автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы нахождения точек переключения кусочно-полиномиального управления в линейных механических системах

Санкт-Петербургский Геку дарственный Университет

На правах рукописи

Пупышева Юлия Юрьевна

АЛГОРИТМЫ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на факультете прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бабаджанянц Левон Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Квитко Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Кулагин Виктор Васильевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт

информатики и автоматизации РАН

Защита состоится " " 2003 г. в Л часов на

заседании диссер1ациоиного совета Д.212.232.50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, Менделеевский центр

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского Государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " ¿¿■'¿^г-и^/о- 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Курбатова Г.И.

1оо (о - я,

\0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Управляемые динамические колебательные системы широко распространены в различных областях техники. Эти объекты обычно описываются математически системами линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые содержат управляющие воздействия и имеют решения колебательного или вращательного характера. Решение задач оптимального управления для колебательных систем со многими степенями свободы представляют значительные трудности, которые обусловлены высоким порядком систем, осциллирующим характером решений и другими факторами. В большей части работ по этой тематике управление ищут в неявном задании (линии переключения в фазовом пространстве). Не менее актуальной задачей является разработка методов построения оптимального управления в виде явной функции времени, которым посвящена данная работа.

Предмет диссертационной работы - построение управлений -функций времени, оптимальных по "расходу" для задач механики, описываемых линейными автономными системами дифференциальных уравнений. Постановки рассматриваемых задач управления отличаются от традиционных: требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной автономной системы при функционале типа "расход топлива".

Важным источником таких постановок являются задачи управления самолетами и космическими легательными аппаратами, начиная от простейших задач управления колебаниями спутника и включая такие сложные задачи, как задача встречи космических летательных аппаратов на орбите и задача «мягкой» посадки. Во всех этих случаях

I юе. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

| С. Петербург I яиЬгк

управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива, запасы которых ограничены. Управление осуществляется механизмом, потребляющим топливо и производящим тяги или моменты.

Цель диссертационной работы - решение задач:

1. Гашение одной или нескольких частотных компонент решения линейной автономной системы. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается "расход топлива" на классе кусочно-постоянных управлений с конечным числом импульсов.

2. Гашение одной или нескольких частотных компонент решения линейной автономной системы. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается "расход топлива" на классе кусочно-полиномиальных управлений с конечным числом импульсов.

3. Решение ряда реальных задач гашения колебаний механических систем.

Научная новизна. Реализован общий метод решения задачи оптимального гашения колебаний для линейных автономных систем, применение которого позволяет получить управление как явную функцию времени. Использование этого метода позволило получить новые результаты для ряда практических задач механики.

Общая методика исследования. В работе используются строгие методы математического анализа, численного анализа, теории дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, механики управляемого движения.

Практическая ценность. Результаты диссертации позволяют находить точки переключения кусочно-постоянного и кусочно-полиномиального управления, оптимального по расходу топлива для широкого класса механики управляемого движения. Они применимы

для решения многих реальных задач гашения колебаний в многочастотных линейных механических системах.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на XXXIV научной конференции факультета ПМ-ПУ "Процессы управления и устойчивость" (СПбГУ, С-Петербург, апрель 2003), на VIII Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Пущино, январь 2000 г.), на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.

Публикации. По результатам, изложенным в диссертации, опубликовано 4 печатных работы [1-4].

Структура и объем работы. Работа состоит из 5 глав, 39 пунктов и приложения. Библиография включает 57 наименований. Работа изложена на 140 страницах, содержит 14 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава - введение. В первом пункте этой главы вводится используемая далее терминология. Во втором пункте рассматриваются такие вопросы, как цель работы, ее актуальность, новизна полученных результатов. В заключительном, третьем пункте формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Во второй главе решается задача оптимизации по расходу топлива, которая сводится к нахождению точек переключения кусочно-постоянного управления. Рассматриваются линейные системы с различными типами спектра и разработаны алгоритмы нахождения точек переключения для каждого из рассмотренных типов систем.

В пункте 2 1 дается общая постановка задачи управления, оптимального по расходу топлива. Рассматривается механическая система, описываемая уравнением

¿х/</? = Лх + С/(() (1)

относительно вектор-функции х(/)=(х,,...,хп)еЯ" аргумента / при начальном условии

*(0)=х0, (2)

где х0 =(х]0,...,хг10 )еЯ", и^)-(ии...,ип)еЯ", А - постоянная матрица размерности (и х п).

Компоненты и, управления и(() предполагаются кусочно-постоянными функциями времени с конечным числом точек переключения, последняя из которых обозначается символом Т. При таком управлении решение задачи (1) будет суммой нескольких слагаемых, отвечающим тем или иным собственным значениям матрицы Л. Оптимизируется функционал

<3>

О

который является функционалом типа «расход топлива». Допустимым считается управление и, которое в момент Т обращает в нуль одну или несколько избранных частотных компонент решения. Обозначая сумму избранных компонент символом Зс(?), запишем это условие:

г(г)=о.

Постановка задачи следующая: при заданном числе импульсов допустимого управления найти точки переключения этого управления (включая и точку Т), удовлетворяющие необходимым условиям экстремума функционала расхода (3).

Допустимые управления мы рассматриваем в следующем представлении:

ик (<)=hk (-Г Hit -,*)+hk (-1)' H(t-v). (4)

Здесь управление разбито на положительные и отрицательные ступени (гк - число положительных, qk - число отрицательных ступеней

компоненты ик). Величины , 7tk е [о,т] - моменты времени, соответствующие переключениям этих ступеней. Коэффициенты hk,hk постоянны, a H(t) - функция Хевисайда, т.е.

Пункт 2 2 посвящен построению алгоритмов для гашения одно-частотной составляющей решения системы (1). В пункте 2.2 1 рассмотрен метод построения оптимального управления для сисгем вида (1), имеющих хотя бы пару чисто мнимых собственных значений к = ±ф. Метод заключается в том, что в исходной задаче Коши производится линейная замена х~ Вс,, где В - неособая матрица;

Постоянную комплексную матрицу В можно подобрать так, что

а 2 - некоторая (и - 2) х (и - 2) матрица. Тогда уравнение (1) и условия (2) перейдут в следующие:

Уо =0*0 =0w2o). zo =Dzx0 =(z10,...,z„_20), v = DU = (vuv2), w = D2U =(w1,...,wn_20), (v ,w) = B~*U,

(d3]...d3„\

• • • dm J

Далее можно ограничиться рассмотрением только задачи (5). В этой задаче удалось получить явные формулы для параметров управления:

где 2Ь.к - ширина ступени управления для компоненты , tk - ее средний момент. Множитель Лагранжа X, находится из уравнения:

5 пункте 2.2.2 рассмотрен метод построения оптимального управления для систем вида (1), имеющих хотя бы пару чисто мнимых собственных значений к = / ± ip. В этом более сложном случае нолу-чены формулы, позволяющие с помощью численных методов реализовать алгоритмы построения оптимального управления посредством современной вычислительной техники. Эти алгоритмы широко используются в последующих главах. В пункте 2.2.3 рассмотрена система вида х = Ах + BU(t), где В - постоянная прямоугольная матрица размерности («хт)и приведены отличия в формулах (6)—(8) для этих систем. В пункте 2.2.4 формулы пункта 2.2.3 обобщены на случай когда, кроме управления, на систему (1) воздействуют возмущающие факторы и она приобретает вид: х- Ах + BU(t) + F{t).

sin |xtk -

y\odl ~y*iod'ik

(6)

В пункте 2.3 рассматривается возможность одновременного гашения двух частот и более частот. В пункте 2.3.1 рассматривается случай одновременного гашения двух частот. Для этого случая получена система трансцендентных уравнений, решение которой приводит к нахождению точек переключения. В пункте 2.3.2 подобная система выписана для случая одновременного гашения т <п частот п-частотной системы.

В пункте 2.4 полученные в пунктах 2.2 и 2.3 результаты представляются в ввде теорем. Для этого сначала формулируются некоторые условия этих теорем.

A. Матрица А размерности (их«) с вещественными постоянными элементами такова, что среди ее собственных чисел есть хотя бы пара чисто мнимых значений ± /" ц, причем соответствующая этой паре подматрица жордановой формы диашнальна.

B. Матрица А размерности (и х и) с вещественными постоянными элементами такова, что среди ее собственных чисел есть хотя бы пара комплексных собственных значений l±ip, причем соответствующая этой паре подматрица жордановой формы диагональна.

C. Матрица А размерности (и х и) и среди её собственных значений 2т - комплексные числа ос у ± / , j = 1,3,5,..., 2т -1, среди которых нет кратных.

D. Управление U(t) = (и,,...,мп) в системе dx/dt = Ах + U(t),

x(t) = (xu...,xn)aR", имеет вид (4) и удовлетворяет неравенствам

IukI < тах(й^,hk), к-1,...,п.

к

E. Выполнены граничные условия х(о)= х0 = (xlQ,...,x„0 )е R",

х(т) = 0 , где Т = max(4t ) (9)

Замечание. Условие (9) означает, что в момент Т обращается в нуль составляющая решения х((), соответствующая упомянутой паре собственных чисел. В случае одновременного гашения 2т частот в нуль обращаются все 2т составляющих решения соответствующие собственным числам упомянутым в условии С.

Теорема 2.1. Если условия А, Б, Е выполнены, то точки переключения , 7^, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (3), пропорционального расходу топлива, находятся по следующим формулам (I е 2 ):

к , 2я/ I I , 2я , 2л/ I . I Ц ц и и

где = (-1/-агсзт ~ ^и + ^ ;

Л Г ,¥ 1 ---:-МЬЯ+уЖ+ЯЬУЯ

а,, =1-1/ — агсвт--,, ' I. . + я/,

Ой+уА=*+к

И

Теорема 2.2. Если условия В, О, Е выполнены, то точки переключения ^, 7^, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (3), пропорционального расходу топлива, находятся по следующим формулам-.

е* =/*,*+ Ф*. V (10)

Вк=е**'втв!, -Вк=е^'\[ пв,\ (11)

81Пф. =-,, .., ■ , 7Я = —--, (12)

при

+ созре?.

Из уравнений (11) и (14) мы можем численно, посредством современной вычислительной техники, найти Вк и все значения 0* ,0/ (приложение) и, зная их, по формулам (10) и (13), (12) получить иско-

Теорема 2.3. Если выполнены условия С, А Е, то точки переключения , (,к, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (3), пропорционального расходу топлива, находятся из следующей системы уравнений (в которую входят граничные условия и необходимые условия оптимальности):

мые значения и множители Лагранжа.

к, = у']й +м;>,с

+

(15)

= •>> + С«? + И? У Ц, [(а; - и, К -

где

00.Ц/ +

Для решения этой системы предложен алгоритм, описанный в приложении к диссертации. В результате применения этого алгоритма

решение 2^=](гА +дк) трансцендентных уравнений (16) сводится к

многократному решению системы (15) из 2т уравнений.

Третья глава посвящена решению задачи оптимизации по расходу топлива, которая сводится к нахождению точек переключения кусочно-постоянного управления в критическом случае. Рассматриваются линейные системы с постоянными коэффициентами, имеющие наборы кратных чисто мнимых собственных значений. Предлагается алгоритм нахождения ошимального у правления.

В пункте 3.1 дается общая постановка задачи, которая совпадает с постановкой п.2.1, но относительно матрицы А предполагается, что среди ее собственных значений существует пара чисто мнимых чисел кратности не меньше 2. В пункте 3.2 решается поставленная задача.

В пункте 3.3 полученные в пункте 3.2 результаты представляются в виде теоремы. Для этого сначала формулируются некоторые условия этой теоремы.

Е. Матрица А размерности (и х и) с вещественными постоянными элементами такова, что среди ее собственных значений существует

пара чисто мнимых ± i ц кратности /> 2, причем соответствующая тгой паре подматрица жордановой формы кназидиагональная. Кроме того, будем использовать обозначения:

4) = 1Г'о(- 0a (M¿+u + У (а Г1,

Ь(0 = Ц'„ (" 0а (V^m ~ MU У (« О"'.

с, - lim a(t), с 2 - lim b(t).

t ++CO /->+00

Теорема 3.1. Если условия F, D, Е выполнены, а г*, - точки переключения, соответствующие необходимым условиям экстремума функционала (3), пропорционального расходу топлива, то возможны только следующие четыре случая (те Z):

I. Если с, = ±so, сг-±х,то количество точек переключения не может быть бесконечным;

„ „ , ,, i - л 2п т ~L , я 2я т

II. Если с,=±ао,с2=±1 ,то t" = +--н-, t¡ =±— +-,-

2ц Н 2ц ц

1Т1 _ . , i , я 2я т 2л т III. Если с, - \,сг =±оо woí;=±—+-, t, =±-;

И Ц И

,„ „ . , * , 2я т ~к , я 2я /и /К. £сли с, = —1, с2 = ±оо ,то t* = ±-, t, =± — +-/

Ц ИМ

В четвертой главе решается задача построения кусочно-полиномиального управления, оптимального по расходу топлива.

5 пункте 4.1 дается общая постановка задачи, которая совпадает с постановкой, рассмотренной в пункте 2.1, за исключением компоненты управления (4). В этой постановке управление ищется в классе кусочно-полиномиальных управлений:

1=1

i=i

где rk - число положительных, qk - число отрицательных ступеней компоненты ик, величины tk}, 7/ е[о,г] - моменты времени, соответствующие включениям этих ступеней, а rf, xf е [0,г] - выключениям. Коэффициенты а°к, а\ ,Ъ°к ,Ъ\,...,Ь™к постоянны и предположим,

Структура четвертой главы повторяет структуру главы 2. В пунктах главы получены формулы, позволяющие с помощью численных методов реализовать алгоритмы нахождения точек переключения посредством современной вычислительной техники. В заключительном пункте 4.4 этой главы полученные в пунктах 4.2 и 4.3 результаты представляются в виде теорем.

В пятой главе алгоритмы, разработанные в предыдущих главах используются для построения оптимального управления в конкретных механических задачах. Всего в пунктах 5.1-5.14 рассмотрено четырнадцать задач. Во всех этих задачах получены удобные для использования формулы.

В заключительную, шестую главу диссертации вынесено приложение, в котором описаны численные алгоритмы решения задач оптимального управления, разработанные на основе формул выведенных во второй и четвертой главе, а также предлагается описание и текст программ на языке Фортран 90 для системы FPS 4.0.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Метод построения оптимального управления для гашения одночас-тотной компоненты решения линейной автономной системы ОДУ, матрица которой имеет хотя бы пару чисто мнимых собственных значений.

2. Метод построения оптимального управления для гашения одночас-тотной компоненты решения линейной автономной системы ОДУ, матрица которой имеет хотя бы пару комплексных собственных значений.

3. Метод оптимального гашения двух и более частот.

4. Решение следующих реальных задач: о гашении колебаний механической системы с одной степенью свободы; об оптимальном управлении в задаче Лагранжа; об управлении в задаче «спящего волчка»; о движении ИСЗ, снабженного закрученным маховиком, около центра масс на стационарной орбите; о гашении малых колебаний маятника; об управлении системой многих маятников; об оптимальной стабилизации спутника; о движении одноосного гиростабилизатора без учета и с учетом упругой податливости его элементов, а также при наличии периодических возмущающих воздействий; о движении двухосного гиростабилизатора; о движении быстровращающегося твердого тела; о движении гирогоризонта; о движении ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае.

ПУБЛИКАЦИИ, В КОТОРЫХ ОТРАЖЕНЫ ОСНОВНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пупышева Ю. Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. - СПб., 2003. 14 с. - Деп. ВИНИТИ от 17 апреля 2003 г., № 733 В 2003.

2. Пупышева Ю.Ю. Кусочно-полиномиальное управление по расходу. Труды XXXIV научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2003. С. 95-104.

3. Пупышева Ю.Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. Случай комплексных собственных значений. - СПб., 2003. 16 с. - Деп. ВИНИТИ от 21 июня 2003 г., № 1195 В 2003.

4 Пупышева Ю.Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. - СПб., 2003. 15 с. - Деп. ВИНИТИ от 11 июля 2003 г., № 1363 В 2003.

I

<

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.ОЭ. Подписано в печать 9.09.03 с орнгинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1,25, Уч.-изд.л, 1,0. Тираж 100 экз., Заказ № 027/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

t

РНБ Русский фонд

2006-6 1710

í

2 5 СЕН 2003

1. Введение

1.1 Об отыскании оптимального по «расходу» управления

1.2 Цель работы. Актуальность. Новизна

1.3 Основные положения, выносимые на защиту

2. Кусочно-постоянные управления, оптимальные по "расходу", в линейных системах

2.1 Постановка задачи управления по расходу топлива

2.2 Гашение колебаний одной частоты

2.2.1 Случай чисто мнимых собственных значений

2.2.2 Случай комплексных собственных значений.

2.2.3 Система вида х = Ах + BU(t)

2.2.4 Случай управления при возмущающих воздействиях

2.3 Гашение двух и более частот

2.3.1 Гашение колебаний двух частот

2.3.2 Гашение т частот «-частотной системы

2.4 Теоремы

3. Кусочно-постоянные управления, оптимальные по "расходу", в линейных системах в критических случаях

3.1 Постановка задачи управления по расходу топлива (критический случай)

3.2 Случай чисто мнимых собственных значений

3.3 Теорема для критического случая

4. Кусочно-полиномиальные управления, оптимальные по "расходу", в линейных системах

4.1 Постановка задачи

4.2 Гашение колебаний одной частоты

4.2.1 Случай чисто мнимых собственных значений

4.2.2 Случай комплексных собственных значений

4.2.3 Система вида х = Ах + BU{t)

4.3 Гашение двух и более частот

4.3.1 Гашение колебаний двух частот

4.3.2 Гашение т частот «-частотной системы

4.4 Теоремы

5. Применение к конкретным задачам механики

5.1 Оптимальное гашение колебаний механической системы с одной степенью свободы

5.2 Оптимальное по "расходу" управление в задаче Лагранжа

5.3 Задача "спящего волчка". Задача вращательного движения тела в однородном поле тяжести

5.4 Задача о гашении быстрых линейных колебаний стационарного ИСЗ с маховиком

5.5 Оптимальное гашение малых колебаний маятника

5.6 Об управлении системой многих маятников

5.7 Задача об оптимальной стабилизации спутника

5.8 Гашение колебаний одноосного гироскопического стабилизатора

5.9 Учет упругой податливости элементов гиростабилизатора

5.10 Задача о двухосном гироскопическом стабилизаторе с роторами, вращающимися в одну сторону

5.11 Пример системы с периодическим возмущением: задача об одноосном гиростабилизаторе с колеблющимся основанием

5.12 Гашение колебаний, возникающих при быстром вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки

5.13 Управление колебаниями гирогоризонта

5.14 Управление движением ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае

Основные результаты предлагаемой диссертации опубликованы в статьях [1—4] общим объемом «4 п.л. Они докладывались на XXXIV конференции факультета ПМ-ПУ (СПбГУ, С-Петербург, апрель 2003), на VIII Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Пу-щино, январь 2000 г.), а также на семинарах кафедры механики управляемого движения.

Диссертация состоит из пяти глав и приложения. О содержании каждой главы кратко говорится в её начале. Основные главы — вторая, третья, четвертая и пятая.

Настоящая, первая глава, состоит из трех параграфов. О содержании параграфов можно судить по их названиям.

1.1 Об отыскании оптимального по «расходу» управления.

В настоящей работе разрабатывается и применяется к практическим задачам механики метод нахождения управления как явной функции времени в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной системы с постоянными коэффициентами при функционале типа «расход топлива». Основным источником таких задач являются проблемы управления самолетами и космическими летательными аппаратами, начиная от простейших задач управления колебаниями спутника и включая такие сложные задачи, как задача встречи космических летательных аппаратов на орбите и задача «мягкой» посадки. Во всех этих случаях управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива или рабочего тела, запасы которых ограничены. Управление осуществляется механизмом, потребляющим топливо и производящим тяги или моменты.

Итак, в качестве оптимизируемого функционала рассматривается величина: т

1.1) tok=l где ик являются компонентами вектора управления U. Такой функционал для механических систем обычно пропорционален с постоянным положительным коэффициентом величине расхода топлива [8-12]. Поэтому величина J называется функционалом типа «расход топлива» или просто функционалом расхода.

Оптимизация управления по расходу топлива была популярна в конце шестидесятых — начале семидесятых годов. Различные аспекты этой темы отражены в монографии М. Атанса и П. Фалба [12]. Тогда стало ясно, что различные постановки задачи оптимального управления по критерию расхода топлива оказались исключительно сложными и в теоретическом, и в практическом, и в прикладном аспектах даже для линейных систем с постоянными коэффициентами.

Поэтому постановки задач управления по такому критерию перестали быть предметом интенсивных исследований и авторы перешли, в основном, к исследованиям по оптимальному управлению в задачах с квадратичными функционалами.

Оптимизация по «расходу» естественна в тех задачах, где требуется удерживать механическую или другую систему в окрестности положения равновесия в течение длительного времени. Возмущающие факторы время от времени отклоняют эту систему недопустимо далеко от положения равновесия и требуется каждый раз гасить эти отклонения, расходуя на это топливо и/или другие ресурсы, запасы которых ограничены. Пока отклонения от положения равновесия малы, ее управляемое движение можно моделировать автономными линейными дифференциальными уравнениями с управлением.

Далее остановимся более подробно на тех результатах других авторов, которые непосредственно связаны с рассматриваемым методом, а затем кратко изложим результаты настоящей работы.

В работах [5-10] предлагается метод нахождения оптимального управления в виде явной функции времени, в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решения линейной системы с постоянными коэффициентами. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается «расход топлива» на классе релейных кусочно-постоянных управлений с конечным числом импульсов.

Релейные импульсные управления в конкретных практических задачах могут быть единственно приемлемым дешевым вариантом управления. Кроме того, такие управления оказываются оптимальными при решении многих задач в различных других постановках [8—14].

В данной диссертации изложенный в работах [5-10] алгоритм обобщается и развивается на случай кусочно-полиномиального управления. Задачи, рассмотренные в работах [8-10] приводятся в качестве примеров как частный случай применения метода в пятой главе диссертации.

Все полученные в диссертации результаты объединяются единым подходом, используемым для их получения.

1. Пупышева Ю. Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. — СПб., 2003. 14 с. — Деп. ВИНИТИ от 17 апреля 2003 г., № 733 В 2003.

2. Пупышева Ю.Ю. Кусочно-полиномиальное управление по расходу. Труды XXXIV научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2003. С. 95-104.

3. Пупышева Ю.Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. Случай комплексных собственных значений. — СПб., 2003. 16 с. Деп. ВИНИТИ от 21 июня 2003 г., № 1195 В 2003.

4. Пупышева Ю.Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. СПб., 2003. 15 с. - Деп. ВИНИТИ от 11 июля 2003 г., № 1363 В 2003.

5. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. Рук. деп. вВИНИТИ, №3611,1999.

6. Бабаджанянц J1.K., Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах с комплексными собственными значениями. Вопросы механики и процессов управления. Вып.23: динамика, оптимизация, управление. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000.

7. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в задаче движения ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае. Процессы управления и устойчивость. Труды XXXI научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2000. С.232-242.

8. Бабаджанянц JI.K., Потоцкая И.Ю. Управление по критерию расхода в механических системах. СПб., 2003.

9. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М., «Машиностроение», 1968.

10. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., «Наука», 1969.

11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., «Наука», 1969.17.3убов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

12. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., «Наука», 1972.

13. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., «Наука», 1979.

14. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.,1968.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц М., «Наука», 1967.

16. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, «Вышэйшая школа», 1974.

17. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., 1971.

18. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М., «Наука», 1968.

19. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М., «Наука», 1972. тт. 1,11.

20. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс. М., «Наука». 1965.

21. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М., МГУ, 1975.

22. Голдстейн Г. Классическая механика. М., «Наука», 1975.

23. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л., ОНТИ, 1937.

24. Архангельский Ю.А. Динамика быстровращающегося твёрдого тела. М., «Наука», 1985.

25. Arkhangelskii Yu.A. Construction of periodic solutions for the Euler-Poisson equations by means of series expansion containing a small parameter. Colloquia mathem. Societatis Ja'nos Bolyai, 15 Differential equations, Keszthely (Hungary). 1975.

26. Крылов И.А., Крутков Ю.А. Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений. Л., 1932.

27. Антончик B.C. Методы стабилизации программных движений. СПб., Изд-во СПбГУ, 1998.39.3убов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л., «Судостроение», 1970.

28. Харитонова О.И. Анализ устойчивости параметрически возмущенной гироскопической системы. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 17: математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб., Изд-во СПбГУ, 1996, стр. 218-223.

29. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М., «Наука», 1980.

30. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М., «Наука», 1973.

31. Крылов И.А. Численное решение задачи об оптимальной стабилизации спутника. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 8, № 1, 1968.

32. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 2, № 6, 1962.

33. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 6, №2, 1966.

34. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 11, № 1, 1972.

35. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М., «Наука», 1976.

36. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

37. Курош М.Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1968.

38. Чеботарев Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномови целых функций. Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1949, т. 26.

39. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Исследование космического пространства. Итоги науки и техники. 1978, т.И.

40. Мгоян П.Б. Оценки в теории возмущенного движения. Диссертация, ЛГУ, 1987.

41. Павлов В.А. Теория гироскопа и гироскопических приборов. Л., «Судостроение», 1964.

42. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., «Наука», 1984.