автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Формирование хаотических колебаний в усилительных трактах с фазовым управлением

Введение

Глава 1. Теория усилителей с фазовым управлением при положительной 33 обратной связи

1.1. Структурная схема и принцип работы усилителя с фазовым управлением

1.2. Математические модели усилителей с фазовым управлением

1.2.1. Одноконтурный резонансный УФУ проходного типа

1.2.2. Одноконтурный резонансный У ФУ отражающего типа

1.2.3. Неавтономные модели УФУ

1.3. Стационарные режимы усилителей с фазовым управлением

1.3.1. Стационарные режимы проходного УФУ

1.3.2. Неустойчивые стационарные режимы отражающего УФУ

1.3.3. Стационарные режимы в проходном УФУ с разомкнутой по 57 постоянному току ЦУ

1.4. Переходные процессы в усилителях с фазовым управлением 2-го порядка

1.4.1. Метод фазового пространства

1.4.2. Переходные процессы в проходном УФУ

1.4.3. Переходные процессы в отражающем УФУ

1.5. Выводы

Глава 2. Регулярные и хаотические колебания в усилителях с фазовым 73 управлением

2.1. Колебания в проходном усилителе с фазовым управлением с фильтром 73 нижних частот с цепи управления

2.2. Хаос в отражающем усилителе с фазовым управлением

2.3. Хаос в проходном усилителе с фазовым управлением с разомкнутой по 88 постоянному току цепью управления. Аттрактор изоклинного типа

2.4. Хаотические колебания в неавтономном усилителе с фазовым управлением

2.5. Синфазно и противофазно связанные неавтономные системы

2.6. Спектральные характеристики регулярных и хаотических колебаний

2.7. Выводы

Глава 3. Генераторы хаотических колебаний на основе синхронизированных 126 автогенераторов с фазовой автоподстройкой

3.1. Структурная схема и математическая модель

3.2. Динамические режимы комбинированной системы 2-го порядка

3.3. Регулярные и хаотические колебания в синхронизированном 133 автогенераторе с фазовым управлением

3.4. Спектральные характеристики хаотических колебаний в САГ с ФАП

3.5. О хаосе в системах фазовой синхронизации

3.6. Хаотические колебания в схеме В. П. Сизова

3.7. Выводы

Глава 4. Генерация хаотических колебаний с помощью управляемого 145 фазовращателя

4.1. Структурная схема и математическая модель

4.2. Стационарные режимы с произвольным числом особых точек

4.3. Регулярные и хаотические автоколебательные режимы. Перемежаемость на 154 многих состояниях равновесия

4.4. Бифуркации в управляемом фазовращателе с фазовым управлением

4.5. Спектральные характеристики

4.6. Хаотические режимы в УФВ с дискретным фазовым сдвигом

4.7. Выводы

В настоящее время одним из наиболее ярких и интенсивно развивающихся научных направлений в области теории нелинейных колебаний [1-3] является исследование нового класса сложных движений в нелинейных динамических системах (НДС) - динамического или «детерминированного» хаоса (ДХ) [4-6]. Под динамическим хаосом обычно понимают возникновение сложных неупорядоченных движений в полностью детерминированных нелинейных системах с точно известными параметрами. Термин «динамический» подчеркивает тот факт, что хаотические движения возникают именно в динамических системах, отличающихся от других систем тем, что в них «будущее» состояние, т.е. поведение системы в следующий момент времени, определяется ее состоянием в данный момент (с помощью дифференциальных или разностных уравнений [1,3]). Когда говорят о «детерминированности» динамического хаоса, то имеют в виду теоретическую возможность абсолютно точного повторения хаотического колебания в таких системах, в предположении идеально точного воспроизведения значений параметров системы и начальных условий. Эта возможность проистекает из теорем о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эти системы.

На самом деле, сравнительно недавно (с середины 1960-х годов) пришло понимание того, что нелинейные дифференциальные или разностные уравнения могут иметь ограниченные, т.е. нерасходящиеся с ростом времени непериодические решения, которые ведут себя случайно-подобным образом, хотя в самих уравнениях нет никаких случайных параметров. Однако еще в 1892 году великим французским физиком и математиком Анри Пуанкаре было впервые указано на принципиальную возможность возникновения динамического хаоса в нелинейных системах. Он занимался изучением вырожденной задачи трех тел в классической механике (система трех тел, когда масса одного тела бесконечно мала по сравнению с двумя другими) и обнаружил, что в ней могут возникать полностью хаотические траектории. В те далекие годы это было воспринято многими физиками, сторонниками Лапласовского детерминизма, как курьез, а уверенность А. Пуанкаре в возможности хаоса в детерминированных системах - как причуда гения.

Встречается упоминание о хаотическом поведении детерминированных систем в работах знаменитого голландского электроинженера и физика Ван дер Поля, который в 1927 году проводил экспериментальное исследование колебательной цепи управляемой неоновой лампы и опубликовал свои результаты в популярном журнале «Nature» (В. van der Pol, van der Mark. Frequency demodulation. Nature, Sept. 10, 1927, vol. 120, no. 3019, pp. 363-364). Он указал, что в цепи слышен так называемый «нерегулярный шум», а условие, при котором он генерируется, необъяснимо. Сам Ван дер Поль охарактеризовал этот «шум» как второстепенный и не достойный большого внимания.

Подобные явления встречались ученым и в ряде других задач, однако, в течение долгого времени либо считались ошибочными казусами, либо рассматривались как побочные нежелательные явления, которые должны быть устранены.

В следующий раз о хаосе всерьез вспомнили в 1963 году при появлении знаменитой теперь статьи физика и метеоролога Эдварда Лоренца (Edward N. Lorenz. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 1963, no. 20, pp. 130 — 141), занимавшегося в Массачусетсом технологическом институте (США) изучением и прогнозом атмосферных явлений. Э. Лоренц изучал тепловую конвекцию в горизонтальном слое жидкости, находящемся в поле сил тяжести и нагреваемом снизу. В своей статье он предложил простую математическую модель тепловой конвекции в атмосфере в виде системы трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и обнаружил, что ней могут возникнуть хаотические движения.

Работа Лоренца послужила революционным толчком к пересмотру устоявшихся представлений детерминистской теории колебаний.

На сегодняшний день хаотическое поведение обнаружено теоретически в огромном количестве модельных задач, представленных в виде динамических уравнений, а также и экспериментально в механике, теплофизике, аэро- и гидродинамике, метеорологии, химии и биологии, электродинамике, радиотехнике и во многих других природных явлениях и системах [4-9]. Среди них: модель Ресслера, пришедшая из химической кинетики, модель Мальтуса-Ферхюльста, возникшая при прогнозе эволюции численности популяций и породившая широко известное логистическое отображение, осцилляторы Дуффинга (Duffing) и Ван дер Поля (Van der Pole), модель Кеплера движения небесных тел, уравнение с задержкой Маккей-Гласса (Makkey-Glass), генератор Чуа (Chua) и многие другие при определенных условиях могут демонстрировать хаотическое поведение.

Выяснено, что для возникновения хаоса в случае систем с непрерывным временем, их размерность (порядок нелинейного дифференциального уравнения, описывающего данную систему) должна быть не ниже 3-х. Другими словами, математически такие системы представляются потоками траекторий в фазовом пространстве, размерность которого 3 или выше. В нелинейных динамических системах с дискретным временем хаотические движения могут возникать уже в случае систем 1-го порядка. Эти движения представляют собой каскады дискретных отображений и описываются нелинейными разностными уравнениями.

Теперь, когда многие идеи нелинейной динамики изучены на глубоком уровне, хаотические явления вышли из разряда необычных. Различные свойства хаотических движений очень активно исследуются и систематизируются по многим направлениям. К отличительным особенностям детерминированного хаоса, порождаемого нелинейными динамическими системами с дискретным и непрерывным временем, по сравнению с традиционным для этих объектов регулярным упорядоченным поведением, часто относят следующие [5,7,8]:

• Топологическая транзитивность (ограниченность колебаний координат системы), т.е. всегда можно указать ограниченную область пространства, обладающую свойствами притяжения фазовых траекторий, так что траектория, попавшая внутрь этой области, не покинет ее границ с дальнейшим течением времени. Такую область пространства называют аттрактором.

• Перемешивание - отображение начальных точек, сосредоточенных в малой области пространства, по истечении некоторого времени по всему объему аттрактора.

• Шумоподобность колебаний, т.е. беспорядочность, присущая случайным процессам, однако в системе при этом не присутствует ни одной случайной величины.

• Чрезвычайно высокая чувствительность движения к изменениям начальных условий, заключающаяся в том, что две фазовые траектории, начавшиеся в разных, но, однако, сколь угодно мало отличающихся начальных условиях, через небольшой промежуток времени становятся некоррелированными. В этой связи говорят об экспоненциальном разбегании траекторий, численно характеризующимся показателями Ляпунова. Из этого факта также вытекает важное следствие: экспоненциальное разбегание фазовых траекторий, а также уникальность каждой из них (в связи с теоремой о существовании и единственности) говорят об отсутствии конечного периода хаотических колебаний (хаотические колебания - принципиально непериодические).

• Спадающая автокорреляционная функция, являющаяся результатом непериодичности.

• Широкий спектр Фурье, а также его изрезанность, говорят о шумоподобности хаотических колебаний и о том, что сигнал обладает большой базой -количественным показателем ограниченного во времени отрезка сигнала, прямо пропорциональным его энергии.

Эти, а также некоторые другие свойства хаотических колебаний оказались привлекательными для радиотехнических приложений, в частности, в новых системах скрытной связи [10-65]. Основной принцип построения этих систем заключается в маскировке передачи сообщений при помощи введения полезной информации в хаотическую несущую. Обратное извлечение информации при несанкционированном доступе, т.е. в отсутствии априорных знаний об исходной динамической системе, весьма затруднительно, а при некоторых условиях практически невозможно. Таким образом, хаотический сигнал с высокой вероятностью неотличим от случайной помехи для «непосвященного» стороннего наблюдателя, что позволяет скрывать сам факт передачи. При ее обнаружении существенно усложняется процедура выделения самой информации традиционными методами, что обеспечивает высокую конфиденциальность передаваемых данных. Кроме того, оказалось, что хаотические колебания обладают не меньшей устойчивостью к шумам, чем другие сигналы широко использующиеся в радиотехнике.

Эти особенности позволили получить интересные результаты для практических приложений. Остановимся на некоторых из этих результатов. Из-за большого числа публикаций по хаосу, задача полного обзора не ставится, поэтому обратим внимание только на вопросы, представляющиеся перспективными для возможных приложений в радиотехнике и электронике.

Лидирующее положение в отечественной науке в области приложения динамического хаоса в радиотехнике и связи занимает коллектив исследователей Института радиотехники и электроники Российской академии наук ИРЭ РАН (Дмитриев А. С., Панас. А. И., Старков С. О. и др.), которым принадлежат одни из первых фундаментальных работ по теоретическому и экспериментальному исследованиям хаотических динамических систем передачи информации [10-15,18,40 и др.].

В опубликованных ими статьях встречаются обширнейшие обзоры современных достижений в области применения динамического хаоса для формирования радиосигналов, закладывания в них полезной информации, передачи в канал связи и эффективного выделения переданных данных на приемной стороне. При этом основное внимание уделяется использованию особенных, специфических свойств хаотических колебаний, которые позволяют им быть конкурентоспособными в сфере современных информационных систем.

Например, в фундаментальном обзоре [14], опубликованном в специальном тематическом выпуске, отмечается, что случайно-подобность при абсолютной (в идеале) детерминированности хаотических колебаний открывает большие возможности применения их при построении систем связи с повышенной конфиденциальностью передачи данных. Кроме того, такой сигнал обладает широким спектром, интерес к которым в радиотехнике традиционен и связан с их большей информационной емкостью, большей скоростью передачи и более высокой устойчивостью работы системы при наличии мешающих воздействий (шумы, помехи и т.п.) по сравнению с узкополосными сигналами. Высокая чувствительность к малым возмущениям начальных условий позволяет в одной и той же системе соответствующими изменениями параметров и/или начальных условий получать богатейший набор как хаотических, так и регулярных режимов.

В этой связи, среди телекоммуникационных приложений хаоса в упомянутом обзоре [14] перечислены следующие основные способы организации систем связи, использующих эти и другие свойства хаотических колебаний:

• Хаотическая маскировка сигналов (Chaotic masking — CM);

• Переключение хаотических режимов (Chaos shift keying — CSK);

• Нелинейное подмешивание (Nonlinear mixing-NM);

• Дуальное нелинейное преобразование (Inverse systems);

• Опережающее управление сечением Пуанкаре (Predictive Poincare Control modulation) ;

• Частотная/фазовая модуляция хаотическим сигналом.

В более ранних работах самих исследователей ИРЭ РАН [10-12] были приведены результаты экспериментальных исследований возможности передачи сложных звуковых сигналов с использованием хаотических колебаний по принципу нелинейного подмешивания. Для этой цели были предложены специальные схемы хаотических генераторов, работающие в низкочастотном диапазоне (в частности, кольцевой автогенератор).

Также в обзоре [14] обозначены и обсуждены такие аспекты хаотической связи, как хаотическая синхронизация (подробнее об этом явлении остановимся ниже), скорость кодирования, запись информации в динамических системах, оптимальный прием и адаптивные методы, многопользовательский доступ. Кроме того, предложены принципы высокоскоростной конфиденциальной передачи цифровых данных на основе дискретных динамических систем, при которой в одном отсчете передается несколько битов информации.

Обсуждены общие принципы и приведены экспериментальные результаты применения сигнальных процессоров для передачи информации с использованием хаотических колебаний. Выяснено, что применение процессоров, с одной стороны, позволяет выдерживать идентичность параметров приемника и передатчика с высокой точностью, а с другой стороны, накладывает ограничения на максимальную длину неповторяемого отрезка хаотической последовательности. Эффект появления конечного периода последовательности при вычислении хаотических сигналов с ограниченной разрядной сеткой более подробно исследуется, например в [13,60].

По мнению авторов сейчас еще трудно говорить о наиболее перспективных областях применения детерминированного хаоса в системах передачи информации. Но конфиденциальность, самосинхронизация приемников, новые схемы многопользовательских систем, организация набора «ключей» в приемо-передающих устройствах и одновременная передача нескольких информационных сигналов с помощью единственного хаотического носителя говорят о важности и перспективности исследований динамического хаоса.

Статья [15] (в следующем тематическом выпуске по динамическому хаосу) расширяет спектр применений хаотической динамики при передаче информации. Показано, что хаотические колебания могут выступать как в роли носителей информации, так и в роли процессов, маскирующих информационные сигналы. Они могут применяться при активном зондировании (в радиолокации) и служить информативными индикаторами характера различных процессов (в радиометрии, радиоизмерениях и т.д.).

В том же тематическом выпуске, в котором опубликована работа [15], встречаются и другие весьма интересные статьи, посвященные хаотической связи. В частности, в работе [16] известного швейцарского ученого М. Хаслера, передача информации с использованием хаоса рассматривается в свете общих теоретических аспектов коммуникационных систем. Указано, что основная проблема внедрения хаотических устройств в современные сети связи связана с недостаточно устойчивой их работой в условиях шумов и других искажений в канале связи. Автор считает, что решение этой проблемы может сделать возможным использование хаотических систем в структурах, которые предполагают наличие одновременно нескольких различных хаотических сигналов в канале связи, по аналогии с системами множественного доступа с кодовым разделением (Code Division Multiple Access — CDMA). В этом случае другие хаотические сигналы в канале могут рассматриваться как шум. Более подробное исследование многопользовательских систем связи с применением динамического хаоса проведено также в работе [18] (в третьем отечественном тематическом выпуске по динамическому хаосу).

Представляет также интерес работа [17], в которой предпринята попытка синтеза оптимальных приемных устройств хаотических колебаний на основе математического аппарата теории оптимальной нелинейной фильтрации. Представленные результаты свидетельствуют об эффективности применения достижений статистической теории передачи информации к системам с хаотическими колебаниями и показывают, что известные некоторые алгоритмы интерполяции марковских процессов с фиксированной задержкой, полученные в гауссовском приближении, из-за «разбегаемости» траекторий хаотических колебаний оказываются неработоспособными.

На протяжении около 10 лет ведется работа по исследованию динамического хаоса в системах с фазовым управлением, а также его применениям в системах скрытной передачи информации на кафедре Формирования колебаний и сигналов (ФКС) Московского энергетического института (Технического университета) (МЭИ (ТУ)) под руководством Капранова М. В., Кулешова В. Н., Удалова Н. Н. [19-22, 2527,29,30]. Исследования в телекоммуникационном направлении связаны с основами построения систем передачи цифровой информации, использующих принцип переключения хаотических режимов - способ модуляции, занимающий выгодное положение с точки зрения помехозащищенности передаваемой информации. С его помощью возможна передача как бинарного, так и многопозиционного кода посредством переключения управляющего параметра или начальных условий данной динамической системы.

В первых работах [19-21] была затронута тема модуляции хаотических сигналов посредством вариации параметра дискретного отображения, которая позже была разработана и продвинута более серьезно (например, в диссертации [22] и статье [27]). Основной принцип здесь заключается в следующем. Исходное хаотическое колебание модулируется заданным информационным сигналом путем переключения параметра динамической системы, причем величина скачка параметра не должна быть велика для сохранения максимально постоянных статистических свойств передаваемого колебания. Для выделения информации в приемнике используется дискриминантыая процедура, основанная на критерии Фишера, предложенном ранее авторами статей [23,24], либо новая предложенная в [22] модифицированная дискриминантная процедура, позволяющая фиксировать моменты изменения управляющего параметра даже при наличии большого рассогласования параметров (до 30%), к чему первоначальный алгоритм весьма чувствителен.

В другом цикле работ [25-27] обсуждаются аспекты работы системы связи с переключением начальных условий генераторов, формирующих хаотические колебания в дискретном времени, и осуществляющей нелинейную фильтрацию [25] и корреляционную обработку [26,27] на приемной стороне. Принципиально теория корреляционного приема была глубоко развита в [28] (см. также библиографию в ней) применительно к традиционной задаче обнаружения периодических (или квазипериодических) радиосигналов. В рассматриваемых работах [26,27] был впервые приведен пример использования тракта корреляционной обработки хаотических сигналов (структурная схема приведена и здесь на рис. В.1).

Рис. В.1. Структурная схема системы передачи информации с хаотическими несущими колебаниями, использующая корреляционную обработку сигналов [26,27]

Опишем кратко принцип работы этой системы. В соогвегствии с заданным цифровым информационным потоком а(к) передаваемый сигнал формируется модулятором (М) путем переключения между двумя однотипными динамическими системами (ДС) с совпадающими параметрами (в данных статьях - логистическими отображениями), выдающих на своих выходах хаотические элементарные сигналы (к) и ^(к), отличающиеся начальными условиями я0(0) (логический "0") и (0) (логическая " 1"), соответственно. Начальные условия выбираются таким образом, чтобы элементарные сигналы имели близкий к нулю коэффициент взаимной корреляции, т.е. были ортогональными [28].

Принятая смесь у (к) сигнала с шумом п(к) подается на входы двух корреляторов, опорными сигналами для которых являются известные заранее элементарные сигналы от аналогичных расположенным в передатчике ДС. Далее, разность напряжений от двух корреляторов сравнивается с порогом г), и решающее устройство (РУ) восстанавливает исходный поток данных (его оценка обозначена как а(к)). Для функционирования данной системы связи требуется внешний источник синхронизации (ИС).

В статьях [26,27] приведены результаты моделирования работы этой системы при передаче двух- и трехпозиционного кодов, а также выявлены условия, ограничивающие качество восстановления данных на приемном конце из смеси полезного сигнала с шумом. Приемник схемы рис. В.1 является оптимальным [28], обладающим несомненным достоинством - высокой (наилучшей) помехоустойчивостью передачи. К недостаткам следует отнести необходимость высокоточного совпадения параметров и начальных условий генераторов хаотических сигналов передатчика и приемника. Кроме того, при небольших отношениях шум/сигнал не обеспечивается скрытность передачи данных, так как для каждого символа используется фиксированный элементарный сигнал, что позволяет их идентифицировать при несанкционированном доступе. Однако при добавлении шума к передаваемому сигналу эта задача сильно усложняется.

На сегодняшний день, в различных отечественных и зарубежных научных публикациях системы хаотической связи, использующие корреляционную обработку принятых хаотических сигналов, получили широкое распространение.

В последнее время на кафедре ФКС МЭИ(ТУ) появилось также направление применения обратных задач хаотической динамики для восстановления заложенной в хаотический сигнал полезной информации путем вариации параметров или начальных условий [27,29], обозначенного ранее авторами статьи [24] (см. также обширную библиографию в ней). Имеются также работы по применению комбинации принципов корреляционной обработки хаотических сигналов и эффекта синхронного хаотического отклика [30]. Последнее явление имеет фундаментальное и очень большое значение, как в задачах хаотической связи, так и теории динамических систем в целом, поэтому поясним его подробнее.

Отличительная черта хаотических схем заключается в том, что они являются самосинхронизующимися, т.е. не требуют отдельного оборудования для вхождения в синхронизацию и ее поддержания. В первых работах [31,32] известных американских ученых JI. Пекора (L. Pécora) и Т. Кэрролл (Т. Carroll) по хаотической синхронизации передатчика (ведущая система) и приемника {ведомая система) был предложен способ, заключающийся в декомпозиции ведущей и ведомой систем на две части, который впоследствии получил название синхронного хаотического отклика.

Этот эффект (называемый также хаотической синхронизацией) интенсивно исследуется в литературе, так как является весьма перспективным способом организации систем скрытной передачи информации с хаотическими сигналами [33-43]. Среди статей по этому направлению фундаментальное значение имеет работа [33], в которой проводится теоретическое исследование схемы синхронного хаотического отклика с непрерывным временем на основе модели Лоренца, а также приводятся результаты экспериментального подтверждения эффекта хаотической синхронизации.

На рис. В.2 приведена общая структурная схема системы передачи информации с использованием синхронного хаотического отклика. Принцип ее работы заключается в следующем. Известно [31,32], что при точном совпадении параметров динамических систем, находящихся на передающей (ведущая) и приемной (ведомая) сторонах системы связи с хаотической синхронизацией (на схеме рис. В.2 - ДС} и ДС2, соответственно) и при отсутствии шумов в канале распространения, на выходе ведомой подсистемы будет наблюдаться идеальный синхронный отклик, т.е. колебание на выходе ДС2 w(t) будет в точности повторять колебание на ее входе u(t). При этом, независимо от начальных условий ведущей и ведомой подсистем, ошибка синхронизации, определяемая как разность сигналов на входе и на выходе ведомой (т.е. e(t) = u(t) -w(t)) по истечению переходных процессов стремится к нулю. В случае наличия расстройки параметров ведущей и ведомой: e(t) ^ 0. Модуляция хаотического сигнала от ведущей подсистемы переключением параметра между двумя слегка отличающимися значениями Л0 (логический "О") и \ (логическая "1") с помощью устройства управления (УУ) режимами генератора ДС] в соответствии с информационным сигналом aft) (ведомая, при этом, настраивается на один из этих параметров, например на А0) приводит к заметному отличию ошибки синхронизации в течение передачи "1" от ошибки синхронизации при передаче "О". Сравнивая величину этой ошибки с порогом, соответствующим образом вычисленным с учетом мощности шума, восстанавливается переданное сообщение. a(t)

Mt)

УУ —► ДС1 | I О u(t) X "(О

Щ-► г-——4 мо дс2 р-н► ру

5(0

Рис. В.2. Структурная схема системы передачи информации с хаотическими сигналами, использующая явление синхронного хаотического отклика

Недостатком такой системы является низкая помехоустойчивость и сильная чувствительность к расстройке параметров ведущей и ведомой ДС. Достоинствами -высокая степень скрытности передачи, так как здесь для каждого последующего символа используется новая, неповторяемая реализация элементарного хаотического сигнала. Кроме того, в [33] математически (с использованием метода функции Ляпунова) доказано, что в модели Лоренца устойчивая хаотическая синхронизация наступает независимо от начальных условий.

В одной из первых работ по хаотической синхронизации [32] было сформулировано важное необходимое (но не достаточное) условие, при котором возможна хаотическая синхронизация - ведомая динамическая система должна иметь только отрицательные показатели Ляпунова. Это означает, что, находясь в автономном режиме, она должна иметь только устойчивые собственные решения.

Огромное количество публикаций по применению динамического хаоса для скрытной передачи информации встречается в зарубежной печати. В большинстве современных работ зарубежных авторов по направлению хаотической связи в основе, так или иначе, лежит явление хаотической синхронизации. Проведем обзор наиболее доступных из них российскому читателю.

В 1997, 2000 и 2001 годах издавались спецвыпуски журналов IEEE Trans. On Circuits and Systems. I - Fundamental Theory and Applications, посвященные применению динамического хаоса в системах передачи информации. Среди всех представленных в них статей известных специалистов в данном направлении большое значение имеют работы М. Кеннэди (М. Kennedy), Г. Колумбана (G. Kolumban) и Л. Чуа (L. Chua), посвященные исследованию работы различных систем передачи информации с использованием синхронного хаотического отклика.

Например, в работе [37] спецвыпуска 1997 года по синхронизации и управлению хаосом в телекоммуникационных системах описывается принцип передачи цифровой информации, вкладываемой в хаотическую несущую путем смены режимов работы данного генератора хаоса (CSK), и описываются два принципа обработки данных на приемной стороне: при наличии (когерентным прием) и отсутствии {некогерентный прием) синхронизации передатчика с приемником, а также проводится сравнение хаотических систем связи с традиционными коммуникационными сетями. Следующая их работа [42] посвящена изучению работы схемы с синхронным хаотическим откликом при передаче аналоговой информации. В третьей части их исследований, т.е. в статье [43] спецвыпуска 2000 года, посвященного некогерентной хаотической связи, исследуется работа системы передачи данных с переключением хаотических режимов (передача цифровых данных) и использованием синхронного хаотического отклика и корреляционного приема.

Авторами этого цикла работ были сформулированы выводы о перспективности использования хаотических синхронных и асинхронных систем передачи данных, рекомендации о выборе того или иного способа модуляции хаотических сигналов, способа обработки, проведено сравнение количественных показателей, таких как, например, вероятность ошибочного приема символа (Bit Error Ratio - BER) в зависимости от величины отношения сигнал/шум (с/ш) в канале связи, характеризующих качество работы предложенных схем.

В перечисленных выше спецвыпусках общества IEEE Circuits and Systems встречается множество других интересных статей, посвященных различным проблемам построения систем связи с хаотическими сигналами.

Например, в работе [38] обсуждаются различные особенности синхронизации двух динамических систем, связанные двумя различными способами (линейным и нелинейным) и работающие в условиях воздействия шумов и несовпадения величин параметров. Показано, что при линейной связи наблюдаются большие периодические всплески ошибки синхронизации, в то время как при нелинейной связи эта ошибка асимптотически ограничена.

В работе [39] затронута аналогичная тема, где рассматривается понятие так называемой робастной синхронизации {robust synchronization), заключающейся в устойчивости удовлетворительной работы системы в условиях наличия существенных дестабилизирующих факторов, таких как разброс параметров, наличие шумов, флуктуаций и т.д. (такие схемы имеют очень важное практическое значение).

Несколько более глубоко идея робастной синхронизации рассмотрена в работе [59] одного из основоположников хаотической синхронизации Т. Carroll, где предложена специально разработанная для этих условий схема генератора хаотических колебаний, моделируемого дифференциальными уравнениями (ДУ) 6-го порядка и состоящего из двух частей - низкочастотной, в которой производится необходимая модуляция/демодуляция исходного сообщения и высокочастотной, позволяющей использовать передачу данных в радиодиапазоне.

В статье [40] демонстрируется эффект синхронного хаотического отклика в ансамбле (линейке) связанных дискретных отображений, а в статье [41 ] рассматривается явление синхронизации в целой решетке хаотических осцилляторов с монотонно меняющимися параметрами (в частности, собственными центральными частотами), что может привести к так называемой пространственно-временной хаотической синхронизации.

В работе [44] изучается работа самосинхронизирующейся системы связи на основе генераторов Лоренца, предложенной в [33], методом стохастических дифференциальных уравнений при воздействии на канал связи аддитивного Гауссова случайного процесса. Определены количественные границы работоспособности данной схемы, т.е. минимальная величина шума, заметно ухудшающая качество синхронизации. Оказалось, что эта величина весьма невелика, например для BER=10"3 необходимо, чтобы с/ш=55дб и выше.

В статьях [45,49] сравниваются между собой несколько систем, использующих одноканальный корреляционный прием, отличающихся способами формирования ортогональных хаотических сигналов: посредством переключения между исходным и специальным образом искаженным (в частности, задержанным на некоторый интервал времени (correlation delay shift keying — CDSK'), умноженным на «-1» (symmetric chaos shift keying - SCSK) и т.д.) хаотическими сигналами.

В работах [46,47] системы связи с хаотическими сигналами рассматриваются как альтернатива к традиционным системам с расширением спектра, эффективно борющимися с многолучевым распространением радиоволн. В статье [46] проводятся краткий обзор и обобщение нескольких принципов модуляции хаотических сигналов путем переключения хаотических режимов (chaos shift keying - CSK, differential CSK -DCSK). В статье [47] исследуется возможность использования фазовой модуляции радиосигналов путем хаотического переключения (Frequency-modulated DCSK - FM-DCSK).

Статьи [48,50] посвящены исследованиям частных вопросов функционирования схем DCSK, использующих корреляционный прием, таких как влияние длительности элементарных сигналов на вероятность ошибочного приема символа, а также использования дополнительных способов повышения помехоустойчивости, например, передачи специального опорного сигнала (reference signal), позволяющего произвести оценку величины BER в канале распространения и вхождение приемника в синхронный режим работы с передатчиком.

Перейдем к обзору третьего спецвыпуска IEEE Circuits and Systems 2001 года, посвященного применению хаоса в современных системах связи. Первая его статья [51] содержит обзор современных достижений в области хаотической связи по радиоканалу и очерчены основные сложности, препятствующие использованию имеющихся научных достижений в этой области на практике. Среди них самые важные - это сложность организации в реальных системах когерентного приема, требующего синхронизации приемника с передатчиком (по причине задержек в линии связи и других факторов) и построения оптимального приемника, требующего исчерпывающей информации о передающей системе. Особое внимание автор также обращает на неизбежные искажения хаотического сигнала как в высокочастотном (ВЧ) тракте передатчика, так и ВЧ тракте приемника, притом, что хаотические сигналы по своей природе весьма чувствительны к возмущениям, что особенно будет проявляться при использовании схемы синхронного отклика. Из общей теории радиопередающих и радиоприемных устройств известно [104,110,112], что существенные искажения могут вносить такие устройства как модулятор, демодулятор, включающий преобразователь частоты (ПЧ), а также резонансные усилители, селекторы, сумматоры, цепи согласования и т.д.

Статья [52], в частности, посвящена исследованию высокоточных способов модуляции и демодуляции хаотических радиосигналов. При этом энергетический параметр, например амплитуда, или неэнергетический - фаза, частота синусоидального радиосигнала модулируется хаотическим низкочастотным (НЧ) сигналом с выхода некоторого генератора хаоса. Предлагается несколько специальных способов модуляции/демодуляции, адаптированных под данный тип генераторов хаотических сигналов, как правило, с помощью цепей, входящих в состав самих генераторов.

В работе [53] предлагается структура телекоммуникационной системы, в которой модуляция производится путем вариации параметра хаотического генератора передатчика, построенного по схеме осциллятора Колпитца [110,111]. Показано, что при таком подходе к модуляции искажения заметно ниже, чем при традиционных методах, при этом также обеспечивается высокая скрытность передаваемых данных. Однако, несомненным недостатком данной структуры является необходимость высокоточного изготовления требуемой пары генераторов передатчика и приемника.

В статье [54] предлагается новая структура системы передачи данных с использованием хаотической времяимпулъсмой модуляции (Chaotic-Pulse-Position Modulation - СРРМ). Авторы показывают, что в сравнении с другими традиционными системами с времяимпульсной модуляцией эта схема проигрывает в помехоустойчивости (по величине BER), однако имеет ряд преимуществ, связанных с повышенной скрытностью передачи при возможности использования обычных систем с РРМ, произведя весьма незначительные изменения в их структуре (в частности, в замене имеющегося ИГ на специальный хаотический ИГ). Кроме того, предложенная структура позволяет легко строить многопользовательские системы связи, посредством кодового разделения каналов.

В [55] развивается весьма популярная в настоящее время идея использования квазиоптимальной структуры с CDMA, использующей хаотические последовательности, для построения большого количества пар ортогональных сигналов, что легко осуществимо с помощью хаотических динамических систем, так как хаос, как правило, обладает быстро спадающей автокорреляционной функцией (существует большое количество работ на эту тему, см. например [5-7,22,26,60] и ссылки в них). Сама идея использования хаотических последовательностей в CDMA, была впервые высказана авторами статей [62,63], однако первые экспериментальные результаты встречаются лишь в [55].

В [58] предлагается оригинальный способ построения системы связи с кодовым разделением посредством вычисления на передающей и приемной сторонах ортогонального сигнала для заданного хаотического колебания с помощью Гильбертова преобразования. Причем, эта процедура дает возможность применения многопозиционной манипуляции, например квадратурной (в случае хаотических сигналов: Quadrature CSK- QCSK), весьма популярной в современных системах связи.

Большое количество присутствующих в данном обзоре вопросов собраны в книге [64], целиком посвященной современным достижениям в области построения хаотических электронных систем связи, однако трудно доступной российскому читателю.

Существует множество других аспектов исследования систем передачи информации с хаотическими сигналами, интенсивно изучаемых современными исследователями. Среди них, следует отметить работы по использованию Калмановской фильтрации хаотических сигналов [65,66], применению для оптической связи полупроводниковых лазеров, работающих в сильно нелинейном режиме и генерирующих хаос [56]. Большое количество работ посвящено применению хаотических динамических систем для генерирования псевдо-случайных последовательностей [67], для шифрования информации [57,68], обеспечения безопасности и защиты информации в компьютерных сетях [69], а также хаосу в нейронных сетях [70]. Эти вопросы в обзоре не затрагиваются, так как напрямую не относятся к вопросам, рассматриваемым в данной диссертации.

Ключевым и важнейшим элементом в упомянутых выше системах передачи информации является генератор хаотических сигналов, т.е. некоторое электронное устройство, играющее роль источника хаотических колебаний, выражающегося в поведении какой-либо физической величины, например напряжении, тока, мощности и т.д. Одной из первых радиотехнических моделей специально созданных для формирования хаотических колебаний была так называемая схема Чуа, первая публикации о которой в зарубежной печати встречается в 1986 году в журнале IEEE Trans, on Circuits and Systems, однако отечественному читателю более доступен ее перевод [71]. К настоящему моменту в научной литературе накопилось огромное число статей, особенно зарубежных авторов, в которых рассматриваются различные аспекты работы схемы Чуа. Среди них отметим цикл ранних работ [72-75], содержащих строгие теоретические исследования и более поздние [76-78], посвященные в основном способам реализации и возможным применениям, а также колебаниям в ансамблях связанных цепей Чуа [79]. На сегодняшний день схема Чуа стала уже классической моделью генератора хаоса. Ее схема изображена на рис. В.З.

И, м1 нелинейное звено инерционное звено колебательное звено а) Принципиальная схема

Рис. В.З. Генератор Чуа б) Вольт-амперная характеристика ^

Схема Чуа представляет собой простую автоколебательную цепь с полутора степенями свободы: параллельный контур (г,Ь,С2), связанную через инерционную цепь (Ы,С1) с нелинейным активным элементом (ТЯ^), вольт-амперная характеристика которого имеет участок с отрицательным наклоном (рис. В.З (б)). Данная схема является генератором сигналов с непрерывным временем (аналоговый генератор) и моделируется ДУ 3-го порядка. Динамический хаос схемы Чуа наблюдается в поведении мгновенных значений токов и напряжений на ее элементах: 1№ иСь иС2

Вся схема рис. В.З может быть условно разделена на три звена: колебательное, инерционное и нелинейное. Заметим, что такую декомпозицию можно произвести практически в любом генераторе хаотических колебаний с непрерывным временем.

Несмотря на внешнюю простоту, генератор Чуа демонстрирует богатейший набор различных регулярных и хаотических автоколебательных режимов, развивающихся по различным сценариям перехода к хаосу, называемым также в теории колебаний бифуркациями (см. [4-9]). Однако во многих экспериментальных работах перечислены также и многочисленные недостатки данной схемы [72,76,78]. Среди них наиболее важные - узкие зоны хаотических режимов в пространстве параметров, что приводит к высокой чувствительности схемы к различным возмущениям, а также сложность высокоточного изготовления активного элемента и его прецизионного повторения. Эти и некоторые другие причины, на сегодняшний день, существенно препятствуют практическому использованию генератора Чуа в современных системах связи с хаотическими сигналами.

В литературе встречаются интересные работы, касающиеся исследованиям других радиоэлектронных цепей и систем, демонстрирующих при некоторых условиях хаотическое поведение. Среди них хотелось бы выделить исследования нелинейных преобразователей постоянного тока (DC-DC converter) [80], схем на переключаемых конденсаторах (Switched capacitors) [81], осцилляторов Дуффинга и Ван дер Поля [82], включая их приложения, вопросы синхронизации и управления параметрами.

В научных публикациях этого направления широкое распространение получили также осцилляторы Колпитца, достаточно глубоко проработанные современными исследователями, и также предоставляющие широкие возможности по использованию различных хаотических режимов [83,84]. Достаточно много публикаций, в которых строят электронные цепи, моделирующие уравнения Лоренца (например, [33,44]).

В отечественной литературе также встречаются работы, посвященные исследованиям генераторов хаотических колебаний. В частности, авторы статей [10-12] предлагают схему кольцевого автогенератора, допускающего как аналоговую, так и цифровую реализацию, и работоспособность которого при передаче аналоговых речевых сигналов подтверждена экспериментальными результатами [85].

Глубокие достижения в области изучения теоретических основ нелинейных хаотических и стохастических динамических систем принадлежат ученым кафедры Физики, Радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета (Анищенко В. С., Безручко Б. П., Кузнецов А. П., Кузнецов С. П.), которые занимаются исследованиями хаотического поведения неавтономного осциллятора Ван дер Поля [7,8], ЯЬ-диодной цепи, электрического маятника [86,87] и многих других схем и устройств.

Обратим внимание на очень важный момент. Во всех перечисленных выше схемах генераторов хаотическая динамика представлена в изменении энергетических величин - мгновенных значений низкочастотных токов и напряжений. Применение таких генераторов для традиционных радиотехнических приложений весьма проблематично из-за того, что спектральные плотности их хаотических колебаний расположены в низкочастотной области. Это позволяет их использовать только в проводной связи или радиосвязи на небольшие расстояния, так как для излучения в эфир требуются сигналы со спектром в высокочастотной области. Попытки переноса спектра на более высокие частоты, а также опыты по усилению хаотических сигналов при отладке работы систем связи выявили существенный недостаток: за счет дестабилизирующих факторов усилителей и преобразователей частоты передаваемый сигнал искажается в приемо-передающем тракте и обратное извлечение информации из него становится невозможным (см. [14,64,85] и ссылки в них).

Поэтому для успешной работы систем связи необходимо, чтобы хаотический сигнал передавался в канал связи непосредственно после своего формирования, не подвергаясь никаким дополнительным преобразованиям. Это говорит о том, что спектр исходного хаотического колебания должен быть высокочастотным по аналогии с гармоническими (или квазигармоническими) сигналами радиодиапазона.

Важной и прогрессивной с этой точки зрения являются работы коллектива ИРЭ РАН [88,89], а также докторская диссертация [85], в которой предлагается использовать модификацию транзисторного автогенератора по схеме емкостной трехточки посредством введения цепочки полосовых фильтров в колебательное звено. В приведенном в [88] примере дополнительная цепочка содержит 4 полосовых элемента, и вся схема моделируется системой ДУ 11-го порядка. Такой генератор при некоторой настройке формирует хаотические колебания «прямо» в высокочастотном диапазоне. Это очень важно для радиотехнических приложений, так как не требует наличия таких звеньев как кодер и декодер, модулятор и демодулятор в передатчике и приемнике и соответственно позволяет избежать существенных искажений, вносимых этими устройствами. Структуры систем связи, построенные по таким принципам, получили название прямохаотические системы. В работе [88] представлены результаты теоретического и экспериментального исследования работы прямохаотического генератора в диапазоне 1-3 МГц, а в [89] - прямохаотической передачи данных в диапазоне СВЧ: 950-1050 МГц.

Существуют работы других научных коллективов, предлагающих схемы систем связи, являющиеся также прямохаотическими, но имеющие другие названия, например, уже упомянутые [47,52,54,55,59] и другие. Однако работы [85,89] являются первыми, в которых подчеркнута важность исследований этого направления для практических радиотехнических приложений.

Просматривается, что все работы по исследованию ВЧ хаотических генераторов имеют цель преодолеть ряд трудностей в реализации конкретных хаотических систем, перечисленных, например в [14,16,51,85]. Заметим также, что такие характеристики как помехоустойчивость, скорость передачи, устойчивость к многолучевому распространению большинства упомянутых выше прямохаотических систем имеют примерно те же величины, что и у традиционных систем связи, использующие широкополосные случайно-подобные сигналы (импулъсно-кодовые - ИКМ, фазоманипулированные - ФМн и другие).

Перспективность прямохаотических генераторов не вызывает сомнений, однако они обладают и некоторыми недостатками. В частности, все предложенные схемы имеют достаточно громоздкую структуру, что делает их сложными в настройке, в то время как хаотические динамические системы весьма чувствительны к возмущениям и неточности установки параметров. Кроме того, в статьях по прямохаотической связи пока не идет речи о скрытной передаче данных, что является очень привлекательным приложением самих хаотических сигналов.

Среди генераторов хаоса особое место занимают системы, формирующие также принципиально прямохаотические сигналы и известные из литературы как системы частотной и фазовой автоподстройки частоты автогенератора (ЧАП и ФАП), в отечественной литературе называемые также системами частотной и фазовой синхронизации (СЧС и СФС). Эти системы изначально были разработаны для задач синхронизации, стабилизации и управления частотой и фазой радиоколебаний, фильтрации, демодуляции, формирования и обработки сигналов и многих других задач (см., например, [91]).

По своей структуре это системы с обратной связью по фазе или частоте сигнала. Упрощенная структурная схема СФС приведена здесь на рис. В.4, где ПГ -подстраиваемый генератор, снабженный управителем частоты (УЧ), ЦУ - цепь управления, ФД - фазовый дискриминатор, (рс - текущая фаза внешнего сигнала, а (рГ -текущая фаза колебания ПГ, е - напряжение ошибки с выхода ФД, ^ - управляющее напряжение. Отличие систем ФАП и ЧАП в том, что в фазовой системе дискриминатор фазовый, а в частотной - частотный.

Рис. В.4. Система фазовой синхронизации

История развития этих систем начинается с середины 50-х годов XX века. Заметное продвижение в этом направлении обеспечила работа [90], в которой были предложены и исследованы с применением аппарата фазовой плоскости схемы фазовой автоподстройки частоты, а также схемы с дополнительным кольцом частотной автоподстройки (ЧФАП), позволяющим расширить полосу захвата всей системы. Исследованы устойчивые синхронные (с совпадающими мгновенными частотами сос = (1<рс /Ж и сог = ¿(рг!&) и колебательные асинхронные (с периодически изменяющейся юг при постоянной сос) режимы в ФАП и ЧФАП.

Различные варианты и модификации систем ФАП и ЧАП интенсивно исследуются по сей день, а также широко используются во многих электронных устройствах. Их нелинейная динамика, особенно ФАП, достаточно хорошо изучена, но эти исследования касаются в основном синхронных режимов работы.

Начиная с 1988 года появлялись работы, посвященные исследованиям различных сложных колебательных режимов системы ФАП (в зарубежной литературе именуемых как PLL — Phase-Locked Loop), включая и хаотические режимы [92,93]. Было выяснено, что хаотические колебания в ФАП развиваются по разнообразным сценариям, а также, что сложная динамика содержится в неэнергетических параметрах квазигармонического сигнала: частоте или фазе. Последний факт очень важен с позиции их использования в качестве прямохаотических генераторов, более того СФС допускают введение информации в НЧ петле обратной связи, приводящее к независимости переносимой информации от мощности передаваемого сигнала (его амплитуда остается постоянной), что весьма полезно с точки зрения помехоустойчивости.

На сегодняшний день, сформировалось множество учебных и научно-исследовательских организаций, занимающихся изучением различных аспектов теории ФАП и ЧАП, а также методов генерирования динамического хаоса с их помощью. На высоком научном уровне, заложенном основоположником отечественной теории колебаний Андроновым А. А. и его последователями Неймарком Ю. И., Белюстиной JI. Н. и др., находятся работы исследователей Нижегородского государственного университета (Шалфеев В. Д„ Белых В. Н., Пономаренко В. П., Шильников JI. П. и др.) [94-98], которым принадлежат одни из первых фундаментальных работ по динамическому хаосу в этих системах.

В частности, в работе [94], кроме большого количества картин развития хаотических колебаний в пространстве координат системы ФАП 3-го порядка, называемых в теории колебаний фазовыми портретами, представлена также детальная и очень важная диаграмма динамических режимов, разбивающая область параметров системы на зоны различных типов движений.

В статье [95] проведен обширный обзор возможных хаотических режимов различных вариантов одиночной ФАП, а в [96] - пары систем ФАП, связанных друг с другом по различным топологиям (каскадно, параллельно и др.), и обладающих более широкими зонами хаотических движений по сравнению с одиночной системой. Рассмотрены также такие вопросы как синхронизация двух связанных ФАП, управление параметрами, введение полезной информации в хаотически работающие системы, а также возможность их использования при скрытной передаче информации по радиоканалу. В последующих работах, например [97], эти идеи были развиты на ансамбли из многих цепочек ФАП (линейки, кольца и т.д.), а также на одномерные и двумерные решетки из связанных однотипных элементов на основе ФАП.

В отличие от ФАП, системы ЧАП исследуются в литературе менее интенсивно, однако в [98] они затронуты на достаточно серьезном теоретико-колебательном уровне.

Существует много других научных организаций, изучающих системы фазовой синхронизации при традиционных постановках задач, например Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ) [99] (Шахгильдян В. В.), Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, где под руководством Шахтарина Б. И. ведутся теоретические работы по исследованию случайных процессов в системах ФАП [100], появились недавно работы и по хаотическим колебаниям [101,102,128]. В Ярославском государственном университете работает научный коллектив, занимающийся под руководством Казакова Л. Н. нелинейной динамикой систем фазовой синхронизации [108].

На базе научной школы, сформированной в середине XX века Лауреатом Государственной премии СССР профессором Евтяновым С. И. на кафедре Формирования колебаний и сигналов МЭИ (ТУ), ведутся работы по исследованию систем фазовой синхронизации и их применению в радиотехнике, электронике и связи [2,103-113]. Например, в [2,109] с применением качественно-количественных методов теории колебаний (в частности, метода фазового пространства) производится исследование синхронных и асинхронных режимов работы одиночной ФАП, а в [106107] - ансамбля связанных таких систем.

Проводятся также и специализированные исследования автоколебательных регулярных и хаотических режимов в различных структурах систем ФАП, работающих как в непрерывном, так и дискретном времени, а также анализируется возможность их использования в качестве прецизионных хаотических генераторов в системах передачи информации с хаотической несущей [114-117]. Имеются также публикации, посвященные исследованию хаотических колебаний в системах ЧАП [118].

Из результатов всех работ по исследованию хаотических колебаний в системах ФАП и ЧАП следует, что по своим свойствам, таких как, схемотехнические решения и спектральные характеристики [117], эти системы не уступают другим известным прямохаотическим схемам, а по некоторым параметрам их превосходят. В частности, сами схемы ФАП и ЧАП имеют более простую структуру, и, благодаря широкому их применению в других сферах радиоэлектроники, схемотехнический и технологический уровень производства таких систем развит в настоящий момент достаточно высоко. Это позволяет с одной стороны изготавливать высокоточные и недорогие устройства, легко повторяемые при серийном производстве, а с другой стороны проводить прецизионную настройку генераторов на требуемый режим работы.

Многие теоретические работы также показывают, что системы ФАП имеют широкие возможности по простому и эффективному управлению ее динамическими режимами, а несложные и легко осуществляемые модификации в структурной схеме ФАП, в частности подбора различных дискриминационных характеристик ФД или фильтров в ЦУ, приводят к богатому разнообразию новых хаотических режимов. Эти и многие другие достоинства подтверждают актуальность исследования подобных систем в качестве генераторов хаотических колебаний с непрерывным временем.

Возвращаясь к теме данного обзора, здесь необходимо отметить, что в современной литературе немалое внимание уделено исследованию и использованию в системах передачи информации генераторов хаотических колебаний с дискретным временем. Математически эти системы моделируются дискретными отображениями, наиболее известные из которых логистическое отображение (logistic тар), отображение "домик" (tent тар) и отображение сдвига (shift тар) [5,6]. Передовые достижения в этом направлении в отечественной литературе принадлежат исследователям Нижегородского и Саратовского государственных университетов, наиболее фундаментальные из которых [119-121]. Технически такие генераторы могут быть выполнены в виде импульсных или цифровых устройств [22,60,85]. Широко известны в литературе также дискретные СФС, моделируемые так называемым отображением окружности (circle тар) [122]. Данная тематика имеет весьма глубокую специфику, и, так как в данной диссертации задач исследования дискретных моделей не ставится, более подробно они здесь не затрагиваются.

Таким образом, проведя обзор имеющейся литературы о динамическом хаосе в радиотехнических системах, изложенном здесь, приходим к выводу, что наибольшую перспективность среди них представляют системы, в которых хаотическое поведение заключено не в мгновенных значениях токов и напряжений, а в неэнергетических параметрах квазигармонического сигнала - частоте или фазе. К ним, в первую очередь относятся СФС частоты автогенератора. В современной терминологии такие системы могут быть названы прямохаотическими, а с точки зрения первоначального назначения отнесены в класс радиотехнических систем с фазовым управлением (СФУ).

Данный класс, однако, не ограничивается упомянутыми системами - кроме них известны также система синхронизированного автогенератора (САГ) с ФАП [2,105,123,124] и система автоматической подстройки фазы (АПФ) усилительных трактов [105,125,126]. Обе эти системы в своей модели имеют два различных параметра радиосигнала в качестве динамических переменных: неэнергетический параметр - фаза и энергетический параметр - амплитуда колебания.

Система АПФ является малоизвестным радиоэлектронным устройством, а в данной диссертации занимает одно из центральных позиций среди исследуемых моделей. Поэтому проведем краткий обзор существующей литературы по АПФ.

Стремительное развитие радиотехники во второй половине XX века привело к широкому использованию высокостабильных эталонов частоты, таких как прецизионные кварцевые генераторы, молекулярные генераторы и другие квантовомеханические эталоны. К этим устройствам непрерывно предъявлялись требования повышения точности работы и уменьшения относительной нестабильности частоты. Для выполнения этих требований необходимо, чтобы схемы, осуществляющие преобразование частоты и усиление колебаний, обладали высокой стабильностью фазового набега. В связи с этим, нашли применение системы АПФ в усилительных трактах, дающие возможность стабилизации фазы выходного сигнала при воздействии помех и различного рода дестабилизирующих факторов.

Впервые понятие системы АПФ встречается в работе [105], опубликованной в 1958 году, где предложено использовать дополнительное кольцо автоподстройки фазы в системе САГ с ФАП для повышения стабильности синхронизированных автоколебаний. Развитие теории систем автоподстройки фазы усилителей высокой частоты (УВЧ) началось в 60-х годах после ряда научных публикаций (например: Белов Л. А., Уткин Г. М., Капранов М. В. и др. Об автоподстройки фазы в усилителях. «Электросвязь», 1966, № 6). В 1972 году была издана книга [126], содержащая обобщенный и систематизированный материал прикладной теории систем АПФ, включая вопросы их расчета, исследования стационарных и переходных процессов, а также особенности работы АПФ при воздействии детерминированных и флуктуационных помех. В этой монографии подробно рассмотрены системы АПФ в резонансных усилителях проходного и отражающего типов, в усилителях на приборах СВЧ (лампе бегущей волны, пролетном и отражательном клистронах) и в корректорах временных искажений. Исследование математических моделей проводилось, главным образом, методом символических укороченных дифференциальных уравнений, разработанным профессором С. И. Евтяновым для избирательных колебательных систем [103,104].

В [125] приведена система фазовой автоматической настройки контуров резонансного усилителя, которая родственна системе АПФ. Элементы теории системы автоподстройки фазового сдвига в резонансных усилителях затронуты также ив [2,113], однако иной литературы о системах АПФ практически не существует. Таким образом, монография [126] является единственной книгой, целиком посвященной исследованию этого вида систем, и содержит наиболее полную информацию об особенностях работы АПФ, которую можно было получить аналитическим способом и в пределах возможностей вычислительных средств того времени.

Если явление динамического хаоса в СФС факт широко распространенный и проверенный, то информация о хаосе в системах АПФ, а также системах САГ с ФАП, насколько известно, практически отсутствует в литературе.

Постановка задач диссертационной работы.

Обзор литературы приводят к выводу о том, что системы автоматической подстройки фазы усилителей высокой частоты и синхронизированных автогенераторов в литературе изучены мало, а публикаций относительно хаотической динамики в них не существует вообще. Однако эти системы, благодаря наличию в динамической модели двух параметров выходного колебания - фазы и амплитуды, могут обладать особенными отличительными свойствами по сравнению с другими из упомянутых систем управления. Кроме того, системы АПФ и САГ относятся к классу динамических систем, способных генерировать прямохаотические колебания, являющихся на сегодняшний день наиболее перспективными для задач передачи информации по радиоканалу, обладая также и немаловажными достоинствами по сравнению с другими уже известными прямохаотическими схемами, о которых говорилось выше. Исходя из этого, сформулируем основные задачи исследования.

1) Создать математические модели, общие для всех систем с фазовым управлением.

2) Исследовать возможность формирования хаотических колебаний с помощью новых неизученных С ФУ.

3) Локализовать границы областей параметров, соответствующих зонам регулярного и хаотического поведения.

4) Выявить наиболее подходящие методы управления динамическими режимами.

5) Исследовать количественные характеристики хаотических сигналов, позволяющие сравнивать хаотические колебаний различных систем данного класса друг с другом и на фоне других хаотических систем.

6) Сформулировать рекомендации по выбору той или иной модификации хаотического генератора с наилучшими показателями качества по выбранным критериям.

7) Выявить общие и отличительные свойства хаотических колебаний различных С ФУ.

8) Рассмотреть возможность применения хаотических генераторов данного класса для прямохаотической передачи информации.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математические модели и структуры генераторов хаотических колебаний на основе усилительных трактов с фазовым управлением (УФУ).

2. Новый хаотический аттрактор изоклинного типа.

3. Взаимосвязанные по сигналам ошибок генераторы хаоса на основе УФУ.

4. Хаотические колебания в модифицированной схеме В. П. Сизова.

5. Количественные характеристики хаотических режимов в СФУ: бифуркационные диаграммы, старшие показатели Ляпунова, спектральные плотности.

6. УФУ в качестве предантенных генераторов хаоса.

7. Генератор хаотических колебаний со сценарием перемежаемости на многих состояниях равновесия.

Изложение результатов исследований производится следующим образом. В качестве прототипа всех систем с фазовым управлением выбрана система автоматической подстройки фазы усилительных трактов, называемая в данной работе «Усилители с фазовым управлением» (УФУ). Глава 1 посвящена теории УФУ 2-го порядка при положительной обратной связи, а в Главе 2 производится исследование УФУ 3-го порядка при генерации регулярных и хаотических колебаний. Далее путем некоторых модификаций структурной схемы и внутренних связей УФУ превращается в систему синхронизированного автогенератора с фазовой автоподстройкой. Глава 3 посвящена исследованию регулярной и хаотической динамики САГ с ФАП 2-го и 3-го порядков, также при положительной обратной связи. Следующая модификация структурной схемы приводит нас к известной системе фазовой синхронизации (СФС), изучению сложной динамики которой посвящено множество известных трудов, поэтому этим системам в данной работе специального внимания не уделяется. Лишь для сравнения с другими системами с фазовым управлением в Разделе 3.5 приведены примеры характеристик хаотических колебаний в СФС. Следующая система из данного класса, изучаемая здесь, - это управляемый фазовращатель (УФВ), являющийся новым предлагаемым в данной работе генератором хаотических сигналов. В Главе 4 исследуются особенности его регулярных и хаотических режимов. В Заключении формулируются основные выводы работы. Приложения содержат как пояснение некоторых используемых в данной диссертации методов, так и второстепенные результаты, полученные в ходе выполнения работы (Приложения 1 и 5).

Данный материал изложен на 174 страницах, иллюстрированных 110 рисунками и 8 таблицами, снабжен 5 приложениями; список литературы содержит 156 наименований.

Материалы Главы 1 и Приложения 1 использовались при создании учебного пособия на кафедре Формирования колебаний и сигналов МЭИ (ТУ) по курсу Теория колебаний «Качественные методы в теории нелинейных колебаний». По материалам диссертации было сделано 11 докладов на научно-технических конференциях, симпозиумах и научных школах, опубликовано 12 тезисов докладов, 4 текста докладов и 3 статьи, напечатанные в сборнике научных трудов и журналах (всего 19 научных трудов [30,139-156]).

4.7. Выводы

Сделаем выводы по изложенному в этой главе материалу. Выявлены условия возникновения хаотических колебаний в управляемом фазовращателе. Отмечено, что использование в данной структуре УФВ эквивалентно применению управляемой линии задержки. Составлена математическая модель системы в виде дифференциальных уравнений. Исследована топология фазового пространства, определены количество и локальная устойчивость точек равновесия. Для случая системы 3-го порядка исследовано пространство параметров, соответствующее регулярным и хаотическим режимам.

Изучены спектральные характеристики сигналов в различных точках схемы и показано, что в системе имеется доступ как к низкочастотному хаосу (управляющее напряжение в цепи обратной связи), так и к радиочастотному хаосу. Эти свойства позволят вводить информацию непосредственно в НЧ цепь генератора, а излучать в канал связи ВЧ хаотическое колебаний, что придает этой схеме статус прямохаотической системы.

Кроме широко известных сценариев развития хаотических движений выявлены сценарии перемежаемости на нескольких (2-х, 3-х, 5-ти и т.д.) состояниях равновесия системы. Показана возможность генерирования динамического хаоса с дискретным набором уровней фазы сигнала в случае применения фазовращателя с дискретным фазовым сдвигом.

Заметим, что в данном генераторе также можно выделить три компонента, приводящие нас к динамическому хаосу: колебательное и инерционное звенья, составляющие фильтр цепи управления (рис. 4.2), и нелинейное звено - фазовый дискриминатор. По-видимому, это условие является необходимым для возникновения хаотических колебаний в динамических системах с непрерывным временем.

Сравним теперь генератор хаоса на основе УФВ с другими исследованными в данной диссертации системами с фазовым управлением. Несомненное достоинство схемы хаотического генератора на основе управляемого фазовращателя заключается в простоте реализации, т.к. не требуется активного элемента в управляемом блоке (как, например, транзистора в УФУ, САГ, СФС). Отсюда следует более высокая надежность и удобство управления хаотическими режимами. Минимально необходимый диапазон перестройки для возбуждения хаоса здесь весьма невелик (□ » -4) и вполне реализуем в современных УФВ или УЛЗ.

Сами хаотические сценарии в данном варианте генератора оказались самыми разнообразными и самыми предпочтительными по сравнению с другими генераторами на основе фазовых систем, в особенности возможность хаотической перемежаемости на многих состояниях равновесия, которая реализуется в этой схеме очень простым способом.

К преимуществам УФВ также следует отнести широкое распространение фазовращателей в радиотехнике, в частности в антенных устройствах (фазированных антенных решетках), что позволяет строить хаотические генераторы путем модификации отдельных блоков существующих высокочастотных трактов передачи. Кроме того, данный способ выгоден тем, что формирование хаотических колебаний здесь происходит уже на стадии доведения радиосигнала до нужных в антенне стабильности и уровня мощности, что не требует его последующего усиления или преобразования, приводящих зачастую к нежелательным искажениям сигнала и информации, заключенной в нем. Таким образом, для излучения в радиоканал хаотических колебаний генерируемых с помощью УФВ, не требуется не только переносить их спектр на ВЧ несущую, как в прямохаотических схемах - их также не требуется специально усиливать. Такие хаотические системы могут быть названы предантенными генераторами хаоса. Предантенные генераторы имеют важное преимущество в хаотических системах передачи информации с точки зрения своего расположения в приемо-передающем тракте (см. Приложение 5).

Однако имеются и недостатки, связанные с необходимостью обеспечения достаточно большой величины коэффициента усиления с цепи обратной связи УФВ (параметра Q) для генерирования динамического хаоса с перемежаемостью фазы радиосигнала на нескольких (более 2-х) состояниях равновесия. Например, Q = 30 соответствует задержке синусоидального сигнала максимум на (16^20)я. Однако имеется возможность минимизации необходимого коэффициента усиления в цепи ОС путем управления параметрами фильтра.

К недостаткам следует также отнести достаточно узкие и изрезанные зоны хаотических режимов в пространстве параметров. Однако, ожидается, этот недостаток может быть ликвидирован при использовании УФВ в неавтономном режиме, т.е. при воздействии ФМ сигнала на входе УФВ и/или двух или нескольких связанных генераторов по аналогии с УФУ (Разделы 2.4, 2.5). Такие варианты УФВ здесь не исследовались.

Графический материал в данной главе создавался с помощью специально разработанной компьютерной программы "СРС system" (Controlled Phase Converter system), имеющей такие же возможности, что ж "АРС system", но ориентированной на УФВ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе исследованы хаотические процессы в классе радиотехнических систем с фазовым управлением - усилительных трактах с фазовым управлением, синхронизированных автогенераторах с фазовой автоподстройкой, системах фазовой синхронизации и управляемых фазовращателях. Получены следующие основные результаты:

1. Показана общность структур, моделей и хаотических режимов всех систем с фазовым управлением.

1.1.) Прототипом для них является УФУ, так как все другие могут быть получены путем небольших модификаций его структурной схемы, а их математические модели при этом также трансформируются в общепринятые для каждой из них.

1.2) Хаотическое поведение во всех системах с фазовым управлением наблюдается в неэнергетическом параметре - фазе радиосигнала. Кроме того, в усилителях и синхронизированных автогенераторах с фазовым управлением оно присутствует в энергетическом параметре - амплитуде. Этот факт позволяет разделить все генераторы хаоса на основе СФУ на две группы по типу хаотического сигнала: с постоянной и хаотически модулированной амплитудой.

1.3) Все системы с фазовым управлением генерируют одновременно высокочастотные и низкочастотные хаотические колебания.

ВЧ хаотические колебания наблюдаются на выходе управляемого элемента, а НЧ, - например, на выходе ФД. Доступ в схеме к НЧ сигналам позволяет вводить/восстанавливать полезную информацию в хаотический сигнал без специальных модуляторов/демодуляторов. Это позволяет использовать СФУ в системах прямохаотической связи.

2. Установлено существование следующих видов хаотических колебаний и сценариев перехода к хаосу:

2.1) Хаотические колебания медленно меняющихся амплитуды и фазы квазигармонического сигнала в одиночных и связанных усилителях высокой частоты с фазовым управлением.

Выявлены следующие хаотические сценарии: каскад бифуркаций удвоения периода предельного цикла, разрушение гомоклинической структуры, перемежаемость на двух состояниях равновесия.

2.2) Новый тип хаотических движений в трехмерном фазовом пространстве, названный аттрактором изоклинного типа (ЛИТ), возникающий в проходном УФУ с фильтром верхних частот в цепи управления. Показано также, что в проходных автономных УФУ хаотические колебания возникают только при использовании таких фильтров.

2.3) Хаотические колебания в синхронизированных автогенераторах с фазовым управлением.

Они развиваются по сценариям удвоения периода предельного цикла, либо перемежаемости на двух состояниях равновесия.

2.4) Хаотические колебания в модифицированной схеме В. П. Сизова.

Из-за присутствия в модели двух периодических переменных хаотические колебания существуют в трехмерном тороидальном пространстве.

2.5) Хаотические колебания в управляемом фазовращателе.

Хаотические колебания в нем развиваются по сценариям удвоения периода, гомоклинической структуры и перемежаемости.

Особенность хаотических режимов в УФВ заключается в возможности простой организации сценария перемежаемости на нескольких (многих) состояниях равновесия путем регулирования коэффициента усиления в ЦУ.

Это дает легкий и удобный способ управления спектральной полосой хаотических колебаний на выходе УФВ.

3. В данной диссертации предлагается:

3.1) Систематический способ поиска хаотических режимов в СФУ, основанный на исследовании «предвестников хаоса» в форме разрушения регулярных режимов.

3.2) Концепция предантенного генератора хаоса с фазовым управлением.

Им может являться СФУ, преобразующая входной гармонический сигнал, доведенный до требуемого уровня мощности и стабильности, в высокочастотное колебание с медленно меняющимися хаотическими фазой и амплитудой, которое далее подается непосредственно в антенну.

3.3) Пакет прикладных компьютерных программ "Phase Control Systems", специально разработанный и ориентированный на исследование регулярной и хаотической динамики систем с фазовым управлением.

Этот пакет состоит из грех программ: "АРС system", моделирующей УФУ, "ILO system" - САГ с ФАП, СФС и схему В. П. Сизова, "СРС system" - УФВ.

4. В данной диссертации рекомендуется:

4.1) Для обеспечения минимума нелинейных воздействий на хаотическое колебание в приемо-передающем тракте располагать хаотический генератор как можно ближе к антенне, т.е. использовать предантенные генераторы хаоса.

4.2) Среди генераторов хаоса, содержащих активные элементы, использовать генератор по схеме В. П. Сизова.

4.3) Среди хаотических генераторов, не содержащих активных элементов, применять УФВ как наилучший из класса СФУ по совокупности показателей качества.

4.4) Для расширения зон хаотических режимов применять неавтономные и взаимосвязанные по сигналам ошибок хаотические генераторы.

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981. -568 с.

2. Капранов М. В., Кулешов В. Н., Уткин Г. М. Теория колебаний в радиотехнике. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1984, - 320 с.

3. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М: Наука, 1987, - 382 с.

4. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М: Наука, 1987,-424 с.

5. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Мир, 1990, - 312 е., ил.

6. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / Пер. с англ. М.: Мир, 1991, -368 с.

7. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. -М: Наука, 1990. 312 с.

8. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 368 е., ил.

9. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

10. Вельский Ю.Л., Дмитриев A.C. Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника. М., 1993. - Т. 38. - № 7.-С. 1310-1315.

11. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С. О. Эксперименты по передаче музыкальных и речевых сигналов с использованием динамического хаоса. -Препринт ИРЭ РАН, 1994. № 12 (600).

12. Дмитриев A.C., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. Радиосвязь с использованием хаотических сигналов. Препринт ИРЭ РАН, 1997. -№ 1 (615).

13. Дмитриев A.C., Емец С. В., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по применению сигнальных процессоров для передачи информации с использованием хаотических колебаний. — Препринт ИРЭ РАН, 1997. № 4 (618).

14. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -М., 1997. №10. - С. 4-26.

15. Дмитриев A.C., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -М., 1998. №11. - С. 4-32.

16. Хаслер М. Передача информации с использованием хаотических сигналов. Последние достижения, (там же) с. 33-43.

17. Тратас Ю. Г. Применение методов статистической теории связи к задачам приема хаотических колебаний, (там же) с. 57-80.

18. Старков С. О., Шварц В., Абель А. Многопользовательские системы связи с применением динамического хаоса. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -М., 2000. №11. - С. 34-47.

19. Кузнецов Д.С., Капранов М.В. Вопросы модуляции и демодуляции в дискретных системах передачи информации с хаотической несущей. // Радиотехнические тетради. -М.: МЭИ, 1997. № 12. - С. 87-89.

20. M.V. Kapranoy, A.G. Morozov. Application of Chaotic Modulation for Hidden Data Transmission. // Proceedings of 5-th Int. Spec. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems "NDES '97", Moscow, June 1997, pp. 223-228.

21. M.B. Капранов, А.Г. Морозов Использование хаотической модуляции для передачи информации // Радиотехнические тетради. М.: Изд. МЭИ, 1998. - №14. -С.66-71.

22. Морозов А. Г. Использование цифровых хаотических последовательностей для передачи информации: Дисс. . канд. техн. наук. -М.: МЭИ, 2001. 190 с.

23. Аносов О. Л., Бутковский О. Я., Исакевич В. В., Кравцов Ю. А. Выявление нестационарности случайно-подобных сигналов динамической природы // Радиотехника и электроника. М., 1995. - Т. 40. - № 2. - С. 255-260.

24. Аносов О. Л., Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам. Саратов: Изд. Вузов "ПНД", 2000. -Т.8. - № 1. - С.29-51.

25. V.N. Kuleshov, N.N. Udalov. Nonlinear Filtering of Modulated Chaotic Oscillation. // Proceedings of Int. Workshop "NDES '97". Moscow, 1997. - pp. 537-542.

26. Кулешов В. H., Ларионова М. В., Удалов Н. Н. Система передачи информации с хаотической несущей // Вестник МЭИ, М.: МЭИ, 1997 - № 5. - С. 15-19.

27. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1956. - 514 с.

28. Капранов M. В., Томашевский А. И. Система скрытной связи с использованием корреляционного приема и синхронного хаотического отклика. // Электромагнитные волны и электронные системы. М.: 2003. - Т. 8. - № 3. - С. 35-48.

29. Pecora L. М., Carroll Т. L. Synchronization in Chaotic Systems. Phys. Rev. Letters. 1990, vol. 64, no. 8, pp. 821-824.

30. Carroll T. L., Pecora L. M. Synchronizing Chaotic Circuits. IEEE Trans. On Circuits and Systems. 1991, vol. 38, no. 4, pp. 453-456.

31. Cuomo K., Oppenheim A. Circuit Implementation of Synchronized Chaos with Application to Communications. Phys. Rev. Letters, 1993, vol. 71, no. 1, pp. 65-68.

32. Pecora L. M., Carroll T. L., Johnson G., Mar. D. Volume-preserving and Volume-expanding Synchronized Chaotic Systems. Phys. Rev. E. 1997, vol. 56, no. 5, pp. 5090-5100.

33. Carroll T. L., Pecora L. M. Using Multiple Attractor Chaotic Systems for Communication // Chaos. 1999, vol. 9, no. 2, pp. 445-451.

34. Carroll T. L. Spread-Spectrum Sequences from Unstable Periodic Orbits, IEEE Trans, on Circuits and Systems I Fundamental Theory and Applications, vol. 47, no. 4, 2000, pp. 443-447

35. M. Hasler, Y. L. Maistrenko. An Introduction to the Synchronization of Chaotic Systems: Coupled Skew Tent Map. (ibid.), pp. 856 866.

36. M. M. Sushchik Jr., N. F. Rulkov, H. D. I. Abarbanel. Robustness and Stability of Synchronized Chaos: an Illustrative Model, (ibid.), pp. 867 673.

37. A. S. Dmitriev, M. Shirokov, S. O. Starkov. Chaotic Synchronization in Ensembles of Coupled Maps, (ibid.), pp. 918 926.

38. H. Dedieu, M. J. Ogorzalek. Identifiability and Identification of Chaotic Systems Based on Adaptive Synchronization, (ibid.), pp. 948 962.

39. Chi-Chung Chen, Kung Yao. Stochastic-calculus-based numerical evaluation and performance analysis of chaotic communication systems, (ibid.), pp. 1663-1672.

40. Sushchik M. M., Tsimring L. S., Volkovskii A. R. Performance analysis of correlation-based communication schemes utilizing chaos, (ibid.), pp. 1684-1691.

41. G. Kolumban. Theoretical noise performance of correlator-based chaotic communications schemes, (ibid.), pp. 1692-1701.

42. M. P. Kennedy, G. Kolumban, G. Kis, Z. Jako. Performance evaluation of FM-DCSK modulation in multipath environments, (ibid.), pp. 1702-1711.

43. T. Schimming, M. Hasler. Optimal Detection of Differential Chaos Shift Keying, (ibid.), pp. 1712-1719.

44. G. Kis, Z. Jako. Application of Noise Reduction to Chaotic Communications: A case study, (ibid.), pp. 1720-1725.

45. A. Abel, W. Schwarz, M. Götz. Noise Performance of Chaotic Communication Systems, (ibid.), pp. 1726-1732.

46. C. Williams. Chaotic Communication Over Radio Channels. IEEE Trans, on Circuits and Systems. I Fundamental Theory and Applications, December 2001, vol. 48, no. 12 (Special Issue on Applications of Chaos in Modern Communication Systems), pp. 13941404.

47. W. P. Torres, A. V. Oppenheim, R. R. Rosales. Generalized Frequency Modulation, (ibid.), pp. 1405-1412.

48. H. Puebla, J. Alvarez-Ramirez. Stability of Inverse-System Approaches in Coherent Chaotic Communication, (ibid.), pp. 1413-1423.

49. Rulkov N. F., Sushchik M. M., Tsimring L. S., Volkovskii A. R. Digital Communication Using Chaotic-Pulse-Position Modulation, (ibid.), pp. 1436-1444.

50. G. Mazzini, R. Rovatti, G. Setti. Chaos-Based Asynchronous DS-CDMA Systems and Enhanced Rake Receivers: Measuring the Improvements, (ibid.), pp. 1445-1453.

51. J. M. Liu, H. F. Chen, S. Tang. Optical-Communication Systems Based on Chaos in Semiconductor Lasers, (ibid.), pp. 1475-1483.

52. F. Dachselt, W. Schwartz. Chaos and Cryptography, (ibid.), pp. 1498-1509.

53. Galias Z., Maggio G. M. Quadrature Chaos-Shift Keying: Theory and Performance Analysis, (ibid.), pp. 1510-1519.

54. T. L. Carroll. Noise-Robust Synchronized Chaotic Communications, (ibid.), pp. 15191522.

55. Лебединский А. С. Система передачи информации с цифровым генератором хаотической несущей: Дисс. . канд. техн. наук. -М.: МЭИ, 2003. 156 с.

56. Ларионова М. В. Синхронизация в системах связи с многопозиционной фазовой манипуляцией: Дисс. . канд. техн. наук. -М.: МЭИ, 1999, 178 с.

57. Т. Yang, L. Chua. Chaotic Digital Code-Division Multiple Access (CDMA) Communication Systems. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 7, no. 12, 1997, pp. 2789-2805

58. T. Yang, L. Chua. Error Performance Chaotic Digital Code-Division Multiple Access (CDMA) Systems. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 8, no. 10, 1998, pp. 20472059

59. Chaotic Electronics in Telecommunications / Edited by M. P. Kennedy, R. Rovatti, G. Setti. CRC Press LLC, 2000, 542 p.

60. D. J. Sobiski, J. S. Thorp. PDMA-1: Chaotic Communication via the Extended Kalman Filter. IEEE Trans, on Circuits and Systems. I Fundamental Theory and Applications, February 1998, vol. 45, no. 2, pp. 194-197

61. D. J. Sobiski, J. S. Thorp. PDMA-2: The Feedback Kalman Filter and Simultaneous Multiple Access of a Channel. IEEE Trans, on Circuits and Systems. I Fundamental Theory and Applications, February 1998, vol. 45, no. 2, pp. 142-147

62. G. M. Bernstein, M. A. Lieberman. Secure Random Number Generation Using Chaotic Circuits. IEEE Publ. 1989, no. 37, pp. 640-644

63. L. Kocarev, G. Jakimoski, T. Stojanovski, U. Parlitz. From Chaotic Maps to Encryption Schemes. IEEE Publ. 1998, no. IV, pp. 514-517

64. L. Chen, К. Aihara. Strange Attractors in Chaotic Neural Networks. IEEE Trans, on Circuits and Systems. I Fundamental Theory and Applications. October 2000, vol. 47, no. 10, pp. 1455-1468.

65. Чуа Л. О. Генезис схемы Чуа. // Изд. Вузов "ПНД". Саратов, 1993. - Т.1. - № 3,4. -С. 5-16

66. Kennedy M. P. Experimental chaos via Chua's circuit, in Proc. First Experimental Chaos Conf., 1992, pp. 340-351

67. Kennedy M. P. Three Steps to Chaos Part I: Evolution, Part II: A Chua's Circuit Primer, IEEE Trans, on Circuits and Systems, vol. 40, no. 10, 1993, pp. 640-675.

68. Sharkovsky A. N. Chaos from a Time-Delayed Chua's Circuit. IEEE Trans, on Circuits and Systems, vol. 40, no. 10, 1993, pp. 781-784.

69. Shil'nikov L. P. Chua's Circuit: Rigorous Results and Future Problems. IEEE Trans, on Circuits and Systems, vol. 40, no. 10, 1993, pp. 784-788.

70. O. Morgul. An RC Realization of Chua's Circuit Family. IEEE Trans, on Circuits and Systems. I Fundamental Theory and Applications. September 2000, vol. 47, no. 9, pp. 1424-1430.

71. S. S. Ge, C. Wang. Adaptive Control of Uncertain Chua's Circuits, (ibid.), pp. 13971402.

72. E. Sanchez, M. A. Matias, V. Perez-Munuzuri. Chaotic Synchronization in Small Assemblies of Driven Chua's Circuits. EEEE Trans, on Circuits and Systems. I -Fundamental Theory and Applications. May 2000, vol. 47, no. 5, pp. 644-654.

73. El Aroudi A., Benadero L., Toribio E., Olivar G. Hopf Bifurcation and Chaos from Torus Breakdown in a PWM Voltage-Controlled DC-DC Boost Converter, IEEE Trans, on Circuits and Systems, vol. 46, n. 11, 1999, pp. 1374-1382.

74. K. Mitsubori, T. Saito. Mutually Pulse-Coupled Chaotic Circuits by Using Dependent Switched Capacitors. IEEE Trans, on Circuits and Systems. I Fundamental Theory and Applications. October 2000, vol. 47, no. 10, pp. 1469-1478.

75. Gonzalez J., Femat R., Alvarez-Ramirez J., Aguilar R., Barron M. A Discrete Approach to the Control and Synchronization of a Class of Chaotic Oscillators, IEEE Trans, on Circuits and Systems, vol. 46, n. 9, 1999, pp. 1139-1144.

76. G. М. Maggio, О. De Feo, М. P. Kennedy. Nonlinear Analysis of the Colpitis Oscillator and Applications to Design. ШЕЕ Trans, on Circuits and Systems, yol. 46, n. 9, 1999, pp. 1118-1129

77. G.M. Maggio, M. di Bernardo, M. P. Kennedy. Nonsmooth Bifurcations in a Piecewise-linear Model of the Colpitis Oscillator, IEEE Trans. Circuits Syst. I, vol. CASI-47, pp. 1160- 1177, August 2000.

78. Панас А. И. Системы передачи информации с хаотическими сигналами: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: ИРЭ РАН, 2001. - 32 с.

79. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Нелинейный электрический маятник // Учебно-методическое пособие. Саратов: Изд-во Гос. УНЦ «Колледж», 1999. - 33 с.

80. Максимов Н.А., Панас А.И. Однотранзисторный генератор полосовых хаотических сигналов радиодиапазона. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -М., 2000.-№11. С. 61-69.

81. Дмитриев А. С., Крягинский Б. Е., Панас А. И., Старков С. О. Прямохаотическая передача информации в СВЧ диапазоне. // Радиотехника и электроника. М., 2001. - Т. 46. - № 2. - С. 224-233.

82. Капранов М. В. Фазовая автоподстройка частоты: Дис. . канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1957.-330 с.

83. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. -М.: Сов. Радио, 1978. 600 с.

84. Endo Т., Chua L. О. Chaos from phase-locked loops. IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 35, no 8, pp. 987-1003, Aug. 1988.

85. Sato A., Endo T. Experiments of secure communication via chaotic synchronization of phase-locked loops. IEICE Trans. Fundamentals, 1995, vol. E-78-A, № 10, pp. 12861290.

86. Матросов В. В. Регулярные и хаотические автоколебания фазовой системы // Письма в ЖТФ, 12.12.1996. Т. 22, - Вып. 23. - С. 4-27.

87. Шалфеев В. Д., Осипов Г. В., Козлов А. К., Волковский А. Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -М., 1997. - №10. - С. 27-49.

88. Шалфеев В. Д., Матросов В. В., Корзинова М. В. Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. М., 1998. - №11. - С. 44-56.

89. V. D. Shalfeev, V. V. Matrosov. Chaotic Oscillations in Phase Systems. Int. Conf. dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov «Progress in Nonlinear Science»: Abstracts. Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001. - P. 211.

90. Пономаренко В. П., Матросов В. В. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением: Учебное пособие. -Н.Новгород: Изд. Нижегородского университета, 1997. 114 с.

91. Системы фазовой синхронизации / Ред. В. В. Шахгильдян, JI. Н. Белюстина. М.: Радио и Связь, 1982. - 288 с.

92. Шахтарин Б. И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998.-488 с.

93. Шахтарин Б. И., Голубев С. В., Рукавица К. А. Хаос в неавтономной системе фазовой автоподстройки частоты 2-го порядка. // Радиотехника и электроника. -М.: 2000. Т. 45. - № 1. - С. 92-97.

94. Шахтарин Б. И., Голубев С. В. Хаос в системе фазовой автоподстройки частоты 3-го порядка. // Радиотехника и электроника. -М.: 2002. № 3. - С. 501-509.

95. Евтянов С. И. Переходные процессы в приемно-усилительных схемах. М.: Связьиздат, 1948. - 210 с.

96. Евтянов С. И. Радиопередающие устройства.-М.: Связьиздат, 1950.-543 с.

97. Капранов М.В. Автоматическая подстройка синхронизированного автогенератора. // Науч. докл. высш. школы «Радиотехника и электроника», 1958. № 4. - С. 129137.

98. Капранов М.В. Системы коллективной фазовой автоподстройки частоты // Труды МЭИ, 1978. Вып. 355. - С. 3-9

99. Гетта Т.Г., Капранов М.В., Сизов В.П. Синтез оптимальной системы взаимной фазовой синхронизации пространственно разнесенных генераторов // Труды МЭИ, 1979. Вып. 418. - с. 9-13

100. Казаков JI. Н. Нелинейная динамика дискретных систем фазовой синхронизации: Автореф. дис. . д-ра техн. наук. М., 1999. - 31 с.

101. Капранов М. В. Метод сшивания фазовых траекторий в теории динамических систем с периодической нелинейностью. // Учебное пособие по курсу Теория колебаний. М.: Изд. МЭИ, 1980. - 92 с.

102. Радиопередающие устройства: Учебник для Вузов / JI. А. Белов, М. В. Благовещенский, В. М. Богачев и др.; Под ред. М. В. Благовещенского, Г. М. Уткина. М.: Радио и связь, 1982. - 408 с.

103. Богачев В. М., Лысенко В. Г., Смольский С. М. Транзисторные генераторы и автодины / Под ред. Богачева В. М. М.: Изд. МЭИ, 1993. - 344 с.

104. Радиоприемные устройства / Под ред. В. И. Сифорова. М.: Сов. Радио, 1974, -560 с.

105. Теория колебаний в радиотехнике (задачи и решения). Капранов М. В., Кулешов В. Н., Уткин Г. М. / Под ред. С. М. Смольского. М.: Изд. МЭИ, 1987. - 76 с.

106. Капранов М.В., Чернобаев В.Г., Управляемые генераторы хаотических колебаний на базе систем фазовой синхронизации. // Радиотехнические тетради. М., 1998. -№ 15. - с.86-90.

107. Chernobayev V.G., Kapranov М.У. Investigation of Multi Channel Phase Discriminator Phase Locked Loops. // 2-nd International Conference on Control of Oscillations and Chaos: proceedings, vol.1, St.Petersburg,Russia, 2000. -pp.130-132.

108. Чернобаев В. Г. Генераторы хаотических колебаний на основе систем фазовой синхронизации: Дис. . канд. техн. наук. М.: МЭИ, 2001 .- 184с.

109. Капранов М.В., Родионов М.Н. Формирование регулярных и хаотических колебаний с помощью системы частотной автоподстройки частоты. // Радиотехнические тетради. М: МЭИ, 1998 - № 16, - С. 49-53.

110. Динамика одномерных отображений / Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Сивак А. Г., Федоренко В. В.; Отв. ред. Луковский И. А.; АН УССР. Ин-т математики. -Киев: Наук. Думка, 1989. 216 с.

111. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П. Критическая динамика одномерных отображений. //Изд. Вузов "ПНД"-Саратов, 1993. -Т.1.-№1,№2.-С. 15-27

112. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Сатаев И. Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах. // Регулярная и хаотическая динамика. -1997. Т.2. - № 3/4. - С. 90-105

113. Feely Orla. Nonlinear Dynamics of Discrete-Time Electronic Systems. // IEEE Trans. Circuits & Syst. -2000. Vol. 11. no. 1. p. 1-12.

114. Артеменков С. JI., Смольский С. М. Динамические свойства синхронизированных генераторов. М.: Изд. МЭИ, 1985, - 84 с.

115. Bikkenin S.N., Kapranov M.V., Smolskij S.M. Injection locked oscillator with phase locked loop. International symposium. Acoustoelectronics, frequency control & signal generation. Proceedings. Moscow: MPEI publishers, 1996, pp. 290-295

116. Капланов M.P., Левин В.А. Автоматическая подстройка частоты. М.: Госэнергоиздат, 1962, - 168 с.

117. Автоматическая подстройка фазового набега в усилителях. / Г. М. Уткин, М. В. Капранов, Л. А. Белов и др.; Под ред. М.В. Капранова. М.: Советское радио, 1972,- 176 с.

118. Биккенин С. Н., Капранов М. В. Квазисинхронный режим в системе фазовой автоподстройки частоты // Вестник МЭИ. М.: МЭИ, 1994. - № 2. - С. 46-50.

119. Грибов А. Ф. Сложные предельные множества траекторий фазовых систем и их бифуркации: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001.-117 с.

120. Silva С. P. Shil'nikov's Theorem A Tutorial. IEEE Trans, on Circuits and Systems, vol. 40, no. 10,1993, pp. 675-683

121. IEEE Circuits and Systems Society Newsletter. Bifurcations: Control and Anti-Control, vol. 10, no. 2, 1999

122. R. Brown, P. Bryant, H. D. I. Abarbanel. Computing the Lyapunov spectrum of a dynamical system from an observed time series. /Phys. Rev. A. 15 March 1991, vol. 43, no. 6, pp. 2787-2805.

123. J. Theiler, L. A. Smith. Anomalous convergence of Lyapunov exponent estimates. / Phys. Rev. E. April 1995, vol. 51, no. 4, pp. 3738-3741.

124. Анищенко В. С., Павлов А. Н. Вычисление старшего ляпуновского показателя по последовательности времен возврата: возможности и ограничения. // Изд. Вузов "ПНД" Саратов,1999. - Т.7. - № 4. - С. 59-74

125. G. L. Baker, J. P. Gollub. Chaotic dynamics. An Introduction. // Cambridge University Press. 1992, 182 p.

126. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. «Радиотехника». 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1988. - 448 с.

127. Биккенин С. Н. Автогенераторы с внешним воздействием и фазовой автоподстройкой частоты в задачах формирования и обработки радиосигналов: Дис. . канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1992. - 314 с.

128. Сизов В. П. Фазовая автоподстройка частоты с модулятором фазы в цепи обратной связи: Дис. . канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1970. - 312 с.

129. Томашевский А. И. Исследование типов колебаний в системах автоматической подстройки фазы 3-го порядка // 5-я междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. -М.: МЭИ, 1999. Т. 1. - С. 46-47.

130. Томашевский А. И., Капранов М. В. Регулярные и хаотические колебания в системах автоматической подстройки фазы усилителей // Вестник МЭИ. М.:1999.-№5. -С. 64-68.

131. Томашевский А. И., Капранов М. В. Хаотические колебания в системе автоматической подстройки фазы усилителя отражающего типа. // Межвузовский сборник науч. трудов, посвященный 110-летию В. К. Зворыкина. Муром, 1999. -С. 58-65

132. Томашевский А. И. Бифуркации и хаос в системах автоматической подстройки фазы усилителей // 6-я междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: тез. докл. М.: МЭИ, 2000. - Т. 1. - С. 51 -52.

133. Томашевский А. И., Капранов М. В. Синхронизация хаотических колебаний связанных систем автоматической подстройки фазы усилителей. // Науч.-техн. конф. «Проблемы синхронизации третьего тысячелетия»: Тез. докл. Ярославль,2000.-С. 45.

134. A. I. Tomashevskiy, M. V. Kapranov. Synchronization of Chaotic Amplifier Phase Control Systems. // Int. Forum on Wave Electronics and Its Applications: Proceedings. St.-Petersburg, Russia, 14-18 Sept. 2000. -PP. 164-168.

135. А. И. Томашевский. Динамика синхронизированного автогенератора с фазовой автоподстройкой частоты // 6-я междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. М.: МЭИ, 2000. - Т. 1. - С. 52-53.

136. A. J. Tomashevskiy, M. V. Kapranov. Chaotic Phase Shift Keying Signal Generation. II 16th European Frequency and Time Forum: Proceedings. St. Petersburg, 2002. - P. D056-D059.

137. Томашевский А. И. Скрытная передача информации с использованием синхронного хаотического отклика и корреляционной обработки сигналов. // 7-я междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. М.: МЭИ, 2001. -Т. 1.-С. 45-46.

138. М. V. Larionova, A. J. Tomashevskiy. Time Unit Synchronization Restoration at the Receiver of Secure Communication System with Chaotic Signals. Proceedings И 16th European Frequency and Time Forum: Proceedings. St. Petersburg, 2002. - P. D066-D069.

139. А. И. Томашевский. Спектральные характеристики хаотических колебаний, генерируемых радиотехническими системами с фазовым управлением. // 9-я междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. М.: МЭИ, 2003. -Т. 1.-С. 30-31.