автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Диффузионный хаос в системах уравнений реакция-диффузия

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

на правах рукописи

Карамышева Таисия Владимировна

ДИФФУЗИОННЫЙ ХАОС В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Я 1 ПМР ?.

9 ШЗ

Москва - 2013

005048946

005048946

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Магницкий Николай Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сидоров Сергей Васильевич;

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Федор Сергеевич.

Ведущая организация: Московский государственный технический

университет имени Н.Э. Баумана.

Защита диссертации состоится «20» февраля 2013 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1. Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан «_»__ 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

О .¿Г .___у

/ Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Множество различных научных, технических и социально-экономических процессов и явлений могут быть описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений. Решения таких систем могут быть представлены в фазовом пространстве различными топологическими структурами, такими как особые точки, предельные циклы, инвариантные торы, а также значительно более сложные нерегулярные притягивающие множества, названные нерегулярными аттракторами. Особым точкам в фазовом пространстве соответствуют стационарные, не меняющиеся со временем структуры, предельным циклам и инвариантным торам — различные периодические и квазипериодические волновые режимы, а нерегулярным аттракторам — сложные нерегулярные решения, названные динамическим хаосом. Нерегулярные во времени и неоднородные по пространственным переменным решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными называют пространственно-временным и, в частности, диффузионным хаосом.

Исследование перехода к диффузионному хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными является актуальной проблемой в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, экологии, экономике и других областях. Также эта проблема имеет большое значение для развития теории пространственно-временного хаоса в бесконечномерных нелинейных системах дифференциальных уравнений, которая на данный момент практически не разработана. В этом направлении были получены результаты A.A. Самарского, С.П. Курдюмова и их учеников о возникновении нестационарных, пространственно неоднородных непериодических решений в уравнении Курамото-

Цузуки. Результаты, касающиеся сценариев перехода к пространственно-временному хаосу в некоторых системах уравнений типа реакция-диффузия, были получены в работах H.A. Магницкого, C.B. Сидорова, A.B. Дернова.

Огромный класс физических, химических и биологических сред, широко изучающихся нелинейной хаотической динамикой, описывается системой уравнений в частных производных реакция-диффузия. Для описания конкретных систем в экологии, химической кинетике, физике плазмы и многих других областях было предложено множество таких моделей. Особый интерес представляют задачи типа реакция-диффузия, поведение которых таково, что при всех значениях скалярного системного параметра меньше некоторого бифуркационного значения система реакция-диффузия имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству решение, называемое термодинамической ветвью. При значениях скалярного системного параметра больше этого бифуркационного значения термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений усложняется. Это могут быть стационарные диссипативные структуры, периодические колебания или нерегулярные непериодические нестационарные структуры, называемые диффузионным хаосом, а также биологической (или химической) турбулентностью.

В диссертации рассматриваются системы типа реакция-диффузия с таким поведением, а именно: автоколебательные среды, описываемые уравнением Курамото-Цузуки, возбудимые среды, и экологические системы. Уравнение Курамото-Цузуки представляет собой сложный математический объект, оно может иметь стационарные, периодические и более сложные хаотические решения. Уравнение Курамото-Цузуки играет важную роль в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных средах диффузионного типа, представляет большой интерес при моделировании ветро-

вых волн на воде и ионно-звуковых волн в плазме. Системы уравнений типа ФитцХью-Нагумо описывают нелинейные процессы, происходящие в так называемых возбудимых средах. Это — распространение импульсов в нервном волокне и сердечной мышце, а также различные виды автокаталитических химических реакций. Частным случаем систем уравнений реакция-диффузия также являются различные экологические модели, попадающие в класс динамических систем, обладающих диффузионным хаосом, в частности, рассматривается замкнутая трофическая цепь длины два.

В работе проводится исследование перехода к диффузионному хаосу в описанных выше видах систем реакция-диффузия и устанавливаются соответствия сценариев перехода к хаосу универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ). Согласно этой теории переход к диффузионному хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия происходит через каскад бифуркаций устойчивых циклов и двумерных или многомерных торов: каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода исходного цикла (тора), затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения циклов (торов) любого периода вплоть до периода три, затем через гомо-клинический (гетероклинический) каскад бифуркаций Магницкого рождения циклов (торов) в соответствии с гомоклиническим или гетероклиническим порядком.

Цели диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование перехода к пространственно-временному (диффузионному) хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия, а также выяснение того, соответствует ли этот переход универсальному сценарию ФШМ. Для этого поставлены

следующие задачи:

• Провести численное исследование уравнения Курамото-Цузуки, описывающего автоколебательные среды в двумерном случае, и установить связи между возникающими в нем структурами — спиральными волнами и видом решений в фазовом пространстве. Выяснить, соответствует ли сценарий перехода к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае универсальной бифуркационной теории ФШМ.

• Провести анализ решений системы уравнений типа ФитцХью-Нагумо, описывающей возбудимые среды, сведением ее к трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) при помощи автомодельной замены переменных. Показать, что диффузионный хаос в системе уравнений типа ФитцХью-Нагумо описывается сингулярными аттракторами полученной системы ОДУ, и выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в этой системе универсальной бифуркационной теории ФШМ.

• Найти условия рождения периодических решений системы уравнений, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два, а также провести численное исследование решений этой системы. Выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы универсальной бифуркационной теории ФШМ.

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

• Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном

случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений. Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ).

• Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией ФШМ в трехмерной системе ОДУ, в которую переходит система уравнений типа ФитцХью-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.

• Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в пол-

ном соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации подходы и методы анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа имеют как теоретическую, так и практическую значимость для исследования и управления хаотическими режимами широкого класса автоколебательных и возбудимых сред, подходящих для описания многочисленных сложных физических, химических и биологических систем. Так, впервые доказана и подтверждена численными расчетами на основе разработанного в диссертации программного продукта универсальность ФШМ-сценария перехода к хаосу во всех системах рассмотренного класса. Впервые теоретически доказана возможность одновременного существования в системах уравнений с частными производными диффузионного типа бесконечного числа как периодических, так и хаотических решений. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы на практике при анализе хаотических режимов поведения и подавлении диффузионного хаоса, а также химической и биологической турбулентности в таких практически важных задачах, как управляемый термоядерный синтез и синтез новых элементов в ускорителях заряженных частиц, создание новых веществ в автокаталитических химических реакциях и поддержание численности и требуемых характеристик различных сосуществующих биологических видов и экосистем.

Основные методы исследования. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, хаотической динамики, а также численные методы решения нелинейных систем дифференциальных

уравнений.

Основные результаты и положения диссертации, выносимые на защиту:

• Метод фазового пространства анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих двумерные автоколебательные активные среды.

• Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае устойчивых трехмерных торов, а также каскадов бифуркаций устойчивых двумерных торов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.

• Метод анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих возбудимые активные среды, путем их сведения к системам ОДУ.

• Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях типа ФитцХью-Нагумо бесконечного числа различных устойчивых волновых решений, а также бесконечного числа различных режимов диффузионного хаоса, порожденных каскадами бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.

• Метод обнаружения скрытых бифуркационных параметров в нелинейных системах дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия.

• Бифуркационный анализ конкретной возбудимой среды, являющейся химической реакцией окисления молекул оксида углерода на поверхности платины.

• Метод бифуркационного анализа моделей распределенных экологических систем типа «хищник-жертва».

• Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях, описывающих трофическую цепь длины два, сценария перехода к диффузионному хаосу в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

• конференции «Тихоновские чтения 2010», 25-29 октября 2010 г., Москва;

• четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии», 17-23 августа 2011 г., Башкирия;

• конференции «Тихоновские чтения 2011», 14 июня 2011 г., Москва;

• конференции «Ломоносовские чтения 2011», 14-23 ноября 2011 г., Москва;

• девятнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», 30 января - 4 февраля 2012 г., Дубна;

• конференции «Ломоносовские чтения 2012», 16-19 апреля 2012 г., Москва;

• международной конференции «Динамические системы и их применение», 16-18 мая 2012 года, Киев;

• конференции «Тихоновские чтения 2012», 29 октября - 2 ноября 2012 г., Москва;

• научном семинаре «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова, 29 октября 2012 г., Москва.

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 11 работах. Из них 5 опубликованы в изданиях, удовлетворяющих требованиям ВАК [1-5], и 6 — в материалах конференций [6-11].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы и подразделы. Объем работы составляет 134 страницы текста, включая 51 рисунок. Библиография включает 52 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели и аргументирована научная новизна проведенных исследований, показана практическая значимость полученных результатов, проведен обзор литературы по рассматриваемой в работе тематике, кратко изложена структура и содержание работы по главам.

В первой главе диссертации описывается универсальная бифуркационная теория Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ) перехода к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений.

Раздел 1.1 посвящен теории ФШМ рождения циклов и сингулярных аттракторов в одномерных унимодальных отображениях. Показано, что переход к хаосу при изменении значений системного параметра в одномерных непрерывных унимодальных отображениях происходит в соответствии с одним универсальным сценарием. Этот сценарий начинается каскадом Фейгенбаума би-

фуркаций удвоения периода устойчивых циклов и продолжается субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского рождения устойчивых циклов любого периода вплоть до цикла периода три и затем гомоклиническим каскадом бифуркаций устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру — петле сепаратрисы неподвижной точки.

В разделе 1.2 рассмотрены двумерные неавтономные системы ОДУ и представлена теория особой точки типа ротор для таких систем. Эта теория устанавливает связь между одномерными унимодальными отображениями и двумерными неавтономными системами дифференциальных уравнений. Она позволяет применить теорию ФШМ для описания динамического хаоса в дифференциальных уравнениях.

В разделе 1.3 показано, что если трехмерная система ОДУ имеет сингулярный цикл некоторого периода, определенный комплексными показателями Флоке с равными мнимыми частями, то переходом к системе координат, вращающейся вокруг цикла, такая система может быть сведена к двумерной неавтономной системе в координатах, трансверсальных сингулярному циклу с нулевой особой точкой типа ротор, соответствующей циклу. Итак, все рассуждения из раздела 1.2 полностью подходят и для автономных трехмерных систем с сингулярными циклами.

В разделе 1.4 рассмотрен переход к динамическому хаосу в многомерных диссипативных системах ОДУ. Помимо рассмотренного выше механизма перехода к хаосу в соответствии с субгармоническим и гомоклиническим каскадами бифуркаций устойчивых циклов, в многомерных нелинейных системах ОДУ существует сценарий перехода к хаосу через субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций устойчивых двумерных или многомерных торов по одной или нескольким частотам одновременно. Универсальная

теория ФШМ описывает переход к динамическому хаосу также и в бесконечномерных нелинейных диссипативных системах ОДУ, а именно в нелинейных ОДУ с запаздывающим аргументом.

Раздел 1.5 посвящен динамическому хаосу в гамильтоновых и консервативных системах. В этом разделе рассмотрен бифуркационный подход к анализу хаотической динамики не только гамильтоновых, но и любых консервативных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Этот метод анализа решений гамильтоновой (консервативной) системы состоит в рассмотрении аппроксимирующей ее расширенной двухпараметрической диссипативной системы уравнений, устойчивые решения (аттракторы) которой являются сколь угодно точными приближениями к решениям исходной гамильтоновой (консервативной) системы. Аттракторы (устойчивые циклы, торы и сингулярные аттракторы) расширенной диссипативной системы ищутся численными методами с использованием результатов универсальной теории ФШМ.

В разделе 1.6 приведены выводы к главе 1. Существует единый универсальный бифуркационный сценарий ФШМ перехода к динамическому хаосу во всех видах нелинейных систем ОДУ, в том числе диссипативных и консервативных, автономных и неавтономных, а также дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Во второй главе рассматривается уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные среды.

В разделе 2.1 представлен общий вид системы уравнений типа реакция-диффузия и отмечены особенности типичного поведения некоторых систем этого типа. Система уравнений типа реакция-диффузия представляет из себя следующую систему уравнений в частных производных:

щ = Бхихх + /(и,

VI = + (1)

О < х 1,

где £>1 и 1>2 — коэффициенты диффузии переменных и и V, ц, — скалярный параметр.

Раздел 2.2 посвящен уравнению Курамото-Цузуки, представляющему из себя универсальную форму описания автоколебательной пространственно-временной системы в окрестности точки бифуркации. Любое решение системы уравнений реакция-диффузия (1), возникающее в окрестности термодинамической ветви в результате ее бифуркации при ц > ро> может быть выражено через комплекснозначную функцию У/(г,т), удовлетворяющую уравнению Курамото-Цузуки

\ут = Ц?+(1 + Ъ)]У„ - (1 + гс2)И^ | И^2, (2)

где г = ех, т = еН, с\ и сг — действительные постоянные, значения которых определяются по коэффициентам Г^Дг, функциям /(и,у,/л),д(и,ь,ц) и их производным, вычисленным на термодинамической ветви, а е = (ц — /¿о)1^2 — малый параметр. Хорошо известно, что решениями уравнения Курамото-Цузуки могут быть плоские волны, концентрические расходящиеся фазовые волны (пейсмекеры), а также спиральные волны, т.е. функции вида XV = д^^+шМ+т^ х = гсоар, у = гаш<р.

Рассмотрим вторую краевую задачу для уравнения Курамото-Цузуки в двумерном случае:

ЦГг = \¥+{ 1 + иц)(УГ„ + 1Ут) - (1 + гс2) \1У\2 ТУ, О х < I, 0 < у ^ I, 0 < * < оо, ^

жх(0, У, г) = ]уя(1, У, *) = Щх, о, *) = = ъ

\У(х>У,0) = \¥0(х,У),

где W = W(x,y,t) = u(x,y,t) +iv{x,y,t) - комплекснозначная функция, ci и C2 - действительные постоянные, Z = 2.

Для численных расчетов задач текущей и последующих глав были использованы метод переменных направлений и метод Рунге-Кутты 4-го порядка аппроксимации.

Раздел 2.3 посвящен изучению спиральных волн и соответствующих им решений в фазовом пространстве. Представлена диаграмма, отражающая области значений параметров {сьсг}, при которых на плоскости (х,у) наблюдаются плоские волны (I), спиральные волны (II) и диффузионный хаос (III). Далее рассматриваются решения уравнения (3) в бесконечномерном фазовом пространстве переменных (u,v). Для этого рассматривается четырехмерное подпространство (u(xl,yi),u(x2,y2),v(xi,yi),v(x2,y2)) бесконечномерного фазового пространства решений задачи (3).

Подраздел 2.3.1 посвящен изучению области параметров, соответствующей плоским волнам. При значениях параметров {сх,сг} из области плоских волн и при различном выборе пар точек (xi,y{) и (х2, Уг) в подпространстве (u(x:,yi),u(x2, y2),v(xi,yi),v(x2, у2)) были обнаружены различные замкнутые периодические траектории. Следовательно, плоским волнам соответствуют предельные циклы в фазовом пространстве задачи.

Подраздел 2.3.2 посвящен изучению области параметров, соответствующей спиральным волнам. При выборе пар точек (xi,yi) и (^2,уг) из области параметров II на плоскости (х,у) наблюдается несколько сосуществующих друг с другом спиральных волн. При ci = 0.5, = —0.68 и выборе пар точек из окрестностей центров спиральных волн были получены решения, проекции сечений плоскостью u(xi,yi) = 0 которых представляют собой пары замкнутых траекторий. Следовательно, в четырехмерных подпространствах

(и{хиУ1),и{х2,У2),ъ{хиУ1),у(х2,У2)) фазового пространства решений задачи (3) существуют двумерные инвариантные торы.

При выборе точек (ал, у\) и (хг, у2) в окрестности границы спиральных волн были получены решения, проекции сечений плоскостью и(х\,у\) = 0 которых представляют собой две заштрихованные области. Возьмем второе сечение плоскостью и(х2,У2) = 16 и получим две замкнутые траектории в плоскости координат («(ал, ¡/1), у(х2, у2)). Таким образом, можно сделать вывод, что в четырехмерном подпространстве (и(хь 7/1), и(х2,2/2)1 ^(^ъ 2/1)> Уг)) фазового пространства решений задачи (3) существует трехмерный тор.

При с\ = 0.5, с2 = -0.7 и выборе точек (21,2/1) и (ж2,2/2) из окрестности центра спиральной волны наибольшего радиуса (см. рис. 1а) в четырехмерном подпространстве (и(х1,у1),и(х2,у2),у{х1,у1),ь{х2,у2)) фазового пространства задачи (3) был найден сложный двумерный тор периода три из субгармонического каскада Шарковского, проекция сечения плоскостью 11(21, ух) = 0 которого показана на рис. 16. При выборе точек в окрестностях центров других спиральных волн в соответствующих им фазовых подпространствах решений были найдены трехмерные торы (рис. 1в), а также более сложные решения, чем трехмерный тор. К сожалению, современные численные методы и возможности персональных компьютеров не позволили точно установить, являются ли эти более сложные решения торами большей, чем три, размерности, трехмерными торами различных периодов или сингулярными субгармоническими тороидальными аттракторами.

При дальнейшем уменьшении значений параметра сг количество спиральных волн растет, и вид решений усложняется. Например, при значениях параметров С1 = 0.5, сг = -0.8 и выборе пар точек из окрестностей центров всех спиральных волн были получены решения одного вида, более сложные, чем

у{Х1,У1) б)

У{х2,У2)

Рис. 1: Спиральные волны в плоскости (х,у) при сх = 0.5, = —0.7 (а) и проекции частей сечений четырехмерного фазового подпространства решений задачи (3) в точках х\ = 0.4/, у\ = 0.45/, х2 = 0.41, у2 = 0.47/ (б) и ц = 0.74/, ух = 0.24/, х2 = 0.75/, у2 = 0.26/ (в)

трехмерный тор.

Подраздел 2.3.3 посвящен изучению области параметров, соответствующей диффузионному хаосу. При значениях параметров из Ш-ей области параметров на плоскости (х, у) уже нет устойчивых спиральных волн, а в проекциях любого четырехмерного подпространства фазового пространства решений наблюдается сплошной пространственно-временной хаотический режим.

В разделе 2.4 приведены выводы к главе 2. Проведен подробный анализ решений второй краевой задачи для уравнения Курамото-Цузуки в двумерном случае при различных значениях системных параметров. Установлена связь между спиральными волнами и различными устойчивыми торами в фазовом пространстве решений. И хотя пока точно не удалось установить, каскады бифуркаций торов какой именно размерности ведут к образованию хаотических режимов, тем не менее, проведенные численные расчеты позволяют утверждать, что сценарий перехода к пространственно-временному хаосу в автоколебательных активных средах происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.

В третьей главе проведен анализ решений систем уравнений типа ФитцХью-Нагумо, описывающих возбудимые среды.

В разделе 3.1 рассматриваются уравнения типа ФитцХью-Нагумо. Основным свойством, характеризующим класс возбудимых сред, является медленная диффузия одной переменной в системе уравнений реакция-диффузия (1) по сравнению с другой переменной. Поэтому общий вид системы уравнений типа ФитцХью-Нагумо может представлять собой систему (1) при условии £»2 = 0.

Анализ регулярных решений системы типа ФитцХью-Нагумо на прямой может быть проведен автомодельной заменой переменных £ = х — сЬ и переходом к трехмерной системе ОДУ. При этом волна переключения в исходной системе описывается сепаратрисой соответствующей системы ОДУ, идущей из ее одной особой точки в другую особую точку, а бегущие волны и бегущий импульс исходной системы описываются предельными циклами и петлей сепаратрисы особой точки этой системы ОДУ. Наибольший интерес, естественно, представляет случай, когда бифуркационным параметром является параметр с, не входящий явно в исходную систему уравнений и являющийся величиной скорости распространения возмущений вдоль оси х.

В разделе 3.2 рассмотрен модельный пример возбудимой среды, а именно один частный случай систем уравнений (1) при Дг = 0 с нелинейностями вида /(и,у,ц) = -(и - 1)(и - 6у)/е, = агс!§(аи) - V, где параметр

е является малым параметром. При фиксированных значениях параметров — 1,а = 2,6 = 6,е = 0.195 и изменении значений параметра с в системе ОДУ, в которую переходит исходная система уравнений при соответствующей автомодельной замене переменных, реализуется каскад бифуркаций Фейген-баума удвоения периода устойчивых предельных циклов, полный субгармо-

нический каскад бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с порядком Шарковского и затем неполный гомоклинический каскад бифуркаций устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру.

В разделе 3.3 рассмотрена система, описывающая химическую реакцию окисления молекул СО на поверхности платины Р<;(1 1 0):

1 , Ь + «Л

щ = — ~и\и ~ 1) I и---—)

Щ = /(«) - и>,

+ их

(4)

0, 0 < и<1/3,

1 - б.75и(и - I)2, 1/3 < и < 1,

1, 1 < и,

где f(u) - экспериментальная зависимость скорости изменения структуры поверхности, и - покрытие (поверхностная концентрация) адсорбированного СО, а ш - величина, характеризующая состояние поверхности. Параметры модели удовлетворяют условиям 0<а<1,6>0ие>0и характеризуют соответственно парциальные давления О и СО и температуру.

В подразделе 3.3.1 проводится сведение исходной системы уравнений с частными производными к системе ОДУ. Рассмотрим систему гй = У,

1 . . / Ь + ии\ Ч = -су + -и{и - 1) I и--— I ,

(5)

ги = -(ад - /(и)),

где производная берется по переменной

Утверждение 1. Пусть (и(£),г/(£), »(О) - решение системы (5). Тогда и(х,{) = и(х-а), ги(х,г) = ю(х-а) будет являться решением системы (4).

В подразделе 3.3.2 находятся особые точки полученной системы ОДУ, определяются условия, при которых одна из них будет являться седло-фокусом,

и изучается сценарий перехода к хаосу.

Утверждение 2. Система (5) имеет пять особых точек: 01(0,0,0), 02(1,0,1), О3(6/а,0,0) (приа> 3 Ъ), 04((6+1)/а,0,1) и 05(и5,0,1-б.75и5(«5-I)2), гдещ -решение уравненияац5 = Ь+ 1—6.761(5(145 — I)2, удовлетворяющее условию 1/3 ^ и ^ 1.

Утверждение 3. Особая точка 0${Ъ/а,0,0) будет являться седло-фокусом при следующих значениях параметров: —\/(4Ь/еа) (1 — Ъ/а) < с < 0, о > 6.

Следовательно, при фиксированных значениях параметров о = 0.25, Ь = 0.042, е = 0.09 и при -2.49 < с < 0 особая точка 03(0.168,0,0) системы (5) является седло-фокусом. При с < 0 вплоть до значения с « —0.519 в фазовом пространстве переменных (и, у, ги) существует устойчивый предельный цикл. При дальнейшем уменьшении значений параметра с в системе (5) реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода устойчивых предельных циклов и неполный субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с порядком Шарковского. Найденным решениям системы ОДУ (5), записанной относительно фазовых переменных (и, у, го), соответствуют бегущие волны в системе уравнений с частными производными (4).

В разделе 3.4 приведены выводы к главе 3. Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо (4) при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса (химической или биологической турбулентности).

Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией ФШМ в трехмерной системе ОДУ (5), в которую переходит система уравнений (4) при соответствующей автомодель-

ной замене переменных.

При этом бифуркационным параметром, не входящим явно в исходную систему уравнений, является величина скорости распространения возмущений вдоль пространственной оси.

В четвертой главе рассматривается проблема перехода к диффузионному хаосу в моделях экологических систем.

Раздел 4.1 посвящен уравнениям реакция-диффузия в экологических моделях. Приведено несколько примеров использования уравнений реакция-диффузия для экологических моделей.

В разделе 4.2 рассматривается экологическая модель трофической цепи длины два.

Трофической цепью назовем сообщество видов, последовательно связанных между собой отношениями типа «хищник-жертва», трофический граф которого представляет собой простую линейную цепь (без ветвлений).

Исследуемая модель замкнутой трофической цепи длины два с диффузией описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными

заданной на отрезке 0 < х ^ I.

Если рассматривать данную модель в качестве модели изолированных водоемов, то и {у) — плотность фитопланктона (зоопланктона), а — коэффициент интенсивности фотосинтеза. При этом С (бифуркационный параметр) — суммарное количество вещества в системе, остающееся постоянным, а £>х и £>2 — коэффициенты диффузии фито- и зоопланктона соответственно.

+ ОхЧхх

(6)

Подраздел 4.2.1 посвящен рождению цикла в сосредоточенной системе. Стационарное пространственно однородное решение (термодинамическая ветвь)

системы (6) имеет вид

тт 5 v 1ЧГ.-Л 5(20аС — 25а — 2) U = -,V = V(C,a) --4(25q + 4)-•

Это же решение является, очевидно, решением сосредоточенной двумерной системы ОДУ (6) при Dx = D2 = 0. Найдем условия рождения из термодинамической ветви устойчивого периодического решения (цикла) сосредоточенной системы в результате бифуркации Андронова-Хопфа.

Теорема 1. В сосредоточенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (6) бифуркационным параметром является параметр С, причем рождение устойчивого цикла из термодинамической ветви происходит при значении С*, удовлетворяющем уравнению V(C*,a) = 625а/16. Амплитуда рождающегося при С > С* периодического решения равна 0(у/С* — С), а его

период - (27г/(2у/^(С*, а)(25а + 4)/25))(1 + 0(С* - С)).

Замечание 1. Решением уравнения У(С*, а) = 625а/16 является значение бифуркационного параметра С* = (3125а2 + 600а + 8)/(80а).

Подраздел 4.2.2 посвящен рождению цикла в распределенной системе. Рассмотрим краевую задачу для системы уравнений (6) с отличными от нуля коэффициентами диффузии и со следующими смешанными граничными условиями:

, , 5 , ч Л „ х 5(20аС - 25а - 2) и»(0, г) = 0, «(1,4) = -, «,(0,4) = 0,«(!,<)= 4(25а + 4)-• (?)

Теорема 2. В краевой задаче (6)-(7) при выполнении условия А ^ (5/(25а+ 4)) (■к/21)2 - £>2 на коэффициенты диффузии рождение устойчивого цикла из термодинамической ветви происходит при значении бифуркационного параметра

С = С* = —(100(25а + 4) Г^)2 (А + £>2) + 3125а2 + 600а + 8).

80а \2б/

22

Амплитуда и период рождающегося неоднородного периодического решения имеют соответственно следующие асимптотические представления при малых е = у/С — С*:

и(х,Ь) = и+ £со8ш(е^соз^-+ 0(е2),

у{х,г) = V + е1/соаш(е)Ь соэ + 8нш(е)£ соз + 0(е2),

где

ш(е) = .о(1 + О^)), и$ = (§)' (^(А + ад - (|)21%) +

7 и 5 - некоторые постоянные.

Замечание 2. Отметим, что при / = 1 и а = 0.34 условие на коэффициенты диффузии принимает вид > 7г2£>|/10 — Дг и выполняется для всех £>1^0 и 0 < £)2 ^ 1.

В подразделе 4.2.3 рассмотрен диффузионный хаос в экологической модели на отрезке. Рассмотрим сценарий перехода к диффузионному хаосу в краевой задаче (6)-(7) при I = 1, а = 0.34, А = 0.001, £»2 = 0.05. В соответствии с изложенными выше результатами при значении бифуркационного параметра Со и 26.86 в задаче (6)-(7) в результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается пространственно неоднородное периодическое решение. Это периодическое решение представлено в бесконечномерном фазовом пространстве системы в виде замкнутой кривой (предельного цикла), проекция которой на каждое двумерное подпространство (и(хо), у(хо)), хо € [0,1], представляет собой свою замкнутую кривую. Рассмотрим фазовое пространство (и(аго), «(хо)), где хо = 0.84375. Как показывают численные расчеты, при увеличении значений параметра С в рассматриваемой краевой задаче существует полный субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с универсальным бифуркационным сценарием ФШМ.

В разделе 4.3 приведены выводы к главе 4. Проведено аналитическое и численное исследование модели экологической системы - трофической цепи длины два. Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

• Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений для различных областей значений переменных (х, у). Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет в фазовом пространстве решений устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ).

• Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси

с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией ФИШ в трехмерной системе ОДУ, в которую переходит система уравнений типа ФитцХью-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.

• Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Николаю Александровичу Магницкому за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Карамышева Т.В., Никитина М.Ю. Об одном подходе к классификации хаотических аттракторов трехмерных автономных систем // Труды ИСА РАН, 2009. Т. 44. С. 59-64.

[2] Карамышева Т.В. Спиральные волны и диффузионный хаос в уравнении Курамото-Цузуки // Труды ИСА РАН, 2010. Т. 53. С. 31-45.

[3] Карамышева Т.В., Магницкий H.A. Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в возбудимых средах // Труды ИСА РАН, 2012. Т. 62. Вып. 1. С. 63-66.

[4] Карамышева T.B. Бегущие волны в возбудимых средах // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. N 3. С. 439-441.

[5] Карамышева Т.В., Магницкий H.A. Переход к диффузионному хаосу в одной модели экологической системы // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. N И. С. 1501-1506.

[6] Karamysheva Т. Transition to diffusion chaos in an excitable reaction-diffusion model // Тезисы докладов XIX-ой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». М. - Ижевск, 2012. С. 152.

[7] Карамышева Т.В., Магницкий H.A. Бегущие волны и диффузионный хаос в одной модели реакция-диффузия // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2011». М., 2011. С. 36.

[8] Карамышева Т.В. Переход к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае // Труды IV-ой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». Челябинск, 2011. Т. 1. С. 58-62.

[9] Карамышева Т.В. Диффузионный хаос в модели реакция-диффузия для возбудимых сред // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения 2011». М., 2011. С. 42.

[10] Карамышева Т.В. Диффузионный хаос в возбудимых средах // Тезисы докладов международной конференции «Динамические системы и их приложения». Киев, 2012. С. 12.

[11] Карамышева Т.В. Переход к диффузионному хаосу в модели экологической системы // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения 2012». М., 2012. С. 16.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 15.01.2013 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 007. Тел./факс: (495) 939-3890,939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

Введение

1 Универсальный сценарий перехода к хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений.

1.1 Хаотическая динамика в одномерных унимодальных отображениях.

1.2 Динамический хаос в двумерных неавтономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.3 Динамический хаос в трехмерных автономных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.4 Динамический хаос в многомерных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.5 Динамический хаос в гамильтоновых и консервативных системах

1.6 Выводы к главе

2 Спиральные волны и диффузионный хаос в автоколебательных средах.

2.1 Системы уравнений типа реакция-диффузия.

2.2 Уравнение Курамото-Цузуки.

2.3 Спиральиые волны и соответствующие им решения в фазовом пространстве

2.3.1 Область параметров, соответствующая плоским волнам

2.3.2 Область параметров, соответствующая спиральным волнам

2.3.3 Область параметров, соответствующая диффузионному хаосу

2.4 Выводы к главе 2.

3 Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в возбудимых средах.

3.1 Система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо и автомодельная замена переменных.

3.2 Модельный пример возбудимой среды.

3.3 Система, описывающая реакцию окисления молекул СО на поверхности платины Pt(l 10).

3.3.1 Сведение к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.3.2 Особые точки и сценарий перехода к хаосу.

3.4 Выводы к главе 3.

4 Переход к диффузионному хаосу в моделях экологических систем.

4.1 Уравнения реакция-диффузия в экологических моделях.

4.2 Экологическая модель трофической цепи длины два.

4.2.1 Рождение цикла в сосредоточенной системе.

4.2.2 Рождение цикла в распределенной системе.

4.2.3 Диффузионный хаос в экологической модели на отрезке.

4.3 Выводы к главе 4.

Актуальность темы

Множество различных научных, технических и социально-экономических процессов и явлений могут быть описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений. Решения таких систем могут быть представлены в фазовом пространстве различными топологическими структурами, такими как особые точки, предельные циклы, инвариантные торы, а также значительно более сложные нерегулярные притягивающие множества, названные нерегулярными аттракторами. Особым точкам в фазовом пространстве соответствуют стационарные, не меняющиеся со временем структуры, предельным циклам и инвариантным торам — различные периодические и квазипериодические волновые режимы, а нерегулярным аттракторам — сложные нерегулярные решения, названные динамическим хаосом. Нерегулярные во времени и неоднородные по пространственным переменным решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными называют пространственно-временным и, в частности, диффузионным хаосом.

Исследование перехода к диффузионному хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными является актуальной проблемой в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, экологии, экономике и других областях. Также эта проблема имеет большое значение для развития теории пространственно-временного хаоса в бесконечномерных нелинейных системах дифференциальных уравнений, которая на данный момент практически не разработана.

Огромный класс физических, химических и биологических сред, широко изучающихся нелинейной хаотической динамикой, описывается системой уравнений в частных производных реакция-диффузия. Для описания конкретных систем в экологии, химической кинетике, физике плазмы и многих других областях было предложено множество таких моделей. Особый интерес представляют задачи типа реакция-диффузия, поведение которых таково, что при всех значениях скалярного системного параметра меньше некоторого бифуркационного значения система реакция-диффузия имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству решение, называемое термодинамической ветвью. При значениях скалярного системного параметра больше этого бифуркационного значения термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений усложняется. Это могут быть стационарные диссипативные структуры, периодические колебания или нерегулярные непериодические нестационарные структуры, называемые диффузионным хаосом, а также биологической (или химической) турбулентностью.

В диссертации рассматриваются системы типа реакция-диффузия с таким поведением, а именно: автоколебательные среды, описываемые уравнением Курамото-Цузуки, возбудимые среды, и экологические системы. Уравнение Курамото-Цузуки описывает поведение решений системы уравнений реакция-диффузия в окрестности ее стационарного однородного состояния и представляет собой сложный математический объект, оно может иметь стационарные, периодические и более сложные хаотические решения. Уравнение Курамото

Цузуки играет важную роль в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных средах диффузионного типа, представляет большой интерес при моделировании ветровых волн на воде [1] и ионно-звуковых волн в плазме [28]. Системы уравнений типа ФитцХыо-Нагумо описывают нелинейные процессы, происходящие в так называемых возбудимых средах. Это — распространение импульсов в нервном волокне и сердечной мышце [29, 40, 41, 51], а также различные виды автокаталитических химических реакций [46, 52]. Частным случаем систем уравнений реакция-диффузия также являются различные экологические модели, попадающие в класс динамических систем, обладающих диффузионным хаосом, в частности, рассматривается замкнутая трофическая цепь длины два.

В работе проводится исследование перехода к диффузионному хаосу в описанных выше видах систем реакция-диффузия и устанавливаются соответствия сценариев перехода к хаосу универсальной бифуркационной теории Фейгеибаума-Шарковского-Магницкого. Согласно этой теории переход к пространственно-временному (диффузионному) хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия происходит в соответствии с универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через каскад бифуркаций устойчивых циклов и двумерных или многомерных торов: каскад бифуркаций Фейгенба-ума удвоения периода исходного цикла (тора), затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения циклов (торов) любого периода вплоть до периода три, затем через гомоклинический (гетероклинический) каскад бифуркаций Магницкого рождения циклов (торов) в соответствии с гомоклиническим или гетероклиническим порядком.

Цели диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является исследование перехода к пространственно-временному (диффузионному) хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия, а также выяснение того, соответствует ли этот переход универсальному сценарию Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого. Для этого поставлены следующие задачи:

• Провести численное исследование уравнения Курам ото-Цузуки, описывающего автоколебательные среды в двумерном случае, и установить связи между возникающими в нем структурами — спиральными волнами и видом решений в фазовом пространстве. Выяснить, соответствует ли сценарий перехода к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Провести анализ решений системы уравнений типа ФитцХыо-Нагумо, описывающей возбудимые среды, сведением ее к трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи автомодельной замены переменных. Показать, что диффузионный хаос в системе уравнений типа ФитцХью-Нагумо описывается сингулярными аттракторами системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных, и выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в этой системе универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Найти условия рождения периодических решений системы уравнений, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два, а также провести численное исследование решений этой системы. Выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

Научная новизна работы

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

• Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений. Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различ9 ных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого в трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХыо-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.

• Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы - трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Теоретическая и практическая значимость

Разработанные в диссертации подходы и методы анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа имеют как теоретическую, так и практическую значимость для исследования и управления хаотическими режимами широкого класса автоколебательных и возбудимых сред, подходящих для описания многочисленных сложных физических, химических и биологических систем. Так, впервые доказана и подтверждена численными расчетами на основе разработанного в диссертации программного продукта универсальность ФШМ-сценария перехода к хаосу во всех системах рассмотренного класса. Впервые теоретически доказана возможность одновременного существования в системах уравнений с частными производными диффузионного типа бесконечного числа как периодических, так и хаотических решений. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы на практике при анализе хаотических режимов поведения и подавлении диффузионного хаоса, а также химической и биологической турбулентности в таких практически важных задачах, как управляемый термоядерный синтез и синтез новых элементов в ускорителях заряженных частиц, создание новых веществ в автокаталитических химических реакциях и поддержание численности и требуемых характеристик различных сосуществующих биологических видов и экосистем.

Основные методы исследования

В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, хаотической динамики, а также численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Основные результаты и положения диссертации, выносимые на защиту:

• Метод фазового пространства анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих двумерные автоколебательные активные среды.

• Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае устойчивых трехмерных торов, а также каскадов бифуркаций устойчивых двумерных торов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ).

Метод анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих возбудимые активные среды, путем их сведения к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях типа ФитцХью-Нагумо бесконечного числа различных устойчивых волновых решений, а также бесконечного числа различных режимов диффузионного хаоса, порожденных каскадами бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.

Метод обнаружения скрытых бифуркационных параметров в нелинейных системах дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия.

Бифуркационный анализ конкретной возбудимой среды, являющейся химической реакцией окисления молекул оксида углерода на поверхности платины.

Метод бифуркационного анализа моделей распределенных экологических систем типа «хищник-жертва».

Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях, описывающих трофическую цепь длины два, сценария перехода к диффузионному хаосу в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

• конференции «Тихоновские чтения 2010», 25-29 октября 2010 г., Москва;

• четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии», 17-23 августа 2011 г., Башкирия;

• конференции «Тихоновские чтения 2011», 14 июня 2011 г., Москва;

• конференции «Ломоносовские чтения 2011», 14-23 ноября 2011 г., Москва;

• девятнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», 30 января - 4 февраля 2012 г., Дубна;

• конференции «Ломоносовские чтения 2012», 16-19 апреля 2012 г., Москва;

• международной конференции «Динамические системы и их применение», 16-18 мая 2012 года, Киев;

• конференции «Тихоновские чтения 2012», 29 октября - 2 ноября 2012 г., Москва;

• научном семинаре «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН C.B. Емельянова, 29 октября 2012 г., Москва.

Публикации

Основные результаты диссертации содержатся в 11 работах. Из них 5 опубликованы в изданиях, удовлетворяющих требованиям ВАК [13-17], 6 — в материалах конференций [18-23].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы и подразделы. Объем работы составляет 134 страницы текста, включая 51 рисунок. Библиография включает 52 наименования.

4.3 Выводы к главе 4

Проведено аналитическое и численное исследование модели экологической системы — трофической цепи длины два. Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Заключение

Отметим еще раз основные результаты, полученные в работе:

• Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото-Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений для различных областей значений переменных (х,у). Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет в фазовом пространстве решений устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно-временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого.

• Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси

127 с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого в трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую переходит система уравнений типа ФитцХью-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.

• Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Николаю Александровичу Магницкому за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Андронов A.A., Фабрикант А.Л. Затухание Ландау, ветровые волны и свисток // Нелинейные волны. — М.: Наука, 1979. С. 68-104.

2. Атауллаханов Ф.И., Зарницына В.И., Кондратович А.Ю., Лобанова Е.С., Сарбаш В.И. Особый класс автоволн (автоволны с остановкой) определяет пространственную динамику свертывания крови // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. № 6. С. 671-690.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992, 541 с.

4. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Двух-компонентные диссипативные системы в окрестности точки бифуркации // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. — М.: Наука, 1986. С. 7-59.

5. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Оклассификации двухкомпонентных систем в окрестности точки бифуркации // ДАН СССР, 1984. Т. 279. № 3. С. 591-595.

6. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. О диффузионном хаосе в нелинейных диссииативных системах // ДАН СССР, 1984. Т. 279. № 5. С. 1091-1096.

7. Братусь A.C., Новожилов A.C., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. ФИЗМАТЛИТ, 2011. 401 с.10J Ванаг В.К. Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах. -М. Ижевск, ИКИ, 2008, 300 с.

8. Карамышева Т.В., Никитина М.Ю. Об одном подходе к классификации хаотических аттракторов трехмерных автономных систем // Труды PICA РАН, 2009г. Т. 44. С. 59-64.

9. Карамышева Т.В. Спиральные волны и диффузионный хаос в уравнении Курамото-Цузуки // Труды ИСА РАН, 2010. Т. 53. С. 31-45.

10. Карамышева Т.В., Магницкий Н.А. Бегущие волны, импульсы и диффузионный хаос в возбудимых средах // Труды ИСА РАН, 2012. Т. 62. Вып. 1. С. 63-66.

11. Карамышева Т.В. Бегущие волны в возбудимых средах // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. N 3. С. 439-441.

12. Карамышева Т.В., Магницкий Н.А. Переход к диффузионному хаосу в одной модели экологической системы // Дифференц. уравнения. 2012 г. Т. 48. N И. С. 1501-1506.

13. Karamysheva Т. Transition to diffusion chaos in an excitable reaction-diffusion model // Тезисы докладов XIX-ой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». М. Ижевск, 2012. С. 152.

14. Карамышева Т.В., Магницкий Н.А. Бегущие волны и диффузионный хаос в одной модели реакция-диффузия // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения 2011». М. 2011. С. 36.

15. Карамышева Т.В. Переход к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае // Труды IV-ой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». Челябинск. 2011. Т. 1. С. 58-62.

16. Карамышева Т.В. Диффузионный хаос в модели реакция-диффузия для возбудимых сред // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения 2011». М. 2011. С. 42.

17. Карамышева Т.В. Диффузионный хаос в возбудимых средах // Тезисы докладов международной конференции «Динамические системы и их приложения». Киев, 2012. С. 12.

18. Карамышева T.B. Переход к диффузионному хаосу в модели экологической системы // Тезисы докладов научной конференции «Тихоновские чтения 2012». М., 2012. С. 16.

19. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику: Учеб. руководство. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990, 272 с.

20. Магницкий H.A. Теория динамического хаоса. — М.: ЛЕНАНД, 2011. 320с.

21. Магницкий H.A., Огинова Ю.В. Исследование сценария перехода к хаосу в модели экологической системы // Труды ИСА РАН., 2005. Т. 14. С. 190-197.

22. Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 320с. (Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New methods for chaotic dynamics. Singapore, 2006.)

23. Рабинович M.И., Фабрикант А.Л. Стохастическая автомодуляция воли в неравновесных средах // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, Вып. 2(8). С. 617-629.

24. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. — Ижевск: Институт компьют. исследований, 2006, 184 с.

25. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. -М. -Ижевск: ИКИ, 2003. 402 с.

26. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. -М.: Наука, 1971. 550с.

27. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. — М., 1987.

28. Сидоров С.В. О хаотической динамике в решениях вида бегущей волны // Труды ИСА РАН, 2008. Т. 33. В. 12.

29. Сидоров С.В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование // Дифференц. уравнения, 2009. Т. 45. Л"2 2. С. 250-254.

30. Сидоров С.В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН, 2006. Т. 10. С. 91-97.

31. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М., 1985.

32. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосиб.: Наука, 1967. 197с.

33. Bar М., Gottschalk N., Eiswirth М. and Ertl G. Spiral waves in a surface reaction: Model calculations // J. Chem. Phys., 1994. 100. P. 1202-1214.

34. Blow K.J., Doran N.J. Global and local chaos in the pumped nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. Lett., 1984. Vol. 52. N 7. P. 526-529.

35. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane // Biophys. J., 1961. 1. P. 445-466.

36. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application conduction and excitation in nerve //J. Physiol., 1952. 117. P. 500-504.

37. Krischer K., Eiswirth M. and Ertl G. Oscillatory CO oxidation on Pt(110): Modeling of temporal self-organization //J. Chem. Phys., 1992. 96. P. 91619172.

38. Kuramoto Y. Diffusion-induced chaos in reaction systems // Suppl. Progr. Theor. Phys., 1978. N. 64. P. 346-367.

39. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys., 1975. Vol. 54. N 3. P. 687699.

40. Mach J. Stability of Stationary States of The Gray-Scott model // HPC-Europa: Science and Supercomputing in Europe, report 2008, P. 484-487.

41. Merkin J.H., Petrov V., Scott S.K., Showalter K. Wave-Induced Chemical Chaos // Phys. Rev. Letters, 1996. Vol. 76. 3. P. 546-549.

42. Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE, 1962. Vol. 50. P. 2061-2070.

43. Petrovsky S.V., Malchow H. Wave of chaos: New mechanism of pattern formation in spatio-temporal population dynamics // Theor. Popul. Biol., 2001. Vol. 59. P. 157-174.

44. Stewartson K., Stuart J.T. A non-linear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow //J. Fluid Mech., 1971. Vol. 48. N 3. P. 529-545.

45. Ward M.J. Asymptotic methods for reaction-diffusion systems: past and present // Bull. Math. Biol., 2006. Vol. 68. P. 1151-1167.

46. Zeeman E.C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulses. — Mathematical Institute, Univer. of Warvick, Coventry. 1972

47. Zimmermann M.G., Firle S. O., Natiello M. A., Hildebrand M., Eiswirth M., Bär M., Bangia A. und Kevrekidis I.G. Pulse bifurcation and transition to spatiotemporal chaos in an excitable reaction-diffusion model // Physica D, 1997. 110. P. 92-104.