автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Использование цифровых хаотических последовательностей для передачи информации

1.1 Обзор литературы

1.2 Примеры источников хаотических колебаний

1.2.1 Системы с непрерывным временем

1.2.2 Системы с дискретным временем

1.3 Недостатки известных схем передачи информации с хаотическими колебаниями

1.4 Цель работы

1.5 Научная новизна работы

1.6 Основные результаты

1.7 Структура диссертации

Глава 2 Математические модели систем связи с дискретным временем, использующих хаотические цифровые последовательности в качестве переносчика сигнала

2.1 Постановка задачи

2.2 Передача и восстановление информации в системах, использующих разделение хаотических последовательностей начальными условиями

2.3 Передача и восстановление информационных сообщений в системах, использующих явление синхронизации хаотических генераторов

2.4 Передача и восстановление информационных сообщений в системах с нелинейным подмешиванием сигнала

2.5 Передача и восстановление информации в СБК-системах

2.6 Выводы

Глава 3 Выбор источника хаотических колебаний

3.1 Исходные положения

3.2 Требования к отображениям, используемым в качестве источников управляемых хаотических последовательностей

3.3 Отображения полиномиального и гармонического типов

3.4 Свойства нелинейных отображений

3.4.1 Квадратичное отображение

3.4.2 Отображение "тент"

3.5 Отображения из класса полиномиальных функций

3.5.1 Свойства отображений с показателем степени ш меньше 1,

3.5.2 Свойства отображений с показателем степени т больше 1,

3.5.3 Сравнительные выводы по полиномиальным отображениям

3.6 Отображения из класса гармонических функций

3.6.1 Свойства отображений с показателем степени т меньше 1,

3.6.2 Свойства отображений с показателем степени т больше 1,

3.6.3 Сравнительные выводы по гармоническим отображениям

3.7 Зависимость математического ожидания и дисперсии хаотических последовательностей от значений управляющего параметра

3.8 Ортогональные свойства хаотических последовательностей

3.8.1 Ортогональность хаотических последовательностей в дискретном времени

3.8.2 Алгоритм выбора ортогональных последовательностей с различными значениями управляющего параметра

3.8.3 Ортогональность гармонических колебаний с угловой модуляцией цифровыми хаотическими последовательностями

3.8.4 Ортогональность дискретизированных хаотических цифровых последовательностей

3.8.5 Зависимость числа ортогональных последовательностей от требований к взаимной корреляции

3.9 Выводы

Глава 4 Дискриминантная процедура восстановления информационного сообщения

4.1 Исходные положения

4.2 Структурная схема приёмного устройства, уравнения

4.3 Реакция приёмного устройства, использующего критерий Фишера, на скачкообразные изменения управляющего параметра

4.3.1 Влияние шума в среде на отклик критерия Фишера

4.3.2 Избирательные свойства критерия Фишера

4.4 Отклик дискриминатора на основе критерия Фишера на вариации начальных условий

4.5 Выводы

Глава 5 Модифицированная дискриминантная процедура восстановления информационного сообщения

5.1 Исходные положения

5.2 Структурная схема приёмного устройства, уравнения 133 5.2.1 Влияние коэффициента усиления в системе на установившуюся ошибку слежения

5.3 Зависимость длительности переходных процессов от периода усреднения в кольце

5.4 Коррекция ошибки слежения

5.5 Следящий дискриминатор с цифровым фильтром

5.5.1 Структурная схема дискриминатора

5.5.2 Восстановление сигнала прямоугольной формы

5.5.3 Восстановление сигналов сложной формы

5.6 Рекомендации по выбору отображений

5.7 Выводы

Глава 6 Использование дискретизированных хаотических последовательностей в системах многостанционного доступа

6.1 Цель главы

6.2 Краткий обзор современных систем многостанционного доступа

6.3 Использование хаотических последовательностей в системах CDMA

6.4 Пример использования дискретизированных хаотических последовательностей для систем CDMA

6.5 Выводы 162 Заключение 164 Литература 168 Приложение

Глава 1 Введение

1.1 Обзор литературы

Хаотические колебания, ставшие известными научному миру сравнительно недавно, сейчас уже достаточно хорошо изучены и их свойства описаны в литературе [1-9], где показано, что хаотические колебания встречаются в нелинейных динамических системах (НДС) различной природы: экономических, биологических, астрономических, радиотехнических и т.д.

В последнее время одной из бурно развивающихся областей нелинейной динамики стало приложение теории хаотических колебаний (ХК) для телекоммуникационных систем. Толчком в развитии этого направления стало фундаментальное открытие L.Pecora и T.Caroll возможности синхронизации двух источников хаотических колебаний. Ранее считалось, что синхронизироваться могут только регулярные колебания типа синусоидальных, однако, работы L.Pecora и T.Caroll [1012] в отношении хаотических колебаний, обладающих нерегулярными свойствами, опровергли это положение. Собственно, именно возможность синхронизации нерегулярных колебаний и послужила основой для возникновения предположения об использовании хаотических колебаний в качестве носителей информационных сообщений (хаотических несущих). Тематика синхронизации хаотических колебаний получила дальнейшее развитие во многих работах по хаосу, в частности в [13-29].

Интерес к системам с хаотическими несущими в значительной степени связан с возможностью организации скрытной (конфиденциальной) связи [30-38]. При соответствующем выборе способа внесения информации восстановление полезной составляющей сигнала может быть произведено даже в случаях, когда хаотическая несущая находится ниже уровня шумов, что означает возможность сокрытия не только самой информации, но и самого факта её передачи, что в ряде задач имеет первостепенное значение [13,14]. В случаях же, когда хаотическая несущая может быть обнаружена при несанкционированном доступе, для восстановления информации из неё требуется точное знание структуры источника хаотических колебаний и способа, которым информация была внесена в хаотическую несущую [13,14,39-50]. Кодирование информации с использованием хаотических колебаний может быть использовано как на физическом уровне (кодирование в канале [15,39]), так и для кодирования самой информации [15].

В работах [13-19], которые в значительной степени носят обзорный характер, показано, что помимо скрытности хаотические колебания могут быть использованы в телекоммуникационных системах различного рода: для передачи данных, голоса, в системах многостанционного доступа, где общая среда распространения используется многими абонентами, для борьбы с замираниями сигналов в условиях многолучевого их распространения и т.д.

В системах, где в среде распространения могут сосуществовать несколько сигналов, важным свойством сигналов является их малая взаимная корреляция. В работах [51-54] показано, что хаотические колебания, помимо широкополосности, обладают экспоненциально убывающей взаимно-корреляционной и автокорреляционной функциями и могут быть использованы в системах, где один и тот же частотный ресурс должен быть использован для передачи нескольких сигналов.

В работах L.Chua [51-54] предложены схемы многостанционного доступа с кодовым разделением (CDMA - Code Division Multiple Access), в которых в качестве несущих выступают хаотические колебания. Предложенные L.Chua схемы подразумевают их использование в кабельных системах телевещания с интегрированной услугой передачи данных и видео. В качестве источника хаотических колебаний выступает аналоговая схема Chua (рис. 1.1)

На приёмной стороне находится такая же схема Chua, позволяющая восстанавливать информационное сообщение в синхронном режиме. Поскольку, как известно, динамика хаотических систем характеризуется экспоненциальным разбеганием фазовых траекторий, начавшихся даже из близких точек, для восстановления режима синхронизации в схеме, предложенной в [51], предусмотрены механизмы периодической синхронизации приёмной и передающей схем [29].

Рис. 1.1. Модель схемы СЬиа (а), являющейся источником хаотических колебаний, и характеристика нелинейного элемента (б).

Широкополосные свойства хаотических колебаний позволяют передавать информационные сообщения с меньшими требованиями к минимальному отношению сигнал/шум, достаточному для достоверного восстановления информационного сообщения. Опыт известных широкополосных систем с регулярными сигналами [60] показывает, что для сохранения достоверности принятой информации при заданном отношении сигнал/шум, мощность излучённого в среду широкополосного сигнала значительно меньше таковой для узкополосных сигналов за счёт значительного, по сравнению с периодом несущего колебания, времени накопления принимаемой несущей. Уменьшение общей излучаемой в среду мощности снижает мощность передающего устройства и упрощает его конструкцию, снижает энергопотребление, уменьшая, в результате, общую стоимость устройства, что важно для массовых устройств (радиостанции, радиотелефоны, сотовые телефоны и т.д.) [60]. Помимо этого, малая излучаемая мощность снижает взаимное влияние нескольких источников излучения радиосигналов. В современных условиях, когда крупные города насыщены самыми разными радиосредствами, являющимися источниками мешающего радиоизлучения, снижение излучаемой мощности, а также уменьшение взаимного влияния источников радиосигналов становится одной из актуальных задач современной радиотехники [60].

В системах беспроводной связи сигналы с быстроспадающей автокорреляционной функцией представляются предпочтительными, поскольку позволяют избежать нежелательных эффектов, связанных с многолучевым распространением сигналов, когда в приёмные тракты устройств попадает не только сам сигнал, но и его задержанные копии [51 -60].

Эти и другие вопросы приложения хаотических колебаний для информационных систем нашли отражение в работах группы А.С.Дмитриева, А.И.Панаса, С.О.Старкова, Ю.Л.Вельского [61-69], где рассматриваются различные способы передачи информации с использованием хаотических колебаний. В работах [70-73] исследуется динамика электронной схемы Chua, демонстрирующей многообразие режимов хаотической генерации. В работах [74-78] приведены результаты Нижегородской школы нелинейной динамики (В. Д.Шалфеев, Пономаренко В.П., А.К.Козлов, М.В.Корзинова и др.) в области исследования хаотической динамики систем частотной и фазовой автоподстройки. Монографии [79-80], а также статья [81] представляют работы саратовской школы нелинейной динамики, являющейся одной из наиболее сильных российских школ, занимающихся исследованием хаотических колебаний. Работы саратовской школы охватывают не только системы в непрерывном времени (системы ФАЛ, ЧАП, схемы Чуа и т.д.), но и системы в дискретном времени.

В работах [82-97] приведены многочисленные методы генерации модулированных хаотических несущих и восстановления информации из них.

Резюмируя известные результаты в области приложения хаотических колебаний для передачи информации, изложенные в литературе, можно выделить следующие основные положения, характеризующие текущее положение дел в области систем связи, использующих хаотические колебания для передачи информации:

• Информация о породившей системе может "храниться" в значениях управляющих параметров а или начальных условиях .х(О), с которых начались хаотические колебания.

• Чтобы извлечь из реализаций хаотических колебаний информацию о породившей системе, на приёмной стороне необходимо с очень высокой точностью (вплоть до 10"11) знать определённый набор значений параметров порождающей системы.

• Высокие требования к точности априорного знания о передающей стороне, с одной стороны, позволяют реализовывать системы с высокими конфиденциальными свойствами. С другой стороны они усложняют алгоритм восстановления полезной информации.

• Большинство известных методов восстановления информационных сообщений из хаотических колебаний требуют наличия дополнительного высокостабильного канала посимвольной синхронизации. В результате, даже если система с разделением последовательностей начальными условиями обеспечивает передачу информации ниже уровня шумов, то из-за наличия дополнительного канала синхронизации в значительной степени нарушается конфиденциальность факта передачи информации.

Помимо прочего, из перечисленных выше работ следует вывод о том, что в различных приложениях хаотических колебаний для систем связи имеет место тенденция к созданию устойчивых (робастных) систем, являющихся универсальными, в отличие от традиционного подхода, когда различные системы создаются для реализации оптимальных по заданному критерию систем.

Традиционный подход базируется на физической реализации алгоритмов оптимальной фильтрации. Например, в задачах радиолокации часто используются устройства когерентной корреляционной обработки сигналов, позволяющие осуществлять обнаружение сигналов даже в условиях плохой шумовой обстановки. Для систем связи используются сигналы и устройства, позволяющие оптимизировать отношение 2А/1 В, где

2А/- занимаемый частотный диапазон (Гц), В - информационная скорость передачи данных (бит/с) (либо полоса аналогового сигнала, Гц).

Подход с позиции реализации конкретных алгоритмов оптимального приёма позволяет создавать высокоэффективные устройства для решения специализированных задач. Вместе с тем, у такого подхода есть ряд недостатков. Прежде всего, это достаточно узкая специализация создаваемых устройств. Например, устройство корреляционной обработки не может быть использовано для следящего приёма сигнала с угловой модуляцией, поскольку подразумевает наличие на приёмной стороне точной копии принимаемого сигнала (в случае когерентной обработки). В отличие от разработки устройств оптимальной обработки, переход к реализации робастных систем является более приемлемым для создания универсальных устройств, которые могли бы быть использованы в широком спектре задач и были бы устойчивыми к различного рода погрешностям, характерным для массового производства устройств, а также из-за физической невозможности создания устройств с абсолютно идентичными параметрами, что, как будет показано далее, очень критично для систем с хаотическими колебаниями.

Даже несмотря на то, что неоптимизированные универсальные системы могут уступать оптимальным по ряду характеристик (помехоустойчивости, прецизионности, нелинейным искажениям и т.д.), они могут выигрывать в целом ряде областей приложения, поскольку на современном этапе развития телекоммуникаций, как правило, возникает необходимость в устройствах универсального применения, где могут применяться различные алгоритмы обработки сигналов. Например, большинством используемых современных модемов поддерживается целый ряд алгоритмов (протоколов) передачи информации потоков данных (У.42, У.34, У.90, К56, Х2 и т.д.), причём конкретный протокол выбирается автоматически.

Учитывая тенденции в области исследования приложений хаотических колебаний для систем связи, изложенные в мировой литературе, в данной работе предлагаются алгоритмы для робастных унифицированных систем, позволяющие восстанавливать информацию, заключённую в хаотических колебаниях.

1.2 Примеры источников хаотических колебаний

1.2.1 Системы с непрерывным временем

Хаотические колебания встречаются как в системах с непрерывным временем, так и в системах с дискретным временем.

Рассмотрим источники хаотических колебаний в непрерывном времени. Исторически первый источник был описан американским физиком Лоренцем, который исследовал нелинейную систему дифференциальных уравнений вида (1.1), описывающую поведение конвенционных потоков жидкости, помещённой между двумя нагретыми пластинами: х = Р-(у-х) у = К-х-у-х-г (1.1),

2. = Х-у-Ъгде х,у,г- переменные, демонстрирующие состояние жидкости, а именно, скорость вращения и распределение температуры в пространстве; К. -связана с перепадом температур, а Р - отражают свойства жидкости, Ъ -геометрический параметр.

Реализации процессов системы (1.1) приведены на рис. 1.2.

В радиотехнических системах с непрерывным временем источником ХК, как правило, служат различные нелинейные колебательные системы с порядком не ниже третьего: генератор на туннельном диоде с колебательным контуром и дополнительной инерционностью, нелинейный неавтономный колебательный контур, кольцевые системы ФАП и ЧАП с соответствующими фильтрами в цепи обратной связи и т.д. Как правило, основу всех систем составляют типовые звенья, обеспечивающие порядок системы не ниже третьего, и нелинейный активный элемент, являющийся необходимым условием возникновения автоколебаний.

Рис. 1.2. Реализация процессах^) в модели Лоренца (1.1) (а) и проекция трёхмерного фазового портрета на плоскость переменных {х-г} (б). Параметр Р= 10, /?=28, ¿=8/3.

Наиболее изученным примером источника хаотических колебаний в непрерывных системах может служить упомянутая выше схема СЬиа (рис. 1.1), представляющая собой линейный колебательный контур с дополнительным инерционным звеном и нелинейной отрицательной проводимостью [70-73]

Данная система может быть описана системой уравнений (1.2), связывающей мгновенные напряжения и токи в системе: с!и1 1 —

2 Ж ~ Я — —и,

Реализации процесса щ{{) в схеме СЬиа, пример фазового портрета, а также спектр колебаний, приведены на рис. 1.3.

200 а)

Рис. 1.3. Реализации хаотических процессов в схеме С1ша (а), фазовый портрет в плоскости {111-112} (б) и спектр процесса и! (в). На всех графиках приведено = 0,7; С, = —;С2 =Л;Ь = безразмерное время и безразмерная частота: К

Серия рисунков 1.3 демонстрирует постепенное нарастание амплитуды колебаний, возникающих около одного из состояний равновесия, чередующееся перескоками к другому состоянию равновесия. Поскольку граница области притяжения обоих состояний равновесия является очень узкой, то предсказать моменты перескоков колебаний от одного состояния к другому не представляется возможным и колебания, порождаемой схемой СЬиа, обладают нерегулярными свойствами в смысле их предсказуемости.

Рисунок 1.3 отражает только один из возможных хаотических режимов схемы Ch.ua. В работах [70-73] показано, что данная схема обладает и другими видами хаоса.

К настоящему времени известно много экспериментальных работ, в которых схема СИиа используется в качестве источника хаотических колебаний. Так, например, в работах А.С.Дмитриева [31,61] схема СЬиа была использована в качестве источника хаотических колебаний в скрытной системе радиосвязи. В [82] показана возможность использования результатов моделирования схемы С1ша в системах ЧАП, работающих в хаотическом режиме.

Помимо схемы СЬиа существует много других непрерывных систем, являющихся источниками хаотических колебаний. В работах, проведённых автором диссертации в 1995-96 годах, был создан макет источника хаотических колебаний, в виде системы фазовой автоподстройки с двумя инерционными звеньями в цепи управления [44]. Дифференциальные уравнения такой системы имеют третий порядок:

Ф = У

У = 2 (1.3) г = 0.(у - Г((р))~ аг где ф - мгновенное рассогласование между фазами эталонного (ЭГ) и подстраиваемого генераторов (ПГ), О^б^прЕод - коэффициент усиления кольца ФАП, представляющий собой произведение крутизны Бф дискриминантной характеристики, крутизны £Пг характеристики управления ПГ и максимального напряжения £ФД с выхода фазового дискриминатора, а - параметр двузвенного фильтра в цепи управления, Р(ф)~ нелинейная функция фазового дискриминатора.

В качестве 2л:-периодической нелинейности в такой системе выступает характеристика фазового дискриминатора. В реализованной в лабораторной установке схеме использовались различные, в том числе треугольная и пилообразная, характеристики дискриминатора.

Структурная схема такого источника хаотических колебаний приведена на рис. 1.4. Спектрограммы реализаций хаотических колебаний приведены на рис. 1.5.

Рис. 1.4. Структурная схема системы фазовой автоподстройки, являющейся источником хаотических колебаний.

Дискриминатор в схеме рис. 1.4 построен на базе логического элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ-ИЛИ, реализующего симметричную треугольную дискриминационную характеристику. Дискриминатор на основе ЯБ-триггера реализует пилообразную дискриминантную характеристику фазового дискриминатора. Все высокочастотные составляющие, присутствующие на выходе фазового дискриминатора, фильтруются двузвенным фильтром низкой частоты. На выходе фильтра установлен операционный усилитель с изменяемым коэффициентом усиления, не превышающем 1. При малых коэффициентах усиления наблюдалось регулярное поведение системы фазовой автоподстройки, характеризующееся наличием полосы захвата, полосы удержания. Увеличение коэффициента усиления ОУ приводит сначала к возникновению гармонических автоколебаний в кольце фазовой автоподстройки, а потом и к возникновению режима хаотических колебаний. Спектр данных колебаний приведён на рис. 1.5. Информационный сигнал, вносимый аддитивно к сигналу цепи управления и представляющий собой гармоническую несущую с частотой ниже частоты среза фильтра низкой частоты, регистрируется по спектрограмме в режиме слежения за фазой эталонного генератора. В режиме хаотической генерации спектральная составляющая от информационного сигнала незаметна вплоть до уровней несущей, составляющих 1/3 от уровня сигнала в цепи управления. нтцгтли-шРА «а выходе ФМЧ в ¡жжмкс ак г<^олш8н«н.

Фото 4< < 'шггф ишртсннч на шгож ФНЧ& реши?

Рис. 1.5. Спектрограммы процессов в системе фазовой автоподстройки рис 1.4.

Приведённые примеры источников хаотических колебаний в непрерывном времени являются далеко не единственными и отражают лишь наиболее известные в радиотехнике генераторы хаоса. В литературе известно много иных источников, построенных на других системах.

Общим для всех источников хаоса в непрерывном времени является то, что поведение системы определяется нелинейными дифференциальными уравнениями, для которых выполняется условие Коши о единственности решений, начавшихся со строго определённых начальных условий. Однако, в отличие от известных классических схем, например, автогенераторов гармонических колебаний, приведённые выше системы крайне чувствительны к точности задания начальных условий и управляющих параметров системы. Если для таких схем неточность в задании начальных условий не приведёт к существенным изменениям реализаций процессов, то для источников хаоса вариация начальных условий приведёт к существенным изменениям реализаций.

Поскольку в реальных системах задание начальных условий с бесконечной точностью невозможно, то предсказать состояние системы даже через небольшой промежуток времени не представляется возможным. Из математических моделей (1.1)-(1.3) видно, что поведение системы определяется несколькими параметрами. Учитывая, что разброс параметров в аналоговых системах весьма велик и зависит от используемой элементной базы, а также от состояния окружающей среды (температура, влажность), аналоговые системы не могут быть повторяемыми с такой точностью, какая требуется для систем связи с хаотическими колебаниями.

Невозможность точной повторяемости аналоговых систем, большое число параметров, влияющих на генерацию хаотических колебаний, а также чувствительность к состоянию окружающей среды делают использование аналоговых схем затруднительным для систем связи с хаотическими колебаниями.

1.2.2 Системы с дискретным временем

Перейдём к обзору работ в области НДС с дискретным временем применительно к источникам хаотических колебаний в дискретном времени.

В системах с дискретным временем моделью источника хаотических колебаний в простейшем случае выступает разностное уравнение первого порядка вида (1.4): х{к+\)=Аа{к)^сф)^{к)1 (1.4) где &=0,1,2,. - дискретное время, /(г) - нелинейная функция, определяющая тип отображения, а(к) - управляющий параметр, в общем случае зависящий от дискретного времени и который может нести в себе информационное сообщение. Значение х(0) выделено в качестве отдельного аргумента, поскольку, как это будет показано в дальнейшем, может нести в себе информационное сообщение.

Рис. 1.6. Структурная схема источника хаотических колебаний в дискретном времени.

Схема на рис. 1.6 является наиболее типовым инструментом для реализации алгоритма формирования хаотических колебаний, сформулированном в уравнении (1.4)

Заметим, что одномерное уравнение (1.4) содержит лишь один управляющий параметр, хотя возможны и двухпараметрические одномерные отображения (например, отображение окружности [99]).

Математический аппарат динамических систем с дискретным временем, описываемых одномерными разностными уравнениями (1.4), отличается простотой и наглядностью. Аппарат теории разностных уравнений подробно разработан в литературе, например, в [98-102]. В работе [98] показано, что для ряда задач многие системы непрерывного времени могут быть представлены разностными уравнениями вида (1.4).

Одним из наиболее эффективных способов исследования дискретных систем является использование диаграммы Ламерея-Кёнигса, демонстрирующей состояние системы на плоскости {.*(£+1 );*(£)} [3,98,101]. Удобство диаграмм Ламерея-Кёнигса состоит в том, что путём простых геометрических операций можно произвести моделирование поведения нелинейной системы на каждом шаге. Для определения значения на к+1 дискретном шаге достаточно выполнять перенос значения последовательности х на к-ом дискретном шаге на прямую х(к+1 )=х(к) и дальнейшего отображения точки на график нелинейного отображения.

Рис. 1.7. Пример использования диаграммы Ламерея-Кёнигса для исследования траекторий нелинейного отображения.

Таким образом, путём зеркального копирования состояний системы в к-ый момент времени (х{к)) относительно прямой 1 )=х(А:) можно получить состояние системы х(к+\) в момент времени к+1.

Состояния равновесия х определяются пересечением графика отображения Да^) с прямой х(/:+1)=х(/:):

Так же, как и в системах с непрерывным временем, состояния равновесия могут быть дискретными узлами или фокусами [1-3,98-101]. Тип состояния равновесия определяется мультипликатором ¡л, который равен тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику отображения в точке равновесия: ]и = /'{а,х)\

Положительным значениям мультипликатора соответствует точка равновесия типа узел и апериодическому переходному процессу, отрицательному - состоянию типа фокус и колебательному переходному процессу (рис. 1.8). а,х) = х х(к+1)

Рис. 1.8. Примеры устойчивых состояний равновесия типа узел и типа фокус в системах с дискретным временем.

Мультипликатор ¡л показывает скорость разбегания (сближения) траекторий, начавшихся в окрестности состояния равновесия, где ещё справедливо линейное приближение, и расстояние между которыми равно £(0). Тогда, для малых рассогласований расстояние между траекториями е{к) на &-ом шаге можно представить в виде произведения мультипликатора состояния равновесия в степени к и начального рассогласования ¿(0):

Устойчивость состояния равновесия также определяется тангенсом угла наклона касательной в точке равновесия. Так, если модуль мультипликатора превышает единицу, то расстояние ё(к) на каждом шаге будет увеличиваться, что означает неустойчивое поведение системы (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Пример неустойчивых состояний равновесия в системах с дискретным временем.

Условием возникновения хаотических колебаний является существование локальной неустойчивости всех состояний равновесия, расположенных внутри области фазового пространства, к которой сходятся все (или почти все) фазовые траектории системы. Такие области получили название хаотических аттракторов [3].

Внутри этих областей наблюдается разбегание фазовых траекторий, даже начавшихся с близкими начальными условиями.

Наиболее распространёнными и наиболее изученными в настоящее время являются квадратичное отображение (1.5) с гладким экстремумом, отображение типа "тент" (1.6) и отображение сдвига (1.7):

У(а,х) = 1 - а -х а • х;0 < х < а \ — х f(a,x) = \--\а<х< 1,

1 - а а е (0;1) f[a,x) = ах, mod 1, а> 1 (1-7) где а - управляющий параметр. Графики этих нелинейных функций (отображений) приведены на рис. 1.10.

0.5- | 1 \

0.5 0 0.5 Ч

-0.5

Рис. 1.10 Графики нелинейных отображений, наиболее часто используемых в качестве источников хаотических колебаний: а - квадратичное отображение (а= 1,6), б -отображение типа "тент" (а=0,3), в - отображение сдвига (а=2).

Отображения (1.5)-(1.7), приведённые в качестве примера, являются однопараметрическими и демонстрируют единственность хаотических аттракторов. Вместе с тем, в литературе известны отображения, форма которых определяется несколькими параметрами и демонстрирующими несколько хаотических аттракторов, то есть явление мультистабильности хаотических колебаний. Тем не менее, большинство работ ограничиваются использованием отображений с квадратичным экстремумом и одним управляющим параметром (отображение (1.5)).

Использование дискретных отображений в современных цифровых системах связи представляется весьма удобным, поскольку позволяет использовать стандартные и отработанные решения на основе цифровых сигнальных процессоров для генерации и обработки хаотических колебаний, а также практически повсеместным использованием цифровых методов обработки информации и сигналов.

Кроме того, начальные условия и значения управляющих параметров гораздо проще воспроизвести в цифровых системах (например, на основе цифровых процессоров), что делает использование именно дискретных последовательностей более привлекательными по сравнению с аналоговыми.

Учитывая все эти факты, в данной работе будут исследованы только дискретные однопараметрические отображения.

1.3 Недостатки известных схем передачи информации с хаотическими колебаниями

Информационные сообщения могут быть внесены в дискретные хаотические колебания различными способами. В перечисленных выше обзорах [14-19] указаны несколько способов внесения информации, а также методика использования хаотических колебаний в современных телекоммуникационных системах (например, Интернет). Основываясь на данных работах, можно сказать, что все способы внесения информации в хаотические колебания разделяются на три основных типа.

1. Вариация управляющего параметра на передающей стороне. В этом случае для восстановления информации, как правило, используется измерение дисперсии разности принятого процесса и его синхронной реплики на приёмной стороне

глава 2). Подразумевается, что в случае абсолютного совпадения параметров обеих схем приёмная сторона находится в режиме хаотической синхронизации и является источником колебаний, абсолютно идентичных колебаниям, полученным от передающей стороны. Тогда дисперсия процесса, представляющего разность принимаемого и генерируемого в приёмнике колебаний, будет стремиться к нулю при отсутствии шумов в линии связи. Поскольку большинство из известных систем позволяют восстанавливать только двоичные вариации управляющего параметра, такие системы получили название CSK систем (Chaotic Shift Keying) [103-104]. В главе 5 будет предложен метод, который позволяет восстанавливать и гладкие изменения параметра.

2. Внесение информации путём изменения начальных условий дискретных хаотических последовательностей. Восстановление информации в данном случае происходит путём когерентного корреляционного накопления полученной последовательности

глава 2) [13,14,19,105,106]. Данный метод подразумевает точное знание свойств передающей системы на приёмной стороне, а также точное знание моментов переключения системы от передачи одного символа к другому. 3. Линейная или нелинейная добавка информационного сообщения к хаотической последовательности (нелинейное подмешивание, хаотическая маскировка и т.д.) [14,15]. Восстановление информации в таком случае также производится путём синхронизации системы на приёмной стороне с передающей системой.

Недостатками систем, реализующих алгоритмы приведённых выше способов внесения информации, являются крайне высокая чувствительность к неточности задания управляющих параметров (для синхронизирующихся систем и систем с разделением символов начальными условиями) [40-42], к неточности задания начальных условий (для систем с разделением по начальным условиям) [42,105,106], невозможность восстановления информационного сообщения даже при малом уровне шумов (отношение сигнал/шум порядка 20.30 дБ [42]), за исключением системы с разделением начальными условиями, а также невозможность передачи гладких информационных сообщений я(к) [45].

Существенный недостаток приведённых алгоритмов состоит в необходимости наличия дополнительного канала посимвольной синхронизации

глава 2) [40-42]. То есть, даже если реализуется система с разделением начальными условиями, позволяющая передавать информационное сообщение ниже уровня шумов, наличие дополнительного канала синхронизации существенно снижает конфиденциальные свойства подобной системы.

Неточность установки начальных условий и управляющих параметров на приёмной и передающей сторонах приводит к накоплению относительной ошибки порядка единицы уже через несколько отсчётов, даже если относительная точность составляет доли процента

глава 2).

Таким образом, основной проблемой в реализации систем, использующих хаотические колебаний в качестве переносчика информации, является демодуляция информационного сообщения в условиях неточного знания всех параметров источника хаотических колебаний на приёмной стороне, а также наличия шумовых помех в среде распространения.

Практически единственный метод восстановления, позволяющий восстанавливать хаотические колебания на приёмной стороне даже при неточном знании параметров передающей системы, основан на особом использовании дискриминантной процедуры обработки входящей хаотической последовательности. Данный метод впервые был предложен в работах Ю.А.Кравцова и др. [107] и далее развит в [45,49]. Данный алгоритм основан на сравнении последовательности, полученной из среды, и последовательности, образованной внутренним источником хаотических колебаний. Помимо возможности восстановления информации при значительном рассогласовании параметров на приёмной и передающей сторонах, данный алгоритм не требует наличия дополнительного канала посимвольной синхронизации, что повышает конфиденциальные свойства системы.

Учитывая работы [107-110], а также [41-43], в диссертации предлагается использование дискриминантной процедуры обработки в качестве основы дискриминатора хаотических колебаний с внесённой информацией.

1.4 Цель работы

1. Разработка алгоритма обработки хаотических колебаний с внесённой информацией, позволяющего обойтись без использования канала посимвольной синхронизации и который обладал бы меньшей чувствительностью к неточностям согласования управляющих параметров между приёмным и передающим устройствами.

2. Разработка алгоритма, позволяющего оценивать рассогласование управляющих параметров приёмной и передающей сторон. Решение данной задачи позволит не только получить информацию о передающей системе на основании принятой хаотической последовательности, но и восстанавливать гладкие информационные сообщения, заложенные в вариациях управляющего параметра нелинейного отображения.

3. Исследование свойств ряда известных источников хаотических последовательностей в дискретном времени, и предложить новые источники с улучшенными свойствами с целью их дальнейшего использования в качестве носителей информационных сообщений.

1.5 Научная новизна работы

1. В работе предложены и исследованы две структурные схемы дискриминаторов, позволяющих извлекать информационные сообщения из хаотических цифровых последовательностей.

2. Применён новый подход к обработке хаотических колебаний с внесённой информацией. Данный подход основан на использовании дополнительной обработки, производимой над мгновенной разностью двух хаотических процессов. Произведена теоретическая оценка значений отклика, вычисленного в соответствии с предложенным алгоритмом, в зависимости от вида и параметров используемого отображения.

3. Предложен новый подход к оценке рассогласования управляющих параметров приёмной и передающей сторон системы связи с хаотическими колебаниями, позволяющий определять параметры передающей системы по принятой реализации.

4. Показана возможность использования предложенных бинарных хаотических последовательностей в системах с использованием общего ресурса для передачи сообщений нескольким абонентам (в системах CDMA).

5. Использован системный подход к исследованию отображений-источников хаотических последовательностей.

1.6 Основные результаты

1. Исследованы два новых класса однопараметрических отображений с дробными степенями, выступающих в качестве источника хаотических колебаний в системах связи. Определены показатели степени экстремума отображения, для которых характерно отсутствие чередования регулярных и хаотических режимов.

2. Исследованы избирательные и шумовые свойства дискриминатора хаотических колебаний с внесённой информацией.

3. Обнаружена возможность использования одной из составляющих критерия Фишера, применяемого для обработки дискриминантной функции, для оценки рассогласования между значениями управляющих параметров приёмной и передающей сторон.

4. Предложена и исследована следящая дискриминантная процедура, позволяющая производить оценку значений управляющего параметра и восстанавливать на приёмной стороне гладкие информационные сообщения, а также повышающая помехоустойчивость системы.

5. Исследована возможность одновременной передачи нескольких гладких сообщений внутри одной хаотической цифровой последовательности, а также возможность извлечения подобной информации с использованием следящего дискриминатора.

6. Предложен способ генерации дискретных хаотических несущих, которые могут быть использованы в системах многостанционного доступа.

1.7 Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения и шести глав. Объём диссертации составляет 190 страниц, включая 101 иллюстрацию.

Во Введении произведён обзор материалов по использованию хаотических колебаний в качестве носителей информации, указаны основные направления современных исследований в области хаотических колебаний и сформулированы задачи исследования.

В главе 2 сопоставлены математические модели известных систем связи, использующих хаотические колебания в качестве несущих. Показано, что все известные методы чрезвычайно чувствительны к неточностям задания управляющих параметров на приёмной и передающей сторонах. Сделан вывод о необходимости как исследования новых типов рекуррентных отображений, так и использования альтернативных методов восстановления информационных сообщений.

В главе 3 предложены и рассмотрены два новых класса однопараметрических отображений, которые могут выступать в качестве источника хаотических колебаний. Приведены их бифуркационные диаграммы, зависимости показателя Ляпунова, математического ожидания и дисперсии от управляющего параметра. Исследованы взаимнокорреляционные свойства различных хаотических последовательностей. Даны рекомендации по выбору оптимальных последовательностей для использования в системах связи с хаотическими колебаниями. Предложен способ генерации хаотических несущих на основе дискретизации хаотических цифровых колебаний. Показано, что полученные таким образом колебания обладают очень низкой взаимной корреляцией, делающей их пригодными для использования в системах, где в среде распространения могут одновременно присутствовать несколько источников сигналов.

В главе 4 приведены результаты использования дискриминантной процедуры восстановления информационных сообщений из принятых хаотических последовательностей. Показана возможность восстановления с помощью этой процедуры информационных сообщений, заложенных как в изменениях управляющих параметров, так и в вариации начальных условий. Показано, что использование дискриминантной процедуры совместно с критерием Фишера увеличивает допустимый диапазон несовпадения управляющих параметров до 20.30% в случае восстановления двоичных информационных сообщений. Оценены избирательные свойства критерия Фишера для квадратичного отображения (1.5) и полиномиального (3.1) с дробной степенью.

В главе 5 исследуется предложенная автором модифицированная дискриминантная процедура демодуляции информационных сообщений, позволяющая восстанавливать как дискретные, так и гладкие изменения управляющего параметра. Показано также, что модифицированная дискриминантная процедура позволяет оценивать вариации управляющего параметра на передающей стороне с точностью до 1.2%.

В главе 6 показан способ восстановления информационных сообщений, переносимых дискретизированной хаотической последовательностью. Показано, что дискретизированные последовательности могут быть использованы в системах многостанционного доступа и являются конкурентом известных М-последовательностей, применяемых в современных системах сотовой телефонии.

В Заключении сформулированы основные выводы по результатам работы, приведены рекомендации по использованию хаотических колебаний в системах связи.

6.5 Выводы

В данной главе продемонстрирован пример использования дискретизированных хаотических последовательностей для систем многостанционного доступа. Показано, что предложенный алгоритм передачи и восстановления информации с использованием дискретизированных последовательностей позволяет их использовать для подобных систем.

Свойства последовательностей рассмотрены в главе 3, где исследована взаимная корреляция последовательностей с различными управляющими параметрами, рассчитано число ортогональных последовательностей.

Для практической реализации схем с разделением информационных символов дискретизированными последовательностями необходимо привлечение результатов оптимальной нелинейной фильтрации для выбора порогов принятия решения на выходах корреляционных приёмников.

Преимущество дискретизированных хаотических последовательностей состоит в их существенно большем многообразии по сравнению с известными псевдослучайными последовательностями. Прежде всего, принципиально увеличивается область источников ортогональных сигналов. То есть, при поиске ортогонального базиса последовательностей можно исходить не только из известных табулированных функций, но и исходя из выбора различных отображений.

Кроме того, повышается конфиденциальность передачи информации, поскольку для её восстановления на несанкционированном приёмнике потребуется проведение большого объёма вычислений для выяснения типа отображения, использованного для генерации несущей.

Заключение

Предметом исследований, проведённых в диссертационной работе, стал поиск источников хаотических последовательностей для систем скрытной связи, использующих хаотические несущие. Помимо исследования свойств генераторов хаоса рассматривается задача восстановления информационных сообщений, внесённых в хаотические несущие. Обе задачи возникли сравнительно недавно (в начале 90-х годов) после открытия возможности синхронизации двух источников хаотических колебаний и являются на текущий момент актуальными задачами систем связи с хаотическими несущими.

В работе исследованы передающие и приёмные устройства, составляющие элементы систем связи с хаотическими несущими и работающие в дискретном времени. На основании исследований получены следующие результаты и рекомендации.

1. Проведён краткий обзор известных способов передачи информационных сообщений хаотическими несущими. Получены следующие выводы:

• В большинстве работ в качестве источника хаотических колебаний с дискретным временем, как правило, выступает отображение с квадратичным экстремумом.

• В литературе практически отсутствуют требования к источникам хаотических последовательностей в системах связи

• Все без исключения методы восстановления информационных сообщений крайне чувствительны к погрешности согласования управляющих параметров передающей и приёмной сторон. Требуемая относительная ошибка согласования не должна быть больше 0,5%. Данное обстоятельство подчёркивает актуальность исследования и применения систем, работающих в дискретном времени, а также цифровых систем.

• На приёмной стороне системы связи, использующей хаотические колебания в качестве несущих, использование классических методов (например, как в [113]) является затруднительным, поскольку данные методы подразумевают аппроксимацию хаотической последовательности, что представляется затруднительным для последовательностей с положительным показателем Ляпунова.

2. Учитывая выводы по обзору известных систем, предложены и изучены два новых класса источников хаотических колебаний в дискретном времени, рассмотрена возможность построения генераторов хаотических колебаний на их основе. Сформулированы требования к источникам хаотических последовательностей в системах связи с хаотическими несущими. Показано, что источниками хаотических колебаний в дискретном времени, удовлетворяющими указанным требованиям, могут быть не каждые отображения. Показано, что даже не каждое однопараметрическое отображение может выступать в качестве источника ХК. В частности, для систем связи, использующих известные алгоритмы восстановления информации из хаотических несущих, по причине сильной зависимости режима генерации от начальных условий и большого числа областей регулярных режимов не могут быть использованы ряд отображений из класса гармонических функций.

3. Определен интервал значений показателя степени полиномиального отображения, определяющего форму его экстремума, внутри которого отсутствуют области регулярных режимов для любых значений управляющего параметра, превышающих критическое значение. Выбрано значение показателя степени, попадающего в обнаруженный интервал и для которого проведены дальнейшие исследования алгоритмов восстановления информационного сообщения из хаотических несущих. Показано, что наиболее часто используемое в литературе квадратичное отображение проигрывает по своим характеристикам отображению из класса полиномиальных функций, предложенному в диссертационной работе.

4. Исследованы взаимнокорреляционные свойства хаотических последовательностей в дискретном времени. Показано, что последовательности, порождаемые полиномиальными и гармоническими отображениями, обладают относительно невысокой (до 0,2) взаимной корреляцией и поэтому их следует рекомендовать к практическому использованию в современных системах связи.

5. Предложен способ генерации колебаний путём двоичной дискретизации хаотических последовательностей. Обнаружено, что данные колебания обладают наилучшими характеристиками по взаимной корреляции по сравнению с известными хаотическими последовательностями без дискретизации. Рассчитаны зависимости числа последовательностей фиксированной длины, удовлетворяющих требованиям к взаимной корреляции. Показано, что предложенные двоичные последовательности могут быть альтернативой часто используемых в технике М-последовательностей.

6. Учитывая скрытные свойства сигналов на основе таких последовательностей, а также основываясь на результатах исследования дискриминантной процедуры обработки входящих цифровых последовательностей, данные последовательности могут быть с успехом применены в дискретных системах связи, где требуется скрытная передача данных.

7. Применение предложенной в диссертации модифицированной дискриминантной процедуры позволяет передавать не только двоичные, но и многопозиционные и даже гладкие информационные сообщения в вариациях управляющих параметров.

8. Неточное знание управляющих параметров передающей стороны не является критичным фактором для обнаружения их двоичных вариаций на приёмной стороне при использовании дискриминатной процедуры обработки (как стандартной, так и модифицированной). Это свойство двух предложенных схем качественно отличает их от существующих алгоритмов.

9. Предложенная схема дискриминатора на основе критерия Фишера позволяет также восстанавливать вариации начальных условий хаотических последовательностей, причём, данный алгоритм гораздо менее чувствителен к несогласованности управляющих параметров приёмной и передающей сторон по сравнению с известными алгоритмами.

10. Практическое использование последовательностей в системах многостанционного доступа требует применения двоичных хаотических последовательностей. Ёмкость ортогонального базиса таких последовательностей (число ортогональных последовательностей, удовлетворяющих требованиям к взаимной корреляции) может быть определена отдельно для каждого типа используемых отображений. Предварительные результаты, приведённые в главе 3, показывают, что ёмкость ортогонального базиса предложенных в диссертации дискретизированных последовательностей превышает ортогональный базис стандартных М-последовательностей.

1. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: пер. с англ. —М.: Мир, 1988. —240 с

2. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 312 с.

3. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука. 1988.

4. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука. 1987.—424 с.

5. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000.-352 с.

6. Гласс Л., Мэки М. От часов к хаосу: Ритмы жизни: пер с англ. — М.: Мир, 1991, —248 с.

7. Вышкинд С.Я., Деветьярова А.А. О динамике некоторых моделей в социологии // Изв. Вузов "ПНД", т.2, № 2, 1994.С. 17-26.

8. Лоскутов А. Ю. Нелинейная динамика и сердечная аритмия // Изв. Вузов "ПНД", т.2, № 3-4, 1994, Саратов, с. 14-25.

9. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. — Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. — 240 с.

10. Ю.Ресога L., Carroll Т. Synchronization of chaotic systems // Phys. Rev. Letters. 1990 Vol. 64. №8. p.821 -824

11. Carroll Т., Pecora L. Synchronizing chaotic circuits // IEEE Trans. Vol CAS-38, №4,1991.p.453-456.

12. Pecora L., Caroll T. Synchronizing nonautonomous chaotic circuits // IEEE Trans. On Circuits and System — II :Analog and Digital Signal processing. №2, vol. 40,№ 10,1993.p.646.

13. Hasler M. Synchronization of chaotic systems and transmission of information // Intern. J. Of Bifurcation and Chaos, Vol.8, No.4, 1998. p.647-659.

14. Н.Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная Радиоэлектроника, №10,1997,с.4-26.

15. Tang Y.S., Alistair I, Chua M&L. Synchronization and chaos // IEEE Trans. CAS, Vol.30, №9.

16. Grebogy C., Lai Y-C., Hayes S. Control and application of chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol.7, No. 10, 1997. p.2175-2197.

17. Kolumban G., Kennedy M., Chua L. The role of synchronization in digital communications using chaos Part-I: Fundamental of Digital communications // IEEE Trans on CAS-44, №10, 1997. p.927-936

18. Kolumban G., Kennedy M., Chua L. The role of synchronization in digital communications using chaos Part-II: Chaotic Modulation and Chaotic Synchronization // IEEE Trans on CAS-45, №11, 1998. p. 1129-1140.

19. Endo N., Chua L. Synchronization of Chaos in Phase-Locked Loop // IEEE Trans. On Circuits and Systems, Vol. 38, №12, 1991.p.l580-1588.

20. Volkovski A. Synchronization of chaotic systems using phase control // IEEE Trans. CAS-44, No 10, 1997.p.913-917

21. Endo Т., Chua L. Synchronization of chaos in phase-locked loops // IEEE Trans. CAS-38, 1991. p.1580-1587.

22. Fradkov A.L., Markov A.Yu. Adaptive synchronization of chaotic systems based on speed gradient method and passification // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 44, No.l0,1997.p.905-912.

23. Sushchik M.M. Jr., Rulkov N.F., Abarbanel H.D.I. Robustness and stability of synchronized chaos: An illustrative model // IEEE Trans, on CAS-1 Vol.44, No. 10, 1997.p.867-873.

24. Carol T.L., Pecora L.M. Synchronizing hiperchaotic volume-preserving maps and circuits // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No. 6, 1998.p.656-659.

25. Wang X.F., Wang Z.Q. Synchronizing chaos and hiperchaos with any scalar transmitted signal // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.10. p.l 101-1103.

26. Hasler M., Maistrenko Yu.L. An introduction to the synchronization of chaotic systems: Coupled skew tent maps // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 44, No. 10, 1997.p.856-866.

27. Torikai S.H., Saito T. Synchronization of chaos and its itinerancy from a network by occasional linear connection // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.4,1998.p.l 101-1103.

28. Yang Т., Chua L. Impulsive stabilization for control and synchronization of chaotic systems: theory and application to secure communication // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 44, No. 10,1997.p.976-988.

29. Panas A., Yang T. Chua L. Experimental results of impulsive synchronization between two Chua's circuits // International Journal on Bifurcation and Chaos, Vol.8, No 3, 1998.p.639-647.

30. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника, т.38, №7, 1993. с.1310-1315.

31. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал // Радиотехника и Электроника, 1998, т.43, вып.9, c.l 115 -1128

32. Sato A., Endo Т. Experiments of Secure Communications Via Chaotic Syncronization of Phase-Locked Loops // IEEE Trans Fundamental. Vol E78-A, No 10, Oct, 1995.p.l286-1290.

33. Kocarev Lj, Halle K.S., Eckert K., Chua L., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization // International Journal on Bifurcation and Chaos, Vol.2, No 3,1992.p.709-713

34. Hasler M. Engineering Chaos for Encryption and Broadband Communication. // Philosophical Transaction of the Royal Society of London. Transaction A.353, 1995. p. 115-126.

35. Gotz M., Kelber K., Schwartz W. Discrete-time chaotic encryption systems -Part I: Statistical design approach // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 44, No. 10,1997.p.963-970.

36. Dachselt F., Kelber K., Schwarz W. Discrete-time chaotic encryption systems Part III: Cryptographicak analysis // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.9.p983-988.

37. Alexeyev A.A., Green M.M. Secure communication based on variable topology of chaotic circuits // International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 7, No. 12, 1997 p.2861-2869.

38. Kapranov M.V., Morozov A.G Application of chaotic modulation for hidden data transmission. // Proc. NDES'97 Moscow, p. 223-228.

39. Капранов M.B., Морозов А.Г. Использование хаотической модуляции для передачи информации // Радиотехнические тетради. М.:Изд. МЭИ, 1998, №14.-с.66-71.

40. Морозов А.Г., Капранов М.В. Использование хаотической модуляции для передачи информации // Тезисы Ежегодной научно-технической конференции студентов и аспирантов вузов России, 25-26 февраля 1998г., Москва. т.1,с.34.

41. Морозов А.Г. Адаптивная обработка хаотических цифровых последовательностей со внесённой информацией // Радиотехнические Тетради. М.: изд. МЭИ 1999, №17.с.64-68.

42. Капранов М.В., Морозов А.Г. Управляемый генератор для линии связи с хаотической модуляцией // Радиотехнические тетради. М.:МЭИ. 1997 №1 I.e.60-63.

43. Morozov A.G. Simultaneous transmitting of several data streams within single chaotic carrier // Материалы третьей международной конференции "Перспективные технологии в средствах передачи информации 99", 15 июля 1999, Владимир, с. 125-129.

44. Морозов А.Г. Модифицированная CSK-система с дискриминантной процедурой для обработки цифровой хаотической несущей // Материалы четвёртой конференции во Владимире. 2000

45. Морозов А.Г., Капранов М.В., Кравцов Ю.А., Бутковский О.Я. Модифицированная система с хаотическим кодированием (CSK-система) для восстановления информационных сообщений // Журнал Радиоэлектроники, №10, 2000г. http://ire.cplire.ru/ire/octOO/1/text.html

46. Yang Т., Chua L. Chaotic digital multiply access (CDMA) communication systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. Vol.7, No 12,1997. p.2789-2805.

47. Yang Т., Chua L.O. Application of chaotic digital code-division multiply access (CDMA) to cable communication systems // Intern. J. Of Bifurcation and Chaos, Vol.8, No.8,1998.p. 1657-1669.

48. Yang Т., Chua L Error performance of chaotic digital code-division multiply access (CDMA) systems // International Journal on Bifurcation and Chaos. Vol.8, NolO 1998.p.2047-2059.

49. Rovatti R., Setti G., Mazzini G. Chaotic complex spreading sequences for asynchronous DS-CDMA Part-II: Some theoretical performance bounds // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.4.p.496-506.

50. Andreev Y., Dmitriev A., Kuminov D. etc. Maps with stored information in multiple-access communication systems // Proc. NDES'97 Moscow, p. 185190.

51. Adchi F., Msawahashi, Suda H. Wideband. DS-CDMA for next-Generation mobile communications systems // IEEE Com. Mag. Vol.36, no 9, 1998.

52. Широков M.E. Многопользовательская система на хаотических несущих // Радиотехника и Электроника, т.44, вып.5, 1999.С.583 -590.

53. Sobinski D.J., Thorp J.S. PDMA-1: Chaotic communication via the extended Kalman filter// IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.2.p. 194-197

54. Sobinski D.J., Thorp J.S. PDMA-2: The feedback Kalman filter and simultaneous Multiply access of a single channel // IEEE Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.2, 1998.p.142-149.

55. Dinan E., Jabbari B. Spreading codes for direct sequence CDMA and wideband CDMA cellular networks // IEEE Communications magazine, Vol.36, No9, 1998.p.48-54.

56. Дмитриев A.C. Хаос и обработка информации в нелинейных динамических системах // Радиотехника и электроника, 1993, т.38, № I.e. 1-24.

57. Дмитриев А.С. Запись и распознавание информации в одномерных динамических системах // Радиотехника и Электроника, т.36, №1,1991.с. 101-108.

58. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S., Kuminov D.A., Chua L.O. and Wu C.W. 1-D Maps, Chaos and Neural Networks for Information Proceeding. // Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 6, No.4, 1996. p. 627-646.

59. Dmitriev A.S, Panas A.I. Starkov S.O. Storing and recognition information based on stable cycles of one-dimensional map // Phys. Letters A, Vol. 155. 1991.p.494-499.

60. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C. Влияние возмущающих факторов на работоспособность системы передачи информации с хаотической несущей. // Радиотехника и электроника, т. 40. №2, 1995. с.265-281.

61. Dmitriev A., Maximov N., Panas A., Starkov S. Robustness of chaotic communications systems with nonlinear information mixing // Proc NDES'97, 1997, Moscow, Russia.p 209-216.

62. Дмитриев А.С., Кузьмин JI.В., Панас А.И. Схема с суммированием по модулю хаотического и информационного сигнала // Радиотехника и Электроника, т.44.№8, 1999.С.988-996.

63. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S. and Starkov S.O. Information Proceeding in 1-D Systems With Chaos. // IEEE Trans. Circuits Syst.-1. Vol. CAS-44. Jan. No.l. 1997.p.21-28.

64. Дмитриев A.C., Кузьмин J1.B. Передача последовательности хаотических отсчётов через радиоканал // Радиотехника и Электроника, 1998, т.43, №8, с.973-981.

65. Matsumoto Т. A Chaotic attractor from Chua's circuit // IEEE Trans. 1984. Vol. CAS-31, №12, p.1055.

66. MatsumotoT., Chua L.O., Komuro M. The double scroll family // IEEE Trans. 1986. Vol. CAS-33.p.l072-l 118.

67. Broucke M.E. One-parameter bifurcation diagram for Chua's circuit // Trans. 1987, Vol. CAS-34, №3

68. Zhong G.Q., Ayrom F. Experimental confirmation of chaos from Chua's circuit//Int. J. Circuit Theory and Appl. 1985, Vol.13.No.l.p.93-98.

69. Козлов A.K., Шалфеев В.Д. Управление хаотическими колебаниями в генераторе с запаздывающей петлёй фазовой автоподстройки // Изв. Вузов "ПНД", т.2, № 2, 1994.C.36-48

70. Алексеев A.A., Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Хаотический режим и синхронный отклик в автогенераторе, управляемом по частоте // Изв. Вузов "ПНД", т.2, № 1, 1994.C.71-77.

71. Матросов В.В., Корзинова М.В. Коллективная динамика каскадного соединения фазовых систем // Изв. Вузов "ПНД", т.2, № 2, 1994.с. 1016.

72. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Сложная динамика систем с неединственным состоянием равновесия // Изв. Вузов "ПНД", т.2, № 1, 1994.с.30-42.

73. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением. / Учебное пособие. Изд. Нижегородского Университета, 1997. -114с.

74. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. -312 с.

75. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Изд-во Саратовского ун-та, 1999. -368с.

76. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I. , Kopeikin A.S. , Chaotic Attractors of 2D invertible maps. Discrete Dynamics in Nature and Society, 1998. Vol. 2, No. 4. p. 249-256.

77. Капранов M.B., Родионов M.H. Формирование регулярных и хаотических колебаний с помощью системы частотной автоподстройки частоты // Радиотехнические тетради, М:МЭИ. №16, 1998. с.49-53.

78. Endo Т., Chua L. Chaos from phase-locked loops // IEEE Trans CAS-35, №2.1998. p.987-1003.

79. Endo Т., Chua L. Bifurcation diagrams and fractal basin boundaries of phase-locked loop circuits // IEEE Trans. CAS-37, №4,1990.p.535-540.

80. Kolumban G. Vizvari R. Nonlinear dynamics and chaotic behavior of the analog phase locked loops // IEEE Trans. CAS, 1991,

81. Pecora L., Carroll T. Driving systems with chaotic signals// Phys Rev. A.44, p.2374-2383

82. Кислов В.Я. Динамический хаос и его использование в радиоэлектронике для генерирования, приёма и обработки колебаний и информации // Радиотехника и электроника, т.38, вып. 10. 1993. с. 1783.

83. Баженов М. В., Кияшко С. В., Рабинович М. И. Хаотическая динамика простой электронной схемы // Изв. Вузов "ПНД", 1994,т.2,№ 2,с.81-100.

84. Алексеев В.В., Лоскутов А.Ю. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия //ВестникМГУ. Сер. Физ.-астр. т.26,№ 3,1985.с.40.

85. Chua L.O. Dynamic nonlinear networks: state-of-the-arts// IEEE Trans., Vol. CAS-27,1980.

86. Kennedy M.P. Communicating with Chaos: State of the Art and Engineering Challenges. //Proc. NDES'96. Seville. 1996. p.1-8

87. Yang T. Recovery of Digital Signals from Chaotic Switching. // Int. J. Circuit Theory Appl. No.23. 1995. p.611-615.

88. Kolumban G., Dedieu H., Schweizer J., Ennitis J., and Vizvari B. Performance Evaluation and Comparison of Chaos Communication Systems. //Proc. NDES'96. Seville. 1996. p.105-110.

89. Feldmann U., Hasler M., Schwarz W. Communication by Chaotic Signals: the Inverse System Approach. // Int. J. Circuit Theory and Appl. Vol. 24, 1996. p.551-579.

90. Vizvari В., Kolumban G. Quality of random numbers generated by chaotic sampling phase-locked loops // ШЕЕ Trans, on CAS-1, Vol. 45, No.3,1998.p.216-224.

91. Kahlert C., Chua L.O. Transfer maps and return maps for piecewise-linear and three-region dynamical systems// Int. J. Circuit Theory Appl. Vol 15, №1,1987.

92. Halle K.S., Wu C.W., Itoh M., Chua L. Spread spectrum communication through modulation of chaos // International Journal on Bifurcation and Chaos, 1993 .No3 .p.469-477.

93. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума // Изв. Вузов "ПНД". т1. №1-2, 1993.с.15-33.

94. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу // Изв. Вузов "ПНД". т1. №3,4, 1993.С.17-34.

95. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Укр. Матем.Ж. 1961. Т.13, №3. с.86.

96. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев.:Наукова Думка. 1986.-280с.

97. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М:Наука, 1972.-472с.

98. Didieu Н., Kennedy М., Hasler М. Chaos shift keying: Modulation and Demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's circuit // IEEE Trans. CAS-II vol.40, no 10.1994.p.634-642.

99. Kolumban G., Vizvari В., Schwarz and Abel A. Differential Chaos Shift Keying: a Robust Coding for Chaos Communication. // Proc. NDES'96. 1996. Seville, p. 87-92.

100. Kuleshov V.N., Udalov N.N. Nonlinear filtering of modulated chaotic oscillation // Proc. NDES'97 Moscow, p. 537-542

101. Кулешов B.H., Ларионова M.B., Удалов H.H. Система передачи информации с хаотической несущей // Вестник МЭИ. 1997. №5. с.54-61.

102. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А.и др. Выявление нестационарности случайно-подобных сигналов динамической природы // Радиотехника и Электроника, Вып.2 1995г. с. 255-260

103. Котюков В.И. Многофакторные кусочно-линейные модели. -М: Финансы и статистика, 1984. 216 с.

104. Кузнецов Д.С., Капранов М.В. Вопросы модуляции и демодуляции в дискретных системах передачи информации с хаотической несущей // Радиотехнические тетради, М. Изд. МЭИ, №11, 1997г.

105. Капранов М.В., Биккенин С.Н. Квазисинхронный отклик в системе фазовой автоподстройки частоты // Вестник МЭИ. М.:МЭИ, 1994, №2, с.46-50.

106. Перов А.И. Оптимальное оценивание конечной выборки дискретного хаотического процесса//Радиотехника. №7, 2000. с.62-69.