автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование сложных параметрических колебаний гибких прямоугольных в плане пластин с нединаковыми вдоль стороны краевыми условиями

РГ6 Од

На правах рукописи

Вахлаева Татьяна Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ПЛАСТИН С НЕОДИНАКОВЫМИ ВДОЛЬ СТОРОНЫ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области механики)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2000

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете.

Научный руководитель-

доктор технических наук профессор В.А. Крысько

Официальные оппоненты:

доктор технических наук профессор И .Г. Овчинников

кандидат физико-математических наук доцент А.Г. Федорова

Ведущая организация-

Инстнтут проблем точной механики и управления РАН.

Защита состоится 28 июня 2000 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета 063.58.05 в Саратовском государственном техническом университете но адресу : 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, ауд.414.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГТУ.

Автореферат разослан " мая 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.СЛалетин

Общая характеристик работы

Актуальность темы. ;В современных технических отраслях, особенно в авиастроении, ракетостроении, судостроении, машиностроении, приборостроении и строительном деле в качестве основных элементов конструкций широко применяются пластины с неодинаковыми вдоль ¿тороны краевыми условиями. При проектировании машин или сооружений необходимо уметь предсказывать поведение системы, находящейся под действием динамической нагрузки. Выбрав параметры, при которых возникает хаотический режим, инженер лишается возможности предсказывать поведение системы. Инженерная мысль с понятиями хаотической динамики знакома очень давно. Хаос называли шумом, помехами или турбулентностью, а фактор неопределенности или фактор надежности использовались инженерами дая учета в проектах этих внешне случайных неизвестных 'величин, которые непременно возникали в каждом техническом устройстве. •

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и Непредсказуемости, зародившись несколько веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных и острых проблем естествознания. Однако широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры, названные И. Пригожиным диссипативными. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос. Большой прогресс в концепции временного д)шам и ческого хаоса достигнут в таких современных отраслях знаний, как физика плазмы, гидромеханика, электроника и радиофизика, в теории управления.

Проблема нелинейных колебаний изогнутой балки была обсуждена в нескольких статьях. Одна из первых работ, посвященных этой теме, была опубликована в 1971 году. Хаотические движения для вынужденно изогнутой балки также обсуждались Тангом и Давелом. Динамическая реакция упруго-пластических сплошных балок при коротких импульсных нагружениях была рассмотрена Лепиком в нескольких статьях. В этих статьях уравнения движения интегрировались конечно-разностным методом или методом Галеркина в третьем приближении. Было установлено «противоестественное» поведение и хаотическая реакция балок.

Для того, чтобы исследовать динамический продольный изгиб цилиндрических оболочек, было разработано несколько численных схем (например, статья Морино и соавторов). Приводятся некоторые численные примеры и обсуждаются возможности перехода системы в состояние временного хаоса.

В сети Интернет в разделе Bibliography on Stochastic Resonance американским исследователем Gaminaitioni сделана подборка статей по изучаемому направлению с 1980 по 1998 годы по следующим реферируемым журналам: Physics betters A; Physics Review Е; Optics Letters и др. Отмечается рост публикаций с 1996 г., в среднем в год публиковалось до 70 статей. На наш взгляд, это доказывает огромный интерес ученых к данной проблеме. В нелинейных задачах теории пластин, в случае решения многомерных уравнений, имеются лишь единичные публикации.

Сценарий перехода диссипативных систем при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки, таких, как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика, описан достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, К. Видаля; A.C. Дмитриева, В.Я. Кислова; Ю.И. Неймарка и П.С. Ланда; А. Лихтен-берга и К. Либермана и др. Задачи же теории пластин существенно отличаются от задач, приведенных в указанных книгах, т.к. здесь мы по сути дела имеем многомерные системы: две пространственные координаты и время, и приходится рассматривать колебание системы с бесконечным числом степеней свободы во времени.

Целью работы является применение математического моделирования и численных методов для исследования сложных колебаний консервативных и диссипативных систем в виде прямоугольных в плане гибких пластин с меняющимися вдоль контура краевыми условиями под действием продольных нагрузок, разработка единой методики численного решения уравнений нелинейных колебаний прямоугольных в плане изотропных пластин и последующего исследования получаемых решений с позиции качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана математическая модель, методика и алгоритм для численного исследования изотропных прямоугольных в плане пластин, подчиняющихся кинематической модели Кирхгофа;

- получены сценарии перехода в хаотическое состояние колебаний пластинок иод действием продольных знакопеременных нагрузок при изменении частоты и амплитуды вынуждающей силы;

- выявлены особенности сценария перехода в хаотическое состояние колебаний пластин под действием продольной нагрузки в зависимости от краевых условий;

- получена серия бифуркаций удвоения периода для колебаний квадратных пластин с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями при действии продольного удара импульсом бесконечной продолжительности по времени, численно получены константы Фейген-баума.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с решением ряда нелинейных задач теории пластин, полученных другими авторами, решением тестовых и модельных задач, проверкой сходимости в зависимости от количества точек разбиения по пространственным координатам и времени. Проводилось сопоставление результатов, полученных при решении задач методом конечных разностей с аппроксимацией 0(Л4) и 0(/г) . Достоверность результатов в динамической задаче в случае неодинаковых вдоль контура краевых условий подтверждается совпадением решения, полученного методом установления, с решением статической задачи при тех же краевых условиях. На защиту выносятся:

- новая математическая модель и новая методика исследования сложных колебаний прямоугольных в плане пластин при действии продольных нагрузок;

- результаты исследования нового класса задач колебаний прямоугольных в плане пластинок под действием продольного удара им-;,, пульсом бесконечной протяженности во времени (консервативные системы); " , . • _ • , ;

- результаты исследования колебаний прямоугольных в плане пластин*' при действии продольной знакопеременной, нагрузки в зависимости- от краевых условий, амплитуды и частоты вынуждающей силы, начальных условий (дпееппагивные системы). • ■

' ПрактнчсскаУ I;енность. Разработанный алгоритм позволяет решать широкий класс задач динамической устойчивости пластин с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями, находящихся под действием поперечного или продольного нагружения, а также исследовать явления пространственно-временного хаоса для множества управляющих параметров {Р0,(о, граничных-и начальных условий}. Алгоритм и программа расчета могут быть использованы для проектирования и расчета пластинчатых конструкций в различных технических отраслях.

Внедрение результатов. Результаты по данной работе внедрены на кафедре "Высшая математика" СГТУ, в ЗАО «Гео-Технология», ЗАО «Сигнал-Интелсистем» и в ЗАО «Алмаз-Фазотрон» при разработке библиотеки прикладных программ для расчета устойчивости гибких прямоугольных в плане пластин.

Апробация работы. Основные результаты докладывались:

- на XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997);

- на научно-практической конференции, посвященной 40-летию ВЦ СГУ (Саратов, 1997);

- на региональной научной конференции «Молодежь и наука на пороге XXI века» (Саратов, 1998);

5

- на Всероссийской молодежной школе-конференции по механике деформируемых тел (Казань, 1998);

- на научной конференции, посвященной 90-летию СГУ (Саратов, 1999);

- на научно-практической конференции механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2000);

- на научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета в 1996 - 2000 гг.

В целом, работа докладывалась: на научном семинаре «Численные методы расчета пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники, д.т.н. профессора В.А. Крысько (Саратов, 2000).

Публикации. По результатам исследования опубликовано семь работ, список которые приводится в конце автореферата.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и содержит страниц машинописного текста, рисунков^таблиц и библиографического списка, включающего SЯ наименований.

- Содержание диссертации

Во введении речь идет об актуальности проблематики и близких к теме диссертации исследованиях. Рассмотрены особенности нескольких моделей, описывающих переход механической системы к турбулентности. В настоящий момент известны следующие модели: Ландау, Рюэля-Тэкенса, Фейгенбаума, Помо-Манвиля, На основе обзора делается заключение об актуальности темы и ставятся задачи исследования. Кратко изложены основные результаты работы по главам.

Первая глава посвящена постановке и методу решения задачи, описывающей поведение изотропных пластин при действии продольной нагрузки, и состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе приведены основные соотношения и уравнения теории гибких тонких пластин, полученные на базе модели Кир-гофа, описывающие динамическое поведение пластин, находящихся под действием продольной нагрузки. Обычным образом приведенные к безразмерному виду, уравнения движения Theodora von Kärmäna, записанные в смешанной форме относительно функции прогиба и (л\ у, г) вдоль координаты z, которая направлена к центру земли, и функции усилий F(x, у, 0 , имеют вид

дг\\> dw 1 Г72172 т/ d &w

— +£__ =--—V V w +Дуу.Т7)- Р—~ + q,

dt1 д\ 12(1 -у2) дх

V2V2F = -^L(W,W). (i)

где ц , Рх - поперечная и продольная нагрузка соответственно, с - коэффициент демпфирования среды, у - коэффициент Пуассона (у = 0.3).

В реальных пластиночных конструкциях можно встретить различные типы опор, характер закрепления которых приводит к многообразию математических моделей граничных условий. Выпишем для области {0 < х,у<\] те краевые условия, которые будут использованы в работе, при х = 0; 1 (х <-» у):

1) шарнирное опирание на гибкие нерастяжимые в касательной

плоскости ребра

= —= ^ =-^ = 0, {¿)

дхг дх2

2) подвижная заделка с опиранием на гибкие нерастяжимые в касательной плоскости ребра

дх дх

Кроме краевых условий (2), (3), в работе рассматриваются также их различные комбинации не только вдоль всего контура, но и вдоль каждой стороны. В работе Крысько В.А., Вахлаевой Л.Ф. получены условия согласования граничных условий в углах и точках смены краевых условий вдоль стороны контура. Для краевых условий (2) ,(3) функции прогиба условие согласования имеет вид

^0. (4)

дх ду

Начальные условия были приняты такими, чтобы они удовлетворяли граничным условиям (2) и (3):

( 1 1(=0

Для выбора начальных условий в случае неодинаковых вдоль контура краевых условий предлагается новый подход: методом установления решается задача при заданных краевых условиях под действием малой поперечной нагрузки и р. = (£кр,- значение величины

коэффициента демпфирования среды, при котором функция прогиба выходит на стационар за малый промежуток времени) . Величина нагрузки q выбирается такой, чтобы значение прогиба в центре было меньше 0.001. Полученное поле прогибов принимается за начальное состояние при исследовании нелинейных колебаний и неодинаковых вдоль контура краевых условиях под действием продольной нагрузки Рх и ¿р0.

Во втором параграфе для решения динамической системы уравнений (1) разработан алгоритм, основанный на методе конечных раз-

ностей с последующим применением метода Рунге-Кутга четвертого ; порядка. Производные по пространственным переменным аппроксимируются конечно-разностными соотношениями порядка 0(Л4), что позволяет свести систему уравнений в частных производных (1)-(5) к системе линейных алгебраических уравнений относительно функции Р (7) и системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно прогиба ы (6). Система (7) на каждом шаге по времени решается методом верхней релаксации или методом Гаусса ( в зависимости от исследуемой задачи), а система (6) - методом Рунге-Кутга 4-го порядка.

£/2Н\у сЛУ.у (61

СО

(8)

cil2 ch

где разностные операторы имеют следующий вид:

+ L гЩ-jL 7Fa -2L : гWUL > xFij9

y У л у Л' y y x y У

£,(»;,•) = -A,!

Z),^) = 12(1-r2)//, (/=:),

Граничные условия vw = 0, = 0 при x = l в разностном виде

âx2

для законтурных узлов (/+1, j), (i + 2,j) имеют вид "741,/ =-1-[-6н7-1,у +4wi-2J + »7-3,; ]

»7+2,7 = ^ 80 wi-ki ~ 75u7-2,7 +16HV_ v]

Аналогично можно расписать граничное условие w = 0, --- = 0 при

ôx

х=1 в разностном виде

wt+2j =[l 20 vv,_,j - 45«/i_2iy + 8tv,_3j ]

Таким же образом записываются граничные условия для функции усилий Р. Применим единообразную форму записи законтурных узлов в виде

= ~ [аги1Л] ~аз^;-2,у

^1+2,/ = ](1[а4 + + «гМ-З,;}

где коэффициенты «,•(/ = !,б) принимают вполне определенные значения в зависимости от типа краевых условий. Такая запись краевых условий позволяет решать краевые задачи не только типа (2) (3), но и с различными комбинациями краевых условий вдоль контура. В этом случае к системе разностных уравнений добавляются соответствующие условия согласования. Точки, в которых происходит смена типа краевых условий, всегда расположены в узлах сетки.

В третьем параграфе данной работы обсуждается обоснованность выбора алгоритма решения. При решении начально-краевых задач для уравнений математической, физики разностным методом возникает проблема выбора того или иного порядка аппроксимации разностной схемы. При решении задачи разностным методом порядок аппроксимации по времени дифференциального уравнения и начальных условий второй. Его можно повысить до четвертого, если применить метод прямых и для решения системы дифференциально-разностных уравнений использовать метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В этом случае начальное условие = Ф^х,})) задается точно. Аппроксимация по пространственным координатам х и у выбрана порядка 0{ Ш4), т.к она позволяет использовать более крупную сетку для достижения требуемой точности, что приводит к значительному понижению порядка системы дифференциально-разностных уравнений, а это особенно важно при решении многомерных задач. Это подтверждают исследования, проведенные для различных уравнений гиперболического типа, а именно, уравнений колебаний струны, колебаний мембраны, колебаний пластин. Исследования проводились на различных модельных задачах. В результате был сделан вывод, что оптимальным является метод прямых с применением аппроксимации по пространственным координатам 0( \МА) и метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

При решении систем линейных разностных уравнений большого порядка, матрица которых имеет много нулевых элементов, возникает задача выбора алгоритма. Естественно выбирать тот метод, для которого время решения минимально по сравнению с другими методами. При теоретических оценках качества алгоритмов их сравнение проводится по числу £>(¿0 ) арифметических действий, достаточных для на-

хождения решения задачи с заданной точностью . Подучили, что для решения системы разностных уравнений большого порядка целесообразно применять итерационный метод верхней релаксации, который является более эффективным и экономичным, чем метод Гаусса в случае рассмотрения всей области пластинки.

Выбор шага h по пространственным координатам и шаг т по времени в методе Рунге-Кутта осуществляется по правилу Рунге. В результате экспериментов был выбран шаг h= 1/8 и г =0.00025. Учитывая тот факт, что при шаге по времени г =0.00025 значения функции усилий на предыдущем временном слое являются хорошим начальным приближением в итерационном методе для следующего слоя, то итерационный параметр га практически может быть взят равным единице, т.е. может бЫ+ь ибпользова^метод Зейделя.

В четвёртом параграфе проводится исследование достоверности получаемых результатов. Достоверность результатов обеспечивается сравнением с решением'ряда нелинейных задач теории пластин, полученных другими авторами, решением тестовых и модельных задач, проверкой сходимости в зависимости от количества точек разбиения по пространственным координатам. Проводилось сопоставление результатов, полученных при решении задач методом конечных разностей с аппроксимацией 0(h4) и 0{1г). Достоверность результатов в динамической задаче с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями подтверждается совпадением решения, полученного методом установления, с решением статических задач при тех же краевых условиях.

Во второй главе, состоящей из шести параграфов, исследуются колебания по симметричной и несимметричйой формам квадратной пластинки (Я-a/b-l) из изотропного материала с краевьши условиями.(2).. или (3) вдоль всего контура. Для рассматриваемых задач получен, р1\енарнй перехода в состояние хаоса колебании квадратной пластинки из. изотропного материала при действии продольной нагрузки Рх = Р0 sin tú. t,.

, Для определения тонкой структуры многочастотных и стохастических колебаний и анализа механизмов перехода между различными колебательными режимами недостаточно изучения какой-то одной характеристики колебаний. Решение этой задачи требует привлечения совокупности различных характеристик, таких, как реализация колебательного процесса во всех точках плана разбиения пластинки, фазовые и модальные портреты, быстрое преобразование Фурье (БПФ), спектр мощности, отображение и псевдоотображение Пуанкаре,

wm{t) = \\w(x;y,t)ds, wcp(t) {wcp=(w¿H¡n + w¿Hf!)/2\ бифуркационные

■у

диаграммы методов исследования механизмов перехода к пространст-

венному хаосу и т.д. Зависимость wc!>(t) позволяет выявить характер

колебания пластинки, т.е. происходит ли колебание пластинки относительно первоначального положительного вывернутого положения равновесия, или колебание происходит в режиме хлопок-выхлоп.

В первом параграфе рассматривается сценарий перехода в хаотическое состояние колебаний пластинки с краевыми условиями (2) вдоль всего контура под действием продольной нагрузки Рх - Рп sin со I при изменении {Ро, со}. Значения со выбирались из интервала [4.72, 6.72]. Рассматривается 1/4 области пластинки, изучаются симметричные относительно осей Ох и Оу решения, т.е на решение накладываются дополнительные условия симметрии. В начальных условиях (5) <р\ (х,у)= sinTrxsiriл^у, A-consf, <р %(.х,у) = 0.

Множество {/о} дает возможность установить интервалы амплитуды вынуждающей силы, при которой колебания пластинки имеют общие черты, и которые можно классифицировать как интервалы I-устойчиврго неподвижного состояния равновесия; II- периодических и квазипериодических колебаний; III - предкризиса; IV - кризиса;У-послекризиса; VI- установившихся послекризисных колебаний; VII -предхаоса; VIII- хаоса. Результаты исследований приведены на обобщенном графике: ^(^o)- (Р»с 1.)

Остановимся более подробно на особенностях каждого из интервалов Ро. На интервале II (Рое [3.5, 7.25)) происходит первая-бифуркация, пластинка совершает колебания вокруг нового равновесного состояния. Для Ро=3.5 после которого начинаются колебания в установившемся режиме, является максимальным. С увеличением Ро на интервале [3.5,7.25) уменьшается (рис.1). На указанном интервале

Р0 колебания на временном интервале /е[0,100] происходят на двух частотах сог и со17, причём имеет место явление внутренней синхронизации, так третья частота соЪ2 --2 тп.

Для интервала предкризиса (III) характерен переход от двухчас-тотных к трсхчастотным колебаниям, причём переход из двухчастот-ных колебаний к трёхчастотным происходит при Р0-7,25 скачком, и характер колебаний существенно меняется. Известно, что три частоты- это минимальное количество частот, когда возможно возникновение хаоса. Здесь мы имеем следующие три частоты: о>2, о>п и , причём

со2 и (о17 присутствуют и в предыдущем интервале Р0, что свидетельствует о преемственности характера колебаний. Так же, как и в предыдущем интервале, происходит внутренняя синхронизация на й)п=2 о)п; кроме того, имеется ещё третья частота гот,, на-которой также происходит явление внутренней синхронизации. Кроме того, появились новые частоты, зависимые от со7н и ю,7: сои = а2Н ~ соп и сом = га28 + со17. Из вышесказанного следует, что число частот существенно увеличилось, но основную роль играют три частоты (ог, со[Т и согх. В пссвдоотображенни Пуанкаре - образование странного аттрактора. В фазовом портрете наблюдается пересечение сепаратрис. Анализ модальных портретов и поверхностей изгибания пластинки указывает на существенное усложнение поверхностей изгибания. Модальные портреты для х = у — 0.25 существенно расширились, в верхнем предельном (положительном) состоянии колебания образовались петли. Колебания не симметричны относительно положения равновесия. Изменяется тангенс угла наклона касательной к прогибу в точке = = 0.25. В сечении фазового портрета плоскостью через период вынуждающей силы появляется странный аттрактор, что также свидетельствует о начавшейся хаотизации колебании пластинки.

Понятие кризиса (IV) было введено Гребоджи. Основные особенности колебаний в данном интервале механической системы (рис.2):

1. В обязательном порядке состояние хаоса наблюдается на всём рассматриваемом временном интервале / е[0,100], но присутствуют и окна квазипериодических колебаний. В рассматриваемой задаче мы наблюдаем два окна квазипериодических колебаний, которые изображены на рис. 1 светлыми частями. Это говорит о существовании явления перемежаемости. Модальный и фазовый портреты в окнах квазипериодических колебаний имеют вид, аналогичный предкризисному состоянию.

2. Колебания в состоянии кризиса происходят на трёх или четырёх независимых частотах, а, как известно, три независимые частоты - это

то минимальное количество частот, при которых возможно появление хаотических колебаний.

ьо_100

х=у=0.25

К, (»•)

х=у=0.5

Ф

сечение н>г (м) х=у=0.25

л.-

-2 0 0 0

сечение >^(и') х=у=0.5

-4 0 0 0

УУ( (н') / мо-. х=у=0.5

1=46Я!

...../

1=71.1

Рис.2

3. В сечении фазового и модального портретов появляется странный аттрактор.

4. Модальные портреты п г(н) для л' = > =0.25 и для других точек плана пластинки существенно расширяются и появляется большое количество самых разнообразных петел, но все они расположены вдоль диагонали графика и\(н')- О сложности картины изгибания говорят поверхности, приведённые для / = 46,81 и /=71,1.

5. Кризис - явление перестройки механической системы, которая в конечном итоге должна перейти в состояние хаоса. Но величина интервала параметров Рп, при котором система находится в состоянии кризиса, существенно зависит от многих параметров: частоты вынуждающей нагрузки, граничных и начальных условий, симметричной или несимметричной формы колебаний.

6. На рассматриваемом интервале времени происходит непрерывная смена знака прогиба, вокруг которого происходит колебание системы, и лишь в зонах квазипериодических колебаний эта величина (и^) является постоянной с положительным или отрицательным знаком .

На интервале Р0 е(8,5; 10,25] пластинка совершает колебания в режиме послекризиса. Данное определение вводится нами, как узкая зона, окружающая кризисное состояние механической системы. Падает число независимых частот, на которых происходят колебания пла-

стинки. Здесь мы имеем 3 частоты, причём на гаи происходит внутренняя синхронизация: <а2(! =3 ю,,; ©4| =5&>п . Уже для установившихся колебаний мы наблюдаем двухчастотные колебания. Время начального возмущенного состояния, которое приводит к квазипериодическим колебаниям, резко сокращается и по величине равно времени возмущения, предкризисного состояния. Фазовый портрет существенно изменяется, при установившихся колебаниях мы наблюдаем три почти круговых петли, этр связано с ростом амплитуд высших гармоник, что подтверждает БПФ и спектр мощности. Колебания совершаются симметричнее относительно состояния равновесия^ которым; является нулевое райновесное положение, т.е. происходит явление хлопка-выхлопа . В максимальном положении в модальном портрете имеется одна ярко выраженная петля, которая свидетельствует о существенном изменении прогиба в этой точке плана пластинки. В зависимости (н) также наблюдается образование симметричных петель. ;

Предкризис и послекризис-это, по сути дела, есть интервалы окрестности, кризиса, в которых колебание пластинки перестраивается в кризисное состояние и в состояние вновь установившихся 2-3-частот-ных колебаний соответственно.

Установившиеся послекризисиые колебания - Рц е (10,25; 18,9]. Эти колебания по своим свойствам очень близки к колебаниям послекрк-зисного состояния. Фазовые и модальные портреты близки к предыдущему состоянию, но в модальном портрете петли в своих предельных состояниях существенно увеличились.

Р0 е(18,9;20]-- состояние предхаоса (VII). Происходит существенная перестройка колебаний пластинки. Резко возрастает число независимых

частот. Наблюдается внутрен-

еннхронизация,, <у.

17'

Рис.3

няя

й>32=2й>п, й>н=Зд>17. , Точки псевдоотображения Пуанкаре образуют угол в 45" с осью . Фазовый портрет и модальный имеют ярко ¡выраженные замкнутые подобласти. Колебания существенно усложняются, и наблюдается ряд бифуркаций, т.е. происходит с определенной зависимостью смена равновесных состояний. Поверхности изгибания пластинки носят уже хаотический характер. С ам-

плитуды возмущения Pt) > 20 колебания пластинки переходят в хаотическое состояние. Спектр мощности - сплошной пьедестал. В БПФ. наблюдается большое число независимых частот. На рис 3. представлено изменение интервалов Ро в зависимости от частоты т.

Во втором параграфе рассматриваются несимметричные колебания квадратных в плане (Л = I) изотропных пластинок при продольных односторонних периодических нагрузках. Краевые условия (2) полностью симметричны. По пространственным координатам рассматривалась вся сеточная область пластинки Са , т.е дополнительное условие симметрии относительно осей Ох и Оу не накладывалось. Такой подход даёт возможность получить всё многообразие имеющихся решений исходных дифференциальных уравнений как симметричных, так и несимметричных. Исследуется сценарий перехода детерминированной диссипативной механической системы в состояние сложного хаотического движения при изменении {/ц,«}. Частоты вынуждающей продольной силы: Рх ~ Рп sin rot выбирались из множества {4,72;6,72}. Остановимся более подробно на особенностях сценария перехода в хаотическое состояние колебаний пластинки. Состояние 1 и II полностью совпадает по своим количественным характеристикам, что и для симметричной формы колебаний, причём в состоянии II пластинка колеблется по симметричной форме. В состоянии Ш - состоянии прсдкризи-са, колебания происходят на 3-6 частотах. В фазовом портрете имеется уже три петли и в сечении фазового портрета три отдельно стоящие точки, характерные для квазипериодических колебаний. Рхли рассматривать сечение фазового портрета На: 7 е[0,100], то здесь появляется странный аттрактор. В сечении модального портрета наблюдается большое количество беспорядочно расположенных точек. Модальный портрет представляет собой серию замыкающих кривых, что характеризует сложный характер пространственных колебаний пластинки. Особенностью состояния IV - кризиса является то, что колебания чередуются как по симметричной, так и по несимметричной формам. В начальный момент времени колебания происходят по симметричной форме и переходят к несимметричным. В режиме кризиса как в случае симметричных, так и несимметричных колебаний поверхности изгибания носят чрезвычайно сложный ;характер. В окнах квазипериодических колебаний движение пластинки происходит относительно различных положений равновесия. Наблюдается серия пространственных бифуркаций, т.е. частая смена величины и знака прогиба равновесного состояния, относительно которого происходят колебания. В состоянии V (послекризис), колебания происходят в режиме «хлопок-выхлоп». Странные аттракторы разрушаются. В сечениях фазового и модального портретов имеются 2 или 4 точки. Следует отметить, что величина Ро, при которой колебания пластинки переходят в состояние хаоса, в

случае, когда рассматривается вся область, в два раза меньше, чем в случае когда рассматриваются решения симметричные относительно осей Ох и Оу.

В третьем параграфе исследуются колебания пластинки с граничными условиями (3). В начальных условиях (5) г/о) =

2 7 ~

А бш тгхБт я у, А-сот1, <р 2=0. Сеточная область С>. рассматривалась полностью, не использовались условия симметрии. Анализ основных характеристик позволяет сделать вывод, что начиная с /}, £16, механическая система находится в состоянии хаоса, причём происходит переход системы из симметричной формы колебаний в несимметричную, наблюдается целая серия таких переходов. Более подробно рассмотрим интервал Р0 е [] 8,95; 19,25]. В данном интервале параметров Р0 наблюдается явление срыва колебательного peжимaJ который в свою очередь приводит к режиму изменения пространственно временной конфигурации динамического состояния пластинки: стоячим и бегущим волнам. Колебания пластинки до наступления срыва колебательного режима находится в состоянии хаоса. Здесь мы наблюдаем явление изгибных бегущих волн, в конечном итоге переходящие в стоячую волну, после чего происходит срыв колебательного движения на новый уровень прогиба в центре пластинки. Наблюдается разрыв в фазовых и модальных портретах. Объёмные фазовые и модальные портреты и их проекции на трн плоскости показывают, чго здесь мы имеем явление хаоса, на это указывает и спектр мощности, который представляет собой сплошной пьедестал. Но разрушение стоячих волн, начиная с * =10,04; Р0 = 19, не происходит, а наблюдается организация совершенно нового типа стоячей волны, которая изображена на рис. 4 при I =20. Этот тип волны совершенно не изменяегся с течением времени и практически остаётся одним и тем же для I е(10,04; 100}. Это даёт нам право утверждать, что в состоянии хаоса для I е(10,04; 100] организуется новый порядок, называемый стоячими волнами (солитонами).

Рис 4.

В четвертом параграфе исследуется сценарий перехода в хаотическое состояние колебаний пластинки с краевыми условиями (3) вдоль

всего контура под действием продольной нагрузки Рх = Р„ sin го I при изменении Ро. Изучаются симметричные относительно осей Ох и Оу решения.

В пятом параграфе проводится исследование влияния на сложные колебания пластинок величины начальной амплитуды возмущения А и коэффициента демпфирования е, Краевые условия (2) вдоль всего контура. В начальных условиях (5) <Р\{х,у)= Asmnxúnny, A-const ; V г(х,у) = 0 •

В шестом параграфе описываются особенности поведения фермы Мизеса с прощелкиванием при действии динамических нагрузок. Показывается все многообразие симметричных и несимметричных форм колебаний.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, изучается переход в хаотическое состояние колебаний пластинок с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями, как при действии продольного удара импульсом бесконечной продолжительности по времени Рх - /д. = const, так и под действием Рх - Р„sin<иt. Рассматриваются восемь типов краевых условий, соответственно задачи 1-8; Задача 1. Часть контура , а именно {0 < х < 0.5; у = lj удовлетворяет условию (3), а оставшийся контур - условию (2). Задача2. Одна сторона квадрата, а именно {О < х < 1; у = 1} удовлетворяет условию (3), а три другие - условию (2). Задача 3. Часть границы , а именно {02x<l;y = l} [х-1; 0.5 < у <1} удовлетворяет условию (3), а оставшийся контур - условию (2). Задача 4. Две стороны квадрата, а именно {О < х < 1; у = 1} = 1; 0 á у < 1} удовлетворяет условию (3), а оставшийся контур - условию (2). Задача 5. Часть контура, а именно {О < .х < 1; у = 1} {х = 1; 0 < у < 1J {0.5 < х < 1; у - 0} удовлетворяет условию (3), а оставшийся контур - условию (2). Задача 6. Три стороны квадрата,а именно {О < х ¿í;y = l} {.v = 1; 0 < у < 1} {О <.т < 1;> = 0} удовлетворяет условию (3), а оставшийся контур - условию (2). Задача 7. Часть границы, а именно {х = 0; 0.5 < у < lj удовлетворяет условию (2), а весь

оставшийся контур - условию (3). Задача 8. Краевые услопия (3) вдоль всего контура.

В первом параграфе рассматривается сценарий перехода колебаний квадратных пластинок из изотропного материала с неодинаковыми краевыми условиями при действии продольного удара импульсом Рх = Рк = const. Коэффициент демпфирования е в системе (1) равен нулю, т.е рассматривается консервативная система. Для рассмотренных 8 задач сценарий перехода в состояние динамической неустойчивости практически оказался одним и тем же.

Как известно, в 1978 г. М. Фейгенбаум установил универсальные количественные закономерности перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, присущие определенному классу одномерных отображений л'л+] = /(хп,Рц). Класс функций /(х, Р0) определяется требованием гладкости и невырожденности, а также возможностью квадратичной аппроксимации /(х) вблизи максимума. Такие отображения имеют вид параболы, описывая однозначные, но не взаимооднозначные преобразования отрезка в себя. В наших исследованиях мы не пользовались отображением типа хп+1 = /(хп,Р0), а получили константы Фейгенбаума численно. Для этого применялся следующий алгоритм: 1) с помощью метода установления определялись начальные условия задачи ; 2) определялся период свободных колебаний То; 3) определялись {}, при которых наблюдаются последовательности {7^,; 27^;4Г0;8Г0;...} -- удвоения периода свободных колебаний.

С ростом к последнее соотношение - Р/с)¡(Р/с+2 ~ Рк+О должно сходиться к константе <У = 4.669201.... Анализ результатов показывает, что 4.66 для всех рассматриваемых задач.

Исследования показали, что увеличение Рк приводит к появлению сплошного спектра шумовых составляющих. Следует отмстить, что амплитуда шумовых составляющих существенно зависит ог краевых условий. Если рассматривать не трехмерный фазовый портрет, а его проекцию на плоскость н',(и), то он представляет из себя сплошное пятно. Данное явление мы можем охарактеризовать как шумовой хаос (по спектру мощности и проекции фазового портрета на плоскость).

Было выявлено существенное влияние краевых условий на количество бифуркаций. В задачах 1-5, 7 - восемь бифуркации, в шестой задаче - семь бифуркаций удвоения периода, а в задаче В - девять. Надо отметить, что процент защемления контура в интервале от 62.5% до 100 % существенно влияет на количество бифуркаций й на характер амплитуды шумовых составляющих

Увеличение Рк на ЫО-4 после достижения приводит к первой жесткой потере устойчивости: происходят смена формы колебаний, фазового портрета, существенное изменение периода колебаний и увеличение амплитуды колебаний на порядок. Такого характера колебания происходят на очень малом интервале изменения Рк. Такого типа колебания являются переходными. Дальнейшее увеличение параметра Р/с приводит систему ко второй жесткой потере устойчивости с

ростом прогиба в 10 раз. В этом случае происходит перескок системы на новую равновесную форму. Колебания совершаются с большой амплитудой вокруг этого нового равновесного состояния. Наблюдается

хаотическое переплетение линий на фазовом портрете, псевдоотображение Пуанкаре представляет собой бесформенный разброс точек, в БПФ и спектре мощности - сплошной пьедестал. Это явление мы можем охарактеризовать как состояние окончательного хаоса.

Во втором параграфе исследуется влияние краевых условий на сценарий перехода в хаотическое состояние (задачи 1-4). Рассматривался сценарий перехода в хаотическое состояние колебаний квадратной в плане пластинки из изотропного материала с неодинаковыми краевыми условиями (задачи 1-4) под действием продольной нагрузки Рх = Ра sin rat и коэффициенте затухания f. = 1. Для каждой задачи исследовались колебания пластинки при изменении {Рп,о>} Рассмотрим случай, когда ю близко к частоте собственных колебаний. На рис. 6 представлены обобщенные результаты исследования а также наиболее характерные для интервалов II, III, IV, V графики: н'Дн) (фазовый портрет), iv£,p(0, спектр мощности.

Для рассмотренных задач в целом сценарий перехода в хаотическое состояние аналогичен сценарию, описанному в гл .1 § 2 , но здесь от-

сутствует зона VI - установившихся послекризисных колебаний. Модальный портрет с изменением краевых условий в интервалах изменения Ро III, IV, V претерпевает серьезные изменения.

Если рассматривать колебания пластинки под действием продольной нагрузки Рл = Р0 sin о) i на частотах отличных от частоты собственных колебаний, то можно сделать вывод, что более существенное влияние на сценарий перехода колебаний пластинки в хаотическое состояние оказывает увеличение со (возможно несколько состояний кризиса). С изменением со, как с увеличением, так и с уменьшением, наблюдается появление новых форм модальных и фазовых портретов.

В третьем параграфе исследуется влияние краевых условий на сценарий перехода в хаотическое состояние (задачи 5-7). Рассмотрим сценарий перехода в хаотическое состояние колебаний квадратной в плане пластинки из изотропного материала с неодинаковыми краевыми условиями (задачи 5-7 ) 'под действием продольной нагрузки Рх = Ра sin со I' при изменении параметра Ро . Получили, что,переход в состояние хаоса прй краевых условиях задачи 5 и со =8.6 (близкое к частоте собственных колебаний) происходит через эволюционные изменения фазового и модального портретов. Этот сценарий отличается, от сценария для задач 1-4, описанного в § 2, тем, что в данном случае, не существует явного кризиса. На интервале Ро е [10.5, 12.25) происходит усложнение характера колебаний, но колебания не хаотические.

Аналогично сценарию для задачи 5 в задаче 6 с увеличением Ро происходит усложнение формы фазового и модального портретов, что сопровождается увеличением количества частот. Но в отличие от задачи 5 для данных краевых условий существует интервал Ро е (11.75, 13], на котором характер колебаний принимает хаотический характер, т.е для данных краевых условий существует кризисное состояние, но в отличие от сценария, описанного в § 2 , в задаче 6 после кризиса не происходит частотная перестройка, что свидетельствует о том, что характер колебаний остается прежним.

В случае задачи 7 на интервале Рое(6, 975) колебания совершаются на двух основных частотах, остальные частоты являются их линейной комбинацией. Колебания совершаются относительно положительного, состояния равновесия. С увеличением Ро (Ро=9.75) на рассматриваемом интервале времени происходит резкое изменение характера колебаний. При достижении некоторого /кр амплитуда колебаний

резко уменьшается, колебания совершаются вокруг нулевого положения равновесия. На временном интервале от tm3 до /кр фазовый и модальный портреты имеют вид, аналогичный Рое(6, 9.75), а начиная с /д-р фазовый и модальный портреты приобретают новую форму. Величина основных частот на интервалах времени f б[0,100], t е[/в03,гкр],

t е[/*р,100] изменяется несущественно, в отличие от амплитуды. С увеличением Po 1вт сокращается, также сокращается временной отрезок между tm3 и thy. В окрестности Ро= 15 происходит частотная перестройка, колебания происходят на трех основных частотах, но появляется большое количество независимых частот( шумовой спектр). С увеличением Ро колебания пластинки переходят в хаотическое состояние.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по работе.

Основные результаты и выводы по диссертации

1. Создана математическая модель, единый алгоритм и методика исследования сложных колебаний прямоугольных в плане пластин, основанный на методе конечных разностей повышенного порядка точности. Разработан подход выявления начальных условий для сложных краевых условий методом установления.

2. Предложенный алгоритм реализован для уравнений теории гибких пластин Theodora von Кйппапа в виде комплекса программ на языке программирования PASCAL. На основе полученных данных строится в каждой точке плана целый комплекс характеристик , которые позволяют более точно производить анализ механизма перехода между различными колебательными режимами.

3. С помощью разработанного метода исследован широкий класс задач. Были выявлены и классифицированы диапазоны изменения величины амплитуды вынуждающей силы, при которой колебания пластин имеют общие черты. Таким образом, в зависимости от частоты вынуждающей силы и краевых условий были получены сценарии перехода колебаний пластин в состояние пространственно-временного хаоса.

4. В случае рассмотрения колебаний прямоугольных в плане изотропных пластин с краевыми условиями (2) пли (3) вдоль всего контура было показано, что несимметричные формы колебаний , как и переход колебаний в состояние хаоса, заложены в нелинейности системы. Существует пороговое значение Ро, после которого диссипативная пластинчатая система начинает колебаться только по несимметричной форме колебаний, если на нее не накладываются дополнительные условия симметричности решения. Кроме того, наблюдается явление перемешивания форм колебаний, когда при одном значении Ро, но на разных интервалах времени происходит изменение формы колебаний с симметричной на несимметричную. Процесс колебаний может сопровождаться большим разнообразием физических явлений, как, например, бегущими или стоячими волнами (солитонами). Величина управляющего параметра Ро, при котором колебания пластинки переходят в состояние хаоса, в случае, когда рассматриваются колебания по сим-

мсгричной форме, почти в два раза выше, чем в случае несимметричных колебаний.

5. Получено, что в случае консервативной системы колебания пластин с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями под действием удара импульсом бесконечной продолжительности по времени переходят в хаотическое состояние через серию бифуркаций удвоения периода* Для всех исследуемых задач численно получены константы Фейгенбаума.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Вахлаева Л:Ф., Вахлаева Т.В. Разностные методы повышенной точности для слабонелинейного эллиптического уравнения и сравнение их со схемами 2-го порядка точности. СГУ. Саратов, 1996. 9 с. Деп. в ВИНИТИ № 2855-В 96 от 24.09.96.

2. Крысько В.А., Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Сложные колебания гибких пластинок при неоднородных по длине краевых условиях // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Саратов, 1997. С. 19-29.

3. Крысько В.А., Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Сложные колебания и динамическая потеря устойчивости оболочек при действии знакопеременной поперечной нагрузки // Математика, механика и их приложения. Материалы научно-практнч. конф., посвящ. 40-jieinro ВЦ СГУ. Саратов: С ГУ, 1998. С. 46.

4. Вахлаева Т.В. Устойчивость пластинки, у которой половина одной из сторон защемлена, а оставшаяся часть шарнпрно-оперга // Молодежь и наука на пороге XXI века. Тез. докл. региональной научн. конф. Саратов, 1998. С. 65-66.

5. Крысько В.А., Вахлаева Т.В. Исследование нелинейных колебаний гибких цилиндрических панелей, шарнирно-опертых по контуру, при внезапном снятии поперечной статической нагрузки // Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Казань: «Унипресс», .1998. С. 112-114. ,

6. Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Оценка эффективности и экономичности прямых и итерационных методов решения разностных уравнений // Математика, механика, математическая кибернетика-. Сб. научн. трудов. Саратов: СГУ, 1999. С. 18-21.

7. Крысько В.А., Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Исследование колебаний и бифуркаций пластинки при неоднородных вдоль стороны краевых условиях под действием продольной нагрузки // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. научн.трудов. Саратов: СГУ, 1999. С. 93-94.

Введение. Краткий исторический обзор по теме диссертации.

Глава 1. Математическая модель сложных параметрических колебаний прямоугольных в плане пластин с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями.

1.1. Основные гипотезы, уравнения, граничные и начальные условия

1.2 . Разностные схемы повышенной точности 0(/г4) для математической модели (1.1.1)-(1.1.6).

1.3. Алгоритм решения и обоснование его выбора.

1.4. Достоверность получаемых результатов.

Глава 2. Сложные параметрические симметричные и несимметричные колебания гибких прямоугольных в плане пластин.

2.1. Сценарий перехода диссипативных колебаний гибких пластинок, шарнирно - опертых по контуру, к пространственно-временному хаосу при гармонических продольных воздействиях (симметричные колебания).

2.2. Диссипативные несимметричные колебания гибких пластинок, шарнирно-опертых по контуру, при гармонических продольных воздействиях.

2.3. Стоячие волны (солитоны) при сложных колебаниях гибких пластин.

2.4. Сценарий перехода диссипативных колебаний гибких пластинок краевые условия - подвижная заделка вдоль всего контура) в состояние пространственно-временного хаоса (симметричные колебания)

2.5. Исследование влияния на сложные колебания пластинок величины начальной амплитуды и коэффициента демпфирования.

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В современных технических отраслях, особенно в авиастроении, ракетостроении, судостроении, машиностроении, приборостроении и строительном деле в качестве основных элементов конструкций широко применяются пластины с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями. При проектировании машины или сооружения необходимо уметь предсказывать поведение системы, находящейся под действием динамической нагрузки. Выбрав параметры, при которых возникает хаотический режим, инженер лишается возможности предсказывать поведение системы. Инженерная мысль с понятиями хаотической динамики знакома очень давно. Хаос называли шумом, помехами или турбулентностью, а фактор неопределенности или фактор надежности использовались инженерами для учета в проектах этих внешне случайных неизвестных величин, которые непременно возникали в каждом техническом устройстве.

Проблема детерминированности и случайности, предопределенности и непредсказуемости, зародившись несколько веков назад, продолжает оставаться одной из фундаментальных и острых проблем естествознания. Идеи, заложенные в основу статистической физики, связали случайность и непредсказуемость с невозможностью полного описания сложных систем, состоящих из многих элементов, например, газа или плазмы, и привели к вероятностному описанию многоэлементных систем. Вместе с тем предполагалось, что в силу детерминированности исходных уравнений поведение простых систем полностью предсказуемо на любом заданном интервале времени, и в их поведении в силу этого отсутствует черты, характерные для случайных процессов.

Первые мелкие трещины в этой четкой картине разделения детерминированного и случайного начали возникать в начале 20 века. Появилась квантовая механика, перечеркнувшая мнение о возможности определения начальных условий и траекторий физических систем с любой наперед заданной точностью, и тем самым ограничила применимость детерминированного описания макроскопическими простыми системами. С другой стороны, выяснилось, что в сложных системах с большим числом степеней свободы, например, гидродинамических, могут наблюдаться из-за кооперативных эффектов детерминированности в поведении.

С течением времени было обнаружено, что хаотические колебания могут возникать в нелинейных детерминированных системах низкого порядка. Удалось понять источник неупорядоченного шума и управлять им.

Широкомасштабные и планомерные исследования взаимосвязи хаоса и порядка ведутся относительно недавно. Они показали, что в поведении сложных нелинейных систем со многими степенями свободы при определенных условиях могут возникать регулярные пространственные и временные структуры [64], названные И. Пригожиным [19, 47, 52] диссипативны-ми. Наряду с этим возможна и обратная картина: из упорядоченного движения рождается хаос.

Изучение бифуркационных значений параметров динамической системы, при которых происходят существенные изменения в характере ее движения, было начато Пуанкаре [53, 54]. В дальнейшем большой вклад в эту теорию внесла школа A.A. Андронова [1-3].

К началу 80 годов 20 века были сделаны следующие открытия:

1. идентификация аттрактора Лоренца, как странного аттрактора в смысле Рюэля- Такенса; введение понятий квазигиперболического аттрактора и квазиаттрактора как типичных аттракторов динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями;

2. результаты в области теории одномерных отображений;

3. обнаружение конкретных механизмов перехода к хаотическим колебаниям;

4. революционные по своему значению работы по фракталам;

5. ряд бифуркационных явлений при переходе к хаосу от двухчастотных колебаний;

6. экспериментальные результаты в различных гидродинамических течениях, указывающие на участие ограниченного числа мод в начальной стадии перехода к турбулентности.

Новым в хаотической динамике стало открытие внутреннего порядка, который дает возможность предсказания определенных свойств зашумлен-ных систем. В контексте физики образцом хаотических явлений остается турбулентность. Турбулентность - одна из немногих нерешенных проблем классической физики. Ниже мы приведём несколько моделей, описывающих переход механической системы к турбулентности. В настоящий момент известны следующие модели: Ландау [39], Рюэля-Такенса [57], Фейгенбаума [67], Помо-Манвиля [40]. Эти модели схематически приведены в таб. 1 Очень коротко опишем её.

Первоначально картина возникновения турбулентности, представленная Ландау [39], была основана на представлении об иерархии неустой-чивостей. При увеличении некоторого параметра, например, числа Рей-нольдса, или числа Рэлея нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость, и появляются всё новые и новые независимые частоты движения со х,а> 2,со ъ,. При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т.д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т.е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит всё более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау предложена для бесконечномерной модели. Модели же Рюэля-Такенса, Фейгенбаума и Помо-Манвиля связаны с конечномерными моделями.

Рюэль и Такенс предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходит две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, затем нелинейность разрушает трёхчастотное движение, и образуется «странный» аттрактор (таб. 1). Некоторые экспериментальные данные подтверждают модель Рюэля-Такенса. В спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимые частоты. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами, так и конвекция Рю-эля-Бенара. Здесь обнаружена внутренняя синхронизация между частотами со 1 и со 2. В другом эксперименте по течению Куэтта наблюдались по крайней мере четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Хопфа.

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбау-мом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [67]. Переход начинается с бифуркации Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой со 1. При дальнейшем увеличении параметра происходят последовательные бифуркации удвоения, приводящие к периодическому движению с частотами со 1Х, со и, со ,, и т.д. Эта последовательность

2 /4 /8 сходится при некотором критическом значении параметра, при котором возникает странный аттрактор (см. табл.1).

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дуффинга и др.

Четвёртый механизм возникновения турбулентности, лежит в основе модели Помо-Манвиля и связан с переходом к хаотическому движению с перемежаемостью. В этой модели при увеличении некоторого параметра периодическая траектория непосредственно превращается в хаотическую с перемежаемостью в результате обратной тангенциальной бифуркации. Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение. Оно существует и для модели Лоренца [41] в некотором интервале параметров, в конвекции Рэлея-Бенара и так называемой химической турбулентности [63].

Таблица 1.

Модель: Ландау Рюэля-Тэкенса Фейгенбаума Помо-Манвиля

Неподвижная точка -«-«

М Бифуркация Хопфа

Е Периодическая траектория -«-«(период Т) -«-«

X Бифуркация Хопфа Периодич. Траектория (период 2Т) обратная тангенциальная бифуркация

А Квазипериодическая Бифуркация Хаотич. дви

Н траектория (2 основные частоты) удвоения жения с перемежаемостью

И Бифуркация Хопфа Периодич. траектория (период 4Т)

3 Квазипериодическая траектория (3 основные частоты) Странный аттрактор Бифуркация удвоения м Бифуркация Хопфа Странный аттрактор ы Турбулентные движения

Следует отметить, что единого механизма перехода к турбулентности в настоящее время не существует. Все модели описывают только возникновение турбулентности и ничего не говорят о свойствах развитой турбулентности.

Здесь следует отметить, что хаотические колебания возникают в присутствии сильной нелинейности:

1. в таких системах, как учет нелинейной зависимости в теории стержней, пластин и оболочек в соотношениях напряжения-деформации; здесь возможно рассмотрение нескольких случаев нелинейности: физическая нелинейность - активное нагружение и разгрузка имеют одни и те же траектории; учет упруго-пластических деформаций, т.е остаточных нагруже-ний; учет циклического нагружения;

2. нелинейные граничные условия или ограничения, определяющиеся деформациями;

3. нелинейные массовые силы, например, магнитные или электрические поля;

4. геометрическая нелинейность, связанная с большими деформациями;

5. нелинейность, которая появляется в контактных задачах (неспаянные балки, пластинки, оболочки), нелинейность, которая связана с повреждениями в конструкции в результате деформаций (межслоевые разрушения и т. д.).

Первые результаты, полученные в этом направлении, были связаны с подходами, которые сводили систему с бесконечным числом степеней свободы к системе с одной степенью свободы, т.е. получению одного нелинейного обыкновенного уравнения второго порядка. В общем виде такое уравнение имеет следующую структуру: х + а(х)х + /?(х)х = /(0, где а(х) и/3(х) - нелинейные функции.

К такого типа уравнениям относится известное уравнение Дуффинга, к которому Холмс свел задачу о вынужденных колебаниях изогнутого стержня:

Х + у Х-~х^1-х2^ = /сое*»/, (2) где х - поперечные колебания стержня. Это уравнение может также служить моделью частицы в потенциале двух ям. Эта модель использовалась и при исследовании плазменных колебаний. Из уравнения (1) вытекает задача о провале трехшарнирной арки (ферма Мизеса). тх + у х + 2х 1 ф2 + у2)У2,

3)

Движение частицы в силовых полях, которые периодичны как в пространстве, так и во времени, служит моделью ряда процессов в физических системах. Среди них классический маятник, заряженная частица в движущемся электрическом поле, синхронные роторы и переход Джозефсона. Например, нелинейная динамика частицы, движущейся в бегущем электрическом поле, описывается уравнением

Х + дх + а&тх = g{kx-(ot), ^ где g - периодическая функция.

Уравнение, описывающее вынужденные колебания маятника + = /со^ со1. (5)

Уравнение осевого изгибания стержня + й?о (1 - /ЗсобП^Х = 0 (6) линейное дифференциальное уравнение Матье). Влияние нелинейностей превращает эти колебания в предельный цикл. Аналогичный пример - маятник с колеблющейся точкой подвеса: х + /Зх + $ + Асо&Ш)ш1х = 0 (?)

Здесь наблюдается удвоение периода и получено шесть субгармонических бифуркаций. Число Фейгенбаума <5=4.74 (при точном <5=4.66920.).

Цепь с нелинейной индуктивностью с линейным сопротивлением (уравнение типа Дуффинга) х + кх + х3 =Всоэ^. (8)

Генератор колебаний с отрицательным сопротивлением - модифицированное уравнение Ван дер Поля (9) х + (х2 - + х3 = Всовсо г.

Вынужденные колебания магнитного дипольного ротатора в скрещенных статическом и переменном магнитном полях sx + сх + KBS sin х = КВа cosxcosQ.t. (10)

Приведенные примеры показывают многообразие математических моделей, которые заключены в уравнении (1). До настоящего времени точного решения данное уравнение не имеет.

Возникает необходимость изучения задач со многими степенями свободы. Хаотические движения для вынужденно изогнутой балки исследовались Тангом и Давелом [85] . В [65] изучались упругие хаотические колебания в изогнутых балках. Балка предполагалась начально сжатой осевой нагрузкой и затем зафиксированной в сжатом состоянии. Колебания вызывались поперечной периодической нагрузкой или колебанием опор. Уравнения движения решались двумя методами: Галеркина и конечных разностей. Хаотический режим балки был установлен по фазовому изображению и по каскаду удвоений периода.

Исследованию нелинейных упруго-пластических колебаний изогнутых балок был посвящен ряд статей Симондса и его коллег [ 84, 72]. В 1985 году они рассмотрели следующий вопрос: балка с закрепленными концами подвергалась короткому интенсивному импульсу поперечной нагрузки, который производит пластический прогиб. Поскольку концы балки закреплены, то мембранные усилия должны также быть приняты в расчет. Решая уравнения движения, они нашли, что остаточные прогибы могут быть в направлении противоположном нагрузке. Это явление они назвали «аномальным» или «противоестественным» поведением балки.

В случае «противоестественного» поведения возникает вопрос: может ли быть реакция балки хаотической. Ли и Симондс [72] показали, что в случае модели с одной степенью свободы движение полностью определено, и там не может быть никаких хаотических колебаний. Что касается балки с двумя степенями свободы, то из исследования Симондса вытекает, что хаотические эффекты могут иметь место [73].

Динамическая реакция упруго-пластических сплошных балок при коротких импульсных нагружениях была рассмотрена Лепиком [75, 77, 79 ]. В этих статьях уравнения движения интегрировались конечно-разностным методом или методом Галеркина, было установлено «противоестественное» поведение и хаотическая реакция балок.

В [78] упруго-пластические колебания изогнутой балки исследуются с помощью метода Галеркина. Показано, что широко распространенное предположение, что мембранная сила постоянна вдоль балки, может дать неправдоподобное решение даже в случае упругих деформаций. На основе вычислений для различных значений параметров балки, материала и нагрузки сделан вывод, что хаотические колебания в случае гармонического возбуждения более обычны, чем для балок под импульсной нагрузкой.

Осесимметричные колебания упругих и упруго-пластических оболочек исследовались в нескольких статьях. Большинство из них посвящено динамическому выпучиванию под осевыми нагрузками или осевому удару массы по оболочке. В работе Флоранса и Гудьера [68] рассматривалось динамическое пластичное выпучивание цилиндрических оболочек под осевыми нагрузками. Решение упрощается предположением, что оно разделяется на доминирующее движение и движение возмущенного типа. Применяется уравнение Прандтля - Рейсса; делается предположение, что в течение реакции не происходит упругое разгружение. В [66] представлены результаты для динамического поступательного выпучивания круговых трубок под осевым толчком.

Для того чтобы исследовать динамический продольный изгиб цилиндрических оболочек, было разработано несколько численных схем (например, статья Морино и соавторов [ 81]). В статье [74], для интегрирования уравнений движения был предложен метод Галеркина, метод применим для произвольного числа степеней свободы; осевые силы инерции также принимаются во внимание. Составляющие уравнения основаны на теории Прандтля-Рейсса, рассматриваются упругое разгружение и обратное пластичное нагружение. Даются некоторые численные примеры и обсуждаются возможности хаотических колебаний.

Изучению явлений хаоса при колебаниях балок с различными краевыми условиями посвящен ряд работ. В [ 26, 82, 87] исследовались нелинейные поперечные или продольные колебания балок, подверженных периодическому поперечному или продольному воздействию. Хаотические явления при колебаниях балки [31] были обусловлены нелинейностью краевых условий. Во всех перечисленных работах рассматривались однослойные балки.

Гибкие пластинки, подверженные интенсивному периодическому воздействию, представляют собой сложную динамическую систему, в которой в зависимости от шевеления параметрами воздействия реализуются принципиально различные режимы колебаний. Сложные колебания и переход к хаосу для гибких ортотропных пластинок, шарнирно-опертых по контуру, при действии продольных знакопеременных нагрузок исследовались в работе [37]. Используется метод конечных разностей 0(h2).

В [6] приводятся результаты численного исследования нелинейных установившихся колебаний шарнирно-опертой квадратной в плане пластины при действии равномерно распределенного нормального давления, интенсивность которого меняется во времени по гармоническому закону. Методом конечных элементов краевая задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получено, что при переходе к хаотическим колебаниям реализуется серия бифуркаций удвоения периода.

Большой прогресс в концепции временного динамического хаоса достигнут в таких современных отраслях знаний, как физика плазмы, гидромеханика [23], теория управления, электроника и радиофизика [20]. Существенно более скромные успехи достигнуты в биологии и химии [63,22].

В сети Интернет в разделе Bibliography on Stochastic Resonance американским исследователем Gammaitioni сделана подборка статей по изучаемому направлению с 1980 по 1998 годы по следующим реферируемым журналам Physics Letters A; Physics Review Е; Optics Letters; Neutral Comput; Journal of

Physical chemistig и др. Отмечается рост публикаций с 1996 г., в среднем в год публиковалось до 70 статей. На наш взгляд, это доказывает огромный интерес ученых к данной проблеме. В нелинейных задачах теории пластин, в случае решения многомерных уравнений, имеются лишь единичные публикации.

Сценарий перехода диссипативных систем при воздействии на них гармонических нагрузок в различных отраслях современной науки таких как радиофизика, радиоэлектроника, гидромеханика описан достаточно подробно в работах П. Берже, Н. Помо, К. Видаля [9]; A.C. Дмитриева, В.Я. Кислова[20 ]; Ю.И. Неймарка и П.С. Ланда [46 ]; А. Лихтенберга и К. Либермана[40 ], Ф. Муна [43] и др. Задачи же теории пластин существенно отличаются от задач, приведенных в указанных книгах, т.к. здесь мы по сути дела имеем многомерные системы: две пространственные координаты и время, и приходится рассматривать колебание системы с бесконечным числом степеней свободы во времени. В настоящей работе мы попытаемся описать сценарий перехода к пространственно-временному хаосу и особенности некоторых систем в развитом хаосе на примере гибких пластинок.

Целью работы является применение математического моделирования и численных методов для исследования сложных колебаний консервативных и диссипативных систем в виде прямоугольных в плане гибких пластин с меняющимися вдоль контура краевыми условиями под действием продольных нагрузок, разработка единой методики численного решения уравнений нелинейных колебаний прямоугольных в плане изотропных пластин и последующего исследования получаемых решений с позиции качественной теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем: разработана математическая модель, методика и алгоритм для численного исследования изотропных прямоугольных в плане пластин, подчиняющихся кинематической модели Кирхгофа; получены сценарии перехода в хаотическое состояние колебаний пластинок под действием продольных знакопеременных нагрузок при изменении частоты и амплитуды вынуждающей силы; выявлены особенности сценария перехода в хаотическое состояние колебаний пластин под действием продольной нагрузки в зависимости от краевых условий; получена серия бифуркаций удвоения периода для колебаний квадратных пластин с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями при действии продольного удара импульсом бесконечной продолжительности по времени, численно получены константы Фейгенбаума. На защиту выносятся.

- новая математическая модель и новая методика исследования сложных колебаний прямоугольных в плане пластин при действии продольных нагрузок;

- результаты исследования нового класса задач колебаний прямоугольных в плане пластинок под действием продольного удара импульсом бесконечной протяженности во времени (консервативные системы);

- результаты исследования колебаний прямоугольных в плане пластин при действии продольной знакопеременной нагрузки в зависимости от краевых условий, амплитуды и частоты вынуждающей силы, начальных условий (диссипативные системы).

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с решением ряда нелинейных задач теории пластин, полученных другими авторами, решением тестовых и модельных задач, проверкой сходимости в зависимости от количества точек разбиения по пространственным координатам и времени. Проводилось сопоставление результатов, полученных при реше

4 2 нии задач методом конечных разностей с аппроксимацией 0(к )и 0(к ). Достоверность результатов в динамической задаче в случае неодинаковых вдоль контура краевых условий подтверждается совпадением решения, полученного методом установления, с решением статической задачи при тех же краевых условиях.

Практическая ценность. Разработанный алгоритм позволяет решать широкий класс задач динамической устойчивости пластин с неодинаковыми вдоль стороны краевыми условиями, находящихся под действием поперечного или продольного нагружения, а также исследовать явления пространственно-временного хаоса для множества управляющих параметров {Р0,б), граничных и начальных условий}. Алгоритм и программа расчета могут быть использованы для проектирования и расчета пластинчатых конструкций в различных технических отраслях.

Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Создана математическая модель, единый алгоритм и методика исследования сложных колебаний прямоугольных в плане пластин, основанный на методе конечных разностей повышенного порядка точности. Разработан подход выявления начальных условий для сложных краевых условий методом установления.

2. Предложенный алгоритм реализован для уравнений теории гибких пластин Theodora von Kärmäna в виде комплекса программ на языке программирования PASCAL. На основе полученных данных строится в каждой точке плана целый комплекс характеристик , которые позволяют более точно производить анализ механизма перехода между различными колебательными режимами.

3. С помощью разработанного метода исследован широкий класс задач. Были выявлены и классифицированы диапазоны изменения величины амплитуды вынуждающей силы, при которой колебания пластин имеют общие черты. Таким образом, в зависимости от частоты вынуждающей силы и краевых условий были получены сценарии перехода колебаний пластин в состояние пространственно-временного хаоса.

4. В случае рассмотрения колебаний прямоугольных в плане изотропных пластин с краевыми условиями (1.1.4) или (1.1.5) вдоль всего контура было показано, что несимметричные формы колебаний , как и переход колебаний в состояние хаоса, заложены в нелинейности системы. Существует пороговое значение Ро, после которого диссипативная пластинчатая система начинает колебаться только по несимметричной форме колебаний, если на нее не накладываются дополнительные условия симметричности решения. Кроме того, наблюдается явление перемешивания форм колебаний, когда при одном значении Ро, но на разных интервалах времени происходит изменение формы колебаний с симметричной на несимметричную. Процесс колебаний может сопровождаться большим

121 разнообразием физических явлений, как, например, бегущими или стоячими волнами (солитонами). Величина управляющего параметра Ро, при котором колебания пластинки переходят в состояние хаоса, в случае, когда рассматриваются колебания по симметричной форме, почти в два раза выше, чем в случае несимметричных колебаний.

5. Получено, что в случае консервативной системы колебания пластин с неодинаковыми вдоль контура краевыми условиями под действием удара импульсом бесконечной продолжительности по времени переходят в хаотическое состояние через серию бифуркаций удвоения периода. Для всех исследуемых задач численно получены константы Фейгенбаума.

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981.-568 с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем 2-го порядка.- М.: Наука, 1966. 568 с.

3. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 150 с.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. -М.: Наука, 1990.- 312с .

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - 744 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 598 с.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т. 1. М.: Физ.-мат. литература, 1959. - 464 с.

8. Берже П., Помо Н., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. 366 с.

9. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. - 416 с.

10. И. Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Оценка эффективности и экономичности прямых и итерационных методов решения разностных уравнений // Математика, механика, математическая кибернетика. Сб. научн. трудов. Саратов: СГУ, 1999. С. 18-21

11. Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Разностные методы повышенной точности для слабонелинейного эллиптического уравнения и сравнениеих со схемами 2-го порядка точности. СГУ. Саратов, 1996. 9 с. Деп. в ВИНИТИ № 2855-В 96 от 24.09.96.

12. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек в температурном поле // Прикл. механика. -1983. Т.18. № 1.- С. 16-23

13. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А. Устойчивость гибких пологих оболочек прямоугольных в плане с разными вдоль стороны граничными условиями Известия вузов. Строит-во и архитектура -1984, № 4, -С.21-25.

14. Вахлаева Л.Ф., Крысько В.А., Соколов С.С. О выборе порядка аппроксимации разностной краевой задачи теории оболочек. В сб.: Вычислительные методы и программирование. - Саратов: СГУ, 1981.1. С. 45-48

15. Вахлаева Т.В. Устойчивость пластинки, у которой половина одной из сторон защемлена, а оставшаяся часть шарнирно-оперта // Молодежь и наука на пороге XXI века. Тез. докл. региональной научн. конф. Саратов, 1998. -С. 65-66.

16. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

17. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. -984 с.

18. Гленсдорф В., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973.- 280 с.

19. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике М.: Наука, 1989. - 252 с.

20. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989.-271 с.

21. Жаботинский А.М. Концентрационные автоколебания. -М.: Наука 1974.- 178 с.

22. Ильгамов М.А. Бифуркации и хаотические колебания в гидроупругих системах // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Казань: Изд-во КГУ, 1996. С. 6-13

23. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

24. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. -М., Наука, 1973. 175 с.

25. Ковтунов В.В. Хаотические колебания параметрически стабилизированной балки // Сопротивление материалов и теория сооружений -1991, № 59 - С. 83-87

26. Комаров С.А. Выпучивание пластин и оболочек при комбинированном продольно-поперечном нагружении: Автореф. дис. канд. технич. Наук. -Саратов, 1996. 20 с.

27. Корнишин М.М., Паймушин В.Н. Соотношение теории среднего изгиба тонких пластин и пологих оболочек с формой в плане в виде косоугольного четырехугольника // Статика и динамика оболочек. Труды семинара, вып. 8. Казань, 1977

28. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения М.: Наука, 1964. -192 с.

29. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во СГУ. 1976. -216 с.

30. Крысько В.А., Бочкарев В.В., Бочкарева Т.А. Стохастические колебания в системе двух неспаянных балок // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.1. Саратов, 1997.-С. 155-159

31. Крысько В.А., Вахлаева Л.Ф., Вахлаева Т.В. Сложные колебания гибких пластинок при неоднородных по длине краевых условиях // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.2. Саратов, 1997. -С. 19-29

32. Крысько В.А., Крысько A.B. Проблемы бифуркаций и жесткой потери устойчивости нелинейной теории пластин. // Механика оболочек и пластин в XXI веке, Меж.вуз. сб. Саратов, 1999. - С. 50-67

33. Крысько В.А., Петров В.В., Мицкевич С.А. Сложные колебания и жесткая потеря устойчивости геометрически нелинейных пластин при продольных нагрузках // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.1. Саратов, 1997. -С. 160-174

34. Кузнецов Е.Б., Кулаков H.A., Шалашилин В.И. О действии динамических нагрузок на некоторые упругие системы с прощелкиванием // Избр. пробл. прикладной механики. Сб. научн. трудов. Москва, 1974,- С. 439-443

35. Ландау Л.Д. ДАН СССР, 1944, т.7, с. 203

36. Лихтенберг А., Либерман К. Регулярная и стохастическая динамика. -М. Мир, 1984. 528 с.

37. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение. //Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шпильникова. -М.: Мир, 1981. -С. 88-116.

38. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.608 с.

39. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 315 с.

40. Мун Ф. Хаотические колебания М: Мир, 1990. - 311 с.

41. Незлин М.В., Снежкин E.H., Трубников A.C. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и большое красное пятно Юпитера.// Письма в ЖЭТФ. 1982, т. 32, -С. 190-193.

42. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

43. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М., Наука, 1987.-411 с.

44. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. -М.: Мир, 1979.-512 с.

45. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.- 558 с.

46. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 384 с.

47. Петвиашвили В.И. Неодномерные солитоны.// Нелинейные волны/ Под ред. A.B. Гапонова. М. Наука, 1979, С.5.

48. Пригожин И. От существующего к возникающему. -М.: Наука, 1985. -327 с.

49. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. -М,: Прогресс, 1986. -431с.

50. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: Гостехиздат, 1947

51. Пуанкаре А. О науке М.: Наука, 1983. - 560 с.

52. Рабинович М.И. Колебания и волны в нелинейных системах: учебное пособие. Горький: ГГУ, 1978. - 122 с.

53. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн,-М. Наука, 1984. -432 с.

54. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шпильникова М: Мира, 1981. С. 117-151

55. Самарский А.А. Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений -М.: Наука, 1978. 592 с.

56. Самарский А.А. Теория разностных схем М.: Наука, 1977. -656 с.

57. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

58. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

59. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

60. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 2-ое изд. М., Наука, 1967. 491 с.

61. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

62. Abhyankar N.S., Hall Е.К., Hanagud S.V. Chaotic vibrations of beams: numerical solution of partial differential equations.// ASME J. Appl. Mech. 60, 1993. -P. 167174

63. Abramowicz W. , Jones N. Dynamic axial crushing of circular tubes.// Int. J. Impact Engng 2, 1984. -p. 263-281

64. Feigenbaum M.J. Phys. Letters, 1979, v. 74A, p. 375

65. Florence A.L, Goodier J.N. Dynamic plastic buckling of cylindrical shells in sustained axial compressive flow.// ASME. J. Appl. Mech 35, 1968. -p. 80-86

66. Grebodi C., Yorke J.A. Crises, Sudden Changes in Chaotic Attractors and Transient Chaos.//Physicu 7D, 1983, p. 181-200.

67. Karman Th. Festigkeitprobleme im Maschinenbau.// Encycl. der math. Wiss. 1910, IV (4)., s. 348-351.

68. Krätzig W.B. Theory and Computational Concepts for Static and Kinetic Structural Instabilities // Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results -Berlin: Acad. Verl., 1995. s. 302-335

69. Lee J.-Y, Symonds P.S. Extended energy approach to chaotic elastic-plastic response to impulsive loading.// Int. J. Mech. Sei. 34, 34,1992, p. 139-157

70. Lee J.-Y., Symonds P.S., Borino G. Chaotic response of a two degree-of-freedom elastic-plastic beam model to short pulse loading.// ASME J. Appl. Mech. 59,1992. -p. 711-721

71. Lepik Ü. Axisymmetric vibrations of elastic-plastic cylindrical shells by Galerkin s method. // Int. J. Impact Engng 18, 5, 1996. p. 489-504.

72. Lepik Ü. Impulsively loaded Mly ficxed-ended elastic-plastic beams by Galerkin s method. // Int. J. Impact Engng 15,1994. p. 17-23

73. Lepik Ü. Dynamic response of elastic-plastic beams witch axial constraints.// Int. J. Impact Engng 15,1994. p. 3-16

74. Lepik Ü. Dynamic response of elastic-plastic pin-ended beams by Galerkin s method.// Int. J. Solids Struct. 31, 23,1994. p. 3249-3260

75. Lepik Ü. Elastic-plastic Vibrations of a Buckled Beam. // Int. J. Non-Linear Mechanics,. 30, 2,1995. p. 129-139.

76. Lepik Ü., Vibrations of elastic-plastic fully clamped beams and flat archs under impulsive loading. // Int. J. Non-Linear Mech. 29,1994. p. 613-623

77. Mises R. Über die Stabilitätsprobleme der Elastizitäsheorie // Z. angew. Math, und Mech, Bd 3, № 6,1923. s. 406-422

78. Morino L., Leech J.W., Witmer E.A. An improved numerical calculation technique for large elastic-plastic transient deformations of thin shells. Part 1 // ASME , J. Appl. Mech. 38, 1971, p. 423-428; Part 2 // Asme. J. Appl. Mech. 38, 1971. p. 429-436129

79. Nagai Ken-ichi, Yamaguchi Takao. Chaotic vibrations of pact-buckled beam with a variable cross section under periodic exitution // Trans. Jap, Soc. Mech, Eng., 61 N 586, 1995, p. 2202-2209

80. Steeb W.-H., Kunick A. Chaos in dynamischen Systemen. Mannheim-Wien-Zurich.BI-Wiss.-Verl., 1989

81. Symonds P.S. , Yu T.X. Counter-intuitive behavior in a problem of elastic-plastic beam dynamics // ASME J. Apple. Mech. 52, 1985. -p. 517-522

82. Tang D.M. and Dowell E.H., On the threshold force for chaotic motions for a forced buckled beam.// ASME J. Appl. Mech. 55. 1988. p. 190-196

83. Tseng W. Y. , Dugundji J. Nonlinear vibrations of a buckled beam under harmonic excitation.// ASME J. Appl. Mech. 38,1971. p. 467-476

84. Вахлаевой Татьяны Викторовны, выполненной на тему

85. СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГИБКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК С НЕОДИНАКОВЫМИ ВДОЛЬ СТОРОНЫ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ НАГРУЗОК»

86. Разработанный алгоритм и программное обеспечение для численного исследования прямоугольных пластин подтвердили практическую направленность и эффективность их применения.1. С.Н.Конев

87. Научно-производственный центр "АЛМАЗ-ФАЗОТРОН"

88. ЗАКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО410033, Саратов, Панфилова, 1

89. Заместитель Генерального директора по науке, в1Ш1ВД4<андидат технических наук, З^дон^^^еат Государственной премии СССР1. Н. М. Обычев