автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование автоколебательных и автоволновых процессов в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью в электрическом поле

На правах рукописи

¿Г

Киселева Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРОФОРЕТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКЕ С МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТЬЮ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин Негосударственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Северо-Кавказский гуманитарно-технический институт»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Кандаурова Наталья Владимировна

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Червяков Николай Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Шатрова Галина Вячеславовна

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Защита состоится «23» декабря 2006 года в 1500 часов на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.245.09 при ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» по адресу: 355029, г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СевероКавказского государственного технического университета.

Автореферат разослан «22» ноября 20Об года

Ученый секретарь диссертационного совета,

канд. физ.- мат. наук, доцент

О.С. Мезенцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Современный этап развития науки характеризуется исследованием различного рода нелинейных явлений. Однако к настоящему времени известно не много самоподдерживающихся в активной нелинейной среде волновых процессов, которые можно было бы наблюдать экспериментально за небольшой (порядка I минуты) период времени и параметры которого легко можно было бы изменять в лабораторных условиях. Математическая модель такого процесса состоит из ограниченного числа уравнений, т.е., с одной стороны, достаточно проста, а с другой, дает возможность описать и понять большой круг сложных явлений. Приэлектродный слой магнитного коллоида (магнитной жидкости), помещенный в электрофоретическую ячейку, при воздействии электрического поля представляет собой такую активную нелинейную среду, в которой наблюдался автоволновой процесс (АВ-процесс) [1].

Целью настоящей работы является математическое моделирование автоволн в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью, обоснование возможного механизма автоволнового процесса и численное решение уравнения автоволн.

В ходе достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

- дано обоснование возможного механизма автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью;

- построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке;

- проведен сравнительный анализ методов решения уравнения автоволнового процесса и обоснована оптимальность выбранного метода;

- выполнено численное решение уравнения автоволнового процесса;

- разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Методы исследования

Использованы численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, дискретизации областей и аппроксимации зависимостей, включенные в математические пакеты MathCad, MatLab и Curve Fitting Toolbox 1.1.1, COMSOL Multiphysics.

Научная новизна результатов работы

1. Впервые предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц при зарядке и разрядке вблизи электрода и в объемном заряде, протекающего в электрофоретической ячейке.

2. Обоснован механизм автоволнового процесса, протекающего в электрофоретической ячейке, как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц в приэлектродном слое.

3. Обоснована оптимальность применения метода конечных элементов для решения уравнения автоволнового процесса и найдено его численное решение.

4. Разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Достоверность результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием обоснованных методов численных расчетов, а также качественным совпадением результатов численного решения с данными лабораторных экспериментов.

Практическая значимость

Научно-практическая значимость работы заключается в возможности применения ее результатов при разработке более общих моделей

автоволновых процессов, протекающих в физических и химических системах, экономике, природе, обществе. Разработанная программа позволяет наглядно представить численное решение нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса, что может быть использовано в том числе при изучении дисциплин «Синхронизация и хаотизация в нелинейных активных средах», «Теория нелинейных колебаний». '

Положения, выносимые на защиту

1. Механизм автоволнового процесса как результат синхронизации автоколебательного процесса заряженной частицы дисперсной среды магнитной жидкости в приэлектродном слое электрофоретической ячейки в электрическом и магнитном полях.

2. Алгоритм расчета плотности поверхностного заряда, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением автоволнового процесса.

3. Результаты численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса и обоснование оптимальности выбранного метода решения.

4. Визуализация численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса (программный код);

5. Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить физические параметры, влияющие на нелинейность модели.

Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, из них 8 статей.

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: 11-ой и 12-ой Международных конференциях по магнитным жидкостям, г. Плес (сентябрь 2004 г., август-сентябрь 2006 г.); VII Международной конференции «Циклы» (2005 г.), 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северокавказскому региону», г. , Ставрополь, СевКавГТУ; второй Международной научно-технической

5

конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке и технике», г. Ставрополь, СевКавГТУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 140 наименований, двух приложений. Основная часть работы изложена на 115 страницах.

Личный вклад соискателя

Результаты, представленные в диссертации, получены автором лично; выбор общего научного направления исследований и математическая постановка конкретных задач осуществлялись совместно с научным руководителем. Автору принадлежит самостоятельное численное решение поставленной задачи, обработка результатов и их интерпретация.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

. Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы основные цели и положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы.

В первой главе («Современные представления о математическом моделировании автоколебательных и автоволновых систем») приведен обзор работ отечественных и зарубежных ученых, посвященный современным представлениям о моделировании автоколебательных и автоволновых систем, рассмотрены экспериментальные и теоретические исследования в этой области. В заключении главы поставлены задачи диссертационного исследования.

Во второй главе («Моделирование автоколебательного процесса в приэлектродном слое , коллоидной среды (магнитная жидкость)») рассмотрена математическая модель автоколебаний проводящей частицы в приэлектродном слое магнитной жидкости, помещенной в электрофоретическую ячейку в электрическом и магнитном полях.

6

Рассмотренные движения частицы, заряженной в объемном заряде и движущейся к электроду, затем, перезарядившись от электрода, объясняют механизм автоколебаний. Частицы, находящиеся в -автоколебательном режиме, рассматриваются как система связанных осцилляторов, что дает объяснение механизму моделируемого автоволнового процесса.

Известно, что проводящую коллоидную частицу, помещенную во внешнее электрическое поле, можно рассматривать как биполярный электрод с катодной и анодной полуповерхностями. В рассматриваемой модели частица имеет сферическую поверхность радиуса а (рис. 1).

I*

г*

Рисунок 1-Схемаэлектромагнитной ячейки: ■

х - расстояние между электродами, / - приповерхностный слой, / « х

- Пусть незаряженная частица находится вблизи электрода, тогда при включении электрического поля в возникшем объемном заряде она заряжается знаком* противоположным знаку ближайшего электрода. На частицу в 2 электрическом и магнитном полях действуют силы, равнодействующая которых определяется выражением:

Р,ч+Рь+РА+Рт + Рр + Рм=6х-а.гГ?>, (1)

где Рч - сила Кулона, притягивающая частицу к электроду, - сила, обусловленная полем гидростатического давления, имеющегося в электризованной жидкости, ^ — сила Архимеда, ^ - сила тяжести, -

сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле, Рм -

сила, действующая со стороны магнитного поля.

Показано, что действием всех сил, кроме и /«аа можно пренебречь:

Скорость движения частицы в электрическом поле с учетом воздействия магнитного поля определяется выражением [2]:

где е— диэлектрическая проницаемость; 77 — динамическая вязкость; с* - концентрация катионов и анионов; тл - намагниченность насыщения частицы; Щ)~ коэффициент Ланжевена.

В выражении (3) знак «+» используем при сонаправленных электрическом поле и градиенте магнитного поля, а знак «-» при противоположно направленных. Значение скорости, равное нулю, означает, что воздействие электрического и магнитного полей на частицу уравновесятся. Отсюда следует, что воздействием постоянного магнитного поля можно компенсировать воздействие электрического поля, что может применяться для электроочистки углеводородных сред от ферромагнитных наночастиц.

(2)

(3)

21 10 2 10 I и ю"

1 1 ю"

5 10

1 10' « 1Й1 6 10* 8 1СС ПО1

КЫфЛМЮЮСП >п»кгркчм юго :т>яд

а) б)

Рисунок 2 - Скорость движения частицы в ювисимости от напряженности электрического поля при а) у|н|ТТ £ и б) /■:

а)

б)

Рисунок 3- Скорость движения частицы в мвисимости от напряженности магнитного поля при а) V | н ,ТТ ¿' и б) V [ н ¡Т1 е

По графикам на рис. 2 и 3 можно сделать следующие выводы: < 1. скорость движения частицы существенно не зависит от величины магнитного поля, а зависит от направления градиента магнитного поля по отношению к электрическому полю; • . :. ( , .

2. скорость движения частицы к электроду пропорциональна квадрату напряженности приложенного электрического поля;

3. действие приложенного магнитного поля компенсирует

воздействие электрического поля: при К V | Я | , Н - 10 А/м и Е ~ 5*10 В/м скорость частицы равна нулю.

После того как проводящая частица, коснувшись электрода, перезарядилась, приобретя одноименный с электродом заряд, она начала движение от электрода. Разряжаясь в слабоироводящей среде, частица доходит до точки начала своего движения, заряжается в объемном заряде, и процесс движения к электроду начинается снова. Так как действие внешней силы (со стороны электрического поля) непериодично, а частица совершает периодические движения, то их можно отнести к автоколебаниям.

Для случая, когда проводимость среды Я на всем пути движения частицы одинакова, а сама частица с зарядом </0 в момент времени / движется в электрическом поле Е в среде с диэлектрической проницаемостью е, скорость движения определяется выражением:

и — А • Е • е '1 т, (4)

(/0 Еп-С

где А -- —- --, г -- ——.

6 • я- •«• ?/ Я

Расстояние, которое пройдет частица от электрода, определяется формулой:

/ „1 Л ХГ . ~ ЛИ — Л Г ~ /\ „ т\

(5)

/ / — ;с = \и{()Ж=АЕ-[е гс// = -г-е г • А ■ Е + г • А-Е = А-Е-г-(1 -е г) 0 0

Если же считать, что проводимость среды X в результате изменения концентрации ионов вблизи электрода меняется и образуется объемный заряд, который в простейшем случае уменьшается экспоненциально с расстоянием от электрода, то значение проводимости [2]:

Л(х) = Лх=0 + Лл=аз(1~е-Вх), (6)

1 _ Е-£-£{) + 15-,е-£-0-£ где В - —, б--, с~ =-, г =

д г-^-с* 8-Ю О-а-Р +

F- постоянная Фарадея.

Тогда скорость движения: и = А 'Е-ее'£<)/(Л*)> . Согласно выведенным уравнениям и проведенным по ним расчетам получена формула расстояния, пройденного частицей:

о о (7)

= 3,15-10 А-Е--е----1 - с"0-565 ,0" +0

10000001 ■еВх -И)6 V

,565 10" е." ' ^

где п - порядок степени числа X.

Проведенное моделирование и расчеты покачали, что частица в приэлектродном слое электрофоретической ячейки под воздействием электрического поля начинает колебательные движения от границы фазового расслоения к электроду и обратно, которые при значениях поля порядка Ь—105 В/м превращаются в автоколебательные. Этот механизм автоколебаний подтверждает экспериментальные результаты по изменению цвета электрохимической ячейки с магнитным коллоидом. При таком подходе автоволновая система представляется в виде цепочки из конечного числа взаимодействующих элементов.

Если рассматривать частицы дисперсной фазы магнитной жидкости как систему связанных осцилляторов, то синхронизированные автоколебания можно рассматривать как автоволны.

В третьей главе («Методы построения математической модели автоволнового процесса») приведена постановка математической задачи

для решения уравнения процесса распространения автонолн в электрофоретической ячейке, построена и математически обоснована вычислительная схема методом сеток дня решения поставленной задачи, рассмотрены другие подходы к решению данной задачи, обоснована оптимальность применения метода конечных элементов для решения уравнения автоволноного процесса.

Рассматриваемая математическая модель основана на дифференциальном уравнении в частных производных параболического типа с двумя пространственными переменными:

где рх — максимальный заряд, отнесённый к единице поверхности; й -коэффициент диффузии; _/(/) - вектор плотности тока направлен •перпендикулярно расчетной поверхности.

Нелинейное дифференциальное уравнение (8) аналитически может быть решено только для стационарных автоволн (автомодельное решение) при условии, что Г| - время рефрактерности гораздо больше тг — времени возбуждения.

Для численного решения исходной задачи применена полностью неявная разностная схема.

Вводится на прямоугольной области равномерная пространственно-временная сетка:

О = {(*,■ = /Дд, у,- = у Ау, Г = АД/),| / = 0,1,..., и, у = 0,1,..„/и, к = 0,1,...,.«} (9)

Задаются граничные и начальные условия первого рода:

= Д/), *е(0,/[), у е (0,/2). / > 0, (8)

■/>,(*, о, о = /»(*, 0. хе|0./,],^ = 0./>0;

Р$ (*, /2.0 = /2 (*. 0, * е [О,/,],>• = /2 ,/> 0; р,(0. У, О = /3 Су. 0, х^0,уе [0,12 ], / > 0;

/>,(*, .У.0) = у{х,у), х е [0,/, ], у е [0, ¡2 ], / = 0.

(Ю)

Дискретизируя уравнение (8) для внутренних точек сетки:

Л,./,а

А/

~2Ри],к + | Л.,/41 ~2Л.у.А

(Ах)2 (А.У)2

) = Л,у,*. (П)

где / = 2.....п-\\]-2,...,т-\-,1= 2,...,5 и записывая уравнение (11) для всех

элементарных ячеек области интегрирования, приходим к системе из(ш — 1) • (м — I) алгебраических уравнении с (т + 1)-(и + 1) неизвестными. Система (11) характеризуется пятидиагональной матрицей. В двумерном случае решение задачи (8) при соответствующих краевых условиях сводится к нахождению на каждом временном слое решения системы алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей.

Для проверки сходимости построенной вычислительной схемы был найден ее порядок аппроксимации по временной и пространственным переменным и исследована устойчивость. Доказано, что используемая разностная схема является абсолютно устойчивой и аппроксимирует исходную задачу с первым порядком точности по / и со вторым порядком точности по ;с, у.

Алгоритм блок-схемы для машинной реализации численного метода с использованием неявной разностной схемы представлен на рис. 4.

В данной главе также рассмотрены другие численные методы решения уравнения автоволнового процесса: метод переменных направлений и метод дробных шагов. В результате рассмотренных методов было установлено, что, с точки зрения программирования численных алгоритмов типа метода сеток, принципиальных ограничений нет. Самой главной проблемой при решении уравнения является существенное увеличение времени расчетов, т.к. простая оценка необходимого количества операций показывает, что ввод в уравнение второй пространственной координаты многократно увеличивает число разностных уравнений, которые должны решаться при реализации каждого шага по времени.

Рисунок 4 - Блок-схема реализации алгоритма решения уравнения, с использованием неявной разностной схемы

В качестве оптимального для решения уравнения автоволнового процесса был выбран метод конечных элементов, который позволяет учитывать непостоянство параметров внутри элементов рассматриваемой системы и существующую нелинейность, а в качестве инструмента исследования был использован комплекс инструментальных средств технологии научного моделирования - COMSOL Multiphysics.

В четвертой главе («Моделирование автоволновых процессов в приэлектродном слое электрофоретической ячейки с магнитным коллоидом») проведен численный эксперимент по моделированию и решению уравнения автоволнового процесса. Проведен сравнительный анализ полученных результатов численного решения с точки зрения качественного приближения к экспериментальным данным.

Было найдено численное решение уравнения автоволнового процесса (8) с использованием двух программных средств:

1. Интерактивной среды для моделирования и решения дифференциальных уравнений в частных производных COMSOL Multiphysics, в которой применяется конечноэлементпая технология.

2. Математического пакета MatLab 6.5 с программной реализацией алгоритма численного метода, описанного в главе 3.

Оценка производительности решения (времени расчета) уравнения автоволнового процесса дает возможность более очевидно увидеть оптимальность применения метода конечных элементов по сравнению с методом сеток.

В уравнении (8) автоволновой процесс обусловлен наличием нелинейного слагаемого у'(/) (рис. 5).

По графику на рис. 5 видно, что зависимость _/(') включает две

составляющие /^(0 и /2*(0» где /^(0 - ток заряда, характеризующий

фазу рефрактерности, - ток разряда, характеризующий фазу

возбуждения автоволнового процесса.

Ток заряда состоит из двух слагаемых: = + гДе

абсорбционный ток, обусловленный накапливанием свободного заряда на поверхности раздела слоев, - остаточный ток или ток

проводимости, обусловленный только сквозной проводимостью.

М

Рисунок 5 — Зависимость плотности тока от времени

У(/) является разрывной функцией по первой производной, поэтому для решения уравнения (8) было проведено ее сглаживание средствами программы Ма(ЬаЬ 6.5.

Результат численного решения уравнения (8) в среде СОМБОЬ МиШрИуБЮв представлен на рис. 6.

Из рис. 6 видно, что значение искомой величины - максимального заряда, отнесенного к единице поверхности, изменяется в пределах от 8-10"5 до МО'3 Кл/м2, что согласуется с экспериментальными данными [3], [4], [5].

Г*»-« ф

>*«■) К1Я Кл/м'

Рисунок 6 - Значение величины максимального заряда, отнесенного к единице поверхности, рассчитанное в среде СОМЭОЬ МиШрЬуэ^

1МЧ* ПНН»«М1>» «МП**

•НОЛИ «■».на* Кл/м'

■О* • V» I О » М 4 » « О » ЬА

t Л К4М ЮТ

Рисунок 7 - Визуализация численного решения уравнения (9) с генерированной сеткой конечных элементов заданной расчетной области

На рис. 7 представлен один из элементов интерфейса системы СОМБОЬ МиМрИуБЮв, позволяющий выводить конечные элементы

расчетной сетки в режиме постпроцессорной обработки и визуализации результатов решения.

В математической среде Ма1ЬаЬ 6.5 была разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса (рис. 8). '

Рисунок 8 - Визуализация динамики распределение заряда рз на поверхности электрофоретической ячейки

В конце 4 главы рассматривается динамика и взаимодействие автоволн, найден подход к объяснению механизма рождения и разрыва спиральных волн — ревербераторов, пейсмекеров.

В заключении сделаны основные выводы по результатам диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения нйночастиц, протекающий в электрофоретической ячейке, который представляет собой движение заряженной в объемном заряде частицы к электроду, перезарядки ее у электрода и движения

обратно к границе приэлектродного слоя. Показано, что вследствие постоянства приложенной внешней силы и периодичности рассматриваемого движения заряженных частиц данный процесс можно отнести к автоколебаниям.

2. Рассчитана скорость движения заряженной частицы в приэлектродной области, которая зависит от проводимости и от напряженности приложенного электрического поля. В математической среде МаЛСас! решено трансцендентное уравнение для определения расстояния, пройденного частицей в приэлектродном слое.

3. Показано, что приложенное неоднородное магнитное поле компенсирует действие электрического поля: при определенных значениях противоположно направленного электрического поля

2-а

—* V— г— и магнитного поля -1-1 скорость заряженной

ч 47 + 47 Ья-а-п

частицы V - 0.

4. Обоснован механизм авто волнового процесса, который представлен как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц, рассматриваемых как система связанных осцилляторов. В этом случае автоволновая система представляет собой цепочку из конечного числа взаимодействующих элементов.

5. Построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью.

6. Выполнен сравнительный анализ методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса с обоснованием: оптимальности выбранного метода решения, в результате чего был применен метод конечных элементов.

7. Найдено численное решение уравнения автоволнового процесса, в результате чего была найдена искомая величина ps — максимальный заряд, отнесенный к единице поверхности.

8. Разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса, позволяющая наглядно представить распределение заряда ps на поверхности электрофоретической ячейки.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В., Кандауров B.G. Решение многомерной задачи распространения автоволн // Журнал «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки». 2006. Приложение №1. с.21-24.

2. Чеканов В.В., Ильюх П.М., Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Агрегирование частиц в диэлектрическом и слабопроводящем магнитном коллоиде // Материалы 11 международной конференции по магнитным жидкостям. — Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2004. — с.85-89.

3. Киселева Т.В. Методы расщепления в решении уравнения автоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Сборник научных трудов: Вып. V, Т.2. - Ставрополь: СевКавГТИ, 2005. - с.40-46.

4. Киселева Т.В., Кандауров B.C. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном поле / Материалы VII Международной конференции «Циклы». — Ставрополь, 2005. — Т.2, с. 7-10.

5. Киселева Т.В., Кандауров B.C. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое / Материалы

VII Международной конференции «Циклы». - Ставрополь, 2005. -Т.2, с. 10-13.

6. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В., Кандауров B.C., Рокотов Ю.В. Моделирование автоволнового процесса в приповерхностном слое магнитной жидкости в электрическом поле в системе FEMLAB // Материалы 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - северокавказскому региону», Ставрополь: СевКавГТУ, 2005. - с. 150.

7. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Алгоритмы численных методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Вып. 6. - Ставрополь: СевКавГТИ, 2006. - с. 262-266.

8. Чеканов В.В., Киселева Т.В., Кандауров B.C. Решение двумерного уравнения автоволнового процесса методом конечных элементов на базе пакета для научного моделирования FemLab // Сборник научных трудов второй международной научно-технической конференции по инфокоммуникационным технологиям в науке, производстве и образовании: - Ставрополь: СевКавГТУ, 2006. - с. 186-189.

9. Чеканов В.В., Киселева Т.В., Дискаева E.H. Математическое моделирование изменения интерференции света на границе магнитной жидкости с электродом в электрическом поле // Сборник научных трудов 12-ой Международной Плесской конференции по магнитным жидкостям (август - сентябрь 2006 г., г. Плес). - Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2006.-С. 85-90.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В., Бондаренко Е.А. Динамическая модель приэлектродного слоя магнитной жидкости как электроактивная среда // 10-я Международная конференция по магнитным жидкостям: Сб. научных трудов. - Плес, 2002. - С. 86-89.

2. Духин С.С., Эстрела - Льопис В.Р., Жолковский Э.К. Электроповерхностные явления и электрофильтрование. - Киев; Наук, думка, 1985.-288 с.

3. Вегера Ж.Г., Диканский Ю.И. Эффекты структурообразования и особенности переноса заряда в тонких слоях магнитной »жидкости // Материалы 50 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. - С. 11-15.

4. Чеканов В.В., Бондаренко Е.А., Кандаурова Н.В. Накопление заряда в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью // Проблемы физико-математических наук: Материалы XLIII научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука -региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. - С. 3-4.

5. Падалка В.В., Ерин К.В. Изучение приэлектродных процессов в диэлектриках с магнитными коллоидными частицами // VII Международная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей». - С.-Перербург, 2003. - С. 208210.

Подписано в печать 20.11.2006 Формат 60*84 1/16 Усл. печ. л. - 1,5 Уч.-изд. л. - 1 Бумага офсетная. Печать офсетная. Заказ № 738 Тираж 100 экз. ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет» 355029 г. Ставрополь, пр. Кулакова, 2

Издательство Северо-Кавказского государственного технического университета Отпечатано в типографии СевКавГТУ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ И АВТОВОЛНОВЫХ СИСТЕМ

1.1. Современные представления о моделировании автоколебательных систем

1.2. Методы математического моделирования автоволновых систем

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В ПРИЭЛЕКТРОДНОМ СЛОЕ КОЛЛОИДНОЙ СРЕДЫ (МАГНИТНАЯ ЖИДКОСТЬ)

2.1. Основные уравнения движения проводящей частицы

2.2. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном полях

2.3. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое

2.4. Колебания проводящей частицы в электрическом и магнитном полях

3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА

3.1. Экспериментальное наблюдение автоколебаний и автоволн в коллоидной среде

3.1.1. Описание экспериментальной установки для наблюдения и исследования автоволн

3.1.2. Объект исследования и методика эксперимента

3.2. Математическая модель автоволнового процесса

3.3. Алгоритмы численных методов решения уравнения автоволнового процесса

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРИЭЛЕКТРОДНОМ СЛОЕ ЭЛЕКТРОФОРЕТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКИ С МАГНИТНЫМ КОЛЛОИДОМ

4.1. Моделирование автоволнового процесса в приповерхностном слое магнитной жидкости в электрическом поле в системе COMSOL Multiphysics

4.1.1. Представление уравнения автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics

4.1.2. Решение задачи моделирования автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics

Актуальность темы исследования. Современный этап развития науки характеризуется исследованием различного рода нелинейных явлений. Однако к настоящему времени известно не много самоподдерживающихся в активной нелинейной среде волновых процессов, которые можно было бы наблюдать экспериментально за небольшой (порядка 1 минуты) период времени и параметры которого легко можно было бы изменять в лабораторных условиях. Математическая модель такого процесса состоит из ограниченного числа уравнений, т.е., с одной стороны, достаточно проста, а с другой, дает возможность описать и понять большой круг сложных явлений. Приэлектродный слой магнитного коллоида (магнитной жидкости), помещенный в электрофоретическую ячейку, при воздействии электрического поля представляет собой такую активную нелинейную среду, в которой наблюдался автоволновой процесс (АВ-процесс) [122].

Объектом диссертационного исследования является активная среда - приэлектродный слой электрофоретической ячейки с магнитной жидкостью.

Предметом исследования является математическое моделирование автоколебательного и автоволнового процессов в активной среде.

Целыо работы является математическое моделирование автоволн в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью, обоснование возможного механизма автоволнового процесса и численное решение уравнения автоволн.

В ходе достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:

- дано обоснование возможного механизма автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью;

- построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке;

- проведен сравнительный анализ методов решения уравнения автоволнового процесса и обоснована оптимальность выбранного метода;

- выполнено численное решение уравнения автоволнового процесса;

- разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Достоверность результатов обеспечена корректностью применяемого математического аппарата, использованием обоснованных методов численных расчетов, а также качественным совпадением результатов численного решения с данными лабораторных экспериментов.

Научная новизна результатов работы:

1. Впервые предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц при зарядке и разрядке вблизи электрода и в объемном заряде, протекающего в электрофоретической ячейке.

2. Обоснован механизм автоволнового процесса, протекающего в электрофоретической ячейке, как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц в приэлектродном слое.

3. Обоснована оптимальность применения метода конечных элементов для решения уравнения автоволнового процесса и найдено его численное решение.

4. Разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.

Практическая значимость результатов данной работы: Научно-практическая значимость работы заключается в возможности применения ее результатов при разработке более общих моделей атоволновых процессов, протекающих в физических и химических системах, экономике, природе, обществе. Разработанная программа позволяет наглядно представить численное решение нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса, что может быть использовано в том числе при изучении дисциплин «Синхронизация и хаотизация в нелинейных активных средах», «Теория нелинейных колебаний».

На защиту выносятся следующие положения.

1. Механизм автоволнового процесса как результат синхронизации автоколебательного процесса заряженной частицы дисперсной среды магнитной жидкости в приэлектродном слое электрофоретической ячейки в электрическом и магнитном полях.

2. Алгоритм расчета величины максимального заряда, отнесенного к единице поверхности, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением автоволнового процесса.

3. Результаты численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса и обоснование оптимальности выбранного метода решения.

4. Визуализация численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса (программный код).

5. Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить физические параметры, влияющие на нелинейность модели.

Личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертации получены автором лично; выбор общего научного направления исследований и математическая постановка конкретных задач осуществлялась совместно с научным руководителем. Автору принадлежит самостоятельное численное решение поставленной задачи, обработка результатов и их интерпретация.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: 11-ой и 12-ой международных конференциях по магнитным жидкостям, г. Плес (сентябрь 2004 г., август-сентябрь 2006 г.); VII международной конференции «Циклы» (2005 г.), 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука -Северокавказскому региону», г. Ставрополь, СевКавГТУ; второй международной научно-технической конференции

Инфокоммуникационные технологии в науке и технике», г. Ставрополь, СевКавГТУ, на заседании кафедры прикладной информатики и естественнонаучных дисциплин Северо-Кавказского гуманитарно-технического института.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, из них 8 статей, среди которых одна статья напечатана в журнале «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 140 наименований и двух приложений. Основная часть работы изложена на 115 страницах.

Выводы

Проведенное моделирование и расчеты показали, что автоволновой процесс полностью зависит от суммы тока заряда, характеризующего фазу рефрактерности и тока разряда, характеризующего фазу возбуждения. Полученное численное решение уравнения автоволнового процесса и форма распределения величины максимального заряда ps, отнесенного к единице поверхности, при вариации параметров уравнения, является характерным для изучаемого автоволнового процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения диссертационной работы получены следующие основные научные и практические результаты:

1. Предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц, протекающий в электрофоретической ячейке, который представляет собой движение заряженной в объемном заряде частицы к электроду, перезарядки ее у электрода и движение обратно к границе приэлектродного слоя. Показано, что вследствие постоянства приложенной внешней силы и периодичности рассматриваемого движения заряженных частиц данный процесс можно отнести к автоколебаниям.

2. Рассчитана скорость движения заряженной частицы в приэлектродной области, которая зависит от проводимости и от напряженности приложенного электрического поля. В математической среде MathCad решено трансцендентное уравнение для определения расстояния, пройденного частицей в приэлектродном слое.

3. Показано, что приложенное неоднородное магнитное иоле компенсирует действие электрического поля: при определенных значениях противоположно направленного электрического поля

2-а r,Vc+-Vc--g-go-E-V— г— и магнитного поля

II

Ц 6 ,та-п заряженной частицы и = 0. скорость

4. Обоснован механизм автоволнового процесса, который представлен как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц, рассматриваемых как система связанных осцилляторов. В этом случае автоволновая система представляет собой цепочку из конечного числа взаимодействующих элементов.

5. Построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью.

6. Выполнен сравнительный анализ методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса с обоснованием оптимальности выбранного метода решения, в результате чего был применен метод конечных элементов.

7. Найдено численное решение уравнения автоволнового процесса, в результате чего была найдена искомая величина ps -максимальный заряд, отнесенный к единице поверхности.

8. Разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса, позволяющая наглядно представить распределение заряда р$ на поверхности электрофоретической ячейки.

1. Aliev R.R., Panfilov A.V. A simple model of cardiac excitation // Chaos, Solitons & Fractals 7 (1996), №3. - P.293 - 301.

2. Andronoff A., Witt A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol. -«Archiv fur Elektrotechnik», 1930. Bd XXIV, P. 99 100. (Андронов А. А. Собр. трудов - M.: Изд-во АН СССР, 1956, с. 51 - 64.)

3. Andronov A. A., Chajkin S. Е. Theory of oscillation. (Transl. by S. Lefschetz.) Princeton Univ. Press, 1949.

4. Bandman O.L. Comparative Study of Cellular-Automata Diffusion Models // Lecture Notes in Computer Science. Vol.1662. 1999. Springer-Verlag, Berlin. P.395 -409.

5. Barkley D. A model for fast computer simulation of waves in excitable media // Physica D 49(1991). P.61 -70.

6. Biktashev V.N., Holden A.V. Resonant drift of an autowave vortex in a bounded medium//Phys. Lett. A 181 (1993). P.216 - 224.

7. Birtashev V.N., Holden A.V. Design principales of a low voltage cardiac defibriallator based on the effect of feedback resonant drift // J.Theor. Biol. 169, 1994.-P.101 -112.

8. Dupon G. and Goldbetter A. Oscillations and waves of citosolic calsium: insights from theoretical models. Bioessays, 14, 1992. P. 485 - 493.

9. Fife P.C. Singular perturbation and wave front techniques in reactiondiffusion problems // SIAM-AMS Proceedings 10 (1976). P.23 - 50.

10. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1 (1961). P.445 - 466.

11. Gorelova N.A., Bures J. Spiral waves of spreading depression in the isolated chicken retina//J. Neurobiol. 14, 1983.-P. 353 363.

12. Gray R.A., Jalife J. Spiral waves and the heart // Int. J. Bifurcation and Chaos 6 (1996). -P.415 435.

13. Hagan P.S. Spiral waves in reaction-diffusuon equations // SIAM J. Appl. Math. 42, 1982. P.762 - 781.

14. Higgins J. A. The theory of oscillating reactions. Ing. Chem. V.59, №5, 1967.

15. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J.Physiol. 117 (1952). P.500 - 544.

16. Kopell N., Howard L.N. Plane wave solutions to reaction-diffusion equations//Stud. Appl. Math. 52, 1973, №3. P.291 -310.

17. Lindemayer A.//J. Thcor/Biol/- 1971. V.30. - 445 p.

18. Mathematical Approaches to Cardiac Arrhythmias, a special issue of Ann. N.Y. Acad. Sci. 591,1990.-P. 1-417.

19. Mikhailov A.S., Krinsky V.I. Rotating spiral waves in excitable media: the analitical results // Physica D 9 (1983). P. 346 - 371.

20. Murray J.D. Mathematical Biology. (Biomathematics. Vol. 19.) Berlin -Heidelberg N. Y., 1993.

21. Nobel D. A modification of the Hodzhkin-Huxeley equations applicable to Purkinje fibre action and pacemaker potentials // J.Physiol 160, 1962. P.317 - 352.

22. Novak В., Tyson J.J. Modeling the cell division cycle: M-phase trigger, oscillation and size control, J. Theor. Biol. 165, 1993.-P. 101 104.

23. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic andelliptic equations // J. Indust. Appl. Math., 1955, №3. P. 28 - 41.

24. Toffoli Т., Margolus N. Cellular Automata Machines. // Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 1987.

25. Toffolli T. Cellular Automata as an Alternative to (rather than an Approximation of) Differetial Equations in Modeling Physics // Physica, 1984. Vol. 10 D.- P.117- 127.

26. Wiener N., Rosenblueth A. // Arch. Inst. Cardiol. Mexico. 1946. V. 16, №3 - 4. (Русский перевод. - Кибернетический сб. - М.: ИЛ. 1961. -№3).

27. Winfree А.Т. Science. 1972. - V.175. - Р.634. The Geometry of Biological Time.-N.Y., Heidelberg, В.: Springer-Verlag, 1980.

28. Wolfram S. Cellular Automaton Fluids 1: Basic Theory // Journal of Statistical Physics. Vol.45. 1986. N 3/4. P.471 - 525.

29. Wolfram S. Universality and complexity in cellular automata. // Physica D, 10:1 -35,1984.

30. Андронов А. А., Витт А. А. К математической теории захватывания. — «Журн. прикл. физики», 1930, т. 7, вып. 4. С. 3 -20. (Андронов А. А. Собр. трудов, С. 70 - 84.).

31. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Изд. 2-е, нерераб. и дополн. Н. А. Железцовым. — М.: Физматгиз, 1959. -915 с.

32. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Часть I. С предисловием акад. JI. И. Мандельштама. 2-е изд. - М.: Наука, 1981.-568 с.

33. Андронов А.А. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1955. -538 с.

34. Андронов А.А., Мандельштам Л.И. Теория нелинейных колебаний В кн.: Академик Мандельштам: К 100-летию со дня рождения -М.: Наука, 1977.-127 с.

35. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. // ДАН СССР. 1937. - Т.14, №5. -С.247 - 250.

36. Атауллаханов Ф.И., Волкова Р.И., Гурия Г.Т., Сарбаш В.И.,

37. Сафрошкина АЛО. Автоволновая гипотеза свертывания крови // Физическая мысль России. 1995. №1.

38. Балкарей Ю.И., Никулин М.Г., Елинсон М.И. Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: ИПФ АН СССР, 1981.-117с.

39. Бандман О.Л. Мелкозернистый параллелизм в математической физике // Программирование, 2001. № 4. С.1 - 17.

40. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.-598 с.

41. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -3-е изд., доп. и перераб. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. -636 с.

42. Белоусов Б.П. Периодически дейстующая реакция и ее механизм // 1.-С. 176-189.

43. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматгиз, 1962. - 680 с.

44. Берковский Б.М., Медведев В.Ф., Краков М.С. Магнитные жидкости. М.: Химия, 1999. - 240 с.

45. Берштейн И. Л., Иконников Е. К математической теории вынужденных колебаний в автоколебательных системах с двумястепенями свободы. «Журн. техн. физики», 1934, т. 4, № 1.

46. Богач П.Г., Решодько JI.B. Алгоритмические и автоматные модели деятельности гладких мышц. Киев: Наук. Думка, 1979.

47. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963.-488 с.

48. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Авговолновые процессы./Под ред. Д.С. Чернавского. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - (Соврем, пробл. Физики). - 240 с.

49. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.

50. Винер Н., Розенблют А. Проведение импульсов в сердечной мышце. Математическая формулировка проблемы проведения импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности, в сердечной мышце // Кибернетический сборник, вып.З. М.: ИЛ, 1961. - С. 3 -56.

51. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

52. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 439 с.

53. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Изд-во физ. - мат.1. Литературы, 1959. 572 с.

54. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высшая школа, 2001.-395 с.

55. Гуляев В. П., Мигулин В. В. Об устойчивости колебательных систем с периодически изменяющимися параметрами. «Жури, техн. физики», 1934, т. 4, № 1. - С. 49-65.

56. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575 с.

57. Духин С.С., Эстрела Льопис В.Р., Жолковский Э.К. Электроповерхностные явления и электрофильтрование. - Киев: Наук, думка, 1985.-288 с.

58. Елькин Ю.Е. Кинематика стационарных и медленно эволюционирующих автоволновых фронтов: Дисс. . канд. физ.-мат. наук / Институт математических проблем биологии РАН, Пущино, 2000.-149 с.

59. Жаботинский A.M. // Биофизика. 1964. Т. 9. С. 306; Он же. // ДАН СССР. 1964. Т. 157. 392 с.

60. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

61. Жаботинский A.M., Отмер X., Филд Р. и др. Колебания и бегущиеволны в химических системах. — М.: Мир, 1988. 720 с.

62. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. . Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980. - 480 с.

63. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984. - 165 с.

64. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978. - 309 с.

65. Каганов М.И., Цукерник В.М. Природа магнетизма М,: Наука, 1982.-192 с.

66. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

67. Кандаурова Н.В. Автоколебательное течение МЖ в электрическом и магнитном полях // Тезисы докл. V Всесоюзной конфренции по магнитным жидкостям. М.: МГУ, 1988.-С. 114- 116.

68. Кандаурова Н.В. Вынужденные колебания поверхности капли МЖ в магнитном и электрическом полях // Тезисы докл. V Всесоюзного совещания по физике магнитных жидкостей. Пермь , 1990. - С.70 -72.

69. Кандаурова Н.В. Колебания капли и струйное течение в электрическом и магнитномполях: Дисс. . канд. тех. наук / Институт физики УРО АН, Пермь, 1992. 125 с.

70. Кандаурова Н.В. Приповерхностные и межфазные явления в магнитной жидкости в электрическом и магнитном полях и их техническое применение: Дисс.д-ра техн. наук. Ставрополь, СевКавГТУ, 2000 г. 305 с.

71. Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCAD 2001. СПб.: БХВ1. Петербург, 2001. 544 с.

72. Колебания и бегущие волны в химических системах. / Ред. Р. Филд, М. Бургер.-М.: Мир, 1998.

73. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов И.С. Исследование уравнений диффузии, соединенного с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюл.МГУ, 1937. Т. 1, сер.А, вып.Б. - С. 1 - 26.

74. Кринский В.И. Биофизика. 1966. - Т.П. - с. 676; Пробл. Кибернетики. - 1968. - Т.20. - С.59 - 80.

75. Кринский В.И. Автоволновые процессы с системах с диффузией. -Горький: ИПФ СССР, 1981. С. 6 - 33.

76. Кринский В.И., Медвинский А.Б., Панфилов А.В. Эволюция автоволновых вихрей. М.: Знание, 1986. - 48 с.

77. Кринский В.И., Михайлов А.С. Автоволны. М.: Знание, 1984. - С. 22 - 29.

78. Кринский В.И., Холопов А.В. Явление эха в возбудимой ткани. -Биофизика. 1967, т. 12, №3. с. 524 - 528.

79. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

80. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. -733с.

81. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.-620 с.

82. Лоскутов АЛО., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.-272 с.

83. Майер Р.В. Основы компьютерного моделирования: Учебноепособие. Глазов: ГГПИ, 2005. - 25 с.

84. Малинецкий Г.Г., Степанцов М.Е. Моделирование диффузионных процессов клеточными автоматами с окрестностью Марголуса // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1998. Т.36.№ 6. С. 1017 - 1021.

85. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972. -472 с.

86. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 263 с.

87. Минакова И. И., Теодорчик К. Ф. К теории синхронизации автоколебаний произвольной формы. — ДАН, 1956, т. 106, вып. 4. -С. 658.

88. Михайлов А.С., Кринский В.И. Ревербератор в активной среде. Аналитические результаты. Биофизика, 1982, №5. - С. 875 - 879.

89. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. -Едиториал УРСС, 2003. 344 с.

90. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесныхсистемах.-М.: Мир, 1979.-512 с.

91. Общая электротехника: Учеб. пособие для вузов / Под ред. д-ра техн. наук А.Т. Блажкина 4-е изд., перераб. и доп. - Л: Энергоатомиздат, Ленинград, отд.-ние, 1986. - 592 с.

92. Падалка В.В., Ерин К.В. Изучение приэлектродных процессов в . диэлектриках с магнитными коллоидными частицами // VII Международная конференция «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей». С.-Перербург, 2003. - С. 208 - 210.

93. Полак Л.С., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесныхфизико-химических системах. М.: Наука, 1983. - 283 с.

94. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2002. - 432 с.

95. Полянин А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики : учеб. пособие для вузов / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. М.: Физматлит, 2005. - 256 с.

96. Поршнев С.В., Беленков И.В. Численные методы на базе MathCad. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 464 с.

97. Привалов В. Е., Фридрихов С. А. Кольцевой газовый лазер. УФН, 1969, т. 97, вып. 3,-С. 377-402.

98. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. -Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика",2001.- 160 с.

99. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука. 1984. - 432 с.

100. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в билогии. -Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика",2002.-232 с.

101. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. 472 с.

102. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Физматгиз, 2000. - 272 с.

103. Рязин П. А. Исследование захвата электронов в ускорение вбетатронах и синхротронах. — В кн.: Ускорители. М.: Атомиздат, 1960.-С. 59-104.

104. Савельев И.В. Курс общей физики -М.: Наука, 1968, т. 1.- 202 с.

105. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. испр. М.: Наука, 1989. 616 с.

106. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Науч. мир, 2000.- 316 с.

107. Саульев В.К. Интегрирование параболических уравнений методом сеток. М.: Физматгиз, 1960. - 324 с.

108. Такетоми С., Тикадзуми С. Магнитная жидкость / Пер. с яион. М.: Мир, 1993.-272 с.

109. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.-735 с.

110. Торза С., Кокс Р., Мейсон Э. электрогидродинамическая деформация и разрыв капель // Реология суспензии. М. - 1975. -С. 5-38.

111. Фертман В.Е. Магнитные жидкости: Справочное пособие Минск: Выш. школа, 1988.- 184 с.

112. ИЗ. Физический энциклопедический словарь / Под ред. A.M. Прохорова М.: "Советская энциклопедия", 1984.

113. Фомин С.В., Беркинблит М.Б. Математические проблемы в биологии. М.: Наука, 1973.-200 с.

114. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1987. - 502 с.

115. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.

116. Ходжкин А. Нервный импульс. М.: Мир, 1965. - 128 с.

117. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений параболического типа. // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24.№9.-С. 1172 1188.

118. Цетлин M.J1. Исследование по теории автоматов и моделированию биологических систем. М.: Наука, 1969. - 316 с.

119. Чеканов В. В. Автоколебания в магнитных жидкостях. В сборнике: Физические свойства магнитных жидкостей, Свердловск, 1983. С. 42 - 52.

120. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В., Бондаренко Е.А. Динамическая модель приэлектродного слоя магнитной жидкости как электроактивная среда // 10-я Международная конференция по магнитным жидкостям: Сб. научных трудов. Плес, 2002. - С. 86 -89.

121. Чеканов В.В., Кандаурова Н.В., Бондаренко Е.А. Синхронизация автоволновых процессов в магнитной жидкости // 10-я юбилейная международная Плеская конференция по магнитным жидкостям. -Плес, 2002.-С. 103 107.

122. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М. О колебаниях в темповых реакциях фотосинтеза. В сб. Колебательные процессы в биологических и химических системах. - М.: Наука, 1967.

123. Юдович В.И. О возникновении автоколебаний в жидкости ПММ, 1971, Т.35.-638 с.126. www.yurae.boom.ru127. http://mathmod.aspu.ru128. www.exponenta.ru129. www.simresinc.com130. http://www.tor.ru/elcut131. www.softline.ru

124. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В., Кандауров B.C. Решениемногомерной задачи распространения автоволн // Журнал «Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки». 2006. Приложение №1. С.21 24.

125. Чеканов В.В., Ильюх П.М., Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Агрегирование частиц в диэлектрическом и слабопроводящем магнитном коллоиде // Материалы 11 международной конференции по магнитным жидкостям. Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2004. - С.85 -89.

126. Киселева Т.В. Методы расщепления в решении уравненияавтоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Сборник научных трудов: Вып. V, Т.2. Ставрополь: СевКавГТИ, 2005. - С.40 - 46.

127. Киселева Т.В., Кандауров B.C. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном поле / Материалы VII Международной конференции «Циклы». -. Ставрополь, 2005. Т.2. - С. 7 - 10.

128. Киселева Т.В., Кандауров B.C. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое /

129. Материалы VII Международной конференции «Циклы». -Ставрополь, 2005.-Т.2.- С. 10- 13.

130. Кандаурова Н.В., Киселева Т.В. Алгоритмы численных методов решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса // Вестник СевКавГТИ. Вып. 6. -Ставрополь: СевКавГТИ, 2006. С. 266 - 270.