автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Оптимальная многопараметрическая коррекция хаотических динамических систем

На правах рукописи

ТАЛАГАЕВ Юрий Викторович

ОПТИМАЛЬНАЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ -ХАОТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13,17 - теоретические основы информатики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 о гй 2ии9

МОСКВА 2009

003471250

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики физико-математического факультета ГОУ ВПО "Борисоглебский государственный педагогический институт"

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

ТАРАКАНОВ Андрей Федорович

ЛЛшшяпьные оппоненты

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор

ЖУКОВСКИЙ Владислав Иосифович

кандидат физико-математических наук, доцент

СТЕПАНЕНКО Елена Викторовна

Ведущая организация

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

Защита состоится «15» июня 2009 г. в _ ч. _ мин. на заседании

Диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д.14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан « ^ » мая 2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета /у ^

(_/ / МУРАВЬЕВА О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Развитие теории оптимального управления (ТОУ) динамическими системами, фундамент которой заложен в трудах JI.C. Понтрягина, Р. Беллмана, В.Г. Болтянского, A.M. Летова и др., в настоящее время характеризуется расширением множества объектов исследования, включением в них динамических систем, демонстрирующих сложное, включая хаотическое, поведение. Важную роль в процессе изучения хаотической системы занимают сбор и обработка информации, без которой невозможен процесс управления. После обработки такой информации принимается решение о дальнейшем ее функционировании. Поэтому исследование управляемых хаотических систем укладывается в рамки общей теории принятия решений (Р. Акоф, М. Сасиени, Г. Вагнер, Е.С. Вентцель, Ю.Б. Гермейер, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, H.H. Моисеев и др.), являющейся составной частью научной дисциплины "Теоретические основы информатики" (ТОЙ), исследующей информационные процессы, протекающие в сложных управляемых системах.

Центральной частью теории управления, как и теории динамических систем, —является анализ свойств устойчивости- На основе методов исследования, устойчивости, нелинейных систем (A.M. Ляпунов, Е.А. Барбашин, H.H. Красовский, И.Г. Малкин, Н.Г. Четасв, В.В. Румянцев, Н.Е. Жуковский, В.А. Якубович, Ж. Ла-Салль, Р. Калман и др.) сформулирована одна из основных задач ТОУ - задача оптимальной стабилизации, - и возникли классы задач об оптимальном управлении при случайных возмущениях (В.Б. Колмановский, Ф.Л. Черноусько, М.Х.А. Девис, К. Острем), в условиях неопределенности (Ю.Б. Гермейер, В.А. Горелик, В.В. Федоров и др.), задачи робастной оптимизации и максиминного тестирования качества стабилизации (В.В. Александров, В.Г. Болтянский, С.С. Лемак) и др.

Начиная с 90-х годов XX в. (В.В. Алексеев, А.Ю. Лоскутов (1985), А. Hubler, Е. Luscher (1989), E.Jackson (1990)), богатый арсенал методов ТОУ стал вливаться в новое направление исследований - управление хаосом (интенсивный толчок дала работа Е. Ott, С. Grebogi, J. Yorke (1990) - OGY-алгоритм), объектами изучения которого являются хаотические динамические системы. К этому времени в нелинейной динамике под влиянием работ А.А.Андронова, Д.В.Аносова, В.И.Арнольда, А.Н. Колмогорова, В.К. Мельникова, Ю.И. Неймарка, Я.Г. Синая, А.Н. Шарковского, Л.П. Шильникова, Е. Lorenz, J. Yorke, Е. Hopf, D. Ruelle, F. Takens, M. Feigenbaum и др. были вскрыты причины и описаны механизмы возникновения хаоса. Оказалось, что существование в параметрическом пространстве системы областей, отвечающих хаотической динамике, - это типичное свойство нелинейных диссипативных систем. Ограничения классических методов исследования устойчивости, вызванные нелинейностью и неоднородностью распределения векторного поля в фазовом пространстве хаотических систем, вывели на первый план анализ устойчивости инвариантных предельных множеств и методы численного моделирования (часто единственно осуществимые).

Количество разработанных к настоящему времени методов и алгоритмов управления хаотической динамикой и их приложений включило управление хаосом в часть общей теории управления динамическими системами. Для исследований в области теоретических основ современных информационных технологий ценность этого включения состоит в открытии новых возможностей в анализе моделей управляемых процессов и решении проблем обработки и хранения информации. Управляемые хаотические системы являются новым классом моделей информационных

процессов. Их анализ открыл перспективные направления исследований в области ТОЙ, связанные с созданием принципиально новых основ построения алгоритмов и методов хранения информации (кодирование информации методами символической динамики хаотических систем), методов передачи и защиты информации (хаотическая маскировка, переключение хаотических режимов, хаотическая синхронизация и др.), разработкой новых систем обработки информации (хаотические процессоры), моделей ассоциативной памяти и др.

Одним из путей повышения эффективности методов управления хаосом является привлечение методов ТОУ. В задачах управления хаосом оптимальность выразилась в дополнении типичной цели - стабилизации неустойчивого периодического решения (орбиты) - требованием минимизации затрат энергии или времени. Это позволило предложить новые и усовершенствовать наиболее используемые OGY-алгоритм, алгоритм обратной связи с запаздыванием (K.Pyragas) и др. Прямое применение принципа максимума к задаче управления хаотической динамикой осуществлено D.G.Luchinsky, R.Radev, E.Valcheva, G.Chen, Y.-C.Tian, M.Tade, D.Levy, однако стабилизирующий характер управляющих функций продемонстрирован только в численных экспериментах и осталось неясным, как специфика хаотической динамики влияет на использованные условия оптимальности.

Концепцию управления хаотическими системами, как и направление совершенствования методов управления хаосом, определило требование «малости» воздействия на систему. Оно относится и к выделенному Б.Р. Андриевским и A.JI. Фрадковым при анализе целей управления, возникших в области управления хаосом, новому классу целей воздействия на систему - модификации ее предельного множества (хаотического аттрактора) из неустойчивого в устойчивое. Речь идет не о переводе системы в заданное множество состояний, когда количественные характеристики стабилизируемого множества системы известны (OGY-алгоритм и его варианты). При модификации необходимо обеспечить желаемое свойство системы -динамический режим с заданным типом устойчивости. Отличие модификации от традиционных целей ТОУ заключается в «размытости» информации о конечном поведении системы (хаотический аттрактор содержит множество неустойчивых состояний - циклов, положений равновесия, - потенциально допускающих их превращение в устойчивые). В результате хаотическая система определяет обстановку, в которой происходит процесс выработки предпочтений в выборе управляющего воздействия. Получение информации и принятие решений в таком случае происходит в условиях хаотической неопределенности, актуализируя учет динамических свойств объекта.

Изучению хаотических систем как класса моделей неопределенности сопутствуют сложности в понимании механизмов появления/исчезновения хаотического поведения. Они являются следствием многомерности параметрического пространства, сложности структуры границ областей регулярной и хаотической динамики и высокой чувствительности параметров к возмущениям. Многочисленные приложения управляемых нелинейных систем и новые цели управления, а также тенденции развития теории управления хаосом определяют важность разработки эффективных средств многопараметрического анализа устойчивости управляемых хаотических процессов. Разные аспекты этой проблемы исследовалась А.П. Кузнецовым, С.П. Кузнецовым, И.Р.Сатаевым (теория многопараметрической критичности), A.A. Майлыбаевым, А.П. Сейраняном (многопараметрическая теория устойчивости) и др. Для

многопараметрического случая предложены новые и обобщены известные алгоритмы управления хаосом (Е. Barreto, С. Grebogi, J. Warncke, A.S. Paula, M.A. Savi и др.).

Целенаправленное воздействие на систему в условиях хаотической неопределенности определяется как способом воздействия на параметры, так и собственными ее особенностями. Ситуации управления здесь более соответствует термин "корректирующее воздействие". Сам термин "коррекция" в широком смысле означает обеспечение желаемых динамических свойств системы и близок к новому классу целей воздействия, выражающемуся в обеспечении устойчивости хаотической системы, достижение которой сопровождается модификацией хаотического аттрактора в некоторое устойчивое предельное множество. Многопараметрический характер коррекция приобрела при изучении оптимизационных прикладных задач планирования и управления, основу моделей которых составляет система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В последние годы достижения в данной области связаны с разработкой математического аппарата и построением численных методов решения задач оптимальной матричной коррекции несовместных СЛАУ с учетом структурных ограничений и несобственных задач математического программирования. Естественное —требование -- в —задачах— коррекции - оптимизации—некоторого—критерия - (например, -минимума евклидовой нормы матрицы коррекции) согласуется с принципиальным в задачах управления хаосом требованием оптимальности управления и( ) и малости Л в ограничении ||и(-)||<Д. Несмотря на схожесть оптимизационных критериев, задача многопараметрической коррекции хаотических систем специфична и в полной мере еще не рассматривалась.

Таким образом, актуальной научной проблемой является развитие средств многопараметрического анализа в области управления хаосом, в которой основной целыо является модификация хаотического аттрактора системы, позволяющих ставить и решать различные варианты оптимизационных задач с учетом динамических свойств хаотических систем.

Объектом исследования являются параметрические способы воздействия на сложные динамические процессы, протекающие в нелинейных системах.

Предмет исследования - оптимальная коррекция параметров хаотических систем.

Цель работы - разработка и обоснование метода оптимальной многопараметрической коррекции, позволяющего обеспечить устойчивый (по заданному критерию) динамический режим хаотической системы, а также исследовать оптимальные переходные процессы от хаотической динамики к регулярной.

В основу исследования положена гипотеза о том, что внутренние свойства хаотической системы, обусловленные ее математической моделью и значениями параметров, являются определяющими для процесса оптимальной по выбранному критерию многопараметрической коррекции и осуществления модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество.

В соответствии с целью были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ понятия модификации хаотического аттрактора, как особой цели воздействия на динамическую систему, и исследовать условия, ведущие к исчезновению/возникновению хаотической динамики.

2. Определить форму корректирующего воздействия на параметры и возможные структурные ограничения на систему.

3. На основе требования малости воздействия на параметры хаотической системы формализовать общий критерий оптимальности коррекции параметров, выполнение которого обеспечивает устойчивый динамический режим скорректированной системы.

4. Исследовать варианты решения оптимизационной задачи для различных форм корректирующих функций (статическая и динамическая коррекция, синтез) и получить условия их оптимальности.

5. Разработать вычислительные алгоритмы коррекции, провести численные эксперименты и описать особенности оптимальных переходных процессов эталонных хаотических систем, выяснить границы применимости метода как средства многопараметрического анализа хаотических систем.

Методологическую основу исследования составляют: функциональный анализ, теория динамических систем, методы и принципы теории устойчивости и оптимального управления, методы нелинейной динамики, современные методы и подходы к управлению хаотическими системами.

Научная новизна. Разработан и математически обоснован метод оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем, относящийся к области исследований специальности 05.13.17 -теоретические основы информатики: ® разработка методов обеспечения высоконадежной обработки информации и

обеспечения помехоустойчивости информационных коммуникаций для целей

передачи, хранения и защиты информации; разработка основ теории надежности и

безопасности использования информационных технологий.

Основные результаты состоят в следующем:

1. Выбором целевого множества, отражающего свойства фазового пространства хаотической системы, формализована цель воздействия на систему, заключающаяся в обеспечении модификации предельного множества из неустойчивого в устойчивое, и с учетом требования малости воздействия поставлена общая задача оптимальной многопараметрической коррекции.

2. Исследована общая задача оптимизации:

• для случая постоянных во времени корректирующих функций (статическая коррекция), решение которой получено для двух классов хаотических систем в виде численной (алгоритм по критерию устойчивости Рауса-Гурвица) и аналитической (по критерию устойчивости Мельникова) оценок минимальных корректирующих поправок;

• для случая зависящих от времени корректирующих функций (численно-аналитическая двухэтапная схема динамической коррекции), при обосновании которой доказано существование класса оптимальных динамических корректирующих функций, получены условия оптимальности их структуры и выяснены динамические свойства, обеспечивающие сходимость траекторий на целевое множество (свойство атграктивности).

3. На основе двухэтапной схемы разработан алгоритм динамической коррекции, реализующий поиск оптимальных корректирующих функций, с использованием которого проведен многопараметрический анализ устойчивости эталонных хаотических систем и с учетом структурных ограничений найдены оценки ограничения (радиус коррекции) на корректирующие функции.

4. На основе условий оптимальности метода динамического программирования и метода функций Ляпунова проведен анализ инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения, осуществлен синтез оптимальных корректирующих функций и реализована вычислительная процедура построения функциональной зависимости старшего ляпуновского показателя от значения радиуса коррекции.

Практическая значимость. Математический аппарат оптимальной многопараметрической коррекции и полученные на его основе алгоритмы применимы

для проектирования сложных систем и управления возникающими в процессе их функционирования динамическими процессами, где приходится сталкиваться с хаотическим поведением системы. Результаты работы составляют основу подхода, позволяющего в зависимости от допустимых видов корректирующего воздействия (статическая и динамическая коррекция, синтез) эффективно обеспечить устойчивость хаотической системы, а также на основе многопараметрического анализа получить информацию о свойствах объекта (оптимальный радиус коррекции и характеристики оптимального предельного множества, чувствительность параметров к воздействиям).

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Определение понятия модификации аттрактора в устойчивое предельное множество, как цели воздействия на систему, и формализация общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем в виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию.

2. Способ сведения общей задачи к оптимизационной задаче статической коррекции, решением которой является наиболее значимый параметр, корректирование

—которого обеспечивает-устойчивость системы___

3. Аналитические и численные оценки минимальных корректирующих поправок, полученные при решении статической задачи коррекции (с критериями, отвечающими механизмам хаотизации динамики двух классов хаотических систем).

4. Обоснование двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции, включающее условия оптимальности структуры и динамические свойства корректирующих функций.

5. Алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции.

6. Оптимальный синтез особых оптимальных корректирующих функций, основанный на инвариантных свойствах скорректированных систем на поверхности переключения.

7. Численные эксперименты, демонстрирующие практические возможности метода оптимальной коррекции как средства многопараметрического анализа хаотических систем.

Апробация. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих международных конференциях: VI-VII конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, ИПУ РАН, 2007, 2008); 6th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (Санкт-Петербург, 2008); 3rd IEEE Scientific Conference on Physics and Control (Германия, Университет Потсдама, 2007 (приглашенный доклад, мини-симпозиум «Recent Developments in Controlling Chaos in Nonlinear Dynamical Systems»)); «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, ТГУ, 2007); «Современные методы физико-математических наук» (Орел, ОГУ, 2006); «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее» (Самара, СГПУ, 2006).

Материалы работы представлялись на X Международном семинаре им. Е.П. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2008); VIII международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, СГУ, 2007); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» (Борисоглебск, ГОУ ВПО «БГПИ», 2005, 2006).

Публикации. Основное содержание диссертационного исследования опубликовано в 17 работах, из них 4 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, 2 из которых в журналах непосредственно по специальности.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка использованной литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрыты проблемы анализа сложных нелинейных управляемых систем, сделан обзор методов управления хаосом. Особое внимание уделено особенностям целей воздействия, возникших при исследовании управляемых хаотических систем как класса моделей неопределенности, подходам и результатам оптимального управления хаосом, роли многопараметрических методов в исследования устойчивости и результатам, полученным к настоящему времени в решении задач оптимальной матричной (многопараметрической) коррекции. В связи с этим выделены актуальные нерешенные проблемы. Приведены общая характеристика и содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена теоретическому анализу, формализации общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем и ее исследованию для случая постоянных во времени корректирующих функций (статическая коррекция).

В п. 1.1 даны необходимые сведения о динамических процессах, протекающих в хаотических системах. В связи с проблемой управления хаотической динамикой приведены используемые в дальнейшем определения и теоремы, рассмотрены условия хаотизации динамики системы, выделены критерии для исследования устойчивости.

В п. 1.2 рассматриваются способы корректирования параметров системы (п. 1.2.1), определяется понятие модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество (п.1.2.2), с использованием которого в п.1.2.3 поставлена задача оптимальной многопараметрической коррекции в виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию. Обсуждаются способы ее решения.

Пусть дана нелинейная диссипативная динамическая система x(t) = f(x(t),p), xeR", peRm, t e [0,+co). Пусть для всех x0 e BA (BA - бассейн притяжения хаотического аттрактора АР) выполнены условия хаотичности решения, и значения вектора параметров р лежат в области параметрического пространства, для которой предельным множеством системы является АР. Возможные изменения режима системы будем связывать с наличием многопараметрического возмущения. Для этого выделим множество корректируемых параметров Рс={р{,рг,...,рг}, rim. Каждый Pj е Рс возмущен (корректирующей) функцией hj=hj(t) по правилу р К> р(-): Pj{t) = Pj{\ + hj{t)), j = \,r. Считаем, что вектор-функция h = (hl,...,hr)eU -некоторому ограничивающему множеству. Результатом такого возмущения является превращение параметров в специфические динамические переменные p(t) = p(h(t)), вызывающие трансформацию исходной системы - многопараметрическую коррекцию: m = f(x(t),pj) > x{t) = f{x{t),p{t),t). (1)

После определения перехода к скорректированной системе (1) в п.1.2.1 обсуждаются возможные способы корректирования параметров с учетом структурных ограничений.

Вводится основной вид скорректированной системы х = f(x,p) + g(x,p)h, указывающий на то, что после коррекции правая часть системы распадается на две части (собственную f{x,p) и корректируемую g(x,p)h), одна из которых линейна по А.

В п. 1.2.2 анализируются особенности строения фазового пространства хаотических систем. Хаотический аттрактор АР находится в ограниченном множестве ||х||E<Q, а его структура определяется геометрией и типом элементов множества неустойчивых состояний равновесия £ = {х^*}^ = {*€ Ä" |/(х,р) = 0}. Из-за этого требование

обеспечить устойчивость системы дает «размытую» цель, поскольку задает широкий класс приемлемых режимов (в хаотический аттрактор вложено счетное множество неустойчивых периодических орбит). Поэтому вводится множество МЕ = {(x,h) | f(x,p) = 0} и определяется понятие модификации (свойство Ар ь-> МЕ), как изменение пгхя любых х- &В г -.t Q характера (внутренней) устойчивости множества ME из неустойчивого при h = 0 в устойчивое при h ^ 0. Структура целевого множества-учитывает—характерную—для—хаотических—систем—неединственность состояний равновесия и не ограничивает результат модификации, предоставляя системе осуществить выбор приемлемого в зависимости от выбранного критерия устойчивости динамического режима, реализующегося при коррекции параметров системы.

В п. 1.2.3 дается формулировка общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции системы (1):

J\(.ha(-),a) =|| h°(-) ||с= max max | h^(t) min (2)

<20 lsisr ' aeK,heU°

где минимум на множестве К = {а > 0| A,(a) = max{lim(/)~' ln|| хДг)|[£} <0}

i—1,/j /-ю>

допустимых значений параметра а ищется для функции

k" eU° = Arg min J2{h,a), J2(h,a) = lim (Vrt ,h2At)dt (3)

с ограничивающим множеством U = {/;(■) e Z,2[0, =o) | || /?(■) ||£S a} .

В задаче (l)-(3) отражено естественное требование «малости» коррекции параметров и упорядочены 2 критерия оптимальности: J2(h,a) -»min - внутренняя

hsU

задача нахождения (для фиксированного а) структуры функции h"eU, обеспечивающей минимум затрат энергии на коррекцию, и J|(/i°,a)-> min о -

задача выбора значения amin, ограничивающего множество значений функции h° eU°. Так как фазовые траектории, начинающиеся на аттракторе Ар, локально неустойчивы, то структура множества К определена из условия отрицательности знака старшего ляпуновского показателя А, = А](я). Решением (2) является пара (/;'(•),amin), которая удовлетворяет неравенству || /Г(-) ||с< arain и для любых хаеВА, при условии

A|(omin) < 0 дает наилучшее (по критериям в (2) и (3)) выполнение свойства Ар н> МЕ, при котором предельное множество, локализованное на МЕ, локально устойчиво, и оптимальным способом достигнута цель коррекции - устойчивость скорректированной динамической системы.

В ходе анализа задачи (1)-(3) установлены возможные виды устойчивого динамического поведения скорректированной системы (аттрактором на множестве МЕ

является либо устойчивый цикл х.г(0> либо состояние равновесия х,(е)), обеспечиваемые парой (h'(-),am¡„). По виду корректирующих функций (A =h(t) = const, h = h(t), h = h(x(t)) классифицированы способы достижения указанных результатов коррекции.

В п. 1.3 исследуется случай, когда корректирующие функции постоянны во времени h =h(t) = const, и исходная задача сводится к задаче оптимизации и анализу устойчивости скорректированной системы по выбранному критерию устойчивости. В п. 1.3.1 на множестве разреженных корректирующих векторов L-{hJ = (hlth2,...,hr) I hlfJ = 0, j,l = \,r,} сформулирована задача оптимальной многопараметрической статической коррекции (задача 1):

min| hJ |-> min, К - {hJ е L | Л,(hJ) < 0,j = lr}, (4)

hUK j-\,r

которая вместо общего условия оптимальности (по всем корректируемым параметрам) содержит совокупность условий по каждому параметру в отдельности (каждому j соответствует пара pph'Решением (4) является наиболее значимый по критерию параметр, коррекция которого обеспечивает устойчивость системы. Задача 1 допускает комбинирование различных критериев устойчивости (определяющих структуру множества К), что позволяет для корректируемой системы: 1) определить для каждого рJ е Рс границы ее устойчивости; 2) сравнить влияние на устойчивость отдельных параметров; 3) выявить среди е Рс такой, коррекция которого обеспечивает устойчивость с наименьшей по модулю поправкой | ti |= min min| hJ |; 4) установить

j=\,r hU- К

вид предельного множества скорректированной системы, возникающего при оптимальной коррекции, которая обеспечивает модификацию хаотического аттрактора Ар н> МЕ.

Далее в п. 1.3.2 для допускающих линеаризацию хаотических систем предлагается способ решения задачи 1 путем ее сведения к задаче оптимизации и анализу устойчивости линеаризованных уравнений скорректированной системы на основе коэффициентного критерия Рауса-Гурвица. Линеаризация скорректированной системы в (1) в окрестности ее произвольного состояния равновесия х^' е Е, k = l,s, дает стационарную линейную систему вида

i(t) = Ä(P)Lx<->x(t), kp)Ul'>^{dfl(x,p)/dxJ}x^,), = =

Особенность решения задачи - учет наличия у хаотических систем нескольких состояний равновесия е Е, которые определяют структуру матрицы А(р) и соответствующий ей приведенный характеристический многочлен С К?.) = Л"+ = 0, а'л = a, (A/), j = \,г, к = . Множественность состояний

равновесия (каждому х[е) еЕ, соответствует свой набор А/) дает

и задача (4) принимает вид:

min | hJk !-> min_, Кн = {h'k е L \ D{k > 0 ,DJlk > 0 ,...,DJ„k > 0,j = U, k = U}, (5)

D{t=at (А/) > 0,£>2* =

>0,...,D4=^/)AU>0. (6)

где в силу того, что условие устойчивости АДА/) = max Re А, ¿(Л( А/) < 0

эквивалентно гурвицевости G/(A), структура множества Кн определена на основе положительности главных миноров матрицы Гурвица:

a, (h'k) a,(hl) aü(hi) a2(hi)

В задаче (5) для каждого h'k (то есть для корректируемого параметра pJ и

состояния равновесия хе Е, для которых получена линеаризованная матрица

A(h[) ) и сопутствующего ему частного многочлена С/(х) возникают условия

вида (6). Они приводят к анализу (äx г)-систем неравенств относительно А/. Для

нахождения решения (h',xle)) = (h'k. ,x(kV) реализован алгоритм полного перебора по

у' = 1,г, к = 1,.?. Результативность алгоритма в плане нахождения численной оценки _ наименьшей, поправки, параметра. проиллюстрирована _на_ примере .коррекции системы_ Лоренца.

В п. 1.3.3 представлено решение задачи 1 в случае статической коррекции двумерных автономных систем с внешним периодическим возмущением, демонстрирующих хаотическую динамику:

x = Mx,p) + Ef,(x,t) н» х = f0(x,p) + cf[(x,t), е«\,

min | hJ |-> mm, Км= {hJ <= L \ sign(ku(h> ,9)) = const, j = ~r). (7)

h'iKM

В задаче (7) множество Км определено с учетом свойственного данному классу хаотических систем механизма хаотизации. Согласно критерию Мельникова, оно состоит из значений h' е L, для которых соответствующая функция Мельникова kM(h,' 9) = ^f0(x,p) л fi(x,t)\x=x^,_e)dt знакопостоянна в любой момент времени в (здесь xsx(t-9) - решение невозмущенной системы, соответствующее движению по петле сепаратрисы из седла в седло). Решением (7) является минимальный по модулю разреженный корректирующий вектор | h1 |= А in = argmin min | h1 |, дающий поправку

i=is hUKu

h' к параметру p . e Pc. В качестве примера осуществлена статическая коррекция

эталонной (в рассматриваемом классе) системы Дуффинга-Холмса. Решение получено в виде аналитической оценки минимальной поправки, при которой хаотическая динамика скорректированной системы преобразуется в устойчивую.

Вторая глава посвящена исследованию сформулированной в первой главе общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции (1)-(3), в которой искомые корректирующие функции зависят от времени h = h(t).

Динамический характер коррекции требует внимания не только к характеристикам при t -»+оо установившегося с некоторого момента Т' режима системы, но и к переходному процессу [0,7*]. В связи с этим в п. 2.1 задача (1)-(3), определенная на интервале [0,+со), сведена к аналогичной задаче, но переопределенной на конечный интервал [О, Г], Т > Т':

J,(A°('),a) = max max I h°,(t) min , (8)

0<l<T \<,]<r 1 a

где минимум на множестве К = {а > 0 | Л,(а) = max{lim (/)"' In || х,(0 ||£} < 0} ищется

Мл l-*T

для функции

h° 6 U° = ArgmmJ2{h,a), J2(h,a) = (9)

U = {h(-)eL2[0,T] | \\h{-)\\E^a,T>T'}.

В задаче оптимальной многопараметрической динамической коррекции (1),(8),(9) (задача 2) выбор длины интервала [О.Г], на котором исследуется ее решение, производится на основании условия Т > Т' > тах{Г(5*(х0)}, где T's - найденная с

точностью S «1 длительность переходного процесса, по истечении которого система демонстрирует установившийся динамический режим. После выбора и фиксации момента Г, в задаче в качестве вспомогательного критерия общей задачи (3) фигурирует функционал Лагранжа, отвечающий за оптимальность структуры корректирующей функции на заданном интервале времени 1.0,Г].

Определение 1. Функцию /Г(-)еС/ назовем оптимальной динамической корректирующей функцией, если после коррекции доступных параметров (1) она обеспечивает на [0,Г] для системы с условием A,(amin) < 0 свойство Ар ь-> МЕ,

удовлетворяя, как решение задач (8),(9), неравенству || h (•) ||с< amm.

Особенность задачи 2 - использование нового класса целей воздействия на систему (обеспечение свойства АР ь-» МЕ). Существенным уже оказывается не перевод состояния системы на терминальное множество (в данном случае закрепленным термином является «стабилизация»), а изменение характера устойчивости целевого множества МЕ в целом - модификация (выполнение требований к внутренней устойчивости МЕ в виде условия Л,(ат|11) < 0).

Упорядоченность критериев оптимальности в задаче 2 позволяет провести сс решение в два этапа как последовательное решение двух задач:

^(/.(VAmin J2(h°(-),a) ^ Mhc'(-),a)^ min ^ J,(h'(-),amJ = f. (10)

п( У=и aeK.h eu

Двухэтапная схема оптимальной динамической многопараметрической коррекции (10) предполагает комбинирование методов теории оптимального управления с численным тестированием качества достижения системой требуемого характера устойчивости. На I этапе для фиксированного значения а решается (внутренняя) задача нахождения корректирующей функции Л° е U° = Arg min J2(h,а) (т.е. устанавливаются

heU

ее динамические свойства или структура), определяющей процесс С0 = {x°(/),(A°(i),a),i е [0,7^]} и переводящей на [0,Г] скорректированную систему с начальным условием х0 е Вл во множество МЕ. На II этапе решается задача минимизации критерия J^h0(•),«) по параметру а. Этот этап связан с численным тестированием качества модификации Ар н-> МЕ. Для этого при различных значениях а в ограничениях | h'j(t) |< а, j = 1, г, отслеживается эволюция малого возмущения x(t) вдоль скорректированной траектории. В результате для всех компонент А°(/) находится значение amin (радиус коррекции), которое обеспечивает переход А°(')н> A'Q от

корректирующей функции с оптимальной структурой h° к оптимальной корректирующей функции h'.

Материал п. 2.2 посвящен выводу условий оптимальности и обоснованию двухэтапной схемы (10).

Определение 2. Оптимальной динамической модификацией хаотического аттрактора АР назовем процесс С = {*"(/),(й*(0,amin),'е[0,Г]}, который, как решение задачи 2, удовлетворяет критериям оптимальности двухэтапной схемы коррекции (10), обеспечивая тем самым при воздействии в (1) оптимальной корректирующей функции h'(t), t е [0,Г], выполнение на интервале [0,Г] для скорректированной системы свойства Ар к> МЕ.

В п. 2.2.1 рассмотрен I этап схемы коррекции и на основе соотношений принципа максимума найден класс динамических корректирующих функций и получены необходимые условия оптимальности их структуры.

Пусть H{x,h,y/) = ysTf(x,p)-0.5\\h\\2E. Для того чтобы образующие процесс С0 функция h°(-)eU и соответствующая траектория x°(t) _с_краевы ми уел о вия м и х0 еВА, х°(Т) е М Е, лежащими внутри области ||х||£<£?> были оптимальными с критерием J2{h(-),a) —» min , необходимо существование такой ненулевой вектор-функции

H)eU

!//(/) е R", удовлетворяющей уравнению ij/{t) = -^^Н(х°0),И°({),ц/(1)), что h"(t) обеспечивает максимум

H{x\t\h\t)^{t)) = таxH(x°(t),hMt)) ^0, (11)

hcU

а в точках хЦ и х°(Т) выполнены условия трансверсальности ^0±П(х°) и у/{Т) 1 П(х°(Т)), где <Г2(хд) и П(х°(Г)) - касательные многообразия к множествам Вл и МЕ соответственно в точках хЦ е ВА и х'(Т) е МЕ.

Условие (11) позволяет найти покоординатно оптимальную структуру вектор-функции h°(t) = (/¡,0(ОЛ°(О.-Л0(О) как функции насыщения (sai(■)). Обозначим через hj(t) компоненты вектора h(t) = (й, (t)Ji2 (t),...,hr (/)), определяемые равенством (d/dhj )H{x(t),h,y(.t)) = 0 - Тогда

и°/л - cwiT itw -1 если

а; (о=**(/*,(0)= ; (12)

[а-зщп^Ш если |АД/)|> а,

где А,(0 = ^Г(5/^)Дх(0,К0), J = Гr.

Функция /г°(0 = лзГ(/1(/)) с компонентами в виде (12) аппроксимирует ограничение по гиперсфере (||й(-)||£<а в структуре множества С/) ограничением по гиперкубу (|| /;(•) ||с< а): |/1у(/)|¿а, j = 1,г. Особенности /г°(0; 1) компоненты /г°(/) независимы друг от друга, а именно, если при I = в выполнено А,°(0) -а, то остальные компоненты /г°(6'),/г!о(0),.../1йг{в) могут иметь любые совместимые с ограничением || /г°(-) ||с< а значения; 2) аппроксимация гиперсферы гиперкубом тем лучше, чем меньше величина а. В результате искомому минимальному значению ат!п,

определяющему переход ha(-)\-th'( ■), будет соответствовать наилучшая аппроксимация.

В п. 2.2.2 изучаются динамические свойства h°(t) = sat(Ji(t)) и исследуется вопрос о том, насколько соответствующий функции /г°(0 процесс С0, определяемый с использованием (12) 2п -системой

[* = {dldv)H{x,h\t),4>) = f{x,p{x,\t/)), х(0) = *о, [у/ = -{d!öx)H(x,k°(t),y) = £(x,i/r). Wo 1 £!(*„). способен изменить характер устойчивости множества МЕ с неустойчивого на устойчивый. Требуется, чтобы функция h°(t) обеспечивала соответствующим траекториям x°(t) сходимость к МЕ, и характер устойчивости аттрактора (локализованного на МЕ) определялся значением а в || А°(О ||с2 а.

Доказана основная теорема, которая устанавливает динамические свойства компонент h°{t) = sat(hj(t)) для достаточно широкого класса хаотических систем, рассматриваемых в работе.

Теорема 1. Пусть в задаче 2 для скорректированной системы х = f(x,p{h)), Pj(t)= pj(l + hj(t)), Pj e Pc, h&U, корректирующая функция h°(t) получена в виде (12) как решение задачи J2(Ä°(-),a) = min J2(h(-),a) из условия максимума (11). Тогда:

h{)eU

1) при произвольном а в ограничении || h°(-) [¡£< а компоненты функции h°(t) "почти всюду" постоянны и равны ± а; 2) при произвольном а в ограничении || А°(-) ||Е< а для траекторий скорректированной системы выполнена оценка (свойство апрактивности) || f(x0(t),p(h0(t))) ||£< 0.5га21| Ц}1-» 0 при t -> Т, т.е. обеспечивается регулярное выполнение включения x'(t) е Ое(МЕ), где Ое(Ме) - £ -окрестность множества МЕ\ 3) всегда можно указать число amin = arg min max max I h°,(t) I такое, что, начиная с

ае K,b°eU0 OUST 1 '

некоторого момента времени 7" е[О,Г], выполнение ограничения || h°(t) ||с< amin обеспечит оптимальность корректирующей функции в смысле h°(t) н-> h'(t), которая вместе с соответствующей ей траекторией x'(t) и числом amm образуют процесс С* оптимальной динамической модификации Ар ь-> МЕ.

Следствием аттрактивности скорректированных траекторий x"(t) к множеству МЕ является достаточность для оптимальности процесса С удовлетворения условиям трансверсальности на левом конце траектории.

В п.2.3 на основе теоремы 1 предложен выполненный в пакете MATHCAD алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции. Рассмотрены варианты аппроксимации (12) гладкими функциями. Приведены и проанализированы результаты трех вариантов коррекции 7 различных хаотических систем, показавших эффективность предложенного алгоритма.

Третья глава посвящена анализу инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения и решению на их основе задачи синтеза особых оптимальных корректирующих функций.

В п. 3.1 в условиях задачи (1),(8),(9), где h = h(t) е U, сформулйрована задача оптимального синтеза корректирующих функций (задача 3), се решение (/»'[•],amin) позволяет получить допустимые корректирующие функции в виде обратной связи по состоянию скорректированной системы A = A[i] = h(x(t)) е G. Анализ условий, необходимых для реализации двухэтапной схемы решения задачи 3.

72(AH,fl)4min => 7г(А°[-],в) J,(A0[.],a)4 min J,(A'[-],amm) =

/ilfeG anK,h°iCa

проведен на основе условий оптимальности Беллмана и их связи с обобщением метода Ляпунова на случай устойчивости инвариантных предельных множеств системы. В результате для найденной на первом этапе корректирующей функции с оптимальной

структурой h° е G" = Arg min показано, что функция Беллмана является

оптимальной функцией Ляпунова и для нее выполнены условия сходимости скорректированных траекторий на МЕ.

В п. 3.2 определена поверхность S(x,V(x)) = (gradV(x))T g(x,p) = О, на которой

происходит переключение знака функций h"[t] й обращается в нуль полная"

производная функции Ляпунова V0, а также исследованы инвариантные свойства скорректированных систем, движения которых направлены вдоль поверхности переключения (особые корректирующие функции и траектории). На основании эквивалентности соотношений

ffW,№) = VT(t)fW,P) = 0 VxeMw ={(x,!//)eÄ2"| S(x,y/)=0},

V(x(t)) = (gradV{xjf f(x(t),p) = 0 V X e Ms = {x e R"\ S(x,V(x))= 0 } вдоль соответствующей инвариантной поверхности переключения, доказана теорема, дающая условия оптимального синтеза скорректированных систем.

Tnnnnt.n Ч TT,,™, тттчт ~ II „ II ^ Г\ ----------------

Ж VU^IV.TIU м. iiywii tl/ИЛ VtlWlWiVlCM Л — J {А,у J О Оч/JlUWIl j | Л | j с V НГШарПйП 1ПШМ

предельным множеством является хаотический аттрактор

АР гэ Е = е R": f(x,p) = 0, к = 1,$}. Тогда в задаче оптимального синтеза для скорректированной системы х = f{x,p) = f(x,p) + g(x,p)h, heG, для которой компоненты особой корректирующей функции определены в виде А;0(хЛх)) = м1(А;(х,И(х))). h''{x,V(x)) = Sat(-{gradV(x))Tgj(x,p)), j = Гг, существует ограниченная поверхность переключения S(x,V(x)) = 0 такая, что для всех х е Ms = {х е Я" S(x,V(x))- 0 } можно осуществить эквивалентную замену указанных выше компонент:

A,(x,F(x)) = hjlSfrgradVix))) -> hj{t) = h)(S(x(t)^m A,(x) = A/S(x)), и выбором числа amin = arg min max max | A°(S(x)) | выполнить ограничения

aeK,h°cC° 0Я<Т I<iir

I h°{S{x))\i amin, обеспечивающие оптимальность корректирующей функции в смысле h°(S(x)) h'(S(x)), которая вместе с соответствующей ей траекторией х'(/) и числом omin образуют процесс С' = {х'(t),(h'(S(x(t))),amn), t е [0,7"]} оптимальной динамической модификации АР ь-> МЕ.

Особенность задачи синтеза - инвариантность к выбору корректируемого параметра и замене знака компонент особых корректирующих функций

и°ч(х) = (х) = sat(SJ (х)) = ¡ш(-5*(х))). Для случая хеЯ3 реализована

схема оптимального синтеза: 1) ищутся уравнения инвариантных поверхностей переключения Б^х):

$,*(*) = (±)С/з (х, р)(5/)/2 (х, р) - /2 (х, )/3(х, р)) = О,

Я* (х) = (±)(/; (х, р)(Э / 5х2 )/3 (х, р) - /3 (х, р)(5 / &2)/, (х,р)) = 0, Я* (х) = (±)(/, (х,р)(д/дх3)/2 (х,р) - /2 (х,р)(д/8х3)/, (х,р)) = 0; 2) интегрируется скорректированная система без ограничений на функции /г±;(х) = у =1,3); 3) осуществляется синтез с учетом ограничений на

корректирующие функции й°у(х) = Ба^Я* (х)) и поиск значения а*|П.

В п.3.3 представлены результаты численного эксперимента с системой Лоренца, иллюстрирующие эффективность методики синтеза особых оптимальных

т.'г"|ПП(Ч.~ттттл\'тлтттт7V '111.*тт тт IТтта птичл/м \< тм лтх ('1 'Т1.И(ЛТ( п1 гтитш 1-Т пшашгарии® ^папш/ла

.. ..................... ж---........--------......

коррекции) в пакете МАТЬАВ реализована вычислительная процедура построения функциональной зависимости старшего ляпуновского показателя от значения радиуса коррекции исследуемой системы.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы.

1. На основе отражающего свойство фазового пространства хаотической системы целевого множества (определяемого требованием равенства нулю производных вектора состояний) определено понятие модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество как цели воздействия на систему. Это позволило, учитывая принципиальное в задачах управления хаосом требование малости воздействия, формализовать общую задачу оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем в виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию.

2. Исследован способ сведения общей задачи к оптимизационной задаче статической коррекции, решением которой является наиболее значимый параметр, обеспечивающий при его коррекции устойчивость системы. Аналитические и численные оценки минимальных корректирующих поправок параметров получены для двух классов систем:

• для допускающих линеаризацию хаотических систем с учетом существования нескольких состояний равновесия реализован алгоритм полного перебора, позволяющий численно найти наименьшую (по условию положительности главных миноров матрицы Гурвица) поправку параметра и оказывающееся устойчивым соответствующее состояние равновесия;

• для двумерных автономных систем с внешним периодическим возмущением на основании условия знакопостоянства функции Мельникова определена аналитическая структура допустимого множества, на котором минимизируются величины корректирующих поправок.

3. Для случая, когда корректирующие воздействия являются функциями времени, обоснована двухэтапная схема оптимальной динамической многопараметрической коррекции. На основе принципа максимума получены условия оптимальности структуры и исследованы динамические свойства найденного класса корректирующих функций. Доказано существование в задаче минимальной величины ограничения, обеспечивающего установление регулярной динамики. Предложен алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск

оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции.

4. Осуществлен оптимальный синтез особых оптимальных корректирующих функций, основанный на инвариантных свойствах скорректированных систем на поверхности переключения.

Результаты работы подтвердили выдвинутую гипотезу и составляют основу аппарата многопараметрического анализа хаотических систем. Они открывают дальнейшие пути к решению оптимизационных задач в области проектирования сложных систем и управления возникающими в процессе их функционирования динамическими процессами, в которых приходится сталкиваться с коррекцией нежелательных динамических свойств, вызванных хаотическим поведением системы.

В приложения 1 и 2 вынесены рабочие листы MATHCAD с реализованными в них алгоритмами.

Основное содержание диссертационного исследования отражено в работах:

1. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальное подавление хаоса и переходные процессы в скорректированных многопараметрических

-колебательных системах-//-Известия, высших учебных заведсний. Прнкладная

нелинейная динамика. - 2008. - Т. 16, № 5. - С. 99-114. - 1 п.л. (авт. вклад - 50%)

2. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальная параметрическая стабилизация хаотических колебательных систем // Системы управления и информационные технологии. - 2007. - № 2(28). - С. 67-72. - 0.375 п.л. (авт. вклад -50 %)

3. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Стабилизация неустойчивых неподвижных точек оптимальной динамической коррекцией параметров хаотических систем // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия: «Естественные и технические науки». - 2007. - Т. 12, Вып. 4. - С. 529-530. - 0.14 п.л. (авт. вклад - 50 %)

4. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Стабилизация хаоса оптимальной коррекцией управляющих параметров осциллятора Дуффинга-Ван дер Поля // Письма в «Журнал технической физики». - 2006. - Т. 32, Вып. 24. - С. 1-9. - 0.56 п.л. (авт. вклад - 50 %)

5. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальная локализация и стабилизация неустойчивых состояний равновесия хаотических систем // Труды VII Международ, конф. «Идентификация систем и задачи управления» (28-31 января 2008 г., Москва). -М.: ИПУ РАН, 2008. - С. 864-873. - 0.625 п.л. (авт. вклад - 50 %)

6. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальная коррекция пространства параметров и обеспечение устойчивости установившихся режимов многопараметрических хаотических систем // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: тезисы докл. X Международ, семинара им. Е.П. Пятницкого / общ. ред. В.Н. Тхай (3-6 июня 2008 г., Москва). - М.: ИПУ РАН, 2008. - С. 301-302. - 0.125 п.л. (авт. вклад - 50 %)

7. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Идентификация оптимального корректирующего воздействия для стабилизации сложной динамики параметрически возмущенной системы // Труды VI Международ, конф. «Идентификация систем и задачи управления» (29 января - 1 февраля 2007 г., Москва). - М.: ИПУ РАН, 2007. - С. 607623. - 1 п.л. (авт. вклад - 50 %)

8. Talagaev Y.V., Tarakanov A.F. Modification of chaotic systems limit sets by multiparametrical optimal correction // Abstract collection of the 3rd International IEEE

Scientific Conference on Physics and Control / ed. J. Kurths, A. Fradkov, G. Chen (September, 3rd-7rd 2007, Potsdam, Germany). - Potsdam: Potsdam University, 2007. - P. 126. - 0.06 п.л. (авт. вклад - 50 %)

9. Горелик B.A., Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальная параметрическая коррекция динамики систем с хаотическим аттрактором // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. - М.: Вычислительный центр РАН, 2006. - С. 34-46. - 0.81 п.л. (авт. вклад - 30 %)

10. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Метод оптимальной параметрической коррекции для обеспечения устойчивости динамических систем // Научное обозрение. - 2006. - № 2. - С. 53-60. - 0.5 п.л. (авт. вклад - 50 %)

11. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальная коррекция неустойчивой динамики уравнения Матье // Современные проблемы науки и образования. - М.: ИД Академия естествознания, 2006. - №3. - С. 9-12. - 0.25 п.л. (авт. вклад - 50 %)

12. Талагаев Ю. В., Тараканов А. Ф. Оптимальная параметрическая коррекция автоколебательных систем /У Научное обозрение. - 2006. - № i. - С. 63-69. - 0.43 п.л. (авт. вклад - 50 %)

13. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Принцип максимума Понтрягина в задачах параметрического управления хаотической динамикой // Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее: материалы I Международ, науч.-практ. конф. (1-2 ноября 2006 г., Самара). - М.; Самара: Изд-во СГПУ, 2006. - С. 116-125. - 0.625 п.л. (авт. вклад - 50 %)

14. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Синхронизация хаоса в системе связанных осцилляторов Дуффинга методом оптимальной параметрической коррекции // Современные методы физико-математических наук. В 2 т.: труды международ, конф. (9-14 октября 2006 г., Орел). - Орел: Изд-во ОГУ, 2006. - Т.1. - С. 123-127. - 0.31 п.л. (авт. вклад - 50 %)

15. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Оптимальная параметрическая коррекция динамической системы при постоянно действующих возмущениях // Информационные и коммуникационные технологии в образовании: сб. материалов VII Всерос. науч.-практ. конф. (ноябрь 2006 г.). - Борисоглебск: ГОУ ВПО «БГПИ», 2006. - С. 133-142. -0.625 п.л. (авт. вклад - 50 %)

16. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Коррекция неустойчивой динамики осциллятора Дуффинга в условиях параметрического резонанса // Информационные и коммуникационные технологии в образовании: сб. материалов VI Всерос. науч.-практ. конф. (ноябрь 2005 г.). - Борисоглебск: ГОУ ВПО «БГПИ», 2005. - С. 130-141. - 0.75 п.л. (авт. вклад - 50 %)

17. Талагаев Ю.В., Тараканов А.Ф. Подавление хаоса в системе Лоренца методом оптимальной параметрической коррекции // Научное обозрение. - 2005. - № 6. - С. 5660. - 0.31 п.л. (авт. вклад - 50 %)

Подп. к печ. 29.04,2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 99 Тир 100 экз. Типография МПГУ

Содержание.

Введение.

Глава 1. Общая задача оптимальной многопараметрической коррекции.

1.1. Основные понятия, свойства и методы исследования устойчивости нелинейных систем в приложении к задаче управления хаотической динамикой.

1.2. Постановка общей задачи.

1.2.1. Переход к скорректированной системе.

1.2.2. Определение понятия модификации хаотического аттрактора.

1.2.3. Формулировка задачи и способы ее решения.

1.3. Исследование общей задачи для случая постоянных во времени корректирующих функций.

1.3.1. Постановка задачи статической коррекции.

1.3.2. Коррекция автономных хаотических систем с критерием устойчивости Рауса-Гурвица.

1.3.3. Коррекция двумерных автономных систем с внешним периодическим возмущением с критерием устойчивости Мельникова.

Глава 2. Оптимальная многопараметрическая динамическая коррекция хаотических систем.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Условия оптимальной модификации.

2.2.1. Необходимые условия оптимальности структуры корректирующих функций.

2.2.2. Динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Основная теорема.

2.3. Алгоритм оптимальной коррекции. Примеры.

Глава 3. Скорректированная система: анализ инвариантных свойств и оптимальный синтез.

3.1. Постановка и анализ задачи оптимального синтеза на основе метода динамического программирования.

3.2. Инвариантные свойства и синтез особых оптимальных корректирующих функций на поверхности переключения.

3.3. Численный эксперимент.

Актуальность. Развитие теории оптимального управления (ТОУ) динамическими системами, фундамент которой заложен в трудах JI.C. Понтрягина1 [58], Р. Беллмана [12], В.Г. Болтянского [15], A.M. Летова [78] и др., характеризуется расширением множества объектов исследования. Как правило, новые объекты (одного и того же типа) оказываются более сложными (например, конструктивно, по управлению), чем предыдущие. Для исследования таких объектов иногда удается использовать классические результаты ТОУ, однако чаще всего невозможно не только применение данных результатов, но и формализация оптимизационной задачи оказывается весьма проблематичной. Указанные трудности в полной мере сопутствуют попыткам- исследования динамических систем, описываемых нелинейными математическими объектами.

Анализ нелинейных динамических систем, демонстрирующих сложное, включая хаотическое, поведение, в настоящее время является одним из важнейших научных направлений [5, 34, 43-44, 47, 50, 55, 61, 63-66, 97, 101]. Среди разнообразных приложений, охватываемых этим направлением, важное место< занимают сбор и обработка информации, без- которых невозможен процесс воздействия на объект или явление с помощью управлений. Особенно это касается управления с обратной связью, которое учитывает информацию о текущем состоянии системы. После обработки такой информации принимается решение о дальнейшем функционировании объекта или протекании явления. Поэтому исследование управляемых динамических систем (которыми могут быть любые допускающие целенаправленное воздействие на себя объекты или явления) укладывается в рамки общей теории принятия решений, активно разрабатывавшейся в работах Р. Акофа и М. Сасиени [2], Г. Вагнера [16], Е.С. Вентцель [19], Ю.Б. Гермейера [23], А.Д. Иоффе и В.М. Тихомирова [35], Н.Н. Моисеева [62], и являющейся составной частью научной дисциплины "Теоретические основы информатики" (ТОЙ). Находясь в непрерывном взаимодействии с другими научно-техническими областями, ТОЙ фокусирует внимание на информационных процессах, протекающих в сложных управляемых системах.

Функционирование динамических систем неизбежно подвержено действию неопределенных факторов или неконтролируемых возмущений и в зависимости от их свойств может протекать по-разному, в частности, оно может быть в определенной степени неустойчивым. Центральной частью математической теории управления, как и теории динамических систем, является анализ свойств устойчивости. Методы исследования устойчивости нелинейных систем заложены в работах A.M. Ляпунова [54], Е.А. Барбашина [9], Н.Н. Красовского [42], И.Г. Малкина [57], Н.Г. Четаева [100], В.В.Румянцева [20], Н.Е.Жуковского [32], Ж. Ла-Салля [46] и др. На их основе сформулирована одна из основных задач теории оптимального управления - задача оптимальной стабилизации - и возникли классы задач об оптимальном управлении при случайных возмущениях (В.Б. Колмановский, Ф.Л. Черноусько, М.Х.А. Девис, К. Острем), в условиях неопределенности (В.В. Альсевич, Ю.Б. Гермейер, В.А. Горелик, В.В. Федоров), при накоплении возмущений (Б.В. Булгаков), задачи робастной оптимизации и максиминного тестирования качества стабилизации (В.В. Александров, В.Г. Болтянский, С.С. Лемак) и>др., развитые в тесной связи с математическим аппаратом теории устойчивости.

Начиная с 90-х годов XX в. (исторически проблема целенаправленного воздействия на хаотическую систему впервые обсуждалась в работах В.В. Лоскутова (1985) [3], A. Hubler, Е. Luscher (1989) [125], E.Jackson (1990> [128]), богатый арсенал методов ТОУ стал вливаться в новое направление исследований - управление хаосом [5-6, 34, 51-52, 55, 66, 97, 112, 115, 120, 129, 134] (интенсивным толчком к развитию послужила работа Е. Ott, С. Grebogi, J. Yorke (1990) [148]), с отличными от известных стохастических моделей объектами изучения - хаотическими динамическими системами [77]. К этому времени в нелинейной динамике под влиянием работ А.А. Андронова, Д.В. Аносова, В.И. Арнольда, А.Н. Колмогорова, В.К. Мельникова, Ю:И. Неймарка, Я.Г. Синая, А.Н. Шарковского, Л.П. Шильникова, Е. Lorenz, J. Yorke, Е. Hopf, D. Ruelle, F. Takens, M. Feigenbaum и др. были вскрыты основные причины, описаны механизмы возникновения хаотической динамики и определены основные подходы к анализу хаотических свойств. Общим выводом оказалось, что существование в параметрическом пространстве системы областей, отвечающих хаотической динамике, является типичным свойством нелинейных диссипативных динамических систем. Основными условиями, определяющими природу динамического хаоса, являются глобальная ограниченность и локальная неустойчивость траекторий системы.

Хаотические'системы существенно нелинейны, имеют несколько неустойчивых состояний равновесия [22], распределение векторного поля в их фазовом-пространстве неоднородно. При исследовании хаотической динамики' традиционный метод линеаризации с последующим локальным анализом-устойчивости состояний равновесия или отдельной фазовой-траектории принципиально недостаточен для полного понимания поведения системы. Информация, полученная в результате анализа линеаризованной модели, может оказаться неверной для понимания «нелинейных эффектов [66]. Линеаризация является лишь предварительным этапом исследования [4]. На первый план выходят анализ,устойчивости' траекторий, принадлежащих предельным множествам [63], и методы численного (имитационного) моделирования (часто единственно осуществимые [5]), приводящие к необходимости разработки и оптимизации алгоритмов-численного анализа и синтеза сложных нелинейных управляемых систем [14, 27, 44, 122, 140, 145].

Включение хаотических систем в класс управляемых объектов потребовало не только модернизации классической теории устойчивости движения (Г.А. Леонов, 2006 [47]). Предложенный Отто, Гребоджи и Йорком [148] OGY-алгоритм стабилизации хаоса показал, что свойство рекуррентности траекторий хаотических систем позволяет малым воздействием в дискретные моменты времени на параметр стабилизировать заданный неустойчивый предельный' цикл, вложенный в хаотический аттрактор системы. Ключевое требование «малости» воздействия определило как общую концепцию управления хаотическими системами (Т. Shinbrot и др., 1993 [167]), так и направление развития двух основных групп методов управления хаосом:

1. Методыподавления хаоса с помощью программного управления и = u{t) с заданной структурой (метод резонансного [107, 121, 137, 143, 109-110]; и высокочастотного [130] подавления хаоса). В их основе лежит критерий Мельникова (В;К. Мельников, 1963 [49; 59]) (область применения, ограничена слабо-диссипативными: системами и требованием малости возмущений); который: позволяет по границе появления хаотической динамики аналитически; оценить эффективность воздействия. Требование «малости» выражается, в минимизации* допустимого уровня стабилизирующего воздействия г] на параметр: р^, возмущенный способом p(t) - pQ(l + u{t)), u(t) = 77 cos(<y t + (p). В последнее время ЭТО' направление получило перспективное продолжение открытием.: новой формы стабилизирующего воздействия (A.R. Dzhanoev, 2007 [102]).

2. Шето^ыстабилизацип хаоса с помощью управления, в виде обратной связи по состоянию и = и(х) (алгоритмы: Отта-Гребоджи-Йорка [148]; эпизодичег ской пропорциональной обратной связи (Е. Hunt,, 1991 [127]); обратной- связи с запаздыванием - TDF-алгоритм (К. Pyragas, 1992 [155]) и др.); Попыткиунифи-кации показали, что широкое применение- алгоритмов ограниченно- и может встретить трудности, навязанные особенностями- конкретной хаотической' системы. Например, для наиболее употребительного OGY-алгоритма это: низкая: скорость сходимости, возникающая при удаленности контролируемой траектории от целевого множества; неточности, вызываемые линеаризацией модели; и др. Естественным образом возникли вопросы о соотношении метода OGY и традиционной? теории управления (С. Romeiras и др., 1992 [116]), включая; вопросы оптимальности (G. Chen, 1994 [113]). В' дальнейшем для. снятия этих и других проблем были предложены различные развития:; алгоритмов1 этой группы;

К настоящему времени предложено, проанализировано и: нашло приложение большое число алгоритмов: управления: хаотической, динамикой [5-6; 52,' 119],.позволивших глубже понять особые свойства; хаотических систем. Управление хаосом стало частью общей задачи управления динамическими системами. Для исследований в области теоретических основ современных информационных технологий ценность этого включения состоит в открытии новых возможностей в анализе моделей управляемых процессов и решении проблем обработки и хранения информации [6, 28, 50]. Управляемые хаотические системы являются новым классом моделей информационных процессов. Их анализ открыл перспективные направления исследований в области ТОЙ, связанные с созданием принципиально новых основ построения алгоритмов и методов хранения информации (кодирование информации методами символической динамики хаотических систем), методов передачи и защиты информации (хаотическая маскировка, переключение хаотических режимов, хаотическая синхронизация и др.), разработкой новых систем обработки информации (хаотические процессоры), моделей ассоциативной памяти и др.

В связи с тем, что часть алгоритмов верифицирована только посредством численных экспериментов и до сих пор аналитически строго не обоснована, исследования сохраняют свою актуальность. Одним из возможных путей повышения эффективности алгоритмов подавления хаоса является привлечение математических методов ТОУ. Такой синтез оказался обоюдным (A.JI. Фрадков, 2003 [97]). Под оптимальным управлением хаосом понимается перевод динамической системы из начального состояния в конечное либо с наименьшими затратами энергии [103, 113, 141-142]), либо времени [79, 106, 124, 150, 158, 164]). В работах В. Epureanu, Е. Dowell [117] и С. Piccardi, S. Rinaldi [152] с учетом требования минимума энергии управления непосредственно усовершенствован OYG-алгоритм. Варианты оптимального TDF-алгоритма рассмотрены в [146, 156].

Часть работ посвящена прямому применению принципа максимума к задаче управления хаотической динамикой. Например, D.G. Luchinsky и др. [147] исследован переход с минимальными энергозатратами на аддитивное управление без ограничений между сосуществующими в фазовом пространстве системы хаотическим аттрактором и устойчивым циклом. Без теоретического обоснования в [157, 166] на поверхности переключения осуществлен синтез аддитивных локально оптимальных управляющих функций. Их стабилизирующий характер при произвольных ограничениях продемонстрирован только в численном эксперименте, но осталось неясным, как специфика хаотической динамики влияет на использованные условия оптимальности.

Согласно анализу целей управления Б.Р. Андриевского и A.JI. Фрадкова [5, 97], включение хаотических систем в класс управляемых объектов определило особый класс целей воздействия на систему. Он заключается в выборе управления, модифицирующего предельное множество (аттрактор) системы из неустойчивого в устойчивое с учетом требования малости воздействия. Речь идет не об управлении динамикой хаотической системы путем перевода в заданное множество состояний (т.е. стабилизации), когда количественные характеристики стабилизируемого множества системы известны (такой подход характерен OGY-алгоритму и его вариантам). При модификации-для'первоначально хаотической системы существенным оказывается требование обеспечить желаемое свойство системы — динамический режим с заданным типом устойчивости. Такая постановка задачи типична для группы методов подавления хаоса, смежной к области управления хаосом — управлению бифуркациями [111, 131], включая оптимальное управление бифуркациями [108, 135]'. Отличие модификации от традиционных целей ТОУ заключается в «размытости» информации о поведении системы, возникающем при смене режима функционирования с нерегулярного на регулярный (дело в том, что хаотический аттрактор содержит множество неустойчивых состояний - циклов, положений равновесия, - потенциально допускающих превращение их в устойчивые), что актуализирует проблему учета динамических свойств объекта.

В условиях, диктуемых хаотической системой, возможна ситуация, когда заранее нет полной информации (точные количественные характеристики целевого множества неизвестны), как будут вести себя траектории, если она окажется в устойчивом режиме. Полученные результаты [104, 126] касаются*лишь частного случая этой проблемы - стабилизации неизвестного состояния' равновесия хаотической системы. В силу высокой чувствительности параметров системы к малым возмущениям также неясно, какие допускающие изменения параметры и способы изменения их значений будут наилучшими при осуществлении управляющих воздействий. В результате хаотическая система определяет обстановку, в которой происходит процесс выработки предпочтений в выборе управляющего воздействия. Получение информации и принятие решений в таком случае происходит в условиях хаотической неопределенности, которая характеризуется потерей памяти о начальных условиях и проявляется в принципиальной невозможности долгосрочного прогноза хаотических процессов (ошибка прогноза растет экспоненциально).

При рассмотрении хаотических систем как класса моделей неопределенности с отличающимися от стохастических (вероятностных) моделей свойствами [68] возникает дополнительная сложность в анализе механизмов появления/исчезновения хаотического поведения. Параметрическое пространство многих из них многомерно, и структура границ областей регулярной и хаотической динамики приобретает разнообразный (иногда нетривиальный)' характер [144]. Это определяет важность разработки эффективных средств многопараметрического анализа устойчивости процессов, протекающих в хаотических системах. Непосредственно в нелинейной динамике на основе идей< ренорм-группового анализа развит многопараметрический подход, позволяющий исследовать разнообразные критические ситуации и универсальные характеристики, возникающие на границе перехода "регулярная динамика-хаос" (теория многопараметрической критичности [132-133, 144]). Для* многопараметрического случая созданы новые и обобщены известные алгоритмы управленияг хаосом [105, 138, 151, 168].

Актуальность многопараметрического анализа затрагивает не только хаотические системы. На основе критериев устойчивости Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара, Михайлова, Найквиста, Харитонова, Цыпкина-Поляка и др. возникли и продолжают продуктивно развиваться методы многопараметрического анализа устойчивости нелинейных управляемых динамических систем в первом'приближении. К ним относятся: методы исследования геометрии многомерных областей устойчивости, основанные на анализе пространства коэффициентов характеристического полинома системы [69]; метод многопараметрического бифуркационного анализа собственных значений матриц (зависящих от многих параметров) и способы аппроксимации особенностей границ областей устойчивости (многопараметрическая теория устойчивости [163]); методы исследования устойчивости систем управления с учетом неопределенности в пространстве параметров (робастная теория устойчивости [73, 159]) и др: Изучение границ их применимости к хаотическим системам составляет дальнейшую задачу.

Ситуация, сложившаяся к настоящему времени в исследовании сложных нелинейных управляемых систем и определении новых целей воздействия* на систему, а также тенденции развития теории управления хаосом и постоянно возникающие новые ее приложения требуют совершенствования средств многопараметрического анализа хаотических систем, как класса моделей неопределенности. Целенаправленное воздействие на систему в условиях хаотической-неопределенности зависит как от выбора способа воздействия на параметры:, так и от собственных особенностей объекта. Ситуации управления! здесь В' большей степени соответствует термин "корректирующее* воздействие". Сам термин «коррекция» в широком смысле означает обеспечение желаемых динамических свойств системы. Тем самым, он оказывается близким к определенному в области управления хаосом и требующему формализации новому классу целей воздействия на систему, выражающемуся в обеспечении устойчивости (желаемое свойство) модели объекта, достижение которой сопровождается модификацией его хаотического аттрактора в некоторое устойчивое предельное множество.

Многопараметрический характер коррекция приобрела при исследовании оптимизационных прикладных задач планирования и управления, в основе которых лежит система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), возникающих при линеаризации динамической математической модели объекта. За последние годы благодаря работам отечественных [18, 24, 26< 31] и зарубежных [118, 149, 154, 160] групп исследователей достижения в данном направлении связаны с разработкой математического аппарата исследования и построением эффективных численных методов решения задач оптимальной матричной (многопараметрической) коррекции несовместных СЛАУ с учетом структурных ограничений и несобственных (противоречивых) задач математического программирования. Естественное требование в задачах коррекции оптимизации по некоторому критерию качества (например, по минимуму евклидовой нормы матрицы коррекции) согласуется с принципиальным в задачах управления хаосом требованием малости управления и(-), которое математически выражается [97]1 в ограничении || м(-) ||< А, и требовании малости заданного уровня- А. Несмотря на схожесть оптимизационных критериев (минимум нормы), задача1 многопараметрической коррекции хаотических систем специфична и в полной» мере еще не рассматривалась.

Таким образом, актуальной научной проблемой является развитие средств многопараметрического анализа в области управления хаосом, в которой основной целью является модификация хаотического аттрактора системы, позволяющих ставить и решать различные варианты оптимизационных задач1 с учетом динамических свойств хаотических систем.

Объектом исследования являются параметрические способы воздействия на сложные динамические процессы, протекающие в нелинейных системах.

Предмет исследования — оптимальная коррекция параметров хаотических систем.

Цель работы — разработка и обоснование метода оптимальной многопараметрической коррекции, позволяющего обеспечить устойчивый (по заданному критерию) динамический режим хаотической системы, а также исследовать оптимальные переходные процессы от хаотической динамики к регулярной.

В основу исследования положена гипотеза о том, что внутренние свойства хаотической системы, обусловленные ее математической моделью и значениями параметров, являются определяющими для процесса оптимальной' по выбранному критерию многопараметрической коррекции и осуществления> модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество.

В соответствии с целью были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ понятия модификации предельного множества (аттрактора), как особой цели воздействия на динамическую систему, и исследовать условия, ведущие к исчезновению/возникновению хаотической динамики.

2. Определить форму корректирующего воздействия на параметры и возможные структурные ограничения на систему.

3. На основе необходимого требования малости воздействия на параметры хаотической системы формализовать общий критерий оптимальности^ коррекции параметров, выполнение которого обеспечивает устойчивый динамический режим скорректированной системы.

4. Исследовать варианты решения оптимизационной задачи для различных форм корректирующих функций (статическая и динамическая коррекция, синтез) и получить условия их оптимальности.

5. Разработать вычислительные алгоритмы коррекции, провести численные эксперименты и описать особенности оптимальных переходных процессов эталонных хаотических систем, выяснить границы применимости метода, как средства многопараметрического анализа хаотических систем.

Методологическую основу исследования составляют: функциональный анализ [39, 53], теория динамических систем [10, 13, 36-37, 96], методы и принципы теории устойчивости [9, 42, 46-47, 57, 76, 100] и оптимального управления [8, 11-12, 15, 17, 42, 48, 58, 62, 70], методы нелинейной динамики и теории динамического хаоса [44, 49-50, 55, 60, 80, 101], современные методы и подходы к управлению хаотическими системами [5-6, 51-52, 55, 66, 97, 112, 115, 120, 129, 134].

Научная новизна. Разработан и математически обоснован метод оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем, относящийся к области исследований специальности 05.13.17 — теоретические основы информатики: разработка методов обеспечения высоконадежной обработки информации* и обеспечения помехоустойчивости информационных коммуникаций для целей передачи, хранения и защиты информации; разработка основ теории' надежности и безопасности использования информационных технологий.

Основные результаты состоят в следующем:

1. Выбором целевого множества, отражающего свойства фазового пространства хаотической системы, формализована цель воздействия на систему, заключающаяся в обеспечении модификации предельного множества из неустойчивого в устойчивое, и с учетом требования малости воздействия поставлена общая задача оптимальной многопараметрической коррекции.

2. Исследована общая задача оптимизации:

• ? для случая постоянных во времени корректирующих функций (статическая коррекция), решение которой получено для двух классов хаотических систем "в виде численной (алгоритм по критерию устойчивости Рауса-Гурвица) и аналитической (по критерию устойчивости Мельникова), оценок минимальных корректирующих поправок;

• для случая зависящих от времени корректирующих функций (численно-аналитическая двухэтапная схема динамической коррекции), при обосновании которой доказано существование класса оптимальных динамических корректирующих функций, получены условия оптимальности их структуры^ выяснены динамические свойства, обеспечивающие сходимость траекторий на целевое множество (свойство аттрактивности).

3. На основе двухэтапной схемы разработан алгоритм динамической коррекции, реализующий поиск оптимальных корректирующих функций, с использованием которого проведен многопараметрический анализ устойчивости эталонных хаотических систем и с учетом структурных ограничений найдены оценки ограничения (радиус коррекции) на корректирующие функции.

4. На основе условий оптимальности метода динамического программирования и метода функций Ляпунова проведен анализ инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения, осуществлен синтез оптимальных корректирующих функций и реализована вычислительная процедура построения функциональной зависимости старшего ляпуновского показателя от значения радиуса коррекции.

Практическая значимость. Математический аппарат оптимальной многопараметрической коррекции и полученные на его основе алгоритмы применимы для проектирования сложных систем и управления возникающими в процессе их функционирования динамическими процессами, где приходится сталкиваться с хаотическим поведением системы. Результаты работы составляют основу подхода, позволяющего в зависимости от допустимых видов корректирующего воздействия (статическая и динамическая коррекция, синтез) эффективно обеспечить устойчивость хаотической системы, а также на основе многопараметрического анализа получить информацию о свойствах объекта (оптимальный» радиус коррекции и характеристики оптимального предельного множества, чувствительность параметров к воздействиям).

Основные результаты, выносимыена защиту:

1. Определение понятия модификации аттрактора в устойчивое предельное множество, как цели воздействия на систему, и формализация общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции хаотических систем в > виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию.

2. Способ сведения общей задачи к оптимизационной задаче статической коррекции, решением которой является наиболее значимый параметр, корректирование которого обеспечивает устойчивость системы.

3. Аналитические и численные оценки минимальных корректирующих поправок, полученные при решении статической,задачи коррекции (с критериями, отвечающими механизмам хаотизации динамики двух классов хаотических систем).

4. Обоснование двухэтапной схемьь оптимальной динамической многопараметрической коррекции, включающее условия оптимальности структуры и динамические свойства найденного класса корректирующих функций.

5. Алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции.

6. Оптимальный синтез особых оптимальных корректирующих функций, основанный на инвариантных свойствах скорректированных систем на поверхности переключения.

7. Численные эксперименты, демонстрирующие практические возможности метода оптимальной коррекции как средства многопараметрического анализа хаотических систем.

Апробация. Результаты, полученные в^ диссертации, докладывались на следующих международных конференциях: VI-VII конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, ИЛУ РАН, 2007, 2008); 6th EURO-MECH Nonlinear Dynamics Conference (Санкт-Петербург, 2008); 3rd'IEEE Scientific Conference on Physics and Control (Германия, Университет Потсдама, 2007 (приглашенный доклад, мини-симпозиум «Recent Developments in Controlling Chaos in Nonlinear Dynamical Systems»)); «Общие проблемы управления' и их приложения» (Тамбов, ТГУ, 2007); «Современные методы физико-математических наук» (Орел, ОГУ, 2006); «Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее» (Самара, СГПУ, 2006).

Материалы работы представлялись на X Международном семинаре им. Е.П. Пятницкого «Устойчивости и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2008); VIII международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, СГУ, 2007); Всероссийской научно-практической конференции «Информационные и коммуникационные технологии в образовании» (Борисоглебск, ГОУ ВПО БГПИ, 2005, 2006).

Структура и краткое содержание работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка использованной литературы.

Во введении раскрыты проблемы анализа сложных нелинейных управляемых систем, сделан обзор методов управления хаосом. Особое внимание уделено особенностям целей воздействия, возникших при исследовании управляемых хаотических систем как класса моделей неопределенности, подходам и результатам оптимального управления хаосом, роли многопараметрических методов в исследования устойчивости и результатам, полученным к настоящему времени в решении задач оптимальной матричной (многопараметрической) коррекции. В связи с этим выделены актуальные нерешенные проблемы. Приведены общая характеристика и содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена теоретическому анализу, формализации общей' задачи оптимальной* многопараметрической коррекции хаотических систем и ее исследованию для: случая, постоянных во времени корректирующих функций (статическая коррекция).

В. п. 1.1 даны необходимые сведения о динамических процессах, протекающих в хаотических системах. В связи с проблемой ^управления хаотической динамикой приведены используемые в дальнейшем определения и теоремы, рассмотрены условия хаотизации динамики системы, выделены критерии длж исследования устойчивости.

В п. 1.2 рассматриваются способы^ корректирования параметров системы (п. 1.2.1), определяется понятие модификации хаотического аттрактора в устойчивое предельное множество (п. 1.2.2), с использованием которого в-п. 1.2.3- поставлена задача* оптимальной многопараметрической коррекции в виде 2-х критериальной лексикографической задачи поиска оптимальных корректирующих функций, обеспечивающих указанную модификацию. Обсуждаются способы ее решения.

В п. 1.3 исследуется случай, когда корректирующие функции постоянны во времени, и исходная задача сводится к задаче оптимизации и анализу устойчивости скорректированной системы по выбранному критерию устойчивости.

В.п.1.3.1, в терминах разреженных корректирующих векторов, сформулирована задача оптимальной^ многопараметрической статической коррекции (задача 1), которая, вместо общего условия оптимальности- (по всем корректируемым параметрам) содержит совокупность условий по каждому параметру в отдельности. Ее решением является наиболее значимый по критерию параметр, корректирование которого обеспечивает устойчивость системы. Задача 1 допускает комбинирование различных критериев устойчивости, что позволяет для корректируемой системы: 1) определить для каждого корректируемого параметра границы устойчивости скорректированной системы; 2) сравнить влияние на устойчивость отдельных параметров; 3) выявить параметр, коррекция которого обеспечивает устойчивость с наименьшей корректирующей поправкой; 4) установить вид предельного множества скорректированной системы, возникающего при оптимальной коррекции.

Далее в п. 1.3.2 для допускающих линеаризацию хаотических систем предлагается способ решения задачи 1 путем ее сведения к задаче оптимизации и анализу устойчивости линеаризованных уравнений скорректированной системы на основе коэффициентного критерия Рауса-Гурвица. Особенностью предлагаемой методики коррекции является учет наличия у хаотической системы нескольких состояний равновесия. На основе исследования коэффициентов характеристического полинома линеаризованной матрицы скорректированной системы реализован алгоритм полного перебора, позволяющий численно найти * наименьшую (по условию положительности главных миноров матрицы Гурви-ца) поправку параметра и оказывающееся устойчивым соответствующее состояние равновесия. Результативность алгоритма проиллюстрирована на примере коррекции системы Лоренца.

В п.1.3.3 рассмотрена статическая коррекция двумерных автономных систем с внешним периодическим возмущением, демонстрирующих хаотическую динамику. Структура допустимого множества задачи 1, на котором минимизируются величины корректирующих поправок, определена на основании свойственному данному классу хаотических систем механизму хаотизации и, согласно критерию Мельникова, состоит из тех значений, для которых функция Мельникова возмущенной системы всегда одного знака (знакопостоянна). В качестве примера осуществлена статическая коррекция эталонной (вi рассматриваемом классе) системы Дуффинга-Холмса, значения параметров которой лежат в области пространства параметров, соответствующей ее хаотической динамики.

Решение получено в виде многопараметрической аналитической оценки минимальной поправки, при которой динамика скорректированной системы будет преобразована в устойчивую.

Вторая глава непосредственно посвящена исследованию сформулированной в первой главе общей задачи оптимальной многопараметрической коррекции, в которой искомые корректирующие функции зависят от времени.

Динамический характер коррекции хаотических систем требует внимания не только к характеристикам установившегося режима, но и к переходному процессу, в течение которого система демонстрирует поведение, отличающееся! от свойственного ей при t-^co. В связи с этим в п. 2.1 для рассматриваемой1 формы корректирующего воздействия общая задача, определенная на бесконечном полуинтервале времени, сведена к аналогичной задаче, но переопределенной' на конечный интервал. Выбор длины интервала, на котором исследуется решение скорректированной системы, принимается JJLL1P на основании условия, чтобы на нем система однозначно демонстрировала свой установившийся, динамический режим. Помимо учета динамических свойств системы, это позволяет записать вспомогательный критерий общей задачи в форме функционала Лагранжа (интеграла энергии), отвечающего за оптимальность структуры корректирующей функции на заданном интервале времени, и сформулировать 2-х критериальную задачу оптимальной многопараметрической динамической коррекции (задача 2). Дано определение оптимальной динамической корректирующей функции, являющейся ее решением.

Упорядоченность критериев оптимальности в задаче 2 позволяет провести ее решение в два этапа как последовательное решение двух задач. Особенность двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции заключается в комбинировании методов теории оптимального управления с численным тестированием качества достижения системой требуемого характера устойчивости. На I этапе схемы, решением при фиксированном ограничении задачи оптимального управления для скорректированной системы (внутренняя задача) ищется оптимальная структура корректирующей функции. На II

На II этапе решается задача минимизации по параметру ограничения (радиуса коррекции).

Материал п. 2.2 посвящен выводам условий оптимальности и обоснованию двухэтапной схемы оптимальной динамической многопараметрической коррекции. В рамках двухэтапной схемы введено определение процесса оптимальной динамической модификации хаотического аттрактора. В п. 2.2.1 на основе соотношений принципа максимума найден класс динамических корректирующих функций и получены необходимые условия оптимальности их структуры. В п. 2.2.2 исследованы динамические свойства корректирующих функций с оптимальной структурой. Доказана основная теорема, которая устанавливает, что динамические свойства компонент корректирующих функций обеспечивают сходимость соответствующих траекторий на целевое множество (свойство ат-трактивности) и существование в задаче 2 минимального радиуса коррекции, обеспечивающего переход от корректирующей функции с оптимальной структурой к оптимальной корректирующей функции.

В п.2.3 предложен выполненный в пакете MATHCAD алгоритм динамической коррекции, реализующий с учетом структурных ограничений поиск оптимальных корректирующих функций и минимизацию ограничения (радиуса коррекции) на корректирующие функции. Рассмотрены варианты аппроксимации корректирующих функций гладкими функциями. Приведены и проанализированы результаты трех примеров коррекции различных хаотических систем.

Третья глава посвящена анализу инвариантных свойств скорректированных систем на поверхности переключения и решению на их основе задачи' синтеза особых оптимальных корректирующих функций.

В п. 3.1 сформулирована задача оптимального синтеза корректирующих функций (задача 3), решение которой позволяет получить допустимые корректирующие функции в виде обратной связи по состоянию скорректированной системы. Анализ условий, необходимых для реализации двухэтапной схемы решения задачи 3, проведен на основе условий оптимальности метода динамического программирования Беллмана и их связи с обобщениями метода функций Ляпунова на случай устойчивости инвариантных предельных множеств системы. В результате для выбранной на первом этапе схемы корректирующей функции с оптимальной структурой показано, что функция Беллмана одновременно является оптимальной функцией Ляпунова, для которой' выполнены требующиеся условия сходимости скорректированных траекторий на целевое множество.

В п. 3.2 для решаемой задачи определена поверхность переключения знака корректирующей функции, в точках которых обращается в нуль полная производная функции Ляпунова, и исследованы инвариантные свойства скорректированных систем, движения которых направлены вдоль поверхности переключения (особые корректирующие функции и траектории). В результате доказана теорема, дающая условия оптимального синтеза скорректированных систем. Она утверждает существование замкнутой ограниченной поверхности переключения, для всех точек которой можно осуществить эквивалентную замену компонент особой корректирующей функции, меняющих знак в момент переключения, и путем выбора минимальной величины ограничения (минимизации радиуса коррекции) обеспечить оптимальную модификацию хаотического аттрактора системы. Здесь же рассмотрены особенности предложенного способа решения задачи синтеза (инвариантность к выбору корректируемого параметра) и представлена схема оптимального синтеза.

В п.3.3 представлены результаты численного эксперимента с системой Лоренца, иллюстрирующие эффективность методики синтеза особых оптимальных корректирующих функций. Для оценки минимальной величины ограничения (радиуса коррекции) в пакете MATLAB реализована вычислительная процедура построения функциональной зависимости старшего ляпуновского показателя от значения радиуса коррекции исследуемой системы.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы.

В приложения 1 и 2 вынесены рабочие листы MATHCAD с реализованными в них алгоритмами.

Основное содержание диссертационного исследования опубликовано в 17 работах [25, 81-95, 165], из них 4 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК [89-90, 94-95], 2 из которых в журналах непосредственно по специальности [89-90].

Результаты работы подтвердили выдвинутую гипотезу и составляют основу подхода, позволяющего в зависимости от заданной формы корректирующего воздействия реализовать поиск оптимального способа преобразования хаотической динамики в устойчивую. Численные эксперименты с разработанными алгоритмами и численными процедурами показали, что метод оптимальной коррекции может применяться и как средство многопараметрического анализа хаотических систем. Корректирование системы позволяет сфокусировать внимание на эволюции системы к устойчивому состоянию и предоставляет информацию о таких свойствах как границы области хаотической неопределенности в пространстве параметров (оптимальный радиус коррекции), характеристики оптимального предельного множества и особенности оптимальных переходных процессов, чувствительность к воздействиям на параметры в целом и по отдельности.

Приведенные результаты применимы к широкому кругу хаотических систем и открывают дальнейшие пути к решению оптимизационных задач в области проектирования сложных систем и управления возникающими в процессе их функционирования динамическими процессами, в которых приходится сталкиваться с коррекцией нежелательных динамических свойств вызванных хаотическим поведением системы.

Заключение

Новые математические задачи, связанные с оптимальным управлением сложными динамическими системами, представляют большой интерес для* исследований в области теоретической информатики, где большое внимание уделяется анализу моделей информационных динамических процессов. В последнее время особый интерес в разработке новых методов обработки, передачи» и хранения информации представляет направление, связанное с управлением хаотической динамикой. Хаотические системы, как класс моделей- неопределенности, являются уникальными математическими объектами. В'сложившихся условиях требуется развитие средств многопараметрического» анализа, позволяющих ставить и решать различные варианты оптимизационных задач, согласующихся со специфическими динамическими свойствами хаотических систем.

В данной работе с единой позиции модификации хаотического аттрактора, как цели управления сложной системой, разработан и обоснован метод оптимальной многопараметрической коррекции пространства параметров широкого-• класса хаотических систем, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод позволяет обеспечить по заданному критерию устойчивый динамический режим хаотической системы, а также исследовать характеристики оптимальных переходных процессов от хаотической^ динамики к регулярной.

1. Акоф, Р. Основы исследования операций / Р. Акоф, М. Сасиени. М. : Мир, 1971.-534 с.

2. Алексеев, В. В. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия / В. В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3 Физика. Астрономия. 1985. - Т. 26, №. 3. - С. 40-44.

3. Андриевский, Б. Р. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МАТЬАВ / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков. — СПб.: Наука, 2000. 475 с.

4. Андриевский, Б. Р. Управление хаосом. Методы и приложения. В 2 ч. Ч. 1. Методы / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. -2003.-№5.-С. 3-45.

5. Андриевский, Б. Р. Управление хаосом: методы и приложения. В 2 ч. Ч. 2. Приложения / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. 2004. - Вып. 65, № 4. - С. 505-534.

6. Атанс, М. Оптимальное управление : пер. с англ. / М. Атанс, П. Фалб. — М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

7. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. М. : Высш. шк., 1989.-447 с.

8. Барбашин, Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. М. : Наука, 1967.-223 с.

9. Баутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. П. Баутин, Е. А. Леонтович. М. : Наука, 1990.-488 с.

10. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. М. : Иностр. литература, 1960. - 400 с.

11. Беллман, Р. Некоторые вопросы математической теории управления / Р. Беллман, И. Гликсберг, О. Гросс. М., 1962. - 336 с.

12. Биркгоф, Дж. Д. Динамические системы / Дж. Д. Биркгоф. Ижевск : Удмуртский ун-т, 1999. - 408 с.

13. Болтунов, Г. И. Программные средства анализа и синтеза систем управления / Г. И. Болтунов, В. О. Никифоров, М. С. Чежин. — СПб : Изд-во СПбГИТМО, 2000. 94 с.

14. Болтянский, В. Г. Математические методы оптимального управления / В. Г. Болтянский. — М. : Наука, 1966. 308 с.

15. Вагнер, Г. Основы исследования операций : в 3 т. / Г. Вагнер. М.: Мир,1972. 1973. - Т. 1-3. - Т. 1. - 1972. - 336 е.; Т. 2.-1972. - 488 е.; Т. 3. 1973.-503 с.

16. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М. : Наука, 1977. - 623 с.

17. Ватолин, А. А. Аппроксимации несобственных задач линейного программирования по критерию евклидовой нормы / А. А. Ватолин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. - Т. 24, № 12. -С. 1907-1908.

18. Вентцель, Е. С. Исследование операций / Е. С. Вентцель. — М. : Сов. радио, 1972.-552 с.

19. Воротников, В. И. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения / В. И. Воротников, М. Румянцев. М. : Науч. мир, 2001. - 320 с.

20. Габасов, Р. Принцип максимума в теории оптимального управления / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. Минск : Наука и техника, 1974. - 274 с.

21. Гелиг, А. X. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия / А. X. Гелиг, Г. А. Леонов, М. Якубович. — М. : Наука, 1978.-246 с.

22. Гермейер, Ю. Б. Введение в теорию исследования операций / Ю. Б. Гер-мейер. -М. : Наука, 1971. 383 с.

23. Горелик, В. А. Оптимальная матричная коррекция несовместных систем линейных алгебраических уравнений по минимуму евклидовой нормы / В.

24. A. Горелик, В. И. Ерохин. М. : Вычислительный центр им. А.А. Дороди-цинаРАН, 2004.- 193 с.

25. Горелик, В. А. Численные методы коррекции несобственных задач линейного программирования и структурных систем уравнений / В. А. Горелик,

26. B.А. Ерохин, Р. В. Печенкин. М: : Вычислительный центр им. А.А. Дородицина РАН, 2006. - 154 с.

27. Горнов, А. Ю. Вычислительная технология и инструментальные средства решения задач оптимального управления : автореф. дис. . д-ра технич. наук : 05.13.18 / А. Ю. Горнов. Иркутск, 2007. - 42 с.

28. Дмитриев, А. А. Динамический хаос : новые носители информации для систем связи / А. А. Дмитриев, А. И. Панас. М.: Физматлит, 2002. - 252 с.

29. Егоров, А. И. Основы теории управления / А. И. Егоров. М. : Физматлит, 2004. - 504 с.

30. Егоров, Е. Н. Анализ переходных процессов в потоковой радиофизической системе / Е. Н. Егоров; А. А. Короновский, А. Е. Храмов. // Письма в Журнал Технической физики. 2004. - Т. 30, Вып. 15. - С. 62-68.

31. Еремин, И. И. Противоречивые модели оптимального планирования / И. И. Еремин. М. : Наука, 1988. - 160 с.

32. Жуковский, Н. Е. О прочности движения / Н. Е. Жуковский // Собр. соч.: в 2 т. М. : Гостехиздат, 1948. - Т.1. - С.67-160.

33. Зубов, В. Н. Устойчивость движения / В. Н. Зубов. — М. : Высш. шк. — 1973. - 175 с.

34. Зубов, И; В. Методы анализа динамики управляемых систем / И. В. Зубов. М. : Физматлит, 2003. - 224 с.

35. Иоффе, А. Д. Теория, экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. М: : Наука, 1974. - 480 с.

36. Каток, А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. — М. : Факториал, 1999. 768 с.

37. Качественная теория динамических систем, второго порядка / А. А. Андронов и др. М. : Наука, 1966.

38. Кириченко, Н. Ф: Введение в теорию стабилизации движения / Н. Ф. Кириченко. — Киев. : Вища. школа, 1978. 184 с.

39. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. I I. Колмогоров, С. В. Фомин. М. : Наука, 1976. - 544 с.

40. Красовский, Н. Н. Тёория оптимальных управляемых систем / Н. Н. Кра-совский // Механика с СССР за 50 лет. М. : Наука, 1968. - Т. 1. - . С. 179244.

41. Красовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. -М.: Наука, 1968.-476 с.

42. Кузнецов, А. П. Нелинейные колебания / А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н: М. Рыскин. М. : Физматлит, 2002. - 292 с.

43. Кузнецов, С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. М. : Физматлит, 2001.-296 с.

44. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. — М. : Наука, 1978. — 280 с.

45. Ла-Салль, Ж. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. -М. : Мир, 1964. 168 с.

46. Леонов, Г. А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения / Г. А. Леонов. М. : Ин-т компьютерных исслед. 2006 — 168 с.

47. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. -М. : Наука, 1972.-574 с.

48. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 528 с.

49. Лоскутов, А. В. Основы теории сложных систем / А. В. Лоскутов, А. С. Михайлов. -М. : Ин-т компьютерных исслед., 2007. — 612 с.

50. Лоскутов, А. Ю. Проблемы нелинейной динамики. В 2 ч. Ч. I. Хаос. / А. Ю. Лоскутов // Вестник МГУ. 2001. - №2. - С. 3-21.

51. Лоскутов, А. Ю. Проблемы нелинейной динамики. В 2 ч. Ч. II. Подавление хаоса и управление динамическими системами / А. Ю. Лоскутов // Вестник МГУ. 2001.- № 3. - С. 3-21.

52. Люстерник, Л. А. Элементы функционального анализа / Л. А. Люстерник, В. А. Соболев. М. : Наука, 1965. - 520 с.

53. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. -М. : Физматгиз, 1959. 180 с.

54. Магницкий, Н. А. Новые методы хаотической динамики / Н. А. Магницкий, С. В. Сидоров. М. : Едиториал УРСС, 2004. - 320 с.

55. Малинецкий, Г. Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. М. : Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

56. Малкин, И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М. : Наука, 1966.-530 с.

57. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин и др. — М. : Наука, 1969. 190 с.

58. Мельников, В. К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях / В. К. Мельников // Труды Московского математического об-ва. 1963. - Т. 12. - С. 3-52

59. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок и др. -М. : Мир, 1991.-368 с.

60. Мирошник, И. В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И. В. Мирошник, В. О. Никифоров, A. JI. Фрадков. СПб. : Наука, 2000. - 549 с.

61. Моисеев, Н. Н. Математические методы системного анализа / Н. Н. Моисеев.-М. : Наука, 1981.-488 с.

62. Морозов, А. Д. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем / А. Д. Морозов, Т. Н. Драгунов. М. : Ин-т компьютерных исслед., 2003.-304 с.

63. Мун, Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун. М. : Мир, 1990. - 312 с.

64. Неймарк, Ю^ И. Стохастические и хаотические колебания / Ю. И. Ней-марк, П. С. Ланда. М. : Наука, 1987. - 422 с.

65. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко и др. — М. : Ин-т компьютерных исследований, 2003. 544 с.

66. Немыцкий, В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. М. : ОГИЗ, 1947. - 195 с.

67. Никифоров, В. О. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация и робастность / В. О. Никифоров, А. А. Ушаков. — СПб. : Изд-во СПбГИТМО (ТУ), 2002. 232 с.

68. Николаев, Ю. П. Многомерные области устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления : дис. . д-ра физ.-мат. наук : 05.13.01 /Ю. П. Николаев.-М., 2006.- 155 с.

69. Оптимальное управление движением / В. В. Александров и др. М. : Физматлит, 2005. - 376 с.

70. Оседлец, В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем / В. И. Оседлец // Труды Московского математического об-ва. 1968. - Т.19. — С. 179-210.

71. Подчукаев, В. А. Теория автоматического управления: (аналит. методы) / В. А. Подчукаев. М. : Физматлит, 2004. - 392 с.

72. Поляк, Б. Т. Робастная устойчивость и управление / Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков. -М. : Наука, 2002. 303 с.

73. Поляк, Б. Т. Трудные задачи линейной теории управления : некоторые подходы к решению / Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 5. - С.7-46

74. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI. С. Понтрягин. -М. : Наука, 1968. 163 с.

75. Руш, Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. М. : Мир, 1980. - 300 с.

76. Рюэль, Д. О природе турбулентности / Д. Рюэль, Ф. Такенс // Странные аттракторы : сб. ст./ пер. с англ.; под ред. А. Г .Синая, Л. П. Шильникова. — М. : Мир, 1981.-С. 117-151.

77. Салуквадзе, М. Е. Задача А. М. Летова о синтезе оптимальных систем автоматического управления / М. Е. Салуквадзе. — Тбилиси : Мецниереба, 1986.- 185 с.

78. Старобинец, И. М. Динамический метод оптимизации управления хаосом/ И. М. Старобинец, В. А. Угринский // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика. 1995. - Т.З, № 3. - С. 44-55.

79. Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор. — М. : Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.

80. Талагаев, Ю. В. Метод оптимальной параметрической коррекции для-обеспечения устойчивости динамических систем / Ю. В. Талагаев, А. Ф. Тараканов // Научное обозрение. 2006. - № 2. - С. 53-60. - 0.5 п.л. (авт. вклад - 50 %)

81. Талагаев, Ю. В. Оптимальная коррекция неустойчивой динамики уравнения Матье / Ю. В. Талагаев, А. Ф. Тараканов // Современные проблемы науки и образования. — М. : ИД Академия естествознания, 2006. — № 3. — С. 9-12. 0.25 п.л. (авт. вклад - 50 %)

82. Талагаев, Ю. В. Оптимальная параметрическая коррекция автоколебательных систем / Ю. В. Талагаев, А. Ф: Тараканов // Научное обозрение. — 2006. № 1. - С. 63-69. - 0.43 п.л. (авт. вклад - 50 %)

83. Талагаев, Ю. В. Оптимальная параметрическая стабилизация хаотических колебательных систем / Ю. В. Талагаев, А'. Ф. Тараканов // Системы управления и информационные технологии. 2007. — № 2(28). - С. 67-721 - 0.375 п.л. (авт. вклад - 50 %)

84. Талагаев, Ю. В. Подавление хаоса в системе Лоренца методом оптимальной параметрической коррекции / Ю. В. Талагаев, А. Ф. Тараканов // Научное обозрение. 2005. - № 6. - С. 56-60. - 0.31 п.л. (авт. вклад - 50 %)

85. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд и др. // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. : В 5. Т.5.: Динамические системы. -М. : ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

86. Фрадков, A. JI. Кибернетическая физика : принципы и примеры / A. JL Фрадков. СПб. : Наука, 2003. - 208 с.

87. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М. : Мир, 1970.-720 с.

88. Чезари, J1. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкно-, венных дифференциальных уравнений / JI.Чезари. М.: Мир, 1964. - 173 с.

89. ЮО.Четаев, Н. Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев. М. : Наука, 1990. -195 с.

90. Шустер, Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. М. : Мир, 1998. - 240й с.

91. A new mechanism of the chaos suppression / A. R. Dzhanoev and others // ' Discrete and continuous dynamical systems. Series B. — 2007 — Vol. 7, No.2. —1. P. 275-284.

92. Abarbanel, H.D.I. Optimal control of nonlinear systems to given orbits / H. D: L. Abarbanel, L. Korzinov, A. L. Mees // Systems & Control Letters. 1997. -V. 31.-P. 263-276.

93. Adaptive control of unknown unstable steady states of dynamical systems / K. Pyragas et. all. // Physical Review E. 2004. - Vol. 70. - P. 026215.

94. Barreto, E. Multiparameter control of chaos / E. Barreto, C. Grebogi // Physical Review E. 1995. - Vol. 54, № 4. - P. 3553.

95. Bollt, E. M. Optimal targeting of chaos / E. M. Bollt, E. J. Kostelich // Physics Letters A. 1998. - Vol. 245. - P. 399-406.

96. Braiman,Y. Taming chaotic dynamics with weak periodic perturbations / Y. Braiman, I. Goldhirsch // Physical Review Letters, 1991. Vol. 66. - P. 25452548.

97. Cao, H. A Simplified Optimal Control Method for Homoclinic Bifurcations / H. Cao, G. Chen //Nonlinear Dynamics. 2005. - Vol. 42, N. 1. - P. 43-61.

98. Chacon, R. Control of Homoclinic Chaos by Weak Periodic Perturbations / R. Chacon. — World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A. — 2005. — Vol. 55.-220 p.

99. Chacon, R. Suppression of Chaos by selective resonant parametric perturbations/R. Chacon//Physical Review E. 1995.-Vol. 51.-P. 761-764.

100. Chen, G. Bifurcation control : Theories, Methods, and Applications / G. Chen, J. L. Moiola, H. O. Wang // International Journal of Bifurcation and" Chaos. -2000-Vol. 10, No. 3.-P. 511-548.

101. Chen, G. From Chaos to Order: Methodologies, Perspectives and Applications / G. Chen, X. Dong. Singapore: World Scientific Series on Nonlinear Science Series A. - 1998. - Vol. 24. - 760 p.

102. Chen, G. Optimal control of chaotic systems / G. Chen // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1994. - Vol. 4. - P. 461-463.

103. Chen, G. Yet another chaotic attractor / G. Chen, T. Ueta // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1999. - Vol. 9. - P. 1465-1466.

104. Control and Chaos / eds K. Judd, A. Mees, K. L. Teo, T. Vincent. Boston: Birkhauser, 1997.

105. Controlling chaotic dynamical systems / F. J. Romeiras et. al. // Physica D. -1992.-Vol. 58.-P. 165-192.

106. Epureanu, J. On the optimality of the Ott-Grebogy-Yorke control scheme / J. Epureanu // Physica D. 1998. - Vol. 116. - P. 5987-5989.

107. Exact and approximate modeling of linear systems / J. Markovsky, J.C. Wil-lems, S. Van Huffel, B. De Moor. Philadelphia : SIAM, 2006. - 206 p.

108. Fradkov, A. L. Control of chaos: methods and applications in mechanics / A. L. Fradkov, R. J. Evans, B. R. Andrievsky // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2006. - Vol. 364. - P. 2279-2307.

109. Fradkov, A.L., Pogromsky Yu.A. Introduction to control of oscillations and chaos / A. L. Fradkov Singapore: World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A 1999. - Vol. 35. - 408 p.

110. Fronzoni, L. Controlling chaos with parametric perturbations / L. Fronzoni, M. Giocondo // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1998. No. 8. — P. 1693-1698.

111. Grime, L. A symptotic Behavior of Dynamical and Control Systems under Perturbation and Discretization Series : Lecture Notes in Mathematics / L. Grime, — Verlag : Springer, 2002. Vol. 178. - 3231 p.

112. Guckenheimer, J. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields / J. Guckenheimer, P. Holmes. Berlin : Springer, 1990. - 190 p.

113. Higher dimensional targeting / E. J. Kostelich et. al. // Physical Review E. — 1993.-Vol. 47. -P. 305-310.

114. Hubler, A. Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations / A. Hub-ler, E. Luscher // Naturwissenschaft. 1989. - Vol. 76. - P. 67-72.

115. Huijberts, H.J.C. Linear controllers for the stabilization of unknown steady states of chaotic systems / H.J.C Huijberts // IEEE Transactions on Circuits and Systems I. 2006. - Vol. 53. - P. 2246-2254.

116. Hunt, E. R. Stabilizing high-period orbits in a chaotic system : The diode resonator / E.R. Hunt // Physical Review Letters. 1991. - Vol. 67. - P. 1953-1955.

117. Jackson, E. A. The entrainment and migration controls of multiple-attractor systems / E. A. Jackson // Physics Letters A. 1990. - V. 151. - P. 478-484.

118. Kapitaniak, Т. Chaos for Engineers : Theory, Application and Control / T. Kapitaniak. New York: Springer, 1998. - 201 p.

119. Kivshar, Yu. S. Suppression of chaos by nonresonant parametric perturbations / Yu. S. Kivshar, B. Rodelsperger, H. Benner // Physical Review E. — 1994. — Vol. 49.-P. 319-324.

120. Krener, A. Control bifurcations / A. Krener, W. Kang, D. E. Chang. // IEEE Trans, on Automatic Control. 2004. - Vol. 49, No. 8. - P. 1231-1246.

121. Kuznetsov, A. P. A variety of period-doubling universality classes in multiparameter analysis of transition to chaos / A. P. Kuznetsov, S. P. Kuznetsov, L. R. Sataev // Physica D. 1997. - Vol. 109. - P. 91 -112.

122. Kuznetsov, S. P. Multiparameter Critical Situations, Universality and Scaling in Two-Dimensional Period-Doubling Maps / S. P. Kuznetsov; I. R. Sataev // Statistical Physics. -2005. Vol. 121.-No. 5-6. - P. 697-748.

123. Lakshmanan, M. Chaos in Nonlinear Oscillators Controlling and Synchronization / M. Lakshmanan, K. Murali. Singapore: World Scientific, 1996.

124. Lenci, S. Optimal Control of Nonregular Dynamics in a Duffing Oscillator / S. Lenci, G. Rega // Nonlinear Dynamics. 2003. - Vol. - 33, N. 1. - P. 71-86.

125. Li, D. Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems / D. Li and all. // Chaos, Solitons and Fractals. 2005. - V. 23. - P. 529-534.

126. Lima, R. Suppression of Chaos by Resonant Parametric Perturbations / R. Lima, M. Pettini // Physical Review A. 1990. - V. 41. - P. 726-733.

127. L6cher, M. Control of High-Dimensional Chaos in Systems with Symmetry / M. Locher, E. R. Hunt // Physical Review Letters. 1997. - Vol. - 79. - P. 6366.

128. Lorenz, E. N. Deterministic non-period flow / E. N. Lorenz // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. - Vol. 20. -P.l 30-141.

129. Lyapunov characteristic exponent for smooth dynamical systems and for Ham-iltonian systems; a method for computing all of them : Pt. 1, 2 / Benettin G. et. al.//Mechanica.- 1980. -Vol. 15, N. 1.-P.9-20; 21-30.

130. Mettin, R. Control of chaotic maps by optimized periodic inputs / R. Mettin // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1998. — Vol. 8, No. 8. — P. 1707-1711.

131. Mettin, R. Optimized periodic control of chaotic systems / R. Mettin- T. Kurz / Physics Letters A. 1995. - Vol. 206. - P. 331-339.

132. Mirus, K. A. Controlling chaos in a:high dimensional system with periodic parametric perturbations / K. A. Mirus, J.,C. Sprott // Physics Letters A. ,- 1999. — Vol. 254.-P. 275-278.

133. Multi-parameter picture of transition to chaos / A. P. Kuznetsov et; al // Izves-tijacVuzov. Applied Nonlinear Dynamics. 2002. - Vol.10, № 3. -P: 80-96.

134. Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems: path following and boundary value problems / eds. B. Krauskopf, H. M. Osinga, J. Galan-Vioque. -Verlag : Springer, 20071 399 p.

135. On optimal stabilization of periodic orbits via time delayed feedback control / M. Basso et. al. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1998. — Vol. 8.-P. 1699-1706.

136. Optimal'Fluctuations and the control of chaos / D. G. Luchinsky et. al. // International Journalof Bifurcation and Chaos. 2002. - V. 12, No. 3. - P. 583-604'.

137. Ott, E. Controlling chaos / E. Ott, C. Grebogi C., A. Yorke// Physical Review Letters. 1990.-Vol: 64.-P.l 196-1199.

138. Park, H. Exponential modeling with unknown model order using structured nonlinear total least norm / H. Park, L. Zhang, J. B. Rosen // Advances in Computational Mathematics. 2003. - Vol. 19, No. 13. - P. 307-322.

139. Paskota, M. Geometry of targeting of chaotic systems / M. Paskota, A. I. Mees, K. L. Teo // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1995. -N. 5. - P: 1167-1173.

140. Paula, A. S. Multiparameter Chaos Control Method Applied to Maps / A. S. Paula, M. A Savi // Brazilian Journal of Physics. 2008: - Vol. 38, No. 4. - P. 536-542.

141. Piccardi, С. Optimal control of chaotic systems via peak-to-peak maps / C. Piccardi, S. Rinaldi // Physica D. 2000. - Vol. 144. - P. 298-308.

142. Pivka, L. Lorenz equation and Chua's equation / L. Pivka, C. W. Wu, A. Huang // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. - Vol. 6. - P. 24432489.

143. Pruessner, A. Blind Deconvolution Using A Regularized Structured Total Least Norm Algorithm / A. Pruessner, D. P. O'Leary // SIAM J. on Matrix Analysis and Applications. 2003. - Vol. 24, No. 4. - P. 1018-1037.

144. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback / K. Pyra-gas // Physics Letters A. 1992. - Vol. 170. - P. 421-428.

145. Pyragas, K. Analytical properties and optimization of time-delayed feedback control / K. Pyragas // Physical Review. E . 2002. - Vol. 66. - P. 026207.

146. Radev, R. Local Bang-Bang Control of a Chaotic System with Two 2-Scroll Attractors / R. Radev, E. Valcheva, G. Chen // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series В : Applications & Algorithms. 2004. -Vol. 11a.-P: 152-158.

147. Richter, H. On optimality of local control of chaos / H. Richter // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. - Vol. 11. - P. 871-879.

148. Robust Control : the Parameter Space Approach, Springer / J. Ackermann et al- Verlag, London, 2002. 483 p.

149. Rosen, J. B. Total least norm formulation and solution for structured problems / J. B. Rosen, H. Park, J. Glick // SIAM J. on Matrix Analysis and Applications.- 1996.-Vol. 17, No.l. P. 110-128.

150. Rossler, О. E., An equation for continuous chaos / О. E. Rossler// Physics Letters A. 1976. - Vol. 57. - P. 397-398.

151. Sanjuan, M. A. F. Symmetry-restoring crises, Period-adding and chaotic transitions in the cubic Van der Pol ascillator / M. A. F.Sanjuan // Journal of Sound and Vibration. 1996. - Vol. 193, № 4. - P. 752.

152. Seyranian, A. P. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications / A. P. Seyranian, A. A. Mailybaev. New Jersey: World Scientific, 2003. - 420 p.

153. Starrett, J. Time-optimal chaos control by center manifold targeting / J. Starrett // Physical Review E. 2002. - Vol. 66. - P. 046206.

154. Tian, Y.-C. Constrained control of chaos / Y.-C. Tian, M. Tade, D. Levy // Physics Letters A. 2002. - Vol. 296. - P.87-90.

155. Using small perturbations to control chaos / T. Shinbrot et. al //Nature. — 1993. -Vol. 882.-P. 300-306.

156. Warncke, J. Control of High-Dimensional Chaotic Systems / J. Warncke, M. Bauer, W. Martienssen // Europhysics Letters. 1994. - Vol. 25, № 5. - P. 323.

157. Zhou, T. Constructing a new chaotic system based on the Silnikov criterion / T. Zhou, G. Chen, Q. Yang // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. - Vol. 19. - P. 985-993.