Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях

Казиев, Аслан Мугазович

Строительная механика

автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях

кандидата технических наук: Казиев, Аслан Мугазович
город: Нальчик
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.23.17

Диссертация по строительству на тему «Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях»

Автореферат диссертации по теме "Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях"

Казиев Аслан Мугазович

КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНЫХ И КОНТИНУАЛЬНО-ДИСКРЕТНЫХ БАЛОК ПРИ ВЕКТОРНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Волгоград - 2005

Работа выполнена в Кабардино-Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Культербаев Хусен Пшимурзович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Пшеничкина Валерия Александровна

кандидат технических наук, доцент Коновалов Олег Владимирович

Ведущая организация: Филиал федерального государственного

унитарного предприятия "КТБ бетона и железобетона", Инженерный центр "Югстрой", г. Волгоград

Защита состоится 17 мая 2005 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан "_"_2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Л.В. Кукса

Актуальность проблемы. В связи с появлением сложных инженерных и технических сооружений в последние десятилетия к вопросам динамики конструкций проявляется особый интерес. Существовавший долгое время детерминистический подход к решению таких задач не позволяет описать действующие на сооружения внешние нагрузки и вызванные ими колебания с достаточной точностью. Резкое повышение требований к оценкам надёжности и экономичности проектируемых зданий и сооружений вызвало усиленное внимание к развитию вероятностных методов расчёта, максимально приближающих как расчётную схему конструкции, так и действующие нагрузки к реальным объектам исследований. Под влиянием таких требований возник и продолжается интерес к колебаниям конструкций при воздействиях, имеющих стохастическую природу.

Случайными возмущениями, например, являются сейсмические, ветровые, снеговые нагрузки; силы, передающиеся на строительные конструкции от движения различного вида технологического оборудования, транспорта и людских потоков; кинематические перемещения опор и опорных контуров упругих элементов, работающих в составе сооружений и т. д.

Динамическое поведение дискретных систем при действии возмущений, имеющих детерминистическую и случайную природу, хорошо освещено. Достаточно изучены и колебания континуальных систем при случайных скалярных возмущениях, имеющих динамическое или кинематическое происхождение.

В то же время слабо изученными остаются задачи о колебаниях континуальных и континуально-дискретных систем при векторных возмущениях, компоненты которых являются детерминистическими или случайными процессами. В частности, публикаций по колебаниям балок при векторных возмущениях, содержащих одновременно динамические и кинематические источники колебаний, имеется лишь небольшое количество. Не проведены исследования по колебаниям распределённых систем при векторных возмущениях с компонентами, заданными в виде различных по типу случайных коррелированных процессов.

Идеализированные дискретные или континуальные модели, которые до сих пор применяются в виде расчётной схемы для реальных конструкций, во многих случаях являются слишком упрощёнными. Такие схемы не могут отражать в полной мере действительную реакцию сооружений на действующие возмущения. Во множестве практических случаев дискретные и континуальные типы структур одновременно сочетаются и взаимодействуют, и это отражается не только на спектрах собственных частот и форм колебаний, но и на отклике системы на возмущения различного происхождения. Если при детерминированных возмущениях континуальные участки можно иногда заменять эквивалентными дискретными массами, то при случайных возмущениях, имеющих спектральную плотность в широком диапазоне частот, этот приём может привести к большим неточностям.

Стержни (в частности, балки) являются одним из основных элементов почти всех строительных сооружений, технических устройств, а также дета-

лями различного рода оборудования. В плоских и пространственных каркасах зданий это панели, ригели, колонны и подкрановые балки. В виде отдельных объектов модели стержней применяют в расчётах водонапорных башен, столбов линий электропередачи, антенн, дымоходных труб, мостов, рельсов железных дорог, газопроводных или водопроводных труб и т.д.

В силу перечисленных причин представляется актуальной дальнейшая разработка новых математических моделей, методов и алгоритмов решения задач о свободных, гармонических и случайных колебаниях элементов зданий и сооружений в виде отдельных балок и балок с сосредоточенными массами при векторных возмущениях.

Целью работы является постановка и решение задач по определению основных характеристик колебаний однородных1 и континуально-дискретных балок с учётом вязкого трения при отсутствии и наличии продольных сил, при комбинированных динамических и кинематических векторных возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

Задачи работы:

> Разработать модели новых задач о свободных, вынужденных гармонических и вынужденных случайных колебаниях для однородных и континуально-дискретных балок.

В детерминистическом случае колебаний для однородных растянутых балок и континуально-дискретных балочных систем получить формулы или численные алгоритмы для определения спектров собственных частот, коэффициентов затухания и соответствующих им форм свободных колебаний.

> Для вынужденных детерминистических колебаний рассмотреть три возможных варианта установившихся режимов:

- непериодические негармонические колебания;

- периодические негармонические колебания;

- гармонические колебания.

Для всех случаев найти функции перемещений и внутренних сил в сечениях балки, для третьего случая определить функцию распределения амплитуд вдоль оси балки.

^ При вероятностной постановке задач, когда возмущения представлены как стационарные случайные векторные процессы, выявить влияние характерной частоты и степени коррелированности компонентов на выходные характеристики колебательной системы.

> Определить среднеквадратические отклонения внутренних сил в сечениях, используя их известные зависимости от функции перемещений.

Для детерминистических и стохастических задач составить алгоритмы расчётов исследуемых упругих систем и реализовать их в одной из современных информационно-вычислительных сред программирования.

1 В данной работе однородными названы балки постоянного сечения по длине из однородного материала с распределённой массой.

^ Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчетов на классических примерах с известными решениями.

Провести расчёты нескольких балок, взятых из реальной строительной практики, по разработанным алгоритмам и программам.

Автор защищает:

> Методику нахождения спектров собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм свободных изгибных колебаний однородных и континуально-дискретных балок при наличии продольных сил и сил сопротивления.

^ Методику определения функций перемещений и внутренних сил в сечениях балки, когда компоненты вектора возмущений являются гармоническими с разными частотами и начальными фазами.

Результаты расчётов однородных и континуально-дискретных балок на предмет исследования влияния параметров входных случайных процессов на вероятностные характеристики колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Вынужденные детерминистические колебания однородной балки рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер гармонических возмущений при их разных частотах и начальных фазах.

Вынужденные случайные колебания однородной балки рассмотрены при возмущениях векторным стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами. Для формирования спектральной матрицы входного процесса предложен новый подход, позволяющий учитывать разнотипность случайных возмущений

Предложена новая модель колебаний однородной балки при одновременном учёте продольной силы и сил внутреннего трения. Найдены спектры собственных частот и форм, коэффициент затухания свободных колебаний. Предложены методики определения параметров вынужденных гармонических и случайных колебаний.

Разработана новая математическая постановка задач о колебаниях балки с сосредоточенными массами, представляемой в виде континуально-дискретной системы. Разработаны алгоритмы определения спектров собственных частот, коэффициентов затухания и форм колебаний. Для вынужденных колебаний предложены методики решения смешанной системы дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложены эффективные способы определения функции перемещений при гармонических вынужденных колебаниях, спектральных плотностей и дисперсий при случайных колебаниях.

Для всех типов рассмотренных балок при вынужденных колебаниях определены внутренние силы: при гармонических возмущениях - детерминистические функции, при случайных колебаниях - спектральные плотности и дисперсии.

зультатами Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном подборе типов и параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам

Практическая направленность. Предложенная методика расчета континуальных и континуально-дискретных балок при детерминистических и стохастических векторных возмущениях представляет не только теоретический интерес, но и может найти широкое применение в расчетах реальных строительных и технических сооружений Такие возможности продемонстрированы на примерах, приведенных по каждому разделу диссертации (стальные континуальные балки, континуально-дискретная стойка и континуально-дискретная стальная балка) Получен акт внедрения результатов исследований при проектировании рабочей площадки производственного корпуса стекольного завода "ЗЭТ' в г Нарткала Кабардино-Балкарской Республики

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по механике в Кабардино-Балкарском госуниверситете г Нальчик, 2002 г , на III Международной научно-технической конференции, 27-29 марта 2003 г, "Надежность и долговечность строительных материалов и конструкций", ВолгГАСА, г Волгоград, 2003 г, на Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 29-31 мая 2003 г, Самарский государственный технический университет, г Самара, 2003 г, на Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Перспектива -2003", г Нальчик, 2003 г, на научной конференции молодых ученых КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, г Нальчик, 2003 г, на Всероссийской научно-технической конференции, 25-27 сентября, "Наука, техника и технологии нового века", КБГУ, г Нальчик, 2003 г , на Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Перспектива-2004", г Нальчик, 2004 г , на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", 26-28 мая 2004 г, Самарский государственный технический университет, г Самара, 2004 г

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 публикациях

Объём работы: Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения, содержит 130 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении (первая глава) раскрывается актуальность темы диссертации, определяются цели и задачи работы, обосновывается научная новизна темы и применимость разработанных методов для решения практических задач

Во второй главе излагаются проблемы, касающиеся современного состояния детерминистических и стохастических колебаний одномерных континуальных и континуально-дискретных систем Особое внимание уделяется изгиб-ным колебаниям балок Приведен краткий анализ опубликованных научно-исследовательских работ с применением методов теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов, посвященных вопросам динамики, устойчивости и надежности строительных сооружений и других технических устройств В работах отмечается, что возрастающие экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям и машинам в последние годы стимулируют во многих задачах строительной механики переход от традиционных детерминистических подходов к вероятностным, позволяющим более адекватно представлять случайный характер нагрузок, граничных и начальных условий, других свойств упругих колеблющихся систем

По вопросам, касающимся темы диссертации, из множества наиболее известных к настоящему времени работ выделены монографии В В Болотина, А С Вольмира, А С Гусева, В А Светлицкого, М Ф Диментберга, В В Екимова, В П Макеева, Н И Гриненко, Ю С Павлюка, Н А Николаенко А Р Ржаницына, В Л Бидермана, С А Тимашева, И А Биргера, Я Г Панов-ко, С П Тимошенко, BADE Newland, сборники научных статей под редакциями С Кренделла и W L Clarkson статьи и доклады обзорного характера В В Болотина, М Ф Диментберга, М 3 Коловского, В И Осорина, А А Пер-возванского, А Л Еременко S H Crandall, W Q Zhu, D N Van, A N Dong, F Kosin В последнее время широкое применение получил метод канонических разложений, предложенный В С Пугачевым и успешно использованный А П Пшеничкиным для решения ряда задач строительной механики

Динамические и кинематические возмущения во многих случаях действуют на конструкции одновременно, т е как компоненты векторного возмущения Чаще всего они оказываются случайными во времени и в пространстве Такие стохастические краевые задачи рассматривались в работах С Г Кренделла, А П Кульвец, Т С Неверовой, В А Светлицкого, М Novak и Р Gunadhar

Континуально-дискретные системы, как более точные расчетные схемы, во многих задачах достовернее отражают реальную работу конструкций при динамических воздействиях Поэтому в последнее время в этом направлении количество научных публикаций увеличивается К ним можно отнести работы В А Светлиц-кого, X П Культербаева, Г Е Калбергенова, С Б Каравашкина, Л И Маневича, В Ю Бобыльченко, О В Дементьева, Д А Индейцева, И А Колесник, А И Макаренко, НМ Маслова, В Г Ошмян, MB Скуева, Xu Xiaoge, M Gurgoze, S Р Cheng, Н Batan, Е Esmailzadeh, R Н Gutierrez, Р К Sarkar, W Yi-Ming

Изучение состояния вопроса и анализ показывают, что дальнейшее развитие методов практического расчёта строительных конструкций как стохастических систем, работающих под действием случайных нагрузок, является важной инженерной проблемой. Поэтому одной из главных задач диссертации стало выяснение динамического поведения элементов зданий и сооружений в виде балок при действии стационарных и стационарно связанных коррелированных случайных возмущений.

В третьей главе рассматриваются свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания однопролётной однородной балки (рис. 1). Примеры постановки полной математической задачи показаны для двух наиболее распространённых способов закрепления концов балки. Возмущениями, действующими на балку, являются распределённая нагрузка q(x, t), вертикальные перемещения левого концб^рментная нагрузка, приложенная к левому концу fj(t), вертикальные перемещения правого конца f4(t), моментная нагрузка, приложенная к правому концу f5(t). Основное уравнение и граничные условия ^в совокупности образуют задачу

В обоих случаях возмущения являются вектор - функцией с пятью компонентами f(t) = {f1(t),f2(t),f3(t),f4(t),f5(t)}. (3)

Далее задача состоит в том, чтобы в детерминистическом случае по заданной функции f(t) отыскать решение u(x, t). В стохастическом же случае в рамках корреляционной теории случайных процессов по заданным характеристикам векторного случайного процесса возмущений необходимо находить характеристики отклика системы

Последовательно рассмотрены три типа колебаний.

1) Возмущения отсутствуют, т.е. f(t) = 0. Этот случай соответствует свободным колебаниям, для которых определены собственные частоты, коэффициент демпфирования и формы колебаний. Эта задача известна и имеет вспомогательное назначение для изучения вынужденных колебаний.

2) Внешние воздействия представлены векторным гармоническим процессом

где

Значок о здесь и далее будет означать операцию поэлементного перемножения векторов, так что вещественные и комплекснозначные амплитуды, ^ - начальные фазы или сдвиги фаз. Таким образом, компоненты возмущений имеют вид

В общем случае выходной процесс u(x, t) не будет гармоническим и, даже, периодическим В то же время он будет суммой пяти гармоник с разными частотами П^. Периодическими такие колебания будут лишь в том случае, если отношения ilj/fit окажутся рациональными числами Если все частоты возмущений одинаковые, т. е. = Цг = •• = fis = то выходной процесс будет гармоническим. Для этой задачи определяются, кроме функции перемещений, и амплитуды колебаний

Для вынужденных колебаний изучены три варианта установившихся режимов:

- непериодические негармонические колебания;

- периодические негармонические колебания;

- гармонические колебания.

Линейность оператора динамической системы позволяет пользоваться принципом суперпозиции Его реализация осуществлялась путём суммирования решений пяти автономных задач, когда на систему действует лишь

одно из возмущений, имеющее единичную амплитуду е" к .

Следуя методу разделения переменных, функция перемещений принята в виде произведения

где Н)[(х, ¡Г2к) - искомая передаточная функция.

Дифференциальное уравнение (1) даёт для автономных задач искомые функции

Постоянные интегрирования находятся из граничных условий (2), и таким образом, передаточные функции становятся известными Искомое решение определяется как скалярное ггооизветтение векторов

с'.

u(x, t) = [A, v(x,t)] =А v(x, t).

В качестве примера рассчитана стальная двутавровая балка, первые собственные частоты которой

{79,59,318,38,716,36,

Для гармонических колебаний найдена функция амплитуды (рис. 2) при возрастающих значениях частот fl = 1 с'1 (кривая 1), 35 с"1 (2), 45 с"1 (3), 308 с"1 (4), 625 с'1 (5) При этом приняты следующие амплитуды возмущений:

а3 = 5000 Нм, " а4 = 10 мм, а5= 1000Нм

(4)

3) Возмущения (3) являются векторным случайным стационарным процессом со стационарно связанными компонентами, с нулевым математическим ожиданием, с заданной спектральной матрицей

(5)

которая является эрмитовой, в силу чего S4(o) = Sj^ffl). Распределённая нагрузка принята постоянной по пространственной координате.

В установившемся режиме перемещения u(x,t) будут центрированным пространственно-временным случайным полем, стационарным во времени и неоднородным по пространственной координате. Задача состоит в том, чтобы по заданной спектральной матрице входного случайного процесса найти спектральную плотность и дисперсию выходного процесса. Для достижения такой цели используются найденные выше передаточные функции

Н/х, ifíj), j = 1,2,..., 5. Спектральная плотность случайного процесса колебаний вычисляется по формуле

Su(x,co)= Нт(х, ÍG))Sf(со)Н'(х, ico). (6)

Дисперсия отклонений вычисляется с учётом чётности функции по частоте

(7)

Бц(х) = 2|8ц(х, а>)<1а> о

и с применением численных методов интегрирования. Конкретные расчёты проведены для той же стальной балки при возмущениях в виде стационарного векторного процесса со стационарно связанными компонентами и скрытой периодичностью. Тогда элементы спектральной матрицы возмущений (4) имеют вид

где ад и Рд - параметры широкополосности и характерной частоты, рд - элементы нормированной корреляционной матрицы, с^ - среднеквадратические отклонения процессов

Такая модель позволяет искусственно сделать случайные возмущения сколь угодно близкими к гармоническим. Следовательно, появляется возможность рассмотреть детерминистическую задачу как частный случай стохастической задачи и использовать её как тестовую для проверки достоверности полученных результатов. С этой целью среднеквадратические отклонения возмущений в одном из примеров приняты равными действительным амплитудам гармонических возмущений, характерные частоты случайного процесса совпа-

дающими с частотами гармонических возмущений, параметры широкополосности сравнительно небольшими и одинаковыми для всей серии вычислений

ajk= 1 с"1,j, k= 1,2, ,5 Можно заметить, что кривые рис 3, полученные таким путем, практически совпадают с кривыми рис 2

Для определения изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях стержня, использованы известные соотношения M(x,t) = EJu"(x,t), Q(x,t) = EJu"(x,t) (8)

Применение операций (4), (8) дает

М(х, t) = EJAT v"(x, t), Q(x, t) = EJA V(x, t) Для случайных колебаний сначала определены спектральные плотности внутренних сил по заданной спектральной матрице возмущений и найденным

векторам передаточных функций Н^(х, 1(й), Hq(x, ни) SM(x,ш)= Н^(х, ко) Sf(со) Н*м(х, ico), Sq(x,oj)= Hq(x, ко) Sf(<o)HQ(x, ко)

и затем - дисперсии

В четвёртой главе в аналогичном порядке изучаются свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания балки при наличии продольной силы (рис 4)

Для свободных колебаний определены коэффициенты затухания, спектры собственных частот и форм колебаний

f,(t>T 0(t) М

Рис 4

ц = ц12, шкц= <oj

У)

1+-

-ц , <рк(х) = sin skx, к = 1,2,

Здесь введены обозначения для волнового числа критической силы сжатого стержня и собственной частоты балки при отсутствии осевой силы и трения

Рк =

kVEJ

kV IEJ

,к= 1,2,

Рассмотрена задача о вынужденных установившихся колебаниях при гармонических возмущениях, которая имеет вид

и1У -2Ри' +уи+Еи=Г,(х,1), хе(0, !),1>-оо, и(0,1) = Г2(1), ЕЩ0,1)=Ш, и(/,1) = £,(1), ЕЩ1,г) = Щ, х>-<х

Использование метода разделения переменных дает передаточные функции

Н,(х, 1П) = С, £(х) + !

Н/х,1П) = С^(х), -2, 3,4, 5

Здесь С) - матрица с элементами, имеющими смысл постоянных интегрирования

Вектор возмущений является пятикомпонентным, поэтому каждому случаю соответствует векгор-столбец С, и матриц

' 1 о о сГ

О 0 10 0

-е-1 0010 о о о о 1,

При равенстве частот, т е <Г2, _ = = = П, матрицу искомых постоянных интегрирования можно найти по формуле

С = [С(Я)] 'э

При этом суммарные колебания будут гармоническими, а формулы перемещений И ампттитвдт I тн\т\т шгг

V 41

, о =

и45/

и(х, () = [А, Н(х, 1П)] е'1

ац(х) - I [А, Н(х, |П)]|

ИИ

30 20 10 О

С целью выяснения влияния осевой силы на амплитуды колебаний,

i [п01пи'' ''м [г г г1у1 1 п *тг,т ттпт/г пуп гг.гу !1 гу i п м гт кг v пгриптд гтдтп)1

1)Р/Р, = -0,25, 2) Р / Р, = О, 3) Р /Р, = 0,5

а _ Результаты вычислений для амплитуд

колебаний, представлены графиками рис 5 Видно, что по мере роста продольной силы амплитуды колебаний уменьшаются

При случайных колебаниях для определения спектральной плотности выходного процесса используется формула (6) с передаточными функциями, найденными при гармонических возмущениях На примере балки со сжимающей осевой силой Р = - 0,25 Р| выполнены расчеты для такого случая когда возмущения являются случайными процессами разных типов

1) поперечная равномерно распределенная нагрузка является усеченным белым шумом СО сгге.ктаяттмтпй ггттптнпстып

[80, |<о|е£2, =[©,, со2], [0, |о>| г О,,

2) колебания левого и правого концов являются процессами со скрытой периодичностью и со спектральными плотностями

Рис 5

3) изгибающие моменты, приложенные к концам балки, являются экспоненциально-коррелированными процессами со спектральной плотностью

» =

I е £2 = (- оо, со), j = 3, 5

Элементы спектральной матрицы возмущений (5) образуются с помощью формулы где р^ - элементы нормированной корреляционной матрицы

Сомножители в (9) вычисляются по формулам, соответствующим каждой из спектральных плотностей

По этим данным проведены вычисления и получен график изменений средне-квадратических отклонений вдоль оси балки, изображенный на рис 6

Рассмотрены колебания стойки с грузом на свободном верхнем конце для двух вариантов закрепления нижнего конца Груз обладает массой М и осевым моментом инерции \ относительно оси г, перпендикулярной плоскости колебаний

В первом случае нижний конец защемлён В пренебрежении собственным весом стойки продольная сила в сечениях принята постоянной N = - Р Тогда основное уравнение установившихся колебаний и граничные условия имеют вид

Рис 6

Во втором случае к нижнему концу прикреплён груз, имитирующий фундамент с массой М; и осевым моментом инерции I];.. При этом в устройство опоры включены пружины и демпферы, позволяющее совершать горизонтальное поступательное движение и вращательное движение в плоскости рис. 7: v, с - коэффициенты демпфирования и жёсткости пружины при поступательном движении, те же коэффициенты при вращательном движении.

Основное уравнение установившихся колебаний стойки остаётся без изменений, но граничные условия в нижнем конце будут иметь другой вид

Рис.7

М(и(0,1) + у(и(0,0 - {2 (0) + с(и(0,1) - + Е^О,1) + Ри'(0,1) = О,

Для обоих случаев определены собственные частоты, коэффициенты затухания и собственные формы колебаний. Сделан сравнительный анализ полученных результатов. Установлено, что замена жёсткого защемления пружинами и демпферами даёт результаты, значительно отличающиеся от аналогичных характеристик предыдущей стойки Построены кривые средне-квадратических отклонений продольной оси и внутренних сил в сечениях для обеих стоек при векторных случайных возмущениях различного типа.

В пятой главе рассматривается установившийся режим поперечных колебаний континуально-дискретной балки (рис 8). Сосредоточенные массы не смещаются в продольном направлении, но колеблются в поперечном направлении с соответствующими коэффициентами демпфирования V, на упругих опорах с коэффициентами жёсткости Источниками колебаний являются динамические сосредоточенные силы действующие в поперечном направлении и кинематические смещения опор Zj К сосредоточенным массам приложены постоянные силы которые в процессе колебания остаются горизонтальными

Рис.8

Математическая модель поперечных колебаний такого сооружения представляется в виде^двух систем дифференциальных уравнений

Все векторы считаются вектор - столбцами, b(u) - вектор упругих сил в сечениях континуальных участков слева и справа от масс

Для свободных колебаний граничные условия и условия сопряжения участков приводят к системе уравнений

Q(>) В = 0 (10)

относительно вектора постоянных интегрирования В = {Bh Сь Db Еь В2 С2 , D„, Е„}, компонентами которого являются искомые коэффициенты Q(X) - квадратная блочная матрица порядка 4п

Элементы матрицы Q являются функциями характеристического показателя X и через него - коэффициента затухания колебаний ц и частоты о) Условие существования нетривиального решения системы (10) дает уравнение

det Q(X) = 0

решением которого является спектр собственных значений {Х->, }

Для определения собственных форм колебаний достаточно найти собственные векторы В матрицы Q, соответствующие А.| Х2,

Расчеты проведены на примере стальной балки из двутавра № 14 с тремя пролетами При варьировании параметров масс, длин пролетов, коэффициентов демпфирования и жесткости пружин выяснялось их влияние на собственные частоты и коэффициенты затухания Для нескольких случаев построены собственные формы колебаний

В качестве исходных параметров приняты / ={3,5,3, 2,5} м, М= {350,200, 100,400} кг, с = {200 100 100, 150} кН/м,

Часть полученных результатов представляется таблицей

№ Й>1 Hi ш2 И2 (Oj со4 И4

№ с1 с1 с1 с' с1 с1 с1 с'

1 18,538 1,819 22,101 1,976 27 164 1,963 58,464 1,963

2 17,84 1,67 20,05 2,52 23,41 1,581 52,64 2,608

3 18,93 1,886 23,34 1,775 31,09 2,081 63,71 2 63

Анализируя результаты счёта, можно заметить, что сжимающие силы уменьшают собственные частоты, а растягивающие - увеличивают Продольные силы могут увеличивать или уменьшать коэффициенты затухания в зависимости от формы колебаний На рис 9 показаны первые четыре собственные формы колебаний.

Вынужденные гармонические колебания континуально-дискретной балки рассматриваются при векторных возмущениях T(t). Первая группа элементов вектора образована кинематическими перемещениями опор

рис.

^) = аке'(°к'+п)=Аке,"'<1, Ак = аке^, к=1,2,

К ним присоединяются динамические возмущения в виде сосредоточенных сил, приложенных к дискретным массам

Тогда вектор перемещений можно найти в матричной форме

и(х,1) = Н(х,Ю)Т(1), (И)

где Н(х, 1Й) - искомая матрица передаточных функций, элементы которой суть реакции пролётов балки на единичные гармонические возмущения. Например, НДх^ ¡Пк) является комплексной амплитудой колебаний .¡-го пролёта балки от к - того автономного гармонического единичного возмущения = е'0|<'. Следовательно,

Формула (11) в развернутой форме имеет вид

Постоянные интегрирования находятся по формуле в матричной форме Далее легко формируется матрица Н(х, Ш), и определяются перемещения (11)

В стохастической постановке задачи вектор - функции z(t) и F(t), объединённые в общий вектор возмущений T(t), будут стационарными случайными процессами со стационарно связанными компонентами и заданной квадратной спектральной матрицей Sp(ffl) с элементами

Тогда u(x, t) и y(t) будут случайным векторным полем и случайным векторным процессом с характеристиками, подлежащими определению.

Далее изучаются установившиеся (в вероятностном смысле) колебания системы, поэтому начальные условия не требуются. Граничные условия будут аналогичны использованным выше при свободных и гармонически возбуждаемых колебаниях, но с учётом случайного характера возмущений.

Задача состоит в том, чтобы по заданной спектральной матрице (12) найти спектральную матрицу Su(x, (о) случайного поля отклонений балки и дисперсию. Для определения спектральной матрицы отклонений Su(x,w) используются ранее найденная матрица передаточных функций Н(х, i(o)

Su(x, со) - Н(х, it,)) SF(co) Н*т(х, irn). (13)

Результатом вычислений по (13) является квадратная матрица порядка п. Элементами её главной диагонали являются спектральные плотности отклонений балки в пролётах с соответствующими номерами элементы же побочных диагоналей есть взаимные спектральные плотности процессов отклонений балки в двух различных пролётах с номерами j и к.

При известной спектральной плотности далее легко определяется дисперсия перемещений.

Для конкретных вычислений избрана расчётная схема, показанная на рис. 10. Кинематические возмущения опор являются усечёнными белыми шумами, сосредоточенные силы случайными процессами со скрытой периодичностью.

Здесь среднеквадратические отклонения приняты равными амплитудам возмущений в предыдущей задаче, характерные значения частот примерно совпадают с частотами гармонических динамических возмущений. Элементы спектральной матрицы образованы с помощью формулы (9). Сомножители в правой части при этом будут следующими:

k [0, coei\, crkek

рис. 10

k=l, 2,..., 5;

Vrc[(iw)2 + 2ak(ico) + 6k]

, to e Qk = (-co, со), k = 6,7,..., 10.

1 >

/1 /

\ \ ! " "/"" " / • у .. .

Г \

Рис. 11

По этим данным проведены вычисления и получен график изменений среднеквадратических отклонений вдоль оси балки, изображённый на рис. 11.

Для расчётов на прочность необходимо иметь значения изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях балки. Внутренние силы в поперечных сечениях определяются через передаточные функции перемещений

В векторной форме искомые функции принимают вид

М(Х,1)= Нм(х. Щ Т(1), 0(х,0= Нд(х, ¡П) ТО).

Для случайных колебаний далее найдены спектральные плотности и дисперсии.

Соответствующие матрицы моментных функций определяются с помощью интегралов, подобных (7).

Зная характеристики перемещений и внутренних сил в сечениях балки, можно установить характеристики нормальных и касательных напряжений с помощью линейных отображений. На рис. 12 и 13 показаны результаты, полученные для сечения с координатой в виде графика зависимости изгибающего момента и поперечной силы от времени. Как и в перемещениях, здесь тоже проявляется негармонический и непериодический характер функций. Видно, что колебания состоят из гармоник с разными амплитудами, частотами и фазами. Получены результаты для среднеквадратических отклонений, показанные графиками рис. 14, 15. Анализ форм этих кривых также подтверждает хорошо известные зависимости между М и р.

г\ л

\ \\ -А / \

VI * V

V .

Рис. 12

Л 1

/\ . л;......

\ 1 1 /Л / 1

и чУ |

5 1С 15 2С Рис. 13

кН

О,Б

0,6

Рис. 14

Рис. 15

Основные результаты и выводы

1. Разработаны новые по своей математической постановке и механическому содержанию модели задач, адекватно описывающие процессы колебаний однородных и континуально-дискретных балок при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу

2. Для континуальных балок с вязким внутренним трением и при наличии продольной силы получены формулы для определения спектров собственных частот, коэффициентов демпфирования и соответствующих им собственных форм колебаний.

3. Предложены достаточно простые методы определения спектров собственных частот и коэффициентов демпфирования для континуально-дискретных балок и способы определения соответствующих им собственных форм свободных колебаний.

4 Найдены функции перемещений в установившемся режиме колебаний, вызванных комбинированными динамическими и кинематическими гармоническими возмущениями с разными частотами и фазами Выделены три возможных случая колебаний балок непериодические и негармонические периодические но негармонические, гармонические Для третьего случая определены формы распределения амплитуд вдоль оси балки Получены формулы для определения внутренних сил в сечениях для перечисленных режимов колебаний

5 В стохастических системах, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, найдены формулы, позволяющие одновременно сочетать различные типы случайных процессов и учитывающие степень взаимной коррелированности между компонентами. В рамках корреляционной теории по заданным спектральным матрицам входных процессов найдены спектральные плотности и среднеквадратические отклонения скалярного пространственно-временного поля перемещений. Раскрыты связи и аналогии между детерминистическими и случайными колебаниями, позволяющие правильно интерпретировать полученные результагы

6. На примерах показана возможность искусственного приближения стохастических задач к детерминистическим за счет специального подбора значений параметров возмущений (характерной частоты, параметра широко-полосности, корреляционной матрицы) с целью проверки достоверности полученных результатов.

7. Численные расчёты реализованы в информационно-вычислительной системы программирования высокого уровня МаЛаЪ На её базе создан комплекс программ расчёта по предложенным алгоритмам, позволяющий осуществлять решение детерминистических и стохастических задач о колебаниях упругих однородных и континуально-дискретных балок

8. Показана применимость предложенной теории, алгоритмов и методик решений к практическим задачам конкретных конструкций и сооружений, подтвержденная актом внедрения.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях

1 Джанкулаев А Я Казиев А М Вынужденные колебания стержней при комбинированных возмущениях // Каб -Банк гос сельск академия Избр труды науч сем "Механика" - Нальчик, 2002 -Вып 1 -С 195-199

2 Казиев А М, Об аналогиях между гармоническими и случайными колебаниями балок // Материалы Всерос науч конф студ, асп и мол уч "Перспектива - 2002" - Нальчик, 2002 -Т II -С 24-27

3 Казиев А М, Свободные колебания продольно нагруженной балки при наличии трения//Вестник КБГУ Серия технич науки -Вып 5 -С 103- 105

4 Кучътербаев XП, Казиев А М, О вынужденных колебаниях растянутых балок при комбинированных возмущениях // Надежность и долговечность строительных материалов и конструкции Материалы III Межд науч -техн конф (27-29 марта 2003 г) - Волгоград, 2003 -Ч II -С 15-18

5 Джанкулаев А Я, Казиев А М Свободные колебания континуально-дискретной механической системы // Материалы Всерос науч конф студ, асп и мол ученых "Перспектива-2003" - Нальчик, 2003 -XVI -С 13-17

6 Казиев А М, Джанкулаев А Я Случайные колебания балок Сборник научных трудов молодых ученых -Нальчик КБГУ, 2003 -С 219-224

7 Культербаев XП Казиев А М, О случайных колебаниях растянутых ба-лок//Мат модел и краевые задачи -Самара СамГТУ, 2003 -С 100-103

8 Культербаев XП, Казиев А МО гармонических колебаниях балок, возбуждаемых векторными возмущениями // Легкие строительные конструкции Ростовн/Д Рост гос строит ун-т,2003 -С 146-154

9 Культербаев ХП Казиев А М Свободные колебания балки с сосредоточенными массами // Материалы Всерос науч -техн конф НТТ-2003 -Нальчик КБГУ,2003 -С 15-21

10 Казиев ЛМ, О влиянии характерной частоты и широкополосное™ случайной нагрузки на колебания балок // Вопросы повышения эффективности строительства Межвуз сборник -Нальчик КБГСХА,2004 -Вып 2 -С 79-83

11 Казиев А М Свободные колебания растянутой балки с сосредоточенными массами // Материалы Всерос науч конф студ , асп и мол ученных "Перспектива-2004" - Нальчик, 2004 -Т III -С 251-255

12 Культербаев ХП, Казиев А М Кинематически возбуждаемые колебания балки с сосредоточенными массами // Математическое моделирование и краевые задачи Тр Всерос науч конф -Самара СамГТУ,2004 -С 133-135

13 Культербаев ХП Казиев А М, Кинематически возбуждаемые совместные колебания балок с дискретными массами // Изв высш учеб завед Сев -Кав регион Технические науки - Новочеркасск, 2004 -№ 4 -С 57-63

Личный вклад соискателя по опубликованным совместным научным работам

В работах 1, 5 постановки задач, разработка и обоснование решений, анализ результатов выполнены совместно с Джанкулаевым А Я Компьютерные программы, научная трактовка полученных результатов принадлежат Казиеву А М

В работе 6 математическая модель задачи и расчетная модель вынужденных колебаний сформулированы Казиевым А М , практическая реализация и анализ результатов выполнены совместно с Джанкулаевым А Я

В работе 4 автором постановки задачи и расчетной модели является Кульгербаев X П, методы и алгоритмы решения, численные примеры, компьютерные программы принадлежат Казиеву А М Анализ результатов проведен совместно с Культербаевым X П

Постановка задач и анализ полученных результатов в статьях и докладах 7,12,13 являются совместными с Культербаевым X П, разработка и обоснование расчетных моделей, методики решений, алгоритмы вычислений, компьютерные программы и подбор численных примеров выполнены Казиевым А М

Постановки задач, расчетные схемы, обоснование актуальности проблем в работах 8, 9 являются совместными с Культербаевым X П , разработка способов решения, алгоритмов счета, численные примеры и анализ их результатов принадлежат Казиеву А М

В печать 06.04.2005. Тираж 120 экз. Заказ № 4419. Типография КБГУ 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173

05ÍZ3

1061

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Казиев, Аслан Мугазович

I. ВВЕДЕНИЕ.;.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И СОСТОЯНИЕ

ВОПРОСА.

III. КОЛЕБАНИЯ БАЛОК

1. Постановка краевой задачи.

2. Свободные колебания.

3. Вынужденные колебания при гармонических возмущениях.

4. Вынужденные случайные колебания.

5. Внутренние силы в поперечных сечениях.

IV. КОЛЕБАНИЯ РАСТЯНУТЫХ (СЖАТЫХ) БАЛОК

1. Постановка краевой задачи.

2. Свободные колебания

3. Вынужденные колебания балки при гармонических возмущениях.

4.Вынужденные случайные колебания балки.

5.Случайные колебания стойки с грузом.

V. КОНТИНУАЛЬНО-ДИСКРЕТНАЯ БАЛКА

1. Постановка задачи.

2. Свободные колебания.

3. Вынужденные колебания при гармонических возмущениях.

4. Вынужденные случайные колебания.

5. Внутренние силы в поперечных сечениях.

6. Пример расчёта главной балки стекольного завода.

Введение 2005 год, диссертация по строительству, Казиев, Аслан Мугазович

Динамическое поведение дискретных систем при действии возмущений имеющих детерминистическую и случайную природу хорошо освещено. Достаточно изучены и колебания континуальных систем при случайных скалярных возмущениях, имеющих динамическое или кинематическое происхождение.

Идеализированные дискретные или континуальные модели, которые до сих пор применяются в виде расчётной схемы для реальных конструкций, во многих случаях являются слишком упрощёнными. Такие схемы не могут отражать в полной мере действительную реакцию сооружений на действующие возмущения. Во множестве практических случаев дискретные и континуальные типы структур одновременно сочетаются и взаимодействуют, и это отражается не только на спектрах собственных частот и форм колебаний, но и на отклике системы на возмущения различного происхождения. Если при детерминированных возмущениях континуальные участки можно иногда заменять эквивалентными дискретными массами, то при случайных возмущениях, имеющих спектральную плотность в широком диапазоне частот, такой приём может привести к большим неточностям.

Стержни (в частности, балки) являются одним из основных элементов почти всех строительных сооружений, технических устройств, а также деталью различного рода оборудования. В плоских и пространственных каркасах зданий это панели, ригели, колонны и подкрановые балки. В виде отдельных объектов модели стержней применяют в расчётах водонапорных башен, столбов линий электропередачи, антенн, дымоходных труб, простых мостов, рельсов железных дорог, газопроводных или водопроводных труб и т.д.

Задачи работы;

Разработать модели новых задач о свободных, вынужденных гармонических и вынужденных случайных колебаниях для однородных и континуально-дискретных балок.

Для вынужденных детерминистических колебаний рассмотреть три возможных варианта установившихся режимов:

- непериодические негармонические колебания;

- периодические негармонические колебания;

- гармонические колебания.

При вероятностной постановке задач, когда возмущения представлены как стационарные случайные векторные процессы, выявить влияние характерной частоты и степени коррелированности компонентов на выходные характеристики колебательной системы.

У Определить среднеквадратические отклонения внутренних сил в сечениях, используя их известные зависимости от функции перемещений.

1 В данной работе однородными названы балки постоянного сечения по длине из однородного материала, с распределённой массой.

Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.

Автор защищает:

Методику нахождения спектров собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм свободных изгибных колебаний однородных и континуально-дискретных балок при наличии продольных сил и сил сопротивления.

Методику определения функций перемещений и внутренних сил в сечениях балки, когда компоненты вектора возмущений являются гармоническими с разными частотами и начальными фазами.

Научная новизна работы заключается в следующем:

У Вынужденные детерминистические колебания однородной балки рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер гармонических возмущений при их разных частотах и начальных фазах.

У Предложена новая модель колебаний однородной балки при одновременном учёте продольной силы и сил внутреннего трения. Найдены спектры собственных частот и форм, коэффициент затухания свободных колебаний. Предложены методики определения параметров вынужденных гармонических и случайных колебаний.

Для всех типов рассмотренных балок при вынужденных колебаниях определены внутренние силы: при гармонических возмущениях -детерминистические функции, при случайных колебаниях - спектральные плотности и дисперсии.

Достоверность результатов для детерминистических моделей задач подтверждается тестовыми расчётами, проведёнными на классических примерах, которые с достаточной степенью точности совпали с известными результатами. Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном подборе типов и параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам.

Практическая направленность. Предложенная методика расчёта континуальных и континуально-дискретных балок при детерминистических и стохастических векторных возмущениях представляет не только теоретический интерес, но и может найти широкое применение в расчётах реальных строительных и технических сооружений. Такие возможности продемонстрированы на примерах приведённых по каждому разделу диссертации (стальные континуальные балки, континуально-дискретная стойка и континуально-дискретная стальная балка). Получен акт внедрения результатов исследований при проектировании главной балки рабочей площадки производственного корпуса стекольного завода «ЗЭТ» в г. Нарткала Кабардино-Балкарской Республики.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на научно-исследовательском семинаре по механике в Кабардино-Балкарском госуниверситете г. Нальчик, 2002 г.; на III Международной научно-технической конференции, 27-29 марта 2003 г., «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», ВолгГАСА, г. Волгоград, 2003 г.; на Тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2003 г., Самарский государственный технический университет, г. Самара, 2003 г.; на Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива - 2003», г. Нальчик, 2003 г.; на научной конференции молодых учёных КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, г. Нальчик, 2003 г.; на Всероссийской научно-технической конференции, 25-27 сентября, «Наука, техника и технологии нового века», КБГУ, г. Нальчик, 2003 г.; на Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива-2004», г. Нальчик, 2004 г.; на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 26-28 мая 2004 г., Самарский государственный технический университет, г. Самара, 2004 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 публикациях [50, 51,73-77, 95-100].

Объём работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы и приложения, содержит 130 страниц.

Заключение диссертация на тему "Колебания однородных и континуально-дискретных балок при векторных гармонических и случайных возмущениях"

VI. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

4. Найдены функции перемещений в установившемся режиме колебаний, вызванных комбинированными динамическими и кинематическими гармоническими возмущениями с разными частотами и фазами. Выделены три возможных случая колебаний балок: непериодические и негармонические; периодические, но негармонические; гармонические. Для третьего случая определены формы распределения амплитуд вдоль оси балки. Получены формулы для определения внутренних сил в сечениях для перечисленных режимов колебаний.

5. В стохастических системах, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, найдены формулы, позволяющие одновременно сочетать различные типы случайных процессов и учитывающие степень взаимной коррелированности между компонентами. В рамках корреляционной теории по заданным спектральным матрицам входных процессов найдены спектральные плотности и среднеквадратические отклонения скалярного пространственно-временного поля перемещений. Раскрыты связи и аналогии между детерминистическими и случайными колебаниями, позволяющие правильно интерпретировать полученные результаты.

6. На примерах показана возможность искусственного приближения стохастических задач к детерминистическим за счет специального подбора значений параметров возмущений (характерной частоты, параметра широкополосности, корреляционной матрицы) с целью проверки достоверности полученных результатов.

7. Численные расчёты реализованы с помощью математической информационно-вычислительной системы программирования высокого уровня MatLab. На её базе создан комплекс программ расчёта по предложенным алгоритмам, позволяющий осуществлять решение детерминистических и стохастических задач о колебаниях упругих однородных и континуально-дискретных балок.

8. Показана применимость предложенной теории, алгоритмов и методик решений к реальным практическим задачам на ряде конкретных конструкций и сооружений, в одном случае подтверждённая актом внедрения.

Библиография Казиев, Аслан Мугазович, диссертация по теме Строительная механика

1. Абрамян А.К., Андреев B.J1., Жилин П.А., Индейцев Д.А. Условия возникновения и влияния ловушечных мод на вибрацию механических систем // Лаврентьев, чтения по мат., мех. и физ. Тез. докл. 4 Междунар. конф. — Новосибирск, 1995. - 82 с.

2. Акуленко Л.Д. Высокочастотные собственные колебания механических систем // Прикл. мат. и мех. М., 2000. 64. - № 5. - С. 817-832.

3. Акуленко Л.Д., Костин Г.В., Нестеров С.В. Численно-аналитический метод исследования свободных колебаний неоднородных стержней // Мех. тверд, тела.-Изв. АН. 1995.-№5.-С. 180-191.

4. Андреев Л.Н., Кукушкина Е.П., Плотников Г.В. Влияние осевых сил на собственные частоты колебаний стержневых систем // Тр. СПбГТУ. 1998. — №478.-С. 41-48.

5. Ахатов И.Ш., Ахтямов A.M. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикл. мат. и мех. М., 2001.65. №2.-С. 290-298.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. - 560 с.

7. Барштейн М.Ф. Воздействие ветра на высокие сооружения // Строит, мех. и расчет coop. 1959. - № 3.

8. Белоцерковский П.М. Установившиеся и неустановившиеся колебания периодических структур: Автореф. дис. д-ра. техн. наук. М.: Моск. гос. ун-т путей сообщ. 2001. 45 с.

9. Божко А.Е., Штейнвольф A.JI. Статистическая линеаризация кусочно-линейных характеристик механических систем при несимметричных законах распределения колебаний // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1985. Т. 21. вып. 11.-С. 97-104.

10. Болотин В.В. Метод моментных функций в статистической динамике нелинейных систем // Труды МЭИ. 1975. - Вып.227. - С. 7-15.

11. Болотин В.В. О применении метода моментных функций в статистической динамике нелинейных систем // Расчеты на прочность. 1978. -Вып. 19.-С. 215-227.

12. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, - 1956. - 600 с.

13. Болотин В.В. Метод моментов в теории случайных колебаний механических систем // Аннотации докладов IV Всесоюз. съезд по теор. и прикл. мех 21-28 мая. Киев, 1976. - С.25-27.

14. Болотин В.В. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем // Под ред. В.В. Болотина М.: Машиностроение, 1978. -352 с.

15. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. - 351 с.

16. Болотин В.В. Обзор исследований по статистической динамике упругих систем // Расчеты на прочность. М.: Машгиз. - 1964. - № 10.

17. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. -335 с.

18. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике — М.: Стройиздат, 1965. 279 с.

19. Болотин В.В., Голъденблат И.М., Смирнов А.Ф. Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд. 2-е. М.: Стройиздат 1972.- 191 с.

20. Болотин В.В., Голъденблат И.И.,Смирнов А.Ф. Современные проблемы строительной механики. -М.: Стройиздат, 1964. 131 с.

21. Буда-Красновский С.В. Разработка методов расчета стержневых элементов приборов и конструкций при кинематическом возбуждении: Автореф. дис. канд. техн. наук. Моск. гос. техн. ун-т. М., 1999. — 16 с.

22. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. -319 с.

23. Вентцель Е.С. Овчаров JI.A. Теория вероятностей и её инженерные приложения. — М.: Высш. шк., 2000. 480 с.

24. Вентцель Е.С. Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. - 383 с.

25. Веричев С.Н., Метрикин А.В. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. - Т. 41, № 6. — С. 170-177.

26. ЪХ.Весницкий A.M., Крысов С.В. Возбуждение колебаний в движущихся элементах конструкций // Машиноведение. — 1983. — № 1. —С. 16-17.

27. Винник В.Н., Винник Т.В. О применении метода характеристик для исследования колебаний ступенчатых стержней // Динам., прочн. и точность мех. систем. — Львов: Гос. Львов политехи ун-т. —1997. — С. 46-52.

28. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967— 984 с.

29. Ъ А. Вольмир А.С., Культербаев Х.П. Исследование нелинейных колебаний цилиндрических панелей под действием ветра // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1974. Т. X, вып. 3. - С. 36-41.

30. Вольмир А.С., Культербаев Х.П. О действии ветровой нагрузки нацилиндрическую панель // Стр. мех. и расчет сооружений. 1973. - № 6. - С. 50-53.

31. Волъмир А.С., Кулътербаев Х.П. Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек // ПММ. 1974. - Т.38, вып.5. - С. 893-898.

32. Воробьев С.А. Истинные и ложные резонансные режимы колебаний трехслойного стержня // Матер., технол., инструм. 2002. — Т. 7, № 2. — С. 1418.

33. ЪЪ.Гаспарян А.Е., Хачатрян А.А. Некоторые задачи о продольных колебаниях стержней переменного поперечного сечения // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1999. -Т.52, № 3. - С. 9-16.

34. Генералов А.Г., Краснобаев И.А. Определение параметров стержня по собственным частотам его продольных колебаний // Изв. Ростов, гос. строит, ун-та. 1999.-№4.-С. 51-56.

35. Гихман М.М., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. -М.: Наука, 1977.-567 с.

36. Гончаренко В.М. Метод возмущения в динамических стохастических краевых задачах // Рук. деп. в УкрНИИНТИ 02.01.86г. № 106. - Киев: Ук., Киев, ун-т., 1986.-8 с.

37. Гончаренко В.М. О случайных колебаниях упругих тел и теория марковских процессов // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1991. - Т.27, вып. 8.-С. 95-100.

38. Гончаренко В.М., Маловичко В.А. О краевых задачах для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и Понтрягина в теории случайных колебаний // Изв. АН УССР. Прикладн. механика. 1983. - Т.19, вып. 7. - С. 107-111.

39. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых тел переменной длины. Киев: Наукова думка, 1971. - 224 с.

40. Гусев А. С., Светлицкий В. А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. - 240 с.

41. Гусейнов Н.Г., Мамедов С.А. Влияние учета инерции поперечного и продольного движения на колебания вязкоупругого стержня. Баку: Азерб. техн. ун-т. 1995. - 5 с.

42. Данилин А.Н., Тютюшшков Н.П., Шалашилин В.И. Расчет собственных колебаний упругих конструкций с варьируемыми параметрами // Вестн. Моск. Авиац. ин-та. 1999. - Т.6, № 1. - С. 67-71.

43. Джанкулаев А.Я. Кинематически возбуждаемые продольные колебания стержней с сосредоточенными массами: Материалы III Межд. науч. техн. конф., 2003. 27-29 мар. Волг. гос. арх.-стр. акад. — Волгоград: ВолгГАСА, 2003. -4.1.-С. 161-164.

44. Джанкулаев А.Я., Казиев A.M. Вынужденные колебания стержней при комбинированных возмущениях // Избранные труды научного семинара «Механика». Вып. 1- Нальчик: Каб.-Балк. гос. сель, акад., 2002. С. 195-199.

45. Джанкулаев А.Я., Казиев A.M. Свободные колебания континуально-дискретной механической системы: Материалы Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива -2003».-Нальчик, 2003.-С. 13-17.

46. Дементьева О.В., Сидоров В.А., Сидоров В.В. Построение собственных форм колебаний стержней с локальным дефектом вариационными методами. Воронеж: Воронеж, гос. лесотехн. акад., 2001. - 11 с.

47. ЪА.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Наука, 1967.-368 с.

48. Диментберг М.Ф. Амплитудно-частотные характеристики системы со случайно изменяющимися параметрами // Инжен. жур. МТТ. 1966. -№ 6.

49. Диментберг М.Ф. Метод моментов в задачах динамики систем со случайно изменяющимися параметрами // ПММ. 1982. - Т. 46, вып. 2. - С. 218-224.

50. Диментберг М.Ф. Резонансные свойства системы с одной степенью свободы со случайно изменяющейся собственной частотой // Инжен. жур. МТТ. 1966.-№ 1.

51. ЬЪ. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. -М.: Наука, 1989. 175 с.

52. Диментберг А.Ф. Вынужденные колебания панелей при случайных нагрузках // Теория пластин и оболочек. Труды II Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Львов, 1961. Киев; Изд. АН УССР, 1962. -С. 270-273.

53. Диментберг М.Ф., Горбунов А.А. Некоторые задачи диагностики колебательной системы со случайным параметрическим возбуждением // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1975. - T.XI, вып.4. - С. 71-75.

54. Диментберг М.Ф., Исиков Н.Е. Колебания систем с периодически изменяющимися параметрами при случайных воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 4. - С. 79-86.

55. Диментберг М.Ф., Исиков Н.Е. Комбинационные резонансы в системах с периодическим параметром и случайным внешним возбуждением // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. - № 1. - С. 24-29.

56. Диментберг М.Ф., Фролов К.В. Колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической силы и изменении собственной частоты по случайному закону // Машиноведение. 1966. - №4.

57. Дукарт А.В. Об эффективности ударного виброгашения при изгибных колебаниях прямолинейных стержней // Изв. вузов. Строительство. 2000. №7.-С. 25-33.

58. Екимов В.В. Вероятностные методы в строительной механике корабля. -JL: Судостроение, 1966. -328 с.

59. Еременко A.JI., Щербаков А.Н. Стационарные случайные колебания в обобщенной системе Дуффинга // Труды МЭИ, 1976. Вып. 280. - С. 115-119.

60. Исаханов Г.В., Мельник-Мельников П.Г., Кацапчук А.Н. Исследование нестационарных случайных колебаний цилиндрической панели в геометрически нелинейной постановке // Сопр. Мат. и теория сооруж., 1990. -№57.-С. 104-108.

61. Индейцев Д.А., Сергеев АД. Локализованные колебания бесконечной упруго инерционной линии с дискретно-континульными включениями: Тез. докл.:4-й Межд. конф. Проб. проч. матер, и coop, на транспорте. — М.: Моск. гос. ун-т путей сообщ., 1999. С. 124.

62. Казаков М.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. — М.: Наука, 1983. 384 с.

63. Казиев A.M., Джанкулаев А.Я. Случайные колебания балок: Сб. науч. тр. молод, уч. // Нальчик: Каб.-Балк. гос. ун-т, 2003. С. 219-224.

64. Казиев A.M., Свободные колебания продольно нагруженной балки при наличии трения // Вестник КБГУ. Серия технические науки. Нальчик: Каб.-Балк.гос.ун-т, 2003. - Вып 5. - С. 103 - 105.

65. Казиев A.M., Об аналогиях между гармоническими и случайными колебаниями балок // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Перспектива — 2002». — Нальчик: Каб.-Балк. гос. ун-т, 2002. Т. II. - С. 24-27.

66. Казиев A.M., О влиянии характерной частоты и широкополосности случайной нагрузки на колебания балок // Вопросы повышения эффективности строительства. Межвузовский сборник. — Нальчик: КБГСХА, 2004.-Вып. 2.-С. 79-83.

67. Казиев A.M., Свободные колебания растянутой балки с сосредоточенными массами // Материалы всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных. «Перспектива-2004».- Нальчик, 2004. Т. III. - С. 251-255.

68. Калбергенов Г.Е. Изгибные колебания балок с сосредоточенными массами // Анал., числ. и эксперим. методы в мех. М.: МГУ. 1995. - С. 7076.

69. Каравашкин С.Б. Точное аналитическое решение задачи о колебаниях конечной одномерной упругой линии с сосредоточенными массами // Матер., технол., инструм. 1999. -Т.4, № 4. - С. 5-13.

70. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ. 1960. - Т. 24. - Вып.5.

71. Киселев В.А. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.

72. Коловский М.З., Осорин В.И., Первозванский А.А. Вероятностные методы в теории колебаний: Тр. II Всес. съезда по теор. и прикл. механике. — М.: Наука, 1966.-С. 20-29.

73. Комар Н.М. Исследование случайных колебаний механических систем методом моделирования: Дисс. . к.т.н. Моск. энерг. ин-т. — 1971. 219 с.

74. Кренделл С.Г., Кульвец А.П. Случайные колебания одномерных систем с распределенными параметрами // Вибротехника. Вильнюс, 1981. — № 3/33. -С. 51-63.

75. Кузьма В.М. Исследование методом усреднения динамической устойчивости колебательной системы со случайно изменяющимися параметрами // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1964. - Т. X, вып. 3.

76. Кузьма В.М. Динамическая неустойчивость случайных колебаний стержня // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1966. — Т. X, вып. 6.

77. Культербаев Х.П. О колебаниях струны, вызванных случайными колебаниями ее конца // Изв. АН УССР. Прикл. мех., 1992. Т. 28, № 10. -С.57-61.

78. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые изгибные колебания стержней // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 1993.-№ 3-С. 83-84.

79. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок // Инж.- тех. науки. Материалы науч.-прак. конф. 1994- Нальчик: Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1995. -Ч. 3. С. 23-27.

80. Культербаев Х.П. Об аналогиях между детерминистическими и случайными колебаниями струны с колеблющимся концом // Известия СКНЦВШ. Естественные науки. 1992. - № 4. - С. 21-26.

81. Культербаев Х.П. Стохастическая краевая задача о колебаниях струны, возбуждаемых векторным случайным процессом // Сб. научных трудов. Инст. математики АН Украины. Киев, 1994. - С. 118-120.

82. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания распределённых систем // Математическое моделирование и краевые задачи/ Труды Десятой межвузовской конференции. 29-31 мая 2000. Самара: Самарский гос. техн. ун-т. 2000. - Ч. 2. - С. 57-61.

83. Кулътербаев Х.П., Казиев A.M., Кинематически возбуждаемые совместные колебания балок с дискретными массами // Известия высших учеб. завед. Сев.-Кав. регион. Технические науки. 2004, № 4. - С. 57-63.

84. Кулътербаев Х.П., Казиев A.M., О случайных колебаниях растянутых балок // Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: Сам. гос. тех. ун-т. 2003. - С. 100-103.

85. Кулътербаев Х.П., Казиев A.M., О гармонических колебаниях балок, возбуждаемых векторными возмущениями // Лёгкие строительные конструкции. Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2003. - С. 146-154.

86. Кулътербаев Х.П., Казиев A.M., Свободные колебания балки с сосредоточенными массами // Материалы всероссийской научно-технической конференции. (НТТ — 2003). Нальчик: Каб.-Балк. гос. ун-т., 2003. - С. 15-21.

87. Кулътербаев Х.П., Казиев A.M., Кинематически возбуждаемые колебания балки с сосредоточенными массами // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. Самара: Сам. гос. тех. ун-т., 2004. - С.133-135.

88. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.-200 с.

89. Лаврович Н.И. Использование собственных частот колебаний стержней для контроля физико-механических свойств материала. Омск: Омск. гос. техн. ун-т., 2000. - 10 с.

90. Лапин АД. Низкочастотные резонансные колебания зданий под действием упругих волн, возникающих при землетрясениях // Пробл. геоакустики: методы и средства. Сб. тр. 5 сес. Рос. акуст. о-ва. М., 1996. - С. 66-69.

91. Лисенкова Е.Е., Милосердова И.В. Согласование стержней по изгибным колебаниям // Физические технологии в машиноведении. Сб. науч. тр. -Н. Новгород: Нижн. гос. техн. ун-т., 1998. С. 124-127.

92. Магеррамов А.Г., Мамедов С.А. Влияние поперечного давления на колебание вязкоупругого стержня. Баку: Азерб. техн. ун-т., 1997. - 11 с.

93. Макаров Б.П. Применение статистического метода для анализа экспериментальных данных по устойчивости оболочек // Изв. АН СССР ОТН. Мех. и маш. 1962. - № 2.

94. Макеев В.П., Гриненко Н.И., Павлюк Ю.С. Статистические задачи динамики упругих конструкций. М.: Наука, 1984. — 231 с.

95. Моисеенко Г. С., Рожков Ю. С. Об идентификации параметров изгибно-крутильных колебаний свободного стержня // Математика, механика, астрономия. С.-Петербург: С.-Пет. гос. ун-т., 1996. — 7 с.

96. Москвин В.Г. Устойчивость твердого тела, упруго закрепленного в одной точке, при случайном кинематическом возбуждении // Труды МЭИ, 1973, вып. 164.-С. 118-123.

97. Москвин В.Г., Смирнов А.И. К устойчивости линейных стохастических систем // Изв. АН СССР. МТТ, 1975. № 4. с. 62-65.

98. Мукук JI.K. Решение задач об изгибных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением // Сейсмические воздействия на здания и сооружения. — Ташкент, 1981.-С. 172-176.

99. Наумова Н.В. Вычисление частот колебаний стержней с разными граничными условиями // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1998. - № 1. -С. 78-81.

100. Нгуен Донг Ань. Об исследовании случайных колебаний в неавтономных механических системах при помощи уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова // Прикладная математика и механика 1985. - Т. 49, № 3. - С. 506-512.

101. Неверова Т.С. К вопросу определения вероятностных характеристик надежности струны при вибрациях // Управление, надежность и навигация. Тем. сб. Мордов. гос. у-та. 1973. -№ 104, вып.2. - С. 113-117.

102. Николаенко Н.А. Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. - 368 с.

103. Петреня Е.Н., Четкий А.П. Вынужденные колебания балки при кинематическом возбуждении опор с разными фазами // Расчет прочности, устойчивости и колебаний элементов инженерных сооружений. Воронеж, 1981.-С. 25-36.

104. Попов В.Ф. Поперечные колебания растягиваемых тел // Прикл. мех. Изв. АН УССР. 1987.-Т. 23, № 1. С.114-118.

105. Прочность, устойчивость, колебания. / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко М.: Машиностроение, 1968. - Т. 3 - 568 с.

106. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления.-М.: Физматгиз, 1962.— 883 с.

107. Пшеничкин А.П. Вероятностный расчёт системы «здание-основание» в особых грунтовых условиях // Современные проблемы фундаментостроения. Сб. науч.трудов. Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - С. 48-53.

108. Пшеничкин А.П. Консолидация и ползучесть организованно увлажняемых лёссовых оснований // Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы III Межд. науч.-техн. конф. Волгоград: ВолгГАСА, 2003. - Ч. 1. - С. 4.

109. Пшеничкин А.П. Нелепое А.Р. Безопасность и долговечность растянутого железобетонного элемента // Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы III Межд. науч.-техн. конф. Волгоград: ВолгГАСА, 2003. - Ч. 1. - С. 18.

110. Пшеничкина В.А. Вероятностный расчет зданий повышенной этажности на динамические воздействия. Волгоград: ВолгГАСА, 1996. — 117 с.

111. Пшеничкина В.А. Методика расчёта зданий и сооружений на надёжность // Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы III Межд. науч.-техн. конф Волгоград: ВолгГАСА, 2003.-Ч. 1.-С. 26.

112. Ржаницын А.Р. Статистическая устойчивость сжатого стержня // Проблемы надежности в строительной механике. — Вильнюс, 1968. — С. 192198.

113. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. — М.: Стройиздат, 1978. 239 с.

114. Светлщкий В.А., Скуев М.В. Нестационарные, колебания стержня со сосредоточенной массой при случайном импульсном нагружении потоком воздуха // Вестн. МГТУ. Сер. Машиностр., 1998. - № 1. - С. 3-17.

115. Светлицкий В.А. Механика стержней. М.: Высшая школа, 1987. -4.1.-360 с.;Ч. 2.-304 с.

116. Светлицкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001.-431 с.

117. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. — М.: Машиностроение, 1976.-216 с.

118. Светлицкий В.А. Стационарные колебания криволинейных трубопроводов при локальном кинематическом возбуждении // Мех. тверд, тела. Изв. РАН., 2001.-№ 1.-С. 181- 188.

119. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -М.: Наука, 1968.-463 с.

120. Сеницкий Ю.Э., Козьма И.Е. Динамика продольно нагруженного стержня с учетом сил вязкого сопротивления // Строительство. Изв. вузов., -2000.-№7.-С. 20-25,

121. Случайные колебания // Под ред. Кренделл С.: Пер. с англ. М.: Мир,1967.-356 с.

122. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Стержневые системы. -М.: Стройиздат,1981. 525 с.

123. Спицына Д.Н. Строительная механика стержневых машиностроительных конструкций. М., 1977. - 248 с.

124. Стрэтт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1940. — Т. 1. — 499 с.

125. Тимашев С.А. Надежность больших механических систем. — М.: Наука, 1982.-184 с.

126. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. — 444 с.

127. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.-735 с.

128. Тихонов А.Н., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.-488 с.

129. Федоров П.Б. Математическое моделирование гармонических колебаний стержня переменного сечения с учетом внутреннего неупругого сопротивления // Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1995. 10 с.

130. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. — Изд. 2. М.: Машиностроение, 1970. - 736 с.

131. Хасъминский Р.З. Об устойчивости по первому приближению для стохастических систем. ПММ. - Т. 31. - Вып. 6.

132. Хасъминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. - 368 с.

133. Andrews Kevin Т., Kuttler К. L., Shillor М. Second order evolution equations with dynamic boundary conditions // J. Math. Anal, and Appl., 1996. 197.-№3.-P. 781-795.

134. Batan H., Gurgoze M. On the effect of an arbitrarily located mass on the longitudinal vibrations of a bar // J. Sound and Vibr., 1996. 194. № 5. - P. 751756.

135. Bonsani I., Монако R.,Zavattaro M.G. A stochastic model in contin mechanics:time evalutlon of the probability density in the random initial boundary-value problem // Math, and comput. Modell., 1988. 10. № 3. - P. 207-216.

136. Cabanska-Placzkiewicz K. Free vibration of the system of two Timoshenko beams coupled by a viscoelastic interlayer // Eng. Trans., 1999. 47. № 1. — P. 2137.

137. Cabanski Jerzy. Drgania belki ciaglo-dyskretnej // Zesz. nauk. Mech. Akad. techn.-rol. Bydgoszczy. 1995, -№ 37. P. 13-18.

138. Chai G.B., Low K.H., Lim T.M. Tension effects on the natural frequencies of centre-loaded clamped beams // J. Sound and Vibr., 199.5. 181, № 4. - P. 727736.

139. Chang Daqing, Popplewell Neil. A non-uniform, axially loaded Euler-Bernoulli beam having complex ends Quart // J. Mech. and Appl. Math., 1996. 49. -№3,-P. 353-371.

140. Cheng S.P., Perkins N.C. Theoretical and experimental analysis of the forced response of sagged cable/mass suspensions // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1994. 61.-№4.-P. 944-948.

141. Cheng S.P., Perkins N.C. The vibration and stability of a friction-guided, translating string // J.Sound and Vibr., 1991. 144. № 2. - P. 281-292.

142. Crandall S.H., Zhu W.Q. Random vibration. A survey of recent developments // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1983. 50. № 4b. - P. 953-962.

143. Dao Nguyen Van, Anh Nguen Dong. Some problems of random vibrations and its applications: "Random Vibr. and Rellab. ProC. IUTAM Symp., Frankfurt, Oder, Oct. 31.-Nov.6. 1982.Berlin, 1983.-P. 339 345.

144. De Rosa M.A., Belles P.M., Maurizi M. J. Free vibrations of stepped beams with intermediate elastic supports // J. Sound and Vibr., 1995. 181. №5, - P. 905910.

145. Drozdov A.D. Almost sure stability of viscoelastic structural members driven by random loads // J. Sound and Vibr., 1996. 197. №3, - P. 293-307.

146. Elshamy Maged. Stochastic models of damped vibrations // J. Appl.

147. Probab, 1996. 33.-№4,-P. 1159-1168.

148. Enneking T.J., Spencer B.F.(Jr), Klimmark J.P.E. Stationary two state variable problems In stochastic mechanics // J. Eng. Mech., 1990. 116. - № 2. - P. 343-358.

149. Esmailzadeh E., Nakhaie-Jazar G. Periodic behavior of a cantilever beam with end mass subjected to harmonic base excitation // Int. J. Non-Linear Mech., 1998. 33.-№4.-P. 567-577.

150. Foale S., Bishop S.R. Transient response of a constrained beam subjected to narrow-band random excitation // J. Sound and Vibr., 1995. 185. № 4, - P. 723-733.

151. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions // J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. № 2. - P. 259-270.

152. Gu Yongxiao. Transverse vibration of a threadllne travelling at constant-speed // J. China Text. Univ., 1989. 15. № 3. - P.67-72.

153. Gurgoze M. On the eigenfrequencies of a cantilever beam with attached tip mass and a spring-mass system // J. Sound and Vibr., 1996. 190. № 2. - P. 149162.

154. Gurgoze M. On the eigenfrequencies of cantilevered beams carrying a tip mass and spring-mass in-span // Int. J. Mech. Sci., 1996. 38. № 12. - P. 12951306.

155. Gutierrez R.H., Laura P.A. Transverse vibrations of beams traversed by point masses: A general, approximate solution // J. Sound and Vibr., 1996. 195. -№2.-P. 353-358.

156. Huang Ling, Zhu Jimei. Identification of elastic support stiffness of a stepped beam with attached concentrated masses by BEM // Chin. J. Appl. Mech., 1995. 12. -№ 1,-P. 109-112.

157. Kecs W.W., Toma A. Cauchy's problem for the generalized equation of the longitudinal vibrations of elastic rods // Eur. J.Mech. A., 1995. 14. № 5. - P. 827835.

158. Keltie R.F., Cheng C.C. Vibration reduction of a mass-loaded beam // J. Sound and Vibr, 1995. 187. -№ 2, P. 213-228.

159. Kozin F. A. survey of stochastic systems // Automatica., 1969. Vol. 5. -№.1.

160. Lee H.P. Dynamic stability of a beam on multiple supports subject to pulsating conservative axial loads // Eng. Comput., 1995. 12. № 4, - P. 385-393.

161. Liu X.Q., Ertekin R.C., Riggs H.R. Vibration of a free-free beam under tensile axial loads // J. Sound and Vibr., 1996. 190. -№ 2, P. 273-282.

162. Marinca Vasile. Free vibrations of a restrained uniform beam carrying concentrated masses // Semin. mec. Univ. Timisoara., 1994. № 39, - P. 1-27.

163. Nakano Nobuhide, Shintani Atsuhiko, Ohsumi Akira. Идентификация неизвестных физических параметров консольной балки с использованием показателей ее колебаний // Trans. Jap. SoC. Mech. Eng. С., 2000. 66. № 643. -P. 48-56.

164. Newland D.E. A Introduction to random vibrations and spectral analysis. — London: Longman. 1975. 285 p.

165. Nohmi Masahiro. Transient response around a resonance point of a string with a lumped mass at its Lower End // Trans. Jap. SoC. Mech. Eng. C., 1997. 63. -№ 610.-P. 1835-1841.

166. Novak M. Random vibration of structures: 4th. Int. Gonf. Appl. Statist, and Probab. Soil and Struct. Eng-IGASP4, Fl-renze, 1983.- 13-17 June, Proc. Vol.1. Bologna., 1983.-P. 539-550.

167. Peng Ru-hai, PengJie, LiuJie. Huadong chuanbo gongye xueyuan xuebao. Ziran kexue ban // J. E. China Shipbuild. Inst. Natur. Sci. Ed., 2001. 15. -№ 1, p. 87-91.

168. Ratcliffe Colin P. A frequency and curvature based experimental method for locating damage in structures // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust., 2000. 122. -№3.- P. 324-329.

169. Ravi S.S A., Kundra Т.К., Nakra B.C. A response re-analysis of damped beams using eigenparameter perturbation // J. Sound and Vibr., 1995. 179. №3.1. P. 399-412.

170. Rossit С.A., Bambill D.V., Laura P.A. Longitudinal vibrations of a prismatic bar suddenly subjected to a tensile load at one end when the other is elastically restrained//J.Sound and Vibr., 1995. 188.-№ l.-P. 145-148.

171. Sarkar P.K. Approximate determination of the fundamental frequency of a cantilevered beam with point masses and restraining springs // J. Sound and Vibr., 1996. 195. № 2. - P. 229-240.

172. Scheidt Jurgen. Random vibrations of supporting elements // 11 Int. Kongr. Anwend. Math. Ingenleurwlss.:Beltr. Math, und Inf. Wiss.-techn. Fortschr. Bauw. Weimar, 1987. 28 Jun - 3 Jull. Ber. Heft. 4. - Weimar, 1987. - P. 80-83.

173. Simion F.P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions // Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest., 1998.60. № 1. -P. 55-59.

174. Stochastic problems In dynamics. Ed. Clarkson W.L. London, e.a. Pitman, 1977.-566 p.

175. Stroe I., Radcenco Lumini ta. Sur les vibrations de courbement des systemes formes de barres droites et de masses concentrees // Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest., 1993. 55, -№ 3. P. 62-69.

176. Sun J.-Q., Hsu C.S. Random vibration of hinged elastic shallow arch I I J. Sound and Vibr., 1989. 132.-№ 2.-P. 299-315.

177. Vanmarcke E.H. Some recent developments In random vibration // Appl. Mech. Rev., 1979. 32.-№ 10.-P. 1197-1202.

178. Tomski Lech, Przybylski Jacek, Golebiowska-Rozanow Maria, Szmidla Janusz. Vibrations and stability of columns subjected to a certain type of generalised load // J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 1999. 37. № 2. - P. 283

179. Wang Yi-Ming. The transient dynamics of a cable-mass system due to the motion of an attached accelerating mass // Int. J. Solids and Struct., 2000. 37. -№9.-P. 1361-1383.

180. Xu Xiaoge. Research in classical problem of vibrations of string with n beads // J. Zhengzhou Univ. Natur. Sci. Ed., 1997. 29. № 2. - P. 28-30.

181. На основании научных исследований, выполненных Казиевым А.М:

182. Подобраны главные балки площадки в виде двутавров № 45 по ГОСТ26020-83.

183. Подтверждена прочность главных балок площадки при сочетании статических нагрузок от распределённых и сосредоточенных масс и динамической сейсмической нагрузки.

184. В настоящее время, работы по возведению площадки завершены, ведётся ' монтаж технологического оборудования. ' :

185. Главный инженер^р^^' (^У^ казанов В.М.инженер Куашев А.Х.

Похожие работы

Строительство
05.23.00