автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное исследование колебаний однослойных и многослойных оболочек в геометрически нелинейной постановке

На правах рукописи

МИРГОРОДСКИЙ АНДРЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ОДНОСЛОЙНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ

ПОСТАНОВКЕ

05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете.

Научный руководитель: - доктор технических наук, профессор

Трушин Сергей Иванович

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

Косицын Сергей Борисович

- кандидат физико-математических наук, доцент

Медведский Александр Леонидович

Ведущая организация:

Московский архитектурный институт

(МАрхИ)

Защита состоится

« & » « НЛ'УЗрЗ „ 2004 года в /Г на

заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114 Москва, Шлюзовая набережная, д. 8, ауд. ДУ-

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан «

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н. Н.

ш-ч мм

ОБЩАЯ X А РА КТ Е РИ С ТИК А РАБОТЫ

Актуальность темы

Тонкостенные конструкции, обладая высокой степенью экономичности и большим разнообразием форм, находят широкое применение в различных областях техники. Использование современных композиционных материалов, строительство большепролетных сооружений приводят к необходимости учета больших перемещений конструкции при действии статических и динамических нагрузок. В силу условий работы и предъявляемых эксплуатационных требований тонкостенные конструкции составляют, в первую очередь, тот класс задач, для которого расчет с учетом геометрической нелинейности имеет определяющее значение. Анализ устойчивости и колебаний тонкостенных конструкций приводит к необходимости решения краевых задач, описываемых нелинейными дифференииатьными соотношениями, которые в большинстве случаев могут быть успешно решены лишь с помощью численных методов.

Цель работы

Разработать численную методику для динамического анатоза нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций, выполненных с применением композиционных материалов, реализовать ее в виде пакета прикладных программ на ЭВМ и решить ряд задач колебаний и динамической устойчивости однослойных и многослойных оболочек.

Научная новизна работы

1. Разработаны численные методики и алгоритмы решения задач нелинейной динамики оболочек с использованием вариационно-разностного метода и прямых методов интегрирования уравнения движения.

2. Проведены исследования динамической устойчивости пологих оболочек из композиционных анизотропных материалов с учетом геометрической нелинейности.

3. Решен ряд задач о свободных и вынужденньж колебаниях многослойных оболочек при больших перемещениях с учетом низкой сдвиговой жесткости материалов.

Достоверность результатов

В основе методики лежат корректные математические модели и методы решения нелинейных задач. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов. Достоверность результатов подтверждается также анализом сходимости численных решений при различной густоте разностной сетки и величине шага по времени.

Практическая ценность работы

Разработанная в диссертации методика реализована в виде пакета прикладных программ, который позволяет решать широкий круг задач нелинейной динамики оболочек, в том числе с применением современных композиционных материалов.

Внедрение работы

Разработаннь'е методика, алгоритм и программное обеспечение использовались для решения нелинейных динамических задач расчета пологих сферических оболочек и замкнутых цилиндрических оболочек в МГСУ. Результаты расчета оболочечных конструкций из композиционных материалов при действии импульсивных нагрузок внедрены в ЦНИИСМ (г. Хотьково).

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались или опубликованы в трудах и тезисах докладов научно-технических конференций и семинаров:

- Научная сессия «Компьютерное моделирование и проектирование пространственных конструкций», организованная МОО «Пространственные конструкции» (Москва, декабрь 2001 г.);

Международная научно-практическая конференция-выставка, посвященная 80-летию МГСУ «Строительство в XXI веке. Проблемы и

перспективы» (Москва, декабрь 2001 г.);

- IX международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, февраль 2003

г.);

- XX международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург , сентябрь 2003 г.);

- Научный семинар кафедры строительной механики МГСУ (декабрь 2003 г.);

Публикации

По теме работы имеется 5 публикаций.

Ня защиту выносятся

1. Численная методика решения задач динамики нелинейно деформируемых оболочек из композиционных анизотропных материалов.

2. Результаты исследования свободных колебаний пологих сферических и цилиндрических оболочек с учетом геометрической нелинейности.

3. Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек из композиционных материалов с низкой сдвиговой жесткостью при динамическом нагружении.

4. Результаты решения задач динамической устойчивости оболочек в геометрически нелинейной постановке при различных законах изменения нагрузки.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 171 наименований. Общий объем диссертации составляет 156 страниц, в текст включены 123 рисунка и 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, изложены основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе приводится обзор литературы по теории и численным методам расчета оболочек, а также расчетам на динамические воздействия.

В исследовании оболочек важное место занимает проблема построения кинематической модели. Один из основных подходов заключается в сведении трехмерной задачи к двумерной на основе ряда допущений и гипотез с осуществлением аппроксимации функций перемещений или напряжений по толщине конструкции. Развитие этого подхода связано с именами таких ученых, как С.А. Амбарцумян, А.А. Амосов, Б.Ф. Власов, И.Е.Милейковский, Б.Л. Пелех, Р. Кристенсен и другие. Различные варианты нелинейных уравнений, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява и на моделях типа Тимошенко освещены в работах В.В.Новожилова, В.В. Кабанова, Э.И. Григолюка, Л.А. Шаповалова, А.С.Вольмира, А.В. Кармишина, К.З. Галимова, Р.Б. Рикардса, и других авторов.

В развитие теории и методов расчета многослойных оболочек как контактной задачи сопряжения слоев большой вклад внесли В.В. Болотин и Э.И. Григолюк. Другое направление, основанное на введении некоторых допущений относительно напряженно-деформируемого состояния для всего пакета слоев, развивалось в работах А.Н.Андреева, В.Г.Пискунова, В.Е.Вериженко, А.О.Рассказова, А.Г. Терегулова, НААлфутова, Я.М.Григоренко, Г.А Ванина и других авторов.

Анализ работ по построению различных моделей тонкостенных пространственных конструкций и их реализации показывает, что для тонких и средней толщины оболочек с низкой сдвиговой жесткостью наиболее

оптимальной с точки зрения численной реализации и точности получаемых решений является техническая теория с учетом деформаций поперечного сдвига.

Далее рассматриваются основные численные методы строительной механики, такие как метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационно-разностный метод. Отмечаются их достоинства и недостатки. На сегодняшний момент для решения рассматриваемых задач наиболее эффективными следует признать метод конечных элементов и вариационно-разностный метод. Вопросы построения и реализации данных численных методов рассмотрены в работах Н.ПЛбовского, А.В. Александрова, А.М. Белостоцкого Д.В. Вайнберга, А.Б. Золотова, СБ. Косицына, Н.Н. Леонтьева, В.А. Постнова, В.И. Прокофьева, Л.А. Розина, А.С. Сахарова, В.Н. Сидорова, С.И.Трушина, РА. Хечумова, Н.Н. Шапошникова, К.-Ю. Бате, Е.Вилсона, Р. Галлагера, О.Зенкевича, Р. Клафа и других авторов.

Применение в рамках перечисленных методов исходных нелинейных геометрических соотношений приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений. Наиболее эффективным методом решения такой задачи является метод продолжения решения по параметру. Этот подход рассматривался В.З.Власовым, И.И.Воровичем, И.Г. Овчинниковым, В.В. Петровым, В.И.Шалашилиным, М. Крисфилдом, Э. Риксом и другими.

Рассмотрены численные методы решения динамических задач. Этому посвящены работы многих авторов, в числе которых А.С.Вольмир, К.-Ю.Бате, ЕЗилсон, М. Секулович, Р.Ф. Габбасов, И.Г. Филиппов, ВЛ. Мондрус, Р.Клаф, А.П. Синицын, Дж. Аргирис, А.Ф. Смирнов, В.А. Смирнов, СБ. Синицын, В.А. Крысько и другие. Отмечаются достоинства и недостатки различных методов, таких как методы прямого интегрирования уравнения движения с явной и неявной схемами, метод разложения по формам собственных колебаний и других. Делается вывод о целесообразности

применения методов прямого интегрирования с неявной схемой, а именно методов Вилсона и Ньюмарка.

Вторая глава посвящена выводу геометрических и физических соотношений теории оболочек, а также уравнений движения на основе принципа Гамильтона-Остроградского.

Оболочка рассматривается в системе ортогональных криволинейных координат (Хь (&£, I, при этом оси щи (Хг совпадают с линиями главных кривизн. Исходные нелинейные геометрические соотношения трехмерной теории на основе ряда допущений и гипотез, справедливых для тонкостенных конструкций, упрощаются и сводятся к двумерным соотношениям. Считается, что:

1. Компоненты деформации и углы поворота малы по сравнению с единицей.

2. Квадраты углов поворота элементарного объема вокруг оси Ъ малы по сравнению с квадратами углов поворота вокруг двух других осей.

3. Тангенциальные перемещения изменяются вдоль оси Ъ по линейному закону, а нормальные перемещения постоянны по толщине оболочки.

Тогда геометрические соотношения для пологой оболочки в декартовой системе координат с учетом деформаций поперечного сдвига принимают следующий вид:

где и и V - тангенциальные перемещения в срединной поверхности оболочки; • - нормальные перемещения; Ь\ и В2 - углы поворота поперечного сечения соответственно в плоскостях (Хе и аг; й( и й2 - радиусы кривизны

соответственно в плоскостях oci z и а2 z.

При расчете тонкостенных пространственных конструкций в нелинейной постановке с использованием вариационно-разностного метода возникает необходимость построения матриц вторых производных дискретного аналога исходного функционала. В связи с этим для формулировки краевой задачи записаны исходные геометрические соотношения, связывающие приращения деформаций с приращениями перемещений.

При выводе зависимостей между усилиями и деформациями полагается, что материал каждого слоя оболочки в процессе деформирования остается упругим и подчиняется обобщенному закону Гука.

Напряженное состояние многослойной оболочки характеризуется внутренними погонными усилиями Nu, N22, М2. Qn>Q23и моментами А/ц, Д221 МЦ, которые определяются по формулам:

= + ^12^22 + ÇA, + £¡2*22 » N■¡2= Вцвц + В22^22 + Q Al ^22*22 »

^12 = ^33е12 + ^33*12 >

ми - Cue;i + С12е22 +Dnkn + D12k22 ; Ai22 = с21^11 + С22е 12 + A Al+¿>22*22 ;

-^12 = ^33е12 + Аз*12 >

£?13 = ^Лз 5 023 = ^2е23 > Коэффициенты, входящие в (2), имеют следующий вид :

ви =t4(^H -*,) ;CU=Q =14(4,-ф/2 ;

H j=l

(2)

А,=А* = 14(4.-ф/3;

j=l

ri H

(3)

где A^fAh, - физические константы j-го слоя, образованного

однонаправленными или ортогонально армированными элементарными слоями, ориентированными под углом ф к оси щ; п - количество слоев материала по толщине; г,р г^Д - координаты граничных поверхностей (рис. 1).

В качестве способа получения уравнений движения используется вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Записывается соотношение вида:

где и - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; е -вектор, компонентами которого являются функции деформаций; о - вектор, компонентами которого являются функции напряжений; р - вектор внешней распределенной нагрузки; р - плотность материала; V - объем, занимаемый телом; п - поверхность, на которой действует внешняя нагрузка; Q - вектор сил демпфирования. В соответствие с данным принципом действительные перемещения системы на отрезке времени между моментами времени \ и /2 отличаются от всех кинематически возможных перемещений, которые удовлетворяют геометрическим граничным условиям на границе тела и которые заданы в начальный М\ и конечный t=h моменты времени тем, что для действительных перемещений ЬЗ = 0.

Применение условий стационарности к дискретному аналогу

функционала (4), построенному, например, с помощью процедур вариационно-разностного метода, приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений

(5)

где 2,2,2- векторы узловых перемещений, скоростей и ускорений соответственно; УЖ- градиент потенциальной энергии деформации системы: М- матрица масс; С- матрица демпфирования; Р- вектор узловых нагрузок.

Третья глава посвящена численным методам решения динамических задач теории оболочек.

В основу алгоритма положен вариационно-разностный метод, согласно которому область, занимаемая оболочкой покрывается сеткой. Производные, входящие в подынтегральное выражение заменяются конечными разностями, а интегрирование - суммированием. Последующее использование принципа Гамильтона-Остроградского приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений, для решения которых в работе применен метод Ньютона-Рафсона.

В силу нелинейного характера геометрических соотношений на каждой итерации (шаге) поиска решения необходимо заново вычислять матрицу Гессе (матрицу вторых производных или матрицу жесткости) и вектор градиента системы уравнений. Наиболее экономичным и точным является подход, основанный на вычислении первых и вторых производных энергии деформации Ж(и) по своим явным выражениям:

где и - вектор узловых перемещений; е - вектор, компонентами которого являются деформации; Б - матрица упругости.

Применяя процедуру дискретизации вариационно-разностного метода,

запишем дискретные аналоги выражений кинетической энергии и работы силы демпфирования для одной ячейки с индексами I, у.

где Л¥ - площадь ячейки; N - число подсчетов функции по ячейке; с8, СМ" -параметры схемы; Х- перемещения и скорости узла« ячейки I,].

Применив к (7) условие стационарности функционала Гамильтона-Остроградского и проинтегрировав по толщине оболочки (координате I) после ряда преобразований получаем следующие выражения:

Ze- вектор перемещений всех узлов ячейки /, ]; Ле и Ат - матрицы, содержащие коэффициенты, полученные в результате интегрирования по толщине оболочки.

Для решения задачи динамики применены методы прямого интегрирования уравнений движения, а именно метод Ньюмарка и метод Вилсона.

В методе Ньюмарка предполагается, что ускорение в пределах шага А/ по времени остается постоянным. В результате ряда известных преобразований и подстановок уравнение движения преобразуются к виду:

А?2

М+—С+Ди = 2А#Й(0 + (—М + 2С |и(0+АР (9) Д? ) )

Учет нелинейного характера геометрических соотношений в рамках метода Ньюмарка при решении задачи динамики осуществляется следующим образом. Уравнение (9) в соответствии с соотношениями метода Ныотона-Рафсона преобразуется к виду:

Процедура решения по данному методу проиллюстрирована на рис. 2, 3. В случае применения других методов прямого интегрирования (©-метод

Вилсона, Хаболта, центральных разностей и др), разрешающая система уравнений модифицируется аналогичным образом

Рис. 2. Шаг с номером т по параметру нагрузки на (п+1)-ом шаге по времени Рй

Рис. 3. Итерационный процесс на шаге с номером т по параметру нагрузки

Данная методика реализована в виде пакета прикладных программ дня ЭВМ, с использованием которого был решен ряд тестовых задач, в том числе

задачи о свободных колебаниях удлиненной пластинки и пологой оболочки в линейной постановке. Полученные результаты расчета демонстрируют хорошее совпадение с аналитическими и численными решениями задачи о свободных колебаниях пологой цилиндрической оболочки, полученными по разработанной методике, с использованием программного комплекса ЛИРА и решения, приведенного в работе А.С. Вольмира.

В четвертой главе приводятся результаты решения ряда задач нелинейной динамики оболочек при различных видах динамических воздействий, материалов и форм оболочек, а именно:

1. Проведено исследование сходимости разработанной методики в зависимости от величины шага по пространственной и временной координатам. Исследована сходимость решения в зависимости от величины шага по времени для метода Ньюмарка и 0-метода Вилсона;

2. Исследованы свободные колебания пластин, пологих цилиндрических и сферических оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановках при различных радиусах кривизн и амплитудах колебаний. Например, рассмотрена цилиндрическая удлиненная панель пролетом Ь, радиусом кривизны R и толшиной h со следующими параметрами: кривизна k*=b2/(Rh)=l0; распределенная масса ж=2,0106 кг/м2; коэффициент демпфирования с=0; число участков (элементов) разностной сетки «=16; материал изотропный, £=2,1-10" Н/м2, у=0,3; граничные условия - шарнирно-неподвижное закрепление по двум сторонам; начальные условия -нормальные перемещения w по полуволне синусоиды с максимальной амплитудой А в центре оболочки; шаг по времени принят равным 0,002 с. Рассмотрено три значения амплитуды A=Q,lh; А; 5А Полученные результаты, представленные в виде графиков вертикальных относительных перемещений центрального узла оболочки, приведены на рис. 4. Интегрирование уравнений движения оболочки осуществлялось по схеме Ньюмарка.

Обозначения

-----линейное решение АШ=1

—0— нелинейное решение при А1Н=0.1

нелинейное решение при А1Ь=1 - нелинейное решение при /1/Л=5

Рис. 4. Графики вертикальных относительных перемещений узла в середине пролета для различных амплтуд свободных колебаний.

3. Исследована зависимость частоты вынужденных колебаний удлиненной пологой цилиндрической панели от частоты внешнего гармонического воздействия.

4. Проведен численный анализ напряженно-деформированного состояния нелинейно-деформируемой пологой сферической оболочки из композиционных материалов с низкой сдвиговой жесткостью в условиях динамического силового воздействия.

5. Решена задача динамической устойчивости для нелинейно-деформируемой пологой сферической оболочки. Проведено сопоставление результатов с решением задачи статической устойчивости для данной конструкции (рис. 5). Исходные данные: размер в плане 4 м х 4 м; сетка элементов 16x16; толщина

0,01 м; кривизны = кг — 0,025 м"'; распределенная масса 375 кг/м2; материал изотропный, граничные условия - шарнирно-

неподвижное закрепление по контуру; начальные условия - перемещения, скорости и ускорения равны нулю при /=0; нагрузка р = Лt, где Л=20Л=440кНс/м2.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

Обозначения

-----динамическое решение;

-статическое решение;

Рис. 5. Вертикальные перемещения и> центрального узла оболочки

6. Исследовано напряженно-деформированное состояние многослойной замкнутой круговой цилиндрической оболочки из композиционного материала под действием внутреннего давления, имеющего импульсивный характер. Представленные в диссертационной работе результаты расчета имеют прикладное значение и получили внедрение в ЦНИИСМ.

7. Исследовано напряженно-деформированное состояние замкнутой цилиндрической оболочки из изотропного и многослойного ортотропного композиционного материалов под воздействием ударной волны (рис.6). Построены поля перемещений и усилий, графики движения характерных точек

на поверхности оболочки (рис. 7-10). На представленных рисунках М и N -номера узлов оболочки соответственно вдоль ф и ,5 (Л/=1,2,...,25 соответственно при ф = 0,7.5,15.....180).

Направление движения фронта волны

Рис. 6. Цилиндрическая оболочка, система координат на поверхности, обозначения перемещений.

В силу симметрии задачи (рис. 6) рассматривалась половина оболочки. В качестве результатов здесь показаны поля нормальных перемещений w на развернутой поверхности оболочки в различные моменты времени. Исходные данные: толщина стенки Л=0,0008 м; материал изотропный, £=2,1- 10й Н/м2, у=0,3, р=7,8-103 кг/м3; разностная сетка - 10 элементов (вдоль ,) на 24 элемента (вдоль ф); граничные условия - жесткое защемление по торцам. Воздействие ударной волны моделируется направленной по нормали к поверхности нагрузкой вида:

?(ф>0 = сое2 <рН(КфГ - |<р|),

где ф - полярный угол; Кф = 900 м/с - скорость движения фронта волны; Н -функция Хевисайда; ^=Л(1-совф); р = 5 МПа - давление фронта волны;

ее

Т1=ТГ7; /=[?(0,0Л=ЗкПас;

V о

и/, м

4 0Е-СЮ4

Рис. 7. График нормальных перемещений ю узлов оболочки расположенных на середине высоты оболочки (#=0,032 м)

123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 М

--3 СЕ и04

1-2 5Е 004

I

1—2 ОС С04 1—| 15Е С04 г—51 ОЕ 004

5 ОЕ 005

0 ОЕ+ОЛ) 5 ОР 005

1 ОЕ 0С4 1 5Е 004

Рис. 8. Изопсшя перемещений ю [м] при 1=0,00006 с

1 Получены уравнения движения с применением численных процед>р вариационно-разностного метода на основе геометрических соотношений для тонких и средней толщины нелинейно-деформируемых оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, физических соотношений для оболочек из многослойного композиционного материала

2. Получены соотношения для методов прямого интегрирования уравнений движения (в частности метода Ньюмарка и ©-метода Вилсона) в приращениях с учетом геометрических соотношений для нелинейно-деформируемых оболочек.

3. Разработаны численные методики и алгоритмы решения задач нелинейной динамики оболочек с использованием вариационно-разностного метода и прямых методов интегрирования уравнения движения.

4. Все предлагаемые численные методики и алгоритмы апробированы на решении тестовых задач. Проведено исследование сходимости для различных значений параметров разностной схемы.

5. Исследованы свободные колебания пластин, пологих цилиндрических и сферических оболочек в линейной и геометрически-нелинейной постановках при различных амплитудах колебаний.

6. Исследована зависимости частоты вынужденных колебаний удлиненной пологой цилиндрической панели от частоты внешнего гармонического воздействия.

7. Решена задача динамической устойчивости для нелинейно-деформируемой пологой сферической оболочки. Проведено сопоставление результатов с решением задачи статической устойчивости для данной конструкции.

8. Проведен численный анализ напряженно-деформированного состояния нелинейно-деформируемой пологой сферической оболочки из композиционных материалов с низкой сдвиговой жесткостью в условиях динамического силового воздействия.

9. Исследовано напряженно-деформированное состояние многослойных замкнутых круговых цилиндрических оболочек под действием импульсивного внутреннего давления.

10. Исследовано напряженно-деформированное состояние замкнутой цилиндрической оболочки из изотропного и многослойного ортотропного

композиционного материалов под воздействием ударной волны. Построены

поля перемещений и усилий, графики движения характерных точек на

поверхности оболочки.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Миргородский А.В., Трушин СИ. Численный анализ собственных колебаний многослойной цилиндрической оболочки с использованием вариационно-разностного метода. // Тезисы докладов международной научно-практической конференции-выставки, посвященной 80-летию МГСУ «Строительство в XXI веке. Проблемы и перспективы». - М.: Изд-воМГСУ,2001г.-с. 116.;

2. Миргородский А.В. Численный анализ собственных колебаний пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сборник трудов №6. - М.: Изд-во МГСУ, 2003 г.-с. 299-308.;

3. Миргородский А.В., Трушин СИ. Численный динамический анализ вынужденных колебаний многослойных пологих оболочек из композиционных материалов в геометрически нелинейной постановке. // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. Сборник трудов №6. - М.: Изд-во МГСУ, 2003 г. - с. 309-316.;

4. Трушин СИ., Миргородский А.В. Решение задач устойчивости и динамики нелинейно деформируемых однослойных и многослойных оболочек. // Материалы XX международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов.» - СПб: Изд-во СПбГУ, 2003, с. 175;

5. Трушин СИ., Миргородский А.В., Жаворонок СИ. Численное решение задач динамики пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке. // Материалы IX международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» -М.: Изд-во «Оптимпресс», 2003, с. 68.

КОПИ-ЦЕНТР св. 77:07:10429 Тираж 100 экз. теп. 185-79-54

г. Москва м. Бабушкинская ул. Енисейская 36 комната №1 (Экспериментально-производственный комбинат)

»19 125

РНБ Русский фонд

2005-4 16438

/

Введение.

Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета нелинейно-деформируемых тонкостенных конструкций на динамические воздействия.

1.1. Построение теории однослойных и многослойных пластин и оболочек.

1.2. Методы решения краевых и вариационных задач в теории пластин и оболочек.

1.3. Методы и алгоритмы решения нелинейных задач с параметром продолжения.

1.4. Методы и алгоритмы численного решения нелинейных динамических задач.

Глава 2. Общие зависимости нелинейной теории однослойных и многослойных оболочек.

2.1. Исходные нелинейные зависимости трехмерной теории и их упрощение.

2.2. Техническая теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине.

2.3. Геометрические соотношения нелинейно деформируемых оболочек в приращениях.

2.4. Физические соотношения для однослойных и многослойных оболочек.

2.5. Применение принципа Гамильтона-Остроградского для построения разрешающих уравнений нелинейной задачи динамики.

Глава 3. Построение численных методик решения нелинейных задач динамики и устойчивости.

3.1. Разностно-квадратурная аппроксимация функционала.

3.2. Итерационные методы и методы дифференцирования по параметру.

3.3. Вычисление коэффициентов матрицы Гессе и вектора невязки.

3.4. Вычисление коэффициентов матриц масс и демпфирования.

3.5. Прямые методы интегрирования уравнений движения.

3.6. Анализ тестовых задач.

Глава 4. Расчет многослойных оболочек и пластин из композиционных анизотропных материалов

4.1. Исследование свободных колебаний пластинки в линейной и нелинейной постановках при различных амплитудах.

4.2. Исследование свободных колебаний удлиненной цилиндрической панели при различных кривизнах и амплитудах.

4.3. Исследование зависимости частоты вынужденных колебаний удлиненной пологой цилиндрической панели от частоты внешнего гармонического воздействия.

4.4. Динамический анализ пологих оболочек из изотропных материалов. Оценка сходимости.

4.5. Динамический и статический анализ пологих оболочек из изотропных материалов. Динамическая устойчивость.

4.6. Динамический анализ пологих оболочек композиционных материалов. Динамическая устойчивость.

4.7. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойных замкнутых круговых цилиндрических оболочек.

4.8.' Воздействие ударной волны на замкнутую цилиндрическую оболочку из изотропного и многослойного ортотропного композиционного материалов.

Тонкостенные конструкции, обладая высокой степенью экономичности и большим разнообразием форм, находят широкое применение в различных областях техники: машиностроении, приборостроении, авиации и космонавтике, кораблестроении, промышленном и гражданском строительстве. Весьма широк диапазон внешних воздействий, испытываемых оболочками, и видов применяемых в них материалов. В связи с этим анализ прочности и устойчивости тонкостенных конструкций при больших перемещениях приводит к необходимости решения краевых задач, описываемых нелинейными дифференциальными соотношениями (уравнениями равновесия или функционалами), которые в большинстве случаев могут быть успешно решены лишь с помощью численных методов.

Расчет и проектирование тонкостенных конструкций с использованием компьютерной техники составляет в настоящее время один из наиболее важных разделов строительной механики. При этом в общей схеме расчета оболочечных конструкций на прочность и устойчивость отправной точкой является формулировка соответствующей краевой задачи, включающей в себя построение исходных геометрических и физических соотношений, дифференциальных уравнений или вариационного функционала, а также формулировку граничных условий.

Наибольшее распространение в практике расчетов получили различные варианты теории оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява. Однако, при расчете тонкостенных конструкций средней толщины и конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов, в контактных задачах эта теория дает значительную погрешность. В последнее время получили распространение различные уточненные технические теории, учитывающие деформации поперечного сдвига. Учет этих деформаций хотя и приводит к увеличению количества искомых функций перемещений, тем не менее позволяет строить более алгоритмичные вычислительные схемы при реализации решения задачи на ЭВМ.

При анализе стержневых и тонкостенных пространственных конструкций линейный расчет продолжает оставаться наиболее распространенным средством оценки прочности и устойчивости сооружений. Однако, как известно, он является лишь первым приближением, справедливым в ближайшей окрестности начального состояния. Использование новых высокопрочных конструкционных материалов, строительство большепролетных сооружений, стремление максимально использовать несущую способность материала приводят к необходимости учета как нелинейных характеристик материала, так и больших перемещений конструкции в процессе деформирования. В силу условий работы и предъявляемых эксплуатационных требований тонкостенные конструкции составляют, в первую очередь, тот класс задач, для которого нелинейный расчет с учетом геометрической нелинейности имеет определяющее значение.

Основными направлениями нелинейного анализа конструкций является в настоящее время разработка и совершенствование адекватных расчетных моделей и создание эффективных и экономичных алгоритмов численного решения краевых задач на ЭВМ. Среди методов решения задач строительной механики, получивших наибольшее распространение, следует отметить метод конечных элементов (МКЭ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных разностей (МКР), метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Методы типа МКЭ или ВРМ отличает широкая область применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительная простота учета взаимодействия конструкций с окружающей средой (механические, температурные, коррозионные воздействия, граничные условия и т. д.), высокая степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета. В ходе численной реализации этих методов весьма существенную роль играет тот факт, что вариационная постановка задачи приводит к снижению порядка производных по сравнению с формулировкой задачи в виде дифференциальных уравнений равновесия. Кроме того, матрица системы алгебраических уравнений имеет редко заполненную квазидиагональную структуру, что ускоряет численное решение задачи и сокращает требуемый объем машинной памяти. Использование ВРМ при решении краевой задачи дает возможность построить эффективный и гибкий алгоритм, позволяющий легко переходить от одной задачи к другой, внося в программу расчета, организованной в виде пакета прикладных программ, небольшие изменения, связанные в основном лишь с записью конкретного функционала и аппроксимирующих функций.

При исследовании устойчивости нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций возникает необходимость построения кривых равновесных состояний, определения предельных и бифуркационных нагрузок и исследования устойчивости форм равновесия при малых возмущениях параметров системы. Для построения кривых равновесных состояний и исследования устойчивости форм равновесия оболочечных конструкций весьма эффективным является класс методов, основная идея которого сводится к построению последовательности решений на основе имеющегося начального решения при шаговом изменении ведущего параметра. В качестве такого параметра продолжения решения может быть выбран параметр нагрузки, перемещение в некоторой заданной точке или длина дуги кривой равновесных состояний.

Целью диссертационной работы является:

1. Создание численных методик решения краевой нелинейной задач динамики оболочек, построения кривых равновесных состояний.

2. Разработка программного обеспечения для научно-исследовательских и инженерных расчетов тонкостенных конструкций, имеющего пакетную структуру и позволяющего дополнять и модифицировать программные модули при изменении постановки задачи.

3. Сравнение результатов расчета с известными аналитическими и численными решениями.

Научную новизну работы составляют:

1. Разработанные численные методики и алгоритмы решения задач динамики применительно к нелинейно деформируемым тонкостенным конструкциям (оболочкам).

2. Разработанные алгоритмы и полученные результаты решения динамических нелинейных задач устойчивости.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения, построенного в виде пакета прикладных программ по расчету различного типа однослойных и многослойных оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружениях.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов и экспериментальными исследованиями пластин и оболочек.

По теме диссертации имеется 5 публикаций, в том числе 2 статьи.

Диссертация состоит из введения,' четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

В качестве основных теоретических и практических результатов данной диссертационной работы можно перечислить следующее:

1. Получены уравнения движения с применением численных процедур вариационно-разностного метода на основе двух вариантов геометрических соотношений для тонких и средней толщины нелинейно-деформируемых оболочек с учетом деформации поперечного сдвига, физических соотношений для оболочек из многослойного композиционного материала.

2. Получены соотношения для методов прямого интегрирования уравнения движения (в частности метода Ньюмарка и 0-метода Вилсона) в приращениях с учетом геометрических соотношений для нелинейно-деформируемых оболочек.

3. Разработаны численные методики и алгоритмы решения задач нелинейной динамики оболочек с использованием вариационно-разностного метода и прямых методов интегрирования уравнения движения.

4. Все предлагаемые численные методики и алгоритмы апробированы на решении тестовых задач. Проведено исследование сходимости для различных значений параметров разностной схемы.

5. Исследованы свободные колебания пластин, пологих цилиндрических и сферических оболочек в линейной и геометрически-нелинейной постановках при различных амплитудах колебаний.

6. Исследована зависимости частоты вынужденных колебаний удлиненной пологой цилиндрической панели от частоты внешнего гармонического воздействия.

7. Решена задача динамической устойчивости для нелинейно-деформируемой пологой сферической оболочки. Проведено сопоставление результатов с решением задачи статической устойчивости для данной конструкции.

8. Проведен численный анализ напряженно-деформированного состояния нелинейно-деформируемой пологой сферической оболочки из композиционных материалов с низкой сдвиговой жесткостью в условиях динамического силового воздействия.

9. Исследовано напряженно-деформированное состояние многослойных замкнутых круговых цилиндрических оболочек под действием изменяющегося внутреннего давления.

10. Исследовано напряженно-деформированное состояние замкнутой цилиндрической оболочки из изотропного и многослойного ортотропного композиционного материалов под воздействием ударной волны. Построены поля перемещений и усилий, графики движения характерных точек на поверхности оболочки.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. М.: АСВ, 2000.

3. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст.ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965, т. 14, №3, с.337-344.

4. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. М.: Стройиздат, 1983. -488 с.

5. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. - 264 с.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Физматгиз, 1967. -266 с.

8. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория нетонких упругих оболочек и плит. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук, М., ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1990. 336 с.

9. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1987, №5, с.37-42.

10. Ю.Андреев А.Н, Немировский Ю.В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН СССР, МТТ, 1977, №5, с.87-96.

11. Антонов Е.Н. К анализу соотношений геометрически нелинейной теории малых деформаций тонкой оболочки // Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура, 1983, №11, с.41-45.

12. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука, 1998.-462 с.

13. Баничук Н.В. Введение в оптимизацию конструкций.-М.: Наука, 1986.-302 с.

14. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Черноусько Ф.Л. О разностно-квадратурных аппроксимациях выпуклых интегральных функционалов // ДАН СССР, 1976, т. 231, №2, с. 269-272.

15. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. -448 с.

16. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

17. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. Рига.: Зинатне, 1987. - 295 с.

18. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. - 376 с.

19. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. - 524 с.

20. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. - 248 с.

21. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966, с.209-214.

22. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

23. Ванин Г.А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. Киев: Наукова думка, 1978. 212 с.

24. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. -154 с.

25. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

26. Васильков Г.В., Кудинов О.А., Панасюк J1.H. Итерационные методы решения упруго-пластических задач динамики сооружений. // Исследования по расчету пластин и оболочек. Ростов на Дону: Ростовский инженерно-строительный институт, 1986, с. 3 - 18.

27. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978.-183с.

28. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой плиты // Вестник МГУ, сер.физ.-матем.наук, 1957, №2, с.25-33.

29. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластин // Известия АН СССР, ОТН, 1957, №12, с.57-60.

30. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. -784 с.

31. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. - 492 с.

32. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: ГИТТЛ, 1956. -420 с.

33. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.-984 с.

34. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. - 432 с.

35. Зб.Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости). М.: Наука, 1976. - 416 с.

36. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. - 320 с.

37. Вольмир А.С., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур. М.: Машиностроение, 1989 - 248 с.

38. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек// ПММ, 1956, 20, №4, с.449-474.

39. ЗЭ.Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ, 1965, т.29, №5, с.894-901.

40. Габбасов Р.Ф. Об интегральной и дифференциальной формах численного метода последовательных аппроксимаций. // Строительная механика и расчет сооружений., 1978, №3, с. 26-30.

41. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных приближений. // Строительная механика и расчет сооружений., 1980, №3, с. 27-30.

42. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. -Казань: Изд-во КГУ, 1975. -325 с.

43. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1967, вып.5, с.66-92.

44. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.-428 с.

45. Голованов А.И. Динамическая устойчивость трехслойных оболочек: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Казань, 1982. - 18 с.

46. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953. - 544 с.

47. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.-360 с.бО.Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки: Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988.-288 с.

48. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней , пластин и оболочек. Итоги науки и техники // Механика твердых деформируемых тел. М.: ВИНИТИ, 1973. -272 с.

49. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб. Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наукова думка, 1978. 216 с.

50. Григорьев А.С. Большие прогибы прямоугольных мембран //Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, №3, с. 105-113.

51. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР, 1953, т.88, №4, с.601-602.

52. Иванов А.С., Трушин С.И. Разработка и оценка вычислительных алгоритмов исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1991, №5, с.53-58.

53. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. Л.: Стройиздат, 1986. -168 с.

54. Исаханов Г.В., Кепплер X., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Исследование алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд1вельник, 1975, bbin.XXVII, с.3-10.

55. Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. Саратов: Изд-во Сарат.политехнич.ин-та,1972,с.З-8.

56. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. -Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 354 с.

57. Клаф Рэй В., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979.-320 с.

58. Кобелев В.Н., Потопахин В.А. Динамика многослойных оболочек. — Ростов на Дону: изд-во Ростовского университета, 1985. 160 с.

59. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963.-278 с.

60. Композиционные материалы: Справочник / Под общ. ред. В.В.Васильева, Ю.М.Тарнопольского. М.: Машиностроение, 1990.-512 с.

61. Коннор Дж. и Морин Р. Метод возмущений в расчете геометрически нелинейных оболочек // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974, т.2, с. 186-202.

62. Копейкин Ю.Д. Применение бигармонических потенциалов в краевых задачах статики упругого тела. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М., 1978.

63. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. М.: Наука, 1980. - 400 с.

64. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. -192 с.

65. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. -М.: Наука, 1968.-260 с.

66. Корнишин М.С., Столяров Н.Н. Большие прогибы прямоугольной в плане пологой цилиндрической панели с неподвижными краями // Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970, вып.6-7, с. 165186.

67. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. -М.: Машиностроение, 1965. -272 с.

68. Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник М.: Издательство УДН, 1991. - 287 с.

69. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.-336 с.

70. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216с.

71. Крысько В. А., Куцемако А.Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек. Саратов: СГТУ, 1999. - 202 с.

72. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. - 472 с.

73. Куранов Б.А., Турбаивский А.Т., Бобель J1.В. Геометрические соотношения нелинейной теории малых деформаций тонких оболочек// Проблемы прочности, 1988, №6, с.58-61.

74. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 464с.

75. Лехницкий С.Г. К теории анизотропных толстых плит // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, №2.

76. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.-416 с.

77. Либреску Л. Нелинейная теория упругих анизотропных многослойных оболочек // Избранные проблемы прикладной механики. М.: Наука, 1974. - с.453-466.

78. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.

79. Лычев С.А. Нестационарные задачи динамики для трехслойных сферических оболочек: автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара, 1999. -18с.

80. ЭО.Матевосян P.P. Метод решения и анализа систем нелинейных уравнений // Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1974, вып.35, с.22-33.

81. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций / под ред. Кармишина A.M. М.: Машиностроение, 1990. -288 с.

82. Милейковский И.Е. Система исходных уравнений пологих оболочек при учете сдвига по толщине и решение их по методу конечных элементов // Пространственные конструкции зданий и сооружений, 1977, вып.З, с.5-10.

83. Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций . М.: Стройиздат, 1989. - 200 с.

84. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

85. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. - 352 с.

86. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

87. Муштари Х.М., Терегулов И.Г. К теории оболочек средней толщины // ДАН СССР, 1959, т.128, №6.

88. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1981. -216 с.

89. ЮО.Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. J1.-M.: Гостехтеориздат, 1948. -212с.

90. Норри Д., де Фриз Ж. Ведение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981.-304 с.

91. Ю2.0вчинников И.Г., Трушин С.И. О расчете гибкой пластинки из нелинейно-упругого материала, свойства которого зависят от температуры // Прикладная теория упругости. Саратов: Изд-во Сарат.политехнич.ин-та, 1979, вып.2, с. 130-134.

92. Юб.Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: Изд-во МГУ, 1969.-695 с.

93. Юб.Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

94. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений. Киев: Наукова думка, 1982.-296 с.

95. Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научные доклады высшей школы. Строительство, 1959, №1, с.27-35.

96. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. -119 с.

97. ИО.Петухов Н.П. Гибкие пластины и пологие оболочки, области в плане которых составлены из прямоугольников // Исследования по теории оболочек, 1976, вып.7.

98. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций . Киев: Буд1вельник, 1986. -176с.

99. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.-342 с.

100. Рассказов А.О. К теории многослойных ортотропных пологих оболочек// Прикладная механика, 1976, т.12, №11, с.50-56.

101. Ржаницын А.Р. Новые уравнения теории оболочек // Международная конференция по облегченным пространственным конструкциям покрытий для строительства в обычных и сейсмических районах. Доклады. М.: Стройиздат, 1977, с. 126-139.

102. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

103. Иб.Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов. Рига: Зинатне, 1974. - 270 с.

104. Ричард, Блэклок. Расчет неупругих конструкций методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №3, с.59-66.

105. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. П.: Энергия, 1971. - 214 с.

106. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

107. Секулович М. Метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1993. -664 с.

108. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978. -304 с.

109. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

110. Стриклин, Хейслер, Макдуголл, Стеббинс. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №12, с.82-89.

111. Стриклин, Хейслер, Риземан. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией // Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.11, №3, с.46-56.

112. Стриклнн Дж.А. Статические и динамические расчеты геометрически нелинейных оболочек вращения. // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л.: Судостроение, 1974., т. 1, с. 272-292.

113. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат, 1987. - 160 с.

114. Терегулов А.Г. К теории многослойных анизотропных оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970, вып.6-7, с.762-767.

115. Терегулов И.Г. К построению уточненных теорий пластин и оболочек//ПММ, 1962, т.26, вып.2.

116. Трушин С.И. Теория и расчет нелинейно деформируемых многослойных оболочек вращения // Численные методы расчета и оптимизации строительных конструкций. Труды ЦНИИСК им.ВАКучеренко, 1989, с.157-164.

117. Трушин С.И. Численное решение нелинейных задач устойчивости пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // Исследования по строительным конструкциям. Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1984, с.46-52.

118. Трушин С.И., Блохина Н.С., Иванов А.С. Решение нелинейных задач устойчивости тонкостенных конструкций при термосиловом нагружении // Проблемы теории и практики в инженерных исследованиях. Труды XXXIII научной конференции РУДН, М., 1997, с. 135-137.

119. Феодосьев В.И. Об одном способе решения нелинейных задач устойчивости деформируемых систем // ПММ, 1963, т.27, №2, с.265-274.

120. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1987. -384 с.

121. Фэмили, Арчер. Конечные несимметричные деформации пологих сферических оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.З, №3, с. 158-163.

122. Хейслер, Стриклин, Стеббинс. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики // Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, №3, с.32-44.

123. Хечумов Р.А., Кепплер X, Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1994. - 353 с.

124. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1968, №1, с.56-62.

125. Шереметьев М.П., Пелех Б.Л. К построению уточненной теории пластин // Инж.журнал, 1964, t.IV, вып.З, с.504-509.

126. Шмит, Богнер, Фокс. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием конечных элементов пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №5, с.17-29.

127. Argyris J.H. Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis // Progress in Aeronautical Science, Vol.4, Pergamon Press, New York, 1964.

128. Argyris J.H., Kelsey G. Energy theorem and structural analysis. -London: Butterworth, 1960.

129. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Englewood Cliffs. Prentice-Hall, 1982. 735 p.

130. Batoz J.L. and Dhatt G. Incremental displacement algorithms for nonlinear problems // Int. J. Num. Meth. Eng., v.14, 1979, pp. 12621266.

131. Bergan P.G. Solution algorithms for nonlinear structural problems // Computers & Structures, v.12, 1980, pp. 497-509.

132. Bushnell D. Stress, buckling and vibration of hybrid bodies of revolution // Computers & Structures, 1977, vol.7, No.4, pp.517-573.

133. Chang T.Y., Sawamiphakdi K. Large Deformation Analysis of Laminated Shells by Finite Element Method // Computers & Structures, 1981, Vol.13, pp. 331-340.

134. Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis // Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburg, 1960, pp. 345-378.

135. Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Variations // Bull. Amer. Math. Soc., 1943, vol.49, No1, pp.1-23.

136. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics // Int. J. Sol. and Struct., 1969, 5, pp. 1259-1274.

137. Gallager R.H. Finite element representations for thin shell instability analysis // Buckling Struct. Berlin e.a., 1976, pp.40-51.

138. Gallager R.H., Gellatly R.A., Pedlog J., Mallet R.H. A discrete element procedure for thin shell instability analysis // AIAA Journal, 1967,11.

139. Hrennikoff A. Solution of problems in elasticity by the framework method//J. Appl. Mech., 1941, 6, pp. 169-175.

140. Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L'Academie des sciences, 1934, v.198, N21, pp.18401842.

141. McHenry D.A. A lattice analogy for the solutions of plane stress problems//J. Inst. Civ. Eng., 1943, 21, pp. 59-82.

142. Meek J.L. and Loganathan S. Geometrically non-linear behaviour of space frame structures // Computers & Structures, v.31, 1989, pp. 35-45.

143. Mileikovskii I.E., Trushin S.I. Analysis of Thin-Walled Structures. -New Delhi: Oxford & IBH Publishing, 1994. -187 p.

144. Mileykovsky I.E., Ivanov A.S., Trushin S.I. Efficient Numerical Methods of Nonlinear Stability Analysis of Shallow Shells // Innovative Large Span Structures. Proc. IASS-CSCE International Congress, Toronto, 1992, vol.2, pp.813-824.

145. Norris D.H., Vries G de. Finite element bibliography. New York: Plenum Press, 1976. - 686 p.

146. Ricks E. The Application of Newton's Method to the Problems of Elastic Stability //J. Appl. Mech., 1972, 39, pp.1060-1066.

147. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quart, appl. Math., 1967, 25, pp.83-95.

148. Sidorov V.N., Trushin S.I. An efficient method for algorithmization of boundary problem solution and its application in elastoplastic analysis // Innovative Num. Anal. Eng. Sci. Proc. 2nd Int. Symp., Montreal, 1980, pp. 625-631.

149. Stricklin J.A., Haisler W.E. and Von Riesemann W.A. Geometrically Nonlinear Analysis by the Direct Stiffness Method // Journal of the Structural Division, Vol.97, No.ST9, 1971, pp.22992314.

150. Thompson J.M.T., Walker A.C. The nonlinear perturbation analysis of discrete structural systems // Int. J. Solids and Struct., 4, No.8, 1968, pp.757-768.

151. Thurston G.A. Continuation of Newton's method through bifurcation points //Trans. ASME, E36, No.3, 1969, pp.425-430.

152. Turner M.J. Designe of minimum mass structures with specified natural frequencies//AIAA Journal, 1967,13.

153. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures // J. Aero. Sci., 23, 1956, pp. 805-823.

154. Turner M.J., Dill E.H., Martin H.C. and Melosh R.J. Large Deflections of Structural Subjected to Heating and External Loads // Journal of the Aerospace Sciences, vol.27, No.2, 1960, pp. 97-106.

155. Wempner G.A. Discrete Approximations Related to Nonlinear Theories of Solids // Int. J. Solids Structures, 1971, Vol.7, pp.15811599.