автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений

На правах рукописи

СИДОРОВ СЕРГЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2009

003468071

Работа выполнена на кафедре математики м механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности".

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор

МАГНИЦКИЙ Николай Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

БЕЛОЛИПЕЦКИЙ Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор ХАЛКЕЧЕВ Кемал Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор ШАНАНИН Александр Алексеевич

Ведущая организация - ГОУ ВПО "Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова", факультет Вычислительной математики и кибернетики.

Защита диссертации состоится 19 мая 2009 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета по физико-математическим наукам Д 212.128.02 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский государственный горный университет" по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Московский государственный горный университет".

Автореферат разослан апреля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. техн. наук, доцент

А.Э. Адигамов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Нелинейные динамические системы все более широко используются в моделировании различных процессов и явлений. В то же время установлено, что нелинейные системы дифференциальных уравнений часто обладают чрезвычайно сложным, хаотическим поведением решений. Причем выяснилось, что такое поведение никоим образом не исключение, а типичное свойство многих систем. Это явление, имеющее место даже в сравнительно простых нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с гладкой правой частью, получило название динамического (или детерминированного) хаоса. Проблема образования хаотических режимов в нелинейных системах дифференциальных уравнений актуальна в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, биологии, метеорологии, экономике, в социодинамике и в других областях научной и практической деятельности. Решение данной проблемы имеет большое значение как для правильной интерпретации результатов моделирования процессов и явлений, модели которых основаны на системах с хаотическими режимами, так и при использовании самих хаотических систем в моделировании сложных нерегулярных процессов, например, временных рядов, шума. Не менее актуальным является решение данной проблемы для использования нелинейных дифференциальных уравнений в системах управления, а также в задачах управления хаотическими системами.

Проблема перехода к хаосу является также одной из важнейших задач хаотической динамики - стремительно развивающейся области современной математики. Значительный вклад в решение этой задачи для консервативных и гамильтоновых систем дифференциальных уравнений связан с именами А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, В.В. Козлова; проблема хаоса в диссипативных дискретных отображениях решена в рамках теории гиперболических систем Д.В. Аносова. Интересные исследования, начатые С.П. Курдюмовым и A.A. Самарским по стационарным диссипативным структурам, ведутся в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша.

В наименьшей степени проблема образования динамического хаоса оказалась разработанной для диссипативных нелинейных систем дифференциальных уравнений. Задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора, рассмотренного Р. Вильямсом, Дж. ГУкенхеймером и Дж. Йорке, была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных матема-

тических проблем XXI столетия. Для решения проблемы образования хаотических решений в диссертации принят подход, основанный на моделировании и численном исследовании хаоса в нелинейных диссипатив-ных системах дифференциальных уравнений.

Цель работы. Целью работы является решение проблемы образования хаотических решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений с гладкой правой частью.

Конкретно ставились следующие задачи.

1. Разработка методики численных исследований нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений для установления механизма перехода к динамическому хаосу в системах с непрерывным временем.

2. Разработка алгоритмов и оценка эффективности численных методов для решения нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и уравнений в частных производных.

3. Разработка численных методов, алгоритмов и программ для определения спектральных свойств матрицы монодромии.

4. Разработка численных методов, алгоритмов и программ для нахождения гомоклинических и гетероклинических решений особых точек в нелинейных системах ОДУ.

5. Исследование механизма перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом и уравнениях в частных производных.

6. Исследование механизма образования решений вида бегущей волны в активных средах.

7. Разработка методов и алгоритмов решения прикладных задач хаотической динамики: управление хаотическими системами, их идентификация и использование для аппроксимации и прогноза нерегулярных временных рядов.

Объект исследования - диссипативные нелинейные системы дифференциальных уравнений с хаотическим поведением решений.

Методы исследования. В диссертации использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы теории бифуркаций, теории устойчивости дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что разработанная автором методика численного исследования нелиней-

ных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением позволила установить каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, установить единый механизм перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения в частных производных параболического типа, установить механизм образования решений в виде бегущих волн в осциллирующей активной среде.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Обоснована корректность использования численных методов интегрирования устойчивых периодических решений в хаотических системах и на этом основании разработана методика исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, которая включает: анализ динамической системы методами качественной теории дифференциальных уравнений; исследование поведения системы методом численного продолжения по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решений; численное определение спектральных характеристик матриц монодромии; исследование гомоклинических и гетероклинических решений - сепаратрис особых точек систем ОДУ.

2. На основании численного исследования спектральных свойств матриц монодромии периодических решений установлен единый механизм перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения с запаздывающим аргументом и системы уравнений в частных производных параболического типа.

3. Предложена классификация хаотических аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, установлена структура устойчивых решений в нелинейных системах, которая определяется спектром показателей Флоке.

4. В рамках автомодельного приближения установлен новый механизм образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей среде. Показано, что аналогичный механизм имеет также место при образовании бегущих волн в возбудимой среде.

5. Решены задачи стабилизации неустойчивых предельных циклов в нелинейных системах ОДУ и в уравнениях с запаздывающим аргументом, а также задачи стабилизации неустойчивых тривиальных решений в уравнениях с запаздывающим аргументом и термодинамической ветви в уравнениях с частными производными типа "реакция-диффузия". Разработаны алгоритмы и комплексы программ для их реализации.

6. Обоснован и разработан метод идентификации динамических систем, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогноза. Созданы алгоритмы и комплексы программ для реализации метода.

Практическая ценность работы заключается в том, что научные выводы и предложения по проблеме образования динамического пространственно-временного хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений носят общий характер. Поэтому доказанные утверждения, разработанные методы и алгоритмы могут широко использоваться в научных исследованиях по математическому моделированию сложных систем, в том числе систем с хаотическим поведением, а также при исследовании консервативных и гамильтоновых нелинейных систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности. Полученные в диссертации результаты могут служить основой для разработки методов управления хаотическими системами, методов аппроксимации временных рядов хаотическими системами, методов прогноза нерегулярных временных рядов.

Обоснованность выводов диссертации обеспечивается строгими доказательствами утверждений, приведенных в диссертации, обоснованными оценками погрешностей применяемых численных методов, а также публикациями статей в ведущих рецензируемых журналах в России и двух монографий, одна из которых издана за рубежом в издательстве Scientific World.

Апробация работы. Основные результаты работы регулярно докладывались на руководимом академиком РАН С.К. Коровиным научном семинаре кафедры МГУ им. М.В. Ломоносова "Нелинейные динамические системы и процессы управления", на руководимом член-корреспондентом РАН Ю.С. Попковым научном семинаре Учреждения российской академии наук Институт системного анализа РАН, на объединенном семинаре кафедр физики и высшей математики ГОУ ВПО "Московский государственный горный университет", на научно-методических семинарах ГОУ ВПО "Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности", на семинаре кафедры теоретической физики ГОУ ВПО "Российский университет дружбы народов", а также на следующих международных и всероссийских конференциях:

1) Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", Дубна, янв. 1998, Лущино, янв. 1999, Дубна, янв. 2000, Дубна, янв. 2006. 2) Международная конференция "Математика. Экономика. Образование", Ростов-на-Дону, май 2005. 3) Международная научная конфе-

ренция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, май 2000. 4) Международный симпозиум IFAC "Nonlinear control systems - NOLCOS'Ol", Saint Petersburg, Russia, jun. 2001. 5) Internationale Conference "Nonlinear World", Suzdal, jun. 2002. 6) International Conference on Differential and Functional Equations, Moscow, Russia, aug. 2002. 7) Первая международная научно-практическая конференция "Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления", Москва, июнь 2004. 8) Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии", Переславль-Залесский, сент. 2005 и Обнинск, сент. 2007. 9) Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям, Рязань, окт. 2001 и сент. 2006.10) Международная междисциплинарная конференция " Синергетика в естественных науках", Тверь, март 2007.11) Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ", Санкт-Петербург, июль 2007. 12) Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", Москва, июнь 2008.13) Международная конференция "Математическая теория систем" МТС-09, Москва, янв. 2009.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 28 научных трудах, включая две монографии и 16 научных работ в центральных рецензируемых научных журналах по списку ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список используемой литературы из 152 наименований, включает 122 рисунка и одну таблицу.

Содержание работы

Во введении показана актуальность темы исследования, приведен обзор литературы, сформулированы цели и задачи работы, обоснован избранный метод решения задачи, дано краткое изложение основных положений диссертации.

Первая глава содержит теоретическое обоснование и описание численных методов и алгоритмов, лежащих в основе методики исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением.

Использование численных методов в решении задач нелинейной динамики, а тем более при исследовании хаотических систем, всегда вызывало беспокойство относительно достоверности результатов и в связи с этим неизменную волну критики со стороны теоретиков.

В разделе 1.1 обоснована корректность численного интегрирования нелинейных систем дифференциальных уравнений

¿(¿) = %/;,«), г€Г^еК,<еК+. (1)

с хаотическим поведением. Известная оценка точности численного решения дифференциальных уравнений, согласно которой погрешность численного интегрирования растет с течением времени экспоненциально, получена в предположении выполнения условия Липшица для правой части системы. Однако, если помимо условия Липшица, наложить на правую часть дифференциального уравнения некоторые дополнительные условия, то получается более корректная оценка погрешности. Например, известно, что в случае скалярного дифференциального уравнения первого порядка оценка погрешности не зависит от длины промежутка интегрирования, если производная правой части по решению этого уравнения отрицательна.

В настоящей работе для исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений автором использован метод продолжения по параметру устойчивых решений - аттракторов этих систем, представляющих собой ограниченные изолированные множества в фазовом пространстве: неподвижные точки, предельные циклы, инвариантные торы. В диссертации рассмотрена задача устойчивости численного интегрирования систем дифференциальных уравнений в случае периодических орбитально асимптотически устойчивых решений. Согласно теории Флоке устойчивость периодических решений в первом приближении по Ляпунову определяется устойчивостью соответствующей линейной системы с непрерывной периодической матрицей. Такая система устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы ри (» = 1,2,...,т) — собственные значения матрицы монодромии системы (1) лежат внутри замкнутого единичного круга |р) < 1, причем мультипликаторы, лежащие на окружности \р\ = 1, имеют простые элементарные делители.

Пусть для системы дифференциальных уравнений выполнены указанные условия устойчивости периодического решения. Тогда справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1.1. При интегрировании систем дифференциальных уравнений с орбитально асимптотически устойчивым периодическим решением численным методом к-ого порядка (к > 2) аппроксимации с шагом г на интервале 0 < — пт ~ С\/т погрешность решения имеет порядок ес1 ■ 0(тк~1).

Утверждение 1.2. При интегрировании периодического орбиталь-

но асимптотически устойчивого решения системы дифференциальных уравнений на конечном фиксированном промежутке 0 < i < Т, где Т

- период решения, погрешность численного интегрирования не превышает величины 2еТ, где е - погрешность аппроксимации на шаге интегрирования.

Утверждение 1.3. Пусть £ = 0(тк) + 5, где ¿-погрешность округления. Тогда имеет место следующая оценка для полной погрешности численного интегрирования устойчивых систем дифференциальных уравнений с периодическим решением на промежутке 0 < t < t„ = пт ~ С\/т

Е(т) < max|x„ - z(in)| = eCl • 0(тк~1 + S/t), (2)

где х„ и x(tn) - соответственно значения численного и точного решений на n-ом шаге интегрирования.

В (2) функция Е(т) имеет единственный локальный экстремум -минимум при значении г = топт. Последнее означает, что погрешность уменьшается при уменьшении шага интегрирования г только до некоторого значения Emin — Е(топт). Попытка увеличить точность решения задачи (1) при аппроксимации разностной схемой за счет уменьшения величины шага дискретизации т приводит при т < г0Пт к резкому увеличению погрешности.

В диссертации на примере известной системы Лоренца

х = <т(у-х), y = x(r-z)-y, z = xy-bz, (3)

проиллюстрировано влияние величины шага т на результаты численного моделирования в хаотических системах.

В разделе 1.2 теоретически обоснован разработанный для задач хаотической динамики численный метод решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

x(t) = f(t, x(t), x(t - r)), i6l, т > 0, (4)

с начальным условием x(t) = ip(t) при io—г < i < ¿о, где tp(t) 6 С[<о—т, io]

- непрерывная начальная функция, заданная на начальном множестве £ta = {¿¡¿0 — т < t < io}. Метод основан на идее H.H. Красовского рассмотрения дифференциальных разностных уравнений как полугрупп преобразований, что позволяет аппроксимировать уравнение (4) конечномерной системой ОДУ.

Пусть С[— г; 0] - пространство непрерывных вещественных функций tp(-), задающих на интервале [—т;0] начальные условия уравнения (4). При этом уравнению (4) с начальным условием x(i9) = — т < д < 0,

в функциональном пространстве С\—т; 0] непрерывных функций с нормой = вир(|ж(19)|, — т < Й < 0) соответствует система уравнений с операторной правой частью

= (5)

|7(*(0),®(-т)), 19 = 0, где хгЩ = ®(* + 19), -т < д < 0, 5(«)®,(1?) = { йх0) . „

I"¿Г*

Поделим интервал [—г; 0] на тп одинаковых частей и обозначим

= Уо, хг(-т) = ут, х^-п/т) =уи i = l,...,m-l. (6)

Используя разностную аппроксимацию производной, получим в этих обозначениях систему ОДУ

Уй = /(«/о, Ут, й), Ш = п»(й-г ~ Уг)/т, г = 1,... ,т,

имеющую своим пределом при т —оо систему (5). При этом уравнение (4) сводится к (тп + 1)-мерной системе ОДУ

у = Р{у),

вектор у = (уо(£), 1/1^), • ■ ■, 2/т(0)Т которой определяет вектор-функцию

Н/а\ , — -тг -т(г - 1) .

¥>« Ч^) = VI + ^--^ $ ^ —^-. г = 1, • • • ,тп,

т тп тп

каждая координата которой линейно аппроксимирует функцию х^д) на отрезке длиной Дf = 19,_1—19; по двум значениям функции в узлах у,- и 2/1—1 с погрешностью 0(М2). В диссертации показано, что в случае аппроксимации производных в узлах начального множества £(о кубическими сплайнами, погрешность интегрирования уравнения (4) предложенным методом может иметь порядок 0(Д<4).

В разделе 1.3 рассмотрена схема численного решения параболических уравнений на отрезке, исследованы ее устойчивость и погрешность аппроксимации. Для решения системы, содержащей т уравнений ди д2и

— = и,/£Шт, х € [0,(],*€ [0,00)^6^, (7)

где 2? - матрица коэффициентов диффузии, р - размерность пространства параметров, с начальными условиями и(х, 0) = «о(я) и с граничными условиями либо первого рода «(О, ¿) = и(1, ¿) = 0, либо второго рода их(0,4) = их(1,1) — 0, автором применена неявная трехслойная разностная схема вида

Зц"+1 — 4и" + ц"~х ..........+1

----_-- , (8)

на сетке шл,т = X ыт, где - {х,- = jh, 3 = 0,1,..., Я, ЛАГ - /}, ит = = пт, п = 0,1,...}, где = /(ж,, *„).

Утверждение 1.4. Схема (8) абсолютно устойчива, и аппроксимация задачи (7) схемой (8) имеет порядок 0(т2 + Л2) на (п + 1)-ом слое решения задачи (7), если в (8) положить = 2уЦ — ф]'1-

В разделе 1.4 изложен приближенный численный метод нахождения гомоклинических и гетероклинических решений - петель сепаратрис особых точек, в окрестности которых, как отмечалось еще А. Пуанкаре, существует множество решений, обуславливающее хаотическое поведение системы. Это так называемый гомоклинический хаос. Аналитическое решение проблемы нахождения в пространстве параметров бифуркационных поверхностей гомоклинических петель сепаратрис особых точек для семейства систем

х = Р{х,ц), хеВГ, цеШ?, (9)

было найдено А.Ф. Грибовым и А.П. Кршценко только для кусочно-линейной системы Чуа. Кроме того, для системы уравнений Лоренца независимо друг от друга Г.А. Леонов и X. Чен получили необходимое и достаточное условие За > 26 + 1 существования такого набора параметров (<т, £>, г), при котором имеет место гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла.

В диссертации для ряда трехмерных систем ОДУ решена задача численного нахождения гетероклинических и гомоклинических решений особых точек типа седло-узел и седло-фокус, разработаны алгоритмы и комплекс программ для построения бифуркационных кривых и поверхностей в пространстве параметров и определения коразмерности сепа-ратрисных контуров особых точек в предположении, что при всех значениях параметров из области и С Мр для особых точек семейства (9) выполнены условия теоремы Гробмана-Хартмана, и сепаратрисы, входящие в особые точки вдоль их устойчивых многообразий и выходящие из них вдоль их неустойчивых многообразий, существуют.

В разделе 1.5 приведены численные оригинальные методы и алгоритмы для исследования свойств нелинейных систем дифференциальных уравнений с периодическими решениями. Автором разработаны алгоритмы и программы поиска периодических решений, определения их периода и характера устойчивости; алгоритмы и программы исследования спектральных характеристик матрицы Якоби и матрицы монодро-мии в нелинейных системах ОДУ и в уравнениях с запаздывающим аргументом.

Для поиска периодических решений и определения их периодов использована процедура, позволяющая выделять решения, для которых разница между начальным вектором xq в фазовом m-мерном пространстве системы дифференциальных уравнений и вектором х„ в некоторый момент времени tn не превышала заданного радиуса е = min {|го,—

1<»<тп

Тогда период решения Т = tn.

Устойчивость периодического решения определялась спектром матрицы монодромии периодической системы i = F(x). Матрица монодро-мии С = Х(Т) вычислялась путем численного решения линеаризованного на периодическом решении матричного дифференциального уравнения X(t) = A(t)X(t) за период Т цикла с начальным условием Х(0) = Е, где Alt) — DFx(x,t) - матрица линеаризации правой части F(x) на периодическом решении x*(t), Е - единичная матрица.

Для вычисления собственных значений и собственных векторов матриц использовались процедуры, основанные на разложении матрицы А с линейно независимыми столбцами в произведение А = QR, где матрица Q имеет ортогональные столбцы, a R является верхней треугольной и обратимой матрицей. фД-алгоритм является итерационной процедурой. Для уменьшения порядка арифметических операций и повышения скорости сходимости итерационного процесса матрица А предварительно приводилась с помощью подобных преобразований отражения (или вращения) к форме Хессенберга.

Вторая глава содержит результаты численного исследования решений нелинейных диссипативных систем ОДУ и нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом, обладающих хаотическим поведением. Для установления механизма перехода к динамическому хаосу использован метод численного продолжения по параметру устойчивых решений, представленных инвариантными многообразиями. Это позволило изучать не отдельные решения и их бифуркации, а каскады бифуркаций устойчивых решений. Применение указанного подхода в сочетании с численными методами определения свойств периодических решений позволило установить, что переход к динамическому хаосу в нелинейных динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений осуществляется по определенному сценарию.

В разделе 2.1 приведены результаты численного исследования системы Лоренца (3). Исследование показало, что переход к хаотическому режиму в этой трехмерной системе ОДУ происходит не в результате мгновенного разрушения некоторого регулярного решения под воздействием сколь угодно малого возмущения, а вследствие бесконечных кас-

кадов бифуркаций рождения все более сложных периодических решений при эволюции системы в пространстве параметров. Началом сценария перехода к хаосу является каскад бифуркаций удвоения периода предельного цикла (гармонический каскад Фейгенбаума), который сходится к хаотическому сингулярному аттрактору Фейгенбаума. Более сложная структура хаотического аттрактора создается субгармоническим каскадом бифуркаций рождения устойчивых циклов, кратность периода которых определяется порядком Шарковского. Дальнейшее усложнение хаотических аттракторов, рождающихся в точках накопления значений бифуркационного параметра, идет через гомоклинический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов, сходящихся в пределе к гомо-клиническому контуру - петле сепаратрисы особой точки седло-фокус.

При исследовании системы (3) установлено, что классический аттрактор Лоренца является неполным гомоклиническим аттрактором, так как при значениях параметров а = 10, Ъ = 8/3 ни при каких значениях параметра г гомоклинический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов не сходится к петле сепаратрисы особых точек типа седло-фокус, имеющих место в системе Лоренца. В работе для системы Лоренца построены бифуркационные поверхности в пространстве параметров (а, Ь, г), соответствующие образованию гомоклинических контуров особых точек типа седло-фокус, гетероклинических решений, соединяющих седло-узел с седло-фокусом, гомоклинических петель сепаратрисы седло-узла и гомоклинических контуров, соединяющих все три особые точки: седло-узел и два седло-фокуса. Приведен сценарий образования полного двойного гомоклинического аттрактора в системе (3).

В разделе 2.2 изложены результаты численного исследования других автономных нелинейных диссипативных систем ОДУ, подобранных таким образом, чтобы особенности одной системы не повторялись в других. В частности, помимо системы Лоренца, исследованы следующие автономные системы.

1. Системы Валлиса

х = цу-ах, у = хг-у, ¿ = 1 -ху- г, (10)

х = ¿¿(у - г) - Ьх, у — хг - у + с, г — -ху - г + с. (11)

2. Системы Рёсслера

х = -у-г, у-х + ау, г = Ь + г(х - р), (12)

х = -у-г, у = х + ау, ¿ = Ъх + г(х- ц). (13)

3. Система, моделирующая реакцию Белоусова-Жаботинского

х = а{щх+-у-х3), у = /х2х-у + 2 + 5, г = -у{х-г). (14)

4. Система Вольтера-Гаузе из класса хищник-жертва

ах = (1 - х)х - ху, у= y/ху - у/yz -6h z = - S2)z. (15)

5. Система Чуа

х = р[у- h(x)], у = х — у + z, к- -Ру, (16)

bx + a + b, х < — 1, где h(x) = —ах, |х| < 1,

Kbx - а - Ь, х > 1, а, Ь, /3, (х - параметры, принятые положительными.

6. Система "Simple"

х = 1 + ¡xyz, у = х-у, z=l-xy. (17)

7. Система Рабиновича и Фабриканта

х = y{z - 1 + х2) + ах, у = ж(3г + 1 -х2) + ау, z- + ху). (18)

8. Макроэкономическая модель Магницкого

х = Ьх((1 - a)z - 6у), у = х( 1 - (1 - б)у + az), z = а(у - dx). (19)

9. Система Рики-Таки

х — —fj,x + yz, у = —цу + хи, z = 1 — ху — bz, й = 1 — ху — си. (20)

10. Комплексная система Лоренца

Х = -аХ + аY, Y = —XZ + rX — aY, Z = -bZ + ^(X*Y + XY*), (21)

где X = хх + ix2, Y = у\ + гу2, a —ai + гаг, г = ri + гг2.

Указанные системы были получены при моделировании различных процессов и явлений: сложного движения сплошной среды (уравнения (10), (11), (21)), кинетики химических реакций (уравнения (12)—(14)), биологических процессов (уравнение (15)), электрических и электронных цепей (уравнения (16) — (18)), экономических процессов (уравнение (19)), физических явлений на Солнце (уравнение (20)).

Кроме того, рассмотренные системы отличаются также в математическом отношении размерностью, количеством, симметрией расположения и типом равновесия неподвижных точек, наличием или отсутствием петель сепаратрис особых точек, видом нелинейности. Тем не менее все эти системы имеют одинаковый сценарий перехода к динамическому хаосу, аналогичный сценарию в системе Лоренца (3).

Установлено, что в системах размерности более трех сценарий перехода к хаосу может осуществляться не на предельных циклах, а на двумерных инвариантных торах, как это имеет место в комплексной системе уравнений Лоренца, которая эквивалентна пятимерной вещественной системе. В этой системе после потери устойчивости предельного цикла рождается устойчивый двумерный инвариантный тор, представленный топологическим произведением двух предельных циклов - исходного и вторичного, появившегося в результате повторной бифуркации Андронова-Хопфа. Затем при продолжении решения по параметру двумерный тор теряет устойчивость, и в результате бифуркации удвоения периода вторичного внешнего цикла рождается двумерный инвариантный тор удвоенного по этому циклу периода. С этого решения начинается каскад бифуркаций удвоения периода двумерного инвариантного тора по вторичному циклу, который завершается образованием аттрактора Фейгенбаума. При продолжении решения по параметру после рождения аттрактора Фейгенбаума имеет место субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, кратность периода которых по вторичному циклу определяется порядком Шарковского. Этот каскад завершается образованием субгармонического хаотического аттрактора на двумерном инвариантном торе.

Таким образом, при исследовании комплексной системы уравнений Лоренца численно открыты бифуркации удвоения периода двумерных инвариантных торов по одному из циклов топологического произведения, а также бифуркации рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, кратность периода которых по одному из циклов определяется порядком Шарковского.

В разделе 2.3 исследован переход к динамическому хаосу в уравнении с запаздывающим аргументом Мэкки-Гласса

к> вп + хп(г-тУ v '

где а, /Зо, в и п - положительные константы, выбранные так, что /?о > а > 0, пВ > 2, 6аВ > /30, В = (/30 — а)/Д). Его решения исследовались в координатах (х(Ь),х^—т)) фазового пространства. Показано, что переход к динамическому хаосу осуществляется через субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов в фазовом пространстве уравнения (22).

В разделе 2.4 исследованы неавтономные двумерные системы ОДУ с хаотическим поведением в расширенном фазовом пространстве:

уравнение Дюффинга-Холмса

х + кх — х + цхг = /о eos Qí, (23)

модифицированное уравнение Матье

х + fix + (6 + Ecoswt)x + ах3 = 0, (24)

уравнение Крокета

х + fix — a sin х — /3 sin(z — wt) — О, уравнение Краснощекова

^ [(1 + ai cos(wií + íii))2¿] + fix =

= —¡i{ 1 + Ql COs(wif + 01))(1 — 02^2 C0s(w2Í + <Ы) SÍnX.

В работе показано, что во всех рассмотренных неавтономных ОДУ, как в уравнениях с периодическими коэффициентами, так и в уравнениях с периодической правой частью обнаружен такой же механизм перехода к хаотическому режиму, который был установлен выше для автономных систем ОДУ.

В третьей главе приведено исследование пространственно-временного динамического хаоса в нелинейных распределенных диссипа-тивных системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа — диффузионного хаоса.

В разделе 3.1 рассмотрен вопрос об адекватности описания систем уравнений в частных производных с помощью маломодового приближения. Суть вопроса состоит в том, совпадает ли, хотя бы качественно, поведение решений сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных с решением более простых маломодовых приближений, полученных при редукции исходных уравнений к более простым системам ОДУ путем выделения наиболее существенных гармоник. Наиболее ярким примером такого подхода служит хорошо известная система Лоренца, полученная путем редукции системы уравнений Навье-Стокса, непрерывности и теплопроводности. Другим примером является система

4 = 2£ - 2£(£ + т?) - íij(cos в + с2 sin в),

f¡ = 2r¡- 2т)(2£ + 3r?/4) - 2£t?(cos в-с2 sin в) - 2к\ (25)

в = с2(2£ - т?/2) + (2^ + т?) sin0 + с2(2£ - if) cos в + 2cik2,

полученная в маломодовом приближении для уравнения Курамото-Цузуки (или зависящего от времени уравнения Гинзбурга-Ландау)

WT = W + (1 + id)W„ ~ (1 + ic2)W\W\2, (26)

где Ш = и + гь - комплекснозначная функция, с\ и С2 - действительные постоянные. Исследование показало, что сценарий перехода к хаосу в системе (25) не отличается от рассмотренных выше во второй главе.

В разделе 3.2 изложено исследование решений второй краевой задачи уравнения (26) на отрезке как в фазовом пространстве переменных (и, у), так и в пространстве коэффициентов Фурье. Проведено сопоставление решений маломодовой системы (25) с решениями, полученными в многомерном пространстве коэффициентов Фурье и выраженными в переменных (£, т], в). При сравнении установлено, что решения и в том, и в другом случае представлены множеством предельных циклов. Тем не менее, задача установления взаимосвязи между этими решениями представляется чрезвычайно сложной.

Совсем другие решения получены в фазовом пространстве. Установлено, что после потери устойчивости термодинамической ветви вследствие бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый предельный цикл, который при дальнейшем продолжении по параметру теряет устойчивость, и в результате повторной бифуркации Андронова-Хопфа происходит рождение двумерного инвариантного тора (рис. 1а). Этот тор также теряет устойчивость вследствие бифуркации удвоения пери-

Ркс. 1. Каскад бифуркаций удвоения периода двумерного инвариантного тора по первичному циклу показан в отображениях Пуанкаре решений уравнения (26) для второй краевой задачи.

ода первичного (исходного) предельного цикла, и рождается двумерный инвариантный тор с удвоенным по первичному циклу периодом (рис. 16). Далее следует каскад бифуркаций удвоения периода тора по первичному циклу, завершающийся образованием сингулярного аттрактора Фейген-баума (рис. 1в, г). Численно показано, что во второй краевой задаче уравнения (26) может иметь место также субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов по вторичному (внешнему) циклу, входящему в топологическое произведение. Из рис. 2 видно, что субгармонический каскад бифуркаций по вторичному циклу реализовался на торе удвоенного по первичному (внутреннему)

циклу периода.

■0(1/2)

«ОЦ/2)

»(У2)

Рис. 2. Субгармонический каскад рождения устойчивых двумерных инвариантных торов с различной кратность периода вторичного цикла в отображениях Пуанкаре решений уравнения (26) для второй краевой.

В первой краевой задаче уравнения (26) хаотических решений не установлено.

В разделе 3.3 рассмотрено образование диффузионного хаоса в системе брюсселятор

где ¿1, ¿2 - коэффициенты диффузии, Н(и, у) = (В/А)и2 + 2Аиь 4- и2у. Установлено, что хаотические режимы при решении системы (27) на отрезке существуют и в первой и во второй краевой задаче. Переход к хаотическим режимам в модели (27) основан на том же механизме, который выявлен в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, а именно, в случае первой краевой задачи - это каскад бифуркаций удвоения периода циклов и субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов, а в случае второй краевой задачи — это каскад бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, аналогичный рассмотренному в разделе 3.2 для уравнения (26).

При численном исследовании механизма перехода к пространственно-временному хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений с частными производными установлено:

- решения систем в маломодовом приближении отличны от решений в фазовом пространстве систем уравнений в частных производных;

- появление хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений с частными производными обусловлено появлением все более сложных решений в результате бесконечных каскадов мягких бифуркаций предельных циклов и двумерных инвариантных торов, а не мгновенным разрушением регулярных решений, в частности, трехмерных торов при воздействии бесконечно малого возмущения;

щ — ¿1 ихх + (В - 1)и + А2г> + у), г>( = ¿2УХХ — Ви — А2ь — Н(и, у),

(27)

- в случае, когда решение представлено двумерными инвариантными торами, субгармонические каскады бифуркации рождения устойчивых двумерных инвариантных торов могут осуществляться по обоим циклам, входящим в топологическое произведение;

- образование хаотических режимов в распределенных системах зависит от вида граничных условий.

Важным результатом численного исследования, изложенного в главах 2 и 3, является следующее наблюдение. Хаотические аттракторы -аттрактор Фейгенбаума, субгармонический и гомоклинический аттракторы образуются в точках накопления бифуркационного параметра, т.е. при некоторых критических значениях бифуркационного параметра, отвечающих завершению соответствующего каскада бифуркаций. Следовательно, эти хаотические аттракторы не являются структурно устойчивыми образованиями. Основы теории таких аттракторов рассмотрены в следующей главе.

Глава 4 содержит теоретическое обоснование установленного выше единого механизма перехода к динамическому хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.

В разделе 4.1 численно исследован механизм удвоения периода предельных циклов. На основании теории Флоке построена модель динамики мультипликаторов при эволюции динамической системы в пространстве параметров и установлены особенности спектра матрицы монодро-мии для каскада бифуркаций удвоения периода цикла.

Установлено, что в спектре матрицы монодромии, соответствующей хаотической системе, существует пара мультипликаторов, имеющих при образовании устойчивого цикла вещественные значения, одно из которых расположено внутри единичного круга вблизи точки +1, другое - вблизи точки +0. При продолжении устойчивого периодического решения по параметру эти мультипликаторы сближаются до одинаковой положительной величины, после чего становятся комплексно сопряженными и расходятся по траектории, близкой к круговой, до момента, пока снова не примут равные отрицательные величины. Затем эти мультипликаторы снова расходятся: один из них устремляется по вещественной оси к —1, другой движется к точке —0 (рис. За).

При сближении мультипликаторов с положительными величинами соответствующая им пара показателей Флоке также сближается, оставаясь на вещественной прямой в отрицательной полуплоскости (рис. 36). Когда мультипликаторы становятся комплексно сопряженными, показатели Флоке также принимают комплексно сопряженные значения, при

/

Imp

/У

1шЯ

г'

„ ЯеЯ

0

К ,

1.........

\ v-

Рис. 3. Динамика мультипликаторов (а) и показателей Флоке (б).

этом их мнимые части равны ±га/Т, где а - фаза комплексно сопряженных мультипликаторов, Т - период устойчивого предельного цикла. Изменение мнимой части пары комплексно сопряженных показателей Флоке происходит до величины ±in/Т, соответствующей переходу , мультипликаторов из комплексно сопряженных в вещественные отрица-• тельные величины. При расхождении мультиплйкаторов в отрицательной полуплоскости мнимые части показателей Флоке более не меняются, оставаясь равными г(±тг/Т + 2тгк/Т), к = 0,1,.... При этом вещественная часть одного из показателей Флоке стремится к нулю, а другого к —оо. При пересечении одним из показателей Флоке мнимой оси слева направо предельный цикл с периодом Т теряет устойчивость, и рождается устойчивый предельный цикл удвоенного периода, снова имеющий пару вещественных мультипликаторов, в которой величина одного из них близка к значению +1, а другого - к значению +0. При продолжении этого устойчивого решения по параметру сценарий повторяется.

Определение. Предельный цикл, имеющий комплексные показатели Флоке, у которых вещественные части различны, а мнимые отличаются на 2mk/T, к = 0,1,..., называется сингулярным.

H.A. Магницкий предположил, что сингулярным циклам в двумерных неавтономных системах ОДУ соответствует особая точка.

Определение. Особая точка двумерной неавтономной вещественной системы с Т-периодической главной линейной частью, имеющей комплексные показатели Флоке, вещественные части которых различны, а мнимые отличаются на 2тк/Т, к = 0,1,..., называется ротором.

В разделе 4.2 исследованы свойства особой точки типа ротор. Пусть зависящее от скалярного параметра fi гладкое семейство двумерных вещественных нелинейных неавтономных систем ОДУ

ü = B(t,fi)u(t) + Я(и,t,fi), H(Q,t,fi) = 0, (28)

имеет в особой точке 0(0,0) Т-периодическую матрицу D(t,p). а нели-

нейная часть Н(и, t, ц) содержит в особой точке компоненты вектора u(í), начиная с членов второго порядка. Согласно теории Флоке фундаментальное матричное решение линейной части

ü = D{t,fi)u{t) (29)

системы (28) представимо в виде U(t, fi) = P(i, где P(í, ц) - Т-

периодическая матрица, причем Р(0,д) = Е, a B(¡i) - постоянная комплексная матрица, собственные значения которой являются показателями Флоке линейной системы (29) с Т-периодическими коэффициентами. Принципиально важным является то, что система (29) может иметь различные комплексные, но не комплексно сопряженные показатели Флоке Ai(fj) и A2(/í).

Автором показано, что неавтономная двумерная нелинейная система ОДУ с Т-периодической матрицей в особой точке ротор может иметь периодические решения с периодом, отличном от Т. Пусть показатели Флоке Ai(/¿) = oti(¡i) + iu>о и \2(t¿) = а2(ц) + «Аз- Для матрицы В существует невырожденное преобразование Q, такое, что В = Q_1AQ, где Л = diag(Ai, Аг). Поэтому фундаментальная матрица такой системы для сингулярного цикла имеет вид

U(t) = P^é^Q'1 diag^M', ea^)Q = R{t)e^\ (30)

где В — постоянная вещественная матрица, R{t) — периодическая матрица, период которой есть наименьшее общее кратное периода Т матрицы P[t) и периода То = 2tt/wo, обусловленного множителем е,и°г. В работе показано, что двумерную вещественную систему ОДУ

¿i = (aii+6iic0swt4-cnsinwi)tii+(ai2+bi2c0swt+ci2sinwt)u2, ^^ Щ = (021 + 621 COSWt+C2lSÍnwt)ui + (a22 + b22COSwt + C22Smut)u2,

в которой Т = 27г/ш-периодические коэффициенты представлены тригонометрическим полиномом с постоянными коэффициентами ay, by, су, (i,j = 1,2), а нулевая особая точка удовлетворяет определению ротора, можно записать в виде

¿i = (а + bcoswtjui + (ósinwí — и/2)и2, Ü2 = [bsmut + ш/2)щ + (a — bcosu>t)ü2,

где a + 6 = ai, a — b = 02, c*i и a2 вещественные части показателей Флоке. Общее решение системы (32)

ui(t) = Cneait cos j+С12е°*' sin u2(t) = С21еа>* sin j+Cnea2t eos

имеет период 2Т.

Особая точка типа ротор в неавтономной системе дифференциальных уравнений в отличие от особой точки типа фокус может иметь следующие многообразия: двумерное неустойчивое многообразие (а\ > О, аг > 0); одномерное неустойчивое и одномерное устойчивое многообразия (сц < 0, аг > 0); двумерное устойчивое многообразие («1 < 0, с*2 < 0). На рис. 4 приведены фрагменты фазовых портретов особой точки ротор для различных соотношениях а\ и показывающие отличие этой точки от особых точек типа фокус и центр.

-—-— «2 и2

и? ' (б

ш ^ у) ) «10

V а) в)

щ

1

]) )"10

б)

Ряс. 4. Решения системы (32) при с*1 < 0 в случаях: а) и б) «2 > 0; в) а2 = 0.

Используя особую точку типа ротор можно проиллюстрировать взаимосвязь между отображением отрезка в себя и дифференциальным двумерным неавтономным уравнением. Пусть при ^ = 0 ротор системы (28) теряет устойчивость в результате пересечения одного из показателей Флоке мнимой оси слева направо. Сначала при ¡л > 0 происходит рождение вокруг неустойчивого ротора 0(0,0) неавтономной двумерной системы (28) устойчивого цикла удвоенного периода 2Т. Так как в плоскости («!, и2) происходит вращение траекторий решения и{£) системы (28) вокруг ротора О, то это дает возможность определить монотонно убывающее непрерывное отображение / отрезка а < щ < 6 прямой «2 = 0 в себя за полуоборот вокруг ротора О (рис. 5). Одномерное отображение /(1x1) имеет, очевидно, неустойчивую неподвижную точку щ = 0 и устойчивый цикл (а,Ь), соответствующий устойчивому циклу удвоенного периода системы (28), родившемуся в плоскости (и1,«2). Кривая /, задающая одномерное отображение интервала (а, Ь) в себя, является непрерывной в силу непрерывности решения двумерной неавтономной системы дифференциальных уравнений по начальным условиям.

С ростом значений параметра ¡1 > 0 величина интервала (о, Ь) увеличивается. Одпако, ввиду диссипативности исходной системы дифференциальных уравнений, начиная с некоторого значения параметра ц траектории двумерной системы (28) начинают самопересекаться и закру-

чиваться вокруг се устойчивого цикла удвоенного периода. В терминах одномерного отображения /(щ) этому соответствует появление точки максимума на его графике в области щ < 0, что приводит к появлению двузначности его обратного отображения /-1(их).

Рис. 5. Устойчивый цикл в двумерной неавтономной системе дифференциальных уравнений после потери устойчивости особой точки О типа ротор (а) и соответствующее ему одномерное непрерывное отображение отрезка г^ 6 [а, Ь] прямой и2 = 0 в себя (б).

В разделе 4.3 рассмотрено образование динамического хаоса в автономных нелинейных диссипативных системах ОДУ. Показано, что хаотическая динамика в таких системах также связана с появлением сингулярных циклов. В частности, представить образование точки типа ротор в трехмерной автономной системе ОДУ можно при переходе в систему координат, связанную с исходным предельным циклом периода Т. В такой системе трехмерная автономная система ОДУ является двумерной неавтономной системой и для нее справедливы результаты, приведенные в разделе 4.2. В этой системе координат неподвижная особая точка лежит на цикле. Удвоение периода цикла свидетельствует о том, что предельный цикл стал сингулярным и, следовательно, неподвижная точка двумерной неавтономной системы ОДУ переходит в состояние равновесия типа ротор. При этом любому циклу в неавтономной системе соответствует цикл удвоенного периода автономной системы.

В диссертации приведен пример преобразования трехмерной автономной системы ОДУ в двумерную неавтономную и рассмотрено появление хаотической динамики в этих системах. Показано существование некоторых экзотических решений, связанных с гомоклиническим контуром особой точки типа ротор. Так как особой точке типа ротор в двумерной неавтономной системе отвечает предельный цикл в соответствующей трехмерной автономной системе, то петле сепаратрисы этой особой точки в двумерной неавтономной системе должна соответствовать петля сепаратрисы предельного цикла в трехмерной автономной

и1п*\

системе дифференциальных уравнений (рис. 6).

Рис. 6. Гомоклинический контур особой точки ротор в двумерной неавтономной системе (а); проекция гомоклинического контура сингулярного цикла (б) и сам контур (в) в трехмерной автономной системе.

В разделе 4.4 рассмотрен переход к динамическому хаосу в многомерных нелинейных системах ОДУ и в распределенных системах дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. В таких системах, как установлено в главе 2, переход к хаотическому поведению может осуществляться через каскады бифуркаций двумерных инвариантных торов, а не предельных циклов.

Двумерный тор - это топологическое произведение двух циклов. Поэтому дальнейшие бифуркации зависят от того, являются ли сингулярными циклы, образующие двумерный тор. Если один из циклов является сингулярным, то по соответствующей частоте возможно образование субгармонического в смысле порядка Шарковского каскада бифуркаций и рождение хаотических (сингулярных) аттракторов. Примером служит переход к хаосу в комплексной системе уравнений Лоренца. Когда оба цикла, порождающие двумерный инвариантный тор, являются сингулярными, то возможны субгармонические каскады бифуркаций двумерных торов по каждой из частот, как это имеет место во второй краевой задаче уравнений (26) и (27).

Универсальность представленного сценария в том, что динамический хаос в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений порождают сингулярные циклы, которые могут существовать либо как самостоятельные изолированные решения, либо входить посредством топологического произведения в более сложные инвариантные многообразия. Важно, что данный сценарий объясняет переход к диффузионному хаосу в системе уравнений с частными производными естественным образом без привлечения дополнительных гипотез о появлении в таких системах неустойчивых трехмерных торов, разрушаю-

щихся при воздействии малых возмущений.

В разделе 4.5 рассмотрена структура устойчивых решений в нелинейных диссипативных динамических системах дифференциальных уравнений с хаотическими режимами. Показано, что структура определяется спектром показателей Флоке или, другими словами, наличием (или отсутствием) в системе сингулярного цикла. При его отсутствии решения диссипативной системы представлены множеством регулярных предельных циклов или торов (в том числе многомерных торов). Если же хотя бы один из циклов становится сингулярным, то в системе появляется множество периодических решений, кратность периода которых определяются порядком Шарковского. В диссертации рассмотрены примеры различных решений в зависимости от спектра показателей Флоке.

В диссертации предложена классификация хаотических сингулярных аттракторов, в основу которой положены каскады бифуркаций рождения устойчивых циклов (торов), приводящие к появлению динамического хаоса. Согласно предложенной классификации сингулярные аттракторы подразделяются на аттрактор Фейгенбаума, который рождается в результате каскада бифуркаций удвоения периода цикла (или инвариантного тора), субгармонический и гомоклинический аттракторы, порождаемые одноименными каскадами бифуркаций. Последние два аттрактора по степени завершенности каскада могут быть полными или неполными. Кроме того, в зависимости от геометрии системы сингулярные хаотические аттракторы можно разделить на простые и удвоенные, которым соответствует синхронное развитие каскадов бифуркаций в окрестности пары однотипных особых точек фазового пространства.

В главе 5 рассмотрены некоторые подходы к решению ряда задач хаотической динамики, основанные на применении рассмотренной выше теории. Изложенное в диссертации представление о хаотических сингулярных аттракторах как об особых изолированных траекториях, образовавшихся в фазовом пространстве при завершении субгармонического или гомоклинического каскадов бифуркаций в отдельных точках пространства параметров, позволило обоснованно подойти к решению ряда задач, таких как управление хаотическими системами, их идентификации, по-новому рассмотреть образование решений в виде уединенных бегущих волн и решения в гамильтоновых системах.

В разделе 5.1 рассмотрены некоторые вопросы управления динамическими системами с хаотическим решением. Поведение хаотических систем в силу повышенной чувствительности к малым возмущениям начальных условий и системных параметров в течение многих лет счи-

талось непредсказуемым и неуправляемым. Более того, считалось, что достичь желаемого поведения системы можно, подавив в ней хаос пусть даже путем изменения динамики системы в целом. H.A. Магницким был предложен подход к локализации и стабилизации решений в хаотических системах, заключающийся в построении в пространстве большей размерности такой динамической системы, для которой заданная неустойчивая траектория исходной хаотической системы является проекцией ее асимптотически устойчивой периодической траектории. В диссертации рассмотрены решения ряда задач в рамках этого подхода.

В разделе 5.1.1 приведено решение задачи локализации и стабилизации неустойчивых тривиальных решений в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом

x{t)=F(x(t),x(t-T1),...,x{t-rm),ß), хеГ, м € R, .

о < n < - - - < rmi W

где F{x(t),x(t — ti), .. .,x(t — Tm),ß) £ R" - непрерывная и гладкая по совокупности переменных вектор-функция. Пусть x*(ß) - неподвижная точка системы (33), зависящая от скалярного параметра ß, в качестве которого, в частности, может быть выбран один из запаздывающих аргументов. Положим, что существует критическое значение параметра ß* такое, что неподвижная точка является устойчивой при ß < ß*, а при ß > р.* решение х*{ц) становится неустойчивым.

Утверждение 5.1. Существуют значения параметров е £ К" и ß € Ж такие, что неподвижная точка (x(fi),p) системы

х = F(x(i), x{t - n),..., x(t - rm), у) + e(g(f) - ß),

q = G(x{t), x{t - n),.. .,x{t - rm), ß) + ß{q{t) - ß),

где скалярная функция G(x(t),x(t — n),...,x(i — rm),ß) = 0 в неподвижной точке (x*(ß),ß), будет асимптотически устойчива в области ß* <Р<

Следовательно, устойчивой также будет и проекция x(ß) этой точки, которая является неподвижной точкой системы (33). В диссертации найдены условия для определения параметров ей ß. Решение задачи проиллюстрировано на примере уравнения Мэкки-Гласса (22).

В разделе 5.1.2 дано решение задачи стабилизации термодинамической ветви в распределенных системах типа "реакция-диффузия"

Xt = D1bX + F1{X,Y,ß), Yt = D2AY + F2(X,Y,ß), (35)

с заданными условиями на грапице дП области Q. Здесь Д - оператор Лапласа по пространственным переменным г £ R", F\ и F2 - нелинейные функции. Как правило, существует значение параметра ц*, при котором система (35) имеет однородное по пространству стационарное решение (Хо,У"о)Т ~ термодинамическую ветвь. Можно принять без ограничения общности, что это решение устойчиво при ¡i < ц*, а при fi > ц* - теряет устойчивость. В зависимости от значений параметра ц, а также от коэффициентов диффузии Di и D2, от формы и размеров пространственной области и от граничных условий система (35) после потери устойчивости термодинамической ветви имеет множество качественно различных решений, включая диффузионный хаос. В диссертации рассмотрена проблема управления диффузионным хаосом как задача стабилизации неустойчивой термодинамической ветви системы (35) в случае, когда последняя обладает пространственно неоднородными непериодическими решениями.

И. Курамото и Т. Цузуки показали, что после потери устойчивости термодинамической ветви системы (35) поведение ее решений описывается уравнением (26) или эквивалентной вещественной системой

Ut = U + UTX~ CiVxx - (и2 + v2)(u - c2v), Vt = V + С\11хх + Vxx - (и2 + V2) (и + c2v), (36)

0 <x<l, 0 < i < 00.

В таком случае рассматриваемая задача сводится к стабилизации нулевого решения системы (36), для стабилизации которого в случае первой краевой задачи необходимо решить следующую систему

Щ = U + Uxx - CiVzx - (U2 + V2)(u - C2v) + Ei¡p, Vt = v + Ciuxx + vxx - (и2 + v2)(u + c2v) + e2y, ipt = и + V + P<p,

O < x < l, O < t < 00, '

u(x, 0) = uo(x), v(x, 0) = D0(l), ip(x, 0) = <Po(x), u(0, t) - u(l, t) = v(0, t) = v(l, t) = <p( 0, t) = t) = 0.

Утверждение 5.2. Для любых значений параметров с\, с2,1 задачи (36) найдутся значения управляющих параметров е2, уЗ такие, что нулевое решение задачи (37) равномерно и асимптотически устойчиво.

В случае второй краевой задачи эта же проблема может быть решена с помощью системы

щ = и + ихх- ClVxx - (и2 + v2)(u - C2V) + £<p, vt = v + C\UXX + vxx - (u2 + v2)(u + c2v) + еф, ipt = U + ßip, = V + ßip,

О <X<1, 0 < t < oo, (38)

u(x,0) = uq(x), u(x,0)=vo(a:), vj(x, 0)=y>0(®), Ф{х,0)=Фо{х),

ux{0,t) = ux{l,t) = 0, ifc(0,i) = vx(l,t) = 0,

V«(0, t) = v>«(I, t) = 0, фх{ 0, t) = rl>x(l,t) = 0.

Утверждение 5.3. Для любых значений параметров cj, сг, I задачи (36) найдутся значения управляющих параметров е, ß такие, что нулевое решение краевой задачи (38) равномерно и асимптотически устойчиво.

В разделе 5.1.3 приведено решение задачи локализации и стабилизации циклов в хаотической системе ОДУ

x = F(x,p), гёГ, ^SK, (39)

задаваемой семейством гладких отображений F. Пусть x*(t, у) — предельный цикл системы (39), зависящий от параметра /г. Положим без ограничения общности, что существует критическое значение параметра р* такое, что траектория x*(t,fi) является асимптотически орби-тально устойчивым циклом системы (39) при fi < //, а при ц> fi* траектория x*(t,fi) является неустойчивым циклом системы (39).

Задача состоит в локализации и стабилизации неустойчивого цикла x*{t,(i) системы (39) в области ß > ц* хаотического поведения траекторий системы при почти полном отсутствии информации о самом цикле x*(t,n) и его периоде Т — Т(ц). Идея метода решения данной задачи остается прежней — построение динамической системы в пространстве большей размерности, для которой неустойчивый цикл x*(t,ß) системы (39) является проекцией некоторого ее асимптотически орбитально устойчивого в области fi > ß* предельного цикла.

Автором разработаны алгоритмы и программы для решения задачи стабилизации цикла системы (39) с помощью (т+к+1)-мерной системы

У = F(y,n) + Z(y, t, ß)E(q - це), q = DQ{y,s,t,n) + ß(q-tui), (40)

s = CrQ(y, s,t,fi),

где s(t) — скалярная функция, y{t) € Rm, q(t) € Ж* — векторная функция, 1 < к < m, Dkxm и i?mxjt — постоянные матрицы, вектор e = (1,..., 1)т, С £ Iя — постоянный вектор, ß G R. Отображения

(¿(■у, в, t, ц) и Z(y, Ь, /л) определены следующим образом:

г(у^,1л) = ду/дх(0,1х), (41)

где ц) - решение системы (39) в момент I при условии х(Ь, у) = у. Так как матрица в (41) представляет собой производную от

решений системы (39) по начальным условиям, то = ^ ц))

есть решение неавтономного матричного ОДУ

¿(4)=Л(г(*1<|))г(«)1 2(0 ) = 1, (42)

где Л(г(4,^)) = ОхР(х(Ь, /¿)) - матрица Якоби на цикле. Для любой точки (у, Ь) £ Ет+1 матрица Z(y,t,^l) в (40) может быть вычислена как решение матричного неавтономного уравнения (42) в момент I, взятое вдоль траектории х^, ц) системы (39) такой, что — у.

Очевидно, для всех t и всех ц отображение ф(х*(£, у), Т(у), /х) =0. Следовательно, при любом ц (в частности, при ц > /л*) вектор и*(1, у) — = (х*^,{л),це,Т(у)) есть периодическое решение (цикл) расширенной системы (40). Достаточно выбрать в (40) матрицы управляющих параг метров Е и Б, вектор С и скаляр ¡3 так, чтобы цикл и*(1, ц) стал асимптотически орбитально устойчивым предельным циклом системы (40) в некоторой окрестности параметра ц* < ц < ц\. При этом вектор у(Ь), представляющий первые т координат решения и(£, /х) системы (40) с начальными условиями,

и(0,р) = (1,(0,/I), 9(0, ц), 5(0,/х))Т= («*(0, Л, /х'е, Т(//))Т,

будет стремиться к неустойчивому предельному циклу х*(Ь,ц) системы (39) при всех у £ [(!*, /4].

В отличие от предыдущих примеров стабилизации неподвижных точек, где управление осуществляется путем сдвига спектра матрицы Якоби в левую часть комплексной плоскости, при решении задачи стабилизации неустой- чивого цикла управление осуществляется путем сдвига всех показателей Флоке, кроме одного, равного нулю, в левую часть комплексной плоское- ти. Такая задача решается путем управления спектром мультипликаторов матрицы монодромии, линеаризованной на периодическом решений нелинейной системы дифференциальных уравнений. Автором разработан итерационный алгоритм, позволяющий привести спектр мультипликаторов в единичный крут комплексной плоскости, причем один из мультипликаторов остается равным +1. Эффективность разработанного комплекса программ показана в диссертации на примере стабилизации цикла в хаотической системе Рёсслера.

В разделе 5.1.4 приведено решение задачи локализации и стабилизации неустойчивого цикла в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом

В диссертации доказана справедливость следующего утверждения.

Утверждение 5.5. Метод аппроксимации уравнения (43) конечномерной системой ОДУ, предложенный в разделе 1.2, позволяет свести решение задачи стабилизации неустойчивого цикла для уравнения (43) к рассмотренному в разделе 5.1.3 случаю.

Решение задачи показано на примере уравнения Мэкки-Гласса (22).

В разделе 5.2 рассмотрена задача образования решений в виде бегущих уединенных волн в активных средах. Разработанная в диссертации методика исследования пространственно-временного динамического хаоса позволила установить, что кроме известного механизма образования решений в виде бегущей волны, основанного на особом расположении изоклин системы дифференциальных уравнений на фазовой плоскости, существует и другой механизм.

Для моделирования уединенных волн в осциллирующей среде использовано нестационарное уравнение Гинзбурга-Ландау (26) и предложенная Р. Дайслером с учетом переноса его модификация

где \¥(х,1) — и(х, £) + ги(х, I) - комплекснозначная функция, ц - вещественная, а а, /?, 7 - комплексные постоянные. Решение задачи выполнено в рамках автомодельного приближения путем введения автоволновой переменной £ = x — vot и преобразования уравнений (26) и (44) в системы ОДУ. Решение в виде петли сепаратрисы для нелинейных четырехмерных систем ОДУ искалось методом численного продолжения по параметру г»о устойчивых решений, существующих до образования гомоклинического контура. В работе показано, что образование петли сепаратрисы, отвечающей решению в виде бегущей волны в исходных уравнениях (26) и (44), можно рассматривать как предел последовательности устойчивых решений, сменяющих друг друга в результате субгармонического и гомоклинического каскадов бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, кратность периода которых по внешнему циклу определяется порядком Шарковского. В результате образуется петля сепаратрисы, представляющая собой топологическое произведение внутреннего цикла тора на гомоклинический контур этого цикла (рис. 7).

x{t) = f{x{t),x{t-T),ß).

(43)

Wt = aW- \iWx + ßWxx - 7|W\2W,

(44)

г

I

В диссертации на примере

Щ = ихх — \1 —и — ю(и - а), щ = е(ц + ги(и - &)),

показано, что данный механизм образования уединенных бегущих волн имеет место также в возбудимых средах с той разницей, что бифуркации имеют место не на двумерных торах, а на циклах.

При моделировании уединенных бегущих волн в осциллирующей среде установлено, что переход к динамическому хаосу в нелинейных дис-сипативных системах ОДУ через субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов имеет место уже в четырехмерных системах, т. е. в системах, минимальная размерность фазового пространства которых разрешает существование двумерных торов, представленных топологическим произведением предельного цикла на циклы удвоенного, утроенного и другой кратности периода.

В разделе 5.3 рассмотрена задача идентификации системы дифференциальных уравнений. Автором разработан метод, позволяющий восстановить параметры динамической системы по ее траектории.

Множество точек, определяющее отрезок траектории в пространстве К"1, задает некоторую кривую, которая может быть описана параметрически XI — где г = 1,2,..., т, к = 1,2, ...,п, п - множество значений независимой переменной I. Положим также, что случайные погрешности, с которыми заданы точки множества, не коррелированы и имеют нулевое математическое ожидание. Множество а^(^) определяет значения х& сеточных функций, заданных на сетке г = : к — 1,2,..., п}. Последние задают в фазовом пространстве Ет некоторую сеточную траекторию Аппроксимируем множество значений ж^ сеточной функции к(^) в фазовом пространстве Жт реше-

пнем x(t,9) системы дифференциальных уравнений

х = F{x, 0), х 6 Rm, 9 6 IT, (45)

на промежутке t 6 [0, tn] с начальным условием z(0) = хо, где б - вектор

параметров, р - размерность пространства параметров. Из множества

решений системы (45) выбирается решение x(t, в*), траектория которого

в фазовом пространстве К"1 наиболее близка к сеточной функции x(tk)

тп g

в смысле минимума функционала Ф(х, = (xik ~ $)) • Необ-

<=u=i

ходимое условие дФ(x,0)/3#j = 0, j — 1, ...,р, экстремума функционала равносильно системе из р уравнений

¿¿Ы - чМ) ■ Щг1 = 0, J = 1.....Р, (46) ¿=i к=1

нелинейных относительно вектора параметров в. Входящие в (46) функции U{j = dxi(tk,6)/ddj являются решением матричного линейного неоднородного дифференциального уравнения U = PU + Q с начальным условием U(0) = Отхр, где ОтХр — нулевая матрица, Ртхт = DxF(x,6) и Qmxp = DgF{x, в). Таким образом, все необходимые составляющие системы (46) определяются из решения системы

i = F(x,e°),

U = P°U(t,60) + Q0(x), У)

на отрезке t £ [0, f„] при указанных выше начальных условиях. Матрицы Р° и Q0 в (47) вычисляются при значении вектора в = (Р и х = x(t, 0°). Система нелинейных уравнений (46) решается итерационным методом.

Разработанный метод может применяться для идентификации систем дифференциальных уравнений, в нелинейном регрессионном анализе, для аппроксимации функций, временных рядов и для их прогноза. В диссертации приведены примеры применения этого метода для решения указанных задач.

В разделе 5.4 показано, что разработанная в диссертации методика численного исследования решений нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений со сложным хаотическим поведением применима также для исследования гамильтоновых хаотических систем, поскольку последние являются предельным случаем соответствующих диссипативных систем при уменьшении диссипации до нуля. В диссертации исследованы обобщенное уравнение Матье (24), которое при ц = 0 переходит в гамильтонову систему с полутора степенями свободы

Ё = У, У — + ecoswt)x — ах3, (48)

с гамильтонианом Н = [у2 + (5 + есози>Ь)х2)/2 + ах^/4 и уравнение Дюффинга-Холмса (23), которое при д = 0 переходит в гамильтонову систему с полутора степенями свободы

¿ — У, у = х — ах3 + е созо^, (49)

и с гамильтонианом Н — Но + еН\ = —х2/2 + у2/2 + ах4/А — ех соб шЬ.

В диссертации показано, что в системах (48) и (49) усложнение решений происходит через рождение двумерных торов вокруг циклов соответствующей нелинейной диссипативной системы и через бесконечный каскад бифуркаций рождения новых циклов.

Заключение

В диссертационной работе на основе выполненных автором исследований дано оригинальное решение крупной научной проблемы - установлен механизм образования динамического (в том числе и пространственно-временного) хаоса в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений.

Основные научные и практические результаты, полученные лично автором:

1. Разработана методика численного исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическими решениями, основанная на численном продолжении по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решений в фазовом пространстве с определением спектральных характеристик матриц монодромии и с нахождением гомоклинических и гетероклинических решений особых точек.

2. На основании численного исследования динамики спектра матрицы монодромии установлен механизм перехода к динамическому хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения с запаздывающим аргументом и системы уравнений в частных производных параболического типа; в основе указанного механизма лежит бифуркация рождения сингулярного цикла.

3. Исследовано образование хаотических решений в важных для приложений математической модели реакции Белоусова-Жаботинского и в нестационарном уравнении Гинзбурга-Ландау.

4. При исследовании хаотических систем дифференциальных уравнений в частных производных установлены каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных торов, представленных топологическим произведением циклов, кратность периода которых определяется порядком

Шарковского; показано, что образование пространственно-временного (диффузионного) хаоса и структура хаотических аттракторов в системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа зависят от вида краевой задачи.

5. Предложена классификация хаотических аттракторов в диссипа-тивных системах дифференциальных уравнений, основанная на характере и видах бифуркаций, приводящих к появлению хаотических режимов.

6. Установлена дискретная структура устойчивых решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, которая определяется спектром показателей Флоке, при этом появление хаотических решений в вещественной системе связано с бифуркацией рождения сингулярного цикла.

7. На основании проведенных исследований построена модель образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей активной среде; показано, что аналогичная модель может иметь место и в случае образования бегущих волн в возбудимой активной среде.

8. Решен ряд задач управления системами, находящимися в хаотическом режиме: стабилизация тривиального решения в системе уравнений с запаздывающим аргументом, стабилизация термодинамической ветви в системе уравнений вида "реакция-диффузия", стабилизация неустойчивого предельного цикла в ОДУ и в уравнении с запаздывающим аргументом.

9. Разработан метод идентификации систем дифференциальных уравнений, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогноза.

Основные результаты опубликованы в следующих работах: - монографии

[1] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новые методы хаотической динамики. - М.: УРСС, 2004. 320 с.

Автором на основе разработанной им методики проведено численное исследование хаотических систем нелинейных дифференциальных уравнений, включая дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, численно решены задачи стабилизации неустойчивых периодических решений, в том числе и в уравнениях с запаздывающим аргументом, задачи стабилизации тривиальных решений в уравнениях с частными производными, модернизирована макроэкономическая модель Магницкого, разработан метод идентификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

[2] Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics.-Singapurer World Scientific, 2006, 363 p.

К указанному выше автором решена проблема пространственно-временного (диффузионного) хаоса в системах дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа.

— публикации по перечню ВАК

[3] Сидоров C.B. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях// Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 11. - М.: Изд.-во ЛКИ, 2007, с. 78-84.

[4] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новый взгляд на аттрактор Лоренца// Дифференциальные уравнения. 2001, т. 37, №11, с. 1494-1506.

[5] Магницкий H.A., Сидоров C.B. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов// Дифференциальные уравнения. 2002, т. 38, №12, с. 1606-1610.

[6] Магницкий H.A., Сидоров C.B. О нахождении гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 2003, т. 39, №11, с. 1511-1520.

В работах [4] - [6] автором разработана и применена методика исследования, основанная на численном продолжении устойчивых решений дифференциальных уравнений по параметру, проведено численное исследование решений, созданы алгоритмы и комплекс программ нахождения гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек для ряда нелинейных систем ОДУ.

[7] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Актуальные проблемы хаотической динамики диссшхативных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 8. - М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 41-84.

В работе [7] автором проанализированы проблемы в хаотической динамике нелинейных систем с учетом уже полученных результатов, намечены пути решения ряда задач, в том числе проблемы диффузионного хаоса.

[8] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Особые точки типа ротор неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в образо-

вании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем// Дифференциальные уравнения. 2004, т. 40, №11, с. 1500-1514. В работе [8] автором разработаны алгоритмы и комплекс программ для исследования систем с особой точкой типа ротор, проведено численное исследование этих систем.

[9] Магницкий H.A., Сидоров C.B. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов: Численное исследование// Дифференциальные уравнения. 2005, т. 41, №11, с. 1550-1559.

В работе [9] автором разработаны программы и численно исследован диффузионный хаос на примере уравнения Курамото-Цузуки, обоснован механизм перехода к диффузионному хаосу, построена бифуркационная диаграмма решений.

[10] Сидоров C.B. Универсальность перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений// Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 9. - М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 51-87.

[11] Сидоров C.B. Диффузионный хаос в модели брюсселятора// Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 10. - М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 91-97.

[12] Сидоров C.B. Появление хаотических решений в модели Вольтерра-Гаузе// Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Труды ИСА РАН, т. 25, 2006, с. 217-221.

[13] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Динамический хаос в двумерных нелинейных неавтономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 2006, т. 42, №11, с. 1507-1514.

В работе [13] применена разработанная автором методика к исследованию неавтономных двумерных диссипативных систем дифференциальных уравнений, выполнены численные исследования.

[14] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Применение ФШМ-теории к анализу гамильтоновых систем// Дифференциальные уравнения. 2007, т. 42, №11, с. 1474-1479.

В работе [14] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования гамильтоновых систем, проведено числен-

ное исследование гамильтоновых систем с полутора степенями свободы, показана применимость разработанной технологии для исследования гамильтоновых систем.

[15] Сидоров C.B. О динамическом хаосе в решениях вида бегущие волны// Дифференциальные уравнения т. 44, №8, 2008, с. 1148-1149.

[16] Сидоров C.B. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Динамика неоднородных систем. Труды ЙСА РАН, Вып. 12. - М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 176-184.

[17] Евстигнеев Н.М., Магницкий H.A., Сидоров C.B. Новый подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой жидкости // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН, т. 33, вып. 12. - М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 49-65.

В работе [17] применена разработанная автором методика к исследованию турбулентности вязкой несжимаемой жидкости за уступом.

[18] Сидоров C.B. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование// Дифференциальные уравнения, т. 45, №2, 2009, с. 250-254.

- публикации в других изданиях:

[19] Магницкий H.A., Сидоров C.B. О переходе к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сб. статей / Под редакцией C.B. Емельянова, С.К. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 179-194.

В работе [19] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение, проведено численное исследование решений.

[20] Магницкий H.A., Сидоров C.B. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сб. статей / Под редакцией C.B. Емельянова, С.К. Коровина.

- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 243-263.

В работе [20] автор модифицировал макроэкономическую модель саморазвивающейся экономики, показал наличие хаотического поведения в решениях модели.

[21] Сидоров C.B. Аппроксимация кривых решением дифференциальных уравнений в искусственном фазовом пространстве. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 1 / РосЗИТЛП. М.: 2004, с. 168-178.

[22] Сидоров C.B. Исследование диффузионного хаоса. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 2 / РосЗИТЛП. М.: 2005, с. 151-165.

[23] Сидоров C.B. О механизме перехода к диффузионному хаосу. Первая Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии". 12-16 сент. 2005 г., Переславль-Залесский, Россия. С. 124-129.

[24] Сидоров C.B. О каскадах бифуркаций в нелинейных дифференциальных уравнениях параболического типа. Известия РАЕН: Дифференциальные уравнения, №11, 2006, с. 197-199.

[25] Магницкий H.A., Сидоров C.B. О некоторых новых подходах к решению проблемы диффузионного хаоса. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: Сб. статей/ Под ред. C.B. Емельянова, С.К. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, с. 109-124.

В работе [25] автором предложен метод исследования решений систем параболических уравнений в пространстве коэффициентов Фурье и в фазовом пространстве с использованием отображения Пуанкаре для исследования решений на двумерных инвариантных торах. Проведено сравнение результатов полученных решений с решениями маломодового приближения.

[26] Сидоров C.B. Некоторые свойства особой точки типа ротор. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вьш 3 / РосЗИТЛП. М.: 2007, с. 190-197.

[27] Сидоров C.B. Образование хаотических режимов в нелинейных химических системах. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 3 / РосЗИТЛП; М. 2007, с. 198-202.

[28] Сидоров C.B. О структуре решений в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии". 10-14 сент. 2007 г. Обнинск, Россия. С. 280-284.

Подписано в печать:

26.01.2009

Заказ № 1814 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 II5230, Москва, Варшавскоеш., 36 (499) 788-78-56 VAVw.autoreferat.ru

Введение.

Глава 1. Численные инструменты для моделирования и исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений.

1.1. Устойчивость численного интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими решениями

1.2. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

1.3. Решение систем параболических уравнений на отрезке.

1.3.1. Схема решения, ее устойчивость и погрешность аппроксимации.

1.3.2. Аппроксимация граничных условий для второй краевой задачи.

1.4. Приближенный метод нахождения гомоклинических и гетероклинических решений особых точек в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.4.1. Гетероклинические решения седло-узлов и седло-фокусов.

1.4.2. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса.

1.4.3. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла.

1.5. Другие численные инструменты.

1.6. Выводы.

Глава 2. Переход к хаосу в диссипативных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1. Система уравнений Лоренца.

2.1.1. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций

2.1.2. Сценарий рождения полного двойного гомоклинического аттрактора в системе Лоренца.

2.2. Другие системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.2.1. Системы уравнений Валлиса.

2.2.2. Системы уравнений Рёсслера.

2.2.3. Модель реакции Белоусова-Жаботинского.

2.2.4. Модель Вольтерра-Гаузе.

2.2.5. Система Чуа.

2.2.6. Система "Simple".

2.2.7. Система Рабиновича и Фабриканта.

2.2.8. Макроэкономическая модель Магницкого.

2.2.9. Пример Магницкого.

2.2.10. Система Рикитаки.

2.2.11. Комплексная система дифференциальных уравнений Лоренца

2.3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом

2.4. Неавтономные двумерные системы дифференциальных уравнений.

2.4.1. Уравнение Дюффинга-Холмса.

2.4.2. Уравнение Матье.

2.4.3. Система уравнений Крокета

2.4.4. Уравнение Краснощекова

2.5. Выводы.

Глава 3. Пространственно-временной динамический хаос.

3.1. Модель диффузионного хаоса в маломодовом приближении.

3.2. Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений.

3.2.1. Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье.

3.2.2. Переход к хаосу в фазовом пространстве уравнения Курамото-Цузуки.

3.3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора.

3.3.1. Первая краевая задача.

3.3.2. Вторая краевая задача.

3.4. Выводы.

Глава 4. Основы теории перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений

4.1. Динамика мультипликаторов в каскадах бифуркаций удвоения периода предельных циклов.

4.2. Свойства особой точки "ротор" в двумерных неавтономных системах.

4.3. Образование динамического хаоса в трехмерных диссипативных автономных системах дифференциальных уравнений.

4.4. Динамический хаос в многомерных системах. Универсальность механизма образования хаоса в диссипативных системах дифференциальных уравнений.

4.5. Структура решений. Классификация сингулярных хаотических аттракторов.

4.5.1. Структура решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений

4.5.2. Классификация сингулярных хаотических аттракторов

4.6. Выводы.

Глава 5. Применение теории динамического хаоса в математическом моделировании.

5.1. Локализация и стабилизация неустойчивых решений в хаотических динамических системах.

5.1.1. Стабилизация неустойчивых неподвижных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом

5.1.2. Стабилизация термодинамической ветви в системах дифференциальных уравнений вида реакция-диффузия.

5.1.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов хаотических систем обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1.4. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов в уравнениях с запаздывающим аргументом

5.2. Бегущие волны в активных средах и динамический хаос.

5.2.1. Бегущие волны в осциллирующей среде.

5.2.2. Бегущие волны в уравнении вида реакция-диффузия с переносом

5.2.3. Бегущие волны в возбудимой среде.

5.3. Идентификация динамической системы по траектории.

5.4. Численный подход к исследованию гамильтоновых систем.

5.5. Выводы.

Важной задачей математического моделирования является познание закономерностей окружающего нас мира, будь то естественные или технические науки, экономические, социальные или экологические системы.

Огромное место в математическом моделировании занимают дифференциальные уравнения, так как наибольшая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с приложениями в самых различных отраслях знаний, проходит через дифференциальные уравнения [4]. Хорошо известна, например, роль линейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании. Несмотря на то, что линейные уравнения по-прежнему широко применяются в математическом моделировании даже в фундаментальных науках, тем не менее все большее значение уделяется нелинейным математическим моделям и, в частности, нелинейным дифференциальным уравнениям. Интерес к применению нелинейных математических моделей совершенно закономерен и обусловлен нелинейностью нашего мира — природных явлений, экономических и социальных отношений, экологических связей и многих других процессов. Стремление к более адекватному описанию различных явлений и процессов в физике, химии, в технических науках, в биологии экономике и в других отраслях знаний неизбежно требует учитывать более глубокие и, как правило, нелинейные связи pi соотношения, что естественным образом находит отражение в использовании нелинейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.

Однако, в ходе все более широкого применения нелинейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании было установлено, что нелинейные системы дифференциальных уравнений часто обладают чрезвычайно сложным, хаотическим поведением решений. Причем выяснилось, что такое поведение никоим образом не исключение, а типичное свойство многих систем. Это явление, имеющее место даже в сравнительно простых нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью, получило название динамического (или детерминированного) хаоса. Проблема образования хаотических режимов в нелинейных системах дифференциальных уравнений актуальна в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, биологии, метеорологии, экономике, в социодинамике и в других областях научной и практической деятельности. Решение данной проблемы имеет большое значение как для правильной интерпретации результатов моделирования процессов и явлений, модели которых основаны на системах с хаотическими режимами, так и при использовании самих хаотических систем в моделировании сложных нерегулярных процессов, например, временных рядов, шума. Не менее актуальным является решение данной проблемы для использования нелинейных дифференциальных уравнений в системах управления, а также в задачах управления хаотическими системами.

Проблема перехода к хаосу является также одной из важнейших задач хаотической динамики — стремительно развивающейся области современной математики. Значительный вклад в решение этой задачи для консервативных и гамильтоновых систем дифференциальных уравнений связан с именами А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, В.В. Козлова [3, 5, 28, 29], проблема хаоса в диссипативных дискретных отображениях решена в рамках теории гиперболических систем Д.В. Аносова [2]. Интересные исследования, начатые С.П. Курдюмовым и А.А. Самарским [8] по стационарным диссипативным структурам, ведутся в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша.

В наименьшей степени проблема образования динамического хаоса оказалась разработанной для диссипативных нелинейных систем дифференциальных уравнений. Задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора, рассмотренного Р. Вильямсом, Дж. Гукенхеймером и Дж. Йорке [125, 150, 151], была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI столетия [99]. В связи с тем, что теоретические исследования за последние сорок лет не дали ощутимых результатов, для решения проблемы образования хаотических решений в диссертации принят подход, основанный на моделировании и численном исследовании хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.

Целью настоящей диссертационной работы является решение проблемы образования хаотических решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений с гладкой правой частью.

Для решения этой проблемы автором были сформулированы конкретные задачи.

1. Разработка методики численных исследований нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением для установления механизма перехода к динамическому хаосу в системах с непрерывным временем.

2. Разработка алгоритмов и оценка эффективности численных методов для решения нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и уравнений в частных производных.

3. Разработка численных методов, алгоритмов и программ для определения спектральных свойств матрицы монодромии.

4. Разработка численных методов, алгоритмов и программ для нахождения гомоклиничсских и гетероклинических решений особых точек в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Исследование механизма перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом и уравнениях в частных производных.

6. Исследование динамического хаоса в решениях вида бегущей уединенной волны с целью установления механизма образования бегущих волн в активных средах.

7. Обоснование и разработка методов и алгоритмов решения прикладных задач хаотической динамики: управление хаотическими системами, их идентификация и использование для аппроксимации и прогноза нерегулярных временных рядов.

Объектом диссертационного исследования являются диссипативные нелинейные системы дифференциальных уравнений с хаотическим поведением решений.

Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы теории бифуркаций, теории устойчивости дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа.

Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Разработанная автором методика численного исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением позволила установить каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, установить единый механизм перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения в частных производных параболического типа, установить механизм образования решений в виде бегущих волн в осциллирующеи активном среде.

Обоснованность выводов диссертации обеспечивается строгими доказательствами утверждений, приведенных в диссертации, обоснованными оценками погрешностей применяемых численных методов, а также публикациями статей в ведущих рецензируемых журналах в России и двух монографий, одна из которых издана за рубежом в издательстве Scientific World.

Автор выносит на защиту следующие научные положения:

1. Обоснована корректность использования численных методов интегрирования устойчивых периодических решений в хаотических системах и на этом основании разработана методика исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, которая включает: анализ динамической системы методами качественной теории дифференциальных уравнений; исследование поведения системы методом численного продолжения по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решений; численное определение спектральных характеристик матриц монодромии; исследование гомоклинических и гстсроклинических решений - сепаратрис особых точек систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. На основании численного исследования спектральных свойств матриц монодромии периодических решений установлен единый механизм перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения с запаздывающим аргументом и системы уравнений в частных производных параболического типа.

3. Предложена классификация хаотических аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, установлена структура устойчивых решений в нелинейных системах, которая определяется спектром показателей Флоке.

4. В рамках автомодельного приближения установлен новый механизм образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей среде. Показано, что аналогичный механизм имеет также место при образовании бегущих волн в возбудимой среде.

5. Решены задачи стабилизации неустойчивых предельных циклов в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и в уравнениях с запаздывающим аргументом, а также задачи стабилизации неустойчивых тривиальных решений в уравнениях с запаздывающим аргументом и термодинамической ветви в уравнениях с частными производными типа "реакция-диффузия". Разработаны алгоритмы и комплексы программ для их реализации.

6. Обоснован и разработан метод идентификации динамических систем, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогнозирования. Созданы алгоритмы и комплексы программ для реализации метода.

Практическая ценность работы заключается в том, что научные выводы и предложения по проблеме образования динамического пространственно-временного хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений носят общий характер. Поэтому доказанные утверждения, разработанные методы и алгоритмы могут широко использоваться в научных исследованиях по математическому моделированию сложных систем, в том числе систем с хаотическим поведением, а также при исследовании консервативных и гамильтоновых нелинейных систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности. Полученные в диссертации результаты могут служить основой для разработки методов управления хаотическими системами, методов аппроксимации временных рядов хаотическими системами, методов прогноза нерегулярных временных рядов.

Область применения результатов достаточно широка. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях, например, в теории дифференциальных уравнений, в хаотической динамике, в математическом моделировании, в частности, при идентификации динамических систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности, а также при решении ряда задач, имеющих прикладное значение: управление хаотическими системами, разработка методов аппроксимации и прогнозирования временных рядов.

Основное содержание диссертации изложено в 28 научных трудах, включая две монографии и 16 научных работ в центральных рецензируемых научных журналах по списку ВАК. Результаты диссертации также частично опубликованы в трудах всероссийских и международных конференций, в научных сборниках.

Основные результаты опубликованы в следующих работах: монографии

1. Магницкий II.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. - М.: УРСС, 2004. 320 с.

Автором на основе разработанной им методики проведено численное исследование хаотических систем нелинейных дифференциальных уравнений, включая дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, численно решены задачи стабилизации неустойчивых периодических решений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом, задачи стабилизации тривиальных решений в уравнениях с частными производными, модернизирована макроэкономическая модель Магницкого, разработан метод идентификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics.-Singapure: World Scientific, 2006, 363 p.

К указанному выше автором решена проблема пространственно-временного (диффузионного) хаоса в системах дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа. публикации по перечню ВАК

3. Сидоров С.В. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 11. - М.: Изд.-во ЛКИ, 2007. — с. 78-84.

4. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, №11, с. 1494-1506.

5. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, №12, с. 1606-1610.

6. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О нахождении гомоклиничсских и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, №11, с. 1511-1520.

В работах [4] - [6] автором разработана и применена методика исследования, основанная на численном продолжении устойчивых решений дифференциальных уравнений по параметру, проведено численное исследование решений, созданы алгоритмы и комплекс программ нахождения гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек для ряда нелинейных систем ОДУ.

7. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Актуальные проблемы хаотической динамики диссипативных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 8. - М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 41-84.

В работе [7] автором проанализированы проблемы в хаотической динамике нелинейных систем с учетом уже полученных результатов, намечены пути решения ряда задач, в том числе проблемы диффузионного хаоса.

8. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Особые точки типа ротор неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем. Дифференциальные уравнения, т. 40, №11, 2004, с. 1500-1514.

В работе [8] автором разработаны алгоритмы и комплекс программ для исследования систем с особой точкой типа ротор, проведено численное исследование этих систем.

9. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов: Численное исследование. Дифференциальные уравнения, т. 41, №11, 2005, с. 1550-1559.

В работе [9] автором разработаны программы и численно исследован диффузионный хаос на примере уравнения Курамото-Цузуки, обоснован механизм перехода к диффузионному хаосу, построена бифуркационная диаграмма решений.

10. Сидоров С.В. Универсальность перехода к хаосу в динамических -диссипативных системах дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 9. - М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 51-87.

11. Сидоров С.В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 10. - М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 91-97.

12. Сидоров С.В. Появление хаотических решений в модели Вольтер-ра-Гаузе. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Труды ИСА РАН, т. 25, 2006, с. 217-221.

13. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Динамический хаос в двумерных нелинейных неавтономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения т. 42, №11, 2006, с. 1507-1514.

В работе [13] автором применена разработанная им методика к исследованию неавтономных двумерных диссипативных систем дифференциальных уравнении, выполнены численные исследования.

14. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Применение ФШМ-теории к анализу гамильтоновых систем. Дифференциальные уравнения т. 42, №11, 2007, с. 1474-1479.

В работе [14] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования гамильтоновых систем, проведено численное исследование гамильтоновых систем с полутора степенями свободы, показана применимость разработанной технологии для исследования гамильтоновых систем.

15. Сидоров С.В. О динамическом хаосе в решениях вида бегущие волны. Дифференциальные уравнения т. 44, №8, 2008. с. 1148-1149.

16. Сидоров С.В. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем. Вып. 12. -М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 176-184.

17. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой жидкости // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем, т. 33, вып. 12. -М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 49-65.

В работе [17] применена разработанная автором методика к исследованию турбулентности вязкой несжимаемой жидкости за уступом.

18. Сидоров С.В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование. Дифференциальные уравнения т. 45, №2, 2009. с. 250-254. публикации в других изданиях:

19. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 179-194.

В работе [19] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение, проведено численное исследование решений.

20. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. // Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова и С.К. Коровина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 243-263.

В работе [20] автор модифицировал макроэкономическую модель саморазвивающейся экономики, показал наличие хаотического поведения в решениях модели.

21. Сидоров С.В. Аппроксимация кривых решением дифференциальных уравнений в искусственном фазовом пространстве. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 1./ РосЗИТЛП. М.: 2004, с. 168-178.

22. Сидоров С.В. Исследование диффузионного хаоса. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 2./ РосЗИТЛП. М.: 2005, с. 151 - 165.

23. Сидоров С.В. О механизме перехода к диффузионному хаосу. Первая Международная конференция " Системный анализ и информационные технологии". 12-16 сент. 2005 г. Переславль-Залесский, Россия. С. 124 - 129.

24. Сидоров С.В. О каскадах бифуркаций в нелинейных дифференциальных уравнениях параболического типа. Известия РАЕН: Дифференциальные уравнения, №11, 2006, с. 197-199.

25. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О некоторых новых подходах к решению проблемы диффузионного хаоса. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, с. 109-124.

В работе [25] автором предложен метод исследования решений систем параболических уравнений в пространстве коэффициентов Фурье и в фазовом пространстве с использованием отображения Пуанкаре для исследования решений на двумерных инвариантных торах. Проведено сравнение результатов полученных решений с решениями маломодового приближения.

26. Сидоров С.В. Некоторые свойства особой точки типа ротор. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. науч. трудов. Вып 3. / РосЗИТЛП. М.: 2007, с. 190 - 197.

27. Сидоров С.В. Образование хаотических режимов в нелинейных химических системах. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. науч. трудов. Вып. 3 / РосЗИТЛП; М. 2007, с. 198 - 202.

28. Сидоров С.В. О структуре решений в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии". 10-14 сент. 2007 г. Обнинск, Россия. С. 280-284.

Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список используемой литературы из 152 наименований, включает 122 рисунка

Основные результаты работы регулярно докладывались на руководимом академиком РАН С.К. Коровиным научном семинаре кафедры МГУ им. М.В. Ломоносова "Нелинейные динамические системы и процессы управления", на руководимом член-корреспондентом РАН Ю.С. Попковым научном семинаре Учреждения российской академии наук Институт системного анализа РАН, на объединенном семинаре кафедр физики и высшей математики ГОУ ВПО "Московский государственный горный университет", на научно-методических семинарах ГОУ ВПО "Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности", на семинаре кафедры теоретической физики ГОУ ВПО "Российский университет дружбы народов", а также на следующих международных и всероссийских конференциях:

1) Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование", Дубна, янв. 1998, Пущино, янв. 1999, Дубна, янв. 2000, Дубна, янв.

2006. 2) Международная конференция "Математика. Экономика. Образование", Ростов-на-Дону, май 2005. 3) Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, май 2000. 4) Международный симпозиум IFAC "Nonlinear control systems - NOLCOS'Ol", Saint Petersburg, Russia, jun. 2001. 5) Internationale Conference "Nonlinear World", Suzdal, jun. 2002. 6) International Conference on Differential and Functional Equations, Moscow, Russia, aug. 2002. 7) Первая международная научно-практическая конференция " Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления", Москва, июнь 2004. 8) Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии", Переславль-Залесский, сент. 2005 и Обнинск, сент. 2007. 9) Всероссийская конференция по качественной теории дифференциальных уравнений и ее приложениям, Рязань, окт. 2001 и сент. 2006. 10) Международная междисциплинарная конференция " Синергетика в естественных науках", Тверь, март

2007. 11) Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ", Санкт-Петербург, июль 2007. 12) Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", Москва, июнь 2008. 13) Международная конференция "Математическая теория систем" МТС-09, Москва, янв. 2009.

Заключение.

Поставленная в диссертационной работе цель — решение проблемы образования динамического, в том числе и пространственно-временного хаоса в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений решена автором на основе математического моделирования и численного исследования. Основные результаты, полученные автором при выполнении работы заключаются в следующем.

1. Доказана корректность применения численных методов для решения задач хаотической динамики. Разработана методика численного исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическими решениями, основанная на численном продолжении по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решений в фазовом пространстве с определением спектральных характеристик матриц монодромии и исследования гомоклинических и гетероклинических решений особых точек. Обоснованы погрешности применяемых, в том числе и оригинальных, численных методов.

2. На основании разработанной методики проведено численное исследование большого количества различных нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений, включая автономные и неавтономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с запаздывающим аргументом и системы дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. В частности, впервые исследовано образование хаотических решений в важных для приложений математической модели реакции Белоусова-Жаботинского и нестационарном уравнении Гинзбурга-Ландау.

Установлено, что во всех исследованных системах дифференциальных уравнений переход к хаосу происходит не в результате одномоментного разрушения регулярного решения под влиянием сколь угодно малых возмущений, а вследствие все большего усложнения решений в результате субгармонического (в смысле порядка Шарковского) и гомоклинического каскадов бифуркаций циклов (или двумерных инвариантных торов). Установленный механизм образования диффузионного хаоса, т.е. хаотических аттракторов в нелинейных системах дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия не требует привлечения дополнительной гипотезы о разрушении сколь угодно малыми возмущениями некого трехмерного тора с образованием странного аттрактора.

Отмечено, что образование пространственно-временного (диффузионного) хаоса и структура хаотических аттракторов в системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа зависят от вида краевой задачи.

Установлено, что все хаотические аттракторы: аттрактор Фейгенбаума, субгармонический и гомоклинический аттракторы образуются при некоторых критических значениях бифуркационного параметра, отвечающих завершению соответствующего каскада бифуркаций, и, следовательно, эти хаотические аттракторы не являются структурно устойчивыми образованиями.

3. На основании теории Флоке построена модель динамики мультипликаторов при эволюции вещественной динамической системы в пространстве параметров и численно установлены особенности спектра матрицы монодромии для каскада бифуркаций удвоения периода цикла. Показано, что в вещественной системе дифференциальных уравнений бифуркации удвоения периода цикла предшествует рождение устойчивого сингулярного цикла, который в отличие от регулярного, имеющего только комплексно сопряженные показатели Флоке, имеет пару показателей Флоке, в которой вещественные части различны, а мнимые отличаются на 2i:ik/T. В двумерной неавтономной системе такому циклу соответствует неподвижная особая точка ротор. Показано, что неавтономная двумерная нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с Т-периодической матрицей в особой точке ротор может иметь периодические решения с периодом, отличным от Т.

Теоретически показано, что образование динамического хаоса в автономных нелинейных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и в распределенных системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, где переход к хаотическому поведению осуществляется через каскады бифуркаций двумерных инвариантных торов, обусловлено только появлением сингулярного цикла.

4. Установлена дискретная структура устойчивых решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, которая определяется спектром показателей Флоке, при этом появление хаотических решений в вещественной системе связано с бифуркацией рождения сингулярного цикла.

5. Предложена классификация хаотических аттракторов в диссипативных системах дифференциальных уравнений, основанная на характере и видах бифуркаций, приводящих к появлению хаотических режимов.

6. На основании численных исследований построена модель образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей активной среде. В рамках автомодельного приближения показано, что образование гомоклинической петли сепаратрисы, расположенной на первичном цикле двумерного инвариантного тора, осуществляется через каскады бифуркаций вторичного цикла двумерного инвариантного тора, которые завершаются образованием гомоклинической петли сепаратрисы особой точки типа седло-фокус, принадлежащей первичному предельному циклу. Показано, что аналогичный механизм образования решений в виде бегущей волны имеет место и в случае возбудимой среды, где гомоклини-ческая петля сепаратрисы особой точки формируется как предел последовательности устойчивых циклов, образующихся в субгармоническом и гомоклиническом каскадах бифуркаций предельного сингулярного цикла в окрестности этой точки.

7. Решен ряд задач управления хаотическими системами: стабилизация тривиального решения в системе уравнений с запаздывающим аргументом, стабилизация термодинамической ветви в системе уравнений вида " реакция-диффузия", стабилизация неустойчивого предельного цикла в обыкновенных дифференциальных уравнениях и в уравнении с запаздывающим аргументом.

8. Разработан метод идентификации систем дифференциальных уравнений, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогноза.

1. Андронов А.А. Понтрягин JI. С. Грубые системы // Докл. АН СССР, 1937, 14, 247-251.

2. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.- Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 1967, №90, 210 с.

3. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи матем. наук, т. 18, 1963, вып. 5, с. 13 -40.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978, 304 с.

5. Арнольд В.И. Козлов В.В. Нейштадт А.И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 5-304.

6. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Самарский А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. Современные проблемы математики. Итоги науки и техники, т. 28. ВИНИТИ, 1986, с. 207-313.

7. Ахромеева Т.О., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Самарский А.А. Двухкомпонентные динамические системы в окрестности точки бифуркации. Математическое моделирование. М.: Наука, 1986, с. 7-59.

8. Ахромеева Т. С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.— М.: Наука, 1992, 541 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы.-М.: Наука, 1987, 630 с. хаотических и стохастических систем.— Саратов, 1999, 368 с.

10. Берже П., Помо И., Видалъ К. Порядок в хаосе.- М.: Меркурий Пресс, 2000, 366 с.

11. Былое Б. Ф.,Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова М.: 1966, 576 с.

12. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции,- М.: Мир, 1986, 250 с.

13. Гиббон Дж. Дисперсионные неустойчивости в нелинейных системах: вещественные и комплексные уравнения Лоренца // Синергетика. М.: Мир 1984, с. 164-179.

14. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Высш. шк. 2001.- 395 с.

15. Грибов А.Ф., Крищенко А.П. Аналитические условия существования гомоклинической петли в цепях Чуа. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с. 263-268.

16. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970, 534 с.

17. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.— М.: Наука, 1967, 472 с.

18. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О природе турбулентности в задаче движения жидкости за уступом.// Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, №1, с. 69-73.

19. Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой жидкости // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем, т. 33, вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 49-65.

20. Жаботинский А. М. Концентрационные колебания.— М.: Наука, 1974, 179 с.

21. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Ж. физ. химии. 1938. Т. 12. Вып. 1. С. 100-105.

22. Калошин Д. А., Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О некоторых особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца. Нелинейная динамика и управление. Вып. 3: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, с. 99-106.

23. Касьянов Г.И., Сидоров С.В. Определение кинетических параметров процесса при соэкстракции нескольких веществ. Доклады РАСХ, 2000, №3, с. 47-50.

24. Ким А.В., Пименов В.Г. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004. 256 с.

25. Князе в Е.А., Магницкий Н. А., Сидоров С.В. Стабилизация неустойчивых стационарных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом. Нелинейная динамика и управление. Сб. трудов ИСА РАН.- М.: Эдиториал УРСС, 1999, с. 133-141.

26. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1958, 474 с.

27. Колмогоров А.П., Петровский И.Г., Пискунов П.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Сек. А. 1937. Т. 1. Вып. 6. С. 1-26.

28. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР, т. 98, 1954, №4, с. 527 530.

29. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. В кн.: Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. (обзорные доклады). М.: Физматгиз, 1961, с. 187 208.

30. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959, 212 с.

31. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки. Странные аттракторы.- М.: Мир,1981, с. 164-192.

32. Куркина Е.С., Малых А.В. Исследование уединенных бегущих волн в одной четырех компонентной модели типа реакция-диффузия. Журн. выч. математики и мат. физики. 2001. Т. 41. №10. С. 1597-1609

33. Леонов Г.А. Об оценке параметров бифуркации пели сепаратрисы седла системы Лоренца // Дифференциальные уравнения, 1988, т. 24, №6, с. 972-977.

34. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения.— СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 2004. 144 с.

35. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Меркурий-ПРЕСС, 200, 528с.

36. Лоскутов А.Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику.- М.: Наука, 1990, 272 с.

37. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.- г. Череповец. Изд.-во Меркурий ПРЕСС, 2000, 386 с.

38. Магницкий Н.А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики. Тр. ВНИИСИ АН СССР, 1991, с. 16-22.

39. Магницкий Н.А. Бифуркация Хопфа в системе Рёсслера // Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, №3, с. 538-541.

40. Магницкий Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотических отображений.// Доклады РАН, т. 351, №2, 1996, с. 175-177.

41. Магницкий Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотических динамических систем.// Доклады РАН, т. 352, №5, 1997 с. 610-612.

42. Магницкий Н.А. О стабилизации неустойчивых циклов хаотических отображений.// Доклады РАН, т. 355, №6, 1997, с. 747-749.

43. Магницкий Н.А. О стабилизации неустойчивых предельных циклов двумерных динамических систем. Методы анализа нелинейных систем. М.: Диалог-МГУ, 1997, с. 84-87.

44. Магницкий Н.А. О природе хаотических аттракторов нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: Сборник статей

45. Под ред. Емельянова С.В., Коровина С.К- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, с. 37-58.

46. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Управление хаосом в нелинейных динамических системах.// Дифференциальные уравнения, т. 34, №11, 1998, с. 1051-1509.

47. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О некоторых подходах: к проблеме управления диффузионным хаосом // Дифференциальные уравнения, т. 35, №5, 1999, с. 664-669.

48. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Стабилизация неустойчивых периодических решений в уравнениях с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения, т. 36, №11, 2000, с. 1488-1492.

49. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Локализация и стабилизация неустойчивых решений хаотических динамических систем. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001, с. 217-246.

50. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. // Дифференциальные уравнения, т. 37, №11, 2001, с. 1494-1506.

51. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О некоторых мифах, связанных с возникновением аттрактора Лоренца. Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения, №5, 2001, с. 91-92.

52. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономики. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 243-262.

53. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Аттрактор Лоренца: мифы и реальность // International Conference "Nonlinear World", Suzdal, 24-29 jun. 2002.

54. Магницкий H.A., Сидоров С.В. Переход к хаосу в системе Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина,- М.: Физматлит, 2002, с. 179-194.

55. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов // Дифференциальные уравнения, т. 38, №. 12, 2002, с. 1606-1610.

56. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О нахождении гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, №11, с. 1511-1520.

57. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Особые точки типа ротор неавтономных систем дифференциальных уравнений и их роль в образовании сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем // Дифференциальные уравнения, т. 40, №. 11, 2004. с. 1500-1514.

58. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: УРСС, 2004, 320 с.

59. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Актуальные проблемы хаотической динамики диссипативных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 8. М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 41-84.

60. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О диффузионном хаосе в уравнении Курамото-Цузуки. XIII Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". 29 мая 5 июня 2005 г. Ростов-на-Дону, Россия. С. 50.

61. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О некоторых новых подходах к решению проблемы диффузионного хаоса. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. М.: Физматлит, 2005, с. 109-124.

62. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов: численное исследование // Дифференциальные уравнения, т. 41, №. 11, 2005, с. 1550 1559.

63. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Динамический хаос в двумерных нелинейных неавтономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения т. 42, №11, 2006, с. 1507-1514

64. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Применение ФШМ-теории к анализу гамильтоновых систем // Дифференциальные уравнения т. 42, №11, 2007, с. 1474-1479.

65. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 368 с.

66. Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. Под ред. Д.В. Трещева // Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 448 с.

67. Новиков М.Д., Павлов Б.М. Об одной нелинейной модели со сложной динамикой.//Вестник МГУ, сер. "Вычислительная математика и кибернетика", 2000, №2.

68. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том II. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. М.: Наука, 1972. 999 с.

69. Рабинович М.И., Фабрикант A.JI. // ЖЭТФ, 1979, т. 77, с. 617-629.

70. Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука. 1998. - 255 с.

71. Рюэлъ Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. Странные аттракторы М.: Мир, 1981, с. 117-151.

72. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.-М.: Наука, 1989, 430 с.

73. Самарский А.А. Теория разностных схем.— 3-е изд., испр.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— 616 с.

74. Сидоров С.В. Об одной модели саморазвивающейся экономики. Сложные управляемые системы:/ Межвузовский сборник научных трудов. М.: РосЗИТЛП. 1996. С. 148-151.

75. Сидоров С.В. Восстановление параметров динамической системы. Математика, компьютер, образование . V Междунар. конф., Дубна, 26-31 янв. 1998, с. 183.

76. Сидоров С.В. Об управлении устойчивостью стационарных решений в системе реакция диффузия.- VII Междунар. конф. "Математика Компьютер. Образование". Дубна, 24-29 янв. 2000. С. 297.

77. Сидоров С.В. Исследование диффузионного хаоса. // Новое в науке и производстве текстильной м легко промышленности: Сборник научных трудов/ Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности. М.: 2005, с. 151 165.

78. Сидоров С. В. Бифуркационная диаграмма для уравнения Курамото-Цузуки. ХШ Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". 29 мая — 5 июня 2005 г. Ростов-на-Дону, Россия. С. 54.

79. Сидоров С.В. Универсальный сценарий перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений.- XIII Междунар. конф. "Математика. Компьютер. Образование". Дубна, 23-28 янв. 2006. С. 28.

80. Сидоров С.В. О каскадах бифуркаций в нелинейных дифференциальных уравнениях параболического типа. Известия РАЕН: Дифференциальные уравнения, №11, 2006, с. 197-199.

81. Сидоров С.В. Универсальность перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений. Динамиканеоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 9. М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 51-87.

82. Сидоров С.В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 10. М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 91-97.

83. Сидоров С.В. Некоторые свойства особой точки типа ротор. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып 3. / РосЗИТЛП. М.: 2007, с. 190 197.

84. Сидоров С.В. Каскады бифуркаций решений в нелинейных дифференциальных уравнениях диффузионного типа. Нелинейный динамический анализ 2007. Тез. докладов международного конгресса, С-Петербург, 4-8 июня 2007. С. 242.

85. Сидоров С.В. Образование хаотических режимов в нелинейных химических системах. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 3 / РосЗИТЛП; М. 2007, с. 198 202.

86. Сидоров С.В. О структуре решений в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии". 10-14 сент. 2007 г. Обнинск, Россия. С. 280-284.

87. Сидоров С.В. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях // Динамика неоднородных систем / Труды ИСА РАН. Вып. 11. М.: Изд.-во ЛКИ, 2007. — с. 78-84.

88. Сидоров С.В. О динамическом хаосе в решениях вида бегущие волны// Дифференциальные уравнения т. 44, №8, 2008. с. 1148-1149.

89. Сидоров С.В. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. Вып. 12. М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 176-184.

90. Сидоров С.В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование. Дифференциальные уравнения т. 45, №2, 2009, с. 250-254.

91. Сидоров С.В. О переходе к решению в форме бегущей волны в осциллирующей среде. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", 17 22 июня 2008 г. Москва, Россия. С. 195.

92. Сидоров С.В., Сидоров С.С. О реконструкции динамической системы с хаотическим поведением. Математика, компьютер, образование . VII Междунар. конф., Дубна, 24-29 янв. 2000, с. 296.

93. Симо К. Эффективные вычисления в гамильтоновой механике. В кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: ИКИ, 2002, с. 10 40.

94. Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.— 560 с.

95. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. В кн.: Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: ИКИ, 2002, с. 280-303.

96. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. 564 с.

97. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976. 389 с.

98. Федоренко Р.П.Введение в вычислительную физику.- М.: Изд.-во Моск. физико-техн. ин.-та, 1994. 528 с.

99. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983, т. 141, вып. 2, с. 343-374.

100. Филд Р., Бургер М. Колебания и бегущие волны в химических системах. М.: Мир, 1988. 720 с.

101. Хаврусъ В. А., Фаркаш X., Стрижак П. Е. Условия появления слож-нопериодических и детерминированных хаотических режимов в нелинейных химических реакциях // Теорет. и эксперим. химия. -2002, т. 38, №5. С. 293-298.

102. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1970, 720 с.

103. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984. 421 с.

104. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла М.: Мир, 1985, 280 с.

105. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Глав. ред. физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1972., 720 с.

106. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.1-М.: Наука, 1985, 336 с.

107. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. Укр. мат. журн., 1964, №1, с. 61-71.

108. Шилъников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн.: Марс-ден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Добавления II М.: Мир, 1980, с. 317-335.

109. Шиманов С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием. Пятая летняя математическая школа. (Теория обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний), г. Ужгород, июнь-июль 1967 год. Киев: с. 473-549.

110. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. — М.: Мир, 1988, 240 с.

111. Элъсголъц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964, 128 с.

112. Berger, P., Pomeau, Y. and Vidal, С. (1984). L'ordre dans le chaos: Vers une approche deterministe de la turbulence, Paris: Hermann.

113. Brawn R., Rulkov N.F., and Tracy E.R. Modelling and synchronizing chaotic systems from time-series data. // Phys. Rev. E, 1994, v. 49, p. 3784.

114. Chen X. Lorenz equations. Part I: Existence and nonexistence of homo-clinic orbits 11 SIAM J. Math. Anal., 1996, v. 27, №4, p. 1057-1069.

115. Chua L. О., Komuro M. and Matsumoto T. The double scroll family.// IEEE Trans. Circuits and Syst. -1986.- V. 33(1,2).- P. 1073-1118.

116. Deissler R.J. Spatially growing waves, intermittency and convective chaos in an open-flow system. // Physica D. 1987.- V.25, №1-3. -P. 233-260.

117. Deissler R.J. Turbulent bursts, spots and slugs in a generalized Ginzburg-Landau equation. 11 Phys. Lett. A. 1987.- V.120, №7. -P. 334-340.

118. FitzHug R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophys. J. 1. 1961. P. 445-466.

119. Gause, G. F. The Struggle for Eristence (Williams and Wilkins, Balti-mor), 1935.

120. Ginous J.-M., Rosetto В., Jamet J.-L. Chaos in a three-dimensional Volterra-Gause model of predator-prey type. Intern. Journ. of Bifurcation and Chaos, v. 15, №. 5, 2005, pp. 1689-1708.

121. Guekenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz at-tractors//Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59-72.

122. Guekenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.- N.-Y.: Springer, 1983, 453 p.

123. Hung Yu-Fen, Sehreiber I., Ross J. New Reaction Mechanism for the Oscilatory Peroxidase Oxidase Reaction and Comparison with Experiments.// J. Phys. Chem. 1995. V.99, №7. P. 1980 - 1987.

124. Kuramoto Y. and Tsuzuki T. 1975 On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems.// Progr. Theor. Phys.- 1975.-V. 54(3).-P. 687-699.

125. Lefever R., Prigogine I. Symmetry-breaking instabilities in dissipative systems // J. Chem. Phys., 1968, 48, p. 1695-1700.

126. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci., 1963, v. 20. P. 130-141.

127. Mackey M. and Glass ^.Oscillations and chaos in physiological control systems // Sciense.- 1977.- V. 197.- P. 287-289.

128. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Nonlinear Dynamics on the Life and Social Science. IOS Press, NATO Science Series. Ser. A. Life Science, 2001, v. 320, pp. 33-44.

129. Magnitskii N.A., Sidorov S. V. On control of nonlinear chaotic 5th IFAC symposium "Nonlinear control systems NOLCOS'Ol",Saint-Petersburg, Russia, 2001. Dynamical systems.

130. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. On chaotic attractors in the Lorenz system./ / International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Abstracts, Moscow, Russia, August 11-17, 2002, p. 68-69.

131. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. Actuale Problem of Chaotic Dynamics in Dissipapive Systems of Nonlinear Ordinare Differention Equations // Dynamics of Nongenerous Systems, №7, 2003, pp. 5-43

132. Magnitskii N. A., Sidorov S. V. New Methods for Chaotic Dynamics.— Singapore: World Scientific, 2006, 363 p.

133. Manneville P., Pomeau Y. Intermittency and the Lorenz Model.- In: Symmetries and Broken Symmetries in Condensed Matter Physics, I.D.S.E.T. Paris, 1981.

134. Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. An active impulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE 50. 1962. P. 2061-2070.

135. Parlitz U. Estimating model parameters from times series by autosyn-chronization. // Phys. Rev. Lett. v. 76, 1996, p. 1232.

136. Robinson C. Dynamical Systems,2nd ed CRC Press, N.-Y., 1995.

137. Rossler О. E. An equation for continuous chaos.// Phys. Lett.-1976-A 57(5).- pp. 397-398.

138. Rychlik M. Lorenz attractors through a Shil'nikov-type bifurcation, Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821.

139. Shil'nikov L.P. Chua's circuit: rigorous results and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1994, v. 4, №3, p. 488-519.

140. Takens F. Detecting strange attractors on turbulence. Lecture notes in mathematics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokio. 1981. V. 898, pp. 336-381.

141. Tucker W. A rigorous ODE solver and Small's 14th problem// Found. Comput. Math., 2002, p. 53-117.

142. Turing A. On the chemical basic of morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1952, Ser. A, 237, p. 37-52.

143. Vallis G. K. A chaotic dynamical system// Science, 1986, v. 232, p. 243-245.

144. Vallis G.K. Conceptual models of El Nino // J. Geophys. Res., 1988, v. 93, p. 13979-13991.

145. Volterra, V. Variazioni e fluttuazioni del numero d'individui in speciean-imali conviventi. Mem. Acad. Lincei III 6, 1926, p. 31-113.

146. Williams R.F. The structure of the Lorenz attractors.//Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 321-347.

147. Yorke J.A. and Yorke E.O. Metastable chaos: the transition to sustained chaos oscillations in a madel of Lorenz// J. Stat. Phys., 1979, 21, p. 263-277.

148. Zimmerman M.G., Firle S.O., Natiello M.A. et al. Pulse bifurcation and transition to spacetemporal chaosin an excitable reaction-diffusion model // Physica D. 1997. V. 110. P. 290-299.