для интерполяции вперёд и назад соответственно, построенные в узлах x,t=x, + th, £ = , А'у,0, Ыу<яЧ - восходящие и нисходящие конечные

разности, j=lñ. Произведения вида суть полиномы с корнями

s_

/ =оГу_1, j = Vn, по которым при помощи известной матричной схемы восстанавливаются коэффициенты: И^'' ' + "0= В обозна" чениях Ь™ у, J j\, b^ =Nyi/,_Jj\ по дистрибутивности, получим:

Pf ('(*))= ' = fa'■•)• < = w =

у»0 "«-J

СШ)=Z<Y > с=/(*.,)• с=goc w=м •

Учитывая, что t-q = n, и, проводя замену q = t-n в P"'(q(x)), получим /**•(<(*)) = ХГ где = Окончательно, искомый аппрок-

симантзапишется в виде Р,(r(x)) = -S,,/J, Д., = + )/2 .

Степень и полинома /^(х) и число Р подынтервалов программно выбираются минимальными на основе последовательной проверки в равномерно распределённых проверочных точках, не совпадающих с узлами интерполяции, если на каждом подынтервале в этих точках выполняется неравенство j > гДе s задаётся априори.

Преобразования аппроксимационного полинома инвариантны относительно Р, п и вида аппроксимируемой функции. Для часто используемых функций, например при математическом моделировании, коэффициенты Вц могут быть занесены в память компьютера, тогда временная сложность компьютерного вычисления функции с учетом простой дешифрации номера подынтервала будет иметь оценку

Равномерную сходимость описанного приближения функции устанавливает

Теорема 1.1. Пусть для произвольного натурального п = const функция у = /(*), {х,у)& R1, непрерывна и непрерывно дифференцируема п +1 раз на отрезке [а,Ь]> на концах которого соответствующие производные понимаются как односторонние, тогда последовательность полиномов /},)„,(*) равномерно сходится на [а, Ь] при к -» °о, где к = log2 Р, Р - число подынтервалов. Скорость сходимости при этом оценивается из неравенства

Полином Р = в,/ имеет табличные производные и первообразные и применяется для приближения производных и определённых интегралов, при этом производные /'(х) приближаются производными (/'„,(/(*))),' = ' а инте"

фалы - интегралами от аппроксимационного полинома • -

Сходимость и скорость сходимости такого приближения определенных интегралов устанавливает

Теорема 1.2. В условиях и обозначениях теоремы 1.1 каково бы ни было натуральное и, последовательность XL'!' СХ°Д,ГГСЯ на к

при А -> оо , при этом [/(х)Л-Х^'Г Р(пЛх)*с\< а/2,("+1) , где Ип=(Ь-а)М„.

В главе описывается естественный параллелизм и даны верхние оценки временной сложности данных алгоритмов.

В табл 1 погрешность предложенного метода аппроксимации функции сравнивается с погрешностью аналогичных схем на базе других интерполяционных полиномов, а также на базе пакета МаШСас!.

3 Тойпиия 1

Абсолютная погрешности аппроксимации функции у = 1/(1 + е2*)

X Абсолютная погрешность

Предложенный метод Полином Ньютона Полином Гаусса Полином Чебышёва МаЛСай

О.ООЕ+ОООО 1.877Ё-20 О.ОООЕ+ОО"1 о.ооок+оо 5.1Ь4Е-15 5.551Ё-17

2.ООН-ООО 1 2.710Е-20 4.662Е-19 2.070Е-14 1.520Е-15 5.551Е-17

"4.00Е-0001 2.710В-20 1.0И4Н-19' 3.548Е-14 5.015Б-15 2.775Е-17

6.00Е-0001 О.ОООЕ+ОО "6.098Е-19 11.668Е-13 4.853Б-15 2.775Е-17

8.00Е-0001 1.084Е-19 "" 2.710Ё-14™ 2.701Е-14 1.387Е-15

В табл. 2 приводится аналогичное сравнение погрешности численного дифференцирования по предложенной схеме и на базе других методов. Табл„ца 2

Абсолютная погрешности аппроксимации производной функции у - хша%(х)

X Абсолютная погрешность

Предложенный метод Полином Ньютона Полином Гаусса Полином Чебьппёва МаЛСай

О.ООЕ+ОООО 3.401Е-17 1.920Е-14 4.768Е-07 9.536Е-07 1.387Е-15

2.00Е-0001 2.141Е-18 1.186Е-16 8.817Е-08 5.290Е-07 1.387Е-15

4.00Е-0001 1.409Е-18 2.840Е-16 2.126Е-07 1.417Е-07 2.109Е-15

6.00Е-0001 7.426Е-18 1.037Е-16 3.609Е-07 1.031Е-07 1.554Е-15

8.00Е-0001 1.301Е-18 5.963Е-18 3.900Е-07 2.127Е-07 1.776Е-15

В табл. 3 сравниваются погрешность приближения определённых интегралов по предложенной схеме и по схемам на базе других интерполяционных полиномов^

Абсолютная погрешность приближённого вычисления определённых интегралов

Интегрируемая функция Абсолютная погрешность

Предложенный метод Первый интерполяционный полином Ньютона Полином Гаусса Полином Чебышёва МаШСж! Формула Симпсона

у= 1 /(1 2.710Е-20 3.062Е-18 3.631Е-07 3.200Е-07 5.551Е-17 1.738Е-14

5.421Е-20 5.421Е-20 5.603Е-07 9.157Е-07 3.330Е-16 8.913Е-14

О.ОООЕ+ОО 2.710Е-19 3.850Е-07 3.207Е-07 2.220Е-16 2.892Е-15

у = х а!&р(х) 2.710Е-20 2.710Е-20 3.745Е-07 3.062Е-06 4.771Е-16 4.323Е-14

Представленные результаты типичны для широкого класса функций рассматриваемого вида. „„„„о Во второй главе предлагается варьируемая кусочно-полиномиальная схема

аппроксимации функций вида г = /(х,у), (х,у,г)еН\ в прямоугольной области ^{(^[яф^^е^]}, лежащей в области определения. Область в разбивается на прямоугольные подобласти с линейными размерами = (Ь-а)/2к,

Иу=(с1-с)/ 2*-, кл,к2 е {0,1,2,...}, *= ]2к'+1, / = [(*-«)/&,], } = Ь~Ь)1кХ И ~ Це" лая часть числа а . Каждая подобласть О; разбивается своей диагональю ешё на две треугольные подобласти - С-, С$ , - лежащие выше и ниже диагонали соответственно. В каждой такой подобласти в;, С- строятся полиномы Ньютона от двух переменных:

/(w,,)+g ^^¡^Ц^Шу-У^)'

где h, s - шаги интерполяции вдоль осей абсцисс и ординат соответственно, A",/xV.(x,'0,j* 0) - двойные конечные разности «вперёд-вверх», А"/^^, 0,?;+10) -двойные конечные разности «назад-вниз», узлы интерполяции: х, = х + ih, = у, + mg, = - lh, yjti„ = yjtX ~ *ng , ¿ = от = Q,N - i . Записи полиномов P;N(x,y), формально совпадают, поэтому для удобства вводится обозначение

4=0 q*0 г=0 _

где для точек (jc,y)e Gi: Kt=Kf^\x*a,y]0)l(k\(m-k))), m = \,N, k = Q,my К» = f(x,,,yj> t = {x-xia)/h, « = для точек (х,у)вСу.

Am/,v-.(3i;.+,0J>+1,0)/(A!(w-A)!), m = ],N, k = 0,m, Kfi=/{хмя,у„л), t = {xMSS-x)/h, и = o~y)/s • При подстановке индекса d вместо индекса .s запись будет определять полином Р£„{х,у) в подобласти Gi, аналогично при замене < на и полином ^('(^"М) станет полиномом Л'Дх^) в подобласти G-".

Применяя к произведениям {t-q), матричную схему вычис-

ления коэффициентов полинома по его корнями, а также приводя подобные, получим равенство iXJi-CD«"'^ . Ам,, = <Д., > с У46™ которого окончательно запишем:

г=0 fi-r k*q

где a'. =at для (x,y)eGi, at = а". для (x,y)eG'. Степень полинома

к ,qx к, qj \ / к *,?»" «>4f *

Р' v (/(jc), и(у)) и число подобластей (значения ) алгоритмически подбираются

минимальными, при которых в проверочных точках, расположенных с постоянным шагом меньшим шага интерполяции в направлении координатных осей, выполняется проверка условия |/(x,j')-/yw(i(j:)>w(>'))|se, £ задаётся априори. Если во всех

точках условие удовлетворено, то полином „('(*)>МЫ) считается построенным.

Преобразования аппроксимационного полинома инвариантны относительно вида функции, степени полинома и числа подынтервалов, поэтому при аппроксимации функций из стандартного набора коэффициенты а~ ? г могут быть записаны в памяти компьютера, после чего аппроксимация функции будет иметь временную сложность r(l)= O(l).

Сходимость построенного приближения функций устанавливает Теорема 2.1. Пусть для произвольного натурального N = const функция f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными до (<V + l)-ro порядка, включительно, при этом частные производные в граничных точках замкнутой области G понимаются как пределы соответствующих частных производных при стремлении точек изнутри к границе. Тогда последовательность полиномов Р~ Jt, и) равномерно сходится к fix, у) на G при &,-><», -> со. Ско-

>сть сходимости оценивается из неравенства: | Л i v (/, и) | < А / / (22 ''), где Т=(^ + 2)Л/т„(б-д)лч,(£/-с)м/(//+1)! при b-a>\, d-c> 1, МГ =(N+ 2}Mmx/(N+ l)l ш b-a< 1, d-c< 1, M = max maxlд"*Нх,у)1дх'ду^"\.

max (e{0.1.....ЛЧ1) О I '-W ' I

После вычисления полином v ('(*), и(у)) используется для аппрокси-щии част!шх производных и двойных интегралов от функции z = f(x,y) по облас-[ G, при этом ^^ХТ^-^Л/О-Щ,/-'^ >

. = dt/dx, g, = du/dy, \l f(x,y)dxdy « ХГГ 'ЕЛ/г.Д*^)^^' ПослеДнее при-шжённое равенство после преобразований примет окончательный вид:

|>у при « = 0,7+1, ati = 0 при l>j + 2, J = 0,N-i, i = 0,N.

Сходимость предложенного приближения двойных интегралов устанавливает Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1, каково бы ни было натуральное

r = const, последовательность 'У,. Р~ к(t(x),и(у))dtdu сходится на 06-

1сти G из (2.2) к интегралу f{x,y)dxdy при к,—»со, —> 00, h, g — шагиин-рполяции из (2.13). Скорость сходимости оценивается из неравенства

Доказательство теорем 2.1,2.2 приводится в приложении к гл. 2. Схемы обладают естественным параллелизмом. В главе рассматривается по-роение параллельных форм алгоритмов и оценки их временной сложности, со-[асно которым параллельное преобразование аппроксимационного полинома к эрме полинома с постоянными числовыми коэффициентами возможно с логариф-яческой временной сложностью.

В табл. 4 сравнивается абсолютная погрешность аппроксимации известной ункции Франке при помощи сплайнов пятой степени с гладкими частными произ-щными первого порядка и при помощи предложенной варьируемой кусочно-шшомиальной схемы.

Таблица 4

Абсолютная погрешность аппроксимации тестовой функции Франке

Метод Число подобластей Степень полинома Максимум абсолютной погрешности Время Число коэффициентов

Сплайн Sy 2044 5 10" 25 с 25 871

8192 5 10" 326 с 103 041

Варьируемая кусочно-полиномиальная аппроксимация 16 И 10"° 0,01 с 1 248

2048 12 Ю-'5 0,015 с 186 368

4056' 12 Ю-17 0,032 с 372 736

В табл. 5 сравнивается абсолютная погрешность приближённого вычисления юйных интегралов по области [о,1]х[о,1] от функций

= 1/9 ^64 - 81((х - 0,5)2 + (у- 0,5)3) - 0,5, /2 = + + Ъ/Ае^0'™^2

)и помощи предложенной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы сравнива-ся, а также по схемам на основе 5',-, 32-, IV,-сплайнов. При этом приводятся знания N степени аппроксимационного полинома, в скобках приводятся значения 'ела подобластей.

Таблица 5

Абсолютная погрешность приближения двойных интегралов

Метод Интегрируемая функция

А

.V, -ешшйн г„„=210-2 (36) г™„=5-Ю"г (36)

е„„=9-Ю'! (4356) =3-10- (4356)

Л, -сплайн £,„„=5-10-' (36) (36)

(4356) =6-10-'° (4356)

И'j -сплайн imll=M0-' (57) с__- 1-10-' (57)

с„„=3-10-" (8577) £„„-2-10"' (8577)

[Зарьируемая кусочно-полиномиальная схема £„„=6-10^ (2) N = 9 =2-10-" (8) N = 9

£mii = 2-10-" (32) .V = 9 = ЫО '" (128) N = 9

=3-10"'7 (2048) N = 8 = 3-10-" (2048) N = 9

В табл. 6 приводится абсолютная погрешность варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации частной производной д1 соа(х + у)/ дх2.

Таблица 6

Абсолютная погрешность аппроксимации частной производной д1 cos(jt + y)jдх'

у X Приближённой значение частной производной Абсолютная погрешность

О.ОЕ+ОООО О.ОЕ+ОООО -1.0000Е-0000 -1 6054Ё-0014

3.0Е-0001 -9.5534Е-0001 3.3648Е-0016

6.0Е-0001 -8.2534Е-0001 -1.9117E-0G15

9.0Е-0001 -6.2161Е-0001 2.5548Е-0015

3.0K-0001 О.ОЕ+ОООО -9.5534Е-0001 3.3648Ё-0016

ЗОН-ООО 1 -8.2534Е-0001 -1.9117Е-0015

й.ОЕ-ООО! -6.2161Е-0001 2.5548Е-0015

9.0Е-0001 -3.6236Ё-0001 -7.3016Е-0016

6.0Н-0001 О.ОЕ+ОООО -8.2534Е-0001 -1.9117E-0015

ЗОЕ-ООО! -6.2161 Е-0001 2.5548Е-0015

6. OE-OOOI -3.6236Е-0001 -7.3007Е-0016

9.0E-000I -7.0737Е-0002 1.3560Ё-0013

9.0К-0001 0.0Е+0000 -6.2161Е-0001 2.5548Е-0015

3.0Е-0001 -3.6236Е-0001 -7.3013К-0016

6.0Е-0001 -7.0737F.-0002 1.3560К-0013

9.0E-000I 2.2720Е-0001 9.7424Е-0016

Представленные результаты типичны для широкого класса функций. Предложенные методы аппроксимации функций двух переменных и двойных интегралов используются для уточнённого моделирования электронной структуры и электрон-фононного рассеяния в GaAs нанопроволоке.

В третьей главе моделируется электрон-фононное рассеяние в нелегированной GaAs нанопроволоке прямоугольного поперечного сечения с линейными размерами Lx х Lv = 10 нм х 10 нм . С этой целью используется известная модель Хартри-Фока. являющаяся базой для приближённого решения системы самосогласованных уравнений Шрёдингера и Пуассона, принимающая в эффективных единицах для рассматриваемого случая вид математической модели

](-\д + <Р+ Кс j (*> .у) = (*, у\

\у2<р(х, у) = -8 л- р, {ц/{х, у)), с граничными условиями: ц/Хх,у)\п. - 0, (р(х,у)\_<; = 0, где область G рассмотрения системы совпадает с поперечным сечением нанопроволоки, ре(х->у) ~ электронная плотность, <р(х,у) - потенциал Хартри, ц/ п (х, у), Еп — волновая функция и уровень энергии, соответствующие п -й зоне. Для вычисления разрыва зон используется аппроксимация температурной зависимости Пэсслера (PSssler R.). Обменно-корреляционный потенциал F, аппроксимируется соотношением Хедина-Лундквиста (Hedin L.. and Lundqvist В.); для сравнения результатов используется

формула Такагаки-Плуга (Takagaki Y. and Ploog К."). Аппроксимации решений представленной моделирующей системы нелинейных уравнений в частных производных

ищутся в виде: Ф,(х,у), <р{х,у)~^~ vrfXx,y). Данная система

уравнений приближённо решается спектральным методом Галёркина, и в результате сводится к системе матричных равенств:

{Ср = 1р, (Av = f,

где первое равенство соответствует уравнению Шрёдингера, представляет собой полную проблему собственных значений, второе — соответствует уравнению Пуассона, представляя собой систему линейных алгебраических уравнений, -

С, = {£ (-1/2 ^Ф, (*, у)? ф, (х, у)+{<р+ Vic )ф, {х, у]ф, (х, yfjdxdy, Л,=\[Уф,{х,уУ7фХх,у)с1хс1у,

Ф, = -i)*lL,x)sin((iV,_-¡)л/Ьуу).

Полная проблема собственных значений приближённо решается методом QR -итераций, СЛАУ — методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу. Для вычисления двойных интегралов применяется предложенная в гл. 2 варьируемая кусочно-полиномиальная схема, при этом граница абсолютной погрешности аппроксимации подынтегральной функции имеет значение: е = 10"'s. QR-итерации прекращаются, как только модуль наибольшего поддиагонального элемента на текущей итерации становится меньше КГ'7. Самосогласованные итерации завершаются, когда одновременно модуль невязок волновых функций, уровней энергии, потенциала Хартри и электронной плотности становится меньше 10'" . При моделировании учитываются электроны основного и первых двух возбуждённых состояний.

Поведение невязок волновой функции, энергии основного состояния, электронной плотности и потенциала Хартри в зависимости от номера самосогласованной итерации изображено на рис. 1.

* .................................................................................

Рис. 1. Поведение невязки волновой функции (а), энергии основного состояния (б), электронной плотности (•), потенциала Хартри (г) в зависимости от номера итерации

Найденные таким образом приближения волновых функций и уровней жер гии используются для расчета скоростей электрон-фононного рассеяния в рамках модели Борздова, Позднякова, Галенчика, Комарова и др., в которой учитывается столкновительное уширение спектра, а также взаимное влияние механизмов рассея-

ния друг на друга. В рамках такой модели необходимо решать нелинейное относительно столкновительного уширения уравнение вида:

г>- Ак+мХ'+^Г+КТ )=°.

где Г, - столкновительное уширение, \У - скорость электрон-фононного рассеяния, при этом индекс « у » соответствует подзоне энергии, индекс « А » - акустическим фононам, « РО » - полярным оптическим фононам, « а » - поглощению фоно-на, « е » - испусканию, « / » - рассеянию вперёд, « Ь » - рассеянию назад. С целью приближённого решения уравнения используется схема на основе алгоритма сортировки, которая позволяет достигнуть абсолютной погрешности вычисления столкновительного уширения порядка 10"'7. Интегралы перекрытия, являющиеся двойными интегралами от произведения волновых функций по области, совпадающей с поперечным сечением нанопроволоки, вычисляются по предложенной варьируемой кусочно-полиномиальной схеме, за счёт которой абсолютная погрешность аппроксимации подынтегральной функции не превосходит 1(Г17.

На рис. 2 представлены скорости рассеяния электронов на полярных оптических фононах (ПОФ) с испусканием фонона и рассеянием назад (рис. 2~) и вперёд (рис. 2-), а также кривые столкновительного уширения, полученные при аппроксимации по Хедину-Лундквисту (рис. 2~) и Такагаки-Плугу (рис. 2Г).

Г, ,. >ф Гш*срг

а)

Рис. 2. Скорость рассеяния электронов на ПОФ с испусканием фонона и рассеянием назад (а) и вперёд (б), а также кривые столкновительного уширения, при аппроксимации у^ по Хедину-Лундквисту (в) и Такагаки-Плугу (г)

Графики на рис. 2^ показывают, что выбор аппроксимации обменно-корреляционного потенциала существенно влияет на величину столкновительногс уширения подзон возбуждённых состояний, обусловленного взаимодействием электронов с полярными оптическими фононами (пики в «кружочках»).

На основе предложенных численных методов и схем сортировки создан про^ граммный комплекс, использование которого позволяет уточнить в рамках данно!" модели существующие значения и положения пиков скоростей электрон-фононноп рассеяния с учётом квантовых эффектов высокого порядка, а также уточнить расче-столкновительного уширения энергетического спектра.

В приложении к главе детально описан численный эксперимент и результать моделирования р-ОаАз/Л1Аз транзисторной структуры, при этом сравниваются за висимости скоростей рассеяния и столкновительного уширения от кинетическо] энергии электрона.

В заключении обобщаются основные результаты диссертационнои работы характеризуется их научная новизна, отмечается практическое значение проведен ных исследований.

Приложение включает доказательства теорем, коды программ, реализующих математические модели и пpei ложенные методы, результаты программных и численных экспериментов, а также акты об использовании результата диссертационной работы.

Основной результат диссертационной работы заключается в разработке и исследовании компьютерного вар! ируемого кусочно-полиномиального метода приближенного вычисления функций двух переменных, их частных прои: водных и двойных интегралов с применением к моделированию электронной структуры и злектрон-фононног рассеяния в СаАх нанопроеолоках прямоугольного поперечного сечения. В частности, следующие результаты отдич; ются научной новизной:

1. Предложена модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления деист вительных функций одной действительной переменной, отличающаяся от аналогов построением на основе усреднени полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет существенно повь

сить точность при минимизированной временной сложности вычисления. На этой основе даны видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Показана сходимость данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической профессии (С. 36 - 45,46 - 52, 152 - 155).

2. Разработана компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функции двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. На этой основе предложены компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Показана сходимость данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных (С. 64 -74, 77 - 80, 82 - 85, 177 - 181 ).

3. Показан параллелизм предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов вычисления функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов, даны оценки временной сложности на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью (С. 52 - 56, 85 - 88).

4. На основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи алгоритмов сортировки модернизирована математическая модель электронного транспорта в уединенной нелегированной CaAs нанопроволоке с учетом квантовых эффектов высокого порядка, что позволило уточнить численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования CaAs панопроволоки для основного и первых двух возбужденных состояний (С. 99 - 134).

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем. обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. С помощью данного комплекса выполнен численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, который подтвердил существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами. На данной основе разработано расширение программного комплекса для моделирования CaAs нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния (С. 56 - 62, 88 - 96, 115 - 134).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1-Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Идентификация динамических характеристик микрообъекта в бесконечно глубокой потенциальной яме // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки, раздел «Управление, вычислительная техника и информатика». - 2009. -№6. - С. 29 - 35.

2. Ромм Я.Е., Голиков Л.Н. Кусочно-полиномиальная схема вычисления функции и определенных интегралов с повышенной точностью / Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Методы и средства адаптивного управления в электроэнергетике» -2011. — № 2. - С. 38-44.

3. Голиков А.Н. Кусочно-полиномиальная схема аппроксимации функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов с повышенной точностью // Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» - 2011. - № 5. - С. 179 - 186.

Публикации в других изданиях

4. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Применение сортировки для идентификации спектральных линий на модели оптического спектра / ТГПИ. - Таганрог, 2006. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ № 1620-В2006.

5. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Программный поиск экстремальных закономерностей на графических отображениях физических процессов / ТГПИ. - Таганрог, 2008. - 39 с. Деп. в ВИНИТИ № 53 - В2008.

6. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Компьютерные схемы исследования решения нестационарного уравнения Шрёдингера // В кн. Прикладная информатика и математическое моделирование: Межвузовский сборник научных трудов. - М.: МГУП, 2009. - С. 15-23.

7. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Идентификация экстремальных закономерностей решений нестационарного уравнения Шрёдингера для исходно гауссова волнового пакета в бесконечно глубокой потенциальной яме при отсутствии внешних полей / ТГПИ. - Таганрог, 2009. - 137 с. Деп. в ВИНИТИ 05.06.09, № 346-В2009.

8. Голиков А.Н. Идентификация экстремальных закономерностей решении нестационарного уравнения Шрёдингера / В кн. Сборник трудов пятьдесят второй научной студенческой конференции ТГПИ (естественные науки). - Таганрог.: ТГПИ, 2009. - 99 с.

9. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Распараллеливаемые кусочно-полиномиальные схемы аппроксимации функций, производных и вычисления определённых интегралов с повышенной точностью /ТГПИ. - Таганрог, 2010. - 139 с. Деп. в ВИНИТИ 27.04.2010, № 230-В2010.

10. Голиков А.Н. Кусочно-полиномиальное приближение функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов на основе интерполяционных полиномов Ньютона // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. - T.18. - Вып. 5. - с. 760 -761.

11. Голиков А.Н. Самосогласованный расчёт электрон-фононного рассеяния в GaAs нанопроволоках на основе кусочно-полиномиальных схем / ТГПИ. - Таганрог, 2011. - 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14. 11. 2011, № 488-В2011.

12. Голиков A.H. Кусочно-полиномиальные схемы вычисления функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов на основе интерполяционного полинома Ньютона // ТГПИ. - Таганрог, 2010. - 150 с. Деп в ВИНИТИ 20.09.2010, № 528-В2010.

13. Golikov А. N. A piecewise polynomial computer scheme for approximation of functions and double integrals on a circle / Materiály VIII mezinarodnl vëdecko - praktická conference «Ap-likované vëdecké novinky - 2012». - DU 12. Matematika. Fyzika. Modemi informaCni technologie. Vystavba a architektura: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o, 2012 - 88 s.

14. Голиков А.Н. Компьютерный кусочно-полиномиальный метод приближения функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов по кольцевому сектору//Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012.-Т. 19.-Вып. 4.

15. Голиков А.Н. Компьютерное моделирование рассеяния электронов в p-GaAs нано-проволоке в поперечном электрическом поле на основе кусочно-полиномиальных схем // «Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы»: Труды XV международной конференции. - Ульяновск: УлГУ, 2012.

16. Голиков A.H. Приближенное решение самосогласованной системы уравнений Шредингера и Пуассона для нанопроволоки на основе кусочно-полиномиальных схем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. - Т. 19. - Вып. 2. - с. 245 - 246.

17. Голиков А.Н. Компьютерное моделирование электронного транспорта в нанопроволоках на основе кусочно-полиномиальных методов / Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей VI Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом Знаний, 2012. — С. 177 — 179.

18. Голиков A.H. Решение самосогласованной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона для транзисторной структуры p-GaAs/AlAs на основе кусочно-полиномиальных методов // Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы: материалы Междутародной молодежной конференции в рамках фестиваля науки. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. — 148 с.

19. Голиков A.H. Моделирование электрон-фононного рассеяния в p-GaAs/AlAs транзисторной структуре на основе распараллеливаемых кусочно-полиномиальных схем и сортировки 7/ Летняя Суперкомпьютерная Академия: материалы Международной молодежной научной школы. - Воронеж: ИПЦ «Научная книга», 2012. — 88 с.

20. Голиков А.Н., Ромм Я.Е. Равномерная сходимость кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных и двойных интегралов. / ТГПИ. - Таганрог, 2012. — 22 с. Деп. в ВИНИТИ 03.09.2012, № 361-В2012.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве:

[1, 6, 7] — разработка алгоритма для компьютерного моделирования микрообъекта в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме на основе кусочно-полиномиальной схемы аппроксимации подынтегральных функций и определённых интегралов; [2, 9] - модификация схемы и синтез алгоритма кусочно-полиномиальной аппроксимации на основе полусуммы интерполяционных полиномов Ньютона; [4, 5] - адаптация схемы на основе сортировки для обработки моделей оптических спектров; [20] - перенос методики доказательства сходимости кусочно-полиномиального приближения действительных функций одной действительной переменной и определённых интегралов на случай аналогичного приближения действительных функций двух действительных переменных и двойных интегралов.

Голиков А.Н. Заказ №J¿C>Tnpyí¿? экз.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДИФИКАЦИЯ КОМПЬЮТЕРНОГО МЕТОДА КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ.

1.1. Модификация кусочно-полиномиальной схемы аппроксимации функций одной переменной.

1.2. Равномерная сходимость кусочно-полиномиальной схемы аппроксимации функций одной переменной.

1.3. Применение кусочно-полиномиальной схемы для аппроксимации производных и равномерная сходимость процесса численного дифференцирования.

1.4. Применение кусочно-полиномиальной схемы для приближённого вычисления определённых интегралов и равномерная сходимость приближения.

1.5. Временная сложность максимально параллельной формы кусочно-полиномиальных схем.

1.6. Сравнение предложенных схем аппроксимации с известными.

1.7. Выводы.

ГЛАВА 2. КОМПЬЮТЕРНЫЙ МЕТОД КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

2.1. Компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации функций двух переменных.

2.2. Равномерная сходимость компьютерной кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных и численный эксперимент по компьютерной аппроксимации функций.

2.3. Применение компьютерной кусочно-полиномиальной схемы для аппроксимации частных производных.

2.4. Численный эксперимент по аппроксимации частных производных.

2.5. Применение компьютерной кусочно-полиномиальной схемы для приближённого вычисления двойных интегралов и скорость сходимости процесса приближения.

2.7. Временная сложность максимально параллельной формы алгоритмов компьютерной кусочно-полиномиальной аппроксимации.

2.8. Сравнение компьютерных кусочно-полиномиальных схем аппроксимации с известными.

2.9. Выводы.

ГЛАВА 3. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО РАССЕЯНИЯ В ваАв НАНОПРОВОЛОКАХ.

3.1. Самосогласованный расчёт электронной структуры нелегированной ваАБ нанопроволоки.

3.2. Расчёт скорости электрон-фононного рассеяния в нелегированной ОаАэ нанопроволоке.

3.3. Численный эксперимент по моделированию электронной структуры ваАБ нанопроволоки.

3.4. Численный эксперимент по моделированию электрон-фононного рассеяния и физический смысл уточнений.

3.5. Выводы.

Актуальность проблемы. В настоящее время технологии электроники позволяют производить полупроводниковые устройства наномасштаба с различной геометрией, в частности - транзисторы на основе ваАБ квантовых проволок [1 - 3]. Проектирование таких устройств невозможно без предварительного численного и компьютерного моделирования и требует учёта квантовых эффектов высшего порядка в физических уравнениях, а также уточнения численных методов их решения [4].

В квантовых проволоках движение электронов ограничено в двух направлениях, что позволяет использовать для описания кинетических процессов математическую модель одномерного электронного газа [5]. В таком случае [6] электрон-фононное взаимодействие и соответствующие скорости рассеяния [7, 8], а также электронная проводимость [9], электронная структура [10], функции распределения [11] и подзоны энергии [12] претерпевают изменения по сравнению с объёмным полупроводником.

Известно [5, 6], что электрон-фононное рассеяние оказывает существенное влияние на явления электронного транспорта в системах низкой размерности. В частности, от взаимодействия с продольными оптическими фононами зависит подвижность носителей в ОаАБ и скорость насыщения, которые определяют время отклика устройства, рабочие частоты конструируемых микросхем, вольт-амперные характеристики прйбо'ров [6]. Для того чтобы используемая математическая модель электрон-фононного взаимодействия находилась с одной стороны в максимальном согласии с экспериментом, а с другой - не содержала избыточных вычислений, не влияющих на конечный результат, необходимо определить доминирующие механизмы рассеяния [13-17].

Расчёт электрон-фононного рассеяния в нанопроволоках. Для расчёта скорости рассеяния электронов на фононах широко применяется золотое правило Ферми [6] и кинетическое уравнение Больцмана [18] с использованием аппроксимации Фока для само-энергии, основанной на формализме функций Грина [19]. Такой подход позволяет принять во внимание непараболичность дисперсионного соотношения для электронов [20], однако учёт столкновительного уширения подзон энергии, в терминах [15], а также квантовых корреляций между актами рассеяния приводит к теоретическим противоречиям [17], заключающимся в том, что при таком подходе функцией распределения электронов не может быть функция Ферми-Дирака [21-23].

В обзоре Кнезевица, Рамайи и др. [24] для транзисторов со структурой металл-оксид-полупроводник (МОП) на основе нанопроволок показан расчет кулоновского рассеяния, рассеяния на шероховатостях поверхности и рассеяния на акустических и оптических фононах в приближении параболического закона дисперсии при помощи золотого правила Ферми. В [25] учитывается непараболичность подзон энергии размерного квантования, так для скорости рассеяния электронов на акустических фононах приводится выражение вида [25] где Вас - акустический деформационный потенциал, кв - постоянная

Больцмана, Т - абсолютная температура, т - эффективная масса электрона в кристалле, К - редуцированная постоянная Планка, р - плотность кристалла, V - скорость звука в кристалле, ц/п(х,у), у/т{х,у) - волновые функции и-го и т-го квантового состояния соответственно, а - фактор непараболичности, Еу - энергия электрона после рассеяния вида Л + 4аЕ2 -1 ^ 2 а при этом Тмо = 0 для упругого рассеяния, Нсо = Нсо0 для случая эмиссии фонона, Нсо = -Псо0 - для случая абсорбции, Е2 - кинетическая энергия движения вдоль оси нанопроволоки, - единичная функция Хевисайда, для которой справедливо соотношение

0, Ег < О,

1, Ег> 0.

При таком подходе непараболичность дисперсионного соотношения учитывается в (1) введением множителя а, что соответствует, представлению кинетической энергии отрезком ряда вида [26]

Представление энергии вида (2) является частным случаем разложения в виде ряда с постоянными коэффициентами

Приближение (2) является наиболее часто используемым, так как позволяет проводить более точные вычисления по сравнению со случаем параболических подзон, при этом уравнения усложняются не так существенно, как при учёте большего числа членов ряда (3).

Методика самосогласованного вычисления скорости рассеяния электронов на АПОФ и шероховатостях поверхности [4, 15, 23] в СаАв нанопроволоке с учётом столкновительного уширения подзон энергии и взаимного влияния механизмов рассеяния в предположении термодинамического равновесия, предложенная Поздняковым, Галенчиком и др. в [17], позволяет обойти указанные выше теоретические противоречия со статистикой Ферми-Дирака. В [14] вычисляются скорости электрон-фононного рассеяния в рамках подхода [17] с учётом непараболичности дисперсионного соотношения. В рамках такого подхода скорость рассеяния электронов с начальным квантовым состоянием {/,/} в состояние {1,к\ на акустических фононах имеет вид [4]:

2)

3)

7} ^ Ъ- Т / О * — 1 / \ т (£.I I С,Г,^.(».^^(».^Д^^)

1 ¿=1 п \ ( еЛ \2Т„ +2\КЕ~АЕ!,кУ +ГИ у где приняты обозначения из (1), а также Гу - величина столкновительного уширения уровня {*,./}, обусловленного всеми рассматриваемыми механизмами рассеяния, ИзЬ - число рассматриваемых подзон энергии, АЕ^к = ЕРк - Ец, /, у, ^, А: - квантовые числа, описывающие квантование вдоль оси абсцисс и ординат соответственно, при этом полагается, что ось аппликат направлена вдоль оси квантовой проволоки, Е - кинетическая энергия движения электронов вдоль оси нанопровлоки. Интегралы перекрытия вида

ЦУу(х,у^ч/ек(х,у]2еЬс4у, (6) в входящие в выражения (1), (4) вычисляются приближённо. Погрешность приближённого вычисления интеграла (6) в значительной степени влияет на погрешность численного моделирования электрон-фононного рассеяния.

В отличие от работ [24, 25], в рамках подхода [4, 17] для вычисления скорости рассеяния (4) требуется предварительно решить уравнения вида гу(Е)-^К(е>гЛеР°> (7) к где Е - кинетическая энергия движения электронов вдоль оси нанопровлоки,

1¥у {е, Гу (Е)) - скорость рассеяния, соответствующая механизму рассеяния, на который указывает индекс к. Равенство (7) отражает влияние механизмов рассеяния друг на друга и вклад каждого механизма в столкновительное уширение. Уравнение (7) является нелинейным алгебраическим уравнением относительно столкновительного уширения спектра Гу и должно решаться численно для каждого значения Е.

Для решения уравнений вида (7) наиболее часто используют итерационные методы - метод Ньютона или метод Ньютона-Рафсона, -сходимость которых в значительной степени зависит от погрешности начального приближения [26].

В представленном диссертационном исследовании использовался метод решения уравнений вида (7) на основе сортировки [27, 28], который обладает устойчивостью, инвариантностью шагов алгоритма относительно правой части (7), а также параллелизмом. Особенности применения метода на основе сортировки для обработки данных физических экспериментов излагаются в [29 -31].

В [4] отмечается, что для наиболее точного компьютерного моделирования процессов рассеяния необходим самосогласованный расчет уровней энергии и волновых функции электронов.

Самосогласованный расчёт электронной структуры нанопроволоки. Полупроводниковый кристалл принято представлять в виде решётки, заполненной электронным газом, в узлах которой помещены атомы. Кристалл в рамках такой модели является многочастичной системой, а уравнение Шрёдингера в таком случае будет иметь вид [32]: где хР(г1,51,.гЛ,,5'Л,) - многочастичная волновая функция, г - радиус-вектор л электрона, 5 - спин, Н - гамильтониан, N - число электронов в моделируемом кристалле.

Волновая функция в равенстве (8) зависит от 37У пространственных переменных и N спинов, что при увеличении числа электронов N влечёт вычислительные трудности при решении уравнения (8), заключающиеся в экспоненциальном росте объёма требуемой памяти и погрешностей приближения - так называемая катастрофа Ван Флека-Инглиса [33, 34]. Так при рассмотрении ТУ = 1000 электронов и при использовании <7 = 3 бит на одну переменную для записи волновой функции потребуется В = д2М «10ьо° бит памяти [35], что делает невозможным использование математического аппарата многочастичных волновых функций для практических приближённых расчётов сложных квантовых систем.

С целью упрощения математических моделей, а именно для использования формализма одночастичных волновых функций, вводят следующие допущения.

Первое допущение - приближение Борна-Оппенгеймера [36], заключающееся в раздельном описании движения атомов кристалла и электронов. Движение электронов определяется мгновенным положением ионов, а медленное движение ионов определяется средним распределением электронов в кристалле. Сделанное предположение корректно в силу значительной разницы - на 4-5 десятичных порядков - масс электронов и ионов.

Второе допущение - это приближение самосогласованного поля, предложенное Хартри [37 - 40] и Фоком [41], состоящее в замене задачи о расчёте взаимодействия электронов друг с другом и ионами решётки задачей о расчёте взаимодействия одного электрона с усреднённым самосогласованным полем. Действие самосогласованного поля на электрон считается эквивалентным действию остальных электронов и ионов.

В работах Томаса [42] и Ферми [43] в 1927 г. предполагалось, что кинетическая энергия Ек взаимодействующих электронов может быть представлена как кинетическая энергия свободных электронов во внешнем поле, тогда средняя энергия электронов Етг зависит только от электронной плотности вида

Г)= , (9) где Ч^г,,^,.^,^) - решение уравнения (8), х^*(г1,51,.гдг,5дг) - функция комплексно сопряжённая с Ч^г,,^,.!^,^), N - число моделируемых электронов.

Теоремы Хоэнберга-Кона [44] устанавливают существование функционала ETF\n{г)] для многоэлектронных систем [35] при абсолютном нуле температур, а в работе Мермина [45] действие теорем Хоэнберга-Кона распространяется на случай температур отличных от абсолютного нуля.

В работе [46] Коном и Шэмом предложен способ приближённого построения функционала ЕТР [«(г)].

Теоремы Хоэнберга-Кона и подход Кона-Шэма составляют базис теории функционала плотности (DFT - density functional theory), в рамках которой поведение электронов в кристалле описывается одночастичным уравнением Кона-Шэма вида [46]:

-^rVV(r)+te(rVW = £^(r). (Ю)

2m где первое слагаемое в левой части отвечает за кинетическую энергию электрона, второе - соответствует взаимодействию электрона с полем, ^ обладающим потенциалом (pKS{r), полученным из функционала Кона-Шэма для энергии [46]: pM = <Pext(r)+<pH{r)+<pxc(r)i (П) при этом (рн (г) - потенциал Хартри самосогласованного поля, срш (г) -потенциал поля ионов решётки, (рхс (г) - обменно-корреляционный потенциал.

При наличии точного аналитического выражения для <рхс(г) из (И) уравнение (10) точно опишет состояние электронов в кристалле при сделанных допущениях, однако точного выражения для обменно-корреляционного потенциала не существует [47]. Наиболее простая и часто используемая аппроксимация обменно-корреляционного взаимодействия -это аппроксимация локальной плотности (LDA - local density approximation) - физичекая модель, в рамках которой полагается, что обменно-корреляционный потенциал зависит только от электронной плотности в текущей точке.

В зависимости от области квантово-механической задачи могут использоваться различные аппроксимации обменно-корреляционного потенциала. Так потенциалы, используемые при расчёте атомных орбиталей [50, 51] являются источником значительной погрешности при расчёте электронной структуры, в силу необходимости учёта неоднородности поля вблизи иона. По той же причине потенциалы пригодные для вычислений поведения электрона во всём моделируемом устройстве повлекут существенные неточности при использовании их в области квантовой химии.

С вычислительной точки зрения на выбор конкретной аппроксимации обменно-корреляционного потенциала влияют также налагаемые ограничения временной сложности [50]. Под временной сложностью понимается время работы программного комплекса без учёта накладных расходов связанных с обращениями к памяти и простоем операционной системы.

Аппроксимация обменно-корреляционного потенциала по Беку и Джонсону [52], а также его модификация Трана и Блахи [53], позволяет получить большее согласие с экспериментом в задачах о расчете электронной структуры полупроводника, но при этом необходимо при каждом вычислении обменно-корреляционного потенциала решать нелинейное алгебраическое уравнение, что повышает временную сложность алгоритмов.

С целью учёта в уравнении (10) периодичности потенциала атомов решётки кристалла, и чтобы оперировать представлениями классической физики, в частности вторым законом Ньютона, вводят формализм эффективной массы [54], в рамках которого уравнение Кона-Шэма (10) принимает вид уравнения Шрёдингера в форме БенДаниэла-Дюка [55, 56]:

-и ' 2

1 Л У^(г) +К(гУ(г) = £^(г). (12) т (г) у

Потенциал Хартри удовлетворяет уравнению Пуассона вида [4]:

13) л где /?е(^/(г)) - электронная плотность с учётом заселённости подзон размерного квантования у 2

Ре(Г)= Е Пк\¥к(Г) I >

14) при этом И5Ь - априори заданное число моделируемых подзон размерного квантования. Населённость к -й подзоны пк квантовой проволоки имеет вид где Е1 - энергии / -го состояния, кв - постоянная Больцмана, Т -абсолютная температура, Ер - уровень Ферми, Е - кинетическая энергия электрона.

Электронную структуру полупроводниковых кристаллов принято описывать системой уравнений (12), (13) которая является нелинейной, так как в уравнение Пуассона (13) входит электронная плотность (14) явно зависящая от волновой функции, а потенциал Хартри, определяемый уравнением (13), входит в уравнение (12), определяющее волновую функцию.

Для системы уравнений (12), (13) часто выбирают граничные условия Дирихле [31, 58, 59], при этом математические выражения условий зависят от постановки физической задачи и моделируемого устройства. Так при моделировании гетеропереходов граничные условия имеют вид [32, 58]

57]: где дН - граница гетероперехода, сЮ - граница устройства, ц/х(г), ц/2{г) -волновые функции электронов в первом и во втором полупроводнике гетероперехода соответственно, (рх (г), (р2 (г) - потенциалы Хартри в первом и во втором веществе, , Ф1? Ф2 - константы, определяемые веществами, образующими гетеропереход. Последние два равенства в системе (25) физически означают, что электрон не может покинуть границы устройства.

Таким образом, система уравнений (12), (13) с граничными условиями (17) составляют задачу самосогласованного расчёта электронной структуры полупроводникового кристалла, входящего в моделируемое устройство. В ходе решения системы вычисляются волновые функции основного и возбуждённых квантовых состояний, потенциал Хартри, а также уровни энергии размерного квантования.

Система уравнений Шрёдингера и Пуассона не имеет [57] точного аналитического решения, поэтому в настоящее время остаётся актуальной [57, 58] задача численного решения задачи (12), (13), (17).

Вне зависимости от используемых численных методов блок-схема самосогласованных итераций, как правило, имеет вид, представленный на рис. 1 [60]:

Рис. 1. Блок-схема самосогласованных итераций

Метод конечных разностей (МКР). Суть метода конечных разностей применительно к задаче (12), (13), (17) кратко заключается в следующем.

Пусть для определённости рассматривается нанопроволока прямоугольного поперечного сечения, и пусть для простоты полагается изотропия эффективной массы, что справедливо, например, дл[32]. В таком случае уравнения (12), (13) составят систему вида П

2 г э2 г2 л

2 т г д2 дх2 ду2 у/(х, у) + У(х, у)//(х, у) = Еу/{х, у),

52 \ кдх2 ду2,

8 ж

18)

Рн(Х>У) =--РеЫХ'У)\ ееп с областью рассмотрения вида

С = {(х,у)\хе[а,Ь],уе[с,с1]}с1112. (19)

Нанопроволока, моделируемая системой (18) на области (19), представлен на рис. 2-, расчёт его электронной структуры важен для разработки двухзатворных гетероструктурных транзисторов на основе ваАБ нанопроволок [4, 15], возможная структура которых в поперечном разрезе представлена на рис. 2-. б) У

Ш П-А1АБ ш р-ваАБ

ЦР П-АЬАБ

Затвор 1

Затвор 2 О

Рис. 2. Нанопроволока (а) и поперечное сечение двухзатворного транзистора на её основе (б)

С целью решения системы (18) методом конечных разностей на области (19) задаётся равномерная сетка с узлами (л;г , х{ = а + Шх, (20)

У1=Ь + ]Ъу, (21) где I = 0, Мх , у' = 0,Л^, кх =(Ь-а)/Ых, ку={с1-с)^у, - число узлов сетки вдоль оси абсцисс, N - число узлов сетки вдоль оси ординат.

Значения Nх, Nу задаются априори.

В уравнениях (12), (13), (17) частные производные заменяются конечными разностями, что влечёт

Пл

2т

Ум,] ~ЪГи+У^-и ^ 1" 2Уи + ■ у + А'-Ц { <Ри+1 - + <Ри-1 ^

Ь2Х к2у

8 ж ееп

Ре Л

22) где г = 0,Л^, / = 0,^, Л^ из (20), Л^ из (21).

Изменение нумерации узлов (28), (29) при помощи соотношения к = 1Ыу+],

23) где / = 0,ЫХ, у = 0, ТУ , Л^ из (20), N из (21), приведёт систему (22) к виду п2 (ук+и] ~2Ук | ¥к+, -г¥к +¥кх

2т

Рк+и] ~ 2<Рк +<Рк-м, + <Ры- 2(рк + <ркх Уку/к=Еу/к, К К

8 л

24)

Ре(Ук\ где к = 0,Л^.

В [61] показано, что первое равенство системы (24) является полной проблемой собственных значений с блочно симметричной матрицей, второе равенство совместно с условиями (17) - конечно-разностная аппроксимация задачи Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных эллиптического типа [62].

Решение задачи для аппроксимации уравнения Пуассона из (24) с условиями (17) детально описано в [62] и здесь не приводятся в силу громоздкости. Кратко суть метода [62] заключается в перенумеровании узлов сетки и решении полученной таким образом системы линейных алгебраических уравнений.

Для решения полной проблемы собственных значений обычно используют итерационные методы: -алгоритм [63], итерации Чебышева [64], метод Якоби [65] или Якоби-Дэвидсона [66, 67].

При использовании ОЯ -алгоритма на каждой итерации исходная матрица представляется в виде произведения двух матриц - ортогональной и правой треугольной, при этом наиболее часто используется устойчивый вариант ортогонализации Грама-Шмидта [63], при этом отмечается, что сходимость ортогонализации [63] и -алгоритма [68] чувствительна к погрешностям вычисления матричных элементов.

Сходимость методов Якоби и Якоби-Дэвидсона помимо зависимости от погрешности матричных элементов имеет существенную зависимость от начального приближения собственных значений [66 - 68].

В [26, 68] показывается чувствительность схем приближённого решения проблемы собственных значений к погрешностям входных данных, поэтому задача снижения погрешности конечно-разностных аппроксимаций остаётся актуальной.

Контроль точности полученных приближённых решений осуществляется при помощи условий вида

25) для самосогласованного потенциала из (22),

26) для волновой функции, и п п

27) для уровней энергии размерного квантования, при этом к - номер самосогласованной итерации, i из (20), j из (21), п - номер квантового состояния.

При использовании конечно-разностного подхода удаётся достичь невязки уровней энергии (27) порядка Ю-7 за 15 самосогласованных итераций [69] и снизить невязку потенциала (25) до 10~10 за 70-80 итераций [60].

Метод Галёркина. Приближённое решение уравнений системы (18) ищется в виде отрезков ряда N

1 terms

Vn{x>y)* ^Рп,1ФАх>У)> (28) 1 N

4 terms

Ф>у)™ (29) 1 где Nterms задаётся априори, п - номер квантового состояния, ф^х.у) -базисные функции, которые должны удовлетворять следующим условиям [62]:

1) функции ф{{х,у) дважды непрерывно дифференцируемы в области G из (19) и на её границе;

2) любое конечное их число линейно независимо;

3) для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции ^.(jc,^), удовлетворяющей граничным условиям, и для любого е > 0, найдутся такие линейные комбинации (28), (29), которые обратят уравнения системы (18) в верные равенства с точностью до е. Подстановка аппроксимаций (28), (29) в уравнения (18) с приведением подобных влечёт [70]:

N terms . I . N

14 terms En Z JJ Ф1{х,у)ф\х,у)(Ьсаурр (30)

J = 1 G

N terms „ „ ^,erms

7 = 1 G 7 = 1 G где / = 0,Л^ .

Систему (30) можно представить в матричном виде

Ср = 1р,

Av = f,

31) где I - единичная матрица, пг dxdy, (32)

C'j= Я -Т-^уфХх'У^ФМУУрФ&УУРМУ)

GV ^ /

Aj = Я Уф,(х,у)?ф;(х,у)<Ь4у, (33) G

Я Ре&УШХ'У^Лу, (34) при / = 0, Ы{егш -1,7=0, -1.

Первое равенство системы (31) представляет собой полную проблему собственных значений [70], второе - систему линейных алгебраических уравнений [70].

Так как алгоритмы приближённого вычисления собственных чисел и собственных векторов чувствительны к погрешностям входных матричных элементов [68] и интегралы (32) - (34) в общем случае не могут быть вычислены аналитически, остаётся актуальной задача наиболее точного приближения двойных интегралов вида (32) - (34).

Метод конечных элементов (МКЭ). Кратко идея метода конечных элементов заключается в следующем [71].

Область рассмотрения (19) разбивается на конечное число подобластей, в каждой из которых решение ищется в виде (28), (29).

Коэффициенты разложения (28), (29) находятся из условия равенства аппроксимантов на границах подобластей и выражаются через значения аппроксимирующих функций в узлах на границах подобластей.

Число алгебраических уравнений равно числу значений аппроксимирующих функций в узловых точках, поэтому получаемые системы принципиально разрешимы по теореме Крамера.

Так, применительно к рассмотренной выше квантовой проволоке, область (19) разбивается на равные прямоугольные подобласти вида {(*> У)\ х е к > Уу-1 ] }> (35) где к вычисляется аналогично (23), при этом I = 0,ЫХ, у = , Л^ - число подобластей вдоль оси абсцисс, N - число подобластей вдоль оси ординат. В каждой подобласти (35) задаются узлы вида (х; к), х1е=х1+£кх, (36) где £ = 0,пх, к = 0,пу , кх = (х( -)/пх , \ = ^ -у^)/пу , / = ] = 0,Иу, из (35), пх, пу - число узлов вдоль осей абсцисс и ординат соответственно, определяемое видом приближённых решений (28), (29).

В граничных узлах (36), (37) налагается условие равенства аппроксимирующих функций для внутренних подобластей (35), либо равенства аппроксимирующей функции и граничных условий для граничной подобласти, при этом граничной подобластью считается подобласть, хотя бы одна из границ которой частично или полностью совпадает с границей области (19), остальные подобласти называются внутренними. Аналогично определяются граничные и внутренние узлы в подобласти (35).

Узлы (36), (37) используются для приближённого вычисления интегралов (32) - (34) конечно-разностными схемами.

Метод конечных элементов сам по себе не предусматривает [71] подбора размера подобластей и шага узлов для более точного вычисления интегралов (32) - (34). На этом основании, а также по причине чувствительности устойчивости алгоритмов приближённого решения проблемы собственных значений к погрешностям входных данных, задача наилучшего в смысле снижения погрешности аппроксимации отрезками ряда (28), (29) разбиения области (19) на подобласти, а также наилучшего в названном смысле задания узлов (36), (37) остаётся актуальной.

На рис. 3 показано поведение невязки (25) потенциала Хартри [69].

Рис. 3. Сходимость метода конечных элементов

Из рис. 3 видно, что в рамках метода конечных элементов удаётся получить невязку потенциала (25) порядка Ю-5 [70].

Вейвлет-подход в методе конечных элементов (МКЭ + вейвлет). В рамках вейвлет-подхода [72] решение задачи (18), (17) ищется в виде

Р&У)* Е^дйд^'Л (39) е,к,д где индексы И, к определяют узлы (36), (37), а для функций базиса выполняются равенства ф?,к{х,у) = ф{ф-1)ф[у^-к\

Фе,к{х>у) = Их/к -£)ф{у!ё - к), $1к (х> у) = Ф{х/к - у/8 - к), $1к (*> у) = ¥{х/к - - к\ т ф(х)=у/2 у=1 -т т ф(у) = Л ^Ф(2у-Л

7=1 ~т т у/{х) = л[2 2х~Л у=1 -т т у/(у) = у12

7=1 -т

41) где £ = 1, = ' 7 = .

Аппроксимации (38), (39) с учётом (40), (41) подставляются в систему (18) по аналогии с методом Галёркина, после чего вычисляются матричные элементы аналогичные (32) - (34) и задача (0,18), (17) сводится к полной проблеме собственных значений и системе линейных алгебраических уравнений.

На рис. 4 показано поведение невязки уровней энергии (27) в зависимости от шага сетки с узлами вида (36), (37).

Ii (bohr)

Рис. 4. Сходимость метода конечных элементов при вейвлет-подходе

Из рис. 4 видно, что при использовании вейвлет-разложения невязка уровней энергии (27) составляет величины порядка 1(Г5ч-1(Г6 в исследованиях [72].

Сравнительная характеристика численных методов. В табл. 1 сравниваются невязки потенциала Хартри (25), уровней энергии размерного квантования (27), а также навязки электронной плотности вида

8Ре (х^Ц ре%,,У;)- ре{к-1){Х1,У; )| (42) где к - номер самосогласованной итерации. Прочерк в табл. 1 означает, что в рамках работы поведение соответствующей невязки не исследовалось, аббревиатура МСЭ соответствует методу спектральных элементов [73].

Таблица 1

Сравнение невязок

Численный метод 5<р 8Ре SE Источник

МКЭ + вейвлет - - 1(Г6 [74]

МКЭ Ю-6 - - [75]

МКЭ + вейвлет - - ю-10 [73]

МСЭ ю-10 - ю-14 [76]

МКР - ю-2 - [77]

МКР - - ю-5 [69]

МКР ю-10 ю-2 - [60] мкэ Ю-4 Ю-2 - [70]

Из табл. 1 видно, что наибольшего снижения невязок удаётся достичь при помощи методов, построенных на основе метода Галёркина, - метода конечных элементов и метода спектральных элементов. Из названных методов большей точностью в терминах (25), (27), (42) и более быстрой сходимостью обладают методы, в рамках которых удаётся наилучшим образом приблизить интегралы вида (32) - (34).

В связи с ростом массовой доступности аппаратных средств для параллельных вычислений повышается актуальность распараллеливаемых численных схем [79, 80], при этом известно [81], что алгоритмы, обладающие естественным параллелизмом на практике показывают большую эффективность распараллеливания.

В настоящее время широкое распространение получили программные комплексы, ориентированные как на решение отдельных задач вычислительной математики, так и на решение совокупности задач по моделированию объектов физики и химии. К таковым относятся пакеты ARPACK [82], Ш-SPEED (Highly specific but edgily effective data-processing) software packets [83], CCP6 (Collaborative Computational Project on Molecular Quantum Dynamics) [84, 85], SiLENSe [86, 87], SIESTA (Spanish Initiative for Electronic Simulations with Thousands of Atoms) [88, 89] и др.

Несмотря на то, что стандартные библиотеки и комплексы программ дают возможность решать с различной точностью подавляющее большинство возникающих вычислительных задач и задач компьютерного моделирования, их общим недостатком является то, что попытки учесть конкретную аппаратную архитектуру, приводят к трудностям переносимости программ [90 - 92], а стремление к платформонезависимости приводит к снижению производительности в силу усложнения вычислительной среды, например обработки байт-кода в JVM (Java Virtual Machine) [81, 92].

При реализации параллельных программ на практике производительность существенно зависит от метода потоковой обработки [92] и соответствия метода и алгоритма используемой аппаратной части [93, 94].

Таким образом, актуальной является задача математического построения схем приближённого вычисления действительных функций одной действительной переменной, их производных и определённых интегралов, а также схем приближённого вычисления действительных функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов. Реализация на основе построенных схем компьютерных программных комплексов позволит более точно вычислять населённость подзон вида (15), а, следовательно, - более точно вычислять электронную плотность (14) и правую часть уравнения Пуассона (13), что снизит влияние погрешности вычисления элементов матрицы f на устойчивость вычисления аппроксимации (29) потенциала Хартри. Аналогично более точное вычисление на указанной основе элементов матриц А, С, f, представляющих собой двойные интегралы вида (32) - (34), снизит влияние соответствующих погрешностей на сходимость итерационных методов приближённого решения полной проблемы собственных значений. Конструируемые алгоритмы при этом должны по построению обладать минимальной временной сложностью и естественным параллелизмом. Более точно, формулируется следующая цель.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование варьируемых компьютерных кусочно-полиномиальных схем приближённого вычисления с высокой точностью и малой временной сложностью действительных функций одной и двух действительных переменных, производных от них, а также определённых интегралов для моделирования электрон-фононного рассеяния в нелегированной GaAs нанопроволоке.

Для достижения поставленной цели в диссертационном исследовании поставлены следующие задачи:

1. Построить программно варьируемую кусочно-полиномиальную схему вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усредненной суммы интерполяционных полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале. На этой основе разработать видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов. Обосновать сходимость и оценить скорость сходимости данного приближения функций и определённых интегралов.

2. Разработать программно варьируемую кусочно-полиномиальную схему аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с варьируемыми степенью и числом подобластей. На этой основе разработать методы аппроксимации частных производных и приближения двойных интегралов по прямоугольной области. Доказать сходимость и оценить скорость сходимости данных приближений функций и двойных интегралов.

3. Оценить временную сложность предложенных варьируемых кусочно-полиномиальных вычислительных алгоритмов на модели неветвящихся параллельных программ.

4. На основе предложенных кусочно-полиномиальных схем вычисления двойных интегралов, а такж:е схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки выполнить моделирование электронного транспорта в нелегированной ваАБ нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Уточнить известные численные значения экстремумов скоростей электрон-фононного рассеяния и уточнить значения уровней энергии размерного квантования ОаАэ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний.

5. Создать программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности. На основе комплекса провести численный эксперимент по приближению рассматриваемых функций, производных и интегралов. На этой же основе разработать программный комплекс по моделированию ваАБ нанопроволок и сравнить полученные результаты моделирования с результатами моделирования на базе других вычислительных подходов.

Методы исследования включают интерполяционные методы аппроксимации действительных функций одной и двух действительных переменных, численные методы алгебры и математического анализа, методы приближённого решения нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, элементы теории сложности, методы математического, численного и компьютерного моделирования объектов и устройств наноэлектроники с двумерным квантованием, методы объектного и многопоточного программирования.

Достоверность результатов диссертации следует из их корректного математического обоснования, аналитических оценок скорости сходимости и погрешности приближений, подтверждается результатами численного и программного эксперимента, а также результатами компьютерного моделирования.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложена модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной, отличающаяся от аналогов построением на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет существенно повысить точность при минимизированной временной сложности вычисления. На этой основе даны видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Показана сходимость данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической прогрессии (С. 36 - 45, 46 - 52, 152 - 155).

2. Разработана компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. На этой основе предложены компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Показана сходимость данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных (С. 64 - 74, 77 - 80, 82 - 85, 177 — 181).

3. Показан параллелизм предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов вычисления функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов, даны оценки временной сложности на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью (С. 52 - 56, 85 - 88).

4. На основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи сортировки модернизирована математическая модель электронного транспорта в уединённой нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, что позволило уточнить значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования С а Ли нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний (С. 99 - 134).

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. С помощью данного комплекса выполнен численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, который подтвердил существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами. На данной основе разработано расширение программного комплекса для моделирования СаАБ нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния (С. 56-62, 88-96, 115- 134).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложена модификация варьируемой компьютерной кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения интерполяционных полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет на порядок снизить границы абсолютной погрешности аппроксимации. На этой основе разработаны видоизменения варьируемых кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов. Даны оценки сходимости и скорости сходимости предложенных схем.

2. Разработана программно варьируемая кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной границы погрешности вычисления функции. На этой основе построены методы аппроксимации частных производных и приближения двойных интегралов по прямоугольной области. Доказана сходимость процесса приближения функций и двойных интегралов сконструированных схем со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой переменной.

3. Даны оценки временной сложности предложенной модификации кусочно-полиномиального метода на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамическое построение базового алгоритма кусочно-полиномиальной аппроксимации можно выполнить с логарифмической временной сложностью.

4. Модернизация математической модели электронного транспорта в уединённой нелегированной ОаАэ нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка на основе предложенных кусочно-полиномиальных методов вычисления двойных интегралов с применением схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки. В результате получены уточнения известных значений пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уточнения уровней энергии размерного квантования ОаАБ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. Показано влияние аппроксимаций обменно-корреляционного взаимодействия на соотношение вкладов механизмов рассеяния.

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности, а также существенное повышение точности предложенных варьируемых кусочно-полиномиальных схем по сравнению с известными методами. Построен программный комплекс по моделированию СаАв нанопроволок, позволяющий рассчитать уточнённые численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования ваАБ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. Согласно численным и программным экспериментам на основе данных комплексов точность расчетов таких параметров математической модели диффузионного электронного транспорта как скорость электрон-фононного рассеяния и столкновительное уширение спектра более чем на порядок превышает точность расчетов известными методами.

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных численных методов варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации действительных функций одной и двух действительных переменных, соответствующих прямых и частных производных, а также определённых и двойных интегралов, которые используются в качестве численной и алгоритмической базы для компьютерной реализации математического моделирования GaAs нанопроволок прямоугольного поперечного сечения. Результаты моделирования необходимы для конструирования полевых транзисторов с высокой подвижностью электронов (НЕМТ - high electron mobility transistor) на основе нанопроволок, уточнённого расчёта их электронной структуры, электрон-фононного рассеяния и, в конечном счёте, для моделирования высокоскоростных устройств наноэлектроники. В частности, повышение точности моделирования критически важно при расчёте электронного транспорта с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Предложенные варьируемые кусочно-полиномиальные методы доведены до практической реализации в виде программного комплекса аппроксимации функций, производных и интегралов, который минимизирует одновременно временную сложность и абсолютную погрешность.' На этой основе разработан расширенный программный комплекс для компьютерного моделирования электронной структуры и электрон-фононного рассеяния нанопроволок и транзисторных структур, ориентированный на создание высокоскоростных устройств наноэлектроники.

Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:

1. В НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. ЮФУ приняты к использованию следующие материалы диссертации:

1.1. Представленные в гл. 1 модификации варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, позволяющие достигать высокой точности при минимизированной временной сложности вычисления, а также видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида (С. 36 - 45, 46 - 52, 152 - 155).

1.2. Представленная в гл. 2 кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, позволяющая минимизировать временную сложность вычисления функции для заданной границы погрешности, а также компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов (С. 64 - 74, 77 - 80, 82 - 85, 177 - 181).

1.3. Представленный в гл. 3 метод численного моделирования электронного транспорта в уединённой нелегированной ваАз нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, позволяющий уточнить значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования ОэАб нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний (С. 99 - 134).

1.4. Разработанный в диссертации программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности, с помощью которого осуществляется численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, подтверждающий существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами, а также разработанное расширение программного комплекса для моделирования ваАв нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния (С. 56 -62, 88 - 96, 115 - 134). В частности, предложенные программные пакеты используются для снижения границы абсолютной погрешности приближённого решения самосогласованной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона при моделировании электронного транспорта.

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на:

- Пятьдесят второй научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009);

-III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009);

-IV Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2010);

- Пятьдесят третьей научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2010);

-Всероссийской научно-технической конференции с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011);

- XII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи-Адлер, 2011);

- VIII Международной научно-практической конференции «Aplikované vëdecké novinky - 2012» (Czech, Praha, 2012);

- VI Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем (МК-70-912)» (Пенза, ПГУ, 2012);

- XIII Всероссийской (с международным участием) научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука XXI века» (Красноярск, КГПУ им. В.П. Астафьева, 2012);

-XIII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (летняя сессия) (Петрозаводск, 2012);

- XV Международной конференции «Опто-, наноэлектроника, нанотхнологии и микросистемы» (Ульяновск, УлГУ, 2012);

- Международной молодежной конференции в рамках фестиваля науки «Микроэлектронные информационно-управляющие системы и комплексы» (Воронеж, ВИВТ, 2012);

-Международной молодежной научной школе в рамках фестиваля науки «Летняя Суперкомпьютерная Академия» (Воронеж, ВИВТ, 2012);

-XIII Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи-Вардане, 2012).

Публикации. По материалам работы опубликовано 20 печатных работ общим объёмом более 25 печатных листов, из них 3 в журналах из перечня, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов исследований кандидатских диссертаций.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений к трём главам. Основное содержание изложено на 158 страницах, включая список литературы из 139 наименований, приложение изложено на 67 страницах, включает коды программ, реализующих исследуемые математические модели и предложенные численные методы.

3.5. Выводы

1. Выполнено моделирование уединённой нелегированной ОаАэ нанопроволоки, отличающееся от известных тем, что основано на предложенных вычислительных методах сравнительно высокой точности. В результате достигнуто уточнение численных параметров существующих моделей обменно-корреляционного потенциала при аппроксимации локальной плотности.

2. На основе предложенных кусочно-полиномиальных методов вычисления двойных интегралов и схем вычисления корней полиномов при помощи сортировки получены уточнения известных численных значений пиков скоростей электрои-фононного рассеяния, а также уточнения электронной структуры ваАз нанопроволоки (при аппроксимации коэффициентов рядов, определяющих потенциал Хартри и волновые функции электронов основного и первых двух возбуждённых состояний).

3. Разработан программный комплекс для моделирования ваАз нанопроволок, который отличается от известных по построению на основе кусочно-полиномиальных методов и повышенной точностью численного моделирования, что позволяет уточнить математические модели рассеяния электронов нескольких подзон на полярных и оптических фононах с учётом столкновительного уширения энергетического спектра и взаимной корреляции механизмов рассеяния.

4. На основе полученных уточнений дана физическая интерпретация соответствия между пиками столкновительного уширения и пиками кривых электрон-фононного рассеяния, что позволяет определить доминирующий механизм рассеяния. В технологическом аспекте уточнения рассматриваемой модели позволяют повысить точность расчета времени отклика электронного устройства, температурного режима его работы, а также кондактанс в смысле электрической проводимости в зависимости от химического состава и геометрической формы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной результат диссертационной работы заключается в разработке и исследовании компьютерного варьируемого кусочно-полиномиального метода приближённого вычисления функций двух переменных, их частных производных и двойных интегралов с применением к моделированию электронной структуры и электрон-фононного рассеяния в GaAs нанопроволоках прямоугольного поперечного сечения. В частности результаты отличаются следующей новизной:

1. Предложена модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной, отличающаяся от аналогов построением на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет существенно повысить точность при минимизированной временной сложности вычисления. На этой основе даны видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Показана сходимость данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической прогрессии (С. 36 - 45, 46 - 52, 152 - 155).

2. Разработана компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. На этой основе предложены компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Показана сходимость данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных. (С. 64 - 74, 77 - 80, 82 - 85, 177 -181)

3. Показан параллелизм предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов вычисления функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов, даны оценки временной сложности на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью. (С. 52 - 56, 85 - 88)

4. На основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи алгоритмов сортировки модернизирована математическая модель электронного транспорта в уединённой нелегированной СаАэ нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, что позволило уточнить численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования СаАэ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. (С. 99 - 134)

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. С помощью данного комплекса выполнен численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, который подтвердил существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами. На данной основе разработано расширение программного комплекса для моделирования СаАв нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния. (С. 56-62, 88-96, 115- 134)

В частности работа содержит следующие научные результаты:

1. Модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, минимизацией временной сложности для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. Видоизменение кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Доказательство сходимости данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической прогрессии.

2. Компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, с минимизацией временной сложности для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. Компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Доказательство сходимости данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных.

3. Даны оценки временной сложности предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью.

4. Модернизация вычислительных алгоритмов математической модели электронного транспорта в уединённой нелегированной ОаАз нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, уточнение численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования в а Аз нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний на основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи алгоритмов сортировки.

5. Программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. Расширение на данной основе программного комплекса для моделирования ваАБ нанопроволок, с помощью которого уточнены численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложена модификация компьютерной варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной, отличающаяся от аналогов построением на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, что позволяет существенно повысить точность при минимизированной временной сложности вычисления. На этой основе даны видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида. Показана сходимость данных приближений функций и определённых интегралов со скоростью геометрической прогрессии (С. 36 - 45, 46 - 52, 152 - 155).

2. Разработана компьютерная кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных, отличающаяся от известных по построению на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, что позволяет минимизировать временную сложность для произвольно заданной в рамках числового диапазона языка программирования границы погрешности вычисления функции. На этой основе предложены компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов по прямоугольной области. Показана сходимость данных приближений функций и интегралов со скоростью произведения геометрических прогрессий по каждой из двух переменных. (С. 64 - 74, 77 - 80, 82 - 85, 177 -181)

3. Показан параллелизм предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных алгоритмов вычисления функций двух действительных переменных, частных производных и двойных интегралов, даны оценки временной сложности на модели неветвящихся параллельных программ, согласно которым динамический синтез данных алгоритмов можно осуществить с логарифмической временной сложностью. (С. 52 - 56, 85 - 88)

4. На основе предложенных компьютерных схем вычисления двойных интегралов и нахождения корней полиномов при помощи алгоритмов сортировки модернизирована математическая модель электронного транспорта в уединённой нелегированной СаЛБ нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, что позволило уточнить численные значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования СаАБ нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний. (С. 99 - 134)

5. Разработан программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности. С помощью данного комплекса выполнен численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, который подтвердил существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами. На данной основе разработано расширение программного комплекса для моделирования СаАь нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния. (С.

56-62, 88-96, 115- 134)

Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных численных методов варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации действительных функций одной и двух действительных переменных, соответствующих прямых и частных производных, а также определённых и двойных интегралов, которые используются в качестве численной и алгоритмической базы для компьютерной реализации математического моделирования GaAs нанопроволок прямоугольного поперечного сечения. Результаты моделирования необходимы для конструирования полевых транзисторов с высокой подвижностью электронов (НЕМТ - high electron mobility transistor) на основе нанопроволок, уточнённого расчёта их электронной структуры, электрон-фононного рассеяния и, в конечном счёте, для моделирования высокоскоростных устройств наноэлектроники. В частности, повышение точности моделирования оказывается критически важным при расчёте электронного транспорта с учётом квантовых эффектов высокого порядка. Предложенные варьируемые кусочно-полиномиальные методы доведены до практической реализации в виде программного комплекса для аппроксимации практически значимых функций, производных и интегралов, который минимизируюет временную сложность и абсолютную погрешность. Разработано дополнение к комплексу, нацеленное на уточнённое компьютерное моделирование электронной структуры и электрон-фононного рассеяния нанопроволок и транзисторных структур на их основе. Практическое использование результатов работы: 1. В НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. ЮФУ приняты к использованию следующие материалы диссертации:

1.1. Представленные в гл. 1 модификации варьируемой кусочно-полиномиальной схемы вычисления действительных функций одной действительной переменной на основе усреднения полиномов Ньютона для интерполирования вперёд и назад на каждом подынтервале, позволяющие достигать высокой точности при минимизированной временной сложности вычисления, а также видоизменения кусочно-полиномиальных схем вычисления производных и определённых интегралов от функций рассматриваемого вида (С. 36 - 45, 46 - 52, 152 - 155).

1.2. Представленная в гл. 2 кусочно-полиномиальная схема аппроксимации действительных функций двух действительных переменных на основе интерполяционного полинома Ньютона от двух действительных переменных с программно варьируемыми степенью и числом подобластей, позволяющая минимизировать временную сложность вычисления функции для заданной границы погрешности, а также компьютерные схемы приближенного вычисления частных производных и двойных интегралов (С. 64 - 74, 77 - 80, 82 - 85, 177 - 181).

1.3. Представленный в гл. 3 метод численного моделирования электронного транспорта в уединённой нелегированной GaAs нанопроволоке с учётом квантовых эффектов высокого порядка, позволяющий уточнить значения пиков скоростей электрон-фононного рассеяния, а также уровней энергии размерного квантования GaAs нанопроволоки для основного и первых двух возбуждённых состояний (С. 99 - 134).

1.4. Разработанный в диссертации программный комплекс для реализации предложенных разновидностей кусочно-полиномиальных схем, обеспечивающий минимизацию их временной сложности и границ погрешности, с помощью которого осуществляется численный эксперимент для широкого класса функций одной и двух действительных переменных, включая тестовые наборы, подтверждающий существенное повышение точности предложенного метода по сравнению с известными аналогами, а также разработанное расширение программного комплекса для моделирования GaAs нанопроволок, с помощью которого проведены программные и численные эксперименты, уточняющие численные параметры математических моделей электрон-фононного рассеяния (С. 56 -62, 88 - 96, 115 - 134). В частности, предложенные программные пакеты используются для снижения границы абсолютной погрешности приближённого решения самосогласованной системы уравнений Шрёдингера и Пуассона при моделировании электронного транспорта.

2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».

3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».

1. Jia R., Hasegawa H., Shiozaki N., Kasai S. Device interference in GaAs quantum wire transistors and its suppression by surface passivation using Si interface control layer // J. Vac. Sci. Technol. - 2006. - В 24. - pp. 2060 - 2068.

2. Chou S. Y., Wang Y. Planar double gate quantum wire transistor // Appl. Phys. Lett. 1993. - Vol. 83. - № 6. - pp. 788 - 790.

3. Jovanovic D. and Leburton J.P. Quantum confinement and charge control in deep mesa etched quantum wire device // IEEE Electron Device Lett. -1993.-Vol. 14.-pp. 7-9.

4. Philip L. Taylor, Olle Heinonen A quantum approach to condensed mater physics. Cambridge University Press, 2002. - 414 pp.

5. Stroscio M. A. and Dutta M. Phonons in nanostructures. Cambridge University Press, 2001. - 274 pp.

6. Antonyuk V. В., Malshukov A. G., Larsson M. and Chao K.A. Effect of electron-phonon interaction on electron conductance in one-dimensional systems // Phys. Rev. B. 2004. - Vol. 69. - pp. 155308 - 1553015.

7. Kim K.W., Stroscio M.A., Bhatt A., Mickevicius R., Mitin V.V. Electron-optical-phonon scattering rates in a rectangular semiconductor quantum wire // J. Appl. Phys. 1991. - V. 70. - pp. 319 - 327.

8. Suzuki A. Theory of hot-electron magnetophonon resonance in quasi-two-dimensional quantum-well structures // Phys. Rev. B. 1992. - Vol. 45. - pp. 6731-6741.

9. Gaggero-Sager M. L., Moreno-Martinez N., Rodriguez-Vargas I., Perez-Alvarez R., Grimalskyand V.V. and Mora-Ramos M. E. Electronic structureas a function of temperature for Si 8 -doped Quantum Wells in GaAs // PIERS Online. 2007.-№3.-pp. 851 -854.

10. Samuel E. P. and Patil D. S. Analysis of wavefunction distribution in quantum well biased laser diode using transfer matrix method // PIERL. 2008. -Vol. l.-pp. 119-128.

11. Ariza-Flores A. D. and Rodriguez-Vargas I. Enhancement of the electronic confinement improves the mobility in p-n-p delta-doped quantum wells in Si // PIER letters. 2008. - Vol. 1. - pp. 167 - 172.

12. Mickevicius R., Mitin V. Acoustic-phonon scattering in rectangular quantum wire // Phys. Rev. B. 1993. - V. 48. -pp. 17194-17201.

13. Pozdnyakov D.V., Galenchik V.O., Borzdov A.V. Electron Scattering in Thin GaAs Quantum Wires // Phys. Low-Dim. Struct. 2006. - № 2. - pp. 8790.

14. Борздов A.B., Поздняков Д.В. Рассеяние электронов в транзисторной структуре GaAs/AlAs // ФТТ. 2007. - Т. 49. - С. 913-916.

15. Борздов В.М, Комаров Ф.Ф. Моделирование электрофизических свойств твердотельных слоистых структур интегральной электроники. Минск: БГУ, 1999.

16. Pozdnyakov D., Galenchik V., Borzdov A., Borzdov V., Komarov F. Influence os scattering processe on electron quantum states in nanowires // Nanoscale Res. Lett. 2007. - Vol. 2. - pp. 213 -218.

17. Ziman J.M. Electrons and Phonons. The theory of transport in solids. Oxford: Oxford University Press, 2001.

18. Srivastava J. K. and Rao S. M. (eds.) Models and Methods of High-Tc Superconductivity: Some Frontal Aspects. New York: Nova Science, 2003.

19. Hess K. Monte Carlo device simulation: Full band and beyond. Boston: Kluwer Academic Press, 1991.

20. Briggs S., Mason B. A., Leburton J. P. Self consistent polaron scattering rates in quasi-one-dimensional structures // Phys. Rev. B. - Vol. 40. -1989.-pp. 12001 - 12004.

21. Pozdnyakov D. V., Galenchik V.O. Electron-phonon scattering in semiconductor structures with one-dimensional electron gas // Phys. Low-Dim. Struct. 2006. - № 1. - pp. 17 - 19.

22. Knezevic I., Ramayya E. В., Vasileska D., Goodnick S. M. Diffusive transport in quasi-2D and quasi-ID electron systems // J. of Comput. and Theor. Nanoscience. 2009. - Vol. 6. - pp. 1725-1753.

23. Ramayya E. В., Vasileska D., Goodnick S. M. and I. Knezevic Electron transport in silicon nanowires: The role of acoustic phonon confinement and surface roughness scattering // J. Appl. Phys. 2008. - Vol. 104. - pp. 063711.

24. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. M. Численные методы. М.: «Бином. Лаборатория знаний», 2008. - 640 с.

25. Ромм Я. Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. I. — Кибернетика и системный анализ. -2007.-№ 1. — с. 165-182

26. Ромм Я. Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ, Киев, 2007, № 2. С. 161 - 174.

27. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Применение сортировки для идентификации спектральных линий на модели оптического спектра / ТГПИ. Таганрог, 2006. - 14 с. Деп. в ВИНИТИ № 1620 - В2006.

28. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Программный поиск экстремальных закономерностей на графических отображениях физических процессов / ТГПИ. Таганрог, 2008. - 39 с. Деп. в ВИНИТИ № 53 - В2008.

29. Harrison P. Quantum well, wires and dots. Theoretical and computational physics of semiconductor nanostructures. John Wiley & Sons, 2005.-482 pp.

30. Van Vleck J. H. Nonorthogonality and Ferromagnetism // Phys. Rev.- 1936. Vol. 49. - pp. 232-240.

31. D.R. Inglis Non-Orthogonal Wave Functions and Ferromagnetism // Phys. Rev. 1934. - Vol. 46. - pp. 135-138.

32. Сатанин A.M. Введение в теорию функционала плотности. -Нижний Новгород, 2009, 64 с.

33. Born М., Oppenheimer R. Zur Quantentheorie der Molekeln // Annalen der Physik. 1927. - № 20. - 4. Folge. - Band 84. - s. 457-484.

34. Hartree D. R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field. Part I. Theory and methods // Proc. Cambridge Phyl. Soc. 1928. -Vol. 24.-p. 89-110.

35. Hartree D. R. The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Part II. Some Results and Discussion // Proc. Cambridge Phyl. Soc.- 1928.-Vol. 24.-p. 111-132.

36. Hartree D. R. The wave mechanics of an atom with a non-Coulomb central field Part III Term values and intensities in series an optical spectra // Proc. Cambridge Phyl. Soc. 1928. - Vol. 24. - p. 426-437.

37. Hartree D. R. The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Part IV. Further Results relating to Terms of the Optical Spectrum // Proc. Cambridge Phyl. Soc. 1929. - Vol. 25. - p. 310-314.

38. Fock V. Naherungsmethode zur Losung des quantenmechanichanischen Mehrkorperproblems // Z. Phys. 1930. - Vol. 61. - p. 126-148.

39. Thomas L. H. The calculation of atomic fields // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1927. Vol. 23. - pp. 542-548.

40. Fermi E. Un metodo statistico par la determinazione di alcune propriety dell'atome // Atti Accad. Naz. Lincei, CI. Sci. Fis. Mat. Nat. Rend. -1927. Vol. 6. - Issue 6. - pp. 602-607.

41. Hohnberg P., Kohn W. Inhomogeneous Electron Gas // Phys. Rev. -1964. Vol. 136. - Issue 3B. - B864-B871.

42. Mermin D. Thermal Properties of the Inhomogeneous Electron Gas // Phys. Rev. 1965. - Vol. 137. Issue 5A. - pp. A1441-A1443.

43. Kohn W. and Sham L. J. Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects // Phys. Rev. 1965. - Vol. 140. - pp. A1133-A1138.

44. H. Марч, У. Янг, С. Сампантхар Проблема многих тел в квантовой механике, М.: «Мир», 1969.

45. Wigner Е. On the Interaction of Electrons in Metals // Phys. Rev. -1934.-Vol. 46.-Issue 11.-pp. 1002-1011.

46. Hedin L. and Lundqvist B. Explicit local exchange-correlation potentials // J. Phys. C.: Solid State Phys. 1971. -Vol. 4. - № 14. - pp. 2064 -2083.

47. Oliveira M. J. Т., Rasanen E., Pittalis S. and A. L. M. Marques Toward an all-around semilocal potential for electronic exchange // J. Chem. Theory Comput. 2010. - Vol. 6. - pp. 3664-3670.

48. Persson C. and Mirbt S. Improved electronic structure and optical properties of sp-hibridized semiconductors using LDA+USIC // Brasilian J. of Phys. 2006. - Vol. 36. - № 2A. - pp. 286-290.

49. Becke A. D. and Johnson E. R. A simple effective potential for exchange // J. Chem. Phys. 2006. - Vol. 124. - pp. 221101-1 - 221101-4.

50. Tran F. Blaha P. Accurate band gaps of semiconductors and insulators with a semilocal exchange-correlation potential // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 102. - pp. 226401-1 - 226401-4.

51. Гуртов В. А. Твердотельная электроника. Москва, 2005. - 492 с.

52. BenDaniel D.J., Duke С.В. Space-Charge Effects on Electron Tunneling // Phys. Rev. 1966. - Vol. 152. - pp. 683 - 692.

53. Willatzen M., Melnik R.V.N., Galeriu C., Voon L.C. L. Y. Quantum confinement phenomena in nanowire superlattice structures // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. - Vol. 65. - pp. 385-397.

54. May F. Realistic simulation of semiconductor nanostructures // A dissertation for the degree of Doctor of Sciences. Zurich: ETH, 2009. - 102 pp.; Diss. ETH №. 18743.

55. Chen M. Porod W. and Kirkner D. J. Coupled finite element/boundary element method for semiconductor quantum devices with exposed surfaces // J. Appl. Phys. 1994. - Vol. 75. - Issue 5. - pp. 2545-2554.

56. Зубков В. И. Моделирование вольт-фарадных характеристик гетероструктур с квантовыми ямами помощью самосогласованного решения уравнений Шрёдингера и Пуассона // ФТП. 2006. - Т. 40. - Вып. 10. - с. 1236-1240.

57. Trellakis A., Ravaioli U. Computational issues in the simulation of semiconductor quantum wires // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. -Vol. 181.-pp. 437-449.

58. Smoliner J. and Ploner G. Electron Transport and Confining Potentials in Semiconductor Nanostructures // Handbook of Nanostructured Materials and Nanotechnology, Vol.3; edited by H. Nalwa. Academic Press. - 2000. - pl-91.

59. Березин И. С., Жидков H. Г. Методы вычислений. Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962. - 640 с.

60. Olver P. J. Shakiban С. Applied Mathematics. John Wiley & Sons, 2004.-pp. 1059.

61. Zhou Y., Saad Y., Tiago M. L., Chelikowsky J. R. Self-consistent-field calculations using Chebyshev-filtered subspace iteration // Journal of Computational Physics. 2006. - Vol. 219. - pp. 172-184.

62. Jacobi С. G. J. Über ein leichtes Verfahren die in der Theorie der Säcularstörungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulösen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1846. - Bd. 30. - pp. 51 - 94.

63. Nozaria K., Akbaria S., Fayeghib F. and Mirzaiec M. Many-Body Effects and Bandgap Renormalization in H-Shaped Quantum Wires // Acta Physica Polonica A. 2009. - Vol. 115. - № 3. - pp. 721-731.

64. Lew Yan Voon L. C., Zhang Y., Lassen В., Willatzen M., Xiong Q., and Eklund P. C. Electronic Properties of Semiconductor Nanowires // Journal of Nanoscience and Nanotechnology. 2008. - Vol. 8. - pp. 1-26.

65. Фаддеев Д.К., Фаддеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука, 1963. - 656 с.

66. Heiskanen М., Torsti Т., Puska М. J. and Nieminen R. М. A novel multigrid method for electronic structure calculations // Phys. Rev. B. 2001. -Vol. 63.-pp. 245106.

67. Wu Z. and Ruden P.P. Self-consistent calculation of the electronic structure of semiconductor quantum wires: Semiclassical and quantum mechanical approaches // J. Appl. Phys. 1993. - Vol. 74. - № 10. - pp. 6234 - 6241.

68. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Глав, ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1977. - 456 с.

69. Deutsch Т., Genovese L. Wavelets for electronic structure calculations // Collections SFN. -2011. Vol. 12. - pp. 33-76.

70. Schneider R., Weber R. Wavelets for density matrix computation in electronic structure calculation // Applied Numerical Mathematics. 2006. - Vol. 56.-pp. 1383-1396.

71. Li G. and Aluru N. R. Hybrid techniques for electrostatic analysis of nanoelectromechanical systems // J. Appl. Phys. 2004. - Vol. 96. - № 4. - pp. 2221 -2231.

72. Cheng C., Liu Q. H., Lee J. H. and Massoud H. Z. Spectral element method for the Schroedinger-Poisson system // Journal of Computational Electronics. 2004. - Vol. 3. - p. 417.

73. Trellakis A., Galick А. Т., Pacelli A., Ravaioli U. Iteration scheme for the solution of the two-dimensional Schrodinger-Poisson equations in quantum structures // J. Appl. Phys. 1997. - Vol. 81. - № 12. - pp. 7880 - 7884.

74. Cooke S. J., Vlasov A. N., Levush B., Chernyavskiy I. A., Antonsen Т. M. GPU-accelerated 3D time-domain simulation of vacuum electron devices // IVEC '11 Proceedings of the 2011 IEEE International Vacuum Electronics Conference. 2011. - pp. 305-306.

75. Tomono H., Aoki M., Iitaka T. and Tsumuraya K. Implementation of GPU-FFT into Planewave Based First Principles Calculation Method // Journal of Computational Science and Technology. 2011. - Vol. 5. - № 3. - pp. 89-105.

76. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. -СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 608 е.: ил.

77. R. В. Lehoucq, D. С. Sorensen, and С. Yang, ARPACK USERS GUIDE: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted Arnoldi Methods, SIAM, Philadelphia. 1998. Интернет-сайт проекта ARPACK http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/.

78. DonohoD.L., Maleki A., Rahman I.U., ShahramM., Stodden V. Reproducible Research in Computational Harmonic Analysis // Computing in Science & Engineering. 2009. - Vol. 11. - Issue 1. - pp. 8-18.

79. Multidimensional Quantum Mechanics with Trajectories; ed. D. V. Shalashilin and M. P. de Miranda. CCP6, Daresbury Laboratory. - 2009.

80. Quantum Trajectories; ed. Keith H. Hughes and Gérard Parlant. -CCP6, Daresbury Laboratory. 2011.

81. Sabathil M., Laubsch A., Linder N. Self-consistent modeling of resonant PL in InGaN SQW LEDstructure // Proc. of SPIE. Vol. 6486. - pp. 64860V-1 -64860V-9.

82. Интернет-сайт разработчиков проекта вычислительного программного комплекса SiLENSe http://www.semitech.us/products/SiLENSe/.

83. Интернет-сайт разработчиков проекта вычислительного программного комплекса SIESTA http://www.icmab.es/siesta/.

84. Soler J. M., Artacho E., Gale J. D., García A., Junquera J., Ordejón P., Sánchez-Portal D. The SIESTA method for ab initio order-N materials simulation // Journal of Physics: Condensed Matter. 2002. - Vol. 14. - Issue 11. - pp. 27452779.

85. Шилдт Г. C# 4.0: полное руководство.: Пер. с англ. М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2011. - 1056 с.

86. Джосьютис Н. С++ Стандартная библиотека. Для профессионалов. СПб.: Питер, 2004. - 2004. -730 с.

87. Эхтер Ш., Роберте Дж. Многоядерное программирование. -СПб.: Питер, 2010.-316 с.

88. Топорков В. В. Модели распределённых вычислений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 320 с.

89. Чадов С.Н. О решении СЛАУ методом итераций Чебышёва на графических процессорах // Вестник ИГЭУ. 2010 г. - Вып. 3. - с. 1-3.

90. Котов В.Е. О связи алгебраических и архитектурных аспектов параллельных вычислений. В кн.: Вычислительные процессы и системы. Под ред. Г.И. Марчука. - М.: Наука, 1983. - С. 54-80.

91. Ромм Я.Е., Голиков А.Н. Распараллеливаемые кусочно-полиномиальные схемы аппроксимации функций, производных и вычисления определённых интегралов с повышенной точностью / ТГПИ. -Таганрог, 2010. 139 с. Деп. в ВИНИТИ 27.04.2010, № 230-В2010.

92. БерезинИ.С., Жидков Н.Г. Методы вычислений. Т. 1. - М.: Наука, 1970.-464 с.

93. Ромм Я.Е., Фирсова С.А. Минимизация временной сложности вычисления функций с приложением к цифровой обработке сигналов. -Таганрог: Изд-во Таганрог, гос. пед. ин-та, 2008. 125 с.

94. РоммЯ.Е. Бесконфликтные и устойчивые методы детерминированной параллельной обработки / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 е.; ВНТИ Центр. - № 05.990.001006.

95. Seino К. and Bechstedt F. Effective density of states and carrier masses for Si/Si02 superlattices from first principles // Semicond. Sei. Technol. -2011.-Vol. 26.-pp. 014024.

96. Росадо JI. Физическая электроника и микроэлектроника. М.: Высшая школа, 1991. - 351 с.

97. Голиков А.Н. Самосогласованный расчёт электрон-фононного рассеяния в GaAs нанопроволоках на основе кусочно-полиномиальных схем / ТГПП. Таганрог, 2011. - 123 с. Деп. в ВИНИТИ 14. 11. 2011, № 488-В2011.

98. Салтыков А.И. Новые программы вычисления элементарных функций на БЭСМ-6. Дубна, 1976. - 48 с. (Препринт Объед. ин-т ядерн. исслед.: 011-8612).

99. Люстерник JI.A., Червоненкис O.A., Ямпольский А.Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. М.: Физматгиз, 1963. - 248 с.

100. Ромм Я.Е., Джанунц Г.А., Разностно-полиномиальный метод численного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных / ТГПИ. Таганрог, 2011. - 59 с. Деп. в ВИНИТИ 20.07.2011, № 353-В2011.

101. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974. - 832 с. - с илл.

102. Солодовников В.И. Верхние оценки сложности решения систем линейных уравнений // Теория сложности вычислений. 1: Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. Л., 1982. Т. 118. С. 159-187.

103. Голиков А.Н. Компьютерный кусочно-полиномиальный метод приближения функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов по кольцевому сектору // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Т. 19. - Вып. 4.

104. Голиков А.Н. Кусочно-полиномиальные схемы вычисления функций двух переменных, частных производных и двойных интегралов на основе интерполяционного полинома Ньютона // ТГПИ. Таганрог, 2010. -150 с. Деп в ВИНИТИ 20.09.2010, № 528-В2010.

105. M.-J. Lai and L. L. Schumaker, A domain decomposition method for computing bivariate spline ts of scattered data // SIAM J. Numer. Anal. 2009. -Vol. 47.-pp. 911-928.

106. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.V

107. G. Jaklic, J. Kozak, М. Krajnc, V. Vitrih, E. Zagar, On geometric Lagrange interpolation by quadratic parametric patches. Comput. Aided Geom. Design. - 2008. - Vol. 25. - pp. 373 - 384.

108. D. Liu and G. Xu, Angle Deficit Approximation of Gaussian Curvature and Its Convergence over Quadrilateral meshes. Comput.-Aided Design. - 2007. - Vol. 39. - pp. 506 - 517.

109. P. Sablonniere, On some multivariate quadratic spline quasiinterpolants on bounded domains, in: W. Hausmann & al. (Eds.), Modern developments in multivariate approximations, ISNM Vol. 145, Birkh auser Verlag, Basel, 2003, pp.263-278.

110. P. Sablonniere, Quadratic spline quasi-interpolants on bounded domains of Rd, d = 1, 2, 3, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino 61, no. 3 (2003), pp. 229-246.

111. Adachi S. Properties of Semiconductor Alloys: Group-IV, III-V and II-VI Semiconductors. John Wiley & Sons, 2009. - 400 pp.

112. Cuesta J. A., Sánchez A. and Domínguez-Adame F. Self-consistent analysis of electric field effect on Si 8 -doped GaAs // Semicond. Sci. Technol. -1995.-Vol. 10.- 1303- 1309.

113. Fundamental Physical Constants Frequently used constants // http://physics.nist.gov/constants. - 2010.

114. Pássler R. Semi-empirical descriptions of temperature dependences of band gaps // Phys. stat. sol. b. 2006. - Vol. 236. - № 3. - pp. 710 - 728.

115. Pássler R. and Oelgart G. Appropriate analytical description of the temperature dependence of exciton peak position in GaAs / AlxGa^xAs multiple quantum wells and the T8v Г6с gap of GaAs II J. Appl. Phys. - 1997. - Vol. 82. -№ 5.-pp. 2611 -2616.

116. Vina L., Logothetidis S. and Cardona M. Temperature dependence of the dielectric function of germanium // Phys. Rev. B. 1984. - Vol. 30. - p. 1979 - 1991.

117. Varshni Y. P. Temperature dependence of the energy gap in semiconductors // Physica. 1967. - Vol. 34. - pp. 149 - 154.

118. Takagaki Y. and Ploog K. Self-consistent energy levels in low-dimensionally delta-doped structures // J. Phys.: Condens. Matter. 1995. - Vol. 7. -№4.-pp. 731.

119. Shim S. Y., Lee Y. K., Kim D. C. and Yoo К. H. Comparison of effective potential method and Rayleigh-Ritz method for the calculation of energy of Quantum wires // Journal of the Korean Physical Society. 1999. - Vol. 34. -pp. 36-41.

120. Ромм Я. Е., Тюшнякова И. А. Применение сортировки для поиска нулей и особенностей функций с приложением к идентификации плоских изображений. Таганрог: Изд. центр Таганрог, гос. пед. ин-та. - 2009. - 172 с.

121. Khan Н. R., Mamaluy D., Vasileska D. Quantum Transport Simulation of Experimentally Fabricated Nano-FinFET // IEEE Transactions on electron devices. 2007. - Vol. 54. - № 4. - pp. 784 - 796.

122. Pennington G. and Goldsman N. Monte Carlo study of electron transport in a Carbon nanotube // IEICE Trans. Electron. 2003. - Vol. E86-C. -№ 3. - pp. 372-377.

123. Голиков А.Н. Приближенное решение самосогласованной системы уравнений Шредингера и Пуассона для нанопроволоки на основе кусочно-полиномиальных схем // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Т. 19. - Вып. 2. - с. 245 - 246.