автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели элементов судовых и гидротехнических конструкций нерегулярной структуры

004603301

На правах рукописи

АВЕРЬЯНОВА ГАЛИНА ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ СУДОВЫХ И ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ НЕРЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2010

004608301

Работа выполнена на кафедре Прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Голоскоков Дмитрий Петрович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Пшеницын Владимир Ильич Доктор технических наук, профессор Галилеев Сергей Михайлович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет (СПбГМТУ)

Защита состоится «24» июня 2010 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 223.009.03 при Санкт-Петербургском государственном университете водных коммуникаций по адресу: 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, д. 5/7, ауд. 235.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан «_/£_» мая 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

Барщевский Е. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Многие элементы судовых и гидротехнических конструкций, такие как переборки, палубы, борта судов, затворы судоходных шлюзов, можно рассматривать как комбинацию пластин, стержней и оболочек. В большинстве своем, такие конструкции содержат разнообразные особенности в виде всевозможных накладок, ребер и т.п. для повышения их надежности без значительного влияния на общий вес. Расчет пластин при наличии ребер связан с определенными трудностями. Обычно при таком расчете приходится для каждой зоны с непрерывно меняющимися параметрами составлять отдельные системы дифференциальных уравнений и заботиться не только о соблюдении условий на контуре всей системы, но и удовлетворять условиям контакта на границах отдельных областей, где могут быть разрывы, связанные с изменением жесткости исследуемых объектов в местах включения ребер и других особенностей.

Таким образом, создание математических моделей на основе аналитических методов расчета таких конструкций и решения на их основе конкретных задач, является одной из актуальных проблем.

Настоящая работа посвящена развитию численно-аналитических методов решения краевых задач теории упругих тонких пластин, подкрепленных ребрами жесткости и приложению этих методов к расчету тонкостенных конструкций таких, как плоские перекрытия и затворы судоходных шлюзов. Ребра жесткости таких конструкций являются не вспомогательными, а основными несущими элементами, они имеют значительные размеры и жесткость. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) этих ребер является одним из главных элементов расчета.

Целью работы является повышение точности расчета судовых и гидротехнических конструкций. Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:

1. разработать математические модели плоских перекрытий и затворов судоходных шлюзов на основе теории платин и стержней;

2. определить основные характеристики напряженно-деформированного состояния реальных конструкций;

3. построить на основе единого подхода динамические модели конструкций нерегулярной структуры и применить их для решения задачи о колебаниях;

4. построить конечно-элементные модели конструкций и выполнить на их основе расчеты для сравнения полученных результатов.

Объектами исследования являются судовые и гидротехнические конструкции, такие как судовые перекрытия и плоские затворы судоходных шлюзов.

Предмет исследования составляют математические модели позволяющие определить НДС конструкций, подверженных статической и динамической нагрузке.

Методы исследования. Методологической основой исследования являются теория гладких и ребристых пластин, теория дифференциальных уравнений, теория обобщенных функций, численные методы. Научная новизна:

1. состоит в разработке на основе единого подхода с использованием теории ребристых пластин статических и динамических математических моделей судовых и гидротехнических конструкций, таких как затворы судоходных шлюзов и плоские судовые перекрытия;

2. расчетные модели конструкций реализуются в аналитических решениях, что является преимуществом перед дискретными расчетными моделями, позволяя простыми средствами выявить зоны концентрации напряжений и, тем самым, избежать наступления предельного состояния, повысить прочностную надежность конструкции.

Практическая значимость. Получены решения задач изгиба и колебаний прямоугольных подкрепленных пластин, моделирующих работу затворов гидротехнических сооружений или судовых перекрытий. Эти решения доведены до практической реализации в расчетных схемах конструкций ГТС, плоских перекрытий и других аналогичных конструкций. Созданы и реализованы в программах в системе аналитических вычислений Марк новые эффективные алгоритмы расчета НДС ребристых пластин.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

• строгим использованием математического аппарата теории гладких и ребристых пластин, теории дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций;

• совпадением решений полученных численно-аналитическими методами в системе Марк и методом конечных элементов в среде АРМ Б1гис1игеЗО. Внедрение результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются:

• в учебном процессе в Санкт-Петербургском университете водных коммуникаций при выполнении курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика и информатика», связанных с математическим моделированием упругих тонкостенных систем на водном транспорте;

• в СПКТБ «ЛЕНГИДРОСТАЛЬ» (акт внедрения № 1-48/53-613 от 19.04.2010).

На защиту выносятся:

1. Математические модели плоских перекрытий и затворов судоходных шлюзов, построенные на основе единого подхода с использованием теории ребристых пластин;

2. Компьютерная реализация математических моделей - программы, написанные в математическом пакете Марк, и служащие для определения основных характеристик НДС реальных конструкций;

3. Динамические модели конструкций нерегулярной структуры и применение их для решения задачи о колебаниях;

4. Конечно-элементные модели конструкций и выполненные на их основе расчеты для сравнения полученных результатов.

Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

• научно-методической конференции, посвященной 195-летию образования в области водных коммуникаций России, СПГУВК, 2005 г.

• XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». 2005 г.

• международной научно-практической конференции «ИТО Поволжье» 2007 г.

• международной научно-практической конференции «Безопасность речных судоходных гидротехнических сооружений», посвященной 100-летию образования гидротехнической лаборатории имени профессора В.Е. Тимонова, 2007 г.

• XXIII международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». 2009 г.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 8 печатных работах, одна из которых в журнале, рекомендованном ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименования. Полный объем работы составляет 151 страницу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дано обоснование актуальности работы, сформулированы ее цели и научная новизна.

В первой главе содержится краткий обзор и анализ существующих математических моделей и методов расчета конструкций нерегулярной структуры, таких как плоские затворы судоходных шлюзов и судовые перекрытия. Отмечается, что в настоящее время широкое применение получил метод конечных элементов. Альтернативным направлением расчета является применение приближенных аналитических методов. Решения, полученные такими методами, отличаются большей точностью и наглядностью. Однако, из-за трудностей возникающих при практической реализации, они используются значительно реже численных методов. Аналитические методы изложены в трудах И.Г. Бубнова, В.З. Власова, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко, В.В. Новожилова и др.

Анализ конструкций плоских затворов и судовых перекрытий, показал, что их расчетными моделями могут служить пластины, подкрепленные ребрами жесткости. В этом случае конструкция рассматривается как континуальная. Ребра жесткости учитываются с помощью S -функций. Использование аппарата обобщенных функций применительно к задачам механики ребристых пластин рассматривается в работах Е.С. Гребень, П.А. Жилина, П.Г. Голоскокова, Д.П. Голоскокова, H.A. Назарова, Б.К. Михайлова и др.

Вторая глава посвящена численно-аналитическим моделям упругих конструкций, таких как плоские затворы и судовые перекрытия, которые можно

упрощенно представить в виде гладкой прямоугольной пластины или пластины, подкрепленной ребрами жесткости. Отметим, что ребра плоского затвора имеют значительную жесткость.

Приведено основное разрешающее уравнение изгиба прямоугольной пластины, подкрепленной ребрами в обоих направлениях. Рассмотрены основные типы граничных условий и виды поперечных нагрузок. Нагрузка входит в правую часть уравнения как функция переменных хну, т.е. в общем случае может быть произвольной.

Учет ребер жесткости осуществляется с помощью 8 -функций, которые входят в качестве множителей в правую часть уравнений.

Геометрия ребер учитывается в коэффициентах, входящих в разрешающее уравнение изгиба прямоугольной пластины.

Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих 5 -функции. Приведено общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка, содержащее 6-функцию в правой части.

Получены решения изгиба гладкой прямоугольной пластины методами Канторовича и Бубнова-Галеркина.

Получены решения уравнения, описывающего прогиб пластины подкрепленной ребрами параллельно одной из сторон, на различную нагрузку. Данное уравнение совместно с граничными условиями служит моделью ригельного плоского затвора. Приведены формулы для вычисления моментов и напряжений в пластине.

На основе полученных решений разработаны математические модели плоского затвора и перекрытия, рассчитано несколько примеров в математическом пакете Maple. Для решения задач изгиба и колебания гладкой прямоугольной пластины создана библиотека, включающая в себя функции для расчета методами Канторовича и Бубнова-Галеркина. Реализована возможность интерактивного ввода данных и справка.

Приведен пример расчета ригельного плоского затвора на гидростатическую нагрузку. Получены графики прогиба, моментов и напряжений.

Получено решение уравнения, описывающего прогиб пластины подкрепленной перекрестной системой ребер параллельно сторонам пластины. Данное уравнение совместно с граничными условиями может служить моделью плоского затвора или перекрытия.

Приведен пример расчета пластины подкрепленной перекрестной системой ребер на гидростатическую нагрузку.

Результаты, полученные в рассмотренных примерах, показывают достаточно хорошую сходимость решения. Однако сходимость ухудшается на линиях расположения ребер жесткости. Для ее улучшения необходимо удерживать большее число членов ряда в решении и увеличивать количество знаков в мантиссе. Это несложно сделать путем изменения встроенной константы Digits пакета Maple и констант, определенных в разработанных математических моделях.

Уравнение изгиба ребристой пластины:

„I оу у.| ох

где

и» — функция нормального прогиба; <у — внешнее нормальное давление; £> — жесткость изотропной пластины;

х = у = ^ — координатные линии, вдоль которых расположены ребра; К2,К, — число ребер, параллельных соответственно осям х и у; Ви, В2у — жесткости ребер при изгибе; Ки, К2 —жесткости ребер при кручении;

Рассмотрены основные типы граничных условий: шарнирно-опертый край, свободный край, абсолютно заделанный край;

Решение задачи строится путем разложения функции прогиба м в ряды Фурье по переменным х и у с коэффициентами мту(у) и ^„(дг). После подстановки рядов в уравнение, получаем уравнение относительно трансформант и ЧиС*)- Его решение можно представить в виде суммы решений трех дифференциальных уравнений:

Решения получаются методом вариации произвольных постоянных, в предположении, что правая часть не зависит от функции м>.

Неизвестные коэффициенты находятся из алгебраической системы уравнений, которая получается после нахождения коэффициентов Фурье при подстановке х = х/ и у = у. (условия совместности деформаций). Эта система решается совместно с системой, построенной по граничным условиям.

Пластиной, подкрепленной перекрестной системой ребер можно моделировать различные перекрытия и затворы. Ниже приведены результаты расчета НДС прямоугольной пластины, подкрепленной перекрестной системой ребер жесткости параллельно сторонам пластины. Материал пластины и ребер — сталь с модулем Юнга Е = 2 х 105 МПа и коэффициентом Пуассона V = 0.3.

Пластина подкреплена тремя горизонтальными (ригели) и тремя вертикальными (стойки) ребрами жесткости (рис. 1). Обшивка пластины имеет постоянную толщину А = 0.012 м. Размеры в плане — по оси х: а = 4 м, по оси у: 6 = 8 м.

(2)

(3)

(4)

Ребра жесткости: горизонтальные ригели — тавры: высота стенки

— 0,8 м; толщина стенки — 0,02 м; ширина полки — 0,35 м; толщина полки — 0,04 м; вертикальные стойки: — тавры: высота стенки — 0,6 м; толщина стенки — 0,02 м; ширина полки

— 0,35 м; толщина полки — 0,03 м. Поперечная нагрузка: гидростатическое давление воды, полный напор 4 м.

Пластина шарнирно оперта по контуру. Координаты расположения ребер: х1 = 1.25 м, х2 = 2.25 м, х} = 3.2 м и у, = 2 м, у2 = 4 м, у} = 6 м.

Результаты расчета приведены ниже в виде графиков прогибов и напряжений (напряжения - в Паскалях, прогибы - в метрах). Прогиб на уровне х = 2 м:

Рис. 1. Модель расчета

о 12 3

Прогиб на уровне у = 3 м:

У. А1

Нормальное напряжение а , х = 1 м:

Су. Па

Нормальное напряжение ах, у = 3 м:

Трехмерный график изгиба пластины приведен на рис. 2. Результаты расчета показывают достаточно хорошую сходимость рядов в полученном решении. Следует отметить, что сходимость рядов ухудшается на линиях расположения ребер жесткости (чем больше жест-a jjk Jfk кость ребер, тем хуже сходимость). Для ее

! /иЩ. nm>. Дик улучшения необходимо удерживать боль-

' ''"А шее числ0 членов ряда. Однако, при увели-Шя V'V'Sl чении числа удерживаемых членов в рядах проявляется еще одна особенность данных задач - вычислительная неустойчивость, Рис. 2. Прогиб пластины поэтому необходимо увеличивать количе-

ство знаков в мантиссе. В системе Maple это легко сделать путем изменения переменной Digits.

На рис. 3, 4 приведены результаты расчета прогибов непосредственно в ребре, из которых видно, что для получения приемлемых результатов необходимо удерживать большее количество членов ряда и увеличивать мантиссу. Из рис. 4 можно определить как характер прогиба, так и его величину. Для расчета прогиба непосредственно в ребре можно интерполировать прогиб, полученный при сравнительно небольшом количестве членов ряда некоторым полиномом, w, м

0.0001

х, м

Рис. 4. Прогиб по линии ребра у = 4 м. Удержано 55 членов ряда и 150 цифр в мантиссе.

Рис. 3. Прогиб по линии ребра у = 4 м. Удержано по 7 членов ряда и 25 цифр в мантиссе. V/, и

О

0 0001 0.0002 0 0003 О 0004

о

В третьей главе построены динамические математические модели колебания затвора судоходного шлюза и плоского перекрытия. Были рассмотрены две задачи. Первая — вынужденные колебания без учета ребер жесткости, вторая — с учетом ребер жесткости. Причем, как и в главе 2 ребра могут располагаться как в одном, так и в обоих направлениях, т.е. в уравнении колебаний будет присутствовать одно или два дополнительных слагаемых, отвечающих за ребра.

Для решения поставленной задачи используется метод Канторовича и процедура Бубнова-Галеркина, при этом исходное дифференциальное уравнение в частных производных аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. В данном случае приближенное решение разыскивается в виде отрезка ряда по известным базисным функциям, удовлетворяющим граничным условиям. Для условий шарнирного опирания используются тригонометрические функции. Для условий защемления были выбраны специальные полиномы, построенные на основе полиномов Якоби:

/Л(а-Р) (>-) = Д'2 (1 - Д')2 Р(",Р) (Д'), « = 0,1,2..., где Р^'^у) — ортонормированный полином Якоби, который равен:

где — нормированный полином Якоби:

(а,р) = [(2/7 + а + р + 1)г(я + 1)Г(« + а + р + 1)^ { 2а+|3+1г(и + а + 1)Г(/1 + Р + 1) | '

где —ненормированный полином Якоби, Г — гамма-функция.

В первом параграфе рассматривается метод Бубнова-Галеркина на примере решения задачи изгиба пластины, подкрепленной ребрами жесткости. Решение уравнения (1) ищется в виде ряда:

оо сс

Ц^ЬЕЕ^л^КМ' (5)

где <рп (*), — ортогональные функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи, а мтг — неизвестные числовые коэффициенты, которые определяются из системы алгебраических уравнения полученной методом Бубнова-Галеркина.

Рассмотрим пример. Пластина (сталь с модулем Юнга Е = 2е\\Па, коэффициентом Пуассона V = 0.3, толщина к = 0.012м) защемлена по всему контуру и нагружена гидростатической нагрузкой, подкреплена двумя ребрами жесткости, расположенными по линиям х = х1. Размеры пластины в плане

О<х<а, О<у <Ь (а = 4 м, Ь = 4 л<). Координаты ребер жесткости: х1 =1.33 м, х2 = 2.66 л(. Ребра жесткости — тавры с размерами: высота стенки Из:=0.8м, толщина стенки ¿у; =0.02 м, ширина полки Ьр:=0.35 м, толщина полки 1р:=0.04м. Поперечная нагрузка — гидростатическое давление воды, полный напор 4 м.

Результаты расчета плоского затвора судоходного шлюза с ребрами одного направления методом Бубнова-Галеркина представлены в виде графиков прогибов и напряжений. Удержано 9 членов ряда (5) по обеим переменным.

Прогиб при х~3.5м (наибольший) Прогиб приу=2м

1. Колебания «гладкой», неподкрепленной пластины. Основное разрешающее уравнение колебаний тонкой изотропной пластины имеет вид:

£> д4к Ю д*м> О д4м> , ч , д2\у --+ . . . - +——г = д{х,у,1)-рЬ—.

а4 дх4 агЬг дх2дуг б4 дуА

дГ

(6)

Здесь £> — цилиндрическая жесткость пластины; и* — функция нормального прогиба, р — линейная плотность материала.

В соответствии с методом Л.В, Канторовича, решение задачи ищется в виде двойного ряда:

т=0 п=0

(7)

где /к — система ортонормированных полиномов специального вида, удовлетворяющих однородным граничным условиям, а № (() — пока неизвестные функции, определяемые из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается с помощью процедуры Бубнова-Галеркина:

т=0п=0

ЪтрК 2атрат Ьп!Ътр

„2т2 .4

а а о Ь

(8)

т=0л=0

где

я . Х/Л*) г (хЛ±с

ап,р = ]—71—1р{х)с1х, Ьтр = \———/р(х)Лс,

о <Ь< ..... - ^ А«

1 1

00

1, т = р, 0, т* р.

Если ввести предположение о квазиортогональности первых и вторых производных полиномов /к то система дифференциальных уравнений (8) в первом приближении преобразовывается в отдельные дифференциальные уравнения (9):

= ЯРЛ0-РИ-р,з = 0,1,2,3,.... (9)

Ьрр 2 арра55 Ь!5

„4 ,4

а а о о

с1г

Данная задача решается с соответствующими начальными условиями:

= 0. 1,-0 = 0-

Приведен пример расчета колебаний пластины, получены графики прогибов в отдельные моменты времени (рис. 5).

На квадратную пластину толщиной /¡ = 0,012 м, длинной 4 м действует внешняя гармоническая сила ) = д^Бш(0/д, Яо= Ю00 Па. Модуль Юнга

£ = 2105 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,3, линейная плотность материала р = 7850 кг/м . Пластина жестко защемлена по контуру, начальное отклонение и начальная скорость равна нулю.

0.006 3

Рис. 5. Кадры трехмерной анимации изгиба пластины.

2. Колебания пластины, подкрепленной ребрами жесткости.

Пластина подкреплена перекрестной системой ребер жесткости, распо-

= *„ 0 = 1,2,...,£,); у = у, 0 = 1,2 ,...,Кг), где

ложенных вдоль линий

xt,y = const. Тогда уравнение колебаний имеет вид:

yh д w , Ik

—"—T + Lw = q(x,y,t)-2,

g 81 ы

д4-

w 82W i —г + Щ i —r

t

i=i

B-

О w

Xi

dx

4 +m2,J

d2w

dS

¿(x-x,) 5{У~У>),

(10)

где и' — прогиб срединной плоскости пластинки; у — удельный вес материала пластины; § — ускорение свободного падения; к — толщина пластины, кото-

рую считаем постоянной; В,,, В2] — жесткости ребер при изгибе; ти, т2 у —

погонные массы ребер.

Решение задачи ищется в виде двойного ряда:

т=\ я=1

(И)

где фт(х), у „(у) — ортонормированные функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи.

После проведения процедуры Бубнова-Галеркина задача сводится к решению задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений.

Пример расчета. Пусть пластина, защемлена по всему контуру и нагружена постоянным давлением интенсивности ра, подкреплена перекрестной системой ребер жесткости. Размеры пластины в плане 0<х<а, 0<у<Ь (а = 4 м, 6 = 4м), толщина 0.012 м. Ребра жесткости вдоль оси у (при х = 2 м) и вдоль оси х (при у - 2 м) — тавры с размерами: высота стенки 0,8 м, толщина стенки 0,02 м, ширина полки 0,35 м, толщина полки 0,04 м\. Толщина пластины — 0,012 м. Графики прогиба при_у=/л< в различные моменты времени показаны на рис. 6 (время менялось 7=0. .10).

У), и 0,0001.

одгаю

0,00003

о

-0,00005

~4 X, }Л

•а, м 0,00015-0ДЮ10-0.000050-0,00005-

М. 0,00015^ 0,00010 0,00005

о

-0,00005

4 Х,М

О 1 2 3 АХ, и

Рис. 6. Несколько кадров, иллюстрирующих прогиб в различные моменты времени

Такая конструкция может моделировать работу глубинного затвора водопроводных галерей судоходного шлюза. Если верхняя кромка такого затвора

расположена на глубине а2 -\м, то в этом случае р() = pga2, где р — плотность воды, g — ускорение силы тяжести

pg = 9806,65Н / м3 = 10кН / м3; р0 = pga2 = 40/сЯ / м3. Четвертая глава посвящена методу конечных элементов. В первом параграфе изложена идея метода конечных элементов, его преимущества и недостатки. Рассмотрены наиболее распространенные средства КЭ анализа. В качестве среды проектирования выбран отечественный модуль КЭ анализа АРМ Structure3D системы АРМ WinMachine, который представляет собой универсальную систему для расчета стержневых, пластинчатых, оболочечных, твердотельных, а также смешанных конструкций.

С помощью АРМ Structure3D рассчитано несколько примеров методом конечных элементов с целью сравнения с результатами, полученными в главе 2. Были построены две модели конструкций. Каждая из моделей включает в себя пластину, подкрепленную ребрами с заданным сечением, нагрузкой и способом закрепления. В соответствии с МКЭ пластина разбивалась на прямоугольные элементы, и производился расчет.

В результате расчета были получены графики прогибов и напряжений в каждом узле (рис. 7). Далее ЗдВЯИЯЯВЯИР» производилось сравнение ре- »_ " " ■*-■" _ -м

зультатов, с результатами, полученными в системе Maple численно-аналитическим методом. Для этого фиксировалось четыре прямоугольных элемента в модели МКЭ и соответствующие точки в функции w(x,y) из п. 2. Результаты вычислений совпали. Рис- Напряжения в пластине (пример из 2 главы)

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении содержатся программы расчета конструкций, реализованные в математическом пакете Maple.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ В диссертационной работе получил дальнейшее развитие численно-аналитический метод расчета пластин и оболочек с разрывными параметрами, предложенный, по-видимому, впервые для пластины профессором П.Г Голоскоковым (1964 г.) и для оболочки профессором П.А.Жилиным (1968 г.), а затем развитый профессором Б.К. Михайловым и его учениками. Основным направлением развития явилось применение метода к расчету различных судовых и гидротехнических конструкций, таких как затворы судоходных шлюзов и судовые перекрытия. Особенность этих конструкций состоит в том, что ребра жесткости являются не вспомогательными, а основными несу-

щими элементами и имеют значительную жесткость и размеры. Кроме того, метод распространен на задачи о колебаниях указанных конструкций.

На основе анализа различных конструкций, а также анализа результатов расчета НДС таких конструкций, сделан вывод о том, что хорошей расчетной моделью может служить тонкая упругая пластина, подкрепленная ребрами жесткости в одном или двух направлениях. Таким образом, задача расчета НДС конструкций (затвора судоходного шлюза или судового перекрытия) сведена к некоторой определенной краевой задаче математической физики. Факт сведения задачи расчета НДС конструкции к краевой задаче позволяет использовать различные, как аналитические, так и численные, методы решения поставленной задачи. Использование различных методов расчета НДС конструкций и возможность сравнения получаемых результатов повышает их надежность и достоверность.

Основные результаты диссертационной работы:

1. получены общие решения задач на основе, которых разработаны соответствующие математические модели:

• Изгиба прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в одном направлении, параллельно одной из сторон пластины, на основе теории ребристых платин.

• Изгиба прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных сторонам пластины на основе теории ребристых платин.

• Изгиба прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в одном и в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных сторонам пластины методом конечных элементов.

2. в математическом пакете Марк написаны программы, позволяющие получить решения статических и динамических задач изгиба плоских затворов и судовых перекрытий.

3. получены общие решения задач на основе, которых разработаны соответствующие математические модели:

• Динамической задачи колебания прямоугольных пластин без учета ребер жесткости на основе метода Канторовича.

• Динамической задачи колебания прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных сторонам пластины на основе метода Канторовича.

4. произведено сравнение решений статических задач с решением, полученным методом конечных элементов. Расчет нескольких примеров был выполнен методом конечных элементов в программе АРМ \VinMachine в модуле АРМ БггисшгеЮ. Результаты расчетов методом конечных элементов и развиваемым в настоящей работе методом хорошо согласуются. Аналитические решения, предложенные в работе, могут рассматриваться

как эталонные и служить для проверки численных решений соответствующих краевых задач, в том числе и полученных методом конечных элементов, а также для апробации новых приближенных аналитических и численных методов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, предусмотренных «Перечнем изданий ВАК»:

1. Аверьянова Г.В. Математические модели плоских затворов судоходных шлюзов. - Речной транспорт (XXI век). - 2007. - №6.

В других изданиях:

2. Аверьянова Г.В. Математические модели элементов судовых и гидротехнических конструкций. // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов. XXIII меяед. конф. СПб: 28 сент - 1 окт 2009г. с.7-9.

3. Аверьянова Г.В. Построение математической модели плоского затвора. // Математика и ее приложения: Межвузовский сборник научных трудов / Под ред. Д.П. Голоскокова, А.Р. Шкадовой. - Вып. 2 (2009) - СПб.: СПГУВК, 2009 г. с. 155-164.

4. Аверьянова Г.В. Решение краевых задач теории упругости в системе Maple. //Труды научно-методической конференции, посвященной 195-летию образования в области водных коммуникаций России, том II. Гуманитарные вопросы, прикладная математика, экономика и юриспруденция. -СПб: ИПЦ СПГУВК, 2005. - 183.

5. Аверьянова Г.В., Голоскоков Д.П. Динамический расчет тонких пластин при помощи полиномов специального вида в системе Maple. //Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XXI международной конференции. 4-7 октября 2005 г. - СПб: ВВМ, 2005. - 237 с.

6. Аверьянова Г.В., Голоскоков Д.П. Динамический расчет тонких пластин при помощи полиномов специального вида в системе Maple. //Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXI международной конференции. 4-7 октября 2005 г. - СПб: ВВМ, 2006. - 548 с.

7. Аверьянова Г.В., Голоскоков Д.П. Расчет тонких пластин при помощи полиномов специального вида. - М.: Exponenta Pro. Математика в приложениях. 2004, № 1, стр. 70-75.

8. Аверьянова Г.В., Голоскоков Д.П. Численно-аналитический метод расчета плоского затвора судоходного шлюза. // Вестник московского городского педагогического университета. Серия «информатика и информатизация образования» № 1(8) 2007. Международная научно-практическая конференция ИТО Поволжье 2007. Российский научный семинар «Методы информационных технологий, математического моделирования и компьютерной математики в фундаментальных и прикладных научных исследованиях».//Материалы конференции и труды семинара- Казань: изд-во «Фолиантъ», 2007. - 432 с.

Подписано в печать 04.05.10 Сдано в производство 04.05.10 Формат 60x84 1/16 Усл.-печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1. _Тираж 60 экз._Заказ № 56_

Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7

Отпечатано в типографии ФГОУ ВПО СПГУВК 198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2

Введение.

Глава 1. Обзор конструкций и методов их расчета.

1.1. Плоские перекрытия.:.

1.2. Методы расчета плоских перекрытий.

1.3. Затворы ГТС.

1.4. Методы расчета плоских затворов ГТС.

Выводы по первой главе.

Глава 2. Численно-аналитические модели упругих конструкций.

2.1. Постановка задачи в теории изгиба ребристых пластин.

2.2. Методы решения ОДУ с особенностями.

2.3. Метод Канторовича.•.

2.4. Классический метод Бубнова-Галеркина.

2.5. Пластина, подкрепленная ребрами одного направления.

2.6. Пластина, подкрепленная перекрестной системой ребер.

2.7.Компьютерная реализация. Математические пакеты.

2.8. Примеры расчета прямоугольных пластин.

2.9. Примеры расчета прямоугольных ребристых пластин.

Выводы по второй главе.

Глава 3. Численно-аналитические динамические модели упругих конструкций.•.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Система полиномов для учета граничных условий.

3.3. Метод Бубнова-Галеркина.

3.4. Примеры расчета.

3.5. Исследование колебаний прямоугольной пластины.

3.6. Пример расчета.

3.7. Колебания пластины, подкрепленной ребрами жесткости.

3.8 Пример расчета.

Выводы по третьей главе.•.

Глава 4. Метод конечных элементов и сравнение результатов.106 '

4.1. О методе конечных элементов.

4.2. Среда проектирования АРМ Structure3D.

4.3. Построение моделей.

Выводы по четвертой главе.

Многие элементы судовых и гидротехнических конструкций, такие как переборки, палубы, борта судов, затворы судоходных шлюзов, можно рассматривать как комбинацию пластин, стержней и оболочек. В большинстве своем, такие конструкции содержат разнообразные особенности в виде всевозможных накладок, ребер и т.п. для повышения их надежности без значительного влияния на общий вес. Расчет пластин при наличии ребер связан с определенными трудностями. Обычно при таком расчете приходится для каждой зоны с непрерывно меняющимися параметрами составлять отдельные системы дифференциальных уравнений и заботиться не только о соблюдении условий на контуре всей системы, но и удовлетворять условиям контакта на границах отдельных областей, где могут быть разрывы, связанные с изменением жесткости исследуемых объектов в местах включения ребер и других особенностей.

Таким образом, создание математических моделей на основе аналитических методов расчета таких конструкций и решения на их основе конкретных задач, является одной из актуальных проблем.

Настоящая работа посвящена развитию численно-аналитических методов решения краевых задач теории упругих тонких пластин, подкрепленных ребрами жесткости и приложению этих методов к расчету тонкостенных конструкций таких, как плоские перекрытия и затворы судоходных шлюзов. Ребра жесткости таких конструкций являются не вспомогательными, а основными несущими элементами, они имеют значительные размеры и жесткость. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) этих ребер является одним из главных элементов расчета.

Целью работы является повышение точности расчета судовых и гидротехнических конструкций. Для достижения этой цели поставлены задачи: 1. разработать математические модели плоских перекрытий и затворов судоходных шлюзов на основе теории платин и стержней;

2. определить основные характеристики напряженно-деформированного состояния реальных конструкций;

3. построить на основе единого подхода динамические модели конструкций нерегулярной структуры и применить их для решения задачи о колебаниях;

4. построить конечно-элементные модели конструкций и выполнить на их основе расчеты для сравнения полученных результатов. Объектами исследования являются судовые и гидротехнические конструкции, такие как судовые перекрытия и плоские затворы судоходных шлюзов.

Предмет исследования составляют математические модели позволяющие определить НДС конструкций подверженных статической и динамической нагрузке.

Методы исследования. Методологической основой исследования являются теория гладких и ребристых пластин, теория дифференциальных уравнений, теория обобщенных функций, численные методы. Научная новизна:

1. состоит в разработке на основе единого подхода с использованием теории ребристых пластин статических и динамических математических моделей судовых и гидротехнических конструкций, таких как затворы судоходных шлюзов и плоские судовые перекрытия;

2. расчетные модели конструкций реализуются в аналитических решениях, что является преимуществом перед дискретными расчетными моделями, позволяя простыми средствами выявить зоны концентрации напряжений и, тем самым, избежать наступления предельного состояния, повысить прочностную надежность конструкции.

Практическая значимость. Получены решения задач изгиба и колебаний прямоугольных подкрепленных пластин, моделирующих работу затворов гидротехнических сооружений или судовых перекрытий. Эти решения доведены до практической реализации в расчетных схемах конструкций

ГТС, плоских перекрытий и других аналогичных конструкций. Созданы и реализованы в программах в системе аналитических вычислений Maple новые эффективные алгоритмы расчета НДС ребристых пластин.

Достоверность полученных результатов подтверждается: . А

1. строгим использованием математического аппарата теории гладких и ребристых пластин, теории дифференциальных уравнений, теории обобщенных функций.

2. совпадением решений полученных численно-аналитическими методами в системе Maple и методом конечных элементов в среде АРМ Structure3D.

Внедрение результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются в:

1. учебном процессе в Санкт-Петербургском университете водных коммуникаций при выполнении курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика и информатика»', связанных с математическим моделированием упругих тонкостенных систем на водном транспорте.

2. в СПКТБ «ЛЕНГИДРОСТАЛЬ» (акт внедрения № 1-48/53-613 от 19.04.2010).

На защиту выносятся:

1. Математические модели плоских перекрытий и затворов судоходных шлюзов, построенные на основе единого подхода с использованием У теории ребристых пластин;

2. Компьютерная реализация математических моделей - программы, написанные в математическом пакете Maple, и служащие для определения основных характеристик НДС реальных конструкций;

3. Динамические модели конструкций нерегулярной структуры и применение их для решения задачи о колебаниях.

4. Конечно-элементные модели конструкций и выполненные на их основе расчеты для сравнения полученных результатов.

Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

1. научно-методической конференции, посвященной 195-летию образования в области водных коммуникаций России, СПГУВК, 2005.

2. XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». 2005.

3. международной научно-практической конференции «ИТО Поволжье» 2007.

4. международной научно-практической конференции «Безопасность речных судоходных гидротехнических сооружений», посвященной 100-летию образования гидротехнической лаборатории имени профессора В.Е. Тимонова, 2007.

5. XXIII международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных'и конечных элементов». 2009.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано* в 8 печатных работах, одна из которых в журнале, рекомендованном ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименования. Полный объем работы составляет 151 страницу.

Основные результаты диссертационной работы:

1. получены общие решения задач на,основе, которых разработаны соответствующие математические модели:

• Изгиба прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в одном направлении, параллельно-одной из сторон пластины, на основе теории ребристых платин.

• Изгиба прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных сторонам пластины на основе теории ребристых платин.

• Изгиба прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жест. кости в одному в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных сторонам пластины методом-конечных элементов.

2. в математическом пакете Maple написаны программы, позволяющие получить решения статических и динамических задач изгиба плоских затворов и судовых перекрытий.

3. получены общие решения задач на основе, которых разработаны соответствующие математические модели:

• Динамической задачи колебания прямоугольных пластин без учета ребер жесткости на основе метода Канторовича.

• Динамической задачи колебания прямоугольных пластин, подкрепленных ребрами жесткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных сторонам пластины на основе метода Канторовича.

4. произведено сравнение решений статических задач с решением, полученным методом конечных элементов. Расчет нескольких примеров был выполнен методом конечных элементов в программе АРМ WinMachine в моду

126 ле АРМ Structure3D, где были получены графики прогибов и напряжений в пластине. Результаты расчетов методом конечных элементов и развиваемым в настоящей работе методом хорошо согласуются.

Предложенные в работе аналитические решения: во-первых, позволяет простыми средствами выявить зоны концентрации напряжений и, тем самым, избежать наступления предельного состояния, повысить прочностную надежность конструкции; во-вторых, могут рассматриваться как эталонные и служить для проверки численных решений соответствующих краевых задач, в том числе и полученных методом конечных элементов; в-третьих, могут использоваться для апробации новых приближенных аналитических и численных методов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В. диссертационной работе получил дальнейшее развитие численно-аналитический метод расчета пластин^ и оболочек с разрывными параметрами, предложенный, по-видимому, впервые для пластины профессором П.Г Голоскоковым. (1964 г.) и для оболочки профессором П.А.Жилиным (1968 г.), а затем развитый профессором Б.К. Михайловым и его учениками.

Основное направление развития метода — применение его к расчету различных судовых и гидростатических конструкций, например, таких как затворы судоходных шлюзов и плоские перекрытия- и разработка единого подхода для решения статических и динамических задач. Особенность рассматриваемых конструкций состоит в том, что ребра жесткости являются не вспомогательными, а основными несущими элементами и имеют значительную жесткость и размеры, что- связано с определенными трудностями при расчете. Определение НДС этих ребер является одним из главных элементов расчета.

На основе анализа различных конструкций, а также анализа результатов расчета НДС таких конструкций, сделан вывод о том, что хорошей расчетной моделью может служить тонкая упругая пластина, подкрепленная ребрами жесткости в одном или двух направлениях. Таким образом, задача расчета НДС конструкций (затвора судоходного шлюза или судового перекрытия) сведена к некоторой определенной краевой задаче математической физики. Факт сведения задачи расчета НДС конструкции к краевой задаче позволяет использовать различные, как аналитические, так и численные, методы решения поставленной задачи. Использование различных методов расчета НДС конструкций и возможность сравнения получаемых результатов повышает их надежность и достоверность.

Получены решения задач изгиба и колебаний прямоугольных подкрепленных пластин, моделирующих работу затворов гидротехнических сооружений или судовых перекрытий. Эти решения доведены до практической реализации в расчетных схемах конструкций ГТС, плоских перекрытий и других аналогичных конструкций. Созданы и реализованы в программах в системе аналитических вычислений/ Maple новые эффективные алгоритмы расчета НДС ребристых пластин.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П.; Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. 1978 288 с.

2. Аверьянова Г.В. Математические модели плоских затворов судоходных шлюзов. Речной транспорт (XXI век). - 2007. - №6.

3. Аверьянова Г.В. Построение математической модели плоского затвора. // Математика и ее приложения: Межвузовский сборник научных трудов / Под редакцией Д,П. Голоскокова, А.Р. Шкадовой; — Выпуск 2 (2009) СПб.: СПГУВК, 2009 г. с Л 55-164.

4. Аверьянова Г.В., Голоскоков Д.П. Расчет тонких пластин при помощи полиномов специального вида. М.: Exponenta Pro. Математика в приложениях. 2004, № 1, стр. 70-75. .

5. Ю.Амосов А.А, Дубянский Ю.А., Копченою Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

6. П.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции: Учебное пособие, М.: Наука, 1984. 383 с.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы: учеб. пособие, -М: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 600 с.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970.

9. Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский B.C. Справочник по строительной механике корабля. JL, Судостроение, т.1, т.2, 1982.

10. Болотин В.В. Вибрации в технике: справочник. Т. 1. Колебания линейных систем Машиностроение, 1978 351 с.

11. Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М. Гос. изд-во техн. теоретич. лит-ры. 1953, -423 с.

12. Вайнберг Д.В., Ройтфарб И.З. Расчет пластин и оболочек с разрывными параметрами. //Расчет пространственных конструкций. М., Стройиз-дат — Вып. 10, 1965, с. 39-80.

13. Ван Фо Фы Г.А. Приложение функций Матье и дельта функций Дирака к исследованию пластин и оболочек, «Прикладна мехашка» т. II, вып. 3, 1958.

14. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. — М, Наука, 1978,-296 с.

15. Власов В.З. Избранные труды. -М., Изд-во АН СССР, 1962, Т.1., 528 с.

16. Власова Е.А. Зарубин B.C. Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. 2001, — 700 с.

17. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М., Наука, 1979,318 с.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М, Наука, 1981, 512 с.

19. Ворович И. И. О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебания пологих оболочек. Доклады АН СССР, 1956. Т. 110. № 5.• -с. 723-726.

20. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.,Мир,1984 428 с.

21. Гельфанд И.М., Шилов Г. Обобщенные функции и действия над ними (Обобщенные функции, выпуск 1) Физматлит, 1959, — 486 с.

22. Герсеванов Н.М. Функциональные прерыватели в строительной механике и их применение к расчету ленточных фундаментов. ВИОС. «основания и фундаменты» сб. № 1. Стройиздат, 1933.

23. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

24. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек Казань, 1989, 271 с.

25. Голоскоков Д.П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры. Монография. -СПб.: Изд-во А. Кардакова, 2006, 271 с.

26. Голоскоков Д.П., Грищенков А.А. Математическое моделирование упругих тонкостенных систем./Монография. Спб, СПГУВК, 1999. -149 с.

27. Голоскоков Д.П., Голоскоков П.Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит. СПб.: СПГУВК, 2008, - 254 с.

28. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. Киев, изд-во "Факт", 2005, 340 с.

29. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. 2002, 416 с.

30. Гребень Е.С. Метод расчета прямоугольных в плане оболочек, подкрепленных ребрами в двух направлениях. — В кн.: Расчет пространственных конструкций. Москва, 1969, вып. 11, с. 132-140.

31. Гребень Е.С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек. Изв. АН СССР, Механика, 1965, -№3, с. 81-92.

32. Гребень Е.С. Основные уравнения теории ребристых оболочек и пластинок. В кн.: Расчет пространственных конструкций. - Москва, Стройиздат, 1965, вып.10, с. 81-91.

33. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. ВИНИТИ, 1973, 270 с.

34. Гришин М. М. Гидротехнические сооружения. Часть 2, М., Высш. школа, 1979, 336 с.

35. Деклу Ж. Метод конечных элементов: Пер. с франц. М.: Мир, 1976.

36. Дутов Г.Д. Расчет балок на упругом основании. Изд-во «Кубуч», М, 1929.

37. Доннел Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М., Наука, 1982, 568 с.

38. Жемочкин Б.Н. Теория упругости. — М.: Госстройиздат, 1957. 256 с.44.3авриев К.С. Основы теории фундаментальных прерывателей. Трудытбилисского института инженеров железнодорожного транспорта, вып. 6, 1938

39. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975.

40. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

41. Кан С.Н., Каплан Ю.И. Применение разрывных функций при расчете подкрепленных пластин. Изв. вузов. Стр-во и архитект., 1975, №9, с.38-42.51 .Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М. — JL, Гостехиздат, 1950.

42. Кот'кин Г. JL, Черкасский В. С. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием MATLAB: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2001. 173 с.

43. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на сплошном упругом основании. АН СССР, 1931.

44. Курдюмов А.А. К вопросу о расчете перекрытий, подкрепленных несколькими перекрестными связями. Л., Тр. ЛКИ, вып. 1, 1937.

45. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. Наука, 1988304с.

46. Лурье A.M. Операционное исчисление в приложениях к задачам механики. Гостехиздат, 1950.

47. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980.

48. Манзон Б.М. Maple V Power -Edition.- M.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. 240 с.

49. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Петербург/2001. - 528 с.

50. Михайлов А.В. Судоходные шлюзы. -М., Тр-т, 1966, 528 с.

51. Михайлов Б.К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами. JL, ЛГУ, 1980.-196 с.

52. Михайлов Б.К., Гаянов Ф.Ф. Использование специальных' разрывных функций для расчета ребристых оболочек и пластинок. Изв. вузов, стр-во и архитект., 1985, №5, с. 24-28. •

53. Назаров А.Г. Импульсные функции в приложении к задачам строительной механики. Сб. «Исследование по теории сооружений» вып. IV, Стройиздат, 1949.

54. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики: Учебное пособие, М.: Наука, 1984. 344 с.

55. Новицкий В.В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике. В кн: Расчет простр. констр., 1962, вып.8, с. 207-245. '

56. Новицкий В.В. Решение некоторых задач строительной механики с помощью дельта функции. Научно-метод. сборник ВВИА, № 13, 1957.

57. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л., Судпромгиз, 1962, -432 с.

58. Новожилов В.В. Теория упругости. Л., Судпромгиз, 1958. - 370 с.

59. Папкович П.Ф. Строительная механика корабля, ч.1, т.2., Морской транспорт, 1947.

60. Постнов В.А., Ростовцев Д.М., Суслов В.П., Кочанов Ю.П. Сроитель-ная механика корабля и теория упругости, т.2. JL Судостроение, 1987, 414 с.

61. Постнов В.А., Суслов В.П. Строительная механика корабля и теория упругости, т.1. — Л., Судостроение, 1987. 288 с.

62. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин Рига, 1988,-284 с.

63. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластины и оболочки с ребрами жесткости. Киев, Наукова Думка, 1964, - 284 с.

64. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц.- М.: Мир, 1989.- 190 с.

65. Семанов Н.А., Варламов Н.Н., Баланин В.В. Судоходные каналы, шлюзы и судоподъемники. М., Транспорт, 1970, - 352 с.

66. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. 1964. 437 с.

67. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ.-М.: Мир, 1977.-351 с.

68. Суслов В.П., Кочанов Ю.П., Спихтаренко В.Н. Строительная механика корабля. Л., Судостроение, 1972, 720 с.

69. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» 1967, 444с.

70. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М., .Физматгиз, ч.1, 1960,379 с.;ч.2, 1965,480 с.

71. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., Наука, 1966, 636 с.

72. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. — М., Мир, 1976, 670 с.

73. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. -М ,Наука,1979, 560 с.

74. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. Гостехиздат, М—J1, 1955,532 с.

75. Треффц Е. Математическая теория упругости. ГТТИ, 1934, 172 с.

76. Указания по проектированию судоходных шлюзов (СН 303-65), М., Стройиздат, 1966, 136 с.

77. Филин А.П. Элементы теории оболочек. —Л., Стройиздат, 1975, 255 с.

78. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-225 с.

79. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М., Мир, 1988-352 с.

80. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.

81. Чугаев P.P. Гидротехнические сооружения. Водосливные плотины. — . М., Агропромиздат, 1985.

82. Шелофаст В.В. Основы проектирования машин. М, изд. АПМ - 472 с.

83. Ясницкий JI.H. По ком звонит ANSYS, или Почему так часто стали падать самолеты, взрываться ракеты, рушиться здания. Новый компаньон. - 2005. - №1 (342).

84. Love А.Е.Н. A treatise of the mathematical theory of elasticity. Cambridge, at the university press. 1927. 675 p.

85. Mathews J.H., Fink K.D. Numerical' Methods Using MATLAB, Prentice Hall, 1999,-662 p.

86. Mitchell, A. and Wait, R. The Finite Element Method in Partial Differential Equations. John Wiley & Sons. 1977 216 p.

87. Moaveni S. Finite element method. Theory and analysis with ANSYS, Prentice Hall, 1999, 544 p.

88. Zienkiewicz O.C. The finite element method. 3rd ed. McGraw Hill, New York, 1977.-432 p.1. СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ