автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование многослойных ортотропных пологих оболочек

/

/

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Сурова Нина Сергеевна

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: * д. т. н., профессор Крысько В. А.

Научный консультант:

к. ф.-м. н., доц. Кириченко В. Ф.

Саратов - 1999г.

Стр.

Содержание......................................................................................2-3

Введение. Неклассическая теория многослойных оболочек

(анализ публикаций по теме диссертации)..................................4-25

Глава I. Математические модели — ММ — многослойных

гибких ортотропных оболочек с учетом температурного поля. . 25-58

1.1. Постановка задачи....................................................................25-28

1.2. Модель типа С.П.Тимошенко - ММ1.................. . 28-39

1.3. Модель Пелеха-Шереметьева - ММ2......................................39-52

1.4. Математическая модель Григолюка-Куликова — ММЗ. ... 52-58 Глава II. Численные алгоритмы решения задач статической УСТОЙЧИВОСТИ..................... ; ......................58"97

2.1. Выбор численного метода................................................58-62

2.2. Вариационно-разностные схемы для решения системы уравнений равновесия в рамках различных ММ........................62-85

2.2.1.Математическая модель типа Тимошенко с f(z) = 1 —

ММ1..................................................................................................62-74

2.2.2.Математическая модель Пелеха-Шереметьвева — ММ2. . 74-82

2.2.3.Математическая модель Григолюка-Куликова — ММЗ. . . 82-83

2.2.4.Модифицированная асимптотически согласованная

модель - АСМ..................................................................................83-85

2.2.5.Математическая модель с s -регуляризацией......................85-96

2.2.6.Модификации математических моделей ММ1, ММЗ,

АСМ. 96-97 Глава III. Численное исследование статической устойчивости многослойных ортотропных пологих упругих оболочек в

рамках различных уточненных теорий..........................................97-127

3.2. Достоверность построенных алгоритмов..............................101-106

3.3. Численное исследование сходимости по сетке......................106-110

3.4. Сравнение кривых устойчивости в координатах «нагрузка-прогиб» многослойных оболочек симметричного 111-118 строения ....

3.4.1.Влияние числа слоев..............................................................111-115

3.4.2.Влияние значения геометрических параметров Л^, Л2.... 116

3.4.3.Влияние значения кривизн....................................................116-117

3.4.5.Влияние материала слоев......................................................117-118

3.5. Сравнение критических нагрузок для оболочек несимметричного строения..............................................................119-120

3.6. Влияние температурного поля на устойчивость....................120-121

3.7 Характеристика НДС 121-127

Заключение....................................................................................128-129

Литература........................................................................................130-141

з

Введение. Неклассическая теория многослойных оболочек. (Анализ публикаций по теме диссертации).

„Сегодня невозможно представить нашу жизнь без оболочек, как трудно обойтись современному человеку без услуг,предоставляемых достигнутым уровнем цивилизации" [ 9].

Проведенный анализ литературных источников [1-109], отличающихся широким временным разбросом позволил сделать вывод, что теоретическим и прикладным проблемам, связанным с изучением оболочек посвящается все возрастающий поток работ отечественных и зарубежных ученых. Это объясняется с одной стороны внутренними стимулами развития самой науки, а с другой, и в большей степени, запросами практики. Использование оболочек, являющихся одним из самых интересных инженерных решений, и особенно многослойных в современной технике позволяет наиболее эффективно решать проблему снижения материалоемкости конструкций, реализовать возможность выбора рациональных параметров в отношении прочности и надежности, широко применять новые материалы и всевозможные сочетания их в виде слоистых оболочек; они находят все более широкое применение, в частности при проектировании нового поколения сверхзвуковых летательных аппаратов, космических систем и ракетоносителей, подводных сооружений. Столь ответственная эксплуатация многослойных конструкций диктует разработку уточненных методов их расчета и повышения качества таких расчетов. В связи с этим при математическом моделировании многослойных оболочек возникают три основные задачи: 1) выявление области использования существующих теорий, включающее оценку их

оптимальности и корректности с точки зрения механической постановки задачи;

2) построение новых моделей, способствующих расширению области их использования; 3) разработка универсальных алгоритмов численного анализа математических моделей-MM, позволяющих получать искомое решение с гарантированной точностью. Эти три задачи определили три основные этапа исследований, проведенных в данной диссертации, конечная цель которой - численно исследовать устойчивость и НДС многослойных ортотропных оболочек при температурно-силовом нагружении с учетом геометрической нелинейности.

Основополагающие работы по формированию математических моделей и выявлению физической сущности величин, лежащих в основе современной теории оболочек и пластин, принадлежат таким ученым, как С. Жермен, Г. Кирхгоф,И.Г. Бубнов [20], В.З. Власов [18], В.В. Болотин, И.И. Ворович [22], К.З.Галимов, Э.И. Григолюк, A.A. Гольденвейзер [28-30], Х.М. Муштари [24], В.В. Новожилов, С.П. Тимошенко [97] и другие. В построении теории многослойных оболочек нашли отражение общие закономерности теории однослойных [101], согласно которым их можно разделить на два больших класса: трехмерные, в которых применяются уравнения трехмерной теории упругости и двумерные, в которых используются уравнения, полученные приведением трехмерной задачи теории упругости к двумерной. Гольденвейзером A.A. в[30], Воровичем И.И. в [22] дана классификация методов приведения трехмерной теории к двумерной, согласно которой их можно разделить на три группы: а) метод гипотез;

б) аналитические методы, включающие метод разложения по толщине;

в) асимптотический метод. Физическая наглядность метода гипотез определила его большую популярность и стимулировала интенсивное

развитие этого направления в теории многослойных оболочек и пластин. При этом возможность применения гипотезы к отдельному слою или ко всему пакету слоев в делом определила развитие этой теории в двух направлениях. Наиболее общим является подход, в котором кинематические гипотезы применяются для каждого слоя, что позволяет исследовать оболочки, существенно неоднородные по толщине и описывать местную потерю устойчивости отдельных слоев. Такой подход впервые был развит П.П. Чулковым в 1963 году и продолжен в исследованиях Григолюка [37-39], Болотина [12], Новичкова [12], Москаленко, Чепиги, Куликова [37-39]. Одним из вариантов подобного подхода являются исследования, основанные на применении принципа сглаживания [12]. Вторым, ставшим основным направлением в теории слоистых оболочек, является метод, в котором вывод уравнений дается на основе гипотез, привлекаемых для всего пакета слоев в целом. Основным его преимуществом при реализации является независимость числа и порядка разрешающих уравнений от количества слоев, что особенно существенно при расчетах многослойных конструкций из композиционных материалов [59]. Ограничимся рассмотрением тонких многослойных оболочек в рамках этого подхода.

В теории слоистых оболочек, как и в теории однослойных, в зависимости от того, какие гипотезы положены в основу исследований, различают классическую и неклассическую теорию, каждая из которых может быть как линейной, так и нелинейной. Классической или моделью первого приближения [19] называют теорию, базирующуюся на гипотезах Кирхгофа-Лява, неклассической или моделью второго приближения [37], называют теорию, привлекающую дополнительные гипотезы для учета деформаций поперечного сдвига и обжатия.

Неклассическую теорию называют еще уточненной [5-8,16],так как в

ней первоначальные классические гипотезы заменяются другими, более

точно отражающими реальное напряженно-деформированное состояние.

Попытка уточнения теорий пластин и оболочек была начата еще в

работах [46, 28, 92,105] .

Новожиловым В.В. в [69,70] показано, что принятие гипотез

Кирхгофа-Лява эквивалентно заданию поля перемещений в виде:

z о dW г о dW TT7Z „r0 и =u +z-, v = v +z-, W = W .

дх dy

Применительно к слоистым оболочкам в рамках принятого подхода компоненты перемещений слоя -к могут быть заданы в виде:

k о dW ъ о dW TTrt TT,0 и = и + z-, v=v°+z-, W = W

дх дх

Тогда из механических соображений следует один из возможных способов построения неклассической теории многослойных оболочек. А именно-изменить закон аппроксимации компонент вектора перемещений (2):

uk=u°+zyx, vk=v°+zyy, Wk =W° (2)

Он остается линейным по z, но введенные искомые функции Ух=7х(х>у)> Yy=Yy{x>y) позволяют теперь в дополнение к (2)

учитывать углы поворота нормали к поверхности z = 0, вызванные деформациями в плоскостях XOZ, Y0Z соответственно. В литературе модель (2) обычно связывают с именем С.П. Тимошенко, предложившего ее в 3-х годах в применении к теории изгиба балок [1,3,20,23-26,37,60,72,81,97] и называют моделью типа Тимошенко. Большой вклад в развитие этой теории внесен советскими учеными: Айнола Л.Я. [1], Галимовым К. Г. [23, 24], Вольмиром A.C. [20],

Пелехом Б.Л. [72,73]. Подробными обзорами по этому вопросу являются [26, 27, 37,41].

Если компоненты вектора перемещений (2) аппроксимировать многочленами третьего порядка по переменной ъ, т. е. ик = и° + 2ух + г2иг + 23угх, V* = V0 + 2Гу + 2 V + 23ГГу , IV* = Щ (3)

то получим ММ, называемую в литературе обобщенной моделью Тимошенко [95,96,100,60] или моделью Пелеха-Шереметьева по имени авторов, впервые предложившими использовать терминальные условия на лицевых поверхностях оболочки для нахождения неизвестных функций в разложении (3).

Если в поле перемещений (2) или (3) задать более общий закон изменения нормальной компоненты вектора перемещений

]¥к=1¥0+Ч', (4)

то введение дополнительной искомой функции *¥(х,у) позволит учесть обжатие, но увеличит количество уравнений равновесия.

Кинематические гипотезы (2) или (3), если их брать за исходные в построении сдвиговой модели, определяют в свою очередь закон изменения касательных напряжений-в случае (2) он линейный, в случае (З)-параболический. Подобная взаимосвязь кинематических и статических гипотез определила второй путь создания неклассических моделей слоистых оболочек и пластин, в котором первичными являются гипотезы о характере изменения напряжений по толщине оболочки или деформаций сдвига. Впервые такой подход был применен в 50-х годах Рейсснером Е. для расчета изотропной пластинки [106, 25], при этом для вывода уравнений равновесия им использовался вариационный принцип Кастелиано [14] . Нагди [104] обобщил идею

Рейсснера для задач динамики, вводя дополнительно к аппроксимации напряжений и аппроксимацию перемещений. Уравнения равновесия получил из смешанного функционала Рейсснера [14]. В 60-х годах Амбарцумян С.А. обобщил идеи Тимошенко и идею Рейсснера на случай тонких анизотропных оболочек и пластин в виде двух теорий: "частично уточненной или итерационной" и "общей уточненной теории" [5-8].

Таким образом, истоками развития неклассической теории явились три подхода: кинематический-Тимошенко, статический-Рейсснера, смешанный-Рейсснера. Эти три идеи были перенесены на многослойные оболочки, претерпев изменения из-за особенностей принятия гипотез для всего пакета слоев в целом. Здесь обычно предполагается, что на поверхностях контакта слоев выполняются либо статические условия:

а к = ак+1- (5)

^ 12 \Ъ >

либо кинематические:

ик= ик+1 (6)

либо те и другие одновременно, т. е. условия абсолютно „жесткого" контакта слоев. Выполнение условий (6) или совместно (5) и (6) являются критериями двух направлений развития неклассической теории слоистых оболочек (пластин). В первом - жесткостные характеристики слоев нельзя брать произвольными. Так, например, в [75] показано, что для изотропных равной толщины слоев в рамках

условия (6) их следует брать отличающимися как ]£(Ек/Ека1)<1.

Во втором-рассматриваются слои, с большим разбросом жесткостных характеристик, что обуславливает возможность построения уточненных моделей слоистых оболочек, в которых

учитывается неоднородность распределения напряжений по толщине пакета. В рамках первого направления библиографию по применению гипотезы типа Тимошенко для расчета слоистых оболочек и пластин можно найти в [2, 36, 44, 65], по применению обобщенной гипотезы Тимошенко- в [27, 94,], в работах автора [50-58,61 ,62,90,91].

Во втором направлении развития неклассической теории многослойных оболочек пионерской явилась работа Прусакова А.П. [77], в которой он подход Рейсснера для однослойной оболочки перенес на многослойные, одновременно приняв гипотезы о распределении поперечных касательных напряжений и изменении перемещений по толщине пакета слоев оболочки. Уравнения равновесия, краевые условия и зависимости между перемещениями и усилиями оболочки получены из вариационного принципа Рейсснера. Порядок разрешающей системы уравнений равен десяти, пакет

несимметричный, учитывается геометрическая нелинейность. Идея одновременной аппроксимации тангенциальных перемещений и поперечных касательных напряжений или деформаций поперечного сдвига с целью получения абсолютно „жесткого" контакта слоев (5), (6) была использована Рябовым А.Ф. [82,83], Рассказовым А.О.[78-80], Пискуновым В.И., Вериженко В.Е., Сипетовым B.C.[75], НемировскимЮ.Н.,АндреевымА.Н.[10,11], КуликовымГ.М.,Григолюком Э.И.[33-35,63,64], Соколовской И.Щ88] Снегиревым В.Ф.[87], Кириченко В. Ф., Суровой Н. С. [55,56,58] для построения моделей слоистых оболочек на базе гипотез типа Тимошенко и обобщенной Тимошенко. При этом использовались функционалы Лагранжа и Рейсснера [14].

В монографии [80] приводятся различные варианты конечно-сдвиговой теории. В первом, учитывающем обжатие, рассматриваются

две независимые гипотезы-статическая:

Чз = Ог3/;(2)у/г{ху) а33 = д+ Н™+1~ 2 + + <р{г)р{ху)

кинематическая:

1зз = гДе <3+ = Я+з

приложена поперечная нагрузка, сдвиг учитывают функции у Xх у\ У2(ху)> поперечное обжатие ¥3(х,у), и Р(х,у)Мз вариационного

принципа Рейсснера получена система дифференциальных уравнений 16 порядка. С ее помощью решаются задачи изгиба, колебаний в геометрически линейной постановке, устойчивости (по Эйлеру) в том числе и оболочек большого прогиба. Анализ применимости построенной уточненной теории проводится в линейной постановке сравнением с трехмерным решением и экспериментальными данными. Вспомогательные функции ^(г) (1=1,2,3) выбираются так, чтобы закон

распределения по толщине оболочки са 133 принимался аналогично соответствующему распределению по толщине этих величин, полученному на основе гипотезы о недеформируемой нормали для всего пакета (/(2) = щг3 + а2г2 + а3г). Перемещения определяются:

дх{

и3 = У/{х1, х2) + /3 3 у/3 (х1, х2)

и являются по сути обобщенной гипотезой Тимошенко. В [78] Рассказов А.О. отмечает, что ту же модель можно получить, используя подход Рейсснера:

и

°гЗ =СгзАз(2)У/г(Х1>Х2) щ(х1,х2,г) = щ(х1}х2) + ¡^у/^х^х^.

Эта идея развивается Соколовской И.И. в [88] , а в монографии [80] представлена в виде второго варианта предлагаемой теории, когда не учитывается обжатие, но рассматривается динамика и две независимые гипотезы:

щ(х1х2,г;г) = У{(х1х2,г) + ё^)Хг(х1х2л) (?)

и о (х1, X2, г^)=щ№(х1,х2^) (1 = 1,2)

а{3(х1Ух2)г;£) = + <к I ~ + (Р1(гШх1>х2^) ^

"т+1 т+1 П1

Функция #?(£)известна, функции %{(х1}х2;{) позволяют благодаря вариационному принципу для динамических процессов Рейсснера привести в соответствие предложения (7) и (8). Показано, что этот вариант может применяться для определения с достаточной степенью точности прогибов и частот собственных колебаний в низшей части спектра в случае тонких и средней толщины оболочек и пластин при любых применяемых на практике отношений С«/^ .

При определении напряжений применение этих уравнений приводит к существенному расхождению с результатами точного решения при > 100(Сн, -модули сдвига несущих слоев и

заполнителя). Верхние критические значения сжимающих нагрузок при жестком заполнителе, найденные в первом и втором вариантах очень близки к результатам точного решения.

В монографии авторского коллектива [75], посвященной численной реализации методом конечных элементов построенной модели слоистых оболочек для решения геометрически линейных, физически нелинейных задач теории пологих неоднородных по толщине оболочек, на первом этапе авторы поперечные и касательные

12

нормальные напряжения находят соответственно из первого и второго уравнения равновесия слоя к; появившиеся функции интегрирования определяют из условия контакта слоев-(5). Затем по закону Гука находят соответственные деформации, а из соотношений Коши зависимости для перемещений. Далее, чтобы освободиться от грузовых членов правой части уравнений, уточняющих классическую теорию [8,83], в качестве гипотезы принимают гипотезу для составляющих вектора перемещений, которые п