автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах

На правах рукописи

Купцов Павел Владимирович

Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Саратов - 2012

Рабою выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.»

Научный доктор физико-математических наук, профессор

консультант: Кузнецов Сергей Петрович

Официальные Андрейченко Дмитрий Константинович омпопепты: доктор физико-математических паук, доцент, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое обеспечение вычислительных комплексов и информационных систем»

Астахов Владимир Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, ФГЬОУ ВИС) «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.», заведующий кафедрой «Радиотехника»

Волков Евгений Израилевич

доктор физико-математических паук, профессор, ФГБУН «Физический институт имени П. Н. Лебедева Российской академии паук», г. Москва, главный научный сотрудник отделения теоретической физики

Ведущая Федеральное государственное бюджетное образовательное

организация: учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского» 'Защита состоится 23 января 2013 г. в 13:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.», расположенном по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.».

Автореферат разослан «.

2 «Г

2012 г.

Учёный секретарь С-ТМУ^

диссертационного совета ^У1'!/ Тсрентьев А. А.

Общая характеристика работы I. lü'_____J

Актуальность работы. Нелинейные системы со сложной динамикой возникают в самых разных предметных областях, и зачастую им отвечаю! одни и те же универсальные математическое модели. При этом так как реальные системы почти всегда включают в себя большое количество взаимодействующих ■элементов, для их исследования наиболее адекватными являются математические модели с большим числом степеней свободы. Несмотря па значительный многолетний интерес исследователей к таким системам, количество не решённых задач по-прежнему велико из-за их высокой сложности и ресурсоёмкостп. В этой связи актуальными являются разработка новых универсальных математических моделей нелинейных систем высокой размерности и их исследование, в том числе с привлечением новых методов.

Одним из главных инструментов моделирования и изучения хаотической динамики является ляпуновский анализ. В его основе лежат классическая теория устойчивости Ляпунова141, мультипликативная эргодическая теорема'2', а также алгоритм вычисления этих показателей'''4'. Действуя формально, методы ляпуиовского анализа можно воспроизвести без изменений к системам с любой размерностью фазового пространства: низкой или высокой. По этой причине специфика и тонкости применения ляпуновского анализа к системам высокой размерности остались по большей части не изученными.

В последнее время интерес к ляпуновскому анализу существенно вырос в связи с открытием эффективных алгоритмов вычисления так называемых ковариантных ляпуновских векторов'5,6', которые открывают новые возможности для изучения хаоса в системах высокой размерности. Соображения о существовании ковариантных ляпуновских векторов высказывались уже много лет назад'7 8'. Тем не менее до сих пор не было проведено систематическое теоретическое изучение этих векторов и их связей с другими объектами ляпуновского анализа.

Система называется грубой или структурно устойчивой, если качественный характер её динамики не меняется при небольших вариациях параметров'9'. Эта концепция очень важна для физических и технических приложений теории динамических систем, так как, имея дело с грубой системой, можно быть уверенным, что математическая модель адекватно описывает систему, несмотря на допущения, сделанные при построении модели, на отклонения от заданных значений параметров, неизбежные при конструировании, а так-

[1] Малкип И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. С. 530.

[2] Оселедец В. И. // Труды Моск. ыатем. об-ва. 1968. Т. 19. С. 197-231.

[3] Benettin G., Galgani L„ Oiorgilli A., Strelcyn J. M. ,7 Meccanica. 1980. T. 15. C. 9-30.

|4] Shimada t.. Xagashima T. // Prog. Thcor. l'hys. 1979. T. 61, Л» 6. C. 1605-1616.

15| Ginelli Г., Poggi P., Turclii A. и др. .'/ Phys. Rev. Leu. 2007. T. 99. С. 130601.

[61 Wolfe С. 1... Sainelson R. M. // Tellus Л. 2007. T. 59. С. 355-366.

17] Rckmaiiil J P.. Ruelle D. // Rev. Moil. Phvs. 1985.-Jul. I. 57. .V» 3. C. 617 656.

[8] Legras В., Vautard R. // Predictability / Под ред. T. Palmer. ECMWF, Reading, UK, 1996. T. I nj ECWF Seminar. C. 135-146.

[9] Андропов А. А., Вит А. А., Хайкии С. Э. Теория колебании. M.: Наука, 1981. С. 568

же па наличие разного рода шумов. Именно грубые системы представляют наибольший интерес и подлежат первостепенному изучению Среди хаотических систем свойством грубости обладают системы с однородной гиперболичностью. Гиперболические аттракторы отвечают динамике с сильными хаотическими свойствами и допускают далеко идущий математический анализ. Однако только сравнительно недавно была сформулирована идея создания простых, реализуемых экспериментально систем с гиперболичностью1"'1. На основе этого возникло повое направление актуальных исследовании. 1) частности, появилась возможность решать задачи о пространственно-временном гиперболическом хаосе в физически реализуемых автоволновых системах, которые ранее не рассматривались.

Механизм неустойчивости Тьюринга в автоволновых системах с момента его открытия в 1952 году'"' широко используется для объяснения структуро-образования в системах разной природы'12'. Однако часто анализ ограничивается проведением качественной аналогии, тогда как записать реалистичные модельные уравнения оказывается затруднительно'bli|'. Проблема состоит в том, что в основе механизма Тьюринга лежат разные скорости диффузии компонент системы. С одной стороны, не ясно, насколько часто такое явление встречается в природе'14', а с другой — выяснилось, что его трудно реализовать в эксперименте. Например, по этой причине первое экспериментальное наблюдение тьюринговской неустойчивости состоялось только через 40 лет после теоретической работы Тыоринга'15'. Ещё одна проблема состоит в том, ч то для многих автоволновых систем область неустойчивости Тьюринга занимает на плоскости параметров относительно небольшую площадь'1617', что затрудняет подбор параметров для наблюдения этого эффекта. В этой связи актуальным является исследование новых, иетыоринговских механизмов самоорганизации в автоволновых системах.

Существенный прогресс в этом направлении был достигнут сравнительно недавно благодаря включению в рассмотрение не только диффузионного, но и конвективного переноса. В частности, это привело к открытию эффекта потоково-диффузионной развёртки колебаний '18' (существует два англоязычных варианта названия: «Flow and diffusion dislributed structures», FDS и «Flow distributcd oscillations», FDO). Большой интерес к этому эффекту как

[IUI Kuznetsov S. P. Hyperbolic Chaos: A Physicist's View. Higher education Press: Bijing and Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg. 2012. C. 336.

(11] Turins A. M. /,' Phil. Trans. R. Soc. B. 1952. T. 237. C. 37-72.

[12] Mioppcfi jT ,'L MaTCMain'ieCKa); 6no:iormi. Bbcachuc. PX^, 2009. T. I. C. 776.

[13J Bonabeau F.. // Art. life, The MIT Press. I997. T. 3, № 3. C. I9I-2H.

[Ml Nagaliara H., Ma Y, Takenaka Y. Ii iip. U Pliys. Rev. E. 2009. T. B0. C. 02I906.

(15] Castas V.. Dulos H., Boissonadc .1.. Do Kcpper P. '/ Phys. Rev. Lou. 1990.-Jun. T. M, .Y» 24. C. 2953-2956.

[161 Murray J. D. // J Math. Biol. 1982. T. 9R. C. 134-163.

[17] Satnoianti R. A.. Maini P. K„ Menzinger M. // Phys. D. 2001. T. 160. C. 79-102.

[IS] Kuznclsov S. P., Mosckildc E.. Dcwel G., Borekntans P. H J. Client. Phys. 1997. T. 106. C. 7609.

экспериментаторов'19'20'21'22', так и теоретиков'23'2'1'25' обусловлен тем, что он представляет собой новый универсальный механизм структурообразовапия. При этом не требуются сложные в технической реализации разностные поток или диффузия I26'27'. Кроме того, на плоскости параметров область развёртки обычно значительно обширнее области Тьюринга'171. Важно также, что, как показывают эксперименты, структура развёртки нечувствительна к широкому набору внешних воздействий '28'. Предполагается, что новый, легко реализуемый механизм самоорганизации будет выявлен во многих природных процессах. Например, имеются работы, объясняющие с его помощью явление осевой сегментации растущего организма'29,30'. Однако имеющийся теоретический анализ выполнен только в линейном приближении и только для одномерных систем. Такой ограниченный подход, в частности, не позволяет объяснить результаты некоторых экспериментальных исследований.

Таким образом, в диссертации решаются актуальные задачи по исследованию сложной динамики, демонстрируемой универсальными модельными системами с высокой размерностью фазового пространства.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении новых феноменов нетьюринговской самоорганизации и гиперболического хаоса в автоволновых модельных системах, а также в разработке новых численных методов анализа хаоса в системах высокой размерности. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Разработка новых алгоритмов ляпуновского анализа хаотических систем высокой размерности и реализация их в виде комплекса программ.

2. Выявление специфики применения известных численных методов ляпуновского анализа к хаотическим системам высокой размерности.

3. Математическое моделирование стационарных структур в автоволновых системах с открытым потоком и выявление условий их существования и устойчивости.

4. Создание и выявление ключевых свойств автоволновых модельных систем, генерирующих пространственно-временной гиперболический хаос.

Научная новизна:

1. Разработан и реализован в виде комплекса программ быстрый и экономичный численный метод определения углов между касательными подпространствами динамической системы. Этот метод может быть использован в

[19] Кл;гп М., МяшпЕег М. /' 1. РЬу5. СЬеш. А. 2002. Т. 106. № 19. С. 4897-4903.

[20] Кги-п М., Бахали К. А., Мшшгип А. Р.. Ме1шП£Сг М. '/РЬуз. СЬет. СИет. Р11у5. 2002. Т. 4. С. 1315-1314.

[211 ВатГопЬ 1. Я., ТоЛ Я., Са5раг V., БсоИ Б. К.. // РИуБ. СИет. СИет РИу5. 2002. Т. 4, ,У> 8. Г. 1299-1306.

[22] М1вшд 15. й., Батсмапи К. А., Мипитип А. Р. Н РИуз. Ису. Е. 2006. Т. 73, № 2. С. 025201.

[23] ВатГопИ 1. И., Ка1Шаш Б., Мсгкт I Н., ЗсоМ 5. К. /.' РНуь. СИет. СИет. РИуь. 2000. Т. 2. Г. 4013-4021.

[24] Затснапи Я. А., Мепгтцег М. /' РНу5. Ке^ Е. 2000. Т. 62. С. 113-119.

[25] МсСтг Р. N.. Мепгтцег М. И РЬу». Яеу. Е. 2003.-Эсс. Т. 68. .V« 6. С. 066122.

[26] Каст М„ Меп21Л£сг М. И РИу5. Е. 1999. Т. 60. С. Я3471-К34 74.

[27] ИатГопИ ]. Я.. Мсгкт 1. П.. Ясон 5. К. м др. // РИуз. СИет. СИет. РНу5. 2001. Т. 3. С. 1435-1438.

[28] М1ечег й. в., [ли О. О.. Мипшип А. Р Ч РИув. Йе* Е. 2006. Т. 73. № I. С. 016207.

[29] Калл VI.. Мегшп§ег М.. Нип<1те А. // J. ТИеог. Вю1. 2000- Т. 207. С. 473-493.

|30) Кжгп М„ М„ Батшапи Я. А.. НигкКпв А. /,' 1. Я. СИет. Бос. 2002. Т. 120. С. 295-312.

вычислительных 'экспериментах для проверки свойства гиперболичности хао-шческих диссппативпых систем высокой размерности.

2. Разработан новый численный метод нахождения ковариаптных ляпу-повских векторов. Метод реализован в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента. Его преимуществами являются высокая эффективность и нечувствительность к плохо обусловленным задачам.

3. Впервые систематически изложены теоретические обоснования существования ковариантных ляпуновских векторов и их взаимосвязей с другими типами ляпуновских векторов и показателей.

4. Впервые выполнен подробный анализ известных из литературы численных методов нахождения ковариантных ляпуновских векторов, выявлены их сильные и слабые стороны.

5. Применительно к системам с высокой размерностью детально изучен стандартный численный метод нахождения ляпуновских показателей. Выявлены специфические для таких систем источники погрешностей и грубых ошибок, предложены способы, позволяющие их диагностировать и избежать.

6. Предложен новый математический метод исследования характера динамики моделей систем высокой размернос ти, в основе которого лежит статистический анализ флуктуации локальных показателей Ляпунова с применением теории больших уклонений. Метод реализуется в форме вычислительного эксперимента и позволяет выявлять присущие системе симметрии, анализировать пространственные корреляции и переход к термодинамическому пределу.

7. Выполнено комплексное исследование математических моделей эффекта погоково-диффузионной развёртки колебаний с использованием аналитических методов и технологий вычислительного эксперимента. Проанализированы условия её возникновения в зависимости от наличия в системе других типов неустойчивостей. Выявлены условия устойчивости структуры потоко-во-днффузионной развёртки колебаний к малому шуму на входе системы. Обнаружен режим, когда структура линейно неустойчива и, следовательно, иена-блюдаема в эксперименте, выявлены два сценария её стабилизации. Показана возможность формирования структуры потоково-диффузионной развёртки в системах с абсолютной неустойчивостью. Проанализировано взаимодействие структуры развёртки и колебательного решения, выявлены условия преобладания одного из них и их сосуществования. Доказана возможность наблюдать потсково-диффузионную развёртку в системах с течением Пуазёйля, а также выявлены сочетания параметров, при которых потоково-диффузионная развёртка в таких системах не возникает. Изучено влияние на структуру развёртки подвижного возмущения в виде частицы, увлекаемой потоком. Выявлены возможные виды отклика системы на такое возмущение.

8. Выполнено математическое моделирование автоволновой системы с открытым потоком, имеющим коническую геометрию. Продемонстрирована возможность определения критической скорости перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной при помощи такой системы.

9. С привлечением методов вычислительного эксперимента произведе-

но комплексное исследование математической модели с гиперболическим хаосом, построенной на основе двух связанных неавтономных амплитудных уравнений. Выполнено качественное описание динамики, проанализирована структура аттрактора, проведена проверка свойства гиперболичности. Исследована полная синхронизация двух таких систем. Показано, как в этом случае проявляются закономерности, характерные для хаотической синхронизации, такие как изрешеченный бассейн притяжения симметричного аттрактора и пузырящийся аттрактор.

10. Предложена новая математическая модель распределённой системы с диффузией и локальной гиперболической динамикой, демонстрирующая режим низкоразмерного гиперболического гиперхаоса. Этот режим возникает при уменьшении величины пространственной связи, с появлением второго положительного показателя Ляпунова, что сопровождается разрушением пространственно-однородных колебаний. Гиперболичность разрушается при появлении третьего положительного показателя Ляпунова. Предложенная модель обладает универсальностью, но при этом не является абстрактной, как многие другие модели гиперболического хаоса, а отвечает натурным системам.

11. Предложена новая математическая модель распределённой системы, осуществляющая генерацию гиперболического хаоса. В основе механизма генерации лежит попеременное возбуждение двух пространственных мод с разными волновыми числами, сопровождающееся поочерёдной передачей возбуждения от одной моды к другой. Предложенная модель является универсальной и отвечает натурным системам разной природы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные и усовершенствованные в диссертации методы, применяемые при математическом моделировании сложных динамических систем, — это вклад в развитие аналитического и численного исследовательского инструментария.

Выполненный в диссертации анализ свойств гиперболического хаоса в автоволновых системах способствует дальнейшему продвижению на пути понимания фундаментальных основ пространственно-временного хаоса. Однако, несмотря на универсальность и фундаментальность изученных математических моделей, их специфика такова, что имеется ясное понимание связей моделей с реальными системами. Это открывает перспективы приложений для хорошо развитой математиками гиперболической теории, а также ставит на повестку дня проведение сравнительных исследований гиперболического и негиперболического хаоса в теории и эксперименте. Также большое значение имеют результаты анализа эффектов нетьюринговской самоорганизации в модельных системах с открытым потоком. Такие системы широко изучаются экспериментально, но только после детального теоретического исследования, выполненного в диссертации, удалось объяснить некоторые из их наблюдаемых свойств.

Предложенные и исследованные в работе автоволновые модели с регулярной и хаотической динамикой могут быть реализованы в виде систем разной

природы, например -электронных, оптических, спиновых, химических, биологических. Одно из возможных применений систем с гиперболическим хаосом — высоконадёжные генераторы хаоса, применяемые в устройствах защиты информации. Оптические системы, воплощающие изученные в диссертации математические модели могут найти применение при разработке широкополосных лазеров и новых устройств создания изображений. Обсуждаемые в диссертации эффекты самоорганизации используются при моделировании процессов биологического морфогенеза. Также они могут быть применены в промышленности для динамической сегрегации компонентов осциллирующих реакций. Реализация исследованных моделей на основе спиновых автоволновых систем создаёт интересные перспективы по созданию новых твердотельных электронных устройств.

Полученные в диссертации результаты могут быть полезны для научных групп, занимающихся моделированием нелинейной динамики сложных систем разной природы, использованы в работе инженерных коллективов при конструировании новых систем со сложной динамикой, а также в учебном процессе университетов, осуществляющих обучение по физическим, математическим и техническим направлениям.

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием выводов теоретических исследований и численного моделирования, совпадением реализуемого в численном эксперименте поведения с предсказанным на основе качественных рассуждений, использованием тщательно проработанных численных методов, согласованностью наблюдаемых эффектов с известными из литературы экспериментами, а также отсутствием противоречий с известными из литературы результатами. Все результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и прошли проверку при рецензировании.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ быстрый и экономичный численный метод определения угла между двумя касательными подпространствами динамической системы с размерностями к и т — к, где т - размерность всего касательного пространства. Идея метода в том, чтобы вместо второго подпространства рассматривать его ¿-мерное ортогональное дополнение. Так как обычно интерес представляют ситуации, когда к <к т, достигается значительная экономия времени счёта и машинной памяти по сравнению с существующими методами, в которых рассматривается непосредственно исходное подпространство с высокой размерностью т - к.

2. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ эффективный численный метод нахождения ковариантных ляпуновских векторов. В основе метода лежит нахождение минус- и плюс-предельных ляпуновских векторов и разложение матрицы их скалярных произведений на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. Преимущество метода по сравнению с одним из двух ранее известных методов в том, что требуется на одно матричное умножение меньше, а по сравнению с другим - отсутствие необходимости

выполнять обращение плохо обусловленных матриц.

3. Вычисляя полный спектр показателей Ляпунова для автоволновой системы и используя для решения уравнений смешанную (полунеявную) схему численного метода конечных разностей, требуется выбирать шаги дискретизации, исходя из оценки А/ < 0.5Дх2/Н, где d - максимальное по модулю собственное число матрицы диффузии системы. Ограничение не противоречит известному из учебников свойству абсолютной устойчивости этой численной схемы, а обусловлено спецификой работы алгоритма вычисления показателей Ляпунова. При нарушении неравенства происходит паразитная генерация коротковолновых мод в касательном пространстве, что приводит к грубой ошибке в значениях показателей из правой (отрицательной) части спектра. Паразитная генерация не возникает независимо от величины шагов, только когда используется полностью неявная схема.

4. Предложена математическая модель генерации низкоразмерного (один положительный показатель Ляпунова) пространственно-временного гиперболического хаоса на основе взаимодействия двух возбуждаемых поочерёдно пространственных мод. Модель обладает универсальностью и не зависит от природы системы, на основе которой реализуется. Существенные компоненты модели: моды должны иметь целочисленное отношение волновых чисел, в системе должна присутствовать нелинейность порядка этого отношения, а также должна иметься пространственная неоднородность с волновым числом, разность которого с волновым числом коротковолновой моды по абсолютной величине должна быть равна волновому числу длинноволновой.

5. Предложена математическая модель автоволновой системы, построенная из локальных элементов с гиперболической динамикой, которая может демонстрировать режим низкоразмерного пространственно-временного гиперболического гиперхаоса: система, сохраняя гиперболичность, имеет два положительных показателя Ляпунова. Этот режим характеризуется степенной зависимостью энтропии Колмогорова-Синая от длины системы. Он разрушается при увеличении длины (что соответствует уменьшению пространственной связи), когда третий показатель становится положительным. Так как модель построена на основе универсальных амплитудных уравнений, она отвечает широкому классу реальных систем разной природы.

6. Структура потоково-диффузионной развёртки колебаний в автоволновых системах, существующая, как следует из линейного анализа, при превышении скоростью потока критического значения, в окрестности этого значения линейно неустойчива и, следовательно, ненаблюдаема экспериментально. Этим объясняются известные, например из [Taylor, Bamforth, Bardslcy, РССР 4, 5640 (2002)], завышенные экспериментальные значения критической скорости. Стабилизация происходит при увеличении скорости потока.

7. Структура потоково-диффузионной развёртки существует не только при конвективной неустойчивости, но и в условиях абсолютной неустойчивости в системе. В последнем случае имеет место жёсткий переход: структура развёртки возникает, когда постоянное входное возмущение превышает поро-

юное значение.

S. Структура потоково-диффузиопной развёртки колебаний может существовать в автоволновых системах с течением Пуазёнля (параболический профиль скорости потока). Тем не менее существуют диапазоны значений параметров, при которых развёртка не развивается. Попаданием параметров в запрещенную область объясняется неудачный эксперимент с разверткой в такой системе [Ka:rn, Menzingcr, Phys. Rev. Е 60, R3471 (1999)]. Является ошибочным основанный на этом эксперименте вывод, что для развёртки необходимым условием является поток с плоским профилем.

9. Для измерения критической скорости перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной в автоволновых системах с открытым потоком можно использовать конструкцию в форме тонкого длинного расширяющегося конуса, т. е. у которого радиус выходного отверстия много меньше продольной длины. Скорость потока убывает по мере удаления от входа, и поэтому убегающий вниз по течению граничный слой развивающейся неустойчивости останавливается так, что точка, где скорость потока равна критической, оказывается в пределах этого слоя. Определив положение точки остановки и зная зависимость скорости потока от координаты, можно определить критическую скорость перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной.

10. Из-за присущей однородно гиперболическим аттракторам весьма низкой (множество меры нуль) плотности вложенных неустойчивых инвариантных множеств полная хаотическая синхронизация двух таких аттракторов проявляется специфическим образом, (а) В изрешеченном («riddling») бассейне притяжения симметричного аттрактора точки, не принадлежащие бассейну, не образуют сколько-нибудь крупных связанных фрактальных областей, как это имеет место для негиперболических систем, (б) При наблюдении эффекта пузырящегося аттрактора («bubbling») интервалы между всплесками поперечных отклонений от аттрактора чрезвычайно велики (на много порядков больше единицы), (в) Эти эффекты можно наблюдать только в очень узком диапазоне параметра связи (Ad <sz diyn) вблизи точки синхронизации dsya.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и школах: Nonlinear science festival III (Kongens Lyngby, Denmark, 2001), 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS, Saratov, 2001 и 2010), PANDA Meeting (Surrey, United Kingdom, 2004), Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика (Саратов, 2008 и 2009), Sommerschule in Drittes Physikalisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen (Braunlage im Harz, Germany, 2009), Статистическая физика и информационные технологии (Statlnfo, Саратов, 2009), Exploring Complex Dynamics in High-Dimensional Chaotic Systems (ECODYCIO, Dresden, Germany, 2010), The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (Dresden, Germany, 2010), XXXI Dynamics Days Europe (Oldenburg, Germany, 2011), 5th International Scientific Conference on Physics and Control (León, Spain, 2011), Нелинейные Волны (Нижний Новгород, 2012).

Результаты диссертации использовались при выполнении работ, финансируемых грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 00-02-17509-а, и 03-02-16192-а), совместно Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества (гранты 04-02-04011-ННИО_а, 08-02-91963-ННИО_а, 11-02-91334-ННИО_а), Королевского научного общества Великобритании (NATO and Brilish FCO Chevening Programme), совместно Минобрануки РФ и Германской службы академических обменов DAAD (программа «Михаил Ломоносов II»),

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 33 работах, из них 17 статей в рецензируемых журналах [1-17], 1 статья в международном сборнике [18], 13 материалов конференций [19-31], 1 депонированный отчёт [32] и I свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ [33].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации: введение, 7 глав, заключение и библиография, общим объёмом 352 страницы. Диссертация содержит 131 рисунок. Библиография включает 248 наименований на 20 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе приведён обзор неусгойчивостей и явлений самоорганизации в автоволновых системах, которые используются в следующих главах. Рассматриваются условия возникновения неустойчивостей Хопфа и Тьюринга. Обсуждается, когда эти неустойчивости носят абсолютный и конвективный характер. Также даётся обзор основных свойств неустойчивости разностного потока и потоково-диффузионной развёртки колебаний.

Во второй главе выполнено систематическое теоретическое описание ко-вариантных ляпуновских векторов, на основе которого сформулирован новый метод их вычисления. Результаты главы опубликованы в статье [1], а разработанный численный метод реализован в виде комплекса программ, прошедшего государственную регистрацию [33].

Как известно, распределённой системе с дискретизированной пространственной переменной можно сопоставить линейное уравнение, описывающее динамику в касательном пространстве:

V = J(H,0V, (I)

где и е R'" — вектор состояния системы, J е R"'*'" — матрица Якоби, и v е В.'" —

вектор касательного возмущения. Проипгефировав (1) от 1\ до ь, получим иропагатор {F(t\, Ь) — оператор эволюции в касательном пространстве: v(b) = T(t\.h)v(h)- В диссертации вводится в рассмотрение также сопряжённый про-пагагор Q{t\,t2) = TitxJiY1, где «-Т» — транспонирование и инверсия, который соответствует уравнению

v = -J{uj)Tv. (2)

Для систем с дискретным временем (отображений) также можно определить пропагаторы, поэтому дальнейший анализ справедлив и для них.

Рост норм касательных векторов в прямом и обратном времени определяется операторами [Т{1 ь'гУ^СьЬ)] и [T{t\J2)^T{t\,t2T[\, соответственно. Их асимптотическое поведение определяется предельными операторами

W+(0 = lim^^fif.ijlVi/.fjj^HW-d) = lim,,_,_ou [lF(fi,O-1]*7^1'2'-Их собственные вектора — это ортонормированные плюс- и минус-предельные ляпуновские вектора </?(+(г) и <pj(t), соответственно («forward and backward Lya-punov vectors»)Логарифмы собственных чисел W+(r) —это показатели Ляпунова Л,, а логарифмы собственных чисел W-(/) равны -Л, '2'. Пропагагору Q отвечают сопряжённые предельные операторы с теми же самыми ляпунов-скими векторами и противоположными по знаку показателям.

Эволюция плюс- и минус-предельных векторов Ф*(/) = bfi^it).....,ipsm(t)\

под действием пропагаторов происходит в соответствии с формулами:

nibh)<t>-(h) = <t>-(t2)RT{tl,t2), (3)

£('ь'2Г'Ф+(Ь) = 0+WR6{tut2), (4)

где R^'^ — верхние треугольные невырожденные матрицы. Плюс- и минус-предельные ляпуновские вектора нековариантны динамике. Это значит, что пропагаторы не преобразуют матрицу Ф±(Г]) непосредственно в Ф±(ь), н требуется дополнительное умножение на треугольную матрицу.

Формула (3) описывает стандартную процедуру вычисления показателей Ляпунова которая также позволяет вычислять минус-предельные вектора. Имея ортогональную матрицу касательных векторов Ф(гО (для вычисления первых к показателей и векторов нужно взять только первые к столбцов этой матрицы), решаем для каждого столбца уравнение (1) от 1\ до t2, а затем выполняем QR-преобразование полученной матрицы. В результате итераций Ф(г) сходится к ф-(г), a R(/b h) к R(ii, логарифмы диагональных элементов которой после усреднения дают показатели Ляпунова.

Для вычисления плюс-предельных векторов нужно использовать формулу (4). Идея выполнять обратные итерации с транспонированным пропагато-ром T(t\,i2)J = предложена без доказательства в работе'8', а в дис-

сертации этому дано строго математическое обоснование. Практически это значит, что, двигаясь обратно во времени, мы должны решать нужное число копий сопряжённого уравнения (2). Выигрыш от использования Q обусловлен тем, что ему отвечают противоположные по знаку показатели Ляпунова. Следовательно, в обратном времени доминирует Л], что даёт возможность ограничиться вычислением только нескольких первых векторов.

Существуют ляпуновскис вектора Г(/) = [у,(0_____-ym(t)|, действие про-

пагатора на которые описывается формулой

TU |,Г:)Г(/,) = Г(ь)Сг(/,,ь), (5)

где Cr(íi. Ь) — диагональная матрица. Эти вектора называют ковариантны-мп '5', гак как они меняются согласованно с динамикой: направление y,(f|) отображается па направление у,(Г:). С другими ляпуновскими векторами они связаны формулой'ь'

ГСО = Ф"(/)А"(/) = Ф+(')А+(/), (6)

где А~(/) и А+(/) верхняя и нижняя треугольные матрицы соответственно.

В диссертации вводится в рассмотрение матрица Р(/) = [Ф+(г)]тФ~(0. Для которой, как следует из (6), справедливо

P(')A~(í) = А+(Г). (7)

Видно, что матрицы А±(г) суть компоненты представления Р(0 в виде произведения верхней и нижней треугольной матриц (LU-разложение). Однако в силу того, что А~(г) может быть плохо обусловленной, её нельзя переносить в правую часть, чтобы записать LU разложение в стандартной форме.

На основе формулы (7) в диссертации предложен и реализован в виде комплекса программ [33] новый численный метод нахождения ковариантных векторов (см. рис. 1). Один из двух существующих методов вычисления ковариантных векторов^' использует итерации с обратными матрицами Для диссипативных систем эти матрицы обычно плохо обусловлены, что приводит к погрешностям. Ме тод, предложенный в диссертации, лишён этого недостатка и, кроме того, метод требует меньше памяти. Однако он немного проигрывает методу обратных итераций в скорости. Ещё один способ вычисления ковариантных векторов основан на использовании принципа ортогонального дополнения'6'. Предложенный в диссертации метод достаточно близок к нему, однако требует меньше операций, что делает его более эффективным.

По результатам главы на защиту выносится положение 2.

Третья глава посвящена приложениям ляпуновского анализа к системам высокой размерности. Результаты опубликованы в [2, 4-6] и [33].

Как известно'|0', в касательном пространстве системы с хаотической динамикой можно выделить в среднем растягивающееся и сжимающееся подпространства. (Мы рассматриваем системы с дискретным временем, у которых отсутствует нулевой показатель Ляпунова и, следовательно, нет нейтрального подпространства.) Базисами этих подпространств являются ковариант-ные ляпуновские вектора, соответствующие положительным и отрицательным показателям Ляпунова '5-6'. Для однородно гиперболических систем эти подпространства строго растягиваются и сжимаются не только в среднем, но и локально, в каждой точке аттрактораВ частности, отсюда следует, что углы между этими подпространствами никогда не обращаются в ноль. Существует также понятие частичной гиперболичности'-"', когда требуется только

[11] Песпп Я. К. Лекции по теории частичной гиперболичности и устоПчмпо трголпчности. М: МЦНМО. 2006.

С. 144.

Рис. 1: Блок-схема алгоритма поиска ковариантных векторов и быстрого метода вычисления углов между касательными подпространствами

отсутствие нулевых углов, но при этом допускаются локальные сжатия в растягивающемся в среднем подпространстве и растяжения в сжимающемся.

Один из способов проверки свойства гиперболичности (по меньшей мере, частичной) состоит в вычислении углов между подпространствами для большого числа точек на аттракторе'10'. Вывод о гиперболичности делается, когда распределение углов строго отделено от нуля. Для непосредственного вычисления углов в каждой точке требуется находить полный набор ковариантных векторов, что затруднительно для систем высокой размерности.

В диссертации предложен и реализован в виде комплекса программ [33] метод, позволяющий существенно сократить объём расчётов (см. рис. I). Для этого предлагается вместо сжимающегося (т - ¿)-мерного подпространства рассматривать его ¿-мерное ортогональное дополнение, где т и к — размерности всего касательного пространства и растягивающегося подпространства, соответственно. Так как для диссипативных систем обычно к <к т, представленный алгоритм позволяет быстро проверить свойство гиперболичности даже для систем с очень высокой размерностью. Без учёта накладных расходов фактор выигрыша во времени можно оценить как (т — к)/к.

При вычислении показателей Ляпунова для распределённых систем строится дискретное приближение, которому с неизбежностью отвечает дисперсионное уравнение, отличающееся от исходного. Для диффузионной подсистемы линеаризованных уравнений автоволновой системы (т. е. когда отброшены все члены уравнения, кроме производных) показатель роста пространственных гармоник в непрерывном случае монотонно убывает с ростом волнового

щ

/

числа. В дискретном случае для явной или смешанной (полупеявпой) схем метода конечных разностей получается показатель роста, который сначала убывает с ростом волнового числа, но затем, достигнув минимума, начинает расти. В результате гармоники с наименьшей длиной волны приобретают существенный показатель роста.

В диссертации показано, что, вычисляя показатели Ляпунова и выполняя ортогонализацию, мы поочерёдно исключаем длинноволновые компоненты из структуры каждого последующего минус-предельного вектора, и начиная с некоторого номера в структуре векторов суще-

Рис. 2: Фурье-спектры минус-предельных век-ственную роль начинают играть ко- , - п 3

г г торов для уравнения 1 итоурга—Ландау д,и =

ротковолновые гармоники с аномаль- „ _ (1 + ¡с.)|г(р„ + (1 + ;)яилгиЛ = 0. Сме-но высоким показателем роста. На шаиная схема. X = 25, с = 3, Ь = -2, Л.х = 0.25. рис. 2 оттенками серого построены (а) Д'= 0.01?, (б) Д( = 0.02 Фурье-спектры столбцов матрицы Ф'(г„), взятой на некотором шаге процедуры вычисления ляпуновских показателей. Рис. 2(а) показывает ситуацию, когда показатель роста, как и требуется, монотонно убывает с ростом волнового числа. Спектры имеют чётко выраженное основное волновое число, пропорциональное номеру вектора. Устройство спектров обусловлено разбиением касательного пространства на физические (на краях) и изолированные (в центре) моды'32', см. также [5]. На рис. 2(6) условие монотонности нарушено. В результате начиная с номера ¡\ в спектрах, кроме нормальной, появляется паразитная коротковолновая гармоника.

Вклад паразитных гармоник приводит к завышению показателей Ляпунова, и на кривой спектра появляется характерный изгиб. Это иллюстрирует рис. 3. Кривая (а) соответствует правильному спектру, а на

кривой (б) изгиб вверх появляется из- Рис- 3: Спектр показателей Ляпунова. Пара-- метры как на рис. 2

за паразитного возбуждения коротко- ^ ^

волновых гармоник. Положение точки изгиба зависит от соотношения между шагами по времени и в пространстве. Если А г достаточно мал по сравнению с Да-, то поведение показателя роста становится монотонным. Для смешанной схемы метода конечных разностей в диссертации получена оценка А г < 0.5Д;г/И, где й — максимальное по модулю собственное число матрицы диффузии системы, при выполнении которой не происходит возбуждение паразитных гармоник. Чисто неявная схема вообще не подвержена этой проблеме. Для неё показатель роста гармоник всегда монотонно убывает.

Если, выполняя стандартную процедуру, см. (3), рассматривать суммы

рм Уапа Н., ТакеисЫ К. А., ОшсШ V. и др. Н РЬуз. Яет. ЬеП. 2009.-РеЬ. Т. 102, Л» 7. С. 074102,

15

жмарифмов диагональных элементов R^, которые мы обозначим через L,(t), как функции интервала усреднения т, то получаются локальные показатели С = [С\.(г,____С,,,], где Ct = L,{t)/t. Эти показатели флуктуируют при движении вдоль траектории. Согласно теории больших уклонений'331, распределение вероя тностей вектора С имеет вид Р(С,т) ос e~i(^)T, где 5 (С) — неотрица-

Т—»1X1

тельная функция уклонений, имеющая единственный минимум при С = А = |/1|,.....1,„) и в этой точке обращающаяся в ноль.

В диссертации показано, что функция уклонений является динамическим инвариантом, т. е. не зависит от способа вычисления локальных показателей и не меняется при поворотах и перемасштабированиях системы координат. Из-за ресурсоемких вычислений пока не представляется возможным получить полную функцию уклонений для систем высокой размерности, поэтому рассмотрено квадратичное (гауссово) приближение: S(C) =s - Л)0(^ - Л)т. Однако, формулируя задачу именно в терминах теории больших уклонений, мы, во-первых, получаем возможность интерпретировать полученные результаты с более общих позиций, а во-вторых, задаём направление будущих исследований.

При выполнении вычислительного эксперимента эффективнее вычислять матрицу D = Q"' согласно следующему алгоритму, (а) Накапливаем L,(t). (б) Вычисляем Л,-. (в) Находим ковариации всевозможных пар [L,(r) - Л,т] и [L;(r) - Ajt] в зависимости от т. (г) Угловые коэффициенты прямых, аппроксимирующих эти зависимости, — элементы D,y.

В диссертации показано, что матрица D содержит важную информацию о характере поведения анализируемой модельной системы. Локальные показатели С можно рассматривать как вектора в ш-мерном пространстве. Множество таких векторов, вычисленных для аттрактора при некотором т, образует облако, которое с ростом т стягивается в точку, отвечающую вектору Л. Собственные числа ¡.ifc матрицы D характеризуют протяжённости облака в разных направлениях, а собственные вектора указывают эти направления, которые называются главными компонентами'34'. Наличие у системы каких-либо симметрии приводит к обнулению отдельных собственных чисел. Например, если показатели Ляпунова вырождены по п штук, то только одно из п соответствующих им собственных чисел не равно нулю. У симплектических систем сумма каждых двух противоположных показателей равна константе, поэтому парные показатели Ляпунова антикоррелированы. Это приводит к появлению дополнительной симметрии Dm+\-ij = Dim+\-j = -D/j, и ровно половина спектра собственных чисел обращается в ноль.

Рис. 4 показывает скейлинг собственных чисел матрицы D для нескольких модельных систем. Мы видим, что к 1 //V, где А' — число пространственных узлов системы, а значит собственные числа Q пропорциональны N. Следовательно, функция больших уклонений в асимптотике также пропорциональна N, т.е. является экстенсивной величиной. С одной стороны, это

[33] Боровков А. А. Теория вероятностей. 5-е изд. изд. M.: Ллброком, 2009. С. 656.

[34] Демнденко Е. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.

означает, что с ростом N убывают пространственные корреляции внутри рассмотренных систем. Хотя это и считается типичным для пространственно-временного хаоса, тем не менее здесь имеет место более тонкая ситуация. В диссертации показано, что существенный вклад в скейлинг 1 [Ы, на основе которого делается вывод об экстенсивности, дают недиагональные элементы Д;. При этом они же характеризуют как раз пространственные корреляции.

Для всех трёх представленных на рис. 4 систем в точке <г = О наблюдается сингулярность вида 1/сг, которая возникает из-за того, что первое собственное число /л\ не убывает с ростом N. Таким образом, существует одно направление в фазовом пространстве, вдоль которого флуктуации сохраняются даже в термодинамическом пределе. Для кривых 1 и 2 ровно половина собственных чисел равна нулю из-за симплектиче-ского свойства соответствующих систем. Для уравнения Гинзбурга—Ландау также почти половина спектра равна нулю. Это объясняется вырождением, которое имеется в спектре ляпуновских показателей этой системы'35'.

Таким образом, предложенный в диссертации инструмент математического моделирования высокоразмерных систем на основе анализа флуктуации локальных показателей Ляпунова позволяет выявлять тонкие динамические характеристики, связанные с пространственными корреляциями, симметрия-ми и переходом к термодинамическому пределу.

По результатам главы на защиту выносятся положения 1 и 3.

В четвёртой главе выполнено математическое моделирование потоково-диффузионной развёртки колебаний в системах с одномерным потоком. Результаты главы опубликованы в статьях [8, 10, 12] и [18].

Потоково-диффузионная развёртка колебаний возникает в системах с колебательной (например, хопфовской) неустойчивостью, когда присутствует открытый поток'18'. Если в точке входа задано постоянное отклонение от равновесия, то фаза колебаний в её окрестности будут заморожена. Поток уносит компоненты системы из области фиксации, давая им возможность колебаться, а так как его скорость постоянна, каждой точке в пространстве всегда соответствует одна и та же фаза колебаний. Происходит развёртка колебаний в пространстве, что приводит к формированию стационарной пространственно-периодической структуры. Медленный поток формирует коротковолновую структуру с высокими градиентами, которые эффективно выравниваются диффузией. Поэтому существует критическое значение скорости потока фгж, минимально необходимое для формирования неубывающего в пространстве ре-

Рис. 4: Собственные числа D для (1) цепочки стандартных отображений p„(t + 1) = р„(1) + 4{sin Аб,;+1(г) -sin Af)„(f)), в„0+ 1) = HJt) + pJi + 1), &в„ = в„ - 6„-\, N = 32, 64. 128, (2) цепочки отображений Эно x„(t + 1) = 1.4 - L.i„(/j + 0,025£>.r„(i)|2 + 0.3*„(г - 1), Dy„ = (у,., - 2у„ + >Wl). 'V = 40, 80, 160 и (3) уравнения Гинзбурга-Ландау N = 64, 128. er = k/N

|35J Yang H„ Radons G. // Phil. Trans. R. Soc. A. 2009. T. 367. C. 3197-3212.

17

(1 20(1 0(1(1 МЮ 800 0 200 400 600 КОО о 200 J00 600 ноо

л , 6) , И>

Рис. 5: 1 Iotokobo-диффузионная развёртка в присутствии шума на входе в системе Ленджила— Эпштейна. а = 20, b = 6, d = 3, г = 1, ит = 0.1, ff = 0.05. (а) ф = 6, (б) ф = 6.5. (в) ф = 7

шения, которое находят из дисперсионного уравнения как условие пространственной неустойчивости стационарной моды'18'. Отметим, что механизм развёртки не привязан к физической или химической системе определенного вида. Он универсален и может наблюдаться в динамике систем разной природы.

В диссертации показано, что если на входе действует шум, он может разрушать структуру развёртки. Рассмотрим это на примере системы Ленджила— Энштейна'17!

д,и+фдхи-д]и = а-u-Auv/ [\ + и2), d,v+r(j>dv-dd2xv = b [и - uv/ (1 + к2)]. (8)

Зададим возмущение на входе как и(х = 0, г) = i/|lss + //¡„(1 + в f(f)), v(x = 0, i) = vi,ss, где «hss и V|,ss — однородное состояние равновесия, ит — постоянная часть возмущения, отвечающая за формирования структуры развёртки, £(f) € [-1, 1] —шум с однородным распределением и б —амплитуда шума.

На рис. 5(а) скорость потока, хотя и выше порога ^fds. тем не менее достаточно мала, и структура развёртки разрушается. Отметим, что на месте развёртки возникает хопфовское решение, т.е. шум работает как переключатель, подавляя одно из возможных решений и стимулируя другое. При более высокой скорости (рис. 5(6)) влияние шума существенно ослабевает. Стационарная структура развёртки (вертикальные полосы) в целом сохраняется, хотя и подвержена сильным колебательным возмущениям (горизонтальные и наклонные полосы). Увеличение скорости потока приводит к ослаблению возмущения, и в конце концов оно полностью исчезает (рис. 5(в)).

В диссертации показано, что вблизи скорости </>fds структура потоково-диффузионной развёртки линейно неустойчива. Отсюда следует невозможность экспериментального наблюдения развёртки при малой надкритичности. Это согласуется с завышенными значениями 0fds> измеренными эксперимен-тально[|9-36]. Существует порог скорости, при превышении которого структура становится линейно устойчивой. Разрушение по-прежнему возможно, однако теперь оно происходит, только когда амплитуда шума больше некоторого критического значения. Сделав скорость потока ещё выше, мы снова можем стабилизировать структуру. Скорость, при которой происходит стабилизация, и критическая амплитуда шума связаны зависимостью, которая, как было обнаружено, хорошо аппроксимируется степенным законом.

В диссертации показано, что в зависимости от наличия в системе неустойчивых мод (например, хопфовских и тьюринговских), можно наблюдать два сценария стабилизации (см. рис. 6) где построены Фурье-спектры колебаний

[36] Taylor А. F.. Bamforth J. R.. Bardsley Р. // Phys. Chem. Chem. Phys. 2002. T. 4, № 22. C. 5640-5643.

18

ф

6)

ф

Рис. 6: Фурьс-плоскости, иллюстрирующие два сценария стабилизации структуры развёртки. (11) мода Хопфа, (Т) —Тьюринга

в одной и той же (центральной) точке системы в зависимости от скорости потока. Первый сценарий показан на рис. 6(а). Хопфовская мода, которая одновременно отвечает за формирование развёртки, имеет наибольший среди других неустойчивых мод показатель роста. Видно, что из широкополосного шума, подаваемого на вход, отбираются и усиливаются гармоники на частоте этой моды, что приводит к формированию решения Хопфа, как показано на рис. 5(а). Однако с ростом скорости потока максимум усиления смещается в низкочастотную область, возбуждение хопфовской моды прекращается, и развёртка стабилизируется. Рис. 6(6) иллюстрирует второй сценарий стабилизации, при котором показатель роста тьюринговской моды значительно выше хопфовского, но при этом именно хопфовская мода по-прежнему ответственна за развёртку. В отличие от первого сценария, с ростом скорости потока максимум усиления не смещается по частотам, а уменьшается. Возбуждение решения Тьюринга прекращается, что приводит к стабилизации развёртки.

Практически во всех работах по-токово-диффузионную развёртку колебаний изучают только в условиях конвективной неустойчивости. При этом структура развёртки формируется беспрепятственно при любом, сколько угодно малом входном возмущении, так как область колебаний уносится течением (область I на рис. 7). Этот режим мы будем называть МЯГКИМ возбуждением. Одна- рис. 7: Скорость перехода к конвективной КО, как показано В диссертации, кон- неустойчивости фпс и скорость возникновения вективная неустойчивость не являет- развёртки

ся необходимым условием. Если порождающая структуру развёртки колебательная мода абсолютно неустойчива, то получается, что одна и та же мода отвечает за формирование двух решений: собственное решение, например хопфовские колебания, и структура развёртки (область II). Между ними возникает конкуренция, исход которой определяется скоростью потока и величиной входного возмущения. (Области III и IV нас не интересуют, так как в них не возникает структура развёртки.)

В диссертации показано, что при большой скорости потока (но не выше

Рис, 8: Сценарий жёсткого возбуждения развёртки в системе Ленджила—Эпштейна (8). а = 11,/) = 2.5. г = 5, d = 7.5, ^ = 0.8. (а) ит = 0.1, (б) «,„ = 0.5. (в) ф = 0.72, «,„ = 2

Ш ' ' '

ттт

С ,,.„,,, ............ -"-т:

Рнс. 9: (а) Стационарная поперечная структура в системе (9) при ф = 17, d = 3, h = 6.5. (б) Продольная стационарная структура, формирующаяся за движущимся стрельчатым фронтом при = 25, d = 9, /г = 9. а = 30, ft = 12, Uin(y) = 0.5

порога перехода к конвективной неустойчивости) хопфовское решение доминирует только при условии, что входное возмущение мало (рис. 8(a)). После того как возмущение превышает пороговое значение, начинает доминировать развёртка. При этом возникает эффект навязанной конвективной неустойчивости, когда граница хопфовского решения убегает вниз по течению, так же как при «обычной» конвективной неустойчивости (рис. 8(6)). Это напоминает жёсткое возбуждением автоколебаний, когда для возбуждения нужно придать системе достаточно больше начальное возмущение. По аналогии с этим мы называем сценарием жёсткого возбуждения переход к структуре развёртки, реализующийся в системе с абсолютной неустойчивостью. Если уменьшить скорость потока (оставаясь при этом в области II), то развёртку можно будет наблюдать, только задав достаточно большое по величине входное возмущение. При этом структура развёртки не распространяется в пространстве, а ограничена сравнительно узкой областью около входа. Ниже по течению располагается хопфовское решение. Граница между этими структурами остаётся неподвижной, рис. 8(в).

По результатам главы на защиту выносятся положения 6 и 7.

В пятой главе выполнено математическое моделирование эффектов самоорганизации в системах с открытым потоком, неоднородным в поперечном направлении. Результаты опубликованы в статьях [11, 14-16].

Рассмотрим двумерную версию системы Ленджила—Эпштейна:

д,и+Ф(у)дхи-Аи = a-u-4uv/(l+u2),d,v+Q>(y)dxv-dAv = b(u-uv/(l+u2)), (9)

Функция Ф(у) соответствует потоку Пуазёйля: Ф(у) = ф( 1 - у2//?2), -h < у < ft, где ф > 0 —скорость потока вдоль оси системы, а ширина системы равна 2h. Вдоль боковых стенок граничные условия имеют вид дуи(х,у = ±h,t) ~ dv(x,y = ±h, t) = 0. На верхней по потоку границе задан постоянный профиль: и(х = 0, у,/) = iihss + U¡п(у), v(x = 0,у,[') = Vhss, где в простейшем случае можно положить Um(y) = const.

Как показано в диссертации, типичные стацн- | .

онарные структуры в такой системе —это полосы, | !

ориентированные поперечно или продольно по по- ~ I \

току. Поперечные структуры (рис. 9(а)) фактически \у /\ 1

представляют собой двумерное обобщение одномер- V____

пых структур развёртки, а продольные (рис. 9(6)) й--; ^-—*—7,

ПС ИМСЮТ налога В одномерном случае. Эти струк- р„с. ю: Критическая ско-гуры возникают вследствие неустойчивости Тьюрин- росл, возникновения поиска, развивающейся в поперечном направлении. Дей- речной структуры а = 30. ствие потока в этом случае сводится к согласованию с1 = 3'(1)= ,2> '2|'' = 7 формирующихся в разных точках х структур.

Аналогично одномерному случаю, поперечные структуры возникают при условии, что скорость потока превышает критическое значение ф,, которое можно найти, проанализировав линейную устойчивость стационарных поперечных мод. На рис. 10 показана критическая скорость ф{ как функция Л. В случае 1 на кривой имеется разрыв, внутри которого поперечное решение не существует. При любой скорости потока структура потоково-диффузионной развёртки убывает при удалении от точки входа. Критическая скорость ф, расходится на краях разрыва. В случае 2 мы наблюдаем, что разрыв стягивается н точку. Существование разрыва объясняет неудачу эксперимента с погоково диффузионной развёрткой в системе с течением Пуазёйля, см.'26'. На основе этого эксперимента был сделан вывод, что структура развёртки может существовать, только когда поток плоский, тогда как па самом деле значения параметров, выбранные для эксперимента, случайно оказались внутри разрыва.

В диссертации предложен метод экспериментального определения скорости перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости с использованием системы с конической геометрией. Будем полагать, что на входе системы поддерживается состояние равновесия, так что развёртка не формируется. Скорость потока будет убывать по мере удаления от входа. Пусть у входа скорость выше порога конвективной неустойчивости, ф > фж. Тогда граничный слой развивающейся неустойчивости будет смещаться вниз по течению, пока скорость потока не окажется ниже порога. Определив положение граничного слоя и зная зависимость скорости от координаты, можно вычислить скорость, соответствующую точке остановки. Если рассмотреть тонкий конус с малым утлом, то можно ожидать, что в точке остановки ф ~ флс.

Перейдём в сферическую систему координат и определим конус как область между двумя сферами с радиусами гц < ;■] с центрами в начале координат, ограниченную по бокам прямыми, проходящими через центры сфер и через окружности радиусов ро и р\ на внутренней и внешней сферах, соответственно. Для тонкого конуса, у которого р\ <к п - го и р\ = р0, угловыми координатами можно пренебречь. Из условия несжимаемости следует зависимость скорости потока от радиальной координаты: ф(г) = 0о'д/г\ Рассматри-

-6 5.5 -5 log a

5 4.5

x 4

га V5 - 3 2.5

0.1 0.2 03 0.4 0.5 B-Bu

Put. И: Граничный слой (сплошные линии), и точка критической скорости ла, от различных параметров. А = 1.5, а = 0.01, фи = ' В — В„ = 0.3

вая задачу на примере брюсселятора, получим:

фо 2 da

в 'зависимости

д,и +

d,v +

(1 + ах)2 Фо

1 + ах

2 а 1 + ах

dxii = А - {В + 1)« + ч2\> + dd\u,

дл> = Ви — wv + д"л\

(10)

(1 + ах)2

где х = г - го, и а = 1 //*о — угловая характеристика конуса.

Будем предполагать, что граничный слой расположен между точками .vlh и х,ь, где амплитуда решения принимает значения VVlb = e~2:i и Wrb = е"~5, соответственно. Точку, в которой скорость достигает значения фзс, обозначим как лас. Как видно из рис. 11, графики для лгц,, хгь и для хас почти параллельны и точка критической скорости хяс всегда попадает внутрь граничного слоя. Следовательно, коническая система может использоваться для исследования перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости. Измеряя координаты граничного слоя и принимая, например, xic ~ хгь, можно достаточно быстро экспериментально находить критическую скорость фас и изучать её зависимость от различных параметров.

В диссертации решается задача о воздействии на структуру потоково-диффузионной развёртки частицы загрязнения. Предположим, что после того, как структура развёртки сформировалась, на вход системы попадает частица и начинает двигаться вниз по течению, увлекаемая потоком. Будем полагать, что поперечный размер системы сравним с размером р частицы. Частица до некоторой степени блокирует поток, что приводит к локальному увеличению его скорости на величину фр. Поток увлекает частицу, но за счёт трения о стенки её скорость v оказывается ниже скорости потока v < ф. Для брюсселятора в одномерном приближении можно записать следующие уравнения:

д,и + [ф + 0pFp(x - v t)\d,u = А - (В + 1 )и + u2v + ddxu,

d,v + [ф + </>pFp(.T - v t)]dxv = Ви - irv + d.xv,

где Fp(x) = 1, если O^x^p, иОв остальных случаях.

Движущаяся частица порождает область возмущения, которая «сконструирована» из фрагментов структур, соответствующих имеющимся неустойчивым модам: хопфовских (медленные колебания во времени с низким волновым числом) и тьюринговских (области с быстрыми пространственно-временным колебаниями). На рис. 12 показаны соответствующие примеры. На рис. 12(a) наибольший показатель роста имеет мода Хопфа, поэтому область возмущения имеет хопфовский вид. Рис. 12(6) отвечает переходной ситуации,

(И)

I'iic. 12: Частица в брюсселяторе с потоком. Белая прямая показывает траекторию частицы, а черная-поток, d = 0.25, v = 0.50, ф, = 100, р = 0.1, ит = 0.01. а) А = 1, В = 2.86, ф = 1.69. б) А = 1.3, В = 3.55, ф = 1.6 в) А = 1.5. В = 4.23. ф = 1.79

когда моды Хопфа и Тьюринга имеют сравнимые показатели роста. Соответствующие фрагменты в области отклика чередуются. Наконец, на рис. 12(в) в системе доминирует мода Тьюринга, что отражается в устройстве области отклика. Из рисунков видно, что первичное возмущение возникает вблизи входа, где структура развёртки оказывается наиболее чувствительной. Вдали от входа движущаяся частица может производить вторичное возмущение. Это возмущение имеет наибольшую интенсивность в переходном случае на рис. 12(6). Для хопфовского случая на рис. 12(a) вторичный отклик имеет вид слабой ряби, уносимой потоком вниз по течению, а в тьюринговском случае вторичного возмущения нет вообще. В ситуациях, когда вторичное возмущение возникает, оно возможно только при условии, что скорость частицы у невелика, а поправка к скорости фр, наоборот, большая.

По результатам главы на защиту выносятся положения 8 и 9.

В тестой главе выполнено математическое моделирование гиперболического хаоса в системах связанных осцилляторов, а также исследована хаотическая синхронизация таких систем. Результаты опубликованы в [9, 13, 17].

Идею генерации гиперболического хаоса физическими системами на основе попеременного возбуждения двух осцилляторов, поочерёдно передающих возбуждение друг другу можно применить к амплитудным уравнениям. Так как они отвечают нормальной форме для бифуркации рождения предельного цикла Андронова—Хопфа, анализ гиперболического хаоса, генерируемого этими уравнениями, обладает большой общностью и в силу этого представляется важным. Отталкиваясь от системы из двух неавтономных осцилляторов Ван-дер-Поля'10', в диссертации построена математическая модель физически реализуемой системы с гиперболическим хаосом, обладающая свойством универсальности:

а ~ Aacos(2nt/T) - \а\2а - ieb, Ь = -Abcos(2nt/T) - \b\2b - iea2, (12)

где Г —период поочерёдного возбуждения осцилляторов, А > 0 —параметр надкритичности, и е отвечает за связь между подсистемами.

Благодаря попеременному возбуждению, |я| и \Ь\ достигают максимума по очереди. Так как коэффициенты в парциальных уравнениях вещественные, то изменение фазы может происходить только за счёт взаимного влияния подсистем. Когда а возбуждена, её фаза (/>„ = arg а(пТ) практически не меняется, гак как |£>| мало. Напротив, а существенно, воздействует на Ь, и к моменту выхода а на порог торможения b наследует её удвоенную фазу. Затем подсистемы меняются ролями, и b передаёт свою фазу а. Таким образом, за период

Т происходит удвоение фазы а:

</)„+!= 2ip„ - л mod 2л. (13)

Полученное отображение соответствует хорошо известному отображению Бер-нулли. Оно демонстрирует хаотическую динамику, причём хаос является однородным: скорость экспоненциального разбегания двух близких траекторий одинакова во всех точках и характеризуется показателем Ляпунова In 2.

На рис. 13 показано отображение для фазы ip„ = arg ainT), полученное при численном решении уравнений (12). Вид графика хорошо согласуется с найденной из качественных рассуждений зависимостью (13). Что самое главное, численное отображение принадлежит с очевидностью к тому же топологическому классу, что и отображение Бернулли: один полный обход окружности (поворот фазы на 2л) для прообраза влечёт двукратный обход окружности (поворот на 4л) для образа.

Рассматривая соответствующее системе стробоскопическое отображение с шагом по времени Т, вычислим показатели Ляпунова Ак в зависимости от Л (рис. 14). Видно, что старший показатель положительный в широком диапазоне изменения параметра, что свидетельствует о хаотическом характере динамики. Остальные три показателя отрицательные. Например, при А - 3 имеем: Л| ~ 0.691, Аз ~ -4.06, Лз ~ -6.48, Л4 ~ -9.06. Величина старшего показателя близка к In 2, что соответствует представленным выше качественным рассуждениям о том, что динамика в дискретном времени фазы переменной а подчиняется в определённом приближении отображению Бернулли (13). При изменении параметра А старший показатель сохраняет почти постоянное значение, а остальные три изменяются достаточно плавно, без провалов и скачков. Такое поведение можно интерпретировать как проявление структурной устойчивости наблюдаемого хаотического режима, что, в свою очередь, есть следствие гиперболической природы анализируемого аттрактора.

Проверим свойство гиперболичности, снова рассматривая стробоскопическое отображение для системы (12) и используя предложенный в диссертации быстрый метод (см. главу 3). Так как имеется единственный положительный показатель Ляпунова, требуется рассмотреть распределение величины dt. На рис. 15 показаны эти распределения для двух наборов параметров. Оба распределения отделены от нуля, что свидетельствует, по меньшей мере, о частичной гиперболичности. Для однородной гиперболичности требуется также, чтобы растяжения и сжатия в соответствующих касательных подпространствах происходили не только в среднем, но и локально в каждой точке. Качественные соображения свидетельствуют в пользу этого: за растяжение фазы отвечает отображение Бернулли, а за сжатие — диссипативный механизм периодических осцилляторов и эти два механизма функционируют изолированно друг от друга. Также отметим, что для исходной системы связанных

0 0.2 0.4 0.6 0.8 I

Рис. 13: Отображение для

фазы if„ = arg а(пТ) при А = 3, Т = 5, 6 = 0.05

1

-6

-к ю

OHJ О.Нб О ЯК 0 4 0.92 П 94 096 I) '»S I (/,

Рис. 14: Зависимость показателей Ляпуно- Рис. 15: Проверка гиперболичности систе-ва стробоскопического отображения систе- мы (12). е = 0.05, (1) А = 3, Т = 5, (2) А = 8, мы (12) от параметра А при Т — 5, е = 0.05 Т = 2

уравнений Ван-дер-Поля свойство однородной гиперболичности можно считать установленным, в том числе, с использованием доказательных вычислений'37].

В диссертации исследована полная хаотическая синхронизация двух гиперболических аттракторов и показано, что она проявляется специфическим образом. Рассмотрим две системы вида (12):

¿ik = Acik cos 2nt/T - \aiS"ak - ieb/, + d(a, - яд.).

2 (14)

bk = -Ab/; cos 2nt/T - \bk\~bk - iea~k + d(bj - bд.),

где к, j = 1,2, j Ф к, ¿ — вещественный параметр связи. В фазовом пространстве этой системы существует многообразие симметричных движений, где состояния подсистем совпадают. Ему принадлежит инвариантное множество, идентичное по своей структуре однородно гиперболическому аттрактору системы (12). Оно неустойчиво к поперечным возмущениям при малом d и становится аттрактором, когда d достигает порогового значения dsy„■

В симметричный аттрактор всякой хаотической системы вложены инвариантные множества, степень устойчивости которых к поперечным возмущениям отличается от устойчивости аттрактора. Так как однородно гиперболический аттрактор имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру Синая—Рюэля—Боуэна (10), то вложенные в него инвариантные множества характеризуется нулевой мерой, т. е. имеют весьма низкую плотность.

Когда система находится на пороге синхронизации, из-за вложенных инвариантных множества бассейн притяжения симметричного аттрактора оказывается изрешеченным («riddling»). Но их низкая плотность в рассматриваемом

-2-1012 -2-101

а) Re"/ 6) Ren,

Рис. 16: Изрешеченный бассейн притяжения симметричного аттрактора системы (14). А = 8, Т = 2, е = 0.05. Im я, (0) = 1гпй2(0) = 0.37, Ь,(0) = b2(0) = -0.05 + 0.07/. (а) d = 0.173, (б) d = 0.174

[37] Wilczak D. // SIAM J. App. Dyn. Syst. 2010. T. 9. C. 1263—1283.

25

10000 20000 30000 4(Ш) 50000 10000 20000 30000 414)00 50000

а) " б) "

Рис. 17: Эффект «пузырящегося» атграктора: Е = - + \b2 - ¿>i|-, n соответствует

i„ = nT. Л = 8, T = 2, f = 0.05, амплитуда шума 0.001. (a) d = 0.173, (б) d = 0.174

случае приводит к тому, что плоскость ридлинга оказывается мелкозернистой, т. е. на ней нет связных областей, точки которых не принадлежат бассейну (рис. 16(а, б)). Кроме того, из-за низкой плотности вложенных множеств эффект изрешечивания обнаруживается только в очень малой окрестности точки синхронизации Ad <к dsya, ср. рис (а) и (б).

Эффект пузырящегося аттрактора («bubbling») также связан с наличием поперечно неустойчивых вложенных инвариантных множеств. В ситуации, когда синхронизация уже произошла, выберем начальные условия из бассейна притяжения симметричного аттрактора и добавим к уравнениям аддитивный шум (рис. 17(a)). Под его воздействием система может быть переброшена в окрестность поперечно неустойчивого вложенного множества и это приведёт к всплеску колебаний. Через некоторое время система возвратится к симметричному аттрактору и будет оставаться в его окрестности до тех пор, пока другое случайное воздействие не вызовет новый всплеск. Из рисунка видно, что шум с амплитудой 0.001 вызывает всплески, амплитуда которых на три порядка выше. Однако система достаточно редко оказывается в окрестности поперечно неустойчивого инвариантного множества. Интервалы между всплесками велики — порядка 104 шагов времени, измеряемого в единицах Т. Даже небольшое увеличение параметра связи (рис. 17(6)) приводит к уменьшению амплитуды всплесков более чем на порядок, т. е. эффект пузырящегося аттрактора быстро исчезает при увеличении d. Как и в случае с изрешечиванием, эти свойства объясняются низкой плотностью вложенных множеств.

По результатам главы на защиту выносится положение 10.

В седьмой главе строятся и исследуются математические модели систем с гиперболическим хаосом. Результаты опубликованы в статьях [3, 7].

На основе амплитудных уравнений (12) в диссертации построена автоволновая система следующего вида:

д,а = Acos(^ja-\a\2a-ieb+d2xa, д,Ь = -A co%{^-^b-\b\2b-\ea2+дгхЬ. (15)

Длина системы L регулирует силу пространственной связи. Фактически мы получили два связанных неавтономных уравнения Гинзбурга—Ландау. Интерес к этой системе обусловлен тем, что само по себе уравнение Гинзбурга—Ландау — это универсальная математическая модель, широко используемая для изучения явлений самоорганизации и хаоса'38'.

Когда L мало, связь велика и все локальные области синхронизированы. При этом система демонстрирует однородные в пространстве гиперболиче-

[38] Cross M. С., Hohenberg Р. С. // Rev. Mod. Phys. 1993. Т. 65, К« 2. С. 851-1114.

26

скис хаотические колебания. Из рис. 18 видно (см. кривую I = 8), что в соответствии с этим распределение углов, найденное с применением метода из третьей главы, очень хорошо отделено от нуля. В этом режиме имеется единственный положительный показатель Ляпунова.

Интересная ситуация возникает, когда имеются два положительных показателя Ляпунова. Это иллюстрирует кривая £ = 15. Видно, что распределение углов всё ещё хорошо отделено от начала координат, то есть аттрактор остаётся гиперболическим. Этот режим, впервые обнаруженный в диссертации, можно назвать низкоразмерным гиперболическим гиперхаосом. Отметим, что рапсе гиперболический хаос в распределённых системах наблюдался для случая слабой пространственной связи, чему отвечает большое число положительных показателей Ляпунова'39,40'.

Картина становится существенно иной, начиная с I, = 17, когда третий показатель Ляпунова становится положительным. Распределение занимает почти весь допустимый диапазон и не равно нулю в начале координат —значит аттрактор перестал быть гиперболическим.

Рис. 19 иллюстрирует поведение размерности Каплана—Иорка Оку и суммы положительных показателей Ляпунова Вертикальные пунктирные линии отмечают точку перехода к пространственно неоднородному аттрактору ¿сг, и точку ¿з, где третий показатель Ляпунова проходит через ноль и аттрактор становится негиперболическим. Известно, что для гиперболического аттрактора А,, совпадает с энтропией Колмогорова—Синая, в то время как для «обычного» хаотического аттрактора — это верхняя оценка энтропии. Поскольку наша система является гиперболической при Ь < ¿з, мы можем использовать Ир, чтобы сконструировать функцию которая аппроксимирует энтропию, по крайней мере, на этом интервале. Ниже ¿сг мы имеем = Л|, а выше кривая подчиняется степенному закону = - ¿Сг)г + Ль 'дс « = 0.083 и у = 0.25 получены по методу наименьших квадратов. Из рисунка видно, что приближение степенным законом согласуется очень хорошо с полученной численно кривой при Ь < ¿з, а при £ = Ц имеет место бифуркация, связанная с появлением третьего положительного показателя Ляпунова. Тот факт, что аппроксимирующая функция для энтропии, полученная для гиперболического аттрактора, перестаёт совпадать с 1ги, согласуется с заключением о том, что система теряет гиперболичность именно при появлении третьего положительного показателя Ляпунова.

Ещё один предложенный в диссертации метод генерации пространственно-временного гиперболического хаоса состоит в том, чтобы применить идею мультипликации фазы уже использованную в шестой главе, не к колебаниям во времени, а к пространственным модам. В принципе, для реализации этого похода годится любая система, порождающая волновые пространственно-временные структуры. Мы проиллюстрируем это на примере уравнения

[39] Bunimovich L. A., Sinai Y. G. И Nonlincarity. 1988. Т. I. С. 491-516.

[40] Bunimovich L. A., Sinai Y. G. // Theory and application of coupled map lattices. Под ред. К. Kaneko. John Wiley and Sons Lid, Chichcstcr, 1993. C. 169-189.

Рис. 18: Проверка гиперболичности систе- Рис. 19: Размерность Каплана—Йорка Оку,

мы (15). А = 3, 7' = 5, б = 0.05. L = 8: один верхняя оценка ht, энтропии Колмогорова-

положительный показатель Ляпунова, L = 15: Синая и сё степенная аппроксимация д--,,. А =

два, L = 17: три 3. Т = 5, 6 = 0.05

Свифта—Хохенберга^38', модифицировав его следующим образом:

д,ч + [ 1 + x2(t)d2]2u = [А + Вх(х)]и -и\ (16)

Здесь y.(t) = 1 при пТ г < (и+ 1/2)7 и *(г) = 1/3, когда («+1/2)7 < Г < (п+\)Т. Такие переключения приводят к поочерёдному возбуждению двух тьюрингов-ских структур с преобладающими волновыми числами к = 1 и к = 3, соответственно. Предполагается, что Т больше времени переходных процессов. Функция х(х) задаёт пространственную неоднородность. Рассмотрим сначала случай периодических граничных условий и(х, t) = и(х + L, t).

Система функционирует следующим образом. На каждом отрезке времени, для которого x(t) = 1, возникает структура Тьюринга с преобладающим волновым числом к = 1 и некоторой пространственной фазой ip: и ~ U| cos(.v + (/>)+ Оз cos(3x+ 3ip), где ¿/3 <к U\. Третья гармоника появляется из-за присутствия в уравнении кубической нелинейности. После переключения на х = 1 /3 становится неустойчивой пространственная мода с волновым числом к = 3, а структура с к = 1 начинает затухать. Затравкой для коротковолновой структуры выступает компонента ¿/3, поэтому она получает пространственную фазу 3if. По окончании рассматриваемого отрезка времени длинноволновая структура практически исчезает и мы имеем и ~ С/3 cos(3x + 3if). Затем происходит очередное переключение на х = 1 и третья гармоника начинает затухать, а первая снова становится неустойчивой и нарастает. Начальные условия для этого роста обеспечивает компонента с волновым числом к = 1, которая возникает в результате взаимодействия затухающей коротковолновой структуры и пространственной неоднородности х(х)- Если в спектре Фурье функции х(х) преобладает мода к = 2, то затравка для длинноволновой структуры приобретает фазу 3</>: cos2xcos(3x + 3iр) = (l/2)cos(x + 3ip) + ... В итоге за период Т фаза пространственной структуры претерпевает утроение:

Ч>„+\= Зуз„ + const. (17)

Это отображение демонстрирует хаотическое поведение и, что важно, растяжение фазового пространства происходит всегда с одним и тем же фактором 3. Показатель Ляпунова для этого отображения положительный и равен А = 1пЗ а; 1.0986. Так как отображение для фаз однородно растягивающее,

то стробоскопическое отображение, описывающее как происходит изменение состояния от момента времени t„ = пТ + const к моменту tn+¡, должно обладать свойством однородной гиперболичности.

Закон, по которому происходит накопление фазы, иллюстрирует рис. 20(a). Здесь показано отображение для фазы <р„ = arg[«(L/2, /„) + i<9,.«(L/2, /„)], вычисляемой при t„ = (п + 1/4)7'. Видно, что, как и ожидалось, на каждом

шаге происходит утроение фазы,

Рис. 20: Пространственные фазы структур Тыо-с высокой степенью соответствия Г , л r-,1 ¿ п m

ринга при t„ = (п + 1/4)Г для А = 0.6, В = 0.03,

описываемое отображением (17). т = 25. (а) Уравнение (16). L = 4л, N - 64. (б)

На рис. 21 показаны пять пер- Амплитудные уравнения (18) вых показателей Ляпунова стробоскопического отображения при i„ = (п + 1/4)7' для системы (16). Хаотические колебания возникают, когда Л проходит пороговое значение А ~ 0.38. В режиме хаоса имеется единственный положительный показатель Ляпунова, он остаётся практически неизменным в широком диапазоне изменения А. В частности, при А = 0.6 показатели Ляпунова равны А = {1.018, -9.34,-9.34,-11.42,-18.64,...). Как и ожидалось, старший показатель близок к значению 1л 3. Все показатели зависят от параметра гладким образом, без резких скачков и провалов. Это проявление структурной устойчивости гиперболического хаоса.

Так как только один показатель Ляпунова больше нуля, для проверки гиперболичности с использованием предложенного метода нужно проанализировать распределение d\. Проверка показала, что d\ всегда лежит в чрезвычайно узком интервале Рис. 21: Показатели Ляпунова системы (16). (1 - 5 X Ю-5) < di < 1 (вычисления Параметры как на рис. 20(a) выполнялись для 103 точек аттрактора). Это значит, что растягивающееся подпространство во всех точках аттрактора практически строго ортогонально сжимающемуся. Вспомним, что метод углов позволяет проверить только свойство частичной гиперболичности. Однако нужно принять во внимание, что растягивающееся подпространство возникает из-за действия механизма мультипликации фазы, который не затрагивает амплитудные переменные. Такая избирательность должна обеспечивать однородность, исключая касания растягивающегося и сжимающегося подпространств. Следовательно, есть все основания считать, что условия однородной гиперболичности выполняются. Тем не менее ясно, что окончательный ответ о гиперболической природе изучаемого аттрактора может дать только его строгий математический анализ.

Представив решение в виде суммы двух преобладающих мод с волновы-

мп числами А = 1 п А = 3, можно получить укороченные уравнения:

¿, =//,с, - 1|3(|с-,|2 + 2|с-з|2)г, - 2Вс, + (3£-;с-л - 2В)с\\,

с, - }13(И2 + 2|0|2)сз - 7Вс\ + ,

где п и с'1 — комплексные амплитуды мод к = 1 и А' = 3, соответственно, /./I = А - (1 -х2)2, р} = А - (I - 9*:2)2. Динамика фазы Iр„ = аг§[с|(/„)], считываемой стробоскопически, т.е. при /„ = (п + 1/4)7", с высокой степенью точности описывается отображением (17). Это хорошо видно на рис. 20(6). Показатели Ляпунова стробоскопического отображения для модели (18) при А = 0.6, В = 0.03 и Т = 25 равны А = {1.083, -12.5,-804.7,-806.5). Отметим, что первый показатель Ляпунова близок к 1пЗ. Проверка гиперболичности снова показывает, что все время оказывается в очень узком интервале вблизи единицы, т. с. растягнваюшееся подпространство, как и для распределённой системы (16), практически строго ортогонально сжимающемуся подпространству. Таким образом, уравнения (18) могут служить в качестве прототипа низ-коразмерпой системы с гиперболическим аттрактором (здесь уместно вспомнить аналогичное происхождение системы Лоренца).

Постоянные граничные условия, которые предопределяют значения пространственной фазы на концах системы, могут, в принципе, разрушать описываемый механизм генерации гиперболического хаоса. Однако выполненные в диссертации вычисления показывают, что это происходит только при малой длине системы. Если же длина выбрана достаточно большой, то тьюрин-говские структуры в центре взаимодействуют так как «нужно», а на концах трансформируются, чтобы удовлетворялись граничные условия. Отображение для фаз практически идентично рис. 20(а), и показатели Ляпунова ведут себя гладким образом, старший примерно равен 1п3. Проверка гиперболичности снова показывает, что значения <1\, измеренные вдоль траектории, оказываются далеко от нуля.

По результатам главы на защиту выносятся положения 5 и 4.

В Заключении перечислены основные результаты диссертации.

Основные выводы и результаты работы

1. Разработанный в диссертации комплекс программ, реализующий быстрый численный метод определения углов между касательными подпространствами, расширяет возможности исследования пространственно-временного хаоса. С его помощью можно анализировать структуру касательного пространства, в частности тестировать гиперболичность у систем достаточно высокой размерности, которые не поддаются такого рода анализу с применением других подходов из-за большого расхода машинных ресурсов.

2. Разработанный в диссертации комплекс программ для вычисления ко-вариантных ляпуновских векторов обеспечивает оптимальное сочетание быстродействия, экономичности и точности. Поэтому его можно рекомендовать как наилучший выбор для работы с ковариантными векторами.

3. Для решения дифференциальных уравнении параболического типа часто применяют смешанную (полунеявную) схему метода конечных ралюстен из-за того, что она абсолютно устойчива и имеет второй порядок локальной аппроксимации производной по времени. Однако, как показано в диссертации, прн вычислении с помощью этого метода показателей Ляпунова можно получить грубую ошибку, которая возникает из-за специфики взаимодействия процедур решения уравнений и ортогонализацин. Это проявляется в виде характерного излома кривой спектра ляпуновских показателей, вследствие которого младшие показатели оказываются значительно завышенными. Для предотвращения ошибки требуется выбирать достаточно малый шаг по времени, согласно полученной в диссертации оценке, или использовать чистую неявную схему, которая лишена этого недостатка.

4. В диссертации предложены математические модели распределённых систем с гиперболическим пространственно-временным хаосом. В отличие от известных ранее аналогичных моделей предложенные характеризуются сильной пространственной связью, что приводит к генерации низкоразмерного хаоса. Рассмотрен случай, когда связанные диффузией локальные области сами по себе демонстрируют гиперболический хаос, а также когда их взаимодействие порождает синусоидальные пространственные моды, а гиперболичность появляется вследствие взаимодействия этих мод. Ещё одна важная отличительная черта предложенных моделей в том, что, с одной стороны, они универсальны и не привязаны к конкретной предметной области, а с другой — имеется ясное представление, каким реальным системам они соответствуют. Это выгодно отличает их от многих других моделей с гиперболическим хаосом, которые невозможно реализовать экспериментально. С одной стороны, это открывает перспективы конструирования устройств с пространственно-временным гиперболическим хаосом, а с другой — задаёт направление поиска гиперболических режимов в реальных пространственно-временных системах.

5. Ещё один результат диссертации — выявление нетривиальных свойств эффекта потоково-диффузионной развёртки колебаний, знание которых важно для практических применений. Как оказалось, структура линейно неустойчива вблизи критической скорости потока, при которой она возникает. Поэтому экспериментально её можно наблюдать только при более высокой скорости. Показано, что развёртка возможна не только при конвективной неустойчивости (именно при таком условии её обычно изучают), но и когда имеется абсолютная неустойчивость. Наконец, обнаружено, что общепринятое среди экспериментаторов требование наличия плоского профиля скорости потока является на самом деле необязательным. Развёртку можно наблюдать и для течения Пуазёйля.

6. Переход от конвективной к абсолютной неустойчивости — это очень простой с качественной точки зрения эффект, который на самом деле достаточно сложен как для теоретического описания, так и с экспериментальной точки зрения. Очевидный способ экспериментального измерения критической скорости перехода — реализация метода половинного деления, что тре-

Oyer многократного повторения опытов с разными значениями скорости потока. В диссертации показано, как это можно сделать значительно проще, задав систему в виде конуса.

Публикации из перечня изданий, рекомендованных ВАК

1. Kuptsov P., Parlitz U. Theory and Computation of Covariant Lyapunov Vcciors//Journal of Nonlinear Scicncc. 2012. T. 22. № 5. C. 727-762.

2. Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Physical Review E. 2012. T. 85. C. 015203.

3. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Hyperbolic Chaos of Turing Patterns//Physical Review Letters. 2012. T. 108. C. 194101.

4. Kuptsov P. V., Politi A. Large-Deviation Approach to Space-Time Chaos // Physical Review Letters. 2011. T. 107. C. 114101.

5. Kuptsov P. V., Parlitz U. Strict and fussy mode splitting in the tangent space of the Ginzbuig-Landau equation // Physical Review E. 2010. T. 81. C. 036214.

6. Купцов П. В. Вычисление показателей Ляпунова для распределённых систем: преимущества и недостатки различных численных методов /'/ Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. JVb 5. С. 93-112.

7. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Violation of hyperbolicity in a diffusive medium with local hyperbolic attractor // Physical Review E. 2009. T. 80. № I. C. 016205.

8. Kuptsov P. V., Satnoianu R. A. Flow- and Diffusion Distributed Structures with noise at the inlet // Mathematics and Computers in Simulation. 2008. T. 79. C. 201-218.

9. Купцов П. В., Кузнецов С. П. О феноменах, сопровождающих переход к режиму синхронного хаоса в связанных неавтономных осцилляторах, представленных уравнениями для комплексных амплитуд // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2. № 3. С. 307-331.

10. Kuptsov P. V., Satnoianu R. A. Stability of flow- and diffusion-distributed structures to inlet noise effects // Physical Review E. 2005. T. 71. № 1. C. 015204.

11. Kuptsov P. V., Satnoianu R. A., Daniels P. G. Pattern formation in a two-dimensional reaction-diffusion channel with Poiseuille flow // Physical Review E. 2005. T. 72. № 3. C. 036216.

12. Kuptsov P. V. Rigid transition to the stationary structure and imposed convective instability in a reaction-diffusion system with flow // Physica D. 2004. T. 197. C. 174-195.

13. Купцов П. В., Кузнецов С. Г1. Синхронизация и коллективное поведение цепочки однонаправленно связанных отображений с периодическими граничными условиями // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12. № 3. С. 3-22.

14. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Knudsen С. Convective wave front locking for

a reaction-diffusion system in a conical flow reactor// Physics Letters Л. 2002. T. 294. C. 210-216.

15. Kuptsov P. Vv Kuznetsov S. P., Mosekilde E. Particle in the Brusselator model with flow // Physica D. 2002. T. 163. C. 80-88.

16. Купцов II. В. О возможности исследования перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости в потоковой системе реакция диффузия с использованием конической геометрии реактора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9. № 6. С. 83-94.

17. Купцов П. В. Двухпараметрический анализ синхронизации хаотических отображений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. .4«! 6. С. 42-50.

Международный сборник статей

18. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Knudsen С., Mosekilde Е. Absolute and convective instabilities in the one-dimensional Brusselator model with flow // Recent Research Development in Chemical Physics, Transworld research network. 2003. T. 4. C. 633-658.

Материалы конференций

19. Купцов П. В., Кузнецов С. П., Пиковский А. Гиперболический хаос в распределённых системах, возникающий в результате взаимодействия пространственных мод // Научная школа «Нелинейные Волны». Нижний Новгород, 2012.

20. Kuptsov P. V. Lyapunov exponents fluctuations as a tool for studying high-dimensional chaos // XXXI Dynamics Days Europe. Oldenburg, Germany, 2011.

21. Parlitz U., Kuptsov P. V. Towards a general theory of covariant Lyapunov vectors: mathematical background and a new effective numerical method // 5th International Scientific Conference on Physics and Control. Leon, Spain, 2011.

22. Kuptsov P. V. Hyperbolic chaos in extended systems constructed of elements with hyperbolic dynamics // Exploring Complex Dynamics in High-Dimensional Chaotic Systems: From Weather Forecasting to Oceanic Flows. Dresden, Germany, 2010.

23. Parlitz U., Kuptsov P. V. Lyapunov vectors and mode splitting of extended systems // The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differentia! Equations and Applications / Dresden University of Technology. Dresden, Germany, 2010.

24. Купцов П. В. Ляпуновские вектора для систем высокой размерности // IX международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, Россия, 2010.

25. Kuptsov P. V. Stationary patterns in ID and 2D reaction-difFusion

systems with flow // Sommcrschule / Drittes Physikalisches Insliuit. Georg-August-Univcrsität Güttingen. Braunlage im Harz. Germany, 2009.

26. Купцов П. В. Разрушение и восстановление гиперболического хаоса цепочки связанных осцилляторов с индивидуальной гиперболической динамикой // Международная школа-семинар «Статистическая физика и информационные технологии». Саратов, Россия, 2009.

27. Купцов П. В. Сложности, возникающие при вычислении спектра показателей Ляпунова для распределённых систем // Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика. Саратов, Россия, 2009.

28. Купцов П. В., Кузнецов С. П. Пространственно-временной хаос в среде с диффузией, локальная динамика которой характеризуется присутствием гиперболического странного аттрактора // Наноэлектроника, нанофотони-ка и нелинейная физика. Саратов, Россия, 2008.

29. Kuptsov P. V. Flow and diffusion distributed structures in 2D Lengyel-Epstein system with flow // PANDA Meeting / Department of Mathematics and Statistics, University of Surrey. University of Surrey, United Kingdom, 2004.

30. Kuptsov P. V. Analysis of absolute and convective instabilities in the one-dimensional Brusselator flow model using Ginzburg-Landau equations // Nonlinear science festival III / The Technical University of Denmark. Köngens Lyngby, Denmark, 2001.

31. Kuptsov P. V. Instabilities and patterns in one-dimensional Brusselator model with non-uniform open flow // 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation. Saratov, Russia, 2001.

Депонированный отчёт

32. Купцов П. В. Динамика высокой размерности, демонстрируемая взаимодействующими системами со странными гиперболическими аттракторами: Депонированный отчёт по проекту 2.2.2.5/8170 аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)»: ГОУ ВПО СГАП, 2010.

Свидетельство о регистрации программы

33. Купцов П. В. CLVODE_LU — реализация алгоритмов вычисления ко-вариантных ляпуновских векторов по методу LU-разложения и быстрой проверки свойства гиперболичности хаотической динамики. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012617576. 22 августа 2012 г.

Купцов Павел Владимирович

Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах

Автореферат

Подписано в печать 01.11.12 Формат 60 х 84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 2,0 Уч.-изд. л. 2,0

Тираж 100 экз. Заказ 184 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

2012352221

2012352221

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю. А.»

05201350375

Купцов Павел Владимирович

Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Научный консультант д. ф.-м. н., проф. Кузнецов Сергей Петрович

Саратов - 2012

Содержание

Введение..........................................................................................8

Глава 1. Неустойчивости и самоорганизация в автоволновых системах ............19

Введение......................................................................................19

1.1. Общий вид уравнения автоволновой системы и дисперсионное уравнение . . 20

1.2. Неустойчивости Хопфа и Тьюринга.........................22

1.2.1. Общая характеристика и критические точки...............22

1.2.2. Анализ неустойчивостей Хопфа и Тьюринга методом седловых точек 27

1.2.3. Неустойчивости Хопфа и Тьюринга на примере брюсселятора.....31

1.3. Абсолютная и конвективная неустойчивость....................33

1.3.1. Методы анализа на абсолютную и конвективную неустойчивость ... 33

1.3.2. Абсолютная и конвективная неустойчивость в брюсселяторе с открытым потоком.................................40

1.4. Неустойчивость разностного потока........................44

1.4.1. Условия возникновения неустойчивости.................44

1.4.2. Абсолютная и конвективная неустойчивость разностного потока ... 49

1.4.3. Неустойчивость разностного потока на примере брюсселятора .... 50

1.5. Потоково-диффузионная развёртка колебаний...................50

1.5.1. Условия возникновения неустойчивости .................50

1.5.2. Потоково-диффузионная развёртка на примере брюсселятора.....54

Выводы к главе 1 ......................................54

Глава 2. Теоретические основы ляпуновского анализа.................57

Введение...........................................57

2.1. Показатели Ляпунова и ортогональные ляпуновские вектора..........60

2.1.1. Основные определения: пропагагоры, сингулярные вектора и сингулярные числа.................................60

2.1.2. Свойства пропагаторов. Трансформация объёмов, построенных на сингулярных векторах............................63

2.1.3. Предельные операторы. Плюс-и минус-предельные вектора......65

2.1.4. Подпространства Оселедца. Асимптотическое поведение произвольных векторов и объёмов ..........................67

2.1.5. Эволюция плюс- и минус-предельных ляпуновских векторов на конечных интервалах времени........................69

2.1.6. Алгоритмы вычисления показателей и плюс- и минус-предельных векторов...................................71

2.2. Ковариантные ляпуновские вектора.........................78

2.2.1. Определение и основные свойства.....................78

2.2.2. Два основных подхода к вычислению ковариантных ляпуновских векторов .....................................84

2.2.3. Прямой метод вычисления ковариантных векторов как пересечений подпространств Оселедца..........................85

2.2.4. Метод LU-разложения ...........................86

2.2.5. Метод ортогонального дополнения....................90

2.2.6. Метод обратных итераций.........................92

2.2.7. Сравнение различных методов.......................95

Выводы к главе 2 ......................................97

Глава 3. Ляпуновский анализ хаотических систем с большим числом степеней свободы..............................................99

Введение...........................................99

3.1. Быстрый численный метод проверки гиперболического хаоса..........101

3.1.1. Понятие гиперболического хаоса.....................101

3.1.2. Слабые формы гиперболичности .....................104

3.1.3. Главные углы между подпространствами.................106

3.1.4. Описание метода ..............................107

3.1.5. Практическая проверка...........................112

3.2. Преимущества и недостатки методов, используемых при вычислении показателей Ляпунова распределённых систем ......................115

3.2.1. Сравнение эффективности алгоритмов ортогонализации........115

3.2.2. Множитель роста пространственных гармоник .............125

3.2.3. Паразитное возбуждение коротковолновых пространственных гармоник, смешанная схема Кранка—Николсона................128

3.2.4. Паразитное возбуждение, явная схема Эйлера..............135

3.2.5. Отсутствие паразитного возбуждения, неявная схема..........139

3.3. Флуктуации локальных показателей Ляпунова...................140

3.3.1. Типы локальных показателей Ляпунова и их асимптотические свойства 140

3.3.2. Основные сведения из теории больших уклонений...........143

3.3.3. Функция уклонения для локальных показателей Ляпунова.......144

3.3.4. Гауссово приближение для функции больших уклонений. Матрица диффузии локальных показателей Ляпунова...............146

3.3.5. Свойства функции уклонений в термодинамическом пределе.....151

3.3.6. Вероятность нарушения порядка следования локальных показателей Ляпунова и проверка гиперболичности..................159

Выводы к главе 3 ......................................161

Глава 4. Потоково-диффузионная развёртка колебаний в авговол новых системах с открытым потоком....................................163

Введение...........................................163

4.1. Сценарии возникновения потоково-диффузионной развёртки колебаний . . . .165

4.1.1. Модельные уравнения............................165

4.1.2. Условия возникновения потоково-диффузионной развёртки......168

4.1.3. Плоскости параметров...........................169

4.2. Устойчивость структур потоково-диффузионной развёртки к возмущению на входе..........................................171

4.2.1. Пространственно-временные диаграммы. Качественное обсуждение . 171

4.2.2. Фурье-спектры колебаний во времени. Шум как переключатель решений .....................................180

4.2.3. Два сценария стабилизации ........................183

4.2.4. Нелинейная и линейная неустойчивость.................185

4.2.5. Подавление развёртки как следствие индуцированной шумом абсолютной неустойчивости...........................188

4.2.6. Линейный анализ устойчивости......................189

4.3. Жёсткое возбуждение потоково-диффузионной развёртки колебаний в присутствии абсолютной неустойчивости Хопфа...................196

4.3.1. Плоскость параметров для рассматриваемого эффекта.........196

4.3.2. Качественная картина............................198

4.3.3. Ступенчатое движение границы между структурой нотоково-диффу-зионной развёртки и решением Хопфа..................210

4.3.4. Навязанная конвективная неустойчивость ................213

4.3.5. Критическое значение входного возмущения...............216

4.3.6. Амплитуда структуры развёртки вблизи границы двух структур . . . .217

4.3.7. Амплитудное уравнение для описания конкуренции развёртки и колебаний Хопфа................................220

Выводы к главе 4 ......................................225

Глава 5. Самоорганизация автоволновых систем в присутствии неоднородного открытого потока ....................................... 227

Введение ........................................... 227

5.1. Потоково-диффузионная развёртка колебаний в двумерной системе с течением Пуазёйля......................................229

5.1.1. Модельные уравнения............................229

5.1.2. Качественная картина............................230

5.1.3. Анализ в линейном приближении.....................234

5.2. Исследование перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости с использованием системы с конической геометрией.................240

5.2.1. Постановка задачи..............................240

5.2.2. Геометрия системы и модельные уравнения...............242

5.2.3. Плоскости параметров и качественная картина .............244

5.2.4. Кластерная синхронизация.........................248

5.2.5. Свойства неподвижного волнового фронта................250

5.3. Воздействие движущейся частицы на структуру потоково-диффузионной развёртки .........................................252

5.3.1. Постановка задачи и модельная система.................252

5.3.2. Возмущение структур потоково-диффузионной развёртки движущейся частицей..................................255

5.3.3. Переход от хопфовского отклика к тьюринговскому через перемежаемость ....................................259

Выводы к главе 5 ......................................266

Глава 6. Гиперболический хаос и хаотическая синхронизация в системах связан

ных осцилляторов.....................................267

Введение ........................................... 267

6.1. Гиперболический аттрактор типа Смейла—Вильямса в системе связанных неавтономных осцилляторов, представленных уравнениями для медленных амплитуд........................................269

6.1.1. Вывод амплитудных уравнений......................269

6.1.2. Качественное описание динамики.....................270

6.1.3. Структура аттрактора............................271

6.1.4. Показатели Ляпунова и структурная устойчивость ...........274

6.1.5. Проверка гиперболичности.........................276

6.2. Синхронизация двух связанных осцилляторов с гиперболическим хаосом . . . 276

6.2.1. Типичные феномены, сопровождающие переход к синхронному хаосу 276

6.2.2. Синхронизация систем с гиперболическим хаосом. Уравнения и качественное обсуждение динамики.....................279

6.2.3. Отображение для фаз............................280

6.2.4. Показатели Ляпунова............................283

6.2.5. Изрешечивание бассейна симметричного аттрактора и эффект «пузырящегося» аттрактора .......................... 285

6.2.6. Визуализация структуры многомерного аттрактора...........291

Выводы к главе 6 ......................................299

Глава 7. Гиперболический хаос в автоволновых системах...............300

Введение ........................................... 300

7.1. Гиперболический хаос в автоволновой среде с локальным гиперболическим

аттрактором......................................301

7.1.1. Модельная система.............................301

7.1.2. Линейный анализ устойчивости......................303

7.1.3. Пространственно-временная динамика..................306

7.1.4. Проверка условия гиперболичности при различной длине системы . . 306

7.1.5. Зависимость показателей Ляпунова от длины системы.........313

7.1.6. Размерность Каплана—Йорка и энтропия Колмогорова—Синая.....313

7.1.7. Спектр Ляпуновских показателей.....................318

7.2. Гиперболический хаос тьюринговских структур .................318

7.2.1. Модельное уравнение............................318

7.2.2. Качественное описание динамики.....................321

7.2.3. Пространственно-временная динамика и отображение для фаз.....323

7.2.4. Показатели Ляпунова............................324

7.2.5. Проверка гиперболичности.........................324

7.2.6. Амплитудные уравнения..........................327

7.2.7. Постоянные граничные условия......................328

Выводы к главе 7 ......................................329

Заключение...........................................331

Литература ...........................................333

Введение

Самоорганизация — это универсальный процесс, протекающий в открытых системах разной природы, который приводит к возникновению новых качеств. Величины, количественно характеризующие эти качества, называют параметрами порядка. Открытая система обменивается с окружающей средой энергией и веществом, что можно интерпретировать как внешнее воздействие. Однако характер воздействия при самоорганизации не является специфическим по отношению к возникающим качествам системы, т. е. воздействие сообщает материал и энергию для самоорганизации, но не определяет её свойства. Математическая модель системы с самоорганизацией обязательно является нелинейной. Отклик такой системы на внешнее воздействие не сводится к простому усилению, ослаблению или комбинированию по принципу суперпозиции, а характеризуется собственной структурой, обусловленной устройством самой системы [1—4].

Учитывая, насколько разнообразными могут быть свойства хаотической динамки, возникновение хаоса также можно было бы отнести к явлениями самоорганизации. Вообще говоря, по сложившейся традиции, под самоорганизацией в первую очередь понимают регулярное поведение. Тем не менее хаос тоже может быть связан с самоорганизацией: известны примеры, когда возникающие в результате самоорганизации регулярные решения вступают во взаимодействие, порождая хаос.

Самоорганизация может иметь место в совершенно разных по своей природе системах. Однако при всём многообразии, явления самоорганизации можно подразделить на классы, обладающие одинаковыми качественными признаками. Существуют универсальные математические модели, воспроизводящие наиболее общие признаки явлений самоорганизации того или иного класса, не зависящие от природы системы. Мы будем изучать эффекты, универсальной моделью для которых является уравнение Гинзбурга—Ландау [5, 6].

Системы, которые мы будем рассматривать, называются автоволновыми [7]. Они относятся к числу активных сред [8]. Автоволновую систему можно представить себе как среду, в каждой точке которой находится активный элемент (например, автогенератор) непрерывно получающий и рассеивающий энергию. Каждая локальная область такой системы связана с другими ближайшими областями посредством диффузии. В качестве примеров можно привести цепочку генераторов Ван дер Поля [9], нелинейную активную линию передачи [10], реакционно-диффузионную систему (реакция Белоусова—Жаботинского) [8, 11], рабочее ве-

щество оптического квантового генератора [10], ферромагнетики, в которых возбуждаются спиновые волны [12, 13].

Математические модели, которые мы будем изучать, представляют собой нелинейные уравнения в частных производных параболического типа. Нелинейность в уравнениях будет устроена таким образом, что при отсутствии зависимости от пространственной координаты, уравнения могут демонстрировать периодические автоколебания или хаос. Пространственная связь между локальными областями осуществляется посредством диффузии. Мы также будем рассматривать системы с дискретной пространственной переменной — цепочки осцилляторов с диффузионной связью. Будут также рассматриваться задачи, в которых, наряду с диффузией, действует конвективный пространственный перенос. При этом мы ограничимся рассмотрением открытых потоков, когда поток попадает в систему на одном её конце и удаляется на другом.

Вообще говоря, феноменология автоволновых системы очень обширна —от простых регулярных колебаний до пространственно-временного хаоса [5, 9, 11, 14]. В диссертации мы будем решать задачи, имеющие отношение к развитию в автоволновых системах неустойчивости Хопфа1 и диффузионной неустойчивости Тьюринга. Сами по себе эти неустойчивости и порождаемые ими структуры уже давно известны и хорошо изучены. Тем не менее, используя их как «строительные блоки», можно получать новые интересные эффекты.

Актуальность работы. Нелинейные системы со сложной динамикой возникают в самых разных предметных областях, и зачастую им отвечают одни и те же универсальные математическое модели. При этом так как реальные системы почти всегда включают в себя большое количество взаимодействующих элементов, для их исследования наиболее адекватными являются математические модели с большим числом степеней свободы. Несмотря на значительный многолетний интерес исследователей к таким системам, количество не решённых задач по-прежнему велико из-за их высокой сложности и ресурсоёмкости. В этой связи актуальными являются разработка новых универсальных математических моделей нелинейных систем высокой размерности и их исследование, в том числе с привлечением новых методов.

Одним из главных инструментов моделирования и изучения хаотической динамики является ляпуновский анализ. В его основе лежат классическая теория устойчивости Ляпу-

1 В теории колебаний этому виду неустойчивости соответствует бифуркация рождения предельного цикла Андронова—Хопфа.

нова [15], мультипликативная эргодическая теорема [16], а также алгоритм вычисления этих показателей [17, 18]. Действуя формально, методы ляпуновского анализа можно воспроизвести без изменений к системам с любой размерностью фазового пространства: низкой или высокой. По этой причине специфика и тонкости применения ляпуновского анализа к системам высокой размерности остались по большей части не изученными.

В последнее время интерес к ляпуновскому анализу существенно вырос в связи с открытием эффективных алгоритмов вычисления так называемых ковариантных ляпуновских векторов [19, 20], которые открывают новые возможности для изучения хаоса в системах высокой размерности. Соображения о существовании ковариантных ляпуновских векторов высказывались уже много лет назад [21, 22]. Тем не менее до сих пор не было проведено систематическое теоретическое изучение этих векторов и их связей с другими объектами ляпуновского анализа.

Система называется грубой или структурно устойчивой, если качественный характер её динамики не меняется при небольших вариациях параметров [23]. Эта концепция очень важна для физических и технических приложений теории динамических систем, так как, имея дело с грубой системой, можно быть уверенным, что математическая модель адекватно описывает систему, несмотря на допущения, сделанные при построении модели, на отклонения от заданных значений параметров, неизбежные при конструировании, а также на наличие разного рода шумов. Именно грубые системы представляют наибольший интерес и подлежат первостепенному изучению [23]. Среди хаотических систем свойством грубости обладают системы с однородной гиперболичностью. Гиперболические аттракторы отвечают динамике с сильными хаотическими свойствами и допускают далеко идущий математический анализ. Однако только сравнительно недавно была сформулирована идея создания простых, реализуемых экспериментально систем с гиперболичностью [24]. На основе этого возникло новое направление актуальных исследо