автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование сложных колебаний некоторых распределенных нелинейных динамических систем

На правах рукописи

Крылова Екатерина Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005539660

Саратов 2013

005539660

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина ЮЛ.»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

заслуженный деятель науки и техники РСФСР Крысько Вадим Анатольевич

Официальные оппоненты: Блинков Юрий Анатольевич

доктор физико-математических наук, ФГБОУ ВПО

«Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое и компьютерное моделирование»

Кондратов Дмитрий Вячеславович доктор физико-математических наук, Поволжский институт управления имени П. А. Столыпина - филиал ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации» заведующий кафедрой

«Прикладная информатика и информационные технологии в управлении»

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский)

Федеральный университет»

Защита состоится «17» октября 2013 г. в 13.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.1, ауд. 319/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан «16» сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Требования к прочности, надежности и долговечности современных инженерных конструкций с каждым годом все возрастают. Важнейшим классом динамических систем являются такие конструкционные элементы как балки, одно- и многослойные пластины и оболочки. Состояния (в том числе хаотические) подобных динамических систем существенно определяются действием на них динамических нагрузок.

Пути перехода динамических систем к хаосу исследованы в работах Л.Д. Ландау, E.Hopf, D. Ruelle, F. Takens, M. Feigenbaum, Y. Pomean, P. Manneville. Ими были обнаружены четыре основные сценария, по сей день носящих их имена. Последующие исследования показали, что классические сценарии перехода колебаний от гармонических к хаотическим встречаются редко, чаще переход осуществляется по различным их вариациям и симбиозам.

Нелинейным колебаниям динамических систем различной природы посвящены работы J. Awrejcewicz, M. Amabili, A. Sarkar, О. Thomas,

A.Vakakis, C.Touze, S. Bilbao, N. Mordant, A. Boudaoud, O. Cadot, N. Yokoyama, M. Takaoka, Y. Wang, H. Qiang, H. Haiyan, Y. Guitong, U. Lepik, W. Pietraszkiewicz, Van der Heijden, K. Nagai, S. Maruyama, M. Oya, T. Yamaguchi, Y, Tsuruta, T. Murata, B.A. Крысько, С.П. Кузнецова,

B.C. Анищенко, B.B. Астахова, Б.Я. Кантора, В.В. Пикуля, A.B. Талонова, Ю.Г. Коноплева, A.B. Крысько, В.И. Ерофеева, В.А. Бабешко, М.В. Марчука, И.И. Блейхмана, A.A. Короновского, Н.Ф. Морозова.

Вместе с тем эффекты, связанные с динамическим хаосом в рассматриваемом классе распределенных систем, изучены недостаточно полно. В частности, мало исследованы локальные временные особенности переходов в хаос динамических систем в виде балок, одно- и многослойных пластин и оболочек. Поэтому возникает необходимость разработки усовершенствованных расчетных моделей, дающих возможность рассматривать сценарии перехода континуальных динамических систем в хаос с учетом влияния геометрической, конструктивной нелинейностей, типа загружения и краевых условий.

Цель диссертационной работы состоит в изучении новых эффектов, связанных с динамическим хаосом и путей перехода к нему в распределенных нелинейных системах различной геометрии (балках, одно- и двухслойных оболочках различной кривизны), а также в развитии алгоритмов и численных методов анализа хаотических режимов работы рассматриваемых систем.

Задачи, решаемые для достижения поставленной цели: 1. Разработка программного комплекса, позволяющего изучать балочно-оболочечные структуры различной геометрии, в том числе многослойные, учитывать разнообразные модели динамического нагружения и краевых условий, а также геометрическую и конструктивную нелинейности, получать и проводить анализ основных характеристик нелинейной динамики.

2. Построение новой математической модели колебаний геометрически нелинейных многослойных пластин и оболочек с учетом контактного взаимодействия слоев под действием внешней продольной знакопеременной нагрузки с учетом неоднородных граничных условий.

3. Построение математических моделей пространственно-временного хаоса для распределенных динамических систем с бесконечным числом степеней свободы в виде балок, пластин и оболочек в зависимости от геометрических параметров, условий загружения и закрепления механических структур.

4. Проведение математического моделирования и выявление ключевых свойств путей перехода в хаос колебаний континуальных динамических систем в виде балок одно и многослойных пластин и оболочек в зависимости от их геометрии и условий динамического нагружения.

Методы исследования. Задачи, поставленные в работе, решались с использованием методов математического моделирования, вариационных и численных методов решения дифференциальных уравнений, качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, методов Фурье и вейвлет анализа, процедур анализа ляпуновских показателей.

Достоверность и обоснованность научных положений, результатов и выводов диссертационной работы обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задач, основанной на методах математической физики, качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики, сравнением результатов, полученных разными методами: конечных разностей, конечных элементов, Рунге-Кутта различного порядка точности, а также экспертными оценками специалистов в области математического моделирования, математической физики, нелинейной динамики при обсуждении основных результатов на научных конференциях и семинарах.

Научная новизна работы

1. Развит математический метод моделирования сценариев перехода колебаний динамических систем в виде балок, одно- и многослойных пластин и оболочек в хаос, основанный на последовательном применении метода конечных элементов, метода конечных разностей и методов Рунге-Кутта, отличающийся возможностью учета неоднородных граничных условий.

2. Предложен математический аппарат качественного исследования явления пространственно-временного хаоса в рассматриваемых континуальных структурах, базирующийся на анализе эволюции модальных портретов и пространственно-временных сигналов.

3. Развит метод анализа фазовой хаотической синхронизации для распределенных систем с учетом контактного взаимодействия, основанный на вейвлет преобразовании сигналов всех слоев структуры.

4. Для анализа математических моделей колебаний распределенных систем с различного рода нелинейностями разработан комплекс программ, позволяющий изучать балочно-оболочечные структуры с различными геометрическим параметрами, в том числе многослойные, учитывать

разнообразные модели динамического нагружения и краевых условий, геометрическую и конструктивную нелинейности, получать и проводить анализ основных характеристик нелинейной динамики.

5. Проведено комплексное исследование математических моделей переходов колебаний рассматриваемых динамических систем в хаос. Выявлены новые модификации данных переходов, где изменение состояний системы идет с течением времени при фиксированных значениях управляющих параметров (амплитуды и частоты внешнего гармонического воздействия). Серьезное внимание уделено изучению выявленных переходных процессов. Показано, что и качество переходных процессов, и сами сценарии существенно зависят от ряда внешних управляющих параметров, в частности от характера приложенной нагрузки (нормальной, продольной, сдвиговой, их комбинаций), от условий загружения краев структуры. Также выявлено явление включения- выключения некоторых частот с течением времени.

6. Впервые в нелинейных динамических системах в виде балок Эйлера-Бернулли под действием локальной нормальной нагрузки, заданной гармоническим законом, было обнаружено, что процесс перехода колебаний от гармонических к хаотическим может наблюдаться в нестационарных сигналах, причем последовательность бифуркаций по времени в них полностью совпадает со сценарием, полученным при росте амплитуды нагрузки для того же численного эксперимента.

7. Впервые в нелинейных распределенных динамических системах рассматриваемых классов выявлено, что пространственный хаос при переходе колебаний из квазипериодических в хаотические наступает с некоторой задержкой, также задержка наблюдается и при выходе из хаотического окна.

8. Выявлены особенности сложных колебаний при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных прямоугольных оболочек. Показано, что при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных пологих оболочек после областей хаоса колебания слоев синхронизируются с захватом амплитуд до колебаний на серии независимых частот, частоте, равной половине частоты возбуждающей силы, и даже до гармонических колебаний.

Практическая ценность и реализация результатов

Практическая ценность работы заключается в разработанном программном комплексе, позволяющем проводить исследование сценариев перехода нелинейных колебаний распределенных систем в хаос в зависимости от их геометрии, вариантов динамического нагружения и краевых условий, выявлять и изучать эффекты, связанные с хаотической динамикой рассматриваемых объектов. Численные эксперименты, проведенные в рамках данной работы, позволяют указать те наборы управляющих параметров, при которых балочно-оболочечные структуры находятся в безопасной зоне работы.

Результаты диссертации использовались при выполнении гранта: Конкурс научных проектов, выполняемых молодыми учеными (Мой первый фант), РФФИ, на 2012-2013 годы, проект 12-01-31204, НИР: Исследование нелинейных стохастических колебаний многослойных механических структур в температурном поле под действием концентрированных потоков энергии, 2012-2014 гг., регистрационный номер: 7.3229.2011, а также в учебном процессе при выполнении лабораторных работ студентами специальности «Прикладная математика и информатика» кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.». Получены 6 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Основные результаты и положения, выноснмые на защиту.

1. Разработаны эффективные математические методы, алгоритмы и комплекс программ для изучения новых эффектов, связанных с динамическим хаосом (в том числе и пространственно-временным), и путей перехода к нему, для анализа математических моделей колебаний динамических систем с учетом геометрический нелинейности, контактного взаимодействия, разнообразных моделей динамического нагружения и краевых условий.

2. Показаны преимущества и недостатки двух методов: Фурье и вейвлет преобразований. Проведен анализ следующих материнских вейвлетов: Хаара, Шеннона-Котельникова, Мейера, Добеши, Кауфлеты, Симлеты, Морле, вейвлеты на основе производной функции Гаусса старше 8 порядка. Выявлено, что для исследований нелинейных колебаний рассматриваемых распределенных систем можно применять вейвлеты Морле и вейвлеты на основе производных функции Гаусса старше 16 порядка, как комплексные, так и действительные. Для анализа локальных особенностей сигналов, сконцентрированных в области низких частот, хорошо применим вейвлет Меера.

3. При исследовании поведения динамических систем в виде балок Эйлера-Бернулли под действием нормальной нагрузки впервые в системах подобного класса установлено, что процесс перехода колебаний от гармонических к хаотическим, наблюдаемый в нестационарных сигналах, полностью совпадает со сценарием, полученным при росте амплитуды нагрузки для того же численного эксперимента. Также показано, что при смещении зоны действия локальной нагрузки от края балки к ее центру возможны идентичные модели поведения системы. Были получены нестационарные сигналы, разница между которыми наблюдалась лишь в ширине окон, где нет изменений частотного наполнения сигнала и времени, где эти зоны сменяют друг друга.

4. Исследовано более 50 математических моделей сценариев перехода колебаний динамических систем в хаос. Показано, что большинство из полученных сценариев являются вариациями классических сценариев или различными их комбинациями. Выявлено несколько новых. Так, согласно некоторым, изменения состояний системы наступают не с увеличением управляющего параметра (амплитуды или частоты внешней силы), а при его

фиксированном значении с течением времени. Окна квазипериодических и гармонических колебаний могут перемежаться зонами хаоса, могут происходить серии последовательных бифуркаций.

5. Предложен математический аппарат для качественного исследования математических моделей пространственно-временного хаоса распределенных динамических систем. Был обнаружен пространственно-временной хаос в различных классах рассматриваемых систем. Впервые в динамических системах в виде балок и оболочек было показано, что пространственный хаос наступает после временного с некоторой задержкой. Также задержка обнаружена при выходе из хаотического окна. Т.е. пространственный хаос является следствием временного.

6. Проведен анализ фазовой хаотической синхронизации для распределенных систем с учетом контактного взаимодействия. Выявлено, что при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных пологих оболочек после областей хаоса колебания слоев синхронизируются с захватом амплитуд до квазипериодических и даже до гармонических.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации были представлены на следующих конференциях: XVII, XVIII и XIX Международных научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2010, 2011, 2012); VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010); Международных научно-практических конференциях «Инженерные системы - 2011, 2012» (Москва, РУДН, 2011, 2012); 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics at Graz University of Technology (Австрия, 2011); International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2011, 2013, Portugal); XV Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, Украина, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых с международным участием «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, ТПУ, 2011); XXIV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-24, Саратов, 2011) Молодежном научно-инновационном конкурсе «У.М.Н.И.К.» (Саратов, 2011); VIII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011).

В законченном виде диссертация докладывалась на International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2013), Sesimbra, Portugal, Junel8, научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2013); межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2013).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 28 работах, в том числе 6 статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ, 1 статье из списка Scopus, 6 - в иностранных источниках. Получено 6 свидетельств о государственной регистрации программ. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 202 страницах, содержит 33 рисунка, 68 таблиц. Список использованной литературы включает 149 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В рамках данной работы рассматривались математические модели колебаний различных классов динамических систем в виде пластин, оболочек и балок. Исследованию новых эффектов, связанных с динамическим хаосом, и путей перехода к нему в каждой из рассматриваемых динамических систем, посвящена отдельная глава диссертации.

Во введении дано обоснование актуальности темы, цели и задачи исследования, краткое содержание диссертации и сжатый исторический обзор работ, имеющих наиболее близкое отношение к ее теме.

В первой главе рассматривается математическая модель колебаний балок, построенная на основе кинематической гипотезы Эйлера-Бернулли. Безразмерные разрешающие уравнения в перемещениях получены обычным образом и имеют вид

Ги* + Z.3(w,M')-ti = 0;

[Ул2 (w'+Li ~ У\1 w'v~ ™+q=0; ^

ц(и,к) ^L,(w,w) _ пелинейные операторы 11,w - функции перемещения и

прогиба соответственно; s — коэффициент диссипации; q - поперечная нагрузка вида: q = q0(x)sm(ci>pt) , а>р - частота внешней нагрузки, q0(x) - ее амплитуда, Я - отношение длины балки к ее высоте. К системе (1) присоединяются произвольные граничные и начальные условия. Результаты приведены для граничных условий, соответствующих шарнирному закреплению концов балки и нулевых начальных условий, t е [0,2348].

Для численной реализации рассматриваемых в работе математических моделей был разработан единый программный комплекс, позволяющий исследовать пути перехода колебаний распределенных многослойных динамических систем к хаосу с учетом геометрической, конструктивной нелинейностей, различных видов и комбинаций нагружений, разнообразных вариантов граничных и начальных условий различными численными методами (методом конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЭ),

Рунге-Кутта различных порядков (МР-К)). Схема программного комплекса рис. 1.

Выэор сбъекта исследований: оболочка Киркгофэ/балка Эйлера - Бернупли

Условия > Граничные Начальные

нагружения условия условия

Ввод параметров численного эксперимента

МКЭ по в ф.Бубнова-

простр. Галеркина

Учет Решение п

контактного Ч * задач Коїш

давления

Рис. 1. Схема программного комплекса

В первой главе серьезное внимание уделено аппарату вейвлет преобразований для исследования, полученных в результате численных экспериментов, данных. Показано, что для анализа динамики рассматриваемых систем можно с равным успехом применять вейвлеты Морле и вейвлеты на основе производных функции Гаусса старше 16 порядка, как комплексные, так и действительные.

Были рассмотрены два различных алгоритма расчета динамики балки Эйлера-Бернулли: МКР с аппроксимацией о{иг) по пространственной координате и МКЭ. Для них получена качественная сходимость результатов по картам характера колебаний. Проводилось исследование влияния ширины полосы воздействия и места приложения поперечной знакопеременной нагрузки на характер колебаний балки. В рамках этого были построены карты характера колебаний (МКР с аппроксимацией о(/г2) с количеством разбиений п=40) для набора управляющих параметров (</,<»,,} и показано, что на переходы балочных систем к хаосу существенно влияет способ приложения нагрузки.

Наиболее типичными сценариями здесь являются различные модификации сценария Рюэля-Такенса. Встречаются модифицированные сценарии Фейгенбаума с утроением периода колебаний системы и сценарии с окнами периодичности Шарковского.

В ходе численных экспериментов были обнаружены новые эффекты, связанные с хаотической динамикой рассматриваемых динамических систем. Впервые в нелинейной динамике балок обнаружены обширные переходные области, где характер колебаний системы многократно серьезно меняется, а также показано, что при смещении зоны действия локальной нагрузки от края балки к ее центру наблюдаются идентичные модели переходных поведений системы. То есть в серии численных экспериментов с различными областями действия локальной нагрузки были получены похожие нестационарные сигналы, разница между которыми наблюдалась лишь в ширине окон, где нет изменений частотного наполнения сигнала и времени, где эти зоны сменяют друг друга. Количество и порядок следования «стационарных областей» не менялись.

Впервые в нелинейной динамике балок Эйлера-Бернулли было показано, что один переходный процесс может содержать последовательность изменений состояний системы от гармонических до хаотических. Более того, в случае, когда нагрузка прилагалась к четырем отрезкам не симметрично относительно центра балки, были обнаружены нестационарные сигналы, последовательность бифуркаций в которых полностью совпадает со сценарием перехода колебаний данной системы в хаос с ростом управляющего параметра (амплитуды внешней нормальной локальной знакопеременной нагрузки). В табл. 1 приведены последовательность бифуркаций в нестационарном сигнале при фиксированном значении амплитуды внешней нагрузки д0 = 5500 и сценарий перехода колебаний рассматриваемой системы в хаос по установившимся режимам с ростом амплитуды внешнего гармонического воздействия.

Было обнаружено, что данному классу распределенных динамических систем свойственно такое явление, как пространственно-временной хаос. С

.¡дпа!уа_Ьегп0_40_отеда_505_тог1_2С>^ауе| ПОМОЩЬЮ ЭППарЭТЭ ВеЙВЛвТ аНЭЛИЗа, ВЫЯВЛвНО, ЧТО

пространственно-временной хаос может наступать в системе не только при изменении управляющих "<параметров (амплитуды или частоты локальной

2знакопеременной внешней нагрузки в нашем

случае), но и при их фиксированном значении с 5оо их» (15оо гооо течением времени (рис. 2, табл. 2 (нагрузка по всей рис 2 длине балки (ор=5.5, цо=30000).

Для изучения пространственно-временного хаоса рассматривались фазовый и модальный ЗО портреты. Первый служит для описания состояния системы во времени, а второй - для анализа эволюции пространственного сигнала, следя за изменениями прогиба, угла поворота, приближенного значения кривизны произвольной точки срединной плоскости структуры.

500 1000 1500 2000 I

Рис. 2

Таблица 1

Последовательность бифуркаций сор = 2.9, = 5500

1 [50,2501 [300,9001 г 1000,15001 [1550,2350] [2400,23501

Спектр Фурье 5(Й>). ; ' і • } - ! [ Ч/ : 1.11 к и;

Сценарий а>р = 2.9, / є [0,2348]

?0 100 1000 2500 5500 7500

Спектр Фурье . 1 ч,. г ' - Ь.

1 ' ' 1 1

Таблица 2

Простр.-врем. сигнал уфс,?) Фазовый портрет №(и>, Й') Модальный п-т Спектр Фурье

500<К520 : -Л* і —! "Ш- і

1836<К1855 *

Объектом исследования главы 2 являются прямоугольные в плане гибкие изотропные пластины и оболочки различной геометрии под действием внешних сдвиговых знакопеременных нагрузок, математическая модель колебаний которых включает уравнения Кармана, однородные граничные условия шарнирного опирания на гибкие несжимаемые ребра, нулевые

начальные условия. Введенный в уравнения член

характеризует действие

на структуру сдвиговых усилии, распределенных в ее срединнои плоскости

Численная реализация полученной

дифференциальной задачи с помощью метода

конечных разностей (МКР) дает возможность

рассматривать объект исследований как систему с

числом степеней свободы, стремящимся к

бесконечности. На основе МКР при переходе

колебаний двумерной распределенной системы из

Схема приложения

гармонических в хаотические по сценарию 1

г 1 нагрузки

Фейгенбаума установлены границы, после которых ее поведение можно считать истинным.

Показана сходимость МКР по типу колебания (по Фурье и вейвлет спектру, по ляпуновским показателям). Подтверждено, что колебания различных точек срединной плоскости структуры происходят на одном и том же наборе частот, что соответствует физике процесса, подтверждает достоверность получаемых результатов и корректность работы комплекса программ.

Были исследованы сценарии перехода колебаний рассматриваемых объектов от гармонических к хаотическим в зависимости от их геометрических параметров с помощью аппарата вейвлет анализа, использование которого позволило установить, что переход системы в хаос в большинстве случаев осуществляется через перемежаемость, и получить принципиально новые сценарии. Также вейвлет анализ сигналов показал, что характер колебаний может существенно меняться не только при смене управляющих параметров, но и при их фиксированном значении с течением

времени, причем переход может быть как плавным (гармонические - квазипериодические -хаотически), так и резким (гармоники - хаос). В ходе исследования пространственно-временного хаоса на нестационарных сигналах (сигналов с изменением частотных характеристик с течением времени, рис. 3.) было выявлено, что пространственный хаос при переходе колебаний из квазипериодических в хаотические наступает с некоторой задержкой, также задержка наблюдается и при выходе из хаотического окна. Более того, чем шире было хаотическое окно, тем дольше «сглаживается память о нем» (табл. 3).

Таблица 3 к, — = 0, $0 = 8.4 И юр = 26, ' е [0;286]

БІдлаІ_5кгиЬк26_а0_1_8О4_тогІ_2І>*ауеІеі 25

Рис. 3

В

Мод, п-т Спектр м-ти__Сигнал

і її

І і/' ;»'і, (і .і і

•І 1

- Ш.Ж

а 50<і<130 зона квазипериодических колебаний

_

#чд

¡ИіЬі'1 т І;„'І. ' І.і І-' г <

Ь 130<г<225 зона хаотических колебаний

С""1....., —т -т—Т—

ІЗІІй

с 225<к286 зона і армонических колебаний

На первом временном интервале колебания системы происходят на двух частотах - квазипериодические колебания. На линиях равных прогибов четко видна диагональная симметрия и присутствует период по времени (табл. За). Далее следует продолжительная по времени зона пространственно-временного хаоса, о чем свидетельствуют хаотические пятна на модальных и фазовых портретах, сигнал и положительность ляпуновских показателей. При изучении этой области выяснилось, что в начале хаотического окна (табл. ЗЬ, точка А на сигнале) на линиях равных прогибов наблюдается симметрия. В центре интервала (табл. ЗЬ, точка В на сигнале) симметрия полностью нарушается. На последнем интервале сигнал соответствует гармоническим колебаниям (табл. Зс), что подтверждают все характеристики. Поверхности и линии равных прогибов лишь на конце рассматриваемого интервала (1>265, табл. Зс, точка С) соответствуют поведению пластины в условиях гармонических колебаний при данных параметрах нагрузки. Т. е., несмотря на то, что колебания одночастотные, временного хаоса уже нет, пространственный хаос еще присутствует - характер изгибания пластины не мгновенно становится гармоническим, для этого требуется некоторое время. Таким образом, при смене характера колебаний пластины под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки впервые в нелинейных динамических системах было обнаружено, что пространственный хаос наступает после временного с некоторой временной задержкой. Также задержка обнаружена при выходе из хаотического окна. Т.е. можно говорить о том, что пространственный хаос является следствием временного.

В главе 3 рассматривается математическая модель колебаний прямоугольных в плане пластин и оболочек под действием внешней продольной нагрузки, действующей по их периметру, меняющейся по гармоническому закону. К системе дифференциальных уравнений Кармана присоединяются неоднородные граничные условия шарнирного опирания на гибкие несжимаемые ребра и нулевые начальные условия. Учет внешнего знакопеременного продольного нагружения идет в граничных условиях.

Анализ устойчивости рассматриваемой системы методом Феодосьева в зависимости от геометрических параметров показал хорошую согласованность с физикой процесса, что свидетельствует о достоверности получаемых результатов и корректности работы программ (табл. 4). Показано, что пути перехода колебаний динамических систем к хаосу серьезно меняются в результате изменения характера их нагружения и геометрических параметров.

Рассматриваемым в главе распределенным системам наиболее характерен переход к хаосу по сценариям Фейгенбаум-Помо-Манневиль, но встречается и Рюэль-Такенс-Помо-Манневиль Вейвлет спектры

Схема приложения нагрузки

иллюстрируют, что бифуркации происходят при фиксированных значениях амплитуды и частоты внешней силы при / > /„ .(табл. 5).

Таблица 4

1 :к „=0 ;*„ = 24 нагрузкаРл,Рх 1 :кх1= кх2 = 24 нагрузка Рх2 1 кА = 0;Аг,2 = 48 нагрузка рх]

г-.к ,, = 24;*,2 = 0 нагрузка РліРл 2: кх1 = кх2 = 24 нагрузка />х1 2 кх[ = 48 ;кх2 = 0 нагрузка Рх1

™ С (і V/ V/

ЇЗ 25 2 ■ -х| ж Г' 1 к ' \ \ 24_0 3 2 ' 24_24_рх1 — / /С / / 24_24_рхз //' 49_0_рх1 / / Ч\ 0_48_рч2

Р

ню 2)0 300 і 10 13 0 і К'

Отличие рез-в в % 0,744 Отличие рез-в в % 0,891 Отличие рез-в в %0,760

Таблица 5 кХ{ = 12,к,г = о, сор =8.4,рц = р„ =8.5

Фурье спектр на всем временном интервале

Вейвлет спектр на всем временном

Фурье спектр / є [0;150]

Фурье спектр? є [150;286]

В данном разделе, так же как и в экспериментах с балкой Эйлера-Бернулли, были обнаружены переходные процессы, содержащие последовательности бифуркации отвечающих классическим сценариям. Так, численный эксперимент с геометрическими параметрами оболочки кх = ку = 24 при частоте возбуждающей силы, равной частоте собственных колебаний (а>р = соа = 24,8), дал сценарий Рюэля-Такенса, который отличается от классического тем, что количество линейно зависимых частот нарастает не с увеличением значения управляющего параметра, а при его фиксированном значении (р = 0.1) - с течением времени. Так, на интервале /<150 - две пары частот со1=сор-а>\ и соъ=сор-шъ , где а, = 3.927 , со2 =20.873 , =7.854 , й)4 = 16.946. На интервале /е [150,250] уже появилась частота третьей пары су5 =10.21 (табл. 6).

Таблица 6

Вейвлет спектр Фурье Фурье Фурье спектр

на всем временном интервал спектрґ є [0;150] спектр/е[150;250] / є [250,286]

ІИІІІІЛІІГІІІІІІІІГ-Д у «Г 1

»15 ^Н - 10 И| б ВИИ - _ 1/" - .•'і 'ч

50 100 150 200 250 1 О 10 »

Таким образом, можно утверждать, что колебаниям динамических систем в виде пластин, оболочек и балок свойственны переходные процессы, повторяющие последовательности бифуркаций основных сценариев перехода колебаний рассматриваемых структур к хаотическим.

В главе 4 рассматривается математическая модель колебаний

многослойных гибких изотропных

прямоугольных в плане пластин, соединенных через краевые условия, находящихся под действием продольной равномерно

распределенной по верхнему слою нагрузки. Взаимодействие слоев одностороннее. Поведение слоев подчинено теории Кармана-Власова. Исходными являются уравнения теории пологих оболочек, записанные в безразмерном виде (Безразмерные параметры введены обычным образом):

V4- ¿К; Рт) + УЧ, + - Л* - Р„„2 ± К&, - К - )Ч< + е^

дх{ дг о1

= ~ ¿К,; ) - V2 м>т

где, !(»>„,,- известный нелинейный оператор, ^ = ^ ['+ ■»,?"(«'!-№>)], ч,, и

Р,п - функция прогиба и усилия ( т = 1; 2 ), К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта. т = 1, если %у, > + нк -есть контакт, иначе т=о ; - функции прогибов верхней и нижней пластины, / - время, £ - коэффициент сопротивления среды, рЛ -продольные знакопеременные нагрузки, д - поперечная нагрузка.

Показана хорошая сходимость МКР для данной задачи. Для исследования поведения двухслойной системы в виде пластин были построены сигналы, спектры мощности Фурье, 20 и 31) вейвлет спектры, фазовые и модальные портреты, сечения Пуанкаре (для верхней и нижней пластинок) и разность фаз.

Сценарий перехода колебаний

рассматриваемой динамической системы можно назвать модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Помо-Манневиля. На спектрах появляется несоизмеримая частота и парная ей частота (линейно зависящая от частоты вынуждающей силы). Затем появляется частота сор/ 2 . Вейвлет спектры

показывают, что вышеописанные частоты присутствуют не всюду по времени, а имеют четкие области включения-выключения. Переход к хаосу осуществляется путем появления на вейвлет спектрах узких хаотических окон, т.е. по пути, описанному Помо и Манневилем. Анализ колебаний при небольших значениях амплитуды вынуждающей силы с помощью аппарата

Схема приложения нагрузки

5упс_№05_491 50.стогМ.5_с1еКа

20 40 60 80 100 120 14П

Рис. 4

вейвлет преобразований показал, что после контакта хаотические колебания обеих пластин полностью синхронизируются (с захватом амплитуд), становясь квазипериодическими и даже гармоническими (табл. 7). В зоне хаотических колебаний на начальном интервале времени получена фазовая синхронизация на частоте вынуждающей нагрузки (черные области на рис. 4).

Таблица 1 сог = 5.9,0< I < 148

1 слой 2 слой

Вейвлет спектр 20 Ф. спектр Ф.спектр Вейвлет спектр Ф. спектр Ф. спектр

нач. Г конеч. 1 нач. 1 конеч.Ї

Р\ 4.9

Е.сЬ «"Р , 5.с(Ь ']э.=1ь 1 т и-і

і . < « » Ю 1 5.....""і......

4.4

V т --, —- '{5 ' СО. 5 %

шв : 1, 4 .;ЦЦ| -.! СО 2 <0> ' Iі

иррри г (Iі ' 0) 1" -" СО ШИМиШ '4 со СО

• 'о 4 1 . « 1 .....і і і

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Разработаны эффективные математические методы и алгоритмы, на базе которых создан программный комплекс, позволяющий изучать балочно-оболочечные структуры различной геометрии, в том числе многослойные, учитывать разнообразные модели динамического нагружения и краевых условий, а также геометрическую и конструктивную нелинейности, получать и проводить анализ основных характеристик нелинейной динамики.

2. Построена новая математическая модель колебаний геометрически нелинейных многослойных пластин и оболочек с учетом контактного взаимодействия слоев под действием внешней продольной знакопеременной нагрузки с учетом неоднородных граничных условий. Развит метод анализа фазовой хаотической синхронизации для распределенных систем с учетом контактного взаимодействия основанный на вейвлет преобразовании сигналов всех слоев структуры. На их основе с помощью разработанного программного комплекса проведен анализ фазовой хаотической синхронизации для распределенных систем с учетом контактного взаимодействия. Выявлено, что при контактном взаимодействии распределенных механических структур в виде двухслойных пологих оболочек после областей хаоса колебания слоев синхронизируются с захватом амплитуд до квазипериодических и даже до гармонических.

3. Построена математическая модель пространственно-временного хаоса для распределенных динамических систем с бесконечным числом степеней свободы в виде балок, пластин и оболочек в зависимости от геометрических параметров, условий загружения и закрепления механических структур. Предложен математический аппарат для качественного исследования математических моделей пространственно-временного хаоса распределенных динамических систем. Был обнаружен пространственно-временной хаос в различных классах рассматриваемых систем. Показано, что пространственный хаос наступает после временного с некоторой задержкой. Также задержка обнаружена при выходе из хаотического окна, т.е. пространственный хаос является следствием временного.

4. Проведено математическое моделирование и выявлены важные свойства путей перехода в хаос колебаний континуальных динамических систем в виде балок одно- и многослойных пластин и оболочек в зависимости от их геометрии и условий динамического нагружения. Обнаружены новые модификации данных переходов, в которых изменение состояний системы идет с течением времени при фиксированных значениях управляющих параметров (амплитуды и частоты внешнего гармонического воздействия. Было обнаружено, что для некоторых нестационарных сигналов последовательность бифуркаций по времени совпадает со сценарием, полученным при росте амплитуды нагрузки для того же численного эксперимента.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Крылова Е.Ю. О памяти нелинейных дифференциальных систем в теории пластин / Я. Аврейцевич, Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько и др. // Вестник Нижегородского университета им. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 2. С. 21-23.

2. Крылова Е.Ю. Нелинейная динамика балок Бернулли-Эйлера (Математическая модель, сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические) / М.В. Жигалов, Е.Ю. Крылова, В.А. Крысько // Известия вузов. Сер. Строительство. 2011. № 2. С. 15-21.

3. Крылова Е.Ю. О сценариях перехода колебаний пластины в хаотические на основе Фурье анализа / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько // Нелинейный мир. 2012. № 12. Т. 10. С. 903-912.

4. Крылова Е.Ю. Метод установления в нелинейных задачах балок и пластин с учетом локальности нагружения / В.А. Крысько, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова и др. // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. №2 (65). Вып. 1. С. 7-17.

5. Крылова Е.Ю. Математическое моделирование и прогнозирование характера колебаний нелинейных колебаний гибких балок / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько//Известия вузов. Сер. Строительство. 2013. № 1. С. 20-27.

6. Крылова Е.Ю. Нелинейная динамика параметрических колебаний двухслойных распределенных систем / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. Т. 1. № 1. С. 7-11.

Публикации в иностранных изданиях

7. Крылова Е.Ю. Математические модели нелинейной динамики распределенных консервативных и диссипативных балочно-пластинчато-оболочечных структур / А.В. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др. // XV International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation, Abstracts of Conference Reports, Kiev, Ukraine, May 25-27, 2011. P. 287.

8. Krylova E.Yu. Хаотические колебания оболочек под действием сдвиговых знакопеременных нагрузок / E.Yu. Krylova, I.V. Papkova, V.A. Krysko // PAMM, Special Issue: 82nd Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Graz 2011, Vol. 11. Issue 1. P. 327-328.

9. Krylova E.Y. On application of fourier analysis to regular and chaotic dynamics of rectangular flexible plates subject to shearharmonic loading / J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, V.A. Krysko // Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2011), Tavira, Portugal, 2022 June, 201 l.C. 50-51.

10. Krylova E.Y. On application of fourier analysis to regular and chaotic dynamics of rectangular flexible plates subject to shearharmonic loading / J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, V.A. Krysko // Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2011), Tavira, Portugal, 2022 June, 201 l.C. 52-59.

11. Krylova E.Y. Wavelet-based analysis fo the regular and chaotic dynamics of rectangular flexible plates subjected to shear-harmonic loading / J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, V.A. Krysko // Shock and vibration 19 (2012) p. 979-994 DOI 10.3223/SAV-2012-0705 IOS Press

12. Krylova E.Y. Regular and chaotic dynamics of flexible plates / J. Awrejcewicz, E.Y. Krylova, V.A. Krysko // Proceedings of the International Conference on Structural Engineering Dynamics (ICEDyn 2013), Sesimbra, Portugal, June 17-19. 2013. 10 p.

13. Крылова Е.Ю. Хаотические колебания оболочек под действием сдвиговых знакопеременных нагрузок / Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова, В.А. Крысько // ММТТ-24: сб. тр. XXIV Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 1. Секция 1. Киев: Национальный технический ун-т Украины «КПИ», 2011. С. 76-80. ISBN 978-5-7433-2386-9

Публикации в других изданиях

14. Крылова Е.Ю. Математическая модель сценария перехода к хаосу балок Эйлера-Бернулли / А. В Крысько, М.В. Жигалов, Е.Ю. Крылова // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. Седьмой Всерос. науч. конф. с междунар. участием. Ч. 1. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2010. С. 146-149.

15. Крылова Е.Ю. Управление сложными нелинейными колебаниями гибких балок / Е.Ю. Крылова, Т.В. Яковлева // Ломоносов - 2010: материалы Междунар. науч. форума: электрон, изд. М.: МАКС Пресс, 2010.

16. Крылова Е.Ю. О методах решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа / Е.Ю. Крылова, Т.В. Молоденкова, И.В. Папкова // Ломоносов — 2011: материалы XVII Междунар. науч. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. М.: МГУ, 2011. С. 1-2.

17. Крылова ЕЛО. О потере устойчивости гибких оболочек под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки / Е.Ю. Крылова, И.Е. Кутепов, И.В. Папкова // Молодежь и современные информационные технологии: материалы IX Всерос. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых с междунар. участием, Томск, 11-13 мая 2011 г. Томск: Изд-во СПБ Графике, 2011. С. 102-103.

18. Крылова Е.Ю. Управление сложными колебаниями гибких упругих оболочек под действием внешней сдвиговой знакопеременной нагрузки / Е.Ю. Крылова, Ю. В. Николаева, И.В. Папкова // Инженерные системы - 2011: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 5-8 апреля 2011 г. М.: РУДН, 2011. С. 41.

19. Крылова Е.Ю. О синхронизации и управлении колебаниями двухслойных пластинок, связанных через краевые условия / В.А. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др. // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: сб. тез. докл. VIII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, Санкт-Петербург, 22-23 июня 2011 г. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2011. С. 69-71.

20. Крылова Е.Ю. Математическое моделирование потери устойчивости гибких упругих прямоугольных пластин под действием внешней статической сдвиговой нагрузки. Метод установления / В.А. Крысько, Е.Ю. Крылова, И.В. Папкова // Инженерные системы - 2012: тез. докл. Междунар. науч.-практ. конф., Москва, 16-18 апреля 2012 г. М.: РУДН, 2012. С. 32.

21. Крылова Е.Ю. Математическое моделирование согласования краевых условий для оболочек произвольного плана / В.А. Крысько, Е.Ю. Крылова, Т.В. Молоденкова // Ломоносов - 2012: материалы Междунар. науч. форума: электрон, изд. М.: МАКС Пресс, 2012.

22. Крылова Е.Ю. О синхронизации и управлении колебаниями двухслойных пластинок, связанных через краевые условия / В.А. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др. // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: сб. докл. VIII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, Санкт-Петербург, 22-23 июня 2011 г. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2012. С. 100-106.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

23. Крылова Е.Ю. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких пологих прямоугольных в плане оболочек под действием различных нагрузок / И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011616993. Зарегистрировано 8 сентября 2011 г.

24. Крылова Е.Ю. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических осесимметричных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в единице объема / В.А. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др.: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013613308. Зарегистрировано 1 апреля 2013 г.

Ю I

25. Крылова Е.Ю. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких пологих прямоугольных в плане оболочек под действием различных нагрузок, учтенных в граничных условиях / И.В. Папкова, М.В. Жигалов, Е.Ю. Крылова: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013613519. Зарегистрировано 9 апреля 2013 г.

26. Крылова Е.Ю. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде двухслойных прямоугольных в плане гибких упругих пологих оболочек с учетом активной и пассивной деформаций / В. А. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др.: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013614573. Зарегистрировано 16 мая 2013 г.

27. Крылова Е.Ю, Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических секториальных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в каждой единице объема / В.А. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др.: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013615164. Зарегистрировано 29 мая 2013 г.

28. Крылова Е.Ю. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний прямоугольных в плане двухслойных оболочек с учетом геометрической нелинейности / В.А. Крысько, И.В. Папкова, Е.Ю. Крылова и др.: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013616175 Зарегистрировано 27 июня 2013 г.

Крылова Екатерина Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат

Подписано в печать 03.09.13 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 136 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю.А.»

На правах рукопис,

Крылова Екатерина Юрьевна

04201363112

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук,

профессор

Крысько Вадим Анатольевич

Саратов 2013

Оглавление

Введение (обзор работ, имеющих близкое отношение к теме диссертации) ^

Глава 1. Математическое моделирование сложных колебаний

27

нелинейных динамических систем в виде балок Эйлера - Бернулли § 1.1. Программный комплекс для качественного исследования

27

колебаний нелинейных динамических систем

§ 1.2. Математическая модель колебаний динамической системы в

29

виде балок Эйлера - Бернулли с учетом геометрической нелинейности

§ 1.3. Численная реализация математической модели колебаний балки Бернулли - Эйлера с учетом геометрической нелинейности

§ 1.4. Достоверность получаемых результатов 36

§ 1.5. Вейвлет-анализ как аппарат исследования численных

40

результатов

§ 1.6. Выбор вейвлет-преобразования для исследований сложных колебаний нелинейных динамических систем

§ 1.7. Сценарии перехода колебаний динамических систем от

61

гармонических к хаотическим

§ 1.7.1. Математическое моделирование сценариев перехода сложных колебаний нелинейных динамических систем в виде балок 62

Эйлера - Бернулли к хаосу

§ 1.8. Особенности колебаний нелинейных динамических систем в

69

виде балок Эйлера - Бернулли связанные с динамическим хаосом

§ 1.8.1. Переходные процессы в сложных колебаниях нелинейных динамических систем в виде балок Эйлера - Бернулли

§ 1.8.2. Пространственно временной хаос в сложных 73

колебаниях нелинейных динамических систем в виде балок Эйлера -Бернулли

§ 1.9. Прогнозирование характера колебаний нелинейных

77

динамических систем виде шарнирно-опертых балок Эйлера - Бернулли Выводы по главе 81

Глава 2. Математическое моделирование колебаний нелинейных динамических систем в виде шарнирно опертых прямоугольных в 83 плане оболочек под действием сдвиговой знакопеременной нагрузки § 2.1. Математическая модель колебаний геометрически нелинейных прямоугольных в плане оболочек. Основные гипотезы и 83 допущения

§ 2.2. Достоверность получаемых результатов g7

§ 2.3. Математические модели сценариев перехода колебаний нелинейных динамических систем в виде прямоугольной в плане 97 оболочки под действием сдвиговой нагрузки в хаос

§ 2.4. Влияние количества степеней свободы на достоверность получаемых результатов при исследовании сложных колебаний 116 нелинейных динамических систем

§ 2.5. Пространственно-временной хаос в колебаниях нелинейных динамических систем в виде шарнирно-опертых оболочек

§ 2.6. Нелинейная динамика шарнирно-опертых прямоугольных в плане оболочек под действием сдвиговой знакопеременной нагрузки в 129 зависимости от их геометрических параметров

Выводы по главе 133

Глава 3. Математическое моделирование колебаний нелинейных динамических систем в виде шарнирно-опертых прямоугольных в

135

плане оболочек под действием продольной знакопеременной нагрузки, действующей по периметру

§3.1. Достоверность получаемых результатов на основе метода 136

установления

§3.2. Математические модели сценариев перехода колебаний нелинейных динамических систем в виде оболочек под действием 141 продольной нагрузки по их периметру в хаос

§3.3. Нелинейная динамика шарнирно-опертых прямоугольных в плане оболочек под действием продольной знакопеременной нагрузки,

170

действующей по периметру, в зависимости от их геометрических параметров

Выводы по главе 172

Глава 4. Математическое моделирование колебаний геометрически нелинейных многослойных оболочек с учетом контактного 173 взаимодействия слоев

§4.1. Математическая модель колебаний геометрически нелинейной многослойной оболочки под действием внешней 175 продольной знакопеременной нагрузки

§4.2. Особенности сложных колебаний геометрически нелинейной многослойной пластины под действием внешней продольной 178 знакопеременной нагрузки

§4.3. Математическая модель сценария перехода колебаний геометрически нелинейной многослойной пластины под действием 180 внешней продольной знакопеременной нагрузки к хаотическим Выводи по главе 183

Заключение 184

Список литературы 188

Введение

(обзор работ, имеющих близкое отношение к теме диссертации)

Задача любого вида сводится к математической задаче.

Р. Декарт

Правильное представление о жизни динамической системы, о ее прочности и надежности не возможно без понимания возможности хаоса.

С возрастанием быстродействия компьютеров при исследовании нелинейных систем в последние десятилетия выяснилось, что высокая чувствительность к начальным условиям приводит к хаотическому поведению системы, что ни в коем случае не является каким-то исключением. Это типичное свойство многих динамических систем. Эффект хаотизации движений в детерминированных нелинейных системах еще совсем недавно казался совершенно невероятным в рамках теории колебаний. Теперь это научно обоснованное явление фундаментальной значимости.

Требования к обеспечению надежности и долговечности работы динамических систем любой природы каждый день возрастают. Им приходится работать во все более агрессивных условиях, подвергаться воздействию разнообразных сил и систем сил. Равно как все более усложняется и становится достаточно затратным натурное моделирование и динамические испытания откликов подобных систем на влияния различного рода факторов. Более перспективным является математическое моделирование хаотического поведения динамических систем. Такой подход имеет ряд преимуществ перед натурным экспериментом:

□ для вычислительного эксперимента не требуется сложного лабораторного оборудования;

□ идет существенное сокращение временных затрат на эксперимент;

□ имеется возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения;

□ простота прерывания и возобновления машинных экспериментов. При работе с математической моделью всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений.

За последние годы издано не мало тематических статей и монографий по математическому моделированию, к числу которых следует отнести прежде всего труды отечественных ученых С.П. Курдюмова [1,2], Г.Г. Малинецкого [3], Н. Н. Моисеева [4], A.A. Самарского [5,6], В.А. Ашихмина [7]. В этих работах подробно и доступно освещены такие вопросы, как предмет, методы и подходы математического моделирования, дано большое количество интереснейших примеров математических моделей.

JI. Больцман справедливо отметил: «Нет ничего практичнее хорошей теории».

К концепции динамического хаоса наука подошла широчайшим фронтом. Здесь можно выделить пять основных направлений. Первая линия развития связана с небесной механикой. Проблема трех тел в небесной механике была первой задачей, где великий французский математик Анри Пуанкаре столкнулся с возникновением сложной динамики и с хаосом. Среди гамильтоновых систем был выделен класс неинтегрируемых систем, которые в случае белее одной степеней свободы способны демонстрировать хаотическую динамику. Значительный прогресс в понимании природы' хаоса был сделан в 50 - 60 годы прошлого столетия. Он связан с KAM теорией (А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, Ю. Мозер), основная теорема которой утверждает, что при включении достаточно слабого взаимодействия между движениями нелинейных систем с иррациональным соотношением частот квазипериодический характер динамики в большинстве случаев сохраняется [8].

Статистическая физика образовала вторую линию фронта. В середине 20 века Ферми, Паста и У лам в численном эксперименте пытались рассмотреть

процесс установления термодинамического равновесия в цепочке связных осцилляторов, но вместо релаксации к равновесию был выявлен квазипериодический процесс. Затем Н.С. Крылов одним из первых развил идею о том, что неустойчивость фазовой траектории системы по отношению к малым возмущениям начальных условий очень важна. Русский математик A.M. Ляпунов ввел количественную характеристику неустойчивости траекторий, известную теперь как ляпуновский характеристический показатель [9]. В 1968 г. В.И. Оселедец [10] представил научной общественности важнейший результат. Мультипликативная эргодическая теорема, которая позволяет говорить о показателях Ляпунова, определенных для множества фазовых траекторий. Что легло в основу современного осмысления и использования в нелинейной динамике концепции показателей Ляпунова.

Возможно, первым документально зарегистрированным наблюдением хаоса был эксперимент Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка по исследованию динамики генератора под внешним периодическим воздействием. Контролируя режимы работы устройства по звуку в наушниках, исследователи отмечали явление синхронизации при определенных рациональных соотношениях частоты воздействия и собственной частоты и шумоподобные колебания при переходах между областями захвата. Работа Картрайта и Литтлвуда [11] оказала большое влияние на построение теории сложной динамики и хаоса. Здесь рассматривалось уравнение автогенератора под периодическим внешним воздействием, была обнаружена необычно сложная динамика, в частности, у системы было выявлено бесконечное число неустойчивых периодических орбит.

В конце 20 годов прошлого столетия A.A. Андронов установил, что адекватным математическим образом периодических колебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной теории дифференциальных уравнений. Одно из важных достижений Андронова с соавторами [12] - исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситуация, которая теперь носит название бифуркации Андронова - Хопфа.

Важным вопросом является то, какая последовательность событий привела систему к хаосу? Такую последовательность событий принять называть сценарием [8]. Четвертая линия, ведущая к современному пониманию хаоса, связана с проблемой турбулентности - с гидромеханикой. Здесь впервые перед наукой возник вопрос о природе турбулентности. Ознаменовалось это выходом в свет работы О. Рейнольдса 1883г., где было показано, что в зависимости от безразмерного параметра (известного теперь как число Рейнольдса) движение воды в трубке было ламинарным, или турбулентным [13].

Общепринято, что отправной точкой в изучении проблемы перехода системы к хаосу послужила в 1944 г. работа Л.Д. Ландау, в которой рассматривается вопрос о том, как при возрастании основного управляющего параметра гидродинамических систем (числа Рейнольдса) рождается турбулентность. Сценарий Ландау заключается в следующем: происходит потеря устойчивости течения по отношению к колебательному возмущению на какой-то частоте, после чего возникшее осциллирующее течение также теряет устойчивость по отношению к возмущению на другой частоте и так далее. Вследствие этого процесса возникают все новые и новые частоты, находящиеся в иррациональных отношениях, что приводит к сложному динамическому режиму -турбулентности [14]. Ландау рассматривал гидродинамическую турбулентность, но аргументация носила столь общий характер, что ее можно в равной степени отнести и к другим диссипативным динамическим системам. Чуть позднее (в 1948г.) аналогичные представления были развиты немецким математиком Эберхардом Хопфом. Ученый также обнаружил усложнение динамики системы в результате последовательного рождения несоизмеримых частот [15].

В 1963г. американский метеоролог Э. Лоренц опубликовал статью [16], где указал на свойство системы чутко реагировать на незначительные изменения начальных условий. В последствии это свойство хаотической динамики пропагандировалось им как «эффект бабочки».

В 1971 г. Дэвид Рюэль и Флорис Такенс в работе «О природе турбулентности» [17] подвергли критике сценарий Ландау и показали, что уже

после появления трех или четырех частот динамика может стать турбулентной. Может возникнуть странный аттрактор, характеризующий неустойчивость принадлежащих ему фазовых траекторий.

Научные дискуссии вокруг данного вывода привели к пониманию следующего: появление в спектре колебаний рассматриваемой системы третей частоты не должно сразу провоцировать рождение хаоса. Были обнародованы результаты экспериментов с реалистическими системами, где наблюдались квазипериодические режимы с числом частот большим трех (Тауако1, Ту/огкошБкл, 1984 г.; ОгеЫ^1 1985 г.; ВаезепБ 1991г.).

Также, после выхода в свет работы ученых Мэрилендского университета (1984г.) стало понятно, что сценарии перехода в хаос по средствам квазипериодических режимов довольно часто включают в себя образование странных нехаотических аттракторов, как переходный промежуточный режим. Надо отметить, что термин странный относится к геометрической структуре аттрактора, т. е. имеется в виду, что он представляет собой фрактальный объект. В то время как нехаотический указывает на отсутствие высокой чувствительности к изменениям начальных условий.

В научной среде до сих пор возникает спор о том, правомочно ли словосочетание «сценарий Рюэля - Такенса». Часть научного мира считает, что это не совсем корректно, т. к., по сути, ими не дано было явного описания последовательности бифуркаций приводящих систему от порядка к хаосу. Однако в специальной литературе оно довольно часто встречается при описании перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений. В данной работе термин «сценарий Рюэля-Такенса» также принят.

Надо отметить, что подвергнутое сомнению утверждение Ландау и Хопфа о том, что количество бифуркаций на пути к хаосу может быть бесконечным, оказалось справедливым и нашло подтверждение. Связано это с уходящими в глубь веков попытками математиков описать динамику биологических популяций. Так, дальнейшее понимание возможных типов перехода систем к

хаосу возникло благодаря еще одной линии развития - дискретным отображениям. К середине 70 годов 20 века было уже хорошо известно, что при увеличении параметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Американский физик М. Фейгенбаум в 1978 г. представил универсальный механизм перехода в хаос через бесконечное число удвоений периодов исходного движения [18-21]. Более того, им был открыт ряд замечательных закономерностей, сопровождающих этот переход. Хотя Фейгенбаум и не являлся первооткрывателем удвоения периода, но именно он первым заметил присущие данному сценарию свойства универсальности и масштабного подобия. Он показал геометрически сходящуюся последовательность удвоений периодов и определил величину:

lim <5„ = lim Л"+,~Л" = 4.6692016....

,,->сс Л11+2 - Л11+1

То есть получил «универсальное число», которое было названо его именем. Фейгенбаум первым указал на то, что существует обширный класс динамических систем различной природы, которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но и у порога хаоса подчиняются одним и тем же количественным характеристикам. В дальнейшем универсальное число Фейгенбаума было обнаружено в модели Лоренса, отображении Хенона, а так же в ряде других экспериментов. Для оболочек с бесконечным числом степеней свободы это число было обнаружено В.А. Крысько и коллегами [22]. В эксперименте конвекции Рэлея-Бенара ртути в магнитном поле были прослежены четыре последовательных бифуркации удвоения периода. Полученное при этом число Фейгенбаума расходится с точным всего на 5%.

В 1980 году появилось сообщение французских физиков И. Помо и П. Монневиля положивших начало изучению группы сценариев перехода к хаосу через перемежаемость [23]. К этому периоду о динамическим хаосе накопилось огромное количество экспериментальных данных. Для некоторых динамических систем был продемонстрирован очень резкий - скачкообразный переход к хаосу. По средствам единственной бифуркации. Подобный жесткий переход связан с

понятием перемежаемости. Под которой понимают вид сигнала, в котором произвольным образом чередуются обширные области регулярных колебаний с относительно короткими нерегулярными всплесками. Количество окон хаоса с ростом управляющего параметра увеличивается, полностью заполняя сигнал. К обнаружению упомянутого явления Помо и Манневиля привело исследование дифференциальных уравнений Лоренца. Это явление Помо и Манневиль объясняли так: при значениях управляющего параметра, не превышающих критическое в отображ