автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Исследование динамики конструкций с нелинейными краевыми условиями

Ой

- '".Г*

ПРИДНЕПРОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

На правах рукописи УДК 539.3

САЗОНЕЦ Ольга Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОНСТРУКЦИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

Специальность 05.23.17 — «Строительная механика»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Днепропетровск — 1998

Диссертация предшаилена в виде рукописи

Работа выполнена на кафедре пышен млсмлтки Приднепровской государственной академии строительства и архшектуры (ПГЛСиЛ)

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Лндрианои Игорь Васильевич

Научный консультант: докгор технических наук, доцент Кваша Эдуард Николаевич

Официальное оппоненты: доктор технических

наук, профессор Казакевич Михаил Исаакович, кандидат технических наук, доцент Павленко Игорь Демьянович

Ведущая организация: Государственная металлургическая академия Украины

Зашита состоится "Л/ " и^иЭЦлХ. 1996 г. на заседании специализированного ученого совега Д 03.07.01 Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры но адресу; 320600, г. Днепропетровск, ул. Чернышевского, 24а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры.

Автореферат разослан /их2Л 1996 г:

Ученый секретарь специализированною . ученого совета, к.т.н., доц

Красовский В.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и степень исследованиости тематики диссертации:

Тонкостенные конструкции находят широкое применение во многих отраслях техники. В промышленном и гражданской строительстве это покрытия, перекрытия, рабочие площадки, в машиностроении - элементы технологического оборудования и т. д. Указанные конструкции подвергаются разнообразным динамическим воздействиям. , В силу констругствных особенностей, в частности, различных дефектов в местах стыков и соединений, такие системы зачастую могут быть правильно описаны в рамках такой расчетной схемы, когда нелинейность присутствует только в' граничных условиях. Тогда решение краевых задач затруднено даже при использовании современных численных методов и быстродействующих ЭВМ, поэтому совершенствование аналитических методов весьма важно с точки зрения инженерной практики. Асимптотические методы исследования динамики распределенных систем хорошо разработаны для случая, когда по пространственным переменным они бесконечны. В некоторых работах для решения нелинейных краевых задач применялся метод осреднения или многих масштабов, далее полученная бесконечная система алгебраических уравнений усекалась, однако данный подход позволяет исследовать влияние нелинейности лишь на основную частоту колебаний, при этом все остальные возникшие в первом приближении резонансм оказываются не компенсированными. Для одномерного случая использовался метод нормальных форм. Задача с высшими частотами

колебаний была решена асимптотическим методом В.В. Болотина.

Целями и основными задачами работы являются :

- разработка асимптотических методов расчета колебаний тонкостенных конструкций с нелинейными граничными условиями;

- применение развитых методов к двумерному случаю;

- решение на основе предложенного подхода новых задач теории конструкций.с указанным видом граничных условий.

Теоретическая ценность исследования состоит в следующем:

В результате проведенных исследований получены методы, обладающие простотой и высокой эффективностью, четко отражающие физическую природу задачи. Они могут быть применены при расчете и конструировании тонкостенных конструкций под действием динамической нагрузки, краевые условия которых представляют нелинейные соотношения. Практическое значение.

Разработанная методика дает возможность с достаточной для инженерной практики точностью и полнотой производить расчет колебаний тонкостенных конструкций типа балок, прямоугольных пластин, цилиндрических оболочек с нелинейными граничными условиями.

Методы исследований. Для достижения поставленной • цепи в работе использованы аналитические методы возмущения и метод дробно-рационального разложения Паде.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждена:

- построением последовательного асимптотического процесса, позволяющего находить решение с любой степенью точности;

- сравнением решений, полученных различными методами.

Научная новизна состоит п том, что в работе был предложен новый асимптотический подход к решению краевых задач с нелинейными граничными условиями. Это позволило получить • аналитическое решение новых задач теории колебаний балок, пластин и оболочек с нелинейными краевыми условиями, исследование которых другими приемами затруднительно.

Публикации. Основные положения и результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 98 наименований и. 4 приложений. Полный объем составляет 85 страниц машинописного текста, содержит 6 рисунков и 1 таблицу.

Внедрение результатов

- отдельные результаты диссертационной работы внедрены Государственным базовом центром критических технологий в машиностроении КРИТТЕХМАШ И использованы при исследовании колебаний некоторых элементов обшивки корпуса летательных аппаратов.

- некоторые результаты работы используются при чтении различных спецкурсов аспирантам и студентам.

Апробация.

Основные результаты работы докладывались на школс-семипаре "Нелинейные краевые задачи математической физики" 5-10 сентября 1994г., Териополь; на семинарах института химфизики Российской Академии Наук (1994, 1995);

на семинарах Института проблем механики Польской Академии Наук (1994,1995); на Днепропетровском городском семинаре "Асимптотические методы механики" в 1993-1996 гг., на 1\'-ой Международной конференции "Материалы для строительных конструкций" 1СМВ'9б, Днепропетровск 1996 г.

На защиту выносятся:

1)Асимптотическое исследование колебаний стержня с нелинейными граничными условиями.

2)Решение нелинейной краевой задачи о колебаниях прямоугольной пластины.

3)Определение частот колебаний мембраны и прямоугольной стержневой решетки с нелинейными граничными условиями.

4)Построение амплитудно-частотной зависимости колебаний круговой цилиндрической оболочки.

Тема диссертации соответствует научному направлению работы кафедры высшей математики ПГАСиА, программе научно-исследовательских работ кафедры 0193Ш17908 "Исследование некоторых математических моделей строительных конструкций и развитие новых математических методов этих исследований".

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные цеди и задачи исследования, дан конспективный обзор существующих методов расчета нелинейных колебаний тонкостенных конструкций.

Вдерпой гпаае развит асимптотический метод решения нелинейных краевых динамических задач, когда нелинейность содержится п граничных условиях. Решение подобной краевой задачи имеет существенные особенности по сравнении) со случаем задачи Коши из-за наличия бесконечного множества резонансов уже в первом приближении. В данном методе решение в первом приближении представляем в виде суммы гармоник но пространственной координате, удовлетворяющих граничным условиям с неопределенными коэффициентами.

Рассматривается следующая модельная краевая задача:

= 0<;*к| (1)

а1 с*1

-г- / Л Г У

= 0 (2)

Здесь ц - безразмерный параметр. Вводим преобразование времени 1 = олт. Искомое решение разлагаем я ряд

17 = 170+//17,+^+...,' (3)

где и 1я - периодическая функция. Параметр <в2гакже необходимо разложить в ряд по степеням /2

2 *> т 2 2

IО йГ + }Ш~ + /I 0>2 К.. (4)

Подставляя в уравнение (1) и краевые условия (2) разложения (3), (4), а затем производя расщепление по

параметру ц, при ца приходим к краевой задаче о колебаниях стержня со свободными концами

„ д2и дги

о_-о ^

дх дх1

£4

<2«

ж=0

Ж*

-О — дх

-О

(5)

(6)

Решение краевой задачи в нулевом приближении (5), (6) разыскиваем в виде ряда

¿7. - V* С сое пят соя пях,

О ¿-> я

(7)

в=1

где С( - амплитуда основного тона колебаний, С (¡=2,3,...)

определяются в последующих приближениях.

Краевая задача в первом приближении следующая:

1 - -?-----'-0, 0

ц

а-2

дх дх

^0 0 0 0

= 0

= 0

(8) (9) (Ю)

В первом приближении неизвестный коэффициент в разложении времени находим из условия отсутствия главного

резонанса, а неопределенные коэффициенты при остальных ■ гармониках из условия отсугспшя всех друг их реюнансоп, чго приводит к бесконечной системе связанных нелинейных алгебраических уравнений.

Для решения этой системы применяем следующий подход. Введем при всех членах формальный малый параметр £ таким образом, что при е =0 имеем треугольную матрицу и разыскиваем искомые коэффициенты в виде разложений

С^С^+ = (11)

Параметр также представляем в виде разложения

а,\=а>у>2 +а,(,)2в-»Ш«2в2 + ... (12)

Расщепляя по е , получаем для е°,е*,Е2,... связанные системы линейных алгебраических уравнений, которые решаются элементарно. Для проверки точности результатов ряд (12) перестраивается в дробно-рациональное разложение Паде по следующей формуле

«о®2«®2 -®|°>2ш[г>2)*

<' 7 о 3)

' и) ^ — и) ^ Е

В табл 1. приведены результата сравнения расчетов по формуле (12) и (13), подтверждающие точность построения

ю.

решения. Приняты следующие значения параметров

а0 = 0,25, а, = 1,75, =0.5, /3, = 1Д е = 1

Таблица 1.

с, 0,5 1 1,5 2 3

0,430027 0,494539 0,5969331 0,737512 1,1356134

(1/1).? 0,430060 0,494600 0,5969023 0,737695 1,1356379

Из приведенной таблицы видно, что результаты расчетов, полученные при помощи ряда и при помощи разложения Паде, совпадают вплоть до 4-го знака после запятой. Отсюда можно сделать вывод о том, что полученное разложение является хорошим приближением для данного решения.

Вторая глада посвящена изложению методики решения двумерной краевой задачи, описывающей колебания прямоугольной пластины с нелинейными граничными условиями

/Г IV Л

+ = 0 (14)

ег

„4 г?4 „ С^ (Р где V - + 2 ,+—т.

йс4 дкгдуг •

пЕПг

!■>- —7-гт , р- плотность материала на единицу площади,

Т^гт)

Ь - толщина пластаны, Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона. Краевые условия следующие:

-О прих=0,а;

л -п»

_ . - о при у—0,Ь :

сУ

тУ Т д(у + = О при \=0,Ь :

д., Л 0,! 0,1 7 •

И

05) (16)

(17)

(18)

Как и ранее, вводим замену переменной ! = ют и разыскиваем решение в виде анзацев (4), а также

№ = 1Г0 + + /12Т*'2+... (19)

Затем применяем подход, аналогичный подходу, использовавшемуся в одномерном случае. Па рис. 1 показаны графики зависимости частоты го от амплитуды колебаний основного тона А^ для различных значений //..

а 2.2

2.0

1.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Рисунок!.

з-М

и

Приняты следующие значения параметров

4=7. ав=6, а{ = 5, ^=4, ,, = 3, *в=2. а=1.

о

о

Ь=2.

В третьей главе находится собственная частота колебаний квадратной мембраны с нелинейными краевыми условиями. Затем решается нелинейная краевая задача, описывающая колебания прямоугольной стержневой решетки с нелинейными граничными условиями. Находится частота ее колебаний.

В четвертой главе рассматриваются осесимметричные колебания цилиндрической оболочки со шпангоутом, закрепленным на нелинейных пружинах. Краевая задача представится в следующем виде

Как и ранее, находим решение в нулевом приближении:

(21)

(20)

(22)

0О

к £

(я, +5, }+--(я -5, \ +

\ \п . 1п) 2 V Зя 1л/

+5 ятА: £ + 5, соък, £ совЬк т.

1м и ** /м и1

1П П3 2 П * П3 П

(23)

п

+ 1, Л', -chk /-cosfc /,

I л л п

2/1-1 . 1 где л =/г—,о= -•. ,ч ------------- " 2/

Л' =-shk l + sink I.

In п п

Здесь С -амплитуда основного тона колебаний, постоянные С ,Сз<... определяются в следующем приближении.

Используем разложения (И), (12) для решения задачи в первом приближении. IIa рис. 2 представлен график зависимости параметрам от амплитуды основного тона С, рассчитанные по формуле (3) (график 1) и с использованием разложения Паде для параметра по формуле (4) (график 2). Здесь приняты следующие значения параметров Ь=1,1=2, у =1. а

2

6.0 // Г

5.0

4.0

3.0 •

2.0

1.0

б 0.5 1.0 .5 2.0 2.5 3

3.0 С

Рисунок 2.

14В_заключении сформулированы основные результаты

рабош, которые сводятся к следующему: •

* 1. Развит асимптотический метод решения нелинейных краевых задач, когда нелинейность содержится в граничных условиях. Суть этого метода состоит-в том, что после введения временной переменной решение разыскивается в виде разложений по малому параметру. После подстановки разложения в краевую задачу производится расщепление по степеням малого параметра. Из-за наличия в первом приближении бесконечного числа резонансов в результате операции их устранения получается бесконечная система нелинейных алгебраических уравнений.

2. Разработан новый подход для решения бесконечной системы нелинейных алгебраических уравнений, основанный на введении формального малого параметра и применении преобразования Паде.

3. Предложенный метод применен к . исследованию продольных колебаний стержня конечной длины в слабонелинейной упругой среде.

4. Произведено обобщение данного метода на двумерный случай, в частности, исследованы поперечные колебания прямоугольной пластины с нелинейными граничными условиями.

5. Показано, как предложенный асимптотический метод может быть применен для исследования колебаний мембраны и прямоугольной стержневой решетки с нелинейными граничными условиями.

6. Получены частотно-амплитудные зависимости колебаний круговой цилиндрической оболочки со шпангоутом, закрепленным на нелинейных пружинах.

- • Основные . положения диссертации отражены в следующих работах:

1.Андрианов И.В., Данишевский В.В., Сазонец О.П. Асимптотическое исследование динамики нелинейного стержня: Сб. науч. тр. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: Инстшут математики HAH Украины, 1994. - С.5.

Личное участие в работе: постановка метода применительно к колебаниям стержня с нелинейными краевыми условиями, вклад в % - 50%.

2.Андрианов И.В., Линник Л.Я., Сазонец О.Н. Асимптотическое исследование продольных колебаний стержня при нелинейных граничных условиях: Сб. науч. тр. Вопросы прикладной математики и математического моделирования. - Днепропетровск : ДГУ, 1995. - С. 4-8.

Личное участие в работе: постановка метода, проведение расчетов, анализ результатов, вклад в % - 50%.

3.Сазонец О.Н. К исследованию элементов строительных конструкций со сложными краевыми условиями: Сб. науч. тр. Интенсификация рабочих процессов строительного производства. - Киев: 1нсгитут системних дослщжень Укрупни, 1993.-С. 239-243.

4.Андрианов И.В., Сазонец О.Н. Асимптотический метод исследования колебаний распределенной системы с нелинейными краевыми условиями: Сб. науч. ip. Прикладные проблемы прочности и пластичности. - М: ИЬд-во "Товарищество научных изданий" КМК. - 1995. • Вып. 5?. С, 31-36.

Личное участие в работе: постановка метода, проведение расчетов, анализ результатов, вклад в % - 50%.

5.Андрианов И.В., Сазонец О.Н. Исследование динамики строительных конструкций с нелинейными граничными условиями // 1\'-я Международная научная конференция Материалы для строительных конструкций. 1СМВ'96: Тез. докл. - Днепропетровск: ПГАСА, 1996. - С. 126.

Личное участие в работе: постановка метода, проведение расчетов,-анализ результатов, вклад в % - 50%.

АНОТАЦШ

Сазонець О.М. Доацдження динамки конструкцШ з недшшними крайовиыи умовами.

Дисертац1я на эдобуття наукового ступеня кандидата техшчних наук 13 спещальностт 05.23.17 - бущвельна механика, Придшпровська державна академ1Я 6уд1пництва та арх]тектури, Дшпропетровськ, 1996.

У дисертацп дослужено коливання балок, пластинок, оболонок. Запропонойано асимптотичну процедуру для разв'язання крайових задач динам!ки, Використано метод введения штучного малого параметру. За допомогою цього методу отримано простий анал1Тичний розв'язок. Одержан! рози'язки мають зручниЙ для застосування у шженершй прикипи вигляд. Результата дослщжеиь представляй у 5 наукових працях.

Юпочов1 слова:

балка, пластинка, крайош задач!, асимптотика.

SUMMARY

Sazonetz O.N. Investigation of the dynamic for constructions with nonlinear boundary conditions.

The thesis for competition for the candidate of technical scinces degree on speciality 05.23.17 - structural mechanics. Prydneprovic State Academy of Civil Engineering and Architecture, Dnepropetrovsk, 1996.

Thesis is devoted to the investigation of vibration for rods, plates and circle cylindrical shells with nonlinear boundary conditions. An asymptotic procedure for dynamic boundary value problem is proposed. The method is based on the introduction of an artifical small parameter and its using for obtaining a simple approximate analitic solution. Constructed solutions have comfortable for cngeneering practic form.

Five scientific papers are presented.