автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Колебания и устойчивость движения упругих систем при действии случайных нагрузок и возмущений на границах

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГГЦ

• На правах рукописи

УДК 624.04:519.12 + 534.1

КУЛЬТЕРБАЕВ Хусен Пшимурзович

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗОК И ВОЗМУЩЕНИЙ НА ГРАНИЦАХ

05.23.17 —Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва — 1995

1

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском ордена Дружбы народов государственном университете.

Научный консультант: заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, доктор технических наук, профессор А. У. Бугов.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор О. В. Лужин, доктор технических наук, профессор В. Д. Райзер, доктор технических наук, профессор А. Е. Саргсян.

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский институт экспериментального проектирования зданий и комплексов культуры, спорта и управления (ЦНИИЭП) им. Б. С. Мезенцева.

Защита состоится « .'А » ¿Р'ОДСЛ^ 1995 г. в 15 ч. 30 м. на заседании диссертационного Совета Д.053.11.02 при Московском государственном строительном университете по адресу: 113114, Москва, Шлюзовая набережная, 8, ауд. 409.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГСУ.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв в двух экземплярах, заверенных печатью, по адресу: 129337, Москва, И-337, Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет.

Автореферат разослан « . » ьМг^УР.'^Т 1995 г.

к) 1Ы1 - Цк/ч?

Ученый секретарь диссертационного Совета, доктор технических наук,

профессор Г. Э. Шаблинский

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.- Случайные колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Поэтому все повышающиеся экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружают! и машинам ■ в последние года стимулируют во многих задачах строительной механики переход от традиционных детерминистических. подходов к "вероятностным, позволяющим более адекватно представить случайный; характер нагрузок, граничных и начальных , условий, 'других. свойств упругих колеблющихся систем. В качестве примеров таких'возмущений нолю указать сейсмические, снеговые, 'ветровые нагрузки; кинематические перемещения опор элементов в виде пластин, мембран, Салок, струн, вызванные неупорядоченными общими движениями и вибрацией сооружения или машины в целом; нагрузки от действущего технологического оборудования на строительные сооружения; флуктуации давления в. турбулентном пограничном слое; акустическое излучение реактивной струи двигателей; кинематические возмущения, действующие на наземные. транспортные средства при езде по неровной дороге и т. д. .'

. Линейные случайные колебания как дискретных так и распределенных систем при действии динамических возмущешш изучены сравнительно хорошо. Нелинейше. случайные колебания, их стохастическая устойчивость, .возможные эффекты, порождаемые многозначностью решений, кинематически возбуждаемые линейные случайные колебания распределенных систем исследована менее подробно, хотя теоретический и практический интерес к ним велик. Прежде всего такой про-'бел связан с еозшпс&щпмл при решении этих задач затруднениями теоретического и экспериментального характера.

В силу изложенного, дальнейшая разработка стохастических моделей таких задач, методов и алгоритмов их'решений, анализ поведения широко распространенных п. .та во всех технических системах -упругих элементов в виде оболочек, пластин, мембран, балок и гибких струн имеет важное народнохозяйственное значение.

Цель работы. Разработка новых математических моделей акту-

, . • _ - 4 -

альных прикладных задач о случайных колебаниях часто.применяемых упругих элементов механических систем, подбор математического аппарата и разработка алгоритмов для определения наиболее важных'-, вероятностных характеристик колебаний, выявление наиболее обкщх колебательных свойств рассматриваемых динамических систем. Сравнительный анализ детерминистических и случайных колебшш.!..

Общая методика исследования. Применяются идеи и методы статистической динамики упругих систем, в том числе корреляционной теории стационара случайных полей, теории марковских процессов! различные уравнения колебаний математической физики. Для Е'сак рассмотренных задач приводятся чистоте пример а, шпз&зшв на современных ЭВМ, дается краткие пояснения к. рекомендации по о&'с-ритмам вычислений, проводится-анализ полученных результате, сопоставление "о.результатами детершшстэтесет задач.

Яра исследовании стохастической усгойчязозтд нелйк;-йша колебательных процессов используется шдгфэдированшз мзтод момзп-: тных функций с последующим сведением ездачи при помощи уршшая воккера - Планка - Колмогорова в проблема Рауса - Гурвгца. .;

Все используемые исходные уравнения колебаний ц сс'гутстьу- . щие граничные условия предварительно приводятся к оезрзгазшзцу.-виду, позволяющему, кроме упрощения выкладок, на дар&кщадьшг этапе о)1ределить наиболее существенные обойдена аараштри, ¡клочащие, как пр'авило, несколько «сходных размерных лэрагшров.-

Научная новизна. Постановки задач в райках корршцезшшй теории стационарных случайных процессов о шлгшзШшх шцуадзща: и параметрических колебаниях и их сочетаниях с одаврзшпш-ш Ее- / следованием стохастической устойчивости получшыщ щюдазгначшк решений яеляются новыми. Обнаружены сшгзшчзшэ елалога ш-ний, хорошо известных в нелинейных ^щштс'шдиш. системах: многозначные решения, соответствующие колебаниям разлочшйшда-нсивности; устойчивые и неустойчивые- режпш шэввшВ? скачкообразные перескоки от одних устойчивых дшшшй к други е . Предшжэщ поша маташютескЕе- пос-к^окж юздо '

них установившихся колебания двумерных и одномерных распределенных систем на основе различных уравнений в частных производных гиперболического типа с неоднородными граничными условиями в виде, случайных процессов или их-произведений на детерминистические функции, определяющие форму кинематических возмущений. Получены результаты в виде спектральных плотностей перемещений и внутренних сил .в сечениях, выявлены факторы, наиболее, существенным образом влияющие на интенсивность колебаний, установлены формы распределения среднеквадратических отклонений (дисперсий) вдоль пространственных координат при различных типах возмущений, численных значениях параметров..

; Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность полученных: результатов.состоит в создании математических моделей и алгоритмов решения новых актуальных задач по случайным колебаниям- широко, применяющихся элементов механических упругих систем. Полученные результаты легко могут быть распространены на другие, родственные , задачи. , '

Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных результатов в расчетах на случайные вынужденные колебания и устойчивость движения нелинейных систем типа пологих стержней,.оболочек и пластин. Результаты по параметрическим колебаниям могут быть использованы'при расчете колебаний, источником которых является осевая сила, случайная во времени. Под таким воздействием находятся отдельные участки транспортного средстве или .наземного сооружения, , когда' случайные колебания всего тела создают осевые -силы, изменяющиеся во времени случайным образом; элементы корпуса летательного аппарата из-за беспорядочных пульсаций силы тяги, передаваемой от двигателей. 0

Результаты, полученные по кинематически возбуждаемым колебаниям распределенных систем, :. :гут найти двоякое применение. В первом случае, когда вибрация нежелательна, для ее уменьшения, во втором случае - когда она используется в технологических целях (вибротранспорт, грохочение материалов, уплотнение и т. д.)

для установления оптимальных режимов колебаний. • -,У-'

Апробация работы.". Результаты работы докладывались на: рес- , публиканской (КБР) научно - технической конференции (Нальчик, 1976); XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок (Харьков, ' 1977); Всесоюзной конференции по проблемам оптимизации: и надежности в строительной механике (Вильнюсу 1979); XVI- Между- : народной конференции по теории оболочек и пластинок (Н.Новгород,. 1993 ) ; научно-технических койфревдй' ШСЙ(Ьсква, ; 1974 ), КБГУ ; ; (Нальчик, 1974, 1976, 1989); науодо - тёоретической школа -- со-минаре "Нелинейные краевые З8дачи математической физики и.их при-локения" (Институт математики АН Украины и КБГУ, Нальчик, 1993); научной конференции - семинаре Щ'.щшкяадной' ¡Шмйтйш .и. ш<н:' метизации (Нальчик, 1993); постоянно действующих .сёмшш£вх:;МВТУ (рук. проф. Светлицкий В.А., 1978), BBIÎA к,] Йуковского (рук. - ; проф. Вольмир A.C., 1974), КБГУфук.-проф. Шхануков М.Х"., (974- 1994), Кабардино - Балкарскогоаграрного института (рук../- проф. Бугов А.У., 1993, 1994), .НИИ прикладной математики и автоматизации (рук. - проф.- Нахушев А.М., 1991 .19^1, Ростойского государственного университета (рук. -акад. Российской АН Воровнч ИЛ'., 1994), МГСУ (рук. - проф. Варданян Г.С., проф. Леонтьев К.К., проф. хбсин Г.Л., 1994).Л; ■

Результаты работы внедреш на 2 предприятиях и включены б отчет по госбюджетной научной теки "Случайные колебания и стохастическая устойчивость упругих механических систем", выполненной ю госбвдкетным планам НИР Кабардино-Балкарского госупивбрскша в 1993-94 г.г. : --^у-^Уук/У'УУ', УуУ /,.'•;-■.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 17 'пэ-чатЕых работ в научных журналах,, трудах конференций и сборникам научных трудов. " • 'у[\-У:1 Y::-'VyV..;

Структура и объем работы. Общий объём диссертации составлю 447 страниц в т.ч. 316 страниц основного текста н состоит из.введения, шести глав, заключения, списка литературы, прилокещй, ее держит 190 рисунков. ■ У-'"/■

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

* Во введешь . .. обоснована актуальность проблемы,' сформулирована цэль работа, кратко изложены основное содержание и результаты 'диссертации./V'X'• - - /

' В первой главе представлен краткий сОзор исследования по теме диссертации, дан анализ современного состояния вопроса, поставлен!! цель и задачи диссертации., ; ' ' ' " , Отмечено, что,зарождение и развитие-, теории случайных, коле-'Сашйстохастической устойчивости движения и родственных проблем г.юХешш конструкшй. связаны с' работа?.« Н.С.Стрелецкого, А.Р. Рха-шцдна,. И.И.Воровича, В.В.Болотина, Р.З.Хасышского. М.Ф.Ди-менгбергэ, В.М.Гончаренко, С.г.кренделла, Н.А.Николаенко, Б.Т. ШагаШт, К.Неш1б,' ?.№е1йепМшег, Р.Ког1п.

Указано, что пэриля по случайным колебаниям были работа А. С.йЧГ£еп, ^.С.БшшеЬу'В.В.Болопшэ, Н.А.Николаенко, М.Ф.Барш-тэйна,.М.ф.Диментбёрга, Ю.А.Федорова., _ ,■..'■■'., Случайные'.колебания гибких элементов в виде струн изучались в работало.Г.Кренделла и, А.П.Кульвец, Т.С.Неверовой, В.А.Свет-й'дхого, В.Г.Колсмиец, .М.Иоуак,' Р.Сишсйаг, К.Е1сЬап1, СЛ.Апапй. , Исследования для балок проведет'.В.В.Болотиным, "Н.А.Николаенко, В.Л.Светлтдаш/.С.лЬтас!!, М.А.Баиег, ^.й-.Ьау1з, Р.ЗеЩе. Отмечено, что случайные колебашш мембраны.,рассмотрев лишь в единичных работах. '' • • • ' • .

Пуоликайш по случайным'колебашш'оболочек я пластин, начатые в свое время работами . И.И.Воровича, В.М.Гончаренко', М.Ф.Ди-ментОерга, к настоящему времени имеют большую библиографию. Это направление исследоЕашШ получило развитие в трудах В.В.БолЭтина, А.С.Вольмпра, И.Г.Кильдибэкова, Ю.Л.Федорова, Б.П.Макарова, П.А. Бондарева,В.Г.Коломиец, В.Е.У'омотова, Ю.Йолоховского, 1.Е11з1та-коГГ, К?Непп15, Р.21е1ег.

Давно сфорифовавзэе- направление механики конструкций о динамической устойчивости и параметрических колебаниях получило да-

льнейшее распространение на стохастические системы благодаря работам Р.ИеЫегШашег, З.Т.ШагаШат, Р.Ког1п, С.ЗсЬтШ, Р.З.Ха-сьминского, Г.Дж.Кушнера, В.М.Кузьмы, В.В.Болотина, В.Г.Москвина, В.А.Окопного, Н.М.Комар, А.И.Смирнова, В.КЛернова, й.Ф.Димент-берга. Введены и опробованы различные критерии стохастической устойчивости, для многих конкретных случаев построены границы областей неустойчивости и обнаружены специфические эффекты.

На основе проведенного обзора литературы и анализа современного состояния отмечены недостаточно изученные и в то же время актуальные проблемы в разработке теории случайных колебаний. В нелинейных системах - это, в первую очередь, .вопросы/многозначности получаемых решений, их возможного разделения на устойчивые и неустойчивые в стохастическом смысле, влияния ада фактов на динамическое поведение конструкций. Для распределенных линейных систем недостаточно исследованы колебания, кинематически возбук-даемые на их границах, не определены внутренние силы, возникающий при этом в сечениях» Слабо изучены и проанализированы связи случайных колебаний со свободами и гармоническими колебаниями, зависимости интенсивности и форм случайных'колебаний от соотношений между спектрами собственных частот и спектральными плотно-, стями возмущений.

Во второй главе рассматриваются нелинейные случайные колебания распределенных упругих систем {пологие стержни и оболочки,. пластины и т. д.); исходное уравнение движения которых -имеет вид

дХг 01

где А, В -линейные оператор - инерционный и диссипативннй,. С -- упругий оператор, состоящий из линейной (С1) и нелинейной <Сг) частей, и(х,1;) -вектор перемещений (и функции напряжений), -вектор внешних вынуждающих возмущений, х -вектор, пространственных координат. В качестве иллюстрации представлены уравнения колебаний геометрически нелинейных пологих цилиндрических оболочек Использование хорошо известных вариационных и других приз-

ликэнных методов (Ритца-Тгсетенко, Бубнова-Галеркина и т.д.) дает при одночленном приближении нелинейные дифференциальные уравнения в безразмерной форме:

- для вынужденных колебаний

у*+ 2ву + у - ау2 + Ьу3 - я, (1)

- для параметрических колебаний

у'+ 2ву + (1-ср)у - ау2 * Ьу3 « О, (2)

- при взаимодействии вынужденных и параметрических колебаний

:, у'+ 2еу + (1-ср)у - ау2 + Ьу3 « 4. (3)

Здесь уст) - обобщенная безразмерная координата, х -безразмерное время, а, Ь - параметры, чех)- обобщенная поперечная сила, р(т)-' /-Обобщенная''-осевая сила. Уравнение (!) кроме колебаний констру-, кщй, "указешшх: выше,. описывает с высокой степенью точности колебания дзухзвешшх шарнирно - стержневых систем типа ферм Мизеса, встречающихся в конструкциях сетчатых пологих куполов для перекрытия зданий и в деталях приборостроения и являющихся по существу система«« с одной степенью свободы. ''

При вынужденных колебаниях входной процесс сцт) представляется как стационарный случайный, процесс с известным математичес-•*, ккм .ожиданием пг и спектральной плотностью Б (а».' В рамках корреляционной теорш1; случайных процессов с*авится задача об определенииматематического отдания ту, дисперсии и спектральной плотности ^(ы) при установившихся режимах колебаний.

Используются методы статистической линеаризации и спектральных представлений. В первом случае нелинейная функция

Ф(У) * - ау2 + Ьу3

заменяется линеаризованной

ф(У) « <|)(У) « + ^у ,

где к,, ^ - неизвестные статистические коаОДициенты передачи по регулярной и случайной.составляющим, у(и - центрированная составляющая выходного процесса.. Коэффициенты к1 и к£ получены с

помощью Двух критериев:

1 )критерий равенства математического ожидания и "дисперсии -да случайного процесса на выходе реального нелинейного и эквива-' лентного линеаризованного элементов;

2)критерий минимума среднего квадрата разности между случайными функциями на выходах нелинейного элемента и эквивалентного ему линеаризованного элемента. ".•"..'.'"•

При получении статистических коэффициентов используется гипотеза квазигаусовости, в соответствии с которой'появляющиеся старшие моментные функции выше второго порядка заменяются млад-' •шиыи с помощью соотношений гауссовского процесса.

Первое уравнение относительно неизвестных га и имеет"екд

У - У

(шу, ф = пу- ал£ + -(а - ЗЬту) - т^О. (4)

Далее из (1) получено уравнение для центрированных составляющих

возмущения и отклика у(а) . , » • •

у + 2еу + ку = 5 , (5)

где к = 1- 2ашу + ЗЬ(ту + оу). Спектральные.плотности и Б^ (со) случайных процессов связвны соотношением

8у(оз) * }Н(1«)}г Б^ш) , (6)

где Н(1ш) - передаточная функция систещ (5). Интегрирование левой и правой частей (6) дает дисперсию " ■ ®

= /ЩШ1г (03) бы . (7)

■о

и второе уравнение, связнввщаэ ш , о*

У У

ф = о. ; <8>

Его непосредственная структура определяется функцией спектральной плотности обобщенной силы. .

Во втором случае, когда используется метод спектральных представлений вводятся интеграла Фурье

■Ills 00

q(x) = mq + J Q(oj) eimdu, y(t) = my + J Y(u) е1(ЛС1ы, -00 -00 где Q(u), Y(u) - случайные спектры, обладающие свойством стохастической ортогональности

. <Q(u) Q*((J' )> = S (и) ), <У(ш) Y*(u' )> » SJu)O(GMi)').

Здесь 'звездочкой'обозначен переход к комплексно - сопряженной величине, С (со) -дельта-функция Дирака.

",. Процедура метода спектральных представлений в соединении с гипотезой квазигаусовости дает результата,' точно совпадающие с результатами метода статистической линеаризации по критерию минимума среднего квадрата разности нелинейной функции и линеаризованного эквивалента. .

Уравнения (4) и (8) образуют относительно и о^ нелинейную алгебраическую'систему, содержащую неизвестные в высоких степенях и их .смешанные произведения. Прямое решение задачи путем ■исключения дисперсии о* .с помощью (4) приводит к алгебраическим уравнениям высота степеней относительно шу, и их корни в явном виде не выписываются. Более предпочтительным является "полуобрат-шй*"метод установления зависимостей параметров упругой системы и возмущающего.случайного процесса. Например', можно задаваться значениями математического ожидания и отыскивать о^ и какой-либо из параметров. Это,приводит к существенно более легкой ситуации, когда ."Приходится решать уравнения лшь второй, третьей степеней .относительно дисперсии о^.

Результаты вычислений обнаруживают,-что решение задачи является неоднозначным в некоторой области пространства параметров системы. По аналогии с детерминистическим случаем возникает практически важная задача о' возможном разделении колебаний на устойчивые и неустойчивые, но уже в некотором стохастическом смысле. Для eS решения используется уравнение возмущенного движения

х + 2ех + (d + еу + ЗЬу2)! - (g - ЗЬЯх2. + Ьх3» 0 , (9)

гдэ возмущение 1(1) считается случайным процессом, (1, е - выражения,, полученные в ходе преобразования и содержащие иу и Это уравнение является нелинейным стохастически аналогом уравнений Матье -Хилла, в котором случайный процесс у(1) играет роль "

Далее задача сводится к исследованию устойчивости тривиаль-кого решения х(1) в о. Используя шдифицираванный метод момент- , них функций В.В.Волотина, стохастическая .устойчивость отоздёств-; ляется с устойчивостью то Ляпунову совокупности математических ожиданий и моментных функций второго порядка для компонентов некоторого векторного, марковского процесса. Чтобы поведение систо-ш могло считаться марковским процессом, оно должно .описываться да|ференциальными уравнениями первого порядка,, а'воздействие должно быть дельта-коррелировшиш. Уравнение : (9) и случайный процесс у(т) со спектральной плотностью (6) не удовлетворяют эта: • г' требованиям, но путем введения достаточно обшрной совокупности "координат" (повышения размерности фазового пространства) проце сс возмущенного движения .приводится к марковскому типу, если обобщенная сила является белым шумом или имеет спектральную плотноси в виде дробно-рациональной функции, в частности, если

где 0 - константа, Ъд(1о)) - полином порядка г. Такая сила подставляется как результат прохождения белого шума с интенсивностью а = 2хВ через формирующий фильтр, описываемый днфферен циальным уравнением г - го порядка

Здесь £(6/(11) - оператор, получающийся путем формальной замени (1ш)3 в полиноме 1^(10)) на производную й*/&13 (;) = 1,...,г). Три случайных процесса х(а), у(а), ^(1), описываемые уравнениям (9), (5) и (10), рассматриваются совместно. Вводятся расширенно* фазовое пространство размерности п = г + 4 и в нем вектор х(т) с компонентами ;

xt = x, x2 = dx/dT, x3 = I xi = dy/dx,

, x5+J = dtydiV (3 = О, 1,..., r-1).

Система дифференциальных уравнений (9), (5), (10) переписывается в канонической форме -

X = f(X) + 2(1), (11)

где f = СГ1, f 2,..., Гп> -вектор - функция векторного аргумента, 2(a) -стационарный векторный белый шум. Полученный таким образом случайный процесс х(т) Судет марковским.

Далее рассматривается линеаризованная система дифференциальных уравнений "

г1,.....' • » ' i

m = А га, (12)

где А - квадратная матрща с постоянными элементами, т(т) - вектор размерности 1 = 2n + 1, образуемый совокупностью моментных , функций первого и второго порядков

. • п^т) = <x1(t)>, mli(t) = <xt(i) х^сс)>,

1 = 1,2; 1 = l, 1+1,..., п.

Остальные моментные функции (при 1 > 2) относятся только к процессам y(t), q<t), в силу их стационарности являются постоянными 'Величинами и поэтому в определений устойчивости не участвуют. Используются соотношения . •

■ со со » со

А= J*—J m W-^n' Ar /'•••X g? <13>

—со . —со.. —со —оа

и диффузионное уравнение Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК)

; Г . || = dlvi (0,5 Sv - f)w), ; (14)

где w(x,t) - плотность вероятности векторного процесса х(т), s --матрица интенсивностей векторного белого-шума a(t), v = (ô/dx1, ...,д/дхп) - символический векпр Гамильтона.

Подстановка (f4) в правые части (13), замена появлявдихся при интегрировании моментных функций третьего и четвертого порядков моментами первого и второго порядков с помощью гипотезы ква-

зигаусс'овости, отОрасывание нелинейных членов приводят к конкрет-' ной системе (12). : • • '....,

Согласно теореме Ляпунова нулевое решение системы (12) является устойчивым, если все корни векового уравнения

det (А - Щ= О . (15)

имеют отрицательные вещественные части." Цоэтому далее проверяются соответствущие условия относительно многочлена ' ■ ' •

р(Л) = л1 + а^1"1 + ... + а1, (16)

каковым является левая часть (15). Коэффициенты а^. в проведенных . вычислениях найдены методом Фадцеева. Tarn,! образом, задача сводится к проблеме Рауса - Гурвица, при решений которой применен вариант критериев Льенара - Шипара

ах > О, а^ >'£),..., Д2 > О, Ад > 0,... (1?)

Здесь А±- определители ГурЕица i - го порядка. Услоеия (17) являются необходимыми и достаточными для того, чтобй вещэствен-. ный многочлен (16) .имел .все корни с.отрицательными вещественными частями. Вследствие большого порядка матрицы А условия (17) в развернутой форме выписать не удается, но, они легко программируются для проверок на ЭВМ.

Рассмотрены наиболее часто используемые в практических приложениях типы спектральных плотностей

1. Гармонический, процесс со спектральной плотностью,

Sq(co) = о^ б(& - м) , '(18)

где о^ - дисперсия силы, П - частота возмущения. При ' Bq = oq -~ е = 0 и использовании истинной плотности распределения гармонического процесса уравнения (4), (8) точно совпадают с урагаения?:К для параметров свободных гармонических колебаний.. Использовашю ' гипотезы квазигауссовости приводит к некоторой разнице. Йкчислэ-шя показывают,'что она становится заметной лишь при больших сро-днкх значениях и амплитудах отклонений.

Аналогичные результаты получены и ' для Еынуздэнных гармони-

ческих колебаний. Вычисления, проведешше с использованием и без использования-гипотезы квазигауссовости показывают, что введение гипотезы квазигауссовости эквивалентно некоторому увеличению жесткости констррции.

2. Белый шум со спектральной плотностью

Sq(oj) = а / 2% , (19)

где s - интенсивность белого шума. В расширенном четырехмерном фазовом пространстве вектор х имеет компоненты

* л> »V

X^ X, Х2= X, хз= у, ,Х4=у.

Соответветствущее уравнение ФПК принимает вид

= - х2 g + t(d + ех3+ 3b х2 )х,+ 2ех2- (g - 3bx3)x2 +

, hT3, .flw. _ дм . I]rr , ?гт , Й , 3 ôfw + bX13 Мг ~ 4 Sx3 + 3 + 4 Шл + 2 ¡¡2 •

Совокупность моментных функций первого и второго порядков образует вектор с девятью компонентами

m(t) = ( пц, nig, mn, и12, m13> гам, ш22, ш23, m24).

Далее получена матрица А, приведены результаты вычислений и анализ по.ним. Дается пример, показывающий, что учет моментных функций'лишь первого порядка при определешпг стохастической устойчивости может привести к неверным результатам для некоторых областей пространства параметров.

3. Усеченный белый шум со спектральной плотностью

О2 / 2Д, (J€l=[(i) - Д, U + Д ], <3 со (20)

Sq(u» =

О, . и<1,

где шо-средняя(характерная) частота, А-параметр ппфокополосности.

4. Экспоненциально - корр:лированный случайный процесс со спектральной плотностью

Б (и) = о2 сг / %{о?+ ы2). (21)

ч ч

Здесь - параметр широкополосности. Уравнение - фиьтрэ имеет вид

где Е(т) - белый шум с интенсивностью а » 2 о^ а. Расширенное

Ч + = 5(1), интенсивностью зовов пространство определяется координатами

9

X, ^ У

V X.

" У». V ч

Уравнение ФПК

№ - _ | // з а2»

9т

1=1 —I

и совокупность моментных функций

+?

Ш(Т)= { Шг П>г, ш.

го

11' Ш12' т13' И

2 ах*

... а

14' т15» шгг> И23'

гаг5>

приводят к системе уравнений с матрицей А

А =

1

-2е $ -к

28

г -28.

-2К

1

-2е 1

-4б

-К.

-к

1

-26 1 -к -4е 1 -7

•ЗЬт35 -^35

т35= + с< 7), 7 в ге + <*. 2 показаны результаты, полученные для системы с

20Пз5

где кп= й + 9Ьо^,

На рис. 1, параметрами

£ = 0,01; а = 0,47; Ь * 0,05; од= 0,2; <* = 0,1. Они соответствуют оболочке, имеющей три положения статического равновесия: два - устойчивых, одно - неустойчивое. Для сравнение на рис. 1 нанесена кривая статических прогибов у - тонкая лит ния). Участки, отмеченные пунктиром, отвечают неустойчивым состояниям равновесия или движения. При рбсте математического ожидания силы шч сначала набЛвдаигся колебания преимущественно около

*

Рие. I

первого устойчивого равновесного положения(участок 1-2) с малыми, значениями математического ожидания (рис. 1} и стандарта смещений оу (рис. 2). В точке 2 этот режим скачкообразно сменяется колебаниями с охватом обоих устойчивых положений равновесия (точка 3) или колебаниями в прощелкнутом состоянии (точка 12). В первом случае повышешм mq ведет к срыву колебаний 4-5, означавшему переход к колебаниям преимущественно около прощелкнутого состояния. При этом стандарт смещений (рис. 2) сильно падает из-за возросшей жесткости системы. Уменьшение mq на участке .4-9 • приводит к обратной смене колебаний с охватом обоих устойчивых равновесных положений на колебания около первого устойчивого положения (перескок 9-10). Аналогичная картина наблюдается при падении нагрузки на участке 6-7. Здесь колебания около прощелкнутого состояния сменяются скачком 7-8 на колебания около первого устойчивого положения или скачком 7-11 на колебания с большим размахом.

Перехода от одних устойчивых стационарных режимов к другим, отмеченные на рис. 1,2' стрелками, наиболее вероятны при достаточно медленных изменениях математического ожидания'силы, Инке варианты (из других точек) вследствие случайной природы нагрузки не исключаются, но они, очевидно, будут менее вероятными.

5. Случайный процесс со скрытой периодичностью и спектральной плотностью

2 О? 0£ в2 _ _ . s«в) = -—а- , е2= f, ... (23)

икш2- е2)2+ 4^1ii у.

где р - характерная частота. Уравнение фильтра имеет вид • « •

q + 2c¡q + 62q.= £(t), где 5 (г) - белый шум с интенсивностью а » 4 о* а 8г. Случайный

векторный процесс Кг) с шестью компонентами

• ' »

х,- х, х, Х3= у, Х4= у, Х5= q,. хб= q

будет марковским. Соответствующее уравнение . ФПК дает матрицу А тринадцатого порядка.

Проанализирована зависимость математического ожидания и сре-днеквадратического отклонения прогиОов от параметра широкополос-ности d. и несущей частоты (3 входного процесса. Линии среднеква-дратических отклонений располагаются вдоль скелетных кривых свободных колебаний и являются стохастическими аналогами амплитудно- частотных' характеристик гармонических колебания. Здесь также имеются неоднозначные решения, неустойчивые движения, возможны скачкообразные .перехода от одних устойчивых колебаний к другим.

. Изучение параметрических колебаний проводится с помощью уравнения (2). Обосновывается, что продольная сила р(т) часто является. случайной или содержит случайную составляющую. Например, вследствие. случайных-колебаний наземного сооружения осевые силы, приложенные к его отдельным участкам, изменяются во времени случайным образом, корпус летательного аппарата находится под действием беспорядочных пульсаций силы тяги, передаваемой от, двигателей.

При известных вероятностных характеристиках входного процесса рассмотрение задачи состоит из нескольких этапов:

1).построение областей неустойчивости положения равновесия (или тривиального решения уравнения (2)) в пространстве парамет-j»B уравнения и случайной функции;

2) определение вероятностных характеристик стационарных случайных колебаний в областях параметрического резонанса;

3) изучение стохастической устойчивости или неустойчивости колебательных режимов, соответствующих найденным характеристикам.

Содержание первого этапа по своей сути совпадает с проверкой стохастической устойчивости вынужденных колебаний, но место уравнения возмущенного движения (9) теперь занимает исходное, уравнение движения (2), к которому присоединяется уравнение фильтра типа (10). .

Для второго этапа ставите« задача об определении математического ожидания, спектральной плотности и дисперсии стационарных режимов колебаний. Используется метод спектральных представлений в сочетании с гипотезой квазигауссовости. И в'этом случэе некото-

рым областям пространства параметов отвечают многозначные решения. Поэтому возникает задача о стохастической устойчивости, для решения которой используется уравнение возмущенного движения

'х + 2бх + (1 - ср - 2ау + ЗЬу*)х - (а - ЗЬу)!2 + Ьх3= О, Конкретные выкладки проведены для двух типов входных процессов:

1. Экспоненциально - коррелированный случайный процесс ср спектральной плотностью типа (21). При определении границ областей устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров марковский процесс х(т) имеет компоненты

хг = У, х, -У, *з - р. Вектор моментных функций принимает вид

ш " 1 V V в11' ш12' в13» ®гг* "гз^ .

Матрица коэффициентов А системы уравнений дает искомую границу. . При проверке. стохастической устойчивости, неоднозначных режимов колебаний марковский процесс является пятимерным

хт-х, Х2= х, V У» V У. у Р-с соответствующей совокупностью Моментных функций. ;

2. Случайный процесс со скрытой периодичностью и спектральной плотностью типа (23). Решение проведено аналогично предыдущему случаю. Полученные границу области неустойчивости совладеют с найденными в работе В.В.Болотинаи В.Г.Москвина, «ели положить в уравнении (2) коэффициент нелинейности а нулевым. Изучены зависимости параметров колебаний в оу от характерной частота входного случайного процесса р(т). Обнаружены многозначные решения, часть из которых квалифицируется как стохастически неустойчивые.

Далее с помощью уравнения (3) решена задача о взаимодействед вынужденных и пэраметричесгаа случайных колебаний. При этом принято, что обобщенные силы я(1) и р(т) являются стационарными взаимно некоррелированными стационарными гауссовскими процессами, рассмотрены случаи экспоненциально-коррелированных и со офятой периодичностью процессов. СЬлучены разрешающие системы алгебраических нелинейных уравнений относительно математического ожида-

• ""21 V

ния и дисперсии выходного процесса, разработаны алгоритмы их решений, приведены числеше примеры, показана многозначность режимов колебаний и исследована их стохастическая устойчивость.

;; В третьей главе исследуются установившиеся поперечные колебания струн (проводов, тросов, канатов, ремней, нитей и т.д.). Источником колебаний являются перемещения концов струны, вызываемые землетрясениями] вибрацией опор, неизбежными геометрическими погрешностями изготовления самих струн, вращащихся опорных устройств, эксцентриситетом их посадки и другими причинами. Такие задачи характерны для проводов линий передач, тросовых оттяжек антенно - мачтовых,сооружений, передач с гибкой связью в механиз-йах; для гибких транспортерных лент, используемых в строительстве, . горнорудной и пищевой промышленности, сельском хозяйстве и т. д.

После перехода к безразмерным переменным и коэффициентам по-перечше колебания струны описываются в переменных Эйлера дифференциальным. уравнением в частных производных гиперболического типа

ии + 2 Би4 + 2цих,- (1 -ц2) и^.о, (24).

х с (0, 1), I > - да. Здесь х, % -пространственная и временная координата, и(х,1;)-фуя-кция отклонений струны, в -коэффициент демпфирования, ц - скорость движения струны в продольном направлении.

Однородные граничные условия дают спектр собственных частот

* (1 " ^к2*2- е2 , к - 1, 2, ...

которому в координатной системе шец отвечает семейство поверх: гостей йц.

Рассмотрен характерный случай кинематического возбуждения колебаний, когда правый конец струны гармонически колеблется с частотой 0, а левый остается неподвижным, при граничных условиях

/ . и(0,1) - о, 11(1,г) « Г(1) - е1"*. (25!

Искомое решение представлено через передаточную функцию Н(х,Ш)

и(х, г) - Н(х, 1П) е10*, '26;

-22-.;

и найдено ■ - "

Htf.ifl) = sh dx cosech de6**"1\ (27)

причем с(1П, Ц), d(in, ц, e) - некоторые комплексные числа. ...

Действительная функция амплитуд определяется формулой.

' , а(х) = | Н(х, 1П) t- . (28)

В предельном случае, когда, частота возмущений П = 0, она дает результат, соответствующий статическим отклонениям.

;, Амплитуды и формы вынужденных колебаний струны существенным образом зависят от расположения изображающей точки РШ, 8, |i) от-'носительно поверхностей При Р € имеется случай резонанср с к полуволнами в форме' распределения ¡шлитуд. Если изображавдар .точка находится между-поверхностями й^.и R^, форма распределения амплитуд содержит дробное количество полуволн из отрезка (к, к+1). При движении изображающей точки Р по поверхности . в, сторону увеличения ; е амплитуды колебаний'уменьшаются. Далее доказывается, что перемещение изображающей точки по поверхности при постоянном трении не:влияет' на ашштуду и форму колебаний.,.

: Построены кривые амплитудно-частотных характеристик для от» дельных точек, имеющие острыеПики на собственных частотах.

Когда оба конца струны совершают гармонические .колебания, граничные условия содержат векторный, возмущающий процесс £(t) с компонентами '

: Щл + а.) fk(t) « Ake к Vе , к = 1, 2,

где А^- амплитуды, t^-частоты возмущений, с^- углы сдвига фаз. При.равенстве частот возущений по результатам вычислений Амплитуд проведен анализ взаимодействия двух источников, колебаний при характерных значениях сдвига фаз.

Те хе задачи рассмотрены в стохастической постановке, т.е. при случайных колебаниях концов струны. Например, в граничных условиях (25) i(t) принят в виде стационарного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и заданной спектральной плот-

ностью Sf(w). Тогда u(x,t) будет центрированным пространственно. -временным случайным полем, стационарным по времени и неоднородным по.'пространственной координате. В рамках .корреляционной теории ставится задача об определении момента функций второго порядка и спектральных плотностей для поперечных смещений струни. В стохастическом аналоге задачи (24), (25) использованы'метод спектральных представлений и соответствующие интегралы Фурье

09 СО

u(x,t) = J U(x,o))elUtdu, f(t) - / 1(ш)е11,ч<3ш, (29)

-co -oo

спектры которых--стохастически ортогональны по частоте со

<U(x,ti) U*(x' ,0)' )> в ки(х,х'; ш) а (и - о'),

<Р(ы) Р*(м')> a Sf(ш) б(ш - ш').

Здесь Хи(х,х'; ы) - характеристика случайного поля u(x,t), сбла-дащая свойствами корреляционной функции по пространственной координате и спектральной.плотности по частоте. Получено

Ки(х, х'; ш) » Н(х,1ы) Н*(х'Ди) sf(w).

. Последнее переходит в известйоо' соотношение

Кц(х, х; u) -'Su(i,m) » I Л(х,1ш) |2 Sf(и).

Тогда дисперсия вычисляется по формуло

а

Du(x) ■ J I H(x,to) f (20)

-00

', Получить результата'интегрирб'ваШ в аналитическом виде, как правило, не удается. Выход, из- такого затруднения. состоит в использовании численных методов и ЭВМ. - Но при этом вычисление несобственного интеграла в (30) представляет определенные сложности из-за наличия у подынтегральной функции многочисленных острых всплесков на собственных частотах, необходимости замены пределов конечными значениям и выбора подходящего шага для численного метода. Попытка'достичь высокоточных ..результатов путем как мошз большего расширения области . иятегрирозанпя и измэльчения лага

•.v.. . . - 24 - V/.-." \ '•

. приводит к неоправданным затратам машинного времени. Не представ- : ляется возможным установить анаштескими методам границы и шаг интегрирования в зависимости от требуемой точности конечных результатов. Поэтому становится необходимым проведение; вычислительных экспериментов по их подбору путем сравнения получаемых результатов при постепенном расширении области интегрирования и дроблении шага интегрирования. При проведении расчетов нижний предел интегрирования принимался равйым нулю (с учетом последующего уд. воения результатов вследствие четности подынтегральной функции), верхний предел интегрирования определялся из вычислительных экс- . периментов как значение собственной частоты при котором численная норма подынтегральной функции девнялась нулю с точностью

' 11Н(х3,1ы)|2 sf((gk) 1 о,роо, v,-.;

В приводимых примерах достаточными оказались значения к «25. При подборе шага, интегрирования его постепенное уменьшение проводилось до тех пор, пока разница результатов на двух'последних этапах не оказывалась меньше 0,1 X. ..''Л/;';';-;.

Подробно рассмотрены задачи, где !(t) представляется наибо-. лее часто встречавдимися в приложениях стационарными случайными ; процессами: дельта-коррелированный случайный процесс (белый шум) , .; усеченный белый шум, экспоненциально - коррелированный случайный , процесс, случайный процесс со скрытой периодичностью. В большинстве из этих случаев удается осуществить предельный переход к статическим задачам и/или гармоническим колебаниям. Тогда решение, детерминистической задачи получается как частный случай стохастической, что частично подтверждает достоверность результатов.

На конкретных примерах обнаруживается существование множества аналогий между гармоническими и стохастическими колебаниями, особенно при достаточной узкололосвости входных возмущений. Показано, что интенсивность и форма колебаний(форма распределения сред. неквадрвтического отклонения вдоль струны) существенным .образом зависят от того, насколько "удачно" спектральные плотности возму-

...... -"25 - . v .

, щений перекрывают "поверхности собственных частот fyk = 1, 2,...). .-... Далее рассмотрена стохастическая краевая задача о колебаниях,' возбуждает на обоих концах струны. Тогда в граничных условиях ^ (t), f2(t) являются кошонейтами стационарного и стационарно связанного случайного векторного процесса f(t). Его математическое ожидание нулевое, матрица спектральных плотностей Sf(u) "врмитовая и -имеет- заданные элементы skl(w) (к, 1 = 1, 2). Полу- . чеш спектральная плотность и дисперсия поля перемещений u(x,t)

Du(x) = j Su{r, a)to> = j J iw) hJ(x,- iw) skl(ti))<to. (32)

-co -oik 1

Рассмотрены два типа векторных входах случайных процессов: '.- , ' 1. Экспоненциально' - коррелированный случайный процесс

. 3ki(w, = ^а7 x(ciki4 1 = 1, 2. (33)

2. Случайный процесс со скрытой периодичностью

«w«) - 2\AieL/ *eL>2 + <34>.

■Проведены конкретные вычисления для дисперсии и проанализированы варианты колебаний концов:.' автономных, некоррелированных (D12= = Dg1= 0>, идеально положительно коррелированных (Dn= D22= D12= = D21= i), идеальш отрицательно коррелированных (D12= Dgl= -1).

Изучено влияние параметров широкополосюсти и характерной частоты на величину и форму распределения дисперсии вдоль пространственной координаты.

В четвертой главе расматриваются установившиеся колебания балки постоянного сечения, которые после введения безразмерной функции и параметров в рамках технической- теории описываются однородным дифференциальным уравнением в частных производных гиперболического типа

и.л 2 еи.+ а" > 0, х € (0; 1), t > -«. (35)

tt t хххх

Концы такой балки могут совершать линейные и угловые кине-

,; - 26 - . ■■/;-.':.■■ .-.•■.••• Ч . матшеские перемещения из-за сейсмических воздействий, общей вибрации всего сооружения или машины,"транспортного средства, элементом * которых она. является, или под действием непосредственно приложенных сил.. :'"' '-х 'v'-;

, Рассмотрены следующие балки по Типам опирают концов: шар-шрно опертая балка, балка с жестко ..заделайшми концами, консоль-' нал балка, консольная балка с массой на свободном конце; : '

. Задача состоит в том, чтобы при гармонических колебаниях определить функцию щх.г), а затем безразмерные изгибающие моменты ш(хД) и.поперечные силы - ) ; .; ' ".. ",- .:• '■'

кнхД) = и^хД), ; <цх,г;< = и^ал). ,. (36)

В стохастической постановке отыскание функций заменяется опреде-' .леккем вероятностных характеристик в виде спектральных Плотностей и дисперсий 'этих" же функций. . I ' . ''

, По большинству детершшнсдаеских'задач -решения известны или-их получек» не встречает серьезных затруднений. Поэтому для них .. приведены'краткие сведения или 'получены результатам, в таких формах и терминах,.которые требуются'для.изучения случайных колебаний. В частности, очень удобными для приложений к случайным колебаниям оказываются передаточные функции, нэйдэише при гармонических возмущениях,на границах перечисленных. типов балок. '■'•"-.

На примере шарнирно'..опертой,балки,'правый конец которой ко- ' леолется, а левый - неподвижен,; решения строятся следующим образом. Выписываются граничные условия для уравнения (35)

и(0, г) « о, и(1, г) - Щ) - е1й*,

(37)

и (0, г) = о,, и (1, 1;). = о, г>-ю. ,

Используется метод разделения переменных, т. е. решение задачи (35), (37) принимается в виде (26), что дает краевую задачу относительно передаточной функции эллиптического,типа. Ее решение имэет вид

Здесь А, - корень характеристического уравнения.

(lfl)2 + 2s(lfl) + ká « О.

Формула' (28) определяет амплитуду, (36) и (38) дают передаточные функции и амплитуда для внутренних1сил

II íx lfl)- iV - í Н (х lfl)- ^f ЙШ - c?3fe"l (39) m ' ' 5 l рГ. sET j' Vх' г [ шг вШГ J'{Ji>)

. am(x) = I Hm(x, lfl) j, aq(x) = i Hq(x, lfl) |. (40)

Аналогичные результаты получены для других' типов балок при различных возмущениях (граничных условиях) и их сочетаниях.

■ Те же задачи рассмотрены в стохастической постановке, т. е. при f(t), являющимся стационарным случайным процессом. Определены спектральные плотности и дисперсии прогибов и внутренних сил. Например, для изгибающих моментов они имеют вид

со

SJXM - |На(х,1(0)|2' Sf(u), вя(х) = J ¡irm(x,ly)|2 St(b)}áo. (41)

■ -05

При интегрировании правых частей (41) и аналогичных (формул учтено, что подынтегральная функция' имеет две характерные чередукящ-■ вся зоны: острого гака на узком отрезке около собственных частот и сравнительно' спокойного участка. Шаги интегрирования подбирались с помощью вычислительных экспериментов для кавдой зоны соответствующие.

Подробно изучены случаи, когда возмущения являются стационарны?,® случайными процесса?® в виде усеченного белого пума, экспоненциально - коррелированного и со скрытой периодичностью. Между решениями детерминистических и стохастических задач обнаруживается . множество аналогий. По мэре уменьшения пирокополосиости входных возмущений стохастические параметры колебаний приближаются к детерминистическим, в пределе совпадая с ниш.

Значения дисперсий прогибов и внутренних сил и фор?ш их распределения вдоль оси балки существенным образом зависят от харак-

тера совмещения передаточной функция и спектральной плотности на частотной оси. Если характерная частота .случайного входного про-' цесса совпадает с собственной частотой uek, то случайные колеса- ! ния являются резонансными, и они происходят в основном по собственной форме (pkU). B stom случае увеличение шфокополосности входного процесса ведет к отстрйке от резонанса и снижению ш-

■ тэксивкости колебаний. И, наоборот, рост шфокополосности при не—

■ резонансных колебаниях' приближает их к резонансу, вследствие чего дисперсии перемещений и внутренних сил увеличиваются. • v^V;

. При преобладании шшочаСтотных ссставляща в спектре Воз- . мущений внутренние силы незначительна.'; При увеличении доли высо-. ' кочастотных составляющих дисперсии вну грейних сил существенно во- ■ зрастают. • ■

Выполненные примеры и анализ результатов обнаруживают тесную связь между' функциями среднеквадратичёскпхотклонений прогабов • ои(х), изгибающих моментов от(х) и поперечных сш[ oq(x). Зонам " повышенной кривизны граф»жов оц(х) отвечают .максимальные значения . ои(х) и сравнительно малые значещм oq(x); при рсте изгибающих моментов поперечные силы уменьшаются и т. д.. Таким образом, изве-' .: стшэ соотношения, вытекающие из да$фзрв1щалъных зависимостей мевду прогибами и внутренними силами, имеют соответствуйте стохастические аналоги. *■;.•■.'.--■..: " • ■

В пятой главе изучаются кинематически -возбуждаемые устано-вквшеся колебания прямоугольных мембран, описываемые после введения безразмерных координат,' параметров и функции смещений ' , u(x,t) дифференциальным уравнением

- :-. ■;■ v 2EUV V V °v ■ i:_

<х, у) €Qb{(x, у): х € (0; Т), у е (0; Д) }, л» I,/ I2. : f

Здесь , 1г - размеры в плане. Спектры собственных частот и форм . имеют вид ' ■ • ■'■'•'. -V " ' v'.'.'V '

V (^n"e8,V2' Фт^У)=>1ПУтХЗШ>пУ. (43) i

- • Вдетерминистескойзадаче к урэщшт;(42) присоединяются 'граничные условия ;'.'. ^Л^'^-'ч. - ; ' ' ;

ЩХ.УЛ)« ф(Х,У). е1°\ (Х,у) € Г. г > Я, (44)

: где ф(х,у) - заданная детерминистическая вещественная функция Форш колебаний Дкоятураг; 'шйрвнв;. Функция Отклонений мембраны принимается как произведение' неизвестной' .передаточной функции Н(х,у,1П) на гармоническую ■

и(х,уЛ) - Н(х,у,1Л)е1ПЧ ;.■ -■■ (45)

После представления передаточной функции в виде сумма

;; \ ♦ ьхх,у.1р).. . ' (46)

задача сводится к уравнению Гельмгольца длшттского' тппэ относительно ' 11(х,у,Ш), с однородными грзкпшл условиям. Решение пщэтся методам Бубгша - Г'алеркша'с помощью разложения в ряд по координатшис' функциям свободных колебашй

■ » ЪщЫЮ)^ ^

с годленшщкмп определению коэффициентами а.

Для. конкретных вычислений- форма колебаний контура принята

плоской т. е. " ■

.ф(х,у) » сх + бу + е,

с параметрами, с, <1, е.. Процедура метода дает форлулу '. 8Ь(с зп(-1)га+ <ыатнЛ 2езпап1 тп~ ш? (Кг + Ь) '

тп.

и = 1, 2,..., й; п » 1, 2.....N.

где Ь(1П) = (1П)2+ 2е(1П), 0т= 8(ш) - некоторая функция целочисленного аргумента, равная единице при нечетных и, и нулю - при четных га. При П = ш 'имеют место резонансные колебания с преобладающим влиянием собственной формы Ф^и.У)- При одновременно чеяш значениях га и п коэффициенты 0. Амплитуда колебаний определяются по формуле типа (28). Конкретные вычисления по ней требуют априорного.назначения величин М и К при усечении бес-

ф_(х,у). (47)

вп

1ЕП

(Ш).

конечного двойного тригонометрического ряда. .Насколько при этом, 4 приближенное .решение, окажется близким к точному, не удается ус- • тановить. Между тем известно,, .что невязке становится сколь -угодно малой при достаточно бблыпщ'М/и.11. Однако .ЕЫОор.слишком боль. ших значений приведет к неоправданно завышенным объемам вычисле- ' ний, так как амплитуду колебаний приходится определять для боль-' шого количества точек .мемораны, . Выбор же, слишком малых значений М, N связан с опасностью потери необходимой точности. Практически ; реальный выход из такого затруднения состоит в прове дензш численных, экспериментов. путем постепешюго повышения их величин и сопо-• ставлении'/'результатов*на каадом шаге.; При достижении некоторой, наперед задаваемой малой разницы(например, 0,1...О,2 %) можно такой численный эксперимент остановить'и последние значения. * М. и N , принят как расчетные. Начальные; 'значения М, Н, которые затеу ■ уточняются, путем повышения, должны, удовлетворять условию ^ > П. В подтверждение выполнен и проанализирован ряд призеров. Отслежу' процесс смены.форм .колебаний, при'росте .частоты возмущения П, построена амплитудно-частотная характеристик для отдельной точки,. имещая пики на собственных частотах. ,;

. При изучении кинематически возбуждаемых случайных колебаний метод спектральных представлений привел к зависимости между спектральными плотностями и формуле'да' дисперсий •

8и(Х,у<Ы):- |Н(х,у,1и)|- ^(и) (46)

Си(х,У) ■ I |Н(Х,у,1ы)|г Б£(ш) би. (49)

-Ю "У . .'-•■■

Возможность сведения интеграла'в правой части (49) к одному из табличных Т1Шов или необходимость обращения к оделённым . метода$ зависит от вида спектральной плотности (ш). Есть два случая, когда решение удается получить в аналитическом виде.

Первый случай - тривиальный. Если возмущения гармонические, 8г(и) « 6(0 - ш), и (49) дает дисперсию

Ви(х,у) - |й(х,у,Ш)|2, '

Л. - 31 -

которая совпадает с квадратом амплитуды детерминистических коле. баний. Во втором случае спектральные плотности возмущении являются дробно - ращюналышми функциями. Использован их частный тип

; - В / Ь* (10)Ь

где Б - константа, Ьг <1и>) - некоторый полином.

Поскольку при больших значениях М и N объемы вычислений являются существенными, предложены алгоритмы, учитывающие специфи- . ческие свойства данных интегралов и приводящие к сокращешш объемов вычислений почти в два разе. - . . В качестве возмущений использованы экспоненциально - корре-. йфованннй процесс и процесс со'скрытой периодичностью. Показано Влияние формы источника колебаний, параметров несущей частоты и шрокополосности на вэлиину д-лспортш колебаний и Форму ее рас-£фе деления вдоль пространственных координат. Оказывается, что в форме вынужденных колебаний . преимущественную роль играют собственные форш, попадающие в зону сосредоточения наибольшей мощности спектральной плотности возмущений. Изучена связь между ампли-. тудно-чвстотными кривыми и интенсивностью случайных колебаний.

В шестой главе рассмотрены кинематически возбуждаемые установившиеся колебания шаршрш-оперш прямоугольных в плане пластин, подченящихся гипотезам Юфхгофа-Лява. Соотш тствущоо двумерное волновое уравнешю после ввода безразмерных коорд!шат, параметров^ функции прогибов имеет вид

.. 2&Ц+ Д Д и «О, (60)

■й.У)€0в{(х,у}: 1€(0;1), у € (0; Л) >,

л = 1/12, д»дг/ ах2 + дг/ зу2.

/ - В сечениях пластины действуют безразмерные внутренние сила, находящиеся в известных соотношениях с.прогибами:

- изгибающие моменты и,» (Ш^, ц^, 4 ци^; (51)

- крутящие моменты п12= и^; (52)

- поперечные силы (¿и)х, д2» (Ди)у. (53) Здесь ц - коэффициент Пуассона.

1 -32: Ставятся задачи оО определении для перемэщешт.и внутренних сил: при гармонических колебвших - соответствующих функций и ем-шштуд, при случайных колебаниях - спектральных .плотностей и дисперсий.

' Спектры собственных частот и форм имеют вид

Г;J. v - w1»»» -flln vsin

Л." т> ■ Ht/A, Л, « V* +'ц?. Ш, П • 1, 2,...

В детерминистических. задачах принято, что контур пластины

совераает тармонйчес1Шб колебания, чему соответствуют граничные^

условия'.-l'/ • ;

uu.y.t)- t|)(x,y)f (t), (х,у) i Г, (Б4)

; U^CO.y) « UD(1 ,'у) » U^fX.O) » UyytX.A) « 0.

Здесь ф(х,у) - задшгаая функция формы движения, f(t)« е1?*. Ре-вение задачи (50), (64) принимается в виде (45 ), что дает сначв-ла краевую задачу с неоднородными граничными условиями. -Затем она приводится к задаче с однородными граничными условиями, которая резается методом Бубнова-Галеркина с представлением искомой функции в виде ряда по соОственшы формам. Нонкретные выкладки проведены для варианта движения контура '.'-" У;

с параметрами с, d, е, g.Полечены коайшщенты ряда-. ■

4Ь I, 21C5 (-1 )в+ т, (-1 ) - 2gO Ô ) - eA(-1) •'»■:.;'■ ш ■ : •■■•: тот2 uL ♦ Ь) О

:■.' ш « t., г,..., Щ ya * .¿„..V,/N;.;:V: '■■"yt\

и передаточная функция . .''■-' . 'г 'у- > : , ; .

■ ■'■"".. ■■'■•.' н н ; ■;•■.'.".;••. ---.V

Hu.y.lil) - ,Ф(Х,У) g а^ух.у). (55)

Амплитуде колебаний вновь вычисляются; по формуле, аналогичной (28). Передаточные функции для внутренних сил. а амплитуда определяются с помощью (51 )-(53), (55). Например,: для изгибающего иоыанта ■

" --33 - ■

Hm (x.y.lfl) =H + цН Ц) + jubV + T J a (<5 + ).

,, ny " xx 77 Jxx rTyy L If m Tmmnc rTmnyy

\ (r,y) = |Hra (x,y,ifl)f. ,

Эти формулы использованы для построения амплитудно-частотных характеристик, анализа завйсишстя амплитуд и форм перемещений и внутренних сил от частот и форм возмущений.

/ При случайных колебаниях контура пластины в граничных условиях (54) функция f(t) является стационарным центрированным случайным процессом с известными вероятностными характеристиками. Получены функции/спектральной плотности и дисперсии для прогибов и внутренних сил, по которым проведены конкретные вычисления при входах процессах в виде усеченного белого шума, экспоненциально-коррелированного процесса и со скрытой периодичностью. В случае усеченного белого шума вычисление дисперсии проводилось с исполь-„ зовшшем численных методов интегрирования.

Анализ показывает, что решения детерминистических задач являются частными случая.® решений стохастических, задач. Изучено влияние параметров широкополосности и характерной частоты на ве- ' личину и форму распределения среднеквадратичесш отклонений прогибов и внутренних сил. Зависимость вероятностных свойств колебаний от характера совмещения спектра собственных частот и спект-. ральной плотности возмущений такая ш, как в предыдущих случаях.

ОСНОВННЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующим:

1.Разработаны новые математические модели актуальных прикладных задач о случайных колебаниях упругих элементов, широко применяющихся в строительстве и технике: струн, балок, мембран, пластин и оболочек.

2.Предложены точные и приближённые достаточно эффективные методы, и алгоритмы решения задач, ориентированные на применение современных ЭВМ. На примерах продемонстрирована надежность и

■ • - /. • 7 ^ V; ■ ■ Щ311-^ ■

практическая реализуемость теоретических разработок. '. ,,:.

;3'.Для нелинейных систем в рамках корреляционной теории слу-чаиша"процессов получены разрешающие- уравнения для- спектральных- -плотностей и ыоментнцх функций выходного- процесса при вынувден- ■ кых, параметрических'колебаниях и их взаимодействии V'. 4.Обнаружено; что в некоторых областях пространства'парама-.: гров.'Нелинейншс систем существуют неоднозначные рэаекия, в связи ■■ с чем по аналогии с -детерминистическими случаями поставлены '.и ре-вены задачи о стохастической устойчивости колебаний. • .

Б.Предложен алгоритм классификации выкодйых многознашшх; ре-таюв колебаний ;на. у стойчиЕы'е и ыеустС'йчиЕнэ. На конкретных' примерах показано, что честь кз них неусюпчква в вероятгастшм смысле и, в связи с этш;-'шгут;..шеть;мегто^ срыва колобашй,- внезапных скачксоор&с'ных переходов и .перескоков; от ОДНИХ УСТОЙЧИВЫХ ДВЙЖеНИЙ к Друпм. > .VI

; 6.Для рассмотренного класса с^чайных .колебшщй выявлеш;основные .; закономерности всзшжновзш'.я и протекания динамических., процессов,.установлены причинно-следственные связи цевд.;входны-. ми параметрам!.и парамвтрашготюша.;; > рдУ

: 7.Для распределенных линейных систем типа струн, балок, мембран и пластин в\ рамках кЬррелщюнной; теории- '. случаРлых .полей, получены Формулы доя спектральных :плотностей, коррелящюнйк функций и дисперсий как парвмещешШ; так ;И;внутреша ;сщ' при ста-: цаонарных. колебаниях, возбуждаемых щшематкческими пвремеи9шимй опор(опсрных контуров). При этом рассмотрены разнообразные• типа условий - олирания конструкций и спектров возмущений.-,;'/ ;;;'

8.Установлен взаимосвязи и зависимости мвзд-спектрар'собственных частот и форм с'одной стороны,; рачениями '.паршздрв.'п'. формами вынужденных. колебаний с другой стороны. ^

Э.Обнаружены '.многочисленные .аналоги; и связи .между' дётерми-аяетачвсккми и случайны*® колебагшми, '.способствующие шгмаюж и интерпретации получаемых.результатов, ' позволяющие.выяз лять наиболее важные и существенные факторы в механизмах еозшж-

.. '¿рвения и ¿¡¿твшшя колебательных процессов в детерошистичес-: ких и стохесшвских. системах,

. ; Осноеныо результаты, полученные в дассертацш! опубликованы :,:в следщих работах:''. '

vv V 1. Вольмир A.C., Культербаев Х.П. Исследование нелинейных :К0лёбаш1й,щш!1Щ)1песид панелей под действием ветра // 'Изв. All

УССР. Прикладная механика. 1974. Т.Х. Еып.З. С.36-41. ; 2. Волыкр A.C., Культербаев Х.П. О действии ветровой наг-ру'зхи на щшпщричоскуа панель // Стр. мех.'и расчет сооружений. 1973. И 6. С.50-53. ;'■': ; =

. ;зу"Вольмф A.C.Культербаев Х.П. - Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек // ГШ. 1974. Т. ■ V38. ВЫП.5, С.893-898ЛХ;--Г^f'X ; : А. Культербаев Х.Ш- Вынужденные и параметрические колебания нел1шейщх упругих стохастических.систем // Тезисы докладов рзс-публкканской, научно-технической конференций "Роль ученых и спэ-цизлгстоз в повышении качества продукции а эффективности произ-' водства." Нальчик. 1976^ С>9.

. : ,'5., Культербаев. Х.П. Вздгдешше и параметрмосляе колебашя цилиндрических оболочек под действием случайных нагрузок // ; . Проблема нздеяюста. Всоссшшя конференция по проблемам оптимя-зёцш и рдежкости в, строительной i^xshijko. М. 1979. С.103-105.

:6.' Культербаев Х.П. Исследование шнуяденпх ¿алтейных ко-■1 лебаний упрут стохашчесш систем // Известия СШШ. Есте-:. ствэшше науки. 1973. Н 1. С.23-25.

• 7. Культербаев Х.П. кинематически возбуздасжо пзгабныэ колебания стержней // Известия Ю'Вов. Северо-Кавказский регаоп.Ес-твственнкб.нада. 1993. 11 3-4(83-84). : 8. Культербаев Х.П.' Колебания щшщцркчеаш оболочек под действием ветровой нагрузки '// Стр. дах. п расчет соср, 1976. N : 5. С.52-55. ' '

9. Культербаев Х.П. Иеяшейае колебания цилиндрической панели в штоке взтрз. В книге :, "Вольмир A.C. Оболочки в потоке

- 36 - - . .. . .. .

жидкости и газа. Задачи гидроупругости. U.: Наука. 1979." с. 185188.. ■ . ;"■'."■ - -.. '

10.культербаевХ.П.Об аналогияхмежду детерминистическими и случайными колебаниями струны с колеблщимся концом // Известия СКНЦВШ. Естественные науки. 1992. N 3-4(79-80). С.21-26.

.11.' Культербаев Х.П. О колебаниях, струга', вызванных случайными колебаниями ее конца// Изв. АН УССР. Прикл. мех. 1992. Т.28 N 10., С.57-61. .. ^Г -

12. Культербаев Х.П. О нелинейных случайных колебаниях цилиндрических панелей под действием ветра. М. 1973. 9с, Деп. в

. ВИНИТИ 03.11.73, N 6891 Деп. Реф. журнал "Механика" -г19Т4. й 2.

• 2В226. с.зз.

13. Культербаев Х.П/ Случайные параметрические колебания цилиндрических пологих оболочек // Изв. АН УССР. Прикладная мех. 1978. Т.XIV. Вып.9. С.46-51 V д!

14. Культербаев Х.П. Стохастическая краевая задача о коле- .'. баниях струны // Сб. научных,трудов. Инст. математики АН .Украины, Киев. 1993. С.79-81.. V' ." г ./.V ' \

15. Культербаев Х.П., Стохастическая краевая задача о колебаниях струны, возбуадаемых векторных» случайным процессом // Сб. : научных трудов. Инст. математики HAH Украины. Киев. 1994. С.-118-

-120.' '-С ■'_'.";...f ; - .vT.-';. -

16. Культербаев Х.П. Стохастическая устойчивость колебаний оболочек. В книге : "Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и . геза. Задачи гидроупругости. I!.: Наука. 1979." С. 188-191

17. Культербаев Х.П. Стохастическая устойчивость нелинейных параметрических, • колебаний пологих цилиндрических оболочек."Одиннадцатая всесоюзная конференция по теории оболочек п пластин. Харьков, 27 сент.-1 окт. 1977 г. Тезисы докладов." М. 19ТГ. С.54.

Подписано в почать 24.01.95 формат 60хВ4*/16 Печать офсетная

И-11 Объем 2,25 п.а. Т. 100 Заказ ¿5

Московский государстоенный строительный университет.

Ъшографш МГСУ. 129337, Москва, Ярославское щ., д.£б



44 if ^

Ifyçt?)

' íh il

í<"

V v'

M i

s- . '

h Щ

■'■rsJi

¿У

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАБАРДИНО - БАЖАРСКИЙ ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 624.04:519.12+534.1

Культербаев Хусен Пшимурзович

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗОК И ВОЗМУЩЕНИЙ НА ГРАНИЦАХ

05.23.17 - Строительная механика -

Диссертация на соискание ученой степени доктора. технических наук

Нальчик - 1995

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ...___________________________________________....______ 4

ГЛАВА 1. ОБЗОР. ЛИТЕРАТУРЫ О СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ.....6

1.1. Обзор исследований и анализ современного состояния......6

1.2. Цель и содержание диссертации..........................27

ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ...........................33

2.1. Исходные зависимости и уравнения.

Общая постановка задач..................................33

2.2. Некоторые вспомогательные задачи.......................38

2.3. Вынужденные случайные колебания........................52

2.3.1. Применение методов статистической линеаризации

и спектральных представлений.......................52

2.3.2. Стохастическая устойчивость колебаний..............73

2.4. Параметрические случайные колебания...................100

2.4.1. Идеальные системы.................................100

2.4.2. Системы с начальными неправильностями.............131

2.5. Взаимодействие вынужденных и параметрических случайных колебаний...................................138

ГЛАВА 3. КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБУВДЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН..........158

3.1. Постановка задачи.....................................158

3.2. Свободные и гармонические колебания, возбуждаемые на одном конце...........................................160

- 3 - ^

3.3. Гармонические колебания, возбуждаемые на обоих концах. 176

3.4. Случайные колебания, возбуждаемые на одном конце...... 182

3.5. Колебания, возбуждаемые векторным случайным процессом.201 ГЛАВА 4. КОЛЕБАНИЯ БАЛОК, ВЫЗВАННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯМИ НА ГРАНИЦЕ..211

4.1. Постановка задачи.....................................211

4.2. Свободные и гармонические колебания, возбуждаемые на одном конце...........................................212

4.3. Гармонические колебания, возбуждаемые на обоих концах.252

4.4. Случайные колебания, возбуждаемые на одном конце......266

4.5. Колебания, возбуждаемые векторным случайным процессом.30£ ГЛАВА 5. КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБЭДАЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН........33;

5.1. Постановка задачи. Свободные колебания................332

5.2. Кинематически возбуждаемые гармонические колебания—33-!

5.3. Кинематически возбуждаемые случайные колебания....—34^ ГЛАВА 6. КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН........36'

6.1. Постановка задачи. Свободные колебания................361

6.2. Кинематически возбуждаемые гармонические колебания____3&

6.3. Кинематически возбуждаемые случайные колебания........37£

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ..................................40^

ЛИТЕРАТУРА...................................................40(

ПРИЛОЖЕНИЯ...................................................44<:

ВВЕДЕНИЕ

Случайные колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Поэтому все повышающиеся экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям и машинам в последние годы стимулируют во многих задачах строительной механики переход от традиционных детерминистических подходов к вероятностным, позволяющим более адекватно представить случайный характер нагрузок, граничных и начальных условий, других свойств упругих колеблющихся систем. В качестве примеров таких возмущений можно указать сейсмические, снеговые, ветровые нагрузки; силы, передающиеся от работающего технологического оборудования на конструкции строительных сооружений; флуктуации давления в турбулентном погранслое; акустическое излучение реактивной струи двигателей; кинематические перемещения опор элементов типа оболочек, пластин, мембран, балок и струн, вызванные неупорядоченными общими движениями сооружения или машины в целом; кинематические возмущения, действующие на наземные транспортные средства при езде по неровной дороге; нерегулярные морские волнения, нагружающие корпуса судов и прибрежные сооружения; кинематические перемещения точек контакта деталей, вызванные неизбежными геометрическими погрешностями их изготовления и т.д.

Линейные случайные колебания как дискретных так и распределенных систем при действии динамических возмущений изучены сравнительно хорошо, по ним имеется обширное число публикаций, в том

числе известные монографии, статьи и доклады обзорного характера. Нелинейные случайные колебания, их неоднозначные режимы и стохастическая устойчивость, кинематически возбуждаемые линейные случайные колебания распределенных систем исследованы менее подробно, хотя теоретический и практический интерес к ним велик. Прежде всего такой пробел связан с возникающими при решении этих задач затруднениями теоретического и экспериментального характера.

В силу изложенного, дальнейшая разработка математических моделей, методов и алгоритмов их решений, статистический анализ поведения широко применяемых почти во всех технических системах упругих элементов в виде оболочек, пластин, мембран, балок и гибких струн представляет важную народнохозяйственную задачу.

В данной работе рассматриваются случайные колебания (вынужденные, параметрические, их взаимодействия) и стохастическая устойчивость движения систем, которые сводятся к модели с одной степенью свободы с нелинейной упругой восстанавливающей силой и колебания линейных распределенных систем (струн, балок, мембран, пластин), вызванные кинематическими возмущениями на границе в виде случайных процессов.

Текст диссертации разбит на главы и параграфы. Номера формул, уравнений и иллюстраций состоят из двух чисел, разделенных точкой. Первое из них совпадает с номером главы, второе соответствует порядку следования внутри данной главы.

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском ордена Дружбы народов государственном университете.

ГЛАВА 1

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ О СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ И АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Впервые общая задача о физических системах, возмущаемых случайным образом, теоретически рассмотрена А. Эйнштейном(1905). Затем она была обобщена и расширена М. Смолуховским(1916) в контексте задач теории броуновского движения, и впоследствии А.Н.Колмогоров (1931) математически точно сформулировал уравнение относительно плотности вероятности такого процесса.

Многочисленные факторы, определящие работу и нормальное функционирование машин и сооружений, находятся в сложном взаимодействии между собой и с окружающей средой, которое зачастую слабо поддается точному детерминированному учету и описанию. В этих случаях появляется необходимость привлечения к расчетам вероятностного подхода, породившего за последние десятилетия важное направление строительной механики, уже имеющее обширную литературу. Исчерпывающий обзор по всем публикациям, потребовал бы специального исследования, поэтому ограничимся работами, наиболее близкими к проблемам, рассмотренным в данной работе.

Здесь наиболее важные результаты, достигнутые к настоящему времени подытожены в известных монографиях В.В.Болотина [25, 26, 28], А.С.Вольмира [51, 53], А.С.Гусева, В.А.Светлицкого [73,

" t

207], М.Ф.Диментберга [88, 91], В.В.Екимова [96], Б.П.Макарова [1571, В.П.Макеева, Н.М.Гриненко, Ю.С.Павлина [1623, Н.А.Нико-лаенко [181 ], А.р/ржаницына [196], А.А.Силаева [203], С.А.Тима-шева [2093, В.Г.Коломиец [124], L.Fabion [258], W.Heinrich, К. Hemlg [260], D.E.Newland [291], в сборниках научных статей под редакциями С.Кренделла [204] и W.L.Clarkson [312], статьях и докладах обзорного характера В.В.Болотина [11, 12, 19, 23], И.И. Воровича [54], М.З.Коловского, В.И.Осорина, А.А.Первозванского [118], T.K.Caughey [242], S.H.Crandall, W.Q.Zhu [246], D.N.Van, A.N.Dong [250], P.Kozin [277], S.Horea [303], W.Schichlen [305], E.H.Vanmarcke [314].

На начальном этапе развития рассматривались вопросы надежности и прочности, накопления усталостных повреждений, статистического истолкования нагрузок и их сочетаний, свойств материала (Н.Ф.Хоциалов, Н.С.Стрелецкий, А.Р.Ржаницын и др.). Позднее (конец пятидесятых, начало шестидесятых годов) большой интерес вызвали вопросы устойчивости конструкций (А.Р. Ржаницын [195], A.C. Вольмир [53], И.И.Ворович [54, 55], В.М.Гончаренко [59, 60, 64, 65], Б.П.Макаров [155, 160]), особенно типа различных оболочек, критические нагрузки для которых оказались весьма чувствительными ко всякого рода начальным отклонениям геометрической формы, эксцентриситетам приложения сил, случайным по своей природе, и т д. В этих работах в основном применялся квазистатический метод, предложенный В.В.Болотиным [27]. В последующие годы центр внима-

ния постепенно сместился к динамическим задачам о "хлопке" оболо

чек, случайных колебаниях при потере устойчивости и, вообще, к

!

случайным колебаниям конструкций.

Динамическое поведение упругих систем при воздействиях, случайных по временной и пространственным координатам, описывается с помощью теории случайных процессов (полей). Методы, употребляемые для решения задач, распадаются на две большие группы -- корреляционные методы и методы теории марковских процессов.

Корреляционная теория оперирует обычно только первыми двумя моментами распределения: математическим ожиданием и кореляцион-ной функцией. Для процессов с нормальным распределением этих сведений вполне достаточно для определения и болеее старших мо-ментных функций. При этом все аналитические выкладки упрощаются в случае стационарных процессов. Если заданы стохастические дифференциальные или интегральные уравнения, связывающие входные и выходные параметры, удается получить соотношение между математическими ожиданиями, спектральными плотностями, корреляционными функциями и т.д.

Решение задачи существенно усложняется в случае нелинейных систем [251. Здесь приходится рассматривать бесконечную систему неразделяющихс-я уравнений, в которые входят моменты младшего и старшего порядков, а также и смешанные моментные функции. Обычно введением подходящих статистических гипотез такую систему "усекают", ограничиваясь корреляциями второго порядка. Например, при-

няв для выходного процесса те же соотношения между моментами, что и для гауссовского (гипотеза "квазигауссовости"), можно из уравнений исключить старшие моментные функции и, таким образом, замкнуть систему.

Даже при таких предположениях отыскание решений для нелинейных систем затруднительно. Один из способов упрощения задачи состоит в линеаризации исходных уравнений. Для этого применяется несколько статистических методов, использующих различные критерии [1, 9, 108, 153, 185, 194, 201, 265, 268, 270, 274, 285, 321]. При этом имеются некоторые попытки [184] оценить влияние изменений формы плотности вероятности на результаты анализа нелинейных систем одним из этих методов, обобщить метод статистической линеаризации в виде метода проектирующего оператора [288] и т. д.

Применение метода моментных функций в статистической динамике как линейных, так и нелинейных систем специально рассмотрено в ряде работ В.В.Болотина [14, 15, 22] и других авторов [241]. Показано, что метод может быть использован как для систем с конечным числом степеней свободы, так и для распределенных систем, и допускает сколь угодно высокую степень приближения к точному решению. Кроме того он позволяет проводить анализ устойчивости найденных решений. При этом для нелинейных систем особое внимание уделено проблеме замыкания бесконечной системы дифференциальных уравнений относительно моментных функций. Обстоятельно изучен вопрос об уточнении решения путем замыкания системы на уровне более

высоких моментов. Отмечается, что замыкание уравнений на уровне моментных функций второго порядка эквивалентно одному из методов статистической линеаризации, основанному на критерии минимума среднего квадрата разницы нелинейной и линеаризованной функций Рассмотрены как вынужденные так и параметрические колебания. С помощью замыканий высоких уровней в параметрических системах обнаружена более тонкая структура границ областей неустойчивости при действии узкополосных случайных процессов. Повышение уровня замыкания до четырех и шести не приводит к существенным уточнениям для младших моментных функций, хотя и дает достаточно досто верные значения для старших моментных функций.

Задачи о нелинейных случайных колебаниях систем, выходные и/ или входные процессы которых негауссовы и проблемы замыкания уравнений при этом рассмотрены в нескольких статьях С. Кренделл [247 - 249] и других публикациях [9, 264 - 266, 286]. В [9] с помощью статистической линеаризации кусочно-линейных систем при не-гауссовских воздействиях получены зависимости коэффициентов статистической линеаризации от математического ожидания, дисперсии и показателя ассиметрии закона распределения выходного процесса.

Одним из эффективных и широко распространенных средств исследования стохастических систем с конечным числом степеней свободы является метод спектральных представлений [16, 25, 26, 157] Суть его состоит в распространении преобразований Фурье на случайные функции, которые представляются в виде обобщенного ряда

Фурье со случайными коэффициентами или в виде обобщенного интеграла Фурье, спектр которого есть случайная функция со специфическими свойствами. Метод спектральных представлений использова^ во многих задачах динамики упругих систем В.В. Болотиным, Б.П. Макаровым и другими. Распространение метода на случай нелинейных систем произведено в работах [156, 1591.

Недостаток корреляционных методов заключается в том, что доставляемая ими информация не всегда достаточна для решения практических задач прочности и устойчивости конструкций, особенно связанных с необходимостью определения функции надежности, вероятностями выбросов случайного процесса из области допустимого состояния, средними числами пересечений заданных уровней и т. д. Кроме того, получаемые результаты иногда существенно отличаются от точных, особенно в сильно нелинейных системах, причиной чего, очевидно, являются те упрощения, которые приходится неизбежно вводить при их применении. В качестве подтверждения можно сослаться на результаты А.С.Вольмира и М.Г.Кильдибекова [46], где плотность вероятности обобщенной координаты при случайных вынужденных колебаниях пологой оболочки во многих случаях имеет форму с двумя максимумами в отличие от гауссовой.

От указанных недостатков свободны методы теории марковских процессов, общие вопросы которой подробно изложены в монографиях [36, 152, 201, 212]. Применение этих методов к задачам движения упругих систем рассмотрено в работах [16, 25, 26, 28, 53]. Реше-

ние уравнения Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК) для переходне плотности вероятностей компонентов марковского процесса предоста вляет весьма ценную информацию для дальнейших приложений (особен

но для решения вопросов надежности), что стимулировало появление

) ■

многочисленных работ в этом направлении [34, 47, 61, 63, 83, 112 114, 290, 292, 301, 302, 317, 320].

Чтобы движение системы могло трактоваться как марковский процесс, на способы его описания и характер изменения нагрузки налагаются некоторые ограничения. В случае входных процессов с дробно - рациональными плотностями эти ограничения легко преодолеваются путем расширения фазового пространства. Однако широкое применение этих методов сдерживается трудностями построения решений уравнения ФПК, особенно при фазовых пространствах большой размерности. При выполнении некоторых ограничений на свойства системы и действующих нагрузок эти затруднения можно обойти с помощью методов нелинейной механики (Крылова - Боголюбова - Митроп-ольского) типа метода медленно изменяющихся амплитуд и фаз и ему подобных. Такой подход развивался в ряде статей Ю.А.Митропольс-кого, В.Г.Коломиец, Нгуен Донг Ань [119 - 123, 165, 175 - 179] и в публикациях других авторов [300].

Кроме указанных двух групп методов статистической динамики в ряде работ Б.П.Макарова и других авторов, посвященных нелинейным случайным колебаниям дискретных систем, применялся принцип максимума энтропии [157, 158, 287]• При этом задача статистиче-

ской динамики формулируется следующим образом: найти совместнув

плотность вероятности фазовых переменных р(х) для стационарногс

режима, при которой функционал энтрогши Гиббса принимает макси/ ■

мальное значение, а уравнение движения удовлетворяется в вероятностном смысле, т. е. выполняются соотношешя относительно моме-нтных функций.

Во многих случаях при рассмотрении нелинейных систем возникает ситуация, когда не удается аналитическими методами получить результаты. Тому причиной нелинейность и сложность исходных уравнений, переменность коэффициентов уравнений и т.д. Зачастую в таких случаях предпочтение приходится отдавать методам статистического моделирования (особен