автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Об исследовании консервативно-диссипативного перехода в системах дифференциальных уравнений с хаотической динамикой

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи ООбОЬЭО'*

Рябков Олег Игоревич

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ КОНСЕРВАТИВНО-ДИССИПАТИВНОГО ПЕРЕХОДА В СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

2 9 НОЯ 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

005055879

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Магницкий Николай Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

кандидат физико-математических наук, доцент

Тихомиров Василий Васильевич

Сидоров Сергей Васильевич

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Защита состоится «12» декабря 2012 г. в 15:30 на заседании Диссертационного совета Д. 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан « У » ИуЯЛ2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор

Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из выдающихся достижений XX века было открытие в динамических системах явлений, принципиально невозможных без наличия в них нелинейности. Эти эффекты были найдены в совершенно различных естественных науках: физике, химии, биологии, экономике. Найденные системы характеризовались с одной стороны полной нерегулярностью поведения, наблюдаемой стохастичностью (например, турбулентность), а с другой - внезапно возникающими стабильными режимами (ячейки Бе-нара). Как правило общее во всех этих системах было только одно - нелинейные члены в уравнениях, описывающих процесс. Сложность математического исследования заключалась в том, что для нелинейных систем нет общих принципов выписывания аналитического решения. Удается это сделать обычно только в редких случаях. Это породило новые методы исследования подобных систем, такие как теория бифуркаций, линеаризация вблизи стационарных или периодических решений, геометрический подход. Последний наметил связь с топологией.

Хотя считается, что в технике любые автоколебания, вызванные нелинейностью, являются вредными и, следовательно, исследования достаточно вести лишь в тех областях фазового пространства и пространства параметров, где система ведет себя как линейная, существует множество природных процессов (атмосферные явления, тайфуны, процессы в организме человека и животных), в которых нелинейность является неустранимой и более того -существенной компонентой динамики. Исследование подобных явлений представляет научный и практический интерес, в то время как отсутствие общей теории мешает продвижению в соответствующих областях. К перечисленному можно добавить проблему управляемого термоядерного синтеза (УТС). Хотя в решении этой проблемы и был сделан существенный прогресс, она

еще далека от своего окончательного решения.

Между тем, нелинейная динамика породила массу чисто математических моделей, например, огромное число моделей с дискретным временем -различного рода отображений. Связь этих отображений с реальными динамическими системами, обычно представленными в виде дифференциальных уравнений не всегда ясна. К примеру, эндоморфизм Бернулли и автоморфизм Бернулли часто приводятся в пример, как отображения, обладающие свойством перемешивания. Однако оба эти отображения, вообще говоря, являются разрывными, в то время, как большинство фазовых потоков в дифференциальных уравнениях непрерывны и дифференцируемы. Теория отображений, сохраняющих меру, и их специфических свойств, таких как эргодичность и перемешивание, подразумевает наличие этой инвариантной меры и несомненно может быть привлечена для исследования консервативных фазовых потоков (отображение Чирикова или отображение Пуанкаре каких-либо консервативных дифференциальных уравнений), однако для диссипа-тивных систем, динамика которых заключается в стремлении траекторий к какому-либо регулярному аттрактору (например, циклу), представляется маловероятным наличие какой-либо нетривиальной инвариантной меры (хотя дискретная мера, сосредоточенная, например, в циклах системы, и будет инвариантной, особого интереса она, скорее всего, представлять не будет). Что же до консервативных систем, то их отображения как правило не будут обладать даже свойством эргодичности, если в системе будет присутствовать хотя бы один устойчивый цикл (достаточно рассмотреть его область устойчивости, которая представляет собой инвариантное множество ненулевой меры). Нисколько не умаляя значения достижений различных областей нелинейной динамики и теории динамических систем, приходится признать, что текущий уровень знания (хотя бы на идейном уровне) относительно процессов в более или менее реалистичных моделях нелинейной науки весьма низок, что делает

изучение и систематизацию данных о последних весьма актуальной темой.

К числу наиболее значимых вопросов нелинейной динамики можно отнести и задачи ламинарно-турбулентного перехода в гидродинамике и магнитогидродинамике (МГД), которые также затрагиваются в работе. Переход от регулярного ламинарного движения несжимаемой жидкости к нерегулярному турбулентному как правило сопровождается уменьшением рассеяния кинетической энергии, что можно рассматривать как своего рода консерва-тивно-диссипативный переход. Выбор МГД в качестве одной из моделей для изучения обусловлен желанием приблизиться к уже упоминавшейся выше задаче УТС.

Цель и задачи работы. Главным образом, цель работы состоит в изучении хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений с консервативно-диссипативным переходом. Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Численное и теоретическое изучение свойств полимодальных отображений - динамических систем с дискретным временем, являющихся обобщением т.н. унимодальных отображений, рассмотренных в работах Шарковского.

2. Проверка гипотезы о связи хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений и хаотической динамики полимодальных отображений на примере ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений с применением аппарата математического моделирования.

3. Применение к рассматриваемым в работе системам метода Роберта Гилл-мора и сопоставление получаемых этим методом результатов с выдвигаемыми в работе гипотезами.

4. Реализация в виде программных комплексов и тестирование численных схем решения начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

5. Математическое моделирование первых стадий ламинарно-турбулент-ного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

6. Совершенствование методов численного анализа систем дифференциальных уравнений, в частности метода стабилизации периодических решений.

Научная новизна. Основными новыми элементами в диссертации являются следующие.

1. Предложены сценарии перехода к хаосу в системах дифференциальных уравнений, являющиеся обобщением сценариев, предложенные ранее в работах Магницкого H.A.

2. Предложен единообразный подход к описанию хаоса в консервативных и диссипативных системах.

3. В работе расширен список исследованных с точки зрения бифуркационного анализа систем, в частности, впервые рассмотрены некоторые начально-краевые задачи для МГД течений (т.е. течений проводящих жидкостей и газов, таких как плазма), для чего построены схемы высокого порядка, способные разрешать нестационарные аттракторы в соответствующих системах дифференциальных уравнений.

4. Впервые получены некоторые строгие результаты относительно полимодальных отображений.

5. Сопоставлены различные подходы к описанию хаоса, в частности, подходы Магницкого H.A. и Роберта Гиллмора.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, символической и хаотической дина-

мики, численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего развития универсальной теории динамического хаоса в различных видах динамических систем, главным образом - в описываемых системами дифференциальных уравнений. В то же время сами по себе выявленные правила сосуществования траекторий могут быть использованы в численной процедуре поиска нестационарных аттракторов в том случае, если возникнет практическая необходимость в поиске подобных решений. Подобная необходимость может возникнуть, например, при решении задач, связанных с подавлением хаоса или контролем над хаосом и турбулентностью в реальных физических установках, или оптимизации каких-либо параметров нестационарных течений. В частности, задача течения проводящей жидкости в канале с расширением в присутствии поперечного магнитного поля может рассматриваться как модельное приближение задачи о течении в МГД-генераторе.

Стоит отметить, что в работе сделан особый акцент именно на поиске символической динамики в системах дифференциальных уравнений, т.е. на сопоставлении траекторий в непрерывных динамических системах и последовательностей символов. В некоторых биологических системах подобная связь становится особенно актуальной. Поэтому данное направление исследований может оказаться полезным и для понимания процессов обработки информации в биологических системах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и симпозиумах:

1. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, г.Звенигород, 17 сентября 2009 г.);

2. «Тихоновские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 25 октября 2010 г.)

3. Международный симпозиум «Rare Attractors and Nonlinear Dynamics'2011» (Латвия, г.Рига, 18 мая 2011 г.)

4. «Тихоновские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 14 июня 2011 г.)

5. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, р.Башкортостан, п.Абзаково, 21 августа 2011 г.)

6. «Ядро-2011», совместно с Евстигнеевым Н.М., доклад выполнил Евстигнеев Н.М. (Россия, г.Саров, 11 октября 2011 г.)

7. «Ломоносовские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 14 ноября 2011 г.)

8. «Ломоносовские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 16 апреля 2012 г.)

9. «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ)» (Россия, г. Новосибирск, 26-30 марта 2012 г.)

10. «Динамические системы и их применение» (Украина, г.Киев, Институт математики НАН, 17 мая 2012 г.)

11. «Теория и практика системного анализа (ТПСА-2012)» (Россия, г.Рыбинск, 18 мая 2012 г.)

12. Научный семинар кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия, г.Москва, 2006-2012 г.)

13. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова (Россия, г.Москва, 12 марта 2012 г.)

14. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова (Россия, г.Москва, 17 сентября 2012 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 199 страниц, включая 168 рисунков. Библиография включает 55 наименований на 6 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе затрагиваются некоторые теоретические вопросы. В первых двух разделах формулируются основные гипотезы относительно символической динамики в системах с хаотической динамикой при изменении уровня диссипации. Третий и четвертый разделы посвящены методу стабилизации периодических решений, который является вспомогательным инструментом исследования.

В разделе 1.1 сделана попытка последовательно изложить качественную теорию двух видов т.н. полимодальных отображений - динамических систем (ДС) с дискретным временем. Наиболее известными в данной обла-

сти являются результаты касающиеся т.н. унимодальных отображений и их свойств, а именно - результаты Фейгенбаума и Шарковского [1], в частности порядок Шарковского. Несмотря на некоторую элегантность теоремы Шарковского о порядке появления циклов в унимодальных отображениях, ее нельзя рассматривать как исчерпывающую даже для указанного класса отображений. Более полное представление дает подход, использующий символическую динамику. Результаты первой части данного раздела без доказательств и строгих формулировок изложены в статье [2]. Именно эта статья и послужила основой для результатов данного подраздела. Вторая часть содержит строгие формулировки для другого вида полимодальных отображений, введенного Хансеном [3].

Полимодальные отображения первого типа представляют собой одноша-говую ДС с дискретным временем xi+i = f(xi), где f(x) - произвольная непрерывная функция с п экстремумами в точках с\,... ,сп, и п+1 интервалом монотонности: /0.... ,/„. Для таких динамических систем нами вводятся некоторые вспомогательные понятия и функции: Si(x), равное номеру интервала монотонности, в который попадает i-ая итерация точки х под действием /; S(x) = si(x)s2(x)...- вся последовательность номеров интервалов монотонности, также называемая символической траекторией, функция r(S), принимающая вещественные значения в интервале [0,1], аргументом которой является символическая траектория S = S1S2 ■ ■ ■; функция т(х) вещественного аргумента, определяемая как т(х) — t(S(x)). Будем говорить, что функция / имеет тип (+-...), если на первом интервале монотонности она не убывает, на втором не возрастает и т.д. Наконец, самые важные понятия даются следующим определением:

Определение 1. Для данной ДС f определим следующие параметры (q = 1 ,...,п):

1. Gq = S{f{xCq)) назовем делящей траекторией системы f.

2. gq — r(f(xCq)) назовем топологическим параметром системы f.

На основании введенных понятий и вспомогательных утверждений формулируется следующая теорема:

Теорема 1. Рассмотрим ДС / (Ч—...) с набором топологических параметров 3i,52, ■■•,9п- Дополнительно потребуем, чтобы на первом и последнем лучах области определения (1о,1п) функция f бесконечно возрастала (или убывала, в зависимости от типа монотонности на соответсвующем интервале). Тогда в данной ДС траектория S = sis2---Sj... существует (существует хотя бы одна точка хо : S(xо) = Vq = 1,... ,n Vfc ^ 1 таких, что (sk = q - 1) V (sk = q) выполнено:

T(ak~S) < gq, если q - нечетное, T(akS) ^ gq, если q - четное

Второй тип полимодальных отображений был предложен Kai Т. Hansen. Рассмотрим набор из 2Ь (Ь-целое, Ъ > 0) унимодальных функций /с_ь...с_х(ж) типа (Н—), где в качестве индекса берутся всевозможные строки с-ь- ■ ■ длины b (b - целое, b ^ 0), составленные из символов 0,1. В нашем изложении мы дополнительно требуем, чтобы все функции имели экстремум в одной и той же точке хС1. Далее рассмотрим связанную с этой системой функций дискретную динамическую систему. В данном типе ДС, в отличие от полимодальных отображений первого типа, положение на шаге i + 1 определяется

не только положением на предыдущем шаге, но и некоторой предысторией:

xi+i =F(xi,Xi-i,.. .,Xi-b) = f

(1)

' fc-b...c-iixi)>если si(a;t-b) = с-ь, • • •, si(xi-i) = c_i

Для отображений этого типа аналогично вводятся функции в{(х), S(x), т(5), т(х) и параметры системы.

Определение 2. Для данной ДС F определим 2Ь параметров:

1- Gc^-c-i = S{F(xCl, с-1,..., с-ь), с-1,..., с_ь) назовем делящей траекторией системы F.

2. 9c.b-.c-i = r(F(xCl,c-1,.. •, с-ь), с_1,..., с-ь) назовем топологическиа параметром системы F.

Здесь в качестве индексов берутся всевозможные слова из Ь символов в алфавите {0,1}.

И формулируется аналогичная теорема:

Теорема 2. Рассмотрим ДС F. Потребуем, чтобы на I0(h) все функциг /... бесконечно возрастали (убывали). Тогда в данной ДС траектория S = s{s2 ...Si... с предысторией с_ь... c_i существует (существует хотя бъ одна точка x0:S(x0, с_ь ..., c-b)=S)<* Vfc ^ 1 выполнено:

T(<TkS,Sk-l,Sk-2, • • • , Sfc-b) < 9sk-bsfc-b+i-Sfc-i,

где мы считаем, что s0 = c_i, s_i = с_2 и т.д.

В разделе 1.2 изложен подход Гиллмора-Лефранка к изучению систем дифференциальных уравнений. Изложение основано на книге [4]. В этой книге Р. Гиллмор и М. Лефранк предлагают использовать циклы, содержащиеся в хаотическом аттракторе в неустойчивом виде, для классификации этих аттракторов и порождающих их фазовых потоков. Более точно, аттракторы классифицируются по двумерным многолистным поверхностям, на которых можно расположить все их асимптотические траектории, в том числе и все периодические решения. Такая поверхность, будучи точно определенной, дает практически исчерпывающую информацию о динамике системы. Например, она дает возможность закодировать все циклы системы символическими последовательностями, а для двух любых циклов она дает информацию об их взаимном расположении в фазовом пространстве с точностью до гомеоморфизма (т.е. построить символическую динамику). Эти поверхности называются «темплейт»(англ., шаблон) или «нотхолдер»(англ., держатель узлов). Также в разделе 1.2 формулируются основные положения гипотезы нашей работы относительно символической динамики в системах дифференциальных уравнений с хаосом, которые состоят в следующем:

1. Для каждой системы (с одним или несколькими параметрами принимающими значения из определенной области) существует некоторое базовое отображение (полимодальное отображение первого типа).

2. Количество участков монотонности в этом отображении совпадает с количеством листов в Гиллморовском темплейте этой системы (и соотвест-венно, количеством символов в алфавите символической динамики).

3. В зависимости от уровня диссипации правила сосуществования траектории совпадают с правилами сосуществования в полимодальных отображениях второго (точнее смешанного) типа, модальность которого по второму типу определяется уровнем диссипации. Существуют универ-

сальные правила, определяемые темплейтом.

В разделе 1.3 для метода стабилизации периодических решений в системах ОДУ с помощью сечения Пуанкаре доказано утверждение, гарантирующее, что локализованный с помощью этого метода цикл будет принадлежать исходной системе, рассмотрены некоторые вопросы стабилизации циклов в окрестности бифуркации «вилки». Метод стабилизации важен для применения методики Гиллмора.

В разделе 1.4 предложен подход к стабилизации в системах уравнений с частными производными. Подход основан на использовании полудискретной формы уравнения и последующего применения метода стабилизации для систем ОДУ. Работоспособность метода продемонстрирована на примере одномерной задачи для уравнения Курамото-Цузуки.

Во второй главе рассмотрены примеры систем обыкновенных дифференциальных уравнений (с размерностью фазового пространства не больше, чем четыре). Все системы исследованы численно, с помощью различных методов интегрирования (Рунге-Кутта 4-ого порядка аппроксимации, Дорман-Принс 5-ого и 8-ого порядков, как с процедурой контроля точности, так и без нее). Основная задача состояла в локализации периодических решений систем - циклов и построении бифуркационных диаграмм (диаграмм, оси которых соотвествуют различным параметрам системы, и на которых отмечаются области существования или устойчивости тех или иных решений системы - в

данном случае циклов).

В разделе 2.1 рассмотрена модельная двумерная неавтономная система дифференциальных уравнений с периодической правой частью, которая изначально была рассмотрена в [5]:

tii = {2(1 + (с + 2/х)(cost - 1))щ + (е + 2/x)(sini)u2 + и22, и2 = (б + 2/x)(sin t)u\ + (2(i -(е + 2/х)(1 + cos t))u2,

14

где и\,и2- фазовые переменные, t - время, е и ц - параметры системы.

Для системы (2) построена двумерная бифуркационная диаграмма в плоскости параметров, причем один из них - е, отвечает за уровень диссипации в системе.

1. При высокой диссипации в системе наблюдается полное соответствие с порядком в унимодальных отображениях.

2. При уменьшении диссипации унимодальный порядок нарушается, области устойчивости циклов пересекаются (т.е. наблюдается явление муль-тистабильности). В частности цикл периода три в консервативном случае появляется раньше первого удвоения основного цикла. Качественно бифуркационная диаграмма совпадает с той, что наблюдается в отображениях второго типа с более чем одной модой.

3. Символическая динамика (последовательности, назначенные найденным циклам системы уравнений) по методу Гиллмора в точности совпала с символической динамикой получающейся в случае использования гипотезы о связи динамики систем дифференциальных уравнений и отображений.

4. На примере этой системы были подробно сопоставлены Гиллморовский подход и гипотеза о связи символической динамики в дифференциальных уравнениях и полимодальных отображениях. Показано, что правила сосуществования даваемые Гиллморовским подходом полностью согласуются с правилами сосуществования в полимодальных отображениях. Более точно, правила сосуществования для полимодальных отображений типа Хансена любой модальности являются более сильными, чем правила по Гилмору. Этот результат является логичным, поскольку в нашей гипотезе увеличение модальности соответствующего системе отображения связано с уменьшением диссипации, а выводы из методи-

ки Гиллмора не связаны с тем или иным уровнем диссипации в системе. Этот результат продемонстрирован на рис. 1-3 и рис. 4. Для любой ячейки, где проставлено правило по Гиллмору, это правило имеется и для всех полимодальных отображений. Для обнаруженых циклов системы (2) продемонстрировано выполнение Гиллморовских правил при любом уровне диссипации.

Рис. 1. Правила следования циклов в отоб- Рис. 2. Правила следования циклов в отображениях (1) при Ь = 0 ражениях (1) при Ь = 1

Рис. 3. Правила следования циклов в отоб- Рис. 4. Правила следования циклов следую-ражениях (1) при b = 2 щие из методики Гиллмора

В разделе 2.2 рассмотрена система, в литературе обычно называемая «хаотическим маятником»:

х = у, у — —ay + sin х(—М — Р cos t) + Р cos х sint, (3)

16

где х, у - фазовые переменные, £ - время, а, М, Р - параметры системы.

Полученная двумерная бифуркационная диаграмма системы (3) интересна тем, что цикл периода три в консервативном случае появляется как и в дис-сипативном случае после каскада удвоений основного цикла, тем самым правила унимодального порядка не нарушаются. Этот пример демонстрирует, что не всегда в консервативном и слабо диссипативном случаях нарушаются те правила унимодального порядка, которых нет в Гиллморовском порядке.

В разделе 2.3 рассмотрена система, описывающая т.н. «космический маятник»:

± = у, у = —еу - кх-1 зт(27га;) + Ь, соз(ш^), (4)

где х, у - фазовые переменные, Ь - время, е, и>, к, I, к - параметры системы.

Для системы (4) также построена двумерная бифуркационная диаграмма консервативно-диссипативного перехода в плоскости параметров е, I. В системе обнаружены циклы, которых не может быть в унимодальном отображении (например, два цикла периода три). Для системы (4) удалось построить одномерное отображение в сильно диссипативном случае и показать, что оно трехмодальное. Удалось построить «корень» из отображения Пуанкаре, для полученного отображения в сильно диссипативном случае вновь было построено одномерное отображение, которые оказалось унимодальным, а бифуркационная диаграмма «корня» из отображения Пуанкаре оказалась устроенной аналогично диаграммам для систем с простым двулистным тем-плейтом, причем для связи периодов циклов были получены простые правила. Таким образом несоответствие базовому сценарию ФШМ (Фейгенба-ума-Шарковского-Магницкого) в данной системе было объяснено с помощью механизма полимодальности.

В разделе 2.4 рассмотрена система Янга-Миллса-Хиггса (5). Это консервативная гамильтонова система с двумя степенями свободы х, у, и консер-

вативно-диссипативный переход в ней не рассматривался. Тем не менее, она приведена как пример системы с крайне сложным Гиллморовским темплей-том, а также как пример системы, в которой темплейт меняется с изменением бифуркационного параметра а. При значении параметра а = 0.49 для этой системы был получен темплейт с 9 листами (что соответствует символической динамике с алфавитом из 9 символов).

х + ах + ху2 = 0, у + ау + ух2 = 0 (5)

В третьей главе рассмотрены примеры начально-краевых задач систем дифференциальных уравнений с частными производными. Все примеры относятся к гидродинамике и магнитогидродинамике (МГД).

В разделе 3.1 изучены начальные стадии перехода к турбулентности в двух близких задачах: двумерной задаче о гидродинамическом течении в каверне с движущейся крышкой, и задаче о двумерном МГД-течении в каверне с приложенным поперечным магнитным полем.

В первой задаче рассматривается течение вязкой несжимаемой нетеплопроводной жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса (см., например, [6]):

дь1 др 1 <94 . , „

~?гг + = ~ъ--п ^ 2» Для 1 ~ I-2!

дЬ 'дх) дхг Кедх?

дх_7

где по индексу] подразумевается суммирование от 1 до 2. Здесь V = (г?х,г?2) - вектор скорости течения жидкости, ар- давление.

Вторая задача - такое же течение, но с учетом электропроводности жидкости и в присутствии внешнего поперечного магнитного поля. Соответству-

ющая система уравнений для несжимаемой МГД [7]:

dvi дщ _ dp 1 д\ N db{

~dt + ЧЩ ~ "fal + Re fa? + Д ~ L '

dbi , dbi 1 дщ

"57 + = Ъ—Б—2 + > Д™ г = 1..2,

at Joxj Remdxj oxj ^

OXj

где В = (61,62) - вектор индукции магнитного поля.

Исследование нестационарных аттракторов как правило (см. [8]) требуют методов повышенного порядка. В использованной в работе схеме применялся явный метод Рунге-Кутта 3-ого порядка аппроксимации по времени. Диффузионный член аппроксимировался методом конечных разностей шестого порядка, конвективный член - методом WEN05 [9]. Решение уравнения Пуассона, а также аппроксимация градиента давления были выполнены методом конечных элементов, как было сделано в [8]. В этом методе значения скоростей и давления рассматриваются на разнесенных сетках, но не так, как это делается в случае «шахматной» сетки. Наиболее близкий метод описанный в литературе называется частичной «шахматностью» (partially staggered) с той лишь разницей, что в [8] крайние точки сетки для значений давления располагаются на границе расчетной области, и на давление необходимо поставить дополнительное (нефизическое) граничное условие. В случае твердой стенки в качестве такого условия обычно берется условие Неймана. В классическом варианте partially staggered на границу попадают точки сетки для скоростей, а граничное условие на давление фактически отсутствует.

Решение НКЗ для системы (7) производилось аналогичным проекционным методом (см. [9], [10]). Конвективная часть для переменных У и В аппроксимировалась совместно, путем перехода к характеристическим перемен-

ным. Также в схеме был реализован метод коррекции дивергенции магнитного поля, необходимый для устранения численного магнитного монополя. Данная процедура была реализована аналогично процедуре коррекции дивергенции давления, но для аппроксимации градиента давления и дивергенции поля В использовались центральные разности, а в качестве дискретного оператора Лапласа бралась композиция указанных дискретных операторов дивергенции и градиента. Для дискретизации по времени так же использовалась полностью явная схема Рунге-Кутта 3-его порядка аппроксимации.

Схемы для рассматриваемых НКЗ были реализованы для МР1-совмести-мых архитектур. Решение дискретного уравнения Пуассона проводилось двумя методами: итерационным с применением multilevel предобуславливателя (использовались некоторые библиотеки пакета trilinos) и методом быстрого преобразования Фурье (использовалась библиотека FFTW). Расчет проводился на кластере с 8 процессорами Intel Xeon и на вычислительном комплексе IBM BlueGene/P факультета ВМК МГУ. Размер расчетной сетки (192x192 и 256x256) не позволил применять метод Фурье на системе BlueGene (в силу очень большого минимального количества запускаемых MPI-процессов в данной архитектуре). В результате скорость расчета в системе BlueGene/P была всего в два раза больше, чем при использовании указанного кластера. Данный факт объясняется тем, что описанная задача (в силу своей двухмер-ности) является слишком маленькой для такой системы как BlueGene/P.

В первой задаче обнаружены начальные стадии сценария Ландау-Хопфа, вплоть до (предположительно) тора размерности три. На рисунке 5 показан двумерный тор в фазовом пространстве существующий в системе при значении числа Рейнольдса Re = 10300. Во второй задаче обнаружены каскады удвоений и одна бифуркация Андронова-Хопфа рождения тора, причем по всей видимости оба сценария развиваются параллельно. На рисунке 6 показан цикл относительного периода 4, существующий в системе при значении

числа Рейнольдса Яе — 2720.

Рис. 5. Проекция фазового пространства НКЗ системы (6) при Яе = 10300

Рис. 6. Проекция фазового пространства НКЗ системы (7) при Яе = 2720, Яет = 1000, N = 0,2

В заключении сформулированы основные результаты работы. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена формальная теория символической динамики полимодальных отображений двух типов, получены критерии существования траекторий с заданной символической последовательностью.

2. Выдвинута гипотеза о связи символической динамики систем дифференциальных уравнений с хаосом и символической динамики полимодальных отображений.

3. Проведено численное исследование некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подтверждающее выдвинутую гипотезу-

4. На тех же примерах продемонстрирована связь между методикой Гилл-мора и символической динамикой полимодальных отображений.

5. Реализованы в виде программных комплексов и протестированы численные схемы решения некоторых двумерных начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

6. Промоделированы первые стадии ламинарно-турбулентного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

7. Предложен метод стабилизации периодических решений начально-краевых задач.

Список основных публикаций автора по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК

1. Рябков О. И. Об исследовании седло-узловых бифуркаций и бифуркации вилки методом стабилизации Н. А. Магницкого // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № И. С. 1657-1661.

2. Рябков О. И. Исследование системы уравнений Янга-Миллса с помощью методики Гиллмора-Лефранка // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53, № 14. С. 46-62.

3. Рябков О. И. Исследование перехода к турбулентности в двумерной каверне с движущейся крышкой // Труды ИСА РАН. 2011. Т. 61, № 4. С. 39-44.

4. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Рябков О. И. Численное исследование перехода к турбулентности в задаче о двумерном течении вязкой сжимаг емой проводящей жидкости в канале с симметричным расширением // Труды ИСА РАН. 2012. Т. 62, № 1. С. 55-62.

5. Буров Д. А., Голицын Д. Л., Рябков О. И. Исследование перехода от дисси-пативного к консервативному состоянию в двумерных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 430-434.

Статьи в трудах российских и зарубежных конференций

1. Рябков О. И. Структура бифуркационных диаграмм двумерных нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической правой частью // Труды третьей международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». 2009.

2. Рябков О. И. Проблема расщепления сепаратрисы в гамильтоновой механике на примере системы Крокета // Труды четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». 2011.

3. Рябков О. И. О методе стабилизации периодических решений в системах уравнений с частными производными на примере системы Курамото-Цузу-ки // Труды второй всероссийской научной конференции «Теория и практика системного анализа». 2012.

4. Евстигнеев Н. М., Рябков О. И. О численном исследовании ламинарно-турбулентного перехода с использованием различных параллельных архитектур // Труды международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012». 2012.

5. Ryabkov О. I. On the Gilmore-Lefranc method application to the yang-mill-s-higgs system of ordinary differential equations // 2nd International Symposium Rare Attractors and Rare Phenomena in Nonlinear Dynamics RA'll Symposium Proceedings. 2011.

Цитированная литература

1. Шарковский A. H., Коляда С. Ф., Сивак А. Г. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989.

2. Hansen К. Т. Bifurcation structures for multimodal maps // Submitted to Experimental Math. 1997. URL: http://alf.nbi.dk/khansen/papers/ multimod.ps.gz.

3. Hansen К. Т., Cvitanovich P. Bifurcation structures in maps of Henon type // Nonlinearity. 1998. Vol. 11. Pp. 1233-1261.

4. Gilmore R., Lefranc M. The topology of chaos. Wiley-Interscience, 2002.

5. Магницкий H. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. Москва: Едиториал УРСС, 2004.

6. Ghia U., Ghia К. N., Shin Т. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and Multigrid Method // Journal of Computational Physics. 1982. Vol. 48. Pp. 387-411.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VIII. Электродинамика сплошных сред. Наука, 1982.

8. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О природе турбулентности в задаче движения жидкости за уступом // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 69—73.

9. Cheng-Chin W. A high order WENO finite difference scheme for incompressible fluids and magnetohydrodynamics // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2007. Vol. 101, no. 1. Pp. 37—61.

10. Mistrangelo C. Three-dimensional MHD flow in sudden expansions // Wissenschaftliche Berichte FZKA. 2006. Vol. 7201.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 02.11.2012 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 431.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8-495-939-3890. Тел./факс 8-495-939-3891.

Введение

Обзор литературы.

Глава 1. Теоретические подходы и методы исследования

1.1. Полимодальные отображения

1.2. Подход Гиллмора-Лефранка.

1.3. Стабилизация периодических решений в обыкновенных дифференциальных уравнениях

1.4. Стабилизация периодических решений в уравнениях с частными производными.

Глава 2. Численное исследование некоторых малоразмерных систем.

2.1. Модельная система.

2.2. Система Крокета («Хаотический маятник»).

2.3. «Космический маятник»

2.4. Система Янга-Миллса-Хиггса.

Глава 3. Численное исследование некоторых начально-краевых задач уравнений в частных производных.

3.1. Задачи о двумерных гидродинамическом и МГД течениях в каверне.

3.2. Задача о двумерном МГД течении в канале с расширением

Актуальность работы. Одним из выдающихся достижений XX века было открытие в динамических системах явлений, принципиально невозможных без наличия в них нелинейности. Эти эффекты были найдены в совершенно различных естественных науках: физике, химии, биологии, экономике. Найденные системы характеризовались с одной стороны полной нерегулярностью поведения, наблюдаемой стохастичностью (например, турбулентность), а с другой - внезапно возникающими стабильными режимами (ячейки Бе-нара). Как правило общее во всех этих системах было только одно - нелинейные члены в уравнениях, описывающих процесс. Сложность математического исследования заключалась в том, что для нелинейных систем нет общих принципов выписывания аналитического решения. Удается это сделать обычно только в редких случаях. Это породило новые методы исследования подобных систем, такие как теория бифуркаций, линеаризация вблизи стационарных или периодических решений, геометрический подход. Последний наметил связь с топологией.

Хотя считается, что в технике любые автоколебания, вызванные нелинейностью, являются вредными и, следовательно, исследования достаточно вести лишь в тех областях фазового пространства и пространства параметров, где система ведет себя как линейная, существует множество природных процессов (атмосферные явления, тайфуны, процессы в организме человека и животных), в которых нелинейность является неустранимой и более того -существенной компонентой динамики. Исследование подобных явлений представляет научный и практический интерес, в то время как отсутствие общей теории мешает продвижению в соответствующих областях. К перечисленному можно добавить проблему управляемого термоядерного синтеза (УТС). Хотя в решении этой проблемы и был сделан существенный прогресс, она еще далека от своего окончательного решения.

Между тем, нелинейная динамика породила массу чисто математических моделей, например, огромное число моделей с дискретным временем -различного рода отображений. Связь этих отображений с реальными динамическими системами, обычно представленными в виде дифференциальных уравнений не всегда ясна. К примеру, эндоморфизм Бернулли и автоморфизм Бернулли часто приводятся в пример, как отображения, обладающие свойством перемешивания. Однако оба эти отображения, вообще говоря, являются разрывными, в то время, как большинство фазовых потоков в дифференциальных уравнениях непрерывны и дифференцируемы. Теория отображений, сохраняющих меру, и их специфических свойств, таких как эргодичность и перемешивание, подразумевает наличие этой инвариантной меры и несомненно может быть привлечена для исследования консервативных фазовых потоков (отображение Чирикова или отображение Пуанкаре каких-либо консервативных дифференциальных уравнений), однако для диссипа-тивных систем, динамика которых заключается в стремлении траекторий к какому-либо регулярному аттрактору (например, циклу), представляется маловероятным наличие какой-либо нетривиальной инвариантной меры (хотя дискретная мера, сосредоточенная, например, в циклах системы, и будет инвариантной, особого интереса она, скорее всего, представлять не будет). Что же до консервативных систем, то их отображения как правило не будут обладать даже свойством эргодичности, если в системе будет присутствовать хотя бы один устойчивый цикл (достаточно рассмотреть его область устойчивости, которая представляет собой инвариантное множество ненулевой меры). Нисколько не умаляя значения достижений различных областей нелинейной динамики и теории динамических систем, приходится признать, что текущий уровень знания (хотя бы на идейном уровне) относительно процессов в более или менее реалистичных моделях нелинейной науки весьма низок, что делает изучение и систематизацию данных о последних весьма актуальной темой.

К числу наиболее значимых вопросов нелинейной динамики можно отнести и задачи ламинарно-турбулентного перехода в гидродинамике и магнитогидродинамике (МГД), которые также затрагиваются в работе. Переход от регулярного ламинарного движения несжимаемой жидкости к нерегулярному турбулентному как правило сопровождается уменьшением рассеяния кинетической энергии, что можно рассматривать как своего рода консервативно-диссипативный переход. Выбор МГД в качестве одной из моделей для изучения обусловлен желанием приблизиться к уже упоминавшейся выше задаче УТС.

Цель и задачи работы. Главным образом, цель работы состоит в изучении хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений с консервативно-диссипативным переходом. Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Численное и теоретическое изучение свойств полимодальных отображений - динамических систем с дискретным временем, являющихся обобщением т.н. унимодальных отображений, рассмотренных в работах Шарковского.

2. Проверка гипотезы о связи хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений и хаотической динамики полимодальных отображений на примере ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений с применением аппарата математического моделирования.

3. Применение к рассматриваемым в работе системам метода Роберта Гилл-мора и сопоставление получаемых этим методом результатов с выдвигаемыми в работе гипотезами.

4. Реализация в виде программных комплексов и тестирование численных схем решения начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

5. Математическое моделирование первых стадий ламинарно-турбулент-ного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

6. Совершенствование методов численного анализа систем дифференциальных уравнений, в частности метода стабилизации периодических решений.

Научная новизна. Основными новыми элементами в диссертации являются следующие.

1. Предложены сценарии перехода к хаосу в системах дифференциальных уравнений, являющиеся обобщением сценариев, предложенные ранее в работах Магницкого H.A.

2. Предложен единообразный подход к описанию хаоса в консервативных и диссипативных системах.

3. В работе расширен список исследованных с точки зрения бифуркационного анализа систем, в частности, впервые рассмотрены некоторые начально-краевые задачи для МГД течений (т.е. течений проводящих жидкостей и газов, таких как плазма), для чего построены схемы высокого порядка, способные разрешать нестационарные аттракторы в соответствующих системах дифференциальных уравнений.

4. Впервые получены некоторые строгие результаты относительно полимодальных отображений.

5. Сопоставлены различные подходы к описанию хаоса, в частности, подходы Магницкого H.A. и Роберта Гиллмора.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, символической и хаотической динамики, численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего развития универсальной теории динамического хаоса в различных видах динамических систем, главным образом - в описываемых системами дифференциальных уравнений. В то же время сами по себе выявленные правила сосуществования траекторий могут быть использованы в численной процедуре поиска нестационарных аттракторов в том случае, если возникнет практическая необходимость в поиске подобных решений. Подобная необходимость может возникнуть, например, при решении задач, связанных с подавлением хаоса или контролем над хаосом и турбулентностью в реальных физических установках, или оптимизации каких-либо параметров нестационарных течений. В частности, задача течения проводящей жидкости в канале с расширением в присутствии поперечного магнитного поля может рассматриваться как модельное приближение задачи о течении в МГД-генераторе.

Стоит отметить, что в работе сделан особый акцент именно на поиске символической динамики в системах дифференциальных уравнений, т.е. на сопоставлении траекторий в непрерывных динамических системах и последовательностей символов. В некоторых биологических системах подобная связь становится особенно актуальной. Поэтому данное направление исследований может оказаться полезным и для понимания процессов обработки информации в биологических системах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и симпозиумах:

1. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, г.Звенигород, 17 сентября 2009 г.);

2. «Тихоновские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 25 октября 2010 г.)

3. Международный симпозиум «Rare Attractors and Nonlinear Dynamics'2011» (Латвия, г.Рига, 18 мая 2011 г.)

4. «Тихоновские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 14 июня 2011 г.)

5. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, р.Башкортостан, п.Абзаково, 21 августа 2011 г.)

6. «Ядро-2011», совместно с Евстигнеевым Н.М., доклад выполнил Евстигнеев Н.М. (Россия, г.Саров, И октября 2011 г.)

7. «Ломоносовские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 14 ноября 2011 г.)

8. «Ломоносовские чтения» (Россия, г.Москва, МГУ, 16 апреля 2012 г.)

9. «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ)» (Россия, г. Новосибирск. 26-30 марта 2012 г.)

10. «Динамические системы и их применение» (Украина, г.Киев, Институт математики НАН, 17 мая 2012 г.)

11. «Теория и практика системного анализа (ТПСА-2012)» (Россия, г.Рыбинск, 18 мая 2012 г.)

12. Научный семинар кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова (Россия, г.Москва, 2006-2012 г.)

13. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова (Россия, г.Москва, 12 марта 2012 г.)

14. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова (Россия, г.Москва. 17 сентября 2012 г.)

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 199 страниц, включая 168 рисунков. Библиография включает 55 наименований на 6 страницах.

3.2.4. Выводы к разделу 3.2

Обнаруженный в рассматриваемой задаче бифуркационный сценарий для Я = 760 при уменьшении В от значения 0.5 укладывается в обобщенную схему ФШМ-сценария: появление в системе второй частоты (бифуркация Хопфа рождения устойчивого квазипериодического решения из периодического) , а затем - субгармонический каскад по одной из частот квазипериодического решения. Интересным представляется изучение поведения жидкости при все возрастающем значении индукции приложенного магнитного поля В, поскольку обнаружить устойчивое ламинарное течение не удалось. Возможно, это связано с некоторыми численными эффектами решения задачи. Как правило предполагается, что именно сильное внешнее магнитное поле в ряде технических устройств может быть использовано для подавления МГД турбулентности.

Важно указать, что двухмерная по пространству постановка задачи является гипотетическим, упрощенным случаем и не может являться точным описанием физических процессов, происходящих в МГД течениях. Полученные результаты могут быть использованы для нахождения метастабильных режимов в МГД течениях для данной геометрии в зависимости от интенсивности внешнего поля.

В качестве возможных вариантов для дальнейшего исследования в данном направлении можно назвать рассмотрение трехмерной задачи, моделирование каналов в реальных конструкциях МГД генераторов, а также моделирование макроскопической системы уравнений несжимаемой или сжимаемой МГД с целью сравнения бифуркационных сценариев при использовании различных подходов к описанию динамики жидкости и поля.

Заключение

В данной работе единообразно изложены качественные теории двух видов полимодальных отображений. Первый вид - обычные одномерные отображения с несколькими экстремумами, естественное обобщение унимодальных отображений, исследованных Фейгенбаумом и Шарковским. Второй вид был предложен Kai Т. Hansen для качественного объяснения хаоса в отображении Хенона. В основном результаты работы касаются символической динамики указанных динамических систем. Помимо этого для полимодальных отображений второго вида была предложена непрерывная одношаговая реализация отображения, что является важным при установлении взаимосвязи между отображениями и хаотической динамикой в системах дифференциальных уравнений. Данные результаты являются в некотором смысле обобщением результатов Фейгенбаума и Шарковского относительно унимодальных отображений.

Далее была продемонстрирована связь между динамикой полимодальных отображений и динамикой систем дифференциальных уравнений с хаосом. Показана согласованность данного подхода с результатами работ Гилл-мора и теорией ФШМ. Главным образом, эта согласованность заключается в совпадении символической динамики, получаемой при использовании методики Гиллмора с одной стороны и при применении гипотезы о соответствии символической динамики в отображениях и системах дифференциальных уравнений с другой стороны. Более точно, количество листов в гилломоровском шаблоне совпадает с количеством интервалов монотонности в отображении. Все гипотезы подтверждены рядом примеров численного анализа систем обыкновенных диффернециальных уравнений и начально-краевых задач некоторых уравнений в частных производных. Рассмотрены следующие системы: модельная система ОДУ, система Крокета («хаотический маятник»), «космический маятник», система Янга-Миллса-Хиггса. В качестве примеров начально-краевых задач были рассмотрены: гидродинамическое и МГД течения в двуммерной полости (каверне), двумерное МГД течение в симметрично расширяющемся канале. Для численного решения последней задачи с успехом был применен т.н. сеточный метод Больцмана. В работе впервые был проведен бифуркационный анализ систем уравнений, описывающих проводящие среды, такие как МГД и плазма.

Дополнительно рассмотрена задача стабилизации периодических решений в системах обыкновенных дифференциальных отображений и в начально-краевых задачах. Эта задача является крайне важной составной частью исследования, поскольку применение методики Гиллмора подразумевает локализацию большого числа периодических решений при одном и том же значении параметров, и как правило большинство из этих решений - неустойчивы. Для задачи стабилизации в ОДУ доказано утверждение о корректности процедуры, гарантирующее, что все найденные с помощью метода стабилизации циклы принадлежат исходной системе (отсутствие «ложных» циклов). Для стабилизации в системах уравнений с частными производными предложен метод, основанный на рассмотрении полудискретной системы и дальнейшей стабилизации решения в ОДУ. Теоретически вопрос корректности перехода к полудискретной системе поставлен не был, вместо этого был приведен пример работоспособности метода на конкретном примере. В отличие от предложенного ранее Дубровским метода, подход использованный в нашей работе является более универсальным, но с другой стороны, менее обоснованным.

Кратко приведем основные результаты:

1) Построена формальная теория символической динамики полимодальных отображений двух типов, получены критерии существования траекторий с заданной символической последовательностью.

2) Выдвинута гипотеза о связи символической динамики систем дифференциальных уравнений с хаосом и символической динамики полимодальных отображений.

3) Проведено численное исследование некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подтверждающее выдвинутую гипотезу

4) На тех же примерах продемонстрирована связь между методикой Гилл-мора и символической динамикой полимодальных отображений.

5) Реализованы в виде программных комплексов и протестированы численные схемы решения некоторых двумерных начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

6) Промоделированы первые стадии ламинарно-турбулентного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

7) Предложен метод стабилизации периодических решений начально-краевых задач.

В целом работу можно рассматривать как попытку построить некоторое обобщение ФШМ-сценария, предложенного H.A. Магницким в качестве универсального сценария перехода к хаосу в системах дифференциальных уравнений.

1. Рябков О. И. Об исследовании седло-узловых бифуркаций и бифуркации вилки методом стабилизации Н. А. Магницкого // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 11. С. 1657-1661.

2. Рябков О. И. Исследование системы уравнений Янга-Миллса с помощью методики Гиллмора-Лефранка // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53, № 14. С. 46-62.

3. Рябков О. И. Исследование перехода к турбулентности в двумерной каверне с движущейся крышкой // Труды ИСА РАН. 2011. Т. 61, № 4. С. 39-44.

4. Евстигнеев Н. М., Магницкий Н. А., Рябков О. И. Численное исследование перехода к турбулентности в задаче о двумерном течении вязкой сжимаемой проводящей жидкости в канале с симметричным расширением // Труды ИСА РАН. 2012. Т. 62, № 1. С. 55-62.

5. Буров Д. А., Голицын Д. Л., Рябков О. И. Исследование перехода от диссипативного к консервативному состоянию в двумерных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 430-434.

6. Рябков О. И. Структура бифуркационных диаграмм двумерных нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической правой частью // Труды третьей международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». 2009.

7. Рябков О. И. Проблема расщепления сепаратрисы в гамильтоновой механике на примере системы Крокета // Труды четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии». 2011.

8. Рябков О. И. О методе стабилизации периодических решений в системах уравнений с частными производными на примере системы Курамото-Цузуки // Труды второй всероссийской научной конференции «Теория и практика системного анализа». 2012.

9. Евстигнеев Н. М., Рябков О. И. О численном исследовании ламинарно-турбулентного перехода с использованием различных параллельных архитектур // Труды международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012». 2012.

10. Ryabkov О. I. On the Gilmore-Lefranc method application to the yang-mill-s-higgs system of ordinary differential equations // 2nd International Symposium Rare Attractors and Rare Phenomena in Nonlinear Dynamics RATI Symposium Proceedings. 2011.

11. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Москва: Наука, 1974.

12. Трещев Д. В. Гамильтонова механика. Москва: Лекционные курсы НОЦ, выпуск 4, 2006.

13. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. Москва: Мир, 1991.

14. Sterling D., Dullin Н. R. Homoclinic Bifurcations for the Henon Map // Physica D. 1999. Vol. 134, no. 2.

15. Магницкий H. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. Москва: Едиториал УРСС, 2004.

16. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. Москва: Мир, 1988.

17. Шарковский А. H., Коляда С. Ф., Сивак А. Г. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989.

18. Hansen К. Т. Bifurcation structures for multimodal maps // Submitted to Experimental Math. 1997. URL: http://alf .nbi .dk/khansen/papers/ multimod.ps. gz.

19. Hansen K. T., Cvitanovich P. Bifurcation structures in maps of Henon type // Nonlinearity. 1998. Vol. 11. Pp. 1233-1261.

20. Gilmore R., Lefranc M. The topology of chaos. Wiley-Interscience, 2002.

21. Евстигнеев H. M., Магницкий H. A. Нелинейная динамика в начально-краевой задаче течения жидкости с уступа для гидродинамического приближения уравнений Больцмана // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 12. С. 1794-1798.

22. Евстигнеев H. М., Магницкий Н. А. О возможных сценариях перехода к турбулентности в конвекции Рэлея Бенара // Доклады РАН. 2010. Т. 433, № 3. С. 318-322.

23. Евстигнеев H. М., Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О природе турбулентности в задаче движения жидкости за уступом // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 1. С. 69—73.

24. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Применение теории Фейгенбаума-Шар-ковского-Магницкого к анализу гамильтоновых систем // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1474-1479.

25. Sohos G., Bountis T., Polymilis H. Is the Hamiltonian H = (x2+ y2+ x2y2)/2 Completely Chaotic? // Nuovo Cimento. 1989. Vol. 104, no. 3.

26. Магницкий Н. А. Хаотическая динамика однородных полей Янга-Миллса с двумя степенями свободы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 12. С. 1698-1703.

27. Магницкий Н. А. Новый подход к анализу консервативных и гамиль-тоновых систем // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 12. С. 1618-1627.

28. Дернов А. В., Дубровский А. Д. О бифуркациях и аттракторах в маломо-довом приближении уравнения Курамото-Цузуки // Труды ИСА РАН. 2005. Т. 14.

29. Дубровский А. Д. Подход к стабилизации неустойчивых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 12. С. 1716-1722.

30. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва: Наука, 1967.

31. Корн Г., Торн Т. Справочник по математике. Москва: Наука, 1974.

32. Шилван Э. П., Закржевский М. В. Динамика космического маятника // Вестник научно-технического развития. 2010. Т. 1, № 29. С. 43-50.

33. Садовский М. В. Лекции по квантовой теории поля. Университет компьютерных исследований, 2003.

34. Матинян С. Г. Динамический хаос неабелевых калибровочных полей // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1985. Т. 16, № 3.

35. Hopf Е. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. Vol. 1. Pp. 303-322.

36. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности // Доклады Академии Наук СССР. 1944. Т. 44. С. 339-342.

37. Armfield S. W., Street R. Fractional step methods for the Navier-Stokes equations on non-staggered grids // ANZIAM Journal. 2000. Vol. 42. Pp. 134-156.

38. Ghia U., Ghia K. N., Shin T. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and Multigrid Method // Journal of Computational Physics. 1982. Vol. 48. Pp. 387-411.

39. Лотов К. В. Физика сплошных сред. Университет компьютерных исследований, 2002.

40. Mistrangelo С. Three-dimensional MHD flow in sudden expansions // Wissenschaftliche Berichte FZKA. 2006. Vol. 7201.

41. Куликовский А. Г., Погорелов H. В., Семёнов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. ФИЗ-МАТЛИТ, 2001.

42. Armfield S. W., Street R. Modified fractional-step methods for the Navier-Stokes equations // ANZIAM Journal. 2004. Vol. 45. Pp. 364-377.

43. Armfield S. W. Ellipticity, Accuracy, and Convergence of the Discrete Navier-Stokes Equations // J. Comput. Phys. 1994. Vol. 114. Pp. 176-184.

44. Rhie С. M., Chow W. L. A numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation // American Institute of Aeronautics And Astronautics. 1982. no. paper 82-0988.

45. Cheng-Chin W. A high order WENO finite difference scheme for incompressible fluids and magnetohydrodynamics // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2007. Vol. 101, no. 1. Pp. 37—61.

46. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. Наука, 1986.

47. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VIII. Электродинамика сплошных сред. Наука, 1982.

48. Succi S. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Clarendon Press, 2001.

49. Wagner A. J. A Practical Introduction to the Lattice Boltzmann Method. North Dakota State University: Fargo, 2008.

50. Евстигнеев H. M. Применение графического процессора для ускорения численного сеточного метода Больцмана с энтропийной стабилизацией // Труды ИСА РАН. 2010. Т. 53, № 14. С. 111-123.

51. Евстигнеев Н. М. О стабилизации сеточного метода Больцмана для высоких чисел Рейнольдса при моделировании турбулентного режима течения жидкости // Вестн. Моск. гос. обл. ун-та. Физика, математика. 2010. № 2. С. 53—62.

52. Nourgaliev R. R., Dinh Т. N., Theofanous Т. G. The Lattice Bolzmann Equation Method: Theoretical Interpretation, Numerics and Implications // International Journal of Multiphase Flow. 2003. Vol. 29, no. 1. Pp. 117-169.

53. Dellar. P. J. Lattice kinetic schemes for magnetohydrodynamics //J. Comput. Phys. 2002. Vol. 179. Pp. 95-126.

54. Sarrisy I. E. Large-eddy simulations of the turbulent Hartmann flow close to the transitional regime // Center for Turbulence Research. Proceedings of the Summer Program. 2006. Pp. 387-397.

55. Muller U., Buhler L. Magnetofluiddynamics in Channels and Containers. Springer, 2001.