автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование и анализ устойчивости стержневых конструкций в условиях действия периодических продольных сил

На правах рукописи

АКЧУРИНА Людмила Васильевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ В УСЛОВИЯХ ДЕЙСТВИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ

I

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 2005

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Ведущая организация Воронежский государственный аграрный

университет

Защита состоится 15 декабря 2005 г. в Ю00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, г.Воронеж, Московский проспект, 14.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » ноября 2005 г.

Бурковский Виктор Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Даринский Борис Михайлович; кандидат физико-математических наук, доцент

Сумин Виктор Александрович

диссертационного совета

ноо мч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа бурильных двигателей нефтяных и газовых скважин характеризуется значительными вибрациями, вызывающими поломки и повышенный износ узлов и деталей двигателя, а также приводит в некоторых случаях к потере устойчивости конструкции в целом.

Практическую значимость приобретает задача, связанная с возможностью определения форм, принимаемых стержнем в процессе работы, и как следствие, устойчивости конкретной поперечной формы колебания. Данная задача осложняется граничными условиями и периодичностью продольных сил - это связано с ухабистостью забоя и переменностью давления промывочной жидкости при работе двигателя. Определение области усиленных вибраций во всем диапазоне изменения скорости вращения позволит оптимально организовать процесс бурения: с одной стороны, избежать нежелательного резонанса, с другой - на околорезонансных режимах достигать максимальной скорости бурения.

Регулирование процесса работы бурильного двигателя и контроля над ним сложная задача. При ее решении приходится сталкиваться с трудностями технического характера. Тяжелой и трудоемкой задачей, затрагивающей огромные технические и трудовые ресурсы, является конструирование двигателя и его испытание. Трудной задачей является описание всех факторов влияющих на работу стержневой конструкции (двигателя): граничных условий, массы и длины конструкции, величины продольной силы. Возможность проведения анализа влияния каждого параметра на устойчивость двигателя значительно сократит время на создание новых буровых установок любой мощности.

Следует отметить, что в данном случае критерием устойчивости работы вращающегося стержня, нагруженного продольною силой, является положение "изображающей точки" на диаграмме Айнса-Стретта, вычисление координат которой задача сложная. Сложность проверки критерия устойчивости рабочей конструкции, требует поиска средств, значительно сокращающих время проектирования новых конструкций. Автоматизация и упрощение расчета с момента выбора исходных данных до момента оценки устойчивости системы выдвигается на передний план и предоставляется возможным на современном уровне развития прикладных вычислительных программ.

Огромное значение в решении задач устойчивости стержневых систем, нагруженных продольной силой им ' заботы Болотина В.В., Беляева Н.М., Николаи Е. трументом

исследований являются работы Стретта М. Д., Найфе А. и др. В основу диссертационного исследования положены работы Гончарова М.Д.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью автоматизации процедур анализа устойчивой работы стержневых систем за счет создания соответствующих средств математического, алгоритмического и программного обеспечения модели формирования и оценки критерия устойчивости.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из направлений Воронежского государственного университета "Вычислительные системы и программно-вычислительные комплексы."

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математической модели анализа устойчивости стержневых систем, в условиях воздействия периодических продольных сил, а также средств численного решения дифференциального уравнения, описывающего работу газовых и нефтяных бурильных установок.

В соответствии с заданной целью были поставлены и решены следующие задачи:

- анализ существующих подходов к моделированию стержневых систем, находящихся под действием продольной силы;

- разработка алгоритма численного анализа критических частот и собственных форм колебаний математической модели двигателя при действии распределенной нагрузки;

- разработка средств численного анализа вынуждающих частот при действии периодических продольных нагрузок;

- уточнение границы диаграммы Айнса-Стретта для систем без трения и для систем с вязким трением, с целью упрощения расчета;

- разработка алгоритма вычисления параметров уравнения Матье и типа Матье;

- разработка алгоритма оценки устойчивости модели по графическому положению "изображающей точки" на плоскости диаграммы Айнса-Стретта;

- разработка программного обеспечения модели анализа устойчивости стержневых систем.

Методы исследования. В работе использованы методы теории математического моделирования, вычислительной математики, разделы теории динамической устойчивости упругих систем и сопротивления материалов, математического программирования.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

2

- модель анализа критических частот и собственных форм колебаний бурового двигателя при действии распределенной нагрузки, основанная на собственных формах колебания разгруженного двигателя;

- модель анализа вынуждающих частот работы стержневого двигателя при действии распределенной периодической нагрузки, базирующаяся на формах колебания двигателя, находящегося под действием распределенной нагрузки;

- модель анализа координаты "изображающей точки" и ее графического положения на плоскости диаграммы Айнса-Стретта (учитывающей вязкое трение);

- модель границы диаграммы Айнса-Стретта для главной области неустойчивости, определенной по младшей функции Матье, что дает некоторый запас прочности и упрощает процесс вычисления;

- структура программного обеспечения модели анализа устойчивости стерневых систем, работающих на младших скоростях вращения, отличающегося организацией взаимодействия вычислительных модулей программной среды МаЙшас! с учетом сложных логических связей между процедурами численной реализации.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса моделей, реализующих графический метод определения собственных частот, форм колебаний и устойчивости стержневого двигателя для решения задач промышленного проектирования устойчивых буровых газовых и нефтяных систем.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Автоматики и информатики в технических системах" ВГТУ по дисциплине "Моделирование и идентификация объектов управления".

Апробация работы Основные положения диссертационной работы докладывались на: IV Всероссийской научно-практической конференции "Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности" (С.-Петербург, 1999); II, Ш и IV Международной научно-технической конференции "Высокие технологии в экологии" (Воронеж, 1999, 2000, 2004); 55-56 научно-технической конференции ВГАСУ (Воронеж 2001), Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVI" (Воронеж, 2005), а также на научных семинарах кафедры АИТС (Воронеж, 2003-2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9-ти научных работах. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателем предложены: [1] - реализация автоматического расчета критических частот; [2] - аналитический вывод составляющих уравнения собственных частот; [3] - реализация автоматических

3

а2

дхг

EJ^

8t

расчетов критических частот и форм собственных колебаний стержня; [5] -аналитический вывод уравнения вынуждающих частот и создание алгоритма их вычисления; [6] - описание взаимодействия функциональных модулей программного средства, позволяющего определить параметры уравнения Матье (координаты "изображающей точки").

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 91 наименования. Работа изложена на 108 страницах, содержит 23 рисунка и 16 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, отражены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, кратко изложено содержание диссертационной работы по главам.

В первой главе диссертации рассматривается уравнение, описывающее продольный изгиб прямолинейного стержня, сжатого по длине переменной продольной силой Р(х) -P0-qx, учитывающее силы инерции:

— +— Р(-I + т -

дх

Здесь же определяются начальные условия, наиболее полно отражающие характер работы бурового газового или нефтяного двигателя:

Г"(0) = 0,Г"(0) = -сгГ(0)-/>0Г'(0), (2)

Y"{l)=-cY\l),Y"\l)=eJ{l)-PY'{l), где с - жесткость верхней опоры на поворот, c¡ - жесткость верхней опоры на поперечное смещение, с% - жесткость нижней опоры на поперечное смещение, Р- реакция колонны бурильных труб, рд- реакция забоя, д- интенсивность продольной нагрузки.

Выполнив разделение переменных Y(x,t) = y(x)T(t) в уравнении (1), переходим к системе уравнений:

'EJf (х)+Р(х)у'(х) + Р(х)у"(х) - <и2ту(х) = 0 (3)

f(t)+eo2T(t) = 0. W

Для определения форм колебаний и собственных частот решаемой задачи, используется метод Бубнова-Галеркина. В качестве базисных форм колебаний нагруженной продольной силой системы (1) используют формы колебания невесомого стержня

EJy,y{x)-mtmy{x) = 0 (5)

при граничных условиях, соответствующих реальным условиям работы двигателя.

Решение уравнения (5) представлено на рис.2.а. и имеет вид у1(х)=у(х,Я1)=си^ +с21е'* +сиакА,х+см ягЦл:, где X4 = тсс? /Ш ■

(6)

а)

б)

Рис.1. Расчетная схема не нагруженного и нагруженного продольной силой стержня, соответственно

а) б)

Рис.2. Формы колебания невесомого и нагруженного продольной нагрузкой стержня, соответственно Решение уравнения (3) с граничными условиями (2) ищется методом Бубнова - Галеркина в виде

лоо=!>/*(*)' (7)

1=1

где в качестве базисных функций у1 (х) выбираются формы собственных

колебаний стержня при отсутствии распределенной нагрузки рис.2.а. Выбор в качестве базисных функций загруженной продольной силой задачи форм колебаний представленных на рис. 2.а. является наилучшим, что подтверждается рис 3.

Уравнение (3) при подстановке определенной функции уXх) является уравнением от двух переменных - независимой переменной х и искомого характеристического числа нагруженной продольной силой задачи - Л .

г = Р(х,Л) (8)

где = у? (х) + Р'(х)у!(л) + Р{х)у"(х) - Л4 у, (х) ■

X - 80)1

Рис. 3. Представлена поверхность (8) для наименьших трех характеристических чисел разгруженного стержня Далее, используя уже определенные базисные функции, определим собственные формы колебания стержня, представленного на рис. 1.6. Для этого определим в уравнении (7) произвольные постоянные я,, а2, ■ ■ ■

Подставляя (6) в уравнение (7) получаем невязку Яп (х):

К (*) = я, (У" М + (К ~ Рх)у"(х) ~ ЧУ[(х) - Л'У1(х)) + +а2(у2'г(х) + (Р0 - рх)у"г(х) - ду'г(Г) - 1*у2(х)) +••■ + *Лу"(*) + Со -Рх)у"„{х)-ду'Ах)-Л*уп(х)). В соответствии с методом потребуем, чтобы результат подстановки (невязка) был ортогонален каждой из базисных функций на отрезке [0,1]:

}*„(*)**(*)<** = 0, (10)

где ук(х) = у(х,\)-

Введем следующие обозначения

втк = ){уп'у{х)+{Р0 - рх)у1{х)~ ду'а{х)-Х*у„{х))ук{х)ах. о

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

Д =

В,

г

В 22 В

В1п В2„

в..

о.

(11)

(12)

Полученное уравнение Д=0, есть уравнение для нахождения нужного числа критических частот со, (г =1,2,...,п), каждой из которых соответствует своя форма колебаний и ненулевой набор коэффициентов ак.

Заметим, что задача вычисления характеристических чисел, в данном случае, очень сложная, поэтому в работе выполнено вычисление, с учетом первых двух, трех и четырёх слагаемых, оценена относительная погрешность метода, которая составляет не более 3% для характеристических чисел, не более 6% для собственных чисел и не более 6% для числа оборотов в секунду.

Далее определены и формы колебания стержня, они указаны на рис 2.6.

Во второй главе диссертации рассматривается уравнение, описывающее продольный изгиб прямолинейного стержня, сжатого по длине периодической продольной силой учитывающее силы инерции:

дх2

дгУ дх1

дх

Р(х,1)

дУ

дх

+ т

дгУ д12

= 0;

(13)

при граничных условиях (2), где р(х^) = ро-дх + а0 соб&( ■

Выполнив вновь разделение переменных в уравнении (13) и переходя к безразмерной координате х = х/1, получим систему уравнений:

7

Я/ к/

Ю К/

(15)

Для определения устойчивости работы двигателя, рассмотрим уравнение (15). Переходя здесь к безразмерному времени т, где ©с-2 т- случай, наиболее часто встречающегося параметрического резонанса, получим уравнение Матье:

Т(т)+[П - 2//2 сое 2г ] Д г) = 0, (16)

где о = 4о1 /в1 -2/12 = 4а0/т1г&2 *У"(х)/У(х) ■ (17)

Параметр ^ содержит выражение У"(х)/У(х), то в качестве базисных форм параметрической задачи уже будем использовать формы (7). Необходимо отметить, что следующие результаты будут справедливы только для тех форм, которые имеют строго определенную форму - это младшая форма изгиба стержня. В последнем случае для функции У"(х)/У(х) можно найти максимальное значение, и если при этом значении "изображающая точка" будет оставаться в области устойчивости, то можно говорить об устойчивости стержня в каждой точки, а значит и об устойчивости стержня в целом.

Решением уравнения (16) являются четные и нечетные периодические функции Матье: дг) = £ (4<тктЩ совкт)> ЛУ)= £ (4¡тктЩсськг),

ЫД5 *=0Д4

подставляя которые в уравнение (16) получаем функции двух переменных /г(о ^) = о и Д(£2,//) = 0, соответственно. Объединяя их в одно уравнение и рассматривая сечение плоскостью г = 0 поверхности

(18)

где

2 = Д хЯ(П„и)

п 0 V 0 0 0 0 0 0

0 П-4 0 V 0 0 0 0 0

-к2 0 П-4 0 V 0 0 0 0

0 V 0 П-16 0 -Мг 0 0 0

0 0 V 0 п-16 0 -м1 0 0

0 0 0 V 0 П-36 0 0 0

0 0 0 0 -ц2 0 п-36 ... V 0

0 -м*

0 0 0 0 0 0 -У 0 п-(2и)! 0

0 0 0 0 0 0 0 V 0 п-(2п)

-1+/Г 0 V 0 0 0 0 0

0 fi-1-у 0 V 0 0 0 0

V 0 Í1-9 0 V 0 0 0

0 -А2 0 С1-9 0 V 0 0

0 0 V 0 Í1-25 0 0 0

0 0 0 V 0 ÍÍ-25 0 0

0 v

0 0 0 0 0 V 0 П—(2л + 1)2 0

0 0 0 0 0 0 -м* о П-(2я+1)2

получаем диаграмму Айнса-Стретга.

z=F(Omeg3,Mu)*R(Omcga>íu) W(x,y) - F(x.y) R(z,y)

Рис. 4. Поверхность (18) и сечение поверхности (18) плоскостью

2 = 0 - диаграмма Айнса-Стретта Далее в диссертации рассматривается главная область неустойчивости - когда вынуждающая частота совпадает с удвоенной собственной - это окрестность точки (1;0) и уточняется граница диаграммы, построенной по функции Матье 1-ой и 8-ой степеням.

Zl.Zl.z

Рис. 5. Диаграмма Айнса-Стретга, составленная по функции Матье 1-ой степени (внутренние контуры) и 8-ой степени (внешние контуры) Составим уравнения вынуждающих частот:

- подставим (17) в уравнения F(C¡,/j) = 0 и оставим в определителе 2 строки

{т!2 ¥(х))

- подставим (17) в уравнения Я(П,//) = 0 и оставим в определителе 2 строки

тГ{¥(х))

- подставим (17) в уравнения = 0 и оставим в определителе 4 строки

\2Л

810е - 720© V+©4

mi2 Y(x) J

&

mi1 Y(x) )

+256ю,-48й/

/

2a0 H*)Y J= o (22)

U/2 Y(x)j [mi1 Y(x)J

Таким образом, получены вынуждающие уравнения по функции Ма-тье 1-ой, 2-ой и 3-ей степеням. Укажем решения этих уравнений в следующей таблице при следующих расчетных параметрах сйстемы: ю = 1,8х102Аг/лг,£/ = 0,1х108#-л«г; С, =С2 =1x106Н/щ С = 2,5х106# лг, Ь =

Таблица. 1.

Собственная частота, СО, об/мин Степень функции Maree Вынуждающая частота, 0 , об/мин Параметры уравнения Матье

Q И

2.436 1-я 4.87174561421 1.00000000008 0.00000281759

4.87174561461 0.99999999992 0.00000281759

2-я

3-я 4.8717456125 1.00000000077 0.00000281759

4.87174561574 0.99999999946 0.00000281759

По результатам данных, приведенных в табл. 1:

- для вычисления вынуждающий частоты нужно использовать только нечетную функцию Матье;

- для составления вынуждающих уравнений достаточно использовать только нечетную функцию Матье младшей степени, т.к. отклонения в решениях вынуждающих уравнений (20) и (21) составляют не более ю-6;

- из рис. 4 следует, что границы диаграммы Айнса-Стретта определенные по функции Матье 1-ой и 8- степени располагаются очень близко друг к другу, но границы устойчивости, определенные по младшей функции Матье немного уже.

Из последних двух замечаний следует, что с целью упрощения решения уравнения вынуждающих частот, и определения границ областей устойчивости достаточно использовать функцию Матье 1-ой степени.

В тетьей главе диссертации рассматривается уравнение, описывающее продольный изгиб прямолинейного стержня, сжатого по длине переменной продольной силой Р(х^), учитывающее силы инерции и силы трения:

а

+ — дх

дх

дУ д2У п (23)

+ е-+ т-— = 0, к

Э* д(2

дх

при граничных условиях (2), где />(*,<)=Р0-дх+а0 сов©г •

Выполнив вновь разделение переменных в уравнении (23) и переходя к безразмерной координате х, получим систему уравнений:

+ ^ ^ (24)

Ю £/ Ю К/ £/

Г(0+—ТЦ)+а>гТ(?) = 0. (25)

т

Для определения определяется устойчивость работы двигателя, рассмотрим уравнение (25), переходя к безразмерному времени т, где €Н=2т, получим уравнение типа Матье:

Т(т)+еТ+[-2ц2 сс»2т +С1]Т(г) = 0, (26)

где

е = 2у1т@;П = 4а2 !®г,-2цг = 4а01т}1®1 *У"(х)1У{х) ■ (27)

Параметр ц содержит выражение У"(х)!У(х), то в качестве базисных форм параметрической задачи уже будем использовать формы (7). Необходимо отметить, что следующие результаты будут справедливы только для тех форм, которые имеют строго определенную форму - это младшая форма изгиба стержня, не принимающая на отрезке [0,1] нулевых значений. В последнем случае для функции У"(х)/У(х) можно найти максимальное значение, и если при этом значении "изображающая точка" будет оставаться в области устойчивости, то можно говорить об устойчивости стержня в каждой точке, а значит и об устойчивости стержня в целом.

Решением уравнения (26) так же являются четные и нечетные периодические функции Матье: Г(г)= ^(АзтктЩса;кт) и Г(г)= ^(^Ыт^акЬу

ЫД5 ЬОА4

подставляя которые в уравнение (26) получаем функции двух переменных Г((1,р)=0 и д(а;1и)=о, соответственно. Объединяя их в одно уравнение и рассматривая сечение плоскостью 2 = 0 поверхности

2 = П„Ы) (28)

где

о 0 0 0 0 0 0 0

0 П-4 -2е -м' 0 0 0 0 0

1е П-4 0 -А2 0 0 0 0

0 -и1 0 П-16 -4« -м1 0 0 0

х,Р(П„ц) = 0 0 -м1 4е П-16 0 ■V 0 0

П-36

0 0 0 "Л2 0 -6г 0 0

0 0 0 0 б£ П-36 ... 0

0 -V

0 0 0 0 0 0 0 П-(2л)' -2 пс

0 0 0 0 0 0 0 -р 2пе а-(2п)'

-£ -м* 0 0 0 0 0 (29)

г £1 -1 -л» 0 -с* 0 0 0 0

-А2 0 П-9 -Зг V 0 0 0

0 V 3« П-9 0 -V 0 0

0 0 V 0 П-25 0 0

0 0 0 V 5е П-25 0 0

0 -мг

0 0 0 0 0 -V 0 П-(2п + 1)1 -(2п + 1)'е

0 0 0 0 0 0 V (2и + 1)г£ П-(2п + 1)г

получаем диаграмму Айнса-Стретта.

а) б)

Рис, 6. Диаграмма Айнса-Стретта для систем с трением и диаграмма в главной области неустойчивости, определенная по функции Матье 8-ой степени

(пунктирная кривая) и функции Матье 1-ой степени (сплошная кривая) Составим уравнения вынуждающих частот:

- подставим (27) в уравнения Р(С1,/и) = О и оставим в определителе 2 строки

0. + +16-* - О' (30>

т \т! У(х) )

- подставим (27) в уравнения = 0 и оставим в определителе 4 строки

<г

. т ,

810' + (-—7— - 720<ог )©6 + ©4

\rnl- У(х)] 1т

-Шея2

ГЦГЩ -1280.«-2?(^Щ3 -Т 160гу4

( т2Дт/гщ); и/2 и;

+256о>° - 48.« Г+ 12.» Г+ Г у = 0. (3о

{т!2 У(х) ) \т1 У(х) ) {т!1 Г(Г) )

Таким образом, получены вынуждающие уравнения по функции Ма-тье 1-ой и 3-ей степеням. Укажем решения этих уравнений в следующей таблице при указанных выше параметрах системы и: аа = 0.5Н, V = 0.005 •

Таблица 2.

Собственная частота, С'О, об/мин Степень функции Матье Вынуждающая частота, © , об/мин Параметры уравнения Матье

а М

2,436 <9-0.5 р) 1-я 4.87174561098 1.00000000141 0.00000281759

4.87174561779 0.99999999861 0.00000281759

3-я

2,295 (<7 = 0.6 р) 1-я 4.58975099963 1.00000579224 0.00077326409

4.58977731938 0.99999432335 0.00077325522

3-я 4.58963853194 1.00005480251 0.00077330198

4.5898528329 0.99996141925 0.0007732297

По результатам данных, приведенных в табл. 2: для составления вынуждающих уравнений достаточно использовать только нечетную функцию Матье младшей степени, т.к. отклонения в решениях вынуждающих уравнений (30) и (31) составляют не более кг*. Отсутствие решения у вынуждающего уравнения для наименьшего характеристического числа говорит об устойчивости конструкции, что подтверждается положением "изображающей точки" на диаграмме Айнса-Стретта, определенной по функции Матье 1-ой степени.

Из рис. 6 следует, что границы области устойчивости, определенные по функции Матье 1-ой степени, немного уже, чем границы определенные по функции Матье 8-ой.

Из последних двух замечаний следует, что с целью упрощения решения уравнения вынуждающих частот и определения границ областей устойчивости систем с трением, достаточно использовать функцию Матье 1-ой степени.

Четвертая глава диссертации посвящена применению разработанного программного обеспечения к задаче анализа устойчивости газовых или нефтяных бурильных систем, находящихся под действием периодической продольной нагрузки, структура которого представлена на рис. 8.

На основе предложенной модели, при заданных начальных параметрах системы определяются критические режимы работы колоны двигателя при отсутствии силы нагрузки.

Рис. 7. Структура программного комплекса, анализа устойчивости стержневых конструкций Результаты реализации программного обеспечения представлены на рисунке 8.

а) б)

Рис. 8. Изображение части диаграммы Айнса-Стретта и "изображающей точки" (точки пересечения пунктирных линий) на диаграмме без учета и с учетом сил трения, соответственно В случае, когда продольная сила является периодической Р(х,1)=Р0-цх+а0ссв@1 и присутствует вязкое трение в системе, достаточно указать параметр вязкости итогом реализации программного обеспечения будет диаграмма представленная на рис 8.6.

Результаты практической апробации предложенной в работе модели

14

анализа устойчивости сложных стержневых систем, в условиях воздействия периодической продольной нагрузки, свидетельствуют об их эффективности и возможности практического использования в системах проектирования нефтяного и газового бурильного оборудования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложена модель для определения критических скоростей работы буровых двигателей и форм колебаний, принимаемых стержневой конструкцией на конкретных скоростях.

2. Разработана модель для определения вынуждающих частот, находящихся в главной зоне параметрического резонанса - когда вынуждающая частота совпадает с удвоенной собственной частотой. Определение вынуждающих частот возможно для систем без трения или с вязким трением для наименьшей собственной частоты.

3. Доказана достаточность использования младшей функции Матье при составлении вынуждающих уравнений для систем без трения и для систем с вязким трением, с погрешностью не более 10~3.

4. Доказана достаточность использования младшей функции Матье при определении границ диаграммы Айнса-Стретта, в главной области неустойчивости, для систем без трения и для систем с вязким трением с некоторым запасом прочности.

5. Предложено программное обеспечение модели анализа устойчивости стержневой конструкции, нагруженной продольной периодической силой, позволяющее определить:

а) формы, принимаемые рабочей стержневой системой;

б) геометрическое положение "изображающей точки" на плоскости диаграммы Айнса-Стретта, при этом имеется возможность подбором начальных условий работы двигателя - массы конструкции, длины стержня, жёсткости на поперечное смещение и поворот, величины продольных сил и сил реакции опоры, глубины модуляции - спроектировать устойчивую стержневую систему, работающую на младшей частоте, по движению "изображающей точки" по плоскости диаграммы Айнса-Стретта.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гончаров М.Д., Степанникова Л.В. Моделирование режимов усиленных вибраций турбинных забойных двигателей при поперечных колебаниях // Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности: Труды ГУ-й

15

Всерос. науч.- практ. конф. с Междунар. участием. С-Пб., 1999. Т.2, С. 343346.

2. Гончаров М.Д., Степанникова Л.В. Исследование режимов усиленных вибраций заглубленных конструкций при совместном действии традиционных и неконсервативных нагрузок // Высокие технологии в экологии: Труды 2-й Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж, 1999, С. 180-183.

3. Гончаров М.Д., Акчурина Л.В. Аналитические построения и численная реализация дифференциальных уравнений при определении критических скоростей вращения турбинных забойных двигателей П Высокие технологии в экологии: Труды Ш-й Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж, 2000, С. 285-292.

4. Акчурина Л.В. Оценка приближенных решений для уравнения типа Матье // Материалы 55-56-ой научно-технической конференций ВГАСУ. Воронеж, 2001, С.3-5.

5. Гончаров М.Д., Акчурина Л.В. Вычисление частот и форм колебания стержня в случае параметрического резонанса при различных граничных условиях // Программное средство для информатизационных технологий используемых во ВГАСУ. Воронеж, 2002, С.220-221.

6. Гончаров М.Д., Акчурина Л.В. Определение частот внешней нагрузки при параметрических поперечных колебаниях // Высокие технологии в экологии: Труды У11-Й Междунар. науч.-техн. конф. Воронеж, 2004, С. 183187.

7. Акчурина Л.В. Параметрические поперечные колебания стержневых систем // Понтрягинские чтения - XVI: Материалы Воронежской весенней математической школы. Воронеж, 2005, С. 14-15.

8. Акчурина Л.В. Параметрические поперечные колебания. Устойчивость стержневых конструкций, нагруженных продольной силой // Компьютерные учебные программы и инновации. М., 2005, №7, С.66-67, прил. на СО-диске.

9. Акчурина Л.В. Анализ устойчивости стержневых конструкций в условиях действия периодических продольных сил // Информационные технологии моделирования и управления. 2005. №5 (23). С.755-765.

Подписано в печать 09.11.2005 Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Зак. №

Воронежский государственный технический университет 394026 Воронеж, Московский просп., 14 16

is 2 2 4 6 5

РНБ Русский фонд

2006-4 20362

Введение

Глава 1. Анализ проблематики математического моделирования и анализа собственных колебаний стержневых систем.

1.1. Обзор методов динамической устойчивости стержневых систем при воздействии периодических продольных сил

1.2. Модель собственных колебаний разгруженного стержня.

1.3. Определение базисных функций и критических скоростей вращения при действии распределенной нагрузки.

1.3.1. Случай нагрузки силой веса.

1.3.2. Случай действия распределенной нагрузки.

1.4. Влияние массы конструкции на критические частоты.

1.5. Влияние жесткости конструкции на критические частоты.

1.6. Цель работы и задачи исследования

Глава 2. Модель параметрических поперечных колебаний стержней.

2.1. Сведение задачи о параметрических поперечных колебаний стержней к уравнению Матье.

2.2. Определение области устойчивости.

2.3. Уравнение и вычисление вынуждающих частот.

2.3.1. Уравнение вынуждающих частот.

2.3.2. Вычисление вынуждающих частот.

2.4. Определение устойчивости системы.

Выводы

Глава 3. Модель параметрические поперечные колебания стержней при наличии вязкого трения в конструкции.

3.1. Сведение задачи параметрических поперечных колебаний стержней к уравнению типа Матье.

3.2. Определение области устойчивости.

3.3. Уравнения вынуждающих частот.

3.4. Вычисление вынуждающих частот.

3.5. Определение устойчивости системы 83 Выводы

Глава 4. Программная реализация программного обеспечения модели анализа устойчивости стержневых конструкций

4.1. Определение форм колебаний стержневой модели без действия продольных сил

4.2. Определение форм колебаний стержневой модели при действии продольных сил

4.3. Параметрические поперечные колебания 93 Заключение 100 Список используемой литературы

Работа бурильных двигателей при бурении нефтяных и газовых скважин характеризуется значительными вибрациями, вызывающими не только поломки и повышенный износ их узлов и деталей, но и приводит в некоторых случаях к потере устойчивости конструкции в целом.

Практическую значимость приобретает задача, связанная с возможностью рассчитывать области усиленных вибраций во всем диапазоне изменения скорости вращения [14, 15]. При наличии информации по оборотам, знание областей повышенных вибрации позволяет оптимально организовать процесс бурения: с одной стороны, избежать нежелательного резонанса, с другой - на околорезонансных режимах достигать максимальной скорости бурения.

Для получения более точных значений, как критических скоростей вращения, так и областей устойчивости деталей в расчетной схеме приходится учитывать дополнительные факторы, влияющие на динамику конструкции, что в свою очередь приводит к усложнению дифференциального уравнения и граничных условий.

Известно, что колебания механических систем могут вызываться внешними воздействиями, изменяющими заданным образом параметры системы (жесткость, массу). Такие колебания носят названия параметрических колебаний. Они, в зависимости от свойств системы и характера изменения ее параметров, могут быть затухающими или возрастающими. Явление возникновения нарастающих колебаний при параметрическом воздействии называется параметрическим резонансом. Параметрический резонанс отличается от обычного. Он возникает, когда возбуждающая частота совпадает с удвоенной собственной частотой;

В параметрических колебаниях существует не одно резонансное состояние, а целый ряд состояний или даже целые области резонансных состояний. Ширина этих областей зависит от амплитуды параметрического воздействия. Большой интерес представляет первая область динамической неустойчивости, вблизи которой возможно возникновение возрастающего колебания. Оно возникает, когда со = 0/2 (со - частота собственных колебаний, 0 - частота возмущающей силы). Эту область называют главной областью динамической неустойчивости. Она является наиболее опасной.

Рассматривая двигатель (турбобур) как стержневую конструкцию следует отметить, что одной из характерных особенностей его работы является переменность действующих не только по длине, но и во времени активных сил и сил реакции. Это изменение зависит от твердости и ухабистости забоя, скорости вращения долота, давления промывочной жидкости и других факторов. Вследствие названных причин возможен параметрический резонанс [13].

В частности представляет теоретический и практический интерес задача исследования параметрических поперечных колебаний двигателя под действием переменной по длине силы, изменяющейся во времени по гармоническому закону.

Сложность расчетов конструктивных параметров и характеристик рабочей конструкции требует поиска средств, значительно сокращающих время проектирования новых конструкций, автоматизирующих расчеты с момента выбора исходных данных до момента оценки устойчивости работы такой системы. Современные средства вычислительной техники значительно упрощают и ускоряют процесс проектирования новых конструкций с использованием математического аппарата, анализа и синтеза с программными приложениями.

Вместе с тем, использование современных средств вычислительной техники при определении критических режимов работы бурильной установки, позволяет использовать сложный аппарат математических моделей, реализация которых в недавнем прошлом была невозможна. Несмотря на необходимость математических расчетов в анализе при конструировании бурильных моделей, в настоящее время работы проведены лишь на уровне решения отдельных задач.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью автоматизации процедур анализа устойчивой работы стержневых систем за счет создания соответствующих средств математического, алгоритмического и программного обеспечения модели формирования и оценки критерия устойчивости.

Тематика диссертационной работы соответствует одному из направлений Воронежского государственного университета "Вычислительные системы и программно-вычислительные комплексы."

Целью диссертационного исследования является разработка математической модели анализа устойчивости стержневых систем, в условиях воздействия периодических продольных сил, а также средств численного решения дифференциального уравнения, описывающего работу газовых и нефтяных бурильных установок.

В соответствии с заданной целью были поставлены и решены следующие задачи:

S анализ существующих подходов к моделированию стержневых систем, находящихся под действием продольной силы; S разработка алгоритма численного анализа критических частот и собственных форм колебаний математической модели двигателя при действии распределенной нагрузки; S разработка средств численного анализа вынуждающих частот при действии периодических продольных нагрузок; S уточнение границы диаграммы Айнса-Стретта для систем без трения и для систем с вязким трением, с целью упрощения расчета; S разработка алгоритма вычисления параметров уравнения Матье и типа Ма-тье;

S разработка алгоритма оценки устойчивости модели по графическому положению "изображающей точки" на плоскости диаграммы Айнса-Стретта;

S разработка программного обеспечения модели анализа устойчивости стерж-стержневых систем.

Методы исследований. В работе использованы методы теории математического моделирования, вычислительной математики, разделы теории динамической устойчивости упругих систем и сопротивления материалов, математического программирования.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

S модель анализа критических частот и собственных форм колебаний бурового двигателя при действии распределенной нагрузки, основанная на собственных формах колебания разгруженного двигателя; S модель анализа вынуждающих частот работы стержневого двигателя при действии распределенной периодической нагрузки, базирующаяся на формах колебания двигателя, находящегося под действием распределенной нагрузки для младшей формы колебаний; S модель анализа координаты "изображающей точки" и ее графического положения на плоскости диаграммы Айнса-Стретта (учитывающей вязкое трение); модель границы диаграммы Айнса-Стретта для главной области неустойчивости, определенной по младшей функции Матье, что дает некоторый запас прочности и упрощает процесс вычисления; S программное обеспечение модели анализа устойчивости стерневых систем, отличающееся организацией взаимодействия вычислительных модулей программной среды Mathcad с учетом сложных логических связей между процедурами численной реализации.

Практическая значимость работы заключается в разработке комплекса моделей, реализующих графический метод определения собственных частот, форм колебаний и устойчивости стержневого двигателя для решения задач промышленного проектирования устойчивых буровых газовых и нефтяных систем.

Разработанные методы математического моделирования стержневой конструкции позволяет существенно снизить затраты на конструирование новых двигателей и могут быть использованы в условиях принятия проектных решений.

Реализация и внедрение результатов работы. Теоретические результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на кафедре "Автоматики и информатики в технических системах" ВГТУ в дисциплине "Моделирование и идентификация объектов управления".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались: на Четвертой Всероссийской научно-практической конференции "Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности" (г. С.-Петербург, 1999 г.); на второй, третьей и седьмой международной научно-технической конференции "Высокие технологии в экологии" (г. Воронеж, 1999 г., 2000 г., 2004 г.); в материалах 55-56 научно-технической конференции ВГАСУ (г. Воронеж 2001 г.), в материалах Воронежской весенней математической школы "Понтрягин-ские чтения - XVI" (г. Воронеж, 2005 г.), а так же на научных семинарах кафедры АИТС в 2003-2005 г.г.

Публикации. Основные результаты нашли свое отражение в 9 опубликованных в печати научных работах, тезисы докладов представлялись на четырех международных конференциях. В работах опубликованных в соавторстве и приведенных в конце диссертации, лично соискателем предложены: в [31] — реализация автоматического расчета критических частот, в [32] - аналитический вывод составляющих уравнения собственных частот, в [26] — реализация автоматических расчетов критических частот и форм собственных колебаний стержня, в [29] - аналитический вывод уравнения вынуждающих частот и создание алгоритма их вычисления, в [30] - описание взаимодействия функциональных модулей программного средства, позволяющего определить параметры уравнения Матье (координаты "изображающей точки").

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, списка используемых источников из 91 наименований. Работа содержит 108 страницы сквозной нумерации, включая 23 рисунка и 16 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные в рамках диссертационной работы исследования в области моделирования процессов устойчивой работы стержневых конструкций, нагруженных периодической продольной силой, позволили получить следующие основные результаты:

1. Предложена модель для определения критических скоростей работы буровых двигателей и форм колебаний, принимаемых стержневой конструкцией на конкретных скоростях.

2. Разработана модель для определения вынуждающих частот, находящихся в главной зоне параметрического резонанса - когда вынуждающая частота совпадает с удвоенной собственной частотой. Определение вынуждающих частот возможно для систем без трения или с вязким трением для наименьшей собственной частоты.

3. Доказана достаточность использования младшей функции Матье при со ставлении вынуждающих уравнений для систем без трения и для систем с вязким трением, с погрешностью не более 10"3.

4. Доказана достаточность использования младшей функции Матье при определении границ диаграммы Айнса-Стретта, в главной области неустойчивости, для систем без трения и для систем с вязким трением с некоторым запасом прочности.

5. Предложено программное обеспечение модели анализа устойчивости стержневой конструкции, нагруженной продольной периодической силой, позволяющее определить: а) формы, принимаемые рабочей стержневой системой; б) геометрическое положение "изображающей точки" на плоскости диаграммы Айнса-Стретта, при этом имеется возможность подбором начальных условий работы двигателя - массы конструкции, длины стержня, жёсткости на поперечное смещение и поворот, величины продольных сил и сил реакции опоры, глубины модуляции - спроектировать устойчивую стержневую систему, работающую на младшей частоте, по движению "изображающей точки" по плоскости диаграммы Айнса-Стретта.

1. Акчурина Л.В. Параметрические поперечные колебания стержневых систем., Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVI" . Воронеж, 2005 г., с. 14-15.

2. Акчурина Л.В. Параметрические поперечные колебания. Устойчивость стержневых конструкций, нагруженных продольной силой. Слайды // Компьютерные учебные программы и инновации. 2005, №7, прил.на CD-диске.

3. Акчурина Л.В. Оценка приближенных решений для уравнения типа Матье. Материалы 55-56-ой научно-технической конференций, Воронеж, ВГАСУ, 2001 г., стр.3-5.

4. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов Учебник для вузов., 2004 г., 560 с.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, 1981 г., 568 с.

6. Бабаков И. М. Теория колебаний. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, М., 1958 г., 628с.

7. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., Наука, 1976 г., 608 с.

8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М., 1980, 537 с.

9. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. 1999 г., 408 с.

10. Бишоп Р., Колебания М.: Наука, 1986 г., 190 с.

11. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 394 с.

12. Богданов Ю.М. Наука о прочности М.: Гостехиздат, 1957 г., 56 с.

13. Болотин В.В., Динамическая устойчивость упругих систем. М., 1956, 600 с.

14. Болотин В.В., Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М., 1961, 340с.

15. Болотин В.В. Сборн. "Поперечные колебания и критические скорости", вып. 2., Изд. АН СССР, 1953.

16. Болотин В.В., Случайные колебания упругих систем М.: Наука, 1979 г., 335 с.

17. Брачковский Б.З., Прикл. матем. и мех., вып. 1 (1942).

18. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний., 1987 г., 384 с.

19. Ваинберг Д.В., Писаренко Г.С., Механические колебания и их роль в технике. М.: Гос. Изд. ф.-м. литературы, 1958 г., 232 с.

20. Ворович И.И., Бабешко В.А., Динамические смешанные задачи для не классических областей. М.гНаука, 1979 г., 319 с.21'. Воронцов Г.В. Прочность и устойчивость сжато-изогнутых стержней и плоских рам. Новочеркасск, 1959 г., 162 с.

21. Вынужденные колебания в нелинейных системах: Пер. с англ. Хаяси, Тихиро. 1957 г., 208 с.

22. Вырданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов. М.: Инфра-М, 2003г., 478 с.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц., 1967 г., 576 с.

24. Гольденблатт И.И. Динамическая устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1948 г.

25. Гончаров М.Д. Влияние продольной силы на режимы усиленных вибраций забойных двигателей при поперечных колебаниях. Экологический вестник Черноземья, вып.6, Воронеж, 1999, с.57-61.

26. Гончаров М.Д. Параметрический резонанс заглубленных конструкций при поперечных колебаниях. В сб. "Современные проблемы механики и прикладной математики", Изд-во ВГУ, 2000г., г.Воронеж, с.106-110.

27. Гончаров М.Д., Акчурнна J1.B. Вычисление частот и форм колебания стержня в случае параметрического резонанса при различных граничных условиях. Программное средство для информатизационных технологий используемых во ВГАСУ, Воронеж, 2002.

28. Гончаров М.Д., Акчурина J1.B. Определение частот внешней нагрузки при параметрических поперечных колебаниях. Труды 7-й международной научно-технической конференции «Высокие технологии в экологии». Воронеж, 2004, с.с. 183-187.

29. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. 1995 г., 432 с.35 . Гробов В.А., Теория колебаний механических систем Киев: Высшая школа, 1982 г., 183 с.

30. Грудев И.Д. Толстые упругие стержни, пластинки и оболочки. 2001., 172 с.

31. Даниелян А.А. Буровые машины и механизмы М.:Гостоптехиздат, 1961 г., 472 с.

32. Дж. Хейл. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966 г., 230с.

33. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М.: Наука, 1989 г., 176 с.

34. Евланов Л.Г., Константинов В.М., Системы со случайными параметрами -М.:Наука, 1976 г., 586-г.

35. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса //ЖЭТФ. 1951. Т. 21, N 5. С. 588 607.

36. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом //Успехи физ. наук. 1954. Т. 44, N 1.С. 7-20.

37. Кирьянов Д. Mathcad 12, С.-П.: 2005 г., 557 с.

38. Кононенко В.О. Нелинейные колебания механических систем, Киев: Наукова Думка, 1980 г., 382 с.

39. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем, М.: Стройиздат, 1949 г.

40. Крылов Н.М., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2, М., 1977 г, 399 с.

41. Лейтес С.Д. Устойчивость сжатых стальных стержней. М.:Гос. изд-во литературы по строит-ву и арх., 1954 г. - 308с.48 . Лисовский А. Колебания прямых стержней и рам. М.: Госстройиздат, 1961 г., 160 с.

42. Ляхович Л.С. Разделение критических сил и собственных частот упругих систем. Томск.: Изд. Томского гос. арх.-строит. ун-та, 2004 г., 139 е., ст. 132-139.

43. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье, 1953 г.

44. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, 2004 г., 496 с.

45. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, 1949 г., 244 с.53 . Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972 г., 470 с.

46. Мае лов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений, 1988 г., 312 с.

47. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1987 г.

48. Найфэ А. Введение в методы возмущений. Москва "Мир", 1984г, 536с.

49. Николаи Е. JL, К вопросу об устойчивости скрученного стержня, Вестн. прикл. матем. мех. 1 (1929г.).

50. Николаи Е. JL, Об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого и скрученного стержня, Изв. Ленингр. политехи. Ин-та 1928 г. (Николаи Е. Л., Труды по механике, Гостехиздат, 1955.)

51. Осмоловский В.Г. Нелинейная задача Штурма-Лиувилля: Учеб. пособие. СПбГУ, 2003 г. 260с.

52. Павлов П.А., Паршин Л.К., Мельников Б.Е. и др. Сопротивление материалов: Учебное пособие. 2003 г., 528 с.

53. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний., 1971 г., 238 с.

54. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, парадоксы и ошибки., 1987 г., 352 с.

55. Пановко Я.Г., Губанова И.И., Устойчивость и колебания упругих систем, Москва, "Наука", 1979, 384с.

56. Проников АС. Параметрическая надежность машин. 2002 г., 560 с.

57. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений, 1980 г., 420 с.

58. Расчеты на прочность, жесткость, устойчивости и колебания. (Сб. статей. Ред. инж. Л.Д.Данилов) М.: Машиностроение, 1965 г., 192 с.

59. Розенблат Г.М. Динамические системы с трением., 2005 г., 156 с.

60. Смирнов В.И., Курс высшей математики, Т.4. М.: Наука, 1974 г., 336 с.

61. Справочник инженера по бурению. Под ред. В.И. Мицевича, Н.А. Сидорова М.:Недра, 1973 г., Т. 1., 519 с.

62. Справочник инженера по бурению. Под ред. В.И. Мицевича, Н.А. Сидорова М.:Недра, 1973 г., Т.2., 375 с.

63. Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний, 1977 г., 256 с.72