автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение нелинейных задач статической и динамической устойчивости изотропных и ортотропных пластин и пологих оболочек

На правах рукописи

ЖУРАВЛЕВА ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИЗОТРОПНЫХ И ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.23.17 - «Строительная механика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

21 НОЯ 2013

005539687

Москва - 2013

005539687

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский государственный строительный университет"

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Трушин Сергей Иванович

Официальные оппоненты: Косицын Сергей Борисович

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет путей сообщения», заведующий кафедрой «Теоретическая механика»

Клейн Владимир Георгиевич

кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ)», профессор кафедры строительной механики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Российский универси-

тет дружбы народов»

Защита состоится «06» декабря 2013 года в час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 9 «Открытая сеть».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет».

Автореферат разослан « & » ноября 2013 г.

Ученый секретарь /> ..у

диссертационного советаАнохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тонкостенные и стержневые пространственные конструкции, выполненные из изотропных и анизотропных композиционных материалов, широко применяются в объектах различного назначения, в том числе повышенного уровня ответственности при сложном нагружении, динамических воздействиях, больших перемещениях. Необходимость разработки методик анализа статической и динамической устойчивости, а также колебаний нелинейно-деформируемых пластин и оболочек приводит к задачам, связанным с построением процедур решения систем нелинейных дифференциальных или алгебраических уравнений, требующих применения численных алгоритмов. В связи с этим, вопросы разработки эффективных численных методик и алгоритмов решения задач устойчивости и колебаний тонкостенных пространственных конструкций с учетом геометрической нелинейности являются актуальными.

Цели работы

1. Разработка методик численного решения задач устойчивости и нелинейной динамики пластин и пологих оболочек, основанных на вариационно-разностном методе и методе продолжения решения по параметру.

2. Создание алгоритмов и процедур численного решения задач устойчивости и нелинейной динамики, а также их реализация в виде программного обеспечения для ЭВМ.

3. Численное исследование устойчивости и нелинейных колебаний пластин и оболочек с помощью разработанных методик при различных параметрах систем, граничных условиях и воздействиях.

Научная новизна работы

1. Разработана методика и численные процедуры решения геометрически нелинейных задач устойчивости изотропных и ортотропных оболочек на базе вариационно-разностного подхода и метода продолжения решения по параметру.

2. Разработана и реализована численная методика решения задач нелинейной динамики пластин с применением метода продолжения решения по параметру путем введения дополнительного уравнения в задачу Коши.

3. Проведено исследование устойчивости нелинейно деформируемых пологих оболочек из композиционного материала при несимметричном нагружении с использованием разработанной методики.

4. Исследованы свободные колебания и динамическая устойчивость нелинейно-деформируемых пластин с помощью метода продолжения решения по параметру.

Достоверность результатов

В основе разрабатываемой методики лежат корректные математические модели и численные методы решения краевых и нелинейных задач. Решение тестовых задач указывает на хорошее совпадение полученных численных ре-

зультатов с данными расчетов других авторов. Достоверность результатов расчетов подтверждается также анализом сходимости численных решений при различной густоте разностной сетки и величине шага по ведущему параметру.

Практическая ценность работы

Разработано программное обеспечение для ЭВМ на языке FORTRAN, входящее в состав пакетного продукта и предоставляющее возможность выполнения расчетов изотропных и ортотропных пластин и оболочек при различных статических и динамических воздействиях. Предложенное программное обеспечение содержит возможность учета деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности. Автором (в составе авторского коллектива) получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013618406.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались или опубликованы в трудах и тезисах докладов научно-технических конференций:

- Научно-техническая конференция по итогам научно-исследовательских работ студентов МГСУ за 2008-2009 учебный год, Москва, МГСУ, 2009;

- Научная сессия МОО «Пространственные конструкции», Москва, НИИЖБ, 2009;

- Всероссийский смотр-конкурс научно-технического творчества студентов ВУЗов «Эврика-2009» на базе ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, НПИ, 2009;

- Научно-техническая конференция по итогам научно-исследовательских работ студентов МГСУ за 2009-2010 учебный год, Москва, МГСУ, 2010;

- XIII Международная межвузовская научно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов «Строительство - формирование среды жизнедеятельности», Москва, МГСУ, 2010;

- X Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи «НТТМ-2010», Москва, ВВЦ, 2010;

- II Международная научно-практическая конференция «Научно-техническое творчество молодежи - путь к обществу, основанному на знаниях», Москва, ВВЦ, 2010;

- XVI Международная межвузовская научно-практическая конференция студентов, магистрантов, аспирантов и молодых учёных «Строительство -формирование среды жизнедеятельности», Москва, МГСУ, 2013;

- Научный семинар кафедры строительной механики МГСУ, Москва, 2013.

Публикации

По теме работы имеется 8 публикаций.

На защиту выносятся

1. Численная методика анализа устойчивости пологих оболочек из композиционных анизотропных материалов в геометрически нелинейной постановке.

2. Методика решения задач нелинейной динамики пластин с применением метода продолжения решения по параметру.

3. Результаты исследования напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний нелинейно деформируемых пластин и оболочек.

4. Результаты исследования динамической потери устойчивости сетчатых пластин с различным характером решетки в геометрически нелинейной постановке.

Объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 139 наименований. Общий объем диссертации составляет 158 страниц, в текст включены 91 рисунок и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, а также изложены основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе приводится обзор литературы по теории оболочек и существующим численным методикам их расчета, а также сводка по методам решения задач с наличием нелинейностей.

Начало разработке теории оболочек и методов расчета тонкостенных конструкций положено в работах Н. Маргерра, А. Навье, К.Б. Бицено, С.П. Тимошенко. В дальнейшем, разработкой теории оболочек занимались такие авторы, как A.A. Амосов, В.В. Болотин, В.З. Власов, Б.Ф. Власов, A.C. Воль-мир, К.З. Галимов, A.JI. Гольденвейзер, Э.И. Григолюк, В.В. Карпов, Н.В. Колкунов, С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, И.Е. Милейковский, Х.М. Мушта-ри, В.В. Новожилов, А.Р. Ржаницын и др.

Проведен обзор численных методов решения задач строительной механики, в их числе метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационно-разностный метод. Вопросы построения и последующей реализации численных методов рассмотрены в работах Н.П. Абовского, П.А. Акимова, A.M. Белостоцкого, Д.В. Вайнберга, Р.Ф. Габбасо-ва, А.Б. Золотова, С.Б. Косицына, Г.А. Мануйлова, В.А. Постнова, Л.А. Рози-на, В.Н. Сидорова, С.И. Трушина, H.H. Шапошникова, B.JI. Якушева, К.-Ю. Бате, Е. Вилсона, Р. Галлагера, О. Зенкевича, Р. Клафа и других авторов.

Описаны наиболее эффективные методы численного решения нелинейных задач, к которым следует отнести группу методов продолжения по параметру, рассмотренных в работах В.З. Власова, И.И. Воровича, В.В. Петрова, В.И. Шалашилина, Е.Б. Кузнецова, М. Крисфилда, Э. Рикса и других.

Рассмотрены также методы численного решения динамических задач, которые подробно анализировались в работах таких авторов, как A.C. Вольмир, Ю.Т. Чернов, И.Г. Филиппов, B.JI. Мондрус, C.B. Кузнецов, А.П. Синицын, А.Ф. Смирнов, С.Б. Синицын, В.А. Крысько, К.-Ю. Бате, Е. Вилсон, M. Се-

кулович, Р. Клаф, Дж. Аргирис и других.

Во второй главе приведен вывод геометрических соотношений с учетом больших перемещений и деформаций поперечного сдвига, физических соотношений теории оболочек.

Оболочка рассматривается в системе ортогональных криволинейных координат а,, а2, г (оси а,,а2 совпадают с линиями главных кривизн). Исходные нелинейные геометрические соотношения имеют вид:

Е.Да, а, г) = еи(а1 а2)+ясп(а, а2} е22(а, си 2) = е22(а, а2) + 2пс22(а1 а2\

г,2(а, а2 г) = е12(а, а2) + 2к12(а1 а2^ е„(а, а2 г) = е13(а, а2^ (1)

где еп,е22,е12>е13,е23 - деформации срединной поверхности оболочки, ки> к22> кп " изменения кривизн и кривизны кручения. Для пологой оболочки в декартовой системе координат х, у эти деформации определяются соотношениями, имеющими следующий вид:

ди 1 \( ЭнЛ д\> 1 1ГЭмЛ ди оу Эи'Зи'

,,= — + — № + - : е,,=— + —и> + — — : е,, =—- + — ч

е,,= — н--№ + - ; е„=— + —и> + —— ; е,г = —-н---1---—

11 дх Л, 2\дх) 22 ду Д2 2{ду) ду дх дх ду

ае, ее2 ее2 ае. в™ . ды

к,, = —к,,=—-; к12=—- +—Ч е.,=-+ 9,; е2з=*Х_ + 02>

" дх 22 ду 12 дх ду дх 2гду 2

(2)

где и и V - тангенциальные перемещения в срединной поверхности оболочки; ю - нормальные перемещения; 0) и 92 - углы поворота поперечного сечения соответственно в плоскостях хг и уг\ Я] и Я2 - радиусы кривизны срединной поверхности соответственно в плоскостях хг иуг.

Проведение нелинейного расчета тонкостенных пространственных конструкций с использованием вариационно-разностного метода приводит к необходимости построения матриц вторых производных дискретного аналога исходного функционала. В работе приведены исходные геометрические соотношения, связывающие приращения деформаций с приращениями перемещений, необходимые для формулировки краевой задачи.

На этапе формирования зависимостей между усилиями и деформациями полагается, что материал оболочки в процессе деформирования остается упругим и подчиняется обобщенному закону Гука. Напряженное состояние оболочки характеризуется внутренними погонными усилиями Nu,Na,Na,M^^,M2l,Mlг^Q\г^Q■a> определяемыми по формулам:

ЛГ„ = Е,к (е„ + ч,2е22)\ М22 = ^ 021е„ + е22); ЛГ12 = С,2Ле12;

1-У12У21 1-у12У21

= ч(кп+у12К22); М22= ЕгИ--(у21к„ + к22); (3)

12(1-у]2У21) 12(1-У12У21)

С /г3

йз = Сц^з; 023 = с23йг23,

где Е], Е2, Си, Сп, С2з - модули упругости и модули сдвига; у)2, у21 - коэффициенты Пуассона; к - толщина оболочки.

Для решения задачи устойчивости с помощью приведенных геометрических и физических соотношений формулируется выражение для полной потенциальной энергии оболочки:

п = Щи) - А(и) = -|| e'ÛEcin - jjq'uc/П, (4)

2 n n

где D - матрица упругости, элементами которой являются приведенные жесткости; Б = (еп е22 еп км к22 к12 е13 е23)г- вектор, компонентами которого являются составляющие тензора деформаций; и = (и v 8, 62 vt>)r — вектор, компонентами которого являются функции перемещений; q = (q, q2 т1 тг q, J - вектор внешней нагрузки, компоненты которого имеют направления, соответствующие компонентам вектора перемещений; Q - область, занимаемая оболочкой.

Третья глава посвящена численным методам решения нелинейных статических задач теории оболочек. Рассматриваются вопросы численного решения задачи статической устойчивости пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке на основе вариационно-разностного метода и метода продолжения решения по параметру.

Алгоритм формирования системы разрешающих уравнений вариационно-разностного метода включает в себя следующие базовые этапы:

1) разбиение области изменения независимых переменных Q на элементарные ячейки;

2) аппроксимация значений искомой функции, доставляющей стационарное значение функционалу энергии, и ее производных внутри элементарной ячейки через значения функции в узловых точках;

3) замена интегралов по ячейкам через приближенные квадратурные формулы;

4) запись условия стационарности скалярной функции векторного аргумента.

В результате выполненной дискретизации исходная вариационная задача сводится к нахождению экстремума скалярной функции векторного аргумента с параметром внешней нагрузки р. Условие экстремума приводит к системе нелинейных уравнений равновесия оболочки, которая записывается следующим образом:

F(u,p) = ViV(u)-pQ = 0, (5)

где VЩи) - градиент потенциальной энергии деформации; Q - нормированный вектор узловых нагрузок.

Примем, что все компоненты вектора перемещений и параметр нагрузки представляют собой функции некоторого параметра s. При этом, каждому значению этого параметра соответствует некоторое единственное равновесное состояние u(s), p(s). В дополнение к существующим уравнениям, описывающим решаемую задачу, вводится вспомогательное уравнение, связываю-

щее длину дуги кривой равновесных состояний 5 с вектором узловых перемещений и параметром нагрузки:

Аз2=£Аи,2+Ар2 . (6)

м

Решение рассматриваемого класса задач выполняется методом Ньютона-Рафсона. Численная процедура этого метода записывается в виде:

У2Щик(^)Аик+[=а&рм + Орк(,5т)^Щик(*„)), «*+1=«*+ т*Д«*+1, (7) где к - номер итерации; рк($т) - значения искомых функций для £-той

итерации; и - значение искомой функции для итерации с номером к +1; Дим, Арм - приращения функций для последующей итерации; V2Ж(ик($т)) -матрица Гессе (матрица вторых производных) функции Щи\ят)); У1¥(ик($т)) - градиент функции 1¥(ик(зт)); т* - итерационный параметр; т - номер шага по ведущему параметру.

Для построения вектора градиента и матрицы Гессе, первые и вторые производные Щи) вычисляются по своим явным выражениям.

Описанная методика была реализована в виде пакета прикладных программ для ЭВМ, с использованием которого был решен ряд тестовых задач. Проведены численные исследования пологих цилиндрических оболочек с помощью разработанного пакета прикладных программ, продемонстрировавшие хорошую согласованность с полученными другими авторами численными и аналитическими решениями. Анализ результатов решения тестовых задач позволяет сделать вывод о том, что предлагаемая методика решения нелинейных задач, реализованная в пакете прикладных программ, достаточно корректна и может использоваться для исследования деформированного состояния и устойчивости тонкостенных пространственных конструкций типа пластин и пологих оболочек.

В четвертой главе описаны результаты, полученные в ходе исследования задач динамики и устойчивости пластин и пологих цилиндрических оболочек, отличающихся различными геометрическими характеристиками и условиями нагружения.

1. Проводился численный анализ устойчивости нелинейно-деформируемых цилиндрических оболочек на квадратном и прямоугольном планах при различных значениях главных кривизн. Рассматривались шар-нирно неподвижно опертые по контуру оболочки из ортотропного композитного материала под воздействием равномерно-распределенной поперечной нагрузки.

Нелинейная задача устойчивости решалась методом продолжения решения по параметру с использованием схемы Крисфилда, где в качестве ведущего параметра принимается длина дуги ^ кривой равновесных состояний. На каждом шаге по ведущему параметру решение уточнялось по методу Ньютона-Рафсона. Краевая задача решалась вариационно-разностным методом с использованием разработанного программного обеспечения.

Размеры квадратной оболочки в плане 1x1 м; прямоугольной - 1x2 м; толщина исследуемых оболочек /г=0,005 м. Физические характеристики материала оболочки: ^^6,393-Ю10 Н/м2, £2=5,786-1010 Н/м2, 012=01з=С2з=0,8-1010 Н/м2, у12=0,15, у21=0,1657. Кривизна в окружном направлении к для квадратной оболочки менялась от значения 0,15 м"1 до 0,4 м"1 с шагом 0,05 м"1, для прямоугольной - от значения 0,18 м"1 до 0,48 м'1 с шагом 0,06 м"1.

Для исследуемых оболочек были получены кривые равновесных состояний (графики зависимости вертикального перемещения центрального узла оболочки от значения величины равномерно распределенной поперечной нагрузки) при перечисленных значениях кривизны (рис. 1). Величина предельной нагрузки увеличивается с увеличением кривизны оболочки. Кроме того, для квадратной оболочки на восходящей ветви равновесных состояний появляются точки ветвления форм равновесия. Характер и формы потери устойчивости для оболочки на прямоугольном плане не меняются существенно при увеличении значений кривизны.

--кривизна к=0,0015

---кривизна к=0,002

кривизна к=0,0025

-кривизна к=0,003

"—кривизна к-0,0035 .......кривизна кЮ,004

а)

—кривизна к=0,0048

.......кривизна к=0,0042

»»^•кривизна к=0,0036

-кривизна к-0,003

--кривизна к^0,0024

----кривизна к=0,0018

б)

Рис. 1. Кривые равновесных состояний цилиндрической оболочки при различных значениях кривизны: а) оболочка на квадратном плане; б) оболочка на прямоугольном плане

Для квадратной цилиндрической оболочки с ¿=0,3 м-1 отдельно проводилось исследование бифуркации форм равновесия. С помощью внесения малого возмущения в нагрузку, приложенную к оболочке, были получены кривые равновесных состояний, соответствующие несимметричной форме потери устойчивости при действии симметричной нагрузки.

2. Исследовалась устойчивость оболочек с исходными данными, указанными выше, под действием неравномерно распределенных поперечных нагрузок. Рассматривалась квадратная цилиндрическая оболочка с кривизной

¿=0,3 м"1. Нагрузка на одной половине оболочки, разделенной по оси симметрии в направлении образующей, превышала нагрузку на другой половине оболочки в заданное количество раз е. Значение коэффициента е поочередно принималось равным 1,05; 1,2; 1,5; 2; 4. Предельная нагрузка для оболочек, загруженных неравномерной нагрузкой с таким эксцентриситетом, составила соответственно 0,0078 МПа, 0,0064 МПа, 0,0059 МПа, 0,0048 МПа, 0,0029 МПа. Кривые равновесных состояний оболочки при различных значениях параметра е приведены на рис. 2.

q*10, МПа

0.075

0.05

01 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Рис. 2. Кривые равновесных состояний цилиндрической оболочки при различных условиях задания неравномерной нагрузки

Описанная оболочка также исследовалась на устойчивость под действием нагрузки по схеме распределения снеговой нагрузки для зданий со сводчатыми и близкими к ним по очертанию покрытиями согласно СНиП 2.01.0785* «Нагрузки и воздействия». Параметр предельной нагрузки для оболочки, загруженной в соответствии с этой схемой, составляет дпрся = 0,0176 МПа, что существенно превышает предельные нагрузки для оболочки, загруженной равномерно (0,0103 МПа), и оболочки, загруженной неравномерно при е=2 (0,0048 МПа).

3. Проводилось численное исследование свободных колебаний нелинейно-деформируемых шарнирно-опертых по контуру квадратных пластин при использовании метода продолжения решения по параметру. Задача о колебаниях гибкой пластины сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями, приведенного в монографии A.C. Вольмира (Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1967.432 е.).

Для решения задачи Коши использовался метод продолжения по параметру, в соответствии с которым в исходное дифференциальное уравнение вводился новый независимый параметр s, а также дополнительное уравнение

вида ('--1 —+(—| =1, связывающее параметр 5 с остальными переменными

) ск V.с&у

системы. Приняты обозначения г1 = г2 =, где = А(г)! к - отношение перемещения центральной точки пластины при колебаниях к толщине пластины И. После преобразования полученных уравнений в соответствии с алгоритмом метода продолжения решения по параметру система уравнений, описывающая свободные нелинейные колебания пластинки, и соответствующие

начальные условия принимают следующий вид:

/ \ 7,

<ЬХ с1г2 Л | _ 1

ек 71+7*7

-ю »(! + &,>,

,г(0) = |-^ 0|,/(0) = 0, (8)

где ш0 - частота собственных колебаний пластины при малых прогибах; К -физико-геометрический параметр, зависящий от соотношения сторон пластины и коэффициента Пуассона; х - параметр продолжения решения; / -вектор правых частей исходной системы уравнений.

Исследовались собственные колебания квадратной пластины со следующими геометрическими и физическими характеристиками: размеры в плане а = Ъ = 1 м; толщина Л = 0,01 м; коэффициент Пуассона V = 0,3; модуль упругости £ = 2-Ю5 МПа; плотность материала р = 7,8-1 о3 кг/м3. Рассматривался вариант пластины со свободно смещающимися краями, для которого коэффициент К определяется по формуле К = (з(1 -V2)(1 +■ ?_4))/(4(1 +}})2), где Х = а/Ь. Исследовалась первая форма колебаний пластины, соответствующая низшей частоте, при которой по направлению каждой стороны пластины образуется одна полуволна синусоиды.

Задача Коши в новой формулировке решалась в программном комплексе Ма&сас! методом Рунге-Кутга с автоматическим выбором шага. Как и следовало ожидать, учет геометрической нелинейности приводит к увеличению частоты колебаний гибкой пластинки. При = 1, частота собственных колебаний пластинки при малых прогибах составляет 302,5 рад/с, в геометрически нелинейной постановке - 334,1 рад/с.

Исследовалось влияние величины первоначального отклонения на характер нелинейных колебаний пластины (рис. 3). Значения частот свободных нелинейных колебаний при первоначальных относительных отклонениях £0 =1,2,4,6 составили соответственно со1 =334,1; со! =429; со4 =676,7; со' =956,6 рад/с. Зависимость между величиной с0 и отношением частоты со' свободных колебаний гибкой пластинки к частоте собственных колебаний пластинки при малых прогибах у = со7ш0 характеризуется скелетной кривой жесткого

типа (рис. 4).

■-первонач. отн. откл.. равное 1

--первонач. отн откл.. равное 2

.......первонач. отн. откл.. равное 4

---первонач. отн. откл.. равное б

Рис. 3. Графики колебаний центральной точки пластины при различных значениях величины с0

1 2 3 Рис. 4. Скелетная кривая

4. Проводилось численное исследование динамическои устойчивости шарнирно-опертых по контуру квадратных и прямоугольных пластин с использованием метода продолжения решения по параметру. Исследовалась пластина, сжатая нагрузкой р вдоль одной стороны. Нагрузка изменяется пропорционально времени t согласно закону p=kt. Также на пластину действует постоянная распределенная поперечная нагрузка интенсивностью q.

Решение задачи о динамической устойчивости гибкой пластины сводится к решению дифференциального уравнения второго порядка для стрелы прогиба пластины, опубликованного в указанной выше монографии A.C. Воль-мира.

После замены переменной вида z, =§;z2 введения в систему допол-

dt

нительного

vpaBHeHHfl (—) — + f—1 =1 и дальнейших преобразований ис-

' ' J~ 1 ds \ds)

ds

ходной системы в соответствии с алгоритмом метода продолжения решения по параметру, система принимает следующий вид:

1 и Х 1)т, я(0) = (— 0Т,/(0) = 0, (9)

аз) л/1 + /Г/ )

где 5 - параметр продолжения; /- вектор правых частей исходной системы; Х - функция г1, имеющая вид:

x = s

16 aq* ( m 7 * mrm I A

16 p*

(10)

где с0 - начальное отношение перемещения центральной точки пластины к толщине пластины /г; Х=а/Ь - соотношение сторон пластины; тип- соответ-

ственно, число полуволн формы деформации вдоль осей хну, р*, <7* -величина безразмерной продольной и поперечной нагрузки, соответственно; Р*кр - безразмерное критическое напряжение; /* = £?/ркр = р*/р*кр - введенный параметр времени; 5 - вычисляемый параметр; а - коэффициент, равный 1, при нечетных т и п, и 0, если хотя бы одно из значений тип четное. Перечисленные величины определяются по формулам:

Р*=р(ьТ .р* 5=,* Т. (п)

Р яЫ 9 яЫ Р * 3(1-ц ) Р„ ;

Задача в виде (9) решалась в программном комплексе МаЛсас! методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Рассматривалась пластина с теми же геометрическими и физическими характеристиками, что и в предыдущем случае. Число полуволн формы выпучивания в одном направлении принималось постоянным п = 1, а в другом (т) - варьировалось. Была получена зависимость относительного прогиба £ от параметра времени г* для исследуемой пластины при условии наличия (д* = 1) или отсутствия ( д* = 0 ) постоянной поперечной нагрузки (рис. 5).

При д* = 0 наиболее раннее развитие прогибов происходит при т = 2. При ц* = 1 наиболее ранее развитие прогибов происходит при т = 1, значение динамической критической нагрузки снижается, а влияние высших форм выпучивания при динамической потере устойчивости оказывается менее значимым. Фазовые кривые для первых трех форм выпучивания пластины при (¡* = 1 приведены на рис. 6.

.......д*=1, т=1

Рис. 5. Графики зависимости Ъ, от параметра I * Рис 5 фазовые кривые для форм вы-для т = 1,2,3 при д* = 0 и д* = 1 пучивания т = 1,2,3 при д* = 1

Было исследовано влияние величины безразмерной поперечной нагрузки на характер динамической потери устойчивости квадратной пластины по низшей форме выпучивания (п = т= 1). На рис. 7 приведены графики зависи-

мости относительного прогиба § от параметра времени ?* для описанной пластины, подвергнутой сжатию с усилием р, и загруженной поперечной нагрузкой, последовательно принимающей значения д* = 1, 2,3,4. При увеличении интенсивности безразмерной поперечной нагрузки д*, величина динамической критической нагрузки, а также величина относительного прогиба, при котором начинается колебательный процесс, последовательно уменьшаются.

Была исследована зависимость динамической устойчивости пластин от их геометрической формы для случая прямоугольных пластин с различным соотношением сторон (А. = 1,2,3,4) при различных формах выпучивания (я = 1, т = 1,2,3,4,5,6). Графики зависимости относительного прогиба % от параметра времени г* для первой формы выпучивания прямоугольных пластин с различным соотношением сторон приведены на рис. 8. Графики зависимости 4 от г * для различных форм выпучивания в случае X = 2 показаны на рис. 9.

Рис. 7. Графики зависимости § от парамет- Рис. 8. Графики зависимости % от параметра 1 * для д* = 1,2,3,4 при п = т = 1 ра Г * для X = 1,2,3,4 при а* = 1, п = т = 1

При динамической потере устойчивости прямоугольной пластины с X = 2 критической оказывается форма выпучивания с тремя полуволнами по направлению оси х(т = 3). Для прямоугольных пластин с большими величинами соотношений сторон (Х=3,4) решающее значение имеет форма выпучивания, соответствующая наличию пяти полуволн вдоль оси х(т = 5).

5. Проводилось численное исследование динамической устойчивости квадратных сетчатых пластин с различными конфигурациями решетки. Рассматривались нелинейно-деформируемые пластины из ортотропного углепластика, шарнирно-неподвижно опертые по контуру, подверженные воздействию продольной нагрузки, с двумя разновидностями сетчатой решетки: под углом ф=45° к линиям контура пластины и под углом ф=90° к линиям контура пластины.

Размеры исследуемых пластин в плане 1x1 м, сечение стержневого элемента - квадрат 0,01x0,01 м, физические характеристики в соответствии с местными осями элемента: Ех\ 180-109 Н/м2, Еу\= Ez\=6,2-10' Н/м2, Gx\у\= Gxizi= Gziyi=5 • 109 Н/м2, нагрузка изменяется по закону p(t)=At, Л=10000 Н/с.

Использовался ПК Ansys Mechanical 14.0. Были созданы конечноэле-ментные модели исследуемых сетчатых пластин на базе стержневого элемента с учетом конечных деформаций BEAM 189.

Для обеих рассматриваемых пластин задача решалась пошагово на интервале времени от 0 до 1 с. Для пластины с q>=45° общее количество шагов составило 1738. Динамическая потеря устойчивости происходит в момент времени около 0,693 с (рис. 10). Соответственно, учитывая заданный закон изменения нагрузки в зависимости от времени, динамическая критическая нагрузка составила около 6930 Н. Перемещения центрального узла исследуемой пластины в момент динамической потери устойчивости достигают приблизительно 0,022 м.

Для пластины при <р=90° общее количество шагов составило 1711. Динамическая потеря устойчивости происходит в момент времени около 0,594 с (рис. 11), динамическая критическая нагрузка составила приблизительно 5940 Н. Перемещения центрального узла в момент динамической потери устойчивости достигают примерно 0,012 м. На графике, приведенном на рис. 11, видно, что на интервале времени от 0,8 до 0,9 с колебания пластины после динамической потери устойчивости сменяют форму с одной полуволны в направлении глобальной оси Y на две полуволны.

Динамическая критическая нагрузка для пластины с ф=45° превышает динамическую критическую нагрузку для пластины с <р=90° на 1000 Н, а динамическая потеря устойчивости при идентичных историях нагружения для нее происходит, соответственно, на 0,1 с позже.

6. Проводилось исследование устойчивости нелинейно деформируемых пространственных металлических конструкций покрытия пассажа мно-

гофункционального административно-торгового комплекса на проспекте Медиков в г. Санкт-Петербурге. По проекту перекрытие пассажа состояло из основного покрытия общей длиной около 348 м, с размерами средней части около 114x64 м, шести атриумов над внутренними дворами площадью около 560 м2 и двух атриумов площадью около 1000 м2. Несущий каркас всех типов покрытий - пространственная стержневая система из трубчатых элементов.

Рис. 10. График зависимости перемещения центрального узла сетчатой пластины с (м) из плоскости от времени (с)

Рис. И. График зависимости перемещения центрального узла сетчатой пластины с ср=90° (м) из плоскости от времени (с)

Использовался ВК Лира 9.4. Все нагрузки и воздействия на сооружение задавались согласно СНиП 2.01.07-85*, а также проектной документации. Использовались геометрически нелинейные универсальные пространственные стержневые конечные элементы КЭ 310. Для основной кровли и атриумов нагрузка прикладывалась в три этапа, согласно следующей программе загружения: постоянные нагрузки (за пять шагов, по 20% от суммарной нагрузки на каждом шаге); временные нагрузки длительного действия (за пять шагов, по 20% от суммарной нагрузки на каждом шаге); снеговая нагрузка (по 20% от суммарной нагрузки на каждом шаге, с превышением расчетного значения и до расхождения вычислительного процесса).

Поскольку в ВК Лира ведущим параметром при решении нелинейных задач может быть только параметр нагрузки, расхождение вычислительного процесса на последнем шаге нагружения трактовалось как исчезновение близких устойчивых равновесных форм и было принято в качестве критерия потери устойчивости. Потеря устойчивости конструкций основного покрытия по первой программе загружения происходит на 33 шаге, когда суммарный коэффициент к расчетным значениям снеговой нагрузки составил 4,6. Зависимости перемещений центральной точки пролета несущей конструкции покрытия и середины колонны от величины нагрузки носят кусочно-линейный характер, их графики приведены на рис. 12. Форма деформации конструкций основного покрытия после потери устойчивости представлена на рис. 13.

Потеря устойчивости конструкций покрытия обоих атриумов произошла на 32 шаге программы загружения. Суммарный коэффициент к снеговой нагрузке составил 4,4. На рис. 14 показаны графики зависимости перемещений узла несущей конструкции покрытия в центре и верхнего узла стойки для атриума площадью 1000 м2 от шага приращения нагрузки, имеющие характер, близкий к кусочно-линейному. На рис. 15 показана деформированная форма конструкций покрытия атриума площадью 1000 м2 после потери устойчивости, которая сопровождается резким изменением перемещений и усилий, что свидетельствует о переходе конструкции в закритическое состояние.

го покрытия от шага приращения нагрузки струкций основного покрытия после поте-(сплошная - узел несущей конструкции по- ри устойчивости

крытия, штриховая — узел на середине высо-

ты колонны)

ная - узел несущей конструкции покрытия, после потери устойчивости

штриховая - узел на середине высоты колонны)

Анализ полученных зависимостей перемещений от нагрузок при учете геометрической нелинейности показывает, что до достижения всеми нагруз-

ками расчетных значений систему можно считать близкой к линейно деформируемой.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан и реализован численный алгоритм решения задач устойчивости нелинейно-деформируемых пологих оболочек с применением вариационно-разностного метода и метода продолжения решения по параметру.

2. Разработана и реализована численная методика решения задач нелинейной динамики пластин с применением метода продолжения решения по параметру путем введения дополнительного уравнения в задачу Коши.

3. Исследована устойчивость нелинейно-деформируемых пологих цилиндрических оболочек из композитного материала при различных геометрических характеристиках, а также при действии несимметричной нагрузки.

4. Исследована устойчивость нелинейно-деформируемых пологих цилиндрических оболочек из композитного материала при различных случаях действия неравномерной нагрузки.

5. Исследованы свободные колебания нелинейно-деформируемых пластин из изотропного материала при различных начальных условиях с помощью метода продолжения решения по параметру средствами комплекса Mathcad 14.

6. Исследована динамическая потеря устойчивости нелинейно-деформируемых изотропных пластин при различных геометрических характеристиках и действии продольных и поперечных нагрузок с помощью метода продолжения решения по параметру средствами комплекса Mathcad 14.

7. Исследована динамическая потеря устойчивости сетчатых пластин с различным характером решетки в геометрически нелинейной постановке с помощью ПК Ansys Mechanical 14.0.

8. Исследована устойчивость нелинейно-деформируемых пространственных металлических конструкций покрытия пассажа многофункционального административно-торгового комплекса на проспекте Медиков в г. Санкт-Петербурге с использованием ВК Лира 9.4.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:

1. Трушин С.И., Парлашкевич B.C., Журавлева Т.А.. Исследование устойчивости пространственной стальной конструкции покрытия в геометрически нелинейной постановке// Научно-технический журнал Вестник МГСУ. 2010. № 4, т. 2. с. 239-244.

2. Трушин С.И., Парлашкевич B.C., Журавлева Т.А.. Исследование устойчивости пространственного стального каркаса покрытия аэровокзаль-

ного комплекса «Внуково-1» к прогрессирующему обрушению// Научно-технический журнал Вестник МГСУ. 2010. № 4, Т. 2. с. 244-250.

3. Трушин С.И., Сысоева Е.В., Журавлева Т.А. Устойчивость нелинейно деформируемых цилиндрических оболочек из композиционного материала при действии неравномерных нагрузок// Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Обзорно-аналитический и научно-технический журнал. 2013. №2. с. 3-10.

4. Трушин С.И., Журавлева Т.А., Сысоева Е.В. Решение задачи о свободных колебаниях пластины методом продолжения по параметру// Строительная механика и расчет сооружений. 2013. №5. с. 55-58.

Публикации в других изданиях:

5. Трушин С.И., Иванов С.А., Журавлева Т.А. Численные исследования нелинейно деформируемых металлических конструкций покрытия при сложном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений. 2009. №2. с. 37-44.

6. Трушин С.И., Аюнц В.А., Михайлов A.B., Журавлева Т.А. Расчет несущих конструкций аэровокзального комплекса «Внуково-1» на температурные воздействия. Особенности проектирования и расчета пространственных конструкций на прочность, устойчивость и прогрессирующее разрушение: тезисы докладов научной сессии. — М.: НИИЖБ, 2009. с. 87-88.

7. Журавлева Т.А. Исследование устойчивости пространственного стального каркаса покрытия аэровокзального комплекса «Внуково-1» к прогрессирующему обрушению. II Международная Научно-практическая конференция «Научно-техническое творчество молодежи - путь к обществу, основанному на знаниях»: сборник научных докладов. -М.: РИЦ «Техносфера», 2010. с. 74-76.

8. Журавлева Т.А., Трушин С.И. Устойчивость нелинейно-деформируемых цилиндрических оболочек на квадратном и прямоугольном основаниях. Строительство - формирование среды жизнедеятельности: сборник тезисов Шестнадцатой международной межвузовской научно-практической конференции студентов, магистрантов, аспирантов и молодых ученых (24-26 апреля 2013 г., г. Москва); М-во образования и науки Росс. Федерации, ФГБОУ ВПО «Моск. гос. строит, у-т». -М.: МГСУ. с. 170-172.

Интеллектуальная собственность, созданная в процессе исследования, защищена следующими документами:

9. Св. 2013618406 Российская Федерация. Программа расчета пластин и пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке вариационно-разностным методом [Текст] / Трушин С.И., Журавлева Т.А.; заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО «МГСУ». - № 2013616321; заявл. 18.07.2013; per. 09.09.2013.

КОПИ-ЦЕНТР св.: 77 007140227 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д. 36. тел.: 8-499-185-79-54,8-906-787-70-86 wivw.k0piravka.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет»

04201451772

На правах рукописи

Журавлёва Татьяна Александровна

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИЗОТРОПНЫХ И ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор С.И. Трушин

Москва, 2013

Оглавление

Введение 4

1 Обзор существующих исследований в области статики и динамики нелинейно-деформируемых тонкостенных конструкций 9

1.1 Основные положения теории пластин и оболочек 9

1.2 Методы решения краевой и вариационной задачи в теории пластин и оболочек 12

1.3 Решение нелинейных задач с помощью Методов и алгоритмов с параметром продолжения 17

1.4 Методы и алгоритмы численного решения задач нелинейной динамики 22

2 Формулировка зависимостей нелинейной теории оболочек 27

2.1 Общие нелинейные зависимости трехмерной теории и их упрощение 27

2.2 Теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Теория оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и изменения прогиба по толщине 32

2.3 Геометрические соотношения в приращениях для нелинейной теории оболочек 37

2.4 Физические соотношения теории оболочек 41

3 Формирование численных методик решения нелинейных задач устойчивости 45

3.1 Разностно-квадратурная аппроксимация функционала 45

3.2 Итерационные методы и методы д ифференц ирования по параметру 49

3.3 Определение коэффициентов матрицы Гессе и вектора невязки 60

3.4 Тестовая задача 62

4 Расчет ортотропных и изотропных пластин и оболочек 64

4.1 Устойчивость нелинейно-деформируемых цилиндрических

оболочек на квадратном и прямоугольном планах 64

4.2 Устойчивость нелинейно-деформируемых цилиндрических оболочек при действии несимметричных нагрузок 76

4.3 Использование метода продолжения по параметру при решении задачи о свободных колебаниях пластины в геометрически нелинейной постановке 96

4.4 Использование метода продолжения по параметру при решении задачи о динамической устойчивости пластин при условии действия поперечной нагрузки 104

4.5 Динамическая устойчивость нелинейно-деформируемых сетчатых пластин с различными конфигурациями решетки 120

4.6 Исследование устойчивости пространственного металлического каркаса покрытия 134

Заключение 146

Список литературы 147

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день тонкостенные конструкции различной конфигурации широко востребованы в различных областях техники, например, приборостроении, машиностроении, кораблестроении, авиации, в том числе космической, промышленном и гражданском строительстве. Это происходит благодаря тому факту, что тонкостенные конструкции, при огромном разнообразии форм, обладают высокой степенью экономичности. В силу широты применения упомянутого вида конструкций, диапазон внешних воздействий, которым они подвергаются во время эксплуатации в различных областях, очень широк, равно как и диапазон материалов, из которых их приходится изготавливать. Поэтому вопросы развития методик анализа прочности и устойчивости, в том числе динамической, тонкостенных конструкций при условии больших перемещений приобретают особую актуальность. Рассмотрение этого класса задач приводит к необходимости решения краевых задач, выраженных в нелинейных дифференциальных соотношениях (уравнениями равновесия или функционалами), которые чаще всего поддаются только численному решению.

В силу вышеозначенных причин в настоящее время расчет и проектирование тонкостенных конструкций с помощью ЭВМ приобретает значимость одного из наиболее важных разделов строительной механики. Расчет оболочечных конструкций любого рода обуславливается корректной формулировкой краевой задачи, которая должна содержать соответствующие исходные геометрические и физические соотношения, дифференциальные уравнения либо вариационный функционал и сформулированные граничные условия.

В существующей практике расчетов наибольшее распространение получили разнообразные варианты теории оболочек, которые основываются на гипотезах Кирхгофа-Лява. Несмотря на распространенность, этим теориям свойственно появление значительной погрешности при проведении расчетов оболочечных конструкций средней толщины, в контактных задачах, а также при исследовании свойств конструкций из анизотропных материалов. С течением времени все

большее распространение получают разнообразные уточненные технические теории, которые учитывают наличие деформаций поперечного сдвига. Их основное достоинство заключается в том, что учет деформаций поперечного сдвига позволяет строить вычислительные схемы, легче поддающиеся алгоритмизации, несмотря на то, что такие теории приводят к увеличению количества искомых функций перемещений.

Стоит отдельно отметить, что в настоящее время анализ прочности и устойчивости сооружений из стержневых и тонкостенных пространственных конструкций продолжает проводиться, в основном, посредством линейного расчета. При этом линейный анализ может считаться только первым приближением на этом пути, справедливым лишь в непосредственной близости от начального состояния. Для сооружений, относящихся к уникальным, возводимых с применением новейших высокопрочных конструкционных материалов, возникает потребность максимального использования несущей способности материала, а следовательно, учета как физической, так и геометрической нелинейности поведения конструкций при расчете. В этом свете, тонкостенные конструкции принадлежат к категории конструкций, которые в первую очередь нуждаются в проведении нелинейного расчета.

К основным направлениям современного нелинейного анализа конструкций следует отнести разработку и совершенствование адекватных расчетных моделей, а также создание эффективных алгоритмов численного решения краевых задач для ЭВМ. К методам решения задач строительной механики, которые получили наибольшее распространение в последнее время, относятся метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), вариационно-разностный метод (ВРМ), метод конечных разностей (МКР). Такие методы, как МКЭ или ВРМ, характеризуются широкой областью применимости, инвариантностью по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительной легкостью учета взаимодействия конструкции со средой (температурные, механические, коррозионные воздействия, различные граничные условия и т.п.), пригодностью к эффективной автоматизации на всех эта-

пах расчета. При численной реализации перечисленных методов особенно важным оказывается тот факт, что при формулировке задачи в вариационной постановке порядок производных снижается по сравнению с формулировкой задачи через дифференциальные уравнения равновесия. Помимо этого, матрица разрешающей системы алгебраических уравнений обладает редко заполненной квазидиагональной структурой, что обуславливает ускорение хода численного решения и сокращение требуемого объема машинной памяти. Решение краевой задачи с использованием ВРМ дает возможность построить гибкий и эффективный алгоритм, который рационально воплощается в пакет прикладных программ, и впоследствии легко адаптируется к решению различных конкретных задач, с помощью внесения незначительных изменений, связанных, в основном, с формулировкой конкретного функционала и соответствующих аппроксимирующих функций.

Вопросы исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочеч-ных конструкций влекут за собой необходимость построения кривых равновесных состояний. Одновременно с этим при анализе устойчивости упомянутого вида конструкций необходимо определять предельные и бифуркационные нагрузки, а также исследовать устойчивость форм равновесия при наличии малых возмущений исходных параметров системы. Для решения этих задач особенно часто используются методы, связанные с построением последовательности решений при шаговом изменении ведущего параметра, отталкивающиеся от существующего начального решения. Параметром продолжения решения могут выступать такие величины, как параметр нагрузки, параметр перемещения в заданной точке, длина дуги кривой равновесных состояний.

Цели диссертационной работы:

1. разработка методик численного решения задач устойчивости и нелинейной динамики пластин и пологих оболочек, основанных на вариационно-разностном методе и методе продолжения решения по параметру;

2. создание алгоритмов и процедур численного решения задач устойчивости и нелинейной динамики, а также их реализация в виде программного обеспечения для ЭВМ;

3. численное исследование устойчивости и нелинейных колебаний пластин и оболочек с помощью разработанных методик при различных параметрах систем, граничных условиях и воздействиях.

Научную новизну работы составляют:

1. разработка методики и численных процедур решения геометрически нелинейных задач устойчивости изотропных и ортотропных оболочек на базе вариационно-разностного подхода и метода продолжения решения по параметру;

2. разработка и реализация численной методики решения задач нелинейной динамики пластин с применением метода продолжения решения по параметру путем введения дополнительного уравнения в задачу Коши;

3. проведение исследования устойчивости нелинейно деформируемых пологих оболочек из композиционного материала при несимметричном нагружении с использованием разработанной методики.

4. проведение исследования свободных колебаний и динамической устойчивости нелинейно деформируемых пластин с помощью метода продолжения решения по параметру.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке программного обеспечения для ЭВМ на языке FORTRAN, входящего в состав пакетного продукта, предоставляющего возможность выполнения расчетов ортотропных пластин и оболочек при условии приложения разнообразных статических и кинематических воздействий. Предложенное программное обеспечение содержит возможность учета деформаций поперечного сдвига и геометрической нелинейности работы материала.

Обоснованность и достоверность научных положений обуславливается тем, что в основе разрабатываемой методики лежат заведомо корректные математические модели и существующие методы решения нелинейных задач. Проведенное решение совокупности тестовых задач указывает на хорошее совпадение полученных численных результатов с данными о результатах расчетов других авторов. Помимо этого, достоверность результатов расчетов подтверждается анализом ха-

рактера сходимости численных решений при различной величине шага по ведущему параметру.

По теме диссертации имеется 8 публикаций, в том числе 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе содержится обзор существующих научных работ, описывающих построение теории пластин и оболочек, разработку и оценку численных методов решения нелинейных задач прочности, устойчивости и динамики тонкостенных конструкций. Приводится обоснование выбора математической модели.

Во второй главе приведено построение геометрических соотношений теории нелинейно деформируемых оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, как в отношении полных значений перемещений, так и в отношении приращений перемещений. Также во второй главе приведены физические соотношения для теории оболочек, соответствующие положениям линейной теории упругости. Приведено описание вариационного подхода к решению задач расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической нелинейности.

В третьей главе рассматриваются методы численного решения нелинейных статических и динамических задач. Описаны применяемые формулы разностно-квадратурной аппроксимации исходного функционала при расчете нелинейно деформируемых тонкостенных конструкций, а также формулы, по которым вычисляются коэффициенты разрешающей системы алгебраических уравнений. Приведено описание методик, базирующихся на дискретном и непрерывном продолжении решения по параметру, а также методик прямого интегрирования уравнений движения.

В четвертой главе описаны результаты, полученные в ходе исследования задач динамики и устойчивости пластин и пологих цилиндрических оболочек, отличающихся различными геометрическими характеристиками, условиями нагру-жения и опорными закреплениями.

1 ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Ключевым фактором, обуславливающим характер анализа оболочечных конструкций при любом виде воздействия, является выбор способа преобразования трехмерной системы уравнений теории упругости к двумерной системе теории оболочек. В настоящее время существует огромное количество работ, описывающих основные соотношения теории пластин и оболочек, в том числе, включая уточнения различного характера. Наиболее распространенными среди них являются работы, описывающие модели с аппроксимацией перемещений либо напряжений и последующим использованием трехмерной системы уравнений теории упругости.

Упомянутый способ, описывающий сведение трехмерной задачи к двумерной посредством задания закона изменения перемещений по толщине элемента пластины или оболочки, был использован в работах Б.Ф.Власова [23,24], И.Е.Милейковского [73], М.П.Шереметьева и Б.Л.Пелеха [114], Р.Кристенсена [64].

В настоящее время наибольшее распространение приобрела модель пластинок и оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява [4,25,26,41,57,85,97,109]. Эта модель находит широкое применение в практике расчетов и предоставляет возможность получения результатов достаточно высокой точности при решении обширной группы прикладных задач. Варианты нелинейных уравнений, основывающихся на упомянутой модели, в различной трактовке представлены В.В.Новожиловым [80], Э.И.Григолюком, В.В.Кабановым [43], Л.А.Шаповаловым [113], В.И.Мяченковым, И.В.Григорьевым [79] и многими другими. Ниже приводится вариант формы записи геометрических соотношений, соответствующих данной постановке. При справедливости зависимостей вида:

£и=еп +2Кн;&у=еу+2ясу = 1,2;* (1.1.1)

для линейных и угловых деформаций, а также изменений кривизн срединной поверхности оболочки будут иметь место следующие соотношения: 1) из работы [32]:

еи =Еп =Еи +ЕЛ '

К«7:=Ки >Ку=Ку +КЛ '¿>1 = 1>2'>* * 3

2) из работы [114]:

2

еи +Ел+\\fi\fj;

(1.1.2)

\|/7

Кц=Ки1=КУ+Кл '¿>1 = 1'2'/ * ]

(1.1.3)

3) из работы [9]:

еи=Еи+^;еу=Еч- +Ер +¥г Уу;

кИ=КИ '>Ки=Ку +Кл +У/У/

'111Л

(1.1.4)

4) из работы [67]:

Кп=ки ~ *ц=Кч +Кл

—+— К; Л ,•

V 1 ] У

(1.1.5)

и,} — 1>2;г * у

Формулы (1.1.2)-(1.1.4) получены, исходя из предположения, что со«Ч'. Анализ этого допущения выполнен на основе зависимостей, приведенных в выражениях (1.1.5) в работе [32].

Следует отметить, что теория оболочек, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, обладает рядом недостатков:

1) строгое удовлетворение пяти статическим граничным условиям на свободном крае заведомо невозможно, что ведет к необходимости введения искусственного понятия обобщенных поперечных сил;

2) действие теории не распространяется на оболочки из современных композитных материалов с низкой сдвиговой жесткостью, а также на оболочки средней и большой толщины;

3) наличие вторых производных функции прогиба в выражениях минимизируемых функционалов ведет к усложнению реализации задачи посредством метода конечного элемента, и вариационно-разностного метода.

Позднее были созданы уточненные теории различного толка. Наибольшее распространение из них получили теории, которые учитывают поперечные деформации, в первую очередь, сдвиговая модель С.П.Тимошенко. В применении к нелинейным задачам теории пластин и оболочек эта теория была подробно развита в работах Л.Я.Айнолы [3], А.С.Вольмира [29], К.З.Галимова [37], Крысько В.А. [65] , Р.Б.Рикардса, Г.А.Тетерса [92], и других.

Отдельно следует упомянуть методы построения теории оболочек, основанные на разложении неизвестных функций трехмерной задачи теории упругости в ряды, используя поперечную координату. К ним относятся метод интегрирования А.И.Лурье [70], метод начальных функций В.З.Власова [26]. Оба упомянутых метода основаны на разложении в ряды Маклорена по координате г неизвестных величин. Кроме того, сведение трехмерной задачи к двумерной путем разложения искомых функций в ряды по полиномам Лежандра по толщине оболочки, и построение моделей оболочек, в том числе многослойны