автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Идентификация параметров многомерных хаотических процессов

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ Р Г 5 ОД ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ и оптики 1 (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

2 3 НОЯ 1998

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВ Геннадий Николаевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

05.13.01 -Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических паук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Институте Точной Механики и Оптики (Техническом Университете)

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор В.Н. Дроздов доктор технических наук, профессор В.Г. Дегтярев доктор физико- математических наук, профессор А.В. Копыльцов

Ведущая организация: ИПМАШ РАН

Защита состоится "_"_ 1998г. в 15 часов 20 мин.

на заседании диссертационного совета Д053.26.02 при Санкт-Петербургском государственном институте точной механики и Оптики (технический университет) по адресу: 197101 Санкт-Петербург, ул. Саблинская, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отзыв на реферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, просим направить в диссертационный совет института.

Автореферат разослан "_"_1998г.

Ученый секретарь специализированного еоветагЗД)53.26.02 доктор технических наук, профессор——-У/— A.B. Ушаков

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальпость работы. Задача идентификации динамической системы традиционно решается путем подбора модели, обеспечивающей однозначное описание временной эволюции в пространстве состояний при определенных начальных условиях. Вопреки этой детерминированности реальные объекты управления часто проявляют сложное хаотическое поведение и имеют очень высокую чувствительность к заданию начальных условий.

В 1963 году была опубликована статья американского математика Лоренца "Детерминированное непериодическое течение" *\ в которой была представлена динамическая модель, которая при определенных значениях так называемого управляющего параметра, входящего в систему, имела хаотическое решение, которое могло быть описано в статистических терминах.

Необычным в этой системе было поведение фазовой траектории, которая представляла собой аттрактор обладающий странными, взаимоисключающими свойствами: фазовые траектории "разбегались" друг от друга, имея положительный показатель Ляпунова с одной стороны и, в тоже время, стягивались в ограниченный объем пространства, с другой стороны. Первое из этих свойств означало, что предсказать поведение такой системы на длительное время невозможно, небольшая ошибка в задании начальных условий экспоненциально развивается и спустя короткое время процесс выходит на другую траекторию. Связь между причиной и следствием становится невидимой. Второе, что аттрактор имеет сложную слоистую структуру.

В 1975 году Мандельброт впервые описал класс объектов, обладающих свойством самоподобия и дробной, фрактальной

■ *) Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atoms. Sei., 20,130,1963.

размерностью. Оказалось, что странные аттракторы также принадлежат к классу фракталов.

Стохастичность вызываемая внутренним поведением системы, называют детерминированным хаосом. Для таких систем может быть установлен порог в виде так называемого критического значения г < гКг управляющего параметра г, т.е. параметра имеющего решающее влияние на поведение системы. Если г < гКг, поведение системы ничем особенным не отличается, решение имеет строго детерминированный характер. Если г>гКр, решение системы хаотическое. Хаотическое поведете характерно для систем эволюционирующих за счет диссипации (рассеяния) энергии. Поэтому их называют также диссипативными системами.

Несмотря на то, что хаос порождается детерминированной системой, предсказание ее будущего состояния за пределами какого- то временного горизонта возможно только в вероятностных терминах.

Неупорядоченное, хаотическое поведение обнаруживается во многих процессах, например, в конвекции в атмосфере, в океане и в технических объектах, где хаотическое поведение может быть как нежелательным явлением так и необходимостью. Например, в оптической промышленности предварительные испытания и юстировку оптических систем, предназначенных для работы в условиях космического вакуума, приходится выполнять на специальных стендах- коллиматорах, работающих в воздухе при нормальной температуре и давлении. Сложное конвективное движение воздуха в этих стендах приводит к искажению световых лучей и к искажению результатов работы оптической системы и, поэтому, это явление пытаются подавить с помощью термостатирования.

Широкое применение в технике нашли так называемые псевдоожиженные слои, в которых хаотическое движение является необходимостью. Технология псевдоожижения применяется в топках

теплоэлектростанций, при сушке различных продуктов, в химических реакторах и т.д..

Многие объекты подвергаются одновременному воздействию колебаний, имеющих природное и искусственное происхождение. К иш относятся здания и сооружения, на которые действуют сейсмические и температурные колебания, изменения давления атмосферы, перемещения грунтовых вод, ветры, сотрясения, вызванные движением транспорта, работой

станков и оборудования и т. д.

Реальные устройства, которые проявляют хаотическое поведение, как правило, представляют собой системы с распределенными параметрами. Управление такими объектами требует решения задачи

идентификации распределения каких- то их параметров по пространству. Если процесс достаточно хорошо изучен или несложен, то решение этой задачи также не представляет особых трудностей. Иначе обстоит дело со сложными хаотическими процессами, описание которых чаще всего выполняют на основе статистических закономерностей, несмотря на то, что их описание в виде, например, дифференциальных уравнений известно уже давно- с XIX столетия, как например явление конвекции, описываемой уравнением Навье- Стокса.

Существенный вклад в изучение хаоса внесла компьютерная техника. Ее эволюция позволила развить ряд методов, которые можно поделить на два основных подхода к анализу хаотических систем.

Первый подход базируется на изучении поведения динамической модели, которая представляется в виде системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и может быть получена на основе представлений о физической природе процесса, например. Этим путем воспользовался Лоренц. Однако для реальных хаотических процессов практически не всегда представляется возможным найти адекватное описание с помощью системы дифферегщиатьньгх уравнений.

Второй подход может быть основан на предварительном грубом оценивании возможного поведения, наблюдении хаотических процессов и комплексном их изучении как с применением методов спектрального анализа, так и режимов системы по анализу построении аттрактора в так называемом реконструированном фазовом пространстве, которое восстанавливается из наблюдаемого временного ряда, представляющего собой последовательность дискретных значений какой- либо переменной системы.

Задача идентификации параметров хаотического процесса стала особенно актуальной тогда, когда понадобилось учитывать очень тонкие эффекты, на которые ранее просто не обращалось внимания и количественно оценивать степень хаотичности, так как для большого числа объектов наличие информации о ней в отдельных точках объема, в котором протекает изучаемый процесс, достаточно для целей управления.

1. Для юстировки и испытаний оптических систем больших размеров используются воздушные стенды- коллиматоры. Если объектив оптической системы имеет диаметр в пределах 1 м, то существующие стенды позволяют гарантировать получение требуемой точности при испытаниях оптической системы. При увеличении диаметра объектива результаты испытаний становится плохо предсказуемыми, теряется воспроизводимость. Причиной этого является естестве1шая конвекция воздуха в коллиматоре, которая вызывается перепадами температур в сотые доли Кельвина. Конвекция существовала всегда, но оптические системы меньших были грубее и не "замечали" действие слабых конвективных токов. Поэтому необходимой частью проведения испытаний оптических изделий является наблюдете параметров рабочей среды коллиматора, идентификация режимов течения воздуха в условиях малых перепадов температур и скоростей потоков . Полученные данные являются основой для оценки искажений, вносимых неизотермической средой и

анализа готовности коллиматора к работе, а также, для разработки дополнительных мер по стабилизации работы коллиматора. В настоящее время актуальным является переход к новым оптическим стендам больших размеров, где обеспечение стабильной работы стснда - более сложная задача. Тогда информация о конвективных токах может явиться основой для разработки новых стендов. Таким образом возникла задача идентификации параметров конвективного процесса - режимов движения воздуха в объеме коллиматора с дальнейшей целью применить полученные результаты для управления испытаниями. Стандартный путь определения режима течения при естественной конвекции- определение значения числа р g у5<13 АТ

Релея (число Релея На =-,р-плотность жидкости иди газа, р -

т]а

температурный коэффициент расширения, т] - динамическая вязкость, g-ускорение свободного падения, с1- определяющий размер, а-температуропроводность, ДТ- перепад температур) требует знания скорости движения воздуха. Идентификация распределения режимов течения воздуха по объему коллиматора на основе анализа аттракторов, впервые предложенная в этой работе, может быть выполнена по результатам наблюдения распределения какого- либо параметра, например температуры.

2. Другим примером служат так называемые псевдоожиженные слои, представляющие собой двухфазные системы "твердые частицы- газ". Эти слои существуют только в динамике при продувании газа через слой твердых частиц. Технологии псевдоожижения применяются для различных целей, например для интенсификации сжигания угля в топках. Характеристики отходов, образовавшихся при сгоршши, КПД топки и теплоотдача существенно зависят от характеристик слоя, от протекания процессов в нем. Традиционно управление процессами в псевдоожиженом слое базируется на оценивании каких- то усредненных параметров

например таких, как порозность, представляющая собой отношение объема частиц ко всему объему слоя, средняя скорость и т. д. Ограничения на состав выбрасываемых продуктов сгорания в совокупности с ценами на топливо и необходимостью максимизировать теплоотдачу требуют проведения идентификации распределения таких параметров, как режимов движения в объеме слоя.

3. Следующим примером служит идентификация

предкатастрофического состояния зданий и сооружений. Такая проблема стоит не только в районах с высокой сейсмической активностью, но и в городах. Ситуация, с аварийным состоянием учебного корпуса №2 Санкт-Петербургского Государственного института точной механики и оптики (СПбГИТМО(ТУ)) по пер. Гривцова, 14 подтверждает это.

Объектом исследований в данной работе являются хаотические процессы в различных технических системах, зачастую проявляющиеся в виде слабых колебаний, которые, однако, оказывают основное, решающее влияние на поведение устройств, в которых эти процессы протекают:

в оптические коллиматоры для юстировки и испытаний

оптических систем больших размеров;

■ псевдоожиженные слои;

■ аварийноопасные здания и сооружения.

Традиционные методы идентификации параметров процессов, протекающих в таких системах не позволяют получить ответы на вопросы о распределении хаотических колебашш по объему объекта, об идентификации режимов этих колебаний, о размерности системы, генерирующей эти колебашш.

Таким образом процедура идентификации параметров хаотического процесса в технической системе должна включать: 1. Спектральный анализ колебаний;

2. Построение фазовых траекторий- хаотических (странных) аттракторов в реконструированном пространстве состояний;

3. Анализ аттракторов, их топологии, размерностей и других характеристик и получение на этой основе информации об эволюции системы;

4. Определите размерности системы, порождающей наблюдаемый процесс;

5. Восстановление распределения режимов колебаний по объему. Целью работы является разработка методов идентификации

параметров многомерных хаотических процессов (МХП), основанных на комплексном применении приемов спектрального анализа и анализа детерминированного хаоса как в фазовом, так и в реальном пространстве, позволяющих количественно оценить хаотичность с учетом распределения режимов хаотических колебаний по объему реальных объектов.

Для достижения указанной цели необходимо провести решение некоторых частных задач:

1. Сформулировать принципы идентификации параметров МХП с применением спектрального оценивания колебаний объекта, построения аттракторов по экспериментальным данным в фазовом пространстве для исследования особенностей его хаотического поведения, определения размерностей аттракторов и размерностей, необходимых для построен™ динамических моделей (размерностей вложения) и использования этих данных для описания колебательных процессов и пространственных характеристик (режимов колебаний, скоростей, положений) в объекте.

2. На основе принципов идентификации параметров МХП создать методы оценивания параметров больших воздушных объемов и провести их испытания при исследовании конвективных процессов в большеразмерном оптическом стенде (коллиматоре) для юстировки и

испытаний больших оптических систем, создать систему для оценивания параметров оптического стенда в процессе испытаний.

3. На основе принципов идентификации параметров МХП создать методы оценивания параметров двухфазных потоков (систем "газ (воздух) - твердые частицы") и провести экспериментальные исследования параметров двухфазных потоков, получить распределения режимов колебаний по объему объекта, а также получить хаотические траектории движений посторонних предметов в потоке и оценить степень их хаотичности.

4. На основе принципов идентификации параметров МХП создать и опробовать систему предупреждения аварийной ситуации для зданий и сооружений и сделать прогноз поведения аварийного здания.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

- разработан метод идентификации параметров хаотических процессов в многомерных хаотических системах, основанный как на применении методов спектрального анализа, так и на анализе хаотического поведения системы в каждой точке реального пространства объекта на основе реконструирования фазовых траекторий (аттракторов) для этих точек и определения на основе их анализа распределения хаотических режимов по реальному пространству, определении размерностей пространств вложений для аттракторов и минимальной размерности пространств состояний для описания процесса с помощью динамической модели;

- разработаны принципы оценивания параметров хаотических процессов в реальном пространстве с восстановлением на основе разработанного метода распределений значений этих параметров с определением пространственных характеристик объекта (положений,

скоростей, фрактальных размерностей траекторий в реальном пространстве).

Основные положения, выпосимыс па защиту.

1. Совместное рассмотрения хаотического движения в частотной области, реальном и фазовом пространствах.

2. Результаты исследования хаотических систем на основе методов спектрального оценивания, на основе анализа детерминированного хаоса и на основе фрактального представления в реальном пространстве.

3. Методы оценивания параметров хаотических систем с распределенными параметрами на основе концепции детерминированного хаоса с использованием спектрального анализа, анализа аттракторов в фазовом пространстве и анализа траекторий движения в реальном пространстве.

4. Метод идентификации хаотических режимов больших воздушных объемов.

5. Измерительная система для оценивания параметров больших воздушных объемов по результатам измерения температур.

6. Метод измерения распределений скоростей потоков в газовых и жидкостных объемах.

7. Результаты исследования хаотических режимов конвективных процессов в болыперазмерном оптическом стенде (коллиматоре) для юстировки и испытаний больших оптических систем и их распределение в сечениях коллиматора.

8. Методы оценивания параметров двухфазных потоков (систем "газ (воздух) - твердые частицы").

9. Результаты экспериментальных исследований параметров двухфазных потоков: исследована траектория движения постороннего предмета в потоке, идентифицировано распределение режимов

хаотических колебаний в объеме реальной установки для псевдоожижения и выявлены застойные зоны.

Ю.Результаты исследований хаотических колебаний аварийного здания СПбГИТМО(ТУ) по пер. Гривцова, 14.

11.Результаты оценивания влияния окружающей среды на эти колебания, определены их различные составляющие и выполнено прогнозирование состояния для аварийного здания СПбГИТМО(ТУ) по пер. Гривцова, 14. Практическая ценность

Полученные автором результаты позволяют выйти на новый уровень при идентификации хаотических процессов разной природы. Разработанные им методы позволяют учитывать и анализировать в процессе идентификации даже "слабые" хаотические процессы, оказывающие, однако, решающее влияние на поведение многих систем и объектов. Автором показано, что к тотальному изменению поведения объекта могут привести, например, колебания температуры с размахом сотые доли Кельвина на уровне +20°С.

На основе разработанных методов автор создал инженерные методики для идентификации такого рода процессов:

1.Разработана методика наблюдений и идентификации режимов течения в воздушном пространстве коллиматора, позволяющая делать выводы о целесообразности испытаний и дать информацию для разработки нового поколения коллиматоров;

2.Разработан метод определения распределения скоростей конвективных течений, которая защищена патентом;

3. Разработана методика on- line наблюдений и определения положений постороннего предмета в псевдоожижешюм слое в любой момент времени;

4.Разработана методика идентификации режимов колебаний в точках объема псевдоожижснного слоя, позволяющая делать выводы о качестве сгорания, определять застойные зоны и т.д.;

5.Разработана методика идентификации режимов колебаний аварийных зданий и сооружений с целью прогнозирования их состояния.

6.На основе выполненной работы автором создан и поставлен курс лекций "Специальные методы измерений физических величин", который читается студентам специальности "теплофизика" С.-Петербургского государственного института точной механики и оптики (ТУ) и в цикле лекций в курсе "Экспериментальные методы исследований" по направлению "техническая физика" С.-Петербургского государственного электротехнического университета. Г1о этому курсу автор написал и издал учебное пособие.

Личный вклад автора. Диссертация написана по материалам исследований, выполненных лично автором, при его непосредствешюм участии или под его руководством. Автором выполнены исследования, определившие защищаемые положения и разработашше методы. Соавторство относится к методу измерения распределешй скоростей потоков в газовых и жидкостных объемах и к проведению экспериментов на конкретных объектах.

Реализация результатов работы отражена актами

внедрения от ВНЦ ГОИ им. Вавилова, от СПбГИТМО(ТУ), от ОАО "Завод ДТИ", от фирмы "Термосталь от СП6ГЭТУ(ЛЭТИ).

Апробация работы. Основное содержание работы докладывалось на Всесоюзном совещании- семинаре молодых ученых (IX Всесоюзная теплофизическая школа), Тамбов, ТИХМ, май 1988 г.; на

электротехническом коллоквиуме университета г. Зиген, (Universitaet-Gesamthochschule- Siegen) Германия; на семинаре в техническом университете Гамбург- Гарбург (TU Hamburg- Harburg) в рамках особого раздела исследований № 238 германского общества исследований (DFGForschungbereich 238), Германия, Гамбург, 16 декабря 1993 года; на

международной конференции Датчик-95, Москва, МГИЭМ, ноябрь 1995 года; на XXVIII научно- технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТМО(ТУ), С,- Петербург, январь 1996 года ; на семинаре кафедры физики Санкт- Петербургского государственного электротехнического узшверситета, 3 декабря 1996 г.; на XXIX научно-технической конференции профессорско- преподавательского состава СПбГИТМО(ТУ), С.- Петербург, январь1997 года, на 52-й научно-технической конференции С.- Петербургского НТОРЭС им. A.C. Попова, С.Петербург, апрель 1997 г, на семинарах инжиниринговой ассоциации Технического Университета, С,- Петербург, май 1997; на 1-й международной конференции "Control of Oscillations and Chaos", С,- Петербург, 27-29 августа 1997г; на третьей международной конференции "Fluid Dynamic Measurement and Its Applications", 14-18 октября 1997г., Пекин, КНР; на семинаре кафедры компьютерной теплофизики, СПбГИТМО(ТУ), 16 января 1997г.; на семинаре кафедры автоматики и телемеханики, СПбГИТМО(ТУ), 22 января 1998 г.; на постоянно действующем семинаре "Управление колебаниями и хаосом", ИПМАШ РАН, 1998г; на постоянно действующем семинаре "Energie- und Umwelttechnik" института техники энергетики Зигенского Университета, Германия, 14 мая 1998 г.; на второй международной конференции " Дифференциальные уравнения и их применения", 15-20 июня 1998 года; на 7 симпозиуме "Sensoren/Messaufnehmer '98", 16-18 Juni 1998, Technische Akademie Esslingen Weiterbildungzentnun; на постоянно действующем электротехническом коллоквиуме факультета электротехники Зигенского Университета, Германия, 26 июня 1998 г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения списка цитируемой литерагуры и приложения. Она

содержит_страниц машинописного текста,_рисунков, и_таблиц.

Список литературы включает_наименований.

П. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введеппи обосновывается актуальность работы, анализируется состояние и методы исследований хаотических систем, формулируется направление исследований. Показано, что для решения практических задач управления такими объектами, бывает достаточно знать как протекает процесс, в каком режиме, в ламинарном, переходном, или турбулентном и знать распределение этих режимов по оцениваемому объему.

Тогда может идти речь об идентификации таких параметров процесса, как режимов течений и их распределении по пространству.

В главе 1 анализируются задачи и принципы идентификации параметров многомерных хаотических процессов. Вводятся понятия

детерминированного хаоса и хаотических систем и процессов.

Динамическая система может быть описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

т

Состояние системы в момент времени t соответствует п- мерному вектору х(/) = {х,(1),х2{1),....,х„{1)) е

Векторы Р з^,^,...,/^) есть действительные функциональные векторы, которые определяют временную эволюцию вектора х. Для выражения (1) время является вещественной переменной и есть

вектор скорости на кривой, описывающей измените * в зависимости от времени I Если из начального состояния следуют однозначно, как любое будущее, так и любое прошлое состояние, то такая динамическая система носит название детерминированной.

Частное решение системы (1) для момента времени г и начального состояния Хо однозначно определяют состояние х(хоД Тогда общее множество решений образует для всех начальных состояний из ЯГновые состояния во времени, которые обозначаются 1"(0=х(',0 и называются

фазовым потоком или просто потоком в фазовом пространстве 9Г. Отдельные точки (состояния) в 91" называются также фазовыми точками.

В функцию F можно ввести параметр г=(гьг2,..., г,,...) с rt еЭ1. Качественное изменение потока при определенных значениях rt называется бифуркацией.

Многие реальные процессы, происходящие в объектах управления, тяжело описать системой вида (1) и, поэтому, описываются лишь на основе статистических представлений. К таким процессам, в частности, относится конвективное движение жидкостей, газов, двухфазных систем.

В 1963 году Лоренц построил модель конвективного движения жидкости при конвекции Релея- Бенара (рис. 1), т.е. конвективного движения жидкости в тонкой прослойке между двумя параллельными бесконечными пластинами.

При определенных граничных условиях (температурах пластин) возникает упорядоченное движение жидкости в виде вращающихся валов бесконечной длины.

Лоренц сумел

привести исходную систему уравнений

(движения (Навье- Стокса), неразрывности и энергии), описывающих процесс конвекции Релея- Бенара под влиянием перепада температур, к динамической системе: х, = -Рг(х, - х2)

тш

Рис. 1. Конвекция Релея- Бенара между двумя бесконечными параллельными пластинами. Т и Т+АТ - температуры пластин, V - скорость движения жидкости.

(2)

х^ ~ х,х2 ¿х3

Ra _ P. g^cTAT

где г =-, Ra ---число

Ra,. 77 а

Релея, Ra^ - значение числа Релея, при котором решения становятся

хаотическими (для системы (2) это соответствует значению /->24,74),

V

Рг = —, V - кинематическая вязкость, а- температуропроводность, АТ-а

перепад температур, р -плотность, (3 - температурный коэффициент

расширения, ц - динамическая вязкость, g- ускорение свободного падения,

4ж2

с)- определяющий размер (высота прослойки), Ь = —-к- волновое

л +к

лк2 ^ тгк2

ЧИСЛО, X. =-т=--УЛ , X, =-=—--— ©. , X, =-7=—--0, ,

л/2 (яг+кг) 4г{п2 + к2) Л{л2+к2у 2

и м> .

V, =—г——-7ГТ = Т-Г^-7ГТ' Функция тока, х и г-

координаты (рис. 1), ©ь ©2- относительные отклонения температур.

При исследовании модели (3) оказалось, что при Рг>г> + ] и при

Рг(Рг+ А + 3)

г > —^—-—ее решения не выходят ни на стационарный ни на

периодический режим и зависимости хь х2 и х3 ог времени выглядят, как стохастические процессы, однако эта стохастичность присуща системе (2) внутренне. Детерминированная система (2) при определенном значении управляющего параметра г имеет хаотическое решение. Если абсолютно точно известны начальные условия, то можно абсолютно точно определить положение системы в любой момент времени. Если начальные условия оценены приближенно, что всегда является следствием измерений, то задача определения положения системы также решается очень приближенно даже на очень коротком отрезке времени, а на больших временных интервалах становится неразрешимой. Это есть следствие того, что хаотические системы обладают высокой чувствительностью к заданию начальных условий (ЧЗНУ).

Если для хаотической системы взять два мало отличающихся набора начальных условий Х[(0) и х2(0) при условии, что |х,(0) - х2(0)| < е, где е-любое малое число, например обусловленное погрешностью задания данных, то можно увидеть, что полученные зависимости х^), и х2(0, в течение какого- то короткого время /ц неотличимые друг от друга, спустя это время начинают расходиться и очень быстро всякое сходство между ними полностью исчезает. Это хорошо видно на фазовой траектории системы

Лоренца, (рис.2),

представляющей собой странный аттрактор. Аттрактор- множество, на которое выходит система при /-но. Из целой области начальных условий происходит выход на это решение: происходит "забывание" системой начальных

условий. Траектории на странном аттракторе разбегаются друг от друга с положительными экспонентами (показателями) Ляпунова, но при этом объемы в фазовом пространстве со • временем сокращаются. Странный аттрактор обладает фрактальной размерностью.

Одну из первых моделей возникновения хаоса предложил советский физик Л. Д. Ландау. Он предположил, что в ламинарном потоке при каких- то

значениях числа Рейнольдса Ке= 1^е„,1 (Ис = — скорость течения, (1-

V

характерный размер у - кинематическая вязкость) возникают периодические колебания скорости жидкости с частотой щ. При дальнейшем увеличении Кс, при Яе= Ке^г возникают колебания с частотой щ, несоизмеримой с частотой

Рис. 2. Фазовая траектория (странный аттрактор) для динамической системы Лоренца.

©1 и т.д. до бесконечности. Однако, Рюэль и Такенс показали, что уже система с колебаниями на грех частотах является неустойчивой. Любое бесконечно малое возмущение переводит такую систему в хаотический режим и появляется странный аттрактор, основным свойством которого является чувствительность к заданию начальных условий. Это является свойством так называемых диссипативных системалг. Диссипативность всегда присуща системам имеющим какой- то вид "трения" и они обладают странным аттрактором. Аттрактор А определяют как компактное множество в фазовом пространстве Ш"(А е9Г ) обладающее следующими свойствами:

1. А инвариантен относительно действия потока, т.е. 1'(А )=А;

2. А имеет нулевой объем в фазовом пространстве 9?";

3. А содержится в области В ненулевого объема (А с: В), которая является областью притяжения аттрактора. Областью притяжения называется множество точек, таких, что выходящие из них траектории при

»«¡стремятся к А. Последнее означает, что если объем фазового пространства V находится в области притяжения В аттрактора А, то он неминуемо попадет на аттрактор, который является асимптотическим пределом решений для начальных условий х0 =х(/0) принадлежащих его области притяжения В.

Сокращение объемов при движении от области притяжения к аттрактору приводит к тому, что происходит потеря информации о взаимном расположении точек в объеме: под действием диссипации объем V в области притяжения В вырождается в линию на аттракторе А и теряется информация о начальных условиях х0 = х(с(1).

Реальные системы, как естественного, так и искусственного происхождения является по большей части диссипативными и проявляют хаотическое поведение. Отображение или сечение Пуанкаре является специальным видом (рис. 3) стробоскопического представления.

Фазовая траектория рассекается (и-1)- мерной гиперплоскостью H(x)eH(jcI,*J,....,*,) = 0. Точки пересечения

соответствуют моментам времени tm, в которые орбита трансверсально пересекает плоскость П т.е., если вектор скорости потока F(x) в точках пересечения хт, не перпендикулярен нормальному к плоскости Ц вектору N(x). Это выполняется при условии, что скалярное произведение ((N(x) - F(x)) ф 0, для х е Н. Тогда направление пересечения может быть либо положительным и (N(x)-F(x)) > 0 либо отрицательным при (N(x) ■ F(x)) < 0. Для последовательных точек хт пересечения плоскости Н можно ввести (я-1)- мер míe проекции ут точек х„ на П и тогда можно определить сечение Пуанкаре через Р; Ни H,ye+J = Р(у„).

Если решить уравнение (1), то можно определить точки пересечения траектории f ™х0 = х(т) с гиперплоскостью Н(х) и подставить их в уравнение плоскости. Если при этом Щх(от)) < 0 и Н(х(/и +1)) > 0, то точка пересечения лежит между шагами итерации т и т+1. Для случая траектории направленной в другом направлении нужно рассмотреть Щх(/я))>0 и Н(х(/я + 1)) < 0. Пункт пересечения можно определить точнее, применяя интерполяцию.

Для определения размерности аттрактора, он может быть "восстановлен" или "реконструировал" из результатов наблюдений по методу задержек.

положительном направлении; о -в отрицательном направлении.

Рис.3. Иллюстрация определения точек пересечения секущей плоскостью фазовой траектории (сечение Пуанкаре).

Такенс доказал, что если система (I) порождает п- мерный поток, то %{t) = [xj{t),xJ{t + T),...,xJ(t + 2nT)\, где Xj{t)- произвольная составляющая

вектора х которая обеспечивает гладкое вложение для этого потока и метрические свойства обоих пространств (и- мерного {*(<)} и (2л+1)- мерного {£(/)}) одинаковы, т.е. расстояния в {*(/)} и в {£(0} связаны между собой коэффициентом, который равномерно ограничен и отличен от нуля.

Другими словами, для восстановления аттрактора может быть использована любая переменная процесса Xj(t), из которой путем сдвига на время г образуется так называемое вложение €(t)~[Xj(t)>Xj(t + T),...,xJ(t+ 2пт)], и переменные

x^t), Xj(t + T),...,Xj(t + 2пт) служат координатами реконструированного

аттрактора. Чтобы при реконструировании аттрактора из экспериментальных дашшх получить полноценный набор переменных состояния, необходимо исходные данные, полученные в результате измерений, вложить в пространство большей размерности. Это пространство и называют пространством вложения. Размерность вложения (dim)- наименьшая целая размерность пространства вложения, содержащего весь аттрактор. По теореме Уитни, размерность вложения dim эвклидовова пространства, в которое вложено п- мерное многообразие (аттрактор) dim >2я+1.

Для определения показателей Ляпунова из временного ряда,

полученного в результате наблюдений, какая- то точка произвольная точка траектории х(?о) (рис. 4) принимается за

начальную и ищется соседняя ближайшая к ней точка z0(/0). Расстояние

Рис. 4. К определению экспонент Ляпунова из временного ряда

между этими двумя точками 10(/0). При хаотической динамике со временем это расстояние растет. Если следующее значение £0 (/,)> ¿0(/0), то оно отбрасывается и ищется новая точка /,(/,), соседствующая с х(л) и лежащая по- возможности в том- же направлении, что и /,0 (/,). Для поиска точки,

удовлетворяющей этому условию можно определить скалярное произведение величина которого должна быть как можно ближе к

'ад)

.ИмоПМ,)!!.

411

единице.

Т.к. ) описывает поведение малого возмущения, его дайна должна быть по возможности малой, чтобы линеаризованная вдоль траектории система хорошо описывала эволюцию. С другой стороны она не должна быть настолько малой, чтобы стать сравнимой с уровнем шумов. Кроме того, необходимо чтобы х(Со) и г0(/0) принадлежали разным траекториям иначе не будут получены положительные первые экспоненты Ляпунова Х\.

Если эти условия выполняются, то первая ЭЛ определяется из выражения:

1 М-1

(ЗИ=—Ц-2>8

1м - «о

¿А) У

где (А/-1)- число смен соседних траекторий .

Если выбрать основание для логарифма в (3) равное двум, то первая ЭЛ Х\ измеряется в единицах бит/шаг во времени.

Размерность характеризует геометрический объект числом неременных, которые необходимо задать, чтобы указать местоположение одной из точек объекта Точка на линии задается одним числом, на поверхности- двумя числами,, в объеме- тремя.

Можно задать размерность другим способом, например через покрытия:

■ для покрытия отрезка прямой длиной в 1 метр отрезками длиной в 1 дециметр требуется Ю1 отрезков;

■ для покрытия квадрата площадью в 1 кв. метр квадратами со стороной 1 дециметр потребуется Ю2 квадратов;

■ для заполнения куба объемом в 1 куб. метр кубами со стороной 1 дециметр понадобится 10' кубов.

Размерность О проявляется как показатель степени в соотношении,

связывающем число клеток /V и их размер а , N = . Отсюда можно получить выражение для размерности О:

ее, размерностью Хаусдорфа- Безиковича. С ее помощью можно определять размерность фрактальных объектов Df.

Размерность аттрактора можно оценить с помощью так называемой корреляционной размерности, которую используют для определения размерности для объектов, трудно поддающихся, или не поддающихся аналитическому описанию. Она характеризует частичные корреляции между последовательными точками на аттракторе, для странного аттрактора является фрактальной и используется для аттракторов, построенных методом задержек по временным рядам, полученным в результате наблюдений. Для этого определяется С(е) - вероятность того, что две точки на аттракторе лежат внутри ячейки размера е или, другими словами, разделены дистанцией

разделенных дистанцией меньшей, чем £, Np- полное число различных пар.

называемой по именам ученых, впервые описавших

меньше, чем

число различных пар точек,

C(v)- так называемый корреляционный интеграл, для определения которого используется выражение

(5) Cíe) = lim Д- Ун(е- ¡x. - х, ||), s- радиус сферы, для которого

m->0> yyt ГГ, " '

определяется число точек М(е), оказавшихся внутри сферы, Н- функция Хевисайда, , х;, х,- векторы ю начала координат к точкам траектории с номерами _/. т- число точек на траектории. Тогда корреляционная размерность определяется выражением

Скорость потери информации диссмнативной системой может быть оценена с помощью энтропии Колмогорова- Синая. Ее оценкой является так называемая корреляционная энтропия

(7)Кг = lim lim lim - logf У С*т ^

^ dim *

которая выражается через

корреляционный интеграл (5) для определенной размерности вложения dim.

Показано, что размерность странного аттрактора D>2. В то же время она не может быть более 3 в трехмерном пространстве. Таким образом, для странного аттрактора 2<ГХЗ. Ниже приводится таблица (рис.5), в которой сопоставляются размерности, показатели Ляпунова и колмогоровские энтропии для различных видов движения в трехмерном фазовом пространстве.

В главе 2 рассматривается идентификация хаотических параметров-режимов конвективных колебаний, в воздушных объемах. Для минимизация влияния окружающей среды на крупногабаритную оптическую систему испытания проводят на специальных стендах - коллиматорах. При проведении юстировки и испытаний оптической системы в воздухе полностью устранить влияние воздушной среды на систему нельзя, можно лишь попытаться создать условия для уменьшения влияния температурных градиентов и конвективных токов. Для этого коллиматоры изготавливают из теплоизоляционного материала в виде цилиндра с открытыми торцами. На

Фазовая Протекаю« Спектральная Лвтокоррсяящоилая Размерность Экспоненты Эюролм

траектория во бременя цпспюслъ функция

МО1ДПОСТ0

РС©* к<т) ■

Лялуоола Колмогорова

О

хГ 2

яг х2

ГС»;' вд

I ю, т

вд

г

1 »((Из«

I» 0 --

о=г о о ■

х! РСи! <|41|| 1( ад

--—> М 1и

V»—►

2<П,чЗ + О

Рис. 5. Сравнение различных видов протекания процессов

о

г а

I ш2

рис.6 представлен коллиматор ГОИ, находящийся в зале с температурой

воздуха 20 °С ± 0.1К. Во время проведения

испытаний ведутся

наблюдения за так называемым рабочим объемом, т.е. воздухом внутри коллиматора,

состояние которого удобно оценивать по таким переменным, как температура или скорость, т.к. в системах с естестветгаой конвекцией как температурное возмущение, так и возмущение скорости в потоке равновероятно могут привести к возникновению турбулентности, которая приводит к оптическим искажениям.

Рис. 6. Схематическое представление воздушного коллиматора

Был проведен рад экспериментов, основанных на измерениях температуры в сечениях а и Ъ (рис. 6). Для измерений были

использованы состаренные в течении 20 лет

полупроводниковые терморезисторы СТ4-16 с номинальными значениями сопротивлений при

температуре 20°С Иго-15 кОм, которые были отградуированы во В11ИИМ им. Менделеева в диапазоне температур +15°С...+25°С с относительной погрешностью <5<0.0005. Датчики включались по потенциометрической схеме с измерительным током ЗОмкА. Для проведения измерений была разработана компьютеризованная автоматизированная

система, которая была аттестована во ВНИИМ и обеспечивала чувствительность около 0,0004К. В сечении Ь рис. ^О датчики располагались по схеме рис. ^ Типичный пример колебаний температур воздуха при естественной конвекции в ограниченном объеме (в точке размещения датчика38, рис. 7) представлен на рис.8. В основном колебания протекают в переходном режиме, о чем свидетельствуют корреляционные размерности Вг<2. Значения экспонент Ляпунова и энтропии Колмогорова в этих точках равны нулю. Однако, в точке расположения

39 С), =1.92 'Д = --Иг-*г--.......-»\ ' ^-ЛбО,»!^ \ V 1

у 15, =2,10 / Г=0.47 бт/мхЛ К,««.» 6иг/мЛ / > *----------- 38 '

1 ; >

1 1 1 г \ / V 1

Рис.7. Расположение датчиков и режимы

колебаний.

датчика 38 значения этих величин дают основание идентифицировать в ней наличие турбулентных колебаний.

В главе 3 исследуется хаотическое движение в двухфазном потоке-псевдоожиженном слое, представляющем собой систему, состоящую из движущейся сплошной, газовой или жидкостной, фазы и дисперсного вещества - твердых частиц различного размера. При увеличении скорости сплошной фазы достигается состояние, при котором силы гидродинамического сопротивления, приложенные к частицам, становятся достаточными для их взвешивания. Система начинает вести себя как жидкость и течет под действием гидростатического напора. Точка, в которой это происходит, называется точкой минимального псевдоожижения. Системы, соответственно, называют псевдоожиженными системами.

Условием возникновения минимального псевдоожижения является равенство [Перепад давления] = [Вес слоя].

Техника псевдоожижения широко используется при сжигании твердых горючих материалов, таких как каменный уголь и др. Процессы горения являются теплонапряженнымн и термочувствительными, и для их проведения очень важно обеспечить равномерность распределения параметров слоя по его объему. Первоначально засыпанный слой горючего материала является неоднородным: размеры отдельных его частиц колеблются в определенном узком интервале, по при этом в общей массе породы присутствуют крупные частицы и конгломерации частиц, которые в псевдоожиженном слое будут вести себя иначе, чем основная масса, и будут нарушать его структуру. Интенсивность горения крупных частиц и конгломератов частиц изменяется и процесс горения сопровождается образованием дополнительных промежуточных продуктов сгорания загрязняющих окружающую среду. В твердых отходах обнаруживают большое количество несгоревших продуктов как в твердом, так и в газообразном виде. В связи с этим возникает проблема управления режимом сжигания, для чего необходима информация о

распределении хаотических параметров, положении макроскопических объектов в слое в любой момент времени и о распределении вероятностей этого положения в зависимости от соотношения характеристик слоя и этих объектов.

Эта проблема исследовалась на установке для псевдоожижения, представленной на рис.9. В качестве твердой фазы использовался речной песок с диаметром песчинок около 0,9мм.

В качестве постороннего предмета шары диаметром 50 и 60 мм и массой 74,5 и 130,5 г соответственно. Для оценивания хаотических режимов и траектории движения постороннего предмета использовались датчики вибраций фирмы Маплеэтап- Клеш1е (ФРГ). Если расположить датчики, как показано на рис 9, то они будут

воспринимать механические колебания из всего объема установки. Сигнал на выходе конкретного датчика находится в прямой зависимости от того, на каком расстоянии от него находится предмет (рис, 10): расстояние от предмета до

датчика обратно пропорционально сигналу. Если сигнал от датчика равен

£ ^

величине ¿'I, а от датчика Б2 величине 5% то можно написать: —.

хг

Типичный вид сигналов представлен на рис. 11. По сигналам от датчиков были восстановлены траектории движения постороннего предмета для различных режимов ожижения, вероятности его нахождения в какой- то точке объема и идентифицированы хаотические параметры (восстановлены

Воздух

Рис.9. Установка для псевдоожижения.

Б!,

" ^ Посторонний

X/ ч

Рис.10.

аттракторы, по ним определены фрактальные размерности, экспоненты Ляпунова и энтропии Колмогорова для мест расположения датчиков).

Результаты приведены на рисунках 12- 14.

Рис. 11. Колебания в псевдоожижснном слое: штрих-пунктир- слой сам по- себе; сплошная линия- с посторонним предметом (шар, диаметром 50мм и массой 74,5 г). Расход воздуха 700м3/час.

О псе 01 й13 02 025 аз 035 (14 (145

{ —1 Г -1 г—

1 1 Г 1г- 1—1

0 0.05 1 0.15 С.2 С 25 0.3 0 35 0 л а

Л п 1

й! 02 03 О А 05 (16 07 08

Рис. 12. Проекция траектории движения тела на переднюю стенку установки (слела) для значений рис. 11. Гистограммы для выборок проекций положений тела по ширине х и по высоте у (справа).

700т2 6 ® 5 о

2,23 + 1 бит/с

2,63

+1 бит/с

1 о

Из рис. 14 видно, что внесение постороннего предмета в

псевдоожиженный слой может привести к возникновению застойных зон, в которых отсутствуют турбулентные колебания (в районе датчика 1). О том же можно сделать вывод из анализа фрактальной размерности проекции траектории движения рис. 12, которая составляет величину —1,8, что меньше размерности для перколяциошюго кластера, который наблюдается при развитой турбулентности и для которого эта величина равна 1,89. Для других значений параметров была получена эта величина (1,89) размерности в реальном пространстве, а также значения фрактальных размерностей в фазовом пространстве 0/>2, положительные экспоненты Ляпунова и положительные значения энтропии Колмогорова что позволяет

идентифицировать турбулентные

2,08 1,89 -И),07 бит/с -0,69 бит/с

Рис. 14. для значений параметров рис. 11.1,2,5,6- датчики. В бит/с-экспоненты Ляпунова. 2,23; 2,63; 2,08; 1,89- размерности аттракторов. Значения энтропии Колмогорова в точках 2.5.6-положительны, в точке 1-нуль.

С гЛОЭ

] Л \ А - -лЛ_

0.2 0,4 ОБ

0.2 0.4 0.6

Рис. 15. Результаты измерений колебаний здания. Спектральные плотности мощности (СПМ) колебаний.

а) для здания в спокойном состоянии (103), верхний график;

б) прогрев автомобильного двигателя во дворе, нижний график (207)._

хаотические колебания.

В главе 4 проведено исследование структуры

механических колебаний

(спектральные плотности

мощности для различных случаев (рис. 15)) и влияние на них трещины в стене здания по пер. Гривцова, 14. Исследования проводились с использованием разработанной автором

измерительной системы

предупреждения аварийной ситуации. Проводились наблюдения за размером трещины с помощью телекамеры, за температурой внутри и вне здания и за вибрациями здания. Показано, что при отсутствии внешних возмущений части здахшя, разделенные трещиной, колеблются синхронно, с частотой около 0,5 Гц (рис. 15,а).

При появлении внешнего слабого возмущения, такого как колебания, вызываемые работой автомобильного двигателя при прогреве его во дворе здания на холостом ходу, происходит перераспределение энергии в

низкочастотную область спектра (рис.15, б). Размерность аттрактора, получешюго из сигнала от датчика вибраций, при этом £>2=2,54 (рис.16) и величина экспоненты Ляпунова Л1=2,2бит/с. Слабое возмуще!ше

вызывает переход к хаотическим колебаниям. Размеры трещины определяются только перепадом температур между паружной и внутренней частями стены. Администрации института были даны рекомендации по ликвидации аварии.

П1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулированы принципы идентификации параметров МХП с исследованием особенностей их хаотического поведения, определением распределений хаотических параметров, полученных как в фазовом, так и в реальном пространствах.

рг>207 0=2.54

Рис. 16. Результат расчета корреляционной размерности для аттрактора восстановленного по результатам измерений вибраций здания в хаотическом режиме. ¿>2=2,54._

2. Созданы методы оценивания параметров больших воздушных объемов и проведены их испытания при исследования конвективных процессов в большеразмерном оптическом стетще (коллиматоре) для юстировки и испытаний больших оптических систем, создана измерительная система для оценивания параметров оптического стенда, в процессе испытаний.

3. Создан метод оценивания параметров двухфазных потоков (систем "газ (воздух) - твердые частицы") и проведены экспериментальные исследования параметров двухфазных потоков, получены распределения хаотических параметров по объему объекта, траектории движений посторонних предметов в потоке и их фрактальные размерности.

4. Создана и испытана систему предупреждения аварийной ситуации для зданий и сооружений, сделан прогноз поведения аварийного здания и даны рекомендации по устранению аварии.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Дульнев Г.Н., Лукьянов Г.Н., Макаров С. Л., Рысаков A.B., Костенко В.И. Автоматизированная измерительная система для термовакуумных испытаний телевизионной системы "ВЕГА" М.: ИКИ Пр- 1061, 1985 .- 16с.

2. Дульнев Г.Н., Ушаковская Е.Д.Костенко В.И.,Лукьянов Г.Н., Макаров С.Л, Чурсина Г.С.Исследование теплового режима аппаратуры в экстремальных условиях М.: ИКИ Пр-1396 , 1985 .- 22с.

3. Lukjanow G.N., Bonfig K.W. Wege zur Genauigkeitserhohung bei Temperaturmesssystemen.-Messen, und Pruefen N5, 1986, s.270-272.

4. Lukjanow G.N., Bonfig K.W. Projektierung von Temperaturmesssystemen mit hoher Aufloesung und Messen und GenauigkeitMessen. und Pruefen N9,1991 ,s.392-397.

5. Lukjanow G. Messtechnische Untersuchungen bei Waermeuebertragungprozessen.- Vortrag in Rahmen des

Sonderforschungsbereiches 238 der Deutschen Forschungsgemeinschaft, TU-Hamburg-Harburg, 16.12.1993.

6. Котов B.B., Лукьянов Г.Н., Лютьшская М.Е. Обеспечение термостатирования крупногабаритных воздушных стендов для юстировки оптических систем,- Изв. вузов, Приборостроение, 1994, т. XXXVII, N5-6.

7. Лукьянов Г.Н. , Звездина М.Е. Способ определения скоростей в газовых и жидкостных объемах. Патент. Заявка N 95102221/28/00400/ от 14.02.95. Решение о подтверждении от 08.01Л 997.

8. Лукьянов Г.Н. Многопараметрические наблюдения в движущихся средах на основе температурных измерений. .- В кн. Датчик-95: Тез. докл. межд.конф.М.: МГИЭМ,1995.

9. Лукьянов Г.Н., Звездина М.Е. Оценка погрешности измерения спекгралышми методами распределений скоростей газовой или жидкой среды. Известия Вузов.- С-Пб.: '"Приборостроение", 1997г., N5.

10.3вездила М.Е, Лукьянов Г.Н. Экспериментальное исследование процессов тепло- и массообмена в цилиндрическом объеме с воздухом методами спектрального оценивания. Неустойчивость режимов течения и фазовые траектории процессов. Известия Вузов,- С-Пб.: "Приборостроение", 1997г., N7, с.60-63.

П.Лукьянов Г.Н., Звездина М.Е., Котов В.В. Нестационарные режимы течения воздушной среды и качество изображения в крупногабаритной воздушной оптической системе. Науч.- тех. конф. "Прикл. Оптика- 96",113.

12.Бертова Н.В., Лукьянов Г.Н., Черненькая Л.В. Инжиниринговый подход к проектированию сенсорных систем.- В кн. Датчик-95: Тез. докл. межд.конф.М.: МГИЭМ,1995.

13.Коняхин И.А., Лукьянов Г.Н. Мониторинговые наблюдения крупногабаритных объектов,- В кн. Датчик-95: Тез. докл. межд.конф.М.: МГИЭМД995.

14.Батян П.В., Коняхин И.А., Лукьянов Г.Н. Установка оперативного мониторинга жилых и промышленных сооружений. Росинформресурс,. СПбЦНТИ, инф.лист. N 312-95 сер.Р 67.01.81, 1996.

15.Батян П.В., Коняхин И.А., Лукьянов Г.Н. Система предупреждения экологических катастроф на основе мониторинговых наблюдений объектов энергетики и промышленности,- В кн. Оптико- электронные приборы и системы. Сб. научн. Статей. Вып. 96. СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 1996. с.78-84.

16.Лукьянов Г.Н. Теплофизические исследования с применением системы автоматизированного сбора и обработки информации. - дисс. на соиск. уч. степ. кавд. техн. наук-Л.: ЛИТМО, 1981.

17. Лукьянов Г.Н. Методы исследований систем с детерминированным хаосом. Учебное пособие по курсу "Специальные методы измерений физических величин". -СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 1997,63с„ ил.32.

18.Wirsum, D. Ehrhardt, P. Borheier, G. Lukjanow, F.Fett. Movement and Dispersion of Large Fuel Particles in Fluidized Beds. Measurement of Trajectory by Electromagnetic Fields and by Acoustical Methods. The Third International Conference on Fluid Dynamic Measurement and Its Applications. October 1417,1997, Beijing, China.

19.Fett F.N., Lukjanow G., Wirsum M.Untersuchung von Entmischungsvorgaengen in blasenbildenden Wirbelschichten.- DFGZwischenbericht 01.02.1996- 30.06.1996. Siegen: Universitaet-Gesamthochschule- Siegen, 1996,- 43 S.

20.Fett F.N., Lukjanow G., Wirsum M. Untersuchung von Entmischungsvorgaengen in blasenbildenden Wirbelschichten.- DFGAbschlussbericht 01.07.1996- 31.10.1996. Siegen: Universitaet-Gesamthochschule- Siegen, 1996,- 33 S.

21.Lukyanov G.N. Comparison of Results of the Deterministic Chaos Analysis for IdentiGcation of Technical and Economic Objects. Control of Oscillations and Chaos. 1997 1st International Conference . P. 321-322.

22.Lukjanow G.N.Untersuchung von Entmischungsvorgaengen in blasenbildenden Wirbelschichten.- DFG- Abschlussbcricht 01.11.199728.06.1998. Siegen: Universitaet- Gesamthochschule- Siegen, 1998,- 74 S.

23.Lukyanov G. Identification of parameters of technical systems on the basis of deterministic chaos theory. Вторая международная конференция " Дифференциальные уравнения и их применение". 15-20 июня 1998. Тез. докл. Стр. 51-52.

24.Lukjanow, G. Schwankungen in Wirbelschichten und deren Untersuchung mit Beschleunigungssensoren. В кн.: "Sensoren und Feldbussysteme". Kaufering: B-Quadrat Verlags GmbH, 1998. S. 420-427.

.^дв.ол.ад слоя)®*

Президиум Л К России й

И

ст " ...9. : , Ш л, Г", &аДо

--Г"

/С'З^.пл учену:

....

щк

Начальник управл^н^я ВАК России

- 4? 4 ~ / /Г"/

с/

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВ ГЕННАДИЙ НИКОЛАЕВИЧ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНЫХ^] ХАОТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ П

Специальность 05Л3.01 -Управление в технических системах

диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................................... 6

Глава 1. Задачи и принципы идентификации параметров многомерных

хаотических процессов................................................................................... 22

1.1 Детерминированный хаос......................................................................... 22

1.1 Л Понятие хаотических систем и процессов. Детерминированный хаос и

различие между хаотическими и стохастическими процессами................... 22

1.1.2 Консервативные и диссипативные системы.......................................... 31

1.2 Задачи идентификации параметров многомерных хаотических процессов (МХП)............................................................................................................... 34

1.3 Оценивание параметров МХП.................................................................... 37

1.3.1 О некоторых моделях МХП................................................................... 37

1.3.2 Представление траекторий. Сечения Пуанкаре.......................................40

1.3.3 Метод задержек....................................................................................... 44

1.4 Количественное оценивание движения на аттракторе.......................... 46

1.4.1 Экспоненты Ляпунова.............................................................................. 46

1.4.2 Спектр экспонент Ляпунова.....................................................................52

1.4.3 Вычисление экспонент Ляпунова из скалярных временных рядов........54

1.4.4 Фрактальные размерности.......................................................................56

1.4.5 Энтропия Колмогорова.............................................................................62

1.4.6 Предсказуемость.......................................................................................63

1.5 Некоторые особенности перехода к хаосу................................................. 65

1.5.1 Простой пример дискретной системы с детерминированным

хаосом................................................................................................................ 65

1.5.2 Оценивание в фазовом пространстве. Аттрактор. Странный аттрактор........................................................................................................... 66

1.5.3 Переход к хаосу....................................................................................... 71

1.6 Сравнение различных видов протекания процессов................................ 79

1.7 Фрактальные формы..................................................................................80

1.8 Метод идентификации параметров многомерных хаотических процессов...........................................................................................................89

1.9 Выводы........................................................................................................ 90

Глава 2. Идентификация параметров МХИ в воздушных объемах..............91

2.1 Поведение воздуха в цилиндрических объемах.........................................91

2.1.1 Задача идентификации режимов колебаний в воздушных объемах

при проведении испытаний оптических систем...............................................91

2.2Моделирование конвективных течений в горизонтальных цилиндрах.......94

2.2.1 Описание коллиматора и зала.....................................................................94

2.2.2 Моделирование конвективных течений.....................................................97

2.3Выбор метода измерений............................................................................100

2.3.1 Требования к первичным измерительным преобразователям.................100

2.3.2 Выбор метода измерения скорости..........................................................102

2.3.3 Система измерения температуры.............................................................105

2.4 Спектральное оценивание...........................................................................107

2.5 Организация исследований.........................................................................112

2.6 Идентификация режимов течений на основе измерений перепадов температур.....................................................................................................112

2.6.1 Обработка результатов измерений..........................................................112

2.6.2 Описание экспериментов.........................................................................113

2.6.3 Результаты обработки и их интерпретация..............................................115

2.6.4 Погрешность определения скорости........................................................120

2.7 Выводы по главе 2......................................................................................125

Глава 3. Идентификация пространственно- временной структуры

двухфазных потоков.........................................................................................126

3.1 Явление псевдоожижения и его применение............................................126

3.1.1 Основные сведения о псевдоожижении..................................................126

3.1.2 Задача идентификации режимов колебаний псе в доожиже ш ю го

слоя...................................................................................................................133

3,2. Процессы разделения- перемешивания в слоях......................................135

3.2.1 Разделение- перемешивание....................................................................135

3.2.2 Экспериментальные исследования процессов разделения-перемешивания..............................................................................................137

3.2.3. Силы, действующие на посторонний предмет в псевдоожиженном

слое....................................................................................................................138

3.3 Исследования хаотического поведения псевдоожиженных слоев...........143

3.3.1. Исследования хаоса в псевдоожиженных слоях....................................143

3.3.2 Изучение движения массива твердых частиц, ожижаемых газом

и их хаотичности по динамической модели Эргуна......................................145

3.5 Экспериментальное определение параметров траектории постороннего предмета и идентификация хаотических режимов в псевдоожиженном слое................................................................................................................150

3.5.1 Экспериментальная установка.................................................................150

3.5.2 Результаты измерений и их интерпретация............................................151

3.5.3 Восстановление траектории движения тела в слое по сигналам от датчиков............................................................................................................164

3.5.4 Особенности хаотического поведения слоя с посторонним предметом и

без предмета......................................................................................................172

3.6. Масштабные соотношения в реальном пространстве аппарата для

псевдоожижения...............................................................................................175

3.7 Выводы по главе 3.......................................................................................178

Глава 4. Исследования структуры механических колебаний в зданиях и

сооружениях......................................................................................................179

4.1. Объект исследования.................................................................................179

4.2 Описание экспериментального исследования...........................................180

4.3 Основные результаты экспериментального исследования.......................182

4.3.1 Результаты измерений ширины трещины...............................................182

4.3.2 Результаты исследований вибраций........................................................183

4.4 Выводы по главе 4.......................................................................................194

Заключение........................................................................................................195

Литература.........................................................................................................197

Приложение 1. Теоремы Такенса.....................................................................204

Приложение 2. Результаты оценивания скоростей воздушных потоков в

оптическом коллиматоре..................................................................................208

Приложение 3. Результаты идентификации хаотических параметров сушильной печи в АО "Хлебный дом"............................................................209

/ У

>

ВВЕДЕНИЕ

Неупорядоченное, хаотическое поведение обнаруживается во многих процессах, протекающих в различных природных и технических объектах. В природе хаос проявляется, например, в конвекции в атмосфере и в океане [1,2].

В технических объектах хаотическое поведение может быть как нежелательным явлением так и насущной необходимостью. Например, в оптической промышленности предварительные испытания и юстировку оптических систем, предназначенных для работы в условиях космического вакуума, приходится выполнять на специальных стендах- коллиматорах, работающих в воздухе при нормальной температуре и давлении. Сложное конвективное движение воздуха в этих стендах приводит к искажению световых лучей и к искажению результатов работы оптической системы и, поэтому, это явление пытаются подавить с помощью термостатирования [3]. С другой стороны широкое применение в технике нашли так называемые псевдоожиженные слои [4,5], в которых хаотическое движение является необходимостью. Технология псевдоожижения применяется в топках теплоэлектростанций, при сушке различных продуктов, в химических реакторах и т.д..

Многие объекты подвергаются одновременному воздействию колебаний, имеющих природное и искусственное происхождение. К ним относятся здания и сооружения, на которые действуют сейсмические и температурные колебания, изменения давления атмосферы, перемещения грунтовых вод, ветры, сотрясения, вызванные движением транспорта, работой станков и оборудования и т. д. [6].

Реальные устройства, которые проявляют хаотическое поведение, представляют собой системы с распределенными параметрами. Управление такими объектами требует решения задачи идентификации распределения

некоторых их параметров по пространству. Известно, что при идентификации выполняется математическое описание какого- либо объекта или процесса на основе информации о нем, полученной в результате выполнения наблюдений и имеющейся математической модели. Если процесс достаточно хорошо изучен или несложен, то решение этой задачи также не представляет особых трудностей. Иначе обстоит дело со сложными хаотическими процессами, описание которых чаще всего выполняют на основе статистических закономерностей, несмотря на то, что их описание в виде, например, систем дифференциальных уравнений известно уже давно- с XIX столетия. К таким процессам относится явление конвекции- движения жидкости или газа, описываемая системой уравнений Навье - Стокса, несжимаемости

и теплопереноса [7]. Даже в случае каких- то упрощений, как, например так называемого приближения Буссинеска, согласно которому изменения плотности среды р значительны только при их генерации выталкивающими силами и, что другие параметры жидкости не зависят от температуры [7], эта система уравнений достаточно сложна:

(В.1)

л

= -Ух + &е+У2\

(&г

РГ1 —+

уз у

¿зэ

— + V -V© = 11ае-+ V2©

р % р а3 ат

где Ка =--число Релея, р -плотность, р - температурный

1] а

коэффициент расширения, г} - динамическая вязкость, g- ускорение свободного падения, с1- определяющий размер, а- температуропроводность,

v

АТ- перепад температур, Рг = —, V - кинематическая вязкость, е- единичный

а

вектор в направлении поля гравитации.

Однако, зачастую, для решения практических задач управления такими объектами, бывает достаточно знать как протекает процесс, в каком режиме, в ламинарном, переходном, или турбулентном и знать распределение этих режимов по оцениваемому объему. Тогда может идти речь об идентификации, например, таких параметров процесса, как режимов течений и их распределений по пространству.

При выполнении наблюдений применяют как статистический подход, так и подход основанный на знании физической природы наблюдаемого объекта. Существует большое число объектов, у которых отсутствуют как полная упорядоченность, так и полный хаос. Для описания таких объектов можно использовать сокращенный набор макроскопических переменных, для которых выполняется условие макроскопической причинности. Это означает, что переменные имеют между собой динамическую связь "...и для определения их изменений в различных процессах не нужно всякий раз проводить усреднение по микроскопической динамике" [8]. К таким процессам относится, например, турбулентность, для которой корреляция флуктуаций скорости распространяется на весь диапазон масштабов течения.

Единый подход к описанию ряда геометрических свойств различных физических процессов и структур дает так называемый фрактал-математическое понятие, обозначающее множество точек в метрическом пространстве, для которых невозможно определить какую- либо из традиционных мер с целой размерностью - длину, площадь или объем (первая степень, квадрат и куб длины) [9,10]. Длина для фрактальной кривой может оказаться бесконечной, а площадь- нулевой. Для измерения таких кривых вводится мера Хаусдорфа, которая может иметь как целую, так и нецелую размерность. Фракталом может быть нигде не

дифференцируемая линия на плоскости или в пространстве. Такая линия не имеет определенной длины, т.к. ее из- за недифференцируемости нельзя

аппроксимировать ломаной линией, длина которой стремится к конечному пределу при уменьшении длин звеньев.

Фрактальные структуры присущи также гидродинамической турбулентности [1].

Актуальность проблемы. Задача идентификации динамической системы традиционно решается путем подбора модели, обеспечивающей однозначное описание временной эволюции в пространстве состояний при определенных начальных условиях. Вопреки этой детерминированности имеется целый ряд процессов, которые эволюционируют по сложным хаотическим законам и имеют очень высокую чувствительность к заданию начальных условий.

На протяжении многих лет преобладал детерминистский подход к объектам идентификации и считалось, что стохастичность связана с производством наблюдений. В 1963 году была опубликована статья американского математика Лоренца, работавшего над проблемой предсказания погоды, которая называлась: "Детерминированное непериодическое течение" [11]. В этой работе была представлена динамическая модель, описывающая явление конвекции Релея- Бенара. Необычным было то, что при определенных значениях так называемого управляющего параметра, входящего в систему, ее решение становилось хаотическим. В отличии от господствовавших представлений, по которым хаос есть что- то неправильное, привносимое в систему извне, система сама генерировала хаотическое решение, которое могло быть описано в статистических терминах.

Необычным в этой системе было также поведение фазовой траектории, которая представляла собой аттрактор обладающий странными, взаимоисключающими свойствами: фазовые траектории разбегались, имея положительный показатель Ляпунова с одной стороны и, в тоже время, стягивались в ограниченный объем пространства, с другой стороны. Первое

из этих свойств означало, что предсказать поведение такой системы на длительное время невозможно, небольшая ошибка в задании начальных условии ' развивается и спустя короткое время процесс выходит на другую траекторию. Связь между причиной и следствием становится невидимой.

После появления работы Лоренца были описаны и другие системы, имеющие решение в виде "странного" аттрактора [например, 12,13]. Эти системы объединяет то, что процессы, происходящие в них эволюционируют за счет диссипации (рассеяния) энергии. Поэтому их называют также диссипативными системами.

В 1975 году была опубликована работа Мандельброта "Фракталы-формы, возможности и размерность" , в которой он впервые описал целый класс объектов, обладающих двумя замечательными свойствами: самоподобием и дробной, нецелой размерностью, которая носит название фрактальной. Самоподобие означает, что весь фрактал может быть построен на основе какой- то своей части, поскольку и сам фрактальный объект и его части геометрически подобны друг другу. Оказалось, что странные аттракторы также принадлежат к классу таких объектов и обладают фрактальной размерностью.

На протяжении многих лет преобладал детерминистский подход к процессам и объектам и считалось, что стохастичность связана с производством наблюдений. Работа Лоренца показала, что стохастичность часто органически присуща системе собственно, т.е. вызывается внутренним поведением системы.

*) Из-за экспоненциального разбегания траекторий, чтобы увеличить точность предсказания в 10 раз, нужно увеличить точность задания начальных условий в е10 раз [8].

**) Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hasard, et dimension. Paris: Flammarion, 1975. Английский перевод вышел в 1977 году [14].

Такое поведение называют детерминированным хаосом Описанными свойствами обладают так называемые диссипативные системы, т.е. такие, процессы в которых происходят за счет рассеяния (диссипации) энергии. Поэтому иногда детерминированный хаос называют диссипативным хаосом.

Высокая чувствительность к заданию начальных условий приводит к тому, что развитие процессов, порождаемых такими системами, невозможно предсказать на длительный промежуток времени. Для диссипативной системы может быть установлен порог в виде так называемого критического значения г^управляющего параметра г, т.е. параметра имеющего

решающее влияние на поведение системы. Если г < гЬр, поведение системы

ничем особенным не отличается, решение имеет строго детерминированный характер. Если г > г//р, система начинает генерировать хаотическое решение.

Пригожин ввел для диссипативных систем понятие времени Ляпунова т,

величину обратную показателю Ляпунова [8]. Это интервал времени,

внутри которого выражение "две одинаковые си�