автореферат диссертации по строительству, 05.23.02, диссертация на тему:Методика расчета нестационарных колебаний рамных фундаментов турбоагрегатов методом конечных элементов по времени

На правах рукописи

РЕДИН Дмитрий Геннадьевич

МЕТОДИКА РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОЛЕБАНИЙ РАМНЫХ ФУНДАМЕНТОВ ТУРБОАГРЕГАТОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ВРЕМЕНИ

Специальность: 05.23.02 - «Основания и фундаменты,

подземные сооружения»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санет-Петербург 2010

1 О ИЮН 2010

004604021

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Лалин Владимир Владимирович, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Белаш Татьяна Александровна, Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения

кандидат технических наук, доцент Цейтлин Борис Вениаминович, Открытое Акционерное Общество «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева»

Ведущая организация:

Научно-исследовательский, проектно-изыскательский и конструкторско-технологический институт оснований и подземных сооружений (НИИОСП) им. Н.М. Герсеванова

Защита состоится // июня 2010 г. в часов

на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 512.001.01 в ОАО «ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева» (195220, Сашсг - Петербург, ул. Гжатская, 21)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОАО «ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева»

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, старший научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Фундамент турбоагрегата (ФТА) -строительная конструкция, обеспечивающая стабильность положения турбоагрегата и низкий уровень вибрации. Наиболее распространены в настоящее время рамные фундаменты, представляющие собой опорную платформу, опирающуюся на систему пружинной виброизоляции или на гибкие стойки, заделанные в массивную нижнюю плиту. Воспринимаемые фундаментом динамические нагрузки могут носить установившийся или нестационарный временной характер. К последним относятся нагрузки, возникающие при авариях на турбине, генераторе или при сейсмических воздействиях. Традиционно при расчетах фундаментов эти нагрузки преобразуются в эквивалентные квазистатические силы с использованием больших значений коэффициентов запаса. Однако, такой подход не решает следующих вопросов: определите инерционных нагрузок на расположенные на фундаменте оборудование и аппаратуру, определение максимальных динамических перемещений для проверки сохранения требуемых зазоров между фундаментом и примыкающими строительными конструкциями и для обеспечения нормальной работы системы виброизоляции. Кроме того, использование квазистатических сил в прочностных расчетах приводит к неоправданному увеличению габаритов фундамента и перерасходу материалов.

Основные существующие методы решения нестационарных динамических задач имеют ограничения по используемым вычислительным ресурсам, характеру демпфирования поэтому создание универсального эффективного метода решения нестационарных динамических задач является актуальным.

Целыо диссертации являлась разработка численной методики расчетного анализа нестационарных колебаний рамных фундаментов турбоагрегатов, необходимого для рационального выбора конструкции и обеспечения надежности фундаментов при аварийных режимах короткого замыкания на генераторе и вылета лопаток турбины.

Основные задачи исследований

1. Обоснование возможности применения предлагаемой математической постановки для динамических задач о нестационарных колебаниях рамных ФТА и их элементов.

2. Разработка методики численного анализа нестационарных колебаний рамных фундаментов, а также создание аппарата ее технической реализации.

3. Исследование параметров переходных процессов на основе применения разработанного численного метода.

4. Выполнение расчетных исследований по прогнозированию динамических характеристик рамных ФТА с помощью созданной методики.

Научная новизна

1. Для рамных фундаментов разработан численный алгоритм расчета нестационарных колебаний при аварийных режимах работы турбоагрегата, основанный на использовании пространственно-временных конечных элементов. Построены обобщенные «матрицы жесткости» конечных элементов для продольных, крутильных и поперечных колебаний стержневых элементов фундамента с возможным учетом деформаций сдвига и инерции вращения поперечных сечений.

2. Комплекс разработанных программ дает возможность определять изменение во времени виброперемещений, виброскоростей и внутренних усилий в системе фундамент-основание в рабочем, а также в аварийных режимах короткого замыкания и вылета лопаток.

3. Для характеристики интенсивности переходных процессов введено понятие коэффициента динамичности нестационарного режима. При помощи разработанного численного алгоритма исследованы его свойства.

4. Предложен критерий определения момента перехода динамической системы от нестационарных к установившимся колебаниям. Выявлена зависимость продолжительности переходного процесса от демпфирования в системе и частоты вынуждающего воздействия. Показан сходный характер указанной зависимости для систем с одной и многими степенями свободы.

5. Для решения нестационарных динамических задач вместо общепринятой постановки в виде задачи Коши предложена постановка в виде краевой задачи. Ее достоинством является возможность вариационной формулировки, решаемой с помощью метода конечных элементов (МКЭ) по времени.

Достоверность результатов обеспечивается использованием в работе корректных математических моделей и методов решения динамических задач, решением ряда тестовых задач и сравнением численных результатов с решениями, полученными при помощи универсального конечно-элементного комплекса МУС ИА8ТЯШ, а также с данными проведенных ОАО «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева» натурных экспериментов. Достоверность результатов также подтверждается анализом сходимости численных решений при сгущении конечно-элементной сетки и их устойчивости к погрешности исходных данных.

Практическая значимость работы

1. Разработан инженерный метод оценки характеристик нестационарных колебаний и показана важность учета нестационарных колебаний в динамических расчетах рамных фундаментов турбоагрегатов.

2. Проведен расчетный анализ нестационарных колебаний фундамента турбоагрегата Челябинской ТЭЦ-3 на особые нагрузки при авариях на турбине и генераторе. Определены уровни эксплуатационной вибрации и динамические податливости элементов опорной платформы фун-2

дамента. Использование в прочностных расчетах сочетаний динамических усилий, определенных с помощью разработанного алгоритма, обеспечивает экономию строительных материалов при проектировании фундаментов турбоагрегатов.

3. Разработанная методика расширяет область применения динамических расчетов рамных фундаментов турбоагрегатов и позволяет отказаться от приближенных квазистатических оценок прочности, приводящих к завышенным запасам.

4. С помощью предложенной методики обоснована эффективность применения упругого опирания статора турбоагрегата на фундамент. По заявленному техническому решению получен патент на изобретение (патент РФ на изобретение №2377706 «Статор турбогенератора». Опубликовано 27.12.09. Бюл. №36).

Личный вклад автора состоит в разработке и обосновании новой методики расчета нестационарных колебаний фундаментов методом конечных элементов по времени, включая алгоритм численного расчета рамных фундаментов на нестационарные динамические нагрузки, в выполнении расчетов и анализе их результатов, а также во введении понятия коэффициента динамичности нестационарного режима и исследовании его свойств.

На защиту выносятся:

1. Методика расчета нестационарных колебаний рамных ФТА, основанная на применении пространственно-временных конечных элементов.

2. Результаты численного анализа динамических характеристик плоского и пространственного фрагментов рамного фундамента, а также обоснование важности учета нестационарных колебаний при проведении динамических расчетов.

3. Результаты расчетного прогнозирования вибрационного состояния ФТА Челябинской ТЭЦ-3 в случае аварий на турбине и генераторе, а также при нормальной эксплуатации; доказательство эффективности применения упругого опирания статора турбогенератора на фундамент на примере ФТА Челябинской ТЭЦ-3.

4. Введенное понятие коэффициента динамичности нестационарного режима и его свойства, а также предложенный критерий определения момента перехода динамической системы от нестационарных к установившимся колебаниям.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и семинарах:

1. XXXIV Неделя науки СПбГПУ. Межвузовская конференция. -28 ноября - 3 декабря 2005 г., СПбГПУ, Санкт-Петербург.

2. V Савиновские чтения - 2007. 29 июня - 3 июля 2007 г., СПбПГУПС, ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, Санкт-Петербург.

3. XXII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». 24-27 сентября 2007, СПбГАСУ, Санкт-Петербург.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 статей, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов кандидатских диссертаций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (97 наименований) и трех приложений; содержит 172 страницы основного текста, в том числе 88 рисунков и 27 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается ее общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования. Здесь же приводится краткий обзор существующих методов решения задачи, а также перечислены авторы, внесшие значительный вклад в исследования динамики системы «турбоагрегат-фундамент-основание» (ТФО).

Вопросы проектирования фундаментов турбоагрегатов и динамического расчета пространственных рамных конструкций рассматривались в работах Аграновского Г.Г., Абросимова H.A., Бабского Е.Г., Баркана Д.Д., Белаш Т.А., Виноградова О.Г., Глаговского В.Б., Жуковского A.M., Забыли-на М.И., Ильичева В.А., Киндера В.А., Костюка А.Г., Литвина И.С., Рабки-на М.А., Рыбакова С.Н., Савинова O.A., Фридмана В.М., Цейтлина Б.В., Шейнина И.С., Шульженко Н.Г и др.

Большой вклад в исследования нестационарных колебаний системы ТФО внесли Воробьев Н.Г., Жулай C.B., Привалова О.В., Савинов O.A., Фридман В.М., Храпков A.A., Цейтлин Б.В., Шульженко Н.Г. и др.

В первой главе изложен предлагаемый подход на примере системы с одной степенью свободы. При решении нестационарных динамических задач определяющим является фактор времени, поэтому применение пространственно-временных конечных элементов на базе процедур стандартного МКЭ позволит строить численные решения более эффективно.

Общепринятый подход при решении нестационарных динамических задач заключается в решении задачи Коши, состоящей из уравнения движения (1) и начальных условий (2).

ii + bù + ku = /, (1)

где Ъ и к- приведенные к массе коэффициенты демпфирования и жесткости.

н(0) = и0, й (о) = v0 (2)

Предлагается к рассмотрению другая постановка в виде уравнения (3) и граничных условий (4), где Г - граница интересующего временного интервала. 4

и1У + (2к-Ь2)и + к2и=/-Ь/ + к/ (3)

и(о) = и0, и(()) = у0, (и+Ьи + ки-/)\1Т =0,

1р+(к-Ь2)й-кЬи+Ь/-/)\ = 0 ^

Таким образом, задача Коши заменяется краевой задачей. Доказана их равносильность. При этом, в результате численного решения определяются сразу все узловые неизвестные в интервале от 0 до Т.

Достоинством предлагаемой постановки является возможность се вариационной формулировки в виде задачи о поиске минимума функционала (5), решаемой с помощью МКЭ по времени при главных граничных условиях (2).

I т т

ф(м) = —^(и + Ьи + к и)2 Л - Дм + Ьй + к и) /Л (5)

20 о

Функция, доставляющая минимум функционалу Ф(и) ищется в виде

«(/)= и (/,) А', (0 +и{1]) N. {¡) + и {г2) ^ (,) + к (г2) (г), (6)

где и (/Д и(/Д - перемещение и скорость массы в момент времени ?,/ Щ() - полиномы Эрмита.

Результатом минимизации первой части функционала (5) является обобщенная «матрица жесткости», а второй его части - «столбец нагрузки» конечного элемента метода.

Для характеристики интенсивности переходных процессов введено понятие коэффициента динамичности нестационарного режима ц":

И = ^НЕСТАц/^СТАТ ' (8)

где С/нестац ~ максимальная амплитуда колебаний за время переходного процесса, С/стат - статическое смещение.

С помощью разработанного численного алгоритма изучены свойства ц . На рис.1,а для сравнения совмещены графики классического ц и предложенного ц коэффициентов динамичности при относительном демпфировании в системе с, - 0,05 (5%). По оси абсцисс отложены частоты возмущения 6, отнесенные к собственной частоте осциллятора ы. Как видно, характер зависимостей ц и ц аналогичен и в области резонанса их значения совпадают. Физически это означает, что при 0 = ц> амплитуда колебаний растет плавно, без резких скачков, достигая стационарной величины Ссгац-

Вне резонансной зоны ц* может существенно превышать ц. Это подтверждается графиками зависимостей отношений амплитуд колебаний ?/нестац/^стац от частоты воздействия на рис. 1,6. Видно, что для величин соответствующих затуханию в реальных строительных конструкциях < 0,1) величина Снестац значительно превосходит {/стац в большей части частотного диапазона. Выявленное соотношение подтверждает актуальность исследования.

О)

£ 15

Я о

и о

5 «

Я в-

я я

•е- §

8 я

й «

1 —П*рмоа«ЫЯ реям

/

/

7 V

л 1

л \\

7 \\

/ \ N ^

6/ш

£

1

о £

е/ш

Рис. 1. Коэффициенты динамичности ц и ц* при ^ = 0,05 (а), отношение амплитуд переходного и стационарного режимов колебаний (б)

Также в работе изучалась зависимость продолжительности переходных процессов т от частоты вынуждающей силы и демпфирования в системе. В качестве количественного показателя, характеризующего момент окончания переходного процесса, была выбрана амплитуда колебаний осциллятора и за период частоты возмущения. В установившемся режиме колебания происходят с частотой 0 и амплитудой £/стац> то есть величины Ц* и 1/сгац совпадают. Тогда для построенного численного решения задачи о вынужденных гармонических колебаниях осциллятора можно определить такой момент времени т, для которого будет выполняться:

I/ = (/стад с заданной погрешностью е для любого (>т.

Критерий определения момента времени т:

и'/ иСТАЦ < 1 ±е , для любого /> т (9)

Или, с учетом того, что в любой момент времени и" = £/нестац + ^стац-

^нестац / ^стац - е (1®)

На основе использования разработанного алгоритма и предложенного критерия в форме (9) был решен ряд задач по определению величин т. Установлено, что значение т обратно пропорционально затуханию в системе. На рис.4,б приведены графики полученных зависимостей при е = 0,01 (1%). Для обобщения результатов продолжительность т отнесена к периоду частоты возмущающей силы 7). Анализ полученных результатов показал, что при варьировании значениями £ и 4 характер зависимости качественно не меняется.

Вторая глава посвящена распространению предлагаемого алгоритма на задачи о колебаниях отдельных прямолинейных стержней -элементов расчетных схем рамных ФТА (ригели, колонны). Исследования проводились на примере продольных, крутильных и поперечных свободных и вынужденных колебаний.

С помощью МКЭ из уравнения движения в частных производных получается матричная форма уравнения движения в обыкновенных производных

(И). Его неизвестные зависят только от времени. Совокупность уравнения (11) и начальных условий (12) представляет собой задачу Коши.

М и+ Сй + Ки = Р, (11)

где М, С, К- матрицы массы, демпфирования и жесткости элемента балки.

и(0) = и„, и(0) = у0 (12)

Как и в главе 1, предлагается к рассмотрению другая постановка в виде краевой задачи, состоящей из уравнения (13) и граничных условий (14):

М V + (МС-СТМ) и + (ж + КМ-СТС) и + ■ (кс-стк) й+К2и = М Р-СТР+КР

+!

(13)

и(0) = и0, й(о) = уо , (МИ + Си + Ки — Р) |;__г = О, (Ми+Си + Кй-Р\ т=0

(14)

В рамках данной работы принята модель пропорционального демпфирования, предложенная Релеем

С=аМ+$К (15)

где С = Ст, однако алгоритм позволяет использовать различные модели и в общем случае матрица С может иметь произвольный вид, поэтому в (13) присутствует множитель Ст.

Достоинством предлагаемой постановки является возможность ее вариационной формулировки в виде задачи о поиске минимума функционала (16), решаемой при помощи МКЭ по времени при главных граничных условиях (12).

1 т т

Ф(и) = - \{Ми + Си + Ки)2 Л - итМР + итСР + итКР)Л, (16)

^ о о

здесь Т - граница рассматриваемого временного интервала, определяется интересующим временным промежутком времени I е [0..Т].

В главе 1 была доказана равносильность задачи Коши и пред лагаемой краевой задачи. В главе 2 доказана равносильность краевой задачи и решаемой с помощью МКЭ по времени вариационной постановки. Таким образом, исходная и решаемая вариационная постановки равносильны.

Результатом минимизации первой и второй частей функционала (16) являются обобщенные «матрица жесткости» и «столбец нагрузки» соответственно. Функция решения имеет вид (6), конечные элементы метода с обозначенными узловыми неизвестными показаны на рис.2.

В процессе исследования выяснилось, что для построения численного решения требуется выполнение двух условий. Расчетный временной интервал задачи [0..Г] требуется дробить на М участков (связок) строго определенной длины: Т = ()М. При этом, каждая связка может содержать пг шагов по времени: () = дт (?п > 1), а решение на конце г - связки слу-

жит начальными условиями для системы уравнений (г+1) - участка. В противном случае решение быстро затухало. То есть вместо однократного решения системы алгебраических уравнений высокого порядка приходится многократно решать системы уравнений значительно меньшего порядка. При этом происходит существенное снижение вычислительных затрат. Второе требование заключается в необходимости внесения в систему отрицательного демпфирования, компенсирующего алгоритмическое затухание.

После проведения ряда численных экспериментов была установлена взаимосвязь между основными алгоритмическими параметрами. Эмпирические зависимости (17) и (18) отражают полученные результаты.

ё = ч>/\ 07)

где 0, и I - безразмерные шаги расчета по времени и по координате, ф - функция, зависящая от физико-геометрических характеристик балки и вида колебаний.

Продольные жирупиьнь» колебания

Поперечные юлвСания

и? и

у! V!

в; е!

«v] т—г л

® ,]—12 )

и! к

V! V;

э! е!

и! и:

линейные перемещение и скорость!-упав поперечной направлении

ЕМ'|) 1 перемещение и скорость = (||(1|) ] 1-узла

I ■ шаг расчета по координате ч - шаг расчета по «рамени

Рис.2. Конечные элементы численного алгоритма

Модель пропорционального демпфирования наиболее удобна для численной реализации. Однако, в расчетной практике часто используется частотно-независимая модель, определяемая коэффициентом относительного затухания Соотношение (18) отражает связь между этими моделями, используемую в численном алгоритме.

а = к^ + а0, ¡3 = 0, (18)

где а, |3 - коэффициенты пропорциональности матрицы демпфирования С (см.(15)); к - функция, зависящая от физико-геометрических характеристик балки и вида колебаний; а0 - коэффициент пропорциональности, компенсирующий алгоритмическое затухание.

Получение приведенных соотношений содержится в соответствующих разделах работы.

Продольные колебания балок

Обобщенная «матрица жесткости» конечного элемента балки при продольных колебаниях имеет размер 8x8. Каждый узел конечно-элементной сетки характеризуется линейным смещением и его скоростью в данный момент времени (см. рис.2).

При помощи зависимостей (17), (18) численно решен ряд задач о свободных и вынужденных колебаниях. На рис.3 показаны графики продольной динамической податливости края консольной железобетонной балки, относящиеся к стационарному и переходному режимам ее колебаний. Характер кривых аналогичен характеру графиков ц и ц* для осциллятора (см. рис.1,а). Пики обеих кривых совпадают и соответствуют частотам собственных колебаний балки. Наибольшая разница между кривыми проявляется вне резонансных зон. С увеличением частоты податливость балки резко падает.

—Стационарный режим . — Переходный режим .

\

IV

У

100 125 150 175 200 225 250 275 300

/Гц

Рис.3. Динамическая податливость балки в стационарном и переходном режимах

Для этой же балки (ее крайнего сечения) были получены зависимости относительной продолжительности переходных процессов т / 2} от частоты возмущения (рис.4). Графики указанных зависимостей для балки при частоте возмущения 0 меньше ее первой собственной частоты практически совпадают с аналогичными графиками для осциллятора. Для иллюстрации этого факта на рис.4 дополнительно нанесены графики г / Tfi полученные для системы с одной степенью свободы (7} - период частоты возмущающей силы). По оси абсцисс отложены частоты возмущения 0, отнесенные к - собственным частотам балки или к собственной частоте осциллятора. В расчетах т использовалась величина погрешности е= 0,01 (1%).

9/ш и осциллятора

Поперечные колебания балок

Обобщенная «матрица жесткости» конечного элемента балки при поперечных колебаниях имеет размер 16x16. На рис.2 показан конечный элемент численного алгоритма с обозначенными узловыми неизвестными. Каждый узел конечно-элементной сетки характеризуется линейным и угловым смещениями, а также их скоростями в данный момент времени

При расчетах возможен учет деформации сдвига и инерции поворота поперечных сечений. Показано, что неучет этих факторов для балок, не относящихся к тонким, вносит значительную погрешность в решение.

Также следует отметить, что синусоидальный вариант гармонического воздействия является более опасным, чем косинусоидальный, так как вызывает большие амплитуды нестационарных колебаний (в среднем на 20 - 40%). Этот факт был подтвержден численными экспериментами в рамках настоящего исследования, а также описан в литературе.

Проведено сопоставление численных результатов с результатами натурных исследований динамических характеристик сборных железобетонных колонн и балок, проведенных «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева» для ФТА Костромской ГРЭС. В рамках НИР по осциллограммам свободных колебаний колонн и балок определялся логарифмический декремент затухания железобетона. Колебания возбуждались ударными импульсами. Сравнение численных результатов и экспериментальных данных выявило их хорошую согласованность.

Третья глава посвящена анализу нестационарных колебаний плоского и пространственного фрагментов ФТА. В работе выполнен обзор упрощающих подходов при создании расчетных моделей фундаментов, а также приведены примеры случаев, когда использование упрощенных схем может оказаться полезным при расчетах.

Первый фрагмент представляет собой плоскую П-образную раму (2 колонны и ригель), второй - две рамы, соединенные в верхнем поясе продоль-

ньши балками. Их габариты и сечения элементов выбраны соответствующими ФТА средней мощности. Материал фрагментов - железобетон.

Середины ригелей фрагментов - узлы приложения силовых воздействий, а основания стоек - кинематических. По результатам динамических расчетов фрагментов контролировалась их вибрация посредине ригелей.

Для построения глобальных «матриц жесткости» и «столбцов нагрузки» системы использовались матрицы и столбцы отдельных балочных элементов, совершающих продольные, крутильные и поперечные колебания. Величины шагов расчета и используемого в алгоритме демпфирования определялись в соответствии с установленными во второй главе зависимостями.

Плоский фрагмент ФТА

Каждый узел схемы характеризуется тремя степенями свободы (два линейных и одно угловое перемещения) и шестью неизвестными (перемещения и их скорости).

Сшовое моногармоническое воздействие.

Рассмотрены случаи вертикального и горизонтального гармонического воздействия: P(t) = Р0 sin (2лf1). Нагрузка прикладывалась посредине ригеля, численные решения представляли собой временную зависимость его перемещений и скоростей. Амплитуда действующей нагрузки Р0 = 1000 кН, частота воздействия / варьировалась в диапазоне от 4,4 до 100 Гц. Демпфирование в системе было принято в размере 5% от критического.

Наибольшая амплитуда горизонтальных колебаний соответствует частоте первой собственной формы системы 4,4 Гц (горизонтальное смещение верхнего строения как единого целого). Наибольшая амплитуда вертикальных колебаний составила существенно меньшую (на 2 порядка) величину вблизи четвертой собственной частоты 49,1 Гц (вертикальные колебания рамы, с изгибом ригеля и колот). Полученные результаты подтверждают то, что наибольший динамический отклик системы, как и в случае реальных ФТА, соответствует низкочастотному возбуждению.

Пространственный фрагмент ФТА

При составлении расчетной схемы фрагмента использован избирательный метод. Пусть колонны и ригеля воспринимают изгиб и растяжение в плоскости своих рам, а соединяющие их продольные балки - только кручение. Тогда каждый узел рам характеризуется тремя степенями свободы, а узлы продольных балок - одной степенью свободы. Рассмотрен ряд нестационарных задач о вынужденных колебаниях при различных вариантах силовых и кинематических возмущений.

1. Сшовое гармоническое воздействие.

Нагрузка прикладывалась посредине ригелей. Рассмотрены варианты вертикальных и горизонтальных, синфазных и противофазных за-гружений схемы. Частота воздействия/варьировалась в диапазоне от 10 до 100 Гц.

Перемещения контрольных узлов совпадали в случае синфазной нагрузки и отличались знаками при противофазе. Горизонтальные амплитуды нестационарных колебаний в несколько раз превышали вертикальные амплитуды при одних и тех же значениях/и L Этот эффект достигается за счет вклада первой собственной формы фрагмента с частотой 3.4 Гц. Наличие низкочастотной составляющей явно проявлялось на всех графиках решений о горизонтальном возмущении. В работе наглядно представлены численные результаты в виде диаграмм изменения вибрационного состояния всей системы во времени.

2. Кинематическое полигармоническое воздействие.

Зададимся следующим законом смещения узлов основания стоек: u(t) = A] sin (2л 5t)+A2 sin (2я 10?) + А3 sin (2л 150 sin (2л 20/)

Рассмотрены 6 загружений схемы: при трех комбинациях амплитуд А, и двух направлениях воздействия - вертикальном и горизонтальном.

Перемещения контрольных узлов совпадали в силу симметрии задачи. Форма графиков решений при вертикальной нагрузке (в отличие от горизонтальной) весьма близка к исходному воздействию, то есть собственные частоты основных форм вертикальных колебаний системы лежат выше спектра частотного воздействия. Установлено, что решения, получаемые при использовании «кратных» КЭ практически совпадают. Под «кратными» понимаются элементы, характеризуемые соотношением QilQi = l\lh = п, где п - целое.

5. Кинематическое воздействие с учетом его разновременности.

Учет разновременности приложения нагрузки важен при значительных плановых габаритах сооружения. Пусть гармонические колебания с частотой / и амплитудой U распространяются от узлов заделки левых стоек рам к правым. Разновременность приложения нагрузки учитывается введением параметра г:

u(t, т) = £/ sin (2 я/ (t - т))

Рассмотрим два варианта значений параметра запаздывания: ij и т2, соответствующие синфазному и противофазному загружениям схемы для выбранной частоты воздействия/ Решены задачи о вертикальных и горизонтальных синфазных и противофазных вынужденных колебаниях. В случае синфазного воздействия отклик системы в контрольных узлах через t = Ti после начала возмущения усиливается, а при противофазе спустя i = 12 - обнуляется.

4. Расчет на реальную сейсмограмму.

Источником исходных данных послужила база «European Strong-Motion Database», из которой были выбраны записи двух землетрясений продолжительностью 21,9 с и 40,6 с. Каждое из них представляет собой временную развертку вертикальных и горизонтальных колебаний грунта с шагом 0.01 с. Воздействие приложено к узлам заделки стоек, контрольные узлы схемы - середины ригелей. Демпфирование определяется ко-

эффициентами пропорциональности а=6,283 с"1 и ß=0, соответствующими ^ = 0,05 на частоте 10 Гц.

Полученные графики вертикальных смещений во времени контрольных узлов совпадают с графиками исходных сейсмограмм.

5. Сравнение данных численного анализа и натурного эксперимента.

В качестве источника экспериментальных данных выбрана статья Цейтлина Б.В. и Абросимова H.A. об исследованиях опытного железобетонного фрагмента, состоящего их трех плоских П-образных рам, соединенных по верху продольными балками.

Сравнивались частотные зависимости вертикальной и горизонтальной динамической податливостей середины ригеля второй рамы. При вычислениях каждый ригель и колонна состояли из четырех КЭ, учтено 6 степеней свободы в каждом узле. В расчетном диапазоне 2 - 60 Гц расположена одна резонансная зона вертикальных колебаний (42 Гц). Расхождение в определении резонансной частоты составило 4,3%, податливости - 18%. В горизонтальном направлении имеется два ярко выраженных резонанса (5,2 Гц и 29 Гц). Наибольшее расхождение по резонансной частоте составило 20,6%, по податливости - 35%.

Четвертая глава посвящена численному динамическому анализу ФТА Челябинской ТЭЦ-3. На рис.5 показана расчетная схема фундамента. Каждый узел схемы имеет 6 степеней свободы. Для ригелей опорной платформы учитывался сдвиг и инерция поворота поперечных сечений. Оборудование рассматривалось в виде присоединенных масс с учетом инерции на поворот. Стойки фундамента заделаны в нижнюю плиту, лежащую на грунте. Основание задавалось упругими и массовыми элементами в основании стоек. Жесткость пружин определяет основная упругая характеристика естественных оснований фундаментов машин - коэффициент упругого равномерного сжатия Cz.

46.3

14.8

Рис.5. Расчетная схема ФТА Челябинской ТЭЦ-3 (массы в т)

В расчетах использовались зависимости между алгоритмическими параметрами, полученные ранее. Приняты следующие значения затуха-

13

ния 4 в системе: в аварийных режимах - 0,07, в номинальном режиме -0,05, при расчете динамической податливости фундамента, не загруженного ТА-0,02.

1. Расчет виброперемещений элементов ФТА при аварии на турбине

Авария на турбине представляет собой мгновенно приложенную гармоническую нагрузку, амплитуда которой равна центробежной силе вылетевшей лопатки. Частота воздействия совпадает с частотой вращения валопровода, а область его приложения - с местами передачи на фундамент динамических нагрузок от выносных и встроенных опор ТА.

Величина аварийного дисбаланса ротора принята по данным изготовителя турбины. Вертикальное и горизонтальное загружения рассматривались отдельно. Каждое из них представляет собой систему гармонических сил, а также моментов, обусловленных эксцентриситетами приложения нагрузки. На рис.6 показаны графики решения в виде перемещений во времени узлов Ригеля-1 и Балки-2.

Как видно, максимумы амплитуд нестационарных колебаний соответствуют первым всплескам в графиках решений. Их наибольшие зна-че-ния составили: 74 мкм (Ригель-1) в вертикальном направлении и 450 мкм в горизонтальном направлении (Ригель-1).

2. Расчет виброперемещений и внутренних усилий в элементах ФТА при аварии на генераторе

Аварийная нагрузка на фундамент представляет собой полигармоническое силовое противофазное воздействие, приложенное к продольным балкам генератора. Временная зависимость сил короткого замыкания (кН) принята по данным завода-изготовителя генератора:

Рмю (?) = 112(1 - С08(2Я 27 /))+357 вт{2п 27 /)-

-2638ш(2я50*)+348ш(2яЛ00г)

здесь / - время в секундах, длительность действия нагрузки - 3 с.

Колебания продольных генераторных балок происходят в проти-вофазе. Максимальное значение расчетной амплитуды составило, 300 мкм. После прекращения действия нагрузки колебания в системе затухают примерно за 0,5 с.

Также проведен временной анализ внутренних усилий в балках фундамента. Показано, что использование в прочностных расчетах эквивалентных квазистатических нагрузок приводит к чрезмерным запасам. Таким образом, использование динамических внутренних усилий при особых воздействиях обеспечивает более экономичные конструкции фундаментов.

3. Расчет динамических характеристик ФТА

Разработанный алгоритм позволяет получать характеристики стационарных колебаний фундаментов - кривые АЧХ и динамической по-

датливости. Величины номинальных возмущающих сил от небаланса роторов приняты по данным заводов-изготовителей ТА. Был проведен ряд расчетов и построены кривые АЧХ и динамической податливости в нормативных точках.

Максимальный уровень номинальной вибрации в рабочем диапазоне частот составил 3 мкм в вертикальном направлении (Ригель-1) и 4 мкм в горизонтальном направлении (Балка-2). Наибольшая динамическая податливость фундамента, не загруженного турбоагрегатом составила 2 мкм / кН для вертикального и горизонтального направлений (Балка-2).

А

С г> с

Рис.б. Вертикальные (а) и горизонтальные (б) перемещения балок ФТА при аварии на турбине

4. Расчетное обоснование заявки на изобретение Выполнено расчетное сравнение традиционной жесткой и предлагаемой упругой схем опирания статора турбогенератора на фундамент. При рассмотрении аварийной нагрузки при коротком замыкании на генераторе ТА Челябинской ТЭЦ-3 использование упругого опирания привело к снижению максимальных величин внутренних динамических усилий в балках фундамента: изгибающих моментов - в 14 раз, поперечных сил -в 28 раз, крутящих моментов - в 19 раз. Амплитуды виброперемещений балок уменьшились в 22 раза, что свидетельствует о существенном снижении динамического воздействия генератора на фундамент и распространения вибрации на опоры роторов и грунтовое основание. Проведенный анализ позволил дать расчетное обоснование заявки на изобретение, по которой в декабре 2009 г. был получен патент.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В качестве основных теоретических и практических результатов настоящей диссертационной работы можно отметить следующее:

1. В диссертации исследованы задачи прогнозирования динамически х характеристик рамных фундаментов при нестационарных воздействиях с целью обеспечения их надежной работы и разработана численная

методика определения виброперемещений и виброскоростей в контрольных точках фундамента, а также внутренних усилий в его элементах.

2. Разработанная методика основана на использовании пространственно-временных стержневых конечных элементов. Рассмотрены случаи продольных, поперечных и крутильных колебаний балок с возможностью учета деформации сдвига и Инерции поворота их поперечных сечений. Метод предусматривает возможность учета непропорционального демпфирования, произвольного характера зависимости нагрузки от времени, а также разновременности приложения нагрузки к сооружению.

3. Алгоритм апробирован на решении тестовых задач. Выполнено сравнение численных решений с решениями, полученными при помощи универсального конечно-элементного комплекса МЗС ИАБТЯЛН и результатами натурных экспериментов, проведенных ОАО «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева». Отмечено их удовлетворительное совпадение. Показана сходимость и устойчивость получаемых численных решений.

4. На основе разработанного метода исследованы динамические характеристики плоского и пространственного фрагментов рамного ФТА, показана важность учета нестационарных колебаний при расчетах фундаментов под машины для обеспечения их надежной работы.

5. Проведен расчетный анализ нестационарных колебаний фундамента турбоагрегата Челябинской ТЭЦ-3 на особые нагрузки при авариях на турбине и генераторе. Использование в прочностных расчетах сочетаний фактических динамических усилий, определенных с помощью разработанного алгоритма, обеспечивает экономию строительных материалов при проектировании фундаментов турбоагрегатов.

6. На примере ФТА Челябинской ТЭЦ-3 показана эффективность применения упругого опирания статора турбогенератора на фундамент, приводящая к существенному снижению уровня вибрации, а также внутренних динамических усилий в элементах фундамента. Проведенный анализ позволил дать расчетное обоснование заявки на изобретение, по которой в декабре 2009 года получен патент.

7. Предложен практический критерий определения момента перехода динамической системы от нестационарных к установившимся колебаниям. Выявлена зависимость продолжительности переходного процесса от демпфирования в системе и частоты вынуждающего воздействия. Для характеристики интенсивности переходных процессов введено понятие коэффициента динамичности нестационарного реэкжма. При помощи разработанного численного алгоритма исследованы его свойства.

Таким образом показано, что разработанная в диссертации новая методика расчета нестационарных колебаний расширяет область применения динамических расчетов рамных фундаментов турбоагрегатов, позволяет отказаться от обычно применяемых квазистатических подходов, что способствует рациональному выбору конструкции фундаментов и экономии материалов.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Редан Д.Г., Лапин В.В. Вариационный метод анализа динамики переходных процессов в фундаментах энергоагрегатов // XXXI Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской конференции. 4.1: с.120-121,2003.

2. Лалин В.В., Редин Д.Г. Алгоритм решения нестационарных динамических задач методом конечных элементов // Научно-технические ведомости СПбГГУ. Санкт-Петербург., 2003. №3(33). С.227-230.

3. Редин Д.Г., Лалин В.В. Исследование алгоритма решения нестационарных задач строительной механики на основе конечных элементов по времени // XXXIV Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской конференции. 4.1: С. 157. 2006.

4. Редин Д.Г. Решение нестационарных динамических задач методом конечных элементов // Труды XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». 2007. С.290-295.

5. Редин Д.Г. Вариациошшй метод анализа динамики переходных процессов в пространственных стержневых схемах // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2008. №3. С.46-48 (из перечня ВАК).

6. Бабский Е.Г., Бабский А.Е., Редин Д.Г. Фундамент как компонент стационарного энергетического турбоагрегата // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2008. №3. С.40-42 (из перечня ВАК).

7. Редин Д.Г., Лалин В.В. Решение нестационарных динамических задач методом конечных элементов по времени // Известия ВУЗов. Строительство. 2009. №1(601). С.31-38 (из перечня ВАК).

8.Редин Д.Г., Лалин В.В. Вариационный метод анализа динамики переходных процессов в фундаментах энергоагрегатов // Электроэнергетика 2008. Материалы международного научно-технического форума. СПб. ПЭиПК. 2009. С.359-365.

9. Патент РФ на изобретение № 2377706 «Статор турбогенератора». Приоритет от 22.10.08. Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений РФ 27.12.09. Опубликовано 27.12.09. Бюл.№36.

Типография ООО «Наша Марка» 195220, Санкт-Петербург, Гжатская ул., 21. Объем 1,0 пл. Тираж 100. Заказ 14.

Введение

1. Применение метода конечных элементов по времени для решения 14 нестационарных динамических задач в системах с одной степенью свободы

1.1 Дифференциальное уравнение движения и его общее решение

1.2 Вариационная постановка задачи о вынужденных колебаниях

1.3 Численное решение динамических задач методом конечных элементов по 20 времени

1.4 Соотношение амплитуд стационарной и нестационарной частей решения

1.5 Продолжительность переходного процесса

2. Нестационарные колебания конструктивных элементов 41 фундаментов турбоагрегатов (ригели, колонны)

2.1 Дифференциальные уравнения движения и их общие решения

2.2 Вариационная постановка задачи о вынужденных колебаниях

2.3 Способы учета потерь энергии в системе

2.4 Численное решение динамических задач о продольных колебаниях

2.5 Численное решение динамических задач о поперечных колебаниях

2.6 Сопоставление результатов численного анализа и натурных испытаний

3. Анализ нестационарных колебаний фрагментов фундаментов 98 турбоагрегатов

3.1 Использование упрощенных схем фундаментов турбоагрегатов

3.2 Особенности численного алгоритма для решения нестационарных 102 динамических задач методом конечных элементов по времени

3.3 Численное решение задач о колебаниях плоского фрагмента

3.4 Численное решение задач о колебаниях пространственного фрагмента

3.5 Сопоставление результатов численного анализа и натурных испытаний

4. Динамический анализ фундамента турбоагрегата Челябинской 142 ТЭЦ

4.1 Требования к динамическим характеристикам фундаментов

4.2 Расчетная модель фундамента турбоагрегата

4.3 Расчет виброперемещений элементов фундамента при аварии на турбине

4.4 Расчет виброперемещений элементов фундамента при аварии на 153 генераторе

4.5 Расчет внутренних усилий в элементах фундамента

4.6 Расчетное обоснование заявки на изобретение

4.7 Расчет динамических характеристик фундамента турбоагрегата 164 4.6 Результаты численного анализа

Диссертация посвящена разработке численной методики расчетного анализа нестационарных колебаний рамных фундаментов турбоагрегатов (ФТА), необходимого для рационального выбора конструкции и обеспечения надежности фундаментов при аварийных режимах короткого замыкания на генераторе и вылета лопаток турбины.

Важным элементом проектирования специальных строительных конструкций атомных и тепловых электростанций является обеспечение безопасности и надежной работы конструкций, подверженных действию динамических нагрузок. Главной из них является фундамент турбоагрегата, на который действует длительная нагрузка, создаваемая центробежными силами эксплуатационной неуравновешенности роторов, силами электромагнитных деформаций статора генератора и силами, вызванными двоякой жесткостью ротора генератора. Эти силы имеют установившийся характер. Многократно большую величину имеют кратковременные динамические нагрузки, связанные с серьезными авариями или нарушениями нормальной эксплуатации. К ним относятся следующие силы:

- силы вылета лопаток турбины (максимальные при вылете самых длинных лопаток последней секции ротора низкого давления);

- силы, возникающие при коротком замыкании на шинах генератора;

- силы, являющиеся следствием неправильной синхронизации генератора при его включении в сеть;

- сейсмические нагрузки, передающиеся от основания на фундамент, а через него на турбоагрегат.

Перечисленные нагрузки изменяются во времени.

Традиционно при расчетах фундаментов эти динамические нагрузки, как в нашей стране, так и за рубежом преобразуются в эквивалентные квазистатические силы с использованием больших значений коэффициентов запаса. Машиностроители, как правило, указывают величины нагрузок, создаваемых турбоагрегатом в чертежах задания на фундамент как статические.

В последнее время в отдельных случаях изготовители турбогенератора приводят зависимость сил короткого замыкания от времени.

К фундаменту турбоагрегата предъявляются требования по ограничению его динамических перемещений для сохранения необходимых зазоров между вращающимися и неподвижными частями турбоагрегата (предотвращение задеваний), между фундаментом и примыкающими конструкциями машинного зала, технологическим оборудованием и для обеспечения нормальной работы пружинных и демпферных элементов системы виброизоляции. Также ограничиваются ускорения, передаваемые фундаментом при авариях и землетрясениях на установленную на нем штатную измерительную аппаратуру и элементы системы регулирования работы турбоагрегата. Расчеты на действие установившихся и квазистатических сил эти важные задачи не решают.

При проведении прочностных расчетов также важно рассмотрение нестационарных динамических задач, поскольку использование квазистатических сил приводит к неоправданному увеличению габаритов фундамента и перерасходу материалов. Этот факт делает важным анализ поведения строительных конструкций во время переходных процессов для определения реальных динамических внутренних усилий в элементах фундамента при аварийных воздействиях.

В процессе эксплуатации валопровод через опоры и корпуса турбоагрегата связан с фундаментом, который объединяет части турбоагрегата в единую машину, воспринимает статические и динамические нагрузки и передает их на фундаментную плиту и далее на грунт. Современные турбоагрегаты имеют фундаменты с рамными, стеновыми и блочными элементами. Наиболее распространены рамные фундаменты, которые включают систему железобетонных или металлических стоек, связанных в верхней части с помощью поперечных и продольных ригелей. Ригели воспринимают нагрузки в местах контакта со статорными элементами и сопрягаются между собой и со стойками. Ригели в горизонтальной плоскости обычно связаны между собой жестко и образуют верхнюю фундаментную плиту (опорную платформу). Вертикальные стойки могут быть соединены с горизонтальными ригелями через упругие амортизаторы, которые имеют линейные и угловые податливости по одному, двум и трем направлениям. Система таких амортизаторов обеспечивает виброизоляцию турбоагрегата от основания. Стойки нижними концами обычно заделаны в массивную железобетонную плиту, лежащую на грунте, который обычно рассматривают как упругое основание. Таким образом, рамный фундамент можно представить как пространственную стержневую систему, в узлах которой осуществляются как жесткие, так и упругие связи. Основной элемент этой системы -прямолинейный стержень. Относительные размеры этих стержней иногда требуют учета сдвига при пространственных изгибных колебаниях [79,84], кроме того, стержневые элементы рамного фундамента будут совершать продольные и крутильные колебания.

Настоящая работа посвящена изучению переходных процессов в пространственных стержневых системах (прототип расчетных схем рамных ФТА), а также их элементах - отдельных стержнях и балках на основе использования разработанного численного алгоритма.

Вопросы проектирования фундаментов турбоагрегатов и динамического расчета пространственных рамных конструкций рассматривались в работах Аграновского Г.Г. [1,3-5,80,82], Абросимова Н.А. [1-5,80,82], Бабского Е.Г. [1013,19], Баркана Д.Д. [14], Виноградова О.Г. [19,80], Глаговского В.Б. [20-22,51], Жуковского A.M. [1,28-30,51], Ильичева В.А. [36], Киндера В.А. [1], Костюка А.Г. [38], Литвина И.С. [66], Рабкина М.А. [9,12,20,22,51], Рыбакова С.Н. [66], Савинова О.А. [6,64,65], Фридмана В.М. [30,50], Цейтлина Б.В. [1,2,74-80], Шейнина И.С. [80-83], Шульженко Н.Г. [84] и др.

Большой вклад в исследования нестационарных колебаний системы ТФО внесли Воробьев Н.Г. [84], Жулай С.В. [31], Привалова О.В. [50], Савинов О.А., Фридман В.М., Цейтлин Б.В., Шульженко Н.Г. и др.

Ниже следует перечень наиболее распространенных в настоящее время методов решения динамических задач для континуальных систем, [84].

Метод дискретизации системы. Метод замены континуальных систем дискретной расчетной схемой может использоваться для решения нелинейных консервативных и неконсервативных задач. Дискретизация системы позволяет вместо дифференциальных интегральных уравнений рассматривать алгебраические или вместо дифференциальных уравнений в частных производных - обыкновенные дифференциальные.

Дискретную систему можно считать «эквивалентной» континуальной, если массы и жесткости дискретной системы выбраны так, что ее кинетическая и потенциальная энергии те же, что и у континуальной системы. Точное выполнение этих условий равносильно решению задачи, поэтому дискретизация проводится упрощенными методами, которые иногда являются интуитивными.

Эквивалентность континуальной и дискретной систем возможна лишь в некотором частотном диапазоне, поскольку континуальная система имеет бесконечный спектр собственных частот, а дискретная - конечный. Необходимо отметить, что эквивалентность систем гарантирует равенство лишь определенного числа собственных частот систем, но не всегда гарантирует одинаковые формы колебаний и относительные напряжения. Например, одномассовая система может иметь собственную частоту, в точности равную какой-либо собственной частоте континуальной системы, но такая расчетная схема не дает возможности найти соответствующую форму колебаний континуальной системы. Приближение форм колебаний и напряжений является более сложным вопросом, чем приближение частот; предполагается, что его можно решить увеличением числа сосредоточенных масс.

Одним из методов дискретизации, получившим весьма широкое применение из-за своей универсальности является метод конечных элементов (МКЭ). Приведение исходной конструкции к совокупности конечных элементов, связанных между собой лишь в узловых точках требует, чтобы напряженное состояние в каждом из элементов однозначно определялось через значения узловых перемещений (усилий). Поэтому ключевым понятием МКЭ является матрица жесткости (<податливости) конечного элемента, определяющая связь между его узловыми перемещениями и усилиями, т.е. обозначающая его упругие и инерционные (в задачах динамики) свойства. Матрица жесткости всей системы выражается через матрицы жесткости отдельных элементов схемы и устанавливает связь между узловыми перемещениями дискретной модели и внешней нагрузкой исходной конструкции.

В случае расчета больших пространственных конструкций, часто используется разновидность МКЭ — метод суперэлементов. Суперэлементы (СЭ) повторяют форму и размеры некоторых частей реальных конструкций. В СЭ объединяются несколько базисных КЭ с широким диапазоном изменения характеристик материала, различными закреплениями, с большим числом внутренних степеней свободы. На начальном этапе решается задача на основе использования СЭ с получением перемещений в суперузлах. Дальнейший анализ проводится отдельно для каждого СЭ обычным МКЭ с учетом полученных перемещений на границах (в СЭ).

Метод последовательных приближений. При расчетах отдельных пролетов роторов получили распространение методы последовательных приближений (итераций), которые использовались еще в графоаналитической форме, но удобны и при численных расчетах. Эти методы обладают, как правило, хорошей сходимостью, а сбои машины приводят лишь к увеличению машинного времени. Итерации при расчетах колебаний сходятся к низшей форме, поэтому при вычислении высших форм следует проводить ортогонализацию определяемой функции ко всем низшим формам при каждой итерации. Это вызывает усложнение алгоритма, ухудшение его цикличности и быстрый рост машинного времени при вычислении высших форм. Процесс ортогонализции можно включить непосредственно в процесс итераций. Методы последовательных приближений применимы к линейным и нелинейным задачам.

Для однопролетных роторов широко используются и вариационные методы. При этом формы колебаний пролета можно предварительно найти методом итераций. Применение затем вариационного метода даже в первом приближении (метод Рэлея) позволяет определить собственную частоту более точно.

Метод начальных параметров. Данный метод получил широкое распространение при исследовании колебаний линейных систем. В этом методе кинематические и силовые параметры на одной границе системы выражаются через аналогичные параметры на другой. Эти зависимости имеют вид системы линейных алгебраических уравнений XN = А(ю) Х0, где А(со) — матрица перехода, зависящая от собственной частоты колебаний системы ю; Х0 -вектор-столбец начальных параметров. Параметры выбираются так, чтобы часть компонентов их вектора-столбца на «конце» системы XN обращалась в нуль. Тогда из условия нетривиальности решения для однородной системы получаем частотное уравнение: |А°(со)| = 0, где А0 - матрица однородной системы. При этом удобно разбить систему на участки, для которых легко строятся матрицы перехода Ак. Матрица перехода всей системы А = AN. ,А2 Аь Матрицы перехода участка наиболее просто получить при замене континуальной системы дискретной расчетной схемой. Матрицу перехода участка, в свою очередь, можно разбить на произведение матриц жесткости, инерции, поворота и др.

Следует отметить высокую цикличность алгоритма метода начальных параметров и широкую возможность использования стандартных подпрограмм линейной алгебры.

Метод динамических жесткостей. Методы динамических жесткостей или податливостей особенно эффективны при расчете цепных систем. Система расчленяется на ряд звеньев, для которых определяются динамические жесткости, характеризующие поведение звена под действием гармонической возмущающей силы: q = С1(а)) Q e1C0t = D(co) Q elwt, где q - вектор-столбец характерных перемещений звена; С(со) — матрица динамических жесткостей; Q вектор-столбец амплитуд обобщенных сил; D(co) - матрица податливости системы. Условия сопряжения звеньев позволяют составить частотное уравнение всей системы, которое часто получают в виде цепной дроби (форма В.П. Терских).

Метод также характеризуется высокой цикличностью и используется при исследованиях колебаний линейных систем. С его помощью легко анализируются собственные колебания разветвленных систем. Наибольшее распространение он получил при расчете крутильных колебаний многомассовых систем. Метод, использующий рекуррентные соотношения, известен также как метод прогонки.

Нужно отметить, что в настоящее время существует два основных способа решения нестационарных динамических задач - прямым интегрированием по времени и при помощи модального анализа. В первом случае наиболее просто задача может быть решена с использованием явных методов, однако для обеспечения устойчивости решения приходится выбирать достаточно малые шаги по времени, что увеличивает время счета и общие вычислительные затраты. В случае использования неявных схем интегрирования устойчивость решения обеспечивается при любых соотношениях шагов по времени и координате, однако на каждом шаге приходится решать систему алгебраических уравнений, что весьма трудоемко. Кроме того, возникают проблемы алгоритмического затухания и фазового сдвига в численном решении.

В случае использования модального анализа встает вопрос определения частот и форм собственных колебаний, что для сложных динамических систем требует значительных вычислительных ресурсов. Также имеется ограничение по характеру затухания - в расчете может быть использовано только пропорциональное демпфирование. Таким образом, проблема построения универсального эффективного метода решения нестационарных динамических задач остается актуальной.

В задачи настоящего исследования входила разработка численного алгоритма для анализа нестационарных колебаний пространственных стержневых систем, обладающего следующими свойствами:

- построение решения сразу на всем интересующем временном интервале t е [0.7];

- возможность использования произвольных моделей демпфирования в системе (заданных в матричной форме);

- решение динамических задач при произвольном характере зависимости нагрузки от времени;

- возможность учета разновременности приложения воздействия к сооружению, что может быть актуально в случае его значительных габаритов в плане (сейсмика, взрывная волна и пр.).

В литературе первые упоминания о возможности использования пространственно-временных конечных элементов для решения нестационарных задач динамики, теплопроводности и фильтрации жидкости встречаются в работах O.K. Зенкевича [33-35]. В настоящее время рядом зарубежных авторов ведутся работы по исследованиям разновидности МКЭ — так называемого метода Space-Time Finite Element Method [85,86,89,91,94,95,97]. При решении нестационарных динамических задач определяющим является фактор времени, поэтому применение пространственно-временных конечных элементов на базе процедур стандартного МКЭ позволит строить численные решения более эффективно.

Стандартный подход при решении нестационарных динамических задач заключается в пошаговом решении задачи Коши. Отличительной особенностью предлагаемого в настоящей работе алгоритма является замена общепринятой задачи Коши краевой задачей, имеющей вариационную формулировку в виде задачи о поиске минимума некоторого функционала. Численное решение последней получается стандартным алгоритмом МКЭ как по координате, так и по времени. Исследование предлагаемого численного метода проводилось в несколько этапов с постепенным усложнением рассматриваемых расчетных схем.

Одной из базовых моделей в динамике является модель системы с одной степенью свободы. Большое число авторов использовали в своих исследованиях модель осциллятора из-за удобства ее применения и изученности. К примеру, в статье Савинова О.А, Альберта И.У. и Сандович Т.А. [65] говорится о возможности использования модели осциллятора для подбора оптимальных параметров систем сейсмоизоляции зданий и сооружений; Цейтлин Б.В. в своей диссертации [78] на примере систем с одной степенью свободы проводил исследования явлений, обусловленных конструкционным демпфированием в элементах сборного фундамента и проскальзыванием при совместных колебаниях фундамента и турбоагрегата; в статье Альберта И.У., Белаш Т.А. и Лабазанова P.P. [7] описано применение модели нелинейного осциллятора для оценки вероятностных характеристик динамических реакций нелинейных систем со случайными изменениями параметров при существенно нестационарных воздействиях и.т.д. Поэтому в первой главе, содержащей результаты начальной стадии исследований, показано применение предлагаемой математической постановки к решению нестационарных динамических задач именно на примере системы с одной степенью свободы. Доказана равносильность постановок в виде задачи Коши и краевой задачи. Получена обобщенная «матрица жесткости» конечного элемента, приведены численные решения задач о свободных и вынужденных колебаниях осциллятора. Введено новое понятие — нестационарного коэффициента динамичности или коэффициента динамичности переходного режима, с помощью разработанного алгоритма изучены его свойства. Предложен критерий определения момента перехода динамической системы от нестационарных к установившимся колебаниям Определена зависимость продолжительности переходного процесса от величины демпфирования в системе и частоты вынуждающей нагрузки. Также изучено влияние алгоритмического затухания на точность получаемых численных решений.

Как уже отмечалось ранее, основным элементом пространственных стержневых схем является прямолинейный стержень. Поэтому вторая глава посвящена распространению предлагаемого алгоритма на задачи о колебаниях отдельных стержней и балок — конструктивных элементов расчетных моделей рамных фундаментов (ригели, колонны). Исследования проводились на примере продольных, крутильных и поперечных свободных и вынужденных колебаний. Доказана эквивалентность краевой задачи и ее вариационной формулировки. Созданы пространственно-временные балочные конечные элементы и построены их обобщенные «матрицы жесткости» и «столбцы нагрузки», выявлены взаимосвязи между основными алгоритмическими параметрами. Показана возможность учета влияния сдвиговых деформаций и инерции вращения поперечных сечений стержней. Также возможно введение в расчетную схему точечных инерционных и жесткостных элементов (массы, пружины, демпферы). Проведено сопоставление результатов натурных исследований динамических характеристик сборных железобетонных колонн и балок фундамента, проведенных «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева» для головного блока №9 Костромской ГРЭС с численными решениями, полученными с помощью разработанного метода.

В Третьей главе приводятся исследования нестационарных колебаний плоского и пространственного фрагментов ФТА, проведенные с использованием полученных ранее результатов. Построен ряд численных решений задач о вынужденных колебаниях для случаев силового и кинематического возмущения. Проведено сопоставление полученных численных результатов с результатами натурных испытаний, проведенных «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева» в рамках НИР по исследованию динамических характеристик опытного фрагмента рамного фундамента.

Четвертая глава содержит результаты расчетного анализа фундамента турбоагрегата Т-50/70-6.8/0.12 + ТЗФП-63-2МУЭ Челябинской ТЭЦ-3, полученные при помощи разработанного алгоритма. Были определены виброперемещения и внутренние усилия балок опорной платформы фундамента от нестационарных воздействий при авариях на турбине и генераторе. Также установлены уровень номинальной вибрации в штатном эксплуатационном режиме и величины динамических податливостей элементов опорной платформы ФТА, не загруженного турбоагрегатом. Величины вынуждающих нагрузок на конструкцию принимались в соответствии с данными заводов-изготовителей турбоагрегата (ОАО «Калужский турбинный завод» и ОАО «Силовые машины» филиал «Электросила», г. Санкт-Петербург). На примере ФТА Челябинской ТЭЦ-3 показана эффективность применения упругого опирания статора турбогенератора на фундамент. Проведенный анализ позволил дать расчетное обоснование заявки на изобретение, по которой в декабре 2009 г. был получен патент [46].

По теме диссертации опубликовано 8 статей, в том числе 3 в изданиях из списка рекомендованного ВАК. Основные результаты работы докладывались на 3 конференциях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации исследованы задачи прогнозирования динамических характеристик рамных фундаментов при нестационарных воздействиях с целью обеспечения их надежной работы и разработана численная методика определения виброперемещений и виброскоростей в контрольных точках фундамента, а также внутренних усилий в его элементах.

2. Разработанная методика основана на использовании пространственно-временных стержневых конечных элементов. Рассмотрены случаи продольных, поперечных и крутильных колебаний балок с возможностью учета деформации сдвига и инерции поворота их поперечных сечений. Метод предусматривает возможность учета непропорционального демпфирования, произвольного характера зависимости нагрузки от времени, а также разновременности приложения нагрузки к сооружению.

3. Алгоритм апробирован на решении тестовых задач. Выполнено сравнение численных решений с решениями, полученными при помощи универсального конечно-элементного комплекса MSC NASTRAN и результатами натурных экспериментов, проведенных ОАО «ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева». Отмечено их удовлетворительное совпадение. Показана сходимость и устойчивость получаемых численных решений.

4. На основе разработанного метода исследованы динамические характеристики плоского и пространственного фрагментов рамного ФТА, показана важность учета нестационарных колебаний при расчетах фундаментов под машины для обеспечения их надежной работы.

5. Проведен расчетный анализ нестационарных колебаний фундамента турбоагрегата Челябинской ТЭЦ-3 на особые нагрузки при авариях на турбине и генераторе. Использование в прочностных расчетах сочетаний фактических динамических усилий, определенных с помощью разработанного алгоритма, обеспечивает экономию строительных материалов при проектировании фундаментов турбоагрегатов.

6. На примере ФТА Челябинской ТЭЦ-3 показана эффективность применения упругого опирания статора турбогенератора на фундамент, приводящая к существенному снижению уровня вибрации, а также внутренних динамических усилий в элементах фундамента. Проведенный анализ позволил дать расчетное обоснование заявки на изобретение, по которой в декабре 2009 года получен патент.

7. Предложен практический критерий определения момента перехода динамической системы от нестационарных к установившимся колебаниям. Выявлена зависимость продолжительности переходного процесса от демпфирования в системе и частоты вынуждающего воздействия. Для характеристики интенсивности переходных процессов введено понятие коэффициента динамичности нестационарного режима. При помощи разработанного численного алгоритма исследованы его свойства.

Таким образом показано, что разработанная в диссертации новая методика расчета нестационарных колебаний расширяет область применения динамических расчетов рамных фундаментов турбоагрегатов, позволяет отказаться от обычно применяемых квазистатических подходов, что способствует рациональному выбору конструкции фундаментов и экономии материалов.

1. Абросимов Н.А., Аграновский Г.Г., Бабский Е.Г., Жуковский A.M., Киндер

2. В.А., Цейтлин Б.В., Шейнин И.С. Динамические характеристики фундамента под турбоагрегат мощностью 1000 МВт на 3000 об/мин, определенные теоретически и в натурных условиях. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1990, т.218, с.22-25.

3. Абросимов Н.А., Цейтлин Б.В. Динамические характеристики опытного фрагмента рамного фундамента. Строительство и архитектура, 1982, №2, с.21-25.

4. Аграновский Г.Г., Абросимов Н.А., Чихачев И.В. Исследование виброперемещений опытного фрагмента фундамента под турбоагрегат. — Труды координационных совещаний по гидротехнике. Вып.116. Л., «Энергия», 1977, с.186-190.

5. Аграновский Г.Г., Абросимов Н.А., Штенгелъ В.Г. Виброакустические исследования сборных железобетонных элементов фундамента под головной турбоагрегат мощностью 1200 МВт. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1978, т. 127, с.10-15.

6. Аграновский Г.Г., Абросимов Н.А. Некоторые результаты натурных исследований динамики системы турбоагрегат-фундамент-основание на блоке мощностью 1200 МВт. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1982, с. 134-136.

7. Альберт И. У., Лабазанов P.P., Белаги Т.А. Нестационарные колебания нелинейных систем со случайными характеристиками трения. // Известия ВНИИГ им. Веденеева. 2002. Т.241. С.67-63.

8. Артемьева Л.М. Временной анализ реакции каркасных многоэтажных зданий при горизонтальных импульсных воздействиях. Автореферат на соискание ученой степени кандидата технических наук. ГОУ ВПО ЮжноУральский Государственный Университет, 2009.

9. Бабешко В.А., Литвер М.Е., Рабкин М.А. Расчет вибраций фундаментных плит мощных энергоблоков. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1982, с.186-190.

10. Бабский Е.Г., Глаговский В.Б., Рабкин М.А. Влияние особенностейконфигурации рамного фундамента на его динамические характеристики. — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1985, т.184, с.26-30.

11. Бабский Е.Г. Динамические исследования рамных фундаментов под турбоагрегаты. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1973, №1, с.8-11.

12. Баркан Д.Д. Динамика оснований и фундаментов. -М.: Стройвоенмориздат, 1948.-412 с.

13. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. -М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. — 854 е., ил.

14. Бндерман B.JJ. Прикладная теория механических колебаний. Учеб. пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1972., 416 с. с илл.

15. Бирбраер А.Н. Расчет конструкций на сейсиостойкость. СПб.: Наука, 1998. -255 е., ил.70.

16. Глаговский В.Б., Рабкин М.А. О расчете стационарных колебаний фундамента турбоагрегата с учетом податливости основания. — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1986, т. 197, с.56-59.

17. Глаговский В.Б., Рабкин М.А. Некоторые результаты расчета вибраций фундамента турбоагрегата мощностью 1200 МВт и их сравнение с данными натурных испытаний. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1981, т. 151, с.76-80.

18. Глухое В.В. Подготовка и проведение защиты диссериации: Рекомендации для соискателей ученой степени. СПб., Изд-во Политехи, ун-та, 2006. 96 с.

19. Голъдин А.С. Вибрация роторных машин: 2-е изд. исправл. — М.: Машиностроение, 2000. 344 е., ил.

20. Голышев А.Б., Бамбура А.Н. Общая и прикладная механика: (Крат, слов.-справ.) К.: Логос, 2006. - 130 с.

21. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. -832 е.: ил.

22. Ершов Н.Ф., ШахвердиГ.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: «Судостроение», 1984.

23. Жуковский A.M. Прогнозирование динамических характеристик фундаментов под мощные турбоагрегаты. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, Л., 1988.

24. Жуковский A.M., Цейтлин Б.В. Анализ колебаний новых конструкций фундаментов под турбоагрегаты. — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1985, т.184, с.30-36.

25. Жуковский A.M., Привалова О.В., Фридмап В.М., Цейтлин Б.В. К численному построению матрицы динамических жесткостей балки Тимошенко. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1984, т. 173, с.67-71.

26. Жулай С.В., Шульженко Н.Г. Поперечные нестационарные колебания валопроводов при вылете турбинной лопатки. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1982, с.205-208.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. — М.: Мир, 1975.

28. Зенкевич О., Морган К Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.-318 е., ил.

29. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред: Пер. с англ. М.: «Недра», 1974. — 240 с.

30. Ильичев В.А. Работы НИИОСПа по поповышению надежности системы турбоагрегат-фундамент-основание. — Труды координационных совещаний по гидротехнике. JL, «Энергия», 1976, с.32-34.

31. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Определения, теоремы, формулы. 6-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2003. — 832 с.

32. Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин. — М.: Машиностроение, 1982.-264 с.

33. Крылов О.В. Метод конечных элементов и его применение в инженерных расчетах: Учеб пособие для ВУЗов. М.: Радио и связь, 2002. — 104 е., ил.

34. Лалин В.В., Колосова Г. С. Численные методы в строительстве. Решение одномерных краевых задач методом конечных элементов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. 72 с.

35. Мельников Б.Е., Цейтлин Б.В. Некоторые вопросы численного расчета нестационарных колебаний конструкций. — Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1983, т.169, с.42-48.

36. Михайлов А.В. Численное исследование устойчивости нелинейно деформируемых сетчатых оболочек. Автореферат на соискание ученой степени кандидата технических наук. ГОУ ВПО Московский Государственный Строительный Университет», 2009.

37. НП-031-01. Нормы проектирования сейсмостойких атомных станций. — М.: Госатомнадзор России, 2001.

38. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз, 1957.-336 с.

39. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. — М.: «Наука», 1971.-240 с.

40. Патент РФ на изобретение № 2377706 «Статор турбогенератора». Приоритет от 22.10.08. Зарегистрировано в Государственном реестре изобретений РФ 27.12.09 . Опубликовано 27.12.09 Бюл.№36.

41. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 (справочник в 3-х т.) Под общ. ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г., Изд. «Машиностроение», М.: 1968.

42. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. JL, «Судостроение», 1974. — 344 с.

43. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. JL, «Судостроение», 1977. — 280 с.

44. Привалова О.В., Фридман В.М. Стационарные и переходные колебания фундамента турбоагрегата. — Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1982, с.221-224.

45. Рабкин М.А., Глаговский В.Б., Жуковский A.M., Леман И.Э. О прогнозировании вибрационной надежности рамных фундаментов под турбоагрегаты. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989, с.210-214.

46. Редин Д.Г., Лалин В.В. Вариационный метод анализа динамики переходных процессов в фундаментах энергоагрегатов / XXXI Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской конференции, 4.1: с. 120-121, 2003.

47. Редин Д.Г., Лалин В.В. Алгоритм решения нестационарных динамических задач методом конечных элементов / Научно-технические ведомости СПбГТУ. Санкт-Петербург., 2003. - №3(33). - с.227-230.

48. Редин Д.Г., Лалин В.В. Исследование алгоритма решения нестационарных задач строительной механики на основе конечных элементов по времени / XXXIV Неделя науки СПбГПУ. Материалы межвузовской конференции, 4.1: с.157, 2006.

49. Редин Д.Г, Лалин В.В. Решение нестационарных динамических задач методом конечных элементов по времени / Известия ВУЗов. Строительство. 2009, №1 с.31-38.

50. Редин Д.Г., Лалин В.В. Вариационный метод анализа динамики переходных процессов в фундаментах энергоагрегатов //Электроэнергетика 2008. Материалы международного научно-технического форума. С-Пб, ПЭиПК, 2009, с.359-365.

51. Романов В.А., Слива O.K. Аналитическая динамика и теория колебаний. — Южно-Уральский Государственный Университет. Учеб. пособие, 2003.

52. РТМ 108.021.102-85. Агрегаты паротурбинные энергетические. Требования к фундаментам. Л.: НПО ЦКТИ, 1986. - 15 с.

53. Розин JI.А., Константинов И.А., Смелое В. А. Расчет статически неопределимых стержневых систем: Учеб. пособие. Д.: Издательство Ленинградского университета, 1978. - 328 с.

54. Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

55. Рудник В.Я. Результаты определения динамических характеристик при вертикальных колебаниях жестких фундаментов. — Труды координационных совещаний по гидротехнике. Л., «Энергия», 1973, с.51-55.

56. Савинов О.А. Современные конструкции фундаментов под машины и их расчет. Изд. 2-е, перераб. и доп., Л.: Стройиздат, 1979. 200 е., ил.

57. Савинов О.А., Альберт И.У., Сандович Т.А. О возможности использования упрощенных расчетных схем при выборе параметров систем сейсмоизоляции сооружений. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1983, т. 166, с.31-39.

58. Сергеев Н.Д. Максимум амплитуды вынужденных колебаний при действии моногармонического возмущения постоянной частоты на механическую систему с одной степенью свободы. — Вестник гражданских инженеров. -№2(7), 2006.

59. Сорокин Е.С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. М.: Госстройиздат, 1956. - 340 с.

60. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы: Пер. с англ. М.: Мир, 1971.-560 е., ил.

61. Смирный А.И. Технические требования к динамике турбофундаментов. -Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989, с. 178-181.

62. СНиП 2.02.05-87. Фундаменты машин с динамическими нагрузками / Госстрой СССР. -М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1988. 32 с.

63. СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры. М.: ГУП «НИИЖБ» , ФГУП ЦПП, 2004.

64. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 304 с.

65. Храпков А.А., Петров В.А., Цейтлин Б.В., Скворгрва А.Е., Судакова В.Н. Исследования сейсмостойкости зданий и сооружений ТЭС. // Известия ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, 2000. Т. 237. С. 3-12.

66. Храпков А.А., Цейтлин Б.В. Колебания жесткого фундамента на грунтовом основании. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 2002, т.241, с.3-17.

67. Цейтлин Б.В. Динамический расчет фундаментов мощных турбоагрегатов. -Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1978, т. 127, с.70-79.

68. Цейтлин Б.В. Об использовании упрощенных схем фундаментов под турбоагрегаты. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1982, с.233-237.

69. Цейтлин Б.В. Теоретические исследования и разработка методики расчета колебаний рамных фундаментов с учетом взаимодействия с турбоагрегатом. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, Л., 1980.

70. Цейтлин Б.В., Кронидова Е.Д. Алгоритм и результаты расчетанестационарных колебаний в системе турбоагрегат-фундамент-основание. -Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1981, т.148, с.50-59.

71. Шейнин И. С. Основные результаты по повышению надежности системы турбоагрегат фундамент - основание // Тр. координац. совещ. по гидротехнике. - 1976. - Вып. 109. - с.4-18.

72. Шейнин И.С., Аграновский Г.Г., Абросимов Н.А. и др. Исследование деформаций железобетонных балок при динамическом нагружении. -Труды координационных совещаний по гидротехнике. Вып.116. Л., «Энергия», 1977, с.281-285.

73. Шейнин И.С., Цейтлин Б.В. Теоретическое исследование динамических характеристик ряда фундаментов под мощные турбоагрегаты. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1981, т.151, с.81-87.

74. Шульженко Н.Г., ВоробьевЮ.С. Численный анализ колебаний системы турбоагрегат-фундамент. АН УССР. Ин-т проблем машиностроения. — Киев: Наукова думка, 1991. 232 с.85 .Behr М. Simplex space-time meshes in finite element simulations.

75. TERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS, 57 (2008), p.1421-1434.

76. Besson, O. Space-time integrated least squares: a time-marching approach. -INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS, 2004, p.525-543.

77. Deutsche norm. DIN 4024 Part 1: Machine foundations; Flexible structures that support machines with rotating elements. April 1988.

78. Deutsche norm. DIN 4024 Part 2: Machine foundations; rigid foundations machinery subject to periodic vibration. April 1991.

79. Fries T.,Zilian A. On time integration in the XFEM. INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING, 2009, p.69-93.

80. GERB. Vibration isolation systems. 13407 Berlin (Reinickendorf). 9 Edition 1994.

81. Grohmann, BA. Time-discontinuous stabilized space-time finite elements for Timoshenko beams. AIAA JOURNAL, 2001, p.2158-2167.

82. International Standard. ISO 10816-1:1995(E) Mechanical vibration Evaluation of machine vibration by measurements on non-rotating parts - Part 1: Generalguidelines.

83. Nassehi V., Parvazinia M. A multiscale finite element space-time discretization method for transient transport phenomena using bubble functions. FINITE ELEMENTS IN ANALYSIS AND DESIGN, 45 (2009), p.315-323.

84. Petersen S., Farhat C. A space-time discontinuous Galerkin method for the solution of the wave equation in the time domain. INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING, 78 (2009), p.275-295.

85. VDI /Объединение немецких инженеров/. Нормали VDI 2056. Масштабы оценки для механических колебаний машин. Октябрь 1964.

86. Zaki, Si. A least-squares finite element scheme for the EW equation. -COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING, 2000, p.587-594.