автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование клеточно-нейронной модели двумерных автоволновых процессов

РГВ ол

7 3 'пОП /НПО

На правах рукописи

СЕЛИХОВ Антон Валентинович

ИССЛЕДОВАНИЕ КЛЕТОЧНО-НЕЙРОННОЙ МОДЕЛИ ДВУМЕРНЫХ АВТОВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат

.диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2ООО

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Научный руководитель: д.т.и. О. Л. Бандман.

Официальные оппоненты: Ведущая организация:

д.ф.-м.н. В.К.Попков, д.т.н. А.Ф. Лавренюк.

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Защита состоится 19 декабря 2000 г. в 15 часов на заседании Специализированного совета Д.002.10.02 в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, просп. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (просп. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "_ /ссР-г¿//'с^' 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

оз

С.Б. Сорокин

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке методов построения клеточно-нейронных моделей распределённой нелинейной динамики в активных средах.

Актуальность работы. Развитие современной науки нуждается в проведении вычислительных экспериментов, направленных на исследование сложных распределённых нелинейных процессов физической, химической, биологической или социальной природы. Сложность исследуемых явлений требует, с одной стороны, интенсивного применения высокопроизводительных вычислительных систем как специального (спецпроцессоры), так и общего (суперкомпьютеры) назначения, а с другой стороны - разработки новых моделей, позволяющих эффективно отобразить одновременность происходящих в моделируемой среде явлений на параллелизм используемых вычислительных систем.

Клеточная нейронная (нелинейная) сеть (КНС) является в настоящее время интенсивно исследуемой моделью параллельной обработки информации (параллельной моделью). Клеточно-некроиный подход к построению параллельных моделей (клеточно-нейронных моделей или К НС-моде лей), наряду с клеточно-автоматным (КА) и нойросетевьш (НС) подходами, позволяет получать массивно-параллельные модели, характеризуемые наибольшей степенью параллелизма в обработке информации. Кроме того, клеточно-нейронный подход является синтезом КА и НС подходов, объединяя в себе характерную для КА локальность связей между обрабатывающими элементами и используемые в НС ненроноподобные элементы.

Существенное внимание в исследованиях КНС уделяется моделированию различных нелинейных распределённых динамических процессов, в частности, хаотических колебаний (A.C. Дмитриев, Ю.В. Андреев, L. О. Chua, F. Zou, J. A. Nossek, Т. Roska), устойчивых структур и структур Тьюринга

(L.O. Chua, Т. Teodorescu, L. Goras, A. Zanela), автоволн (L.O. Chua, V. Pérez-Mu nuzuri, V. Pérez-Villar, M. Hasler, G.S. Moschytz, J. Neirynck, D. Wolf, T. Kozek, R. Tetzlaff, F. Puffer, P. Arena, L. Fortuna, G. Manganaro, D.M.W. Leenaerts). Автоволны представляют большой интерес как пример самоорганизации в активных средах различной природы. Возникновение и распространение автоволн впервые было описано на примере химической реакции Белоусова-Жаботинского и до сих пор привлекает интерес исследователей как отдельное явление, так и в качестве элементарного (В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно) процесса для моделирования более сложной распределённой нелинейной динамики.

Накопленный при изучении динамики КНС материал требует более глубокого теоретического и экспериментального исследования с целью разработки методов синтеза КНС-моделеи автоволновых процессов. Кроме того, использование специализированных КНС-машин, позволяющих на три порядка увеличить скорость обработки информации по сравнению с находящимися в распоряжении исследователей вычислительными средствами, даёт возможность существенного увеличения производительности вычислительного моделирования и ставит задачу выявления количественных соотношений между параметрами реальных автоволновых процессов и параметрами их КНС-моделей с целью решения практических исследовательских задач. В связи с этим исследование клеточно-нейроиной модели двумерных автоволновых процессов представляется актуальным.

Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование способа построения и использования двухслойной КНС для моделирования автоволновых процессов базовых типов.

Основными задачами диссертационной работы, направленными на достижение поставленной цели, являются:

1. Обоснование выбора базиса и структуры клеточно-ией-роннон модели двумерных автоволновых процессов.

2. Детальное исследование динамических свойств изолированной клетки, образующей клетку КИС, и определение зависимости этих свойств от значений параметров клетки п от внешних воздействий на клетку.

3. Формальное определение и экспериментальное исследование области параметров двухслойной КНС, генерирующей автоволны базовых типов (синхронные автоколебания, бегущий импульс, бегущий фронт, спираль).

4. Формальное определение и экспериментальное исследование области начальных значений состояний клеток в двухслойной КНС для формирования автоволн базовых типов.

5. Экспериментальное исследование свойств и характеристик автоволн, генерируемых в двухслойной КНС, и сравнение этих свойств со свойствами автоволн в реальных системах.

6. Исследование вычислительных свойств двухслойной КНС, анализ эффективности её применения для моделирования автоволновых процессов на крупноблочных параллельных вычислительных системах.

7. Разработка программной реализации клеточно-нейрон-ной модели для последовательных вычислительных систем в квазипараллельном режиме и для параллельных вычислительных систем с передачей сообщений с целью экспериментального подтверждения полученных теоретических результатов и обеспечения возможности исследования характеристик генерируемых двумерных автоволновых процессов.

Методы исследования основываются па качественной теории динамических систем второго порядка и на широком использовании компьютерного моделирования.

Научная новизна работы заключается в:

- разработке формального представления КНС, ориентированного на моделирование распределённых нелинейных процессов реакционно-диффузионного типа в многокомпонентных системах и обосновании выбора структуры КНС, позволяющей использовать ее в качестве модели двумерных автоволновых процессов базовых типов;

- проведении глубокого исследования динамических свойств клетки для определенного типа нейронов и структуры связи между нейронами в клетке (фиксированного вида полиномов в правых частях уравнений, описывающих динамику клетки) и произвольных значений весов связей (произвольных значений коэффициентов полиномов);

-формулировке и доказательстве достаточного условия существования предельного цикла на фазовой плоскости клетки КИС, описываемой системой двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-линейной функцией в правых частях уравнений;

- формальном обосновании способа выбора параметров КНС и начальных значений состояний клеток для формирования базовых типов автоволновых процессов.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных теоретических и экспериментальных результатов для исследования качественных свойств динамики автоволновых процессов, определения количественных зависимостей для автоволн как базового типа, так и более сложных, полученных с помощью исследованной модели.

Достоверность полученных результатов основывается на их теоретическом доказательстве и экспериментальной проверке с помощью компьютерного моделирования.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные при исследовании клеточно-нейронной модели двумерных автоволновых процессов были использованы при чтении

спецкурса "Клеточные нейронные сети" магистрантам первого года обучения факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета.

Апробация. Результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались на семинарах Отдела математического обеспечения высокопроизводительных вычислительных систем Института, вычислительной математики и математической геофизики (ИВМиМГ) СО РАН, на рабочих семинарах исследовательской группы по клеточным алгоритмам и архитектурам отдела, на Конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН в 1998 и 2000 гг., на Третьем сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике ИНПРИМ-98, на Втором и Третьем всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (МНС-98 и МНС-00), на пятой международной конференции "Parallel Computing Technologies" (РаСТ-99), на международной конференции "Controlof Oscillations and Chaos" (COC'2000).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы.

1. Краткое изложение диссертации

Во введении определяется область исследования - модели автоволновых процессов, используемые для проведения численных экспериментов по изучению распределённых нелинейных процессов в активных средах, подходы к реализации этих моделей на современных высокопроизводительных вычислительных системах и место клеточно-нейронной модели в этой области. Описываются общие особенности автоволновых процессов

н их специфика с точки зрения вычислительного моделирования. Показывается актуальность исследования моделей с внутренним параллелизмом, отмечаются основные особенности существующих моделей такого типа и клеточно-нейронного подхода. Рассматриваются основные тенденции в применении клеточных нейронных сетей для исследования распределённой нелинейной динамики, даётся краткий обзор работ, посвященных применению клеточных нейронных сетей для моделирования автоволновых процессов и обосновывается необходимость дальнейшего исследования клеточно-нейронных моделей. Определяется цель, задачи и методы исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе излагается обобщенное формальное представление клеточной нейронной сети, предназначенной для моделирования распределенных нелинейных процессов типа «реакция-диффузия» в /-компонентной системе, т.е. в системе, характеризуемой I переменными. Свойства такого обобщенного формального представления рассматриваются с точки зрения моделирования указанных процессов. Как частный случай обобщенной модели приводится формальное описание исследуемой двухслойной клеточной нейронной сети.

В п. 1.1 представлен результат обобщения исследуемой КНС-модели двумерных автоволновых процессов для одно-, двух- или трехмерных процессов реакционно-диффузионного типа в /-компонентной системе, а также формальное представление исследуемой двумерной двухслойной КНС. Такое обобщенное формально е представление КНС-модели является необходимым для эффективного использования КНС как вычислительной модели распределенных нелинейных процессов в однородных активных средах, поскольку предоставляет общую формальную основу («скелет») для построения целого класса моделей, отсутствующую на данный момент.

Базовым элементом КНС-модели является нейрон, определяемый как шестёрка символов: N —< и,\У,х,у,ф, ф >, где

и = {щ : щ £ К} - множество значений входов неГфоиа (далее - множество входов), IV = {«!г- : ад; € К} - множество значений весовых коэффициентов (далее - множество весов) входов нейрона (каждый вход имеет своп вес, т.е. |И7| = |{/|), х € И - значение состояния (далее - состояние), у 6 И -значение выхода (далее - выход) нейрона. Входы, состояние и выход нейрона являются функциями времени, а веса - константами. ф - функция нейрона, определяющая изменение значения его состояния во времени в зависимости от входов и состояния, ^-нелинейная (кусочно-линейная) функция, определяющая зависимость выхода нейрона от его состояния (функция выхода нейрона). Функция ф(х) является функцией сигмоидного типа с множеством значений, ограниченных на интервале [—1,1].

В множестве входов и выделяют вход, тождественно равный единице, вес которого обозначается г и называется смещением, а также внешний вход иь с весом гиь. Оставшиеся перенумерованные входы нейрона образуют вектор входов и = (их,..., иц) нейрона, а соответствующие этим входам веса - вектор весов = (ги^,..., гид) входов нейрона. Компоненты вектора и принимают значения выходов всех нейронов, связанных с данным (включая собственный выход данного нейрона); компоненты вектора называют весами связей данного нейрона.

Уравнение, описывающее изменение состояния нейрона в соответствии с функцией нейрона имеет вид

и определяет поведение нейрона.

Множество из I взаимосвязанных нейронов образует клетку С, представимую двойкой С =< 8,\¥с >, где 5 = {МиЯг, • • • ,М} ~ множество нейронов клетки, IVе - квадратная матрица из 1x1 элементов, на пересечении р-й строки и д-го столбца которой находится элемент, соответствующий весу

&

(1)

входа />-го нейрона, связанного с выходом г/-го нейрона клетки, р,(} = 1|ТУС| = Если обозначить через \Ур вектор весов р-го нейрона клетки, то первые I компонентов го^д,..., этих векторов всех нейронов клетки являются строками матрицы IVе (I < 9 - нейрон имеет еще хотя бы одну связь с нейроном другой клетки). Выходы всех нейронов клетки образуют вектор выходов ус = (у?,..., г/р), состояния всех нейронов клетки - вектор состояний х = (жх,... ,х;), а внешние входы всех нейронов клетки - вектор внешних входов ис = (и\,..., и\).

Изменение состояния клетки определяется изменением вектора состояний х.

Клеточная нейронная сеть 0 представляет собой одно-, двух- или трёхмерную решётку клеток, имеющих связи с клетками внутри некоторой локальной окрестности радиуса Я из п клеток, и может быть представлена двойкой 0 =< С, >, где С - счетное множество клеток. Все нейроны КНС, имеющие одинаковые индексы р внутри клетки, образуют р-й слощ КНС, имеющая I слоёв, называется 1-слойной КНС или КНС 1-го порядка (КНО). Тогда = {^Гр^} - множество векторов весов связей между нейронами р-го и 7-го слоёв внутри локальной окрестности, р, <7 = 1,...,/, < I2 (I нейронов

имеют / векторов весов связей с нейронами всех слоёв). Каждая клетка Сг имеет координату г = (г,], к), однозначно определяющую её позицию в решётке; соответственно этому каждый нейрон А/"Г)р в КНС идентифицируется уникальным индексом, состоящим из координат клетки и индекса нейрона в клетке (номера слоя). Тогда окрестность радиуса Яд в слое 7 нейрона .Л/^^р, принадлежащего слою р, определяется множеством нейронов = {ЛГа,ь,с,Р ■ \а — ¿1 < 1Ь-з\ < Яч,\с-к\ < Яч}, а окрестность клетки С^к есть множество клеток 7£с = {Са,ь,с '•

|а - г| < Яс, \Ь - з\ < Яс, Iе ~ ^ Яс}, где Яс = шах^х,...,;^).

Из этого определения следует, что в окрестность данной клетки входят все клетки, имеющие хотя бы одну связь с данной.

Окрестность /?с в случае двумерной КНС содержит 9 клеток при И с = 1, 25 клеток при Яс = 2 и т.д. Такая окрестность называется полной. Если приписать индексам данной клетки нули, индексы клеток окрестности будут иметь значения сдвига по пространственным координатам относительно данной (центральной) клетки и задавать пространственное расположение клеток окрестности - локальную конфигурацию.

Окрестность клетки характеризует связи между нейронами этой и других клеток. Эти связи устанавливаются путем отождествления входов каждого нейрона данной клетки с выходами нейронов, принадлежащих его окрестностям в различных слоях.

В каждом г/-м слое нейроны, принадлежащие окрестности нейрона р-го слоя, могут быть перенумерованы от 1 до пч (включая нейрон данной клетки в этом слое, которому присваивается индекс 1), и представлены вектором выходов нейронов окрестности у^ = (ур,7д,..., 2/Р,Р, 7 = 1, В соответствии с этим, компоненты . •., ир,1+пг вектора ир входов р-го нейрона тождественно равны компонентам урдд,..., УРд,щ вектора у^ выходов нейронов окрестности в слое д = 1, компоненты ..ир>1+„1+П2 тождественно равны компонентам г/р,2Д, • • •, Ур,2,п2 вектора выходов нейронов окрестности в слое = 2 и т. д. Таким образом, вектор входов нейрона имеет ВИД ир = (Их,...,«/, . . + . ..,Щ+т), т = ,...,! пя ■ Аналогичным образом, компоненты ,..., ^р.г+гц вектора \чр формируют вектор весов связей р-го нейрона клетки с нейронами первого слоя, компоненты гиР);+га1+1,..., д?Р1;+„1+П2 формируют вектор \ур>2 весов связей р-го нейрона клетки с нейронами второго слоя и т.д.

Пространственное расположение нейронов окрестности определяется шаблоном окрестности, который в случае одномерной КНС представим в виде вектора, а в случае двумерной КНС - в виде матрицы шаблона окрестности.

Функционирование КИС есть синхронное или асинхронное изменение значений состояний х и выходов у каждой клетки КНС, определяемое изменением состояния каждого нейрона клетки. При обозначении вектора выходов нейронов клетки с с с

через — у\,.\д, а соответствующего вектора весов связей р-го нейрона через = д/^,..., гу^ функционирование каждого нейрона КНС описываются уравнением (координаты клетки опущены)

I I пч

Хр = архр + ™СР;,УС1 + + X) Л ™рмУр,я,з +

!=1 ?=и=1 (2)

р= 1,..

Первые три слагаемых в правой части уравнения (2) образуют функцию определяющую динамику клетки, в то время как четвёртое слагаемое характеризует взаимодействие с другими клетками окрестности, а пятое отражает внешнее воздействие на клетку.

Для представленной обобщённой клеточно-ненронной модели определены следующие сопоставления с моделируемой средой:

1. Переменная состояния нейрона р-го слоя предназначена для представления р-й переменной моделируемой системы (например, концентрации р-го вещества в химической системе).

2. Изменение состояния клетки, определяемое взаимодействием нейронов внутри клетки, должно моделировать точечную динамику системы (её реакционную составляющую) .

3. Межнейронные связи предназначены для моделирования диффузионной составляющей процесса.

4. Связи нейронов окрестности в ц-и слое КНС с нейроном р-го слоя предназначены для моделирования системы с взаимодиффузией компонентов.

5. Возможность задания разного размера окрестности и весов связей в различных слоях ориентирована на отражение особенностей взаимовлияния для различных компонент моделируемой системы.

6. Внешние входы нейронов каждого слоя предназначены для отражения влияния «индивидуальных» внешних воздействии на каждую компоненту моделируемой системы в отдельности.

На основе представленных соответствий, рассмотренная обобщенная КНС-модель может быть конкретизирована в аналоги большинства существующих основных КНС-моделей реакционно-диффузионных процессов. В то же время, описанное обобщённое формальное представление отражает дискретность и структурированность КНС как модели распределённых нелинейных процессов, что делает её применение эффективным с точки зрения реализации на параллельных вычислительных системах. Кроме того, эта обобщенная формальная модель включает в себя очевидные представления о свойствах моделируемой среды, что делает более обоснованным применение исследуемой КНС-модели, представленной ниже.

Исследуемая КНС-модель двумерных автоволновых процессов является частным случаем описанной выше обобщённой КНС и представляет собой двумерную прямоугольную решетку клеток, взаимодействующих внутри неполной локальной окрестности с четырьмя ближайшими соседями. Поскольку большинство исследований реальных автоволновых процессов проводится без учёта влияния внешних воздействий, основное формальное описание исследуемой КНС-модели даётся без учёта влияния внешних входов; необходимое дополнение модели для исследования этого влияния, вводится в п. 3.4.

Каждая клетка Сг, г = (г,^), состоит из двух взаимосвязанных нейронов Аг,1 н Л/1-,2, образуя нейронную пару, и определяет разбиение КИС на два слоя. Изменение состояния клетки описывается системой двух уравнений для состояний каждого нейрона (пространственные координаты опущены):

¿1 = ах1 + ау\ + Ьу2 + г1, ¿2 = (Зх2 + су1 + (1у2 + г2. ^

Значение выхода нейрона определяется кусочно-линейной функцией выхода

!/Р = ^(1®р + 1|-|®Р-1|). Р=1,2. (4)

Окрестность нейрона клетки в каждом слое одинакова. Вектор выходов нейронов окрестности имеет вид у^ = (урд,ур,2, Урд,Ур,4,Ур,ъ), V — 1, 2, а связи окрестности представлены матрицей шаблона окрестности

р= 1,2,

тогда как \¥РЧ = 0, р ф (/. Общие уравнения (2) функционирования исследуемой двухслойной КНС имеют вид

¿2=/Зх-2+СУ1+Й1/2+22+£'22(-4г/2,1+2/2,2+2/2,3+У2,4+У2,5)-

В п. 1.2 приводится понятие автоволн, описываются их свойства и рассматриваются некоторые наиболее известные математические модели автоволновых процессов. Формальное представление этих моделей сравнивается с формальным представлением исследуемой КНС. Построение КНС-модели требует отображения динамических свойств точки среды на характеристики фазовой плоскости клетки КНС. В связи с этим

1 ( 0 1)рр 0

И>Р = -Орр -4 ЯРР 1-)рр

1 V о &рр 0

конкретизируются представления и о динамике точки среды, генерирующей автоволновые процессы базовых типов. Формирование устойчивого предельного цикла па фазовой плоскости клетки рассматривается как основной (но не единственно существующий) способ получения автоволн в КНС. В связи с особенностями используемой нелинейной функции формулируется отдельное утверждение, позволяющее сделать заключение о существовании на фазовой плоскости клетки устойчивого предельного цикла.

Под автоволновыми процессами понимается самоподдерживающийся в активной нелинейной среде волновой процесс (включая стационарные структуры), сохраняющий свои характеристики постоянными за счет распределенного в среде источника энергии. Эти характеристики - период, длина волны (или импульса), скорость распространения, амплитуда и форма - в установившемся режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от начальных условий. При этом в пространстве предполагается связь посредством процессов переноса диффузионного типа.

Среди известных типов автоволн, наблюдаемых в однородной активной среде, для исследования в работе выделены автоволновые процессы следующих базовых типов: бегущий фронт, бегущий импульс, спиральные волны и синхронные автоколебания.

Существующие математические модели автоволновых процессов представляются чаще всего системой двух дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Выделены следующие отличительные особенности клеточно-нейронной модели:

- использование в правой части уравнений суперпозиции линейных функций и фиксированной нелинейной функции (4) для описания точечной динамики системы вместо аддитивной нелинейности;

- использование в диффузионном члене значения переменной системы, нелинейно преобразованного с помощью (характеризуемой насыщенней) кусочно-линейной функции (4), вместо самого значения переменой.

При моделировании автоволновых процессов переменные х\ и £2 состояния нейронов отражают состояние компонент среды, а коэффициенты Иц и Вч1 рассматриваются в качестве коэффициентов диффузии компонентов одного типа.

Система, генерирующая автоколебания, может характеризоваться наличием на фазовой плоскости её точечной системы устойчивого предельного цикла.

В системе, генерирующей бегущий импульс, предполагается существование некоторого состояния равновесия, смещение из которого приводит к движению изображающей точки состояния клетки вдоль некоторой предельной траектории с последующим переходом в состояние равновесия, близкое к исходному.

Распространение бегущего фронта предполагает существо-ванне в системе двух состояний равновесия и перехода системы из одного в другое в соответствии с некоторой предельной траекторией на фазовой плоскости.

На основе этих особенностей клетки КНС сформулированы основные задачи синтеза параметров КНС-модели двумерных автоволновых процессов. Во-первых, необходимо определить области параметров клетки, при которых на её фазовой плоскости существует устойчивый предельный цикл. Во-вторых, необходимо получить одну или две устойчивые точки равновесия, соединённые предельными траекториями, для генерации бегущего импульса или бегущего фронта.

В качестве достаточного условия существования предельного цикла, на фазовой плоскости клетки, описываемой системой (3), накладываемого на свойства траекторий на фазовой плоскости, сформулировано и доказано

Утверждение 1. Если на фазовой плоскости клетки можно построить замкнутую одиосвязпую область С, ограниченную циклом однократного пересечения С, и при этом внутри С существует единственная то*1ка равновесия - неустойчивый фокус или узел, то в О существует предельный цикл.

Вторая глава посвящена синтезу параметров КНС-моделн двумерных автоволновых процессов.

В п. 2.1 рассматривается разбиение фазовой плоскости клеткн на линейные подобласти как следствие применения кусочно-линейиой функции нейрона. Использование кусочно-линейной функции определяет разбиение фазовой плоскости клетки на девять линейных подобластей, в которых становится возможным использование методов качественного анализа. В свою очередь, в соответствии со свойствами значений переменных состояния и Х2 эти подобласти делятся на три группы: насыщенные подобласти П8 — {£>++, Г>"~+, £> }, 1Ж1| > 1) \х'21 > 1, полунасыщенные подобласти Х)р = С'-,

Г>+!, О-'}, |а?х| < 1, Х2 > 1, и линейная подобласть Б11, ¡ж^| < 1,

В п. 2.2 описываются возможные комбинации типов и координат точек равновесия на фазовой плоскости изолированной клетки и зависимость характеристик точек равновесия (типа и устойчивости) от коэффициентов уравнений для клеткн.

Изолированная клетка (Бц = 0 в (5)) описывается системой

При упрощении этой системы для каждой из линейных подобластей получены координаты единственной точки равновесия. При этом если хотя бы одно из значений координат точки равновесия не принадлежит подобласти, в которой эта точка

Ы < 1.

(6)

равновесия определена, то такая точка равновесия называется виртуальной. Поскольку виртуальная точка равновесия не принадлежит своей подобласти, она не может быть предельной точкой для какой-либо траектории в этой подобласти и определяет лишь направления всех траекторий в этой подобласти. Таким образом, на фазовой плоскости клетки точками равновесия могут быть только реальные точки равновесия, а виртуальные определяют лишь направления траекторий в своей подобласти.

На основе известных методов устойчивость и тип точек равновесия определяются с помощью корней характеристического уравнения, составленного для системы, описывающей функционирование изолированной клетки. Особенности используемой кусочно-линейной функции дают возможность получить решения характеристического уравнения для каждой из подобластей и зависимость типа точки равновесия от коэффициентов системы, описывающей функционирование изолированной клетки. Очевидно, что не все возможные комбинации типов точек равновесия в подобластях допускают существование предельного цикла. Подобласть, в которой должен существовать неустойчивый узел или фокус, определена следующим утверждением:

Утверждение 2. Существование предельного цикла на фазовой плоскости клетки возможно тогда и только тогда, когда неустойчивый узел или фокус принадлежит подобласти И11.

Следствие 1. Условие расположения неустойчивого узла или фокуса б подобласти Б11 выражается системой нера-

причем выполнение второго }1еравенства в возможно только при условии Ьс < 0.

венств

( а + Р + а+(1> \ (а-0 + а-<1)

>0,

П2 + 4Ьс < 0.

(7)

Существование устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости предполагает отсутствие во всех её подобластях реальных устойчивых состояний равновесия, поскольку в каждой подобласти такое состояние равновесия единственно н будучи реальным является предельным для всех траекторий в этой подобласти и препятствует формированию из этих траекторий предельного цикла. Область параметров и комбинация типов состояний равновесия в подобластях и Х)р, определяющие виртуальность точек равновесия в этих подобластях, ограничивается следующей леммой:

Лемма 1. Если 1) в подобластях точки равновесия являются устойчивыми узлами и 2) в подобластях Ор точки равновесия являются сёдлами, то при выполнении неравенств

точки равновесия в подобластях П3 и виртуальны.

В п. 2.3 рассматриваются возможные траектории на фазовой плоскости клетки исследуемой КНС-модели.

Тип и координаты точки равновесия в каждой подобласти однозначно определяют направление траекторий в этой подобласти. Следующие две леммы показывают существование в подобластях и 1)р траекторий, позволяющих получить на фазовой плоскости клетки устойчивый предельный цикл для определенного типа и расположения точек равновесия в каждой подобласти.

Лемма 2. Если во всех подобластях точки равновесия являются устойчивыми узлами, а в подобластях Ор - сёдлами, то в каждой подобласти Пр люжно построить дугу V, соединяющую противоположные стороны подобласти Ир и

а + а- |Ь| + |гх| < О, ¡3-\с\ + с1+\г2\ <0

(В)

образующую замкнутую подобласть С, такую, что все траектории в подобласти пересекающие V, входят внутрь С.

Лемма 3. Если в подобласти Оэ точка равновесия является виртуальным устойчивым узлом, то в этой подобласти всегда можно построить дугу V, соединяющую противоположные ограничивающие подобласть линии и образующую замкнутую подобласть С, такую, что все траектории системы, пересекающие V, входят внутрь С.

В п. 2.4 формулируется и доказывается теорема о достаточном условии существования устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости клетки исследуемой КНС.

Теорема 1. Если фазовая плоскость клетки, описываемой системой (3), содержит в подобластях только виртуальные устойчивые узлы, а в подобластях Ор только виртуальные сёдла, то на фазовой плоскости существует предельный цикл.

Формулировка условия теоремы в виде неравенств, определяющих необходимые свойства точек равновесия в подобластях фазовой плоскости клетки, приводит к системе неравенств, ограничивающей область значений параметров системы уравнений для изолированной клетки (6), при которых на фазовой плоскости клетки существует предельный цикл.

В п. 2.5 формулируется необходимость и определяется способ формирования реальных устойчивых точек равновесия на фазовой плоскости клетки, обеспечивающих существование двумерных автоволновых процессов в КНС.

В соответствии с описанием автоволн, приведенном в гл. 1, существование предельного цикла на фазовой плоскости клетки ведёт к возникновению в КНС синхронных автоколебы-ний всех нейронных пар. Распространение бегущего импульса

определяется существованием одного, а распространение бегущего фронта - существованием двух реальных состояний равновесия. Формирование таких состояний равновесия осуществляется путем выбора значений параметров ^ н гг.

В отличие от остальных параметров системы (6), значения г\ и г-2 не изменяют типа и устойчивости точек равновесия, а позволяют в более широком диапазоне изменять их координаты. При этом возможна ситуация, когда совмещаются две точки равновесия из соседних подобластей.

Формирование бегущего фронта и бегущего импульса рассматривается для случая, когда точками равновесия выбраны реальные устойчивые узлы, расположенные на границах подобластей фазовой плоскости и совмещенные с виртуальными седлами. Хотя такое совмещение и не является необходимым условием для формирования автоволновых процессов указанных типов (реальный устойчивый узел может существовать в любой точке своей подобласти, а не только на ее границе), оно позволяет исследовать поведение КНС с нейронными парами, качественные характеристики фазового портрета каждой из которых максимально «чувствительны» к изменению состояния нейронной пары из ее окрестности вследствие влияния диффузионных связей.

Совмещение точек равновесия, принадлежащих соседним подобластям, возможно только в том случае, если в этих подобластях точки равновесия виртуальны по одной и той же координате. Равенство координат точек равновесия из этих подобластей определяет значения переменных и г2 и координаты совмещенных точек равновесия.

В п. 2.6 описывается влияние асимметричных значений коэффициентов системы, описывающей функционирование изолированной клетки, на свойства фазового портрета. Исследование асимметричных значений позволяет получить более полное представление о влиянии этих коэффициентов на фазовый портрет и свойства формируемых автоволновых процес-

сов. Приводятся результаты исследования изменения фазового портрета, имеющего два реальных устойчивых узла и предельные траектории, соединяющие их.

При исследовании влияния асимметрии параметров клетки на формирование и распространение автоволн установлено, что диапазон значений параметров клетки имеет ограничения, вызванные необходимостью сохранения автоколебательных свойств клетки, а именно, типов и координат точек равновесия. Изучено влияние на фазовый портрет изменения одного из коэффициентов полиномов при фиксированных значениях остальных коэффициентов с учётом этих ограничений. Получены следующие типы возможных изменений фазового портрета клетки:

- «растяжение» векторного ноля по координате при увеличении значения параметров а, а или Ь;

- «растяжение» векторного поля но координате х2 при увеличении значения параметров /3, с или й.

Полученные изображения фазовой плоскости позволили оценить влияние асимметрии параметров на динамические свойства клетки. Изменение значений координат точек равновесия, вызванное асимметрией параметров, может привести к увеличению или уменьшению количества реальных устойчивых го-чек равновесия, появлению новых предельных траекторий, а также к изменению формы устойчивого предельного цикла.

Приводятся результаты моделирования влияния асимметричных значений коэффициентов системы уравнений для изолированной клетки на распространение автоволн базовых типов.

Представленные в гл. 2 свойства клетки КНС определяют реакционную составляющую процесса или «точечную кинетику» моделируемой среды. В третьей главе рассмотрены особенности возникновения и распространения в КНС распределённых автоволновых процессов, свойства которых зависят

как от параметров клетки, так и от характеристик диффузионных связен между клетками и от выбора начальных условий. Для всех автоволновых процессов, моделирование которых описывается в этой главе, предполагаются граничные условия нулевого потока.

П. 3.1 посвящен вопросу выбора начальных условий возникновения автоволн в КНС, включающих в себя начальные значения состояний клеток и их пространственное распределение. В первую очередь рассматриваются и формально определяются начальные условия «точечного» типа, характеризующие необходимое значение состояния для единственной из всех клеток КНС. Исследование начальных условий такого типа позволило детально исследовать «механизм» распространения возмущения от одной клетки к другой, являющийся основой любых реакционно-диффузионных процессов. На основе изучения взаимодействия двух клеток определяются необходимые условия формирования бегущего фронта и бегущего импульса. Кроме точечных, рассматриваются некоторые типы «распределённых» начальных условий, в частности, различные области клеток с одинаковыми начальными значениями «точечного» типа, начальные условия, соответствующие обрыву бегущего импульса и генерирующие спиральную волну, а также начальные условия, при которых все клетки КНС инициализируются случайными значениями из некоторого диапазона, что позволило исследовать свойство самоорганизации рассматриваемой двухслойной КНС.

П. 3.2 посвящен результатам исследования свойств автоволновых процессов, возникающих и распространяющихся в КНС в результате инициализации определёнными выше начальными значениями. В качестве основных свойств рассматриваются форма профиля (одномерное сечение в плоскости КНС) и скорость распространения автоволны. Приведены результаты исследования зависимости этих свойств от «симметричных» (т.е. равных по модулю для различных нейронов

клетки) значений параметров КНС. Кроме того, исследуется влияние «асимметрии» значений параметров КНС на основные свойства автоволи и на пространственное распределение областей активности при генерации основных типов автоволн.

В п. 3.3 описывается влияние внешних входов КНС на динамику генерируемых автоволновых процессов. Большинство математических моделей автоволновых процессов предполагают автономность моделируемой системы, т.е. отсутствие внешнего воздействия. С другой стороны, любой реальный процесс не может быть идеально выделен из окружающей среды. Кроме того, многие действительно сложные и интересные процессы возникают именно как следствие внешних воздействий.

Рассматривается моделирование внешнего воздействия в КНС, каждый нейрон в клетке которой имеет единственный внешний вход и в уравнении состояния каждого нейрона учитывается этот единственный вход, имеющий вес. Уравнения, описывающие исследуемую КНС с внешними входами имеют вид

X! = ОХ1 -ь аух 4- Ьу2 + г1 4-х2 = 4- су1 4- с1у2 4- 4- гиь2иь2.

Так же как и при изменении значений смещений г\ и основным фактором, характеризующим влияние внешних входов на распространение автоволнового процесса в исследуемой КНС, является изменение координат точек равновесия, что приводит к изменению количества и координат реальных устойчивых узлов на фазовой плоскости клетки и не оказывает влияние на тип точек равновесия.

Как и начальные условия, внешние воздействия могут быть точечными и распределёнными, а также характеризоваться изменяющейся во времени величиной. На основе этого, внешние воздействия могут использоваться для моделирования

• постоянных или периодических внешних источников возмущения при внешнем воздействии, переводящим реальные устойчивые узлы в виртуальные;

о областей постоянной или временной неактнгшости при внешнем воздействии, смещающем реальные устойчивые узлы с границы в подобласть устойчивости;

о автоволповых процессов в КНС, реальные устойчивые узлы на фазовой плоскости которой находятся не точно на границе между подобластями, а вблизи её, а распределённое внешнее воздействие смещает эти узлы к границам или в подобласть неустойчивости;

о автоволповых процессов в неоднородной системе с помощью однородной КНС, при использовании неоднородных по пространству внешних воздействий.

В четвёртой главе определяются вычислительные особенности и описывается программная реализация КНС-модели на вычислительных системах различного тина. Современные вычислительные системы являются мощным средством и для исследовании свойств моделей, и для реализации этих моделей в качестве инструмента для изучения явлений. Исследуемая КНС-модель двумерных автоволповых процессов, в силу указанных в гл. 1 свойств, рассматривается, в первую очередь, как эффективный инструмент для построения программных моделей различных распределённых нелинейных процессов в активных средах, в основу которых могут быть положены автоволны.

В п. 4.1 определяются основные вычислительные особенности КНС-моделп как дискретного представления непрерывного пространства моделирования и определяются основные её свойства - устойчивость и сходимость.

По отношению к исследуемому процессу КНС япляется дискретной по пространству и непрерывной по времени моделью, определяющей значения некоторых непрерывных функций Х\(/,./, О и Х2(/, I, О (Х1 Х2 - непрерывные по времени функции изменения компонент моделируемой системы, I и 7 -непрерывные пространственные координаты в моделируемой

среде), описывающих моделируемый процесс, через значения дискретных по пространству и непрерывных по времени сеточных функций а-1(1,^,4) и (/, , определённых в прямоугольной области С — С и Г = {(г,3) : 0 < г < /¿, 0 < j < /,•} на сетке ¿>л = и -ул = {(г'г%,Ут) ■ Ч = /г/г, ]т = тк, п = 0, т = О, ...,М,/г = /¿//V = ¡¿/М] и принимаю-

йх;

(1х

щих на границе Г значения ——

си

И

= 0.

г'^'етл

Представление КНС в виде системы локально связанных узлов, одновременно и повсеместно вычисляющих новые значения СОСТОЯНИЙ х\ И И ВЫХОДОВ У\ = у(х'1) II У2 = у{х2) в дискретные моменты времени = рт, р = 1,2,..., в зависимости от состояний и выходов в предыдущий момент времени ¿р_1 определяет использование явной двухслойной схемы дискретизации по времени (схемы Эйлера). В этом случае функционирование КНС-модели даёт значения х'^,з, ¿р) и х'2 (г, ¿р), аппроксимирующие значения искомых функций X 1(1,1,г) и Х2(/,«/,£) в узлах сетки = {(¿п, гр) :

гп = пН, ]т - тк, Ьр = тр}.

Таким образом, программная реализация исследуемой КНС-модели основывается на использовании двухслойной явной разностной схемы

т

П) Зш>

г

^22А1/2 (¿,.7, £р)-

Для разностной схемы (10), имеющей в правой части уравнении оператор Лг-^(г,к = 1,2, вместо £р), су-

шествуют оценки погрешности аппроксимации и условия сходимости. Поскольку используемая кусочно-линейная функция ограничена на интервале [-1,1], то для любого X),(i,j, tp) справедливо yk{i,j,tp) < и разностная схема (10) сходится, если сходится схема с Axk(i,j, tp), к = 1, 2, в правой части. Таким образом, для разностной схемы (10) справедлива оценка погрешности аппроксимации Ф = 0(шах^=1)2(г + 1 ¡\fDkk)), а также условие устойчивости

г < 1/4Д11ах, Дпах = max Dkk. (11)

Для программной реализации КНС-модели рассматривается также влияние ошибок округления. Исключение этих ошибок основано на использовании величины «чувствительности» с, определяемой как разность между предыдущим состоянием клетки и новым, вычисленным в соответсвин с уравнениями (10). Ha. основе рассмотрения минимального изменения состояния клетки, зависящего от её параметров, а также от значения шага по времени т и величин коэффициентов диффузии, приведено условие

с < min Г min rDkk5yk, min r\zk\). (12)

k—1,2 к—1,2 '

В п. 4.2 описывается программная реализация КНС-модели для однопроцессорных вычислительных систем. Указываются основные свойства и возможности программы для моделирования автоволновых процессов в КНС.

П. 4.3 посвящен вопросам программной реализации КНС-модели для многопроцессорных вычислительных систем. Приводится алгоритм функционирования программы, результаты исследования эффективности параллельной реализации КНС-модели при моделировании исследованных автоволновых процессов на различных многопроцессорных вычислительных системах.

В заключении представлены основные выводы, теоретические и практические результаты.

Выводы, теоретические и практические результаты

Па основе теоретических исследований получены следующие результаты:

1. Предложена обобщённая структура КНС для моделирования распределённых нелинейных процессов, обоснован выбор структуры КНС, позволяющей использовать ее в качестве модели двумерных автоволновых процессов базовых типов.

2. Сформулирована и доказана теорема о необходимом условии существования предельного цикла на фазовой плоскости клетки; получена система неравенств, определяющая границы параметров клетки КНС, при которых возможно формирование и распространение автоволн базовых типов.

3. На основе результатов, полученных при исследовании автоколебательных свойств клетки, получены необходимые условия для начальных значений, формирующих автоволновой процесс.

С целью подтверждения полученных теоретических результатов, а также проведения вычислительных экспериментов

1) исследованы вычислительные особенности КНС-модели, предложен способ избежания накопления ошибок округления при моделировании;

2) разработан пакет программ для исследования свойств нейронной пары и моделирования автоволн в двухслойной

КНС в интерактивном режиме с визуализацией основных характеристик клеточпо-нейронной модели и исследуемого автоволнового процесса па основе последовательного алгоритма для персонального компьютера;

3) разработана параллельная программа моделирования автоволновых процессов в клеточной нейронной сети с фиксированными параметрами, выполняемая в пакетном режиме на многопроцессорных вычислительных системах с передачей сообщений.

На основе экспериментальных исследований с помощью разработанных программ

1) исследованы характеристики генерируемых с помощью клеточно-нейронной модели автоволновых процессов базовых типов, получены зависимости свойств генерируемых автоволн от значений параметров КНС;

2) изучен процесс формирования бегущего импульса, бегущего фронта и спиральной волны источниками различной конфигурации;

3) проанализированы свойства самоорганизации КНС-моде-ли базовых типов автоволновых процессов при случайной начальной инициализации сети.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Селихов A.B. Нейросетевое моделирование процессов самоорганизации в информационных системах // Тез. докл. XXXV Ме-ждунар. научной студенческой конф. "Интеллектуальный потенциал Сибири". - Новосибирск: Изд. ИГУ, 1997. - С.55.

[2] Селихов A.B. Некоторые результаты исследования динамики двухслойной клеточной нейронной сети // Тез. докл. Третьего сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике

(ИНПРИМ-98). - Новосибирск: Издательство Института математики, 1998. - С.94.

[3] Селихов А.В. Имитационное моделирование одиночной круговой волны с помощью клеточной нейронной сети // Тр. конф. молодых ученых. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 1998. -С. 214-228.

[4] Селихов А.В. Программная клеточно-нейронная модель автоволнового процесса в активной двухкомпонентной среде // Тез. докл. первой всероссийской конференции "Моделирование неравновесных систем - 98" (MIIC-98). - Красноярск: КГТУ, 1998. - С. 114.

[5] Selikhov A.V. Some results of autowave modelling by cellular neural network // Bull. Nov. Сотр. Center. Ser. Сотр. Science. - 1998. -№ 9. - P. 113-121.

[6] Selikhov A.V. Emergence and propagation of round autowave in cellular neural network // Proc. of Fifth Int. Conference PaCT-99. - Springer Verlag, 1999. - P. 120-133.

[7] Selikhov A.V. Formation of basic type autowave processes by a cellular neural network // Bull. Nov. Сотр. Center. Ser. Сотр. Science. - 1999. - N> 10. - P. 83-92.

[8] Селнхов А.В. Условия формирования автоволиового процесса в клеточной нейронной сети // СибЖВМ. - 2000. - Т. 3, № 4. -С. 377-394.

[9] Selikhov A. A formal background for basic type autowaves formation by a cellular neural network // Proc. of 2-nd Int. Conf. "Control of oscillations and chaos" (COC 2000). - St.Petersburg: IPME RAS, 2000.-Vol. l.-P. 29-32.

[10] Селихов А. Клеточио-нейронная модель реакционно-диффузионных процессов и её применение для моделирования автоволн // Тез. докл. третьего всероссийского семинара "Моделирование неравновесных систем-00". - Красноярск: КГТУ, 2000. - С. 28-30.

Соискатель

Введение

1 Формальные основы построения КНС-модели двумерных автоволновых процессов

1.1 Формальное представление КНС-модели.

1.1.1 Обобщенное представление КНС-модели.

1.1.2 Формальное представление исследуемой КНС-модели двумерных автоволновых процессов

1.2 Автоволновые процессы в КНС.

1.2.1 Свойства и математические модели автоволновых процессов.

1.2.2 Особенности КНС-модели автоволновых процессов

2 Свойства клетки КНС-модели

2.1 Подобласти фазовой плоскости

2.2 Точки равновесия.

2.3 Траектории.

2.4 Достаточное условие существования предельного цикла

2.5 Совмещение точек равновесия.

2.6 Асимметрия параметров клетки.

3 Возникновение и распространение основных типов автоволн в КНС

3.1 Выбор начальных условий.

3.1.1 Начальные условия «точечного» типа. Необходимое условие возникновения бегущего импульса и бегущего фронта в двухслойной КНС

3.1.2 Начальные условия «распределённого» типа

3.2 Характеристики и свойства автоволновых процессов в КНС.

3.2.1 Формы профилей и пространственные распределения областей активности автоволн в КНС

3.2.2 Влияние симметричного изменения параметров КНС на свойства автоволн.

3.2.3 Изменение свойств автоволн в КНС при асимметричном изменении параметров.

3.3 Влияние внешних входов КНС.

4 Вычислительные особенности и программная реализация КНС-модели

4.1 Особенности КНС как численной модели

4.2 Программная реализация КНС-модели для однопроцессорных вычислительных систем.

4.3 Особенности реализации КНС-модели на параллельных вычислительных системах.

Развитие современной науки нуждается в проведении вычислительных экспериментов, направленных на исследование сложных распределённых нелинейных процессов физической, химической, биологической или социальной природы. Сложность исследуемых явлений требует, с одной стороны, интенсивного применения высокопроизводительных вычислительных систем как специального (спецпроцессоры), так и общего (суперкомпьютеры) назначения, а с другой стороны - разработки новых моделей, позволяющих эффективно отобразить одновременность происходящих в моделируемой среде явлений на параллельность используемых вычислительных систем.

Объектом исследования в данной работе является модель двумерных автоволновых процессов, обладающая необходимыми свойствами для эффективной реализации на высокопроизводительных вычислительных системах и позволяющая исследовать различные распределённые нелинейные процессы, в основе которых лежат автоволны.

Автоволновые процессы [1, 2] можно отнести к одному из самых распространённых примеров явления самоорганизации, выражающегося в возникновении упорядоченных колебаний и распространяющихся волн в активной нелинейной среде. Характерной особенностью автоволнового процесса является постоянство во времени основных его параметров, таких как амплитуда, скорость распространения, форма волны, а также взаимное уничтожение при взаимодействии.

Эта особенность автоволн определяется свойствами среды, находящейся в возбуждённом состоянии и под действием любой неустойчивости генерирующей автоволновой процесс. К основным (базовым) типам автоволновых процессов относят бегущий фронт или волна переброса, бегущий импульс, одно-, двух- и многорукавные спирали. Автоволновые процессы характерны для систем различной природы, однако наибольшее количество публикаций посвящено исследованиям автоволн в химических системах [2]. Наиболее часто в качестве примера автоволн приводятся процессы, возникающие в химической реакции Белоусова-Жаботинского [3, 4]. Периодически изменяющаяся во времени и в пространстве концентрация взаимодействующих веществ формирует в тонком слое реагирующей смеси визуально наблюдаемое изменение цвета, а при определённых условиях - концентрические волны. Другие примеры автоволновых процессов: бегущий фронт распространения сигнала в нервных волокнах; автоколебательные процессы в коре головного мозга при эпилепсии; спиралевидные автоволны в сердечной мышце, вызывающие фибрилляцию; бегущий фронт пламени при распространении лесных пожаров и многое другое.

Специфика всех явлений самоорганизации, в частности, их макроскопический характер, требующий рассмотрения поведения системы в целом, а также нелинейность, характерная для составляющих явление процессов, определяет дополнительные требования и к методам исследования автоволн.

В основе качественного исследования автоволновых процессов лежит изучение свойств решений систем нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа, представляющих математическую модель автоволн. Возможность такого исследования основывается на выборе относительно малого количества основных степеней свободы, позволяющем упростить исходную математическую модель и исследовать её на предмет существования различных стационарных решений и переходов между ними. Такое исследование позволяет получить достаточно полную картину поведения упрощённой модели, однако возможно лишь для ограниченного набора частных случаев и основано на пока ещё не формализованных эмпирических подходах.

Исследование существенно нелинейных систем, а также проверка результатов качественного анализа возможны лишь посредством проведения вычислительных экспериментов. При этом применение численных методов исследования возможно как для получения подтверждения существования явлений, «предсказанных» при качественном анализе, так и для поиска новых возможных типов поведения системы в широком диапазоне значений параметров и с учётом большего числа степеней свободы. Последнее направление в применении численных методов относится к так называемому прямому моделированию и часто является единственно возможным при исследовании реальных систем.

Возможность применения вычислительной техники для решения задач численного моделирования изначально не ставила перед разработчиками численных методов каких-либо дополнительных проблем, связанных с архитектурой используемых вычислительных систем. Последовательная природа вычислительных машин фон-неймановского типа естественным образом отражает последовательную природу мышления и годами отработанный последовательный подход к решению поставленных исследовательских задач. Однако, сложность и большая размерность задач численного моделирования нелинейных распределённых процессов показала ограниченность применения вычислительных систем последовательного типа.

Появление высокопроизводительных вычислительных систем с множеством параллельно функционирующих процессорных элементов позволило для ряда простых задач существенно повысить эффективность вычислительного эксперимента и сократить время его проведения. Тем не менее, сложность распараллеливания существующих последовательных алгоритмов вычислительного моделирования, а также недостаточная развитость методов построения параллельного программного обеспечения для реализации существующих математических моделей на параллельных вычислительных системах до настоящего времени являются основными препятствиями на пути к их широкому применению в моделировании распределённых нелинейных процессов. Возникшие сложности стали стимулом для поиска новых моделей, эффективно реализуемых на современных параллельных вычислительных системах и применимых для исследования большого класса сложных процессов.

Эффективная программная или аппаратная реализация модели в параллельной вычислительной системе очевидным образом может быть связана с возможностью представления рассматриваемой модели в виде множества идентичных одновременно функционирующих взаимосвязанных элементов. Алгоритмическая сложность элемента модели при таком представлении в сочетании с функциями, структурой и интенсивностью использования связей между элементами характеризует широкий спектр моделей параллельной обработки информации, используемых в настоящее время для моделирования сложных процессов и объединяемых понятием «мелкозернистого параллелизма».

Наиболее простой по своей структуре и универсальной с точки зрения возможных областей применения является клеточно-автоматная модель [5, 6] параллельной обработки информации. В основе этой модели лежит понятие клеточного пространства - множества идентичных клеток, каждая из которых характеризуется уникальной координатой в пространстве и дискретным состоянием, изменяющемся в зависимости от состояний клеток из ближайшей окрестности и в соответствии с конечным множеством правил. Использование клеточных автоматов для моделирования распределённой нелинейной динамики требует определения соответствия между дискретным множеством состояний клетки клеточного автомата и непрерывно изменяющимися свойствами представляемой этой клеткой части пространства моделирования. Необходимость в установлении такого рода соответствий, выраженных в виде ряда аксиом, определяет использование клеточно-автоматной, а также исследуемой в работе клеточно-нейронной моделей в рамках аксиоматического подхода к исследованию распределённой нелинейной динамики в физических, химических и биологических системах (см., напр., [7, 8]).

Клеточно-автоматные модели с успехом применяются для исследования динамики газа и жидкости [9, 10], позволяя использовать с высокой степенью эффективности как параллельные БИУГО-системы универсального назначения, так и специализированные процессоры. Лежащие в основе клеточно- автоматного подхода принципы мелкозернистого параллелизма и локальность связей между компонентами модели позволяют строить эффективные с вычислительной точки зрения параллельные модели. Однако дискретность и ограниченность множества состояний клетки не позволяют в некоторых ситуациях получить необходимую адекватность клеточно-автоматной модели исследуемому процессу, в частности, отразить непрерывность изменения состояния системы. Это послужило причиной для поиска новых моделей, сохраняющих преимущества клеточно-автоматного подхода и более точно отражающие непрерывность процессов в каждой точке моделируемого пространства. Одной из таких моделей, в которой клеточное пространство сочетается с непрерывностью и нелинейным характером изменения состояния каждой клетки, является клеточно-нейронная (нелинейная) модель распределённой нелинейной динамики, в основе которой лежит клеточная нейронная (нелинейная) сеть (КНС).

Как и клеточный автомат, КНС представляется в виде дискретного однородного пространства клеток, расположенных в узлах прямоугольной, треугольной или гексагональной решётки и взаимодействующих с другими клетками внутри некоторой локальной окрестности. Однако, в отличие от клеточного автомата, связи между клетками КНС имеют вес, позволяющий определить «силу» влияния клеток друг на друга. Кроме того, состояние клетки КНС описывается непрерывной величиной и определяется как арифметическая, а не логическая функция состояний клеток окрестности, что является принципиальным отличием КНС от клеточного автомата.

Клеточные нейронные сети впервые были предложены как модель для построения аналоговых электронных схем обработки изображений в 1988 [11, 12] году и с тех пор нашли применение в различных областях исследований. Специфика класса задач, решаемых с помощью КНС, основана на параллельности и локальности обработки информации в КНС, а также на непрерывности изменения состояний клеток. Можно выделить две наиболее характерные области применения КНС: 1) обработка изображений, например, фильтрация, распознавание образов и генерация изображений специального типа и 2) моделирование распределённых нелинейных процессов реакционно-диффузионного типа, в частности, автоволн, процессов формирования устойчивых структур и хаотических колебаний. Вторая область применения привлекает в последнее время всё большее внимание, хотя решению задач из первой области посвящена существенно большая

часть публикаций о КНС.

В исследовании КНС для моделирования распределённых нелинейных процессов в активных средах можно выделить несколько тенденций, различающихся способом выбора КНС-модели и её особенностями.

Интерес к использованию КНС в качестве модели нелинейной динамики возник в результате исследования поведения клеточной нейронной сети [11, 12, 13], ориентированной на решение задач обработки изображений с помощью нелинейных электронных схем. В последствии такая КНС была названа «стандартной», а ориентация на реализацию КНС модели в виде электронной схемы определила специфику формального представления, в частности, вид описывающих клетку уравнений и используемой нелинейной функции. Предложенная в качестве нелинейной, кусочно-линейная функция сигмоидного типа также стала стандартной для многих КНС-моделей. Основной задачей построения КНС-модели распределённой нелинейной динамики на основе стандартной КНС стало построение электронной схемы клетки, уравнения состояния которой описывают, в рамках некоторой аксиоматики, изменение в каждой точке дискретизированного пространства моделируемого процесса [14, 15]. Примерами использования стандартной КНС являются моделирование возникновения устойчивых структур [16, 17], моделирование электромагнитного поля [18].

Возможность аналоговой реализации клетки КНС с практически любой нелинейностью даёт возможность построения КНС, уравнения состояния которой соответствуют дифференциально-разностным уравнениям для моделируемого процесса [15, 19, 20]. Аналоговое решение таких уравнений на основе КНС с помощью микросхемы или средствами универсальной КНС-машины [21] даёт существенно более высокую скорость и точность моделирования.

Развитием стандартной КНС в направлении построения универсальной КНС-модели для различных реакционно-диффузионных процессов стала разработка «осциллятора Чжуа» (Chua's circuit) [22] -клетки, описываемой тремя нелинейными дифференциальными уравнениями (клетки третьего порядка) и имеющей отличающуюся от применяемой в стандартной КНС нелинейную функцию. С помощью такой КНС стало возможным моделировать широкий класс распределённых нелинейных процессов, в частности, формирование устойчивых образов и образов Тьюринга [23] - [27], бегущего фронта [24], концентрических волн [25], спиралей [25, 28], хаотических процессов [29, 30], а также явление прекращения распространения бегущего фронта по нервному волокну [22, 31].

Отдельное направление в построении КНС-моделей нелинейной динамики характеризуют работы, посвященные моделированию решений дифференциальных уравнений с помощью КНС с настраиваемыми нелинейными связями [32, 33]. Этот подход даёт возможность строить структуру КНС на основе известного дифференциального уравнения или формировать структуру из простейшей путём усложнения, если вид исходного дифференциального уравнения не известен. Настройка весов связей КНС, определяемых полиномом, происходит в процессе «обучения» сети на основе некоторого количества известных решений для известных начальных условий. По сравнению с вышеописанными, такой подход даёт возможность использования некоторой стандартной процедуры для формирования необходимой КНС-модели на основе «обучения», т.е. без применения аналитических методов, однако сама процедура «обучения» требует дополнительных затрат времени, программного и аппаратного обеспечения.

Большинство автоволновых процессов имеют место в двухкомпонентных системах и описываются двумя нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Использование КНС-модели, в которой каждая клетка также описывается двумя уравнениями (двухслойной КНС), характеризует ещё один подход в моделировании реакционно-диффузионных процессов с помощью КНС. Как и в стандартной КНС, в этом подходе используется кусочно-линейная функция сигмоидного типа, а также фиксированная структура связей между клетками. Этот подход также позволяет моделировать с помощью КНС формирование устойчивых образов Тьюринга [34], а также различных автоволновых процессов [35]. Преимущество этого подхода заключается в использовании более простой клетки и, как следствие, в возможности использования более простых методов её исследования и формирования требуемых динамических свойств. Кроме того, реализованные в этом подходе принципы построения КНС дают возможность использовать его в качестве основы для разработки и исследования более общей модели реакционно-диффузионных процессов.

Таким образом, накопленный при исследовании различных подходов материал требует более глубокого теоретического и экспериментального исследования с целью разработки методов синтеза КНС-моделей автоволновых процессов, ориентированных на применение современных высокопроизводительных вычислительных систем. Реализация таких моделей на специализированных аналоговых КНС-машинах [21], позволяющих на три порядка увеличить скорость обработки информации по сравнению с находящимися в распоряжении исследователей вычислительными средствами, даёт возможность существенного увеличения скорости моделирования, однако полностью не исключает необходимость в вычислительных системах, поскольку пока ещё имеются большие трудности в аналоговой реализации трёхмерных КНС-моделей. Кроме того, существует задача выявления количественных соотношений между параметрами реальных автоволновых процессов и параметрами их КНС-моделей с целью решения практических исследовательских задач. В связи с этим исследование клеточно-нейронной модели двумерных автоволновых процессов представляется актуальным.

Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование способа построения и использования двухслойной КНС для моделирования автоволновых процессов базовых типов.

Основными задачами диссертационной работы, направленными на достижение поставленной цели, являются:

1. Обоснование выбора базиса и структуры клеточно-нейронной модели двумерных автоволновых процессов

2. Детальное исследование динамических свойств изолированной нейронной пары, образующей клетку КНС, и определение зависимости этих свойств от значений параметров нейронной пары и от внешних воздействий на клетку

3. Формальное определение и экспериментальное исследование области параметров двухслойной КНС, генерирующей автоволны базовых типов (синхронные автоколебания, бегущий импульс, бегущий фронт, спираль)

4. Формальное определение и экспериментальное исследование области начальных значений состояний клеток в двухслойной КНС для формирования автоволн базовых типов

5. Экспериментальное исследование характеристик и свойств автоволн, генерируемых в двухслойной КНС, и сравнение этих свойств со свойствами автоволн в реальных системах

6. Исследование вычислительных свойств двухслойной КНС, анализ эффективности её применения для моделирования автоволновых процессов на крупноблочных параллельных вычислительных системах

7. Разработка программной реализации клеточно-нейронной модели для последовательных вычислительных систем в квазипараллельном режиме и для параллельных вычислительных систем с передачей сообщений с целью экспериментального подтверждения полученных теоретических результатов и обеспечения возможности исследования характеристик генерируемых двумерных автоволновых процессов

Методы исследования основываются на качественной теории динамических систем второго порядка и на широком использовании компьютерного моделирования.

Научная новизна работы заключается в:

1. Разработке формального представления КНС, ориентированного на моделирование распределённых нелинейных процессов реакционно-диффузионного типа в многокомпонентных системах и обосновании выбора структуры КНС, позволяющей использовать ее в качестве модели двумерных автоволновых процессов базовых типов

2. Проведении глубокого исследования динамических свойств клетки для определенного типа нейронов и структуры связи между нейронами в клетке (фиксированного вида полиномов в правых частях уравнений, описывающих динамику клетки) и произвольных значений весов связей (произвольных значений коэффициентов полиномов)

3. Формулировке и доказательстве достаточного условия существования предельного цикла на фазовой плоскости клетки

КНС, описываемой системой двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-линейной функцией в правых частях уравнений

4. Формальном обосновании способа выбора параметров КНС и начальных значений состояний клеток для формирования базовых типов автоволновых процессов

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных теоретических и экспериментальных результатов для исследования качественных свойств динамики автоволновых процессов, определения количественных зависимостей для автоволн как базового типа, так и более сложных, полученных с помощью исследованной модели.

Достоверность полученных результатов основывается на их теоретическом доказательстве и экспериментальной проверке с помощью компьютерного моделирования.

Реализация результатов работы. Результаты, полученные при исследовании клеточно-нейронной модели двумерных автоволновых процессов были использованы при чтении спецкурса "Клеточные нейронные сети" магистрантам первого года обучения факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета.

Апробация. Результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались на семинарах Отдела математического обеспечения высокопроизводительных вычислительных систем Института вычислительной математики и математической геофизики (ИВ-МиМГ) СО РАН, на рабочих семинарах исследовательской группы по клеточным алгоритмам и архитектурам отдела, на Конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН в 1998 и 2000 гг., на Третьем сибирском конгрессе по индустриальной и прикладной математике

Выводы, теоретические и практические результаты

На основе теоретических исследований получены следующие результаты:

1. Предложена обобщённая структура КНС для моделирования распределённых нелинейных процессов, обоснован выбор структуры КНС, позволяющей использовать ее в качестве модели двумерных автоволновых процессов базовых типов

2. Сформулирована и доказана теорема о достаточном условии существования предельного цикла на фазовой плоскости нейронной пары; получена система неравенств, определяющая границы параметров клетки КНС, при которых возможно формирование и распространение автоволн базовых типов

3. На основе результатов, полученных при исследовании автоколебательных свойств нейронной пары, получены необходимые условия для начальных значений, формирующих автоволновой процесс

С целью подтверждения полученных теоретических результатов, а также проведения вычислительных экспериментов

1. Исследованы вычислительные особенности КНС-модели, предложен способ избежания накопления ошибок округления при моделировании

2. Разработан пакет программ для исследования свойств нейронной пары и моделирования автоволн в двухслойной КНС в интерактивном режиме с визуализацией основных характеристик клеточно-нейронной модели и исследуемого автоволнового процесса на основе последовательного алгоритма для персонального компьютера

3. Разработана параллельная программа моделирования автоволновых процессов в клеточной нейронной сети с фиксированными параметрами, выполняемая в пакетном режиме на многопроцессорных вычислительных системах с передачей сообщений.

На основе экспериментальных исследований с помощью разработанных программ получены следующие результаты:

1. Исследованы характеристики генерируемых с помощью клеточно-нейронной модели автоволновых процессов базовых типов. Получены зависимости свойств генерируемых автоволн от значений параметров КНС

2. Исследован процесс формирования бегущего импульса, бегущего фронта и спиральной волны источниками различной конфигурации

3. Исследованы свойства самоорганизации КНС-модели базовых типов автоволновых процессов при случайной начальной инициализации сети.

Заключение

1. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. /Под ред. Д.С. Чернавского. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. - (Соврем, пробл. физики). - 240 с.

2. Жаботинский А.М., Отмер X., Филд Р. и др. Колебания и бегущие волны в химических системах: Пер. с англ./Под ред. Р. Филда, М. Бургер. М.: Мир, 1988. - 720 е., ил.

3. Белоусов Б.П. Периодически действующая реакция и её механизм. Сб. рефер. по радиац. мед. за 1958 г. М.: Медгиз, 1959. - С.145.

4. Жаботинский А.М. Периодические процессы окисления малоновой кислоты в расстворе (исследование кинетики реакции Белоу-сова). Биофизика, 1964, Т. 9, С.306

5. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов: Пер. с англ. М.: Мир, 1971. с.

6. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. с.

7. Wiener N., Rosenblueth A.// Arch. Inst. Cardiología de México. -1946, V. 16, N.3-4. (Русский перевод. Кибернетический сб. - М.: ИЛ, 1961, N 3.)

8. Кринский В.И.// Биофизика, Т. 11, 1966. С. 676.

9. Fisch U., Hasslacher В., Pomeau Y. Lattice-gas autómata for the Navier-Stokes equation// Phys. Rev. Lett., N. 56, 1986. P.1505-1508

10. Boon J.-P. Statistical mechanics and hydrodynamics of lattice gas automata: an overview// Physica D, N. 47, 1991. P.3-8.

11. Chua L.O., Yang L. Cellular Neural Networks: Theory// IEEE Trans, on Circuits and Systems, V. 35, N. 10, 1988. P.1257-1272

12. Chua L.O., Yang L. Cellular Neural Networks: Applications// IEEE Trans, on Circuits and Systems, V. 35, N. 10, 1988. P.1273-1290

13. Chua L.O., Roska T. The CNN paradigm// IEEE Trans, on Circuits and Systems. Part I, V. 40, 1993. P.147-156

14. Chua L.O., Hasler M., Moschytz G.S., Neirynck J. Autonomous cellular neural networks: a unified paradigm for pattern formation and active wave propagation/ / IEEE Trans, on Circuits ans Systems Part I, V. 42, N. 10, 1995. P.559-577

15. Chua L.O. CNN: a paradigm for complexity Singapore: World Scientific, 1998.

16. Thiran P., Krounse K.R., Chua L.O., Hasler M. Pattern Formation Properties of Autonomous Cellular Neural Networks// IEEE Trans, on Circuits and Systems, V. 42, N. 10, 1995. P.757-774

17. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantzev V.B., Velarde M.G. Spatial Disorder and Pattern Formation in Lattices of Coupled Bistable Elements// Physica D, V. 100, 1997. P.330-342

18. Balsi M., Marongiu A., Cimagalli V. Electromagnetic field simulation using 3-D Cellular Neural Networks// Proc. of European Conference on Circuit Theory and Design (ECCTD'95), 1995. P.987-990

19. Dogaru R., Chua L.O. Edge of chaos and local activity domain of Fitzhugh-Nagumo equation// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, V. 8, N. 2, 1998. P.211-257

20. Dogaru R., Chua L.O. Edge of chaos and local activity domain of the brusselator CNN// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, V. 8, N. 6, 1998. P.1107-1130

21. Roska T., Chua L.O. The CNN Universal Machine: an analogic array computer// IEEE Trans, on Circuits and Systems Part II, V.40, 1993. P.163-173

22. Pérez-Muñuzuri V., Pérez-Villar V., Chua L.O. Propagation failure in linear arrays of Chua's circuits/ Int. Journal of Bifurcation and Chaos, V. 2, 1992. P.403-406

23. Pérez-Muñuzuri V., Gómez-Gesteria M., Muñuzuri A.P., Chua L.O., Pérez-Villar V. Sidewall forcing of hexagonal turing patterns: Rhombic patterns// Physica D, V. 82, 1995. P.195-204

24. Pérez-Muñuzuri V., Gómez-Gesteria M., Pérez-Villar V., Pivka L., Chua L.O. Nonlinear waves, patterns and spatio-temporal chaos in cellular neural networks// Phil. Trans. Roy. Soc. London, Series A, N. 353, 1995. P.101-113

25. Pérez-Muñuzuri A., Pérez-Muñuzuri V., Pérez-Villar V., Chua L.O. Spatiotemporal structures in discretely-coupled arrays of nonlinear circuits: a review// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, V. 5, N. 1, 1995. P. 17-50

26. Krounse K.R., Chua L.O., Thiran P., Setti G. Characterization and dynamics in Cellular Neural Networks// Int. Journal of Bifurcation and Chaos, V. 6, 1996. P.1703-1724

27. Pérez-Muñuzuri A., Pérez-Muñuzuri V., Pérez-Villar V., Chua L.O. Spiral waves on a 2-D array of nonlinear circuits// IEEE Trans, on Circuits and Systems, V. 40, N. 11, 1993. P.872-877

28. Aziz-Alaoui M.A. Multispiral Chaos// Proceedings of II Int. Conf. 'Control of Oscillations and Chaos' (COC 2000), 2000. P.88-91

29. Kuznetsov A.S., Shalfeev V.D. Analysis of regularization of Dynamics in a Circular Chain of Bistable Chaotic Elements with Variable Number of Couplings// Proceedings of II Int. Conf. 'Control of Oscillations and Chaos' (COC 2000), 2000. P.365-368

30. Pérez-Muñuzuri V., Pérez-Villar V., Chua L.O. Traveling wave front and it's failure in one-dimensional array of Chua's circuits// Journal of Circuit Syst. Comput., V. 3, N. 1, 1993. P.215-229

31. Tetzlaff R., Wolf D. A learning algorithm for the dynamics of CNN with nonlinear templates. I. Discrete-time case// 4-th IEEE Int. Workshop on Cellular Neural Networks and Their Applications (CNNA-96), 1996. P.461-466

32. Puffer F., Tetzlaff R., Wolf D. A learning algorithm for the dynamics of CNN with nonlinear templates. II. Continuous-time case// 4th IEEE Int. Workshop on Cellular Neural Networks and Their Applications (CNNA-96), 1996. P.467-472

33. Arena P., Fortuna L., Manganaro G. A CNN Cell for Pattern Formation and Active Wave Propagation// Proceedings of 13 European Conference on Circuit Theory and Design, (ECCTD'97), 1997. P.371-376

34. Arena P., Baglio S., Fortuna L., Manganaro G. Self-Organization in a Two-Layer CNN// IEEE Trans, on Circuits and Systems Part I, V. 45, N. 2, 1998. P.157-162

35. А.Селихов, "Клеточно-нейронная модель реакционно-диффузионных процессов и её применение для моделирования автоволн", Третий всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем-00", Красноярск, 2000

36. Selikhov A.V. Formation of basic type autowave processes by a cellular neural network// Bull. Nov. Сотр. Center, Сотр. Science, N. 10, 1999. P.83-92

37. Selikhov A. A formal background for basic type autowaves formation by a cellular neural network// Proc. of 2-nd Int. Conf. "Control of oscillations and chaos" (COC 2000), v.l, P.29-32

38. Селихов A.B. Условия формирования автоволнового процесса в клеточной нейронной сети// СибЖВМ, 2000

39. Majorana S., Chua L.O. A Unified Framework for Multilayer HighOrder CNN// Int. Journal of Circuits Theory and Applications, V.26, 1998. P.567-592

40. Сюсань У. Семейство схемы Чжуа// ТИИЭР. Т. 75, N. 8, 1987. С.55-65

41. Jankovski S., Londei A., Lozowski A., Mazur С. Synchronization and Control in a Cellular Neural Network of Chaotic Units by Local Pinnings // International Journal of Circuit Theory and Applications, V.24, 1996. P.275-281

42. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.радио, 1977.

43. Гленсдорф Д., Пригожин И. Термодинамическая теория структур, устойчивости и флуктуации. М.: Мир, 1973.

44. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. -М. :Наука, 1966.

45. Селихов A.B. Имитационное моделирование одиночной круговой волны с помощью клеточной нейронной сети// Труды конференции молодых ученых, Новосибирск, 1998. С.214-228

46. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э., Теория колебаний -М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

47. Selikhov A.V. Emergence and propagation of round autowave in cellular neural network// Proc. of Fifth Int. Conference PaCT-99, Springer Verlag, 1999, pp.120-13349.

48. Selikhov A.V. Some results of autowave modelling by cellular neural network// Bull. Nov. Comp. Center, Comp. Science, N. 9,1998. P.113-121

49. Селихов A.B. Программная клеточно-нейронная модель автоволнового процесса в активной двухкомпонентной среде// Тезисы докладов первой всероссийской конференции " Моделирование неравновесных систем 98" (МНС-98), Красноярск, 1998. С. 114

50. Самарский A.A. Введение в численные методы. 3-е изд., пере-раб. -М.: Наука, 1997.