автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Применение рядов специального вида в статических и динамических расчетах прямоугольных пластин

Введение.

Глава 1. Обзор литературных источников.

1.1. Краткий исторический очерк. Основные сведения о методах точного и приближенного решения задачи.

1.2. Современное состояние изученности темы. Основные направления и методы решения задачи.

1.3. Выводы по главе.

Глава 2. Статические расчеты прямоугольных пластин.

2.1. Теоретические основы предлагаемого подхода.

2.2. Исследование возможности применения подхода при различных краевых условиях.

2.3. Оценка погрешности решений.

2.4. Выводы по главе.

Глава 3. Динамические расчеты прямоугольных пластин.

3.1. Теоретические основы предлагаемого подхода.

3.2. Исследование возможности применения подхода при различных краевых условиях.

3.3. Оценка погрешности решений.

3.4. Выводы по главе.

Глава 4. Численная проверка теоретических результатов.

4.1. Статические расчеты прямоугольных пластин.

Результаты вычислений.

4.2. Динамические расчеты прямоугольных пластин.

Результаты вычислений.

4.3. Выводы по главе.

Актуальность темы. Проектирование современных машин и аппаратов, а также зданий и сооружений связано с всесторонними исследованиями прочности и жесткости конструкций, находящихся под воздействием как статических, так и динамических нагрузок, которые приводят к возникновению сложного напряженно-деформированного состояния и колебательных процессов в элементах конструкций.

Одним из типичных элементов конструкций являются тонкие прямоугольные пластинки. Такие пластинки обычно рассчитывают по приближенной теории - технической теории изгиба пластинок. Известно лишь небольшое число точных решений задач об изгибе прямоугольных изотропных пластин постоянной толщины. Они представляют собой бесконечные ряды, нахождение коэффициентов которых связано, как правило, с громоздкими вычислениями (решение бесконечных систем линейных уравнений, интегрирование различных выражений, нахождение обратного преобразования Лапласа и т.д.). Кроме того, во многих случаях, предлагаемая методика не рекомендуется для нахождения изгибающих моментов, поперечных сил и крутящих моментов из-за ухудшений сходимости рядов, входящих в расчетные формулы. Точное решение задачи о собственных значениях уравнения собственных поперечных колебаний прямоугольной пластинки найдено также для очень немногих случаев.

В последние годы разработан, а также интенсивно совершенствуется целый ряд мощных программных комплексов, которые предназначены для решения больших классов задач статического и динамического расчета конструкций и их элементов численными методами. Эти программные комплексы весьма удобны для использования, как при построении решений, так и при наглядном анализе полученных результатов. Однако при решении многих проблем на стадии проектирования и расчета конструкций требуются решения рассматриваемых задач в аналитической форме, пригодной для последующего обобщения и использования. Кроме того, при проектировании ответственных конструкций, работающих с низкими коэффициентами запаса прочности, требуются методы, допускающие надежные оценки точности решений. Переход научных учреждений на хозрасчетные отношения, появление малых предприятий так же стимулируют отказ от дорогостоящих универсальных пакетов программ, применяемых ранее, и замену этих пакетов менее универсальными, но более экономичными программами.

В связи с этим актуальными являются разработка и совершенствование приближенных аналитических методов решения конкретных задач статического и динамического расчета типичных элементов конструкций.

Целью диссертационной работы является развитие и совершенствование приближенно-аналитических подходов к решению двумерных задач теории упругости (поперечный изгиб прямоугольных пластинок, свободные колебания пластинок).

Указанные цели исследования, определяют круг задач, решаемых в настоящей работе:

- получение приближенных аналитических выражений для функции изгиба пластины при различных нагрузках и краевых условиях с надежными оценками точности;

- получение приближенных аналитических выражений для собственных частот прямоугольных пластин при различных краевых условиях с надежными оценками точности.

Научная новизна состоит в разработке единого подхода к решению задач статического и динамического расчета пластин, основанного на использовании рядов специального вида. Научную новизну раскрывают следующие результаты:

1) Получены приближенные аналитические выражения для функции прогибов прямоугольных в плане пластин при различных нагрузках и условиях на контуре. Показана сходимость предлагаемых решений. Приводятся оценки погрешности.

2) Получены приближенные аналитические выражения для изгибающих и крутящих моментов прямоугольных в плане пластин при различных нагрузках и условиях на контуре. Исследована сходимость. Приводятся оценки скорости сходимости рядов.

3) Получены приближенные аналитические выражения для собственных частот прямоугольных в плане пластин при различных краевых условиях. Приводятся оценки погрешности.

Все интегралы, входящие в расчетные формулы, найдены в замкнутом аналитическом виде.

Методы исследований. Все исследования проводятся в рамках принятых допущений технической теории изгиба пластинок. Достоверность основных научных положений, выводов и рекомендаций, изложенных в диссертации, определяется:

- применением апробированных методов вычислительной математики, линейной алгебры и математического анализа;

- сравнением результатов с известными точными решениями, а также сопоставлением с результатами, полученными с помощью других приближенных аналитических и численных методов.

На защиту выносится следующий материал:

1) Приближенные аналитические выражения для функции прогибов прямоугольных в плане пластин при различных нагрузках и при следующих краевых условиях:

- все стороны защемлены;

- защемление по трем сторонам и свободное опирание по четвертой;

- две соседние стороны свободно оперты, две другие защемлены;

- защемление по трем сторонам, четвертая свободна.

2) Приближенные аналитические выражения для собственных частот прямоугольных в плане пластин при указанных выше краевых условиях.

Практическая ценность результатов заключается в развитии и совершенствовании приближенного аналитического подхода к решению ряда базовых задач механики деформируемого твердого тела, который позволяет получить простые выражения для нахождения функции прогиба и собственных частот. Эти выражения удобны для применения и обобщения, позволяют наглядно представить возможный характер напряженно-деформированного состояния и описать колебательные процессы. Сравнивая предлагаемый подход к исследованию напряженно-деформированного состояния и параметров колебаний прямоугольных пластин с другими приближенными методами как аналитическими, так и численными, можно обозначить область применения результатов:

- при необходимости быстрого получения оперативного результата на начальной стадии проектирования;

- при анализе влияния отдельных параметров конструкций;

- при многовариантном проектировании;

- при создании вычислительных комплексов в системах автоматизированного проектирования.

Внедрение результатов исследований. Результаты исследований нашли применение в компании АрбатПрестиж при расчете деформации упругих пластин, используемых в качестве опорных при подвешивании мозаичного панно, с целью их оптимизации.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации доложены на семинаре при ВГУ под руководством д.ф.-м.н., проф. А. И. Перова (2002), на научно-методических семинарах кафедры теоретической механики РГОТУПС, на расширенном научном семинаре кафедры сопротивления материалов и высшей математики РГОТУПС (2002), на семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов под руководством д.ф.-м.н., проф. А. А. Шестакова и д.ф.-м.н., проф. О.В. Дружининой (2002).

Публикации. Результаты выполненных в диссертации исследований опубликованы в 6 научных работах. 8

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 100 наименований и приложений. Диссертационная работа изложена на 140 страницах, содержит 16 таблиц и 51 рисунок.

4.3. Выводы по главе

В главе приводятся примеры применения теоретических результатов, полу

138 ченных в главе 2 и 3, к решению задач статического и динамического расчета прямоугольных пластин. При этом исследовался вопрос о границах применимости предлагаемого подхода к решению задачи об изгибе и свободных колебаниях тонкой пластинки и проводилась апостериорная оценка погрешности получаемых решений. Результаты расчетов позволяют сделать следующие выводы:

1. В главе 2 рассматривалась задача о поперечном изгибе пластины с различными условиями закрепления и были получены простые аналитические выражения для прогибов. В настоящей главе для допустимых краевых условий было произведено сравнение полученных результатов с результатами из [65], а также с результатами расчетов по методу Буб-нова-Галеркина. Как видно из сравнения, результаты, полученные по формуле (2.20), хорошо аппроксимируют известные решения.

2. Для различных видов допустимых краевых условий сравнивались собственные частоты, получаемые по предлагаемым в главе 3 аналитическим формулам, с частотами, получаемыми при их отыскании по методу Галеркина, а также с известными результатами, приведенными в других источниках [27]. Результаты такого сравнения подтверждают приемлемость применения приводимых в главе 3 аналитических выражений для инженерных расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обобщая приведенные результаты исследований, можно сделать следующие выводы:

1) Разработан новый подход к статическому и динамическому расчету прямоугольных пластин при различных структурных вариантах защемления и свободного опирания сторон, а также к расчету прямоугольных пластин три стороны которых защемлены, четвертая свободна. С помощью данного подхода решены следующие задачи:

• получены приближенные аналитические выражения для функций прогиба пластин, находящихся под действием сосредоточенных сил (построены функции Грина);

• найдены приближенные аналитические формулы для нахождения собственных частот.

2) Получены оценки погрешности предлагаемых решений при различных нагрузках и краевых условиях. Кроме того, показано, что решение задачи об изгибе прямоугольной пластинки является равномерно сходящимся рядом.

3) Проведено исследование возможности использования полученного решения задачи об изгибе пластины для нахождения изгибающих и крутящих моментов. Установлено, что ряды для изгибающих и крутящих моментов равномерно сходятся и получены оценки для скорости сходимости этих рядов.

4) Сравнивая предлагаемый подход к исследованию напряженно - деформируемого состояния и параметров колебаний прямоугольных пластин с другими приближенными методами как аналитическими, так и численными, можно говорить о следующих преимуществах:

• В результате применения предлагаемого подхода для допустимых краевых условий получены простые расчетные выражения. Все интегралы, входящие в формулы, найдены в замкнутом аналитическом виде.

• Указанное преимущество, делает возможным использование результатов на начальной стадии проектирования; для анализа влияния отдельных параметров конструкций; в расчетах, где решение рассматриваемой задачи не является конечной целью; при многовариантном проектировании и т.д. Кроме того, явный вид коэффициентов, входящих в расчетные формулы, приводит также к существенному сокращению времени, необходимого для расчета пластин. Это важно при построении современных экспертных систем и систем автоматизированного проектирования.

• Важным преимуществом полученных результатов является также единый подход к расчету пластин при различных видах закрепления и нагружения. Кроме того, полученные результаты можно эффективно использовать при исследовании вынужденных колебаний прямоугольных пластин.

1. Авдонин А.С., Фигуровский В.И. Расчет на прочность летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1985. - 439 с.

2. Алейников И.А. Функция Грина в задачах изгиба пластинки с прямоугольным контуром. М.: РГОТУПС, 2000. - 6 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.06.2000, № 1596-ВОО.

3. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. М.: Наука, 1987. - 360 с.

4. Антонов В.В. Основные соотношения линейной теории плит и балок для задач динамики. Моск. гос. строит, ун-т. М., 2000, 20 с. Деп. в ВИНИТИ 22.08.2000, №2296-В2000.

5. Балабух Л.И., Ал футов Н.А., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. -М.: Высшая школа, 1984. 391 с.

6. Барановский Г.К., Кадомцев И.Г. Свободные колебания жесткозакрепленной прямоугольной пластины // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. - №3 -С. 170- 178.-Рус.

7. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

8. Белубекян В. М., Белубекян М. В. О граничных условиях теории пластин. Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1999. 52, № 2, с. 11-21. Библ. 7. Рус.; рез. арм.

9. Ю.Бидерман В.JT. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980.-408 с.

10. Болотин В.В., Макаров Б.П., Мишенков Г.В., Швейко Ю.Ю. Асимптотический метод исследования спектра собственных частот упругих пластинок. Сб. «Расчеты на прочность», вып. 6. М., Машгиз, 1960.

11. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин. М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.

12. З.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980. - 976 с.

13. М.Букша В.В., Рогалевич В.В. Расчет прямоугольных пластин методом смешанной коллокации // Изв. вузов. Стр-во Изв. вузов. Стр-во и архит. . -1996. -№12. -С. 27-31.-Рус.

14. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластины, диски, балки-стенки (прочность, устойчивость и колебания). Киев: Государственное издательство по строительству и архитектуре УССР, 1959. - 1049 с.

15. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1995. - 572 с.

16. Васильев В.В. Классическая теория пластин история развития и современные концепции // Тез. докл. 2 Междунар. симп. «Динам, и технол. пробл. мех.конструкций и сплошных сред», Москва, 1996. - М., 1996. -С. 37.-Рус.

17. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред.совет: В.Н.Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1978 - Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. 1978 .С. 158.

18. Виноградов Ю.И. Метод расчета прямоугольных пластин при изгибе сосредоточенными силами // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1987. Вып. 28. С. 244-251.

19. Вовкушевский А.В., Шойхет Б.А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов. М., 1981.

20. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-304 с.

21. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. - 336 с.

22. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 5, 6-7. Казань. Изд-во Казанского ун-та, 1967, 1970.

23. Голоскоков П.Г. О вариационном методе Л.В. Канторовича в задачах изгиба пластин // Тр. Ленинград, ин-та вод. трансп. 1973. Вып. 140. С. 8088.

24. Гоменюк С.И. Алгоритм построения матрицы жесткости по произвольно заданному функционалу // Придншр. наук .вюн.-1997.-№4.-С. 32-38.-Рус.

25. Гомешок С.И., Толок В.А. Инструментальная система анализа задач механики деформируемого твердого тела // Придншр. наук. вюн.-1997.-№4.-С.21-31.

26. Гонткевич B.C. Собственные колебания пластинок и оболочек. Справочник. Под ред. гл.-кор. АН УССР А.П. Филиппова. Киев: Наукова думка, 1964.-288 с.

27. Даревский В.М., Шаринов И.Л. Новое решение задачи об изгибе защемленной по краям прямоугольной пластинки // Успехи механики деформируемых сред. 1975. С. 183-194. Деп. в ВИНИТИ 2302.2001, № 468-В2001.

28. Зозуля В. В., Лукин А. Н. О расчете пластин методом граничных элементов //Прикл. мех. (Киев).— 1997.—33, № 3.—С. 79-83.

29. ЗЗ.Зонова О.П. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругой пластины методом степенных рядов // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. 4-й Междунар. конф., Ростов-на- Дону, 27-28 окт., 1998. Т.1. Ростов н/Д. 1998, С. 164-167.

30. Иванов В.Н. Асимптотические методы при расчете пластин. // 32 Науч. конф. по направлению «Техн. науки», 9-14 дек., 1996: 20 Науч.-техн. конф. студ. инж. фак. Рос. ун-та дружбы народов, 16-18 апр., 1996: Тез. докл. М., 1996. - С. 61.

31. Кадомцев И.Г., Барановский Г.К. Применение балочных функций в задаче о свободных колебаниях прямоугольной пластины. Совр. пробл. мех. сплош. среды: Тр. 5-й Междунар. конф., Ростов-на-Дону, 12-14 окт., 1999. Т. 1. Ростов н/Д. 2000, с. 101-105.

32. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. -М., Л., 1950.-693 с.

33. Киликовская О.А., Овчинникова Н.В. Численное исследование обратной задачи изгиба пластин // НИИ мех. МГУ. М., 1997. - 37 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.11.97., №3451-В97.

34. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложениях к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран // MI Ш. — 1940. -Вып. 5-6.-Т. 4.-С. 61-72.

35. Коробко В.И. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. М.: Изд-во АСВ, 1999. 304 с.

36. Коробко В.И. Состояние и перспективы развития изопериметрического метода в строительной механике // Изв. вузов. Строительство, 1993. № 11-12. С. 125-135.

37. Космодамианский А.С. Метод малого параметра в задачах деформации тонких пластинок // Теор. и прикл. мех. (Киев). 1997. - №27. - С. 41 -43.

38. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. -М.: Мир, 1982.- 334 с.

39. Кузьменко А.С. Некоторые основные особенности математического аппарата традиционной механики деформируемого твердого тела. М.: Изд-во МГГУ. 1998, 48 с.

40. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1. М.-Л, Гостехиздат, 1933.-525 с.

41. Лурье С.А. Изгиб прямоугольной ортотропной пластинки, защемленной по контуру // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. №1. С. 159-168.

42. Лущик О.Н. Сингулярные конечные элементы. Обзор и классификация // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. - №2. - С. 103-114. - Рус.

43. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. 3-е изд. - Рига: Зинатне, 1980. - 572 с.

44. Масленников A.M. Расчет строительных конструкций численными методами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. -225 с.

45. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1981.-216 с.

46. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1966. - 707 с.

47. Новожилов В.В. Теория упругости. Л., 1958.

48. Пюкунов В.Г. До визначення частот власних коливань прямокутних пластинок при м1шаних граничних умовах. Прикладна мехашка. Т.Х. Вип. 1, 1964.

49. Пюкунов В.Г. Точшсть розв'язання задач про коливання пластинок ието-дом скшчених р1зниць. 36. «Onip матер!ал!в I теор1я споруд», вип. IV. К., «Буд1вельник», 1966.

50. Пискунов В.Г. Некоторые задачи собственных колебаний пластинок со свободными краями. «Прикладная механика», т. V, вып. 10. Киев, «Нау-кова думка», 1969.

51. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Госматиздат, 1962. - 336 с.

52. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник. М.: Машиностроение, 1989. - 520 с.

53. Роботнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., 1979.

54. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

55. Амуре, 18-28 апр., 1997: Тез. докл. Комсомольск - на - Амуре, 1997. -С. 13.-Рус.

56. Скляр О. Н. Об одной системе уравнений математической теории упругости // Весщ АН Беларус! Сер. ф1з.-тэхн. н. Весщ АН БССР. Сер. <.из.-тэхн. н.] .— 1997.—№2.—С. 115-116.

57. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.1. М.: Наука, 1967. - 479 с.

58. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966.- 635 с.

59. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.

60. Уманский А.А. Строительная механика самолета. М.: Оборонгиз, 1961. - 529 с.

61. Фаддеев Д.К., ФаддееваВ.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Наука, 1963.-735 с.

62. Фаддеева В.Н. О фундаментальных функциях оператора xlv// Труды Мат. института им. В.А. Стеклова. Т.28. М.: Наука,1949. - С. 157-159.

63. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев, «Наукова думка», 1965.

64. Фридман Л.И., Карасева О.А. Сравнение частот прямоугольных пластин, вычисленных по уточненной и классической гипотезам / // Изв. вузов. Стр-во. 2000. - №1. - С.21-26, 137.

65. Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного к некоторым пространственным задачам теории упругости. Прикл. мат. и мех.(Москва). 2000.64, №4, с.659-673.

66. Fletcher H.J. The frekuancy of vibration of rectangular isotropic plates, J. of АРМ, 26, №2, 1959.

67. Gao X. Alternative derivation of Marguere's displacement solution in plane isotropic elasticity-L. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2000. 67, №2, c.414-421. Англ.

68. Gong Ke. Bending theories for beams and plates with single generalized displacement. Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 2000. 21, №9, c. 1091-1098. Англ.

69. Grbis Dragoljub. Primena uopstene Bubnow-Galerkinove methode na problem savijanja pravougaonih ploca // Tehnika. 1996 . - 51, № 5-6 . - C. NG1-NC4 . - Серб.-хорв. ; рез. англ.

70. Hassis Hedi. A modified first-order-warping theory for shear deformation analysis. Eur. J. Mech. A. 2000. 19, № 5, c. 911-923. Англ.

71. Li Xinye, Qian Haichao, Ma Changpei. Анализ собственных частот прямоугольных пластин с четырьмя защемленными краями при помощи теоремы взаимности // Hebei gongye daxue zuebao = J. Hebei Univ. Technol.1999. 28, №5. - C. 90-94. - Кит.; рез. англ.

72. Lio Xiong. Changsha jiaotong xueyuan xuebao=J. Changsha Commun. Univ.2000. 16, № 4, C. 8-13. Кит.; рез. англ.

73. Mohr G.A. Polynomial solutions for thin plates. Int. J. Mech. Sci. 2000. 42, №6, c. 1197-1204. Англ.

74. Pevzner Pavel, Weller Tanchum, Berkovits Avraham. Further modification of Bolotin method in vibration analysis of restangular plates. (Israel Inst. Of Technol). AIAA Journal. 2000. 38, №9, c.1725-1729. Англ.

75. Rajalingham C., Bhat R.B., Xistris G.D. Closed form approximation of vibration modes of rectangular cantilever plates by the variational reduction method // J. Sound and Vibr. 1996 . - 197, № 3 . - C. 263-281. - Англ.

76. Rajalingham C., Bhat R.B., Xistris G.D. Vibration of rectangular plates using plate characteristic functions as shape functions in the Rayleigh Ritz method // J. Sound and Vibr. - 1996 . - 193, № 2 . - C. 497-509 . - Англ.

77. Ritz W. Theorie der Transversalschwingungen einer quadratischen Platte mit freien Randern. Annalen derPhysik, 1909, B. 28, N. 4, S. 737-786.

78. Steiner J. Einfache beweise der isoperimetrischen Hauptsatza // Ges. Werke. -Berlin. 1882. - V. 2. - P. 77-91.

79. Verfurth R. A review of a posteriori error estimation techniques for elasticity problems // Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng. 1999. - 176, №1-4.- C. 419-440.— Англ. Место хранения ГПНТБ России.

80. Wreijcewicz J.A., Krysko V.A. Vibration analysis of the plates and shells of moderate thiekness. J.Techn. Phys. 1999. 40, №3, c. 277-305. Англ.

81. Xu Qi lou, Zhang Feng, Ji Hong - en. Zhengzhou gongye daxue xuebao=J. Zhengzhou Univ. Technol. 2001. 21, №4, c. 1-34. Кит.; рез. англ.

82. Yamaji Seiichi, Matsuda Hirokazu, Ueno Muturou. Improvement of numerical techniques in BEM. Simultaneous linear equations // JSME Int. J. А. 1999. -42, № 2 - C. 183-190.-Англ.

83. Young D. Vibration of rectangular plates by the Ritz Method, J. of АРМ, v. 17, №4, 1950.

84. Zhong Wanxie, Yao Wei-an Новая система решений для изгиба пластин и ее применение // Lixue xuebao=A.cta mech.sin. 1999. - 31, № 2. - С. 173181. - Кит.; рез. англ.

85. Zhou Jianping, Li Haiyang, Li Aili. Метод передаточных функций полосового распределения для расчета упругих тонких пластин // Lixue xue-bao = Acta mech. sin. 1999.-31, №3. C. 320 - 329. - Кит.; рез. англ.